PORÓZUS KÖZEGEKEN KERESZTÜL TÖRTÉNŐ CSATOLT HŐ - ÉS ANYAGTRANSZPORT MATEMATIKAI MODELLEZÉSE RELAXÁCIÓS IDŐ KÖZELÍTÉSBEN MÉSZÁROS CS., FARKAS I. és BÁLINT Á.* Szent István Egyetem Fizika és Folyamatirányítási Tanszék H-2103 Gödöllő, Páter K.u.1. Tel.: (06-28) 522-055, Fax: (06-28) 410-804 E-mail:
[email protected] *Szent István Egyetem Kémia és Biokémia Tanszék H-2103 Gödöllő, Páter K.u.1. Összefoglaló A jelen munkában egy új módszert ismertetünk a porózus közegeken keresztül történő csatolt hő- és anyagátvitel matematikai modellezésére. A feladatot általában leíró másodrendű, parabolikus típusú parciális differenciálegyenletekből álló kéttagú csatolt rendszer helyett a nemegyensúlyi termodinamika hullámelméletében kidolgozott, a relaxációs időállandókat is expliciten tartalmazó, hiperbolikus típusú parciális differenciálegyenletek csatolt rendszerét alkalmazzuk. Ezt oldjuk meg a szokásos Fouriertranszformációs eljárás révén, miközben a vezetési és csatolási együtthatók közül egyedül a diffúziós együtthatóról tételezzük fel, hogy állapotfüggő mennyiség, figyelembe véve annak perkolatív jellegű változásait is. Felírjuk és megtárgyaljuk a feladat megoldása szempontjából fontos skálázási összefüggések alkalmazhatóságának feltételeit a saját korábbi eredményeink alapján. Tárgyaljuk a szárítandó anyag nedvességtartalomfüggvényének viselkedését a vezetési valószínűség kritikus értékének környezetében, rögzített kezdeti- és peremfeltételek mellett. Végül utalunk az eljárás további lehetséges finomításaira is, a perkolatív fázisátalakulások dinamikai jellegére vonatkozó fluktuációs elmélet alapján. Bevezetés Mivel a makroszkopikus disszipatív kontinuumok tulajdonságait legpontosabban leíró elméleti módszereket a nemegyensúlyi termodinamika szolgáltatja (Gyarmati, 1967; Lambermont és Lebon, 1972; Ván, 1996) kézenfekvő kutatási stratégiának tűnik az ott kidolgozott hatásos eszközöket a mérnöki gyakorlat olyan új területein is alkalmazni, ahol ez mindeddig még nem történt meg. Figyelembe véve, hogy minden szárítási folyamatnál egy adott, porózus közegen keresztül történő csatolt hő- és anyagátvitelről van szó, nyilvánvaló, hogy a szárítási folyamatok következetes matematikai modellezése csak a nemegyensúlyi termodinamika és a statisztikus fizikában tanulmányozott perkolatív fázisátalakulások elmélete alapján végezhető el (Farkas et al., 2000; Prat, 2000; Mészáros et al., 2001). Tekintettel arra, hogy a disszipatív jelenségek általános leírására vonatkozó, a nemegyensúlyi termodinamika hullámelméletének nevezett közelítés a jelenleg is folyó
intenzív kísérleti és elméleti kutatások tárgya, a jelen munkában e módszernek csak a legegyszerűbb változatát fogjuk alkalmazni, messzemenően figyelembe véve a perkolációs (szivárgási) folyamatok kritikus viselkedésére vonatkozó sajátosságokat is. A feladat matematikai modelljének megalapozása A perkolatív rendszerekben lejátszódó jelenségek vizsgálata (így a porózus közegeken keresztül zajló csatolt transzportfolyamatoké is) a statisztikus fizika egyik legintenzívebben művelt és egyúttal leggyorsabban fejlődő területét képviseli számos kihívó feladattal és megoldatlan kérdéssel. Általában minden perkolatív rendszert élekből és rácspontokból felépített rácsként modellezünk, és e rendszerben (így adott esetben a porózus közegekben is) vezető és szigetelő tartományokat különböztetünk meg, amelyek vagy össze vannak kötve egymással, vagy pedig nincsenek. A perkolációnak alapvetően két típusa ismeretes: a kötésperkoláció és a rácspont-perkoláció. Kötésperkoláció