Politeknik Telkom Bandung

Limit & Kontinuitas Oleh: Hanung N. Prasetyo

Calculus/Hanung N. Prasetyo/Politeknik Telkom Bandung

Bab 2. LIMIT 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Dua masalah fundamental kalkulus. Garis Tangen Konsep Limit Teorema Limit Konsep kontinuitas


Dua Masalah Fundamental Kalkulus • Masalah 1 (Masalah Tangen): Diberikan sebuah titik P(x,f(x)) pada kurva y=f(x), bagaimana menentukan kemiringan garis tangen pada P? • Masalah 2 (Masalah Luas): Jika f(x)≥ 0 untuk x∈[a,b], bagaimana menghitung luas daerah A yaitu suatu bidang yang berada diantara kurva y=f(x) dan sumbu-x sepanjang selang [a,b]? Calculus/Hanung N. Prasetyo/Politeknik Telkom Bandung

Grafik f(x)=(x-2)2


2.2. Garis Tangen • Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).

m PQ

∆y f (a + h) − f (a ) = = , (h ≠ 0). ∆x h

• Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x) dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):

f (a + h) − f (a ) m = lim h→0 h Calculus/Hanung N. Prasetyo/Politeknik Telkom Bandung

2.3 Konsep Limit Definisi Intuitif Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a • Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

lim f ( x ) = L x →a


Contoh 1.

x2 − 4 4 = lim 2 x →2 x + x − 6 5 x

f ( x)

x

1 1.5

0.75 0.7778

3 2.5

0.83333 0.81818

1.9 1.999

0.7959 0.79996

2.1 2.001

0.80392 0.80004

↓

↓

2

0.8

f ( x)

↓ 2 Calculus/Hanung N. Prasetyo/Politeknik Telkom Bandung

↓ 0.8

x2 − 4 f ( x) = 2 x + x−6


• Hitung lim f ( x ) x→0

 1 if x ≠ 0 1. f ( x ) =  0 if x = 0 1 if x > 0 x = 2. f ( x ) = | x | − 1 if x < 0


Hukum2 Limit: 1. lim C = C x →a

(Hk. Konstanta).

Jika limit berikut ada 2.

lim f ( x) = L dan x →a

lim g ( x) = M maka x →a

lim[ f ( x) ± g ( x)] = [lim f ( x)] ± [lim g ( x)] = L ± M (Hk. Penjumlahan) x →a

x →a

x →a

3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)][lim g ( x)] = LM

(Hk. Perkalian)

f ( x) L f ( x) lim x →a 4. lim = = x →a g ( x ) lim g ( x) M

(Hk. Pecahan)

x →a

x →a

x →a

asalkan jika M ≠ 0.

x →a


5. Jika n suatu bilangan bulat positif dan jika a > 0 untuk nilai n genap, maka lim n x = n a . x →a

(Hk.Akar)

6. Misalkan lim g ( x) = L dan lim f ( x) = f ( L) maka x →a

x→ L

lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( L). (Hk.Substitusi/ Limit Komposisi) x →a

x →a


2.4. Teorema2 Limit 1. Teorema Limit trigonometri: sin x lim =1 x →0 x 2. Hukum Apit: Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠ a, dan lim f ( x ) = L = lim h( x ) x →a

maka

x →a

lim g ( x ) = L x →a


cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1/cos(x) 1 sin( x) lim cos( x) = 1 = lim , maka lim =1 x →0 x →0 cos( x ) x →0 x


Contoh Tunjukkan Bukti:

1 lim x sin = 0. x →0 x 2

Untuk x ≠ 0, − 1 ≤ sin

− x 2 ≤ x 2 sin

karena

dan

x2 > 0

1 ≤ x2 x

lim(− x 2 ) = 0 dan lim x 2 = 0 x →0

x →0

maka

1 ≤1 x

1 lim x sin = 0 (menggunakan Prinsip Apit). x →0 x 2


• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)

lim− f ( x ) = L

x →a

• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)

lim+ f ( x ) = L

x →a

• Teorema 2:

lim f ( x ) = L

x →a

jika dan hanya jika lim f ( x ) = L = lim f ( x ) − + x →a


x →a

Contoh  1, x ≥ 0 f ( x) =  . − 2, x < 0 Untuk x > 0, lim f ( x) = lim 1 = 1. x →0 +

x →0 +

limit kanan.

Untuk x < 0, lim f ( x) = lim (−2) = −2. limit kiri. x →0 −

Maka

x →0 −

lim f ( x) tidak ada x →0


Contoh2 limit (1) lim ( x 2 + 1) = 12 + 1 = 2. x →1

(2) lim | x |= 0. x →0

1 (3) lim 2 does not exist. x →0 x  1, x ≥ 0 (4) f ( x) =  − 1, x < 0 lim f ( x) does not exist. x →0

Need one - sided limits for such example - discussed later. Calculus/Hanung N. Prasetyo/Politeknik Telkom Bandung

x2 − 9 (5) lim ; x →3 x − 3 x2 − 9 Disini f ( x) = ⇒ f (3) tidak terdefinisi. x−3 Tetapi x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) f ( x) = = = x + 3 , untuk x ≠ 3. x−3 x−3 Jadi x2 − 9 = lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6. lim x →3 x − 3 x →3 Calculus/Hanung N. Prasetyo/Politeknik Telkom Bandung

• Definisi Limit. Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L∈ R, ditulis lim f ( x ) = L x →a

jika dan hanya jika, untuk ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x - a| < δ maka |f(x) - L| < ε.


Politeknik Telkom Bandung

Recommend Documents