POSLOUPNOSTI A ŘADY
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2010
2
Posloupnosti
Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Posloupnosti
3
Obsah Posloupnosti a řady .................................................................................................................... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti .............................................................................................. 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti .......................................................................................... 7 Varianta A .......................................................................................................................... 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti .......................................................................................... 8 Varianta B .......................................................................................................................... 8 Posloupnosti a jejich vlastnosti .......................................................................................... 9 Varianta C .......................................................................................................................... 9 Aritmetická posloupnost ...................................................................................................... 10 Aritmetická posloupnost .................................................................................................. 11 Varianta A ........................................................................................................................ 11 Aritmetická posloupnost .................................................................................................. 13 Varianta B ........................................................................................................................ 13 Aritmetická posloupnost .................................................................................................. 15 Varianta C ........................................................................................................................ 15 Geometrická posloupnost ..................................................................................................... 17 Geometrická posloupnost ................................................................................................. 18 Varianta A ........................................................................................................................ 18 Geometrická posloupnost ................................................................................................. 20 Varianta B ........................................................................................................................ 20 Geometrická posloupnost ................................................................................................. 22 Varianta C ........................................................................................................................ 22 Limita posloupnosti .............................................................................................................. 24 Limita posloupnosti .......................................................................................................... 29 Varianta A ........................................................................................................................ 29 Limita posloupnosti .......................................................................................................... 31
4
Posloupnosti
Varianta B ........................................................................................................................ 31 Limita posloupnosti .......................................................................................................... 33 Varianta C ........................................................................................................................ 33 Nekonečná geometrická řada ............................................................................................... 35 Nekonečná geometrická řada ........................................................................................... 37 Varianta A ........................................................................................................................ 37 Nekonečná geometrická řada ........................................................................................... 39 Varianta B ........................................................................................................................ 39 Nekonečná geometrická řada ........................................................................................... 41 Varianta C ........................................................................................................................ 41
Posloupnosti
5
Posloupnosti a řady Posloupnosti a jejich vlastnosti
Definice funkce Funkce na množině
je předpis, který každému číslu
jedno reálné číslo. Množina
z množiny
přiřazuje právě
se nazývá definiční obor funkce.
Definice posloupnosti Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina
všech přirozených čísel, se nazývá
nekonečná posloupnost. , kde
Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel pevně dané číslo z
0
je
, se nazývá konečná posloupnost.
Rozdílný způsob zápisu u funkce a posloupnosti: Funkce
Posloupnosti
Hodnota funkce v bodě 3 je 8
hodnota posloupnosti v bodě 3 je 8
3
8
3
8
(čteme: třetí člen posloupnosti je 8) 0 (čteme: n-tý člen posloupnosti je 0)
Hodnota funkce v bodě n je 0 Zápis funkce: :
2
1
Zápis posloupnosti: 2
∞
1
Zápis posloupnosti 1.) vzorcem pro n-tý člen ……………………….. např. 3
∞
1;
5
2
∞
2.) rekurentně (v latině recurrere = vraceti se) V posloupnosti jsou dány první člen nebo první členy a vzorec, podle kterého vypočítáme další členy na základě znalosti členů předchozích. Nevýhodou je, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, jestliže známe předcházející členy.
6
Posloupnosti
Vlastnosti posloupností Posloupnost Je-li
1
se nazývá rostoucí, právě když pro všechna ,
, pak
Posloupnost Je-li
∞
platí:
. ∞
1
se nazývá klesající, právě když pro všechna ,
, pak
platí:
.
Posloupnost
∞
1 je
rostoucí, právě když pro všechna
je
1.
Posloupnost
∞
1 je
klesající, právě když pro všechna
je
1.
Posloupnost Je-li
1
se nazývá neklesající, právě když pro všechna přirozená čísla , platí:
, pak
Posloupnost Je-li
∞
. ∞
1
se nazývá nerostoucí, právě když pro všechna přirozená čísla , platí:
, pak
.
Posloupnost
∞
1 je
neklesající, právě když pro všechna
je
1.
Posloupnost
∞
1 je
nerostoucí, právě když pro všechna
je
1.
Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost
∞
pro všechna Posloupnost pro všechna
1
se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo
je ∞
1
.
se nazývá zdola omezená, právě když existuje reálné číslo
je
takové, že
.
