PORTEFEUILLE-OPTIMALISATIE MET ECONOMIC CAPITAL

&

FINANCE

CONTROL

Treasury management

Hoger re nde me nt me t ee nzelfde r isico

PORTEFEUILLE-OPTIMALISATIE MET ECONOMIC CAPITAL Met het steeds meer liquide worden van de secundaire markt voor leningen wordt het aantrekkelijker om te sturen in de sectorale verdeling van een kredietportefeuille. In dit artikel tonen de auteurs aan de hand van een specifieke kredietportefeuille aan hoe het economic capital kan worden beïnvloed door gericht specifieke delen van de portefeuille te verkopen en deze te vervangen door leningen in sectoren die goed diversifiëren met de rest van de portefeuille. Tot slot vergelijken zij hun eigen analyse met de traditionele Markowitzoptimalisatie. D O O R M A R CO F O L P M E R S E N P E T E R D E R I J K E

I

n dit artikel zullen wij aan de hand van een specifieke kredietportefeuille aantonen hoe het economic capital (EC) kan worden beïnvloed door gericht specifieke delen van de portefeuille te verkopen en deze te substitueren door leningen in sectoren die goed diversifiëren met de rest van de portefeuille. Wij houden de omvang van de totale portefeuille gelijk en ook de kredietkwaliteit van de portefeuille (zoals gemeten met het expected loss, waarin alle risicoparameters zijn verwerkt), zodat de lagere uitkomst van de risicomaatstaf na gerichte syndiceringsactiviteiten geheel op het conto komt van het diversificerende effect. De portefeuilletheorie voor een aandelenportefeuille bestaat al een aantal decennia. Hierbij wordt de ‘Markowitz efficient frontier’ berekend. Deze geeft aan wat het optimale rendement is bij een gegeven risico of wat het geringste risico is bij een gegeven rendement. Tegelijk geeft deze portefeuilletheorie aan wat de gewichten per aandeel zijn bij deze optimale uitkomsten. De Markowitz efficient frontier is vernoemd naar Harry Markowitz die in 1990 de Nobelprijs voor economie won. Het is opmerkelijk dat de optimalisatietheorie voor kredietportefeuilles veel minder goed ontwikkeld is. Dat is te verkla-

ren uit het feit dat het lastiger is om het risico van een leningenpool te kwantificeren vanwege twee omstandigheden: ~ Het structureel meten van de risicoparameters van leningen (exposure at default (EAD), probability of default (PD) en loss given default (LGD)) is pas in de jaren negentig van de vorige eeuw gestart, waarbij deze ontwikkeling een extra impuls heeft gekregen door het Basel II-akkoord uit 2004. ~ Het omzetten van deze parameters in een eenduidige risicomaatstaf is pas medio jaren negentig op een dominante wijze vormgegeven met het ontstaan van de value-at-riskmaatstaf. Deze ontwikkeling is vooral te danken aan de publicatie van het portefeuillemodel van J.P. Morgan. Het EC dat banken dienen te berekenen in het kader van de Basel II-standaard is veelal een directe afgeleide van deze value-at-risk. Het is voorstelbaar dat het portefeuillemanagement voor kredietportefeuilles enigszins is achtergebleven ten opzichte van dat voor aandelenportefeuilles, omdat lange tijd aandelen gemakkelijker verhandelbaar waren dan leningen. Echter, met de enorme opkomst van een secundaire markt voor leningen zijn leningen aanzienlijk meer liquide geworden. Voorbeelden van deze secundaire markt zijn mortgage backed securities

AUGUSTUS 2007

|

39

W W W. K L U W E R F I N A N C I E E L M A N A G E M E N T. N L

&

FINANCE

CONTROL

Signed international syndicated credit facilities

Figuur 1

700

Ontwikkeling van syndicering wereldwijd (1992-2006)

600

USD bln

500

400 18

2 300

200

100 13

5

0 1992

1994 1996 Developed countries Offshore centers

1998

2000

2002

2004

2006

6

Developing countries International organizations

12 7

Figuur 3 Sectorale verdeling

(MBS), collateralized debt obligations (CDO) en syndicering. De BIS-bank houdt statistieken bij van deze laatste vorm van secundaire verhandeling. De ontwikkeling van syndicering tot een verhandeld niveau van circa US$ 500 miljard per kwartaal is weergegeven in figuur 1.

