vysokoškolské matematiky

Vysok´ aˇ skola polytechnick´ a Jihlava Katedra matematiky

Sb´ırka ˇ reˇ sen´ ych a neˇ reˇ sen´ ych pˇ r´ıklad˚ u z vybran´ ych parti´ı vysokoˇ skolsk´ e matematiky (urˇ ceno pro Matematiku obor˚ u Poˇ c´ıtaˇ cov´ e syst´ emy a Aplikovan´ a informatika)

Marie Hojdarov´ a Miloˇ s Kraus

ˇcerven 2013

c RNDr. Marie Hojdarov´

a, CSc., Mgr. Miloˇs Kraus ISBN 978-80-87035-74-0 Vytvoˇreno programem LATEX 2013

Obsah 1 Diferenci´ aln´ı poˇ cet funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych ˇ sen´e u 1.1 Reˇ ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 19

2 Integr´ aln´ı poˇ cet funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych ˇ sen´e u 2.1 Reˇ ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 46

3 Diferenci´ aln´ı rovnice ˇ sen´e u 3.1 Reˇ ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 71

4 Laplaceova transformace ˇ sen´e u 4.1 Reˇ ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 80 86

Pˇ redmluva

V´ aˇzen´ı studenti, dost´ av´ a se v´ am do rukou sb´ırka ˇreˇsen´ ych a neˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u z parti´ı matematiky, kter´e jsou obsaˇzeny v pˇredmˇetu Matematika 2 pro obor Poˇc´ıtaˇcov´e syst´emy a Aplikovan´a informatika. Nˇekter´e pˇr´ıklady z prvn´ı a tˇret´ı kapitoly pak mohou b´ yt uˇziteˇcn´e i pro studenty oboru Finance. Pˇri studiu doporuˇcujeme si prostudovat nejprve ˇreˇsen´e pˇr´ıklady, a pot´e si je vyˇreˇsit samostatnˇe. N´ aslednˇe pak je moˇzno pˇristoupit k poˇc´ıt´ an´ı pˇr´ıklad˚ u neˇreˇsen´ ych a konfrontovat v´ ami dosaˇzen´ y v´ ysledek s v´ ysledky uveden´ ymi v z´avork´ach vˇzdy za jednotliv´ ymi pˇr´ıklady. Pˇrejeme v´ am u ´spˇech ve studiu a vˇeˇr´ıme, ˇze tato sb´ırka pˇr´ıklad˚ u k nˇemu znaˇcnou mˇerou pˇrispˇeje.

M. Hojdarov´ a, M. Kraus

Podˇ ekov´ an´ı

Autoˇri dˇekuj´ı pan´ı Ing. Stanislavˇe Dvoˇra´kov´e, Ph.D. za koneˇcnou korekturu textu a obr´ azk˚ u v jazyce LATEX.

4

Ve vˇ sech obr´ azc´ıch tohoto textu plat´ı n´ asleduj´ıc´ı u ´mluva: Mnoˇ ziny (dvojrozmˇ ern´ e) jsou vyznaˇ ceny ˇ srafov´ an´ım, jejich hranice jsou zobrazeny plnou ˇ carou, pokud patˇ r´ı mnoˇ zinˇ e a ˇ c´ arkovanˇ e, pokud mnoˇ zinˇ e nepatˇ r´ı. Jednotliv´ e body, pokud je to nutn´ e, jsou vyznaˇ ceny pln´ ym krouˇ zkem, pokud patˇ r´ı mnoˇ zinˇ e a pr´ azdn´ ym krouˇ zkem, pokud mnoˇ zinˇ e nepatˇ r´ı.

1

Diferenci´ aln´ı poˇ cet funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych

Limity funkc´ı hled´ ame v hromadn´ ych bodech A(x0 , y0 ) definiˇ cn´ıho oboru dan´ e funkce. Pˇ resvˇ edˇ cte se, ˇ ze dan´ e body v u ´loh´ ach jsou skuteˇ cnˇ e hromadn´ e body. Podm´ınkou pro existenci tot´ aln´ıho diferenci´ alu v dan´ em bodˇ e A(x0 , y0 ) je spojitost vˇ sech parci´ aln´ıch derivac´ı. Opˇ et se pˇ resvˇ edˇ cte, ˇ ze tomu tak v n´ asleduj´ıc´ıch pˇ r´ıkladech je.

1.1

ˇ sen´ Reˇ eu ´ lohy

Derivace sloˇzen´e funkce f (x, y) = F (u, v), kde u = u(x, y), v = v(x, y)

∂f ∂F ∂u ∂F = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂F ∂u ∂F ∂f = + ∂y ∂u ∂y ∂v

Teˇcn´ a rovina plochy z = f (x, y) norm´alov´ y vektor

τ : z − f (T ) = fx′ (T )(x − x0 ) + fy′ (T )(y − y0 ) n = (fx′ (T ), fy′ (T ), −1)

v bodˇe T (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))

Tot´ aln´ı diferenci´al 1.ˇra´du Tot´ aln´ı diferenci´al 2.ˇra´du

df (A) =

∂f (A) ∂f (A) dx + dy ∂x ∂y d2 f (A) = ∂f 2 (A) ∂f 2 (A) ∂f 2 (A) (dx)2 + 2 dx · dy + (dy)2 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2

v bodˇe A(x, y)

Taylor˚ uv polynom 1.ˇra´du

1 T1 (A) = f (A) + df = 1!   1 ∂f (A) ∂f (A) f (A) + (x − x0 ) + (y − y0 ) 1! ∂x ∂y 1 2 1 T2 (A) = f (A) + df + d f = 1! 2!   1 ∂f (A) ∂f (A) f (A) + (x − x0 ) + (y − y0 ) + 1! ∂x ∂y 2 2 1 ∂f (A) ∂f (A) (x−x0 )2 +2 [ (x−x0 )(y−y0 )+ 2 2! ∂x ∂x∂y ∂f 2 (A) (y − y0 )2 ] ∂y 2

v bodˇe A(x0 , y0 )

Taylor˚ uv polynom 2.ˇra´du

∂v , ∂x ∂v , ∂y

Tabulka 1:

5

tzv. ˇretˇezov´e pravidlo

Derivace funkce f v bodˇe A ve smˇeru vektoru u = (u1 , u2 ), u = (u1 , u2 , u3 )

Gradient funkce f

∂f (A) ∂f (A) ∂f = u1 + u2 , ∂u ∂x ∂y ∂f (A) ∂f (A) ∂f (A) d(f, u) = u1 + u2 + u3 , ∂x ∂y ∂z kde (u1 , u2 ), resp. (u1 , u2 , u3 ), je jednotkov´ y vektor ve smˇeru vektoru u u ∂f = ∇f · ∂u |u| d(f, u) =

Symbolick´ y oper´ator na” bla“   ∂ ∂ ∇= , , ∂x ∂y resp. ∇ =  ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z



 ∂f ∂f grad(f ) = = ∇f (x, y), , ∂x ∂y   ∂f ∂f ∂f = ∇f (x, y, z) , , grad(f ) = ∂x ∂y ∂z

Stacion´arn´ı bod funkce f (x, y) resp. f (x, y, z)

∂f (A) ∂f (A) =0∧ =0 ∂x ∂y ∂f (A) ∂f (A) ∂f (A) resp. =0∧ =0∧ =0 ∂x ∂y ∂z

bod A(x0 , y0 ) resp. A(x0 , y0 , z0 )

Sylvestrovo kriterium lok. extr´em˚ u

D1 > 0 ∧ D2 > 0 ∧ D3 > 0 . . . lok´al. minimum funkce D1 < 0 ∧ D2 > 0 ∧ D3 < 0 . . . lok´al. maximum funkce

lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) resp. f (x, y, z)

Tabulka 2: Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.1. Urˇceme definiˇcn´ı obory funkc´ı dvou promˇenn´ ych a zobrazme pˇr´ısluˇsn´e mnoˇziny: p y y − x2 + 1 . a) f (x, y) = ln(1 − x2 − y) 1 y − x2 + 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ x2 − 1 a souˇcasnˇe 1 − x2 − y > 0 ⇒ y < 1 − x2 a souˇcasnˇe ln(1−x2 −y) 6= 0 ⇒ 1−x2 −y 6= 1 ⇒ y 6= −x2 b) f (x, y) =

−1

1 −1

p (|x| − 1)(|y| − 1).

|x| − 1 ≥ 0 ∧ |y| − 1 ≥ 0 ⇒ |x| ≥ 1 ∧ |y| ≥ 1 ⇒ x ∈ (−∞, −1i ∪ h1, ∞) ∧ y ∈ (−∞, −1i ∪ h1, ∞) ⇒ x ∈ h1, ∞) ∧ y ∈ h1, ∞) nebo x ∈ h1, ∞) ∧ y ∈ (−∞, −1i nebo x ∈ (−∞, −1i ∧ y ∈ h1, ∞) nebo x ∈ (−∞, −1i ∧ y ∈ (−∞, −1i. nebo |x| − 1 ≤ 0 ∧ |y| − 1 ≤ 0 ⇒ |x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 ⇒ tedy −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1

6

x

y 1

−1

1 −1

x

c) f (x, y) =

y

p 1 + x2 + y 2 − 1. arcsin(y − x)

−1 ≤ y − x ≤ 1 ∧ arcsin(y − x) 6= 0 ∧ x2 + y 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x − 1 ≤ y ≤ x + 1 ∧ y − x 6= 0 ∧ x2 + y 2 ≥ 1 ⇒ • x − 1 ≤ y ≤ x + 1 ∧ y 6= x ∧ x2 + y 2 ≥ 1.

2 1

−1

x

1 −1 −2

d) f (x, y) = 2

ln(4 − x2 − y 2 ) . (y − x)(y + x) 2

2

y 2

2

4 − x − y > 0 ∧ y − x 6= 0 ⇒ • x2 + y 2 < 4 ∧ y 6= x ∧ y 6= −x.

−2

2

x

−2

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.2. Vypoˇctˇeme limity funkc´ı (snadn´e) a)

b)

c)

x+y . x−y Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R × R ∧ y 6= x ⇒ (−1, 0) ∈ D(f ) (a nen´ı to izolovan´ y bod) ⇒ x+y −1 lim = f (−1, 0) = = 1. (Obr.a)) −1 (x,y)→(−1,0) x − y lim

(x,y)→(−1,0)

x2 − y 2 . (x,y)→(−1,1) x2 + y 2 Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R × R − {(0, 0)} ⇒ (−1, 1) ∈ D(f ) (a nen´ı to izolovan´ y bod) ⇒ x2 − y 2 0 lim = f (−1, 1) = = 0. (Obr. b)) 2 (x,y)→(−1,1) x2 + y 2 lim

y ln(y − x). (x,y)→(−1,2) x2 Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R × R ∧ y > x ∧ x 6= 0 ⇒ (−1, 2) ∈ D(f ) (a nen´ı to izolovan´ y bod) ⇒ 2 y ln(y − x) = f (−1, 2) = ln 3 = 2 ln 3. (Obr. c)) lim 1 (x,y)→(−1,2) x2 lim

7

y

y

2

y

2

−2

2

x

−2

Obr. a)

2 2

x −2

Obr. b)

2

x

Obr. c)

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.3. Vypoˇctˇeme limity funkc´ı (algebraick´ au ´prava) a)

b)

c)

sin xy . x Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R×R∧x 6= 0 ⇒ (0, π) ∈ / D(f ) (ale je to hromadn´ y bod definiˇcn´ıho oboru ) ⇒ funkˇcn´ı hodnota v bodˇe (0, π) neexistuje - ale lze prov´e st snadnoun´asleduj´ıc´ı algebraickou u ´pravu: sin xy sin xy y sin xy sin A lim = lim · = lim · y = lim · lim y = y→π A→0 A x x y xy (x,y)→(0,π) (x,y)→(0,π) (x,y)→(0,π) 1 · π = π. (Obr.a)) lim

(x,y)→(0,π)

x − 3y √ . √ (x,y)→(3,1) x√+ y − √ 4x − 8y Z podm´ınky x + y− 4x − 8y 6= 0 plyne, ˇze (3, 1) ∈ / D(f ) (ale je to hromadn´ y bod definiˇcn´ıho oboru) ⇒ funkˇcn´ı hodnota v bodˇe (3, 1) neexistuje – ale lze prov´est snadnou n´asleduj´ıc´ı algebraickou u ´pravu: √ √ x + y + 4x − 8y x − 3y x − 3y √ √ √ = lim = lim √ √ √ (x,y)→(3,1) x + y −√ 4x − 8y√ (x,y)→(3,1) x + y − √4x − 8y √x + y + 4x − 8y x + y + 4x − 8y 4 (x − 3y)( x + y + 4x − 8y) = lim = − . (Obr.b)) lim −3x + 9y −3 3 (x,y)→(3,1) (x,y)→(3,1) lim

x2 + y 2 . (x,y)→(0,0) x + y Pouˇzijme pol´ arn´ıch souˇradnic. Pro (x, y) → (0, 0) je x = ̺ cos ϕ → 0 ⇒ ̺ → 0, nebotˇ cos ϕ je omezen´a funkce a obdobnˇe pro y = ̺ sin ϕ → 0 ⇒ ̺ → 0. ̺2 ̺ x2 + y 2 = lim = lim = 0, neJe tedy lim (̺,ϕ)→(0,0) ̺(cos ϕ + sin ϕ) (̺,ϕ)→(0,0) (cos ϕ + sin ϕ) (x,y)→(0,0) x + y botˇ (cos ϕ + sin ϕ) je omezen´a funkce. lim

2

y

y

2 3 −2

2

−2

x

−2 Obr.a)

8

Obr.b)

x

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.4. Ukaˇzme, ˇze n´asleduj´ıc´ı limita neexistuje a)

b)

c)

x+y . x−y Zvolme r˚ uzn´e posloupnosti bod˚ u An (xn , yn) konverguj´ ıc´ı k bodu (0, 0):  1 2 - Napˇr´ıklad posloupnost An (xn , yn ) = An . , n n 3 x+y 3 Pak je lim = lim n1 = − lim = −3. n→∞ 1 n→∞ − (x,y)→(0,0) x − y n  1 1 1 x+y 1 1 n2 − n n −1 . Pak je lim , − = lim = lim = −1. - Jin´a posloupnost Bn 1 1 n→∞ 2 + n→∞ 1 + 1 n2 n (x,y)→(0,0) x − y n n n Existuj´ı tedy (nejm´enˇe ) dvˇe r˚ uzn´e posloupnosti bod˚ u konverguj´ıc´ıch k bodu (0, 0) takov´e, ˇze posloupnosti pˇr´ısluˇsn´ ych funkˇcn´ıch hodnot konverguj´ı k r˚ uzn´ ym hodnot´am, limita funkce tedy neexistuje. lim

(x,y)→(0,0)

x . y2 Obdobn´ y postup jako redchoz´ım pˇr´ıkladu. Napˇr´ıklad:  v pˇ  1 x 1 1 2 ⇒ lim - Posloupnost An , = lim n1 = 1. 2 2 n→∞ 2 n n (x,y)→(0,0) y n   1 x 1 1 n3 ⇒ lim , = lim - Jin´a posloupnost Bn = lim n3 = ∞. n→∞ 16 n→∞ n3 n3 (x,y)→(0,0) y 2 n Dan´a limita funkce tedy neexistuje. Pozn´ amka: Lze pˇrirozenˇe volit ı bod˚  mnoho jin´  u konverguj´ıc´ıch k bodu (0, 0), ych posloupost´ 1 1 n n1 n napˇr´ıklad posloupnosti Cn atd. Zkuste sami. (−1) , 2 , Dn 0 , (−1) n 2n n lim

(x,y)→(0,0)

x2 . (x,y)→(0,2) (y − 2)2 Je tˇreba naj´ıt posloupnosti bod˚ u konverguj´ıc´ı k bodu (0, 2). Takov´e posloupnosti jsou napˇr´ıklad:   ( n1 )2 x2 1 1 lim - Posloupnost An = lim , 2 + (−1)n . Pak je
= 2 n→∞ 1 (−1)n 2 n n (x,y)→(0,0) (y − 2) lim

lim n→∞ 12 n

1 n2

· (−1)2n

n

= 1.

- Jin´a posloupnost Bn lim n2 = ∞.



 1 1 , 2 + 3 . Pak je n2 n

n→∞

( n12 )2 x2 = lim lim
= n→∞ 1 2 n→∞ (x,y)→(0,0) (y − 2)2 3 lim

n

1 n4 1 n6

=

Dan´a limita funkce tedy neexistuje. (Zkuste naj´ıt jin´e posloupnosti bod˚ u konverguj´ıc´ı k bodu (0, 2).)

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.5. Najdˇeme obˇe prvn´ı parci´ aln´ı derivace dan´ ych funkc´ı v bodech A(x, y), B(0, 0) a C(2, 1): a) f (x, y) =

x2 + 1 y2 − 1

−2y(x2 + 1) 1 2x ∂f (A) −2y ∂f (A) = , = fx′ (A) = 2 2x = 2 , = fy′ (A) = (x2 +1) 2 ∂x y −1 y −1 ∂y (y − 1)2 (y 2 − 1)2 ∂f (B) ∂f (B) ∂f (C) ∂f (C) = = 0, = nedef., = nedef.. ∂x ∂y ∂x ∂y 9

xy + sin(2xy) x+y (y + 2y cos 2xy)(x + y) − (xy + sin(2xy)) ∂f (A) ′ , = fx = ∂x (x + y)2 (x + 2x cos 2xy)(x + y) − (xy + sin(2xy)) ∂f (A) = fy′ = , ∂y (x + y)2 ∂f (B) ∂f (B) = nedef., = nedef. ∂x ∂y

b) f (x, y) =

1 + 6 cos 4 − sin 4 ∂f (C) = , ∂x 9

∂f (C) 4 + 12 cos 4 − sin 4 = ∂y 9

√ x+ y+1 √ c) f (x, y) = ln(1 + x + y ) − y + x −√1 √ 1 1.(y + x − 1) − (x + y + 1). 2√ ∂f (A) 2x x ′ √ = fx = − , 2 ∂x 1 + x2 + y 2 (y + x − 1) √ √ 1 √ x − 1) − (x + y + 1).1 2y ∂f (A) 2 y (y + √ = fy′ = − ∂y 1 + x2 + y 2 (y + x − 1)2 ∂f (B) ∂f (B) = = nedef., ∂x ∂y √ ∂f (C) 2 ∂f (C) 2 7 = = − ∂x 3 ∂y 3 4 2

2

x − 2y + sin(2x − y) cos(2x − y) x + 2y Je moˇzn´e, nikoliv nutn´e, nejprve upravit goniometrick´ y v´ yraz 1 an´ı jednoduˇsˇs´ı: sin(2x − y) cos(2x − y) = sin(4x − 2y). Pak je derivov´ 2 1.(x + 2y) − (x − 2y).1 1 4y ∂f (A) = fx′ = + cos(4x − 2y).4 = + 2 cos(4x − 2y), 2 ∂x (x + 2y) 2 (x + 2y)2 −2.(x + 2y) − (x − 2y).2 1 −4x ∂f (A) = fy′ = + cos(4x − 2y).(−2) = − cos(4x − 2y) ∂y (x + 2y)2 2 (x + 2y)2 ∂f (B) ∂f (B) = nedef., = nedef. ∂x ∂y ∂f (C) 1 ∂f (C) 1 = + 2 cos 6 = − − cos 6. ∂x 4 ∂y 2

d) f (x, y) =

2

2

e) f (x, y) = ex +y · arcsin(x2 + y 2 ) 1 ∂f (A) 2 2 2 2 = fx′ (A) = ex +y (2x) arcsin(x2 + y 2 ) + ex +y p · 2x ∂x 1 − (x2 + y 2 )2 ∂f (A) 1 2 2 2 2 · 2y = fy′ (A) = ex +y (2y) arcsin(x2 + y 2 ) + ex +y p ∂x 1 − (x2 + y 2 )2 ∂f (B) ∂f (B) ∂f (C) ∂f (C) = = 0, = nedef., = nedef.. ∂x ∂y ∂x ∂y

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.6. Najdˇeme vˇsechny druh´e parci´ aln´ı derivace dan´ ych funkc´ı: x2 + 1 y2 − 1 ∂f (A) 2x Je = 2 , ∂x y −1

a) f (x, y) =

∂f (A) −2y(x2 + 1) = . ∂y (y 2 − 1)2 10

  ∂ 2 f (A) 2 ∂ ∂f (A) = 2 = , ∂x2  ∂x  ∂x y −1 −2(x2 + 1)(y 2 − 1)2 + 2y(x2 + 1)2(y 2 − 1) · 2y ∂ ∂f (A) ∂ 2 f (A) = = = ∂y 2 ∂y ∂y (y 2 − 1)4 2 2 2 2 2 (x + 1)[−2(y − 1) + 8y ] (6y + 2)(x + 1) = , 2 3 (y −1) (y 2 −1)3   ∂ −2x · 2y 2x ∂ ∂f (A) 4xy ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) = = 2 = =− 2 = ... = . 2 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y y − 1 (y − 1) (y − 1) ∂y∂x

Odtud

2

2

b) f (x, y) = ex +y ∂f (A) ∂f (A) 2 2 2 2 Je = 2xex +y , = 2yex +y . ∂x ∂y ∂ 2 f (A) 2 2 2 2 2 2 = 2ex +y + 2x · 2xex +y = ex +y .(2 + 4x2 ), Odtud ∂x2 ∂ 2 f (A) 2 2 2 2 2 2 = 2ex +y + 2y · 2yex +y = ex +y .(2 + 4y 2 ), ∂y 2    ∂  ∂ ∂f (A) ∂ 2 f (A) 2 2 2 2 2 2 = 2xex +y = 2xex +y 2y = 4xyex +y . = ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.7. (Trochu pracnˇejˇs´ı, ale tak´e uˇziteˇcn´y) ∂2f ∂2f vypoˇctˇeme v´ yraz + funkce f (x, y) = sin(x + y) · cos(x − y). ∂x2 ∂y 2 f (x, y) = sin(x + y) · cos(x − y). ∂f (A) = cos(x + y) cos(x − y) − sin(x + y) sin(x − y), ∂x ∂f (A) = cos(x + y) cos(x − y) + sin(x + y)(− sin(x − y) · (−1)) = ∂y cos(x + y) cos(x − y) + sin(x + y) sin(x − y). ∂ 2 f (A) = ∂x2 − sin(x + y) cos(x − y) + cos(x + y)(− sin(x − y)) − [cos(x + y) sin(x − y) + sin(x + y) cos(x − y)] = − 2 sin(x + y) cos(x − y) − 2 cos(x + y) sin(x − y), ∂ 2 f (A) = ∂y 2 − sin(x + y) cos(x − y) + cos(x + y)(− sin(x − y).(−1)) + cos(x + y) sin(x − y) + sin(x + y) cos(x − y).(−1) = −2 sin(x + y) cos(x − y) + 2 cos(x + y) sin(x − y) ∂ 2 f (A) ∂ = (cos(x + y) cos(x − y) − sin(x + y) sin(x − y)) = ∂x∂y ∂y − sin(x + y) cos(x − y) + cos(x + y) sin(x − y) − cos(x + y) sin(x − y) + sin(x + y) cos(x − y) = 0. ∂2f ∂2f Je tedy + 2 = −4 sin(x + y) cos(x − y) 2 ∂x ∂y

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.8. Urˇceme tot´aln´ı diferenci´aly 1.a 2. ˇra´du n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı v dan´em bodˇe: a) f (x, y) = ex

2

+y 2

v bodech A(0, 0), B(−1, 2).

11

∂f 2 2 = 2xex +y , ∂x ∂2f 2 2 = 4xyex +y . ∂x∂y

Je

∂f 2 2 = 2yex +y , ∂y

∂2f 2 2 = ex +y .(2 + 4x2 ), ∂x2

∂2f 2 2 = ex +y .(2 + 4y 2 ), ∂y 2

∂f (A) ∂f (A) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) = 0, = 0, = 2, = 2, = 0. Dife∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y 2 2 2 renci´aly v bodˇe A(0, 0) jsou df (A) = 0, d f (A) = 2(dx) + 2(dy) . 2 2 ∂f (B) ∂f (B) ∂ 2 f (B) 5 ∂ f (B) 5 ∂ f (B) V bodˇe B je = −2e5 , = 4e5 , = 6e , = 18e , = −8e5 . ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y Diferenci´aly v bodˇe B(0, 0) jsou: df (B) = −2e5 dx + 4e5 dy, d2 f (B) = 6e5 (dx)2 − 16e5 dx dy + 18e5 (dy)2 .

Odtud: V bodˇe A je

b) f (x, y) =

x2 + 1 v bodˇe A(π, 0). y2 − 1

2x ∂f (A) −2y(x2 + 1) ∂f (A) = 2 = −2π, = = 0, ∂x y −1 ∂y (y 2 − 1)2 ∂ 2 f (A) 2 (6y 2 + 2)(x2 + 1) ∂ 2 f (A) ∂ 2 f (A) 4xy 2 = = = −2(π +1), = = −2, =− 2 ∂x2 y2 − 1 ∂y 2 (y 2 − 1)3 ∂x∂y (y − 1)2 0. Diferenci´aly v bodˇe A(π, 0) jsou tedy df (A) = −2dx, d2 f (A) = −2(dx)2 − 2(π 2 + 1)(dy)2 . p c) f (x, y) = ln(x + x2 + y 2 ) v bodˇe (x0 , y0 ) ∈ D(f ). Zˇrejmˇe je D(f ) = {(x, y); x ≥ 0 ∨ y 6= 0}. "p #   1 x2 + y 2 + x ∂f 1 1 2x p p p = 1+ √ 2 2 = . =p 2 2 2 2 2 2 2 +y 2 x ∂x (x + x + y ) (x + x + y ) x +y x + y2     1 ∂f 1 √ 2y 2 = √ 2y2 2 = p p = Obdobnˇe 2 2 2 x +y x +y ∂y (x + x + y ) (x + x2 + y 2 ) y p . x2 + y 2 + x x2 + y 2 1 y0 p Tot´ aln´ı diferenci´al pak je df (x, y) = p 2 · dx + 2 · dy. 2 2 x 0 + y0 x0 + y0 + x0 x20 + y02 Je

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.9. Vypoˇctˇeme n´asleduj´ıc´ı parci´ aln´ı derivace pomoc´ı ˇretˇezov´eho pravidla: 2

a) f (x, y) = 3 sin(2x − 3y) − ex y . 2 Oznaˇcme u = sin(2x − 3y) v = ex y . Pak je f (x, y) = F (u, v) = 3u − v. Podle ˇretˇezov´eho pravidla je ∂f ∂F ∂u ∂F ∂v 2 2 = + = 3 · 2 cos(2x − 3y) − ex y · 2xy = 6 · cos(2x − 3y) − 2xyex y , a ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂u ∂F ∂v ∂f 2 2 = + = 3 · (cos(2x − 3y) · (−3)) − ex y .(x2 ) = −9 · cos(2x − 3y) − x2 ex y . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y b) f (x, y) = 3u2 + 2uv, je-li u = sin(x − y), v = ln(x2 + y 2 ) ∂F ∂u ∂F ∂v 1 ∂f = + = (6u + 2v) cos(x − y) + 2u 2 · 2x = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x x + y2 4x sin(x − y) , 2[3 sin(x − y) + ln(x2 + y 2 )] · cos(x − y) + x2 + y 2 ∂f ∂F ∂u ∂F ∂v 2y = + = (6u + 2v) · (− cos(x − y)) + 2u. 2 = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y x + y2 4y − 6 sin(x − y). cos(x − y) − 2 cos(x − y) ln(x2 + y 2 ) + sin(x − y) 2 . x + y2 12

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.10. Najdˇeme derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı v dan´em smˇeru a) f (x, y) = x3 + xy 2 − xy + 1 v bodˇe A(1, 3) ve smˇeru vektoru u = (1, 0). ∂f (A) ∂f ∂f (A) ∂f = 3x2 + y 2 − y ⇒ = 9, = 2xy − x ⇒ = 5. Parci´ aln´ı derivace ∂x ∂x ∂y ∂y ∇f = gradf = (9, 5). ∂f u (1, 0) = ∇f · = (9, 5) · = 9. ∂u |u| 1

Pozn´ amka: Vˇsimneme si, ˇze nalezen´ a smˇerov´ a derivace je parci´ aln´ı derivace podle x. Je totiˇz vektor u = (1, 0) smˇerov´ ym vektorem osy x.

p x2 + y 2 v bodˇe A(1, −2) ve smˇeru vektoru u = (1, 1). 2x 1 x ∂f (A) ∂f = p =√ , =p ⇒ Parci´ aln´ı derivace 2 2 2 2 ∂x ∂x 5 2 x +y x +y ∂f 2y y −2 = p =p ⇒ ∂f (A)∂y = √ . ∂y 5 2 x2 + y2 x2+ y 2 1 −2 ∇f = gradf = √ , √ . 5   5  ∂f (1, 1) 1 2 1 u 1 −2 1 · · √ = −√ . = ∇f · = √ ,√ = √ −√ ∂u |u| |(1, 1)| 5 5 5 5 2 10

b) f (x, y) =

p Uk´ azkov´ r´ıklad 1.1.11. Urˇceme (smˇerovou) derivaci funkce f (x, y) = 4 − x2 − y 2 v bodˇe √ y pˇ A(1, 1, 2) ve smˇeru gradientu. √ ∂f (A) 2 ∂f −x −1 ⇒ =p = √ =− 2 2 ∂x ∂x 2 2 4−x −y √ 2 −y −1 ∂f (A) ∂f =p = √ =− . ⇒ 2 2 ∂y ∂y 2 2 4−x −y ! √ √ 2 2 . grad(f (A)) = − ,− 2 2 √ √ ! 2 2 Vektor ve smˇeru gradientu je v = − . Je to jednotkov´ y vektor, proto ,− 2 2 ! ! √ √ √ √ ∂f (A) 2 2 2 2 2 2 · − = + = 1. Je to velikost nejrychlejˇs´ı=nejvˇetˇs´ı = ∇f ·v = − ,− ,− ∂v 2 2 2 2 4 4 zmˇeny funkce v bodˇe A, tedy zmˇeny ve smˇeru gradientu.