Posloupnost se nazývá omezená, je-li omezená shora a zároveň zdola.
takové, že
Posloupnosti
7
Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta A Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně:
5,
·
;
.
2;
.
Příklad: 5 ·
1
·
2
·
3
·
4
·
5
·
6
10
16
Příklad: Varianta A Výsledek řešení: 5; ; 10;
Varianta B
;
; ; 16
Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1,
1,
;
.
Řešení: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1,
2,
·
·
8;
.
Řešení: 1; 2; 4; 1; 2; 4; 1 3.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně:
3,
Řešení: 3; 5; 7; 9; 11; 13 4.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: Řešení: 3; 6; 12; 24; 48; 96
3,
2
;
.
Posloupnosti
8
Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta B vyjádřete rekurentně.
Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen
Příklad: 2 ; ·
· 2
2;
1
·
Příklad: Varianta A Výsledek řešení:
Varianta B
2;
·
Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen Řešení:
3,
2
1
2.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 Řešení:
2,
vyjádřete rekurentně.
2
3.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 Řešení:
2,
2,
vyjádřete rekurentně.
2
4.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen Řešení:
vyjádřete rekurentně.
·
·2
vyjádřete rekurentně.
Posloupnosti
Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta C 2
Rozhodněte, zda je posloupnost
4
rostoucí či klesající.
Příklad: 2 1
2
1
Posloupnost je rostoucí, protože pro každé 2
4
2
4
4
2
4
2
3
je
3
2
4
Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Posloupnost je rostoucí.
Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, zda je posloupnost
2
3
rostoucí či klesající.
Řešení: Posloupnost je klesající. 2.) Rozhodněte, zda je posloupnost
4
4
rostoucí či klesající.
Řešení: Posloupnost je klesající od druhého členu. 3.) Rozhodněte, zda je posloupnost
rostoucí či klesající.
Řešení: Posloupnost je rostoucí. 4.) Rozhodněte, zda je posloupnost Řešení: Posloupnost je klesající.
rostoucí či klesající.
9
10
Posloupnosti
Aritmetická posloupnost Jde o speciální typ posloupnosti. Posloupnost
∞
1
se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo , že pro
každé přirozené číslo
je 1
Číslo
se nazývá diference posloupnosti.
Platí tedy pro každé
, že 1
V aritmetické posloupnosti platí: 1
1
; Pro součet
prvních
š
členů aritmetické posloupnosti
, ∞
1,
tedy pro
1
2
platí 2
·
1
Vlastnosti aritmetických posloupností Aritmetická posloupnost s diferencí
je rostoucí pro
Pro aritmetickou posloupnost s diferencí
0 a klesající pro
platí:
a) je-li
0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená.
b) je-li
0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená
c) je-li
0, pak je omezená shora i zdola.
0.
3
Posloupnosti
Aritmetická posloupnost Varianta A Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 10 :
2
Příklad: Vyjádříme všechny členy v soustavě rovnic pomocí prvního členu: 3
4
6 20
7
10
2
Po úpravě dostaneme soustavu 4
20 20
10 2
20 , což dosadíme do rovnice první
Z druhé rovnice plyne, že 4 · 20
20
10
100
10
Dopočítáme první člen 20 · 0,1 Řešení úlohy tedy je:
2,
2
0,1.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
2,
0,1.
