Početní základy finanční matematiky konspekt sylabu (poznámky)
verze 4.0, ze dne 4. 1. 2004 Aristoteles byl pravděpodobně první, kdo zaznamenal názor, že a» platí jakákoliv ústava, je vždy hlavním prostředkem k získání moci majetek. A z toho vyplývá, jak uvádí ve své Politice, že poskytnou-li se jistá zvláštní privilegia nevládnoucím nemajetým občanům, nijak to fakticky neposílí jejich moc, ale velmi to pomůže zklidnit jejich případnou nespokojenost. Jedním z těch privilegií je hlasovací právo, které snad ještě nikdy v historii podstatně neovlivnilo veřejnou politiku a nijak nepřispělo k zásadní redistribuci majetku ani k zásadním přesunům politické moci. Joseph Heller: Pictur it (Představ si to., Zpodob toto), v překl. Nemalujte si to Miroslava Jindry vydal Jiří Buchal v edici BB art, rok vydání neuveden. Adresa, na kterou se posílá pošta týkající se státních záležitostí, je ovšem stále ještě Washington, ale to je krycí adresa pro pros»áčky. Zasvěcení píší rovnou do New Yorku. Jen slepý nevidí, že se teï všechno řídí právě odtud. A zákony Wall Street nejsou politické, nýbrž obchodní. Strany jsou fraška inscenovaná pro lid. Programy jsou fraška, OSN je fraška, americké války jsou fraška. Amerika už nemá žádné přesvědčení. . . Nebo» co je vlastně smyslem života? Není to nerušenost běžného dne, jídla, pití, spánku, pokroku a úspěchu? Stále bezstarostněji, stále lépe, stále svobodněji, to je přece kvalita života. Joachim Fernau: Halleluja, Die Geschichte USA (Haleluja, Dějiny USA), v překl. země pod sochou svobody Milady a Milana Kouřimských vydalo nakladatelství Brána 2003, ISBN 80-7243-178-1 Je to pravé antimimon pneuma, nízký duch arogance, hysterie, mlhavé neurčitosti, zločinné amorálnosti a doktrinářské neústupnosti, producent duchovního braku, pseudoumění, folosofického žvanění a utopického šálení, dobrý právě k tomu, aby se krmil ve velkém na masových lidech dneška. Carl Gustav Jung: Aion (příspěvek k symbolice bytostného já) v sebraných spisech 9/II, Nakladatelství Tomáše Janečka, Brno 2003, ISBN 80-85880-26-1
Matematické základy
1
Řady
1.1
∞ Poznámka: Je-li an ∞ n posloupnost čísel, pak z této posloupnosti lze vytvořit novou posloupnost Sn n , n X následujícím rekurentním předpisem: s a sn sn− an , nebo též předpisem sn ak k
1.1.0.1 Posloupnost sn budeme nazývat posloupnost částečných součtů řady Jestliže posloupnost částečných součtů řady Pn an ∞ konverguje (tj. existuje vlastní limita posloupnosti s ), nazýváme řadu a n n k k konvergentní ∞ P ∞ 1.1.0.2 Definice: Buï an n posloupnost. Řada f n an je posloupnost sn ∞ n , taková, že s a , s a a , . . . , s a a · · · an ,. . . tj.: 1.1.0.2.1
∞ X g
an
n
j X i
ai ∞ j
Pokud posloupnost na levé straně 1.1.0.2.1 konverguje, nazveme její limitu součet řady ∞ X
n
an
n→∞
X
P∞
n an
a píšeme
ai
i j
P 1.1.0.3 Poznámka: Z historických důvodů se řada a její součet značí stejně, takže se symbol f nepoužívá a místo něj P Pj ∞ ∞ se používá symbol . Nerozlišuje se tedy posloupnost částečných součtů i ai j sn n , (s a , s a a , . . . , sn a a · · · an ,. . . ) a její limita, která však ne vždy existuje. Pokud existuje a je vlastní (∈ ) říká se o řadě, že je konvergentní, nebo že konverguje. Pokud tato limita existuje a je nevlastní ( ±∞), říká se, že řada diverguje. Pokud tato limita neexistuje, říká se, že ona řada osciluje. 1
verze 4.0
4. 1. 2004
Mocninné řady a exponenciální funkce 1.1.1 1.1.1.1 Definujeme ∞ X zn z e · z · z n n
· z
· z
· z · · ·
a odtud můžeme určit hodnotu eulerovy konstanty.
e
∞ X
n
n
1.1.1.2 Vidíme, že exp0 exp. P∞ P∞ Pn P∞ 1.1.1.3 Věta: (Cauchy) Nech» n an a n bn absolutně konvergují. Pak konverguje také řada n k an−k bk a platí ∞ ∞ X n ∞ X X X an bn an−k bk n
n
n k
1.1.1.4 Poznámka: a
a a a . . . an . . .
b
b b b
. . . bn . . . a b a b a b a b a b a b a b a b .. .. . .
∞ ∞ n X ∞ n X X z z n z z · n n n n n n 1.1.1.6 Předpokládejme x ∈ , i je imaginární jednotka. Pak
1.1.1.5 Důsledek:
z z
∞ n X z
n
n
i · x −
·x −
· i ·
1.1.1.7 A definujeme
x
<
1.1.1.8
x
∞ n X z
n
∞ n X z
Im
n
1.1.1.9 Platí tedy
n
!
i · eix
eix
0
x i x 0
odtud plyne:
i
x−
x i x 0
· x
−
eix
a ale také i · eix i
n
!
·x
· x
· x −
a b a b a b a b .. .
a b a b a b a b . ..
... ... ... ... .. .
z · z
· i · x −
· x −
· x −
· i · x · · ·
· x · · ·
· · · ·
x i x
0
x i · 0 x
x − x − x i x 0
− 0
1.1.1.10 Definice: Funkce je na R prostá. Definujeme funkci logaritmus −→ je na jednoznačně definován těmito rovnicemi:
1.1.1.11 Definujeme dále z
x
7→
x ◦
Id , tedy ∀x ∈ e x
◦ Id , tedy ∀x ∈ e x x x z ·x
) a z exp− z · x (tj. z z z .
2
Jako funkci k ní inverzní. Tedy
Tedy
e.
verze 4.0
4. 1. 2004
Pravidla pro počítání s logaritmem a mocninami 1.1.2 1.1.2.1 Platí
x y
. . .
x ·
y x · y
x · y
a pokud na obě strany rovnice aplikujeme funkci dostaneme x y x · y
1.1.2.2 Dále platí
a
x · b x
a · x ·
. . .
b · x
x
a b
. . . a·b
a tedy ax · bx 1.1.2.3 Přímým dosazením do 1.1.1.1 dostaneme
a · b x
a dále s použitím 1.1.1.5
−x x a−x
⇒
e
−x· a
a protože podle 1.1.2.2 platí
ax
máme −x
a
1.1.2.4 Dále
a tedy pro každou kladnou konstantu y (y
e z
x
ex·
x
a x
a
x
a
ax
z
−x
x
a
x . . . x·
e
.
z
z ) máme ey x
e
xy
.
tento vztah platí ale i pro záporná y, protože e
yx
. . . −yx e
1.1.2.5 Dále
w z
x · w
−yx
e
z w
−y >
z lnz x w
3
−y !x
e
z
x z
. . .
e−y
x
x w w
x
x
verze 4.0
4. 1. 2004 a pokud obě strany rovnosti zobrazíme funkcí w dostaneme z
x · w z w x
z
x
a tedy
w
w
x z
x z
nadto pro inverzní funkci platí (pokud označíme hr homotetii h x 7→ r · x) −
w w
protože h− r
h /r ,
h
z w
◦ z −
−
z
◦h−
w
z
z
◦h /
z w
a tedy wx
z
x w z
.
Za povšimnutí rovněž stojí, že z
1.1.2.6 Cvičení: Ze vztahu 1.1.2.4 tj.
a b
w
z w
w
z
a · b vyvoïte:
ab b a
1.1.2.7 Cvičení: Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí 1.1.2.7.1 • x 7→ x , x 7→ x , x 7→ x, x 7→ x 1.1.2.7.2 • x 7→ x , x 7→ x , x 7→ −x x x x 1.1.2.7.3 • x 7→ , x 7→ , x 7→ x 1.1.2.7.4 • x 7→ x , x 7→ −x , x 7→ − x , x 7→ 1.1.2.7.5 • x 7→ x , x 7→ x , x 7→ x 1.1.2.7.6 • x 7→ x ,x 7→ x,x 7→ x ,x 7→ x , 1.1.2.7.7 • x 7→ x , x 7→ x , x 7→ x 1.1.2.7.8 • x 7→ x , x 7→ x , x 7→ x −x 1.1.2.7.9 • x 7→ x , x 7→ x , x 7→ x 1.1.2.7.10 • x 7→ x , x 7→ −x , x 7→ − x , x 7→ 1.1.2.7.11 • x 7→ x , x 7→ x 1.1.2.7.12 • . Grafy popište! 1.1.2.8 Cvičení: Najděte všechna řešení rovnic x , x −→ Učete hodnotu funkce 1.1.2.9 Cvičení: n x 7−→ xn
, ·
Id ◦ ◦Id
x−
,
v bodě e. 1.1.2.10 Příklad: Najděte všechny lokální extrémy funkce x 7→ xx a určete je. 1.1.2.11 Řešení: d x − x − ⇔x dx x x d − x x dx x x d x − < −e dx x x e
4
e
x , x ,
x
.
verze 4.0
4. 1. 2004
Relativní a absolutní hodnota
2
2.1 i-tá komodita, i
,
, se obchoduje v okamžiku t
,
Příklad
, , , v kurzu
i, t 7→ i i / it
tedy
Okamžik
Kurz komodity 1.
2.
3.
