Natura 20. prosince 2002
Pozn´ amky k teorii superstrun zpracoval: Jiˇr´ı Svrˇsek
1
podle ˇcl´ ank˚ u uveden´ych v pˇrehledu
Abstract Teorie superstrun. Na jedn´e stranˇe nejslibnˇejˇs´ı kandid´ at na teorii vˇsech silov´ ych interakc´ı a hmotn´ ych ˇca ´stic. Na stranˇe druh´e teorie, kter´ a dosud nem´ a ˇza ´dn´e testovateln´e pˇredpovˇedi.
1 e-mail:
[email protected], WWW: http://natura.eridan.cz
References ˇ [1] Ullmann, Vojtˇech: Gravitace, ˇcern´e d´ıry a fyzika prostoroˇcasu. Ceskoslovensk´ a astronomick´ a ˇ spoleˇcnost CSAV, poboˇcka Ostrava, 1986 ˇ [2] Synovcov´a, Mark´eta: Sest rozmˇer˚ u nav´ıc aneb teorie vˇseho. ˇcasopis Vˇeda a technika ml´adeˇzi, ?/1987?. str. 12 - 13. [3] Osobn´ı sdˇelen´ı elektronickou poˇstou od Luboˇse Motla z Rutgersovy univerzity. e-mail:
[email protected] http://come.to/lumo [4] Developments in Superstring Theory. Ashoke Sen. Mehta Research Institute of Mathematics and Mathematical Physics, Chhatnag Road, Jhusi, Allahabad 211019, India. e-mail:
[email protected] . http://xxx.lanl.gov
1
1 1.1
Teorie superstrun Historie teori´ı superstrun
Prvn´ı pˇredznamen´an´ı teorie superstrun se objevilo v roce 1968 u italsk´eho fyzika Gabriela Veneziana, kter´ y pracoval na teorii siln´ ych interakc´ı. V jeho pr´aci sice nebylo ani slovo o teorii superstrun, ale v roce 1970 nˇekteˇr´ı vˇedci upozornili na to, ˇze jeho vztahy, popisuj´ıc´ı interakce mezi ˇc´asticemi, mohou v´est k pˇredstavˇe struny jako z´akladn´ı dynamick´e jednotky. Konce struny by se pak chovaly jako element´arn´ı ˇc´astice. V roce 1971 upozornil teoretik Claud Lovelace na to, ˇze jedna z teori´ı superstrun pˇrin´aˇs´ı zaj´ımav´e v´ ysledky, pokud je formulov´ana v 26-rozmˇern´em prostoru. Teorie vˇsak ignorovala fermiony (kvarky a leptony), kter´e jsou z´akladem hmoty a naopak zahrnovala hypotetickou ˇc´astici tachyon, kter´a se pohybuje pouze nadsvˇetelnou rychlost´ı. John Schwarz se zaˇcal o teorii superstrun zaj´ımat v roce 1969, Michael Green zhruba od roku 1976. Oba dohromady pracovali na t´eto teorii od roku 1979. Po dlouhou dobu byli vlastnˇe jedin´ ymi fyziky, kteˇr´ı v teorii superstrun bezv´ yhradnˇe vˇeˇrili a ˇreˇsili probl´emy teorie supersjednocen´ı (Grand Unified Theory), teorie supersymetrie a teorie supergravitace. V jejich formalismu objevili, ze existuj´ı struny typu IIA, IIB a typu I, kter´ y obsahuje tak´e otevˇren´e struny. Tato teorie se zd´ala nejpˇritaˇzlivejˇs´ı, protoˇze obsahuje tak´e polorealistick´e kalibraˇcn´ı pole. V roce 1984 vˇsak pr´ace na tˇechto teori´ıch zaˇcali v´aznout. Pr´avˇe v tomto roce vˇsak Schwarz a Green objevili, ˇze d˚ usledkem speci´aln´ıho ryze strunov´eho mechanismu je teorie pro volbu kalibraˇcn´ı grupy SO(32) (grupy ortogon´aln´ıch matic dimenze 32 s jednotkov´ ym determinantem) bez anom´ali´ı a vykr´at´ı se ˇrada r˚ uzn´ ych netrivi´aln´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u. Tento objev pˇril´akal k teorii superstrun velk´e mnoˇzstv´ı lid´ı. Byly objeveny heterotick´e superstruny, dva typy teori´ı, z nichˇz jedna m´a kalibraˇcn´ı grupu SO(32) (dnes je zn´amo, ˇze je du´aln´ı k teorii I) a druh´a m´a kalibraˇcn´ı grupu E8 × E8 (dnes je zn´amo, ˇze jde o M-teorii na p´asu prostoru). Tato teorie se stala fenomenologicky nejpˇritaˇzlivˇejˇs´ı, zejm´ena se ˇsesti rozmˇery svinut´ ymi na Calabi-Yauovu varietu. V polovinˇe 80. let 20. stolet´ı probˇehla prvn´ı superstrunov´a revoluce s mnoha objevy. Koncem 80. let se pokrok pˇribrzdil, ale z oboru jiˇz neodch´azelo tolik lid´ı, jako pˇri zrodu kvantov´e chromodynamiky v 70. letech 20. stolet´ı. Kolem roku 1994 zaˇcala dualitov´a revoluce v teorii strun, kterou zah´ajili Seiberg a Edward Witten pracemi z teorie pole. Pak se v roce 1995 objevily D-br´any a v ˇr´ıjnu 1996 maticov´a M teorie, v listopadu 1997 Maldacenova domnˇenka. Teorie superstrun navazuje na pr´ace nˇemeck´eho fyzika Theodora Kaluzy z roku 1921 a ˇsv´edsk´eho fyzika Oscara Kleina z roku 1926. Kaluza zjistil, ˇze v pˇetirozmˇern´em prostoru lze form´alnˇe sjednotit teorii gravitace a teorii elektromagnetick´eho pole, ale nedok´azal vysvˇetlit, kam se p´at´ y rozmˇer ztratil. Klein jeho matematickou konstrukci doplnil vysvˇetlen´ım v souladu s kvantovou mechanikou a tvrdil, ˇze p´at´ y rozmˇer se bˇehem v´ yvoje velmi ran´eho vesm´ıru smrˇstil a tud´ıˇz je nepozorovateln´ y.