2 Banks 12 Oil & gas 5 Construction & materials 13 Personal & household goods 6 Food & beverage 18 Utilities

Economic capital van een zakelijke portefeuille Ons uitgangspunt is een zakelijke portefeuille waarvan enkele statistieken zijn gepresenteerd in figuur 2. Onze kredietportefeuille kent 1200 leningen met een totale exposure (voornamelijk de hoofdsom) van €1,8 miljard. Het totale expected loss (EL) is berekend door per lening het expected loss te berekenen als de vermenigvuldiging van EAD, PD en LGD. Gezien de hoge kredietkwaliteit van de portefeuille (met name een lage gemiddelde PD van 3,7%) is het EL relatief klein ten opzichte van de totale exposure. Het loss at default (LAD) staat voor de totale exposure gecorrigeerd voor het bestaan van zekerheden.₁ De leningen zijn verdeeld over sectoren zoals blijkt uit figuur 3. Er is sprake van concentraties in de sectoren 2 (Banking) en 18 (Utilities). eur N Som Gemiddelde

7 Financial services

Wanneer het EC van een kredietportefeuille wordt berekend, wordt primair gekeken naar het risico dat elke lening op zichzelf heeft (blijkend uit de EAD, PD en LGD) en secundair naar de sectoren waarover de leningen verdeeld zijn. Daarbij is het niet alleen van belang wat voor concentraties er bestaan binnen de portefeuille (hoe hoger de concentratie, des te meer risico) maar ook wat de samenhang is tussen de sectoren onderling. Deze samenhang wordt binnen de portefeuillemodellen weergegeven aan de hand van een correlatiematrix, die wordt gebaseerd op de (wekelijkse) asset returns van aandelenmandjes van elke sector. De correlatiematrix die wij hanteren, staat weergegeven in figuur 4 en is gebaseerd op wekelijkse aandelenindices van de afgelopen vijf jaar.

ead

el

lad

pd

lgd

1.200

1.200

1.200

1.200

1.200

1.800.267.358

9.385.468

253.731.023 14,09%

1.500.223

7.821

211.443

3,70%

Minimum

1.217

0

61

0,03%

5,00%

Maximum

49.804.667

661.821

17.970.061

23,64%

45,00%

Figuur 2 Kenmerken van de voorbeeldportefeuille

40

|

AUGUSTUS 2007

&

FINANCE

CONTROL

Sector

1

Automobiles & parts

1,00

Banks

0,85 1,00

Basic resources

0,69 0,71 1,00

Chemicals

0,84 0,86 0,74 1,00

Construction and materials

0,87 0,83 0,78 0,84 1,00

Food and beverage

0,60 0,67 0,44 0,63 0,54 1,00

Financial services

0,81 0,92 0,74 0,82 0,83 0,62 1,00

Health care

0,59 0,71 0,44 0,67 0,54 0,74 0,63 1,00

Industrial goods

0,84 0,86 0,83 0,86 0,88 0,56 0,87 0,56 1,00

Insurance

0,80 0,93 0,66 0,82 0,78 0,64 0,88 0,71 0,81 1,00

Media

0,79 0,83 0,69 0,76 0,76 0,54 0,86 0,59 0,86 0,82 1,00

Oil and gas

0,64 0,69 0,59 0,70 0,61 0,66 0,68 0,67 0,62 0,66 0,55 1,00

Personal and household goods

0,85 0,90 0,73 0,84 0,82 0,73 0,90 0,68 0,87 0,86 0,84 0,69 1,00

Retail

0,77 0,88 0,65 0,78 0,78 0,67 0,87 0,69 0,79 0,84 0,80 0,64 0,88 1,00

Technology

0,72 0,78 0,65 0,70 0,71 0,42 0,80 0,50 0,81 0,81 0,83 0,47 0,78 0,74 1,00

Telecom

0,62 0,71 0,49 0,60 0,58 0,42 0,71 0,52 0,61 0,72 0,74 0,44 0,69 0,66 0,77 1,00

Travel and leisure

0,78 0,84 0,70 0,75 0,79 0,57 0,86 0,58 0,86 0,80 0,83 0,59 0,84 0,82 0,74 0,61 1,00

