PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKY

České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní

PRUŽNOST A PEVNOST I

PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKY Jan

Únor 2016

Řezníček

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STROJNÍ ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

přednáší

Jan Řezníček akademický rok

2015/2016

Praha 6. února 2016 (doplněno a upraveno 12. února 2016) 7. přepracovaná a doplněná verze (pro LS akademického roku 2015/2016) - text neprošel jazykovou ani redakční úpravou © Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 a 2016.

PRUŽNOST A PEVNOST 1

3

KDO PSAL HISTORII PRUŽNOSTI A PEVNOSTI 1452 – 1519 1564 – 1642 1620 – 1684 1635 – 1703 1623 – 1662 1642 – 1727 1654 – 1705 1700 – 1782 1707 – 1783 1717 – 1783 1736 – 1806 1749 – 1827 1773 – 1829 1781 – 1840 1797 – 1886 1814 – 1885 1818 - 1889 1819 – 1914 1820 – 1872 1821 – 1891 1823 – 1892 1823 – 1892 1824 – 1887 1830 – 1903 1831 – 1879 1833 – 1872 1835 – 1888 1835 – 1918 1841 – 1912 1871 – 1945 1872 – 1950 1878 – 1972 1878 – 1909 1883 – 1953 1885 – 1951 1847 – 1884 1875 – 1953 1880 – 1942 1905 – 1956 1908 – 1968 1918 – 1991 1919 – 2000 1921 – 2009

Leonardo da Vinci Galileo Galilei Edme Mariotte Robert Hooke Blasie Pascal Isaac Newton Jakob Bernoulli Daniel Bernoulli Leonard Euler Jean-Baptiste d'Alembert Charles-Augustin de Coulomb Piere Simon Laplace Thomas Young Simeon Denis Poisson Adhémar Jean-Claude de Saint-Vénant Henri Edouard Tresca James Prescott Joule August Wöhler William John Macquorn Rankin Dmitrij Ivanovič Žuravskij Enrico Betti Johann Wilhelm Schwedler Gustav Robert Kirchhoff Antonio Luigi Giuseppe Cremona James Clerk Maxwell Alfred Clebsch Emil Winkler Christian Otto Mohr Josef Šolín Boris Grigorgijevič Galerkin Tytus Maksymilian Huber Štěpán Prokofjevič Timošenko Walther Ritz Richard von Mises Heinrich Hencky Carlo Alberto Castigliano Ludwig Prandtl Viktor Felber Ferdinand Budinský Lev Davidovič Landau Emanuel Hájek Clifford Ambrose Truesdell Olgierd (Oleg) Cecil Zienkiewicz

Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


4

V

ážené kolegyně a vážení kolegové,

dostalo se mi té cti, že mohu vést na Fakultě strojní Českého vysokého učení technického v Praze přednášky z předmětu Pružnost a pevnost I pro studenty bakalářských studijních programů „Teoretický základ strojního inženýrství“ a „Strojírenství“. Při přípravě podkladů pro tento předmět jsem vycházel ze zkušeností, které mám z minulých let s novou formou výuky pružnosti a pevnosti na FS ČVUT v Praze. Text, který máte před sebou, jsou vlastně „slepé“ přednášky, které vám studentům mají usnadnit práci při tvorbě vlastních zápisků z přednášek tak, aby vás při této činnosti nic výrazně nerušilo. Tím mám na mysli zdlouhavé „obkreslování“ obrázků z tabule, kdy já mám představu, co chci nakreslit, ale nepovede se mi to vždy úplně přesně. Vy si to obkreslujete jak s mojí nepřesností, tak si k tomu často přidáte ještě své vlastní, a pak při učení ke zkoušce přemýšlíte, co že to vlastně ten obrázek znamená. Zde máte všichni stejné podklady a je jen na vás, jak s nimi naložíte. Pokud alespoň jednomu z vás tyto podklady usnadní učení a pomohou udělat zkoušku z pružnosti, tak to nebyla zbytečná práce. Najdete-li v textu nebo ve vzorcích chyby, které jsem při autokorektuře přehlédl a za které se předem omlouvám, budu vám vděčný, pokud mě na ně upozorníte, abych je mohl opravit. Přednášky kromě slepých obrázků a hlavních nadpisů obsahují pro objasnění problematiky i řadu komentářů, poznámek, doplňujících obrázků a také vzorových příkladů. Některé z nich jsou kompletně celé vypočítané, u jiných je jen naznačeno řešení. Ne všechny z uváděných příkladů budu na přednáškách počítat. Spíš jsem je do tohoto textu umístil pro vaše samostudium. V celém textu pak budu používat pro zvýraznění jednotlivých částí tyto symboly:

O

P

T

M F

Zásadní odvození

Vzorový příklad

Souhrnná tabulka

Intermezzo

důležité pro pochopení a také se to zkouší!!!

je vhodné ho pochopit nebo se hned zeptat!!!

srovnání důležitých pojmů a hodnot

potřebné informace z matematiky a fyziky

Většinu kapitol se pokusím uvést jednoduchými příklady z praxe, abych osvětlil jednak praktickou aplikaci probírané problematiky a jednak abych ukázal cestu od reálné součásti k výpočtovému modelu. Ještě bych vám všem chtěl popřát hodně úspěchů během celého vašeho studia. Pokud budete během následujících let na fakultě cokoliv potřebovat – a to nejen z Pružnosti a pevnosti I nebo následně Pružnosti a pevnosti II – tak jsem vám k dispozici, protože jednou jste MOJI STUDENTI, a to je pro mě závazek i do budoucna, kdy vás již nebudu učit.

℡: 224 352 424 : 725 351 511 : [email protected] : www.facebook.com/Pruznost V Praze v sobotu dne 6. února 2016 Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



5

P R U Ž N O S T

A

P E V N O S T

Přednáší: Jan Řezníček, studijní oddělení místnost 45 (místnost proděkana pro pedagogickou činnost)

Skripta: Michalec, J. a kol.: Pružnost a pevnost I, skriptum FS ČVUT Šubrt, L., Řezníček, J., Růžička, M.: Příklady z pružnosti a pevnosti I, skriptum FS ČVUT

Zdroje informací:

www.mechanika.fs.cvut.cz

www.facebook.com/Pruznost

www.pruznost.unas.cz Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



6

Zařazení pružnosti a pevnosti: Pružnost a pevnost jako přírodní věda je součástí FYZIKY, resp. její části MECHANIKY Klasická pružnost a pevnost vs. moderní výpočtové (numerické) metody

Historie pružnosti a pevnosti: Pružnost a pevnost jako přírodní věda platí od vzniku světa, a tak historie v našem pojetí pojednává pouze o úrovni poznání resp. vývoji pružnosti a pevnosti jako vědního oboru. Proto seznam jmen uvedený na začátku těchto přednášek je jen výběrem těch nejvýznamnějších vědců, kteří nejvíce ovlivnili pružnost a pevnost.

Základní pojmy: SÍLY Vnější - zatěžující

Vnitřní

1) Síly povrchové - osamělé × spojitě rozložené 2) Síly objemové (tíhová síla tělesa v gravitačním poli)

Intenzita vnitřní síly = napětí

1) Zatížení statické/quazistatické (žádné nebo velmi pomalé změny) 2) Zatížení dynamické (děje s rychle se měnícím zatížením) 1) Zatížení místně stálé (upevnění stroje k základu) 2) Zatížení pohyblivé (pojezd mostového jeřábu)

Statická rovnováha vnějších sil (všech): Všechna uvažovaná zatížení musí splňovat podmínku statické rovnováhy vnějších sil (včetně sil reakčních vznikajících v uložení tělesa). Složité soustavy se převedou postupným uvolňováním na jednoduché při zachování původních okrajových podmínek. V případě nerovnoměrného pohybu tělesa nebo soustavy se do stavu rovnováhy zahrnují i setrvačné síly (d´Alambertův princip). Se zatížením povrchovými i objemovými účinky bez vlivu na samotné těleso se zabývá mechanika tuhých těles, kterou již znáte z předmětu Mechanika I, kdežto mechanika poddajných těles se zabývá i chováním samotného poddajného tělesa a řeší změny, ke kterým v takovém tělese dochází právě v důsledku vnějších sil a případných setrvačných účinků.

VNITŘNÍ SÍLY: Poddajné těleso se vlivem vnějších sil, které musí být podle předchozího předpokladu v rovnováze, deformuje a tím vznikají v tělese VNITŘNÍ SÍLY. t F4 F2

n

F2

2 1

dF

dT

dN

1

F3

dA F1

F1 4

r

∑F i =1

i

=0

r r r F1 + F2 + ∫ dF = 0 ( A)

Je-li v rovnováze celé těleso, je také v rovnováze i každá jeho odříznutá část. Musí tedy být v rovnováze i samotná část . Rovnováhu v tomto případě zajišťují vnitřní účinky působící v místě řezu. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



7

Intenzita vnitřní síly ≡ napětí [N⋅m-2] ≡ [Pa] ... pascal resp. [N⋅mm-2] ≡ [MPa] ... megapascal obecné normálové smykové

ν=

dF dA

σ=

dN dA

τ=

dT dA

Poznámka: Zejména v anglosaské odborné literatuře se zásadně uvádí mechanické napětí v základních jednotkách N⋅m-2 resp. N⋅mm-2 (např. automobilky Ford nebo BMW uvádějí ve všech technických předpisech a dílenských manuálech pevnosti šroubů v N⋅mm-2). Jednotky Pa resp. MPa případně kPa jsou používány pro označování tlaků plynů a kapalin.

DEFORMACE TĚLESA:

ε

γ

[1] zkos (změna kolmosti hran elementu)

[1]

poměrné prodloužení (kladné) poměrné zkrácení (záporné) ∆l ∆dx resp. ε = ε= l0 dx

ve starších knihách se používá výraz „poměrné posunutí“

PRUŽNOST TĚLESA = schopnost tělesa vrátit se po odlehčení do původního stavu TUHOST TĚLESA = odolnost tělesa proti deformaci ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP: 1. Předpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozměry) 2. Platnost lineární závislosti mezi napětím a deformací (Hookův zákon) 3. Platnost Saint-Vénantova principu (změna zatížení se roznese na „malé“ vzdálenosti do celého průřezu součásti a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme) 4. Existence ideálního materiálu - homogenní (bez vměstků, otvorů, ...) - isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti)

Skutečná součást Experiment velice často provádíme přímo na skutečné součásti nebo na skutečném modelu, který však nemusí být totožný s výpočtovým modelem. Proto mohou být mezi experimentem a výpočtem značné rozdíly

Výpočtový model Pro výpočty v pružnosti a pevnosti využíváme tzv. výpočtový model, který vznikne za použití různých zjednodušujících předpokladů (čím větší je zjednodušení tím nepřesnější jsou výsledky vzhledem ke skutečnosti)

F Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



8

Doplňující skripta s příklady: Řezníčkovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady I, skriptum FS ČVUT Řezníčkovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady III, skriptum FS ČVUT Příkladů výpočtových modelů lze určitě najít celou řadu. Vždy však není úplně jednoduché sestavit ten model tak, aby byl „rozumně“ řešitelný a přitom stále odpovídal skutečnosti. Řadu výpočtových modelů ke zcela známým a v běžném životě používaným věcem jsme se pokusili sestavit ve skriptech Jan a Jitka Řezníčkovi: „Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady I“ a „Příklady III“, Nakladatelství ČVUT v Praze, 2005 a 2007. Jak se nám to povedlo, to již musíte posoudit vy sami.

Poznámka: Skripta „Pružnost a pevnost v technické praxi – Příklady II“ jsou určena až pro předmět Pružnost a pevnost II.

OBSAH PŘEDNÁŠEK PP I: 1. Prostý tah/tlak a základní pojmy pružnosti a pevnosti 2. Napětí a přetvoření 3. Deformační energie při obecné napjatosti 4. Teorie (hypotézy) pevnosti/pružnosti 5. Krut kruhového a mezikruhového profilu 6. Ohyb nosníků 7. Kombinované namáhání 8. Křivé pruty a rámy 9. Úvod do experimentální pružnosti a pevnosti Doslov Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

10 36 47 51 61 70 110 119 132 161



9

M Takto označené vsuvky nebo poznámky jsou vloženy do textu jaksi navíc a pokud F by vás jejich obsah urážel svojí jednoduchostí, tak je s klidným svědomím přelepte, přeškrtejte, … . Moje zkušenosti ze zkoušek z pružnosti a pevnosti případně dalších předmětů však ukazují, že nejjednodušší věci se nejrychleji zapomínají. A je smutné, když dobře zahájený příklad nejste schopni dopočítat jen proto, že vám schází „nějaká drobnost“ z matematiky nebo fyziky. Já pak musím tento příklad hodnotit jako nedokončený nebo dokonce nevyřešený. Z tohoto důvodu se několikrát v těchto přednáškových podkladech uchýlím k této formě připomenutí potřebných znalostí a těm, které tím urážím, se předem omlouvám – PROMIŇTE!

M F

MATEMATICKÉ INTERMEZZO V průběhu výuky pružnosti a pevnosti stejně jako i jiných předmětů se budou používat pojmy „malé deformace“, „malé úhly“ a spousta dalších „malých“ veličin. Připomeňme si proto, co již o malých velikostech víme z matematiky: 1. Malý úhel (ϕ → 0):

sin ϕ ≈ ϕ ; cos ϕ ≈ 1 ; tan ϕ ≈ ϕ (někdy lze ale také s výhodou použít i vztahy: sin ϕ ≈ 0 ; tan ϕ ≈ 0)

2. Délka skutečného oblouku: s[m] = R[m]⋅ϕ[1] R

ϕ s

3. Délka malého oblouku: ds[m] = R[m]⋅dϕ [1] R ds dϕ

Protože platí:

tan dϕ = ds/R

a podle 1. platí:

tan dϕ ≈ dϕ

⇒ ds = R⋅dϕ

Není třeba uvažovat dráhu po kružnici, ale stačí jí nahradit tečnou v původním místě (kolmice k rameni R)

4. Malá deformace (u → 0): 5. Diferenciál:

u << 1 ⇒ (1 – u) ≈ 1 ; u2 ≈ 0

ds a dm jsou malé veličiny prvního řádu avšak nenulové (lze jimi například dělit rovnici) ds⋅dm součin dvou nebo více diferenciálů je diferenciální veličina vyššího řádu, kterou lze zanedbat (ds⋅dm ≈ 0)




10

1. PROSTÝ TAH/TLAK A ZÁKLADNÍ POJMY P&P Vypočtěte statickou bezpečnost tažného lana lanovky na Petřín a stanovte deformační energii akumulovanou v tomto ocelovém lanu. Pohotovostní hmotnost každého z vozů je mv = 12 360 kg a vzhledem k možnosti přepravy až 100 cestujících plus obsluha je normované užitečné zatížení jednoho vozu mu = 8 080 kg. Průměr DL tažného lana je 35,3 mm (aktivní plocha průřezu použitého lana je cca 450 mm2). Lano je vyrobeno z drátků o jmenovité pevnosti Rm = 1 570 N⋅mm-2 (σPt) a výrobcem udávaná jmenovitá únosnost lana je přibližně Fmax = 700 kN. Šikmá délka lanové dráhy je s = 510,4 m při výškovém rozdílu horní a dolní T1 stanice h = 130,45 m. Průměrná velikost úhlu celé dráhy tedy bude β = 14,8°. Délka tažného lana β (včetně volných částí procházejících strojovnou v horní stanici lanové dráhy) je pak l = 540 m. N1

∅DL T1

β G1

Lopatkový kompresor se otáčí rychlostí n = 7 000 min-1 a za provozu se postupně ohřeje o ∆T = 100°C. Stanovte prodloužení a maximální namáhání jeho lopatek, je-li průměr rotorového disku D = 300 mm a vnější průměr obvodu lopatek DL = 1 000 mm. Lopatky jsou vyrobeny z oceli (hustota ρ = 7 800 kg⋅m-3, lineární teplotní roztažnost α = 10,8⋅10-6 °C-1 a Youngův modul pružnosti E = 2,1⋅105 N⋅⋅mm-2). Změnu poloměru vnitřního kotouče zanedbáme (∆D ≈ 0).

∅DL

∅D

Boeing 737-800

Prut: Je součást, která má jeden rozměr výrazně větší než zbývající dva (svorník, táhlo, ...). Osa prutu: Je to spojnice těžišť jednotlivých příčných průřezů prutu - přímka ⇒ přímý prut - křivka ⇒ křivý prut (rovinný nebo i prostorový) Přímý prut je namáhaný tahem/tlakem tehdy a jen tehdy, pokud výsledná síla působí v ose prutu a je kolmá k průřezu. To obecně splňují jen svislé pruty, protože u ostatních vzniká v důsledku vlastní tíhy ještě ohyb ⇒ kombinované namáhání, které bude řešeno později. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



11

NORMÁLOVÁ SÍLA = výslednice sil kolmá k průřezu prutu F

TAH „+“ – síla působí VEN z plochy

F TLAK „–“ – síla působí DO plochy Saint-Vénantův princip: Působení sil vlivem uložení ovlivňuje jen velmi malou část prutu ve svém nejbližším okolí. Vliv místního působení sil zaniká ve vzdálenosti cca rovné příčným rozměrům.

malé

F

JEDNOOSÁ NAPJATOST: R=F R Rovnice rovnováhy:

1 rovnice o 1 neznámé úloha je STATICKY URČITÁ (statické rovnice stačí k určení všech neznámých sil – zde se jedná o reakci R)

x A0 F

N(x) N(x)

F F

Metoda řezu (Leonard Euler): Řešení METODOU ŘEZU (zavedl Leonard Euler): odkud N(x)

σ(x)

F

F/A0

Napětí v místě řezu:

zde ale platí: F




12

Změna zatížení:

σ(x)

N(x)

F2

F2

A0 F1

F1

Změna průřezu:

N(x)

σ(x)

N(x)

σ(x)

A2

A1

F

Protože A1 < A2, musí platit pro N1 = N2 = F: σ1 = F/A1 > F/A2 = σ2 Změna zatížení i průřezu:

A2

A1

F2

F2

F1

Průběh vnitřní síly N(x) je jednoznačně dán. Průběh napětí σ(x) ale záleží na konkrétních poměrech F1 a F2 a poměrech A1 a A2. Ideální je stav, kdy přírůstek síly je stejný jako přírůstek plochy, tedy:

⇒

σ(x)

F2

V tom případě bude po celé délce prutu konstantní napětí σ(x) = konst. F1 Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



13

PŘETVOŘENÍ (deformace) PŘI TAHU/TLAKU: před po

TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (běžná konstrukční ocel)




14

TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (litina)

TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (slitinové oceli)




15

HOOKŮV ZÁKON (popis lineární části tahového diagramu)

E ... MODUL PRUŽNOSTI – zavedl později Thomas Young (někdy nazýván Youngův modul)

TABULKA (HODNOTY MODULU PRUŽNOSTI OCELI 17 021): Teplota T [°C] -2

Modul pružnosti E [N⋅mm ]

T

20

150

300

500

2,1⋅105

2,0⋅105

1,9⋅105

1,7⋅105

DEFORMACE – VYUŽITÍ HOOKOVA ZÁKONA

PODDAJNOST (deformace vyvolaná silou 1 N)

TUHOST (síla způsobující deformaci 1 mm)

Deformace vyvolaná změnou teploty (lineární teplotní roztažnost)




16

POISSONOVO ČÍSLO:

Součinitel příčného zúžení – POISSONOVO ČÍSLO ZÁKLADNÍ ELASTICKÉ CHARAKTERISTIKY KAŽDÉHO MATERIÁLU:

O

ODVOZENÍ: POMĚRNÁ ZMĚNA OBJEMU (při tahu/tlaku):

Θ [1]

Jednoosá napjatost (platí Hookův zákon a Poissonův vztah):

K … modul objemové pružnosti [N⋅mm–2] Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



17

ODVOZENÍ:

O

DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI TAHU/TLAKU

Hustota deformační energie (dříve měrná deformační energie)




18

ZÁKON O SUPERPOZICI NAPĚTÍ A POSUVŮ: Superpozice napětí:

Superpozice posuvů (přetvoření) σ

ε

PROMĚNNÝ PRŮŘEZ:




19

PODMÍNKA PEVNOSTI A PODMÍNKA TUHOSTI

Pevnostní podmínka:

TABULKA (VYBRANÉ HODNOTY BEZPEČNOSTI DLE NOREM): Součást Díl Materiál Bezpečnost kK Bezpečnost kP

Tlakové nádoby válcový plášť kulové dno ocel dural ocel

1,6 2,6

4,0

1,5 2,4

T

dural

Elektrický výtah lano ocel

3,5

(podle uspořádání)

8 ÷ 26

Tuhostní podmínka:

ODVOZENÍ:

O

CASTIGLIANOVA VĚTA

ODVOZENÍ:

O

MOHRŮV INTEGRÁL PRO TAH/TLAK




20

PŘÍKLAD 1.1 (napětí a deformace prutu od síly): 4

P

5

–2

Dáno: a = 10 mm; l = 1 m; F = 1⋅10 N; E = 2⋅10 N⋅mm Určit: σ(x); u(x); u ; u (bod leží ve 3/5 délky l od dolního kraje) N(x)

σ(x)

ε(x)

u(x) u(l) =0

x

2 F ⋅l u (3 ⋅ l 5) = − ⋅ 5 E⋅A F u ( x) = ⋅ ( x − l) E⋅A

F F

F A

F E⋅A

u ( 0) = −

F ⋅l E⋅A

x

Metoda řezu: Odřízneme část prutu v místě x a odstraněnou část nahradíme vnitřní silou N(x). Musí platit princip statické rovnováhy: Je-li v rovnováze těleso jako celek, musí být v rovnováze každá jeho odříznutá část. Tuto rovnováhu zaručuje právě náhradní vnitřní účinek v místě řezu. Statická rovnice rovnováhy bude mít tvar: N(x) ∑x: F – N(x) = 0 ⇒ N(x) = F = konst. ⇒ N(3⋅l/5) = F a N(l) = F = R . Napětí vyjádříme ze známého vztahu jako podíl síly ku ploše, na kterou působí: N ( x) F σ ( x) = = = konst. A( x) A Deformaci (prodloužení) vyjádříme za pomoci Hookova zákona: F σ ( x) F ε ( x) = = = konst. E E⋅A Posunutí obecného bodu vyjádříme pomocí integrálu deformace: F F du = ε ( x) ⋅ dx ⇒ u ( x) = ∫ ε ( x) ⋅ dx = ∫ ⋅ dx = ⋅x+C. E⋅A E⋅A Velikost integrační konstanty C určíme z okrajové podmínky (ve vetknutí se prut neprodlouží): F F ⋅l u (l ) = 0 ⇒ 0 = ⋅l + C ⇒ C = − . E⋅A E⋅A Výsledná rovnice posuvu bude mít tvar: F F ⋅l u ( 0) = ⋅ (0 − l ) = − E⋅A E⋅A F F  3⋅ l  2 F ⋅l u ( x) = ⋅ ( x − l) ⇒ u (3 ⋅ l 5) = ⋅ − l = − ⋅ E⋅A E⋅A  5 5 E⋅A  F u (l ) = ⋅ (l − l) = 0 E⋅A Výsledek u (0) < 0 resp. u (3 ⋅ l 5) < 0 znamená, že výsledná deformace je proti kladnému směru souřadnice x. Prodloužení prutu pak můžeme vyjádřit jako: ∆l = u (0) =


F ⋅l . E⋅A Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


21

PŘÍKLAD 1.2 (vliv vlastní tíhy):

P

Dáno: A; l; E; ρ Určit: N(x); σ(x); ε(x); u(x) a ∆l

B

x

l

V tomto případě si ukážeme oba přístupy – metodou řezu i metodou přes diferenciál objemu: 1. METODA ŘEZU: ∑x: G(x) – N(x) = 0 ⇒ N(x) = G(x) = ρ⋅g⋅V(x) = ρ⋅g⋅A⋅x

Odkud vyplývá že: N(l) = ρ⋅A⋅l = ρ⋅g⋅V = m⋅g = RB. N ( x) ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ x Dále bude: σ ( x) = = = ρ ⋅ g ⋅ x ⇒ σ max = σ (l) = ρ ⋅ g ⋅ l . A( x) A Z Hookova zákona platí: ε ( x) =

σ ( x)

=

ρ⋅g⋅x

⇒ u ( x) = ∫

ρ⋅g⋅x

⋅ dx =

ρ ⋅ g ⋅ x2

E E E Integrační konstantu C určíme opět z okrajové podmínky pro vetknutí: ρ ⋅ g ⋅ l2 ρ ⋅ g ⋅ l2 u (l ) = 0 ⇒ 0 = . +C ⇒ C = − 2⋅ E 2⋅ E Výsledný průběh deformace u(x) bude mít tvar: u ( x) =

ρ⋅g 2⋅ E

(

⋅ x2 − l2

)

u (0) =

⇒

ρ⋅g

( )

⋅ − l2 = −

+C .

ρ ⋅ g ⋅ l2

2⋅ E 2⋅ E ρ⋅g 2 2 u (l ) = ⋅ l −l = 0 2⋅ E

(

2⋅ E

)

.

Znaménko „–“ ve výsledku opět znamená, že deformace jde proti zvolenému smyslu x. 2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice): V obecném místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element o délce dx. Předpokládáme proměnné napětí σ, a proto v místě x působí napětí σ(x) B kdežto v místě (x + dx) působí již napětí σ(x) + dσ. I tento element musí být ve stavu statické rovnováhy, a tak musí platit: x dx

l

∑y: N H − N D − dG = 0 ,

σ(x) + dσ

NH

kde: N H = [σ ( x) + dσ ] ⋅ A , N D = σ ( x) ⋅ A a dG = ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dx . Výsledná rovnice rovnováhy po dosazení bude:

[σ ( x) + dσ ]⋅ A − σ ( x) ⋅ A − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dx = 0

⇒

dσ = ρ ⋅ g ⋅ dx .

dx

To je obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, kterou můžeme řešit integrací levé a pravé strany při dodržení okrajové podmínky: σ ( x) = ρ ⋅ g ⋅ x + C1 . dG

σ(x)

ND

A výsledný tvar bude:

Okrajová podmínka musí zaručit, že na volném nezatíženém konci není prut namáhán: σ (0) = 0 . Odtud vychází: 0 = 0 + C1 ⇒ C1 = 0 .

σ ( x) = ρ ⋅ g ⋅ x .

Další postup je stejný jako v případě použití metody řezu: Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



22

∅d

Dáno: D1; D2 l; E; F Určit: N(x); σ(x) a ε(x)

F

F

P ∅D

PŘÍKLAD 1.3 (prut proměnného průřezu):

l

1. METODA ŘEZU:

∅D

∅d(x)

∅d

V tomto případě je výhodné dopočítat vzdálenost vrcholu kužele V: a a+l d ⋅l x = ⇒ a= . d D D−d V F Souřadnici x pak budeme vyjadřovat od vrcholu V: F x ∈< a ; a + l > .