1.2
Principy teori´ı superstrun
Pˇred teori´ı superstrun se rozv´ıjela kvantov´a teorie pole. Kvantov´ a teorie pole byla velmi u ´spˇeˇsn´ a pˇri popisu element´arn´ıch ˇc´astic a jejich interakc´ı. Ale nebyla u ´spˇeˇsn´a pˇri vysvˇetlov´an´ı gravitaˇcn´ı interakce. Pokud se pokus´ıme kvantovat obecnou teorii relativity jako klasickou teorii pole pouˇzit´ım metod kvantov´e teorie pole, dospˇejeme k divergenc´ım, kter´e nelze odstranit metodami renormalizace
2
kvantov´e teorie pole. Pˇr´ıkladem je v´ ymˇena gravitonu mezi elektronem a positronem. Teorie superstrun se pokusila tento probl´em vyˇreˇsit. Z´akladn´ı myˇslenka teorie superstrun je jednoduch´ a: element´arn´ı ˇca´stice nejsou ch´ap´any jako bodov´e objekty, ale jako r˚ uzn´e vibraˇcn´ı m´ody strun. Typick´a velikost strun je velmi mal´a ˇr´adu Planckovy d´elky 10−33 cm ∼ = (1019 GeV )−1 . Proto se v souˇcasn´em vesm´ıru struny jev´ı jako bodov´e objekty a teorie superstrun je nerozliˇsiteln´a od bˇeˇzn´e kvantov´e teorie pole. Tato energie je zat´ım pˇr´ıliˇs vysok´a, neˇz jak´ ych energi´ı dosahujeme v souˇcasn´ ych urychlovaˇc´ıch. Struny mohou b´ yt otevˇren´e nebo uzavˇren´e. Jak se pohybuj´ı prostoroˇcasem, vytv´aˇrej´ı imagin´arn´ı v´ıcerozmˇern´ y povrch naz´ yvan´ y svˇetoplocha. Kaˇzd´a struna m´a urˇcit´e vibraˇcn´ı m´ody, kter´e lze charakterizovat r˚ uzn´ ymi kvantov´ ymi ˇc´ısly, jako je hmotnost, spin atd. Kaˇzd´emu vibraˇcn´ımu m´odu odpov´ıd´a urˇcit´ y typ ˇc´astic. Vˇsechny pozorovan´e element´arn´ı ˇc´astice lze tedy popsat pomoc´ı jedin´eho objektu - struny. Tato jednoduch´a myˇslenka m´a ale z´asadn´ı d˚ usledky: • Konzistentn´ı kvantov´a teorie superstrun neobsahuje ˇz´adn´e ultrafialov´e divergence. • Spektrum takov´e teorie superstrun automaticky obsahuje nehmotn´ y stav se spinem 2, kter´ y m´a vˇsechny vlastnosti gravitonu, nositele gravitaˇcn´ı interakce. Na druh´e stranˇe teorie superstrun m´a nˇekolik probl´em˚ u: • Teorie superstrun jsou konzistentn´ı pouze v (9 + 1)-rozmˇern´em prostoroˇcasu, pˇriˇcemˇz vˇsechny fyzik´aln´ı jevy prob´ıhaj´ı ve (3 + 1)-rozmˇern´em prostoroˇcase. • M´ısto jedin´e konzistentn´ı teorie superstrun existuje celkem pˇet konzistentn´ıch teori´ı ve (9 + 1)rozmˇern´em prostoru. Jde o typy IIA, IIB, I, SO(32) heterotick´ y a E8 × E8 heterotick´ y. Struny mohou vz´ajemnˇe interagovat spojov´an´ım a rozpojov´an´ım. Pˇritom svˇetoplochy dvou strun se slouˇc´ı v jedinou svˇetoplochu nebo naopak svˇetoplocha se rozdˇel´ı na dvˇe svˇetoplochy, pˇriˇcemˇz povrch svˇetoploch neobsahuje ˇz´adn´e singularity. Pˇri v´ ypoˇctech kvantovˇe mechanick´ ych amplitud vlnov´ ych funkc´ı pouˇzit´ım perturbaˇ cn´ı (poruchov´e) teorie se pˇrid´avaj´ı pˇr´ıspˇevky z kvantov´ ych proces˚ u vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Poruchov´e teorie poskytuje dobr´e v´ ysledky v pˇr´ıpadˇe, ˇze pˇr´ıspˇevky st´ale vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u jsou st´ale menˇs´ı. Pak staˇc´ı prov´est v´ ypoˇcet pro prvn´ıch nˇekolik ˇclen˚ u rozvoje. V ˇc´ asticov´ ych teori´ıch pole vˇsak pˇr´ıspˇevky kvantov´ ych proces˚ u vyˇsˇs´ıho ˇra´du s rostouc´ım ˇr´adem vzr˚ ustaj´ı exponenci´alnˇe. Poruchov´e teorie jsou velmi uˇziteˇcn´ ym n´astrojem pro studium proces˚ u se slabou vazbou, na nichˇz je zaloˇzena vˇetˇsina naˇsich znalost´ı z ˇc´asticov´e fyziky a teorie superstrun. Ale odpovˇedi na vˇetˇsinu hlubok´ ych ot´azek bude moˇzno nal´ezt teprve pouˇzit´ım kompletn´ı neporuchov´e formulace. Struny mohou m´ıt r˚ uzn´e druhy okrajov´ ych podm´ınek. Uzavˇren´e struny napˇr. mohou m´ıt periodick´e okrajov´e podm´ınky (uzavˇren´e struny pˇrech´azej´ı sami na sebe). Otevˇren´e struny mohou m´ıt dva druhy okrajov´ ych podm´ınek - Neumannovy a Dirichletovy okrajov´ e podm´ınky. Pˇri Neumannov´ ych okrajov´ ych podm´ınk´ach se mohou konce otevˇren´ ych strun volnˇe pohybovat, ale nedoch´ az´ı ke zmˇenˇe momentu. Pˇri Dirichletov´ ych okrajov´ ych podm´ınk´ach jsou konce otevˇren´ ych strun upevnˇeny a mohou se pohybovat pouze po urˇcit´e varietˇe. Tato varieta se naz´ yv´a D-br´ ana nebo Dp -br´ ana (kde p je cel´e ˇc´ıslo a oznaˇcuje poˇcet prostorov´ ych rozmˇer˚ u variety). D-br´any mohou m´ıt rozmˇery od −1 do poˇctu prostorov´ ych rozmˇer˚ u naˇseho prostoroˇcasu. Napˇr.