Utilities

0,68 0,77 0,59 0,74 0,69 0,70 0,76 0,68 0,69 0,74 0,63 0,70 0,76 0,78 0,55 0,53 0,68 1,00

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Figuur 4 Correlatiematrix (correlaties ( 0,70 geel gemarkeerd, m.u.v. hoofddiagonaal)

Aan de hand van de sectorale diversificatie van de portefeuille, de correlaties tussen de sectoren onderling en de risicoparameters van de leningen, wordt het EC berekend. De uitkomst voor onze portefeuille is gelijk aan €100,3 miljoen. Dit EC wordt afgeleid van de statistische loss-verdeling die geïllustreerd is in figuur 5.² Frequency x 105

2,5

Expected loss

De impact van diversificatie Om het effect van diversificatie aan te tonen, zullen wij eerst aan de hand van syndiceringsactiviteiten de portefeuille meer spreiden over de sectoren (terwijl de totale exposure en het totale expected loss hetzelfde blijven). Daarbij passen we eerst de volgende strategie toe: ~ Wij reduceren de concentratie in sector 2 (Banken) door delen hiervan te verkopen en daarvoor in de plaats exposures te kopen in de sectoren 8 (Health care) en 16 (Telecommunications).

PCT (99.95%)

2

2

Economic capital

2 Banks

18

12 Oil&Gas 16

5

1,5

5 Construction & Materials 13 Peronal &Household Goods

1

13

6 Food & Beverage 16 Telecom 7 Financial Services

6

0,5

12

18 Utilities 8 Health Care

0 0 2 4 One-year loss x 107

6

8

10

12

14

16

7

18

8

Figuur 5

Figuur 6

Statistische loss-verdeling en schatting van ecomomic capital

Verdeling over de sectoren naar herstructurering

AUGUSTUS 2007

|

41

W W W. K L U W E R F I N A N C I E E L M A N A G E M E N T. N L

&

FINANCE

~ Wij reduceren de concentratie in sector 18 (Utilities) door delen hiervan te verkopen en daarvoor in de plaats exposures te kopen in de sectoren 6 (Food & beverage) en 8 (Health care). De aldus meer gediversificeerde portefeuille wordt getoond in figuur 6. Het EC voor de meer gediversificeerde portefeuille is gelijk aan € 91,6 miljoen, een reductie van het EC gelijk aan 8,7% (voor dezelfde exposure en hetzelfde expected loss). Wanneer wij het EC opvatten als de hoeveelheid eigen vermogen die moet worden aangehouden als solvabiliteitsbuffer, dan kunnen wij berekenen wat het voordeel is van deze kapitaalsreductie. De jaarlijkse opbrengsten van syndiceringsactiviteiten kunnen berekend worden als: R = –ΔEC ·

requ; after tax 1 – ~l

CONTROL

Wanneer wij uitgaan van een vereiste return on equity (na belasting) van 11,5% en funding vanuit vreemd vermogen voor een tarief van 4,22%, levert de geboekte kapitaalsreductie van € 8,7 miljoen ons jaarlijks bijna € 1 miljoen op. Wanneer de operationele kosten van de syndiceringsactiviteiten lager zijn dan deze €1 miljoen, levert syndicering ons dus naast een lager risicoprofiel ook direct geld op als gevolg van de lagere solvabiliteitsbuffer.³

Met de enorme opkomst van een secundaire markt voor leningen zijn leningen aanzienlijk meer liquide geworden

– rdebt

Met: R = –ΔEC · Jaarlijkse bruto-opbrengsten van de syndiceringsactiviteiten requ; after tax Vereiste return on equity (na belasting) ~l Marginale belastingvoet rdebt Rente te betalen over funding met vreemd vermogen Merk op dat wij de vereiste return on equity omzetten naar een vereiste return vóór belasting om de vergelijking met de (lagere) kosten van funding uit vreemd vermogen mogelijk te maken. De kapitaalsreductie dient vermenigvuldigd te worden met het verschil in de te betalen vergoeding tussen enerzijds de funding uit eigen vermogen en anderzijds de funding uit vreemd vermogen. VPB-belasting