0
3
17
55
1
3,83
23,6
76,6
2
4,64
29,4
92,9
3
5,40
33,8
99,9
4
6,10
36,4
95,9
5
6,70
36,9
81,9
měna . Množství jednotka množství se může ovšem u každé komodity měřit jínak ( jednou objem, jednou hmotnost, jednou třeba počet zrnek), zatímco měna zůstává konstantní. 2.1.0.1 Předpokládáme, že komodity jsou libovolně dělitelné a že zásoby jsou neomezené, tj. že můžeme nakoupit jakékoliv množství jakékoliv komoditz. Otázka je, kterou komoditu je v tom kterém okamžiku výhodné podržet. 2.1.0.2 Znalost kursu nám v rozhodování nepomůže. Důležité je, jak se budou kurzy měnit. Podržíme-li komodity, jejichž kurzy rostou, vyděláme. Podržíme-li komodity, jejichž kurzy klesají, proděláme. Předpokládejme, že chceme vydělat co nejvíce. Spočítáme o kolik se změní kury každé komodity do následujícího okamžiku (tedy v okamžiku t určíme hodnotu κ i, t − κ i, t ) 2.1.0.3 Kurz komodity je číslo, ale můžeme předpokládat, že to je veličina, která má rozměr
Změna kurzu komodity Okamžik
za nejbližší období 1.
2.
3.
0
0,83
6,6
21,6
1
0,81
5,8
16,3
2
0,76
4,4
7,0
3
0,70
2,6
-4,0
4
0,60
,5
-14,0
5
0,51
-1,7
-20,6
Stanovili jsme přírústek kurzu na jednotku množství komodity, ale nás by spíš zajímal relativní přírústek kurzu, přírůstek kurzu na jednotku investovaného kapitálu. κ j, i − κ j, i κ j, i 5
verze 4.0
4. 1. 2004 Relativní přírústky kurzů
Okamžik
1.
2.
3.
0
0,276
0,388
0,393
1
0,211
0,246
0,213
2
0,164
0,150
0,0753
3
0,130
0,0799
-0,0400
4
0,100
0,0110
-0,149
5
0,0745
-0,0461
-0,248
Poslední tabulka je pro obchodovaní směrodatná. Předpokládejme, že máme v okamžiku kapitál velikosti . Ten investujeme v každém okamžiku t , , , do nějaké komodity a v následujícím okamžiku zase komoditu prodáme a tím kapitál zhodnotíme. Nejvýhodnější strategie je tato: 2.1.0.3.1 • v čase kupujeme . jednotek komodity číslo a tak v čase budeme mít kapitál velikosti . . 2.1.0.3.2 • v čase kupujeme . jednotek komodity číslo a tak v čase budeme mít kapitál velikosti . . 2.1.0.3.3 • v čase kupueme . jednotek komodity číslo a tak v čase budeme mít kapitál velikosti . . 2.1.0.3.4 • v čase kupujeme . jednotek komodity číslo a tak v čase budeme mít kapitál velikosti . . 2.1.0.3.5 • v čase kupujeme . jednotek komodity číslo a tak v čase budeme mít kapitál velikosti . V okamžicích 3 a 4 nemusíme chodit na trh, stačí stále držet komoditu číslo 1. Tedy . nakoupíme komoditu číslo 3 tu prodáme v čase 1 a koupíme komoditu číslo 2, tu prodáme v čase 2 a koupíme komoditu číslo 1 a tu podržíme do okamžiku 5. 2.1.0.4 Kdybychom mohli obchodovat komodity v každém okamžiku, bylo by pro nás nejvýhodnější nakoupit třetí a podržet ji až do okamžiku, který je řešením rovnice:
∂ ∂t
κ , t κ , t
a to je okamžik
∂ ∂t
κ , t κ , t
T ,
.
Pak je prodat a nakoupit druhou komoditu a tu podržet až do okamžiku, který je řešením rovnice (v Maple jej určíme příkazem fsolve): ! ∂ ∂ ∂t κ , t ∂t κ , t
κ , t κ , t a to je okamžik T
,
a pak koupit první komoditu, protože derivace vyjadřuje okamžitou změnu kurzu ( její lineární část) a výraz ∂ ∂t
κ i, t κ i, t
je okamžitý relativní přírústek kurzu komodity i v čase t. Relativní znamená, že jednotka ve které je derivace (změna) vyjádřena je je hodnota kurzu komodity i v čase t. Proto držíme vždy tu komoditu, pro kterou je hodnota ∂ i, t ∂t κ podílu κ i, t největší. Je-li κ i, i, , → κ i, je stav kapitálu roven , , T · , T , T · · , T , , 6
verze 4.0
4. 1. 2004
Reálná a nominální a hodnota
3 3.0.0.0.1
• Cena a hodnota Cynic is a man, who knows the price of everything and the value of nothing.
Oscar Wilde Nominální čili jmenovitá hodnota je dobře měřitelná veličina. Udává cenu. Ale, jestliže deset korun dnes už nemá takovou hodnotu jako před desíti lety, jak hodnotu vyjádříme, když jde stále o deset korun? Pokud dokážeme vyčíslit (udat hodnotu) poměru mezi hodnotou desetikoruny před deseti lety a desetikoruny dnes, můžeme vzít jako míru třeba hodnotu desetikoruny dnes a říci, že desetikoruna před desíti lety měla hodnotu 20 korun dnes a nebo, múžeme vzít za míru hodnotu koruny před desíti léty a říci, že desetikoruna dnes má hodnotu pěti korun před deseti léty. V obou případech je poměr současné a minulé hodnoty týž. Za jednotku měření volíme hodnotu koruny v okamžiku, který musí být zvolen pro další úvahy pevně. Hodnota koruny se mění. Reálná (=skutečná) hodnota se mění. Cena, čili nominální ( jmenovitá, jak je pojmenována) hodnota koruny zůstává koruna. Nominální hodnota není skutečná hodnota. 3.0.0.1 Zápisy v kronikách, které uvádí náklady nějaké věci v penězích nám neřeknou nic, dokud neprostudujeme ceny různého zboží té doby. 3.0.0.2 Pokud s námi někdo smluví mzdu za práci, kterou máme vykonat a kterou nám nabízí zaplatit později, než ihned, dopouští se spekulace, protože nikdo neví, jakou hodnotu ta mzda bude mít ve chvíli, kdy bude vyplacena. Situace v Německu v době mezi podpisem Versaillesské smlouvy a křištálovou nocí je příkladem situace, kdy v některých dnech měli peníze večer podstatně menší hodnotu, než v poledne. 3.0.1 Inflace a její míra Nech» hodnota peněz konstatního množství (konstantní ceny) v čase t je X a v čase t je X . Je-li t < t , X > X jde o inflaci. Poměr X X κ nezávisí na množství peněz X a číslo ι κ − nazveme míra inflace. 3.0.1.1 Příklad: Je-li míra inflace ι je X X . Je-li míra inflace ι je X X . Je-li míra inflace ι je X X . 3.0.1.2 Míra infalce je bezrozměrné číslo, které udává jak se změnila reálná hodnota peněz. Jak se změnila za určitou dobu, v našem případě za dobu od okamžiku t do okamžiku t . 3.0.1.3 Reálná hodnota peněz v čase t ( jejichž hodnota v čase t byla X ) je X X ι . Tento vztah je vztahem reálné hodnoty v čase t a t jakéhokoliv množství peněz. 3.0.1.4 Definice: Inflace, konstantní v zadaném intervale času, je inflace, jejíž míra v tomto intervalu závisí jen na délce času a nikoliv na jeho počátečním okamžiku. 3.0.1.5 Zvolme nějakou jednotku času a předpokládejme, že míra inflace je ι a že je inflace konstantní, to znamená, že za každou dobu jednotkové délky (bez ohledu na to, kde v čase začíná) je poměr reálné hodnoty na počátku a na konci týž a sice ι. 3.0.1.5.1 • Jaká je míra inflace za dvě taková období? 3.0.1.5.2 • Jaká je míra inflace za polovinu této doby. 3.0.1.5.3 • Obecně: Jaká je míra inflace za období délky t? t Označme ι ι a označme t / a t časové okamžiky splňující: t / t a t t − t . V čase t je reálná hodnota X Xι Xι a my ve 3.0.1.5.1 hledáme takové ι , aby Xι Xι Odtud
ι 3.0.1.6 Podobně 3.0.1.5.2: hledáme takové ι , aby ι
ι X
ι
− .
ι X
ι
/
a
− .
3.0.1.7 Tuto úvahu múžeme opakovat pro libovolné racionální číslo. Dostaneme p p/q ι − . ι q a pokud má být funkce ι spojitá, je podle Heineho věty (protože racionální čísla jsou hustá v množině reálných čísel) t ι t ι − . 7
verze 4.0
4. 1. 2004 Tedy
3.0.1.8 Věta: Míra konstantní inflace je exponenciální funkcí délky času, za nějž se inflace počítá. A vztah mezi reálnou hodnotou kapitálu téže nominální hodnoty v čase a v čase t je X t
X
t
ι
kde ι je míra inflace za dobu 1.
Průměrná inflace
3.1
Připomeňme, že průměr n čísel, je funkce neklesající v žádném z těchto čísel, jejíž hodnota je mezi nejmenším a největším z nich. 3.1.0.1 Definice: Průměrná inflace za dobu ht , t i je taková konstantní inflace, která má stejnou míru za dobu ht , t i jako ta inflace, jejímž je průměrem. 3.1.1
Případ ekvidistantních období: Předpokládejme, že v každém z n intervalů hti− , ti i , t ≤ t ≤ · · · ≤
tn , které mají stejnou délku, je míra inflace ιi . Pak kapitál reálné hodnoty X V čase t má v čase tn reálou hodnotu Xn Hledáme ι pro které platí: Xn
ι n .
ι
X ι ι · · · ιn
Dostáváme míru průměrné inflace: p n
ι ι · · · ιn −
3.1.1.1 Příklad: Jaká je průměrná měsíční inflace. . . 3.1.2
Případ neekvidistantních období: Předpokládejme, že chceme znát průměrnou inflaci ι za dobu τ v nějakém časovém období I, jsou-li známy míry inflace v různých disjunktních obdobích délky I ,. . . In které pokrývají I. Předpokládejme, že průměrná míra inflace v období Ii je ιi . Postupujeme stejně, jako v případě 3.1.1: násobením spočítáme míru inflace (+1) za dobu I I · · · In , pak odmocněním spočítáme míru inflace (+1) za jednotku času a umocněním za dobu τ a odečteme jedničku. Průměrná inflace za jednotku času tedy je: ι ι · · · ιn
I
A za období délky τ ι ι · · · ιn I
I ··· I
n
−
n
− .