3
Superstruny existuj´ı v 10-rozmˇern´em prostoroˇcasu, kter´ y m´a 9 prostorov´ ych a jednu ˇcasovou diy bod struny upevnˇen menzi. Proto je D9 -br´ana horn´ı limitou teorie superstrun. Pokud je koncov´ na varietˇe, kter´a vyplˇ nuje cel´ y prostor, pak se m˚ uˇze pohybovat kdekoliv v tomto prostoru beze zmˇeny momentu a fakticky jde o Neumannovu okrajovou podm´ınku. Pˇr´ıpad p = −1 popisuje situaci, kdy jsou vˇsechny prostorov´e a ˇcasov´a dimenze pevn´e. Tento pˇr´ıpad se oznaˇcuje D-instanton. Pokud je p = 0, pak jsou vˇsechny prostorov´e dimenze pevn´e a koncov´ y bod struny existuje jako obyˇcejn´ y bod v prostoroˇcase. Tato D0 -br´ana se tak´e oznaˇcuje jako D-ˇ c´ astice. D-br´any jsou dynamick´ ymi objekty, kter´e maj´ı sv´e fluktuace a mohou se pohybovat. Jak jiˇz v´ıme, existuj´ı dva typy ˇc´astic: fermiony, kter´e tvoˇr´ı veˇskerou l´atku ve vesm´ıru, a bosony, kter´e realizuj´ı interakce mezi fermiony. Fundament´aln´ı teorie pˇr´ırody mus´ı zahrnovat oba typy ˇc´astic. Pokud zahrneme fermiony do teorie superstrun, obdrˇz´ıme nov´ y typ symetrie, oznaˇcovan´ y jako supersymetrie, kter´a d´av´a do souvislosti bosony a fermiony pomoc´ı supermultiplet˚ u, kter´e jsou vz´ajemnˇe v´az´any novou symetri´ı. Konzistentn´ı kvantov´a teorie superstrun pole existuje pouze v desetirozmˇern´em prostoru. V prostorech s menˇs´ım poˇctem dimenz´ı jsou kvantov´e jevy t´eto teorie ”anom´aln´ı”. Teorie superstrun v desetirozmˇern´em prostoru neobsahuje ˇz´adn´e anom´alie. Ve smyslu poruchov´e teorie slab´e vazby existuje celkem pˇet r˚ uzn´ ych konzistentn´ıch teori´ı superstrun, jak je uvedeno v n´asleduj´ıc´ı tabulce. typ strun 10d supersymetrie 10 d kalibr. grupy dimenze D-br´ any
typ IIB uzavˇren´e N =2 ˇz´adn´a 10 −1, 1, 3, 5, 7
typ IIA uzavˇren´e N =2 ˇz´adn´a 10 0, 2, 4, 6, 8
typ E8 × E8 uzavˇren´e N =1 E8 × E8 10 ˇz´adn´e
typ SO(32) uzavˇren´e N =1 SO(32) 10 ˇz´adn´e
typ I oboj´ı N =1 SO(32) 10 1, 5, 9
• Typ bosonov´ y Tato teorie obsahuje pouze bosony (silov´e interakce), neobsahuje fermiony (hmotov´e ˇc´astice). Obsahuje jak otevˇren´e, tak uzavˇren´e struny. Obsahuje ˇc´astici s imagin´arn´ı hmotnost´ı, tachyon. Teorie se realizuje v 26-rozmˇern´em prostoru. • Typ I SO(32) Tato teorie obsahuje otevˇren´e superstruny. M´a jednu (N = 1) supersymetrii v desetirozmˇern´em prostoru mezi hmotou a silov´ ymi interakcemi. Otevˇren´e struny mohou n´est na sv´ ych konc´ıch kalibraˇcn´ı stupnˇe volnosti. Zruˇsen´ı tˇechto anom´ali´ı si vynucuje kalibraˇ cn´ı grupu SO(32) (grupa ortogon´ aln´ıch matic s jednotkov´ ym determinantem). Teorie obsahuje D-br´any s 1, 5 a 9 prostorov´ ymi dimenzemi. Teorie neobsahuje tachyon. • Typ IIA Tato teorie obsahuje uzavˇren´e superstruny, kter´e maj´ı dvˇe (N = 2) supersymetrie mezi hmotn´ ymi ˇc´asticemi a silov´ ymi interakcemi v desetirozmˇern´em prostoru. Dvˇe gravitina (supersymetrick´e ˇc´astice ke gravitonu) se pohybuj´ı v opaˇcn´ ych smˇerech po svˇetoploˇse uzavˇren´e struny. Maj´ı opaˇcn´e chirality (spin v obou smˇerech) v desetirozmˇern´e Lorentzovˇe grupˇe, tj. jde o nechir´aln´ı teorii. Neexistuje ˇz´adn´a kalibraˇcn´ı grupa. Teorie obsahuje D- br´any s 0, 2, 4, 6 a 8 prostorov´ ymi dimenzemi. Teorie obsahuje nehmotn´e bosony (silov´e interakce) a neobsahuje tachyon.