25,50%

Return on equity (na belasting)

11,50%

Return on equity (voor belasting)

15,44%

EURIBOR 3 M

16,00

Rente voor medium term funding EC na diversificatie EC reductie

n

n

min σ 2Port = ∑ ∑ wi wj ρij w

(1)

i=1 j=1

n

∑ wi = 1

(2)

wi ≥ 0, i = 1,…,N

(3)

i=1

4,06%

Spread over EURIBOR 3 M voor medium term funding in basispunten EC basis scenario

De grenzen van diversificatie Door goed naar de onderlinge correlaties tussen de sectoren en de concentraties in de sectoren te kijken en op basis daarvan te diversificeren, is het mogelijk om het risico en dus het EC te verlagen. Dit gebeurt door middel van het selecteren van sectoren die een lage correlatie hebben met de overige sectoren. Er is vanuit de correlatiematrix ook een optimale verdeling te bepalen, waarbij het systematische risico en als gevolg ook het EC minimaal is. Het portefeuille-optimalisatieprobleem naar analogie met Markowitz wordt beschreven door de volgende vergelijkingen:⁴

4,22% 100.321.000 91.609.000 8.712.000

Verschil in rente

11,22%

Jaarlijkse bruto opbrengsten van syndicering

977.00

Figuur 7 Berekening van de jaarlijkse bruto opbrengsten van syndicering

42

|

Met daarin wi het percentage of gewicht dat in sector i wordt uitgeleend. N is het aantal sectoren (in ons voorbeeld zijn dat de achttien Europese sectoren) en ρij is de correlatie tussen sector i en sector j. Vergelijking (2) stelt dat de gewichten optellen tot 100%. Vergelijking (3) zorgt ervoor dat de gewichten positief zijn (er kunnen geen negatieve posities worden ingenomen in een sector⁵). De gewichten wi ,…,wn worden bepaald door de variantie σ 2Port te minimaliseren. Dit is de variantie die hoort bij het systematische risico.₆ Het minimaliseren van σ 2Port is een lineair programmeringprobleem dat met een verscheidenheid aan software opgelost kan

AUGUSTUS 2007

&

FINANCE

CONTROL

Expected return 16

3

x 10 –3

Mean-variance-efficient frontier

4

3,5

3

15 2,5

6 2

12 8

Figuur 8

3 Basic resources

0.23

Optimale gewichten voor de

6 Food & Beverages

0.22

sectoren

8 Health care

0.11

1,5

1

12 Oil & Gas

0.12

15 Technology

0.08

0,5

16 Telecommunications 0.24

0.015 0.02 Risk (standard deviation)

0,025

0.03

0.035

0.04

Figuur 9 Markowitz efficient frontier

worden. De resultaten van de optimalisatie worden gepresenteerd in figuur 8. Dus in de optimale portefeuille is bijvoorbeeld 22% uitgeleend in de Food & beverage-sector en 24% in de Telecommunicationssector. Om het effect van de optimale sectorverdeling op het EC te berekenen, zijn de gewichten (posities) gebruikt om naar die verhouding het expected loss van de kredietportefeuille te verdelen over de sectoren. Dit houdt dus in dat bijvoorbeeld ‘Basic resoures’ 23% van het expected loss krijgt, verdeeld over een bepaald aantal leningen. Het EC dat hoort bij de optimale verdeling is: € 78 miljoen. Dit is een besparing van € 22 miljoen ten opzichte van het basisscenario en een additionele besparing van € 14 miljoen ten opzichte van het eerder besproken gediversificeerde scenario dat meer op basis van intuïtie tot stand is gekomen. Vergelijking Markowitz-optimalisatie en EC-optimalisatie Tot besluit vergelijken wij de analyse met de Markowitz-optimalisatie. Deze gaat uit van een gespreide positie in aandelen en gebruikt de gemiddelde returns en de standaarddeviaties van de returns om optimale portefeuilles te berekenen die liggen op de efficient frontier. Voor onze achttien sectoren is de efficient frontier afgebeeld in figuur 9. In figuur 9 hebben wij ook de standaarddeviaties/-returns geplot van vijftig portefeuilles die at random zijn samengesteld. Hieruit blijkt dat deze verre van optimaal zijn en dat dus een optimale portefeuille niet gemakkelijk wordt bereikt

met ad-hocstrategieën: het is altijd mogelijk om een portefeuille samen te stellen met een hoger rendement voor hetzelfde risico (of een lager risico met hetzelfde rendement). Evaluatie van de portefeuilles die op de efficient frontier liggen wijst uit dat deze investeringen bevatten in slechts vijf van de achttien beschikbare sectoren.