0,1
11
12
Posloupnosti
Příklady k procvičení: 1.) V aritmetické posloupnosti je
20,
4. Kolikátý člen je roven číslu 100?
Řešení: 21. člen 2.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 2 8 Řešení:
3,
2
3.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 2
Řešení:
,
4.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 6 15 Řešení: NŘ
Posloupnosti
13
Aritmetická posloupnost Varianta B Řešte rovnici s neznámou
:
5
6
15
16
25
26
1 221
Příklad: Na levé straně máme dvě aritmetické posloupnosti (liché členy a sudé členy), obě s diferencí 10. Určíme součet lichých členů 2
1
2 2
5
5
1 10
6
6
1 10
Obdobně určíme součet sudých členů 2 a dosadíme do původní rovnice 2
5
5
1 10
2
6
6
1 10
1 221
Upravíme 2
10
10
10 5
2
1
1
Neznámá
4 · 10 · 2 · 10
10
5
10
1 221
1 221
10 ,
12
1 221 1 221
0 1
√48 841 20
1
221 20
musí být z množiny přirozených čísel, takže rovnice má pro nás pouze jedno
řešení, přicházející v úvahu 11 Takže
je 22. člen na levé straně, což je jedenáctý člen posloupnosti tvořené ze sudých členů,
proto 10 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
106
6
100
106
14
Posloupnosti
Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou
: 4
Řešení:
1
270
:
6
11
16
21
26
970
96
3.) Řešte nerovnici s neznámou 3 Řešení:
8
32
2.) Řešte rovnici s neznámou Řešení:
6
: 6
9
12
3
999
26; 27; 28; …
4.) Určete součet všech přirozených čísel, která vyhovují nerovnici 12 Řešení:
59
1 711
2 ·5 3
5
15 3
50
10
Posloupnosti
15
Aritmetická posloupnost Varianta C 18. Určete podmínku pro diferenci tak, aby
V aritmetické posloupnosti známe třetí člen platilo
150.
Příklad: Vyjádříme součet prvních devíti členů 9 2 První člen vyjádříme pomocí třetího členu 2
18
2
6
18
6
6
Devátý člen vyjádříme pomocí třetího členu Dosadíme do součtu 9 18 2
2
18
9 36 2
4
150
9 18
2
150
18
2
50 3
2
50 3
18
Součet má být menší nebo roven 150
2
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
4 3 2 3
16
Posloupnosti
Příklady k procvičení: 1.) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin 7 500. Určete tato čísla. Řešení: 15; 20; 25 2.) Mezi kořeny kvadratické rovnice
10
16
0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu
s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti. Řešení: 2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 3.) V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, víte-li, že platí:
60
170. Řešení:
8,
2
4.) V aritmetické posloupnosti je první člen
10 a diference
který je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích. Řešení:
4,
30
2. Vypočítejte člen,
Posloupnosti
17
Geometrická posloupnost Jde o další speciální typ posloupnosti. Posloupnost
∞
1
se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo , že pro
každé přirozené číslo
je ·
1
Číslo
se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
Platí tedy pro každé
, že 1
V geometrické posloupnosti platí: 1
· Pro součet a) je-li
prvních
1
·
š
, ∞
členů geometrické posloupnosti
1
s kvocientem
1, pak 1
b) je-li
1, pak 1
1 1
·
Vlastnosti geometrických posloupností ∞
Geometrická posloupnost
1
a) rostoucí, právě když
1
0,
b) klesající, právě když
1
0; 0
Geometrická posloupnost a) je omezená, právě když | |
∞
s kvocientem 1 nebo
1
1
je 0,
1 nebo
1 0,
1
1
s kvocientem
1 nebo
1
0
b) je zdola omezená, ale není shora omezená, právě když
1
0,
1
c) je shora omezená, ale není zdola omezená, právě když
1
0,
1
d) není omezená ani shora, ani zdola, právě když
1
0,
1
platí:
18
Posloupnosti
Geometrická posloupnost Varianta A Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: ·
9 10
Příklad: Vyjádříme všechny členy v soustavě pomocí prvního členu · ;
·
a dosadíme do soustavy ·
·
·
·
9
·
10
Po úpravě 9 10 Z druhé rovnice vyjádříme neznámou
a dosadíme do první rovnice 10 100
·
9
·
9
Upravíme 100 1 Po zkrácení dostáváme 100 100
9 1 9
18
9
Posloupnosti
Máme kvadratickou rovnici 82
9 82
82 2·9
,
Úloha má tedy dvě řešení:
9
;
0
4·9·9
82
80 18
81 nebo
´
9;
´
Příklad: Varianta A ;
Výsledek řešení:
Varianta B
81 nebo
´
9;
´
Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 1,5 Řešení:
0,5;
40,5
3
2.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 110 220 Řešení:
22;
2
3.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 360 144 Řešení:
3;
2
4.) V geometrické posloupnosti je Řešení: 12. člen
3 072; 64,
. Kolikátý člen je roven číslu
?