4
• Typ IIB Tato teorie obsahuje uzavˇren´e superstruny s N = 2 supersymetri´ı mezi hmotn´ ymi ˇc´asticemi a silov´ ymi interakcemi. Dvˇe gravitina maj´ı ale stejn´e chirality (spin v jednom smˇeru) v desetirozmˇern´e Lorentzovˇe grupˇe, proto jde o chir´aln´ı teorii. Neexistuje ˇz´adn´a kalibraˇcn´ı grupa. Teorie obsahuje D-br´any s −1, 1, 3, 5 a 7 prostorov´ ymi dimenzemi. Teorie obsahuje nehmotn´e bosony a neobsahuje tachyon. • SO(32) heterotick´ y typ Tato teorie obsahuje uzavˇren´e superstruny s poli svˇetoploch bez symetrie, kter´a se pohybuj´ı po svˇetoploˇse jedn´ım smˇerem, a s poli svˇetoploch se symetri´ı, kter´a se pohybuj´ı opaˇcn´ ym smˇerem (existuje rozd´ıl mezi doprava a doleva se pohybuj´ıc´ımi strunami, tj. jsou struny jsou heterotick´e). V´ ysledkem je N = 1 supersymetrie v desetirozmˇern´em prostoru. Nesupersymetrick´a pole pˇrisp´ıvaj´ı nehmotn´ ymi vektorov´ ymi bosony do spektra, kter´e m´a kv˚ uli zruˇsen´ı anom´ali´ı kalibraˇcn´ı symetrii popsanou kalibraˇcn´ı grupou SO(32). • E8 × E8 heterotick´ y typ Tato teorie je identick´a s teori´ı SO(32) heterotick´ ym typem s t´ım, ˇze jej´ı kalibraˇcn´ı grupa kv˚ uli zruˇsen´ı anom´ali´ı je E8 × E8 . Vid´ıme, ˇze heterotick´e teorie neobsahuj´ı D-br´any. Obsahuj´ı vˇsak pˇetibr´anov´ y soliton, kter´ y nen´ı D-br´ana. Teorie IIA a IIB tak´e obsahuj´ı pˇetibr´anov´ y soliton, kter´ y se obvykle oznaˇcuje jako ”Neveu-Schwarzova pˇ etibr´ ana”. Poznamenejme, ˇze historicky byla teorie E8 × E8 povaˇzov´ana za nejslibnˇejˇs´ı teorii superstrun, kter´a rozˇsiˇrovala standardn´ı model teorie element´arn´ıch ˇc´astic. Tato teorie byla objevena v roce 1987 Gross, Harvey, Martinec a Rohm a po dlouhou dobu byla povaˇzov´ana za jedinou teorii vhodnou pro popis fyziky naˇseho vesm´ıru. D˚ uvodem bylo, ˇze kalibraˇcn´ı grupa SU (3)×SU (2)×U (1) (SU (n) je grupa unit´arn´ıch matic dimenze n s jednotkov´ ym determinantem, U (1) je grupa rotac´ı na kruˇznici) standardn´ıho modelu m˚ uˇze b´ yt podgrupou jedn´e z kalibraˇcn´ıch grup E8 . Hmota druh´e kalibraˇcn´ı grupy E8 pˇritom vz´ajemnˇe neinteraguje s v´ yjimkou gravitace a m˚ uˇze proto b´ yt ˇreˇsen´ım probl´ emu temn´ e hmoty v astrofyzice. Z´akladn´ı ot´azky, mimo jin´e proˇc doˇslo k naruˇsen´ı supersymetrie a proˇc existuj´ı tˇri generace ˇc´astic ve standardn´ım modelu, vˇsak z˚ ustaly nezodpovˇezeny. Vˇetˇsina tˇechto ot´azek souvis´ı s probl´emem kompaktifikace. Superstruny existuj´ı v desetirozmˇern´em prostoroˇcase, ale my pozorujeme pouze ˇctyˇrrozmˇern´ y prostoroˇcas. Pokud chceme, aby teorie superstrun popisovaly n´aˇs vesm´ır, mus´ıme tyto dvˇe ˇ sen´ım je kompaktifikace ˇsesti rozmˇer˚ skuteˇcnosti d´at do souladu. Reˇ u do mal´eho kompaktn´ıho prostoru. Pokud je rozmˇer takov´eho kompaktn´ıho prostoru srovnateln´ y s Planckovou d´elkou, pak nelze existenci tˇechto ˇsesti rozmˇer˚ u pˇr´ımo pozorovat. N´aˇs ˇctyˇrrozmˇern´ y prostoroˇcas lze pak popsat jako ˇsestirozmˇern´e mal´e kompaktn´ı prostory v kaˇzd´em bodˇe naˇseho ˇctyˇrrozmˇern´eho prostoroˇcasu. Myˇslenka kompaktifikace poch´az´ı jiˇz od Theodora Kaluzy a Oscara Kleina. V p˚ uvodn´ı Kaluzovˇe pr´aci je uk´az´ano, ˇze pokud definujeme obecnou teorii relativity v pˇetirozmˇern´em prostoru a pak jednu dimenzi stoˇc´ıme do kruˇznice, dostaneme ˇctyˇrrozmˇernou obecnou teorii relativity a teorii elektromagnetick´eho pole. D˚ uvodem je, ˇze teorie elektromagnetick´eho pole je U (1) kalibraˇcn´ı teori´ı. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze elektron m´a stupeˇ n volnosti, kter´ y odpov´ıd´a bodu na kruˇznici. Nech´ame tento bod volnˇe pohybovat po t´eto kruˇznici, kdyˇz sledujeme svˇetoˇc´aru elektronu. Zjist´ıme, ˇze tato teorie mus´ı obsahovat jako kalibraˇcn´ı ˇc´astici foton a ˇze elektron splˇ nuje Maxwellovy rovnice elektromagnetick´eho pole. Vid´ıme, ˇze Kaluz˚ uv-Klein˚ uv mechanismus kompaktifikace pˇredstavuje jednoduch´e geometrick´e vysvˇetlen´ı. P´at´ y rozmˇer je stoˇcen do mal´e kruˇznice a pˇrestoˇze ho nem˚ uˇzeme pˇr´ımo pozorovat, m´a pozorovateln´e fyzik´aln´ı d˚ usledky.
