Příklady k přednášce 2 - Spojité modely

Příklady k přednášce 2 - Spojité modely

Michael Šebek Automatické řízení 2015 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

22-5-15

Řešení stavové rovnice v časové oblasti Automatické řízení - Kybernetika a robotika

0 1 0 1  − x (t ) = 1(t )  −8 −6  x(t ) + 1  u (t ), x(0 ) = 0  , u (t ) =       • Při řešení v časové oblasti najdeme vlastní čísla

p ( s ) =det ( sI − A ) =s 2 + 6 s + 8 → s1 =−2, s2 =−4 • a předpokládáme stavovou matici přechodu ve tvaru  K1e −2t + K 2 e −4t Φ(t ) =  −2 t −4 t  K 5e + K 6 e

K 3e −2t + K 4 e −4t   K 7 e −2t + K8e −4t 

• Konstanty najdeme ze známých vlastností matice Φ(0) =⇒ I K1 + K 2 = 1, K 3 + K 4 =0, K 5 + K 6 =0, K 7 + K8 = 1  (0) = Φ A ⇒ −2 K1 − 4 K 2 = 0, −2 K 3 − 4 K 4 = 1, − 2 K 5 − 4 K 6 = −8, −2 K 7 − 4 K8 = −6

• takže

Michael Šebek

 −2t −4t 1 −2t 1 −4t  2e − e e − e   Φ(t ) = 2 2  −2t −4 t −2 t −4 t  − e + 2e   −4e + 4e ARI-Pr-02-2015

2

Řešení stavové rovnice v časové oblasti Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• a odezva na počáteční stav je • dále

 2e −2t − e −4t  Φ(t )x(0) =  −2 t −4 t  − + e e 4 4  

 1 −2(t −τ ) 1 −4(t −τ )  − e 2 e  Φ(t − τ )B = 2  −2(t −τ ) −4( t −τ )  − + e e 2  

a z toho

1 −4t t 4τ   1 −2t t 2τ − e e d e ∫ e dτ  τ t ∫ 2 0 0 2 ( ) ( ) = − = t d Φ Bu τ τ τ   ∫0 t t −2 t −4 t 2τ 4τ  −e ∫0 e dτ + 2e ∫0 e dτ  

 1 1 −2t 1 −4t  8 − 4 e + 8 e     − 1 e −2t − 1 e −4t  2  2 

• Takže celková odezva je

 1 7 −2t 7 −4t  8 + 4 e − 8 e  t ) Φ(t )x(0) + ∫ Φ(t − τ )Bu (τ )dτ=  x(t=  0  − 7 e−2t + 7 e −4t  2  2 

Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

3

Řešení Laplaceovou transformací Automatické řízení - Kybernetika a robotika

0 1 0 1  − x (t ) = x t u t x + = ( ) ( ), (0 ) 1(t )  −8 −6  1  0  , u (t ) =        s + 6 1  s + 6 1   −8 s   2  s −1  −1 s + 6s + 8 s 2 + 6s + 8    − A)  ⇒ ( sI −= =  A)  ( sI=  2 8 6 8 s s + − 6 8 s s + +      s 2 + 6s + 8 s 2 + 6s + 8 

• Obraz odezvy je celkem

1    s + 6   s 2 + 6s + 1   ( s 2 + 6s + 8) s   2   ( s 2 + 6s + 8) s  s + s + 6 8 −1 −1  + x( s ) = ( sI − A) Bu( s ) + ( sI − A) x 0 =  = s −8  −7 s       ( s 2 + 6 s + 8 ) s   s 2 + 6 s + 8   ( s 2 + 6 s + 8 ) s     

• a časový průběh odezvy je stejný jako v minulém = řešení Michael Šebek

 s 2 + 6s + 1   s ( s + 2 )( s + 4 )  =  −7 s    s ( s + 2 )( s + 4 ) 