Proměnný průřez d(x) pak můžeme vyjádřit jako: π ⋅ d ( x) 2 π ⋅ d 2 2 d a d ( x) = ⋅ x ⇒ A( x) = = ⋅x . l 4 a 4 ⋅ a2 Metodou řezu určíme velikost vnitřní síly v místě popsaném souřadnicí x: x Σx: N(x) – F = 0 ⇒ N(x) = F Napětí v obecném řezu pak bude: V

N(x)

F

σ ( x) =

N ( x) F K = = 2. 2 A( x) π ⋅ d x ⋅ x2 2 4⋅a

Napětí má tvar polytropy (x → 0 ⇒ σ(0) → ∞ a x → ∞ ⇒ σ(∞) → 0). 4⋅ F 4⋅ F Krajní hodnoty jsou: σ (a ) = a σ (a + l) = 2 π⋅d π ⋅ D2 Deformaci tohoto komolého kužele pak určíme pomocí σ ( x) Hookova zákona: ε ( x) = . E K 1 4 ⋅ F ⋅ a2 ε ( x) = ⋅ 2 , kde konstanta K bude: K = . E x π⋅d2

F

F

σ(a) a+l

K Celkové prodloužení ∆l musíme určit pomocí integrálu: ∆l = ∫ ε ( x) ⋅ dx = ⋅ E a

a +l

∫ a

σ(a+l) dx K  1 1  = ⋅ − . 2 E a a + l x

2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice): x

dx F

F

σ(x)+dσ

σ(x) NL(x)

A(x)

NP(x)

dx


A(x) + dA

V místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element délky dx. Na tento element připojíme působící účinky (jen napětí σ). Pro sestavení silové rovnováhy do směru x vyjádříme jednotlivé silové účinky vyvolané napětím: N L ( x) = σ ( x) ⋅ A( x) a N P ( x) = [σ ( x) + dσ ]⋅ [ A( x) + dA] . Z rovnice rovnováhy musí platit: NL(x) = NP(x). Po dosazení dostáváme: σ ( x) ⋅ A( x) = σ ( x) ⋅ A( x) + dσ ⋅ A( x) + σ ( x) ⋅ dA + d1σ2 ⋅ dA 3 ≈0

Odkud již vychází: dσ ⋅ A( x) + σ ( x) ⋅ dA = d (σ ( x) ⋅ A( x) ) = 0 . Z této rovnice dostáváme: σ ( x) ⋅ A( x) = N ( x) = C = konst. . Současně víme, že N(x) = F po celé délce prutu a odtud vychází: C F K C = F ⇒ σ ( x) = = = ... = 2 (shodné s met. řezu). 2 A( x) π ⋅ d x ⋅ x2 2 4⋅a Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


23

PŘÍKLAD 1.4 (setrvačné účinky – rotující kroužek):

P

Dáno: rs; t; b; ρ; A; E; ω Určit: σ a ∆rs

T t

σ

ω

dα

dα rs

T

dα

dO

σ

T dO

b

T Z rotujícího prstence vyjmeme diferenciální element, který má objem: dV = rs ⋅ dα ⋅ t ⋅ b . Na tento element působí elementární objemová setrvačná (odstředivá) síla: dO = dm ⋅ rs ⋅ ω 2 = ρ ⋅ dV ⋅ rs ⋅ ω 2 = ρ ⋅ t ⋅ b ⋅ rs2 ⋅ ω 2 ⋅ dα

Na samotný element kromě toho působí reálné síly T ve směru tečny ke střednici (rs) jako důsledek vznikajícího napětí v prstenci za rotace: T = σ ⋅ Apř . = σ ⋅ b ⋅ t . Pomocí silového obrazce sestavíme rovnici rovnováhy: T ⋅ dα = dO , do které dosadíme předchozí vztahy: (σ ⋅ b ⋅ t ) ⋅ dα = ρ ⋅ t ⋅ b ⋅ rs2 ⋅ ω 2 ⋅ dα Protože dα je diferenciál úhlu „nekonečně malý avšak nenulový“, můžeme ho na obou stranách zkrátit a dostáváme po úpravě hledaný vztah pro napětí: σ = ρ ⋅ rs2 ⋅ ω 2 . Pro výpočet změny poloměru ∆rs použijeme Hookův zákon: ε =

σ

. E ∆o 2 ⋅ π ⋅ (rs + ∆rs ) − 2 ⋅ π ⋅ rs ∆rs Současně odvodíme deformaci pomocí změny obvodu: ε = = = . o 2 ⋅ π ⋅ rs rs Odtud dostáváme: ∆rs = rs ⋅ ε a po dosazení: ∆rs = rs ⋅

σ

E

=

ρ

E

⋅ rs3 ⋅ ω 2

PŘÍKLAD 1.5 (setrvačné účinky - rotující rameno stálého průřω ezu A): Dáno: r1; r2 ρ; A; E; ω Určit: σ(x) a ∆r2

r1

1. METODA ŘEZU:

ω

x

r2 – x O(x)

N(x) x (r2 + x)/2

Vnitřní síla je: N ( x) =

ρ ⋅ A ⋅ ω2


A

2

r2 Metodou řezu oddělíme v místě x část ramene o délce: l(x) = (r2 – x). Tato odříznutá část bude mít těžiště vzdálené od osy rotace: xT = (r2 + x)/2. Odstředivá síla působící na odříznutou část bude: r +x 2 O( x) = m( x) ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ V ( x) ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A ⋅ (r2 − x) ⋅ 2 ⋅ω . 2 ρ ⋅ A ⋅ω2 2 2 Po úpravě je působící odstředivá síla: O( x) = ⋅ (r2 − x ) . 2 N(x) = O(x). Z rovnováhy vychází: Σx: N(x) – O(x) = 0 ⇒

N ( x) ρ ⋅ ω 2 2 2 ⋅ (r − x ) ⇒ napětí v rameni bude: σ ( x) = = ⋅ (r2 − x ) . A 2 2 2

2


P


24

Změnu vnějšího poloměru určíme pomocí Hookova zákona integrací po celé délce ramene: r2

r2

∆r2 = ∫ ε ( x) ⋅ dx = ∫ r1

σ ( x)

r1

E

⋅ dx =

ρ ⋅ω2 2⋅ E

r2

⋅ ∫ (r22 − x 2 ) ⋅ dx = r1

ρ ⋅ω2 6⋅ E

(

)

⋅ r13 − 3 ⋅ r1 ⋅ r22 + 2r23 .

2. METODA DIFERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice):

ω

x

σ(x)

σ(x)+dσ NP(x)

NL(x)

x

V místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element délky dx. Na tento element připojíme působící účinky (napětí a odstř. síla). Pro sestavení silové rovnováhy do x vyjádříme jednotlivé účinky od napětí: N L ( x) = σ ( x) ⋅ A a N P ( x) = [σ ( x) + dσ ]⋅ A a následně odstředivou sílu (xT = x + dx/2 ≈ x): dO = dm ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ dV ⋅ x ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A ⋅ x ⋅ dx ⋅ ω 2 .

dx

Z rovnice rovnováhy musí platit: Σx: NL(x) – NP(x) – dO = 0 . Po dosazení dostáváme: σ ( x) ⋅ A − σ ( x) ⋅ A − dσ ⋅ A − ρ ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ x ⋅ dx = 0

dO

dx

Odkud již vychází:

dσ = −

ρ ⋅ A ⋅ω 2

⋅ x ⋅ dx = − ρ ⋅ ω 2 ⋅ x ⋅ dx .

A Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu se separovanými proměnnými, kterou řešíme integrací: x2 σ ( x) = − ρ ⋅ ω 2 ⋅ + C . 2 Konstantu C určíme z okrajové podmínky na volném konci lopatky: σ(r2) = 0 odkud dostáváme: r2 r2 x2 r 2 ρ ⋅ω2 2 0 = − ρ ⋅ ω 2 ⋅ 2 + C ⇒ C = ρ ⋅ ω 2 ⋅ 2 ⇒ σ ( x) = − ρ ⋅ ω 2 ⋅ + ρ ⋅ ω 2 ⋅ 2 = ⋅ r2 − x 2 . 2 2 2 2 2 2 ρ ⋅ω Průběh napětí je parabola 2° s maximem v připojení (x = r1): σ max = σ (r1 ) = ⋅ r22 − r12 . 2

(

(

)

)

ω

σmax

σ(r2) = 0 2°

PŘÍKLAD 1.6 (I-profil – pevnostní a tuhostní podmínka):

P

Dáno: F1 = 4⋅104 N; F2 = 7⋅104 N; l1 = 300 mm; l2 = 100 mm; materiál: ocel 11 370 (E ≈ 2⋅105 N⋅mm–2; σPt = 370 N⋅mm–2 a σKt = 200 N⋅mm–2); kKmin = 1,5 a ∆lD = 0,2 mm (vlastní tíhu tyče neuvažujte!). Určit: Navrhněte vhodný normalizovaný I-profil, který vyhoví pevnostní i tuhostní podmínce. Prut rozdělíme na dvě části: I: x ∈ <0 ; l1> NI(x) = F1 = 4⋅104 N = konst. II:

x ∈ NII(x) = F1 + F2= 11⋅104 N = konst.

Nejprve určíme průřez pomocí pevnostní podmínky: σ max ≤ σ D ⇒ σ max ≤


F1 + F2

σ Kt k K min

F2

F1

F2

F1



25

σ σ k N max N II ⋅N 1,5 ⋅ 11 ⋅104 ≤ Kt ⇒ ≤ Kt ⇒ Aσ ≥ K min II = = 825 mm2 . Aσ k K min Aσ k K min σ Kt 200 Dále určíme potřebný průřez z tuhostní podmínky: ∆l celk . ≤ ∆l D ⇒ ∆l1 + ∆l 2 ≤ ∆l D N I ⋅ l 1 N II ⋅ l 2 + ≤ ∆l D E ⋅ A∆ E ⋅ A∆

A∆ ≥

⇒

N I ⋅ l 1 + N II ⋅ l 2 4 ⋅ 10 4 ⋅ 300 + 11 ⋅ 10 4 ⋅ 100 = = 575 mm 2 . 5 E ⋅ ∆l D 2 ⋅ 10 ⋅ 0,2

Aby byly současně splněny obě podmínky, musí platit:

AI D ≥ max( Aσ ; A∆ ) = max(825 ; 575) = 825 mm 2 ⇒ volíme profil I100 (AI100 = 1 060 mm2). Poznámka: Profil I80 by vyhověl tuhostní podmínce, ale nevyhověl by pevnostní podmínce, protože AI80 = 757 mm2

PŘÍKLAD 1.7 (prut stálé pevnosti - stanovení proměnného průřezu prutu):

P

Dáno: l; ρ; E; σD; g Určit: A(x) a ∆l

l

σD dx

σD

V tomto případě nelze použít metodu řezu, ale celou úlohu musíme řešit přes diferenciální rovnici. V místě x vyjmeme element dx, který má při zanedbání veličin vyšších řádů (dA⋅dx ≈ 0) elementární objem: dV = A( x) ⋅ dx . dx Nyní sestavíme podle obrázku rovnici rovnováhy elementu do svislého směru: N H ( x) − N D ( x) − dG = 0 . x Jednotlivé členy jsou: N H ( x) = σ D ⋅ [A( x) + dA] ; N D ( x) = σ D ⋅ A( x) a dG = ρ ⋅ g ⋅ dV = ρ ⋅ g ⋅ A( x) ⋅ dx Fo Po dosazení do rovnice rovnováhy dostáváme diferenciální rovnici 1. řádu: NH(x) σ D ⋅ [ A( x) + dA] − σ D ⋅ A( x) − ρ ⋅ g ⋅ A( x) ⋅ dx = 0 A(x) + dA odkud dostáváme: σ D ⋅ A( x) + σ D ⋅ dA − σ D ⋅ A( x) − ρ ⋅ g ⋅ A( x) ⋅ dx = 0 Po separaci proměnných dostáváme rovnici: dG dA ρ⋅g = ⋅ dx , A( x) σ D A(x) kterou můžeme řešit neurčitou integrací levé a pravé strany: ρ⋅g ND(x) ln A( x) = ⋅x+C ,

σD

kde C je integrační konstanta. Nejprve se ale zbavíme na levé straně logaritmu tím, že budeme celou rovnici „exponovat“: ρ⋅g

ρ⋅g

⋅ x +C

⋅x

ρ ⋅g

⋅x

e =e ⇒ A( x) = e ⋅ e = K ⋅e E . Nyní pro stanovení neznámé konstanty K použijeme okrajovou podmínku: F F σ (0) = o = σ D , odkud bude: A(0) = o a po dosazení do původní rovnice dostaneme: σD A(0) ln A ( x )

A(0) = K ⋅ e 0 = K , tedy K =

E

Fo

σD

C

E

A( x) =

a hledaná funkce průřezu tak bude:

Fo

σD

⋅e

ρ ⋅g E

⋅x

Výpočet prodloužení prutu je jednoduchý, protože po celé délce působí konstantní napětí σD: l

l

∆l = ∫ ε ( x) ⋅ dx = ∫ 0


0

σ ( x) E

⋅ dx =

σD E

l

⋅ ∫ dx = 0

σD E

⋅l



26

PŘÍKLAD 1.8 (rotující rameno stálé pevnosti – stanovení proměnného průřezu ramene):

P

Dáno: r1; r2 ρ; A; E; ω ; σD; m (např. hmotnost bandáže lopatkového věnce) Určit: A(x) tak, aby σ(x) = σD = konst.

ω

dx

Nyní je výhodné zavádět souřadnici x od vnějšího konce lopatky. V místě popsaném souřadnicí x vyjmeme element délky dx. Na tento element připojíme působící účinky (napětí a odstř. síla). Pro sestavení silové rovnováhy do x vyjádříme jednotlivé účinky od napětí: N P ( x) = σ D ⋅ A( x) a N L ( x) = σ D ⋅ [ A( x) + dA] a následně odstředivou sílu (xT = () + dx/2 ≈ r2 – x): dO = dm ⋅ xT ⋅ ω 2 = ρ ⋅ dV ⋅ (r2 − x ) ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ (r2 − x ) ⋅ ω 2 .

x

m

σD

σD NP(x)

Z rovnice rovnováhy musí platit: Σx: NP(x) – NL(x) + dO = 0 . Po dosazení dostáváme: σ D ⋅ A( x) − σ D ⋅ A( x) − σ D ⋅ dA + ρ ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ (r2 − x ) ⋅ dx = 0 dO dx r2 – x dA Odkud již vychází: = − ρ ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ (r2 − x ) ⋅ dx . A Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu se separovanými proměnnými, kterou řešíme integrací:  x2  ln A( x) = − ρ ⋅ ω 2 ⋅  r2 ⋅ x −  + C . 2  NL(x)

e

= A( x) = e

−

ρ ⋅ω 2

(

)

⋅ 2⋅r2 ⋅ x − x 2 + C

−

ρ ⋅ω 2

(

⋅ 2⋅r2 ⋅ x − x 2

)

−

ρ ⋅ω 2

(

⋅ 2⋅r2 ⋅ x − x 2

= e ⋅e = K ⋅e 2 m m Konstantu K určíme z okrajové podmínky na konci lopatky: σ (0) = = σ D ⇒ A(0) = A(0) σD

Celou rovnici „exponujeme“:

ln A( x )

odkud dostáváme: A(0) = K ⋅ e = K =

m

0

σD

⇒

2

A( x) =

C

m

σD

⋅e

−

ρ ⋅ω 2 2

2

(

⋅ 2⋅r2 ⋅ x − x 2

)

)

Průřez lopatky stálé pevnosti by měl být exponenciální funkcí. Poznámka: Některé úlohy tahu a tlaku lze řešit snadno, některé obtížněji a některé přímo řešit nejde! 1. prut bez uvažování vlastní tíhy zatížený na konci osamělou silou Řešitelné

Řešitelné

Neřešitelné!!!

A2

x

x

x

l

A2

F

A0

σ ( x) =

F = konst. A0

F

A1

σ ( x) = x = 0: x = l:

∆l =

F ⋅l E ⋅ A0


l

∆l = ∫ 0

F A( x )

F A1 F σ (l ) = A2

σ ( 0) =

F ⋅ dx E ⋅ A( x)

→∞

A1 → 0

F

σ ( x) =

F A( x )

x → 0: σ(0) → ∞ x = l:

σ (l ) =

F A2

∆l → ∞ Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


27

2. prut s uvažováním vlastní tíhy bez zatížení osamělou silou Řešitelné

Řešitelné

A2

ρ

x

x

ρ

A1 → 0

A0 G ( x) ρ ⋅ g ⋅ A0 ⋅ x σ ( x) = = = ρ⋅g⋅x A0 A0

G ( x) σ ( x) = = A( x )

σ max = σ (l) = ρ ⋅ g ⋅ l l

∆l = ∫

ρ⋅g⋅x

0

E

⋅ dx =

σ max

ρ ⋅ g ⋅ l2

1 1 3 = ⋅ρ⋅g⋅x A( x) 3 1 = σ (l ) = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ l 3

ρ ⋅ g ⋅ ⋅ A( x) ⋅ x

l 1 ρ⋅g⋅x ρ ⋅ g ⋅ l2 . ∆l = ∫ ⋅ ⋅ dx = 3 E 6⋅ E 0

2⋅ E

MATEMATICKÉ ÚPRAVY – ZJEDNODUŠENÍ ODVOZENÝCH VZTAHŮ Nyní si ještě ukážeme „vhodnou“ úpravu vzorců pro prodloužení od vlastní tíhy:

A0 l

ρ

∆l =

A0

l/2

ρ=0

=

GV ∆l =

A0

ρ

l

A0

l/2

ρ=0

=

ρ ⋅ g ⋅ l2 2⋅ E

=

ρ ⋅ g ⋅ l ⋅ A0 ⋅ E ⋅ A0

l 2=

.

l l GV ⋅ 2 = 2 E ⋅ A0 E ⋅ A0

ρ ⋅ g ⋅VV ⋅

ρ ⋅ g ⋅ l2 6⋅ E

=

1 3 E ⋅ A0

ρ ⋅ g ⋅ l ⋅ ⋅ A0 ⋅

l 2 =

.

l l GK ⋅ 2= 2 E ⋅ A0 E ⋅ A0

ρ ⋅ g ⋅ VK ⋅

GK

Jediný rozdíl tedy je ve velikosti tíhové síly, kterou umístíme na válec poloviční délky: 1 1 Tíhová síla původního válce je GV = ρ ⋅ g ⋅ A0 a původního kužele je: G K = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ A0 = ⋅ GV . 3 3




28

PŘÍKLAD 1.9 (deformační energie):

P

l2

Určit: Celkovou deformační energii U akumulovanou v tyči.

l1

Dáno: F1; F2; l1; l2; A a E (vlastní tíhu tyče neuvažujte!) Řešení: Při výpočtu použijeme předchozí výpočty: Součást rozdělíme na dvě pole: 1: x1∈<0 ; l1>

x1

x2

F2

N1(x) = F1

F1

2: x2∈<0 ; l1 + l2> N2(x) = F1 + F2 Deformační energie akumulovaná v části

od síly F1 řešeného prutu bude:

U1 = A deformační energie akumulovaná v části

1 N12 l 1 1 F12 l 1 ⋅ = ⋅ . 2 E ⋅ A1 2 E ⋅ A od sil F1 a F2 řešeného prutu bude:

1 N 22 l 2 1 (F1 + F2 ) ⋅ l 2 ⋅ = ⋅ . 2 E ⋅ A2 2 E⋅A 2

U2 =

Celkovou energii soustavy U určíme jako součet energií všech (dvou) částí: 1 F 2l 1 (F + F2 ) ⋅ l 2 1 U = U1 + U 2 = ⋅ 1 1 + ⋅ 1 = ⋅ F12 ⋅ (l1 + l 2 ) + F22 ⋅ l 2 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ l 2 . 2 E⋅A 2 E⋅A 2⋅ E ⋅ A

[

2

]

PŘÍKLAD 1.10 (deformační energie):

P

Dáno: rotující rameno r1; r2; ρ; A a E

ω

Určit: Celkovou deformační energii U akumulovanou v rotujícím rameni. N(x)

r1

Řešení: Opět použijeme vztah pro výpočet vnitřní síly v rotujícím rameni: r2

N ( x) = O ( x ) =

ρ ⋅ω2 2

(

)

⋅ b ⋅ h ⋅ r22 − x 2 .

Celkovou deformační energii akumulovanou v rotujícím rameni U dostaneme jako integrál po celé jeho délce l, tedy v intervalu (r1 ÷ r2): 2

 ρ ⋅ω 2  ⋅ b ⋅ h ⋅ r22 − x 2  2 r2  r 2 1 N ( x) 1  2 b ⋅ h 2  ρ ⋅ω 2 2  2  U= ⋅∫ ⋅ dx = ⋅ ∫ ⋅ dx = ⋅ ⋅ r2 − x  ⋅ dx = ... . 2 ( l ) E ⋅ A( x) 2 r1 E ⋅b⋅ h 2 ⋅ E ∫r1  2 

(


)

(

)



29

PŘÍKLAD 1.11 (využití deformační energie k řešení dynamických účinků):

P

Dáno: l; h; E; A. Určit: Napětí v tyči v okamžiku dopadu závaží

∆lDYN

h

l

Řešení: K řešení využijeme zákon zachování energie. Veškerá potenciální energie, kterou mělo závaží na počátku děje WP se v okamžiku dopadu beze zbytku změní na energii deformační UDYN (kinetická energie při pádu není pro výpočet důležitá, stačí porovnat počátek a konec děje). WP = m ⋅ g ⋅ (h + ∆l DYN ) = m ⋅ g ⋅ h + m ⋅ g ⋅ l ⋅ ε DYN 1 1 U DYN = σ DYN ⋅ ε DYN ⋅ V = σ DYN ⋅ ε DYN ⋅ A ⋅ l 2 2 Předpokládáme, že platí Hookův zákon): σ DYN = E ⋅ ε DYN

Po dosazení dostáváme rovnici: m ⋅ g ⋅ h + m ⋅ g ⋅ l ⋅

WP

σ DYN

2 1 σ DYN = ⋅ A⋅l 2 E

E Jedná se o kvadratickou rovnici, která má řešení: m⋅ g m⋅ g h 2 σ DYN − 2⋅ ⋅ σ DYN − 2 ⋅ ⋅ ⋅E =0 A A l

P K

m⋅ g m⋅ g  m⋅ g ⋅h  ± − 2⋅ ⋅E  − 4⋅2⋅ A A  A l  2 2

D

2⋅

UDYN

σ DYN 1, 2 =

m⋅g = σ STAT jako statické napětí (působení vlastní tíhy závaží na prut), dostáváme: A h 2 = σ STAT ± (σ STAT ) − 2 ⋅ σ STAT ⋅ ⋅ E , má smysl jen znaménko „+“ (kladné výsledné napětí σDYN). l

Pokud označíme

σ DYN 1,2

Poznámka: Při uvažování dynamického účinku pro pád „z nulové výšky“ ( h = 0) vychází: σ DYN = σ STAT ± (σ STAT )2 = 2 ⋅ σ STAT min

.

PŘÍKLAD 1.12 (využití Castiglianovy věty k řešení deformace prutové soustavy): Dáno: prutová soustava (pruty

a

), h, α, F a E⋅A = konst.

h

Určit: Vodorovný a svislý posuv styčníku B: uB a vB. B F N2

Řešení: Nejprve popíšeme geometrii soustavy (určíme délky prutů): h h l1 = a l2 = . tan α sin α Pomocí statických rovnic určíme síly v prutech: F F N1 = − a N2 = + . tan α sin α

F N1

Energie akumulovaná v soustavě tedy bude: Po dosazení dostáváme:

U celk .

U celk .

1 N12 ⋅ l 1 1 N 22 ⋅ l 2 = U1 + U 2 = ⋅ + ⋅ . 2 E1 ⋅ A1 2 E2 ⋅ A2

2 1 F ⋅h  1 1  = ⋅ ⋅ 3 + 2 E ⋅ A  tan α sin 3 α 

*



P


30

Pokud chceme určit svislý posuv bodu B vB použijeme přímo Castiglianovu větu:

vB =

B´

vB

B

∂U celk . F ⋅ h  1 1  = ⋅ 3 + ∂F E ⋅ A  tan α sin 3 α 

Pro výpočet vodorovného posuvu uB stačí použít geometrický vztah, protože u B = ∆l 1 (podle předpokladu „malých“ deformací lze změnu úhlu zanedbat, a tak průběhy prutů před a po deformaci soustavy lze uvažovat rovnoběžné).

uB =

uB

N1 ⋅ l 1 F ⋅ h 1 = ⋅ E1 ⋅ A1 E ⋅ A tan 2 α

Možnost využití metody fiktivní síly: Pokud bychom chtěli i při výpočtu vodorovné deformace použít Castiglianovu větu, musíme si k soustavě připojit fiktivní sílu F, kterou ve výsledku položíme rovnou nule.  ∂U  u B =  celk .  F  ∂F F →0 F Nejprve musíme nově určit síly v prutech pro zatížení silami F a F: F F N1 = − N2 = + −F a . tan α sin α 1 N12 ⋅ l 1 1 N 22 ⋅ l 2 Energie akumulovaná v soustavě tedy opět bude: U celk . = U1 + U 2 = ⋅ + ⋅ . 2 E1 ⋅ A1 2 E2 ⋅ A2 Po dosazení ale dostáváme složitější vztah: Ucelk. = f(F2; F2; F⋅F) 2  F   −F   − 2  F  1 h  F2 h F ⋅F F2 F2  tanα    U celk. = ⋅ + 3 = ⋅ ⋅ + 2⋅ 2 + + . 2⋅ E ⋅ A  tanα sin α  2 E ⋅ A  tan3 α tan α tanα sin3 α     

∂U celk. h F 2⋅ F   = ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + +0 ∂F 2⋅ E ⋅ A  tan α tanα 

⇒

F ⋅h 1  ∂U  uB =  celk.  =+ ⋅ 2 . E ⋅ A tan α  ∂F F →0

Poznámka: Znaménko „+“ (plus) ve výsledku znamená, že výsledná deformace uB bude mít shodný smysl se zvoleným směrem fiktivní síly F.

I s pevností si člověk užije – ulomit se může všechno. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



31

STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY – TAH/TLAK staticky určité: Úlohy staticky neurčité: Statická neurčitost:

Prutové konstrukce (viz mechanika/statika):

i = 2 ⋅ κ − (n + 2 ⋅ p + h )

κ ... n ... p ... h ... i>0 i=0 i<0

úloha má i-stupňů volnosti ⇒ jedná se o mechanizmus (neřešíme!!!) úloha nemá žádný stupeň volnosti ⇒ jedná se o staticky určitou úlohu (SUÚ) a k jejímu řešení stačí statické rovnice rovnováhy součásti je odebíráno více stupňů volnosti než sama má ⇒ jedná se i-krát staticky neurčitou úlohu (SNÚ), kde se vyskytuje o i více neznámých než je nezávislých statických rovnic rovnováhy

1. SILOVÁ METODA Obecný postup řešení: 0. rozhodnutí

1. uvolnění

2. nahrazení

3. doplnění

4. řešení




32

Postup řešení staticky neurčité úlohy (tah/tlak): Dáno: prut (část a část ), a, b, l, F a E⋅A = konst. (obě vetknutí jsou dokonale tuhá) Určit: Reakce ve vetknutích B a C: RB a RC.

UVOLNĚNÍ

NAHRAZENÍ

DOPLNĚNÍ

Fyzikální rovnice = Hookův zákon

Statická rovnice:

2. CASTIGLIANOVA VĚTA (Méneabréova věta):

Má-li být funkce MINIMEM, musí být druhá derivace KLADNÁ

q.e.d.*) *)

Zkratka z latiny pro quod erat demonstrandum, což v překladu znamená „což bylo dokázati“ a česká zkratka c.b.d.




