Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
Postupné zvyšování tlaku v důsledku postupu čela plamene v uzavřeném objemu způsobuje až podstatné rozdíly teplot spalin v zóně počátečního hoření a v zóně konečného hoření směsi (tzv. Machův efekt). Tyto rozdíly v teplotách vznikají proto, že spaliny z počáteční fáze hoření, tj. z blízkosti ohniska zážehu (v elementárních objemech počátečních ohnisek vznícení), jsou vystaveny adiabatické (polytropické) kompresi působením zvyšujícího se tlaku v důsledku hoření dalších částí náplně. Na rozdíl od první části směsi budou poslední zbytky směsi hořet při vyšším tlaku. Nerovnoměrnost teplotního pole ve spalinách má v uzavřených objemech, tedy i ve spalovacích prostorech pístových spalovacích motorů, různé podoby. Experimentálně je např.prokázáno, že odchylky mezi teplotou spalin v okolí zapalovací svíčky a na vzdálenějším místě spalovacího prostoru jsou cca 2500 C při normálním průběhu hoření a téměř 4000 C při výskytu detonačního spalování: v oblasti zapalovací svíčky přitom dochází k intenzivnějšímu odvodu tepla tělesem svíčky a přesto je tam teplota vyšší. Vojnov [1] na zjednodušeném příkladu vyhořívání náplně ve spalovací komoře stálého objemu (viz obr.1) ukazuje, že vrstva směsi, která shořela jako první v okolí ohniska zážehu (ohnisek vznícení), je vystavena účinkům adiabatického stlačování důsledkem vyhořívání dalších vrstev (elementárních objemů) ve spalovací komoře. Vrstva (elementární objem), která vyhoří jako poslední ve spalovací komoře, byla od počátku vyhořívání náplně adiabaticky (polytropicky) stlačována až na konečnou velikost spalovacího tlaku a při tomto tlaku potom vyhoří izobaricky. V tomto modelovém případu se uvažuje vyhořívání hořlavé směsi benzin-vzduch v nádobě válcového tvaru se zážehem na jednom konci nádoby: počáteční tlak náplně je p0 = 100 kPa, počáteční teplota T0 = 300 K, konečný tlak spalin v nádobě je pSP = 700 kPa Konečnému tlaku po izochorickém spálení náplně by podle stavové rovnice odpovídala střední teplota spalin T " SP = 2100 K , se započítáním molové změny pro produkty spalování b = 1,05 (zvětšení objemu spalin benzinové stechiometrické směsi) bude konečná hodnota střední teploty spalin T " SP TSP = = 2000 K .
b
Zvýšení teploty v nádobě bude DTSP = TSP - T0 = 1700 K . Za předpokladu, že první vrstva u ohniska zážehu (elementární objem) se spálí izobaricky (při tlaku p0 ), zvýší se teplota v této první c 1 vrstvě pouze o DTSP /1 = DTSP × v = 1700 × » 1350 K . cp 1,26 Pozn.1: Vojnov předpokládá střední hodnotu adiabatického exponentu
cp cv
spalin pro teploty
(300-1700) K ve velikosti 1,26. Teplota spalin po spálení první vrstvy potom tedy bude TSP /1 = T0 + DTSP /1 = 1650K . Při následném vyhořívání ostatní náplně válce budou spaliny z této první vrstvy adiabaticky
1
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
stlačovány: jejich konečná teplota po dosažení konečného tlaku pSP = 700 kPa potom bude k -1
1, 25-1