Het is altijd mogelijk om een portefeuille samen te stellen met een hoger rendement voor hetzelfde risico De methode wijkt op een aantal punten fundamenteel af van de methode ter optimalisatie van de kredietportefeuille. In de Markowitz-analyse gaat het om de gemiddelde returns (hier per week) die worden afgezet tegen de standaarddeviaties van deze returns. Om de standaarddeviatie van de portefeuille te berekenen, wordt gebruikgemaakt van de variantie-covariantiematrix. Bij het optimaliseren van de kredietportefeuille worden toestanden per sector gesimuleerd waarbij de ‘gezondheid’ van de leningen afhangt van de ‘gezondheid’ van de sector. Deze gezondheid van de leningen wordt zodanig geschaald, dat deze in de simulatie even vaak in default gaan als voorspeld wordt door de PD. Voor het genereren van samenhangende gezondheidstoestanden van de sectoren

AUGUSTUS 2007

|

43

W W W. K L U W E R F I N A N C I E E L M A N A G E M E N T. N L

&

FINANCE

wordt de correlatiematrix gebruikt die staat weergegeven in figuur 4. De gemiddelde returns zelf spelen hierbij geen rol, noch de (co)varianties. Met het steeds meer liquide worden van de secundaire markt voor leningen (syndicering, securitisatie, CDO’s, etc.) wordt het aantrekkelijker om te sturen in de sectorale verdeling van de kredietportefeuille. Daarbij is het gewenst om op de hoogte te zijn van de optimale verdeling (minimaal EC bij een gelijke totale exposure en een gelijk expected loss). In dit artikel hebben wij aangetoond hoe een dergelijke analyse kan plaatsvinden waarbij we hebben gebruikgemaakt van de traditionele Markowitz-optimalisatie, maar waarbij we ook op de fundamentele verschillen van onze benadering ten opzichte van Markowitz hebben gewezen. Dr. Marco Folpmers FRM en drs. Peter de Rijke werken voor Capgemini Nederland BV ([email protected]).

CONTROL

Noten 1. Het LAD wordt per lening berekend als de vermenigvuldiging van EAD en LGD. De LGD is het verliesbedrag dat ontstaat wanneer de lening niet wordt terugbetaald, uitgedrukt als percentage van de exposure. 2. Het EC is gelijk aan de 99,95% value-at-risk, waarbij het 99,95ste percentiel wordt verrekend met het expected loss. Voor de precieze berekening verwijzen we naar de technische documentatie van CreditMetrics, J.P. Morgan, CreditMetrics Technical Document (1997) en naar M. Folpmers & P. de Rijke, ‘Calculating Economic Capital: A “How to” Guide (2007) Garp Risk Review (March/April). 3. Wij gaan er hierbij vanuit dat het EC na de kapitaalsreductie nog steeds boven het niveau van het regulatory capital ligt, dat als absoluut minimum geldt voor de solvabiliteitsbuffer. 4. Met dank aan collega ir. S. Ibrahim die deze specificatie in dit verband als eerste heeft opgeschreven. 5. Althans niet met behulp van een reële kredietportefeuille. Met behulp van synthetische producten zoals credit default swaps kan wel een negatieve exposure (‘short gaan’) worden bewerkstelligd. 6. De verschillende sectoren kunnen elk in een andere mate afhankelijk zijn van het systematische risico voor de kans op faillissement. Dit zijn de factor loadings. Omwille van de begrijpelijkheid zijn in dit artikel de factor loadings aan elkaar gelijk. In werkelijkheid zal een gewicht wi geschaald moeten worden naar αiwi , met daarin αi de factor loading voor sector i, om bovenstaand aspect in acht te nemen.

advertentie

44

|

AUGUSTUS 2007