33

TABULKA (VOLBA ZNAMÉNEK VE FYZIKÁLNÍ ROVNICI ± ∆l = ± EF ⋅⋅ Al ): připojená síla F předpokládaná deformace ∆l PRODLOUŽENÍ ZKRÁCENÍ

T

TLAK „− −“

TAH „+“

„+“ „− −“

Zahrnutí vlivu teploty:

P

PŘÍKLAD 1.13 (staticky neurčitý tah/tlak s vlivem teploty):

Dáno: l, β, ∆t, α, E⋅A = konst. (všechny tři pruty jsou vyrobeny ze stejného polotovaru). Určit: Síly v prutech N1, N2 a N3.

C

C

≡

C

C´




34

PŘÍKLAD 1.14 (staticky neurčitý tah/tlak s vlivem teploty):

P

Dáno: l1, l2, D1, D2 ∆t, α, E = konst. (obě části jsou vyrobeny ze stejného materiálu). Určit: Napětí v jednotlivých částech prutu σ1 a σ2.

UVOLNĚNÍ

NAHRAZENÍ

DOPLNĚNÍ


P

PŘÍKLAD 1.15 (staticky neurčitý tah/tlak): Dáno: l, a, ∆t, α, E⋅A = konst. (všechny pruty jsou vyrobeny ze stejného polotovaru). Určit: Síly v jednotlivých prutech N1, N2 a N3.




35


MONTÁŽNÍ VŮLE m:

P

PŘÍKLAD 1.16 (staticky neurčitý tah/tlak s vůlí): Dáno:a, b, m (m << a, b), F a E⋅A = konst. (vetknutí jsou dokonale tuhá) Určit: Provést diskusi a reakce ve vetknutích B a C: RB a RC. Diskuse: 1) 2) 3) UVOLNĚNÍ

NAHRAZENÍ

DOPLNĚNÍ


Kontrola výsledků (diskuse na závěr):




36

2. NAPĚTÍ A PŘETVOŘENÍ

h

h

Lepení je dnes považováno za velice moderní, progresivní a relativně levnou metodu spojování strojních součástí. Porovnejte únosnosti čtyř lepených spojů kovových součástí obdélníkového průřezu o rozměrech b×h = 40 × 20 mm. K−Akryl 32 βI = 90° Ve variantě I se jedná o lepení „na tupo“ pod úhlem βI = 90°, ve variantě II svírají lepené plochy s vodorovnou I F F osou úhel βII = 45°, ve variantě III svírají lepené plochy K−Akryl 32 s vodorovnou osou úhel βIII = 15° a ve variantě IV je spoj βII = 45° přesazen na délce a = 100 mm. Spoj je vždy zatížen II F F vodorovnými silami F, které působí v ose součásti. K−Akryl 32

h

βIII = 15°

F

F K−Akryl 32

h

Použité lepidlo K-Akryl 32 je metylkyanoakrylát vytvrzovaný vzdušnou vlhkostí, který má mani-pulační pevnost po necelé minutě a po 12 hodinách vykazuje pevnost v tahu III σN = 16 ÷ 20 MPa a pev-nost ve střihu τT = 25 ÷ 32 MPa (pro další výpočet pak budeme používat minimální hodnoty): σN min = 16 MPa a τT min = 25 MPa. IV

F

F a

Druhy napjatosti:

Napjatost v bodě:

Rozklad napětí: Každé ze tří obecných napětí νx, νy a νz rozložíme na tři složky (jedno normálové napětí σ a dvě napětí smyková τ). Vzniklých devět složek napětí můžeme zapsat do tenzoru napětí: σ x τ xy τ xz    Tσ = τ yx σ y τ yz  τ zx τ zy σ z    Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

σ xx  občas se užívá zápis Tσ = σ yx výhodný pro počítačové zpracování σ zx 

σ xy σ xz   σ yy τ yz  σ zy σ zz 



37

Z devíti složek napětí je jen 6 nezávislých, protože platí zákon o sdružených smykových napětích (bude odvozeno později), kde při použití jednoindexového zápisu dostáváme:

τxy = τyx = τz τyz = τzy = τx τzx = τxz = τy

σ x τ z τ y    ⇒ Tσ = τ z σ y τ x  τ y τ x σ z   

(bude odvozeno později)

JEDNOOSÁ/PŘÍMKOVÁ NAPJATOST:




38

Šikmý řez:

SDRUŽENÁ SMYKOVÁ NAPĚTÍ:

Spojení řezů ρ, ρ a ψ, ψ do jednoho obrázku dostaneme:

Znaménka smykových napětí:




39

ROVINNÁ NAPJATOST všechna napětí MUSÍ ležet v jedné rovině:

ODVOZENÍ:

O

ROVINNÁ NAPJATOST – MOHRŮVA KRUŽNICE Řešení v rovině x-y:

MATEMATICKÉ INTERMEZZO:

Z matematiky víme, že platí: sin (2 ⋅ x ) = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x ; cos(2 ⋅ x ) = cos 2 x − sin 2 x Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

a

sin 2 x + cos 2 x = 1 .


M F


40

Grafická interpretace = MOHROVA KRUŽNICE

Střed Mohrovy kružnice: S Poloměr Mohrovy kružnice: r Obecná konstrukce Mohrovy kružnice pro α = 0 (bude tedy rovina ξ totožná s rovinou ρ).

Konstrukce skutečné roviny ρ v Mohrově kružnici:

Pravidlo vynášení smykových napětí:

MOHROVA KRUŽNICE:




41

PŘÍKLAD 2.1 (ROVINNÁ NAPJATOST – Mohrova kružnice):

P

Dáno: σx = 50 N⋅mm , σy = –30 N⋅mm , τz = –30 N⋅mm , α = 30° (od roviny ξ proti směru hodinových ručiček) Určit: Napětí v rovině ρ: normálové σρ a smykové τρ) – početně i graficky. –2

–2

–2

Pokud bychom omylem otáčeli v Mohrově kružnici opačným směrem, řešili bychom zcela jinou úlohu!!!




42

EXTRÉMY MOHROVY KRUŽNICE: – hlavní napětí (σ1 a σ2) – maximální smykové napětí (τmax).

Hlavní napětí

Maximální smykové napětí:




43

MOHRŮV DIAGRAM PROSTOROVÉ NAPJATOSTI

P

PŘÍKLAD 2.2 (ROVINNÁ NAPJATOST – HLAVNÍ NAPĚTÍ):

Dáno: σx = 100 N⋅mm , σy = 60 N⋅mm , σz = –20 N⋅mm , τx = –30 N⋅mm (τy = τz = 0). –2

–2

–2

–2

Určit: Hlavní napětí σ1,2,3, polohu hlavních rovin a maximální smykové napětí τmax. (početně i graficky) Transformace Mohrových vztahů:




44

Grafické řešení:

JEDNOOSÁ A DVOJOSÁ NAPJATOST:




45

PROSTÝ SMYK: Existuje pouze jedno smykové napětí τz = τ (σx = σy = σz = τy = τz = 0)

TABULKA (MODULY PRUŽNOSTI VE SMYKU VYBRANYCH MATERIÁLŮ): Materiál Modul G [N⋅mm-2]

ocel

(7,8 ÷

8,5)⋅104

měď

hliník

4,5⋅104

2,7⋅104

Mohrův diagram čistého smyku:

PŘETVOŘENÍ (DEFORMACE) PŘI TROJOSÉ (PROSTOROVÉ) NAPJATOSTI



T


46

ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON:

Mohrova kružnice pro deformace – Mohrův diagram přetvoření:




47

3. DEFORMAČNÍ ENERGIE při jednoosé, dvojosé a trojosé napjatosti

PROSTÝ TAH/TLAK

VÍCEOSÁ NAPJATOST (rovinná, prostorová) A) jen normálová napětí 1) dvojosá (rovinná) napjatost:




48

2) trojosá (prostorová) napjatost − analogicky

B) jen čistý smyk

C) obecná napjatost – působí vše

Využití poměrné změny objemu Θ = (εx + εx + εx):




49

Zvláštní případ (budeme využívat při kombinovaném namáhání, např. ohyb + krut, …):

O

ODVOZENÍ: POMĚR MODULŮ PRUŽNOSTI (E/G) POMOCÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE Čistý smyk (σx = σy = σz = τx = τy = 0 ; τz = τ)

Hlavní napětí při čistém smyku (σ1 = +τ ; σ2 = 0 ; σ3 = −τ)

HUSTOTA DEFORMAČNÍ ENERGIE NA ZMĚNU OBJEMU A ZMĚNU TVARU Změna objemu – Změna tvaru –

1. Normálová napětí:

=

+

Poměrná změna objemu:

Rozšířený Hookův zákon (zatím stačí jen vztah mezi σ a ε):




Θ

=

Θ ZMĚNA OBJEMU

50

⇒

Θ=0 ZMĚNA TVARU

2. Smyková napětí:

Poměrná změna objemu: Rozšířený Hookův zákon (nyní stačí jen vztah mezi τ a γ):

Čistý smyk (σx = σy = σz = τx = τy = 0 ; τz = τ

⇒

σ1 = +τ ; σ2 = 0 ; σ3 = −τ):

VÝSLEDEK: Hustota deformační energie na změnu objemu (jen od tahových napětí):

Hustota deformační energie na změnu tvaru (jak od tahových tak i od smykových napětí):




51

4. TEORIE (HYPOTÉZY) PEVNOSTI/PRUŽNOSTI Podle vhodných teorií (hypotéz) pružnosti a pevnosti stanovte bezpečnosti k prostorové napjatosti, která vzniká v temeni hlavy kolejnice v místě styku kola dvojkolí lokomotivy s kolejnicí. Mez kluzu oceli, ze které je kolejnice vyrobena, uvažujte Re = 400 N⋅mm-2. Lokomotiva 230 081-2

Z numerické analýzy pomocí metody konečných prvků (MKP) této kontaktní úlohy vyplývá, že jednotlivé složky napětí jsou: σ1 = − 800 N⋅mm-2 , σ2 = − 900 N⋅mm-2 a σ3 = − 1 100 N⋅mm-2 .

MEZNÍ STAV -

Rozeznáváme mezní stav: 1. 2. 3. 4.

Chování materiálu:

TVÁRNÝ STAV


KŘEHKÝ STAV



52

Haighův prostor:

Rovinná napjatost - zobrazení v rovině (σ3 = 0):

Zatěžovací křivka


Prosté zatěžování



53

MÍRA BEZPEČNOSTI:

PODMÍNKY PEVNOSTI Mezní stav pružnosti: Mezní stav pevnosti: Jednoosá tahová zkouška: a) houževnaté materiály: b) křehké materiály:

JEDNOOSÁ NAPJATOST: Pevnostní podmínka (již u tahu a tlaku): Houževnaté materiály

0

Křehké materiály

0

PROSTOROVÁ NAPJATOST: Mezní stav pružnosti:

Mezní stav pevnosti: Určení mezního stavu: 1) FYZIKÁLNĚ: 2) EXPERIMENTÁLNĚ: 3) HYPOTETICKY (teoreticky):




54

PRINCIP VŠECH HYPOTÉZ (TEORIÍ) PRUŽNOSTI A PEVNOSTI JE REDUKCE Obecný stav napjatosti v bodě: σx , σy , σz , τx , τy a τz

Výsledek tahové zkoušky materiálu σx ⇒ σU, σK a σP

HOUŽEVNATÉ MATERIÁLY (materiály v houževnatém stavu) 1) Hypotéza maximálního smykového napětí (ττMAX): Naznačeno již roku 1773 Charles-Augustinem de Coulombem (1736 – 1806), zavedeno v roce 1868 Henri Edouardem Trescou (1814 – 1885) a okolo roku 1900 upraveno ještě Jamesem J. Guestem.

TAH:

TLAK:

PROSTOROVÁ NAPJATOST:

Pozor!!! Pro rovinnou napjatost platí σ3 = 0!!!




55

Užití teorie maximálního smykového napětí (τMAX):

výhody

nevýhody

Haighova plocha pro teorii maximálního smykového napětí (τMAX):

2) Hypotéza energetická (H.M.H.): Formulováno nejprve Jamesem Clerkem Maxwellem (1831 – 1879) a pak počátkem XX. stol. třemi vědci současně: Maksymilianem Huberem (1872 - 1950), Richardem von Misesem (1883 – 1953) a Heinrichem Henckym (1885 – 1951)

TAH/TLAK:





56

Užití energetické teorie (H.M.H.):

výhody

nevýhody

Haighova plocha pro energetickou teorii (H.M.H.):

Srovnání teorií maximálního smykového napětí (τMAX) a energetické (H.M.H.):




57

KŘEHKÉ MATERIÁLY (materiály v křehkém stavu) σMAX): 1) Hypotéza maximálního normálového napětí (σ Nejstarší pevnostní hypotéza formulována již okolo 1840 Williamem J. Macquornem Rankinem (1820 – 1872).

TAH:

TLAK:


Pozor: Pro rovinnou napjatost platí σ3 = 0!!! Haighova plocha pro teorii maximálního normálového napětí (σMAX):




58

2) Hypotéza Mohrova: Formulována okolo 1880 Christianem Ottem Mohrem (1835 – 1918).

Použití: Mezní bod: Mezní čára:

Coulombova aproximace – nahrazení obecné mezní čáry přímkou




59

Haighova plocha pro teorii Mohrovu:




60

PŘÍKLAD 4.1 (TEORIE PEVNOSTI):

P

Dáno: σx = 100 N⋅mm , σy = 60 N⋅mm , σz = –20 N⋅mm , τx = –30 N⋅mm (τy = τz = 0). 1) materiál je konstrukční ocel - σK = 240 MPa 2) materiál je litina - σPt = 280 N⋅mm–2 a σPd = 420 N⋅mm–2 –2

–2

–2

–2

Určit: V případě 1) bezpečnost k mezi kluzu kK 2) výslednou bezpečnost vůči mezi pevnosti kP Řešení: Využijeme řešení příkladu u Mohrových kružnic, kde jsme určili hlavní napětí:

σ 1 = σ x = 100 N ⋅ mm

-2

a σ 2,3 =

σ z +σ y 2

σ z −σ y ±   2

2 + 70 N ⋅ mm -2   2  + (− τ x ) = 20 ± 50 =   − 30 N ⋅ mm -2

1a) Teorie τMAX: τ σ red = σ max − σ min = σ 1 − σ 3 = 100 − (−30) = 130 N ⋅ mm -2 ⇒

k Kτ MAX =

MAX

σK 240 = ≈ 1,85 τ σ red 130 MAX

1b) Teorie energetická (H.M.H.): H.M.H. σ red =

=

2 ⋅ 2

(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2

=

⇒ kKH.M.H. =

2 2 2 2 ⋅ (100 − 70) + (70 − (−30) ) + ((−30) − 100) ≈ 118 N ⋅ mm-2 2

σ

σK H.M.H. red

=

240 ≈ 2,03 118

K výpočtu redukovaného napětí podle energetické teorie lze použít přímo zadaná napětí σ a τ: 2 2 2 2 H.M.H. σ red = ⋅ (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 ⋅ τ x2 + τ y2 + τ z2 = K ≈ 118 N ⋅ mm-2 (souhlasí!) 2 Pokud bude součást vyrobena z konstrukční oceli, bude její výsledná bezpečnost: - podle teorie τMAX: kKτ = 1,85 - podle teorie energetické (H.M.H.): kKenerg,. = 2,03

(

)

MAX

2a) Teorie maximálního normálového napětí (σ σMAX): σ max = σ 1 = 100 N ⋅ mm -2 ⇒ k t = σ σ red

MAX

=

σ min = σ 3 = 30 N ⋅ mm -2 ⇒ k d =

σ Pt 280 = = 2,8 σ max 100 σ Pd 420 = = 14 σ min 30

⇒ kσ

MAX

= min(kt ; k d ) = 2,80

V rámci jedné teorie je třeba uvažovat menší z obou bezp.

2b) Teorie Mohrova

σ Pt 280 σ Pt 280 = ≈ 2,33 ⋅ σ 3 = 100− (−30) = 120 N ⋅ mm-2 ⇒ kMohr = Mohr 420 σ Pd σred 120 Pokud bude součást vyrobena z litiny, bude její výsledná bezpečnost: - podle teorie maximálního normálového napětí (σMAX): kσ = 2,80 - podle teorie Mohrovy: kMohr = 2,33 Mohr σ red = σ max − ρ ⋅σ min = σ1 −

MAX

V obou případech jsou oba výsledky správné a každý má „svou pravdu“ a záleží na podmínkách nebo na předpisech nebo normách, pro kterou z teorií se rozhodneme. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



61

5. KRUT KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PROFILU Vypočtěte statickou bezpečnost spojovacího hřídele přední brzdy závodního vozu Lotus 72C, který tvoří trubka s vnějším průměrem ∅D = 40 mm a tloušťce stěny t = 10 mm vyrobená z vysokopevnostní oceli s mezí kluzu Re = 380 N⋅mm-2. Hřídel spojuje kolo s brzdovým kotoučem umístěným pro snížení neodpružených hmot uvnitř rámu karoserie. Hmotnost vozu Lotus 72 připraveného na trénink budeme uvažovat m = 700 kg a vnější průměr předních kol DP = 600 mm. Ve výpočtu budeme předpokládat při intenzivním brzdění rozložení brzdného účinku 70% a 30% na přední a zadní nápravě. Poznámka: Při tréninku na Velkou cenu Itálie na okruhu v Monze dne 5. září 1970 byl pro dosažení maximální možné rychlosti nasazen vůz Lotus bez přítlačných ploch. Pravděpodobně defekt přední brzdy nebo zavěšení předního kola byl během intenzivního brzdění při nájezdu do Parabolické zatáčky příčinou nehody, kdy rakouský pilot Jochen Rindt utrpěl zranění, kterým později podlehl.

Monza 1970

Stanovte základní charakteristiky pružícího členu podvozku železničního vagónu typu Eas-u, který se v ČD používá k přepravě zejména sypkých materiálů. Každé ze čtyř dvoukolí tohoto vagónu je uloženo pomocí dvou pružících členů, které tvoří dvě v sobě zasunuté pružiny – viz obrázek. Dále stanovte maximální statické namáhání pružin pro zcela naplněný vagón (vliv příčných sil na pružiny neuvažujte a předpokládejte pružinu jako tenkou, těsně vinutou). Vagón ČD Eas-u

Celková váha rámu a prázdné korby vagónu je mV ≈ 16 250 kg a podle tabulky je maximální přípustná hmotnost nákladu mN = 57 500 kg. Celková tíha, kterou podvozek vagónu přenáší na kolejový svršek je tedy: G = (mV + mN)⋅g = (16 250 + 57 500)⋅9,81 = 723 487 N.




62

Krut je vyvolán dvojicemi sil – KROUTICÍMI MOMENTY MK [N⋅m] resp. [N⋅mm] a [kN⋅m]. ROZDĚLENÍ KRUTU: a) podle typu průřezu:

b) podle zachycení deformací: DEPLANACE = Platí Saint-Vénantův princip – řešíme řezy v dostatečné vzdálenosti od působišť momentů.

ODVOZENÍ:

O

KRUT PRUTŮ KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PRŮŘEZU

VZTAH SMYKOVÉHO NAPĚTÍ τ A KROUTICÍHO MOMENTU MK:




63

Zákon o sdružených smykových napětí platí i při krutu:

Výpočet konstanty „c“:

POLÁRNÍ KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU: (je aditivní)

Maximální smykové napětí:

PRŮŘEZOVÝ MODUL V KROUCENÍ: (!!! NENÍ aditivní !!!)

PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KRUTU:

Určení τD musí vycházet z některé teorie pružnosti (rovinná napjatost): TRESCOVA TEORIE (τMAX)


ENERGETICKÁ TEORIE (H.M.H.)



64

VZTAH NATOČENÍ KONCŮ HŘÍDELE ϕ A KROUTICÍHO MOMENTU MK:

TUHOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KRUTU:

Výpočet polárního kvadratického momentu průřezu JP a průřezového modulu průřezu v kroucení WK pro kruhový a mezikruhový průřez: KRUH:

MEZIKRUH:

Poznámka: Tenkostěnná trubka je zvláštním případem mezikruhového průřezu (zjednodušení díky tomu, že platí: s << r; R)




65

ODVOZENÍ:

O

DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI KRUTU:

Užití Castiglianovy věty při krutu:

STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY: Řešení je obdobné jako u TAHU/TLAKU OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ: 0. rozhodnutí 1. uvolnění 2. nahrazení 3. doplnění 4. řešení

FYZIKÁLNÍ INTERMEZZO:

Vztah mezi výkonem P [kW], otáčkami n [min ], krouticím momentem MK [N⋅mm] a natočením ϕ [rad] resp. [°] je často uváděn pro hřídel délky l, o průřezovém momentu JP, vyrobeného z materiálu o modulu pružnosti G ve tvaru: 6 5 n⋅MK odkud M K = 9,55 ⋅ 106 ⋅ P , a tedy ϕ [rad ] = 9,55 ⋅10 P ⋅ l , resp. ϕ [°] = 1,67 ⋅ 10 P ⋅ l P= 6 n 9,55 ⋅10 G ⋅ JP ⋅ n G ⋅ JP ⋅ n

M F

-1


.



66

PŘÍKLAD 5.1 (KRUT):

P Dáno: MK1, MK2, a, b, c, (l), D, G Určit: maximální smykové napětí po celé délce prutu (hřídele)τmax(x)

UVOLNĚNÍ

NAHRAZENÍ

DOPLNĚNÍ

Fyzikální rovnice (Hookův zákon pro krut):

Maximální smyková napětí v jednotlivých úsecích budou:

Ze statické rovnice MŮŽEME dopočítat druhý reakční moment:




67

ODVOZENÍ:

O

TĚSNĚ VINUTÉ VÁLCOVÉ PRUŽINY:

Rozklad síly

Rozklad momentu

Napětí v těsně vinutých válcových pružinách:

Poznámka:

Pro D/d ≤ 10 a pro „velké“ stoupání α již nelze použít tuto teorii, a tak někteří autoři uvádějí vztah pro maximální smykové napětí τi (interní) zahrnující vliv jak ohybu tak i posouvající síly:

τi τi

τ i = κ ⋅ τ nom = κ ⋅

8⋅ F ⋅ D , π ⋅ d3

resp.

τ i = κ ⋅τ nom ≈ κ ⋅ 2,5 ⋅ F ⋅

D . d3

TABULKA (HODNOTY SOUČINITELE κ PODLE GEOMETRIE PRUŽINY): D/d 3 4 6 8 10


α ≈ 0°

α = 15°

α = 30°

1,514 1,367 1,233 1,170 1,134

1,441 1,306 1,182 1,124 1,091

1,241 1,136 1,039 0,993 0,966


T


68

Deformace těsně vinutých válcových pružin: Castiglianova věta:

Deformační energie akumulovaná v celé válcové pružině (pouze od krutu – zbytek zanedbáme):

Zjednodušíme výraz protože vše je podle předpokladu po celé délce konstantní:

Tuhost těsně vinuté válcové pružiny:

Poznámky: 1. Při uvažování všech vnitřních účinků je v literatuře uváděn vztah pro výpočet skutečné deformace vinuté válcové pružiny y jako funkce deformace vypočtené podle teorie těsně vinutých válcových pružin y0 a součinitele ξ, který zahrnuje vliv reálné geometrie pružiny: y = y0 ⋅ ξ , kde:

y0 =

8 ⋅ F ⋅ D3 ⋅ i G⋅d 4

sin 2 α d 2  ⋅ cos α + 1+ µ  D 2

a

ξ = 1 + 0,6 ⋅ 

2   d  ⋅ 0,25 ⋅   − µ  . D  

2. U dlouhých pružin nebo pružin s velkým stoupáním také může v průběhu zatěžování dojít ke ztrátě stability a vybočení celé pružiny – komplikovaný výpočet (NEŘEŠÍME!). 3. V literatuře lze najít i vztahy pro řešení jiných typů vinutých pružin (spirálné, kuželové, ...).

PŘÍKLAD 5.2 (PRUŽINY):

P

Dáno: D1, d1, i1, D2, d2, i2, G1= G2 = G a m. Určit: τ1 a τ2 (napětí v pružinách po jejich spojení). Řešení: Statická rovnice rovnováhy:

Deformační podmínka: před po

před




69

Fyzikální rovnice (základní rovnice deformace těsně vinutých válcových pružin):

Výsledná napětí po spojení obou pružin:

Číselný výpočet pro: D1 = 30 mm, d1 = 2,5 mm, i1 = 9, D2 = 20 mm, d2 = 1,5 mm, i2 = 12, G = 0,81⋅105 N⋅mm–2 (ocel), m = 3 mm Nejprve vypočteme číselně velikosti tuhostí jednotlivých pružin v soustavě: První pružina:

k1 =

0,81 ⋅10 5 ⋅ 2,5 4 = 1,63 N ⋅ mm −1 . 3 8 ⋅ 30 ⋅ 9

Druhá pružina:

k2 =

0,81 ⋅10 5 ⋅1,5 4 = 0,53 N ⋅ mm −1 . 8 ⋅ 20 3 ⋅12

Síla působící na pružiny po jejich spojení bude: F=

1,63 ⋅ 0,53 ⋅ 3 ≈ 1,2 N . 1,63 + 0,53

Známe-li síly působící na pružiny, můžeme vypočítat napětí, které v nich vyvolají: První pružina:

τ1 =

8 ⋅ 1,2 ⋅ 30 = 5,9 N ⋅ mm− 2 . π ⋅ 2,53

Druhá pružina:

τ2 =

8 ⋅1,2 ⋅ 20 = 18,1 N ⋅ mm − 2 . 3 π ⋅1,5

Na závěr můžeme provést pro F = 1,2 N výpočet deformací jednotlivých pružin a s jejich pomocí zkontrolovat správnost celého výpočtu: První pružina:

y1 =

F 1,2 = = 0,74 mm . k1 1,63

Druhá pružina:

y2 =

F 1,2 = = 2,26 mm . k2 0,53

Kontrolní součet obou deformací y1 a y2 MUSÍ být roven velikosti původní vůle m:

y1 + y2 = 0,74 + 2,26 = 3,0 mm = m .