τ I ··· I
3.1.2.1 Příklad: Chceme znát průměrnou čtvrtletní inflaci za dobu uřadování ministra financí Šejdíře. Šejdíř byl ministrem financí v létech 2000, 2001, 2002 (pokaždé celý rok) a pak znovu čtyři měsíce na konci roku 2003. Celková míra inflace za roky 2000 a 2001 (dohromady) byla , , míra inflace za rok 2002 byla , a měsíční míra inflace v každém z měsíců roku 2003 byla , . Protože výsledek je jen přibližná aproximace skutečnosti, můžemi si dovolit zaokrouhlení a považovat všechny měsíce za stejně dlouhé a rok za jejich dvanáctinásobek. Průměrná čtvrtletní inflace tedy je . − , , , ,
8
verze 4.0
4. 1. 2004
3.2
Bezúročné spoření
Nyní předpokládejme, že si po určitou dobu ukládáme v okamžicích t , , , . . . peníze na účet, na němž je úroková míra zanedbatelně malá a nebo, že si je necháváme v hotovosti. Předpokládejme, že úložky mají konstantní nominální hodnotu z. Nominální hodnota stavu účtu v čase je x z. Nominální hodnota účtu v čase 1 je x z. Nominální hodnota účtu v čase 1,5 je stále je x , z. Nominální hodnota stavu účtu v čase t je v čase 0) stavu účtu, z · t , kde − je funkce celá část 4.1.2.2 Jaká je reálná hodnota X t (měřená hodnotou t t . v čase t je-li inflace konstantní a je-li její míra za období délky rovna ι? Je X t x tιt z· ι
3.2.0.1 Příklad: V jakém čase nabývá X t maxima? 3.2.0.2 Řešení: Předpokládáme ι > , z > . Aproximujeme X spojitou (dokonce diferencovatelnou) funkcí X t
z · t t ι
Jest X 0 t a X 0 t
z − z t t ι
⇐⇒ t
ι
− ι ι
To je kritický (stacionární) bod. Přitom funkce z t ι roste monotónně v závislosti na t, takže nalevo od kritického bodu je funkce rostoucí a všude napravo je klesající a tedy funkce má v kritické bodě absolutní maximum. Dosaïme nějaké hodnoty. Při inflaci, jejíž míra je / dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 99,5, při inflaci, jejíž míra je / dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 19,5, Je-li míra inflace dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 1, tedy v době druhé úložky, takže vůbec nemá smysl spořit. 3.2.0.3 Poznámka: Reálná hodnota dosáhne maxima v bodě, který nezávisí na velikosti částek, které ukládáme. Hodnota toho maxima ovšem na velikosti ukládaných částek závisí. 3.2.0.4 Poznámka: z ι z t ι X 00 t − t t ι ι 3.2.0.5 Cvičení: V jakém čase je reálná hodnota celé naspořené částky menší, než byla reálná hodnota první úložky v čase, kdy jsme ji uložili?
Úrok a lichva
4
Úrok od u-řéci umluviti, totiž umluvená částka, ujednaná dávka, tj. lhůtový plat z nájmu a pod (nyní jen z peněz). Příliš (stč. přieliš) pře- a lichý vl. nadbytečný, tedy původně přebytečný odtud lichva, braní příliš vysokého úroku. Slovo je všeslovanské vyjma slovenštiny. Staroslověnské lichojimati znamená bráti úrok příliš, nad slušnou míru. Václav Machek. Etymologický slovník jazyka českého, nakladatelství lidových novin, praha 1997 Josef Holub, Stanislav Lyer: Stručný etymologický slovník jazyka českého se zvláštnímn zřetelem ke slovům kulturním a cizím, Státní pedagogické nakladatelství praha, 1992 Živit se podvodem, lstí, triky, věštěním, lichvou a čímkoliv, co ubližuje jiným, je špatný způsob živobytí. Sutta-Pitaka, Madžadžihima-Nikája (sbírka středních poučení Budhostického kánónu) 117 úrok, stč. = daň; roční plat, na př. z pozemku nebo za ochranu, poplatek. To, co my nazýváme úrokem, označovali Kraličtí staročeským výrazem *lichva. Hebrejština má pro tyto obchodní zvyklosti dva výrazy: „nešek“ překládané výrazem lichva, t.j. úrok z peněz, a „marbít“, překládané výrazy úrok, zisk. První se týkal peněžní půjčky, druhý poplatku v naturáliích, který člověk slíbil dáti tomu, kdo mu vypomohl v okamžité nouzi obilím, pokrmem, apod. *Půjčiti, půjčovati. Obojí bylo zakázáno v poměru k chudým Izraelcům Ex (2. Moj.) 22,25: Jestliže půjčíš stříbro někomu z mého lidu, zchudlému, který je s tebou, nebudeš se k němu chovat jako lichvář, neuložíš mu úrok.
9
verze 4.0
4. 1. 2004 Lv (3. Moj.) 25,35-37: Když tvůj bratr zchudne a nebude moci vedle tebe obstát, ujmeš se ho jako hosta a přistěhovalce a bude žít s tebou. Nebudeš od něho brát lichvářský úrok, ale budeš se bát svého Boha. Tvůj bratr bude žít s tebou. Své stříbro mu nepújčuj lichvářsky, na poskytované potravě nechtěj vydělávat.
ale sr. Dt (5. Moj.) 23.20: Svému bratru nebudeš půjčovat na úrok, na žádný úrok ani za stříbro ani za pokrm ani za cokoli, co se půjčuje na úrok.
Dt 15,7-11 Dt 15, 7-11: Bude-li u tebe potřebný někdo z tvých bratří, v některé u tvých bran v tvé zemi, kterou ti dává Hospodin, tvůj Bůh, nebude tvé srdce zpupné a nezavřeš svou ruku před svým potřebným bratrem. Ochotně mu otvírej svou ruku a poskytni mu dostatečnou půjčku podle toho, kolik ve svém nedostatku potřebuje. Dej si pozor, aby v tvém srdci nevyvstala ničemná myšlenka, že se blíží sedmý rok, rok promíjení dluhů; že tedy budeš na svého potřebného bratra nevlídný a nedáš mu nic. On by kvůli tobě volal k Hospodinu a na tobě by byl hřích. Dávej mu štědře a nebuï skoupý, když mu máš něco dát, nebo» kvůli tomu ti Hospodin, tvůj Bůh, požehná ve všem, co děláš, ve všem, k čemu příložíš ruku. Potřebný ze země nevymizí. Proto ti přikazuji: Ve své zemi ochotně otvírej ruku svému utištěnému a potřebnému bratru.
nařizuje, aby se nuznému půjčovalo z lásky, tj. bez úroku (lichvy) a poplatků. Mezi vlastnostmi spravedlivého (=zbožného) je vypočítáno i to, že nedává na lichvu a nebere na úrok Ez 18,8.17: /spravedlivý. . . ./ 8) nepůjčuje lichvářsky a nebere úrok, odvrací se od bezpráví,vykonává pravdivý soud mezi mužem a mužem,. . . 17) neodtáhne svou ruku od utištěného, nevezme lichvu ani úrok,. . . kdežto člověk, který činí pravý opak, nemůže obstát před Bohem Ez 18,13: /Pokud však zplodí syna rozvratníka, který bude . . . / 13) půjčovat lichvářsky a brát na úrok, bude žít? Nebude žít; dopoštěl se všech těchto ohavností, jistě zemře, jeho krev bude na něm. . . Př 28,8 Př 28,8: Kdo shromažïuje svůj statek lichvou a úrokem, shromažïuje jej pro toho, kdo se smilovává nad nuznými.
praví, že ten, kdo rozmnožuje svůj statek lichvou (nešek) a úrokem (tarbít, odvozeno od téhož kořene jak marbít), shromažïuje ne sobě, ale tomu, kdo bude lépe umět hospodařit s majetkem ve prospěch chudých Př 13,22: Dobrý zanechá dědictví vnukům, kdežto jmění hříšníka bývá uchováno pro spravedlivého. Jb 27,16-17: Kdyby někdo nakupil stříbra jak prachu a navršil oděvů jak hlíny, co navrší, to oblékne spravedlivý a stříbro připadne nevinnému. L 19.24: Své družině pak řekl: „Vezměte mu tu hřivnu a dejte ji tomu, kdo má deset hřiven!“ (Podobenství o hřivnách)
U Ezd 4,13 Ezd 4,13: Nuže, známo buï králi, bude-li toto město vystavšno a jeho hradby dokončeny, že už nebudou odvádět daně, dávky z úrody ani jiné poplatky, takže královská pokladna utrpí škodu.
jde o tři druhy poplatků, které vybírali Peršané od podrobených zemí: „plat“ tj. poplatky daňové, „clo“ tj. naturální dávky a „úrok“ tj. poplatky těch, kteří užívali státních silnic. Podobně Ezd 7,24: Buï vám také známo, že žádnému knězi ani levitovi, zpěvákovi, vrátnému, chrámovému nevolníkovi a služebníku Božího domu se nesmějí vyměřit daně, dávky z úrod a jiné poplatky.