æp ö k æ 700 ö 1,25 TSP /1/ KON = TSP /1 × ç SP ÷ = 1650 × ç ÷ = 2435K . è 100 ø è p0 ø Pozn.2: Střední hodnota adiabatického exponentu pro spaliny v rozsahu teplot (1650-2500)K se předpokládá k = 1,25 . Poslední vrstva (elementární objem) směsi je před spálením adiabaticky stlačena z tlaku p0 na tlak 1, 36-1
æ p ö 1,36 pSP a její teplota se ještě před spálením zvýší na TSM / n = T0 × ç SP ÷ = 300 × 7 0 ,264 = 502 K . è p0 ø Pozn.3: Střední hodnota adiabatického exponentu pro směs v rozsahu teplot (300-500)K se předpokládá ve velikosti 1,36. Poslední vrstva se spálí prakticky izobaricky: zvýšení teploty při tomto izobarickém vyhoření (přívodu tepla) bude stejné, jako v případě spalování první vrstvy. Teplota spalin v poslední vrstvě (elementárním objemu) potom bude TSP / n / KON = 502 + 1350 = 1852 K . Výsledek tohoto zjednodušeného výpočtu ukazuje, že rozdíl mezi teplotou spalin v první vrstvě a teplotou spalin v poslední vrstvě je 583 K. Modelovou situaci ukazuje následující schema:
zážeh
2435 K
T 2000 K 1852 K
Obr.1: Schéma uzavřené nádoby naplněné hořlavou směsí (nahoře) a průběh teploty spalin v nádobě po úplném vyhoření směsi od vyznačeného místa zážehu
2
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
Analýzu postupného hoření náplně v uzavřeném objemu lze v nejjednodušším případě ukázat na změnách stavu náplně v nádobě s konstantním objemem, rozděleném na dvě stejně velké části (komory) pomyslným pístem, který zajišťuje dokonalou tepelnou izolaci – tj. s nulovým přestupem tepla mezi oběmi komorami. Přestup tepla stěnami do okolí je rovněž nulový. Tlak náplně v obou komorách má vždy stejnou velikost. Popsaný model je graficky znázorněn na uvedeném schématu: QP QL
p TL VL mL
p TP VP mP
Během výpočtu se uvažuje neproměnnost termodynamických vlastností látek náplně vyšetřovaného objemu v průběhu přívodu tepla i po jeho skončení. Při výpočtu stavových veličin v jednotlivých částech objemu je uvažován následující sled probíhajících dějů: 1. krok: přívod tepla QL do levé části doprovázený pohybem fiktivního pístu vpravo a tudíž vratnou adiabatickou (izoentropickou) kompresí pravé části objemu. 2. krok: přívod tepla QP do pravé části doprovázený pohybem fiktivního pístu vlevo a tudíž izoentropickou kompresí levé části objemu. Výpočet změn v obou komorách vychází z prvního zákona termodynamiky
dQ = dU + dW ,
(1)
který je platný pro všechny změny. Ten lze přepsat na tvar:
dQ = dU + pdV .
(2)
Pro další výpočet je důležitá základní podmínka určující vztah mezi oběma objemy: jak bylo uvedeno již dříve, jedná se o konstantní celkový objem, takže musí platit: VC = VL + VP .
(3)
VL = VC - V P .
(4)
Pro objem levé části pak platí:
Derivování tohoto výrazu podle času určuje, že změna jedné části se okamžitě projeví opačnou změnou objemu části druhé a lze tedy psát:
dVL = -dVP .
(5)
Tlak v obou objemech je vždy stejný, což zajišťuje podmínku vratnosti děje:
p L = pP = p . Z těchto dvou základních podmínek popisujících systém lze snadno vyvodit vztah: 3
(6)
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
pdVL = - pdVP .
(7)
Řešení ad 1) Za předpokladu ideálního plynu, lze pro levou část objemu napsat rovnici: dQL = cv × m L × dTL + p × dVL .