ARI-Pr-02-2015

7 7  1 + −  8s 4 ( s + 2 ) 8 ( s + 4 )    7  − 7  +  2 ( s + 2 ) 2 ( s + 4 )  4

Řešení Laplaceovou transformací Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Dále: z rozkladu na parciální zlomky 1  s+6   s 2 + 6s + 8 s 2 + 6s + 8  −1   ( sI − A ) = s 8 −    s 2 + 6 s + 8 s 2 + 6 s + 8  1 1 1   2 − −  s + 2 s + 4 2( s + 2) 2( s + 4)   = 4 1 2  4  − + − +  s + 2 s + 4 s + 2 s + 4 

je zřejmé, že to je obraz stavové matice přechodu Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

>> Fis=inv([s 0;0 s]-A) Fis = 6 + s 1 -8 s -----------8 + 6s + s^2 >> x=Fis*([1;0]+[0;1/s]) x = 1 + 6s + s^2 -7s --------------8s + 6s^2 + s^3 >> x1=partial(x(1)) x1 = -7/8 7/4 1/8 ----------4 + s 2 + s s >> x2=partial(x(2)) x2 = 7/2 -7/2 ----- ----4 + s 2 + s >> Fi11=partial(Fis(1,1)) Fi11 = -1 2 ----- ----4 + s 2 + s 5

Příklad: Směrování satelitu Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• IO model • Stavový model

J ϕ = FC d = ϕ ω= , ω

ϕ  d = x = = u Fc , y ϕ , 0 1  0  ω  J = x  x +  u    0 0  1 

d Fc J

y = [1 0] x

• Charakteristický polynom  1 0   0 1     s −1  2 p= ( s ) det  s  − = =  det    s     0 1  0 0    0 s  

• a řešení stavových rovnic L-transformací 1 = x( s ) s2 = y(s) Michael Šebek

1 1  s  u ( s) + s 2  

 s 1 − x (0 ) 0 s   

1 1 − + x u ( s ) s 1 (0 ) [ ] 2 2 s s ARI-Pr-02-2015

−1

 s −1 1  s 1 0 s  = s 2 0 s     

6

Příklad: Směrování satelitu Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Stavová matice přechodu det( sI − A) = s2  l11 l12   k11 k12   Φ = (0) A = Φ (0)  = I l =    21 l22   k21 k22  2   1 t  −1  1 s 1 s    Φ= (t )  =    0 1     0 1 s  

 k11 + l11t k12 + l12t  Φ(t ) = k + l t k + l t  22 22   21 21

1 t − τ  Φ (t − τ ) = 0 1  

1  = x0 = , u (t ) 1(t )  0 

• Řešení v časové oblasti pro 1  (0)   , Φ (t ) x= 0

Michael Šebek

 t (t − τ )dτ  t ∫ 0   t Bu d ( ) ( ) Φ − = = τ τ τ ∫0 t    ∫0 dτ  ARI-Pr-02-2015

t2  2    t 

 t2  1+ x(t ) =  2    t   t2 y (t ) = 1 + 2 7

Příklad: Divný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Blokově

u

x1

y

a rovnicemi

x1 =− x1 + u x2 = x2

u

x1

x1

y x2

x2

x2

• stavový model

 −1 0  1  x =  x + u , y = [1 1] x     0 1 0 

• výpočet řešení (Laplace) −1

x( s )

Michael Šebek

−1

 s + 1 0  1  s +1 0  − + ( ) (0 ) x u s  0      s − 1 0  s − 1   0  s − 1 s −1 0  1 1 − + ( ) (0 ) x u s     s + 1 ( s + 1)( s − 1)  0  ( s + 1)( s − 1)  0 ARI-Pr-02-2015

8

Příklad: Divný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika

s −1 1 u (s) + [ s − 1 s + 1] x(0− ) ( s + 1)( s − 1) ( s + 1)( s − 1) 1 1 1 = u (s) + x1 (0− ) + x2 (0− ) ( s + 1) ( s + 1) ( s − 1)