5
Z kvantov´e mechaniky v´ıme, ˇze pokud je nˇejak´a prostorov´a dimenze periodick´a, pak moment hybnosti v t´eto dimenzi je kvantov´an, tj. p = n/R (n = 0, 1, 2, . . .). Pokud se polomˇer kompaktn´ı dimenze zmenˇsuje, mezery mezi moˇzn´ ymi hodnotami momentu hybnosti nar˚ ustaj´ı a vznik´a Kaluzova-Kleinova vˇ eˇ z stav˚ u momentu hybnosti. Pokud se polomˇer kompaktn´ı dimenze zvˇetˇsuje, moˇzn´e hodnoty momentu hybnosti se k sobˇe velmi tˇesnˇe pˇribliˇzuj´ı, aˇz vytv´aˇrej´ı kontinuum. Pak Kaluzova-Kleinova vˇeˇz stav˚ u momentu hybnosti m˚ uˇze popisovat spektrum hmotnost´ı nekompaktifikovan´eho svˇeta. Proto se nehmotn´ y stav ve v´ıcerozmˇern´e teorii m˚ uˇze odrazit v m´enˇerozmˇern´e teorii jako vˇeˇz hmotn´ ych stav˚ u. Superstruny maj´ı v kompaktifikovan´em prostoru jednu d˚ uleˇzitou vlastnost. Mohou se nav´ıjet kolem kompaktifikovan´e dimenze, coˇz se projevuje nav´ıjec´ımi m´ ody v hmotnostn´ım spektru. Uzavˇren´a struna se m˚ uˇze navinout kolem periodick´e dimenze celoˇc´ıselnˇekr´at. Podobnˇe jako v Kaluzovˇe-Kleinovˇe pˇr´ıpadˇe nav´ıjec´ı m´ody definuj´ı momenty hybnosti p = w·R (w = 0, 1, 2, . . .). Z´avislost momentu hybnosti na polomˇeru kompaktn´ı dimenze je jin´a, neˇz ve v´ yˇse diskutovan´em pˇr´ıpadˇe. Pokud se kompaktn´ı dimenze zmenˇsuje, mezery mezi moˇzn´ ymi hodnotami momentu hybnosti se tak´e zmenˇsuj´ı. Aby vznikl ˇctyˇrrozmˇern´ y prostoroˇcas, mus´ı se desetirozmˇern´a teorie superstrun zkompaktifikovat na ˇsestirozmˇernou kompaktn´ı varietu. Situace je vˇsak v porovn´an´ı s p˚ uvodn´ı Kaluzovou a Kleinovou teori´ı ponˇekud sloˇzitˇejˇs´ı. V jednoduch´em pˇr´ıpadˇe by bylo moˇzno zkompaktifikovat ˇsest dimenz´ı na ˇsest kruˇznic, ˇc´ımˇz by vznikl ˇsestirozmˇern´ y prstenec. Vˇedci vˇeˇr´ı, ˇze ve ˇctyˇrrozmˇern´em ˇcasoprostoru existuj´ı urˇcit´e supersymetrie pˇri energi´ıch vyˇsˇs´ıch neˇz 1 T eV . Aby se zachovalo minim´aln´ı mnoˇzstv´ı supersymetrie N = 1 ve ˇctyˇrrozmˇern´em ˇcasoprostoru, mus´ı desetirozmˇern´ y prostor zkompaktifikovat na ˇsestirozmˇernou Calabi-Yauovu varietu. Vlastnosti Calabi-Yauovy variety mohou m´ıt z´avaˇzn´e d˚ usledky pro fyziku n´ızk´ ych energi´ı, jako je poˇcet pozorovan´ ych ˇc´astic, jejich hmotnosti, kvantov´a ˇc´ısla a poˇcet generac´ı. Jedn´ım z dosud nevyˇreˇsen´ ych probl´em˚ u z˚ ust´av´a skuteˇcnost, ˇze Calabi-Yauov´ ych variet je velmi mnoho a nev´ıme, kterou z nich m´ame pouˇz´ıt. Zat´ımco desetirozmˇern´a teorie superstrun je v tomto smyslu zcela jednoznaˇcn´a, ˇctyˇrrozmˇern´a fyzika m´a na naˇs´ı nekompletn´ı u ´rovni pozn´an´ı do jednoznaˇcnosti velmi daleko. Teoretikov´e teori´ı superstrun doufaj´ı, ˇze detailn´ı znalost u ´pln´e neporuchov´e struktury teorie umoˇzn´ı vysvˇetlit, jak a proˇc n´aˇs vesm´ır pˇreˇsel z p˚ uvodn´ı desetirozmˇern´e fyziky, kter´a zˇrejmˇe existovala pˇri velmi vysok´ ych energi´ıch ve f´azi velk´eho tˇresku, do ˇctyˇrrozmˇern´e fyziky n´ızk´ ych energi´ı, kterou dnes pozorujeme. Moˇzn´a se jednou podaˇr´ı nal´ezt jednoznaˇcnou Calabi-Yauovu varietu. Jedna d˚ uleˇzit´a pr´ace Andrewa Stromingera ukazuje, ˇze Calabi-Yauovy variety lze jednu s druhou spojitˇe propojit pomoc´ı jist´eho pˇrechodu, d´ıky nˇemuˇz lze volnˇe pˇrech´azet mezi r˚ uzn´ ymi CalabiYauov´ ymi varietami zmˇenou parametr˚ u teorie.
1.3
Strunov´ e duality
Pokud popisujeme pˇet teori´ı superstrun pomoc´ı slabˇe v´azan´e poruchov´e teorie, jev´ı se tyto teorie velmi rozd´ıln´e. Velk´ ym u ´spˇechem 90. let 20. stolet´ı je objev, ˇze vˇsechny tyto teorie spolu souvisej´ı pomoc´ı r˚ uzn´ ych strunov´ ych dualit. Dvˇe teorie povaˇzujeme za du´ aln´ı, pokud popisuj´ı stejnou fyzik´aln´ı teorii. Prvn´ım typem duality je T-dualita. Tato dualita d´av´a do souvislosti teorii, kompaktifikov´anou na kruˇznici polomˇeru R, s jinou teori´ı, kompaktifikovanou na kruˇznici polomˇeru 1/R. Pokud v jedn´e teorii je dimenze svinuta do mal´eho rozmˇeru, pak ve druh´e teorii je tato dimenze rozvinuta do velk´eho polomˇeru, avˇsak obˇe teorie popisuj´ı stejnou fyzik´aln´ı teorii.