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.12. Napiˇsme Taylor˚ uv polynom 1. a 2. ˇra´du dan´e funkce v dan´em bodˇe: 9 1 2 2 f (x, y) = − (x + y ) v bodˇe A(1, 2). Funkˇcn´ı hodnota f (1, 2) = 2. 2 2 ∂f ∂2f ∂2f ∂2f ∂f = −x, = −y, = −1, 2 = −1, =0⇒ Parci´ aln´ı derivace: 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂f (1, 2) ∂f (1, 2) ∂ 2 f (1, 2) ∂ 2 f (1, 2) ∂ 2 f (1, 2) v bodˇe (1, 2): = −1, = −2,, = −1, = −1, = 0 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y Taylor˚ uv polynom 2. ˇra´du v bodˇe (1, 2) tedy je: 1 1 T2 (x, y) = 2−(x−1)−2(y−2)+ [−(x−1)2 )−(y−1)2 ] = 2−(x−1−)2(y−2)− [(x−1)2 )+(y−1)2 )], 2! 2! Taylor˚ uv polynom 1. ˇra´du je T1 (x, y) = 2 − (x − 1) − 2(y − 2) = −x − 2y + 7. Tot´ aln´ı tot´aln´ı diferenci´al 1. ˇra´du je Taylor˚ uv polynom 1. ˇra´du, tj. T1 (x, y) = 2 − (x − 1) − 2(y − 2) = df (x, y) a geometricky je zobrazen teˇcnou rovinou v bodˇe T (1, 1, 2). (Obr.) 13

z

T (1, 2, 2) b b

y x Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.13. Najdˇeme pˇribliˇznou hodnotu dan´eho v´ yrazu V = Taylorov´ ych polynom˚ u 1. a 2. ˇra´du.

2, 023 pomoc´ı 0, 992

x3 v bodˇe (x, y) = (2 + 0, 02, 1 − 0, 01). Hodnota f (2, 1) = y2 2 3 ∂f 3x ∂f −2x3 2 3 −2 = 8. Parci´ a ln´ ı derivace: = , = x · = , 12 ∂x y2 ∂y y3 y3 2 2 3 2 ∂ f 6x ∂ f 6x ∂ f −6x2 3 −4 2 −3 = , = −2x · (−3y ) = , = 3x · (−2y ) = . ∂x2 y2 ∂y 2 y4 ∂x∂y y3 2 2 ∂f ∂ f ∂2f 12 ∂f −16 ∂ f V bodˇe (x0 , y0 ) je = 12, = 48, = = 12, = = −16, = −24. ∂x 1 ∂y 1 ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y Taylorovy polynomy: 1 T1 (x, y) = 8 + 12∆x − 16∆y, T2 (x, y) = 8 + 12∆x − 16∆y + [12(∆x)2 − 48∆x∆y + 48(∆y)2 )]. 2! Pˇribliˇzn´e hodnoty v´ yrazu V jsou: . V = T1 (x, y) = 8 + 12.0, 02 − 16.(−0, 01) = 8, 40, 1 . V = T2 (x, y) = 8 + 12.0, 02 − 16.(−0, 01) + [12 · 0, 0004 − 48 · 0, 02 · (−0, 01) + 48 · 0, 0001] = 8, 4096. 2 V´ yraz V je hodnotou funkce f (x, y) =

Nalezen´e v´ ysledky souhlas´ı s pˇresn´ ymi hodnotami na dvˇe resp. tˇri desetinn´ a m´ısta. Taylorovy polynomy vyˇsˇs´ıch ˇra ´d˚ u by poskytly v´ ysledky s pˇresnost´ı na v´ıce desetinn´ ych m´ıst.

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.14. Najdˇeme teˇcnou rovinu plochy: p a) f (x, y) = x2 + y 2 v jej´ım bodˇe T (3, 4, ?). √ Souˇradnice zT dostaneme dosazen´ım do rovnice plochy f (x, y): z = 32 + 42 = 5. 2x 3 ∂f 2y 4 ∂f ∂f (T ) ∂f (T ) = p = , = p = . Parci´ aln´ı derivace ⇒ ⇒ 2 2 2 2 ∂x ∂x 5 ∂y ∂y 5 2 x +y 2 x +y 3 4 Teˇcn´ a rovina je z − 5 = (x − 3) + (y − 4) ⇒ 3x + 4y − 5z = 0. 5 5 b) f (x, y) = sin2 x − cos2 y v jej´ım bodˇe T ( π2 , π2 , ?). zT = sin2 π2 − cos2 π2 = 1 − 0 = 1. ∂f ∂f (T ) Parci´ aln´ı derivace = 2 sin x cos x = sin 2x ⇒ = sin 2 π2 = 0, ∂x ∂x ∂f ∂f (T ) = 2 cos sin y = sin 2y ⇒ = sin 2 π2 = 0. ∂y ∂y Odtud teˇcn´ a rovina z − 1 = 0.(x − π2 ) + 0.(y − π2 ) ⇒ τ : z = 1.(Interpretujte geometricky.)

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.15. Najdˇeme stacion´ arn´ı body a pˇr´ıpadnˇe lok´aln´ı extr´emy funkc´ı: a) f (x, y) = x2 − xy + y 2 + x − y + 1. ∂f ∂f = 2x − y + 1, = −x + 2y − 1 ⇒ Parci´ aln´ı derivace ∂x ∂y

1 1 podm´ınka pro stacion´ arn´ı body 2x − y + 1 = 0 ∧ −x + 2y − 1 = 0 ⇒ x = − , y = ⇒ 3 3 14

stacion´ arn´ı bod je



 1 1 − , . 3 3

∂2f ∂2f ∂2f = 2, = 2 = −1. O extr´emu rozhodneme pomoc´ı Sylvestrovy vˇety: 2 ∂x ∂y 2 ∂x∂y   1 1 2 ∂ f (− 3 , 3 ) ∂ 2 f (− 13 , 31 ) 1 1 Parci´ aln´ı derivace ve stacion´ arn´ım bodˇe − , jsou = 2, = 3 3 ∂x2 ∂y 2 1 1 ∂ 2 f (− , ) 2 −1 3 3 = −1. Determinanty D = 2, D = 2, = 3. Podle Sylvestrovy 1 2 −1 2 ∂x∂y 2 1 1 vˇety m´a funkce v bodˇe (− , ) ostr´e lok´aln´ı minimum, fmin = . 3 3 3 b) f (x, y) = x2 − y 2 .

∂f ∂f = 2x, = −2y ⇒ podm´ınka pro stacion´ arn´ı body 2x = 0∧−2y = 0 ⇒ ∂x ∂y x = 0, y = 0 ⇒ stacion´ arn´ı bod je (0, 0). ∂2f ∂2f ∂2f O extr´emu rozhodneme pomoc´ı Sylvestrovy vˇety: = 2, = −2 = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y 2 2 ∂ f (0, 0) ∂ f (0, 0) ∂ 2 f (0, 0) Parci´ aln´ı derivace ve stacion´ arn´ım bodˇe (0, 0) jsou = 2, = −2, = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y 2 0 Determinanty D1 = 2, D2 = = −4. 0 −2 Podle Sylvestrovy vˇety nem´ a funkce ve stacion´ arn´ım bodˇe (0, 0) lok´aln´ı extr´em, ale tento bod je sedlov´ y.

Parci´ aln´ı derivace

z

z

sedlo

x

min

x

y

y

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.16. Najdˇeme v´ azan´e extr´emy dan´ ych funkc´ı s vazbovou podm´ınkou: a) f (x, y) = e−x

2

−y 2

s vazbovou podm´ınkou g(x, y) = x2 + y − 1 = 0. Dosazovac´ı metoda: 2

2 2

Z vazbov´e podm´ınky vyj´ adˇr´ıme y = 1−x2 a dosad´ıme do dan´e funkce : f (x, x) = e−x −(1−x ) = −x4 +x2 −1 e a hled´ ame extr´em t´eto funkce. 4 2 f ′ (x) = e−x +x −1 · (−4x3 + 2x) √ = 0 ⇒ −4x3 √ + 2x = 0 ⇒ x(−4x2 + 2) = 0 ⇒ 2 2 ′′ 1 4 2 ∨x = − . f (x) = e−x +x −1 · (−4x3 + 2x) · (−4x3 + x = 0 ∨ x2 = ⇒ x = 0 ∨ x = 2 2 2 4 2 2x) + e−x +x −1 · (−12x2 + 2) = 4 2 e−x +x −1 [(−4x3 + 2x)2 − 12x2 + 2]. Dosazen´ım 15

1) x = 0, dostaneme f ′′ (0) = 2e−1 > 0 ⇒ v bodˇe x√= 0, y = 1 v´ azan´e lok´aln´ı minimum fmin = e−1 . √ √ 1 1 2 2 2 ′′ − 43 , y = dostaneme f ( ) = e (−4) < 0 ⇒ v bodˇe x = , y = v´ azan´e 2) x = 2 2 2 2 2 − 34 lok´aln´ı maximum fmax = e . √ 2 1 , y= 3) Zcela obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe je v bodˇe x = − 2 2 3 v´ azan´e lok´aln´ı maximum fmax = e− 4 . z

max max b

b

min b

y

x

Lagrangeova metoda je v tomto pˇr´ıpadˇe pracnˇejˇs´ı, vede ovˇsem k t´ ymˇz z´ avˇer˚ um. Jen struˇcnˇe: 2 2 L(x, y, λ) = e−x −y + λ(x2 + y − 1) ⇒ 2 2 ∂L = −2xe−x −y + 2xλ = ∂x 2 2 ∂L = −2ye−x −y + λ = ∂y

x2 + y − 1 =

0, 0, 0

(1.1.1)

Odtud (ˇreˇsen´ım soustavy rovnic) tˇ√ ri moˇznosti: √ 1 1 1 2 2 −1 −1 2 (x = − (x = 0, y = 1, λ = 2e ), (x = , y = , λ = e ), , y = , λ = e− 2 ). 2 2 2 2 [trojice (λ = 0, x = 0, y = 0) nevyhovuje]. V´ ypoˇctem druh´ ych parci´ aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce a s pouˇzit´ım Sylvestrovy vˇety dojdeme k t´ ymˇz v´ ysledk˚ um jako pˇredchoz´ım dosazovac´ım zp˚ usobem.

2 2 b) f (x, y) = 2 − x − y (rovina σ), vazba g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 (kruˇznice). 3 3 Lagrangeova metoda: Lagrangeova funkce L(x, y, λ) = 2 2 2 − x − y + λ(x2 + y 2 − 1) ⇒ 3 3 ∂L 2 = − + 2xλ = 0, ∂x 3 2 ∂L = − + 2yλ = 0, ∂y 3 x2 + y 2 − 1 = 0. Z prvn´ıch dvou rovnic ım do tˇret´ı rovnice dost´ av´ ame √ je x = y a dosazen´ √ 2 2 2x2 = 1 ⇒ x = ± a 2y 2 = 1 ⇒ y = ± . 2 2 ˇ sen´ım jsou dvojice Reˇ √ √ √ 2 2 2 , ), λ = A( 2 2 3 16

√ √ √ 2 2 2 a B(− ,− ), λ = − (moˇzn´e v´ azan´e extr´emy). 2 2 3 Bod A : √ √ 2 2 ∂2L 2 2 ∂2L = 2λ = = 2λ = , , ∂x2 3 ∂y 2 3 2 ∂ L = 0. ∂x∂y Determinanty: √ 2 2 √ 0 8 2 2 3 √ = . D1 = , D2 = 2 2 3 9 0 3 D1 > 0 ∧ D2 > 0 ⇒ v bodˇe A m´a funkce f v´ azan´e lok´aln´ı minimum fmin √ 2 2 . Analogicky v bodˇe B je v´ azan´e lok´aln´ı maximum fmax = 2 + 3 z

√ 2 2 . =2− 3

B b

σ

A b

y x

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 1.1.17. Najdˇeme glob´ aln´ı extr´emy dan´ ych funkc´ı na dan´ ych mnoˇzin´ach: a) Funkce f (x, y) = x2 + xy + y 2 na mnoˇzinˇe M : y ≥ x2 , y ≤ 1. ∂f ∂f 1) Lok´ aln´ı extr´emy: = 2x + y, = x + 2y. Soustava rovnic ∂x ∂y 2x + y

=0

x + 2y

= 0.

⇒ stacion´ arn´ı bod x = 0, y = 0. ∂2f ∂f 2 ∂2f = 2, = 2, =1. 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y 2 1 = 3. Bod A(0, 0) ∈ M , podle Sylvestrovy vˇety je 1 2 v bodˇe A lok´aln´ı minimum f (0, 0) = 0. 2) Hranice mnoˇziny M (dosazovac´ı metoda): pˇr´ımka y = 1 ... podezˇrel´e body pro v´ azan´e extr´emy na mnoˇzinˇe vnitˇrn´ıch bod˚ uu ´seˇcky y = 1 v intervalu h−1, 1i: f (x, x) = x2 + x + 1 ⇒ f ′ = 2x + 1 = 0 ⇒ x = − 21 , y = 1 ⇒ bod B(− 21 , 1) ale neleˇz´ı v dan´e mnoˇzinˇe M . parabola y = x2 ... v´ azan´e extr´emy na mnoˇzinˇe bod˚ u paraboly: f (x, x) = x2 +x3 +x4 ⇒ f ′ = 2x+3x2 +4x3 = 0 ⇒ x(2+3x+4x2 ) = 0 ⇒ x = 0∨2+3x+4x2 = 0 − nen´ı re´ aln´e ˇreˇsen´ı . Bod C(0, 0) – viz bod A(0, 0) v´ yˇse. 3) Hroty – vrcholy“. ” D(−1, 1) ⇒ f (D) = f (−1, 1) = 1, Determinanty: D1 = 2, D2 =

17

E(1, 1) ⇒ f (E) = f (1, 1) = 3. Z´ avˇer: ze vˇsech kandid´ at˚ u na absolutn´ı extr´em na mnoˇzinˇe M vych´az´ı absolutn´ı maximum v bodˇe E – M ax = (1, 1, 3) a absolutn´ı minimum je v bodˇe A – M in = (0, 0, 0). y D

1

E

−1 A ≡ C

1

x

b) Funkce f (x, y) = 5 − x2 − xy − y 2 na mnoˇzinˇe M = h0, 1i × h0, 1i. 1) Stacion´arn´ı bod A′ (0, 0), f (A′ ) = 5. 2) Hranice mnoˇziny M : • x = 0 ⇒ f (y, y) = 5 − y 2 ⇒ f ′ = −2y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 0, y = 0. Bod A(0, 0) ≡ A′ f (A) = f (A′ ) = 5. y • x = 1 ⇒ f (y, y) = 5 − 1 − y − y 2 ⇒ f ′ = −1 − 2y = 0 ⇒ y = − 12 ⇒ x = 1, y = − 12 . Z´ıskan´ bod neleˇz´ı v mnoˇzinˇe M . • y = 0 ⇒ f (x, x) = 5 − x2 ⇒ f ′ = −2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0, y = 0. Z´ıskali jsme opˇet bod A(0, 0), f (A) = 5. • y = 1 ⇒ f (x, x) = 5 − 1 − x − x2 ⇒ f ′ = −1 − 2x = 0 ⇒ x = − 12 ⇒ x = − 12 , y = 1. Z´ıskan´ y bod neleˇz´ı v mnoˇzinˇe M . 3) Hroty – vrcholy“ ” Bod A = (0, 0) viz v´ yˇse. Bod B = (0, 1), C = (1, 0), D = (1, 1). Vypoˇcteme hodnoty funkce v tˇechto bodech: f (B) = f (C) = 4, f (D) = 2. Extr´emn´ı hodnoty funkce mohou b´ yt v bodech A, B, C, D. Zˇrejmˇe je absolutn´ı maximum v bodˇe A, a to fmax = 5, a absolutn´ı minimum v bodˇe D, a to fmin = 2.

z A-max

C B

D-min

x

y

18

1.2

Cviˇ cen´ı

1) Stanovte a nakreslete definiˇcn´ı obory funkc´ı: √ √ x+y− y−x

a) f (x, y) =

b) f (x, y) = ln(x − y) − c) f (x, y) =

y2

x −x

d) f (x, y) = p

1 y−x

e) f (x, y) =

1 x2 + y 2 − 1

x2 − y 2 log(x2 − y 2 )

f) f (x, y) = ln[(4 − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 1)]



 2 a){(x, y) ∈ R × R, x ≤ y ≤ −x}, b){(x, y) ∈ R × R, y > x}, c){(x, y) ∈ R × R, y = 6 x}   2 2  d){(x, y) ∈ R × R, x + y > 1}  e){(x, y) ∈ R × R, −|x| < y < |x| ∧ y 2 6= x2 − 1}, f ){(x, y) ∈ R × R, 1 < x2 + y < 4} a) f (x, y) =

√

x+y−

√ y−x

b) f (x, y) = ln(x − y) −

y

1 y−x

c) f (x, y) =

x y2 − x

y y 2 x

x 3

x

−2

d) f (x, y) = p 2

1 x2

+

y2

−1

e) f (x, y) =

x2 − y 2 log(x2 − y 2 )

f) f (x, y) = ln[(4 − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 1)]

y

y

2

y

1 x 2

−2

−2

−2

x 2

−2 −1 −1 −2

19

1

2

x

2) Stanovte a nakreslete definiˇcn´ı obory funkc´ı: x−y x · ln y x+y e) f (x, y) = p x2 + y 2 + 2xy 1 f) f (x, y) = log2 (x − y)

a) f (x, y) = arctg y + arccotg x b) f (x, y) = arcsin c) f (x, y) =

d) f (x, y) =

1 1 + arccos x y

arccotg x arctg y

[ a){(x, y) ∈ R × R}, b){{(x, y) ∈ R × R}, x ∈ h1, ∞i ∪ (−∞, −1i ∧ y ∈ h1, ∞i ∪ (−∞, −1i}]

[ c){(x, y) ∈ R × R} \ {(x, 0)}, d){(x, y) ∈ R × R, x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ y > 0}]

[ e){(x, y) ∈ R × R, y 6= −x}, f ){(x, y) ∈ R × R, y 6= x − 1 ∧ y < x}.]

a) f (x, y) = arctg y+arccotg x

b) f = arcsin

y

1 1 + arccos x y

c) f (x, y) =

arctg x arctg y

y y

2

x

−2

2

x x

−2

d) f (x, y) =

x−y x · ln y

e) f (x, y) = p

x+y x2 + y 2 + 2xy

f) f (x, y) =

1 log2 (x − y)

y 2

y

y

1 x

x

x

−2

3) Vypoˇctˇete z(1, 0), z(0, 54 ), z(1, 1) funkce z = f (x, y) =

4) Urˇcete f (1, xy ) funkce f (x, y) =

p

1 − x2 − y 2 .



a) 0, b) 35 , c) nedef.



2xy . + y2

x2

 20

f (x, y) = f (1, xy )



5) a) Urˇcete koeficienty a, b ∈ R tak, aby na grafu funkce z = ax + by leˇzely body A(1, 2, 10), B(3, 0, 21). 2 + 5 leˇzely body A(1, 1, 6), b) Urˇcete koeficienty a, b ∈ R tak, aby na grafu funkce z = ax + by B(2, 1, 8).   3 6 a) a = 7, b = , b) z = +5 2 −4x + 10y 6) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce z(x, y): x2 , y √ √ d) z = x + y

a) z = x + y, 1 , b) z = x+y

e) z =

c) z =

p

2x − x2 − y 2

f) z = ln[12 − 3(x2 + 4y 2 )]

[a) rovina R × R, b) rovina R × R s vylouˇcen´ım pˇr´ımky y = −x]

[c) rovina R × R s vylouˇcen´ım osy ox , d) I. kvadrant vˇcetnˇe hraniˇcn´ıch polopˇr´ımek] [e) uzavˇren´ y kruh se stˇredem S(1, 0) a polomˇerem r = 1]

[f ) vnitˇrek elipsy se stˇredem S(0, 0) a s poloosami a = 2, b = 1]

7) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce z(x, y): a) z = b) z =

√

√

x+5+

√ y

c) z =

1 − x2 − ln(y 2 − 4)

p

9 − x2 − y 2

d) z = ln(x2 + y 2 − 16)

[a) prav´ yu ´hel vymezen´ y podm´ınkami x ≥ −5 ∧ y ≥ 0 vˇcetnˇe hraniˇcn´ıch polopˇr´ımek ] [b) mnoˇzina vymezen´ a podm´ınkami x ∈ h−1, 1i ∧ (y > 2 ∨ y < −2)] [c) uzavˇren´ y kruh S(0, 0), r = 3, d) vnˇejˇsek kruhu S(0, 0), r = 4]

8) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce z(x, y): √

4 − x2 +

p

16 − x2 − y 2 p b) z = ln(x2 + y 2 − 1) + 4 − y 2 a) z =

d) z =

p

sin(x2 + y 2 )

e) z = arcsin(3 − (x2 + y 2 )) x f) z = arcsin 2 y

c) z = ln(x − y)

[a) pr˚ unik rovinn´eho p´asu − 2 ≤ x ≤ 2 a kruhu S(0, 0), r = 4, vˇcetnˇe vˇsech hranic] [b) rovinn´ y p´as − 2 ≤ y ≤ 2 s vylouˇcen´ım vnitˇrku kruhu S(0, 0), r = 1]

[c) polorovina vymezen´ a pˇr´ımkou y = x pod touto pˇr´ımkou a s jej´ım vylouˇcen´ım] [d) soustava uzavˇren´ ych mezikruˇz´ı S(0, 0), 2kπ ≤ x2 + y 2 ≤ (2k + 1)π, k = 0, 1, 2, . . . ] [e) uzavˇren´e mezikruˇz´ı vymezen´e kruˇznicemi x2 + y 2 = 2, x2 + y 2 = 4]

[f ) ˇc´ast roviny R × R vymezen´ a parabolami y 2 = x, y 2 = −x, s vylouˇcen´ım bodu O(0, 0)]

21

9) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce z(x, y): r s x+3 2x − y 2 + 4 a) z = c) z = 1 − x2 − y x+y−3 1−x+y b) z = ln 2 + 3x − 2y

4 − x2 − y 2 d) z = ln x−y+1

e) z =

r

f) z =

r

ln x − 1 y−3 ln x − y x−3

[a) definiˇcn´ı obor je sjednocen´ım dvou ˇc´ast´ı: A tvoˇr´ı vˇsechny body roviny leˇz´ıc´ı pod parabolou y = 1 − x2 ∧ x > −3, B tvoˇr´ı vˇsechny body roviny leˇz´ıc´ı nad parabolou y = 1 − x2 ∧ x < −3. bod M (−3, −8) je tedy z defin. oboru vylouˇcen ] [b) vnitˇrn´ı body dvou ostr´ ych u ´hl˚ u (se spoleˇcn´ ym vrcholem) tvoˇren´ ych pˇr´ımkami y = x − 1, y = 23 x + 1, c) definiˇcn´ı obor tvoˇr´ı jednak ty vnitˇrn´ı body paraboly y 2 = 2x + 4, kter´e leˇz´ı nad pˇr´ımkou y = 3 − x, jednak vnˇejˇs´ı body t´eto paraboly, kter´e leˇz´ı pod pˇr´ımkou y = 3 − x a d´ale body samotn´e paraboly kromˇe pr˚ useˇc´ık˚ u paraboly s pˇr´ımkou]

[c) definiˇcn´ı obor tvoˇr´ı jednak ty vnitˇrn´ı body paraboly y 2 = 2x + 4, kter´e leˇz´ı nad pˇr´ımkou y = 3−x, jednak vnˇejˇs´ı body t´eto paraboly, kter´e leˇz´ı pod pˇr´ımkou y = 3 − x, a d´ale body samotn´e paraboly kromˇe pr˚ useˇc´ık˚ u parabo ly s pˇr´ımkou]

[d) sjednocen´ı dvou ˇc´ast´ı: A tvoˇr´ı vˇsechny vnitˇrn´ı body kruhu x2 + y 2 = 4, leˇz´ıc´ı pod pˇr´ımkouy = x + 1, B tvoˇr´ı vˇsechny vnˇejˇs´ı body kruhu x2 + y 2 = 4, leˇz´ıc´ı nad pˇr´ımkou y = x + 1] S [e) polop´ as {0 < x ≤ e ∧ y < 3} {x ≥ e ∧ y > 3}]

[f ) sjednocen´ı dvou ˇc´ast´ı: A je ˇc´ast rovinn´eho p´asu 0 < x < 3 nad kˇrivkou y = ln x, B je ˇc´ast poloroviny x > 3 pod kˇrivkou y = ln x]

10) Naˇcrtnˇete grafy line´arn´ı funkce dvou promˇenn´ ych a) z = x − y + 2,

b) z = x + y,

c) z = 5,

d) z = 4 − 2x

[a) grafem je rovina vyt´ınaj´ıc´ı na souˇradn´ ych os´ach u ´seky − 2, 2, 2]

[b) rovina proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem, se souˇradnicovou rovinou (xz) se prot´ın´a v pˇr´ımce z = x a se souˇradnicovou rovinou (yz) se prot´ın´a v pˇr´ımce z = y] [c) rovina rovnobˇeˇzn´ a se souˇradnicovou rovinou (xy) ve vzd´alenosti 5] [d) rovina rovnobˇeˇzn´ a s osou y, v souˇradnicov´e rovinˇe (xz) je jej´ı pr˚ useˇcnic´ı pˇr´ımka z = 4 − 2x]

11) Vypoˇctˇete limity xy 3 + y 2 (x,y)→(2,1) xy + y x x3 − y 3 b) lim (x,y)→(0,0) x − y a)

c)

lim

d)

lim

(x sin y − xcos y )

(x,y)→(2,π)

x3 + y 3 (x,y)→(0,0) x + y lim



22

 a) 1, b) 0, c) − 21 , d) 0

12) Vypoˇctˇete limity sin(x + y − 1) (x,y)→(0,1) 2 − 2y − 2x x2 − y 2 b) lim (x,y)→(0,0) x − y √ 1 − 1 − xy c) lim xy (x,y)→(0,0) a)

tg(xy) y (x,y)→(4,0) x+y e) lim (x,y)→(∞,∞) x2 + y 2

lim

d)

N´ avod: a),d) – substituce, b),e) – pol´ arn´ı souˇradnice.

lim



 a) − 12 , b) 0, c) 21 , d) 4, 0

13) Ukaˇzte, ˇze n´asleduj´ıc´ı limity neexistuj´ı. (N´ avod: Volte r˚ uzn´e posloupnosti bod˚ u konverguj´ıc´ı k dan´ ym bod˚ um.) r x−1 x−y a) lim . b) lim (x,y)→(1,1) y − 1 x+y (x,y)→(0,0)   1 1 a) Takov´ a posloupnost je napˇr. An (1 + , 1 − 2 ), Najdˇete dalˇs´ı. n n

14) Najdˇete aspoˇ n tˇri vrstevnice n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı a naˇcrtnˇete pomoc´ı nich grafy: p a) f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ) b) f (x, y) = x2 + y 2 

 a) napˇr´ıklad z = 1 ⇒ x = 0 ∧ y = 0, z = 0 ⇒ x2 + y 2 = 1 a podobnˇe dalˇs´ı   b) napˇr´ıklad z = 1 ⇒ x2 + y 2 = 1 a dalˇs´ı

15) Vypoˇctˇete limity funkce f (x, y) v dan´em bodˇe (x0 , y0 ) ln(x + ey ) p a) lim (x,y)→(1,0) x2 + y 2

b)

sin xy (x,y)→(0,a) xy lim

c) d)

sin xy x (x,y)→(0,a) lim

e)

lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 xy

x2 − y 2 sin(x3 + y 3 ) f) lim 2 2 x2 + y 2 (x,y)→() x + y (x,y)→(0,0)   1 a) ln 2, b) 1, c) a, d) neex., e) − , f ) 0 4 lim

16) Vypoˇctˇete limity funkce f (x, y) v dan´em bodˇe (x0 , y0 ) p 3(x2 − y 2 ) x2 + (y − 1)2 + 1 − 1 c) lim a) lim 2 2 (x,y)→(0,0) 2(x − y) x + (y − 1) (x,y)→(0,1) 2 2 x +y 1 d) lim x sin b) lim xy y (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)   1 a) , b) neex., c) 0, d) 0 2 23

17) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´ aln´ı derivace x a) f (x, y) = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3 d) f (x, y) = cos 1 − y2 xy b) f (x, y) = x−y x2 + y 2 sin x + cos y c) f (x, y) = 2 e) f (x, y) = x − y2 x2 y 2   x2 −y 2 ′ , f = a)fx′ = 3(x − y)2 , fy′ = −3(x − y)2 , b)fx′ = (x − y)2 y (x − y)2   −4xy 2 4xy 1 x 2xy x ′ ′ ′ c)fx′ = 2 , f = d)f = − sin , f = − sin x (x − y 2 )2 y (x2 − y 2 )2 1 − y2 1 − y2 y (1 − y 2 )2 1 − y2   x cos x − 2 sin x − 2 cos y ′ −y sin y − 2 sin x − 2 cos y ′ e)fx = , fy = x3 y 2 x2 y 3 18) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´ aln´ı derivace d) f (x, y) = ex−y · ey−x+sin(xy)

a) f (x, y) = 3x · y x

x b) f (x, y) = arcsin y c) f (x, y) = (x2 + y 2 )3

e) f (x, y) =

√ x+y 2x − 2y

 a)fx′ = (3y)x · ln(3y), fy′ = 3x · (3y)x−1 # " −x 1 · sgn y, y 6= 0, fy′ = p · sgn y, y 6= 0 b) fx′ = p y 2 − x2 y y 2 − x2   c) fx′ = 6x(x2 + y 2 )2 , fy′ = 6y(x2 + y 2 )2   d) fx′ = y · esin(xy) · cos(xy), fy′ = x · esin(xy) · cos(xy)   1 y x 1 ′ √ e) fx′ = − √ = , f 2 x + y(x − y)2 y 2 x + y(x − y)2 

19) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´ aln´ı derivace dan´ ych funkc´ı podle x a y a) z(x, y) = xy +

x y

c) z(x, y) = arctg

x+y 1 − xy

b) z(x, y) = ln(x + y 2 ) 

x2 y p e) z(x, y) = ln x2 + y 2

d) z(x, y) = tg

 2y 1 1 1 1 ′ ′ ′ z = , c) z = , z = a) zx′ = y + , zy′ = x − xy −2 , b) zx′ = x y x + y2 y x + y2 1 + x2 y 1 + y2 " # 2x x2 x y ′ ′ ′ ′ d) zx = , z = 2 2 , zy = 2 , e) zx = x2 + y 2 y x + y2 y cos2 xy y 2 cos2 xy

20) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´ aln´ı derivace dan´ ych funkc´ı podle x a y c) f (x, y) = (sin x)cos y √ 2 2 1 d) f (x, y) = 10 x +y arctg x

a) f (x, y) = xy b) f (x, y) = arccos p

x x2

+ y2 24



 |y| xy ′ a) fx′ = yxy−1 , fy′ = xy ln x, b) fx′ = − 2 = , f x + y2 y |y|(x2 + y 2 )   c) fx′ = cos y(sin x)cos y−1 · cos x, fy′ = (sin x)cos y ln sin x(− sin y) " # √ 2 2 √ 2 2 −1 1 x arctg + 10 x +y 2 d) fx′ = 10 x +y ln 10 p x x +1 x2 + y 2 # " √ 2 2 y 1 x +y ′ ln 10 p fy = 10 arctg x x2 + y 2

21) Vypoˇctˇete vˇsechny druh´e parci´ aln´ı derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: √ e) z = y ln x g) z = x3 y c) z = arctg xy x−y x h) z = arctg d) z = arctg f) z = sin(x2 + y 3 ) b) z = xy y x+y   1 6x 12x2 1 1 9x2 1 ′′ ′′ ′′ = 2 sin 3 , zxy a) zxx = − 4 cos 3 , zyy = 5 cos 3 − 8 sin 3 y y y y y y y   ′′ y−2 ′′ y−1 ′′ y b) zxx = y(y − 1)x , zxy = x (1 + y ln x), zyy = x (ln x)2   1 − x2 y 2 2x3 y 2xy 3 ′′ ′′ ′′ ,z = , z =− c) zxx = − (1 + x2 y 2 )2 xy (1 + x2 y 2 )2 yy (1 + x2 y 2 )2   2xy x2 − y 2 2xy y 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ d) zxx =− 2 , z = , z = , e) z = − , z = , z = 0 xx (x + y 2 )2 xy (x2 + y 2 )2 yy (x2 + y 2 )2 x2 xy x yy   ′ ′′ f ) zxx = 2 cos2 (x2 + y 3 ) − 4x2 sin(x2 + y 3 ), zxy = −6xy 2 sin(x2 + y 3 )  ′′  zyy = 6y cos(x2 + y 3 ) − 9y 4 sin(x2 + y 3 ) " # 3x2 x2 ′′ 2√ ′ ′′ g) zxx = 3x y, zxy = √ , zyy = − p 2 y 4 y3   2xy x2 − y 2 2xy ′′ ′′ ′′ h) zxx = − 2 , z = 2 , z = 2 (x + y 2 )2 xy (x + y 2 )2 ) yy (x + y 2 )2 a) z = x2 sin

1 y3

22) Vypoˇctˇete vˇsechny druh´e parci´ aln´ı derivace funkce z = xy v bodˇe A(1, 2).   ′′ ′′ ′′ (1, 2) = 1 (1, 2) = 0, zxy zxx (1, 2) = 2, zyy 23) Ukaˇzte, ˇze funkce z = arctg

∂2z ∂2z y + 2 = 0. splˇ nuje Laplaceovu rovnici 2 x ∂x ∂y  z  ∂ z(x, y) 2xy = atd. ∂x2 (x2 + y 2 )2

24) Vypoˇctete vˇsechny tˇret´ı parci´ aln´ı derivace funkce f (x, y) = x3 − 3x2 y 2 + xy 3 − 2x + 3y − 1 v e A(1, 2).  bodˇ  ∂3f ∂3f ∂3f ∂3f = 6, = 6x, = −12y, = −12x + 6y, v bodˇ e A(1, 2) : 6; 6; −24; 0 ∂x3 ∂y 3 ∂x2 ∂y ∂x∂y 2

25

25) Urˇcete derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı f v dan´em bodˇe A ve smˇeru dan´em vektorem u. a) f (x, y) = x2 − 6xy − y 3 + 1, A(1, −1), u = (2, 1) −→ b) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + x + y, O(0, 0), u = OA, kde A(5, −3) p π ´hel c) f (x, y) = x2 + y 2 , A(3, −2), ; u sv´ır´a s osou x u 6 d) f (x, y, z) = x3 − 2y 2 + z, A(1, 1, 1), u = B − A, B(1, −1, 2). Rozhodnˇete, zda je funkce f ve smˇeru vektoru u rostouc´ı (klesaj´ıc´ı).   7 ∂f (A) =√ a) gradf (A) = ∇f (A) = (8, −9), ∂u 5   −→ ∂f (A) 40 b) OA = (8, 0), ∇f (O) = (1, 1), =√ ∂u 34 # " √ √ 3 1 ∂f (A) ∂f (A) 3 3−2 9 √ , d) ∇f = (3, −4, 1), , ), = = √ , rostouc´ı c) u = ( 2 2 ∂u ∂u 2 13 5 1 1 + . x y 1 1 b) Vypoˇctˇete gradf funkce f (x, y) = + v bodech A(1, −1), B(1, 0), C(0, −1). x y p c) Najdˇete vˇsechny body (x, y), v nichˇz je |gradf | = 1 pro funkci f (x, y) = (x2 + y 2 )3 .

26) a) Vypoˇctˇete gradf funkce f (x, y) =

d) Urˇcete, ve kter´em smˇeru je derivace funkce f (x, y) = 3x2 − 6xy + y 2 v bodˇe A(− 31 , − 12 ) a) nejvˇetˇs´ı, b) nejmenˇs´ı, c) nulov´ a. N´ avod: Jednotkov´ y vektor zapiˇste v = (cos α, sin α), α ∈ h0, 2πi.     1 1 1 a) gradf = − 2 , − 2 , b) (−1, −1); nedef., nedef., c) kruˇznice x2 + y 2 = x y 3 " √ √ !# √ √ ! 2 2 2 2 5π π ; nejmenˇs´ı pro α = , ⇒v= − ,− d) nejvˇetˇs´ı pro α = ⇒ v = 4 2 2 4 2 2 " √ √ !# 2 2 nulov´ a pro α = 3π − , 4 ⇒v = 2 2 p 27) Vypoˇctˇete gradient funkce z = 4 + x2 + y 2 v bodˇe A(1, 2) a najdˇete velikost nejrychlejˇs´ı zmˇeny funkce v tomto bodˇe. " √ #   1 2 5 , nejvˇetˇs´ı derivace je ve smˇeru gradientu, a to , grad(z) = 3 3 3 28) Najdˇete derivaci funkce z = ln(ex + ey ) v poˇc´atku soustavy souˇradnic ve smˇeru vektoru, kter´ y " √ # 1+ 3 sv´ır´a s kladn´ ym smˇerem osy x u ´hel 60o . 4 √ 29) Najdˇete derivaci funkce z = x3 − y 3 v bodˇe M (1, 1) ve smˇeru vektoru ( 3, 1).

26



√ 3 (1 − 3) 2



x 30) Funkce z = arcsin . Najdˇete u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı gradienty t´eto funkce v bodech A(1, 1), B(3, 4). x + y  1 arctg tj. pˇribliˇznˇe 8o 7 −−→ 31) Urˇcete derivaci funkce z = x2 y − 2y 2 + 1 v bodˇe M (3, 2) ve smˇeru vektoru M O = O − M . Bod O je poˇc´atek soustavy souˇradnic.   38 √ 13 3 3 32) Najdˇete gradient funkce z = √   x + y − 3xy v bodˇe A(2, 1) a urˇcete hodnotu nejvˇetˇs´ı derivace v tomto bodˇe. grad(z) = (9, −3), nejvˇetˇs´ı derivace ve smˇeru gradientu je 3 10

33) Najdˇete derivaci funkce z = ln(x2 + y 2 ) v bodˇe M (3, 4) ve smˇeru gradientu funkce z.   2 5 34) Taylorovy polynomy v dan´ ych bodech a) Taylor˚ uv polynom 3. ˇra´du funkce f (x, y) = 2x3 − x2 y − y 3 + 1 v bodˇe (0, 2). 1 1 b) Najdˇete Taylorovy polynomy 2. ˇra´du funkce f (x, y) = + v bodˇe (1, 1). x y x2 c) f (x, y) = 2 v bodˇe A(−1, 1) y 1 d) f (x, y) = y 2 + 3 v bodˇe A(1, 2) x   a) T3 (x, y) = −7 − 12(y − 2) − 2x2 − 6(y − 2)2 + 2x3 − x2 (y − 2) − (y − 2)3   b) T1 (x, y) = 4 − x − y, T2 (x, y) = 4 − x − y + (x − 1)2 + (y − 1)2   c) T1 (x, y) = −2x − y, T2 (x, y) = −4x − 3y + x2 + 3y 2 + 4xy 

[d) T1 (x, y) = 5 − 3(x − 1) + 4(y − 2), ]  T2 = 5 − 3(x − 1) + 4(y − 2) + 6(x − 1)2 + (y − 2)2

35) Vypoˇctˇete pˇribliˇzn´e hodnoty n´asleduj´ıc´ıch v´ yraz˚ u pomoc´ı u ´pln´eho diferenci´alu (Taylorova polynomu 1. ˇra´du – pˇr´ıpadnˇe i vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u): 1 , tedy x0 = 3, ∆x = 0, 03, y0 = 1, ∆y = 0, 01 1, 013 1 (N´ avod: funkce f (x, y) = x2 + 3 .) y √ 7, 99 3 b) V = + 2, 01 · 7, 99. 2, 012 a) V = 3, 032 +

[a) 10,15 , b) 5,9958 ]

27

36) Vypoˇctˇete tot´aln´ı diferenci´al funkce a) z = exy

b) z = ln(x + "

a) dz = exy (y dx + x dy), b) dz = p

p

x2 + y 2 )

1

x2 + y 2

y dy p dx + x + x2 + y 2

!#

37) Pomoc´ı tot´aln´ıho diferenci´alu vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe a) 1, 042,02 b)

p

c) arctg

1, 02 0, 95

d) sin 29o · tg 46o

1, 023 + 1, 973

[a) 1, 08, b) 2, 95, c) 0, 82, d) 0, 502]

38) Vypoˇctˇete tot´aln´ı diferenci´al druh´eho ˇra´du funkc´ı c) z = x sin2 y

a) z = x + xy 2 2

b) z = x y

d) z = e

e) z = sin x sin y

xy

f) z = cos(x + y)

[a) d2 z = 2dx dy, b) d2 z = 2(dx)2 + 8xydx dy + 2(dy)2 , c) d2 z = 2 sin 2ydx dy + 2x cos 2y(dy)2 ] [d) d2 z = exy (y dx + x dy)2 + 2xxy dx dy, ] e) d2 z = − sin x sin y(dx)2 +2 cos x cos y dx dy−sin x sin y(dy)2 , f ) d2 z = − cos(x+y)(dx+dy)2 ]

39) Vypoˇctˇete tot´aln´ı diferenci´al druh´eho ˇra´du funkc´ı a) x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0

b) z = x − arctg 

a) d2 z =

y z−x

 −[x2 + (z − 1)2 ](dx)2 + 2xy dx dy + [y 2 + (z − 1)2 ](dy)2 (z − 1)3   2(x − z)(y + 1) · [(x − z)2 + y 2 ] 2 2 (dy) b) d z = [(x − z)2 + y(y + 1)]3

40) Najdˇete tot´aln´ı diferenci´al prvn´ıho ˇra´du sloˇzen´e funkce z = f (t), kde t = x2 y. [dz = f ′ (t)(2xy dx + x2 dy)] 41) Najdˇete tot´aln´ı diferenci´al tˇret´ıho ˇra´du funkce z = x3 + y 3 − 3xy(x − y).

[d3 z = 6((dx)3 − 3(dx)2 dy + 3dx(dy)2 + (dy)3 )]

42) Najdˇete d3 z(A) funkce z = x4 y 2 + 3xy 3 + 2x3 + 3y 2 , kde A(1, 2). [d3 z = 108(dx)3 + 144(dx)2 dy + 132dx(dy)2 + 18(dy)3 ]

28

43) Najdˇete d3 z(A) funkce z = sin(2x + y), kde A( π2 , 0). [d3 z = 8(dx)3 + 12(dx)2 dy + 6dx(dy)2 + (dy)3 ] 44) Najdˇete d2 z implicitnˇe zadan´e funkce z = x2 + y 2 + z 2 = a2 , a ∈ R.    1  d2 z = − 3 (x2 + z 2 )(dx)2 + 2xydx dy + (y 2 + z 2 )(dy)2 2z 45) Rozviˇ nte podle Taylorova vzorce funkci f (x, y) = 3x2 + 2xy − 8y 2 + 10x − 13 v bodˇe A(2, −1). [f (x, y) = 7 + 20(x − 2) + 20(y + 1) + 3(x − 2)2 + 2(x − 2)(y + 1) − 8(y + 1)2 ]

46) Aproximujte funkci f (x, y) = stupnˇe.

cos x v okol´ı bodu O(0, 0) Taylorov´ ym polynomem druh´eho cos y 

f (x, y) ≈ 1 −

1 2

(dx)2 − (dy)2




47) Aproximujte funkci f (x, y) = ln(x + y) v libovoln´em bodˇe (x0 , y0 ) z definiˇcn´ıho oboru funkce f Taylorov´ ym polynomem druh´eho stupnˇe.   1 1 (dx + dy) − (dx + dy)2 f (x, y) ≈ ln(x0 + y0 ) + x 0 + y0 2(x0 + y0 ) x v libovoln´em bodˇe (x0 , y0 ) z definiˇcn´ıho oboru funkce f y Taylorov´ ym polynomem druh´eho stupnˇe.   x0 ydx − xdy −xy(dx)2 + (x2 − y 2 )dx dy + xy(dy)2 f (x, y) ≈ arctg + + y0 x20 + y02 (x20 + y02 )2

48) Aproximujte funkci f (x, y) = arctg

49) Aproximujte funkci f (x, y) = druh´eho stupnˇe.

p

1 − x2 − y 2 v okol´ı bodu O(0, 0) Taylorov´ ym polynomem [f (x, y) ≈ 1 −

50) Vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe hodnotu v´ yrazu

p


1 (dx)2 + (dy)2 ] 2

4, 012 + 2, 992 pomoc´ı Taylorova rozvoje 2. stupnˇe. [5, 002015]

51) Jak se zmˇen´ı (pˇribliˇznˇe) d´elka pˇrepony pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka s odvˇesnami o rozmˇerech 7, 5 cm a 18 cm, zvˇetˇs´ı-li se obˇe odvˇesny o 1 mm? [zvˇetˇs´ı se pˇribliˇznˇe o 1, 3 mm] 52) Rotaˇcn´ı v´ alec m´a polomˇer podstavy r = 20 cm a v´ yˇsku v = 1 m. Jak se zmˇen´ı (pˇribliˇznˇe) jeho objem, zvˇetˇs´ı-li se polomˇer r o 2, 5% a zmenˇs´ı-li se v´ yˇska o 2% ? [zvˇetˇs´ı se pˇribliˇznˇe o 1200π cm3 ]

53) M´a funkce z =

p 3 x2 + y 2 tot´aln´ı diferenci´al v bodˇe O(0, 0)? 29

[ nem´ a]

54) Najdˇete skuteˇcn´ y pˇr´ır˚ ustek ∆z a tot´aln´ı diferenci´al dz funkce z = 3x2 +xy −y 2 +1 v bodˇe (1, 2) (a porovnejte je) v pˇr´ıpadech a) dx = 1, dy = 2, b) dx = 0, 1, dy = 0, 2, c) dx = 0, 01, dy = 0, 02. [a) ∆z − dz = 1, b) ∆z − dz = 0, 01, c) ∆z − dz = 0, 0001] 55) Derivujte implicitnˇe zadan´e funkce z(x, y) a) z 3 − 3xyz = 8

b) x2 + y 2 + z 2 − 2xyz − 4 = 0  a) zx′ =

xz yz − x ′ xz − y yz , zy′ = 2 , b) zx′ = , zy = 2 z − xy z − xy z − xy z − xy



56) Vypoˇctˇete parci´ aln´ı derivace zx′ , zy′ v bodˇe A(1, 1, 1) funkce 4x2 +2y 2 −3z 2 +xy −yz +x−4 = 0.   4 10 ′ ′ , zx = zx = 7 7 p 57) a) Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny (p˚ ul)kulov´e plochy z = f (x, y) = − 4 − x2 − y 2 √ v jej´ım bodˇe T (1, 1, ?). [τ : x + y − z 2 − 4 = 0] b) Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny plochy f (x, y) = sin(x + y) + cos(x − y) v jej´ım bodˇe T ( π2 , π2 , ?). [τ : x + y + z − π − 1 = 0] 58) Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny a norm´aly dan´ ych ploch z(x, y) v dan´ ych bodech: y b) z = arctg , T (1, 1, π4 ) x

a) z = x2 − 2xy + y 2 − x + 2y, T (1, 1, 1)



[a) x − 2y + z = 0, n : x = 1 + t, y = 1 − 2t, z = 1 + t]  b) x − y + 2z − π2 = 0, n : x = 1 + t, y = 1 − t, z = π4 + 2t

59) Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny grafu funkce z = 2x − 3y − z + 9 = 0.

x tak, aby teˇcn´ a rovina byla rovnobˇeˇzn´ a s rovinou y [τ : 4x − 6y − 2z + 3 = 0]

60) Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny grafu funkce z = x2 − y 2 tak, aby teˇcn´ a rovina byla rovnobˇeˇzn´ as rovinou σ : 4x − y + 2z − 10 = 0. [τ : 32x − 8y + 16z + 15 = 0] 61) Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny a norm´aly v dan´em bodˇe T n´asleduj´ıc´ıch ploch zadan´ ych implicitnˇe: a) x2 + y 2 + z 2 − 49 = 0 v bodˇe T (2, −6, −3)

b) x2 + y 2 + z 2 − 4x + 6y − 8z − 1 = 0 v bodˇe T (1, 2, 2) c) 3x4 − 4x3 z + 4xyz 2 − 4y 3 z + 1 = 0 v bodˇe T (1, 1, 1)

[a) 2x − 6y − 3z − 49 = 0, n : x = 2 + 2t, y = −6 − 6t, z = −3 − 3t]

[b) x − 5y + 2z − 5 = 0, n : x = 1 + t, y = 2 − 5t, z = 2 + 2t] c) 3x − 2y − 2z + 1 = 0 x = 1 + 3t, y = 1 − 2t, z = 1 − 2t]

30

62) Ukaˇzte, ˇze plochy x2 + y 2 + z 2 = x a x2 + y 2 + z 2 = y jsou ortogon´aln´ı. 63) K n´asleduj´ıc´ım ploch´am z(x, y) najdˇete teˇcnou rovinu rovnobˇeˇznou s danou rovinou σ: b) x2 + 3y 2 + z 2 = 1, σ : 2x + 4y + z = 0

a) xyz = 1, σ : x + y + z = 0

[a) x + y + z − 3 = 0, b) 6x + 12y + 3z ±

√ 31 = 0]

64) Vypoˇctˇete z ′ (t), je-li z = ex−2y , kde x = sin t, y = t3 . 3

[z ′ (t) = esin t−2t (cos t − 6t2 )] 65) Vypoˇctˇete z ′ (x), je-li z = e2u+3v , kde u = sin x, v = x3 . 3

[z ′ (x) = e2 sin x+3x (2 cos x + 9x2 )] 66) Najdˇete z ′ (x), je-li z = sin(3u + 2v − 4w), kde u = 2x3 , v = 3x2 , w = x4 .

[z ′ (x) = cos(6x3 + 6x2 − 4x4 ) · (18x2 + 12x − 16x3 )]

67) Najdˇete parci´ aln´ı derivace zx′ , zy′ , je-li z = u2 + v 3 , kde u = x sin y, v = x cos y. [zx′ = x(2 sin2 y + 3x cos2 y), zy′ = x2 sin y cos y · (2 − 3x)] 68) Zjistˇete, kter´e z bod˚ u B, C v uk´azkov´em pˇr´ıkladu (1.1.5) jsou stacion´ arn´ı body dan´ ych funkc´ı. [a), e)- bod B] 69) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce a) f (x, y) = 1 + 6y − y 2 − xy − x2

b) f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − 2y

c) f (x, y) = x3 + y 3 − 18xy + 215

d) f (x, y) = e−x

2

−y 2

(2y 2 + x2 )

e) f (x, y) = 27x2 y + 14y 3 − 69y − 54x

f) f (x, y) = sin x + cos y (trochu obt´ıˇznˇejˇs´ı) 1 1 g) f (x, y) = ln x + ln y + + x y [ a) v bodˇe A(−2, 4) . . . fmax = 13, b) nen´ı extr´em , c) minimum v bodˇe A(6, 6) . . . fmin = −1]   d) v bodˇe A(0, 0) . . . fmin = 0, v bodech B(0, 14), C(0, −1) . . . fmax = 2e 

π 2

[e) v bodˇe A(1, 1) . . . fmin = −82, v bodˇe B(−1, −1) . . . fmax = 82]
 π + 2kπ, (2l + 1)π . . . f = 2, lok. minima v bodech f ) lok. maxima v bodech max 2
 + (2k + 1)π, 2lπ . . . fmin = −2, k, l cel´a ˇc´ısla, g) lok´aln´ı minimum v bodˇe A(1, 1), fmin = 2 

31

70) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı a) z = x2 + (y − 1)2

b) z = xy

c) z = 2xy − 3x2 − 2y 2 + 10

d) z = x2 − xy + y 2 − 2x + y

e) z = x2 −xy+y 2 +3x−2y+1 f) z = x3 + y 3 − 3xy

[a) min = (0, 1, 0), b) nen´ı extr´em, c) max = (0, 0, 10), d) min = (1, 0, −1)] 
 e) min = − 34 , 31 , − 43 , f ) min = (1, 1, −1) 71) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı √ a) z = 3x2 − 2x y + y − 8x + 8 2

e) z = xy +

2

b) z = e−(x +y ) c) z = 3 ln x + xy 2 − y 3
x d) z = e 2 x + y 2 

50 20 + pro x > 0, y > 0 x y

f) z = 2x3 − xy 2 + 5x2 + y 2

a) min = (2, 4, 0), b) max = (0, 0, 1), c) nen´ı extr´em , d) min = (−2, 0, − 2e )



[e) min = (5, 2, 30), f ) min = (2, 1, −7)]

72) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı √ a) z = x3 −6xy−6x+6y+3y 2 b) z = y x − x − 2y

c) z =

p

25 − x2 − y 2

[a) min = (2, 1, −7), b) v bodˇe (4, 4, −4) nem´ a lok. extr´em , c) max = (0, 0, 5)] 73) Najdˇete v´ azan´ y extr´em funkce s danou vazbou g(x, y) a) f (x, y) = xy − x + y − 1, g(x, y) = x + y − 1 = 0

b) f (x, y) = (y − x − 2)2 , g(x, y) = y − 2x = 0 1 1 c) f (x, y) = 4x + 4y − 3, g(x, y) = + − 2 = 0 x y 1 1 d) f (x, y) = x + y, g(x, y) = 2 + 2 − 1 = 0 x y

e) f (x, y) = ln(xy), g(x, y) = x2 + y 2 − 2 = 0   a) v bodˇe A(− 12 , 32 ), fmax = f (A) = 41 , b) v´ azan´e lok. minimum fmin = 0 v bodˇe A(2, 4) 

[c) v´ azan´e lok. minimum fmin = 5 v bodˇe A(1, 1)] √ √ √ √  √ √ d) v´ azan´e lok. extr´emy fmin = f ( 2, 2) = 2 2 fmax = f (− 2, − 2) = −2 2   √ √ 1 13 2 13 2 e) v´ azan´e lok.minimum fmin = − v bodech A( 3 , 3 ), B(− 3 , 3 ) 3

74) Najdˇete absolutn´ı extr´emy funkce na dan´e mnoˇzinˇe M . a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 na mnoˇzinˇe M : y ≥ x2 ∧ y ≤

√ x

b) f (x, y) = x3 +y 3 −3x−3y na mnoˇzinˇe M : x ∈ h−1, 1i∧(y = x∨y = −x) (dvojice navz´ajem kolm´ ych u ´seˇcek) c) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 3y na mnoˇzinˇe M = △P QR, P (−1, 0), Q(1, 0), R(1, 1) 32

d) f (x, y)  = x − 2y + 1 na mnoˇzinˇe  W  x ∈ h− π2 , 0i ∧ sin x ≤ y ≤ 0 M = x ∈ h0, π2 i ∧ 0 ≤ y ≤ sin x

[a) fmax = f (1, 1) = 3, fmin = f (0, 0) = 0, b) fmax = f (−1, −1) = 4, fmin = f (1, 1) = −4] h

d) fmax

[c) fmin = f (1, 1) = −4, fmax = f (−1, 0) = 2] i √ = f (− π3 , 23 ) = − π3 + 3 + 1, fmin = f (− π2 , 1) = − π2 − 1 √

75) Urˇcete rozmˇery (r, v) otevˇren´e v´ alcov´e n´adoby (bez v´ıka) s dan´ ym (konstantn´ım) objemem V0 tak, aby jej´ı povrch S byl minim´aln´ı. N´ avod: lze pouˇz´ıt dosazovac´ı metody i metody Lagrangeovy funkce. " r r # V0 3 V0 v= , r= 3 π π 76) Na parabole y = x2 najdˇete bod, kter´ y m´a od bodu M (3, 1) nejmenˇs´ı vzd´alenost. N´ avod: Hledejte v´ azan´e lok´aln´ı minimu funkce d(x, y) (vzd´alenost dvou bod˚ u) s vazbou g(x, y) = x2 − y = 0. Pro ˇreˇsen´ı kubick´e rovnice lze pouˇz´ıt napˇr´ıklad program Maple (nebo vhodnou numerickou metodu). . [A(1, 371; 1, 879), dmin = 1, 593] 77) Najdˇete v´ azan´e lok´aln´ı extr´emy funkc´ı s danou vazbovou podm´ınkou g(x) = 0 a) z = exy , g(x, y) = x + y − 1 = 0 1 1 1 b) z = x + y, g(x, y) = + − = 0 x y 2 c) z = xy, g(x, y) = 4x2 + y 2 − 8 = 0

d) z = x + y, g(x, y) = x2 + y 2 − 4 = 0 e) z = exy , g(x, y) = x2 + y 2 − 2 = 0 f) z = 2x2 + 4y 2 , x2 − y = 0

[a) max = ( 12 , 21 , e1/4 ), b) min = (4, 4, 8), c) max1 = (1, 2, 2), max2 = (−1, −2, 2), min1 = √ √ √ √ √ √ (−1, 2, −2), min2 = (1, −2, −2), d) max = ( 2, 2, 2 2), min = (− 2, − 2, −2 2)]

[e) max1 = (1, 1, e), max2 = (−1, −1, e), min1 = (1, −1, e−1 ), min2 = (−1, 1, e−1 ), f ) min = (0, 0, 0)] 78) Najdˇete glob´ aln´ı maximum a minimum n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı z(x, y) na dan´ ych kompaktn´ıch mnoˇzin´ach: a) z = x − 2y − 3, M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

b) z = x2 − xy + y 2 , M : |x| + |y| ≤ 1

c) z = 8x3 + 8y 3 − 6xy − 1, M je ˇctverec ohraniˇcen´ y pˇr´ımkami x = 0, x = 2, y = 1, y = −1

d) z = x − 2y − 3 v mnoˇzinˇe M ohraniˇcen´e pˇr´ımkami x = 0, y = 0, y = 1 − x π π e) z = sin x + sin y + sin(x + y), 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ 2 2 √ [a) zmax = −2, zmin = −5, b) zmax = 1, zmin = 0, c) zmax = 65 + 4 2, zmin = −7] √ 3 3 , zmin = 0] [d) zmax = −2, zmin = −5, e) zmax = 2

33

2 2.1

Integr´ aln´ı poˇ cet funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych ˇ sen´ Reˇ eu ´ lohy

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.1. Zobrazte n´asleduj´ıc´ı oblasti: 1) Ω : x ≤ y ≤ x + 2 ∧ −x ≤ y ≤ − 21 x + 2. y

√ 2) Ω : x ≤ y ≤ x 3 ∧ 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 y 2

2

−2 −1

1

2

−2 −1

x

1

2

x

−2

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.2. Zobrazte n´asleduj´ıc´ı oblasti: 2) Ω : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ∧ 2y + x − 2 ≥ 0. y

1) Ω : x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 ∧ y ≤ 4 − x. y 4

2

2 −2 2

4

x

2 −2

x

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.3. Zobrazte n´asleduj´ıc´ı oblasti: 1) Ω = h−1, 1i × h0, 2i.