• a výstup= je y ( s )

přenos

odezva na počáteční stav

• charakteristický polynom vs. jmenovatel přenosu:

p( s) = ( s + 1) ( s − 1)

d ( s= ) ( s + 1)

• Odezva na skok silně závisí na počátečním stavu nulový a nenulový počáteční stav − x1 (0 ) = 0 x2 (0− ) = 0 Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

x1 (0− ) = 0 x2 (0− ) = 0.1

9

Příklad: Jiný divný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika

Kaskáda (mód je odblokován vstupní nulou) • přenos je 1. řádu a stabilní

u

x1 v

x1 = 0

y x1 = 1

s −1 1 1 G ( s) = = s +1 s −1 s +1

• ale úplný stavový popis je 2. řádu: pro x1= y, x2= u − v  x1  1 −1  x1  1  =  x  0 −1  x  +  2  u  2    2  x  = y [1 0]  1  + [1] u  x2 

• charakteristický polynom je Michael Šebek

p ( s ) =det( sI − A) =( s + 1)( s − 1) ARI-Pr-02-2015

10

Příklad: Kanonické formy řiditelnosti Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Kanonická forma řiditelnosti (někdy také forma fázových proměnných) y(s) u (s)

2 + 7s + s2 2 + 7 s + 1s 2 = 24 + 26 s + 9 s 2 + s 3 24 + 26 s + 9 s 2 + 1s 3

1 0  0 0   x + 0  u x  0 0 1      −24 −26 −9  1  y = [ 2 7 1] x

u

1

1 7

1 − s

sx3

x3

1 − s

x2

1 − s

x1

2

y

−9 −26 −24

• jiná varianta kanonická formy řiditelnosti - Controller Canonical Form Y (s) 1s 2 + 7 s + 2 = 3 U ( s ) 1s + 9 s 2 + 26 s + 24

1 7 u

1

1 − s

sx1

x1

1 − s

−9 −26 −24 Michael Šebek

x2

1 − s

 −9 x  1 =   0 y = [1 7 x3

2

y

ARI-Pr-02-2015

−26 −24  1  0 0  x + 0  u 0  1 0  2] x

11

Příklad: Kanonické formy pozorovatelnosti Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Kanonická forma pozorovatelnosti - Observer Canonical Form 1 7 2 + 2+ 3 Y (s) s s s = U ( s ) 1 + 9 + 26 + 24 s s2 s3

 −9 x  −26   −24 y = [1 0

1 7 u

1 0 1  0 1  x + 7  u  2  0 0  0] x 1

u

sx1

1 − s

sx3

1 − s

x3

1 − s

x2

1 − s −9

x1

1

y

−26 −24

7 2

2

x1

1 − s

x2

−26

0 1  = x 1  − s x 1 y 0 −9 y = [0 3

0 −24  2 0 −26  x + 7  u 1  1 −9  0 1] x

−24 Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

12

Příklad: Kaskádní realizace Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Přenos

y(s) 24 24 = F= (s) = u (s) 24 + 26 s + 9 s 2 + s 3 ( s + 2)( s + 3)( s + 4)

• Můžeme realizovat jako kaskádu (sérii) subsystémů 1. řádu

u (s)

u

24

24

sx3

1 − s −2

Michael Šebek

x3 ( s)

1 ( s + 2)

x3

1

sx2

1 − s −3

x2

1 ( s + 3)

1

sx1

x2 ( s)

1 − s

= 24

x1 ( s)

1 ( s + 4)

x1

−4

1

1 1 1 ( s + 2) ( s + 3) ( s + 4)

y(s)

y

 −4 = x  0   0 y = [1 0 ARI-Pr-02-2015

1 0 0 −3 1  x +  0  u  24  0 −2  0] x 13

Příklad: Paralelní realizace Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Přenos

y(s) 24 24 = F= (s) = u (s) 24 + 26 s + 9 s 2 + s 3 ( s + 2)( s + 3)( s + 4)