6
Druh´ ym typem duality je S-dualita. Tato dualita d´av´a do souvislosti limitu siln´e vazby jedn´e teorie s limitou slab´e vazby druh´e teorie. Pˇritom popis slab´e vazby v obou teori´ıch m˚ uˇze b´ yt naprosto odliˇsn´ y. 10-rozmˇern´a heterotick´ a teorie superstrun typu SO(32) a teorie typu I jsou S-du´aln´ı v deseti dimenz´ıch, tj. limita siln´e vazby ve strunov´e heterotick´e teorii SO(32) je slabou vazbou ve strunov´e teorii typu I a naopak. Heterotick´a teorie superstrun typu SO(32), kompaktifikovan´a na ˇctyˇrrozmˇern´ y prstenec T 4 , je du´aln´ı k teorii superstrun typu IIA, kter´a je kompaktifikovan´a na r˚ uzn´e ˇctyˇrrozmˇern´e variety K3 . Teorie superstrun typu IIB je samodu´aln´ı v tom smyslu, ˇze dvˇe r˚ uzn´e vazebn´ı konstanty g a g˜ jsou v´az´any vztahem g = g˜−1 a popisuj´ı stejnou fyzik´aln´ı teorii. Proto poruchov´e rozˇs´ıˇren´ı ve vazebn´ı konstantˇe g obsahuje informaci o neporuchov´ ych jevech ve vazebn´ı konstantˇe g du´aln´ı teorie. Klasick´e v´ ysledky v jedn´e teorii jsou pak souˇctem v´ ysledk˚ u poruchov´e a neporuchov´e du´aln´ı teorie. Heterotick´a teorie superstrun typu SO(32) je du´aln´ı s teori´ı typu I v (9 + 1)-rozmˇern´em prostoroˇcasu. Teorie SO(32) (stejnˇe jako teorie E8 × E8 ), kompaktifikovan´a na ˇctyˇrroznˇern´ y prstenec, je du´aln´ı s teori´ı typu IIA, kter´a je kompaktifikovan´a na ˇctyˇrrozmˇernou netrivi´aln´ı kompaktn´ı varietu oznaˇcovanou jako K3 . Teorie IIB je samodu´aln´ı, tj. teorie s vazebn´ı konstantou g je ekvivalentn´ı teorii s vazebn´ı konstantou 1/g. Heterotick´a teorie typu SO(32) (stejnˇe teorie E8 ×E8 ) kompaktifikovan´a na 6-rozmˇern´ y prstenec T 6 je samodu´aln´ı ve v´ yˇse uveden´em smyslu. D˚ ukaz takov´ ych dualit lze napˇr. prov´est porovn´an´ım spekter stav˚ u. Duality mezi r˚ uzn´ ymi teoriemi superstrun jsou siln´ ym d˚ ukazem pro existenci jednoduch´ ych r˚ uzn´ ych popis˚ u t´eˇze teorie. Kaˇzd´ y popis m´a svoji oblast platnosti a urˇcit´a omezen´ı. M-teorie je pops´ana pˇri n´ızk´ ych energi´ıch efektivn´ı teori´ı naz´ yvanou 11-rozmˇern´a supergravitace. Tato teorie obsahuje membr´any a 5-br´any jako solitony, ale neobsahuje struny. Pokud se zkompaktifikuje jedna dimenze t´eto teorie na malou kruˇznici, pak dostaneme 10-rozmˇernou teorii. Pokud m´ame membr´anu s topologi´ı prstence, kompaktifikac´ı dostaneme uzavˇrenou strunu. V limitˇe, kdy je kruˇznice velmi mal´a, dostaneme teorii typu IIA. Ot´azkou m˚ uˇze b´ yt, proˇc t´ımto zp˚ usobem nedostaneme teorii IIB nebo teorii heterotickou. Odpovˇed´ı je podrobn´a anal´ yza nehmotn´ ych pol´ı, kter´a se objevuj´ı po kompaktifikaci 11-rozmˇern´e supergravitace na kruˇznici. Jinou snadnou kontrolou je nal´ezt v M-teorii p˚ uvod jednoznaˇcnosti stav˚ u D-br´an v teorii IIA. Pˇrehled souvislost´ı je uveden v n´asleduj´ıc´ı tabulce.
7
M-teorie na kruˇznici svinut´a membr´ana na kruˇznici smrˇstˇen´ı membr´any na nulovou velikost nesvinut´a membr´ana svinut´a pˇetibr´ana na kruˇznici nesvinut´a pˇetibr´ana
10-rozmˇern´a teorie typu IIA superstruna typu IIA D0 -br´ana D2 -br´ana D4 -br´ana N S-pˇetibr´ana
Zb´ yvaj´ı pouze D6 a D8 -br´any. D6 -br´any se interpretuj´ı jako Kaluz˚ uv-Klein˚ uv monop´ ol, kter´ y je zvl´aˇstn´ım druhem ˇreˇsen´ı pro 11-rozmˇernou supergravitaci, je-li kompaktifikov´ana na kruˇznici. D8 br´any v tuto chv´ıli nemaj´ı jasnou interpretaci. Konzistentn´ı 10-rozmˇernou teorii lze z´ıskat i kompaktifikac´ı M-teorie na mal´ y line´arn´ı segment, kdy jeden´act´a dimenze z´ısk´a koneˇcnou d´elku. Koncov´e body toho line´arn´ıho segmentu definuj´ı hranice pro ostatn´ıch 9 prostorov´ ych dimenz´ı. Na tˇechto hranic´ıch m˚ uˇze konˇcit otevˇren´a membr´ana. Protoˇze pr˚ unikem membr´any a t´eto hranice je struna, vid´ıme, ˇze (9 +1)-rozmˇern´ y svˇetoobjem kaˇzd´e hranice m˚ uˇze obsahovat struny, kter´e poch´azej´ı z konc˚ u membr´an. Aby se odstranily anom´alie v supergravitaˇcn´ı teorii, je nutn´e, aby kaˇzd´a hranice nesla kalibraˇcn´ı grupu E8 . Proto pokud je prostor mezi hranicemi velmi mal´ y, dostaneme desetirozmˇernou teorii se strunami a kalibraˇcn´ı grupou E8 × E8 , coˇz odpov´ıd´a heterotick´e teorii superstrun typu E8 × E8 . Pokud uvaˇzujeme 11-rozmˇernou teorii supergravitace a r˚ uzn´e duality mezi jednotliv´ ymi 10rozmˇern´ ymi teoriemi superstrun, vid´ıme, ˇze existuje jedin´ y z´akladn´ı koncept, j´ımˇz m je M-teorie. Pˇet teori´ı superstrun a 11-rozmˇern´a teorie supergravitace lze ch´apat jako jej´ı klasick´e limity. Dˇr´ıve byly snahy z´ıskat kvantov´e teorie rozˇs´ıˇren´ım tˇechto klasick´ ych limit pouˇzit´ım poruchov´e teorie. Poruchov´a teorie m´a vˇsak sv´a omezen´ı. Proto se zaˇcaly studovat neporuchov´e aspekty tˇechto teori´ı uˇzit´ım dualit, supersymetrie a dalˇs´ıch vlastnost´ı. C´ılem je vybudovat u ´plnou kvantovou M-teorii.
