Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec CZ.1.07/1.5.00/34.0766
Klíčová aktivita: IV/2 Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S2.01 Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka Název výukového materiálu: Kružnice Autor: Petr Pokovba Škola: Gymnázium Vítězslava Nováka Jindřichův Hradec Obor vzdělávání: Gymnázium (všeobecné) Ročník: 2. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika Tématická oblast: Matematika - V.-VIII. ročník osmiletého a 1.-4. ročník čtyřletého gymnázia Datum vytvoření: 3.9.2012 Anotace: Pracovní list obsahuje základní informace o kružnici. Nejprve její rolí v kultuře a přírodním prostředí. V matematické části nejpoužívanější terminologií a větou o středových a obvodových úhlech. List představuje grafickou podporu při výuce tohoto tématu.
Kružnice – jeden z nejzákladnějších geometrických útvarů, který na světlo světa přivádí zcela určitě nejslavnější a také i trochu tajemnou konstantu, číslo π . Ale ještě než začneme s matematikou, podívejme se na roli kružnice a kruhu v přírodě a kultuře. ? existují v přírodě/kosmu objekty mající tento tvar ? Lidé si vždy byli vědomi elegantní symetrie, která je kružnici vlastní – žádný jiný útvar není tak všudypřítomný napříč kulturami a časem. Pravděpodobně jde o symbol, který je společný téměř všem civilizacím v historii. Často mívá mystické významy – reprezentuje věčnost, nekonečnost (nemá začátek ani konec), někdy plodnost, je symbolem Slunce jako zdroje života. Čínský jüan doslovně znamená kulatý, ale také celistvý, dokonalý a v tomto významu byl kruh použit také při závěrečném ceremoniálu olympijských her v Pekingu v roce 2008. Známý symbol Jin-Jang pomocí kruhů symbolizuje, jak opačné síly doplňují jedna druhou.
Stonehenge má kruhovou architekturu.
-1-
V buddhismu představuje kruh nekonečný cyklus převtělování. Tibetské svaté symboly, mandaly, jsou také kruhové. V sanskrtu mandala znamená kružnici a střed. A tak bychom mohli pokračovat dále. Vlastně by bylo velmi těžké najít jakoukoli kulturu v libovolném čase historie, která nepoužívá nebo nepoužívala kruh jako svou významnou kulturní ikonu. Matematika kružnice Pokuste se definovat tyto 3 pojmy: kružnice poloměr průměr
kružnice
poloměr – r (radius)
průměr – d (diametr)
-2-
Pokus 1. Na volný list papíru narýsujte kružnici o poloměru 5 cm a vystřihněte ji. 2. Navrhněte způsob, jak zjistit, kolikrát se průměr vejde na obvod kružnice a určete přibližnou hodnotu. Pro všechny kružnice platí:
délka kružnice (obvod) má vždy stejný poměr k jejímu průměru neboli:
o= d
Tento poměr je sám o sobě zvláštním, neboť jej vyjadřuje číslo, které se často nečekaně objevuje ve všech dalších oblastech matematiky a svoji roli hraje například při zabezpečování bankovních operací. V roce 1761 J. Lambert dokázal, že jde o iracionální číslo a tedy číslo, které nejde vyjádřit žádným zlomkem a jeho desetinný rozvoj se nikdy neopakuje. V současnosti je známé na cca 1 trilion číslic.
π =3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 3282306647 8521105559 3786783165 0249141273 7892590360 5759591953 1885752724 6395224737 7669405132 1468440901 2129021960 2978049951 3344685035 7669147303 1857780532 1065485863 2599413891
5923078164 0938446095 6446229489 2712019091 7245870066 0113305305 0921861173 8912279381 1907021798 0005681271 2249534301 8640344181 0597317328 2619311881 5982534904 1712268066 2788659361 2497217752
0628620899 5058223172 5493038196 4564856692 0631558817 4882046652 8193261179 8301194912 6094370277 4526356082 4654958537 5981362977 1609631859 7101000313 2875546873 1300192787 5338182796 8347913151
8628034825 5359408128 4428810975 3460348610 4881520920 1384146951 3105118548 9833673362 0539217176 7785771342 1050792279 4771309960 5024459455 7838752886 1159562863 6611195909 8230301952 5574857242
tedy o = π ⋅ d neboli o = 2π ⋅ r
-3-
3421170679 4811174502 6659334461 4543266482 9628292540 9415116094 0744623799 4406566430 2931767523 7577896091 6892589235 5187072113 3469083026 5875332083 8823537875 2164201989 0353018529 4541506959
8214808651 8410270193 2847564823 1339360726 9171536436 3305727036 6274956735 8602139494 8467481846 7363717872 4201995611 4999999837 4252230825 8142061717 9375195778 3809525720 6899577362 ...
Intuitivní představy, které o geometrických objektech máme, vedou často k nepřesným závěrům. Ověřte svůj odhad na následujícím příkladě: Předpokládejte, že kolem rovníku natáhnete provaz tak, aby Zemi přesně obepínal. Pak se ovšem rozhodnete, že chudák Země je takhle sešněrovaná až příliš a pokusíte se jí trochu odlehčit tím, že k celkové délce provazu přidáte 2 metry délky. Otázka je následující: Jak daleko se v tomto případě dostane provaz od povrchu planety nebo jinak řečeno, o jakou délku to v pase povolí? Odpověď bude možná překvapující. Pomocí vzorce pro obvod se pokuste ji zdůvodnit. Úhly v kružnici jak je měříme? středový úhel: vrcholový úhel:
Startrek teorém Narýsujte tři dvojice středových a vrcholových úhlů a pomocí jejich změření vyslovte hypotézu týkající se jejich velikostí. Vaše tvrzení se pokuste dokázat. Úkoly a cvičení 1. Vyhledejte slavnou Thaletovu větu a popište souvislost s právě dokázaným tvrzením. 2. Je dán oblouk. Lze najít střed takové kružnice, jejíž je daný oblouk částí? 3. Existuje racionální důvod, proč mají kryty větracích šachet, kanalizace apod. obvykle kruhový tvar?
-4-
Literatura a zdroje obrázků 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Yin-Yang symbol [online]. 2005 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yin_yang.svg?uselang=cs Lucas de Heere, First realistic Painting of Stonehenge [online]. 2008 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stonehenge_Lucas_de_Heere.jpg?uselang=cs Paintings of Buddha meditating [online]. 2008 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Buddha_meditating.jpg?uselang=cs www.buddhismus.at, Buddhist Mandala. [online]. [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandala_gross.jpg Jesperhansen1972, Star Trek Emblem, crew insignia [online]. 2009 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Emblem.svg?uselang=cs Kružnice na straně 4 byla vytvořena v programu Cabri Geometrie.
Prohlašuji, že při tvorbě výukového materiálu jsem respektoval(a) všeobecně užívané právní a morální zvyklosti, autorská a jiná práva třetích osob, zejména práva duševního vlastnictví (např. práva k obchodní firmě, autorská práva k software, k filmovým, hudebním a fotografickým dílům nebo práva k ochranným známkám) dle zákona 121/2000 Sb. (Autorský zákon). Nesu veškerou právní odpovědnost za obsah a původ svého díla. Prohlašuji dále, že výše uvedený materiál jsem ověřil(a) ve výuce a provedl(a) o tom zápis do třídní knihy. Dávám souhlas, aby mé dílo bylo dáno k dispozici veřejnosti k účelům volného užití (§ 30 odst. 1 zákona 121/2000 Sb.), tj. že k uvedeným účelům může být kýmkoliv zveřejňováno, používáno, upravováno a uchováváno.
-5-