• Můžeme realizovat jako paralelní spojení subsystémů 1. řádu sx1

12

u

1 − s

−24

12

sx2

sx3

−3

1 − s −4

•

12 24 12 − + ( s + 2) ( s + 3) ( s + 4) rozklad na parciální zlomky

x1

1

−2

1 − s

=

12 ( s + 2)

Xx11((ss) ) x (s)

x2

x3

1

y

1

24 ( s + 3)

X 22 (s)

 −2 xX33(ss)) = x  0   0 y = [1 1

12 ( s + 4)

0 0  12  −3 0  x +  −24  u  12  0 −4  1] x

jsou-li (faktory) póly násobnosti 1, je stavová matice diagonální (viz Jordanův kanonický tvar matice) Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

14

Příklad: Paralelní realizace - vícenásobné póly Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Přenos

y(s) ( s + 3) 2 1 1 =F ( s ) = = − + u (s) ( s + 1) 2 (s + 2) ( s + 1) 2 ( s + 1) ( s + 2)

• Můžeme realizovat jako paralelní spojení subsystémů max. 2. řádu sx2

1 − s

x2

1

sx1

−1

2

1

•

1 − s

1 − 2

1

1

2 ( s + 2) 2

y

1 ( s + 1)

1 ( s + 2)

 −1 1 0  0  −2 x  0 −1 0  x +  2  u =      0 0 −2  1  jsou-li (faktory) póly násobnosti větší než 1, nemusí být stavová matice diagonální, ale y = [1 −1 2 1] x může být blokově diagonální Jordanův tvar matice může být složený z bloků větší velikosti než 1 sx3

•

x1

−1

u

•

1 − s

Michael Šebek

x3

ARI-Pr-02-2015

15

Výpočet transformační matice Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Někdy dány oba modely (ve starých a nových souřadnicích) a hledáme T • přímo z transformačních vztahů to vypočítat nejde ? 1 −1 = A new T−= A old T, B new T= B old , Cnew Cold T

• Transformujme tedy matici n −1 Cnew = B new A new B new  A new B new  n −1 = T−1B old ( T−1A old T ) T−1B old  ( T−1A old T ) T−1B old  −1 −1 n −1 T= B old A old B old  A old B old  T Cold

−1 a z toho je T = Cold Cnew

 Ci  CA  • Obdobně ze vztahu (pokud inverze existuje) Oi =  i i  −1    T = Oold Onew  n -1   Ci A i  • Neboť platí Onew = Oold T kde obě matice jsou tvaru i = new, old Michael Šebek

pokud inverze existuje

ARI-02-2015

16

Odezva na vstup a počáteční podmínky Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Odezva na vstupní signál a počáteční stav je celkem

[C adj(sI − A)B + det( sI − A)D] y(s) = det( sI − A)

C adj( sI − A)x0 b( s ) nu ( s ) cx0 ( s ) u ( s) + = + det( sI − A) a( s) du ( s) a( s)

• kde a ( s ) je charakteristický polynom systému du ( s) je jmenovatel L-obrazu vstupního signálu • výstup můžeme rozložit na parciální zlomky / módy takto Složky příslušné kořenům a ( s )

y(s) =

přirozená odezva

Michael Šebek

Složky příslušné

+ kořenům d ( s) u

nucená odezva

ARI-02-2015

+

složky příslušné kořenům a ( s )

odezva na poč. stav

17

Použití parciálních zlomků při výpočtu odezvy Automatické řízení - Kybernetika a robotika

Ryzí racionální funkci n( s) d ( s) , kde d ( s) má kořeny reálné ai , m j-násobné reálné b j −σ k ± jωk a nl -násobné komplexní cl = −σ l ± jωl komplexní ck = • a tedy polynom d ( s ) má rozklad na kořenové činitele d ( s ) = ∏ ( s − ai )∏ ( s − b j )

mj

∏ ( ( s + σ k )2 + ωk2 ) )∏ ( ( s + σ l )2 + ωl2 ) )

nl

• nejprve rozložíme na parciální zlomky n( s ) = d (s)