esetén az összes rácspont be van töltve, míg az őket összekötő élek adott valószínűségértékkel vezetnek vagy pedig nem. Ezzel szemben a rácspont-perkolációnál a rácspontokat összekötő élek vannak mindig betöltve, míg maguk a rácspontok üresek vagy betöltöttek. Ha a vezető tartományok, vagy másnéven fürtök (klaszterek) mind össze vannak kötve egymással, akkor ez az egész rendszerre vonatkozóan eredményez egy teljesen új állapotot, azaz a vezetési tulajdonságok szempontjából a rendszer egy fázisátalakuláson ment keresztül (Stauffer és Aharony, 1994). Az ilyen átmenetek az adott rendszer konkrét tulajdonságaitól függően mindig egy adott kritikus vezetési valószínűségértéknél következnek be, amely így egyértelműen jellemzi a rendszert és teljes mértékben analóg a kristályokban lejátszódó másodrendű (pl. szerkezeti vagy mágneses jellegű) fázisátalakulásokat jellemző kritikus hőmérséklettel (Curie-pont). A fázisátmenetek korszerű elmélete a rendszer kritikus viselkedését jellemző mennyiség, az úgynevezett rendparaméter ingadozásainak (fluktuációinak) vizsgálatán alapul az átmeneti pont közelében. Ez az elmélet ún. skálaösszefüggéseket állapít meg a kritikus tartomány környezetében a rendszert jellemző korrelációs hosszra, a rendparaméter korrelációs függvényére és nagyságára, a rendszer fajhőjére vonatkozóan, stb. (pl. Bruce, 1980). Jelenlegi ismereteink szerint érvényes a skálainvariancia hipotézis, azaz az egyes konkrét rendszerek sajátságaitól (pl. a mikroszkopikus belső szerkezettől) függetlenül mindig alkalmazható és helyesen írja le a különféle rendszerek kritikus viselkedését. A fázisátalakulások fluktuációs elmélete tehát univerzális jellegű és a belőle kinőtt, K.G.Wilson által 1971-ben javasolt renormálási csoport módszer rendkívül hatékony eszköznek bizonyult a fázisátmenetekkel kapcsolatos legváltozatosabb feladatok vizsgálatában (pl. Bruce, 1980; Hohenberg és Halperin, 1977). Ugyanezt az elméletet igen nagy sikerrel alkalmazták a perkolatív rendszerek kritikus tulajdonságainak vizsgálatánál is (Stauffer és Aharony, 1994). Az ilyen rendszereknél a ∆p=p-pc valószínűségkülönbség játssza a rendparaméter szerepét, p az aktuális, pc pedig a kritikus perkolációs valószínűség jele. A fázisátalakulási kritikus pont környezetében a rendparaméterre vonatkozó szokásos skálaösszefüggés érvényes (Bruce, 1980), miszerint:
P(p) ∝ (p − p c )β , (p − p c ) << 1,
(1)
ahol β a rendparaméterre vonatkozó kritikus exponens. A perkolatív rendszerek kritikus tulajdonságainak korszerű, a statisztikus fizika követelményeinek eleget tevő leírását eddig voltaképpen a véletlen gráfok matematikai elmélete alapján és konkrétan az ilyen
rendszerekre jellemző, Markov-láncok szerint leírható sztochasztikus viselkedés feltételezésével végezték el. A két elmélet (tehát a perkolációs rendszerek és a véletlen gráfok elmélete) közötti szoros kapcsolatok, noha nagyon nyilvánvalóak, még mindig rendkívül aktív kutatások tárgyát képezik (Mori and Odagaki, 2001). A jelenlegi perkolációs elméletek szerint egy adott rácson véletlenszerű mozgásban lévő (bolyongó) részecskének a kiindulási ponttól mért átlagos távolságának négyzete a kritikus pont környezetében: t − τ < R (t ) > = R 1 − ae , ( pc > p ), 2
2 ∞
t − θ < R (t ) > = Dt 1 + be , ( p > pc ),
(2)
2
ahol a és b állandó értékű numerikus együtthatókat jelölnek, míg a képletekben szereplő többi paraméter az alábbi fontos skálázási összefüggéseknek tesz eleget: R∞2 ( p ) ∝ ∆p −2ν + β ,τ ( p ) ∝ ∆p −2ν −t + β , D( p ) ∝ ∆p t ,θ ( p ) ∝ ∆p −2ν −t + β .