70

6. OHYB 6.1 GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRŮŘEZU Posuďte, kolikrát se zvětší ohybová tuhost ocelového nosníku I 200, jestliže jeho stojina bude rozříznuta v podélném směru (viz obrázek), oba díly vůči sobě budou posunuty (ve stojině vzniknou šestiúhelníkové otvory) a nosník bude v dotykových místech svařen (výška pásnice nosníku se tak výrazně zvětší). Stanovte, jak se úpravou změní maximální ohybové napětí v profilu, je-li délka pole l = 10 m a zatížení je uprostřed pole osamělou silou F = 15 kN. Možnou ztrátu stability ohýbaného profilu nebudeme ve výpočtu uvažovat. rozříznuto

y y z x svařeno

A

B z x

A

B

Tah/tlak: Krut: Ohyb:

(OSOVÉ) KVADRATICKÉ MOMENTY PRŮŘEZU: DEVIAČNÍ MOMENT PRŮŘEZU: (OSOVÉ) KVADRATICKÉ POLOMĚRY PRŮŘEZU:




71

Základní definice:

0

0

ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI: 1) Aditivnost:

0

0

2) Poloha souřadnicových os: a) CENTRÁLNÍ KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU: b) OSA SYMERTIE PRŮŘEZU (musí procházet těžištěm T):

0




72

3) Vztah osových a polárního kvadratického momentu průřezu:

0

4) Posunutí souřadnicového systému (Steinerova věta):

ODVOZENÍ:

O

STEINEROVA VĚTA (Huygens–Steinerův teorém podle Christiaana Huygense and Jakoba Steinera)

0´ T≡0

5) Pootočení souřadnicového systému:

T≡0




73

6) Hlavní kvadratické momenty průřezu:

T

TABULKA (PRAVIDLO VYNÁŠENÍ ÚHLU ϑ ): tg 2ϑ =

2 ⋅ D yz Jz − Jy




74

PŘÍKLAD 6.1.1 (PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY):

P

Dáno: b, h. Určit: Jz, Jy a jz, jy (kvadratické momenty a kvadratické poloměry)

PŘÍKLAD 6.1.2 (PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY):

P

Dáno: ∅D. Určit: Jz, Jy a jz, jy (kvadratické momenty a kvadratické poloměry)

ϕ

ρ⋅sinϕ

dϕ

D/2

Řešení: Jz =

2

⋅ dA a

y = ρ⋅sinϕ

dA

a

dA = ρ⋅dϕ⋅dρ

meze integrálů jsou: ρ ∈〈0 ; D/2〉

dρ

∅D

Jz A

jz =

( A)

z

ρ

∫y

a

ϕ ∈〈0 ; 2⋅π〉.

Po dosazení tak dostáváme:

Jz =

D / 2 2⋅π

∫ ∫ (ρ ⋅ sinϕ )

2

0

⋅ ρ ⋅ dϕ ⋅ dρ =

0

D/2

∫ 0

2⋅π

ρ ⋅ dρ ⋅ ∫ sin 2ϕ ⋅ dϕ = 3

0

D4 1 π ⋅ D4 ⋅ ⋅2⋅ π = 64 2 64

Protože profil je „nekonečněkrát“ symetrický, bude Dzy = 0, Mohrova kružnice degeneruje v bod a osový kvadratický moment průřezu Jy bude stejný jako Jz. Kvadratické poloměry jz a jy budou také stejné:

π ⋅ D4 jz = j y =


64 = π ⋅ D2 4

D2 D = 16 4



75

Obecný postup výpočtu hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu: T1

T2

T

T

T

T3

0

0

Dáno: Řešení: Rozměry průřezu a 1. Rozdělíme průřez na původní poloha i jednoduchých souřadnicových os. obdélníků (i = 3), 2. Pomocí statických

momentů určíme polohu těžiště celého průřezu T (zT, yT)


0

5. Pomocí Mohrovy kružnice (vzorce) určíme velikosti hlavních centrálních kvadratických mo4. Přepočteme osové mentů (J1 a J2) a kvadra-tické momenty a polohu hlavních deviač-ní moment pomocí centrálních os (ϑ). Stei-nerovy věty 6. Vše zakreslíme do k těžištním o-sám a původního průřezu. získáme: JzT, JyT a DyTzT 3. Vypočteme jednotlivé osové kvadratické momenty jednotlivých částí (z definice),



76

6.2 NOSNÍK A JEHO VLASTNOSTI Stanovte namáhání listového pera podvozku dvounápravového železničního vagónu typu Eu. Dvoukolí je uloženo pomocí dvou listových per – viz obrázek. Základní rozměry tohoto listového pera jsou: vzdálenost čepů (podpěr) l = 1 200 mm, šířka jednoho listu b = 140 mm a výška uprostřed pera h = 160 mm (h0 ≈ 20 mm). Vagón ČD Eu

Podle tabulkových hodnot na vagónu je jeho celková hmotnost mV ≈ 12 840 kg a maximální přípustná hmotnost nákladu mN = 27 000 kg. Celková tíha, kterou podvozek vagónu přenáší na kolejový svršek je tedy: G = (mV + mN)⋅g = (12 840 + 27 000)⋅9,81 = 390 830 N. Při uvažování rovnoměrného rozložení síly (což je jen teoretický předpoklad) bude: F = G/4

F Nosník =

Zatížení nosníku: 1) 2) 3)




77

Nosník MUSÍ být uložený ⇒ uložení nosníku – základní typy: 1)

2)

3)

Zvláštní případy (např. ve stavitelství, ...)

Podle uložení dělíme nosníky na: STATICKY URČITÉ

STATICKY NEURČITÉ

Nosník:

Ohyb:

Stopa ohybového momentu:




78

POSOUVAJÍCÍ SÍLA T(x) A OHYBOVÝ MOMENT MO(x):

Metoda řezu (zavedl Euler):

POSOUVAJÍCÍ SÍLA: OHYBOVÝ MOMENT: Statické rovnice odříznuté části:

Posouvající síla:

Ohybový moment:

Princip akce a reakce:

POSTUP ZLEVA: POSTUP ZPRAVA:




79

Zavedení kladných směrů jednotlivých účinků:

PŘÍKLAD 6.2.1 (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) METODOU ŘEZU):

P

Dáno: qo a l. Určit: T(x), Mo(x) a Mo max.

T(x)

Mo(x)




80

PŘÍKLAD 6.2.2 (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) METODOU ŘEZU):

P

Dáno: F a l. Určit: T(x), Mo(x) a Mo max.

T(x)

Mo(x)

Vztah mezi Mo(x), T(x) a q(x) (Schwedlerova věta):

ODVOZENÍ: O

SCHWEDLEROVA VĚTA

Výhody:


Nevýhody:



81

PŘÍKLAD 6.2.3 (PRŮBĚH T(x) A Mo(x) SCHWEDLEROVOU VĚTOU): Dáno: qo a l. Určit: T(x), Mo(x) a Mo max.

T(x)

Mo(x)

DŮSLEDKY PLATNOSTI SCHWEDLEROVY VĚTY: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)



P


82

TABULKA (ZÁKLADNÍ TYPY NOSNÍKŮ – 3×3): Osamělá síla F

T

Osamělý moment M l=a+b

Spojité zatížení qo

l=a+b M

F

a

a

b

qo l

b +qo⋅l/2

+F⋅b/l

+M/l +F⋅a⋅b/l

+qo⋅l 2/8

–F⋅a/l

–qo⋅l/2

+M⋅a/l –M⋅b/l

M

F

qo l

l

l

0

–qo⋅l

–M

–qo⋅l 2/2

–F

–F⋅l

M

F

l

l

a

l

a

–M/l

–F⋅a

a +qo⋅a

+F –F⋅a/l

qo

–qo⋅a2/(2⋅l) –M

–qo⋅a2/2

Poznámka: Jako jste se zhruba ve třetí třídě naučili vyjmenovaná slova po B, F, L, M, P, S, V a Z (a těch je podstatně víc než 9), je velice výhodné se naučit těchto devět případů „vyjmenovaných“ nosníků s jejichž pomocí lze sestavit prakticky jakékoliv běžné zatížení nosníku. Vzpomeňte na zákon o superpozici deformací v elastickém stavu, který jsme zavedli na začátku jako jeden ze základních principů řešení úloh v pružnosti a pevnosti (výsledný průběh posouvající síly T(x) resp. ohybového momentu Mo(x) lze získat součtem průběhů určených od jednotlivých silových účinků).




83

NAPĚTÍ PŘI OHYBU:

Prostý ohyb – platí Bernoulliho hypotéza

ODVOZENÍ:

O

BERNOULLIHO HYPOTÉZA ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ PŘI OHYBU

Poloha neutrálné osy on:




84

Sklon neutrální osy on:

Rozdělení ohybových napětí = co to je „c“:

Extrémy ohybových napětí:

PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI OHYBU:

Průřezový modul v ohybu [m3] resp. [mm3] – !!!NENÍ ADITIVNÍ!!! Nevýhodné profily

Výhodné profily

PRŮŘEZOVÉ MODULY V OHYBU Woz:

∅D

h

∅d/∅D

b




85

Nosník stálé pevnosti:

ODVOZENÍ:

O

DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI OHYBU:




86

ODVOZENÍ:

O

VLIV POSOUVAJÍCÍ SÍLY T(x) – Žuravského vzorec Vliv T(x) je většinou malý a ve výpočtech ho zanedbáváme, ale musíme být schopni ho popsat, abychom mohli rozhodnout, kdy ho skutečně můžeme zanedbat. Rozložení smykových napětí po průřezu (Žuravskij) – řešíme obdélník h ≥ 2⋅b: Předpoklady:

1) 2)

Odvození vychází z rovnováhy odříznuté části průřezu:

Aplikace na obdélník b × h:

Obdobné výpočty i pro jiné profily:




87

Důsledky uvažování smykových napětí:

SMYKOVÉ ČÁRY:

ODVOZENÍ:

O

DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI SMYKU OD T(x) – pro obdélník b × h:

Další profily (bez odvození): y

y

∅D

Kruhový profil : β =

z

30 ≈ 1,1 27

Rozměry dle

normy

z

I-profily: β = 2,4 ÷ 3,8

Obecný vzorec pro nosníky neproměnného průřezu o ploše A:

β= Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

A S2 ⋅ ⋅ dA J z2 ( ∫A) b( y ) 2 Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


88

VSUVKA DEFORMAČNÍ ENERGIE − SHRNUTÍ Probrány všechny základní způsoby namáhání: Základem výpočtu je hustota deformační energie, která vychází (za použití Hookova zákona) ve tvaru: 1 σ2 1 = ⋅ E ⋅ε 2 2 E 2

1 2

λσ = ⋅ σ ⋅ ε = ⋅

1 τ2 1 = ⋅G ⋅γ 2 . 2 G 2

1 2

λτ = ⋅τ ⋅ γ = ⋅

resp.

TABULKA (DEFORMAČNÍ ENERGIE OD JEDNOTLIVÝCH ÚČINKŮ):

T

DEFORMAČNÍ ENERGIE OD ZÁKLADNÍCH TYPŮ NAMÁHÁNÍ PRUTU DÉLKY l Namáhání Tah/tlak

Zatížení

Modul pružnosti

Průřezová charakteristika

plocha

modul v tahu

Krut

Jz =

Mo(x)

∫y

2

⋅ dA

2

UM o

( A)

moment

osový kvadratický moment

Jp =

MK(x)

∫ρ

2

⋅ dA

1 M ( x) = ⋅∫ o ⋅ dx 2 ( l ) E ⋅ J z ( x) 2

UM K =

( A)

moment

polární kvadratický moment

G modul ve smyku Smyk

1 N 2 ( x) UN = ⋅ ∫ ⋅ dx 2 ( l ) E ⋅ A( x)

( A)

síla

E Ohyb

∫ dA

A=

N(x)

Celková deformační energie

A=

T(x)

∫ dA

UT =

( A)

síla

plocha

1 M ( x) ⋅∫ K ⋅ dx 2 ( l ) G ⋅ J p ( x)

β

T 2 ( x) ⋅ dx 2 (∫l ) G ⋅ A( x) ⋅

Pozor při sčítání jednotlivých energií V případě shodného typu napětí (např. při kombinaci tahu a ohybu) musí pro výslednou energii U platit:

U celk . = U N + U M o + U N , M o , protože výsledné napětí je dáno jako součet a energie závisí na kvadrátu tohoto součtu:

(σ

N

+ σ Mo

)

2

= σ N2 + σ M2 o + 2 ⋅ σ N ⋅ σ M o .

!!!POZOR!!! Celková energie není prostým součtem dílčích energií:

)

U celk . ≠ U N + U M o .

Naopak při kombinaci různých typů napětí (např. při kombinaci tahu s krutem nebo kombinaci ohybu se smykem) můžeme energie U od jednotlivých účinků sčítat, protože normálová napětí a smyková napětí nejsou spolu vázána: U celk . = U N + U M K resp. U celk . = U M o + U T

POHÁDKOVÉ A MATEMATICKÉ INTERMEZZO )

M F

Zde si opět připomeňte pohádku o dědkovi, bábě, vnučce, psovi, kočce a myši, jak tahali řepu! A nebo si vzpomeňte na součtové vzorce: (a + b)2 = a2 + 2⋅a⋅b + b2 a (a – b)2 = a2 – 2⋅a⋅b + b2.




89

DEFORMACE NOSNÍKŮ: Deformace:

1) ANALYTICKÝ DVA PŘÍSTUPY ŘEŠENÍ: 2) ENERGETICKÝ 1a) DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (Bernoulli):

ODVOZENÍ:

O

(BERNOULLIHO) DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (nebudeme již uvažovat vliv posouvající síly resp. smyku) Vztah pro napětí:

Hookův zákon:

Definice osové deformace:

Definice křivosti (z analytické matematiky):

Tato rovnice (Bernoulliova) vyhovuje většině nosníků „normálních“ rozměrů. Pokud však bude nosník extrémně dlouhý (l >> h) jako jsou např. planžety, budou i deformace velké, křivka již nebude plochá a k řešení těchto případů bude třeba použít složité eliptické integrály, což zjevně překračuje rozsah tohoto předmětu i možnosti aplikace matematických nástrojů z 1. ročníku. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



90

Postup řešení: 1. 2. 3. 4.

1b) ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (spojení Bernoulliho rovnice průhybové čáry se Schwedlwrovou větou jako první provedl Euler):

ODVOZENÍ:

O

ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY Schwedlerova věta:

Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry:

Postup: 1. 2. 3. 4.

V obou případech je jedním z nejdůležitějších okamžiků výpočtu sestavení „správných“ okrajových podmínek, které odpovídají jednak způsobu uložení a jednak způsobu zatížení řešeného nosníku.




91

TABULKA (ZÁVĚRY MATEMATICKÉ ANALYZY DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE): Veličina [rozměr]

T

Proč?

Je rovna nebo odpovídá

v(x) [mm] vI(x) [1] ≡ [rad] vII(x) [mm–1] vIII(x) [mm–2] vIV(x) [mm–3]

PŘÍKLAD 6.2.4 (ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ DEFORMACÍ NOSNÍKU): Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. Určit: v(x) a ϕ(x)

Bernoulliho diferenciální rovnice Úplná diferenciální rovnice průhybové čáry přímého nosníku



P

PRUŽNOST A PEVNOST 1 (pro v nebo ϕ)

92 Okrajové podmínky:

1.

1.

2.

2.

Odkud vychází:

3.

(pro v, ϕ, Mo nebo T)

4. Odkud vychází: Hledané funkce jsou:

Hledané funkce jsou:

Mám-li hotové analytické řešení v(x), ϕ(x), Mo(x) nebo T(x), stačí do rovnic pouze dosadit souřadnici x ∈〈0 ; l〉 a je to! Dostáváme přímo velikost hledané veličiny v místě „x“. Např. uprostřed nosníku, kde x = l/2 vychází: 3  l 4 l l l ⋅   l3 ⋅    4 q 2 2 2  = 5 ⋅ qo ⋅ l v(l / 2) = o ⋅    −   + E ⋅ J z  24 12 24  384 E ⋅ J z    

a pro kontrolu:

[N ⋅ m −1 ⋅ m 4 ] = [m] [N ⋅ m − 2 ⋅ m 4 ]

2   l 3  l l ⋅      3 q l q ⋅ l3 2 2 ϕ(l / 2) = o ⋅    −   +  = 0 ⋅ o = 0 E ⋅ Jz  6 4 24 E ⋅ Jz    

a pro kontrolu:

  l   l 2  l ⋅     2 2   2   qo ⋅ l   M o (l / 2) = qo ⋅ − =  2 2  8    

a pro kontrolu:

[ N ⋅ m −1 ] ⋅ [m 2 ] = [N ⋅ m ]

 l  l  T (l / 2) = qo ⋅  −   = 0 ⋅ qo ⋅ l  2  2 

a pro kontrolu:

[ N ⋅ m −1 ] ⋅ [m] = [N]

[N ⋅ m −1 ⋅ m3 ] = [1] [N ⋅ m − 2 ⋅ m 4 ] [1] ≡ [rad]

Řešením úplné diferenciální rovnice dostávám úplně všechno, ale je to úplně nejpracnější způsob!! Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



93

PŘÍKLAD 6.2.5 (ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY): Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. Určit: v(x) a ϕ(x)



P


94

PŘÍKLAD 6.2.6 (ÚPLNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY): x

Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. qo Určit: v(x) a ϕ(x) a dále maximální průhyb tohoto nosníku

Řešení: Rovnice popisující spojité zatížení bude shodná s předchozím příkladem: l q q( x) = o ⋅ x , l a tedy i úplná diferenciální rovnice včetně řešení postupnou integrací bude shodná s předchozím příkladem: 1 q ⋅ o ⋅x E ⋅ Jz l M . 1 qo x 5 x3 x2 v( x ) = ⋅ ⋅ + K1 ⋅ + K 2 ⋅ + K 3 ⋅ x + K 4 E ⋅ J z l 120 6 2 vIV ( x) =

Řešení se začne odlišovat až při sestavování okrajových podmínek, které musí popsat rozdílný způsob uložení tohoto nosníku od nosníku z předchozího příkladu: Okrajové podmínky: 1. v(0) = 0, 2. Mo(0) = 0, 3. v(l) = 0 4. Mo(l) = 0 Řešením těchto okrajových podmínek dostáváme: Z 1. okrajové podmínky:

K4 = 0 .

Z 2. okrajové podmínky:

K2 = 0 .

Ze 4. okrajové podmínky:

K1 = −

qo l ⋅ . E ⋅ Jz 6

Ze 3. okrajové podmínky:

K3 = +

qo 7 ⋅ l3 ⋅ . E ⋅ J z 360

Výsledné funkce tedy jsou:  3 ⋅ x5  qo v( x ) = ⋅ − 10 ⋅ l ⋅ x 3 + 7 ⋅ l 3 ⋅ x  360 ⋅ E ⋅ J z  l 

.

15 ⋅ x  qo ⋅ − 30 ⋅ l ⋅ x 2 + 7 ⋅ l 3  360 ⋅ E ⋅ J z  l  Maximální průhyb vmax - extrém funkce v(x) – musí nastat tam, kde je první derivace rovna nule:

ϕ ( x) = v I ( x) =

vI ( xextr . ) = 0 ⇒ 0 =

qo 360 ⋅ E ⋅ J z

4

4 15 ⋅ xextr 2 3 . ⋅ − 30 ⋅ l ⋅ xextr . + 7⋅l   l 

⇒

xextr . I,II = l ⋅ 1 ± 0,7303 .

První řešení xextr. = 1,3154⋅l nemá smysl, protože je mimo nosník: xextr. ∉〈0 ; l〉. Možné je tedy jen druhé řešení xextr. = 0,5193⋅l, které splňuje podmínku: xextr. ∈〈0 ; l〉. Maximální průhyb tohoto nosníku tedy bude ve vzdálenosti 0,5193⋅l od levé podpěry jeho velikost je: vmax = v( xextr ) =

[

]

qo ⋅ l 4 q ⋅ l4 . ⋅ 3 ⋅ 0,51935 − 10 ⋅ 0,51933 + 7 ⋅ 0,5193 ≈ 0,006522767 ⋅ o 360 ⋅ E ⋅ J z E ⋅ Jz



P


95

PŘÍKLAD 6.2.7 (BERNOULLIHO DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY): Dáno: F, (l), a, b, E⋅Jz = konst. Určit: v(x) a ϕ(x).



P


96

Deformační energie a průhyb a natočení nosníků (vektorový – Newtonský – přístup je nahrazen skalárním) 2a) MOHRŮV INTEGRÁL (aplikace Castiglianovy věty na energii při ohybu): Castiglianova věta:

Deformační energie při ohybu:

P

PŘÍKLAD 6.2.8 (MOHRŮV INTEGRÁL): Dáno: F, l, E⋅Jz = konst. Určit: vF a ϕF (průhyb a natočení pod silou F)

Pro určení vF by šlo přímo použít Castiglianovu větu:




97

PŘÍKLAD 6.2.9 (MOHRŮV INTEGRÁL):

P

Dáno: M, l, E⋅Jz = konst. Určit: ϕA (natočení v podpěře A)

P

qo A

B

l/2

l x

x I

(I)

RA

Mo (x)

II

RB

vc

PŘÍKLAD 6.2.10 (MOHRŮV INTEGRÁL): Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst.

C

Určit: vc (natočení v krajním bodě C)

Řešení: Vzhledem k rozdílným funkcím popisujícím jak Mo tak i mo v levé a pravé části nosníku musíme také řešení pomocí Mohrova integrálu provést ve dvou polích I a II. Pro popis momentu v I. poli zleva nám stačí znát jen RA: I. x ∈ 〈0 ; l〉:

Mo(I)(x) = RA⋅x – qo⋅x2/2 = qo⋅(l⋅x – x2)/2 mo(I)(x) = – "1"⋅x/2

Mo(II)(x) "1"

II. x ∈ 〈0 ; l/2〉: Mo(II)(x) = 0 mo(II)(x) = – "1"⋅x mo(I)(x)

mo(II)(x) Nyní již tyto funkce dosadíme do Mohrova integrálu: vC =

1 E ⋅ Jz

 l  q ⋅ ∫  o ⋅ l ⋅ x − x 2  0  2

(

) ⋅ −"1"⋅ 2x  ⋅ dx + ∫ [0]⋅ [−"1"⋅x]⋅ d x =

=−

l2

 



0

 

..... qo ⋅ l 4 ⋅ ..... E ⋅ J z

Znaménko „–“ ve výsledku znamená, že skutečný směr deformace vc bude právě opačný než byl zvolený směr jednotkové síly – deformace tedy nebude dolů ale nahoru (je v souladu s logikou deformace tohoto nosníku, kterou jsme předpokládali na začátku). Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



98

PŘÍKLAD 6.2.11 (MOHRŮV INTEGRÁL):

P

Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. Určit: vC ϕA (průhyb uprostřed nosníku a natočení v podpěře A)




99

2b) GRAFICKO ANALYTICKÁ METODA (Vereščaginova metoda výpočtu Mohrova integrálu):




100

MATEMATICKÉ INTERMEZZO

M F

TABULKA (PŘÍKLADY NĚKTERÝCH TVARŮ – OBSAHY A POLOHY TĚŽIŠTĚ):

T

Tvar

xT

xT

xT T a

b

b

xT

b

T

xT

xT

T

xT b

2°

V

T

xT

xT

xT

n°

V

V b T

n°

a

a

a

a

Plocha

a ⋅b

1 ⋅a ⋅b 2

1 ⋅a ⋅b 3

1 ⋅a ⋅b n +1

n ⋅ a ⋅b n +1

xT

1 ⋅a 2

1 ⋅a 3

1 ⋅a 4

1 ⋅a n+2

n +1 ⋅a 2 ⋅ (n + 2 )

xT

1 ⋅a 2

2 ⋅a 3

3 ⋅a 4

n +1 ⋅a n+2

n +3 ⋅a 2 ⋅ (n + 2 )

PŘÍKLAD 6.2.12 (VEREŠČAGINOVO PRAVIDLO):

P

Dáno: F, l, E⋅Jz = konst. Určit: vF a ϕF (průhyb a natočení pod silou F)




101


P

Dáno: M, l, E⋅Jz = konst. Určit: ϕA (natočení v podpěře A)


P

Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. Určit: vCa ϕC (průhyb a natočení v místě C).

Tabulka výpočtu průhybu vC: i

AMi

mTivC

AMi ⋅ mTivC

1 2 3 1

vC = E ⋅ J ⋅ z Tabulka výpočtu natočení ϕC:

i

AMi

mTiϕC

AMi ⋅ mTiϕC

1 2 3 1

ϕC = E ⋅ J ⋅ z Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



102


P

Dáno: qo, l, E⋅J1, E⋅J2 Určit: vC a ϕC (průhyb a natočení v místě C).




103

SOUČINITELE PODDAJNOSTI PŘI OHYBU (příčinkové činitele): Vzájemnost prací ) = základní princip P&P

O

ODVOZENÍ: BETTIHO VĚTA 1. nejprve F v bodě M a pak Q v bodě N

2. nejprve Q v bodě N a pak F v bodě M

PRO DVA OBECNÉ SILOVÉ SYSTÉMY F A Q PLATÍ PRINCIP VZÁJEMNOSTI PRACÍ DVOU SYSTÉMŮ SIL PŘI PŘETVÁŘENÍ PRUŽNÉHO TĚLESA:

Výpočet pomocí PODDAJNOSTÍ δij:

MAXWELLOVA VĚTA O VZÁJEMNOSTI POSUVŮ:

Výhodné využití při řešení nosníků (poddajnosti nahrazujeme „příčinkovými činiteli“):  mm  ηij  ...  N  1 ψij   ... N  mm  ηij   ...  N ⋅ mm   1  ψij   ...  N ⋅ mm 

)

Již v roce 1864 odvodil tento princip pro dvě síly James Clerk Maxwell (1831 – 1879) a následně ho v roce 1872 zobecnil Enrico Betti (1823 – 1892).




104

Využití a výpočty příčinkových činitelů:

1. systém představuje jednotkový účinek v místě hledané deformace 2. systém představuje soustava ostatních sil F1 ... Fn

Skutečný nosník:

Výpočet např. ηC1 x2 x

K výpočtu ηC1 užijeme Mohrův integrál:

x1 1

A

B C

Mo(x) Mo(x) Mo(x2) Mo(x1) "1"

  l/2  1  1    ∫  ⋅1 ⋅ x1  ⋅  ⋅ x1  ⋅ d x1 +  2    0 3 2⋅l / 3     1  l 1  1  ηC1 = ⋅ + ∫  ⋅1 ⋅ x2  ⋅  ⋅ x2 − 1 ⋅  x2 −  ⋅ d x2  +  = ... E ⋅ J z  l/2  3 2  2     l/3 2   +  ⋅1 ⋅ x  ⋅  1 ⋅ x  ⋅ dx  ∫0  3   2 

Odkud vychází: mo(x) mo(x) mo(x2) mo(x1)


ηC1 =

25 l3 ⋅ . 1944 E ⋅ J z



105

STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY ): Přímý nosník zatížený rovinným ohybem = ROVINNÉ TĚLESO ⇒ má TŘI stupně volnosti (třetím stupněm volnosti je posun u(x) ve vodorovném směru x, který je tak malý, že ho nebudeme uvažovat). Pro nosník lze ale napsat pouze DVĚ NEZÁVISLÉ statické rovnice, protože složková rovnice do směru x je splněna automaticky ΣFx: 0 = 0 (většinou používáme složkovou rovnici do směru y a jednu momentovou nebo používáme dvě momentové rovnice). neuvažujeme

Volný konec:

Kloubová podpěra: neuvažujeme

Posuvná podpěra:

Pevné vetknutí:

OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ: 0. rozhodnutí 1. uvolnění 2. nahrazení 3. doplnění 4. řešení

Silové účinky nahrazující odebrané vazby a deformační podmínky: - bez uvažování horizontálních sil (ΣFx: 0 = 0): Posuvná podpěra:

)

Kloubová podpěra:

Vetknutí:

Někteří autoři používají u všech staticky neurčitých úloh univerzální definici: „Ve staticky neurčité úloze je více neznámých silových účinků než kolik jsme schopni sestavit nezávislých statických rovnic“.




