Polimer alkatrészek méretezésének alapjai Polimer alkatrészek terhelésre adott válaszreakcióinak befolyásoló tényezői: -
terhelés paramétereitől: o terhelés nagysága o terhelés jellege (statikus, dinamikus, húzó, nyíró, csavaró, stb.) o terhelés időtartama (kúszási, feszültség relaxációs tulajdonságok)
-
környezeti tényezők: o
környezeti hőmérséklet (Tg, Tm, Tb)
o nedvességtartalom (relatív légnedvesség, polimer víztartalma, stb.) -
anyagszerkezettani jellegű tényezők: o polimer típusa (sűrűn térhálós, ritkán térhálós., amorf, részben kristályos) o öregedésének mértéke (UV, egyéb sugárzásokra való érzékenység) o jellemző kifáradási, tönkremeneteli formák (duktilitás, szívósság, stb.)
A méretezés során használható képlet, húzó/hajlító igénybevétel esetén: 𝐾 𝑠∙𝐴 - a megengedett maximális feszültség [MPa] 𝜎𝑚𝑎𝑥,é𝑏𝑟𝑒𝑑ő ≤ 𝜎𝑚𝑒𝑔 =
,ahol: 𝜎𝑚𝑒𝑔
(1)
K – az anyag szilárdsága [MPa] s – a biztonsági tényező [-] A – korrekciós tényező (összetett) [-]
A megengedett feszültség megadható az alábbiak szerint az összetett korrekciós tényező hatások szétbonthatóak az alábbiak szerint: 𝜎𝑚𝑒𝑔 =
𝐾 1 1 1 1 1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑠 𝐴𝜃 𝐴𝑆𝑡 𝐴𝐷𝑦𝑛 𝐴𝐴 𝐴𝑊
, ahol: 𝐴𝜃 – a hőmérséklet szilárdságra gyakorolt hatása (Effect of temperature) 𝐴𝑆𝑡 – statikus terhelési faktor (Factor of static loads) 𝐴𝐷𝑦𝑛 – dinamikus igénybevétel hatása (Dynamic effect) 𝐴𝐴 – az öregedés hatása (Aging effect) 𝐴𝑊 – nedvességtartalom (Water of condition) 1
(2)
𝐴𝜃 értéke a hőmérséklet függvényében: 𝐴𝜃 =
1 1 − [𝑘(𝜃 − 20)]
(3)
, ahol: 𝜃 – hőmérséklet [°C] érvényességi határ: 20°𝐶 ≤ 𝜃 ≤ 100°𝐶 k – hőmérsékleti korrekciós tényező [-] Néhány példa a k értékére: Anyag PA 66 PA 6 PBT POM ABS
k [-] 0,0112 0,0125 0,0095 0,0082 0,0117
1. táblázat a hőmérsékleti korrekciós tényező néhány polimer anyag esetén [1] 𝐴𝑆𝑡 értéke a terhelés időtartamának függvényében: Idő 𝐴𝑆𝑡 [-]
órák 1,3
hetek 1,6
hónapok 1,7
évek 2
2. táblázat A statikus terhelési tényező értéke az idő függvényében [1] 𝐴𝑊 értéke a nedvességtartalom függvényében: 𝐴𝑊 =
1 1 − 0,22𝑓
(4)
,ahol 𝑓 a nedvességtartalom [m%], (0 < 𝑓 < 3; ℎ𝑎 𝑓 > 3, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 𝐴𝑊 = 3,4).
Tápegység ventilátorának méretezése kúszásra A kúszás igen komoly probléma lehet folyamatos feszültség alatt üzemelő polimer alkatrészekben. Ilyen eszköz például egy tápegység hűtőventilátora is. Aminek alapanyaga általában polikarbonát (PC). (a)
1.
(b)
ábra A hűtőventilátor képe (a) és egy lapátjának sematikus ábrája (b) [2, 3]
2
2.