(3)
Az utóbbi összefüggések kitevőiben szereplő mennyiségek közül ν a korrelációs hossz, t pedig a fajlagos vezetés kritikus exponense. Az újabb keletű szárítási elméletek közül itt elsősorban Prat igen részletes vizsgálatainak eredményeit említjük (Prat, 2000), amelyek alapján nyilvánvaló, hogy a fent említett skálázási összefüggések közül elegendő a D(p) együtthatóra vonatkozó figyelembevétele, a többi paraméterre vonatkozó ilyen jellegű összefüggéstől pedig az ebben a munkában alkalmazott közelítésnél eltekintünk. A közelítésnek megfelelően elvégzett számítások közül először a saját korábbi (Mészáros et al., 2001) munkánkra hivatkozva közöljük az egyszerű, szokásos parabolikus típusú egyenletrendszer megoldásával nyerhető nedvességtartalom-függvényt két különböző perkolációs valószínűségértékre. A megfelelő grafikonok az 1. és 2. ábrán láthatók, amelyeken jól kivehető a perkolációs valószínűség értékének befolyása a nedvességtartalom-eloszlásra.
1.ábra. A nedvességtartalom függvény alakja a ∆p = 0,002 perkolatív valószínűségkülönbség értékre.
2.ábra. A nedvességtartalom függvény alakja a ∆p = 0,1 perkolatív valószínűségkülönbség értékre. A relaxációs idő közelítés
Az előző pontokban kifejtett elméleti indoklások nyomán felírjuk és alkalmazzuk a csatolt hő- és anyagtranszportra vonatkozó (hiperbolikus típusú) csatolt parciális differenciálegyenleteket, amelyek általában a disszipatív folyamatok hullámjelenségeinek leírására szolgáló matematikai formalizmus alapját képezik. A megfelelő relaxációs időállandók alkalmazásával és a Gyarmati (1977) által javasolt közelítés keretein belül, amikor a konvektív áramlás fellépésének lehetőségétől eltekintünk, ez az egyenletrendszer a következő alakú: ∂ 2 M ∂M + − D∇ 2 M − K∇ 2T = 0, ∂t ∂t 2 ∂ 2T ∂T τ2 2 + − E∇ 2T − L∇ 2 M = 0, ∂t ∂t
τ1
(4)
ahol M(x,t) és T(x,t) rendre a nedvességtartalom és a hőmérsékletfüggvények, míg τ1 és τ2 az ugyanezen mennyiségek időbeli változásaira vonatkozó relaxációs időállandók. D a közönséges, E a hődiffúziós együttható, míg K és L a csatolási együtthatók jelei. Tekintve, hogy csak a diffúziós együtthatóra tételezünk fel explicit termodinamikai (azaz: perkolatív) állapotfüggést a kritikus pont környezetében, a térkoordináta szerinti kétszeres parciális deriválás közvetlenül elvégezhető, mivel e művelet eredménye csak egy lényegtelen numerikus együttható erejéig fogja megváltoztatni a diffúziós együtthatót tartalmazó tag értékét. A fenti, hiperbolikus típusú egyenletrendszer alkalmazása az általában használatos parabolikus típusú egyenletrendszer helyett mindenképpen indokolt, mivel a termodinamika hullámelmélete a perturbációk véges terjedési sebességének felel meg, eltérően az általában használt leírási módtól, amelyből az következik, hogy a transzportfolyamatok saját terjedési sebessége, akárcsak a megfelelő áramlási képek megváltozásainak sebessége – végtelenül nagy. A feladat megoldását a szokásos módon végezzük el, az operációszámítás eszközeinek alkalmazásával. Az egyenletrendszer
Fourier-transzformált alakja egy közönséges másodrendű differenciálegyenlet-rendszert eredményez, amelynél az idő játssza a független változó szerepét: ~ dM ~ d 2M ~ + Kk 2T~ = 0, τ1 2 + + Dk 2 M dt dt 2~ d T dT~ ~ = 0, τ2 2 + + Ek 2T~ + Lk 2 M dt dt (M~ = M~ (k , t ) ≡ ℑ{M ( x, t )}, T~ = T~(k , t ) ≡ ℑ{T ( x, t )}).