19
20
Posloupnosti
Geometrická posloupnost Varianta B Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti 16;
, ve které platí:
4
Příklad: Určíme kvocient geometrické posloupnosti jako podíl druhého a prvního členu 4 16
1 4
Nyní můžeme použít vzorec pro součet členů geometrické posloupnosti 1 1 do kterého dosadíme 1 4 1 4
16 ·
1 1
16 ·
1 048 575 1 048 576 5 4
64 1 048 575 · 5 1 048 576
209 715 16 384
Příklad: Varianta A Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte součet prvních devíti členů geometrické posloupnosti 8, Řešení:
1
72
2.) Vypočítejte součet prvních jedenácti členů geometrické posloupnosti platí: 2, Řešení:
, ve které platí:
1 366
2
, ve které
Posloupnosti
3.) Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti 6, Řešení:
tak, aby platilo Řešení:
, ve které platí:
1
0
4.) V geometrické posloupnosti známe první člen
10
8 200.
a kvocient
21
2. Určete
22
Posloupnosti
Geometrická posloupnost Varianta C Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 84 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 64
Příklad: Označme hrany kvádru , , postupně
,
,
· .
Objem kvádru je dán vztahem ·
·
Po dosazení ·
·
·
64
4
Součet všech hran kvádru o stranách , , je 4
4
4
Po dosazení 4 Dosadíme
4
4
84
4 16
16
16
84
Po úpravě
17 ,
16
68
16
4
17
4
17 2·4 4;
0 0
4·4·4
17
15 8
1 4
.
Posloupnosti
Hledané délky hran kvádru jsou: 1
, 4
23
, 16
Můžeme tedy vypočítat povrch podle vzorce 2 2 1·4
1 · 16
4 · 16
168
Příklad: Varianta A
168
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 10
1.) Mezi kořeny kvadratické rovnice
16
0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu
s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti. Řešení: 2; 2 √4; 2 √16; 4 √2; 4 √8; 8 2.) V geometrické posloupnosti s prvním členem
36 určete kvocient tak, aby platilo:
252 3; 2
Řešení:
9 . Určete
3.) V geometrické posloupnosti platí: Řešení:
\0,
, .
2
4.) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 38, součet následujících tří členů této posloupnosti je Řešení:
18,
. Vypočítejte ,
, ,
.
24
Posloupnosti
Limita posloupnosti Pojem limita posloupnosti je dosti náročný, proto si ho objasníme nejprve na příkladu: 1
,
Vypište prvních šest členů posloupnosti
·
2 a vyznačte jejich
obrazy v soustavě souřadnic. Určíme prvních šest členů dosazením do předpisu posloupnosti za . 9 ; 5
21 ; 10
29 ; 15
41 ; 20
Z obrázku vidíme, že prvních šest členů posloupnosti
49 ; 25
61 30
se stále více přibližuje číslu 2.
Lze říci, že se postupně zmenšuje vzdálenost obrazu členů posloupnosti od čísla 2. Vypočítáme si |
2| pro prvních šest členů posloupnosti:
|
2|
|
2|
|
2|
1 5 1 10 1 15
|
2|
|
2|
|
2|
1 20 1 25 1 30
7 je |
Pokusme se dokázat, že pro všechna přirozená čísla 1
·
1 5
2
2
1
, pro která platí |
Vypočítáme tedy všechna
·
1 5
2| |
2|
1 5
2|
Tedy 1 5 7 je |
Pro všechna přirozená čísla
1 30
2|
.
6
, např. 10 , a pokusme se najít přirozené číslo
Zkusme zvolit ještě menší číslo než
platilo |
takové, aby pro všechna přirozená čísla |
2| 1 5 5
2|
10 .
10 10
10 000 2 000
To znamená, že podmínka je splněna od 2 001. členu. Je tedy zřejmé, že ať zvolíme jakékoliv kladné reálné číslo ε, vždy najdeme takové je |
pro všechna
2|
Říkáme, že posloupnost
, že
. 1
,
·
2 je konvergentní a číslo 2 nazýváme
1 5
2
limita této posloupnosti. Zapisujeme lim
Říkáme, že posloupnost platí: Ke každému
1
·
2
je konvergentní, právě když existuje číslo
0 existuje
|
|
Číslo
se nazývá limita posloupnosti
tak, že pro všechna přirozená čísla
. .