106

PŘÍKLAD 6.2.16 (STATICKY NEURČITÝ NOSNÍK):

P

Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. Určit: Mo(x) (průběh momentu po celé délce prutu).




107

Nyní vyřešíme tentýž příklad, ale při použití „vhodnějšího“ uvolnění. Tímto uvolněním sice porušíme původní symetrii, ale vzniklé plochy budou jednodušší. Uvolnění v podpěře C – nahrazení reakcí RC – doplnění deformační podmínky vC = 0. qo A

vC =

C

B

5 1 ⋅ ∑ AM i ⋅ mTviC = 0 (dle Věreščagina) E ⋅ J z i =1

AMi

mTivB

q ⋅ l2 2 ) ⋅ l ⋅ (+ o 3 8 q ⋅ l2 1 ⋅ l ⋅ (− o ) 3 2 q ⋅ l2 1 ⋅ l ⋅ (− o ) 2 2 1 ⋅ l ⋅ ( + RC ⋅ l) 2 1 ⋅ l ⋅ ( + RC ⋅ l) 2

1 ⋅ (+"1"⋅l) 2 3 ⋅ ( +"1"⋅l) 4 2 ⋅ ( +"1"⋅l) 3 2 ⋅ (+"1"⋅l) 3 2 ⋅ (+"1"⋅l) 3

i RC

+qo⋅l /8 2

1 2

–qo⋅l /2 2

3

+RC⋅l

4 5 "1"

+"1"⋅l

AMi ⋅ mTivB 1 ⋅ qo ⋅ l 4 24 1 − ⋅ qo ⋅ l 4 8 1 − ⋅ qo ⋅ l 4 6 1 + ⋅ RC ⋅ l 3 3 1 + ⋅ RC ⋅ l 3 3

+

Výsledný tvar deformační podmínky po dosazení z tabulky bude:

vC =

1 2  6  ⋅− ⋅ qo ⋅ l 4 + ⋅ RC ⋅ l 3  = 0 . E ⋅ J z  24 3 

Pro reálný pružný nosník musí platit E⋅Jz ≠∞ , a proto bude: −

6 2 ⋅ qo ⋅ l 4 + ⋅ RC ⋅ l 3 = 0 24 3

x

⇒

3 RC = + ⋅ qo ⋅ l . 8

Pro vyjádření momentu budeme postupovat zprava od známého RC. I když bychom mohli znovu „oprášit“ symetrii a říci, že svislá reakce RA v bodě A musí být stejná jako RC.

M o ( x ) = + RC ⋅ x − qo ⋅

 3 x2 x2  = qo ⋅  + ⋅ l ⋅ x −  . 2 2   8

Pozici extrému Mo max určíme pomocí derivace: dM o ( x ) x  3 = 0 ⇒ qo ⋅  + ⋅ l − 2 ⋅  = 0 dx 2  8

3 8

M o ( xextr . ) =

⇒

x1 =

⇒ xextr. = ⋅ l ⇒

1 ⋅ qo ⋅ l 2 . 128

A ještě dopočítáme místo nulového momentu: M o ( x1 ) = 0

⇒

 3 x2  qo ⋅  + ⋅ l ⋅ x1 − 1  = 0 2   8

3 ⋅l . 4

A také velikost momentu ve střední podpěře:

 3 2 l2  1 M o ( l) = qo ⋅  + ⋅ l −  = − ⋅ qo ⋅ l 2 . 2 8  8




108

PŘÍKLAD 6.2.17 (STATICKY NEURČITÝ NOSNÍK):

P

Dáno: qo, l, E⋅Jz = konst. Určit: vhodně uvolněte, napište deformační podmínku a nakreslete momentové plochy.

PŘÍKLAD 6.2.18 (STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY): qo

F

l

l

a

a

P

Dáno: qo,(F, M), l, a, E⋅Jz = konst. Určit: uvolněte, napište deformační podmínku a nakreslete momentové plochy.

M l

a qo

+RB⋅l

RB

Všechny tři příklady je vhodné uvolnit odebráním kloubové podpěry, jejím nahrazením osamělou silou RB a připojením deformační podmínky vB = 0, která zaručí shodné chování uvolněné i původní soustavy. F M vB = 0 vB = 0 vB = 0 RB RB +RB⋅l +RB⋅l

–qo⋅a⋅(a/2+l)

–F⋅(a+l)

–M

+qo⋅a2/4

+F⋅a/2

+M/2

–qo⋅a2/2 Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

–F⋅a

–M Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


109

Zde si předvedeme různá řešení první varianty – vždy ale s použitím jiného způsobu uvolnění: 1. uvolnění v podpěře B – nahrazení reakcí RB – doplnění deformační qo podmínky vB = 0. B A RB 3 +RB⋅l 1 vB = ⋅ ∑ AM i ⋅ mTviB = 0 . E ⋅ J z i =1 a q ⋅a2 –qo⋅a⋅( /2+l)

–

/2

o

Při dosazení podle tabulky bude: "1" +"1"⋅l

1 1 1 1 1  ⋅  ⋅ RB ⋅ l 3 − ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l 2 − ⋅ a 2 ⋅ l 2 − ⋅ a ⋅ l3  = 0 . E ⋅ Jz  3 12 6 3 

i

AMi

mTivB

AMi ⋅ mTivB

1

1 ⋅ l ⋅ (+ RB ⋅ l) 2

2 ⋅ (+"1"⋅l) 3

1 2 ⋅ l ⋅ (+ RB ⋅ l) ⋅ ⋅ ( +"1"⋅l) 2 3

2

 a2  1 ⋅ l ⋅  − qo ⋅  2 2 

1 ⋅ (+"1"⋅l) 3

 1 a2  1  ⋅ ⋅ ( + "1"⋅l ) ⋅ l ⋅  − q o ⋅ 2 2  3 

3

1  a  ⋅ − qo ⋅ a ⋅  + l  ⋅ l 2  2 

2 ⋅ (+"1"⋅l) 3

1  2 a  ⋅ − qo ⋅ a ⋅  + l  ⋅ l ⋅ ⋅ (+"1"⋅l) 2  3 2 

Pro

E⋅Jz ≠∞

1 1 1 ⋅ RB ⋅ l3 = ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l 2 + ⋅ qo ⋅ a ⋅ l 3 ⇒ 3 4 3

bude:

 3 a RB = qo ⋅ a ⋅ 1 + ⋅  .  4 l

3 1 1 a    M A = + RB ⋅ l − qo ⋅ a ⋅  + l  = qo ⋅  a ⋅ l + ⋅ a 2 − ⋅ a 2 − a ⋅ l  = + ⋅ qo ⋅ a 2 . 4 2 4 2   

2. uvolnění v podpěře A – nahrazení momentem MA – doplnění deformační podmínky ϕA = 0.

qo

MA

B

A +MA

ϕA = –qo⋅a /2

2 1 ⋅ ∑ AM i ⋅ mTϕi A = 0 . E ⋅ J z i=1

2

"1"

Při dosazení podle tabulky bude:

1 1 1  ⋅  ⋅ M A ⋅ l − ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l  = 0 . E ⋅ Jz  3 12 

+"1"

AMi

mTiϕA

AMi ⋅ mTiϕA

1 ⋅ l ⋅ (+ M A ) 2  1 a2  ⋅ l ⋅  − qo ⋅  2 2 

2 ⋅ (+"1" ) 3

1 2 ⋅ l ⋅ (+ M A ) ⋅ ⋅ (+"1" ) 2 3 2  1 a  1 ⋅ l ⋅  − q o ⋅  ⋅ ⋅ (+"1" ) 2 2  3 

i 1 2

Pro

E⋅Jz ≠∞

bude:

RB =

1 ⋅ (+"1" ) 3

1 1 ⋅ M A ⋅ l = ⋅ qo ⋅ a 2 ⋅ l 3 12

⇒

1 M A = + ⋅ qo ⋅ a 2 . 4

 1 a2 1 a  MA a a   3 a + qo ⋅ ⋅  + l  = qo ⋅ a ⋅  ⋅ + ⋅ + 1 = qo ⋅ a ⋅ 1 + ⋅  . l l 2   4 l 4 l 2 l 




110

7. KOMBINOVANÉ NAMÁHÁNÍ Určete všechna zatížení a popište všechna namáhání, která působí na střední hřídel převodovky.

FO2

z x y

FR2

FT2

FR1

FO1 FT1

Šroubem se šestihrannou hlavou jsou spojena dvě přírubová hrdla. Vypočtěte, kolikrát se zvětší maximální napětí ve šroubu σmax oproti nominálnímu napětí σnom, nebude-li při dotahování dodržena rovinnost dosedacích ploch hlavy šroubu a matice – viz obrázek.

varianta I

varianta II

Tah/tlak (σ) Předpoklady:

Krut (τ)

Ohyb (σ)

Smyk od T (τ)

1. 2. 3.




111

Rozdělení vnitřních účinků:

SÍLY:

MOMENTY:

Fx

Mx

Fy

My

Fz

Mz

Obvykle značíme: Fx = N ; Fy = Tz ; Fz = Tz ; Mx = MK ; My = Moy a Mz = Moz.

Normálová napětí σ :

Smyková napětí τ :

Kombinace:




112

PROSTOROVÝ/ŠIKMÝ OHYB (OHYB + OHYB): a) Stopa ohybového momentu StMo NENÍ totožná ani s jednou z hlavních os setrvačnosti. b) Neutrální osa on NEMUSÍ být kolmá ke stopě StMo.

− OHYB −

Maximální napětí při šikmém ohybu/dimenzování: Poloha neutrální osy:




113

Grafická (skalární) konstrukce neutrální osy:

Pevnostní podmínka/podmínky při šikmém ohybu: 1. HOUŽEVNATÝ MATERIÁL

2. KŘEHKÝ MATERIÁL

Postup řešení: 1. 2. a)

TAH+TAH

b) 3. 4.

TLAK+TLAK

5. 6.




114

PŘÍKLAD 7.1 (ŠIKMÝ OHYB):

P

Dáno: σD = 120 N⋅mm , E = 2,1⋅10 N⋅mm , l = 0,3 m, b = 30 mm; h = 60 mm; F = 1 000 N. Určit: σred (a provést pevnostní kontrolu). –2

5

–2

Deformace při šikmém ohybu:




115

EXCENTRICKÝ TAH/TLAK (OHYB + TAH/TLAK): a) Síla F působí kolmo k průřezu b) Síla F nepůsobí v těžišti průřezu

− působí-li na hlavní centrální ose ⇒ ROVINNÝ OHYB − nepůsobí-li na hlavní centrální ose ⇒ ŠIKMÝ OHYB

POZOR! Neutrální osa on se posouvá mimo těžiště.

PŘÍKLAD 7.2 (EXCENTRICKÝ TLAK): F

Dáno: σDt = 150 N⋅mm–2, σDd = 200 c, a = 20 mm; F = 10 000 N. z

Určit: k (bezpečnost vzhledem k dovoleným hodnotám).

y a

Nejnamáhanější je celá tato stěna

a

a tlak

N

P

Řešení: 1. TLAK: N = F = 10 000 N σt = –N/A = –F/a2 = –10 000/202 = –25 N⋅mm–2

2. OHYB (zde vzhledem k ose y):

F ohyb

Moy = F⋅a/2 = 10 000⋅20/2 = 1⋅105 N⋅mm

σo max/min = ±Moy/Woy = ±6⋅Moy/a3 = ±75 N⋅mm–2

F 3. REDUKOVANÉ NAPĚTÍ: (tlak): σt + σo= –25 – 75 = 100 N⋅mm–2

σred =

(tah): σt – σo = –25 –(–75) = +50 N⋅mm–2

TLAK

StMo

TAH

4. PEVNOSTNÍ KONTROLA: Tah: kt = σDt/σred (tah) = 150/50 = 3,0 Tlak: kd = σDd/σred (tlak) = 200/100 = 2,0

⇒ k = min(kt ; kd) = 2,0

on Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



116

OHYB + KRUT Budeme řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vztahy pro výpočet smykových napětí τ.

TLAK+SMYK

TAH+SMYK

Rovinná napjatost: Teorie (hypotézy) pevnosti: σMAX: MOHR: τMAX: Energetická (H.M.H.):

Houževnatý materiál – úprava vztahů pro kruhový a mezikruhový průřez:




117

TAH/TLAK + KRUT Budeme opět řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vztahy pro výpočet smykových napětí τ.

TAH+SMYK

Rovinná napjatost: Teorie (hypotézy) pevnosti (jen pro houževnatý materiál): τMAX: Energetická (H.M.H.):

Úprava vztahů pro kruhový a mezikruhový průřez:

Praktický postup: 1. 2. 3. 4. a) b) c)




118

PŘÍKLAD 7.3 (OHYB A KRUT):

P Dáno: σD = 200 N⋅mm–2, F = 1 000 N, a = 500 mm; l = 1 000 mm. Určit: ∅dD (dovolený – vyhovující – průměr hřídele).

PŘÍKLAD 7.4 (TAH A KRUT):

P

Dáno: σD = 70 N⋅mm , m = 500 kg, MK = 6 000 N⋅mm. –2

Určit: ∅dD (dovolený – vyhovující – průměr hřídele).




119

8. KŘIVÉ PRUTY A RÁMY (analogie s přímými nosníky staticky určitými a staticky neurčitými) Stanovte namáhání závěsu kabinové lanové dráhy, který je vyroben z dutého čtvercového profilu. Zatížení je způsobeno jednak hmotností kabiny a jednak šesti cestujícími, jejichž hmotnost musíme uvažovat včetně lyžařského vybavení uvažovat. 600 Mt. Elmo - Itálie

RA A-A 100

z

A A R600 90

F

Kabina lanové dráhy, detail jejího závěsu na nosném laně a výpočtový model

Stanovte teoreticky maximální namáhání křivého prutu, který tvoří nosnou konstrukci historické haly Hlavního nádraží v Praze. Hlavní nádraží v Praze

R

S 33,3 m

qo

qo

H

H

H

H 2·V=2·qo·R

V=qo·R 2·R

V=qo·R

2·R

Nosný oblouk haly, detail uložení jeho konců a výpočtový model Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



120

8.1 KŘIVÉ PRUTY ROZDĚLENÍ KŘIVÝCH PRUTŮ (A RÁMŮ) 1. PODLE CELKOVÉ GEOMETRIE h Mo

tenké křivé pruty R ≥ 8 (10 i 5) (málo zakřivené) h Předpokládáme, že neutrální plocha prochází T střednice ≡ on T

tlusté křivé pruty R < 8 (10 i 5) (silně zakřivené) h Předpokládáme, že neutrální plocha je mimo T

σo

σo

T

e

σ1

Mo

Mo

R

Mo

R (→ „∞“)

Mo

T

on

ρ

R

Mo

T

ds

dϕ

dx

ρ=R e

T

η

R ∆dx ODVOZENÍ LINEÁRNÍHO ROZLOŽENÍ

ds ds+∆ds

ρ

dϕ +∆dϕ

T

η ∆ds = η⋅∆dϕ

ODVOZENÍ NELINEÁRNÍHO ROZLOŽENÍ

Z pod. ∆dx vypočteme osovou deformaci εo: Z délek částí oblouků určíme osovou def. εo: ∆ ds η ⋅ ∆dϕ ρ η ∆dx η ε o (η ) = = = ⇒ = = ε o (η ) ds (ρ − η ) ⋅ dϕ dx ∆dx dx ρ Při platnosti Hookova zákona určíme osové (ohybové) napětí σo jako funkci polohy η: η ∆dϕ E σ o (η ) = E ⋅ ε o (η ) ⇒ σ o (η ) = ⋅η = c ⋅η σ o (η ) = E ⋅ ε o (η ) ⇒ σ o (η ) = E ⋅ ⋅ ( ρ −η ) dϕ ρ Z momentové rovnováhy ∫η ⋅ σ o (η ) ⋅ dA = M o určíme konstantu c resp. člen (∆dϕ/dϕ): Mo ∆dϕ Mo = Jz dϕ E ⋅ A⋅e A získáme tak výsledný vztah, který se pro tenké a tlusté křivé pruty velice podstatně liší: c=

σ o (η ) =

Mo ⋅η Jz

σ o (η ) =

Mo η ⋅ A ⋅ e ρ −η

Dále uvažujeme pouze tenké (málo zakřivené) křivé pruty (i rámy) Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



121 2. PODLE USPOŘÁDÁNÍ

rovinné křivé pruty

prostorové křivé pruty qo

F1

F2

y

M

F x r F

z 3. PODLE ULOŽENÍ

(stejn jako u nosník ) Ry

Ry Rx

Ry

Rx M

volný konec (neodebírá nic)

posuvná podp ra (odebírá 1°volnosti)

kloubová podp ra (odebírá 2°volnosti)

k&ivé pruty staticky ur(ité B

pevné vetknutí (odebírá 3°volnosti)

k&ivé pruty staticky neur(ité qo

F B A

A

3 – 3 – 0 = 0 (staticky ur(ité) Volný kraj B neodebírá žádný stupe+ volnosti Podp ra A (vetknutí) odebírá vždy 3°volnosti (dva posuvy a nato(ení) K&ivý prut (t leso) v rovin má celkem 3°volnosti (posuvy x a y a nato(ení ϕ) M

(1× staticky neur(ité)

3 – 3 – 1 = –1 F A

B


3 – 2 – 2 = –1

F

B

M B

A

A

3 – 1– 2 = 0 (staticky ur(ité) qo B

3 – 2 – 3 = –2


qo

A A

3 – 2 – 1 = 0 (staticky ur(ité) Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

3 – 3 – 3 = –3

B

(3× staticky neur(ité) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


122

MATEMATICKÉ INTERMEZZO

M F

Řada křivých prutů, které budeme řešit, je tvořena částmi kruhových oblouků (nejčastěji ½ nebo ¼ kružnice). Při řešení pomocí Mohrova integrálu je třeba integrovat různé kombinace goniometrických funkcí. Proto si zde připomeneme vzorečky, které nám tyto výpočty zjednoduší. Funkce sinus: π2

+1

0

3⋅π

/2

π

/2

2⋅π

∫ sin ϕ ⋅ dϕ = 1, ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = 1 , ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = −1 , ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = −1 .

+1 π

3⋅π 2

π

−1

2⋅π .

3⋅π 2

π

π2 2⋅ π

3⋅π 2

2⋅π

0

π

0

0

π2

π

π

∫ sin ϕ ⋅ dϕ = 2 , ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = −2 , ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = 1, ∫ sinϕ ⋅ dϕ = 0 .

−1

Funkce cosinus: +1

∫ cosϕ ⋅ dϕ = 1 ,

+1

0

3⋅π π

π

/2

/2

π

2⋅ π

π2

π

3⋅ π 2

2⋅ π

3⋅ π 2

2⋅ π

π

0

0

∫ cosϕ ⋅ dϕ = −1 ,

∫ cosϕ ⋅ dϕ = −1 ,

∫ cosϕ ⋅ dϕ = 1 .

∫ cosϕ ⋅ dϕ = 0 , ∫ cosϕ ⋅ dϕ = 0 , ∫ cosϕ ⋅ dϕ = −1 , ∫ cosϕ ⋅ dϕ = 0 .

2⋅π

−1

−1

3⋅ π 2

0

Funkce sinus na druhou: π

π

/4

/4

+1

≡ π

/2

+1

π

π

/2

π

π2

1 π π 2 ∫0 sin ϕ ⋅ dϕ = 2 ⋅ 2 ⋅1 = 4 a

π

∫ sin

2

1 2

π . 2

1

π

ϕ ⋅ dϕ = ⋅ π ⋅1 =

0

Funkce cosinus na druhou: π

π

/4

/4

+1

≡ π

/2

π2

+1

1 π π ∫0 cos ϕ ⋅ dϕ = 2 ⋅ 2 ⋅1 = 4 a 2

π

π

/2

π

π

∫ cos ϕ ⋅ dϕ = 2 ⋅ π ⋅1 = 2 2

.

0

Součin funkcí sinus a cosinus: π 2

∫ sinϕ ⋅ cosϕ ⋅ dϕ =

sin ϕ = t ; cos ϕ ⋅ dϕ = dt

0

0→0 ;

π 2 →1

1

1

t2 1 = ∫ t ⋅ dt = = 20 2 0

Součtové vzorce: sin(α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β ; cos(α ± β ) = cos α ⋅ cos β m sin α ⋅ sin β . sin(2 ⋅ α ) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α ;


cos(2 ⋅ α ) = 2 ⋅ cos 2 α − 1 .



123

Dáno: Kloubově uložený křivý prut, který má tvar polokružnice o poloměru r, je zatížen osamělým momentem M. Prut je vyroben z tyče o modulu E a kvadratickém momentu průřezu J.

M

B

P

ϕB

PŘÍKLAD 8.1.1 (KŘIVÝ PRUT – STATICKY UČITÝ): r

A

C

Určit: Natočení ϕB vrchního bodu křivého prutu a posunutí uA pravé posuvné podpěry.

uA

Řešení: Opět se jedná o křivý prut ve tvaru části kružnice a musíme tedy použít k výpočtu Mohrův integrál.

ϕB =

∫M

o

( s ) ⋅ m mB ( s ) ⋅ ds

a uA =

(s)

E⋅J

∫M

o

( s ) ⋅ m f A ( s ) ⋅ ds

ϕ2

a

RAy = RCy = M/2⋅R

(s)

RCy

E⋅J

ϕ2

Mo(s)

A-B

R ⋅ dϕ1 0

B-C

R ⋅ dϕ 2 π / 2

M ⋅ r ⋅ (1 − cos ϕ1 ) 2⋅r M − ⋅ r ⋅ (1 − cos ϕ2 ) − M 2⋅r

π/2

π

−

A

/

1 2⋅R

/

1 2⋅R

B

ϕ2

Pro výpočet posunutí uA připojíme jednotkovou sílu ″1″ do bodu A a určíme reakci v podpěře B: rCx = 1 . ds dolní mez

ϕ1

C

RCx = 0).

pole

RAy

B

Nyní připojíme do bodu B jednotkový moment ″1″ a opět určíme reakce v podpěrách A a C: rAy = rCy = 1/2⋅r a rCx = 0 .

horní mez

A

″1″

ΣMA: − RCy ⋅ 2 ⋅ r + M = 0 (Σ ΣFx:

ϕ1

C

Protože úloha je staticky určitá (3 – 2 – 1 = 0), můžeme reakce v podpěrách vyvolané momentem M určit přímo ze stat. rovnic: ΣMC: RAy ⋅ 2 ⋅ r − M = 0

M

B

C

ϕ1

A

1

momB (s )

″1″

mof A (s )

1 ⋅ r ⋅ (1 − cos ϕ1 ) "1"⋅r ⋅ sin ϕ1 2⋅r 1 − ⋅ r ⋅ (1 − cos ϕ2 )+"1" "1"⋅r ⋅ sin ϕ1 2⋅r −

Hledané deformace (natočení ϕB a posuv uA) vypočteme integrací přes celou délku prutu:

1 ϕB = E⋅J

π 2 M   1  ⋅  ∫ − ⋅ (1 − cos ϕ1 ) ⋅ − ⋅ (1 − cos ϕ1 ) ⋅ [r ⋅ dϕ1 ] +  0  2   2 

,

M ⋅r  M   1  + ∫ − ⋅ (1 − cos ϕ2 ) + M  ⋅ − ⋅ (1 − cos ϕ2 )+"1" ⋅ [r ⋅ dϕ2 ] = + KKK ⋅ 2 E⋅J   2  π 2 π

1 uA = E⋅J

π 2  M  ⋅  ∫ − ⋅ (1 − cos ϕ1 ) ⋅ [1"⋅r ⋅ sin ϕ1 )] ⋅ [r ⋅ dϕ1 ] +  0  2 

2  M   1 1 M ⋅r + ∫ − ⋅ (1 − cos ϕ 2 ) + M  ⋅ ["1"⋅r ⋅ sin ϕ 2 ] ⋅ [r ⋅ dϕ 2 ] =  − +  ⋅ =0 2   4 4 E⋅J π 2 π

.

Znaménko „+“ ve výsledku ϕB znamená, že skutečný smysl deformace je shodný se zvoleným smyslem (dle směru jednotkového momentu). Výsledek „0“ ve výpočtu uA znamená, že se bod A působením momentu M neposune. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



124

PŘÍKLAD 8.1.2 (KŘIVÝ PRUT – STATICKY URČITÝ): B

P

M

vA

A

Určit: Průhyb vA a úhel natočení ϕA volného konce křivého prutu a maximální namáhání.

ϕA

h

Dáno: Vetknutý lomený křivý prut o délkách polí l a h je vyroben z ocelové tyče o modulu E a čtvercovém průřezu o straně a je zatížen na svém volném konci v bodě A osamělým momentem M.

l

C

Řešení: Průřezové charakteristiky potřebné v tomto případě budou osový kvadratický moment průřezu resp. 1 1 průřezový modul v ohybu: J z = ⋅ a 4 resp. Woz = ⋅ a 3 12 6 A M1

Deformace tohoto staticky určitého (3 – 3 – 3 = 0) lomeného křivého prutu zatíženého osamělým momentem M je velice výhodné řešit s využitím Vereščaginova pravidla výpočtu Mohrova integrálu.

M

T1

M

A

B

vA =

AMi

T2 C

Momentové plochy AMi tvoří dva obdélníky podél stran křivého prutu. Jejich těžiště jsou pak právě uprostřed délky jednotlivých stran lomeného křivého prutu. Nyní připojíme do místa A sílu ″1″ ve směru hledané deformace (pravděpodobně dolů). Momentové plochy mofA(x) tvoří trojúhelník a obdélník se shodnou maximální hodnotou ″1″⋅l. Hledaný posuv vA bude:

A M2 ″1″

″1″⋅l B

mTf1A

mTf2A

mof A (x)

A

vA =

C

″1″

″1″ B

mTm2 A

mTm1 A momA (x)

C

A

2 2 1 1 ⋅ ∑ AM i ⋅ mTfiA a ϕ A = ⋅ ∑ AM i ⋅ mTmi A . E ⋅ J i=1 E ⋅ J i=1

1 E ⋅ Jz

  M ⋅l  l 1   ⋅ (M ⋅ l ) ⋅  ⋅"1"⋅l  + [(M ⋅ h ) ⋅ ("1"⋅l )] = ⋅ + h 2     E ⋅ Jz  2 Dále připojíme do místa A moment ″1″ ve směru hledané deformace (resp. zvolíme předpokládaný směr). Momentové plochy momA(x) tvoří obdobně jako vnější zatížení momentem M dva obdélníky se shodnou maximální hodnotou ″1″. Hledaný úhel natočení ϕA bude:

ϕA =

1 12 ⋅ M ⋅ {[(M ⋅ l ) ⋅ ("1")] + [(M ⋅ h ) ⋅ ("1")]} = ⋅ (l + h ) . E ⋅ Jz E ⋅ a4

Maximální namáhání σo max tohoto prutu je po celé jeho délce stejné a je velikosti M. Hledané napětí tedy bude v krajních vláknech průřezu po celé délce (l + h) stejné:

σ o max =


M o max Wo

=

6⋅M . a3



125

FYZIKÁLNÍ INTERMEZZO

M F

Řada křivých prutů, které budeme řešit, bude ohřátá o ∆T oproti původnímu stavu. V případě staticky určitých úloh vyvolá toto ohřátí deformaci a v případě staticky neurčitých úloh vyvolá toto ohřátí vnitřní účinky v důsledku zabránění volným deformacím. Toto vše souvisí s teplotní roztažností materiálů, kterou lze u běžných konstrukčních materiálů popsat pomocí součinitele lineární teplotní roztažnosti α, který považujeme pro daný materiál za konstantní. Všichni zajisté znáte vzorec pro prodloužení prutu při jeho ohřátí: ∆l ∆T = ∫ α ⋅ ∆T ( x) ⋅ dx (l )

a pro konstantní ohřev ∆T(x) = konst. dostáváme:

∆l ∆T = α ⋅ ∆T ⋅ l . Ze zkušenosti od zkoušek dobře vím, že tento vztah ovládáte, ale o hodně horší to je s jeho aplikací, takže se to pokusím shrnout: 1. Teplotní deformace se vždy vztahuje k počátku resp. k nějakému pevnému bodu 2. Teplotní deformace nastává ve všech směrech stejně a záleží jen na původní velikosti 3. Teplotní deformace v určitém směru je vždy závislá na kolmé vzdálenosti vyšetřovaného místa a vztažného bodu (počátek resp. pevný bod). ∆T

Protože délka lx (vzdálenost míst A a B ve vodorovném směru)je ve všech třech případech stejná teplotní deformace do vodorovného směru: ∆l ∆T = α ⋅ ∆T ⋅ l x

A

B

Při určení posunutí od teploty ve vodorovném směru ∆l∆T nehraje roli tvar tělesa ale pouze a jen jeho rozměr do vodorovného směru lx. ∆l∆T

lx

l

h

α⋅∆T⋅h

l

α⋅∆T⋅l

∆T

h1

∆T

R

h2 2⋅ R

α⋅∆T⋅l

α⋅∆T⋅0 = 0

α⋅∆T⋅(h1–h2)

Obdobně bude u křivých prutů rozhodující kolmá vzdálenost řešeného místa od vztažného resp. pevného bodu. Zde uvedu některé příklady pro objasnění výpočtu teplotních deformací.