kde perský král Artaxerxes vyňal kultický personál židovský z povinnosti daňové jakéhokoli druhu. Nejspíše platilo totéž o kněžích v Persii. Adolf Novotný: Biblický slovník, 1956, Ústřední církevní nakladatelství, edice Kalich, 2.vydání, heslo „úrok“
Úročení konstatních částek
4.1
Předpokládejme, že v jistém okamžiku získáme kapitál, který nespotřebujeme. Vzniklé úspory chceme zachovat do budoucna o němž nevíme předem nic. Chceme samozřejmě zachovat reálnou hodnotu svého kapitálu. Máme množnost jej uložit do něčeho, co si reálnou hodnotu zachová: do nemovitostí, které neodplaví voda, do komodit, jejichž hodnota příliš nekolísá,. . . anebo starost o udržení reálné hodnoty přenecháme instituci. 4.1.0.1 Pokud tomuto úkolu bude chtít instituce dostát, musí stále zvětšovat nominální stav našeho účtu. Podíl reálných hodnot (mínus jedna) jsme nazvali mírou inflace. Podíl nominálních hodnot (mínus jedna) nazveme mírou úroku. 4.1.0.2 Definice: Uvažujme účet, na nějž neukládáme ani z něj nevybíráme po celou dobu ht , t i. Úrok za dobu ht , t i je rozdíl nominálního stavu tohoto účtu. Efektivní míra úroku za dobu ht , t i je podíl nominálních hodnot ůčtu v čase t a t mínus 1. 4.1.0.3 Poznámka: Pokud je úroková efektivní míra rovna v každém okamžiku inflaci, zůstává zachována reálná hodnota účtu. Pokud je efektivní ůroková míra 0 zůstává zachována nominální hodnota účtu. 10
verze 4.0
4. 1. 2004
4.1.0.4 Poznámka: Morální výtky půjčování openěz na úrok (U Aristotela, v Koránu, v Bibli. . . ) jsou hůře obhajitelné, pokud není efektivní míra úroku větší, než míra inflace. Je však možné, že byly vysloveny v době, kdy byla míra inflace zanedbatelná a nebo nula. 4.1.0.5 Předpokládejme, že x t je funkce, která udává nominální stav účtu v čase t. Předpokládejme, že inflace je konstantní. Pokud má být zachován reálný stav účtu, musí být podle 3.0.1.8
x t x ·
t
ξ
,
kde ξ je efektivní úroková míra za časovou jednotku. Tuto formuli můžeme použít jako definici úročení bez ohledu na inflaci. Úrok a úročení jsou pak pojmy týkající se nominální hodnoty. Proto se dobře počítají, ale nemají reálný význam, totiž, otázku zda je úrok vysoký, nebo nízký, lze bez znalosti inflace zodpovědět jen komparací s jinými úroky a odpověï bude mít jen relativní platnost. 4.1.0.6 Vztah 4.1.0.5 ma i tento význam: Pokud je ξ úroková míra (nějaké ráélné číslo) za jednotku času, a pokud je hodnota nějakého kapitálu v čase t rovna x je hodnota téhož apitálu v čase t rovna x t x ·
t −t
ξ
4.1.0.7 Definice: Je-li t nazývá se x t v 4.1.0.6 současná hodnota. 4.1.0.8 Definice: Je-li t > nazývá se x t v 4.1.0.6 budoucí hodnota. 4.1.0.9 Správné pochopení pojmu oučasná hodnota a rovnice 4.1.0.5 je nutnou podmínkou k pochopení předmětu kuryu Finanční matematika. zbztek jsou jen triviální zobecnění, elementarní algebra a téměř zanedbatelná část analýzy, které ještě v minulém tisíciletí byly základními maturitními znalostmi absolvoventů středních škol.
Úročení 4.1.1 4.1.1.1 Uvažujem rovnici 4.1.0.5 v čase t . 4.1.1.2 Buï stav účtu v čase t x x . Pro efektivní úrokovou míru ξ paltí: stav účtu v čase t x
x
. 4.1.1.3 Pro úrok, tj. pro číslo η platí: stav účtu v čase t
· ξ x
je
·κ
x
x
η
. 4.1.1.4 Otázka je, jaký bude stav účtu v čase t 6 , t 6 . Nejprve se zabývejme okamžiky času, které jseu celým číslem t∈ 4.1.1.5 Pokud budeme chtít, aby v byl zachován vztah 4.1.1.3, tj. aby úrok zůstal konstantní, dostaneme: 4.1.1.5.1 • jednoduché úročení: xn
xn− η
η
4.1.1.5.2
ξ
·x
Pokud budeme chtít, aby v byl zachován vztah 4.1.1.2 tj. aby efektivní úroková míra zůstala konstantní, dostaneme: • složené úročení: xn xn− .κ κ ξ
4.1.1.6 Poznámka: Někdy se udává míra úroku ve zlomku, jehož jmenovatel je 100, tedy procenty (z lat pro cento = ze sta). 11
verze 4.0 4.1.2
4. 1. 2004
Jednoduché úročení. Úrok, se nepřipisuje k základu a neuročí se dále. Příkladem jednoduchého úročení jsou
kupónové dluhopisy. 4.1.2.1 Rekursivní vztah je Jednoduché úročení je monotóním řešejním rovnice 4.1.1.5.1 Tj., je-li úroková míra ξ, máme x x x x
ξ ξ
.. . xn
x
nξ
.. . Rovnice má řešení například: x t x · nebo x t x · t ξ
tξ
4.1.2.2 Definice: Celá část je zobrázení značené obvykle hranatou závorkou (argument se píše do ní) a definované −→ předpisem: − x 7−→ n ∈ x − xi 4.1.2.3 Definujeme: 4.1.2.4 Definice: Spojité jednoduché (polhůtní) úročení s efektivní úrokovou mírou ξ je zobrazení × × −→ x , ξ, t 7−→ x · tξ . Diskrétní jednoduché (polhůtní) úročení s efektivní úrokovou mírou ξ je zobrazení × × −→ x , ξ, t 7−→ x · t ξ .
4.1.2.5 Nech» stav účtu x v čase t je určen funkcí tj. x a ξ je efektivní úroková míra v čase . Pak efektivní úroková míra v čase t je t · ξ. 4.1.2.6 Definice: Uvažujme nějaké úročení ( jednoduché, spojité. . . ) a čas t, který nazveme interval připisování úroků. Buï ξ t efektivní míra úroku v čase t. Nominální úrok v čase τ definujeme jako efektivní úrok úročením definovaným funkcí v čase τ . 4.1.2.7 Tedy pojem nominální a efektivní úrok při úročení splývají. Je-li úročení definováno nějakou jinou funkcí (například jde-li o složené úročení), pak efektivní úrokobvá míra je definována 4.1.0.2 a jako multiplikátor udává stav účtu, zatímco nominální úroková míra je čistě formální pojem, který souvisi se stavem účtu jen nějakým přepočtem. 4.1.3 Diskont 4.1.3.1 Definice: (Obchodní neboli bankovní) diskont je jméno pro úrok při jednoduchém uročení (diskontní míře) v případě, že doba, ve které počítáme stav je záporná. Například převezme-li banka nějakou pohledávku před dobou její splatnosti, nevyplatí celou její výši, ale ponechá si diskont jako náhradu. Diskont se vyplácí při obchodování s krátkodobými cennými papíry. 4.1.3.2 Poznámka: o zaokrouhlování. . . 4.1.4 Složené úročení 4.1.4.1 Složené úročení je řešením funkcionální rovnice 4.1.1.5.2. Jí jsou určeny hodnoty v čase t ∈ : x
x
x
x
ξ ξ
x
x
ξ
x
ξ
.. .
xn .. .
12
n
verze 4.0
4. 1. 2004
n ∈ (úroková míra je stále ξ, úrok je stále větší.) Potřebujeme dodefinovat hodnoty v čase, který není celé číslo. Uvažujme tři různá řešení rovnice 4.1.1.5.2: × × −→ 4.1.4.1.1 • po částech konstantní například x , ξ, t 7−→ x · ξ t × × −→ 4.1.4.1.2 • po částech afinní x , ξ, t 7−→ x · ξ t ξ t − t × × −→ 4.1.4.1.3 • exponenciální x , ξ, t 7−→ x · ξ t . 4.1.4.2 Poznámka: z 4.1.4.1.2 bývá nazýváno smíšené úročení. z 4.1.4.1.3 je identické T s 4.1.0.5 a tredy je stejně přirozené, jako inflace. 4.1.4.3 Poznámka: Jiným příkladem po částech konstantního složeného úročení je funkce: 0
×× x , ξ, t
−→ 7−→ x ·
ξn
· t·n
n ∈ . Je to složené úročení s efektivní úrokovou mírou ξ v čase s připisováním úroků v čase /n.
4.1.4.4 Poznámka: Po částech afinní úročení je pro vkladatele výhodnější, než spojité (exponennciální), protože exponenciální funkce se základem větším než 1 je konvexní a graf funkce tvoří sečny grafu funkce .
4.1.4.5 Příklad: 21. 1. máme na kontě 10. zlatých 16. 3. ulo žíme dalších 10 zlatých a 7. 9. ještě 20 zlatých. Jaký bude stav účtu při roční úrokové míře / 1. 1. následujícího roku? 4.1.4.6 Řešení: Denní úroková míra je ζ a stav účtu bude 1. 1.
,
ζ
−
/ / −
/
, , ζ ζ ζ ζ ζ
,
4.1.4.7 Příklad: Za jak dlouhou dobu bude nominální stav vašeho účtu 120 chechtáků, když v na něj čase 0 uložíte 90 chechtáků a úroková míra je 0,05 po dobu, kdy je nomiinální stav účtu menší než 100 chcetáků a 0,07 po dobu, kdy je větší, než 100 4.1.4.8 Řešení: Nejprve vypočítáme, za jak dlouhou dobu bude na našem účtu 100chechtáků. vyřešíme rovnici
· ,
její řešení je T
t
,
.
Potom vypočítáme, za jak dlouhou dobu stav účtu naroste ze 100 na 120. Rovnice t · ,
má řešení T
,
.