2) Ω : y ≥ x2 ∧ x2 + y 2 ≤ 2.

y

y

2

−1

1

2

x

34

−2 −1

1

x 2

Element´ arn´ı oblast Ω typu (xy)

Mnoˇzina bod˚ u [x, y] ∈ R × R takov´ a, ˇze a ≤ x ≤ b ∧ ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x) pro ∀x ∈ ha, bi.

y

3

ψ(x) ϕ(x) a

Element´ arn´ı oblast Ω typu (yx)

Mnoˇzina bod˚ u [y, x] ∈ R × R takov´ a, ˇze c ≤ y ≤ d ∧ ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) pro ∀y ∈ hc, di

3

b

4

x

y d c ϕ(y)

ψ(y) x

4 Ω = ha, bi × hc, di obd´ eln´ık

Rd

Rb

RR

f (x, y) dy f (x, y) dΩ = c a ! Rd Rb f (x, y) dx dy, Ω

!

y d

dx =

c

a

c

a

x 4

b

z Ω = ha, bi×hc, di× he, f i kv´ adr

RRR

Ω "

f (x, y, z) dΩ

Rb Rd Rf a

c

=

f (x, y, z) dz

e

!

#

dy dx

a podobnˇe dalˇs´ı moˇzn´ a poˇrad´ı integrace.

y

x

Tabulka 3: y Dirichletova vˇeta Ω = ha, bi × hc, di

Je-li f (x, y) = g(x) · h(y), pak Rd Rb RR f (x, y) dΩ = g(x) dx · h(y) dy Ω

d c

c

a

a

x 4

b

z Dirichletova vˇeta Ω = ha, bi×hc, di× he, f i

Je-li f (x, y, z) = g(x) · h(y) · k(y), pak Rb RR Rd f (x, y, z) dΩ = g(x) dx · h(y) dy · Ω

Rf

a

c

k(z) dz

e

Tabulka 4:

35

x

y

Fubiniova vˇeta I Ω je oblast typu (xy) dvojn´ y integr´ al

RR

f (x, y) dx dy =

Rb a

Ω

ψ(x) R

y

3

!

dy dx

ϕ(x)

ψ(x) ϕ(x) a

Fubiniova vˇeta II Ω je oblast typu (yx) dvojn´ y integr´ al

RR

f (x, y) dx dy =

Rd c

Ω

ψ(y) R

3

!

dx dy

ϕ(y)

b

4

y d c ϕ(y)

ψ(y) 4

Fubiniova vˇeta III Ω je norm´aln´ı oblast vzhledem k rovinˇe (xOy) trojn´ y integr´ al

RRR

f (x, y, z) dx dy dz

Ω

RR P

ψ(x,y) R

f (x, y, z) dz

̺(x,y)

= !

dx dy

a podobnˇe vzhledem k rovin´ am xOz resp. yOz. Tabulka 5:

Jakobi´ an zobrazen´ı x = f (u, v) y = g(u, v) Jakobi´ an zobrazen´ı x = f (u, v, w) y = g(u, v, w) z = h(u, v, w)

J(u, v) =

fu′ gu′

J(u, v, w) =

Tabulka 6:

36

x

fv′ gv′

fu′ gu′ h′u

fv′ gv′ h′v

fw′ ′ gw h′w

x

Velikost oblasti Ω ⊂ R × R Obsah rovinn´ eho obrazce

|Ω| =

RR

Velikost oblasti Ω ⊂ R × R × R Objem tˇ elesa

|Ω| =

RR R

Objem tˇelesa nad“ oblast´ı Ω omezen´eho shora“ ” ” plochou f (x, y)

V =

Hmotnost tˇelesa T omezen´eho oblast´ı Ω ⊂ R × R × R s hustotou ̺(x, y, z)

m=

1.dx dy

(Ω)

1.dx dy dz

(Ω)

RR

f (x, y) dx dy

(Ω)

RR R

(Ω)

̺(x, y, z) · dx dy dz

Tabulka 7: y Transformace do pol´ arn´ıch souˇradnic dvojn´ y integr´ al

Transformace do cylindrick´ ych souˇradnic trojn´ y integr´ al

(x, y) (ϕ, ̺)

y

x = ̺ cos ϕ y = ̺ sin ϕ

̺ ϕ

Jakobi´ an J(̺, ϕ) = ̺

x oz

x = ̺ cos ϕ y = ̺ sin ϕ

(x, y, z) (̺, ϕ, t)

z=t y

Jakobi´ an J(̺, ϕ, z) = ̺ x

ϕ

ox

Transformace do sf´erick´ ych souˇradnic trojn´ y integr´ al

x

oy

̺

oz x = ̺ cos ϕ sin ϑ y = ̺ sin ϕ sin ϑ z = ̺ cos ϑ Jakobi´ an J(̺, ϕ, ϑ) = ̺2 sin θ Tabulka 8:

37

ϑ ̺ x ϕ ox

y z) (x, y, (̺, ϕ, ϑ) oy

z Parabolick´ a plocha s vrcholem (0, 0, 0), v´ yˇskou v a polomˇerem podstavy R

v f (x, y) = (x2 + y 2 ) R

x

y z

Parabolick´ a plocha s vrcholem (0, 0, v), v´ yˇskou v a polomˇerem podstavy R (v rovinˇe (xOy) .))

v f (x, y) = v − (x2 + y 2 ) R

x

y

Tabulka 9: z Kulov´ a plocha se stˇredem (0, 0, 0), polomˇerem R

p

f (x, y) = R 2 − x2 p − y 2 (”horn´ı”) resp. f (x, y) = − R2 − x2 − y 2 (”doln´ı”) x

Kuˇzelov´ a plocha s vrcholem (0, 0, 0), v´ yˇskou v a polomˇerem podstavy R

y z

vp 2 f (x, y) = x + y2 R

x

Kuˇzelov´ a plocha s vrcholem (0, 0, v), v´ yˇskou v a polomˇerem podstavy R v rovinˇe (xOy)

z

vp 2 f (x, y) = v − x + y2 R x

Tabulka 10:

38

y

y

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.4. Integrujme pˇres dan´e oblasti: RR a) (3 − x − y)dx dy, kde Ω = h0, 2i × h1, 3i. (Ω)

Oblast Ω je obd´eln´ık, proto

RR

(Ω)

R2 

(3 − x − y)dx dy =

 R2 R3 1

0

(3 − x − y) dy



dx =

R2 dx = (2 − 2x) dx = [2x − x2 ]x=2 x=0 = 0. y=1 0 0   RR R3 R2 Nebo v opaˇcn´em poˇrad´ı: (3 − x − y)dx dy = (3 − x − y)dx dy = 3y − xy − 12 y 2

R3 h 1

3x −

2

x 2

− xy

y=3

ix=2 x=0

1

(Ω) R3



dy = (4 − 2y) dy = 4y − y 1

Vysvˇetlete, proˇc je v´ ysledek I = 0. RR b) (x · sin y)dx dy, kde Ω = h0, 2i × h0, π2 i.

0

 2 y=3 y=1

= 3 − 4 + 1 = 0.

(Ω)

Lze integrovat podobnˇe jako v pˇredchoz´ı u ´loze (dvˇe moˇznosti) nebo podle Dirichletovy vˇety: π h 2 i2 π RR R2 R2 (x · sin y)dx dy = x dx · sin y dy = x2 · [− cos y]02 = 2.1 = 2. (Ω)

0

0

0

Geometricky: Objem tˇelesa (zakˇriven´eho hranolu“) s podstavou Ω shora omezen´eho plochou ” f (x, y) = x · sin y.

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.5. Integrujme pˇres danou oblast

RR

(Ω)

5dx dy, kde Ω : x ≥ 0 ∧

0 ≤ y ≤ 2 ∧ y ≤ 4 − x. Oblast Ω je typu (yx) - viz y pˇr´ıklad (2.1.2) ! Uk´azkov´ 2  RR R R2 4−y R2 R2 y2 4−y = 5.6 = 30. 5dx dy = 5 dx dy = 5 [x)]0 dy = 5 (4 − y − 0) dy = 5 4y − 2 0 0 0 0 0 (Ω) Geometricky: Objem hranolu s lichobˇeˇzn´ıkovou podstavou Ω a v´ yˇskou 5. y 4

2

2

4

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.6. Integrujme pˇres dan´e oblasti:

x RR

(Ω)

0 ≤ y ≤ x ∧ 0 ≤ y ≤ 2 − x. Oblast Ω je element´ arn´ı oblast typu (yx). Proto

RR

(Ω) 3

2

(x2 + y 2 )dx dy, kde Ω : 0 ≤ x ≤ 2 ∧

2

(x + y )dx dy =

 2−y   R1 (2 − y)3 R1 x3 y + y2 x + y 2 (2 − y) − − y 3 dy =, dy = 3 3 3 0 0 y 4 2 4 8 po kratˇs´ım v´ ypoˇctu = − 2 + − = . 3 3 3 3 39

R1 0

2−y R

2

2

(x + y )dx

y

!

dy =

Lze ˇreˇsit i jinak: Rozdˇel´ıme oblast Ω na dvˇe ˇc´asti a integr´ al vypoˇcteme v kaˇzd´e ˇc´asti zvl´ aˇst. V oblasti Ω1 : 0 ≤ x ≤ 1  1 Rx R RR 2 R1  2 3 je y ≤ x (typ (xy) i (yx)). I1 = (x + y 2 )dx dy = [x y + y3 ]x0 dx = (x2 + y 2 )dy dx = 0 0 0 Ω   3 R1 1 x dx = . x3 + 3 3 0 R2 2−x RR 2 R RR 2 I1 = (x + y 2 )dx dy = (x2 + y 2 )dy dx = 1 (po kratˇs´ım v´ ypoˇctu). Nakonec je (x + Ω

1

0

(Ω)

4 1 y )dx dy = I1 + I2 = + 1 = . 3 3 uheln´ıkovou podstavou Ω shora zakˇrivenou parabolickou Geometricky: Objem hranolu“ s troj´ ” plochou f (x, y) = x2 + y 2 . 2

y

1

1

2

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.7. Integrujme pˇres dan´e oblasti: RR y a) x dx dy, kde Ω : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 1 ≤ y ≤ 3.

x

(Ω)

Oblast Ω je norm´aln´ı oblast typu (xy) i typu (yx). Integrujme jako oblast typu (yx):       RR y R3 xy+1 2 R3 R2 y R3 2y+1 1 R3 y+1 1 1 3 x dx dy = dy = x dx dy = dy = − 2 dy − [y]1 = 3 2 31 2 1 1 y+1 1 1 1 (Ω)  y+1 3 1 4 1 2 −1= (24 − 22 ) − 1 = − 1. 3 ln 2 1 3 ln 2 ln 2 Integrujme jako oblast typu (xy):       RR y R2 R3 y R2 xy 3 R2 x3 x x dx dy = x dy dx = dx. Posledn´ı integr´ aly vˇsak dx = − ln x ln x 1 1 1 ln x 1 1 (Ω) neum´ıme element´ arn´ımi prostˇredky vyˇreˇsit. y 3 2 1

1

40

2

x

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.8. Integrujme pˇres dan´e oblasti: RRR a) 1 dx dy dz, kde Ω : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 4 − x − y. (Ω)

Ω je norm´aln´ı oblast vzhledem k (xOy).(Obr.) ! 4−x−y RRR RR R RR RR Je tedy 1 dx dy dz = dz dP = [z]04−x−y dP = (4 − x − y)dP . (Ω)

0

(P )

(P )

(P )

Integr´ al pˇres P je snadn´ y: 2    R1 R1 R2 R1 RRR y2 dx = (6 − 2x)dx = [6x − 4y − xy − 1 dx dy dz = (4 − x − y) dy dx = 2 0 0 0 0 0 (Ω) x2 ]10 = 5. Geometricky: Naˇsli jsme objem zkosen´eho ˇctyˇrbok´eho hranolu s podstavou |Ω|. z

y

x

b)

RRR (Ω)

xyz dx dy dz , kde Ω : 0 ≤ z ≤ 2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x + y ≤ 2.

Oblast Ω (trojbok´ y hranol) je norm´aln´ı oblast vzhledem k xOy. 2    RR RRR RR R2 RR z2 dT = 2xy dx dy = Proto xyz dx dy dz = xy xyz dz dT = 2 0 T T T (Ω) 0 2    R R2 2−x R2 R2 x4 4 x3 − 4 + 2x2 = . 2xy dy dx = x(2 − x)2 dx = 4 3 3 0 0 0 0 0 z

rovina z = 2

pˇr´ımka x + y = 2

y

x

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.9. Vypoˇctˇeme hmotnost tˇelesa tvaru kv´adru o hran´ach a, b, c ve dvou pˇr´ıpadech: A) Hustota σ je konstantn´ı, tj. σ(x, y, z) = konst. Oblast Ω je dan´ y kv´adr o hran´ach a, b, c, tj. Ω : h0, ai × h0, bi × h0, ci (obr.) Ra Rb Rc RRR RRR Hmotnost m = σ(x, y, z) · dΩ = σ σ(x, y, z) · dx dy dz = σ dx dy dz = (Ω)

(podle Dirichletovy vˇety) σ

(Ω)

Ra 0

dx

Rb 0

dy

Rc 0

41

0 0 0

dz = σ[x]a0 · [y]b0 · [z]c0 = σabc.

z

c

x

b

y

a

B) Hustota σ nen´ı konstantn´ı, ale σ(x, y, z) roste line´arnˇe ve smˇeru osy z (tj. hrany c - viz obr.) tak, ˇze hustota pro z = 0 je σ(0) = σ1 a pro z = c je σ(c) = σ2 . (Viz obr.) 1 Line´ arn´ı z´avislost σ(z) dostaneme snadno dosazen´ım do σ = k·z+q. Je zˇrejmˇe σ = σ2 −σ ·z+σ1 . c D´ale obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu a). Hmotnost   Ra Rb Rc σ2 −σ1 RRR m= σ(x, y, z) · dΩ = [ c · z + σ1 ] dz dx dy = 0 0

(Ω)



0

c 

  Ra Rb (σ2 − σ1 )c + σ1 · c dx dy = dx dy = 2 0 0 0 0 0 !  b ! Ra Rb (σ2 − σ1 )c Ra (σ2 − σ1 )c [ + σ1 · c] dy dx = · y + σ1 · c · y dx = 2 2 0 0 0 0     a Ra (σ2 − σ1 )cb (σ2 − σ1 )cb + σ1 · c · b dx = · x + σ1 · c · bx = 2 2 0 0 σ2 + σ1 (σ2 − σ1 )cba + σ1 · c · ba = abc. 2 2 Ra Rb

σ2 −σ1 c

2

·

z + σ1 · z 2

σ

σ=

σ2 −σ1 c

· z + σ1

σ2 σ1

z c

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.10. Integrujme pˇres dan´e oblasti: R R −(x2 +y2 ) a) e dx dy, kde oblast Ω : x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ x ∧ y ≥ 0. (Ω)

Protoˇze oblast Ω je ˇc´ast kruhu o polomˇeru polomˇeru 1, zvol´ıme transformaci do pol´ arn´ıch souˇradnice. Jakobi´ an je J(̺, ϕ) = ̺. Je tedy I = R1 Rπ 2 2 2 ̺e−̺ (cos ϕ+sin ϕ) · d̺ · dϕ =

̺=0 ϕ= π 4 Rπ R1

̺=0 ϕ= π 4 1 2 (1

2

̺e−̺ · d̺ · dϕ = (*) π

− 1e ) [ϕ] π = 4

Rπ

ϕ= π 4

3π(e − 1) . 8e

2

[− 21 e−̺ ]10 dϕ = − 12

Rπ

ϕ= π 4

(*) Integr´ al ˇreˇs´ıme substituc´ı −̺2 = z ⇒ dz = −2̺ · d̺ ⇒ Graf funkce f (x, y) = e−(x sov´ ych kˇrivek.

2

+y 2 )

R

(e−1 − e0 )dϕ = 12 (1 − 1e )

2

̺e−̺ · d̺ =

R

Rπ

dϕ =

ϕ= π 4

2

ez (− 12 )dz = − 12 e−̺ .

ˇ je na obr´ azku. fmax = f (0, 0) = 1. Rezov´ e kˇrivky jsou grafy Gaus-

42

z y 1

−1

1

x

−1

b)

RR

(Ω)

y

x

(x + y + 4) dx dy, kde oblast Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4.

Pol´ arn´ı souˇradnice. 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 4 ⇒⇒ 1 ≤ ̺2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺ ≤ 2. V pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch jsou tedy meze: 1 ≤ ̺ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. (Oblast Ω se tedy transformovala do Ω∗ : ̺ ∈ h1, 2i, ϕ ∈ R Rh0, 2πi). Odtud uˇz snadn´ a integrace: (x + y + 4) dx dy = (Ω)   R 2 R 2π ̺(̺ cos ϕ + ̺ sin ϕ + 4) dϕ d̺ = 1 0  R 2 R 2π 2 d̺ = [̺ sin ϕ − ̺2 cos ϕ + 4̺ϕ]2π 0 1 0 R2 2 R2 ̺2 [̺ · 0 − ̺2 · cos 2π + 8π̺ − ̺2 · 0 + ̺2 cos 0 − 0] d̺ = 1 (+8π̺) d̺ = 8π[ ]21 = 12π. 1 2

Geometricky: Objem tlustostˇenn´eho v´ alce shora ˇsikmo seˇr´ıznut´eho danou rovinou. y

y 2

6

Ω

Ω∗ 3 −2 −1

1

2

x 1

−2 c)

RR

(Ω)

1 dx dy, kde oblast Ω : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥

2

3

x

1 . 2

Pol´ arn´ı souˇradnice. Jakobi´ an J = ̺. Z podm´ınky x2 + y 2 ≤ 1 plyne ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 1 ⇒ ̺ 6= 1. 1 1 1 . Z podm´ınky y ≥ plyne ̺ sin ϕ ≥ ⇒ ̺ ≥ 2 2 2 sin ϕ √ √ 1 3 3 1 1 2 2 Pr˚ useˇc´ık kruˇznice x + y = 1 a pˇr´ımky y = je x = ,y = a x = − , y = . Tˇemto 2 2 2 2 2 5π π . Transformovan´a oblast Ω∗ je tedy vymezena bod˚ um odpov´ıdaj´ı hodnoty ϕ = resp. ϕ = 6 6 π 5π 1 podm´ınkami ≤ ϕ ≤ a ≤ ̺ ≤ 1. Odtud integrace: 6  6 2sin ϕ 5π  5π 5π 5π  1 R RR R6 1 R6 1 1 R6 1 R6 1   dϕ = ̺ d̺ dϕ = dϕ = 1− dϕ − 1 dx dy = 2 2 π 2 π 8 π sin2 ϕ π 4 sin ϕ 1 (Ω) 6

6

2 sin ϕ

43

6

6

√ 5π √ √ 1 π 1 π 1 5π 3 6 6 [ϕ] π + [cotg ϕ] π = + .(− 3 − 3) = − 6 2 6 8 3 8 3 4 y

̺

̺=

Ω

1

y= √ − 23

√ 3 2

−1

1

1 2 sin ϕ

1

1 2

Ω∗

x π 6

5π 6

ϕ

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.11. Integrujme pˇres dan´e oblasti: p RRR a) Vypoˇctˇeme 1 · dx dy dz. Oblast Ω : z ≤ 1 − x2 + y 2 , z ≥ 0. (Ω)

Oblast Ω je omezena kuˇzelovou plochou s podstavou v rovinˇe xOy (kruh o polomˇeru 1). Pouˇzp ijeme transformace ych souˇradnic. p do cylindrick´ p Je 1 − x2 + y 2 = 1 − ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ = 1 − ̺2 = 1 − ̺ ⇒ 0 ≤ z ≤ 1 − ̺. x2 + y 2 ≤ 1 ⇒ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 1 ⇒ ̺2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ̺ ≤ 1. Oblast Ω se transformovala do oblasti Ω∗ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π; 0 ≤ ̺ ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1 − ̺. Jakobi´an J = ̺. Proto ! !   2π 2π R R R1 RRR R R1 1−̺ 1−̺ [̺z]0 d̺ dϕ = ̺dz d̺ dϕ = 1 · dx dy dz = 0

(Ω)

2π R 0

1 R 0

0

0

0

0

  1 2π 2π R ̺2 R 1 ̺3 1 2π π ̺(1 − ̺) d̺ dϕ = − dϕ = [ ϕ]2π = . dϕ = 0 = 2 3 6 6 6 3 0 0 0

Geometricky: Objem tˇelesa vymezen´eho oblast´ı Ω, tj. objem kuˇzele.

b) Vypoˇctˇeme

RR R

(Ω)

1 · dx dy dz. Oblast Ω : z ≤

p

1 − x2 − y 2 , z ≥ 0.

Oblast Ω je omezena p˚ ulkulovou plochou s podstavou v rovinˇe xOy (kruh o polomˇeru 1). Pouˇzijeme transformace do sf´erick´ ych souˇradnic. Je z = ̺2 sin2 ϑ cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϑ sin2 ϕ + ̺2 cos2 ϑ = ̺2 (sin2 ϑ + cos2 ϑ) = ̺2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ̺ ≤ 1, z ≥ 0 ⇒ ̺ cos ϑ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϑ ≤ π2 . 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Oblast Ω se tedy transformovala do oblasti Ω∗ v uveden´ ych mez´ıch ̺, ϕ, ϑ. Jakobi´an J = ̺2 · sin ϑ. Proto    ! 1 ! 2π 2π R ̺3 R R1 2 R π/2 RRR R π/2 ̺ · sin ϑ d̺ dϑ dϕ = sin ϑ dϑ dϕ = 1 · dx dy dz = 3 0 0 0 0 0 Ω 0 !   π2  2π 2π 2π 2π R 1 R 1 R π/2 R 1 1 2π − cos ϑ dϕ = sin ϑ dϑ dϕ = dϕ = ϕ . = 3 3 0 3 0 3 0 3 0 0 0 Geometricky: Objem tˇelesa vymezen´eho oblast´ı Ω, tj. objem polokoule.

44

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.12. Integrujme a)

RR R

(Ω)

1 · dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 − z ≤ 1, z ≤ 0.

V´ alcov´e souˇradnice: Ω : x2 + y 2 − z ≤ 1 ⇒ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ − z ≤ 1 ⇒ ̺2 − z ≤ 1 ⇒ z ≥ ̺2 − 1 ∧ z ≤ 0. Oblast Ω se tedy transformuje do oblasti Ω∗ : z ∈ h̺2 − 1, 0i, ̺ ∈ h0, 1i, ϕ ∈ h0, 2πi. Integrace uˇz je snadn´ a": ! # 2π R0 RR R R R1 ̺ dz d̺ dϕ = 1 · dx dy dz = 0

(Ω)  2π R R1

0

̺2 −1

   2π R R1 0 ̺ [z]̺2 −1 d̺ dϕ = ̺(−̺2 + 1)d̺ dϕ = 0 0 1   0 0 4  2π 2π 2π R 1 R R1 R 1 2π ̺ ̺2 π dϕ = [ϕ]0 = dϕ = − + (−̺3 + ̺)d̺ dϕ = 4 2 0 4 4 2 0 0 0 0 z

y

x

b)

RR R

(Ω)

(x + y) · dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 − z ≤ 1.

Oblast Ω je stejn´ a jako v pˇredchoz´ım alcov´e souˇr! adnice. ypoˇcet integr´ alu je " pˇr´ıkladu, opˇet v´ # V´ 2π RR R R R1 R0 obdobn´ y: (x + y) · dx dy dz = (̺ cos ϕ + ̺ sin ϕ)̺ dz d̺ dϕ = 0

(Ω)

2π R

1 R



0

̺2 −1

   2π
R R1 2 4 d̺ dϕ = (cos ϕ + sin ϕ)(̺ − ̺ ) d̺ dϕ =

(̺ cos ϕ + ̺ sin ϕ)̺[z]0̺2 −1 0 0 1 !  3 R 2 2π ̺5 2 ̺ dϕ = − [sin ϕ − cos ϕ]2π (cos ϕ + sin ϕ) dϕ = (cos ϕ + sin ϕ) 0 =0 3 5 0 15 0 15 0 RR R Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 2.1.13. Integrujme 1 · dx dy dz, je-li Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, −1 ≤ z ≤ 1, 0 0 2π R

(Ω)

y ≥ 0. V´ alcov´e souˇradnice: 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺ ≤ 2 y ≥ 0 ⇒ ̺ sin ϕ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ π Oblast Ω se transformuje do oblasti Ω∗ : ̺ ∈ h1, 2i, ϕ ∈ h0, πi, z ∈ h−1, 1i, jakobi´ an J = ̺. ! ! !
R2 R1 Rπ R2 RR R Rπ [̺ · z]1−1 d̺ dϕ = ̺ dz d̺ dϕ = Integrace: 1 · dx dy dz = ϕ=0 ̺=1 ϕ=0 ̺=1 z=−1 (Ω) ! Rπ R2 Rπ Rπ 2̺ d̺ dϕ = [̺2 ]21 dϕ = 3 dϕ = [3ϕ]π0 = 3π. ( ϕ=0

̺=1

0

0

45

2.2 1)

Cviˇ cen´ı

RR

x2

(Ω)

2)

RR

x dx dy, + y2

x ln y dx dy,

(Ω)

3)

e dx dy,

RR

cos(x + y) dx dy,

RR

(2 + x − y) dx dy ,

x y

(Ω)

6)

7)

dx dy,

RR

xy dx dy

8)

RR

(4 − x − y) dx dy,

(Ω)

9) a)

RR

Ω : y − x ≤ π, y ≤ π − x, y ≥ 0.

[0]

  8 3

Ω : y ≥ 0, x + y ≤ 2, x − y ≥ 0. 

(Ω)

RR

(Ω)

RR

(Ω)

45 32



[4]

Ω : x ∈ h0, 1i y ∈ h0, 2i.

[5]

x dx dy, y+1 

je-li Ω : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

10)

2 ln 2 +

Ω : y 2 − x2 ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 9, y ≥ 0, x ≥ 0.

xy dx dy, b)



  1 2

Ω : xy ≤ 1, 4x − y ≥ 0, 4y ≥ x.

(Ω)

40 9 ln 3 − 2 9

Ω : 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1.

RR

(Ω)



2

(Ω)

5)

[ln 2]

Ω : 1 ≤ y ≤ 3, x ≥ 0, x + y ≤ 3.

RR

(Ω)

4)

Ω : x2 ≤ 2y, y ≤ x.