βm j j   β1 j β2 j  + + + + ∑ (s − a ) ∑  (s − b ) (s − b )2 mj   s b ( ) − j j i j   ε nl l + ϕ nl l s  ε1l + ϕ1l s  γ k + δk s ε 2l + ϕ 2l s +∑ +  + + +   ∑ ( s + σ )2 + ω 2 (( s + σ )2 + ω 2 ))2 ( s + σ k ) 2 + ωk2 (( s + σ l ) 2 + ωl2 )) nl  l l l l  αi

• Při zpětné transformaci každý zlomek zpětně transformujeme zvlášť dle vzorců ωk 1 2ωk3 −σ t at −σ t → e sin ωk t , →e , → e ( sin ωk t − ωk t cos ωk t ) 2 2 2 2 2 ( ) s + + σ ω (( s + σ k ) + ωk ) ( s − ai ) k k 1 1 s +σ m j −1 bt 2ωk ( s + σ ) −σ t −σ t , t e → cos , e t → ω → te sin ωk t k mj 2 2 2 2 2 ( ) s + + σ ω (m j − 1)! (( s + σ k ) + ωk ) (s − b j ) k k

• Jednotlivým složkám se říká módy Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

 18

Příklad: Odezva na vstup i počáteční stav Automatické řízení - Kybernetika a robotika

det( sI − A) =( s + 5)( s + 3)  x1   −5 0   x1  1  = + u  x   0 −3  x  0   2    2  x   x (0−)   0  y= [ −3 1]  1  + [1] u,  1  =    x2   x2 (0−)   −1

• obecná odezva = y(s)

3 1 s+2 u (s) − x1 (0−) + x2 (0−) s+5 s+5 s+3

• odezva na jednotkový skok a počáteční stav u (s) =

1 s+21 1 y(s) − s =

s+5 s

s+3

přirozená

2 3 y (t ) =+ e −5t − e −3t 5 5 Michael Šebek

celková

x1 (0− ) = 0, x2 (0− ) = −1

nucená

25 35 1 y(s) = + − s s+5 s+3 nucená

na vstup

přirozená volný pád

volný pád t=0:.01:5; nuc=.4*ones(1,length(t)); pri=.6*exp(-5*t);vol=-exp(-3*t); plot(t,nuc,t,pri,t,vol,t,nuc+pri,...

ARI-Pr-02-2015

t,nuc+pri+vol)

19

Příklad -pokračování Automatické řízení - Kybernetika a robotika

U (s) =

1 s

G (s) s+2 s+5

x1 (0−) =0

det( sI − A) =( s + 5)( s + 3)

Im −2

−5 −3

Y (s)

1 s+3

1 s+5

x2 (0−) =−1

1 s+3

Re 0

s+2

• pól vstupního signálu generuje nucenou odezvu • pól přenosu generuje přirozenou odezvu 25 35 1 • pól charakteristického polynomu Y (s) = + − s s+5 s+3 generuje volnou odezvu • reálný pól -a generuje nucená přirozená exponenciální odezvu e-ta 2 3 −5t −3t ( ) y t = + e −e • nuly a póly kombinují vliv módů 5 5 Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

1 s

volný pád

20

Příklad: Odhad odezvy z polohy pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Když nás např. zajímá odezva na skok systému

u (s) =

1 s

( s + 3) ( s + 2)( s + 4)( s + 5)

y(s)

• můžeme ji jednoduše odhadnout tak, že naznačíme rozklad na parciální zlomky K3 K K2 K4 y ( s ) =1 + + + s ( s + 2) ( s + 4) ( s + 5)

• zřejmě „vstupní pól“ generuje vynucenou skokovou odezvu a póly přenosu generují jednotlivé exponenciální složky přirozené odezvy • zpětnou L-transformací dostaneme

y (t ) =+ K1 K 2 e −2t + K 3e −4t + K 4 e −5t • přestože výpočet konstant není složitý, konstanty nás často nezajímají • mnohdy stačí vědět, které složky odezva obsahuje Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