Nakonec obě doby sečteme. Stav účtu bude mít nominální hodnotu 100 chcetáků za dobu T T
,
Přitom jednotka času je táž, v jaké je vyjádřena míra úroku. Pokud se například úroky připisují pouze v okamžicích t , , ,. . . můžeme říci, že nominální stav účtu nikdy 120 nebude. Ale první okamžik, kdy můžeme
13
verze 4.0
4. 1. 2004 na účtu s částkou 120chechtáků počítat vypočítáme takto. Nejprve určíme oprvní okamžik (T ), kdy stav účtu překročil 100chechtáků T ≥ T Je to nejbližší větší celé číslo k řešení rovnice
T
x/
s neznámou x. Je to celé číslo T
a je to počet dní, po kterých budeme mít na ůčtu částka narostla úročením na 120chechtáků:
· ,
chechtáků a T /
· ,
t
nebo více. Pak spočítáme, za jak dlouho by tato
reálné řešení této rovnice označíme t , a najdeme nejblížší větší celočíselný násobek čísla / k t , což je nejbližší větší celé číslo k řešení rovnice:
t
x · /
a je to číslo T
Počet dní, po které musíme spořit je
T T
.
což je , let. V tu chvíli ovšem budeme na účtě mít už , chechtáků. 4.1.4.9 Příklad: Při jaké úrokové míře za jenotku času je stav obou účtů po době T stejný, je-li na prvním na počátku
zlatých a jednoduché úročení a na druhém na počátku zaltých a složeném úrčení? 4.1.4.10 Řešení: Řešení jsou kořeny rovnice:
ξ
ξ .
jde o kvadratickou rovnici, která má dvě řešení:
ξ
√ ,
ξ
−
√
ale jen jedno je kladné. Je to úroková míra ξ
,
tedy 6%. 4.1.5
Nominální úrok
Pokud se v čase /n připisuje úrok s mírou ξ má takzvaný nominální úrok v čase míru n · ξ. Jaká je míra efektivního úrok? ξ n − (srovnej 4.1.4.3). Pokud budeme každý měsíc připisovat úrok o míře , , bude roční nominální úroková míra ale efektivní úroková míra bude , , tedy ani z reklamních důvodů není výhodné zmiňovat nominální úrok, nabízíte=li jako roční úrok z produkt spoření. Naopak, pokud slíbíme vkladu budeme každý měsíc připisovat . . . . vkladu a za rok bude skutečně připsáno vkladu, můžeme ale samozřejmě připisovat každý měsíc vkladu, pak sice za rok připíšeme , vkladu, ale nominální úrok bude p. a., mimochodem úrok za 10 let bude mít nominální míru v tomto případě , , ale klientov budeme možná očekávat úrok s mírouo , . 4.1.5.1 Podle definice 4.1.2.6 je nominlní úroková míra je lineární funkce času, jejíž hodnota je v čase v němž se připisují úroky rovna efektivnímu úroku. 4.1.5.2 Poznámka: lineární funkce viz. Lineární algebra in Matematika 1. 4.1.5.3 Tedy je-li nominální úroková míra v čase t (za dobu t) η t je nominální úroková míra v čase T η T
η t · T t
a funkce , která nominální úrokové míře η v čase 1 a délce intervalu mezi dvěma po sobě jdoucími okamžiky připisování úroků přiřadí efektivní úrokovou míru v čase 1 a f funkce H, která efektivní úrokové míře ξ v čase 1 a 14
verze 4.0
4. 1. 2004
mezi dvěma po sobě jdoucími okamžiky připisování úroků přiřadí nominální úrokovou míru η v čase intervalu . ( je konstantní) splňují rovnici: ξ η
a mají předpis: η, H ξ,
7→
7→ − η ξ −
4.1.5.4 Uvažujme sice složené úročení s úrokovou mírou ξ za jednotku času, ale předpokládejme že se úroková míra počítá podle vztahu pro jednoduché úročení. (to patrně nemá žádný rozumný důvod). Dále předpokládejme, že si můžeme vybrat jak často se budou „připisovat úroky“. Přesněji: předpokládejme, že máme složené uročení s úrokovou mírou, která je závislá na parametru (označme jej n), který nazýváme interval připisování úroků. Pokud je n je úroková míra za jednotku času rovna nějaké konstantě ξ. Obecně zvolíme-li hodnotu parametru n, bude úroková míra za dobu /n rovna ξ/n a tedy úroková míra za jednotku času bude
4.1.5.4.1
4.1.5.4.2
(viz. 4.1.5.3) Porovnáme hodnoty stavové funkce v okamžiku 1. • n : x x ξ •n
: x / x
4.1.5.4.3
ξ n − n
•n
x
ξ
ξ ξ x / x x / · ξ ξ ≥
x
ξ
: x /
x / x
x
ξ
x /
x
/
≥x
/
ξ
ξ
x
·ξ
ξ
x
ξ x
/
· ξ
/
·ξ
ξ
ξ
4.1.5.4.4 • ... 4.1.5.5 Čím častěji připisujeme úroky tím větší je hodnota stavové funkce v čase 1. Otázka je, zda takto může růst hodnota stavové funkce přes všechny meze, nebo zda má nějakou horní mez a jaká je nejmenší horní mez. Pokud je rostoucí posloupnost ohraničená má limitu, tedy nejmenší horní mez, pokud existuje, bude limitou posloupnosti: n ξ x . n Zvolme jednotku měny tak, aby x
n→∞
η n n
n→∞
! nη η n
m m m m e e m e
m
15
m→∞
η
nebo» (s užitím L’Hositalova pravidla)
m→∞
n→∞⇒ n η →∞
m
m
e
m
m η
x→∞
e
η
,
− x x − x
e
e,
verze 4.0
4. 1. 2004 řekne se, že
4.1.5.6 Definice: spojité úročení s nominálním úrokem η je zobrazení x , η, t 7→ x etη
4.1.5.7 Věta: Vztah mezi nominálním úrokovou mírou η a efektivní úrokovou mírou ξ za dobu délky 1 při spojitém úročení je 4.1.5.7.1 • při jednoduchém úročení ξ η a 4.1.5.7.2 • při složeném úročení ξ η .
4.1.5.8 Poznámka: Pokud bychom chtěli, aby funkce určjící stav konta byla skutečně spojitá, musely by být čase i peníze spojité veličiny. Tedy čas každé transakce by musel být určen přesně (nestačiolo by pouze datum) a přesně by musela být uvedena i částka (a nikoliv zaokrouhlena na haléře). V některých případech by ji nebylo možné vyplácet bankovkami a mincemi a pokud by klient musel v bance čekat, byl by odškodněn větším ziskem v případě, že by peníze vybíral, ale prodělával by, v případě, že by přišel ukládat. Oba tyto nedostatky by bylo možné částečně zmenšit tím, že by všechny transakce byly prováděny elektronicky, alespoň do té míry, že by zůčastněné strany byly ochotny chybu ze zaokrouhlení zanedbat. V každém případě reálná situace učiní spojité úrokování diskrétním. 4.1.6
Reálná úroková sazba a čistý výnos
Předpokládejme, že vklad, zúročený za určité období (po čase t ) úrokem o míře ξ je znehodnocen inflací o míře ι. Jaký je reálný ůrok ζ? 4.1.6.1 Reálý stav účtu je X X · ιξ a my hledáme takovou úrokovu sazbu ζ, pro kterou platí:
X ·
ξ
X
ι
·
ζ
máme tedy ζ
ξ ι
−
4.1.6.2 Předpokládejme, že úrok, jako zisk, podléhá zdanění δ (které je vlastně úrokem ze zisku, předpokládejme, že je počítán za stejné období). Potom čistý výnos při úroku ξ z částky x v čase 1 je x ξ − δx ξ 4.1.6.3 Tedy dohromady máme: Je-li míra inflace za nějaké období ι, míra úroku za toto období ξ a daň δ je čistý reálný stav účtu na konci tohoto období ξ · − δ X X · ι pokud na počátku byla uložena částka x a pak již žádná částka nebyla ani ukládána ani vybírána.
Úročení nekonstantních částek
4.2
4.2.0.1 Příklad: Předpokládejme rok o 360 dnech s 12 měsíci po 30 dnech. Ukládáte na účet 100 kč. Účet se úročí a míra úroku je 0.05 p. a.. kolik bude na učtě na konci roku když Uložíte jen jednou a to 4.2.0.1.1 • na začátku roku 4.2.0.1.2 • v polovině roku 4.2.0.1.3 • dvakrát a to • na začátku roku a v polovině roku • v polovině roku a na konci roku 4.2.0.1.4 • dvanáctkrát a a to • na začátku každého měsíce • na konci každého měsíce. 4.2.0.2 Současnou hodnotu účtu (present value) označíme P V . Čas budeme počítat ve dnech.
X t
z t ·
−t / xi
16
verze 4.0
4. 1. 2004 kde zt je postupně jedna z funkcí z
t t 6
, t z t 6
, ( t z t
otherwise
, ( t z t
otherwise
úložka se už neúročí.
,
,
4.2.0.3 z
Ve skutečnosti zde sčítáme řadu X
ξ
i
i
ξ ξ ξ ξ
q
i
7→
ξ
−
t − / otherwise
,
protože poslední
∈
kde
n
ξ ξ ξ
ξ / ξ ξ
ξ
ξ
,
,
i. Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem
i
ξ
a a
i
,
−i/
i/
· xi
a tu můžeme sečíst podle obecného vzorce
a
− q
− q
i
,
−i/ −
t
,
,
,
4.2.0.4 Případ, kdy spoříme na konci měsíce se liší od předchozího pouze funkcí Doba a současnou hodnotou první úložky. Kvocient je stejný jako v předchozím případě a počet členů řady také: n
t / ∈ otherwise Doba i 7→ − i, a ,
, z
17
verze 4.0
4. 1. 2004 Platí
, ξ
4.2.0.5 Budeme znovu předpokládat, že se vklad v čase mění. Předpokládejme, že na účet, jehož stav je postupně uložíme v okamžicích t < · · · < tn částky z ,. . . zn . Je-li zi záporné, znamená to, že jsme v okamžíku ti částku −zi vybrali. Jaký je stav účtu v čase t ≥ tn při konstantní úrokové míře? 4.2.0.6 Každá částka zi se úročí po dobu t − ti , tedy stav účtu v čase t je podle 4.1.0.5 x t
n X i
zi · ξ
t−ti
(ξ je míra úroku za dobu 1). 4.2.0.7 Pokud jsou všechny úložky stejné ∀i zi z okamžiky ekvidistantní ∀i ti − ti t tak řada 4.2.0.6 je geometrická řada a je-li t , t tn má n členů, z nichž první je ten, který dostaneme pro i n a je to z a kvocient řady je ξ . Máme: x t
n X i
z· ξ
n−i · t j i−n
n X j
·z · ξ
j· t
z ·
ξ
t · n t −
ξ
−
4.2.0.8 Podobný vzorec bychom mohli odvodit i pro jednoduché úročení, zde by řada byla aritmetická. Naším cílem je však odvodit obecnější vzorec, který by zahrnoval vzorce pro předlhůtní i polhůtní spoření, splácení dluhů a vyplácšní důchodů z učebnic finanční matematiky. pojmy předlhůtní a polhůtní spořeníé používáme jen jako relikt tradice. Všecny problémy spoření můžeme vyřešit již provedenými úvahami nebo jejich modifikací. 4.2.0.9 Poznamenejme jen ještě, že v okamžiku, kdy nebudou intervaly úložek zcela ekvidistantní a nebo částky konstantní, pak budeme muset sečíst řadu 4.2.0.6 bez vzorečků člen po členu. 4.2.1 Spoření 4.2.1.1 Spoření je úročení částky, která je závislá na čase. Roste ukládáním. 4.2.2 Spoření při složeném úročení a ekvidistantních úložkách 4.2.2.1 Předpokládejme, že ukládáme v ekvidistantních okamžicích, které jsou od sebe v čase vzdáleny τ , že první úložka se děje v okamžiku ε, druhá v okamžiku ε τ , třetí v okamžiku ε · τ . . . a poslední v okamžiku ε T . 4.2.2.2 Ukládáme v čase n · τ ε, n . . . T 4.2.2.3 Kolik je úložek v čase t < T ε? t − ε
τ a v čase T
ε
< t je uloženo
T τ úložek, což je celé číslo. Tedy obecně, ukládáme-li v čase n · τ ε, n ..T máme v čase t T t − ε
,
, τ τ úložek. 4.2.2.4 Ve kterém okamžiku se ukládá i-tá úložkla?
i
7→ i · τ
ε
4.2.2.5 Jak dlouho se do okamžiku túročí i-tá úložka je-li i ≤ t tj. i · τ
i
ε
≤t?