(8)
Pro pravou stranu platí vztah obdobný s tím, že přívod tepla není v tomto okamžiku ještě realizován, takže je roven nule: 0 = cv × m P × dTP + p × dVP . Ze stavové rovnice ideálního plynu p ×V = m × r × T lze snadno odvodit vztah pro změnu teploty: V p dT = dp + dV . mr mr Po dosazení (11) do (9) a úpravě dostaneme c c 0 = v VP dp + v pdV P + pdVP . r r Rovnici lze upravit na tvar æ r ö 0 = VP dp + çç1 + ÷÷ pdVP . è cv ø Podle Mayerových rovnic platí: r , k =1+ cv takže rovnice (13) přejde po úpravě na tvar: 0 = VP dp + kpdVP . Rovnici (8) přepíšeme s využitím vztahu (11) na tvar: c c dQL = v V L dp + v pdVL + pdVL . r r Po dosazení (4) a (5) do (16) obdržíme vztah: c c c dQL = v VC dp - v VP dp - v pdVP - pdVP . r r r Úpravou dostaneme: c c æc ö dQL = v VC dp - v VP dp - ç v + 1÷ pdVP . r r èr ø Podle Mayerových rovnic lze použít vztah c p cv = +1 , r r takže rovnice (18) přejde na tvar: cp c c dQL = v VC dp - v VP dp pdVP . r r r 4
(9) (10) (11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
Z rovnice (15) plyne:
1 pdVP = - VP dp . k
(21)
Po dosazení (21) do (20) dostaneme: cp 1 c c dQL = v VC dp - v VP dp + V P dp . (22) r r r k Opět s využitím Mayerovy rovnice cp = cv (23) k lze výraz (22) upravit na konečný tvar, vyjadřující přírůstek tlaku v systému (v obou částech je tlak stejný), způsobený přívodem tepla do levé části objemu: c (24) dQ L = v VC dp . r S použitím Mayerových rovnic lze výraz (24) přepsat do vhodnějšího tvaru: V (25) dQ L = C dp . k -1 Tento vztah lze odvodit i jinou cestou, avšak méně průkaznou - při přívodu tepla do objemu, kde neuvažujeme píst rozdělující objem na dvě části. Pro tento výpočet vyjdeme opět z prvního zákona termodynamiky, jak ho vystihuje vztah (2). Jelikož se jedná o konstantní celkový objem, dVC = 0 , můžeme vztah (2) zapsat ve tvaru (26) dQL = cv mC dTC , kde indexy c vystihují, že se jedná o veličiny týkající se celkového objemu. S použitím (11) a dVC = 0 přejde rovnice (26) na tvar
dQL =
cv VC dp , r
což je už dříve odvozená rovnice (24). Velikost změny tlaku v systému z počáteční hodnoty po na tlak p1 (po přívodu tepla do levé části objemu) získáme jednoduchou integrací vztahu (25): QL p VC 1 (27) dQ = ò0 L k - 1 pò dp . 0 Po integraci a úpravě dostaneme:
k -1 . (28) VC V pravé části objemu probíhá izoentropická komprese, takže změna stavu je jednoznačně určena rovnicí: (29) p 0VPk0 = p1VPk1 . p1 = p 0 + Q L
Pro objem pravé strany, po skončení izoentropické komprese, dostaneme:
5
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“. 1
VP1
æ p ök = V P 0 çç 0 ÷÷ . è p1 ø
(30)
Teplota je potom dána stavovou rovnicí:
TP1 =
p1VP1 . mP r
(31)
Pro výpočet objemu levé části lze vyjít z rovnice (4), takže VL1 = VC - VP1 .
(32)
Teplotu vypočteme opět ze stavové rovnice:
TL1 =
p1VL1 . mL r
(33)
Řešení ad 2) Obdobným způsobem jako pro případ 1 lze odvodit vztahy pro přívod tepla do pravé části, doprovázený izoentropickou kompresí části levé. To znamená, že rovnici (25) lze analogicky přepsat na tvar
dQP =
VC dp . k -1
(34)
Integrací vztahu (34) obdržíme analogický vztah předchozímu případu, který můžeme dále upravit s použitím vztahu (28): k -1 k -1 k -1 . (35) p 2 = p1 + QP = p 0 + QL + QP VC VC VC Izoentropická komprese levé části určuje jednoznačně její objem: 1
VL 2
æ p ök = VL1 çç 1 ÷÷ . è p2 ø
(36)
Teplota je pak dána:
TL 2 =
p 2VL 2 . mL r
(37)
Objem pravé části určuje rovnice (3): VP 2 = VC - VL 2 . Teplota této části po skončení přívodu tepla je dána stavovou rovnicí: pV TP 2 = 2 P 2 . mP r
(38) (39)
Tyto změny, kterými uvažovaný systém prošel, lze pro názornost zakreslit do p-V diagramu.