1.4
Teorie superstrun a z´ ahada ztr´ aty informace
ˇ Cern´ e d´ıry jsou klasick´ ym ˇreˇsen´ım obecn´e teorie relativity. Mechanismus kvantov´eho vyzaˇrov´an´ı ˇcern´ ych dˇer poprv´e popsal Stephen Hawking. Podle kvantov´e teorie se ˇcern´a d´ıra chov´a jako ˇ dokonale ˇcern´e tˇeleso s koneˇcnou teplotou, kter´a odpov´ıd´a hmotnosti ˇcern´e d´ıry. Cern´ a d´ıra proto vyzaˇruje term´aln´ı z´aˇren´ı, odpov´ıdaj´ıc´ı teplotˇe dokonale ˇcern´eho tˇelesa, a m´a entropii, kter´a odpov´ıd´a ploˇse horizontu ud´alost´ı. Tento termodynamick´ y popis ˇcern´ ych dˇer ale m˚ uˇze b´ yt v rozporu s kvantovou teori´ı kv˚ uli probl´emu ztr´aty informace. Uvaˇzujme n´asleduj´ıc´ı myˇslenkov´ y experiment. Pˇredstavme si ˇcist´ y kvantov´ y stav, kter´ y vlivem gravitaˇcn´ıho smrˇsˇtov´an´ı vytvoˇr´ı ˇcernou d´ıru. Poˇckejme, aˇz dojde k vypaˇren´ı ˇcern´e d´ıry Hawkingov´ ym vyzaˇrov´an´ım. Protoˇze Hawkingovo vyzaˇrov´an´ı je tepeln´e, koneˇcn´ y kvantov´ y stav mus´ı b´ yt sm´ıˇsen´ y. Proto se poˇc´ateˇcn´ı ˇcist´ y kvantov´ y stav zmˇenil t´ımto procesem ve stav sm´ıˇsen´ y. Vˇetˇsina informace ˇcist´eho kvantov´eho stavu (s v´ yjimkou hmotnosti a kalibraˇcn´ıch n´aboj˚ u) se bˇehem procesu ztratila. To odporuje z´akladn´ım princip˚ um kvantov´e mechaniky. Poznamenejme vˇsak, ˇze vˇsechny hork´e objekty vyzaˇruj´ı tepeln´e z´aˇren´ı, aniˇz poruˇsuj´ı principy kvantov´e mechaniky. Z´akladn´ı odliˇsnost´ı od popisu vyzaˇrov´an´ı ˇcern´e d´ıry je fakt, ˇze popis tepeln´eho z´aˇren´ı hork´eho objektu je vˇec´ı dohody a pˇredstavuje naˇsi schopnost explicitnˇe studovat kvantovou mechaniku velk´eho souboru ˇc´astic. Proto pouˇz´ıv´ame statistick´ y popis objektu pomoc´ı pr˚ umˇerov´an´ı pˇres vˇsechny jeho mikrostavy. V principu lze ovˇsem pouˇz´ıt kompletn´ı mikroskopick´ y popis z´aˇren´ı
8
kvantov´ ymi procesy. Praktick´a nemoˇznost takov´eho mikroskopick´eho popisu v pˇr´ıpadˇe tepeln´eho z´aˇren´ı z ˇcern´e d´ıry je hlavn´ı pˇr´ıˇcinou probl´emu ztr´aty informace. Pokud bychom byli schopni vytvoˇrit mikroskopick´ y popis Bekensteinovy entropie a Hawkingovy radiace ˇcern´e d´ıry pomoc´ı kvantov´ ych stav˚ u a jejich zmˇen, pak by tepeln´e z´aˇren´ı ˇcern´e d´ıry odpov´ıdalo z´aˇren´ı jak´ehokoliv hork´eho tˇelesa. Probl´em ztr´aty informace v ˇcern´e d´ıˇre se t´ım odstran´ı. Pr´avˇe v tom tkv´ı d˚ uvod, proˇc se o takov´ y popis teoretikov´e pokouˇsej´ı a proˇc jsou ˇc´asteˇcnˇe u ´spˇeˇsn´ı. Jedn´ım z velk´ ych ned´avn´ ych u ´spˇech˚ u teorie superstrun bylo odvozen´ı vztahu BekensteinovyHawkingovy entropie pro ˇcern´e d´ıry, z´ıskan´e poˇc´ıt´an´ım mikroskopick´ ych strunov´ ych stav˚ u, kter´e tvoˇr´ı ˇcernou d´ıru. Bekenstein uk´azal, ˇze zmˇena energie ˇcern´e d´ıry dM je d´ana vztahem dM = K · dA kde dA je zmˇena povrchu ˇcern´e d´ıry. Tento vztah se podob´a vztahu pro entropii dE = T · dS Hawking pozdˇeji semiklasick´ ym v´ ypoˇctem uk´azal, ˇze teplota ˇcern´e d´ıry je rovna T = 4k kde k je ”povrchov´a gravitace” ˇcern´e d´ıry. Proto vztah mezi entropi´ı a velikost´ı povrchu horizontu ud´alost´ı ˇcern´e d´ıry je S = A/4 Ned´avn´a pr˚ ukopnick´a pr´ace Stromingera a Vafy uk´azala, ˇze vztah pro entropii lze odvodit mikroskopicky (vˇcetnˇe faktoru 1/4) v´ ypoˇctem degenerovan´ ych kvantov´ ych stav˚ u konfigurac´ı superstrun a D-bran, kter´e odpov´ıdaj´ı urˇcit´e supersymetrick´e ˇcern´e d´ıˇre v teorii superstrun. D-br´any poskytuj´ı popis urˇcit´e ˇcern´e pomoc´ı slab´e vazby na kr´atkou vzd´alenost. Napˇr´ıklad tˇr´ıda ˇcern´ ych dˇer studovan´ ych Stromingerem a Vafou je pops´ana pomoc´ı 5-br´an, 1-br´an a otevˇren´ ych strun, kter´e se pohybuj´ı po 1-br´anˇe, kter´e jsou vˇsechny svinuty na 5-rozmˇern´em prstenci, kter´ y vytv´aˇr´ı 1-rozmˇern´ y objekt, ˇcernou d´ıru. Otevˇren´e struny jsou upevnˇeny obˇema konci na D1 -br´anˇe a na D5 -br´anˇe a vz´ajemnou interakc´ı doch´az´ı k jejich odtrh´av´an´ı ve formˇe uzavˇren´ ych strun, kter´e pˇredstavuj´ı Hawkingovo vyzaˇrov´an´ı.