(5)
Ez a másodrendű, közönséges csatolt differenciálegyenlet-rendszer, noha közvetlenül és viszonylag könnyen megoldható, a transzform-megoldásfüggvények bonyolult szerkezete miatt a nedvességtartalom- és hőmérsékletfüggvények végleges előállításához szükséges inverz Fourier-transzformációk végrehajtása nehézségekbe ütközne, s ezért itt csak két határesetet fogunk megvizsgálni. E határesetekben először az egyik, majd később a másik időállandót tekintjük elhanyagolhatóan kicsiny értékűnek. A teljes, közelítésektől mentes megoldások előállítása későbbi munkáink tárgyát fogja képezni. Az említett közelítő eljárás szerint a nedvességtartalom függvény Fourier-transzformált alakjait az alábbi képletek szolgáltatják: 2 ~ (k , t ) = e −αtk 2 β1 + β 2 k ,α ≡ DE − KL . M γ 1 + γ 2k 2
(6)
E kifejezésben, a két közelítésnek megfelelő állandók explicit kifejezései a következők: τ1→0 esetén:
[
]
β1 = C1 ( E + DE − KL ) − K (C3 + τ 2 C 4 ), β 2 = τ 2 C1 ( DE − KL) − KC3 DE − KL ,
[
]
γ 1 = D + E + 2 DE − KL , γ 2 = τ 2 3( DE − KL) + 2 E DE − KL ,
(7)
τ2→0 esetén:
[
]
β1 = ( E + DE − KL )(C1 + C 2τ 1 ) − C3 K , β 2 = τ 1 E DE − KL + ( DE − KL) , γ 1 = D + E + 2τ 1 E + 2 DE − KL , γ 2 = 3τ 1 ( DE − KL).
(8)
E kifejezésekben a C1, C2, C3, C4 mennyiségek integrációs állandók, amelyek konkrét értékeit általános esetben az aktuális kezdeti feltételek alapján lehet meghatározni. A hőmérséklet- és nedvességtartalom függvények keresett végső képleteit inverz Fouriertranszformációval lehet előállítani a Függelékben leírt aszimptotikus sorfejtési módszer segítségével. A kiindulási hiperbolikus egyenletrendszerben szereplő vezetési és csatolási együtthatók, valamint a fent taglalt integrációs állandók értékeit rögzítve megrajzolhatjuk a nedvességtartalom- és a hőmérsékletfüggvényt ábrázoló felületeket – a tér és az időkoordinátákat relatív egységekben értve. A fent vázolt (τ1→0) közelítésnek megfelelő grafikon a 3. ábrán látható.
3.ábra. Numerikus modellkísérlet eredményei hiperbolikus egyenletrendszer alkalmazása esetén. Következtetések
Az általunk javasolt modellezési stratégia egyaránt figyelembe veszi a nemegyensúlyi termodinamika és a perkolatív fázisátmenetek korszerű elmélete által kiszabott követelményeket a porózus közegeken keresztül zajló csatolt hő- és anyagátvitel folyamatainak leírásánál. A gyakran alkalmazott közelítést, miszerint a vezetési és csatolási együtthatók közül a perkolatív fázisátmenetek miatt fellépő állapotváltozásokat csak a diffúziós együtthatóra kell alkalmazni, indokoltnak találtuk. Ennek megfelelően állítottuk fel, majd oldottuk meg az aktuális transzportfolyamatot leíró parciális differenciálegyenlet rendszert, rendre az egyszerű stacionárius folyamatokat jellemző, parabolikus típusú parciális differenciálegyenletekkel leírható közönséges, ill. a nemegyensúlyi termodinamika hullámelméletének megfelelő, hiperbolikus típusú parciális differenciálegyenletekkel jellemezhető közelítésekben. Mind a két esetben jól nyomon követhető a nedvességtartalom-függvényeknek a konkrét perkolatív valószínűségértékektől való függése és a kritikus állapotok környezetében megfigyelhető átcsapási viselkedés. Köszönetnyilvánítás
A szerzők megköszönik az OTKA T-029300, OTKA T-024146 és a TÉT D-17/1998 e munkához nyújtott támogatását. Függelék
E függelékben röviden kifejtjük az inverz Fourier-transzformáció végrehajtásához szükséges művelet elvi menetét a komplex függvénytan egyes újabb eredményei alapján. Az alkalmazott módszer az aszimptotikus sorfejtés általános módszerének keretébe tartozik, amely módszer olykor még akkor is hasznos lehet, amikor a teljes sorfejtés divergens, mivel adott esetben a sor első néhány tagját véve is igen jól közelíthetjük a feladat teljes megoldását adó függvényt. Eszerint, ha létezik egy olyan f (z) = ∫ e zF( t ) dt (Γ egy olyan zárt görbét jelöl a t-síkon, Γ
amely keresztülhalad egy t0 ponton) függvény, amelyre érvényes, hogy:
+∞
f ( z ) = e zF ( t 0 ) ∫ e − zu ( −∞
2
+∞ dt dt = ∑ bn u n , ) du , du du n = 0
(9)
(az F(t) függvény reguláris a t0 pont környezetében és első deriváltjának értéke zérus ebben a pontban) akkor e függvény előállítható a következőképpen: f (z) ∝