7→ t − i t − i · τ − ε
4.2.2.6 Jaká je současná hodnota (tj. původní nominální hodnota a úroky z ní) i-té úložky v čase tpří úrokové míře
ξ, je-li
i ≤ ta pokud byla v okamžiku ukládání její nominální hodnota z? i 7→ i z ξ i je tedy za předpokladu iτ
ε
18
≤t
verze 4.0
4. 1. 2004 rovna hodnota i z
ξ
t−i τ −ε
4.2.2.7 Chceme-li sečíst současné hodnoty všech úložek provedených v čase předcházejícím nobo rovném okamžiku t. Dostáváme řadu X − i i
4.2.2.8 Podíl i-tého a i -ního členu této řady nezávisí na i, můžeme jej označit kvocient, a je roven i −τ
ξ i Jedná se tedy o geometrickou řadu. 4.2.2.9 Počet členů této řady je
nultý člen je
tedy součet je:
z
ξ
t−ε
ξ
t−ε
ψ τ, , ξ, z, T, t 7→
ξ
ξ
t−ε τ
−τ
−τ
Definujme funkci z
−
ξ
T , τ
z
ξ
t−ε τ
t−ε
,
T τ
−
−τ
t−ε τ
,
ξ
−τ
−
T τ
−
Graf této funkce v závislosti na čase je na obrázku
jednak pro hopdnoty parametrů τ / , / , ξ / , z , T − / , jednak pro spoření, které skončí o chvíli dříve a kolečky (body) je namalován součet nominálních výší úložek. 4.2.2.10 Příklad: Předpokládejme, že ukládáme 10. den každého měsíce 250Kč. Začneme v březnu a skočíme v květnu o tři roky později. Jaký bude stav účtu na konci onoho května, je-li úroková míra stále / p. a.? 19
verze 4.0
4. 1. 2004
• vzdálenost sousedních dvou v čase je jeden měsíc, to je roku (někdy je to 30 dní, někdy 31 dní, někdy 28 dní). 4.2.2.10.1 • První (přibližné) řešení: • • za počátek vezmeme 1. březen. • za jednotku času bereme rok a tedy T , t / • počítáme všechny měsíce třicetidenní a tedy ε • měsíců je 12 za rok pak jde o mezilhůtní spoření a podle vzorce: / ψ , , , , , .
4.2.2.10.2
• Druhé (přibližné) řešení: • za počátek vezmeme 10. 3. Pak je ε a • t − · ψ , , , ,
4.2.2.10.3
,
−
.
• Třetí (přibližné) řešení: • Spočítáme efektivní úrok za měsíc. • Za jednotku času bereme měsíc
− . ψ , , ξ , , · , · .
ξ
• Přesné řešení záleží na tom, je-li rok přestupný, předpokládejme, že není, nebo není a po jakou dobu zůstávájí úroky konstantní, předpokládejme, že po jeden den. Pak doby, po kterou jsou úložky úročeny jsou posupně:. . . 4.2.2.11 Poznámka: Uvedené úvahy múžeme zobecnit a pak vždy vystačíme se vzorcem 4.2.0.7 tedy bez ε, (zejména tedy není rozdíl mezi předlhůtním a polhůtním spoření). 4.2.2.12 Pokud navíc předpokládáme, že v čase byla uložena částka z je stav účtu v čase t T t−ε τ , τ t−ε −τ z ξ − ξ t− z · xi −τ − ξ 4.2.2.10.4
4.2.2.13 Poznámka: poznamenejme ještě, že pokud označíme z t−
ψ t 7→ z ·
xi
ξ
t−ε
φ t 7→ z
ξ
φ t 7→ z
ξ
z
t−ε
z
t−ε
pak platí pro všechna < t < T
ξ
t−ε
ξ
−τ
ξ ε−t−τ
−τ
−
− ξ −τ − ξ t−ε ε−t ξ ξ − −τ − ξ
ε
φ t < ψ t < φ t ψ nτ ε φ nτ ε φ t ψ nτ ε −
t→ nτ ε
20
t−ε τ
,
T τ
−
verze 4.0
4. 1. 2004 Což nám například umožňuje po dobu spoření v okmžicích ukládání úložek počítat stav účtu funkcí phi , která je jednodužší (zejména je analytická), než funkce ψ, která je v okamžicích ukládání úložek nespojitá. Graf všech tří funkcí je na následujícím obrázku:
hodnoty jsou: τ
/
,
/
,ξ
/ ,z
,T
/ .
4.2.3 Spoření při jednoduchém úročení a ekvidistantních úložkách 4.2.3.1 Předpokládejme, že ukládáme v ekvidistantních okamžicích, které jsou od sebe v čase vzdáleny τ , že první úložka se děje v okamžiku εa poslední v čase T
4.2.3.2 V čase t < T ε máme t−ε τ úložek, tedy τ a v čase T ε < tmáme
,
úložek, i-tá úložka se ukládá v okamžiku v čase < t máme
i 7→ iτ ε
i 7→ i τ ε A do okamžiku t se úročí po dobu
i
7→ t − i
i t − i τ − ε
4.2.3.3 Její hodnota v okamžiku t je
i
7→ z
ξ
i
i z
ξ
t − i τ − ε
4.2.3.4 Máme sečíst současné hodnoty ( jejích původní hodnoty a úroky) všech úložek až do okamžiku t. Rozdíl hodnoty i-té a i -ní úložky je diference
hodnota i − hodnota i
−z
·ξ·τ
A tedy nezávisí na t a tedy řada je aritmetická. Nultý člen má v čase t hodnotu
z
·
ξ
· t − ε
a poslední úložka má v čase t už hodnotu hodnotu
− z
·
ξ
T t−ε t − , · τ τ 21
−
τ −ε
verze 4.0
4. 1. 2004 tedy součet je:
hodnota hodnota pocet − · pocet T − z · − − · ξ · t · ξ · ε ξ · τ , τ
−t ε − −ξτ · τ T −t ε · − , τ τ
4.2.3.5 Pokud navíc předpokládáme, že v čase byla uložena částka z je stav účtu v čase t T −t ε · ε − t · ξ − ξ · τ · , x · ξ · t − εo − z ·
− − ξ τ · τ τ T −t ε
− · , τ τ
4.2.3.6 Poznámka: Nyní ještě uvažujme smíšené úročení: rozdělíme čas t na t t − t . Po dobu t se uročí podle 4.2.2.12. Naspořená částka je pak hodnotou x v čase t t v , kterým se spori po dobu t − t 4.2.3.7 Poznámka: Je-li jde o spoření předlhůtní, je-li k jde o spoření polhůtní Je-li t < říká se spoření krátkodobé, Je-li t > říká se spoření dlouhodobé. 4.2.4 Důchod 4.2.4.1 Důchod je spoření se zápornými úložkami (a většinou s nenulovou počáteční úložkou a nezáporným zůstatkem). 4.2.4.2 Volíme, bez újmy na obecnosti k (tj. budeme uvažovat efektivní úrok pro odobí, v němž dochází k výplatám). 4.2.4.3 Důchod bezprostřední, polhůtní (na konci každého úrokového období jsou vypláceny konstantní platby (anuity)): V 4.2.2.12 volíme k , . Záporné úložky z představují vyplácené částky −z. Stav konta se určí vzorečkem 4.2.2.12. Pro vyorečky, které následují byl použit ovšem pomocný vztah 4.2.2.13. • Počáteční úložka, kterou je potřeba v čase ε učinit, aby mohl být důchod o nominální výši −z vyplácen v okamžicích nτ ε po dobu t při úrokové míře ξ; • Okamžik, ve kterém je potřeba uložit počáteční úložku z , aby mohl být důchod o nominální výši −z vyplácen v okamžicích nτ ε po dobu t při úrokové míře ξ; • doba, mezi dvěma výplatami důchodu a • nominální výše jednotlivých výplat (předpokládáme, že jsou všechny stejhné) po dobu t při úrokové míře ξ. . . jsou řešením rovnice φ : 4.2.4.4 t−εττ τ ε −ε −τ z ξ − ξ z − ξ τ t−ε τ z − ξ t ξ − − τ z − ξ ε ξ ! t z ξ ξ ε t−ε z t ε z ξ z ξ τ − ξ ε−ε −τ ε−ε z − ξ ξ −z t−εττ −τ − ξ
4.2.4.5 Jaká je doba, po kterou bude celá počáteční úložka z vyplacena jako důchod? Pro jednoduchost opředpokládejme, že τ , tj. že úroková míra ξ je spočítána pro dobu, která je vzdáleností dvou po sobě jdoucích výplat důchodu v čase. Potom z ξ ε −ε z ξ z ξ ξ ε z ξ −ε ε t ξ 22
verze 4.0
4. 1. 2004
4.2.4.6 Důchod odložený, je důchod s ε < . 4.2.4.7 Důchod věčný je důchod při kterém je vyplácená částka −z rovna úroku. 4.2.4.8 Za splnění vhodných předpokladů budou vzorečky jednodužší. Tak tedy, předokládejme, že známe uložený kapitál v okamžiku t a že se z něj začne vyplácet od tohoto okamžiku pravidelný důchod až do úplného vyčerpání účtu v čase T částkami −z v okamžicích n · τ , a že efektivní úrok, jímž se úročí zústatek na účtu má za dobu τ míru ξ. Pak tyto veličiny musí podle 4.2.2.12 splňovat rovnici:
z z
T
ξ
T
ξ
ξ
−
ξ
ze které plyne:
T
z
−
−z
4.2.5
T
−
!