1 1 a) , b) (ln 2 − 1) 4 2

1 dx dy, je-li Ω : x − 1 ≤ y ≤ x + 1, −x + 1 ≤ y ≤ −x + 3. x+y



[ln 3]

11) Vypoˇctˇete dvojn´ asobn´e integr´ aly a nakreslete jejich integraˇcn´ı oblasti: a)

R1 0

b)

Rb 0

R2 dx xydy 0

Ra

√ xy dx dy 0

c)

R2

π

R2

dx x sin y dy

d)

0

dx

R1 0

46

2

x dy 1 + y2 

R1 0

0

1

R1

e) f)

R2 1

R2 dx (x2 + y 2 )dy 1

dx

√ xR 3

xydy

x

4p 3 π 8 15 a) 1, b) , e) , f ) (ab)3 , c) , d) 9 2 12 3 4



12) Vypoˇctˇete dvojn´ asobn´e integr´ aly a nakreslete jejich integraˇcn´ı oblasti: a)

R2 0

R2 dx (x2 + 2y 2 − 2x − 4y − 4) dy

b)

0

R2 1

Re dx x ln y dy 1



3 a) 8, b) 2



13) Proved’te z´amˇenu poˇrad´ı integrace pro libovolnou funkci z = f (x, y) spojitou a ohraniˇcenou v pˇr´ısluˇsn´ ych integraˇcn´ıch mez´ıch : a)

R2 1

R4 dx z dy

b)

3

R2

dx

a)

Re

c)

x

0

"

R2x z dy

R4

1

R2

R2

dy z dx, b)

3

dx

1

dy

0

Ry

R4 2

z dy

0

z dx + dy

y/2

ln Rx

R2

z dx, c)

R1

dy

0

y/2

Re

z dx

ey

#

14) Proved’te z´amˇenu poˇrad´ı integrace pro libovolnou funkci z = f (x, y) spojitou a ohraniˇcenou v pˇr´ısluˇsn´ ych integraˇcn´ıch mez´ıch : a)

R1

Rx R2 2−x R dx z dy + dx z dy

R1

Rx dx z dy

0

b)

0

0



1

c)

0

d)

a)

0

dy

R1 0

x2

2−y R

z dx, b)

y

R1 0

√

dx

√ 3

R1 Ry dy z dx, c) dy y2

0

√

1−x R 2

z dy

0

−1

√

R1

R1

dy −

1−y R

√

1−y 2

−

R √

z dx, d)

1−y 2

z dx

1−y 2

R0

−1

dx

√ − R1−x2

R1

z dy + dx

0

0

1−x R 0



z dy 

15) Vypoˇctˇete dvojn´e integr´ aly pˇrevodem na integr´ aly dvojn´ asobn´e pro dan´e integraˇcn´ı oblasti D: a)

RR D

b)

RR D

c)

RR D

d)

RR D

e)

RR D

f)

RR

dx dy ; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h3, 4i ∧ y ∈ h1, 2i}} (x + y)2 ex+y dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h0, 1i ∧ y ∈ h0, 1i}} xy 2 dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h1, 2i ∧ y ∈ h0, 2i}} cos(x + y) dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; 0 ≤ y ≤ x ≤ π}} yex dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; y 2 ≤ x ≤ y + 2}} x dx dy; D = ∆OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)

D

g)

RR D

h)

RR D

2

ey dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h0, 1i ∧ x ≤ y ≤ 1}} |x| dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x2 ≤ y ∧ 4x2 + y 2 ≤ 12}} 

√ 10 e 1 e−1 25 , h) 4 3 − a) ln , b) (e − 1)2 , c) 4 d) − 2, e) (5 + e3 ), f ) , g) 24 2 6 2 3

47



16) Dvojn´e integr´ aly na oblastech D vymezen´ ych dan´ ymi podm´ınkami pˇreved’te na dvojn´ asobn´e integr´ aly. a) D = {(x, y) ∈ R × R; x ≥ 2 ∧ x ≤ 3 ∧ y ≥ −1 ∧ y ≤ 5}

b) D = {(x, y) ∈ R × R; x + y ≤ 1 ∧ x − y ≤ 1 ∧ x ≥ 0} c) D = {(x, y) ∈ R × R; y ≥ x ∧ y ≤ 2x ∧ x + y ≤ 6}

d) D = {(x, y) ∈ R × R; x2 + y 2 ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0} √ e) D = {(x, y) ∈ R × R; y ≥ x2 ∧ y ≤ x} " # √ 1−x 1−x 6−x R3 R5 R1 R R2 R2x R3 R R1 R 2 a) dx z dy, b) dx z dy, c) dx z dy + dx z dy, d) dx z dy 2

0

−1

x−1

x

0

2

x

0

"

e)

R1 0

0 √

dx

Rx

z dy

x2

#

√ 17) Integrujte pˇres oblast Ω : x ≤ y ≤ x 3 ∧ 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4: a)

RR

1 dx dy

(Ω)

b)

RR

(x2 + y 2 ) dx dy

(Ω)

RR

(Ω)

RR

(2−x−y) dx dy

(Ω)



N´ avod: pol´ arn´ı souˇradnice.

18)

c)

d)

RR

xy 2 dx dy

(Ω)

√ √ 5π π 7 √ π 31 · (3 3 − 2 2) a) , b) , c) − ( 3 − 1), d) 8 16 4 6 120

xy dx dy, je-li oblast Ω : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ |x|.

"√ # 2 16

N´ avod: srovnej s Uk´azkov´ ym pˇr´ıkladem 2.1.10c). 19) (Trochu pracnˇejˇs´ı) √ RR 3 2 2 dx dy, je-li Ω : 0 ≤ x + y ≤ 4 ∧ y ≥ . x (Ω) N´ avod: pol´ arn´ı souˇradnice.

20) Vypoˇctˇete R R a) ln(x2 + y 2 ) dx dy, je-li oblast Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2. (Ω)

b)

R R

(Ω)



"

# √ 3 π − ln 3 3 2

[π(8 ln 2 − 1)]

(x + y) ln(x2 + y 2 ) dx dy, je-li oblast Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ e2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.



4 3 (2e + 1) 9



21) (Trochu pracnˇejˇs´ı) Je d´ana oblast Ω : (y − x)2 + x2 ≤ 4. a) Vypoˇctˇete pomoc´ı dvojn´eho integr´ alu velikost |Ω|.

b) Vypoˇctˇete pomoc´ı dvojn´eho integr´ alu objem tˇelesa (kolm´eho k rovinˇe xOy), v jehoˇz podstavˇe je Ω, kter´e je shora omezen´e rovinou f (x, y) = 6 − 2x − 2y. N´ avod: Oblast si zobraz´ıte u ´pravou na tvar Ω :

48

√ √ √ √ (y − x)2 + x2 ≤ 4 ⇒ y − x = 4 − x2 ∨ y − x = − 4 − x2 ⇒ y = x + 4 − x2 ∨ y = x − 4 − x2 . Oblast je tedy omezena grafy dvou funkc´ı (Obr.) [4π; 48π]

y y =x+

√

2

−2

2 −2

y =x−

4 √

4 − x2

x

4 − x2

22) Urˇcete objem tˇelesa, jehoˇz podstava je ˇctvrtina kruhu x2 + y 2 = 4 (ˇc´ast v´ alce) a kter´e je shora 3 3 zkoseno rovinou f (x, y) = 5 − x − y (obr.) N´ a vod: pol´ a rn´ ı souˇ r adnice. 5 5   16 5π − 5 z

x y

23) Pomoc´ı transformace do pol´ arn´ıch souˇradnic vypoˇctˇete integr´ aly: a)

Ra 0

√ dy

a2 −y 2

R

2

b)

2

(x + y ) dx

R∞

dy

0

0

"

a)

π/2 R

dϕ

0

Ra 0

R∞

e−(x

2

+y 2 )

π/2 R R∞ π πa4 2 dϕ e−r r dr = , b) r dr = 8 4 0 0 3

24) Urˇcete objem tˇelesa omezen´eho plochami o rovnic´ıch 1 3 , x = , z = 0, z = 5 2 2 b) x = 0, y = 0, z = 0, z = 48 − 24x − 16y a) 3x − 2y + 4 = 0, 3x − 2y + 1 = 0, x =

c) z = 9 − x2 , x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 4y = 12

d) z = 3x, x2 + y 2 = a2 , z = 0, (a ∈ R)

49

dx

0

#



a)

15 , b) 4, c) 45, d) V = a3 , tˇeleso v I. oktantu 2



25) Urˇcete objem tˇelesa omezen´eho plochami o rovnic´ıch a) x2 + y 2 = 1, x + y + z = 3, z = 0, b) 2x + 3y = 12, z =

y2 , x = 0, y = 0, z = 0, 2

c) z = 1+x+y, x = 0, y = 0, z = 0, x+y = 1,  2 x d) z = , x = 2, y = x, xy = 1 y 

a) 3π, b) 16, c)

9 5 , d) 6 4



26) Vypoˇctˇete obsahy obrazc˚ u ohraniˇcen´ ych kˇrivkami o rovnic´ıch a) y = x, 2y = x2 , b) y 2 = 4 + x, x + 3y = 0,

c) 4y = x2 −4x, x−y −3 = 0,

d) y = ex , y = e−x , y = 2, 

a)

e) y = 2x − x2 , y = x2 , f) xy = 4, x + y = 5

 2 125 8 1 15 , b) , c) , d) 4 ln 2 − 2, e) , f ) − 8 ln 2 3 6 3 3 2

27) Vypoˇctˇete obsahy obrazc˚ u ohraniˇcen´ ych kˇrivkami o rovnic´ıch d) y 2 = 2x, y = x

a) y = ln x, x = 2, y = 0 b) x + y = 1, x = 0, y = 0 c) y 2 = x, y = x2

e) y 2 = 4ax, x + y = 3a, y = 0, a ∈ R 

a) 2 ln 2 − 1, b)

1 2 10a2 1 , c) , d) , e) 2 3 3 3



28) Dvojn´ ym integr´ alem odvod’te vzorec pro obsah kruhu o polomˇeru r. [πr2 ] 29) Urˇcete tˇeˇziˇstˇe obrazce omezen´eho kˇrivkami c) y 2 = ax, y = x, a > 0

a) y = 0, y = sin x, x ∈ h0, πi b) y = x2 , y = 0, x = 4



50

a)



π π 24 2a a , , b) (3, ), c) , 2 8 5 5 2



30) Najdˇete tˇeˇziˇstˇe rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka o stranˇe d´elky a, kter´ y m´a vrchol v poˇc´atku souˇradn´e soustavy a v´ yˇsku v kladn´e ˇc´asti osy ox . !# " √ a 3 ,0 3 31) Najdˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe obrazce omezen´eho kardioidou o rovnici r = a(1 + cos ϕ), a ∈ R, a > 0.   5a ,0 6 32) Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcen´e lemnisk´atou danou rovnic´ı r2 = a2 cos 2ϕ, a ∈ R.

[a2 ]

33) Najdˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe obrazce ohraniˇcen´eho kˇrivkami a) x2 + y 2 = a2 , y ≥ 0 b) y =

34)

RRR (Ω)

35)

RRR (Ω)

36)

√

c) y 2 = 4(x + 1), y 2 = 2(2 − x) b√ 2 a − x2 , y = 0, a > 0, a ∈ R. d) y = a          4a 3a 3a 2 4b a) 0, , b) , c) , , 0 , d) 0, 3π 5 8 5 3π

ax, x = a, y = 0, a ∈ R

(x + y + z) dx dy dz, je-li Ω : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 4.

[120] 

(xyz) dx dy dz, je-li Ω : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 4.

R R R x+y dx dy dz, je-li Ω : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 3, x + y ≤ 2. (Ω) z + 1

37) Integrujme

RR R

(xy 2 ) · dx dy dz, je-li Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, −1 ≤ z ≤ 1, y ≥ 0.

RRR

dx dy dz, Ω : 0 ≥ z ≥

(Ω)

N´ avod: srovnej s Uk´azkov´ ym pˇr´ıkladem 2.1.13.

38) Vypoˇctˇete

(Ω)

N´ avod: v´ alcov´e souˇradnice.



135 2



 8 ln 4 3

[0]

p x2 + y 2 − 1. h πi − 3

51

z

y x

39) p Vypoˇctˇete objem tˇelesa vymezen´eho plochami f (x, y) = 1 − x2 − y 2 (kulov´ a plocha).

p

x2 + y 2 (kuˇzelov´ a plocha) a f (x, y) =

ˇ rovinou xOz je na obr. Oblast Ω tedy je x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ∧ x2 + y 2 − z 2 ≤ 0 . N´ avod: Rez Pouˇzijte transformaci do v´ alcov´ ych souˇradnic. " √ # π(2 − 2) 3

z

z=

1

p

x2 + y 2

rovina z = z=

−1

1

40) Vypoˇctˇete objem koule o polomˇeru R, tj.

RRR (Ω)

N´ avod: sf´erick´e souˇradnice.

41) Vypoˇctˇete

p

√ 2 2

1 − x2 − y 2

2

x

dx dy dz, kde Ω : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 . 

RRR

dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ v, R, v ≥ 0.

RRR

dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z, x + y + z ≤ 3, R, v ≥ 0.

(Ω)

[πR2 v]

N´ avod: v´ alcov´e souˇradnice. 42) Vypoˇctˇete

(Ω)

 4 3 πR . 3

[3πR2 ]

N´ avod: v´ alcov´e souˇradnice.

52

3

Diferenci´ aln´ı rovnice

3.1

ˇ sen´ Reˇ eu ´ lohy

Separovateln´ a diferenci´aln´ı rovnice 1. ˇra´du

y ′ · f (x) = g(y)

Line´ arn´ı difer. rovnice 1.ˇra´du Struktura ˇreˇsen´ı

y ′ + a(x) · y = b(x) y = yh + yp

yh je ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice (nejˇcastˇeji separace promˇenn´ ych) yp je libovoln´e partikul.ˇreˇsen´ı dan´e rovnice (variace konstanty)

Homogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice (konst. koef.) 2. ˇra´du

y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0

a1 , a2 = konst.

Charakteristick´ a rovnice

λ 2 + a1 λ + a2 = 0

Koˇreny charakteristick´e rovnice λ1 , λ2

Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice λ1 6= λ2 ∈ R λ1 = λ2 ∈ R λ1 , λ2 ∈ /R

y = C 1 eλ 1 x + C 2 eλ 2 x y = C1 eλ1 x + C2 · xeλ1 x y = C1 · Re(eλ1 x ) + C2 · Im(eλ1 x )

Nehomogenn´ı lin. difer. rovnice 2. ˇr. (konst. koef.) Struktura ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice

y ′′ + a1 y ′ + a2 y = g(x) y = yh + yp

Eulerova formule a1 , a2 = konst. yh ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice (charakteristick´ a rovnice) yp libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice (variace konstant nebo metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u)

Tabulka 11: Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.1. Najdˇeme obecn´e a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı (Cauchyovu u ´lohu) n´asleduj´ıc´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. a) y ′ − y sin x = 0.

dy dy = y sin x ⇒ = sin xdx ⇒ dx y R R dy |y| |y| = sin x dx ⇒ ln |y| = − cos x + ln C, C > 0 ⇒ ln = − cos x ⇒ = e− cos x ⇒ y C C |y| = Ce− cos x , C > 0. Nalezen´e obecn´ e ˇreˇsen´ı lze rozborem v´ yrazu |y| pˇrev´est na tvar y = Ke− cos x , K 6= 0 libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo Je-li d´ana poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka napˇr´ıklad y( π2 ) = 1, pak lze naj´ıt konstantu K: 1 = Ke− cos(π/2) = Ke0 = K ⇒ K = 1 ⇒ y = e− cos x . Nalezen´e partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı s danou poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou je ˇreˇsen´ım Cauchyovy u ´lohy. Na obr´ azku je graf ˇreˇsen´ı i geometrick´ y v´ yznam

Rovnice je separovateln´a. Proto y ′ − y sin x = 0 ⇒

53

poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. y 4 K=2 K = 1, 5 K=1

2 1

−6

y( π2 ) = 1 π 2

−3

3

6

poˇca ´t. podm.

−2

x K = −1

Korektnˇ ejˇs´ı postup separace rovnice y ′ − y sin x = 0: R y ′ (x) R y′ ′ = sin x ⇒ dx = sin x dx. Substituce y(x) = u(x) ⇒ du = y ′ (x).dx ⇒ y − y sin x = 0 ⇒ y y(x) R R du R y ′ (x) dx = sin x dx ⇒ = − cos x + ln C, C > 0 ⇒ ln |u| = − cos x + ln C atd. (viz v´ yˇse). y u

Rozbor v´ yrazu |y|: 1) Je-li y > 0 ⇒ |y| = y ⇒ y = Ce− cos x , C > 0, 2) Je-li y < 0 ⇒ |y| = −y ⇒ −y = Ce− cos x , C > 0 ⇒ y = −Ce− cos x , −C < 0. Shrnuto: y = Ke− cos x , K ∈ R \ {0}.

b) y ′′ = −1

x2 Bez jak´ ychkoliv pˇredbˇeˇzn´ ych znalost´ı je zˇrejm´e: y ′′ = −1 ⇒ y ′ = −x+C1 ⇒ y = − +C1 x+C2 2 - obecn´ eˇ reˇ sen´ı. Jestliˇze jsou d´any dvˇ e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky, napˇr´ıklad y(0) = 2,′ y ′ (0) = 0, pak dosazen´ım 2 = 0 + C1 .0 + C2 , a protoˇze y ′ = −x + C1 ⇒ 0 = 0 + C1 . Z posledn´ıch dvou rovnic tedy je x2 C1 = 0, C2 = 2 a odtud ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy y = − + 2. 2 4 C1 = −2, C2 = 2

−6

−3

C1 = −1, C2 = 0

y

2 C1 = 0, C2 = 2

3

x

−2 −4

C1 = 1, C2 = −1

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı (separovateln´e) rovnice: Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.2. Reˇ a) y ′ = y. R dy R dy |y| |y| dy =y⇒ = dx ⇒ = dx ⇒ ln |y| = x + ln C, C > 0 ⇒ ln =x⇒ = dx y y C C ex ⇒ |y| = Cex . Rozborem v´ yrazu |y| dostaneme ˇreˇsen´ı y = Kex , K 6= 0, K ∈ R. y′ = y ⇒

54

b) y ′ = ex−y . y ′ = ex−y ⇒

dy = ex · e−y ⇒ dy · ey = ex · dx ⇒ ey = ex + C, C ∈ R ⇒ y = ln(ex + C). dx

c) y ′ (x2 − x) = y 2 (x + 1) − x − 1. dy y ′ (x2 − x) = y 2 (x + 1) − x − 1 ⇒ y ′ x(x − 1) = (x + 1)(y 2 − 1) ⇒ x(x − 1) = (x + 1)(y 2 − 1) ⇒ dx R R x+1 x+1 dy dy = dx ⇒ integrac´ı = dx. separace promˇenn´ ych 2 y −1 x(x − 1) (y + 1)(y − 1) x(x − 1) Oba integr´ aly vypoˇcteme po rozkladu na parci´ aln´ı zlomky: 1 − 21 1 = + 2 , (y + 1)(y − 1) y+1 y−1

−1 2 x+1 = + . x(x − 1) x x−1 Nakonec tedy integrujeme  1 1  y − 1 1/2 R R −2 dy 1 1 2 . dy = − 2 ln |y + 1| + 2 ln |y − 1| = ln = + (y + 1)(y − 1)  y + 1 y− 1 y + 12   (x − 1) R −1 R x+1 2 , C > 0. = − ln |x| + 2 ln |x − 1| + ln C = ln C · dx = + x(x − 1) x x−1 x 1/2 2 (x − 1) y − 1 . = C · Odtud uˇz snadno ˇreˇsen´ı dan´e rovnice ve tvaru y+1 x   y−1 (x − 1)4 Protoˇze zˇrejmˇe x > 0 ∧ y ∈ (1, ∞) ∪ (−∞, −1) , lze ps´ at =K· , K 6= 0 a y+1 x2 odtud pˇr´ıpadnˇe vyj´ adˇrit y(x) v explicitn´ım tvaru. (Najdˇete sami.) ˇ sme Cauchyovu u Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.3. Reˇ ´lohu pro rovnici y ′ (x2 − x) = y 2 (x + 1) − x − 1 s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y(2) = 2. y−1 (x − 1)4 Obecn´e ˇreˇsen´ı jsme naˇsli v Uk´azkov´em pˇr´ıkladu (3.1.2c). Je = K· . Dosad´ıme y+1 x2 y−1 4 (x − 1)4 4 a odtud partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı = x = 2, y = 2 a dostaneme K = . Je tedy 3 y+1 3 x2 4(x − 1)4 + 3x2 v explicitn´ım tvaru y = 2 .(Viz obr.) 3x − 4(x − 1)4 teˇcna y = 29 x − 7 y ′ (2) = 92

y 4

y(x)

y(2) = 2

2

x 1

2

3

−2 −4

Pozn´ amka: Z obr´ azku se zd´ a zˇrejm´e“, ˇze graf ” 4(x − 1)4 + 3x2 m´ a y(x) = 3x2 − 4(x − 1)4 1) Dvˇe svisl´e “ asymptoty. Jejichˇz rovnice najdeme ” ˇ sen´ı z podm´ınky 3x2 − 4(x − 1)4 = 0.(Proˇc?) Reˇ t´eto rovnice (4. stupnˇe) je dosti obt´ıˇzn´e, ale s pomoc´ı vhodn´eho programu (napˇr´ıklad MAPLE) velmi rychl´e. 2) Vodorovnou “ asymptotu. Jej´ı rovnici ” y = kx + q najdeme v´ ypoˇctem k, q pomoc´ı zn´ am´ ych vzorc˚ u. Snadno dostaneme k = 0, q = −1 ⇒ asymtota: y = −1.

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı (homogenn´ı) rovnice Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.4. Reˇ a) x2 y ′ = y 2 + xy Upravme x2 y ′ = y 2 + xy ⇒ y ′ =

y(x + y) y y ′ 1 + . Je tedy zˇrejm´e, ˇze rovnice ⇒ y = x2 x x 55

je homogenn´ı. Substituce y = x.z, tj. y ′ = z + xz ′ . Pak z + xz ′ = z(1 + z) ⇒ lze separovat R dz R dx dx 1 x dz ⇒ = ⇒ − = ln |x| + C, C ∈ R ⇒ − = ln |x| + C ⇒ xz ′ = z 2 ⇒ 2 = z x z2 x z y −x y= . C + ln |x| b) x2 y ′ = y 2

y y2 , tzn., ˇze rovnice je homogenn´ı. Proto substituce y = x.z, tj. = F x2 x dx dz = ⇒ parci´aln´ı zlomky ⇒ y ′ = z + xz ′ a pak z + xz ′ = z 2 ⇒ xz ′ = z(z − 1) ⇒ z(z − 1) x   R R 1 1 1 |z − 1| dz = − dx ⇒ ln = ln(C|x|), C > 0 ⇒ po kratˇs´ım v´ ypoˇctu z−1 z x |z| x 1 ⇒y= , K ∈ R. z= 1 + K|x| 1 + K|x| x2 y ′ = y 2 ⇒ y ′ =

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı homogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇra´du s konstantn´ımi Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.5. Reˇ koeficienty a) y ′ + 2y = 0 Pomoc´ı charakteristick´e rovnice: y ′ + 2y = 0 ⇒ λ + 2 = 0 ⇒ λ = −2 ⇒ y = Ce−2x . R dy R dy dy Lze ˇreˇsit i separac´ı: y ′ + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2dx ⇒ = −2 dx ⇒ dx y y |y| = −2x ⇒ |y| = Ce−2x , C > 0 ⇒ po rozboru v´ yrazu |y| ln |y| = −2x + ln C, C > 0 ⇒ ln C −2x je y = Ke , K ∈ R. b) 2y ′ − 3y = 0 Pomoc´ı charakteristick´e rovnice: 2y ′ − 3y = 0 ⇒ 2λ − 3 = 0 ⇒ λ =

3 2

3

⇒ y = Ce 2 x .

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı nehomogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇra´du s konstantn´ımi Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.6. Reˇ koeficienty (metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u nebo variace konstanty) a) y ′ + 2y = 2x K1: Vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı rovnici y ′ + 2y = 0. Pomoc´ı charakteristick´e rovnice λ + 2 = 0 ⇒ λ = −2 je ihned yh = Ce−2x . K2: Najdeme libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice. Pomoc´ı neurˇcit´ ych koeficient˚ u (prav´ a strana je 2x = e0x .2x) hled´ ame yp = e0x (ax+b) = ax+b. Vypoˇcteme yp′ = a a dosad´ıme do dan´e 1 rovnice : a + 2ax + 2b = 2x. Porovn´an´ım koeficient˚ u je 2a = 2 ⇒ a = 1 ∧ a + 2b = 0 ⇒ b = − . 2 1 Je tedy yp = x − . 2 1 Obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice pak je y = yh + yp = Ce−2x + x − . 2 b) y ′ − 3y = e3x ˇ sen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice y ′ − 3y = 0 je (separace) yh = C.e3x . K1: Reˇ K2: Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e nehomogenn´ı rovnice lze naj´ıt metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ ui variac´ı konstanty. Hledejme yp ve tvaru yp = C.e3x , kde C = C(x), tedy yp = C(x).e3x . Vypoˇcteme yp′ = C ′ (x).e3x + C(x).3.e3x a dosad´ıme do dan´e rovnice: C ′ (x).e3x + 3C(x).e3x − 3C(x).e3x = e3x ⇒ C ′ (x) = 1 ⇒ C(x) = x. Je tedy yp = x.e3x . Obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice pak je y = yh + yp = C.e3x + x.e3x . 56

c) y ′ + y = ex cos x. ˇ sen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice y ′ + y = 0 je (separace) yh = C.e−x . K1: Reˇ K2: Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı lze naj´ıt bud’ metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u nebo variac´ı konstanty: Metoda variace konstanty: Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı yp = C(x)e−x ⇒ yp′ = C ′ (x)e−x − C(x)e−x . Po dosazen´ı do dan´e rovnice a u ´pravˇe je C ′ (x) = e2x cos x. e2x Funkci C(x) dostaneme opakovanou integrac´ı per partes : C(x) = (sin x + 2 cos x) a parti5 x e kul´ arn´ı ˇreˇsen´ı pak je yp = C(x)e−x = (sin x + 2 cos x). 5 x e −x Nakonec je obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) = Ce + (sin x + 2 cos x). 5 Pro ilustraci najdˇeme partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı i metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Charakteristick´ a rovnice je λ + 1 = 0 ⇒ λ = −1. Prav´ a strana rovnice je ex cos x, pˇredpokl´ adan´e partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı tedy je yp = ex (a sin x + b cos x) ⇒ yp′ = ex (a sin x + b cos x) + ex (a cos x − b sin x). Po dosazen´ı do dan´e rovnice a mal´e u ´ pravˇe je 2a sin x − b sin x + a cos x + 2b cos x = cos x a porovn´ an´ım koeficient˚ u u funkc´ı sin, cos dostaneme soustavu rovnic 2a − b = 0 ∧ a + 2b = 1. Odtud a = 51 , b = 52 partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı je tedy yp = ex ( 51 sin x + 52 cos x).

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı homogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇra´du s nekonstantn´ımi Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.7. Reˇ koeficienty (separace promˇenn´ ych) y =0 sin2 x Separace promˇenn´ ych: y ′ +

a) y ′ +

R dx R dy y dx dy dy y =− 2 ⇒ = = =0⇒ ⇒ = 2 2 dx y y sin x sin x sin x sin2 x cotg x cotg x ln |y| = cotg x + ln K, K > 0 ⇒ |y| = Ke ⇒ y = Ce .

b) y ′ + y ln x = 0

R dy R dy = − ln x dx ⇒ = − ln x dx ⇒ ln |y| = y y −(x ln x − x) + ln K, K > 0 ⇒ |y| = Kex−x ln x ⇒ y = Cex−x ln x , C ∈ R Separace promˇenn´ ych: y ′ + y ln x = 0 ⇒

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı nehomogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇra´du s nekonstantn´ımi Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.8. Reˇ koeficienty (variace konstanty) 1 . sin2 x dy cos x K1: Pˇr´ısluˇsn´ a homogenn´ı rovnice y ′ sin x + y cos x = 0, po separaci =− dx m´a ˇreˇsen´ı y sin x C , C ∈ R. y= sin x K2: Variace konstanty: C(x) C ′ (x) sin x − C(x) cos x Pˇredpokl´adan´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı yp = ⇒ yp′ = ⇒ sin x sin2 x 1 . po dosazen´ı a kratˇs´ı u ´pravˇe C ′ (x) = sin2 x − cos x C(x) = Po integraci C(x) = − cotg x. Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı pak je yp = a obecn´e ˇreˇsen´ı sin x sin2 x C cos x . y(x) = yh + yp = − sin x sin2 x

a) y ′ sin x + y cos x =

57

b) xy ′ − 3y = 12. ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice xy ′ − 3y = 0 je (separace) yh = Cx3 . Jen struˇcnˇe: K1: Reˇ K2: Variace konstanty: Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı yp = C(x)x3 ⇒ yp′ = C ′ (x)x3 + 3C(x)x2 ⇒ 4 C ′ (x) = 12x−4 ⇒ C(x) = − 3 . Pak yp = C(x)x3 = −4. x Nakonec obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) = yh + yp = Cx3 − 4.

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.9. K dan´ ym diferenci´aln´ım rovnic´ım 2.ˇra´du (s konstant. koeficienty) najdeme pˇr´ısluˇsnou charakteristickou rovnici a vyˇreˇste ji. a) y ′′ − 6y ′ + 8y = 0 y → λ0 , y ′ → λ1 , y ′′ → λ2 . Pak je charakteristick´ a rovnice λ2 − 6λ + 8 = 0, ˇreˇsen´ı λ1 = 4, λ2 = 2. b) y ′′ + 3y ′ = 0 Charakteristick´ a rovnice λ2 + 3λ = 0, ˇreˇsen´ı λ1 = 0, λ2 = −3 c) y ′′ − 5y = 0 √ ˇ sen´ı λ12 = ± 5 Charakteristick´ a rovnice λ2 − 5 = 0. Reˇ d) y ′′ + 4y = 0 ˇ sen´ı λ12 = ±2i Charakteristick´ a rovnice λ2 + 4 = 0. Reˇ e) 2y ′′ + 3y ′ + y = 0

ˇ sen´ı λ1 = −1, λ2 = − 1 Charakteristick´ a rovnice 2λ2 + 3λ + 1 = 0. Reˇ 2

f) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0 ˇ sen´ı λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i Charakteristick´ a rovnice λ2 + 2λ + 5 = 0.Reˇ

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.10. K n´asleduj´ıc´ım koˇren˚ um rovnic 2. ˇra´du (charakteristick´ ych rovnic) najdeme pˇr´ısluˇsn´e diferenci´aln´ı rovnice a) λ1 = 5, λ2 = −5 Lze pouˇz´ıt rozkladu kvadratick´eho v´ yrazu na koˇrenov´e ˇcinitele, tj. (λ−5)(λ+5) = 0 ⇒ λ2 −25 = 0⇒ diferenci´aln´ı rovnice je y ′′ − 25y = 0. b) λ1 = 3, λ2 = −1 Lze rovnˇeˇz pouˇz´ıt Vietov´ ych vzorc˚ u: −p = λ1 + λ2 = 2 ⇒ p = −2, q = λ1 · λ2 = −3. Pak je charakteristick´ a rovnice λ2 − 2λ + 3 = 0 a diferenci´aln´ı rovnice y ′′ − 2y ′ + 3y = 0. c) λ1 = 0, λ2 = 1 (λ − 0)(λ − 1) = 0 ⇒ λ2 − λ = 0 ⇒ y ′′ − y ′ = 0. d) λ1 = 0, λ2 = 0 λ2 = 0 ⇒ y ′′ = 0. e) λ1 = 1 − i, λ2 = 1 + i −p = 1 − i + 1 + i = 2 ⇒ p = −2, q = (1 − i)(1 + i) = 2 ⇒ y ′′ − 2y ′ + 2y = 0. f) λ1 = 1 + i, λ2 = 1 + 2i Nen´ı moˇzn´e, vysvˇetlete proˇc.

