Název a adresa školy: Název operačního programu: Registrační číslo projektu: Název projektu Typ šablony klíčové aktivity: Název sady vzdělávacích materiálů: Popis sady vzdělávacích materiálů: Sada číslo: Pořadové číslo vzdělávacího materiálu: Označení vzdělávacího materiálu: (pro záznam v třídní knize) Název vzdělávacího materiálu: Zhotoveno ve školním roce: Jméno zhotovitele:
Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5 CZ.1.07/1.5.00/34.0129 SŠPU Opava – učebna IT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (20 vzdělávacích materiálů) MEC IIIa Mechanika III – dynamika a hydrostatika, 3. ročník. G–20 09 VY_32_INOVACE_G–20–09
Pohybová energie pro translační pohyb 2011/2012 Ing. Karel Procházka
Př.: V ocelovém žlabu se dopravuje uhlí. Jaký musí být: a) nejmenší úhel sklonu, má–li uhlí žlabem rovnoměrně klouzat. Dáno: f = 0,24. b) zvětšíme–li úhel sklonu žlabu na α = 30 ° , s jakým zrychlením uhlí sjíždí a jaké dosáhne rychlosti na konci žlabu o délce 8 m? a)
∑F
iy
=0
− FN + G ⋅ cosα = 0 → FN = G ⋅ cosα FS = 0 (uhlí nemá propadávat, má sjíždět)
∑F
ix
=0
FT = FN . f
− FT + G ⋅ sin α = 0 − FN ⋅ f + G ⋅ sin α = 0 − G ⋅ cos α ⋅ f + G ⋅ sin α = 0 sin α = f ⋅ cos α
tgα =
sin α = f = 0,24 → α = 13°29′ cosα
1/5
b)
∑F
ix
=0
G ⋅ sin α − FT − FS = 0 G ⋅ sin α − FN ⋅ f − FS = 0 G ⋅ sinα − FN ⋅ f − m ⋅ a = 0 G ⋅ sin α − G ⋅ f ⋅ cos α − m ⋅ a = 0 → m ⋅ a = = G ⋅ sin α − f ⋅ G ⋅ cos α → G ⋅ sin α − G ⋅ f ⋅ cos α a= = m m ⋅ g ⋅ sin α − m ⋅ g ⋅ f ⋅ cos α m ⋅ g ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) = = = m m = g ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) =
= 9,81 ⋅ (sin 30° − 0,24 ⋅ cos 30°) = 2,87 m s 2 = a
a=
v → v = a ⋅t t
s=
1 1 v ⋅t = a ⋅t2 → t = 2 2
2s = a
2⋅8 = 2,36 s 2,87
v = a . t = 2,87 . 2,36 = 6,8 m/s
Pohybová energie pro translační pohyb Pohybová energie hmotného bodu: ∆Ε =
1 ⋅ ∆m ⋅ v 2 2
U translačního pohybu se každý hmotný bod tělesa pohybuje stejnou rychlostí v. Pohybová energie celého tělesa je dána součtem pohybových energií jednotlivých bodů, a proto platí, že:
1 v2 m ⋅ v2 ∆Ε = ∑ ∆Ε i = ∑ ⋅ ∆mi ⋅ v 2 = ⋅ ∑ ∆mi = 2 2 2 Stejně jako u hmotného bodu platí, že práce zrychlující síly se projevuje změnou jeho pohybové energie. Platí to i pro tělesa.