ξ−
z z ξ z ξ z ξ ! T ξ− z ξ ξ
z ξ ξ
T
Splácení úvěru Splácení úvěru je spoření, při záporné počáteční úložce, při kterém chceme naspořit čásrku 0,
z < ,z > . 4.2.5.1 Anuita (=splátka) = úmor + úrok
4.2.5.2 Příklad: Předpokládejme, že na ůčet ukládáme v okamžicích ti i...t částky zi i...t a v okamžicích τ j ...t vybíráme částky wj j ...t . Pokud nás zajímá stav účtu v čase T > ti , τi musíme sečíst budoucí hodnotu všech těchto částek, příčemž vybírané částky jsou v součtu záporné: X
zi
ti
ξ
i
−
X j
|wj |
τj
ξ
4.2.5.3 Příklad: Předpokládejme, že se během spoření změní úroková míra. Stav účtu spočítáme tak, že sečteme budoucí hodnotu všech últožek, které se děly za první úrokové míry v okamžiku, kdy se úroková míra mění. Pak k budoucí hodnotě této částky v okamžiku, ve kterém počítáme stav účtu — jde o složené úročení — přičteme budoucí hodnotu všech úložek, které se dějí za druhé úrokové míry od změny úrokové míry až po okamžik, ve kterém počítáme stav účtu. X X T zi ξ ti zj ξ tj , ξ i
j
T je doba, po kterou probíhá druhá část spoření. 4.2.5.4 Příklad: 12. den každého měsíce ukládáme 100zlatých. 24. den 6. a 12. měsíc vybíráme 600zlatých. Jaký je stav našeho ůčtu 1. 1. 2010, pokud prvních 5 let byla úroková míra 0.06 p. a. a zbylých 5 let 0.04 p. a. a pokud byl založen 1. 1. 2000? Pro jednoduchost uvažujte každý měsíc 30denní a každý rok 12 měsíční. 4.2.5.5 Řešení: Všimněme si, že po 6 měsících vybereme vždy všechno, co jsme na účet vložili a zbydou nám jenom úroky. Stav účtu po deseti létech je
ξ
X i
z
X
−i/ / ξ z
ξ
i
23
−
−i/ /
X
z−
X
−i/ ξ
i
−
i
z−
ξ
!
−i/
verze 4.0
4. 1. 2004
kde xi / , xi / , z , z− , a . Všechny čtyři řady jsou geometrické, takže je snadné je sečíst. Součtem zjistíme, že na účtu budeme mít 193,375167 zlatých. 4.2.5.6 Příklad: Kdy vznikl dluh. 1000 zlatých, který splatíme 20 měsíčními splátkami o velikosti 100 zlatých pří úrokové míře 1/3 p. a.? 4.2.5.7 Řešení: Budoucí hodnota dluhu a budoucí hodnota splátek za 20 měsíců bude stejná. Tedy t
ξ
z
X
z
i/ /
ξ
,
i
neboli z
p p p p t / ξ z z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ / / / z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ / / / / z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ z ξ
kde z
, z , ξ / a
,
t je neznámé. Po dosazení dostaneme exponenciální rovnici
t , · , , , kterou vyřešíme logaritmováním řešením rovnice AB C x D je x − B C−BD A . Zjistíme, že dluh
vznikl před 1,6509 roky t. j. před 19,81 měsíci. 4.2.5.8 Příklad: Splácíte dluh 12345 chechtáků při úrokové míře 12,3/100 (za splátkové odobí) splátkami 2345 chechtáků. Jak velká bude poslední splátka. 4.2.5.9 Řešení: Počítáme v jakém okamžiku by byl rozdíl budoucí hodnoty dluhu a splátek t
ξ
Z kde Z
, ξ / a
t
z
−
−
t− X
i
ξ
,
i
, nulový, tedy řešíme rovnici
i t− X i
z
−
Její řešení je t
t
což není celé číslo. Dosadíme tedy do prvního výrazu njbližší menší celé číslo (to je 8) a spočítáme rozdíl. Ten pak jedno úrokové období úročíme a tak dostaneme částku, kterou v devátém splátkovém období splatíme dluh. Dluh bude splacen 9. splátkami. Poslední splátka bude mít hodnotu 2320,753691 chechtáků což je o 24,246309 chechtáků méně, než ostatní splátky. 4.2.5.10 Příklad: Kolik byste naspořili, kdybyste během svého života při konstantní úrokové míře 0.04p. a. uložili v ekvidistantních okamžicích (poprvé v den svého narození, naposledy dnes) 4.2.5.10.1 • krát / z korun a kolik byste uspořili, kdybyste uložili ekvidistantních okamžicích 4.2.5.10.2 • krát / z korun? 4.2.5.11 Jaká je limita současné hodnoty tohoto spoření, je-li velikost úložek /n a počet úložek n pro n → ∞? Dosadíme hodnoty: Dnes , , DatNar , , ξ
a definujeme funkce z
n
→
doba
n
→ 24
n
n
,
verze 4.0
4. 1. 2004 kde DOBA je vzdálenost mezi dneškem a datem narození. V našem případě DOBA Řešení prvních dvou příkladů je z n · což je pro n
a pro n
n X
i∗
ξ
n /
i
i X . i
i X
.
i
Dále platí
n→∞
z n ·
n→∞
·
X
i∗
ξ
n /
·
·
n→∞
n−
−
n
−
−
n
−
−
−
·
.
4.2.5.12 Příklad: Je výhodnější zaplatit teï / ceny a pak každý z následujících měsíců / ceny, nebo zaplatit teï měsíců / ceny? / ceny a pak každý z následujících 4.2.5.13 Řešení: Vybíráme projekt s menší současnou hodnotou. (Peníze máme zaplatit a tak chceme zaplatit co nejméně). Řešení je závislé na úrokové míře: Hodnota první projektu v okamžiku první splátky je: P /
X
−i / ξ
i
Hodnota druhého projektu v okamžiku první splátky je: P
X −i / / ξ i
Hledáme nejprve úrokovou míru ξ, pro kterou se současné hodnoty rovnají P P . Tato úroková míra je kořenem algebraické rovnice stupně 20. Polynom 20 stupně je spojitá funkce a tak na intervalech jejichž krajní body jsou jeho po sobě jdoucí kořeny nemění znaménko. Zajímají nás jen kladné kořeny. Takový je jedinný a je to ξ , Nyní dosazením do projektů za úrokovou míru zjistíme, který je výhodnější na intervalu h , ξ a který je výhodnější na intervalu ξ , ∞ (v bodě ξ jsou oba projekty stejně výhodné). Pokud dosadíme body: 0 a 0,1 dostaneme
P1 P2
.
. . .
.
V prvním sloupečku tabulky máme čísla, která si zákazníci většinou spočítají. Zjistí z nich o kolik zaplatí nominálně víc, než byla původní cena. A přitom neberou v potaz úrokovou míru a fakt, že peníze, které zaplatí později mají menší hodnotu. Ještě primitivnější lidé, jak je patrné z formulací reklam, které jsou pro ně psány, si všímají pouze velikosti jednptlivých splátek splátek a nebo pouze velikosti první splátky (Odneste si novou pračku hned a zapla»te jen desetinu její ceny!). Z Našeho, čistě obchodního, způsobu nazíráni se jeví, že při úrokové míře 25
verze 4.0
4. 1. 2004 menší než 0,01130441950, je výhodnější první splátkový kalendář, při větší úrokové míře druhý. Sokrates by se asi smál a řekl by že novou pračku nepotřebuje. Možná by ale kladl dosti hloupé otázky, které by obchodníky kolem popuzovali.
4.2.5.14 Příklad: Jaká je reálná hodnota kapitálu úročeného konstantní úrokovou mírou 0.04, po dobu jednoho roku, když index cen byl postupně ve dvanácti měsících tohoto roku 100, 101.3, 102.5, 103, 103, 104.7, 104.5, 105.1, 106.7, 106.6, 106.7, 108? 4.2.5.15 Řešení: Míra inflace za onen rok je: ι
−
,
úroková míra je
ξ a reálná hodnota kapitálu je
ξ
ι
násobek původní hodnoty. 4.2.5.16 Příklad: Předpokládaná roční míra inflace byla 0.02, skutečná míra inflace byla 0.04. O kolik by se musela snížit daň, aby zústal čistý reálný výnos z úroků stejný jako byl ten, který jsme původně očekávali? 4.2.5.17 Řešení: Rovnice x ξ − δ x ξ − δ h ι ι má pro ι tvar
, ι /
ξ
− δ
ξ
− δ h
a řešení v závislosti na hodnotách úrokové míry a daňové sazbě: h
ξ − ξ δ ξ
tj.: Pokud byla původní daňová sazba δ musela by se zmenšit, při úrokové míře ξ o h Tedy například při úrokové míře ξ
/ · ξ ξ
· δ /ξ.