α ⋅∆T⋅2⋅R

∆T

Celková změna délky prutu je ∆l=α⋅∆T⋅π⋅R, ale to v tomto případě není vůbec důležité.

POZOR!! Teplota neovlivňuje natočení ve vetknutí!! Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



126 ∆T

PŘÍKLAD 8.1.3 (KŘIVÝ PRUT – STATICKY NEURČITÝ OHŘÁTÝ):

P

C

Dáno: Tenký křivý prut je na obou krajích vetknutý. Tvoří ho půlkružnice o poloměru R. Prut je vyroben z materiálu o modulu pružnosti E a součiniteli teplotní roztažnosti α. Tyč B má čtvercový průřez o straně a a je celý ohřátý o ∆T.

r

A

Určit: Reakční účinky v uložení (RAx; RAy a RBx; RBy) a místo a velikost největšího namáhání σo max tohoto tenkého křivého prutu. Řešení: Tato úloha je obecně 1× staticky neurčitá: 3 – 2 – 2 = –1. UVOLNĚNÍ staticky určitý prut

NAHRAZENÍ přidáme reakci RAx

∆T

C

DOPLNĚNÍ deformační podmínka

u A = u A∆T − u ARA = 0

∆T

C

ŘEŠENÍ tento křivý prut je tvořen částí kruhového oblouku, proto použijeme přímo řešení pomocí Mohrova integrálu.

nebo B

A RAx

B

A

∂U = α ⋅ ∆T ⋅ 2 ⋅ r ∂RAx

Z rovnováhy do svislého směru a při zachování symetrie prutu musí platit: RAy = RBy = 0. Tabulka funkcí dosazených do Mohrova integrálu:

ds

R⋅sinϕ

dϕ

ϕ

B

RAx

A

pole

horní

A-B r ⋅ dϕ1 π 0

"1"

Mo(s)

mof A (s )

+ RAx ⋅ r ⋅ sin ϕ

+"1"⋅r ⋅ sin ϕ

ds dolní

Mohrův integrál vyjadřující obecné „volné“ vodorovné posunutí bodu A bude: ∂U 1 = u Ax = ⋅ M o ( s ) ⋅ mof A ( s ) ⋅ ds ∂R Ax E ⋅ J (∫l )

a po dosazení jednotlivých funkcí určených pro tento příklad:

1 R ⋅ r3 R ⋅ r3 π ⋅ ∫ [RAx ⋅ r ⋅ sin ϕ ] ⋅ ["1"⋅r ⋅ sin ϕ ] ⋅ [r ⋅ dϕ ] = Ax ⋅ ∫ sin 2 ϕ ⋅ dϕ = Ax ⋅ = α ⋅ 2 ⋅ r ⋅ ∆T . E⋅J 0 E⋅J 0 E⋅J 2 π

π

Odtud již vychází velikost hledané (staticky neurčité) reakce: RAx = +

4 ⋅ α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ J α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ a 4 = + . π ⋅ r2 3⋅ π ⋅ r2

Znaménko „+“ ve výsledku znamená, že zvolený směr reakce RAx odpovídá skutečnosti.

σo max

Maximální namáhání vzniká v horním a dolním krajním vlákně a to v nejvzdálenějším místě od nositelky síly RAx, tedy ve vrchním bodě (C): M o max = RAx ⋅ r =

α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ a 4 3⋅ π ⋅ r


a σ o max =

M o max Wo

=

2 ⋅ α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ a . π⋅r

C −σo max



127

8.1 RÁMY (TENKÉ) RÁM = obecný křivý prut se spojenými konci Určete maximální namáhání rámu sedačkové lanovky při zatížení dvěma lyžaři každý, znáte-li jejich hmotnost, materiál a rozměry rámu sedačky. a/ 2 E⋅J1 RA

a

RB

F

E⋅J2

F

a/ 4

a/ 2

a/ 4

(a) Sedačková lanovka, detail jedné sedačky a výpočtový model

Stanovte maximální namáhání a maximální deformaci bezpečnostního oblouku vozu Ferrari 156 Dino při zatížení osamělou silou v ose oblouku.

∅d

Ferrari 156

∅D

F 2

(4⋅R)

R

R/

R

45°

(4⋅R)

Ferrari 156 Dino, celkový pohled na trubkovou konstrukci a výpočtový model bezpečnostního rámu




128

ROVINNÝ RÁM: t&i vnit&ní NEZNÁMÉ ú(inky (Fx, Fy a Mz resp. N, T a Mo) ⇒ je obecn 3× staticky neur(itý PROSTOROVÝ RÁM: šest vnit&ních NEZNÁMÝCH ú(ink (Fx, Fy, Fz, Mx, My a Mz) ⇒ je obecn 6× staticky neur(itý Dále budeme &ešit pouze rovinné rámy – tedy pouze se t&emi vnit&ními ú(inky v každém bod rámu. Způsob řešení:

Prut uvolníme (roz&ízneme) v bod A a dále po(ítáme jako vetknutý k&ivý prut: Reak(ní síly p&i&adíme k vn jším zatížením deforma(ní podmínky t≈v

bod A

uvoln ní

NA

MA

n≈u

A TA

ϕA = 0 ≡

∂U =0 ∂M A

≡

∂U =0 ∂N A

vA = 0 ≡

∂U =0 ∂T A

uA = 0

Obecný rovinný rám je tedy t&ikrát staticky neur(itý ≡ máme t&i neznámé vnit&ní ú(inky.

Prvky ovlivňující stupeň statické neurčitosti rámu (tenkého rovinného):

Existují ale dv skute(nosti, které ovliv+ují statickou neur(itost a tedy po(et neznámých ú(ink : 1. každá osa symetrie (jak vzhledem ke tvaru tak i sou(asn i k zatížení) SNIŽUJE statickou neur(itost o jeden stupe+ (maximáln však nejvíce o 2°⇒ úloha bude vždy staticky neur(itá!!!) 2. každá p&í(ka vložená do rámu ZVYŠUJE statickou neur(itost o jeden stupe+ (bez omezení) P&íklady aplikace obou „pravidel“ do praxe: Uvažujme tenký rovinný rám ve tvaru (tverce, který bude r zn zat žován a bude se tak m nit jeho celková symetrie a z toho plynoucí další zp sob výpo(tu. 1. Rám je zatížen různými silami F1 až F4 a dvěma různými spojitými zatíženími q1 a q2.

F3

Tento rám nemá žádnou osu symetrie, bude 3× neur(itý a &ešíme ho „vcelku“. Deforma(ní podmínky pro bod A budou:

F4

∂U ∂U ∂U =0 , =0 a = 0. ∂M A ∂N A ∂T A

bod A F2

F1

q2 q1 Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

Získáme tak soustavu 3 rovnic pro 3 hledané neznámé: MA , NA a TA.

TA F2 F3

F1

NA MA

F4 q2 q1 Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


129

2. Rám je zatížen dvěma stejnými silami F a spojitým zatížením qo. bod A F

Tento rám má jednu osu symetrie, bude 2× staticky neur(itý a sta(í &ešit jen jeho jednu polovinu. Sílu TA ur(íme ze symetrie a z rovnováhy: TA = 0.

F

qo

symetrie

a sou(asn

TA = 0 F NA = ? MA = ?

rovnováha (akce a reakce) ∂U =0 ∂M A

Deforma(ní podmínky pro bod A tak sta(í jen:

qo ∂U = 0. ∂N A

a

Získáme tak soustavu 2 rovnic pro 2 hledané zbývající neznámé: MA a NA. 3. Rám je zatížen jednou silou F a spojitým zatížením qo. bod A

T A = F/ 2 Tento rám má jednu osu symetrie, bude 2× staticky NA = ? neur(itý a sta(í &ešit jen jeho jednu polovinu. Sílu TA ur(íme op t ze symetrie a z podmínky rovnováhy MA = ? v bod A po spojení obou (ástí k sob : TA = F/2.

F

F

qo

symetrie

a sou(asn

qo

rovnováha

Zbývající dva ú(inky jsou neur(ité: MA = ? a NA = ? a ur(íme je pomocí deforma(ních podmínek pro bod A, které se oproti p&edchozímu p&íkladu nezm nily:

∂U =0 ∂M A

a

∂U = 0. ∂N A

Získáme tak soustavu 2 rovnic pro 2 hledané zbývající neznámé: MA a NA. Poznámky:

a) Rám m žeme uvolnit i opa(n (vetknout v bod A a &ešit v bod B). Toto uvoln ní není z hlediska pracnosti výhodné, ale je možné. V tom p&ípad nesmíme zapomenout, že na p vodním rámu v bod B nep sobila žádná osam lá síla (spojité zatížení je po celé délce), a tak op t musí platit: MB = ? T B = 0. NB = ? Deforma(ní podmínky budou op t sta(it dv :

∂U ∂U =0 a =0. ∂M B ∂N B

TB = 0

qo

b) Známe-li všechny vnit&ní ú(inky v jednom bod (ur(ené pomocí deforma(ních podmínek resp. statických rovnic), známe vše, co jsme pot&ebovali. Vnit&ní silové ú(inky v kterémkoliv jiném míst &ešeného rámu (k&ivého prutu) stanovíme pomocí t&í statických rovnic rovnováhy (složkových nebo momentových) Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



130

4. Rám je zatížen dvěma silami F. bod A Tento rám má dv osy symetrie, bude 1× staticky neur(itý a F T A = F/ 2 sta(í &ešit jen jeho jednu (tvrtinu. Sílu TA ur(íme op t ze symetrie a z rovnováhy v bod A: TA = F/2. NA = 0 Sílu NA ur(íme ze symetrie a z rovnováhy: NA = 0. MA = ?

a sou(asn

symetrie F

rovnováha

ΣFx: NA = 0

Zbývá tedy jediný neznámý moment MA, a ten ur(íme z deforma(ní podmínky:

∂U =0 . ∂M A

Poznámky:

a) Rám m žeme mít i více os symetrie (4), ale v tomto p&ípad se již nesnižuje statická neur(itost, jen by sta(ila &ešit pouze jedna osmina rámu (v tšinou F však &ešíme celou (tvrtinu), protože namáhání zbývajících sedmi osmin je shodné. V t chto p&ípadech je pak vždy jedinou neznámou moment MA.

F

N A = F/ 2 F

T A = F/ 2

MA = ?

F

b) Známe-li všechny vnit&ní ú(inky v jednom bod (ur(ené pomocí deforma(ních podmínek resp. statických rovnic), známe vše, co jsme pot&ebovali. Vnit&ní silové ú(inky v kterémkoliv jiném míst &ešeného rámu (k&ivého prutu) stanovíme pomocí t&í statických rovnic rovnováhy (složkových nebo momentových) 5. Rám s poddajnou příčkou (E⋅A ≠∞) je zatížen dvěma silami F.

Tento rám má dv osy symetrie, ale ješt má TB = Rpř. jednu p&í(ku a bude tedy 2× staticky TB = ? neur(itý. Sta(í sice &ešit jen jeho jednu NB = 0 F F a (tvrtinu, ale p&í(ka vnáší další neznámoua/2 MB = ? sílu TB = Rpř.. Tu již neur(íme ze symetrie a z rovnováhy, ale z další deforma(ní E⋅ A/ 2 p&í(ka E⋅Apř. = konst. podmínky, která zaru(í stejné posunutíuvažujeme jen ¼ p&í(ky, protože zbývající (tvrtiny pat&í k dalším bodu B na rámu (ástem rozd leného p vodního i na p&í(ce. Sílu NB ur(íme ze symetrie a z rovnováhy: NB = 0. (tvercového rámu. bod B

Zbývají tedy dva neznámé vnit&ní ú(inky - moment MB a reakce v p&í(ce Rpř.. Ty ur(íme ze dvou deforma(ních podmínek: ∂U =0 ∂M B


a

a TB ⋅ ∂U 2 . = A ∂TB př . E⋅ 2

Na celou p&í(ku tedy p sobí na obou koncích síly o velikosti 2⋅TB.

2 ⋅T B a 2 ⋅T B



131

PŘÍKLAD 8.2.1 (TENKÝ RÁM SE DVĚMA OSAMI SYMETRIE): Dáno: Tenký rám tvoří dvě polokružnice spojené přímými částmi a v protilehlých bodech A a E je zatížen osamělými silami F.

C

B

D r

r

F

Určit: Zvětšení ∆AE střední vzdálenosti AE v důsledku zatížení silami F, znáte-li rozměr r a je-li E⋅Jz = konst..

P F E

A

2⋅r

Řešení: Rovinný rám je obecně 3× staticky neurčitý, ale každá osa symetrie snižuje neurčitost o jeden stupeň (maximálně ale o 2°). Náš rám má právě dvě osy symetrie, a tak bude jedenkrát staticky neurčitý – staticky neurčitým účinkem je v těchto případech vždy vnitřní ohybový moment M. Vzhledem k symetrii stačí řešit pouze ¼ tohoto rámu jako vetknutý křivý prut s volným koncem, na který připojíme vnitřní účinky T, N a M. Hodnoty T a N musíme určit s využitím symetrie a staticky neurčitý moment M pomocí deformační podmínky. Obecně existují dvě možnosti „uvolnění“ a řešení tohoto tenkého rámu. My vzhledem k dalšímu zadání prut vetkneme v bodě C, do bodu A připojíme vnitřní účinky NA, TA a MA a doplníme deformační podmínku:

ϕA = 0. Ze symetrie nepůsobí nic do svislého směru

⇒ NA = 0.

Ze symetrie se síla F rozdělí na obě části stejně ⇒ TA = F/2.

x B

ψ

C

r

T A = F/ 2 A NA = 0 "1" MA

Nyní vyjádříme deformační podmínku pomocí Mohrova integrálu přes pole ABC: 1 ϕA = E ⋅ Jz

r π 2  2⋅ F ⋅ r F F . ⋅  ∫ [M A − ⋅ r ⋅ sinψ ] ⋅ ["1" ] ⋅ [r ⋅ dψ ] + ∫ [M A − ⋅ r ] ⋅ ["1" ] ⋅ [dx] = 0 ⇒ M A = 2+π 2 2  0  0

Deformaci ∆AE = 2⋅uA určíme také pomocí Mohrova integrálu přes pole A-B-C, do kterého dosadíme za staticky neurčitý moment MA vypočtenou velikost a připojíme jednotkovou sílu: ∆AE =

2 E⋅ Jz

π 2 F ⋅  ∫ [ M A − ⋅ r ⋅ sinψ ] ⋅ [−"1"⋅r ⋅ sinψ ] ⋅ [r ⋅ dψ ] + 2  0

 F F ⋅r3 + ∫ [ M A − ⋅ r ] ⋅ [−"1"⋅r ] ⋅ [dx] = + K ⋅ . 2 E⋅ Jz 0  r

B

C

TA = F/2 A "1" MA =

2 ⋅F ⋅r 2+π

Poznámka:

"1" TC = 0 C

Druhý způsob uvolnění: Křivý prut vetkneme v bodě A a do bodu C připojíme vnitřní silové účinky NC, TC a MC a doplníme deformační podmínku: ϕC = 0 .

B

Ze symetrie k vodorovné ose vychází NC = F/2 a ze symetrie ke svislé ose a ze zákona akce a reakce vychází TC = 0.

MC NC = F/2

A

Deformační podmínku vyjádříme opět pomocí Mohrova integrálu přes pole CBA:

ϕC =

1 E ⋅ Jz

π 2  r F  ⋅ ∫ [ M C ] ⋅ ["1" ] ⋅ [dx] + ∫ [ M C + ⋅ r ⋅ (1 − cosψ )] ⋅ ["1" ] ⋅ [r ⋅ dψ ] = 0 2  0  0

⇒

MC =

(2 − π) ⋅ F ⋅ r 2 ⋅ (2 + π )

.

Správnost výsledku ověříme pomocí momentové rovnice v místě A ze složek v místě C:

M C + NC ⋅ r − M A = 0 Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016

⇒

MA =

(2 − π) ⋅ F ⋅ r F 2 + ⋅r = ⋅F ⋅r 2 ⋅ (2 + π ) 2 2+π

(odpovídá předchozímu výsledku). Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


132

9. ÚVOD DO EXPERIMENTÁLNÍ P&P Při tlakové zkoušce zkušebního tělesa (viz dolní obrázek) o středním průměru Ds = 816 mm s nominální tloušťkou stěny tnom = 12 mm o délce l ≈ 7 m vyrobeného z oceli označené X60 (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 a ν = 0,3) byl pro přesné stanovení nominálního stavu napjatosti ve stěně potrubí ve střední části zkušebního tělesa nainstalován tenzometrický kříž HBM 6/120 XY91 orientovaný do hlavních směrů. SNÍMAČ TLAKU

Číslo měř. 1 2 3 4 5

Tlak p [MPa] 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Deformace

εt

εo

[1⋅10-6] 0 0 152 37 269 50 425 99 527 115

Toto je kapitola, která doplňuje základní znalosti pružnosti a pevnosti o část experimentální, protože ne všechno lze spočítat. Zde se budeme věnována zejména odporové tenzometrii a optickým metodám stanovení napětí resp. deformací tělesa. Část věnovaná odporové tenzometrii je přehledem toho nejdůležitějšího, co je třeba o této oblasti vědět. Podrobně se tenzometrii věnuje předmět „Experimentální analýza napětí“, který je součástí výuky oboru Aplikovaná mechanika. Část věnovanou optickým metodám čerpá ze starších skript Pružnost a pevnost – Laboratorní cvičení a je doplněna o moderní poznatky z různých zdrojů a pracovišť zabývajících se optickými metodami.

10.1 ODPOROVÁ TENZOMETRIE Historie tenzometrie: Máme-li hovořit o odporové tenzometrii, je třeba vrátit se hodně do minulosti. Musíme si při té příležitosti připomenout jednotlivá významná data, důležitá i pro řadu jiných vědních oborů než jen pružnost a pevnost. Současné trendy jsou zaměřeny zejména na zpřesňování měření a následně na oblast vyhodnocovací. To však neznamená, že by byla odporová tenzometrie uzavřenou experimentální metodou, spíše naopak. Stále se objevují nová řešení zejména v oblasti zpracování měřeného signálu a tenzometrická měření se stala běžnými na řadě pracovišť. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



133

... jak to vlastně všechno začalo? Rok

Obrázek

Událost

XV. až XVII. stol.

Náčrt od Leonarda da Vinci σ

1660 a 1807

Jedním z prvních učenců, kteří se zabývali otázkami pevnosti, byl italský renesanční umělec, myslitel a vynálezce Leonardo da VINCI (1452 - 1519), který řadu svých návrhů doplňoval jednoduchými pevnostními kontrolami. Opravdový začátek pružnosti a pevnosti jako vědní disciplíny je však spojen až se jménem italského vědce Galileo GALILEI (1564 - 1642), který působil v Padově jako profesor matematiky a byl prvním, kdo se zabýval otázkou pevnosti nosníků a provedl i celou řadu praktických experimentů zatěžování vetknutých nosníků až do jejich porušení. Další vědci již nedosahovali věhlasu těchto dvou. Britský přírodovědec a fyzik Robert HOOKE (1635 – 1703) jako první objevil závislost mezi napětím a deformací (1660), kterou roku 1807 popsal Thomas YOUNG (1773 – 1829) a je známa jako Hookův zákon a jeho nejznámější tvar je pro jednoosou napjatost:

σPt σK σu ≈E

ε

Tahový diagram konstrukční oceli

ε=

σ E

,

kde E značí modul pružnosti nebo Youngův modul pružnosti.

... a jak to šlo dál? Rok

Obrázek

Následné období

Huggenbergerův tenzometr

1843 a 1856

~ Schéma Wheastoneova můstku


Událost Vztah deformace - napětí je využíván pro vyhodnocování hodnot naměřených mechanickými "tenzometry". Ty pracují na principu pákových převodů zvětšujících deformace do sledovatelné velikosti. Základní nevýhody těchto snímačů jsou: • vzhledem k velikosti základny nelze měřit lokální hodnoty, • měřený objekt musí být vzhledem k pozorovateli v klidu, • vzhledem ke způsobu odečtu lze měřit jen statické děje, • k měřenému povrchu musí být relativně dobrý a volný přístup, • není možná automatizovaná registrace měřených hodnot a jejich následné zpracování V polovině XIX. století je objevena elektrická energie a její vlastnosti. Okamžitě dochází ke snahám využít tyto vlastnosti k měření různých veličin, a tedy i deformací. Pro další vývoj měly význam zejména dva objevy, které se po mnoha letech uplatnily v tenzometrii. Brit Charles WHEASTONE (1802 - 1875) popsal princip můstkového zapojení odporů a jeho aplikaci ve fyzice, Brit William THOMSON (1824 – 1905), známý spíše jako Lord Kelvin, popsal Thomsonův jev vedení proudu vodičem.



134

... a jak to šlo dál?

1931

1 měřící vinutí lepené na papíře 2 ochranná krycí látka 3 izolátory s vyvedenými vodiči 4 pomocná výztuha (odstraní se) 5 přívodní vodiče

4

až 1938 2

1

3

5 Rugeho tenzometr

M120

10 mm

1941

Drátkový tenzometr (Mikrotechna M120) 10 mm

1952 Fóliový tenzometr (HBM 1-LY11-6/120)

V USA pracují dva vědci zabývající se problematikou měření mechanických veličin pomocí elektrického proudu, kteří prakticky ve stejné době docházejí k principu funkčního odporového tenzometru: Edward E. SIMONS v Kalifornii nalepil tenký drát na povrch válečku a sledoval elektrickou odezvu na zatížení válečku, Arthur C. RUGE v Massachusetts jako první použil skutečné odporové tenzometry, které lepil na dna nádrží. Celý vývoj dovedl až do fáze praktické aplikace, a to i na dynamické problémy. V Evropě probíhaly pokusy na bázi Thomsonova efektu zejména v Německu. Elektrotechnická společnost AEG zde prováděla pokusy s měřením pomocí uhlíkových pásků, ale tato metoda se neosvědčila. Letečtí konstruktéři velice brzy začali využívat odporové tenzometry při zkouškách nových konstrukcí, a tak začíná sériová výroba tenzometrů. V roce 1941 je během dvou měsíců v USA vyrobena série 50 000 kusů tenzometrů v podobě, která přežila řadu následujících let s minimem úprav až do současnosti. U nás dříve drátkové tenzometry vyráběl podnik Mikrotechna Praha. Německý inženýr Paul EISLER poprvé předvedl technologii tištěných spojů. Tato technologie se okamžitě uplatnila i v odporové tenzometrii, kdy již nebylo třeba na nosné médium lepit meandr vytvořený z drátku, ale bylo možno přímo na nosné médium (nejčastěji fólie z plastu) nanést "vinutí" požadovaného tvaru podle potřeby určení tenzometru.

... a jak je to v současnosti? Rok

Obrázek 0,02 mm

1954

Událost ∅ 0,1 mm

6 mm

Polovodičový tenzometr (VZLÚ SP-17-6-12)

Následné období

10 mm

až XXI. století „Snímačový“ tenzometr (HBM 1-KY41-6/350)

Američan C. S. SMITH popsal piezoelektrický efekt polovodičů. Tento efekt byl následně využit k měření malých deformací. Nejprve to byly tenké pásky germania a později křemíku. Tyto tenzometry jsou používány dodnes a jejich předností je velká citlivost a tedy použitelnost při měření velmi malých deformací. Nevýhodou je vyšší cena a kvalitativně vyšší nároky na měřící aparaturu., zejména na její přesnost Stále nové technologie nacházejí uplatnění v měřících metodách. Sem patří např. technologie „napařování“, kdy je měřící vrstva přímo nanesena na měřený povrch součásti. Jedná se však spíše o ojediněle používaný způsob měření. Firma HBM zase uvedla na trh v devadesátých letech tenzometry třídy K, které jsou určeny pro výrobu přesných měřících prvků. Dnes již existuje celá typová řada tenzometrů této třídy. Postup instalace těchto tenzometrů je shodný s běžným fóliovým tenzometrem. Další vývoj se zaměřuje zejména na zpřesnění měřící aparatury a na následné zpracování dat.

Princip odporového tenzometru: Slovo „tenzometr“ sice vychází z latinského slova „tensó“, což v překladu znamená napětí, ale jak záhy zjistíte o napětí zde ve skutečnosti nepůjde. Některá cizojazyčná vyjádření téhož zařízení jsou podstatně šťastnější a výstižnější, ale některá jsou stejně zavádějící jako v češtině: Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



135

... jak to kdo říká? Kdo?

Jak?

A co to doslova znamená?

Angličan

Strain gauge

snímač deformace

Němec

der Dehnungmeßstreif (DMS)

pásek měřící prodloužení

Slovák

tenzometer

měřič napětí

Francouz

le tensiomètre

měřič napětí

Rus

тензометер [tjenzométěr]

měřič napětí

Základní princip tenzometru je postaven na znalostech z počátků pružnosti a pevnosti a na znalostech z počátků klasické elektrotechniky. Simeon Denis POISSON žil v letech 1781 až 1840. Autor můstkového zapojení Charles WHEASTONE žil v letech 1802 - 1875 a Lord KELVIN, který popsal Thomsonův jev, žil v letech 1824 - 1905. Nicméně ke vzájemnému „propojení“ těchto poznatků došlo až o mnoho let později. Američané Edward E. SIMONS v Kalifornii a Arthur C. RUGE v Massachusetts v letech 1931 a 1939 nezávisle na sobě využili změny odporu vodiče v důsledku jeho deformace k praktickým měřením. A až teprve v roce 1941 byla poprvé zahájena velkosériová výroba a zbytek je vlastně už současnost a obecně lze tedy princip odporového tenzometru odvodit na základě matematiky, elektrotechniky a pružnosti. ... jak to funguje? Elektrotechnika Odpor vodiče: kde:

R= ρ⋅

ρ

l , A

je měrný odpor [Ω⋅m] l je délka vodiče [m] A je plocha průřezu [m2] Také ale platí: ρ = ρ(T) , kde T je teplota. Pak tedy:

∂ρ ≠0 ∂T

Pružnost a pevnost Poissonův zákon: ε př = − µ ⋅ ε pod , kde:

εpod εpř µ

je podélná deformace je příčná deformace je Poissonovo číslo

[1] , [1] , [1] .