58

ˇ sme diferenci´aln´ı rovnice 2.ˇra´du (srovnej s Uk´azkov´ Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.11. Reˇ ym pˇr´ıkladem(3.1.9). a) y ′′ − 6y ′ + 8y = 0 Charakteristick´ a rovnice λ2 − 6λ + 8 = 0, jej´ı ˇreˇsen´ı λ1 = 4, λ2 = 2 Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 e4x + C2 e2x . b) y ′′ − 5y = 0 √ √ x 5 2 e + Charakteristick´ a rovnice λ − 5 = 0, jej´ ı ˇ r eˇ s en´ ı λ = ± 5. Obecn´ e ˇ r eˇ s en´ ı je y = C 1 12 √ C2 e−x 5 . c) y ′′ + 3y ′ = 0 Charakteristick´ a rovnice λ2 + 3λ = 0, jej´ı ˇreˇsen´ı λ1 = 0, λ2 = −3. Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 e0.x + C2 e−3x = C1 + C2 e−3x . d) y ′′ + 4y = 0 Charakteristick´ a rovnice λ2 + 4 = 0, jej´ı ˇreˇsen´ı λ12 = ±2i. Najdeme re´alnou a imagin´ arn´ı ˇc´ast 2ix v´ yrazu e . Je (Euler˚ uv vzorec) e2ix = cos 2x + i sin 2x. Odtud obecn´e ˇreˇsen´ı y = C1 cos 2x + C2 sin 2x. e) 2y ′′ + 3y ′ + y = 0

ˇ sen´ı λ1 = −1, λ2 = − 1 . Pak je obecn´e ˇreˇsen´ı Charakteristick´ a rovnice 2λ2 + 3λ + 1 = 0. Reˇ 2 x y = C1 e−x + C2 e− 2 .

f) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0 Charakteristick´ a rovnice λ2 + 2λ + 5 = 0. Jej´ı ˇreˇsen´ı λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i. Napiˇsme exponenci´aln´ı v´ yraz e(−1+2i)x . (Staˇc´ı jeden z komplexn´ıch koˇren˚ u). Je e(−1+2i)x = e−x . · e2ix = −x −x −x e · (cos 2x + i sin 2x) = e cos 2x + i.e sin .2x. Odtud jsou re´ aln´a a imagin´ arn´ı ˇc´ast zˇrejm´e a je tedy obecn´e ˇreˇsen´ı y = C1 e−x cos 2x + C2 e−x sin .2x = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x). Pozn´ amka: V r˚ uzn´ ych fyzik´ aln´ıch, elektrotechnick´ ych a jin´ ych aplikac´ıch b´ yv´ a zvykem nalezen´e ˇreˇsen´ı uv´ adˇet ve tvaru obsahuj´ıc´ım jedinou goniometrickou funkci, napˇr´ıklad y = Ae−x ·sin(2x+ϕ). Oznaˇc´ımeli totiˇz C1 =

A. sin ϕ

C2 =

A. cos ϕ,

pak y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) = e−x .(A. sin ϕ cos 2x + A. cos ϕ sin 2x) = A.e−x sin(2x + ϕ) (goniometrick´ y vzorec). p Konstanty A, ϕ lze naj´ıtn´ asleduj´ ym postupem: C12 + C22 = A2 ⇒ A = C12 + C22 ,  ıc´ım zˇrejm´ C1 C1 = tg ϕ ⇒ ϕ = arctg . C2 C2

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.12. Najdˇeme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy pro n´asleduj´ıc´ı rovnice s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami (Srovnej s Uk´azkov´ ym pˇr´ıkladem ( 3.1.11)c,d). a) y ′′ + 3y ′ = 0, je-li y(0) = 1, y ′ (0) = −1.

Obecn´e ˇreˇsen´ı y = C1 +C2 e−3x . Konstanty C1 , C2 dostaneme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. vypoˇcteme y ′ = −3C2 e−3x a dosad´ıme. Dostaneme soustavu rovnic 1= −1 =

Odtud C2 =

C1 + C2 −3C2 .

1 2 2 1 , C1 = a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami je y = + e−3x . 3 3 3 3 59

y 10

5 poˇca ´t. podm. y(0) = 1

x

2 ′

poˇca ´t. podm. y (0) = −1 smˇernice teˇcny kt = −1

b) y ′′ + ω 2 y = 0, je-li y(0) = y0 , y ′ (0) = k, y0 , k > 0 konstanty (Rovnice je matematick´ ym modelem kmitav´eho pohybu (pruˇzina, kyvadlo) bez odporu prostˇred´ı nebo L-C obvodu )

ˇ sen´ı charakteristick´e rovnice je Charakteristick´ a rovnice je λ2 + ω 2 = 0 ⇒ λ2 = −ω 2 . Reˇ ω.ix λ = ±ω.i. Exponenci´aln´ı v´ yraz e = cos ωx + i sin ωx. Odtud (sloˇzky komplexn´ıho ˇc´ısla !!) y(x) = C1 cos ωx + C2 sin ωx. vypoˇcteme y ′ (x) = −C1 ω sin ωx + C2 ω cos ωx a dosad´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek: y(0) = y0 ⇒ y0 = C1 , y ′ (0) = 0 ⇒ 0 = C2 .ω1 ⇒ C2 = 0. Je tedy C1 = y0 , C2 = 0 a ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy pak je y(x) = y0 . cos ω.x.

y0

y

π 2

π

3π 2

x 2π

c) 16y ′′ + 8y ′ + 17y = 0, je-li y(0) = 2, y ′ (0) = 0 (Rovnice je matematick´ ym modelem kmitav´eho pohybu (pruˇzina, kyvadlo) s odporem prostˇred´ı nebo R-L-C obvodu)

Charakteristick´ a rovnice je 16λ2 +8λ+17 = 0. Koˇreny charakteristick´e rovnice jsou λ = − 41 ±i. Najdeme re´ alnou a imagin´ arn´ı ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla 1 1 1 1 1 e(− 4 +i)x = e− 4 x .eix = e− 4 x .(cos x + i sin x) = e− 4 x . cos x + ie− 4 x . sin x. Odtud je jiˇz zˇrejm´e obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice x x x y(x) = C1 e− 4 . cos x + C2 e− 4 . sin x = e− 4 (C1 cos x + C2 sin x). x x vypoˇcteme y ′ = − 41 · e− 4 · (C1 cos x + C2 sin x) + e− 4 (−C1 sin x + C2 cos x) a dosad´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek: y(0) = 2 ⇒ 2 = C1 + 0 y ′ (0) = 0 ⇒ 0 = − 41 .C1 + C2 1 x Odtud C1 = 2, C2 = a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı (s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami ) je y = e− 4 (2 cos x + 2 √ 1 17 − x . sin x), coˇz lze zapsat (viz (3.1.11)) ve tvaru y = e 4 sin(x + ϕ), ϕ = arctg 4 = 1, 326. 2 2 60

y y

t k ox ; y ′ (0) = 0

2

1 1

y = e−x/4

x 2

4

x π 2

π

3π 2

2π

5π 2

3π

−1 y(x) −2

y(x) K pˇr´ıkladu 3.1.12c)

K pˇr´ıkladu 3.1.12d)

d) 2y ′′ + 3y ′ + y = 0, poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky y(0) = −2, y ′ (0) = 0. Charakteristick´ a rovnice 2λ2 + 3λ + 1 = 0 ⇒ λ1 = 12 , λ2 = −1 a z toho partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı y = −1/2x C1 e + C2 e−x . Vypoˇcteme y ′ = − 12 C1 e−1/2x − C2 e−x . Dosazen´ım poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek dostaneme soustavu −2 = C1 + C2 ∧ 0 = − 12 C1 − C2 . Odtud C1 = −4, C2 = 2 a partikul´arn´ı 1 ˇreˇsen´ı je y = −4e− 2 x + 2e−x . ˇ sme diferenci´aln´ı rovnice 2.ˇra´du (srovnej s Uk´azkov´ Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.13. Reˇ ym pˇr´ıkladem (3.1.11) a Tabulkou(11). Ve vˇsech n´asleduj´ıc´ıch u ´loh´ach tohoto pˇr´ıkladu vyˇreˇs´ıme nejprve (krok K1) pˇr´ısluˇsnou (pˇridruˇzenou) homogenn´ı rovnici (viz Uk´azkov´ y pˇr´ıklad (3.1.11)) a pak najdeme libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice, a to bud’ metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u - pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı pomoc´ı odhadu Tabulka (11) nebo metodou variace konstant. a) Rovnice A. y ′′ − 6y ′ + 8y = 10,

B. y ′′ − 6y ′ + 8y = e2x .

ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice je v obou pˇr´ıkladech y = C1 e2x + C2 e4x . Reˇ A. y ′′ − 6y ′ + 8y = 10 Pˇrepiˇsme pravou stranu rovnice R(x) = 10 = 10.e0x (0. cos 0x + sin 0x). Pak je zˇrejmˇe charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i, kter´e nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice a proto ˇreˇsen´ı hled´ ame ve tvaru ν(x) = yp (x) = e0x (A. cos 0x + B sin 0x) = A. Vypoˇcteme ν ′ (x) = 0, ν ′′ (x) = 0 ⇒ 0 − 0 − 8A = 5 10 ⇒ ν(x) = . Obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice tedy je 10 ⇒ A = 8 4 5 y(x) = C1 e2x + C2 e4x + . 4 B. y ′′ − 6y ′ + 8y = e2x Prav´ a strana rovnice R(x) = e2x = e2x (A.cos0x + B sin 0x). Charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 2 + 0i = 0 je jedenkr´at (r = 1) koˇrenem charakteristick´e rovnice, proto ν(x) = yp (x) = x1 .e2x (A. cos 0x + B sin 0x) = Axe2x . Vypoˇcteme ν ′ (x) = Ae2x + 2Axe2x , ν ′′ (x) = 4Ae2x + 4Axe2x a dosad´ıme: 4Ae2x + 4Axe2x − 6(Ae2x + 2Axe2x ) + 8Axe2x = e2x ⇒ −2Ae2x = e2x ⇒ 1 1 1 A = − ⇒ ν(x) = − xe2x a obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice je y(x) = C1 e2x + C2 e4x − xe2x . 2 2 2 61

b) Rovnice A. y ′′ + 3y ′ = −1 ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice je y = C1 + C2 e−3x . Reˇ A. y ′′ + 3y ′ = −1 Prav´ a strana R(x) = −1 = e0x (− cos 0x + sin 0x), charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i = 0 je jedenkr´at (r = 1) koˇrenem charakteristick´e rovnice, proto ν(x) = yp (x) = x1 .e0x (A. cos 0x + B sin 0x) = Ax. vypoˇcteme ν ′ (x) = A, ν ′′ (x) = 0 a dosad´ıme do dan´e rovnice 1 1 0 + 3A = −1 ⇒ A = − ⇒ ν(x) = − .x. Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice pak je 3 3 1 −3x y(x) = C1 + C2 e − x. 3 B. Rovnice y ′′ + 3y ′ = sin 3x Uˇz struˇcnˇeji: R(x) = e0x (0. cos 3x + sin 3x), char. ˇc´ıslo a + bi = 0 + 3i nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice (r = 0), pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı m´a tvar ν(x) = x0 e0x (A. cos 3x + B sin 3x) = A. cos 3x + B sin 3x. ; ν ′ (x) = −3A sin 3x + 3B cos 3x, ν ′′ (x) = −9A cos 3x − 9B sin 3x a dosad´ıme −9A cos 3x − 9B sin 3x + 3(−3A sin 3x + 3B cos 3x) = sin 3x. Po kratˇs´ı u ´pravˇe: sin 3x(−9B − 9A) + cos 3x(−9A + 9B) = sin 3x. Porovn´ ame koeficienty u stejn´ ych funkc´ı sinus, kosinus: −9A − 9B −9A + 9B Odtud A = −

=1 = 0.

1 1 1 1 , B=− ⇒ ν = − . cos 3x − sin 3x a obecn´e ˇreˇsen´ı pak je 18 18 18 18 y(x) = C1 + C2 e−3x −

1 1 . cos 3x − sin 3x. 18 18

Pro srovn´ an´ı ukaˇzme metodu variace konstant pro ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ + 3y ′ = −1. Homogenn´ı rovnice m´ a ˇreˇsen´ı y = C1 + C2 e−3x . Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı hledejme ve stejn´em tvaru y = C1 (x) + C2 (x)e−3x . vypoˇcteme y ′ (x) = C1′ + C2′ e−3x −3C2 e−3x . | {z } poloˇ z´ıme =0

D´ ale tedy je y ′ (x) = −3C2 e−3x ⇒ y ′′ (x) = −3C2′ e−3x + 9C2 e−3x a dosad´ıme do dan´ı rovnice: −3C2′ e−3x + 9C2 e−3x + 3(−3C2 e−3x ) = −1 ⇒ −3C2′ e−3x = −1. Pro nezn´ am´e funkce (!) C1′ (x), C2′ (x) m´ ame dvˇe rovnice: C1′ + C2′ e−3x = −3C2′ e−3x =

0 −1.

1 1 1 1 3x e , C1′ (x) = − z toho integrac´ı C2 (x) = e3x , C1 (x) = − x. 3 3 9 3 1 1 Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı pak je y = C1 (x) + C2 (x)e−3x = − x + a nakonec obecn´e ˇreˇsen´ı je y(x) = 3 9 1 1 yˇse uveden´ ym v´ ypoˇctem. C1 +C2 e−3x − x+ , coˇz zˇrejmˇe (aˇz na nepodstatnou konstantu) souhlas´ı s v´ 3 9

Odtud C2′ (x) =

c) Rovnice A. y ′′ − 5y = x2 , B. y ′′ − 5y = xex . √ √ ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice y ′′ − 5y = 0 je y = C1 ex 5 + C2 e−x 5 . Reˇ 62

A. y ′′ − 5y = x2 . Prav´ a strana R(x) = x2 = e0x (x2 cos 0x + sin 0x). Charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i nen´ı koˇren charakteristick´e rovnice. Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı hled´ ame ve tvaru ν(x) = e0x [(ax2 + bx + 2 2 c) cos 0x + (a1 x + b1 x + c1 ) sin 0x)] = ax + bx + c. vypoˇcteme ν ′ (x) = 2ax + b, ν ′′ (x) = 2a a dosad´ıme do dan´e rovnice 2a − 5(ax2 + bx + c) = x2 . po kr´atk´e u ´pravˇe −5ax2 − 5bx + 2a − 5c = x2 . Z toho soustava rovnic: −5a =

1

−5b = 0 2a − 5c = 0.

2 1 2 1 a obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y(x) = Odtud a = − , b = 0, c = − . Pak ν(x) = − x2 − 5√ 25 5 25 √ 1 2 C1 ex 5 + C2 e−x 5 − x2 − . 5 25 B. y ′′ − 5y = xex . R(x) = xex = ex (x cos 0x + sin 0x), tvar hledan´eho ˇreˇsen´ı ν(x) = ex [(ax + b) cos 0x + (a1 x + b1 ) sin 0x] = ex (ax + b). vypoˇcteme ν ′ (x) = ex (ax + b) + aex , ν ′′ (x) = ex (ax + b) + aex + aex a dosad´ıme ex (ax + 2a + b) − 5ex [ex (ax + b)] = xex ⇒ ex (−4ax + 2a − 4b) = xex ⇒ −4ax + 2a − 4b = x. Porovn´ an´ım koeficient˚ u 1 1 −4a = 1 ∧ 2a − 4b = 0 ⇒ a = − , b = − . 4 8  1 1 x a obecn´e ˇreˇsen´ı Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı je ν(x) = e − x − 4 8  √ √ 1 1 . y(x) = C1 ex 5 + C2 e−x 5 + ex − x − 4 8

ˇ sme diferenci´aln´ı rovnici y ′′ − y ′ = sin x. Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.14. Reˇ K1 Vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı rovnici y ′′ − y ′ = 0. Charakteristick´ a rovnice λ2 − λ = 0 m´a koˇreny λ1 = 0, λ2 = 1 a obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice tedy je yh = C1 + C2 ex . K2 Libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice lze naj´ıt bud’ metodou variace konstant nebo metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Ukaˇzme pro porovn´an´ı oba zp˚ usoby. Variace konstant. Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı hled´ ame ve tvaru yp = C1 (x) + C2 (x).ex . vypoˇcteme yp′ = C1′ (x) + C2′ (x).ex + C2 (x)ex a poloˇz´ıme C1′ (x) + C2′ (x).ex = 0. Najdeme druhou derivaci yp . Je yp′′ = C2′ (x)ex + C2 (x)ex a dosad´ıme za yp , yp′ , yp′′ do dan´e rovnice y ′′ − y ′ = sin x. Je C2′ (x)ex +C2 (x)ex −C2 (x)ex = sin x. Po kr´atk´e u ´pravˇe m´ame soustavu dvou rovnic s nezn´am´ ymi funkcemi C1′ (x), C2′ (x) C1′ (x) + C2′ (x).ex = C2′ (x)ex =

0 sin x

Soustavu snadno vyˇreˇs´ıme C1′ (x) = − sin x, C2′ (x) = e−x sin x. Odtud integrac´ı ihned C1 (x) = 1 ych cos x a (opakovanou) metodou per partes C2 (x) = − e−x (sin x + cos x). Dosazen´ım nalezen´ 2 63

1 1 hodnot do yp m´ame hledan´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice yp = cos x − sin x. 2 2 1 1 Nakonec je tedy obecn´e ˇreˇsen´ y y(x) = yh + yp = C1 + C2 ex + cos x − sin x. 2 2 Metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Prav´ a strana dan´e rovnice sin x = e0x (0. cos x + 1. sin x). Charakteristick´e ˇc´ıslo diferenci´aln´ı rovnice je 0 = 0 + 1.i = i nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice. Pˇredpokl´adan´e partikul´arn´e ˇreˇsen´ı tedy je yp = e0x (A. cos x + B. sin x) = A cos x + B sin x. Vypoˇcteme yp′ , yp′′ a dosad´ıme do dan´e rovnice: yp′ = −A sin x + B cos x, yp′′ = −A cos x − B sin x. Po dosazen´ı a kratˇs´ı u ´pravˇe je cos x(−A − B) + sin x(−B + A) = sin x. Porovn´an´ım koeficient˚ u u t´ ychˇz funkc´ı (sin, cos) na lev´e a prav´e stranˇe je −A − B = 0 A − B = 1. 1 1 1 1 Odtud A = , B = − , takˇze partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice je yp = cos x− sin x (coˇz se shoduje s 2 2 2 2 v´ ysledkem metodou variace konstant) a obecn´e ˇreˇsen´ı pak je samozˇrejmˇe shodn´e y(x) = yh + yp = 1 1 C1 + C2 ex + cos x − sin x. 2 2 Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.15. Najdˇeme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy pro n´asleduj´ıc´ı rovnice s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami (Srovnej s Uk´azkov´ ym pˇr´ıkladem ( 3.1.9)d) a) Rovnice y ′′ + 4y = cos 2x, je-li y(0) = 2, y ′ (0) = 1. 1 Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ + 4y = cos 2x je y(x) = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x sin 2x. 4 1 1 vypoˇcteme y ′ = −2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x + sin 2x + x cos 2x. Pouˇzijeme poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky 4 2 a dosad´ıme: 2= 1= Odtud C1 = 2, C2 =

C1 + 0 C2

1 a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami je 2 y(x) = 2 cos 2x +

1 1 sin 2x + x sin 2x. 2 4

y 2

π 2

π

−2

64

3π 2

2π

5π 2

x 3π

b) Rovnice 16y ′′ + 8y ′ + 17y = 17, je-li y(0) = 2, y ′ (0) = 0. (Rovnice je matematick´ym modelem kmitav´eho pohybu (pruˇzina, kyvadlo) s odporem prostˇred´ı nebo R-L-C obvodu s vnˇejˇs´ı vtiˇstˇenou silou - konstantn´ı napˇet´ı zdroje)

ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice 16y ′′ +8y ′ +17y = 17 - viz (3.1.12d) je y(x) = e− x4 (C1 cos x+C2 sin x). Reˇ Prav´ a strana R(x) = 17 = e0x (17 cos 0x + sin 0x), pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı m´a tvar ν(x) = A ⇒ ′ ν (x) = 0, ν ′′ (x) = 0. Dosad´ıme do dan´e rovnice: 17A = 17 ⇒ A = 1 ⇒ ν(x) = 1. x

Obecn´e ˇreˇsen´ı tedy je y(x) = e− 4 (C1 cos x + C2 sin x) + 1. x

x

Vypoˇcteme y ′ = − 14 e− 4 (C1 cos x+C2 sin x)+e− 4 (−C1 sin x+C2 cos x). Pouˇzijeme-li poˇc´ateˇcn´ı 1 podm´ınky, pak po dosazen´ı a snadn´em v´ ypoˇctu je C1 = 1, C2 = a hledan´e ˇreˇsen´ı Cauchyovy 4 u ´lohy je   1 −x 4 cos x + sin x + 1. y(x) = e 4 y 2 1

x π 2

π

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

9π 2

c) y ′′ = −1, plat´ı-li y(0) = 2, y ′ (0) = 0. Charakteristick´ a rovnice λ2 = 0 ⇒ λ12 = 0 (dvojn´ asobn´ y koˇren). yh = C1 e0x + C2 xe0x = 0x C1 + C2 x. Prav´ a strana R(x) = −1 = −e . Charakter. ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i = 0 je dvakr´at (r = 2) koˇrenem charakter. rovnice, proto ν(x) = x2 .A ⇒ ν ′ (x) = 2Ax, ν ′′ (x) = 2A a dosad´ıme 1 do dan´e rovnice: 2A = −1 ⇒ A = − . 2 1 1 Partik. ˇreˇsen´ı ν(x) = − x2 a obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice je y(x) = C1 + C2 x − x2 . 2 2 Konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. vypoˇcteme y ′ = C2 −x a dosad´ıme: 2 = C1 +0∧0 = C2 − 0 ⇒ C1 = 2, C2 = 0. Cauchyova u ´loha s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami m´a tedy ˇreˇsen´ı 1 2 ym pˇr´ıkladem (3.1.1b)). y(x) = 2 − − x . (Srovnej s Uk´azkov´ 2

charakteristick´ a rovnice (vlastn´ı ˇc´ısla λ matice A) v´ ypoˇcet vlastn´ıho vektoru h v´ ypoˇcet vlastn´ıch vektor˚ u h, h∗ funkce fundament´ aln´ıho syst´emu funkce fundament´ aln´ıho syst´emu

Uˇ ziteˇ cn´ e vztahy det(A − λE) = 0 (A − λE)h = o 2 (A − λE) h = o eλx E · h eλx (E + (A − λE) x] h Tabulka 12:

65

λ je jednoduch´ y koˇren λ je dvojn´ asobn´ y koˇren char. rovnice) λ je jednoduch´ y koˇren λ je 2-n´ asobn´ y koˇren char. rovnice

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı soustavy diferenci´aln´ıch rovnic eliminaˇcn´ı metoUk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.16. Reˇ dou: a) y1′ =

2y1 + 2y2

y2′ =

y1 + 3y2

   ′  2 2 y1 y1 = Zapiˇsme soustavu maticovˇe: y’ = . y2 y2′ 1 3 Je to homogenn´ı soustava. adˇr´ıme y1 a dosad´ıme do prvn´ı rovM˚ uˇzeme ji ˇreˇsit eliminaˇcn´ı metodou: Z druh´e rovnice vyj´ nice: y1 = y2′ − 3y2 ⇒ y2′′ − 3y2′ = 2(y2′ − 3y2 ) + 2y2 ⇒ y2′′ − 5y2′ + 4y2 = 0. Tuto rovnici jiˇz um´ıme ˇreˇsit: charakter. rovnice λ2 − 5λ + 4 = 0 m´a koˇreny λ1 = 1, λ2 = 4 a obecn´e ˇreˇsen´ı tedy je y2 (x) = C1 ex + C2 e4x a snadn´ ym v´ ypoˇctem i y1 = −2C1 ex + C2 e4x . ˇ Reˇsen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u matice.   2 2 Vyjdeme z matice soustavy A = a najdeme jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory. 1 3     2 − λ 2 1 0 2 2 = =0⇒ −λ Pro vlastn´ı ˇc´ısla λ plat´ı det(A−λE) = 0 ⇒ det 1 3 − λ 0 1 1 3 0 ⇒ λ2 − 5λ + 4 = 0 ⇒ λ = 1 ∨ λ = 4. K nalezen´ ym vlastn´ u m urˇ h. Pro  ım  ˇc´ısl˚ c´ıme vlastn´  ı vektory   nˇe plat´ı(λE− A)h = o.  1 0 2 2 h1 −1 −2 2h1 + 2h2 • Pro λ = 1 je 1 · − · = o ⇒ · = o ⇒ h2 0 1  1 3 h1 + 3h2 −1 −2    2h1 + 2h2 −4h1 − 8h2 = = o, coˇz je splnˇeno (napˇr´ıklad) pro h1 = −2, h2 = 1 (nenulov´ y h1 + 3h2 −4h1 − 8h2   −2 . vektor!!). K vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1 je tedy vlastn´ı vektor h = 1   1 ∗ • Zcela obdobnˇe najdeme vlastn´ı vektor k vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 4 . Nakonec je h = . 1     1 4x −2 x e a obecn´e ˇreˇsen´ı je e a Fundament´ aln´ı syst´em dan´e soustavy tedy tvoˇr´ı funkce 1 1         1 4x −2 x −2C1 + C2 e4x y1 . e = e + C2 y(x) = = C1 C1 ex + C2 e4x 1 y2 1 b) y1′ =

y1 + 2y2

y2′

= 2y1 + 4y2      ′ y1 1 2 y1 ′ , y= , A= ⇒ y′ = A · y Maticovˇe: y = y2 y2′ 2 4 1 1 Eliminaˇcn´ı metoda: Z prvn´ı rovnice y2 = (y1′ − y1 ) ⇒ y2′ = (y1′′ − y1′ ) a dosad´ıme do druh´e 2 2 1 ′′ ′ ′′ ′ ′ rovnice (y1 − y1 ) = 2y1 + 2 (y1 − y1 ) ⇒ y1 − 5y1 = 0 . Charakter. rovnice λ2 − 5λ = 0 ⇒ 2 C1 λ1 = 0, λ2 = 5. Obecn´e ˇreˇsen´ı y1 (x) = C1 e0x + C2 e5x = C1 + C2 e5x , y2 (x) = − + 2C2 e5x . 2 ˇ sen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ Reˇ u matice.     1 − λ 2 1 2 1 0 = Vlastn´ı ˇc´ısla matice A: det(A−λE) = 0 ⇒ det −λ =0⇒ 2 4 − λ 2 4 0 1 0 ⇒ λ2 − 5λ = 0 ⇒ λ = 0 ∨ λ = 5. Vlastn´ı vektory: (λE − A)h = o. 66



  1 2 1 ⇒− 2 4   2 2 napˇr´ıklad (nenulov´ y !) vektor h = . −1        h1 1 2 1 0 − • Pro λ = 5 je 5 h2 0 1  2 4 1 (napˇr´ıklad) vektor h∗ = . 2

• Pro λ = 0 je λE−A = −

2 4



h1 h2



=o⇒

   4 0 ⇒ = −2 0



h1 + 2h2 2h1 + 4h2



=

  0 . Vyhovuje 0

    h1 0 −2 . Vyhovuje = 0 h2 1

      1 5x 2 2 e a obecn´e a e0x = Fundament´ aln´ı syst´em dan´e soustavy tedy tvoˇr´ı funkce 2 −1 −1         2C1 + C2 e5x 1 5x 2 y1 . e = + C2 ˇreˇsen´ı je y(x) = = C1 −C1 + 2C2 e5x 2 −1 y2 c) y1′ = y2′ Maticov´ y z´apis: y′ =

=

y1 + y2 y2

    ′ y1 1 y1 , y = , A = y2 y2′ 0

 1 ⇒ y′ = A · y 1

Eliminaˇcn´ı metoda: Z druh´e rovnice pˇr´ımo (charakter. rovnice) λ − 1 = 0 ⇒ λ = 1 ⇒ y2 = C2 ex . Dosad´ıme do prvn´ı rovnice y1′ = y1 + C2 ex ⇒ y1′ − y1 = C2 ex . To je nehomogenn´ı rovnice 1.ˇra´du, okamˇzitˇe je y1h = C1 ex a metodou odhadu (neurˇcit´ ych koeficient˚ u ) dostaneme po kratˇs´ım v´ ypoˇctu y1 = C1 ex +  C2 xex .  C1 ex + C2 xex . Obecn´e ˇreˇsen´ı tedy je y(x) = C 2 ex