·δ−
je k udržení reálné hodnoty potřeba snížit daňovou sazbu δ na nulu. 4.3
Úročení s nekonstantní úrokovou mírou
4.3.1 Obecná rovnice 4.3.1.1 Připouštíme, že úroková míra není jednoduchá funkce. (Jednoduché funkce jsou funkce, které mají jen konečně mnoho hodnot.) Pokud má v nějakém okamžiku t hodnotu f t , a pokud by od tohoto okamžiku byla konstantní, rostla by stavová funkce (stav účtu, pokud jde o úrok, ceny, pokud jde o míru inflace) exponenciáně tj byla by to funkce x → A e B x pro vhodné konstanty A a B. Otázka je: pokud je stavová funkce nějaká dosti obecná funkce, jaká je úroková míra v pevně daném okamžiku za jenotku času. 4.3.1.2 Kdyby se úroková míra neměnila a tedy stavová funkce F by byla exponenciální, byla by úroková míra za jednotku času FFx x − . Pokud ovšem stavová funkce není exponenciální, nahradíme ji v daném okamžiku exponenciální funkcí, kterou by se stala, kdyby od tohoto okamžiku byla míra úroku konstantní. Hledáme tedy exponenciální funkci, která bude mít se stavovou funkcí v daném bodě dotzk prvního řádu. (bude mít stejnou hodnotu a stejnou hodnoptu derivace). Z této podmínky vypočítame neznámé koeficienty A a B: F x 7→ A e
B x
, ∂F B x , x 7→ A B e ∂x 26
F x f x ∂F ∂f ∂x ∂x
verze 4.0
4. 1. 2004 hodnoty konstant, pro které má f dotyk prvního řádu s exponenciální funkcí F jsou B
∂ ∂x
f x ,A f x
e
f x
∂ f x x ∂x f x
4.3.1.3 Nyní jsme v daném bodě nahradili stavovou funkci f funkcí F s konstantní mírou úroku. Míru úroku za jednotku F x času vypočítáme jako hodnotu F x − , tedy ι x
e
∂
f x ∂x f x
−
a s využitím identity ∂ ∂x
f x
∂ ∂x
e
f x f x
ji můžeme úsát ve tvaru ι x
∂ ∂x
f x
−
Je to diferenciální rovnice pro stavovou funkci f . Vyřešíme ji: f x e
Poznámka: F x C
Z
f x dx
R
F
ι x dx
Tedy: f x e
−F
Rx
ale f x a tedy:
e
Rx
C
ι s ds
x
a stavová funkce má tvar x → e
f
Rx
x
f s ds
C
C
I ds C f C
Z
Hodnotu C určíme dosazením konstantní funkce za ι. Musí plait: f x I
x − F
pokud je C
I
x
ι s ds
f
kde ι t je úroková míra za jednotku času v okamžiku t. Tento vztah lze použít i pro obecnější třídu funkcí, než je třída C diferencovatelných funkcí. Lze jej použít pro všechny funkce, pro které je ◦ ι − integrovatelná funkce, zejména jej lze použít pro všechny jednoduché funkce, pro které je hodnota stavové funkce dobře známa a pro ně pak dává na rozdíl od vztahu Rt ι s s x t x · e který bývá vyvozován podivným zobecněnm pochybného vzorce 4.1.5.6 stejný výsledek jako je ten, se kterým většinou počítají banky. 27
verze 4.0
4. 1. 2004
Mezní úroková míra 4.3.2 4.3.2.1 Je-li úroková míra konstantní a kladná, je stavová funkce rostoucí a konvexní. Pokud bude kladná, ale bude se velice rychle zmenšovat, bude stavová funkce sice rostoucí, ale konkávní. Jaká by musela být úroková míra, aby stavová funkce byla afinní (přímka)? 4.3.2.2 Stavová funkce je Rt ξ s ds t 7→ x e její derivace je:
t 7→ x
ξ
t e
a druhá derivace je: x t 7→
e
Rt
ξ s ds d
dt ξ t
Rt
ξ s ds
ξ
ξ
t
t ξ t
ξ
t
Hledáme úrokovou míru, pro kterou je druhá derivace nulová. Pokud je x 6 a pokud je ξ > , je druhá derivace stavové funkce rovna nule pro taková ξ, která jsou řešením diferenciální rovnice: d ξ t dt
ξ
t
ξ
t ξ t
Tj. řešíme diferenciální rovnici (po úpravách bude mít tvar:) d ξ t dt
−
ξ
t
ξ
t
a její řešení vyhovuje algebraické rovnici: −
ξ
t − t
C
a je to tedy každá funkce:
t 7→ ξ t e
t−C
−
pro každou konstantu C. Tu vyjádříme z z počáteční podmínky: −
a máme ξ t e
t
ξ
−
ξ
ξ
t
ξ
Dosadíme-li tuto úrokovou míru do vztahu pro úročení dostaneme:
x t
e
Rt
ξ
s
ξ
ds
t
−
ξ
a dostali jsme vskutku afinní funkci. Můžeme uzavřít: Pokud má úroková míra v čase závislosti na čase roste rychleji (klesá pomaleji) než funkce t 7→
ξ
t
·
ξ
je stavová funkce konvexní, pokud klesá rychleji, je konkávní. 28
−
hodnotu ξ
a pokud v
verze 4.0
4. 1. 2004
Priklad 4.3.3 4.3.3.1 Předpokládejme, že úroková míra v čase 0 byla a v čase 1 byla . Předpokládejme, že se v intervalu h , i měnila některou z následujících závislostí na čase t: I
, s < ,
t , I t ,
I
I
,
s<
,
Spočítáme, jaká by v každém z těchto případů byla hodnota stavové funkce v čase 1, kdyby její hodnota v čase 0 byla 1 a ona rostal pouze úročením: Výsledky jsou po řadě: ,
, , ,
Přitom v první a v poslední případě je úroková míra konstantní. V prvním případě je to , v posledním případě . Proto je hodnota stavovéfunkce v čase 2 o desetinu v prvním a o dvě desetiny ve druhém případě větší. Parabola I je konvexní a proto leží pod sečnou I a proto je i hodnota stavové funkce v ve třetím případě větší, než ve druhém.
Finanční toky
5
Současná hodnota a vnitřní míra výnosu
5.1 5.1.1
Vnitřní míra výnosu
.. .
5.1.2 Durace a konvexita 5.1.2.1 Buï P V CF, xi současná hodnota závislá na toku peněz a úrokové míře. Zkoumáme relativní změnu PV v závislosti na změně úrokové míry, tedy výraz
funkci
, ξ
7→
ξ −
, ξ
, ξ
−
, ξ
, ξ
, ξ
Rozvineme do taylorovy řady:
D
D , , ξ , ξ / , ξ , ξ D , , D , , , , ξ / / , ξ
A definujeme: 29
, ξ
, ξ
D , , , ,
, ξ , ξ O
verze 4.0
4. 1. 2004
5.1.2.2 Definice: Durace (v literatuře se tak nazývají i různé jiné modifikace tohoto výrazu) † je druhý člen výše uvedené taylorovy řady: D , ξ , ξ 5.1.2.3 Definice: Konvexita‡ je až na numerický koeficient třetí člen výše uvedené taylorovy řady: D ,
, ξ , ξ
5.1.2.4 Příklad: Uvažujme pět projektů:
− , , , , − , , , , − . , . , . , , − ,− ,− , , , , − , − , − , −
5.1.2.5 Projekty 1,2,3,4 jsou prvního druhu, projekt 5 je druhého druhu. Projekt 2 přčedstavuje kupónový dluhopis. Současná hodnota závisí na úrokové míře:
,
, , , ,
Tedy akceptujeme 1., 2., 3., 4., projekt je-li ξ < . akceptujeme 1., 2., a 3., projekt je-li ξ ∈ . , . <ξ a akceptujrma pouze 5., je-li . 5.1.2.6 Porovnáme nyní pouze 1. a 3. projekt. Rozdíl současné hodnty v okolí úrokové míry . je zanedbatelný. I durace jsou přiblůižně stejné, ale rozdíl konvexností je v okolí bodu 0.02 kladný, 3. projekt má konexnost větší než druhý, to znamená, že při změně rokové mírz poroste rychleji, proto dáme přednost 3. projektu.
Zkouska
6
Student odevzdá soubor, který bude obsahovat tyto údaje: první řádek bude křestní jméno, pokud nebyl pokřtěn tak ta část jména, kterou nemá společnou s rodiči nebo jejich administrativními náhražkami. Druhý řádek je příjmení. Třetí řádek je UČO, což je identifikační číslo přidělené školou. Čtvrtý řádek je číslo v měsíci v gregorianském kalendáři v datu narození. Pátý řádek je číslo měsíce v gregoriánském kalendáři v datu narození. Šestý řádek je číslo roku v gregoriánském kalendáři v datu narození. Sdmý a další řádky vyplní údaji tak, aby vyhovovali zadání, které při zkoušce dostane. Všechny řádky musí být vzplněny. Pokud některý řádek není vzplněn, nelze studenta klasifikovat. údaje jsou porovnávány se vzorovými výpočty. Ya shodné se považují: numerické údaje s odchylkou menší než 1% od vzorových řešení, pokud jsou rúzné od nuly. 0 pokud je vzorové řešení 0. Algešbraicky ekvivalentní výraz k výrazu, který je ve vzorovém řešení. Výrazy je třeba zapisovat ve tvaru Maple, který používá většina programovacích jazyků: * je znaménko multiplikace, / je znaménko dělení, ˆ nebo ** je znaménko umocňování, uvažuje se obvyklá hierarchie početních operací. Závorky se používají pouze kulaté. Hranaté závorky slouží k vyznačování indexů, složené závorky slouží k vyznačování množin.
† Duration =discount mean term of the cash flow = elasticity of the net present value. Je vyjádřena v jednotkách času. ‡ konvexnost(?) konvexity of a cash flow. Je vyjádřena ve čtvercích jednotek času. 30
verze 4.0 6.1
4. 1. 2004
Hodnocení
g je počet řádků, které jsou shodné s hodnotami vzorového řešení. Prvních šest řádků se nehodnotí. Známka
se určí podle násl. vzorce:
0 g
− /
Hodnocení se privádí přiřazením jedné ze sedmi písmenných hodnot takto: 6.1.0.1 6.1.0.2 6.1.0.3 6.1.0.4 6.1.0.5 6.1.0.6 6.1.0.7
> > > > > > >
if Znamka >=4 then Znamka:=’A’; elif Znamka>=3 then Znamka:=’B’; elif Znamka>=2 then Znamka:=’C’; elif Znamka>=1 then Znamka:=’d’; elif Znamka>=0 then Znamka:=’E’; else Znamka:=’F’ fi;
31