Pak tedy:

∆l = ε pod ⋅ l a ∆a = ε př ⋅ a resp. ∆b = ε př ⋅ b . a resp.

∆a = − µ ⋅ ε pod ⋅ a

∆b = − µ ⋅ ε pod ⋅ b .

Matematika Dojde-li k zatížení vodiče v podélném směru, dojde v tomto směru k jeho prodloužení a v příčném směru k jeho zkrácení. Tím se samozřejmě změní jeho výsledný odpor. Tuto změnu můžeme zapsat ve tvaru:

l l l dl ⋅ A − l ⋅ dA  l dR = d  ρ ⋅  = dρ ⋅ + ρ ⋅ d   = dρ ⋅ + ρ ⋅ A A A A2   A Předpokládáme-li nezávislost ρ na zatížení a nedojde-li během uvažovaného děje ke změně teploty T, budeme tedy moci uvažovat dρ = 0 a pak tedy: dR = ρ ⋅

dl ⋅ A − l ⋅ dA A2

resp. v diferencích

∆R = ρ ⋅

∆l ⋅ A − l ⋅ ∆A . A2

Pro A = a⋅b platí ∆A =∆a⋅b + a⋅∆b + ∆a⋅∆b a při zanedbání diferencí vyšších řádů dostáváme:

∆A =∆a⋅b + a⋅∆b.




136

... a jak to funguje dohromady? Pružnost a pevnost + elektrotechnika + matematika dohromady Změna průřezu bude při využití Poissonova zákona tedy rovna:

∆A = − µ ⋅ ε pod ⋅ a ⋅ b + a ⋅ (− µ ⋅ ε pod ⋅ b) = −2 ⋅ µ ⋅ ε pod ⋅ A

Nyní vše dosadíme do rovnice pro změnu odporu:

∆R = ρ ⋅

ε pod ⋅ l ⋅ A − l ⋅ (− 2 ⋅ µ ⋅ ε pod ⋅ A) A

2

= ρ⋅

l ⋅ ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ ) A

Zavedeme-li nyní poměrnou změnu odporu jako poměr změny odporu ∆R ku původní hodnotě R dostáváme:

∆R = R

ρ⋅

l ⋅ ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ ) A = ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ ) l ρ⋅ A Odporová tenzometrie

∆R = k ⋅ ε pod R Veličina k se nazývá k-faktor tenzometru. Za předpokladu „plastického“ chování materiálu, ze kterého je vyrobeno vinutí tenzometru, lze předpokládat hodnotu Poissonova čísle µ → 0,5. Pak ale (1+2⋅µ) → 2. Přesnou velikost k-faktoru udává každý výrobce individuálně nejčastěji pro jednotlivé balení.




137

Instalace tenzometru: V první řadě je třeba uvést na pravou míru formulaci „nalepení tenzometru“. Lepí se známky na dopisy, ale tenzometry si „instalují“, což je širší pojem a lepení je jen jednou z jeho částí. Tenzometr je třeba propojit s aparaturou a náležitě zabezpečit proti všem možným nástrahám prostředí. Instalace tedy znamená sled určitých dějů, které by měly být prováděny v daném pořadí a s nejvyšší možnou pečlivostí. Již od prvních kroků instalace se totiž rozhoduje o přesnosti následujícího měření. Není proto vhodné tuto fázi uspěchat na úkor pečlivosti, neboť časový zisk v tomto okamžiku je jen zdánlivý a mnohonásobně se nám vymstí při vlastním měření a následném zpracování naměřených hodnot. ... jak tedy na tenzometr? Akce

Prvotní rozměření součásti

Je-li měřený objekt nehybný, je třeba si v okolí měřených míst vytvořit dostatečný prostor pro „snadný“ přístup k těmto místům (např. odstraněním izolace, odpojení přípojných zařízení – pokud to situace dovoluje, …). Poté provedeme prvotní rozměření, kdy si označíme místa, kam chceme instalovat tenzometry. Také musíme zkontrolovat, jestli tato místa nekolidují s jinými prvky (např. poškození povrchu v důsledku manipulace, ...).

Hrubá příprava povrchu

Zejména při měření v provozních podmínkách může být povrch výrazně zkorodovaný nebo např. opatřen silnou vrstvou ochranného nátěru. V takovýchto případech musíme nejprve nahrubo odstranit rez nebo barvu. Používáme k tomu ruční brusky s kotouči různé hrubosti, ocelové kartáče a různá rozpouštědla nebo ředidla. I po broušení bruskou povrch očistíme (setřeme) acetonem nebo jiným ředidlem.

) Příprava měřeného objektu

I (

Popis

V této fázi se snažíme přibližné měřené místo zbavit nejhorších nečistot, kterými může být v případě měření v terénu např. i hlína. Je potřeba s rozmyslem umístit měřený objekt tak, aby by byl možný dobrý přístup ke všem plánovaným měřeným místům. Musíme také vést v patrnosti, zda nebude třeba objekt před vlastním měřením vrátit do původní polohy nebo ho dokonce transportovat na jiné místo, kde proběhne vlastní měření.

P Ř Í P R A V A

( I I )

P

Ř

Í

P

R

A

V

A

Obrázek




138

... a jak dál? Akce

Popis

Očištění potřebného nářadí

Od tohoto okamžiku je třeba během celé instalace dbát na čistotu, která výrazně ovlivňuje kvalitu připravovaného měření. Je vhodné jednak před vlastní instalací a v případě dlouhotrvající instalace i v jejím průběhu očistit veškeré nástroje, které používáme. Stejně tak bychom měli očistit i místo, kam budeme nástroje pokládat. Důležitá je i čistota rukou, a proto je vhodné i je očistit před začátkem instalace a nebo i následně během ní.

Jemná příprava povrchu

V této fázi je třeba vyhladit nahrubo očištěný povrch, zbavit ho všech ostrých hran a zbylých mechanických a korozních nečistot. K tomuto účelu je vhodné použít jemný smirkový papír případně jemné brusné kotoučky. Snažíme se při tom brousit pouze očištěnou oblast, abychom si z okolního neočištěného povrchu nenanesli zpět nečistoty. Je vhodné i při jemném broušení čistit obroušený povrch mezi jednotlivými broušeními pomocí odmašťovacího roztoku.

Orýsování měřených míst

Je-li třeba orýsovat vyčištěný prostor, je třeba to provádět rýsovací jehlou, ale jen tak, abychom na obroušeném povrchu nevytvořili nové ostré hrany. Toto orýsování by již mělo odpovídat přesně plánovaným místům pro instalaci tenzometrů, protože podle těchto značek budeme orientovat vlastní tenzometry při jejich lepení do zvolených míst. Rozměry takto orýsovaného povrchu bychom si měli zapsat do dokumentace, resp. do protokolu o měření.

I I I

)

Příprava potřebného vybavení

Nejprve si připravíme všechny potřebné pomůcky do blízkosti měřeného místa, abychom již nemuseli zbytečně přerušovat instalaci. Co tedy budeme potřebovat: • jemný smirkový papír, • odmašťovací roztok, tampony, • tenzometrické lepidlo, tenzometry, • fólii k zakrytí tenzometru při vytvrzování • nůžky, pinzetu, rýsovací jehlu, • izolepu, měřítko nebo pravítko.

P

Ř

Í

P

R

A

V

A

(

Obrázek




139


Konečné odmaštění a očištění povrchu

Přenos a konečná lokalizace tenzometru

Při této operaci se snažíme ustavit tenzometr do správného místa a fixovat jeho orientaci pro následné lepení a při tom minimalizovat možnost jeho poškození nebo kontaktu s rukou. Používáme k tomu izolepu, na kterou přiložíme tenzometr horním povrchem a manipulujeme pouze s touto izolepou. Pro fixaci zvolené polohy izolepu na jedné straně pevně přitiskneme a druhou necháme volnou pro manipulaci při nanášení lepidla a při vlastním lepení.

( I V ) P Ř Í P R A V A

Popis

Zde již používáme čisticí roztoky, které doporučuje výrobce tenzometrů. Některé firmy dodávají univerzální čisticí roztoky, jiné kombinují např. dva roztoky. Povrch čistíme tampóny vždy jen v jednom směru a pro nové nanesení roztoku použijeme vždy nový tampón. Použití vaty nebo obdobných prostředků není vhodné, neboť zanechávají na povrchu drobné chloupky nebo části vláken, které způsobí špatné přilepení tenzometru.

Nanesení tenké vrstvy lepidla

L

E

P

E

N

Í

(

I

)

Obrázek

Vlastní lepení


Volný konec izolepy nadzvedneme tak, aby byl přístup ke spodní straně tenzometru a hlavně k měřenému povrchu. Na povrch pak naneseme malé množství lepidla, které roztáhneme do tenké vrstvy pod celým tenzometrem. Je třeba, aby vrstva byla co možná nejtenčí, ale zároveň v celé ploše. Případná volná místa totiž vyplní vzduchové bubliny, které znehodnocují nalepení ale i celé měření. Malé množství lepidla, které vyteče mimo okraj tenzometru, není na závadu.

Plynule přiklápíme tenzometr pomocí nalepené izolepy k povrch a při tom prstem (nejlépe palcem) přitlačujeme přes krycí fólii tenzometr k měřenému povrchu a zároveň vymačkáváme přebytečné lepidlo. Tlak prstu vyvozujeme pokud možno kolmo k po-vrchu, abychom nezpůsobili boční posuv tenzometru z předem zvoleného místa. Tlak provádíme nejlépe přes slabou plastovou fólii (dříve se užíval tenký cigaretový papír), abychom se sami "nepřilepili".



140


Popis

Odstranění izolepy

Nyní by měl být tenzometr již pevně fixován k měřenému povrchu a pomocná izolepa již není třeba. U tenzometrů bez vývodů by bránila přístupu ke svorkovnicím a u všech tenzometrů komplikuje jejich zakrytí laky a krycími prostředky. Odstraňujeme ji táhlým pomalým pohybem, abychom tím nepoškodili tenzometr, zejména pokud má již přívodní drátky. Je to první test kvality nalepení, protože zůstane-li tenzometr na izolepě, byl „nalepen špatně“!

Připojení vodičů

U tenzometrů bez přívodních vodičů se kabely letují přímo na svorkovnice, které jsou součástí tenzometru. Tyto vodiče je pak vhodné v blízkosti tenzometru fixovat k povrchu součásti, aby je nebylo možno snadno odtrhnout ze svorkovnice. U tenzometrů s vývody je vhodné nalepit do blízkosti tenzometru pomocnou svorkovnici, a teprve k ní připojit přívodní vodiče k aparatuře. Vývody tenzometru ke svorkovnicí je vhodné odizolovat.

Kontrola tenzometru

Při manipulaci s tenzometrem může dojít v průběhu instalace k porušení vinutí nebo ke vzniku „studeného“ spoje při letování. Proto je vhodné tenzometr i jeho přívodní vodiče překontrolovat ohmmetrem. Výrobcem je udáván nominální odpor tenzometru (120 nebo 350Ω), který nesmí instalace výrazně ovlivnit. Toto není kontrola správné instalace tenzometru, ale jen kontrola elektrické funkčnosti nalepeného tenzometru.

) Vytvrzení lepidla

Každé lepidlo vyžaduje určitou dobu ke svému vytvrzení, kterou udává výrobce v návodu. Tato doba je závislá na druhu použitého lepidla a zejména na teplotě. Lepidla pro běžné účely se vytvrzují při běžných teplotách po dobu zhruba 1 minuty. Při nižších teplotách pak doba vytvrzování roste. Lepidla pro speciální účely vyžadují delší dobu vytvrzování při vyšších teplotách. Zde pak používáme různé pomůcky k fixaci po celou dobu vytvrzování.

D

O

K

O

N

Č

O

V

Á

N

Í

(

I

)

L

E

P

E

N

Í

(

I I

Obrázek




141


Obrázek

Připojení tenzometru k aparatuře

Nyní již můžeme nalepený a odzkoušený funkční tenzometr připojit k tenzometrické aparatuře. Pro správný způsob připojení je třeba znát pokyny výrobce dodávané k použité aparatuře. V dnešní době je běžné vícedrátové připojení každého měřicího místa. Díky této technologii si měřicí aparatura sama separuje odpor přívodních vodičů, které mohou tak být „hodně“ dlouhé, od odporu vlastního tenzometru a tím výrazně zpřesní měření.

Zakrytí tenzometru

Tato operace má několik důvodů: • chrání tenzometr proti mechan. poškození, • chrání před vlivem vzdušné vlhkosti, • působí jako částečná tepelná ochrana. K zakrytí se používají různé vosky a tmely nebo rychleschnoucí pružné laky a nebo přípravky na bázi silikonové gumy. Takto chráněný tenzometr je možno ještě dále zakrýt pro lepší teplotní a mechanickou ochranu plastovou nebo kovovou fólií, kterou dodávají různí výrobci.

) I I ( D O K O N Č O V Á N Í

Popis

Poznámky: •

V případě jakékoliv pochybnosti o kvalitě nainstalovaného tenzometru je vhodné ihned v této fázi tenzometr odstranit a na jeho místo nainstalovat nový tenzometr. Tento postup vyžaduje sice další práci s instalací, ale tato vynaložená práce se bohatě vrátí při zpracovávání "spolehlivých" výsledků získaných z kvalitně nainstalovaných tenzometrů.

•

Při odstraňování a reinstalaci tenzometru je třeba dbát zvýšené pozornosti, abychom nepoškodili okolní tenzometry, ale naopak povrch měřené součásti je třeba připravit stejně pečlivě nebo ještě pečlivěji než při první instalaci a je třeba vyvarovat se chyb, které znehodnotili první instalaci.

HBM 1-LY11-6/120

HBM 1-LY11-3/120 Vishay CEA-XX-375UW-120

HBM 1-XY41-6/120 (vše zvětšeno cca 5×)




142

Tenzometrické aparatury HBM Při laboratorních cvičeních na začátku výuky předmětu Pružnost a pevnost II budete v laboratořích mimo jiné používat statickou tenzometrickou aparaturu UPM 60. Tato aparatura je prezentována jako „mnohomístný měřící přístroj", což je doslovný překlad německého originálu „Vielstellen-Messgerät". U nás je běžnější označení „měřící ústředna" a toto označení bude používáno i nadále. Ústředna UPM 60 je jednou z řady ústředen firmy HBM označených UPM 40A, UPM 60 a UPM 100. Přímým pokračovatelem třídy UPM je aparatura Centipade 100 (viz obr.). Číslo v názvu ústředny určuje počet měřících kanálů. Vzestupně je také uspořádán komfort ovládání jednotlivých aparatur. Nejjednodušší ústřednou je UPM 40A a má proti nejsložitější UPM 100 možnosti značně omezenější.

HOTTINGER BALDWIN MESSTECHNIK

UPM 40 A

UPM 60 UPM 100 POWER

TRANSFER

ERROR

Centipade 100 Tenzometrické aparatury HBM

Měřící ústředna UPM 60 je konstruována pro připojení maximálně 60 měřených míst. N r.

HBM

25 +

2358

MV 3239

N r.

HBM

D 20

-MESSGERÄT UPM 60 VIELSTELLEN

e xt .

DATE 16.08.94 TIME 14:22:15 TIME 14 : 55 : 21 00 + 24578 UM/M 01 - 7897 UM/M 02 ERROR 4 03 + 5324 UM/M

225 Hz

5 kHz

UMH 3209 N r.

6 zesilovačů UMH

in t.

UMH 3209 N r.

Centrální zesilovač

UMH 3209 N r.

UMH 3209 N r.

UMH 3209 N r.

UMH 3209 N r.

CPU + rozhraní

220 V 50 Hz

Ústředna UPM 60




143

Zpracování naměřených hodnot: Jestliže se nám podařilo tenzometricky naměřit požadovaná data, nastává otázka, co s nimi dál. Existují samozřejmě případy, kdy přímo naměřené deformace jsou výsledkem a pak již není třeba je dál zpracovávat, ale stačí je jen vhodně prezentovat, což bude popsáno v následujících kapitolách. Častější jsou však případy, kdy tenzometricky naměřené deformace jsou pouze prostředkem k získání dalších informací o chování součásti. Nejčastějším případem je popis pole napjatosti v měřených místech. V těchto případech musíme zjistit, zda vyšetřovaný stav bude ještě v elastické - lineární oblasti nebo již bude v plastické - nelineární oblasti. V prvním případě existuje poměrně jednoduchý nástroj převodu naměřených deformací na napětí - Hookův zákon, a to ať v jednoduché podobě vhodné pro jednoosou napjatost tak v rozšířeném tvaru vhodném pro víceosou napjatost. Ve druhém případě již tak jednoznačný postup neexistuje a pro vyhodnocení naměřených deformací v plastické oblasti je třeba přijmout některou z obecnějších teorií, které jsou však značně složité a v rámci těchto skript se jim nebudeme věnovat. … jak vyhodnotit signál? Napjatost

Obrázek

Výpočtové vztahy

σ

Hookův zákon:

σ

σ = E ⋅ε ε … naměřená deformace E … modul pružnosti v tahu

ε

Jednoosá známe směr

Popis

Poznámka:

Budou-li naměřené deformace ε v [µi] je výhodné modul pružnosti převést E na exponenciální tvar s exponentem 6. Ve výpočtu se tak mocniny zkrátí a ten bude např. pro ocel: σ [MPa] = 0,21⋅ε [µi].

Poznámka: Pokud bychom neznali směr napětí σ, museli bychom postupovat jako při obecné dvojosé napjatosti.

Nejjednodušší případ napjatosti, který vzniká např. při čistém tahu nebo tlaku nebo při ohybu a při jejich vhodné kombinaci. V těchto případech vystačíme s instalací jednoduchých tenzometrů. Výsledný signál je přímo použitelný pro další zpracování a výpočty napětí.

Rozšířený Hookův zákon

σ2 σ1 Dvojosá známé směry Kříž 0°- 90°

ε2 ε1 σ1 σ2


E ⋅ (ε 1 + v ⋅ ε 2 ) 1− µ 2 E σ2 = ⋅ (ε 2 + v ⋅ ε 1 ) 1− µ 2 ε1 … naměř. def. ve směru „1“ ε2 … naměř. def. ve směru „2“ E … modul pružnosti v tahu µ … Poissonovo číslo

σ1 =

Poznámka: Platí totéž co v případě jednoosé napjatosti, protože v [1] výpočet rozměrově nijak neovlivní.

Napjatost, která vzniká např. ve stěně tenkostěnných ale i silnostěnných nádob v dostatečné vzdálenosti od den a hrdel. V těchto případech je třeba instalovat dva tenzometry nebo tenzometrický kříž se dvěma kolmými vinutími. Výsledné signály dosazujeme přímo do rozšířeného Hookova zákona.



144

... a jak dál? Napjatost

Obrázek

Výpočtové vztahy

Popis

Výpočet hlavních deformací ε + ε 90 s= 0 2

ε −ε  r =  0 90  + γ 2  2  ε − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 γ= 0 2 ε1 = s + r a ε 2 = s − r .

σ1

Dvojosá neznámé směry

σ2

ε45

ε90

Růžice 0°- 45°-90°

Obecný případ napjatosti, která vzniká ve složitějších konstrukcích. V těchto případech je třeba instalovat tři samostatné tenzometry nebo tenzometrickou růžici se třemi vinutími (po 45°nebo po 60°). Výsledné signály dosazujeme nejprve do transformačních vztahů a teprve poté vypočtené hlavní deformace do rozšířeného Hookova zákona.

2

ε 0 … naměř. def. ve směru 0° ε45 …naměř. def. ve směru 45° ε90 …naměř. def. ve směru 90°

ε0

σ2

σ1

s …. střed Mohrovy kružnice r …. poloměr Mohrovy kružnice

Tyto růžice nejsou tak běžné jako předchozí, a proto uvedeme jen základní vztahy:

Růžice 0°-60°-120°

ε +ε +ε 2 ⋅ε − ε − ε 1 ε1, 2 = s ± r , kde s = 0 60 120 a r =  0 60 120  + ⋅ (ε 60 − ε 120 )2 2



3

3



3

ε0, ε60 a ε120 jsou naměřené poměrné deformace ve směrech 0°, 60° a 120°.

Graficky lze výpočty hlavních deformací ε1 a ε2 z tenzometrické růžice 0°– 45°– 90°vyjádřit pomocí Mohrovy kružnice v souřadnicích σ-γγ/2: γ/2 ε1 ε 0 + ε 90 2

ε2

ε 0 − ε 90 2

S

ε

0

ε 0 + ε 90

ε90

2

ε45

ε 0 + ε 90

− ε 45

2

− ε 45

r

ε0




145

Nyní, když známe velikosti hlavních deformací, je třeba ještě stanovit jejich orientaci podle vztahu:

tg 2ϕ =

ε 0 − 2 ⋅ε 45 + ε 90 , ε 0 − ε 90

který stanoví velikost úhlu mezi původními směry „0°“ resp. „90°“ a směry hlavní deformace . Orientace úhlu ϕ je dána velikostmi vstupních hodnot deformací ε0, ε90 a ε45. Orientace úhlu ϕ se určuje v závislosti na velikosti čitatele a jmenovatele základního vztahu: … jak se otáčí hlavní rovina? ε − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 tg 2ϕ = 0 ε 0 − ε 90

Č

I

(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) < 0

T

A

L

(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) > 0

90°

45°

0°

0°

ϕ

0°

T

E

ϕ

90° 45°

45°

L

E

(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) = 0

90°

(ε 0 − ε 90 ) > 0

T

90°

90°

(ε 0 − ε 90 ) = 0

45°

Všechny naměřené deformace ε0, ε45 a ε90 jsou stejné, a tedy kterýkoliv směr je hlavní. Úhel ϕ tak může nabývat jakékoliv hodnoty.

ϕ = 45° 0°

0°

ϕ = 45°

N

O

V

A

45°

90°

90°

90° 45°

45°

(ε 0 − ε 90 ) < 0

J

M

E

45°

0°

0°

0°

ϕ

ϕ

V případě vyhodnocení obecné rovinné napjatosti vždy musíme použít rozšířený Hookův zákon a předpoklad, že směry hlavních deformací a směry hlavních napětí jsou totožné (viz PP I):

σ1 =

E ⋅ (ε 1 + v ⋅ ε 2 ) 1− µ2

a

σ2 =

E ⋅ (ε 2 + v ⋅ ε 1 ) . 1− µ 2

ε1 ε2

… vypočtená první hlavní deformace (směr ), … vypočtená druhá hlavní deformace (směr ), E a v … modul pružnosti v tahu a Poissonovo číslo.

Poznámka: Platí totéž co v případě jednoosé napjatosti, protože v [1] výpočet rozměrově nijak neovlivní.




146

Rozměr tenzometru a měření

chyba

Nevýhodou je „reálný“ rozměr vinutí tenzometru, které tím pádem měří integrální hodnotu deformace po celé své délce. To může být nevýhodné zejména v případech velkých gradientů napětí resp. deformací v měřeném tělese tak, jak je to naznačeno pro tenzometry se základnou 10 a 3 mm. ε ε chyba

εměř. 3

εměř. 10

Ro z d í l v ýs led ků

l [mm]

l [mm]

10 mm

3 mm

PŘÍKLAD 8.1 (TENZOMETRIE – VYHODNOCENÍ NAMĚŘENÝCH DAT):45°

P

Dáno: Při měření tenzometrickou růžicí (0°–45°–90°) byly v daném místě zkoumané součásti naměřeny deformace: ε0 = 694 µi, ε45 = –218 µi a ε90 = –252 µi. Tato součást je vyrobena z oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2, v = 0,3 a σK = 240 N⋅mm-2).

ϕ

Určit: Hlavní napětí σ1,2 a redukované napětí σred. podle teorie τMAX včetně směrů a celkovou bezpečnost kK vůči mezi kluzu.

90°

0°

Řešení: Naměřené deformace je zvykem uvádět v „mikrojednotkách“ (1 µi ≡ 1 µm/m ≡ 1⋅10-6) a do vztahů pro výpočet napětí musíme dosazovat skutečné hodnoty po přepočtu:

ε1, 2

2 2 866 ⋅ 10−6  694 + (−252) 694 − (−252)   694 + (−252)    −6 = ±  − (−218)   ⋅ 10 =  .  + 2 2 2  − 424 ⋅ 10− 6      

tan(2 ⋅ ϕ ) =

σ 1, 2

694 − 2 ⋅ (−218) + (−252) = 0,928118 694 − (−252)

⇒

ϕ = 21°26′ .

2,1 ⋅ 105 ⋅ [866 + 0,3 ⋅ (−424)] ⋅ 10− 6 = 170,5 N ⋅ mm − 2  2 E  1 − 0,3 = ⋅ (ε1, 2 + µ ⋅ ε 2,1 ) =  . 5 2 1− µ  2,1 ⋅ 10 ⋅ [(−424) + 0,3 ⋅ 866] ⋅ 10 − 6 = −37,9 N ⋅ mm− 2 1 − 0,32

τ −2 σ red . = σ max − σ min = 170,5 − ( −37,9) = 208, 4 N ⋅ mm MAX

⇒

k Kτ MAX =

240 ≈ 1,15 . 208,4

Poznámka:

Nezapomeňte, že řešíme rovinnou napjatost (σ3 = 0), mohou také nastat další dva případy: Pro σ1 > σ2 > 0 bude σred = σ1 – 0, resp. pro σ2 < σ1 < 0 bude σred = 0 – σ2 .




147

PŘÍKLAD 8.2 (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly Fmax = 150 000 N, jeho základní rozměry jsou: D = 110 mm, d = 100 mm a je vyroben z běžné oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2, v = 0,3 a Re = 235 N⋅mm-2). Určit: Maximální velikost výstupního signálu UA max , je-li snímač napájen konstantním napětím UB = 5 V. Při výrobě byly použity čtyři shodné jednoduché fóliové tenzometry s k-faktorem k = 2,05. Řešení: Snímač využívá celomostového zapojení s využitím Poissonova vztahu. Čtyři tenzometry jsou instalovány na vnitřním povrchu střední části mezikruhového profilu. Velikost plochy průřezu v tomto místě je: 2 2 π ⋅ D 2   d   π ⋅ 1102   100   2 A= ⋅ 1 −    = ⋅ 1 −    ≈ 1 650 mm . 4   D   4 110    

Základní vztah popisující poměr výstupního ku vstupnímu napětí má pro celomostové zapojení tvar: UA R1 + ∆R1 R4 + ∆R4 = − . U B R1 + ∆R1 + R2 + ∆R2 R3 + ∆R3 + R4 + ∆R4 Pro malé změny odporů ∆Ri, při použití vztahů platných pro tenzometry ∆Ri Ri = k i ⋅ ε i a pro stejné kfaktory použitých tenzometrů (k1 ≈ k2 ≈ k3 ≈ k4 ≈ k) dostáváme poměr vstupního a výstupního napětí již jako funkci čtyř tenzometry měřených deformací ε1, ε2, ε3 a ε4: UA k = ⋅ (ε1 − ε 2 + ε 3 − ε 4 ) UB 4

.