ábra A ventilátor lapát szabadtest ábrája („r” a forgásközépponttól való távolság)
A forgás következtében a testre ható erő: 𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔2
(5)
A lapát tömegét behelyettesítve: 𝑅=
𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑟𝜔2 𝑔
(6)
A testre felírható erőegyensúly: 𝑑𝐹 + 𝑅 = 0
(7)
𝑑𝐹 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝜔2 =− 𝑑𝑟 𝑔
(8)
𝑑𝐹 = −𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝜔2 ∙ 𝑑𝑟
(9)
𝐹=−
𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝜔2 +𝐶 2
(10)
Peremfeltétel: 𝐹(𝑅0 ) = 0 2
𝐶=
𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑅0 ∙ 𝜔 2
2
(11) (12)
A végeredményként felírható erőhatás: 𝐹=
𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝜔2 ∙ (𝑅0 2 − 𝑟 2 ) 2
3
(13)
Alapadatok: L= 0,12 [m]; 𝑅0 = 0,15 [m]; (r=0,03 [m]) 𝜌=1195 [kg/m3]; n=10.000 [1/min]; Tüzemi=60°C, tüzem=10 [óra] Kérdés: Mekkora legyen a tervezett résméret a járókerék és a ventilátorház között? Megoldás: A maximális ébredő feszültség: 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
=
1195
𝐹𝑚𝑎𝑥 𝜌 ∙ 𝜔2 = ∙ (𝑅0 2 − 𝑟 2 ) 𝐴 2
(14)
𝑘𝑔 2𝜋 ∙ 10.000 2 ∙( ) 60 𝑠 𝑚3 ∙ ((0,15 𝑚)2 − (0,03 𝑚)2 ) 2 = 14153013 𝑃𝑎 = 14,15 𝑀𝑃𝑎
A megfelelő üzemi hőmérséklethez tartozó alakváltozások az alábbi ábra segítségével leolvashatóak. Ez alapján a méretezendő lakatrész alakváltozása, 𝜀 = ~0,98 %.
3.
ábra A PC alapanyag 60°-on tapasztalható alakváltozása az egyes terhelési időtartamok és a terhelés nagyságának függvényében [4]
Az alkatrész méretváltozása nem határozható meg az 𝜀 = ∆𝐿⁄𝐿0 összefüggés alkalmazásával, mivel nem minden keresztmetszeti egység egyformán deformálódik. Ez esetben az a hosszváltozást az alábbi (4. ábra) alapján felírható egyenletekkel számítható. 4
4.
ábra Az egységnyi, kis keresztmetszetekre eső alakváltozás
𝑑𝛿 𝜎 𝐹 = = , 𝑑𝑟 𝐸 𝐴 ∙ 𝐸 𝑟0 𝑟0 𝐹 𝛿 = ∫ 𝑑𝛿 = ∫ 𝑑𝑟, 𝑟1 𝑟1 𝐴 ∙ 𝐸 𝜀=
𝛿=
𝜌 ∙ 𝜔2 (𝑟 2 − 𝑟1 2 )(𝑟0 − 𝑟1 ). 2∙𝑔∙𝐸 0
(15) (16) (17)
A számítás megfelelő módja, meghatározni a 𝐽(𝑡) kúszási engedékenységet a fönti diagram segítségével, ami az alábbiak szerint történik: 𝐽(𝑡) = 𝐽(𝑡) =
1 𝜖 = 𝐸 𝜎0
(18)
0,0095 1 = 6,93 ∙ 10−4 14,15 𝑀𝑃𝑎 𝑀𝑃𝑎
Ebből E értéke meghatározható, amit behelyettesítve a (15) összefüggésbe: 𝛿 = 0,12 𝑚𝑚.
Ugyanez az érték, ha 𝜀 = ∆𝐿⁄𝐿0 összefüggést használjuk: ∆𝐿 = 𝜀 ∙ 𝐿0 = 120 𝑚𝑚 ∙ 0,00114 = 1,14 𝑚𝑚 A két számított érték közötti eltérés egy nagyságrend mértékű!
A polimerek csillapítási képességének kihasználása Az összes anyag és konstrukciós szerkezet tartalmaz magában csillapítást, ahol zajok vagy rezgések keletkeznek. A megfelelő mértékű csillapítás elengedhetetlen az egyes berendezések működéséhez, sem az alul-, sem a túlcsillapított rendszerek nem kívánatosak. A szerkezeti 5
anyagként alkalmazható fémek csillapító képessége (tan 𝛿) általában igen alacsony, hozzávetőlegesen 0,1-1,0 %-a a tárolási modulusnak. Ez polimereknél 1-200%-os tartományban van, ami szerkezeti célú polimereknél, szobahőmérsékleten hozzávetőlegesen 510% körül mozog.
5.
6.
ábra A polimerek késleltetett válaszreakciója az egyes gerjesztésekre [1, 3]
ábra Polimer anyagok tipikus DMA görbéi, állandó frekvencia mellett vizsgálva [1, 5]
A különböző szerkezetes rezgéstani vizsgálatához és annak paraméteres leírásához tekintsük meg az egyszabadságfokú lengőrendszer vázlatát (7. ábra).
7.