ˇ sen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ Reˇ u matice. Vlastn´ı ˇc´ısla matice A podle vztahu det(A−λE) = 0 jsou λ1 = λ2 = 1 . (dvojn´ asobn´ y koˇren). 2 Vlastn´ı vektory podle vztahu (A − λE) h = o :  2         0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 2 a tedy = ⇒ (A − λE) = = − (λ = 1) A − λE = 0 0 0 1 0 1  0 0   0 1 0 0 h1 dvˇe naz´ avisl´a a nenulov´ a ˇreˇsen´ı rovnice · = 0 jsou (napˇr´ıklad) h2 0 0     0 1 . a h∗ = h= 1 0 Fundament´ aln´ı syst´em soustavy  tedydostaneme        1 0 1 1 1 0 1 x λx x (E + (A − λE).x) e · h = + − x · he = · hex dvˇe 0 1 0 1 0 1 0 1 funkce:        x 1 1 x 1 x e pro h = a je to · e = 0 0 0 1 0  x       xe 0 x 1 x 0 . e = · je to pro h∗ = ex 1 0 1 1   x   x C1 ex + C2 xex xe e . = + C2 Obecn´e ˇreˇsen´ı pak je y(x) = C1 C 2 ex ex 0

67

d) y1′ = y2 y2′ = −y1     ′  y1 0 1 y1 , y = , A = Maticov´ y z´apis: y′ = ⇒ y′ = A · y y2 y2′ 1 0 Eliminaˇcn´ı metoda: Z druh´e rovnice y1 = −y2′ a dosad´ıme do prvn´ı rovnice (−y2′ )′ = y2 ⇒ y2′′ + y2 = 0. ˇ sen´ı pak je Charakteristick´ a rovnice λ2 + 1 = 0 ⇒ λ = ±i ⇒ eix = cos x + i sin x. Reˇ ′ y2 (x) = C1 cos x + C2 sin x a ztoho pak 1 = −y2 = C1 sin x −  y C2 cos x. y1 (x) C1 sin x − C2 cos x Obecn´e ˇreˇsen´ı je tedy y(x) = = . y2 (x) C1 cos x + C2 sin x ˇ sen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ Reˇ u matice.     −λ 1 0 1 1 0 = Vlastn´ı ˇc´ısla matice A : det(A−λE) = 0 ⇒ det −λ =0⇒ −1 0 0 1 −1 −λ 0 ⇒ λ2 + 1 = 0 ⇒ λ = i ∨ λ = −i. Vlastn´ı vektory: (λE − A)h  = o.         i −1 i −1 h1 ih1 − h2 0 • Pro λ = i je λE − A = ⇒ =o⇒ = . h2 −1 i −h1 + ih2 −1 i 0   i . Vyhovuje napˇr´ıklad (nenulov´ y !) vektor h = −1 • Pˇr´ıpad λ = −i nen´ı tˇreba ˇreˇsit. Je zahrnut v pˇredchoz´ım. Najdeme re´ alnou arn´ı sloˇzku v´ y razu    a imagin´     cos x i i cos x − sin x − sin x λx i·x +i he = he = (cos x + i sin x) = = − sin x −1 − cos x − i sin x − cos x | {z } | {z } re´ aln´ a sloˇ zka

Obecn´e ˇreˇsen´ı je tedy y(x) = C1



imagin. sloˇ zka

     cos x −C1 sin x + C2 cos x − sin x = . + C2 − sin x −C1 cos x − C2 sin x − cos x

ˇ sme n´asleduj´ıc´ı nehomogenn´ı soustavu diferenci´aln´ıch rovnic Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.17. Reˇ      0 1 y1 1 y′ = + r˚ uzn´ ymi metodami. y2 1 0 −2       1 y1 0 1 , y′ (x) = Ay(x) + b(x). , b(x) = Oznaˇcme y = , A= −2 1 0 y2 y1′ = y2 + 1, y2′ = y1 − 2. Eliminaˇcn´ı metoda: Z druh´e rovnice dosad´ıme y1 = y2′ + 2 do prvn´ı rovnice y2′′ = y2 + 1 ⇒ − y2 = 1. Tuto nehomogenn´ı rovnici 2. ˇra´du um´ıme ˇreˇsit. Zˇrejmˇe pˇr´ısluˇsn´ a homogenn´ı rovnice m´a charakteristickou rovnici λ2 −1 = 0 ⇒ λ = ±1 ⇒ y2h = C1 ex +C2 e−x . Metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u (odhadu) najdeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice: yp = K ⇒ yp′ = 0, yp′′ = 0 a dosazen´ım −K = 1 ⇒ K = −1. Partikul. ˇreˇsen´ı yp = −1 a obecn´e ˇreˇsen´ı y2 = yh + yp = C1 ex + C2 e−x − 1. x −x ′ y1 dostaneme jiˇz snadno z prvn´ı rovnice dan´e soustavy: y1 = y2′ + 2 =  (C1 e + C2 e − 1) + 2 =  x −x C1 e − C2 e + 2 . C1 ex − C2 e−x + 2. Je tedy obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) = C1 ex + C2 e−x − 1 y2′′

68

Metoda vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u. ˇ sen´ı je sice patrn´e i z K1 Nejprve vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı rovnici y′ (x) = Ay(x). Reˇ pˇredchoz´ıho postupu, ale struˇcnˇe:   −λ 1 Vlastn´ı ˇc´ısla matice A: A − λE = . 1 −λ   −λ 1 ) = λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ±1. det( 1 −λ Vlastn´ı vektoryz rovnice (A − λE)h = o   −1 1 1 (pro λ = 1 ) je h = o ⇒ napˇr´ıklad h = , 1 −1 1     1 1 1 . h = o ⇒ napˇr´ıklad h∗ = (pro λ = −1 ) je −1 1 1 Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy tedy       1 x C1 ex + C2 e−x 1 −x y h = C1 . e = e + C2 C1 ex − C2 e−x −1 1 K2 Najdeme libovoln´e pevn´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e soustavy. Existuj´ı dvˇe metody. arn´ı ˇreˇsen´ı hled´ ame ve tvaru obecn´eho ˇreˇsen´ı homogenn´ı souMetoda variace konstant. Partikul´ stavy,C1 , C2 jsou nezn´ a m´ e funkce. Derivujeme jej a dosad´ıme dodan´e soustavy:   ′ x C1 e + C1 ex + C2′ e−x − C2 e−x C1 ex + C2 e−x , ⇒ y’p = yp = C1′ ex + C1 ex − C2′ e−x + C2 e−x C1 ex − C2 e−x Dosad´ıme do dan´e soustavy a porovn´an´ım souˇradnic pˇr´ısluˇsn´ ych vektor˚ u dostaneme soustavu rovnic: C1′ ex + C1 ex + C2′ e−x − C2 e−x = C1 ex − C2 e−x + 1 C1′ ex + C1 ex − C2′ e−x + C2 ex = C1 ex + C2 e−x − 2. Po kr´atk´e u ´pravˇe je soustava C1′ ex + C2′ e−x = 1 C1′ ex − C2′ e−x = −2. 1 1 3 3 1 R −x 3R x a odtud C1′ = − e−x ⇒ C1 = − e dx = e−x a C2′ = ex ⇒ C2 = e dx = ex . 2 2 2 2 2 2 Dosazen´ım ych hodnot C1 (x), C2 (x) do yp m´ame koneˇcnˇe hodnoty partikul´arn´ıch  cten´  vypoˇ 2 . funkc´ı yp = −1 Koneˇcnˇe je tedy obecn´e ˇreˇsen´ı soustavy       C1 ex + C2 e−x + 2 2 C1 ex + C2 e−x . = + y(x) = yh + yp = C1 ex − C2 e−x − 1 −1 C1 ex − C2 e−x Metoda neurˇ cit´ ych koeficient˚ u Partikul´ arn´ ı ˇreˇs en´ı hled´ ame metodou neuˇ cit´ ych koeficient˚ e funkce  prav´ e  u (odhadu), tzn. ve tvaru vektorov´  A A 1 , , kde A, B = konst.. Dosad´ıme tedy yp = . To je konstantn´ı vektor, takˇ ze yp = strany b(x) = B B −2   0 y′p = 0     1 0 1 a dostaneme rovnici .y + do dan´ e rovnice y′ = −2 1 0

69

           1 B 0 1 A 1 , a z toho uˇ z snadno A = 2, B = −1. + = ⇒ + . −2 A 0 −2 B 0   2 Je tedy yp = −1 Nakonec je obecn´ e ˇreˇsen´ı       C1 ex + C2 e−x C1 ex + C2 e−x + 2 2 y(x) = yh + yp = = + . −1 C1 ex − C2 e−x C1 ex − C2 e−x − 1    0 0 = 1 0

ˇ sme Cauchyovu u Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 3.1.18. Reˇ ´lohu pro soustavy       2 2 −2 0 1 5 −4  y s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y 0 = −1. a) y′ =  2 −2 −4 5 0 1 Obecn´e ˇreˇsen´ı  soustavy je (vypoˇ c tˇ e te sami):      −1 2 0 y(x) = C1 e10x −2 + C2 ex −1 + C3 ex 1. 2 0 1 ’ Dosad me z poˇ c ´ a teˇ c n´ ıch podm´ ınek:         1 −1 2 0 −1 = C1 e0 −2 + C2 e0 −1 + C3 e0 1. 1 2 0 1 Dostaneme soustavu 1= −1 = 1= Jej´ım ˇreˇsen´ım je C1 =

−C1 + 2C2 −2C1 − C2 2C1

+C3 +C3

2 1 1 , C2 = C3 = , partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı pak je 3 3 3       −1 2 0 1 10x   2 x   1 x   −2 + e −1 + e 1 . y(x) = e 3 3 3 2 0 1



       0 1 1 0 1 y+ s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y = . 1 0 −2 0 2   C1 ex + C2 e−x + 2 . Obecn´e ˇreˇsen´ı soustavy je (viz (3.1.17)) y(x) = C1 ex − C2 e−x − 1 Do dosad´ıme  s poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek: ı soustavy  ˇreˇsen´ C1 e0 + C2 e−0 + 2 1 . Dost´av´ ame soustavu rovnic = C1 e0 − C2 e−0 − 1 2

b) y′ =

1=

C1 + C2 + 2

2 = C1 − C2 − 1. ˇ sen´ım je C1 = 1, C2 = −2 a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı soustavy pak je Reˇ   x e − 2e−x + 2 . y(x) = x e + 2e−x − 1

70

3.2

Cviˇ cen´ı

ˇ ste n´asleduj´ıc´ı separovateln´e rovnice 1. Reˇ a) y ′ = x(y + 1)

f)

b) xy ′ = y(y + 2) c) y 2 y ′ = x2

g)

d) (1 + y 2 ) arctg y = xy ′ √ e) y ′ = y

1 y′ = y−2 x+1

y ′ ex (y + 1) =1 y

h) y ′ = ex+2y



 √ 2Cx2 2 3 3 + C, c ∈ R a) y = −1 + Cex /2 , C ∈ R, b) y = x , c ∈ R, c) y = 2 − Cx2   d) | arctg y| = Cx, C ∈ R, e) y = (x + C)2 , C ∈ R, f ) y = C|x − 1|, C ∈ R " # r x C − e g) y + ln |y| = C − e−x , C ∈ R, h) y = − ln 2

ˇ ste Cauchyovu u 2. Reˇ ´lohu pro rovnici 1 y′ = s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y(0) = 3. y−2 x+1 b) y ′ = ex+2y s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y(2) = −1. a)

c) (1 + y 2 ) arctg y = xy ′ s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y(1) = −1. √ d) y ′ = y s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y(−2) = 2. # " r πx πx 3e2 − ex , c) | arctg y| = ⇒ y = − tg , a) y = 3|x − 1| b) y = − ln 2 4 4  2  x √ + 2+1 d) y = 2 y

y

2

−1

y

2

1

2

3

6

x −2 −1

−2

1

2

x

3

−2 −8 −6 −4 −2

Obr´ azek 3.2.1: 2b)

Obr´ azek 3.2.2: 2c)

x

Obr´ azek 3.2.3: 2d)

ˇ ste homogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici 1. ˇra´du (separac´ı, pˇr´ıpadnˇe - pokud je to moˇzn´e 3. Reˇ - i jinak) a) y ′ − xy = 0

b) (1 + x2 )y ′ + xy = 0 

a) y = Cex

2

/2

, b) y = √

c) xy ′ − y = 0

d) (x + 1)y ′ − y = 0

e) 3y ′ − 2y = 0 f) y ′ − ex y = 0

C x 2 , c) y = C|x|, d) y = C|x + 1|, e) y = Ce 3 x , f ) y = Cee 1 + x2 71



4. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ıch diferenci´aln´ıch rovnic a nakreslete nˇekolik integr´ aln´ıch kˇrivek. a) xy ′ − y = 0

b) xy ′ + y = 0

c) yy ′ + x = 0 

d) y ′ = y

a) y = Cx, b) xy = C, c) x2 + y 2 = C, d) y = Cex



5. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ıch diferenci´aln´ıch rovnic a najdˇete i singul´ arn´ı ˇreˇsen´ı, pokud existuje. p √ 1 − y 2 dx + 1 − x2 dy = 0

a) x2 y ′ + y = 0

e)

b) 2st2 ds = (1 + t2 )dt

f) y 2 + 1 = y ′

c) (1 + y 2 )dx = −xy dy

g) x2 + 1 + y ′ cos y = 0 h) y ′ = ex+y

d) (1 + y 2 )dx = x dy





a) y = Ce

1/x

t2 − 1 + Ct , b) s = , c) x2 (1 + y 2 ) = C, d) y = tg(ln Cx) t 2

e) arcsin x + arcsin y = C, sing.ˇreˇs. y = ∓1, f ) y = tg(x + C), g) sin y = C − x −

x3 3





[h) y = − ln(C − ex )]

6. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı dan´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce. a) y ′ sin x = y ln y, je-li y( π2 ) = 1

√ c) 2 ydx = dy, je-li y(0) = 1

b) (1 + ex )yy ′ = ex , je-li y(1) = 1

d) (1 + x2 )y ′ = 1 + y 2 , je-li y(0) = 1



ex + 1 π √ a) y = 1, b) y − 1 = 2 ln , c) y = x + 1, d) arctg y − arctg x = e+1 4 2



ˇ ste nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici 1. ˇra´du (metodou variace konstanty) 7. Reˇ a) y ′ sin x + y cos x = −x b) (1 + x2 )y ′ + xy = −x c) xy ′ − y = 3x

d) (x + 1)y ′ − y = 2(x + 1)2 e) y ′ = x2 + x2 y f) y ′ x ln x + y = x

g) xy ′ − y = x h) y ′ − ex y = 2ee

x

 x2 C C − , b) y = √ − 1, c) y = C|x| + 3x ln |x| | sin x| 2 sin x 1 + x2   C x2 x3 /3 d) y = C|x + 1| + 2x(x + 1), e) y = Ce − 1, f ) y = + , x>0 ln x 2 ln x  x x g) y = C|x| + |x| ln |x|, h) y = Cee + 2xee 

a) y =

ˇ ste Cauchyovu u 8. Reˇ ´lohu pro rovnici s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou. a) y ′ sin x + y cos x = −x s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y( π2 ) = 2.

b) (x + 1)y ′ − y = 2(x + 1)2 s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y(1) = 2.   1 x2 16 + π 2 · − , b) y = (x + 1)(2x − 1) a) y = 8 sin x 2 sin x

72

4

y

y

4 2 2

π 2

−π 2

−2

π

3π 2

x

−2 −1

1

2

x 3

Obr´ azek 3.2.5: 8b)

Obr´ azek 3.2.4: 8a)

ˇ ste n´asleduj´ıc´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice metodou variace konstanty. 9. Reˇ a) xy ′ − 3y = x2

b) xy ′ + 2y = e−x "

2

c) xy ′ + y = ln x + 1

e) y ′ + y cos x = sin 2x

d) (2x + 1)y ′ + y = x

f) y ′ + y = cos x

# −x2 C x − 1 C C − e , c) y = ln x + , d) y = +√ a) y = Cx3 − x2 , b) y = 2x2 x 3 2x + 1   1 − sin x −x e) y = 2(sin x − 1) + Ce , f ) y = Ce + (cos x + sin x) 2

10. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı, jehoˇz integr´ aln´ı kˇrivka proch´az´ı dan´ ym bodem A. a) xy ′ + 2y = 3x, A(0, 0) b) y ′ + x2 y = x2 , A(2, 1) 1 , pro x = 0 je y = 0, c) y ′ − y tg x = cos x h a) y = x, b) y = 1, c) y =

d) (1 − x2 )y ′ + xy = 1, je-li y(0) = 1 e) y ′ + y cos x = sin x cos x, A(0, 1) f) y ′ + yx2 = x2 , je-li y(2) = 1

i √ x + 1, d) y = x + 1 − x2 , e) y = 2e− sin x + sin x − 1 cos x [f ) y = 1]

11. Najdˇete kˇrivku, jej´ıˇz teˇcna v libovoln´em jej´ım bodˇe vyt´ın´a na ose y u ´sek, kter´ y je o dvˇe (jednotky) menˇs´ı neˇz x-ov´ a souˇradnice dotykov´eho bodu. [y = Cx − x ln |x| − 2] 12. Najdˇete rovnici kˇrivky, jej´ıˇz teˇcna sestrojen´a v jej´ım libovoln´em bodˇe prot´ın´a osu y v bodˇe, jehoˇz y-ov´ a souˇradnice je rovna x-ov´e souˇradnici dotykov´eho bodu. [y = Cx − x ln x] ˇ ste homogenn´ı rovnice 2. ˇra´du s konstantn´ımi koeficienty. 13. Reˇ a) y ′′ − 6y ′ + 5y = 0

c) y ′′ − 3y = 0

b) 2y ′′ + y ′ = 0

d) 4y ′′ − 4y ′ + y = 0 73

e) y ′′ + y = 0

g) 4y ′′ − 4y ′ + 37y = 0

f) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0 h) 16y ′′ = 0 h √ i √ a) y = C1 ex + C2 e5x , b) y = C1 + C2 e−x/2 , c) y = C1 ex 3 + C2 e−x 3   d) y = C1 ex/2 + C2 xex/2 , e) y = C1 cos x + C2 sin x, f ) y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)   g)y = ex/2 (C1 cos 3x + C2 sin 3x), h) y = C1 + C2 x

ˇ ste Cauchyovu u 14. Reˇ ´lohu pro rovnice s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. a) 2y ′′ + y ′ = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1 b) y ′′ − 3y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = −1 c) 4y ′′ − 4y ′ + 37y = 0, y(0) = −1, y ′ (0) = 0 " √ √  # 1 3 x√ 3 3 −x√3 4 1 5x x/2 − cos 3x + sin 3x + , c) y = e a) y = + e , b) y = − e e 5 5 6 6 3 y 10

4

y

y 2

2 5 −2 −2

x

Obr´ azek 3.2.6: 14a)

2 −2

Obr´ azek 3.2.7: 14b)

x

−π

−π 2

π 2

−2 Obr´ azek 3.2.8: 14c)

ˇ ste nehomogenn´ı rovnice 2. ˇra´du (variace konstant nebo metoda neurˇcit´ 15. Reˇ ych koeficient˚ u) a) b) c) d) e)

2y ′′ + y ′ = x (variace konstant) y ′′ − 3y = −1 (metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u) ′′ ′ 2 4y − 4y + 37y = x (metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u) y ′′ + 4y = cos 2x (metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u) y ′′ − 2y ′ + y = ex (obˇe metody)   √ √ 1 1 a) y = C1 + C2 e−x/2 + x2 − 2x + 4, b) y = C1 ex 3 + C2 e−x 3 + 2 3     1 8 264 1 c) y = ex/2 − cos 3x + sin 3x + x2 + 2 x − 3 3 37 37 37   1 1 d) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x sin 2x, e) y = C1 ex + C2 xex + x2 ex 4 2

74

x

ˇ ste Cauchyovu u 16. Reˇ ´lohu pro diferenci´aln´ı rovnici s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. a) 2y ′′ + y ′ = x, y(0) = 0, y ′ (0) = 0 b) y ′′ − 2y ′ + y = ex , y(0) = −1, y ′ (0) = 1   1 2 x 1 2 x x −x/2 a) y = −4e + x − 2x + 4, b) y = −e + 2xe + x e 2 2 17. Najdˇete obecn´ a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic: a) y ′′ = x + sin x b) y ′′ = ln x 1 c) y ′′ = 1 + x2

d) y ′′ − 4y ′ + 3y = 0

g) y ′′ + 10y ′ + 25y = 0

e) y ′′ − 4y = 0

h) y ′′ − 4y ′ + 13y = 0

f) y ′′ − 4y ′ + 4y = 0

i) y ′′ + 4y = 0     3 x2 x3 ln x − + C1 x + C2 , − sin x + C1 x + C2 , b) y = a) y = 6 2 2 √   x 2x 2 c) y = x arctg x − ln 1 + x + C1 x + C2 , d) y = C1 e + C2 e , e) y = C1 e2x + C2 e−2x   f ) y = C1 e2x + C2 xe2x , g)y = C1 e−5x + C2 xe−5x , h) y = e2x (C1 cos 3x + C2 sin 3x) [i) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x]

18. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic splˇ nuj´ıc´ı dan´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky: b) y ′′ –2y ′ + 5y = 0, y( π2 ) = 0, y ′ ( π2 ) = −1

a) y ′′ + y ′ –2y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = 1 

a) y =


1 2x−π 1 5ex + e−2x , b) y = e 2 sin 2x 3 2



19. Najdˇete integr´ aln´ı kˇrivku rovnice y ′′ − y = 0 dot´ ykaj´ıc´ı se v poˇc´atku pˇr´ımky y = x.   ex − e−x y= 2 20. Najdˇete obecn´ a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic e) y ′′ − 2y ′ + y = e2x

a) y ′′ + 3y ′ = 9x

f) y ′′ − 3y ′ = xex

b) y ′′ − 4y = 8x3

c) y ′′ − 2y ′ = x2 − x

g) y ′′ + 3y ′ + 2y = sin 2x + 2 cos 2x

d) y ′′ + y = x2



h) y ′′ − 7y ′ + 6y = sin x 

a) y = C1 + C2 e−3x +

3x2 − x, b) y + C1 e2x + C2 e−2x − 2x3 − 3x 2



 x3 2 x 2x c) y = C1 + C2 e − , d) y = C1 cos x + C2 sin x + x − 2, e) y = (C1 + C2 x)e + e 6     1 x x 1 3x −x −2x f ) y = C1 + C2 e + e g) y = C1 e + C2 e + (sin 2x − cos 2x) − 4 2 4   5 sin x + 7 cos x 6x x h) y = C1 e + C2 e + 74 2x

75

21. Najdˇete obecn´ a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic a) y ′′ +5y ′ +6y = e−x +e−2x , b) y ′′ − 2y ′ + 2y = ex cos 2x, 

a) y = C1 e−2x + C2 e−3x +

c) y ′′ + y = x + 2ex

e−x ex cos 2x + xe−2x , b) y = ex (C1 cos x + C2 sin x) − 2 3



[c) y = C1 cos x + C2 sin x + x + ex ]

22. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic vyhovuj´ıc´ı dan´ ym poˇc´ateˇcn´ım podm´ınk´ am. a) y ′′ –2y ′ + 10y = 2x2 –3, kde y(0) = y ′ (0) = 0 3

b) 4y ′′ + 16y ′ + 15y = 4e− 2 x , kde y(0) = 3, y ′ (0) = 

11 2

50x2 + 20x − 81 ex −3x −5x (243 cos 3x − 101 sin 3x) + , b) y = (1 + x)e 2 + 2e 2 a) y = 750 250



23. Metodou variace konstant ˇreˇste n´asleduj´ıc´ı diferenci´aln´ı rovnice: a) y ′′ + 4y =

1 sin 2x e2x cos x

c) y ′′ –2y ′ + y =

ex x2

e) y ′′ + y ′ =

1 tg x

e−2x x2      ln | sin 2x| x cos 2x + C2 + sin 2x a) y = C1 − 2 4   2x 2x b) y = e (C1 + ln | cos x|) cos x + e (C2 + x) sin x, c) y = (C1 − ln |x| + C2 x) ex 
 d) y = C1 cos x + C2 sin x − cos x · ln tg x2 + π4    1 −x −x x −2x C2 + C1 x + e) y = y = C1 + C2 e − (1 + e ) ln(1 + e ) + x, f ) y = e 2x

b) y ′′ –4y ′ + 5y =

d) y ′′ + y = tg x

f) y ′′ + 4y ′ + 4y =

24. Metodou variace konstant ˇreˇste n´asleduj´ıc´ı diferenci´aln´ı rovnice: a) y ′′ + y =

1 cos2 x

b) y ′′ + 4y =

1 sin2 x

ex 4 − x2 e3x d) y ′′ − 3y ′ + 2y = 1 + e2x   sin2 x − cos2 x a) y = C1 cos x + C2 sin x + 2 cos x   b) y = (C1 − ln | sin x| cos 2x) + (C2 − x − cotg x2 ) sin 2x √   c) y = (C1 + 4 − x2 + x arcsin x2 + C2 x)ex √   d) y = (C1 − ln 1 + e2x )ex + (C2 + arctg ex )e2x c) y ′′ − 2y ′ + y = √

76

ˇ ste soustavy line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic eliminaˇcn´ı metodou metodou i metodou 25. Reˇ vlastn´ıch ˇc´ısel (resp. variac´ı konstant) c)

b)

a) y1′ = y2′

=

y1′ =

−y1 + y2

y2′

y1 + y2 . h

y1′ =

−y1 + y2

=

3y1 − y2 + sin x

y2′ =

3y1 + y2 .

y1 + y2 .

√ i √ √ √ , y2 = C1 (1 + 2)ex 2 + C2 (1 − 2)e−x 2    C1 e2x + C2 e−2x b) y(x) = 3C1 e2x − C2 e−2x    1 7 2x 2x 2x C1 e + C2 e + C2 xe − 25 sin x − 25 cos x   c) y(x) =   3 4 C1 e2x + C2 xe2x + sin x + cos x 25 25

a) y1 = C1 ex

√

2

+ C2 e−x

√

2

ˇ ste Cauchyovu u 26. Reˇ ´lohu pro soustavy line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic s dan´ ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami b)

a) y1′ = y2′ =

c) y1′ =

−y1 + y2

y2′ =

y1 + y2 ,

PP: y1 (0) = 1, y2 (0) = −1

y1′ =

−y1 + y2

y2′

3y1 + y2 .

=

3y1 − y2 + sin x y1 + y2 .