Při dosazení vztahů platných pro tah/tlak: ε 1,3 = σ 1, 3 E a ε 2, 4 = −v ⋅ σ 1,3 E dostáváme výsledek:

U A k σ1,3 = ⋅ ⋅ 2 ⋅ (1+ v) . UB 4 E Maximální síla vyvolá ve střední části napětí: σ 1,3 = −

Fmax 150 000 =− ≈ −91 N ⋅ mm − 2 . A 1 650

Hledané výstupní napětí pak bude mít velikost: k σ 2,05 − 91 U A max = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ (1 + v) ⋅U B = ⋅ ⋅ 2 ⋅ (1+ 0,3) ⋅ 5 = −0,002887 V . 4 E 4 2,1⋅105 Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016


P


148

PŘÍKLAD 8.3 (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Rozměry ocelového (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 a µ = 0,3) snímače krouticího momentu jsou D = 60 mm a d = 40 mm. Podle obrázku byl ve střední části nainstalován speciální tenzometrický kříž pro měření smykových napětí (k-faktor obou vinutí je k = 1,98). Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly Fmax = 150 000 N, jeho základní rozměry jsou: D = 110 mm, d = 100 mm a je vyroben z běžné oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2, v = 0,3 a Re = 235 N⋅mm-2). Určit: Stanovte velikost přenášeného krouticího momentu MK snímačem, jestliže na měřicí aparatuře bylo naměřeno výstupní napětí UA = 0,002 V při napájecím napětí UB = 10 V. Řešení: V tomto případě jsou pouze dva aktivní tenzometry zapojené do polovičního mostu a zbývající dva odpory do celého mostu doplňuje již tenzometrická aparatura. Výsledný vztah proto je:

U A k 2 ⋅ (1 + v) = ⋅ ⋅ τ max . UB 4 E

Protože velikost hledaného krouticího momentu závisí na velikosti τmax a WK podle vztahu: M K = τ max ⋅ WK , Musíme určit nejprve modul průřezu v kroucení:

WK =

π ⋅ D3 16

  d  4  π ⋅ 603 ⋅ 1 −    = 16   D  

  40  4  ⋅ 1 −    ≈ 34 034 mm 3 .   60  

Pro toto polomostové zapojení využijeme vlastnosti napjatosti čistého smyku, kdy platí:

σ 1 = +τ max = +

MK WK

a

σ 4 = −τ max = −

MK . WK

Odkud po dosazení zadaných hodnot vychází:

MK =

UA 4 E 0,002 4 2,1⋅105 ⋅ ⋅ ⋅ WK = ⋅ ⋅ ⋅ 34 034 = 1,11⋅106 N ⋅ mm = 1,11 kN ⋅ m . U B k 2 ⋅ (1 + µ ) 10 1,98 2 ⋅ (1 + 0,3)



P


149

PŘÍKLAD 8.4 (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Tenzometrický snímače síly založeného na principu zatěžování tenkého rámu ve tvaru kružnice podle obrázku. Snímač je osazen čtyřmi odporovými tenzometry zapojenými do celého mostu. Základní rozměry snímače jsou: poloměr rámu r = 50 mm, tloušťka rámu t = 5 mm a šířka rámu b = 12 mm. Snímač je vyroben ze speciální oceli o modulu pružnosti v tahu E = 2,05⋅105 N⋅mm–2 a mezi kluzu σK = 320 N⋅mm–2 a jsou na něj nainstalovány čtyři lineární tenzometry s k-faktorem k = 2,06. Určit: Stanovte obecně přibližnou převodní charakteristiku tohoto snímače a poté závislost měřené síly na výstupním napětí při napájecím napětí UB = 5 V. Řešení: V tomto případě jsou všechny čtyři tenzometry aktivní zapojené do celého mostu.

Nejprve musíme sestavit výpočtový model, abychom určili namáhání v místech nainstalovaných tenzometrů R1 až R4. Podle teorie tenkých křivých prutů a rámů stačí z původního tenkého rámu vzhledem k symetrii řešit pouze křivý prut ve tvaru jedné čtvrtiny původního rámu. Tato úloha je vzhledem k symetrii k vodorovné i svislé ose jedenkrát staticky neurčitá. Díky těmto dvěma symetriím také můžeme přímo určit velikost svislé síly NA a velikost tečné síly TA. F Vznikající moment MA působící v bodě A pak pro nás zůstává , TA = 0 a M A = ? . NA = 2 v tomto případě jedinou neznámou: Neznámý moment MA určíme z deformační podmínky, která pro tento symetrický prut musí zaručit, že se v bodě A prut vzniklý rozdělením (uvolněním) původního rámu nesmí natočit:

ϕA = 0 . Tuto deformační podmínku vyjádříme pomocí Mohrova integrálu jako:

ϕA =

1 ⋅ E ⋅Jz

π2



∫ − M 0

A

F  + ⋅ r ⋅ (1 − cosψ ) ⋅ ["1"]⋅ [r ⋅ dψ ] = 0 . 2 

Z této rovnice pro E⋅Jz ≠ 0 vyplývá, že neznámý moment MA je: MA = F ⋅r ⋅


π−2 ≈ 0,18169 ⋅ F ⋅ r . 2⋅π Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

P


150

Nyní již můžeme vyjádřit velikosti napětí vznikajících v místě A tohoto tenkého rámu: 1. tahové napětí: NA 1 F 1 F = ⋅ = ⋅ = 0,00833 ⋅ F , A b ⋅ t 2 12 ⋅ 5 2

σt = 2. ohybové napětí:

σ o max =

M A 0,18169 6 ⋅ 0,18169 = ⋅F ⋅r = ⋅ F ⋅ 50 = 0,18169 ⋅ F . 2 1 Woz 12 ⋅ 5 2 ⋅b⋅t 6

Výsledná redukovaná napětí na vnitřním resp. vnějším povrchu tenkého rámu vypočteme jako součet resp. rozdíl vypočtených napětí: 1. vnitřní povrch (místo tenzometru R1):

σ R = σ t + σ o max = (0,00833 + 0,18169) ⋅ F = +0,19002 ⋅ F , 1

2. vnější povrch (místo tenzometru R2):

σ R = σ t − σ o max = (0,00833 − 0,18169) ⋅ F = −0,17336 ⋅ F . 2

Vzhledem k obecné symetrii řešeného tenkého rámu můžeme napětí na vnitřním resp. vnějším povrchu v místě B určit pomocí napětí v místě A jako:

σ R = σ R = +0,19002 ⋅ F 3

resp.

1

σ R = σ R = −0,17336 ⋅ F . 4

2

Obecný výraz pro podíl výstupního ku vstupnímu napětí pomocí (mechanického) napětí bude:

(

)

(

)

(

)

UA k k k = ⋅ ε R1 − ε R2 + ε R3 − ε R4 = ⋅ 2 ⋅ σ R1 − 2 ⋅ σ R2 = ⋅ σ R1 − σ R2 . UB 4 4⋅ E 2⋅ E

Ten již můžeme vyjádřit pomocí vypočtených napětí jako: UA 2,06 = ⋅ [0,19002 − (−0,17336)]⋅ F = 1,8258 ⋅ 10 −6 ⋅ F . U B 2 ⋅ 2,05 ⋅105

Pro maximální velikost síly Fmax bude podíl výstupního ku vstupnímu napětí:

U A  V mV   = 1,7736 ⋅ 10−6 ⋅ 1 100 = 2,00838 ⋅ 10−3 ≈ 2 . V V  U B  max Tato hodnota přibližně odpovídá standardu, který se postupem času ustálil pro lineární charakteristiky snímačů 2 mV/V. Teoretická charakteristika navrženého snímače síly na bázi ohybu tenkého rámu ve tvaru kružnice je patrná z obrázku. Rovnici závislosti zatěžující síly F na výstupním napětí UA této ideální charakteristiky lze pro zadané napájecí napětí UB = 5 V psát jako:

F=


1 ≈ 112 765 ⋅ U A . 1,7736 ⋅10 −6 ⋅ 5 Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


151

Poznámky: • Nakonec bychom měli zkontrolovat namáhání snímače v případě zatížení maximální silou:

σ max = σ R = +0,19002 ⋅ Fmax = 210 N ⋅ mm −2 . 1

Znamená to, že bezpečnost k siloměru vůči mezi kluzu σK je: k=

σK 320 = ≈ 1,52 . σ max 210

• Tento výpočet určil přibližnou charakteristiku snímače, ale pro praktické měření by bylo třeba tento snímač po zkompletování

cejchovat za pomoci např závaží známé hmotnosti nebo jiného siloměru se známou charakteristikou. Až takto stanovená konečná charakteristika bude použitelná při praktickém nasazení tohoto snímače, protože již postihuje všechny odchylky od ideálníého stavu s nímž počítal výpočtový model tohoto snímače.

Příklady komerčních snímačů na bázi odporových tenzometrů Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



152

10.2 OPTICKÉ METODY 10.2.1 FOTOELASTICIMETRIE Optický efekt, na kterém je tato metoda založena, je znám již od počátku XIX. století. Při pokusech s polarizovaným světlem se zjistilo, že při průchodu tohoto světla sklem, které bylo zatíženo - tudíž do něho byla vnesena mechanická napětí - vznikly různobarevné obrazce. Vědci nejprve využívali tento efekt ke stanovení hraničních napětí rovinných modelů, ale následně vznikla metodika vyšetřování napjatosti rovinné a postupem času i prostorové úlohy. Při fotoelasticimetrii můžeme i prostým okem poměrně zřetelně pozorovat děje, ke kterým dochází ve zkoumaném objektu (stačí k tomu jednoduchý optický filtr a můžeme se podívat, co zbylo ve školním trojúhelníku jako důsledek jeho výroby.

Princip fotoelasticimetrie: Principem fotoelasticimetrie je tzv. dočasný dvojlom, ke kterému dochází u opticky anizotropních materiálů v důsledku napjatosti. Při dvojlomu se každý světelný paprsek rozloží na dva, které se liší rychlostí i orientací. Tato orientace odpovídá orientaci hlavních směrů řešené napjatosti. Protože předpokládáme zejména rovinné modely a tedy rovinnou napjatost, jedná se o dva navzájem kolmé směry vzhledem k optické ose měření. Rozlišujeme dva druhy fotoelasticimetrie: Přímá – veškeré součásti měřicího řetězce leží v jedné přímé optické ose

5 4 3 2

1 1 – zdroj světla, 2 – polarizátor, 3 – model v zatěžovacím rámu, 4 – depolarizátor (analyzátor), 5 – snímač (pozorovatel)




153

Reflexní – využívá se odrazu paprsku od měřeného povrchu a součásti řetězce neleží v přímce 1 – měřená součást, 9 2 – reflexní vrstva (stačí leštěný povrch nebo nástřik), 8 3 – vrstva fotoelasticky citlivého materiálu, 4 – dopadající polarizovaný paprsek, 7 5 – polarizátor, 6 – zdroj světla, 6 7 – odražený paprsek již po dvojlomu v optické vrstvě, 5 8 - depolarizátor (analyzátor), 4 9 – snímač (pozorovatel). 3 2 1 Přístroj, kterým se provádí fotoelasticimetrické měření, se nazývá POLARISKOP.

Polariskop pro přímou fotoelasticimetrii Hlavní části jsou: a) Zdroj světla – může to být zdroj monochromatického světla nebo obyčejného bílého světla (zdrojem monochromatického – jednofrekvenčního – světla může být např. sodíková lampa) b) Polarizátor – optický filtr, který usměrní světelné paprsky. Pokud usměrňuje paprsky pouze do jedné roviny nazývá se tato polarizace přímková. Pokud složíme dvě kolmé přímkově polarizované vlny se stejnou frekvencí i amplitudou, které se liší pouze fázovým posuvem o π/2, pak hovoříme o kruhové polarizaci. c) Model a zatěžovací rám – samotný zkušební model je vyroben ze speciálního průhledného fotoelasticimetrického materiálu a zatěžovací rám má za úkol vytvořit na modelu požadované zatížení a dosáhnout v modelu požadované napjatosti. d) Depolarizátor (analyzátor) – druhý optický filtr, který opět usměrní světelné paprsky. Jeho vlastnosti jsou shodné s vlastnostmi polarizátoru. e) Snímač – nejjednodušším „snímačem“ bylo v minulosti zejména lidské oko, později ho nahradil objektiv fotoaparátu a dnes to může být jakýkoliv digitální snímač obrazu, který zajistí jeho uložení a snadný přenos k dalšímu zpracování. Polariskop pro reflexní fotoelasticimetrii Hlavní části jsou: a) Zdroj světla – shodný s přímým polariskopem b) Polarizátor – shodný s přímým polariskopem c) Skutečná součást, která má upravený povrch tak, aby co nejlépe odrážel světelné paprsky (leštění, nástřik, ...). Na takto upravený povrch je nalepena tvarovaná vrstva opticky citlivého materiálu, který se deformuje spolu s povrchem skutečné součásti v důsledku jejího zatížení. Vlastní paprsek tak prochází optickou vrstvou dvakrát: při dopadu i při odrazu. d) Depolarizátor (analyzátor) – shodný s přímým polariskopem. e) Snímač – shodný s přímým polariskopem.




154

Příprava měření: Nejdůležitějším krokem přípravy měření je výroba vhodného modelu, který je zhotoven ze speciálního průhledného dostatečně opticky citlivého materiálu. Tento materiál musí mít vhodné mechanické vlastnosti, které jsou úměrné jeho optickým vlastnostem. Při výrobě modelu (opracování, ohýbání, ...) nesmíme do modelu vnést vnitřní napětí, která by celé měření zkreslila. Při reflexní fotoelasticimetrii musíme vyrobit plátky opticky citlivého materiálu, které věrně kopírují povrch měřené součásti, a pak je spolehlivě přilepit na předem připravený „odrazivý“ povrch.

Vlastní měření: Vyrobený model umístíme do pracovního prostoru mezi polarizátor a depolarizátor do zatěžovacího rámu. Nejprve zkontrolujeme stav bez zatížení, nejsou-li do modelu vnesena zbytková napětí v důsledku výroby. Poté pomocí zatěžovacího rámu zajistíme zatížení modelu odpovídající požadovaným podmínkám. Na snímači pak zaznamenáváme stav světelných paprsků po průchodu celou optickou osou: zdroj světla – polarizátor – zatížený model – depolarizátor (analyzátor).

Zpracování naměřených dat: Vlivem zatížení vzniká v modelu napjatost, která způsobí deformaci jednotlivých částí struktury materiálu modelu. V jejich důsledku dochází v modelu k dvojlomu, kdy se paprsek rozloží do dvou kolmých směrů odpovídajícím hlavním napětím a současně nastane mezi nimi fázový posun v důsledku rychlejšího šíření jednoho z paprsků modelem. Velikost fázového posuvu je úměrná rozdílu hlavních napětí v řešeném místě. Na záznamech z měření můžeme sestrojit dva druhy čar: Izoklíny: To jsou křivky spojující body se stejným sklonem hlavních napětí. Izochromy: To jsou křivky spojující body se stejným rozdílem hlavních napětí. Nejjednodušeji lze výsledky vyjádřit vztahy: I = I 0 ⋅ sin 2 (2 ⋅ α ) ⋅ sin 2 ( π ⋅ n) ,

(σ 1 − σ 2 ) = n ⋅ c , t

kde: I0 ... je intenzita světla vycházejícího ze zdroje, I ... je intenzita světla přicházejícího na snímač, α ... je úhel mezi hlavním napětím a osami polarizátoru a depolarizátoru, n ... je řád izochromatické čáry (0, 1, 2, ...), c ... je optická citlivost materiálu modelu, t ... je tloušťka modelu ve směru optické osy.

Poznámka:

Stále nesmíme zapomínat, že oba způsoby měření popisují rovinnou napjatost σ1,2 kde σ3 = 0. Pokud bude σ1 = σmax > 0 a σ2 = σmin < 0, odpovídá vypočtený rozdíl (σ1 – σ2) přímo teorii τMAX. Problémem měření nastává tehdy, budou-li obě napětí kladná σ1 > σ2 > 0, protože z hlediska pevnosti podle teorie τMAX je rozhodující rozdíl (σ1 – 0) nebo budou-li obě napětí záporná σ2 < σ1 < 0, kdy je z hlediska pevnosti podle teorie τMAX je rozhodující rozdíl (0 – σ2). Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



155

Příklady měření pomocí fotoelasticimetrie:

Fotoelasticimetrie může být pojata i jako jistý druh umění (foto HGB Allersma a Jan Paták)

Výsledky měření koncentrace v okolí kruhového otvoru, polariskop a příklad modelu oka závěsu




156

Metoda „zmražených“ deformací: Používané opticky citlivé materiály na bázi organických plastických hmot mají z hlediska použití ještě jednu zajímavou vlastnost. Tou je poměrně velký rozdíl mezi dolní a horní přechodovou teplotou. To znamená, že při zatížení vzorku při teplotě vyšší než je přechodová teplota v něm zůstanou uchovány veškeré deformace i po odlehčení. K jejich opětnému uvolnění by došlo až při opětném překročení přechodové teploty.

Princip metody: Vyrobíme z opticky anizotropního citlivého materiálu (litím, opracováním, lepením, …) prostorový model, který odpovídá skutečné součásti. Vlastní model může být kombinací materiálů, když z fotoelasticimetrického materiálu vyrobíme jen části, které jsou pro experiment důležité. V tomto případě je třeba ale zajistit správné uspořádání celého modelu vzhledem k možným rozdílným součinitelům teplotní roztažnosti materiálů jednotlivých částí. Tento model zatížíme tak, aby to odpovídalo zatížení skutečné součásti a umístíme ho do ohřívacího zařízení. Po dostatečném „prohřátí“ celého modelu ho můžeme již vyndat, odlehčit a dál ho uchovávat jen při pokojové teplotě, protože existující deformace jsou v modelu již zafixovány. Poté můžeme celý model nebo jeho části rozebrat nebo rozřezat na tenké plátky, které lze vložit do polariskopu a prosvítit světlem a zaznamenat pole deformací. Jen je třeba při řezání dbát zvýšené opatrnosti, aby nedošlo k nadměrnému ohřátí řezné plochy a tím k dosažení horní přechodové teploty, což by mělo za následek uvolnění „zmrazených“ deformací a znehodnocení celého experimentu.

Další příklady měření pomocí fotoelasticimetrie:

Tyto dva obrázky jsem použil z učebního textu pánů Jiřího Vrby a Petra Frantíka „ÚVOD DO FOTOELASTICIMETRIE“, který je určen posluchačům druhého ročníku stavební fakulty VUT v Brně pro seznámení s fotoelasticimetrií. Jsou na nich zobrazené jednotlivé izochromy při zatížení poloroviny osamělou silou a rozložení radiálního kontaktního napětí po délce hmoždinky.




157

10.2.2 METODA MOIRÉ Tato metoda je založená moiré efektu, který patří mezi základní optické efekty procházejícího světla. V řadě lidských činností má tento efekt negativní vliv na výsledné snažení. Jedná se zejména o oblasti, kde se pracuje s rastrovým zpracováním obrazu jako je digitální fotografie, televizní vysílání a video, PC monitory, ale také tiskárny nebo scannery). Prakticky to znamená, že politik v TV studiu v jemně kostkovaném saku vytváří na sobě i při sebemenším pohybu různé prostodivné obrazce, protože princip snímání obrazu je po řádcích (buď 576 nebo 720 nebo dokonce 1080). Poznámka: Tuto metodu znáte prakticky všichni, i když se nedíváte na politiky v TV nebo se nezabýváte digitální fotografií. Stačí, pokud máte doma záclony vyrobené z tenkých vláken. Při jejich překrývání vznikají pohybem různé futuristické obrazce, které ještě umocňuje přímo dopadající sluneční světlo.

Princip metody moiré: Metoda moiré představuje jakési „optické zesílení“ měřené deformace. Principem metody je existence dvou mřížek – pevné pozorovací a pohyblivé spojené s měřeným objektem. Při průchodu světla spolu tyto dvě mřížky interferují a i nepatrný pohyb jedné z mřížek představuje významné okem postřehnutelné změny ve světelných poměrech na pozorovací mřížce.

počáteční stav

posun o 0,1 mm

posun o 0,2 mm

posun o 0,3 mm

počáteční stav

pootočení o 1°

pootočení o 2°

pootočení o 3°

Poznámka: Moiré efekt se projeví i při zobrazení a zejména tisku této stránky, protože mřížky interferují s rastrem monitoru resp. s rastrem použité tiskárny. Přesto věřím, že výsledek efektu je alespoň trochu patrný. Velice často se k tvorbě mřížky na zkušebním tělese využívá promítnutí pevné mřížky na povrch zkoušeného tělesa nebo i promítnutí dvou navzájem posunutých nebo pootočených mřížek, které pak v různých výškách 3D objektu spolu různě interferují. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



158

Příklady měření (zobrazení) pomocí metody moiré:

Metoda moiré aplikovaná na 3D objekty

Další aplikace metody moiré Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



159

10.2.3 METODA S.P.A.T.E. (Stress Pattern Analysis by Thermal Emissions) Princip této metody spočívá v předpokladu, že každý děj (i elastický) není ideální – tedy bezztrátový. V průběhu zatěžování vzniká v důsledku deformací určité množství tepla, které se „ztrácí“ na povrchu součásti. Až dosud jsme tento děj neuvažovali, protože vznikající teplotní změny jsou tak malé, že výsledný stav „neovlivní“. I v praxi nebylo možno vzhledem k technickým možnostem toto uvolněné teplo pozorovat a zaznamenat. První pokusy s měřením v infračerveném poli pocházejí z oblasti zbrojního a kosmického programu. Postupně se však metody infračerveného vidění rozvinuly i do běžnějších oblastí lidského života. Jednak to je uplatnění v lékařství a jednak to zejména souvisí s úsporami energií. Pomocí infračervených snímků je možné pozorovat „nemocná“ místa na lidském těle resp. odhalit abnormality v teplotě povrchu těla a v technické praxi odhalit místa se zvýšenou teplotou – nejčastěji místa špatně izolovaná. Tyto obrázky jste určitě již někdy viděli a jsou velice ilustrativní a efektní.

Záznam úniku tepla z obytné budovy, záznam rozložení teplot v horském údolí a záznam rozložení teplot v lidské dlani Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016



160

V oblasti měření dissipovaného (uvolněného) tepla v důsledku deformací součásti je situace o to komplikovanější, protože vznikající ohřevy jsou v řádech setin až desetin stupně celsia a v důsledku odvodu tepla bezprostředně po deformaci „vymizí“ – dissipují do okolí.

a)

b)

c)

Příklady rozložení teplotního pole v okolí: a) kolmé trhliny, b) šikmé trhliny, c) kruhového otvoru

Nejčastěji se tak tato metoda využívá při cyklickém namáhání, kde se teplo uvolňuje při každém cyklu a nedochází tak k jeho rychlému odvodu do okolí. Ale i tak je tato metoda velice citlivá na podmínky provedení, kvalitu měřícího zařízení a přesnost celého měření. Obrázky výsledku infračerveného testu (S.P.A.T.E.) pro vzorek z titanové slitiny komerčně značené 21S. Měřítko je provedeno v bezrozměrných jednotkách odpovídajících teplotní amplitudě získané infračervenou kamerou. Realizace měřícího řetězce pro metodu S.P.A.T.E. a počítačové zpracování naměřených hodnot.

P. Brémond, Cedip Infrared Systéme, Croissy Beaubourg, France




161

DOSLOV

V

ážené kolegyně a vážení kolegové,

rád jsem s vámi trávil každý týden pondělní dopoledne a úterní časné ráno. Moje přání bylo, předat vám co nejvíce informací, které by vám alespoň trochu usnadnily přípravu ke zkoušce z Pružnosti a pevnosti 1. Také jsem vám chtěl ukázat, že pružnost není žádným strašákem, ale jedním z mnoha předmětů na naší škole. Doufám, že jsem vás moc nenudil a splnil předsevzetí, že chci ať se bavíte společně se mnou, s pány Hookem, Eulerem, Bernoullim a hlavně s pružností. Snad jste alespoň občas poznali, jak může být pružnost a pevnost zajímavou vědní disciplínou. Pokud jsem někoho z vás oslovil natolik, že se rozhodl pro další studium pružnosti na oboru Aplikovaná mechanika tak, jak se to povedlo panu profesoru Hájkovi v mém případě, jsem rád dvojnásob a již se těším na další setkání s vámi. Dalším pokračováním je v bakalářských studijních programech TZSI a STR hned v příštím semestru předmět Pružnost a pevnost II, který je také součástí teoretického základu a je tedy vyučován v obou úrovních. Nezapomeňte, že moje nabídka z první přednášky na pomoc při řešení vašich osobních a studijních problémů není časově omezená, a tak si můžete přijít problémy vyříkat, i když už nebudete „moji“ studenti, protože chtě nechtě „mými“ studenty budete stále, ať vás učím nebo ne. Všem vám přeji hodně úspěchů v nastávajícím zkouškovém období, a to nejen při zkoušce z Pružnosti a pevnosti IA nebo jen Pružnosti a pevnosti I, ale i z ostatních předmětů, které jsou neméně důležité pro vaše další studium. Hlavně vám přeji pevné zdraví, protože bez něho to nejde. O prázdninách si pak odpočiňte, neubližujte si a po prázdninách dorazte s novou sílou.

učitel Pružnosti a pevnosti I

KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL? Narodil jsem se v roce 1957. Základní devítiletou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově. V letech 1976 - 1981 jsem studoval na Fakultě strojní ČVUT v Praze obor Aplikovaná mechanika. Od roku 1982 učím na FS hlavně předměty: Pružnost a pevnost I a II, Pevnost letadel a motorů, Experimentální analýza napětí, Vybrané statě z mechaniky a pružnosti a nově také Experimentální metody certifikace strojů. V letech 1983 - 1984 jsem absolvoval stáž ve výpočetním oddělení SVÚSS v Praze Běchovicích, kde jsem se věnoval výpočtům potrubí. Po vzniku Fakulty dopravní na ČVUT jsem v letech 1995 - 1998 učil předmět Pružnost a pevnost i budoucí dopravní bakaláře. Přednášky z PP I (211 1051) LS akademického roku 2015/2016


Jan Řezníček

PRUŽNOST A PEVNOST I – PŘEDNÁŠKY LS 2015 2015/2016 /2016 Podklad pro přednášky v bakalářských bakalářských studijních studijních program programech amech TZSI a STR Předměty Předměty Pružnost a pevnost 1 (211 1051) a Pružnost a pevnost 1A (211 A051) Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6, Vystaveno dne 6. února 2016 http://www.pruznost.unas.cz 2016 na: (doplněno a upraveno dne 12. února 2016)

Vydání sedmé přepracované (první vydání akademick akademický emický rok 2009/2010) 2009/2010) 161 stran, 387 obrázků obrázků, 56 příkladů a 10 tabulek. tabulek.

PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKY

Recommend Documents