6
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
p
P2
L2
p2
k
QP
p1
P1
L1
k
QL
p0 L0 = P1 VP1
VP2 VL0 = VP0 VL2
V
VL1
Obr.2: V p-V diagramu jsou vyšetřované změny v obou komorách 1. kroku znázorněny zrcadlově symetrickým obrazcem podle izochory VL 0 = VP 0 . Přívod tepla je znázorněn polytropou QL, zrcadlově obrácenou k zakreslené izoentropě k. Objemové práce přenášené mezi jednotlivými komorami mají stejnou velikost. Pro konečný stav náplně v objemech VL a VP je rozhodující konečná velikost objemů VL2 a VP2. Konečnou velikost VL2 určuje rovnice (36), kterou můžeme s využitím vztahů (4), (28), (30) a (35) upravit do podoby 1
VL 2
é k -1 æ öù é ùk p 0 + QL ç ÷ú ê ê ú p0 VC ÷ú × ê ú . = êVC - VP 0 ç ç k - 1 ÷ú ê k -1 k -1 ú ê p0 + Q L + QP ç p 0 + QL ÷ ê VC øúû êë VC VC úû è ë
(40)
Další úprava vychází z podmínek řešeného případu
QL = QP =
QC 2
a
VP 0 =
VC 2
(41)
a vede k rovnici
VL 2
é Q æ öù é ç ÷ú ê p0 + C ê p0 2 1 ÷ú × ê = VC ê1 - ç ç ÷ QC k - 1 ú ê ê 2 p 0 + QC ç p0 + ÷ ê 2 VC øúû êë è ë
7
1
k -1ùk
VC ú ú k -1 ú VC úû
.
(42)
Technická univerzita v Liberci, fakulta strojní, katedra vozidel a motorů Prof. Ing. Stanislav Beroun, CSc, Ing. Karel Páv, Ph.D.: Lokální teploty při postupném hoření směsi v uzavřeném objemu. Studijní texty k předmětu „Prostředky zvyšování parametrů PSM“.
Vzájemný poměr objemů VL2 a VP2 po dokončení přívodu tepla pro řešený případ s postupným přívodem tepla do jednotlivých (stejně velkých) objemů závisí na počátečním stavu náplně Q v uzavřeném objemu a na „výhřevnosti“ náplně (poměru C ). VC Příklad teoretického rozdělení fiktivních objemů na konci vyšetřovaného procesu s postupným přívodem tepla (vyhoření náplně) do jednotlivých (zpočátku stejně velkých) objemů je ukázán na spalování stechiometrické směsi zemní plyn-vzduch pro dva různé počáteční stavy: a).
po = 100 kPa, To = 300 K,
QC @ 3 MJ/m3 : VC
VL 2 = 0,5967 × VC
p2 = 1,3MPa
b).
po = 1 MPa,
To = 600 K,
QC @ 8,75 MJ/m3 : VC
VL 2 = 0,5755 × VC
p2 = 4,5MPa
Výsledek ukazuje rozdílnost objemů v obou komorách po postupném přívodu tepla do obou komor (tj. realizovaných kroky 1 a 2): objem v levé komoře, do které se teplo přivedlo v 1. kroku, je i po přívodu tepla do pravé komory větší než objem pravé komory. Ze stavové rovnice je potom zřejmé, že konečná teplota v levé komoře musí být větší než konečná teplota v pravé komoře – potvrzuje to správnost úvahy k výpočtu rozložení teplot v náplni při postupném vyhořívání směsi v uzavřeném objemu, ukázané v první části tohoto článku.
[1]Vojnov,A.,N.: Processy sgoranija v bystrochodnych poršněvych dvigateljach. Mašinostrojenije, Moskva, 1965.
8