2/5
Práce = Energie W=E
1 F ⋅ s = ⋅ m ⋅ v 2 − v02 2
(
Vlak
Př.:
o
)
hmotnosti
m = 2 ⋅ 105 kg
se
rozjíždí
rovnoměrně
zrychleně
na
rychlost
v = 72 km h = 20 m s na dráze s = 600 m. Určete: a)
zrychlení při rozjíždění;
b)
zrychlující sílu lokomotivy;
c)
energii pohybu vlaku na konci rozjíždění ;
d)
velikost odporu, který působí na vlak, jestliže při vykolejení se zastaví na dráze s = 30 m. a)
1 2⋅s v ⋅t → t = 2 v 2 v v 202 a= = = = 0,333 m s 2 t 2 ⋅ s 2 ⋅ 600 s=
b)
Fz = m ⋅ a = 2 ⋅ 105 ⋅ 0,3333 = 66 666 N
c)
ΕK =
d)
1 1 m ⋅ v 2 = 2 ⋅105 ⋅ 202 = 40 000 000 J = 40 MJ 2 2
1 1 ⋅ m ⋅ v 2 − v02 , v 0 = 0 → F ⋅ s = ⋅ m ⋅ v 2 2 2 2 2 m⋅v 200000 ⋅ 20 F= = = 1333 333 N = 1333 kN 2⋅s 2 ⋅ 30 F ⋅s =
(
)
Dynamika otáčivého pohybu Momenty setrvačnosti těles 2
V pružnosti a pevnosti jsme označovali výraz ∆S ⋅ y = ∆J jako elementární kvadratický moment průřezu. V dynamice součin elementární hodnoty a čtverce vzdálenosti od uvažované osy ∆ m ⋅ r 2 = ∆ I nazýváme elementárním momentem setrvačnosti. Celkový moment setrvačnosti k dané ose:
3/5
I =
∑ ∆I
i
[
= ∆ m1 r12 +∆ m 2 r22 + ... kg ⋅ m 2
]
Základní pojmy Moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm se značí I0 Redukovaná hmotnost: V technické praxi často potřebujeme převést (redukovat) hmotu otáčejícího se tělesa s momentem setrvačnosti I 0 do jediného bodu předepsané vzdálenosti r od osy otáčení tak, aby moment setrvačnosti tohoto bodu byl stejný jako moment setrvačnosti celého tělesa ke stejné ose. Redukovanou hmotnost mr pak určíme ze vztahu:
I 0 = mr ⋅ r 2
mr =
I0 r2
Tímto způsobem redukujeme např. hmotu setrvačníku do čepu kliky. Poloměr setrvačnosti Se zřetelem na zjednodušení vztahů závislých na momentu setrvačnosti se zavádí pojem poloměr setrvačnosti a značí se i. Platí:
I0 = m ⋅ i2 → i =
I0 m
[m]
I0 – moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm. Setrvačný moment Místo momentu setrvačnosti I se při výpočtech setrvačníků a rotačních částí strojů používá setrvačný moment (m∙D2). Bývá uváděn v katalozích elektrických strojů. Podle setrvačného momentu posuzujeme setrvačnost otáčejícího se tělesa. m – hmotnost celého tělesa; D – průměr setrvačnosti.
D = 2⋅i = 2⋅
I0 m
4/5
I0 = m ⋅ i2 i – poloměr setrvačnosti, I0 – moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm. Mezi momentem setrvačnosti a setrvačným momentem platí vztah:
[
m ⋅ D 2 = m ⋅ (2 ⋅ i ) = 4 ⋅ m ⋅ i 2 = 4 ⋅ I 0 kg ⋅ m 2 { 2
]
I0
Setrvačný moment m∙D2 je 4 násobkem momentu setrvačnosti I0.
Seznam použité literatury: •
MRŇÁK L. – DRDLA A.: MECHANIKA – Pružnost a pevnost pro střední průmyslové školy strojnické. Praha: SNTL, 1977.
•
JULINA M., KOVÁŘ J., VENCLÍK V., MECHANIKA II – Kinematika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
•
JULINA M., KOVÁŘ J., VENCLÍK V., MECHANIKA III – Dynamika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
•
JULINA M., KOVÁŘ J., VENCLÍK V., MECHANIKA IV – Mechanika tekutin a termomechanika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
•
TUREK, I., SKALA, O., HALUŠKA J.: MECHANIKA – Sbírka úloh. Praha: SNTL, 1982.
•
LEINVEBER, J. – VÁVRA, P.: Strojnické tabulky. 5. doplněné vydání. Praha: Albra, 2011. ISBN 807361-033-7.
5/5