Zapisujeme lim (čteme: limita
pro n jdoucí k nekonečnu je rovna a).
Posloupnosti, které nejsou konvergentní, se nazývají divergentní.
takové, že je
26
Posloupnosti
Definici limity můžeme vyslovit také takto: Číslo
se nazývá limita posloupnosti
existuje
, právě když ke každému kladnému číslu ε platí |
tak, že pro všechna přirozená čísla
|
.
Definici konvergence posloupnosti můžeme zapsat také takto: je konvergentní, právě když existuje číslo
Říkáme, že posloupnost 0 existuje
platí: Ke každému ε ;
tak, že pro všechna přirozená čísla
takové, že je
.
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Věty o limitách posloupností 1.) Jestliže posloupnosti
,
jsou konvergentní a přitom lim
, lim a platí:
pak je konvergentní i posloupnost lim
je konvergentní a
2.) Jestliže posloupnost i posloupnost
3.) Jsou-li
lim
lim
je divergentní, pak je divergentní
.
,
konvergentní posloupnosti, a platí lim ·
pak je konvergentní i posloupnost lim
, lim
·
a platí: lim
· lim
·
Posloupnosti
4.) Jestliže posloupnosti
,
jsou konvergentní a přitom , lim
lim pak je konvergentní i posloupnost
a platí:
lim
5.) Je-li posloupnost
27
lim
lim
konvergentní a platí lim ·
pak je konvergentní i posloupnost lim
6.) Jsou-li
,
, kde je libovolné reálné číslo a platí
·
· lim
konvergentní posloupnosti, a platí , lim
lim a přitom
0a
·
0 pro všechna
, pak je konvergentní i posloupnost
platí: lim
lim
7.) Platí, že
lim
je konvergentní posloupnost a lim
1
0
Konvergence aritmetických a geometrických posloupností Aritmetická posloupnost Aritmetické posloupnosti s diferencí s diferencí
0 jsou konvergentní, aritmetické posloupnosti
0 nejsou omezené, proto jsou divergentní.
Geometrická posloupnost
a
28
Posloupnosti
1, není omezená, a proto není konvergentní.
Geometrická posloupnost, ve které je | |
1 je konvergentní, její limita je
Geometrická posloupnost s kvocientem posloupnost, ve které je | |
1.
Geometrická
1, je konvergentní a její limita je 0.
Nevlastní limita posloupnosti Říkáme, že posloupnost reálné číslo
existuje
má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé takové, že pro všechna přirozená čísla
je
.
Zapisujeme lim
Říkáme, že posloupnost každé reálné číslo
existuje
∞
má nevlastní limitu minus nekonečno, právě když pro takové, že pro všechna přirozená čísla
je
Zapisujeme lim
∞
Posloupnosti, které mají nevlastní limitu ∞ nebo ∞, nepatří mezi konvergentní posloupnosti; jsou to posloupnosti divergentní. Pokud tedy používáme pojem limita, máme vždy na mysli vlastní limitu. Pro každou posloupnost
nastane právě jeden z těchto případů:
1.) Posloupnost je konvergentní a její limitou je nějaké reálné číslo : lim 2.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu ∞: lim
∞
3.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu ∞: lim
∞
4.) Posloupnost je divergentní a přitom nemá ani nevlastní limitu ani nevlastní limitu ∞.
∞,
.
Posloupnosti
Limita posloupnosti Varianta A Je dána posloupnost
,
.
a) vypište prvních devět členů této posloupnosti b) dokažte, že pro všechna
1; 2 .
je
10 je |
c) ověřte, že pro všechna přirozená čísla
1|
d) je-li posloupnost konvergentní, určete její limitu
Příklad: 2;
a) b)
;
0;
1
2
3
3
0
3
;
;
;
;
;
2 1
CBD
1
c)
6
CBD
d) lim
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
3
3 lim
3 lim
1 1
lim
3
lim 1
lim 1
0
1 1
1
29
30
Posloupnosti
Příklady k procvičení: ,
1.) Je dána posloupnost
. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. , pro která platí |
1 a určete všechna
Zvolte
1|
.