+ ∞ ( 2n − 1)!! π zF( t 0 ) e b0 + ∑ b 2 n z −2 n . n n =1 z 2
(10)
Eszerint az inverz Fourier-transzformáció viszonylag könnyen elvégezhető, és a keresett megoldás (a szögletes zárójelben szereplő sor véges, de elegendő számú tagjának figyelembevételével) kellő pontossággal felírható. A megoldás birtokában figyelembe vehetjük a diffúziós együttható értékének diszkrét állapotváltozásait a teljes rendszerre vonatkozó perkolatív jellegű fázisátalakulások folyamán a megfelelő kifejezésnek a végleges megoldási képletekbe való beépítésével. A két közelítés képleteiben fellépő diffúziós, csatolási és relaxációs időállandók konkrét értékeinek rögzítésével ezáltal egy konkrét, numerikus együtthatókkal felírható polinomot nyerünk az időre és a térkoordinátákra, mint független változókra. Irodalom
Bruce, A.D. (1980) Structural phase transitions. II. Static critical behaviour. Advances in Physics Vol. 29. No.1. pp. 111-217. Farkas, I., Mészáros, Cs., Bálint, Á. (2000) Mathematical and Physical Foundations of Drying Theories, Drying Technology Vol. 18. No.3. pp. 541-549. Gyarmati, I. (1967) Nemegyensúlyi Termodinamika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest Gyarmati, I. (1977) On the Wave approach of Thermodynamics and some Problems of Non-Linear Theories. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics Vol. 2. pp. 233260. Hohenberg, P.C., Halperin, B.I. (1977) Theory of dynamic critical phenomena. Reviews of Modern Physics Vol. 49. pp. 435-476. Lambermont, J., Lebon, G. (1972) A rather general variational principle for purely dissipative non-stationary processes. Annalen der Physik (Leipzig) Vol. 28. No.7. pp. 15-30. Mészáros, Cs., Farkas, I. Bálint, Á. (2001) A new application of percolation theory for coupled transport phenomena through porous media. Mathematics and Computers in Simulation Vol. 56. pp. 395-404. Mori, F., Odagaki, T. (2001) Percolation Analysis of Clusters in Random Graphs. Journal of the Physical Society of Japan Vol. 70. No. 8. pp. 2485-2489. Prat, M. (2000) Recent advances in pore-scale models for drying of porous media, in: P.J.A.M. Kerkhof, W.J.Coumans, G.D.Mooiver (eds.), Proceedings of the 12th International Drying Symposium IDS 2000, Noordwijkerhout, The Netherlands, 28-31 August Stauffer, D., Aharony, A. (1994) Introduction to Percolation Theory (2nd revised edition), Taylor & Francis, London Ván, P. (1996) On the structure of the governing principle of dissipative processes. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics Vol. 21. pp. 17-29.
MATHEMATICAL MODELLING OF THE COUPLED HEAT AND MASS TRANSFER THROUGH POROUS MEDIA IN RELAXATION TIME APPROACH CS. MÉSZÁROS, I. FARKAS and Á. BÁLINT* Department of Physics and Process Control Szent István University H-2103 Gödöllő, Páter K.u.1. Tel.: + 36 28 522-055, Fax: 28 410-804 E-mail:
[email protected] * Department of Chemistry and Biochemistry Szent István University H-2103 Gödöllő, Páter K.u.1.
Summary
In the present work a new method is presented for mathematical modelling of the coupled heat and mass transfer through porous media. Instead of the usually applied two coupled partial differential equations of parabolic type, a coupled system of hyperbolic partial differential equations containing explicitly the relaxation time constants and elaborated within framework of the wave theory of the non-equilibrium thermodynamics is used. This system is solved by the usual Fourier-transformation procedure, while from the conductivity and coupling coefficients only the diffusion coefficient is considered as statedependent quantity by taking into account its percolative changes, too. The applicability of the scaling relations relevant for solving of the problem set up is also discussed using our own earlier results. The behaviour of the moisture level function in the vicinity of the critical point is discussed at fixed initial-, and boundary conditions. Finally, further possible refinements of the method applied are indicated on the base of the dynamic fluctuation theory of phase transitions.