    1 0 = PP: y 3 0

PP: y1 (0) = 1, y2 (0) = 3

√ √  2x # 1 x√2 1 −x√2 1 − 2 x√2 1 + 2 −x√2 e + , y2 = − e − e , b) y(x) = a) y1 = e e 3e2x 2 2 2 2    71 2x 45 2x 45 2x 7 1 e − e − xe − sin x − cos x    25 25 c) y(x) =  25 71 25 45 25  3 4 2x 2x e − xe + sin x + cos x 25 25 25 25

"

27. Najdˇete fundament´ aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav diferenci´aln´ıch rovnic metodou vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u: e)

c)

a) y1′ y2′

= =

y1′ y2′

3y1 8y1 − y2

= =

−14y1 + 12y2 −20y1 + 17y2

y1′ = y2′ =

2y1 + y2 3y1 + 4y2

d)

b) y1′ y2′

= y1 = y2 

y1′ = y2′

=

−2y1 + y2

−4y1 + 2y2

 a) (1, 2)T e3x , (0, 1)T e−x , b) (1, 0)T ex , (0, 1)T ex , c) (4, 5)T ex , (5, 4)T e2x   , d) (1, 3)T e5x , (−1, 1)T ex , e) (1, 2)T , (1, 2)T x + (1, 3)T

77

28. Najdˇete fundament´ aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav diferenci´aln´ıch rovnic metodou vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u: c)

a) y1′ = y2′ = y3′ =

y1 − 3y2 − y3 −3y1 + y2 + y3

y1′ = y2′ y3′

−y1 + y2 + 5y3

b)

= =

2y1 + 2y2 − 2y3

2y1 + 5y2 − 4y3 −2y1 − 4y2 + 5y3

d) y1′ y2′ y3′

= =

5y1 − y2 + 2y3 −y1 + 3y2 − y3

=



−4y1 + 2y2 − y3



y1′ =

y1 + 2y2 + 3y3

y2′ = y3′ =

2y1 + 4y2 + 6y3 3y1 + 6y2 + 9y3 

e) y1′ = y2′ = y3′ =

6y1 − 7y2 + 4y3 y1 + y3 −2y1 + 3y2

a) (1, 1, 0)T e−2x , (−1, 1, 2)T e6x , (1, −1, 1)T e3x

b) (1, 0, −1)T e3x , (−1, 1, 2)T e2x , (−1, 1, 2)T x + (0, 1, 0)T e2x





 c) (−2, 1, 0)T ex , (2, 0, 1)T ex , (1, 2, −2)T e10x , d) (−2, 1, 0)T , (−3, 0, 1)T , (1, 2, 3)T e14x i h 2 e) (1, 0, −1)T e2x , (1, 0, −1)T x + (4, 1, 2)T , (1, 0, −1)T x2 + (4, 1, −2)T x + (1, 0, 0)T

ˇ ste soustavu 29. Reˇ y1′ = y2′ =

2y1 − 4y2 y1 − 2y2

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = −1



y = (4x, 2x − 1)T



ˇ ste eliminaˇcn´ı metodou nehomogenn´ı soustavy: 30. Reˇ c)

a) y1′ y2′

= =

y1′ =

2y1 − 4y2

y2′

y1 − 3y2 + x

=

−5y1 − y2

y1 − 3y2 − 9e2x

d)

b) y1′ = y2′

=

−2y1 + 2y2 + x 3y1 − y2

y1′ = y2′

=

−4y1 − 4y2 + 2e2x 6y1 + 6y2 + 2x



h

d) y = C1 (1, −1)T + C2

 a) y = C1 (1, 1)T e−2x + C2 (4, 1)T ex (2x + 1, x)T h
T
T i b) y = C1 (−1, 1)T e−4x + C2 32 , 1 ex − 41 x + 1, 34 x + 49 i h
T c) y = C1 (1, −9)T e4x + C2 (x, −1 − 9x)T e4x + 14 , − 74 e2x i
T 1, − 32 e2x + (−4x, 6x + 32 )T e2x + (2x2 + 2x, −2x2 − 3x − 12 )T

78

31. Metodou variace konstant ˇreˇste n´asleduj´ıc´ı soustavy. d)

a) y1′ y2′

y1 + e2x 2y2 + x2 ex

= =

y1′ = y2′ =

b) y1′

=

y2′

=

e)

e2x 3y1 − 6y2 + 2 + ex y1 − 2y2

c) y1′ = y2′ =

3y1 + y2 + ex −4y1 − 2y2 + xex

y1′ =

y1 + y2 + xe2x

y2′ =

−y1 + 3y2 + e2x ln x

2y1 + y2 − ln x −4y1 − 2y2 + ln x 

a) y = C1 ex + e2x , y2 = C2 e2x − (x2 + 2x + 2)ex



[b) y1 = 3C1 ex + 2C2 + 3ex ln(2 + ex ) − 2ex + 4 ln(2 + ex )]

[y2 = C1 ex + C2 + ex ln(2 + ex ) − ex + 2 ln(2 + ex )]  3 1 c) pro x ∈ (0, ∞) : y1 = C1 + C2 (x + 1) − x2 ln x + x2 + x − x ln x 2 4   3 2 2 y2 = −2C1 − C2 (2x + 1) + x ln x − x + x ln x − x 2   7 x 1 x 2x −x 2x −x x x d) y1 = C1 e + C2 e − e − xe , y2 = −C1 e − 4C2 e + 2e + xe 4 2     1 2 1 3 1 2 x + x − x ln x e2x e) pro x ∈ (0, ∞) : y1 = C1 e2x + C2 xe2x − 4 6 2   3 1 1 y2 = C1 e2x + C2 (x + 1)e2x − ( x2 + x3 + x2 ln x − x ln x + x)e2x 4 6 2 

79

4

Laplaceova transformace ˇ sen´ Reˇ eu ´ lohy

4.1

Vzor f (t)

Obraz F (p) = L{f (t)}

f (t)

L{f (t)} =

R∞

Transformace f (t) 7→ F (p)

f (t)e−pt dt

0

definice Laplaceovy transformace

(4.1.1)

(4.1.2)

af (t)+bg(t), a, b ∈ R

L{af (t) + bg(t)} = aL{f (t)} + bL{g(t)}

linearita Laplaceovy transf.

eat · f (t)

L{eat · f (t)} = F (p − a)

posunut´ı obrazu

t · f (t)

L{t · f (t)} = −F ′ (p)

F (p) je obraz f (t)

(4.1.3)

(4.1.4)

Tabulka 13:

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.1. Dokaˇzme platnost vzorc˚ u pro Laplaceovu transformaci: a) Linearita L{af (t) + bg(t)} = aL{f (t)} + bL{g(t)}. R R Z L{af (t) R+ bg(t)} = aL{f (t)} + bL{g(t)} = (af (t) + bg(t))e−pt dt = af (t)e−pt dt + R definice R bg(t)e−pt dt = a f (t)e−pt dt + b g(t)e−pt dt = aL{f (t)} + bL{g(t)}. b) L{t} =

1 . p2

  per partes −pt dt = u = t; v ′ = e−pt Z definice L{t} = te  0  ′ u = 1; v = − p1 e−pt h i∞ i∞ h  1 − p1 · te−pt − p12 e−pt = 2. = −e−pt p1 · t + p12 p 0 0 R∞

c) L{eat } =

1 , p > a. p−a

Z definice L{eat } = h

1 e−z − p−a

i∞ 0

=

R∞ 0

1 . p−a

eat .e−pt dt =

R∞ 0

80

e−(p−a)t

h R  1 −pt  i∞ dt −pe = = −t p1 e−pt −

  subst. dt = (p − a)t = z;   1 dt = p−a dz

0

=

R∞ 0

e−z

1 p−a dz

=

Vzor

Obraz

f (t) = 1

F (p) =

f (t) = eat , a ∈ R

f (t) = tn , n = 0, 1, 2, . . .

f (t) = sin ωt

f (t) = cos ωt

Pozn´ amka 1 , p>0 p

L{2} =

1 F (p) = , p>a p−a

F (p) =

pn+1

(4.1.6)

(4.1.7)

1 p2 + 1 2 L{sin 2t} = 2 p +4

L{sin t} =

ω F (p) = 2 p + ω2

p p2 + 1 p L{cos(−t)} = 2 p +1

(4.1.8)

L{cos t} =

p F (p) = 2 p + ω2

n! (p − a)n+1

f (t) = eat sin ωt

F (p) =

ω (p − a)2 + ω 2

f (t) = cosh at

1 p−1 1 L{e−t } = p+1 L{et } =

1 , p2 2 L{t2 } = 3 p

F (p) =

f (t) = sinh at

(4.1.5)

L{t} =

n!

f (t) = eat · tn

f (t) = eat cos ωt

2 p

L{e−t t2 } 2 (p + 1)3

(4.1.9)

= (4.1.10)

(4.1.11)

F (p) =

p−a (p − a)2 + ω 2

F (p) =

a p2 − a 2

(4.1.13)

p , a∈R p2 − a 2

(4.1.14)

F (p) =

Tabulka 14:

81

(4.1.12)

  1 et − e−t . . Pˇ r ipomeˇ n me sinh t = p2 − 1 2 Podle vztahu pro linearitu Laplaceovy transformace je  t   t  −t  1 1 e e e − e−t 1 1 1 L{sinh t} = L =L −L = − = 2 . 2 2 2 2p−1 2p+1 p −1

d) L{sinh t} =

f ′ (t)

f ′′ (t)

f ′′′ (t)

f (n) (t)

Rt

f (s) ds

0

funkce fT (t) periodick´ a s periodou T

F (p) = L{f ′ (t)} = pL{f } − f (0)

Laplace˚ uv 1.derivace

F (p) = L{f ′′ (t)} = p2 L{f } − pf (0) − f ′ (0)

Laplace˚ uv obraz 2. derivace

(4.1.16)

F (p) = L{f ′′′ (t)} = p3 L{f } − p2 f (0) − pf ′ (0) − f ′′ (0)

Laplace˚ uv obraz 3. derivace

(4.1.17)

F (p) = L{f (n) } = pn L{f }−pn−1 f (0)−pn−2 f ′ (0)− . . . − f (n−1) (0)

Laplace˚ uv obraz n−t´e derivace

(4.1.18)

Rt F (p) = L{ f (s) ds} =

Laplace˚ uv obraz integr´ alu

(4.1.19)

Laplace˚ uv obraz periodick´e funkce

(4.1.20)

0 pro t < a, 1 pro t ≥ a.

definice Haevisideovy funkce

(4.1.21)

e−ap p

Laplace˚ uv obraz Haevisideovy funkce

1 L{f (t)} p

0

F (p) = RT f (t)e−pt dt

L{fT (t)}

=

obraz (4.1.15)

0

1 − e1−pT

Haevisideova funkce

H(t − a)

f (t − a) · H(t − a)

H(t − a) =

(

L{H(t − a)} = −

L{f (t−a)·H(t−a)} = e−ap F (p), je-li F (p) = L{f (t)}

Tabulka 15:

82

(4.1.22)

posunut´ı vzoru (4.1.23)

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.2. Najdˇeme Laplace˚ uv obraz funkce f (t) = sin t. Lze pouˇz´ıt definice Laplaceovy transformace (cviˇcen´ı) nebo pouˇz´ıt Laplaceova obrazu exponenci´aln´ı funkce eat . Je-li a = i (imagin. jednotka), pak  1 1 p+i p+i L eit = = · = 2 . p−i p−i p+i p +1 Ale eit = cos t + i sin t (Euler˚ uv vzorec) p 1 p+i = 2 +i 2 . ⇒ L{cos t + i sin t} = L{cos t} + iL{sin t} = 2 p +1 p +1 p +1 p 1 Porovn´an´ım re´ aln´e a imagin´ arn´ı sloˇzky dostaneme L{cos t} = 2 , L{sin t} = 2 p +1 p +1

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.3. Najdˇeme Laplaceovy obrazy funkc´ı (tabulka obraz˚ u): a) f (t) = t − 1

L{t − 1} = L{t} − L{1} =

1 1 − . p2 p

b) f (t) = 2 − t3 + cos 2t

1 p p 3! 2 6 L{2 − t3 + cos 2t} = L{2} − L{t3 } + L{cos 2t} = 2 − 4 + 2 = − 4+ 2 . p p p +4 p p p +4

c) f (t) = (t + 1)2 f (t) = (t + 1)2 = t2 + 2t + 1 ⇒ L{t2 + 2t + 1} = L{t2 } + L{2t} + L{1} =

2 1 2 + 2+ 3 p p p

d) f (t) = et (t + 1)2 Bud’ pˇr´ımo s pouˇzit´ım v´ ysledku b) a vzorce z tabulky: 2 2 1 t 2 L{e (t + 1) } = + + (p − 1)3 (p − 1)2 p−1 nebo postupnˇe: 2 2 1 L{et (t + 1)2 } = L{t2 et } + L{2t · et } + L{et } = + + . 3 2 (p − 1) (p − 1) p−1 e) f (t) = et + e−2t L{et + e−2t } =

1 1 + p−1 p+2

f) f (t) = sin t cos t.   1 2 1 1 sin 2t = = 2 . L{sin t cos t} = L 2 2 p2 + 4 p +4 Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.4. Najdˇeme Laplaceovy obrazy funkc´ı (tabulka obraz˚ u): 1. f (t) = t cos 3t. ′

Pouˇzijeme vztah (4.1.4) z Tabulky 13. Je L{t cos 3t} = − (L{cos 3t}) = − p2 − 9 . (p2 + 9)2



p p2 + 9

2. f (t) = t2 sin t. Pouˇzijeme opakovanˇe vztah (4.1.4) z Tabulky 13. Je L{t2 sin t} = L{t[(t sin t]} = L{t · g(t)} = −G′ (p), kde G = L{g(t)}, g(t) = t sin t. 83

′

=

Ale G = − (L{sin t}) = −

.



′

−2p 2p = 2 . (p2 + 1)2 (p + 1)2 ′  6p2 − 2 2p Nakonec je tedy L{t[(t sin t]} = −G′ (p) = − . = 2 2 2 (p + 1) (p + 1)3 ′

1 p2 + 1

=−

Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.5. K dan´e funkci F (p) (obrazu) najdˇeme zpˇetnou Laplaceovou transfomac´ı jej´ı vzor f (t) 1 . + 1) Funkce F (p) je ryze racion´ aln´ı funkce a existuje proto jej´ı laplaceovsk´ y vzor. Najdeme jej rozkladem F (p) na parci´ aln´ı zlomky: A B C 1 F (p) = 2 = 2 + + . Snadno najdeme A = 1, B = −1, C = 1 a tedy p (p + 1) p p p+1 1 1 1 F (p) = 2 − + . p p p+1 Odtud pomoc´ı Tabulky 14 (obraz˚ u): f (t) = t − 1 + e−t .

a) F (p) =

b) F (p) =

p2 (p

p−3 . p2 + 4

p 3 p 1 p−3 = 2 − 2 = 2 −3 2 = p2 + 4 p +4 p +4 p +4 p +4 3 2 3 p − a zˇrejmˇe je vzor f (t) = cos 2t − sin 2t. p2 + 4 2 p2 + 4 2

V tomto pˇr´ıpadˇe staˇc´ı rozepsat F (p) =

c) F (p) =

p+1 . (p2 + 1)(p − 2)

Ap + B C p+1 = 2 + dostaneme (p2 + 1)(p − 2) p +1 p−2 3 − 3 p − 51 1 3 3 p 1 1 3 1 3 + 5 =− 2 − + . A = − , B = − , C = . Je tedy F (p) = 52 5 5 5 p +1 p−2 5 p + 1 5 p2 + 1 5 p − 2 1 3 3 Odtud snadno f (t) = − cos t − sin t + e2t . 5 5 5 p d) F (p) = 2 . (p + 2p + 5)(p − 2) Rozloˇz´ıme F (p) na parci´ aln´ı zlomky (v´ yraz p2 + 2p + 5 nem´ a re´ aln´e koˇreny): 8 2 2 p − 13 − 13 Ap + B C 13 F (p) = 2 + . Po v´ ypoˇctu je F (p) = + . p + 2p + 5 p − 2 (p + 1)2 + 4 p − 2 N´ asleduj´ıc´ı u ´pravy smˇeˇruj´ı k tomu, abychom mohli pouˇz´ıt vzorc˚ u (4.1.10),(4.1.11) a (4.1.5) v Tabulce obraz˚ u Laplaceovy tranformace. 2 8 2 p − 13 − 13 p 1 2 8 2 1 13 + =− − + = F (p) = (p + 1)2 + 4 p − 2 13 (p + 1)2 + 4 13 (p + 1)2 + 4 13 p − 2 2 p +1 − 1 1 8 2 1 − − + = 13 (p + 1)2 + 4 13 (p + 1)2 + 4 13 p − 2 2 p+1 −1 1 2 8 2 1 − − − + = 13 (p + 1)2 + 4 13 (p + 1)2 + 4 13 (p + 1)2 + 4 13 p − 2 p+1 6 2 1 1·2 2 − + = − 13 (p + 1)2 + 4 13·2 (p + 1)2 + 4 13 p − 2 2 p+1 2 3 2 1 − − + . 2 2 13 (p + 1) + 4 13 (p + 1) + 4 13 p − 2 Rozkladem F (p) na parci´ aln´ı zlomky F (p) =

84

Odtud je zˇrejm´e, ˇze vzor k dan´e funkci F (p) je funkce f (t) = −

3 2 2 cos 2t · e−t − sin 2t · e−t + e2t . 13 13 13

ˇ sme pomoc´ı Laplaceovy transformace diferenci´aln´ı rovnice s dan´ Uk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.6. Reˇ ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami (Cauchyovu u ´lohu). Podle vztah˚ u v Tabulce najdeme nejprve obraz diferenci´aln´ı rovnice, vypoˇcteme obraz ˇreˇsen´ı Y (p) a pak zpˇetnou transformac´ı L−1 {F (p)} urˇc´ıme ˇreˇsen´ı y(t). a) y ′ − 2y = 1 s podm´ınkou y(0) = 1.

1 . p 1 p+1 1 . Obraz dan´e rovnice je pY − 1 − 2Y = ⇒ Y (p − 2) = + 1 ⇒ Y = p p p(p − 2) p+1 K obrazu Y (p) najdeme vzor y(t) zpˇetnou transformac´ı. Rozloˇz´ıme zlomek na parci´aln´ı p(p − 2) p+1 1 3 zlomky =− + . p(p − 2) 2p 2(p − 2) 3 1 3 1 a odtud ˇreˇsen´ı y(t) = − + e2t . Je tedy Y = − + 2p 2(p − 2) 2 2

y(t) 7→ Y (p), y ′ (t) 7→ pY (p) − 1, 1 7→

b) y ′′ − 4y = 0 s podm´ınkami y(0) = 1, y ′ (0) = 0. Obrazy: y 7→ Y, y ′ 7→ pY − 1, y ′′ 7→ p2 Y − p.1 − 0. Obrazem dan´e rovnice je p2 Y − p − 4Y = 0 ⇒ Y =

p a rozklad na parci´aln´ı zlomky p2 − 4 1 1 1 1 p = + . Odtud snadno y(t) = e−2t + e2t . p2 − 4 2(p + 2) 2(p − 2) 2 2

c) y ′′ − 4y ′ + 4y = 1 s podm´ınkami y(0) = 0, y ′ (0) = 1.

Obrazy: y 7→ Y, y ′ 7→ pY − 0, y ′′ 7→ p2 Y − p.0 − 1, 1 7→

y ′′ − 4y ′ + 4y = 1 7→ p2 Y − 1 − 4pY + 4Y =

1 . p

1 , p

ˇ s´ıme tedy rovnici (p2 − 4p + 4)Y = 1. Reˇ Najdeme Y z posledn´ı rovnice. 1 1 1 1 + . Je Y = 2 + ⇒Y = 2 2 p − 4p + 4 p(p − 4p + 4) (p − 2) p(p − 2)2 1 A C B 1 Rozklad na parci´ aln´ı zlomky = + + . Dostaneme A = , B = 2 2 p(p − 2) p (p − 2) p−2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 + · + − + · − , C = − , takˇze Y = = . 2 4 (p − 2)2 4 p 2 (p − 2)2 4 p − 2 2 (p − 2)2 4 p 4 p − 2 3 1 1 S pouˇzit´ım vztah˚ u (4.1.10), (4.1.6) a (4.1.5) m´ame ˇreˇsen´ı rovnice y(t) = tet + − e2t . 2 4 4

ˇ sme pomoc´ı Laplaceovy transformace soustavu diferenci´aln´ıch rovUk´ azkov´ y pˇ r´ıklad 4.1.7. Reˇ nic x′ + y ′ = x′ − y ′ =

sin t cos t.

nezn´am´e funkce x = x(t), y = y(t)). Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x(0) = 1, y(0) = −1. 1 p x 7→ X, y 7→ Y, x′ 7→ pX − 1, y ′ 7→ pY + 1, sin t 7→ 2 , cos t 7→ 2 . p +1 p +1 85

pX − 1 + pY + 1 = pX − 1 − pY − 1 =

1 p2 + 1 p . 2 p +1

Snadn´ ym v´ ypoˇctem je 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + · 2 + a Y = · − · 2 − . X= · 2 2 2 p(p + 1) 2 p + 1 p 2 p(p + 1) 2 p + 1 p 1 p 1 = − 2 , takˇze po u ´pravˇe je Parci´ aln´ı zlomky p(p2 + 1) p p +1 3 p 1 1 p 1 X= − + , Y =− − − . 2p 2(p2 + 1) 2(p2 + 1) 2p 2(p2 + 1) 2(p2 + 1) Zpˇetnou Laplaceovou transformac´ı pak dostaneme ˇreˇsen´ı 3 1 1 1 1 1 x(t) = − cos t+ sin t, y(t) = − − cos t− sin t. (O spr´ avnosti se opˇet snadno pˇresvˇedˇc´ıme 2 2 2 2 2 2 dosazen´ım.)

4.2

Cviˇ cen´ı

1) Z definice Laplaceovy transformace najdˇete obraz funkce f (t): a) f (t) = −t

b) f (t) = e−t

c) f (t) = cos 2t 

a) −

d) f (t) = 1 + 2t

1 p 1 2 1 , b) , c) 2 , d) + 2 p2 p+1 p +4 p p



2) Pomoc´ı Tabulky (13),(14) urˇcete obrazy funkc´ı: a) f (t) = t2 − t + 2 b) f (t) = te2t

c) f (t) = sin 2t − 2 cos 3t d) f (t) = 4 sin 3t · cos 3t





a)

1 2 2 1 2p 2 − 2 + , b) , c) 2 − 2 , 3 2 p p p (p − 2) p +4 p +9

d) Pouˇzijte goniom. vzorec pro sin 2α, pak je

12 p2 + 36





3) K dan´ ym obraz˚ um F (p) najdˇete pomoc´ı zpˇetn´e transformace vzory f (t) p p+1 1 e) F (p) = 2 c) F (p) = 2 p −9 p+2 p − 5p + 6 2p + 3 p+1 b) F (p) = 2 d) F (p) = 2 p +4 p + 2p + 10   1 1 1 3 a) e−2t , b) 2 cos 2t + sin 2t, c) 2e3t − et , d) e−t (cos 3t + sin 3t). e) e3t + e−3t 2 3 2 2 a) F (p) =

86

4) Urˇcete Laplace˚ uv obraz funkce f (t). a) f (t) = (t + a2 t2 )eat

f) f (t) = sin4 t

b) f (t) = (1 + 4t + 2t2 )e2t c) f (t) = sin 3t cos 3t

g) f (t) = 12 (eat + e−at )

d) f (t) = cos 2t(e2t − e−2t ) e) f (t) = sin2 2t − cos2 4t

h) f (t) = (3 − t) sin t − 3t cos t





a)

f)

i) f (t) = e2t (1 + 2 sin 2t)

p2 3 4(p2 − 8) −p(p2 + 40) p , b) , c) , d) , e) (p − a)3 (p − 2)3 p2 + 36 p2 + 64 p4 + 80p2 + 1024

24 p 6 − 2p p2 , g) 2 , h) 2 , i) 2 2 2 2 p(p + 4)(p + 16) p −a (p + 1) (p − 2)(p2 − 4p + 8)





5) S pouˇzit´ım inverzn´ı Laplaceovy transformace najdˇete vzory k funkc´ım L(p). p 2p + 3 12 − 8p 2 d) g) + (p + 1)(p2 + 4) p2 + 1 p − 4 (p − 1)(p + 1)2 2p + 2 10p p+7 b) 2 e) h) p + 2p (p − 1)(p2 + 1) (p − 2)(p2 − 1) 6 p2 + 1 1 i) c) f) 3 p(p + 1)(p + 2) (p2 + 1)(p2 + 4) p + 2p2 + 5p   5 1 1 2 1 a) 2 cos t + 3 sin t + 2e4t , b) 1 + e−2t , c) − 2e−t + e−2t , d) − e−t + cos 2t + sin 2t 2 2 5 5 5   1 t −t −t t −t −t e) 5(e − cos t + sin t), f ) (2 − 2e cos 2t − e sin 2t, g) e − e − 10te 10   h) 3e2t + e−t − 4et , i) 2 sin t − sin 2t a)

ˇ ste pomoc´ı Laplaceovy transformace diferenci´aln´ı rovnice (nezn´am´a funkce y(t)) 6) Reˇ a) y ′′ + 4y ′ + 3y = 8et s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = 1, y ′ (0) = 1. b) y ′′ + 4y = 1 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = y ′ (0) = 0. c) y ′′′ − y = −1 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = y ′ (0) = 0 = y ′′ (0) = 0.

d) y ′′′ − y ′′ = sin t s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1. ( t, t ∈ h0, 1) e) y ′′ = f (t), kde f (t) = , y(0) = y ′ (0) = 0. 1, t ∈ h1, ∞) f) y ′ = f (t), y ′ (0) = 0, je-li f (t) = (1 − t)H(t) + (t − 1)H(t − 1). " # √ 1 1 3 −t 2 t −3t −t t a) y(t) = e + e − 2e , b) y(t) = − cos 2t, c) y(t) = −1 + e − √ sin t.e 2 4 4 2 3    t3    , t ∈ h0, 1)   1  d) cos t + 1 sin t − 2 − 2t + 3 et , e) y(t) = 6   2  2 2 t3 (t − 1)3   − , t ∈ h1, ∞) 6 6 87

 t2   t − , t ∈ h0, 1i  2 f ) y(t) = 2   t t − + 1 (t − 1)3 , t ≥ 1  2 2 

   

7) Pomoc´ı Laplaceovy transformace ˇreˇste n´asleduj´ıc´ı diferenci´aln´ı rovnice. g) y ′′ − y ′ = 3(2 − t2 ), y(0) = 1, y ′ (0) = 1

a) y ′′ + y ′ − 2y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 3

b) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1

h) y ′′ + y = 3 sin 2t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0

d) y ′′ − 3y ′ + 2y = et , y(0) = 0, y ′ (0) = 0

j) y ′′ + 9y = 3t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0

c) y ′′ + y = t3 + 6t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0

i) y ′′ + y ′ − 6y = 3, y(0) = 0, y ′ (0) = −1

e) y ′′ − 2y ′ = 8t + 24, y(0) = 2, y ′ (0) = 2

k) y ′′ + 4y ′ + 8y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0

f) y ′′ + 2y ′ + 2y = 2e−t , y(0) = 1, y ′ (0) = 1





l) y ′′ − 4y ′ + 5y = 5t, y(0) = 0, y ′ (0) = −5

a) y = et − e−2t , b) y = e3t − 2te3t , c) y = t3 , d) y = e2t − tet − et



 e) y = 8e2t − 2t2 − 14t − 6, f ) y = e−t (2 − cos t + 2 sin t), g) y = 3t2 + t3 + et   1 2t e , j) y = 13 t − 19 sin 3t h) y = 2 sin t − sin 2t, i) y = − 21 + 52 e−3t + 10   2t k) y = e−2t sin 2t + e−2t cos 2t, l) y = − 54 e2t cos t − 14 5 e sin t

ˇ ste pomoc´ı Laplaceovy transformace soustavy diferenci´aln´ıch rovnic (nezn´am´e funkce x(t), y(t)): 8) Reˇ a) x′′ − y ′′ − x′ + y ′ x′′ + y ′′ + x − y

= =

1 1

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 0, x′ (0) = 1, y(0) = 0, y ′ (0) = 1. b) x′ = y′ =

x − y + 2et −x + y + et

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 0, y(0) = 3. c) x′′ − y ′′ − x′ + y ′ x′′ + y ′′ + x − y

=1 =1

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 0, x′ (0) = 1, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 . d) x′ + y ′ x′ − y ′

=x−y

=x+y

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 1, y(0) = 1. 88



 1 1 1 1 a) x(t) = t + t2 + t3 , y(t) = 1 − et + t2 + t3 + 2t, b) x(t) = −e2t + et , y(t) = 2et + e2t 2 2 2 2   1 3 1 2 1 3 1 2 t t −t c) x(t) = t + t + t , y(t) = 1 − e + t + t + 2t, d) x(t) = e , y(t) = −e 2 12 2 12

9) Pomoc´ı Laplaceovy transformace ˇreˇste n´asleduj´ıc´ı soustavy diferenci´aln´ıch rovnic. a) y1′ =

2y1 + 4y2

y2′

y1 + 2y2

=

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 1, y2 (0) = 1. b) y1′ = y1 + 3y2 + t y2′ =

y2 + 1

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = 0. c) y1′ = y2′ =

−y2 2y1 + 2y2

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 1, y2 (0) = 1. d) y1′ = y2′ =

−y1 + y2 + et y 1 − y 2 + et

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = 0. e) y1′ = y2′ =

−y1 + 3y2 y1 + y2 + e−2t

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = 0.   1 3 1 3 a) y1 = − + e4t , y2 = + e4t , b) y1 = 2 − t − 2et + 3tet , y2 = −1 + et 2 2 4 4

[c) y1 = et cos t − 2et sin t, y2 = et cos t + 3et sin t, d) y1 = et − 1, y2 = et − 1]   3 −2t 3 −t 3 2t 3 −2t 1 −t 3 2t e − e − te , y2 = e − e + te e) y1 = 16 16 4 16 16 4

89

Literatura

[1] Berman, G. N., Sbornik zadaˇc po kursu matˇematiˇceskogo analiza, Nauka, Moskva, 1965 [2] Eliaˇs, J., Horv´ ath, J., Kajan, J., Zbierka u ´loh z vyˇsˇsej matematiky, Slovensk´e vydavatel’stvo technickej literat´ ury, Bratislava,1967 [3] Hamhalter, J., Tiˇser, J.,Diferenci´ aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych, CVUT, 1998 [4] Horsk´ y,Z., Diferenci´aln´ı poˇcet,SNTL, 1975 ˇ Praha 1979, 21-514-79 [5] Kamar´ yt, A. a kol. : Cviˇcen´ı z matematiky ll, VSZ [6] http://matematika.cuni.cz [7] Miˇcunek, O., Pt´ aˇcek, M. : Cviˇcen´ı z matematiky lll, Ostrava 1979, 60-200-79 [8] Nagy, J., Element´ arn´ı metody ˇreˇsen´ı obyˇcejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic, SNTL, 1978 [9] Nagy, J., Soustavy obyˇcejn´ ych obyˇcejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic, SNTL, 1980 ˇ [10] Nˇemec, P., Slav´ık, V. : Matematika lll pro TF, CZU 1999, ISBN 80-213-0522-3 [11] Pt´ ak, P.,Diferenci´ aln´ı rovnice. Laplaceova transformace, CVUT,1997 [12] R˚ uˇziˇcka, J. : Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z vyˇsˇs´ı matematiky, SPN Praha, 1973, 17-004-73 [13] Vesel´ y, J., Matematick´ a anal´ yza pro uˇcitele, MFF, Matfyzpress, 2001 [14] www.karlin.mff.cuni.cz - Obecn´e line´arn´ı probl´emy [15] www.karlin.mff.cuni.cz – Laplaceova transformace

90