Řešení: 2.) J e dána posloupnost
,
, pro která platí |
0,5 a určete všechna
Zvolte
,
3.) J e dána posloupnost Zvolte
5 · 10
Řešení:
19
Řešení:
.
. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. , pro která platí |
a určete všechna
4.) Je dána posloupnost |
1|
1
Řešení:
|
. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1.
,
,
0,2
.
. Ověřte, že pro všechna přirozená čísla
0,2. ,
1|
10
10 je
Posloupnosti
Limita posloupnosti Varianta B Rozhodněte, které z posloupností jsou konvergentní a určete jejich limity. a)
b)
c)
d)
Příklad: a) posloupnost je konvergentní lim
5
3
5
3
lim
0
1
b) posloupnost je divergentní c) posloupnost je konvergentní lim
3
5
7 6
2
lim
5
3
7
3 2
6
2
d) posloupnost je konvergentní lim
5
8 7
6 3
5 lim
8 7
6 3
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:a) K; 0. b) D. c) K; . d) K; 0.
0
31
32
Posloupnosti
Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: 1
lim 3 Řešení: 3 2.) Vypočítejte: 7
lim
5
Řešení: 0 3.) Vypočítejte: lim
6
Řešení: 0 4.) Vypočítejte: lim Řešení: 4
1
4
Posloupnosti
Limita posloupnosti Varianta C Vypočítejte: lim
1
2 2
3
Příklad: V čitateli máme aritmetickou posloupnost s diferencí
1, takže určíme její součet.
1
2 Dosadíme do čitatele lim 2 2
1
1
lim
3
4
6
Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení:
Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: lim
3 1
2 2
Řešení: 3 2.) Vypočítejte: lim Řešení: 0
2
1 2
lim
4
1 6
1 4
33
34
Posloupnosti
3.)Vypočítejte: lim
2 2
2
Řešení: 4.) Vypočítejte: lim Řešení:
2
1 3
Posloupnosti
35
Nekonečná geometrická řada Je dána geometrická posloupnost posloupnost
, pro jejíž koeficient
platí | |
1. Vytvořme
částečných součtů:
… Lze dokázat, že tato posloupnost je konvergentní. Je-li
platí | |
geometrická posloupnost, pro jejíž kvocient ,
1, pak posloupnost
je konvergentní a platí lim
1
.
Důkaz: Protože | |
1, je posloupnost
limitu posloupnosti lim
lim
konvergentní a její limita je 0. Vypočítáme tedy
. 1 1
·
1
· lim
lim 1
1
· 0
1
1
Nekonečnou geometrickou řadou se nazývá symbol , který se zapisuje též ve tvaru
a čteme „ suma
od
Pokud je posloupnost
rovno jedné do nekonečna“. konvergentní, říkáme, že nekonečná řada
je konvergentní, a limitu nazýváme součet nekonečné řady. Jestliže posloupnost divergentní, říkáme, že nekonečná řada je divergentní.
je
36
Posloupnosti
Je-li nekonečná řada konvergentní a je-li její součet roven , pak zapisujeme
Symbolem sumy tedy označujeme nejen nekonečnou řadu, ale také její součet, pokud existuje. Nekonečná geometrická řada , ve které
0, je konvergentní, právě když pro její kvocient
Pro součet konvergentní nekonečné geometrické řady platí 1
platí | |
1.
Posloupnosti
Nekonečná geometrická řada Varianta A Periodické číslo 5,487 zapište zlomkem v základním tvaru.
Příklad: Číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru: 54 · 10
87 · 10
87 · 10
87 · 10
…
Uvažujme tedy nekonečnou geometrickou řadu 87 · 10
87 · 10
87 · 10
…
čili řadu 87 · 10 Jde o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem (| |
10 . Tato řada je konvergentní
1) a její součet 87 · 10 1 10
1
87 1000 99 100
Takže číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru 54 10
87 990
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
5 433 990
1811 330
87 990
37
38
Posloupnosti
Příklady k procvičení: 1.) Periodické číslo 0; 8 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 2.) Periodické číslo 0, 370 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 3.) Periodické číslo 1,032 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 4.) Periodické číslo 25,67 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení:
Posloupnosti
Nekonečná geometrická řada Varianta B Určete, pro která
je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její
součet. 4
Příklad: Řadu můžeme rozepsat 4
4
4
Kvocient tedy je 1
4
4
Aby byla řada konvergentní, musí platit | |
1. 1
1
4 4
Najdeme nulový bod absolutní hodnoty 1.) V intervalu
∞; 4 je výraz v absolutní hodnotě záporný, takže řešíme nerovnici 1
1
4
Jmenovatel na levé straně je záporný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem musíme změnit znaménko nerovnosti 1 1 2.) V intervalu
4
4
5
∞; 5
4; ∞ je výraz v absolutní hodnotě kladný, takže řešíme nerovnici 1
1
4
Jmenovatel na levé straně je kladný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem neměníme znaménko nerovnosti 1
4
1
4
3
3; ∞
39
40
Posloupnosti
∞; 5
Řada je tedy konvergentní pro
3; ∞ .