ábra Az egyszabadságfokú lengőrendszer sematikus vázlata [2]
6
Ennek mozgásegyenlete és annak tagjai a (1921) összefüggések szerint írhatóak föl. 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹 𝑘= 𝑐=
𝐴 ∙ 𝐸′ 𝐿
𝐴 ∙ 𝐸" 𝜔∙𝐿
(19) (20)
(N/m)
(21)
(Ns/m)
A mozgásegyenlet átrendezésével a következő alakra hozható, amiből az alábbi mennyiségek meghatározhatóak: 𝑥̈ + 𝜔𝑛 = √
𝑐 𝑘 𝐹 𝑥̇ + 𝑥 = 𝑚 𝑚 𝑚
(22)
𝑘 𝑟𝑎𝑑 𝑐 ]; 𝝃 = , 𝑠𝑎𝑗á𝑡𝑘ö𝑟𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣. [ , 𝑐𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑝í𝑡á𝑠𝑖 ℎá𝑛𝑦𝑎𝑑 [−] 𝑚 𝑠 2𝑚𝜔𝑛
(23) és (24)
Mindezeket behelyettesítve az alábbi (25) összefüggés adódik ki: 𝑥̈ + 2𝜉 ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑥̇ + 𝜔𝑛 2 ∙ 𝑥 =
𝐹 𝑚
(25)
A mozgásegyenlet (25) szerinti felírásának megoldásából a következő (26) összefüggés adódik az 𝑋 [𝑚] amplitudóra: 𝐹 𝑘
𝑋=
[𝑚]
2 2
2
√[1 − ( 𝜔 ) ] + [2𝜉 ( 𝜔 )] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝑋𝑘 = 𝐹
8.
(26)
1 2
2 2 √[1 − ( 𝜔 ) ] + [2𝜉 ( 𝜔 )] 𝜔𝑛 𝜔𝑛
(27)
ábra A fajlagos amplitúdók a gerjesztés és a sajátkörfrekvencia hányadosának függvényében, az egyes csillapítási hányadok mellett [2]
7
A csillapítási hányad fölhasználásával meghatározható az un. csillapított sajátkörfrekvencia: 𝑟𝑎𝑑 ] = 𝜔√1 − 𝜉 2 , 𝑠
𝜔𝑑 [
(28)
Az egyes rendszerek esetében meg kell különböztetnünk szigetelés és csillapítás jellegű kialakításokat. A szigetelés esetén a rendszert úgy méretezik, hogy annak sajátkörfrekvenciája kevesebb legyen, mint 𝜔𝑑 /2,5. Csillapítás jellegű kialakításoknál a 8. ábrából is látható, hogy érdemes a működési frekvenciatartományt a rendszer saját-körfrekvenciája körülire méretezni, hiszen itt a leghatásosabb az adott csillapító elem.
9.
ábra Azonos hullámhosszú és amplitúdójú rezgések lecsengése a különböző csillapítási hányadok esetén [2]
(a)
(b)
10. ábra A földrengés biztos pillérek kialakítása (a) és működési elve (b) [6, 7]
8
11. ábra A földrengés biztos pillérek általános felépítése [2]
A rendszerre vonatkoztatott veszteségtényező érték meghatározható: tan 𝛿𝑐𝑜𝑚𝑝. = 𝐾
𝐸2 𝐻2 2 ( ) tan 𝛿2 𝐸1 𝐻1
(29)
,ahol: 𝐸1 − a bázis tárolási modulus értéke [𝑀𝑃𝑎], 𝐸2 − a viszkoelasztikus anyag tárolási modulusa [𝑀𝑃𝑎], 𝐻1 − a bázis magassága [𝑚], 𝐻1 − a viszkoelasztikus réteg magassága [𝑚],
tan 𝛿2 − a viszkoelasztikus réteg veszteségtényezője [-] 𝐾 − az érintkező (fém és polimer) felületek aránya [-].
A rendszerre vonatkozó tan 𝛿 ismeretében meghatározhatóak a rezgéstani modell elemei (k és c), amelyek segítsége ével a sajátkörfrekvencia és a csillapítási hányad is kiszámítható, valamint az adott gerjesztés (pl földrengés, 𝜔=015 Hz) esetén a maximális amplitúdó és annak időbeni lecsengése is. A méretezést továbbá segíthetik a bemenő paraméterek alapján egyszerűen leolvasható összetett diagramok (12. ábra) is.
12. ábra A rendszerre vonatkozó tan 𝛿 érték a lemezek magasságarányának (H2/H1) függvényében a különböző fém és polimer anyagok tárolási modulus arányai (E2/E1) mellett [2]
9
A felhasznált irodalom: [1] M. E. James: Polymer Data Handbook (2nd Edition), Oxford University Press, 2009. [2] J. C. Gerdeen, R. A. Rorrer: Engineering Design with Polymers and composites, CRC Press, Boca Raton, 2012. [3] http://pbcomputer.hu/termekeink/sharkoon-14cm-haz-tapegyseg-huto-ventilator (2016. 04. 25) [4] E. Miller: Plastics products design handbook, Materials and composites, Marcel Dekker, New York, 1981. [5] http://polymerinnovationblog.com/wp-content/uploads/2014/07/typical-DMA-plot2.jpg (2016. 04. 25) [6] http://www.taiwanpillar.com.tw/eWebEditor/uploadfile/20061227104737229.jpg (2016. 04. 25.) [7] http://imaginationstationtoledo.org/content/wp-content/uploads/2011/03/figure3.gif (2016. 04. 25.)
10