1.5
Kalibraˇ cn´ı teorie a membr´ anov´ e teorie
Nyn´ı se zab´ yvejme ponˇekud jin´ ym v´ yvojem odvozov´an´ı v´ ysledk˚ u kalibraˇcn´ı teorie z teorie superstrun. Studium membr´anov´e teorie historicky pˇredch´az´ı Maldacenovu domnˇenku. Maldacena sv´e z´avˇery uˇcinil na z´akladˇe testov´an´ı urˇcit´e konfigurace p-br´an. Membr´ any jsou statick´ ymi klasick´ ymi ˇreˇsen´ımi v teorii superstrun, kter´a existuj´ı v ˇradˇe typ˚ u. p-br´ana je statickou konfiguraci, kter´a se rozkl´ad´a v p prostorov´ ych smˇerech (teˇcn´ ych smˇerech) a je lokalizov´ana ve vˇsech zb´ yvaj´ıc´ıch prostorov´ ych smˇerech (pˇr´ıˇcn´ ych smˇerech). Proto je takov´e ˇreˇsen´ı invariantn´ı v˚ uˇci posunut´ı v p smˇerech teˇcn´ ych k p-br´anˇe v˚ uˇci posunut´ı v ˇcasov´em smˇeru. 1-br´ana 2-br´ana 0-br´ana
struna membr´ana ˇc´astice
9
Kvantov´a dynamika konfigurace p-br´an je typicky pops´ana jako (p+1)-rozmˇern´a kalibraˇcn´ı teorie pole. Vazebn´ı konstanta t´eto kvantov´e teorie pole souvis´ı s vazebn´ı konstantnou teorie superstrun, jej´ımˇz ˇreˇsen´ım je pˇr´ısluˇsn´a konfigurace p-br´any. V tomto pˇr´ıpadˇe lze du´aln´ı symetrie souvisej´ıc´ı se siln´ ymi a slab´ ymi vazebn´ımi limitami p˚ uvodn´ı teorie superstrun pouˇz´ıt pro odvozen´ı vztah˚ u duality odpov´ıdaj´ıc´ıch kvantov´ ych teori´ı pole, kter´e popisuj´ı dynamiku p-bran. Tato metoda vedla k ˇradˇe velmi rozd´ıln´ ych v´ ysledk˚ u v supersymetrick´ ych kalibraˇcn´ıch teori´ıch, jako napˇr. • Odvozen´ı Montonenovy-Oliveovy duality v N = 4 supersymetrick´ ych kalibraˇcn´ıch teori´ıch. • Odvozen´ı v´ ysledk˚ u podobn´ ych Seibergov´ ym-Wittenov´ ym v´ ysledk˚ um v N = 2 supersymetrick´ ych kalibraˇcn´ıch teori´ıch. • Odvozen´ı zvl´aˇstn´ıho druhu symetrie zn´am´eho jako zrcadlov´a symetrie v (2 + 1)-rozmˇern´ ych kalibraˇcn´ıch teori´ıch. • Odvozen´ı Seibergov´ ych dualit v N = 1 supersymetrick´ ych kalibraˇcn´ıch teori´ıch v (3+1)-rozmˇerech. Existence membr´an v teorii superstrun souvis´ı s moˇznost´ı, ˇze standardn´ı model kalibraˇcn´ı teorie suvis´ı sp´ıˇse s membr´anami, neˇz s objemem prostoroˇcasu. To odpov´ıd´a nov´ ym kompaktifikac´ım, ve kter´ ych gravitace existuje v objemu 10-rozmˇern´eho prostoroˇcasu, ale ostatn´ı pozorovan´a pole (kvarky, leptony, kalibraˇcn´ı ˇc´astice atd.) existuj´ı na membr´anˇe niˇzˇs´ı dimenze. M˚ uˇzeme si pˇredstavit sc´en´aˇr, podle nˇehoˇz ve kter´em pole standardn´ıho modelu existuj´ı na trojrozmˇern´e membr´anˇe, pˇriˇcemˇz rozmˇery pˇr´ıˇcn´e k t´eto membr´anˇe se staly kompaktn´ımi a smˇery teˇcn´e k t´eto 3-br´anˇe popisuj´ı bˇeˇzn´ y trojrozmˇern´ y prostor. Mohou tak´e existovat jin´e br´any, oddˇelen´e od naˇseho prostoroˇcasu v jin´ ych dimenz´ıch, kter´e vytv´aˇrej´ı ”st´ınov´e svˇety”. Protoˇze obvykl´a kalibraˇcn´ı a hmotn´a pole existuj´ı na membr´anˇe, nem˚ uˇzeme pozorovat pˇr´ıˇcn´e smˇery. Interakc´ı dlouh´eho dosahu, kter´a se realizuje v tˇechto smˇerech, je gravitace. Proto dodateˇcn´e rozmˇeny mohou b´ yt mnohem vˇetˇs´ı, neˇz pˇripouˇst´ı bˇeˇzn´e kompaktifikaˇcn´ı sch´ema.
1.6
Z´ avˇ er
Hlavn´ı v´ ysledky teorie superstrun jsou n´asleduj´ıc´ı: • Koneˇcnost poruchov´e teorie ˇ asteˇcn´e ˇreˇsen´ı probl´em˚ • C´ u souvisej´ıc´ıch s kvantovou teori´ı ˇcern´ ych dˇer • Explicitn´ı realizace holografick´eho principu pro zvl´aˇstn´ı tˇr´ıdu prostoroˇcasu • (3 + 1)-rozmˇern´e teorie s gravitac´ı, kalibraˇcn´ımi interakcemi, chir´aln´ı fermiony a N = 1 supersymetri´ı, kter´a tˇesnˇe souvis´ı se standardn´ım modelem teorie element´arn´ıch ˇc´astic Teorie superstrun je vnitˇrnˇe konzistentn´ı teori´ı. Strunov´a dualita m´a n´asleduj´ıc´ı d˚ usledky: • Sjednocen´ı nˇekolika r˚ uzn´ ych teori´ı superstrun • Sjednocen´ı element´arn´ıch a sloˇzen´ ych ˇc´astic • Sjednocen´ı klasick´ ych a kvantov´ ych jev˚ u Pokrok v teorii superstrun dramaticky ovlivnil pochopen´ı supersymetrick´ ych kvantov´ ych teori´ı pole. Na druh´e stranˇe dosud neexistuj´ı ˇz´adn´e konkr´etn´ı pˇredpovˇedi teorie superstrun pro n´ızk´e energie, kter´e by bylo moˇzno testovat experiment´alnˇe.
10