Pak můžeme určit její součet 1 1
1
4 1
4 4
4
1
Příklad: Varianta A ∞;
Výsledek řešení:
Varianta B
5
3; ∞ ;
Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Určete, pro která
je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její
součet. 2 ;
Řešení:
4
16
8
;
2.) Určete, pro která
je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její
součet. 1 Řešení:
2
0; 1 ;
3.) Určete, pro která
je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její
součet. 2 Řešení:
3
0,01; 01 ;
4.) Řešte rovnici s neznámou 1 Řešení:
0,3
3
9
10
Posloupnosti
41
Nekonečná geometrická řada Varianta C Nad výškou rovnostranného trojúhelníka
je sestrojen rovnostranný trojúhelník
nad jeho výškou je sestrojen rovnostranný trojúhelník
atd. Postup se stále opakuje.
Jak velký je součet obsahů všech trojúhelníků, má-li strana trojúhelníka Příklad:
Výška v trojúhelníku
je √3 2
Obsah tohoto trojúhelníku tedy je · √3 4 Výška v trojúhelníku
je 3 4
3 16
3 4
Obsah tohoto trojúhelníku je √3 3 · 2 4 2
3√3 16
Určíme kvocient jako podíl obsahů 3√3 16 √3 4
3 4
délku ?
,
Posloupnosti
42
Pak součet řady je √3 4
1
1
√3
3 4
Příklad: Varianta A
√3
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Do čtverce o délce strany
je vepsána kružnice, do ní je znovu vepsán čtverec, do tohoto
čtverce je vepsána opět kružnice atd. Vypočítejte součet obsahů všech takto získaných čtverců. 2
Řešení:
,
2.) Vypočítejte délku „nekonečné“ spirály, která vznikne spojením bodů
,
,…
0; 0 , krajní body jsou
čtvrtkružnicemi. Střed první čtvrtkružnice je v bodě 4; 0 ;
,
0; 4 . Střed druhé čtvrtkružnice je v bodě
0; 4 ,
2; 2 . Střed třetí čtvrtkružnice je v bodě
2; 2 ;
1; 1 . Střed čtvrté čtvrtkružnice je v bodě
1; 1 ;
0,5; 1,5 . Tento postup stále opakujeme.
0; 2 , krajní body jsou
1; 2 , krajní body jsou 1; 1,5 , krajní body jsou
4
Řešení:
3.) Vypočítejte délku „nekonečné“ lomené čáry, která se skládá z úseček ,
,
1; 0 ;
,
, …. Souřadnice krajních bodů úseček jsou
1; 1 ;
0; 1 ;
0; 0,5 ;
0,5; 0,5 ;
4.) V daném rovnostranném trojúhelníku
o straně
na stranu
, patu kolmice označte
průsečík této rovnoběžky se stranou , průsečík strany
Patu kolmice z bodu vedené bodem lomené čáry Řešení: 12
0,25; 0,75 ;
0,25; 0,625 …
4
Řešení:
označte
0,5; 0,75 ;
označte označte
sestrojte kolmici z vrcholu
veďte rovnoběžku se stranou . Patu kolmice z bodu
a rovnoběžky se stranou
na stranu
označte
. Bodem
6
vedené bodem
, průsečík strany
na stranu označte
.
a rovnoběžky s
. Tento postup stále opakujte. Vypočítejte délku „nekonečné“ …, která vznikne uvedeným způsobem.
6√3
,