21

Ještě k modelům: změna měřítka amplitudy Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Změna měřítka amplitudy (škálování) zjednodušuje analýzu i návrh • Odhadneme maximální očekávané/povolené hodnoty změn signálů v pracovním režimu ∆y = G∆ ∆u + Gd ∆ ∆d • Vyjdeme z odchylkového modelu (přenosu) vzniklého třeba lineární aproximací ∆u ∆d • a velikost každé veličinu „stlačíme pod 1“ vydělením = u = ,d ∆ max u ∆ max d maximální odhadnutou nebo povolenou odchylkou • ∆y musíme škálovat společně s ∆e, ∆r neboť mají stejné jednotky a jsou vázány ∆e = ∆r − ∆y ∆y ∆r ∆e = y = ,r = ,e • Můžeme použít ∆ max r nebo častěji ∆ max e : ∆ max e ∆ max e ∆ max e Postup formalizujeme použitím faktorů De = ∆ max e, Du = ∆ max u , Dd = ∆ max d , Dr = ∆ max r y= De−1G∆ Du u + De−1Gd ∆ D d d , e = y−r a dosazením dostaneme • Někdy k tomu ještě zavedeme škálovanou referenci.

r= ∆r ∆ max r= Dr−1∆r ⇒ r= De−1∆r= Dr De−1r • Pak je d (t ) ≤ 1, r (t ) ≤ 1 a pomocí u (t ) ≤ 1 usilujeme o Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

e(t ) ≤ 1 22

Příklad: Vytápění pokoje Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• energetická rovnováha: změna energie v pokoji = přítoku energie (zanedbáváme akumulaci ve stěnách) změna přívod tepla uvnitř tepla

ztráty do okolí

d Q + α (TO − T ) ( CV T ) = dt

tepelná kapacita pokoje [J/K]

teplota pokoje [K]

TO [ K ]

α = 100 W K CV , p = 100 kJ K

přívod koeficient venkovní tepla přestupu teplota tepla [K] [W] [W/K]

CV [ J K ] T [K ]

α [W K ]

Q [W ]

• pracovní bod Q = 2 kW , Tp − T= 20 K p O,p

• odchylkový model

5 2 ∆T = T − Tˆ , • zavedeme = τ C= α = 10 10 1000s V d  a uděláme LT pro nulovou pp. ∆T (0− ) = 0  CV + α  ∆T =∆Q + α∆TO  dt  1α 1 s) ∆T (= ∆Q + ∆TO τ s +1 τ s +1 0.01 1 T (s) ∆ = ∆Q + ∆TO 1000 s + 1 1000 s + 1 Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

23

Příklad: Vytápění pokoje Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Zavedeme relativní bezrozměrné proměnné ∆TO ( s ) ∆T ( s ) ∆Q ( s ) = = y(s) = ; u (s) ; d (s) ∆Tmax ∆Qmax ∆TO,max kde ze zadání ∆Tmax = 1 K ; ∆Qmax = 2 kW ; ∆TO,max = 10 K • operacemi ∆T ( s ) 1 1 1 ∆Qmax 1 1 ∆TO,max ∆Q + ∆TO ∆Tmax τ s + 1 α ∆Tmax ∆Qmax τ s + 1 ∆Tmax ∆TO,max • dostaneme 1 1 ∆Qmax 1 ∆TO,max y(s) u (s) + d (s) τ s + 1 α ∆Tmax τ s + 1 ∆Tmax

y(s)

20 10 u (s) + d (s) 1000 s + 1 1000 s + 1

Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

24

Ještě k modelům: změna časového měřítka Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Čas většinou měříme v sekundách, ale počítání s velmi rychlými nebo pomalými systémy může být špatně podmíněné a numerický výpočet může být chybný • Je proto užitečné umět změnit jednotku času. Například mezi časem t[s] a časem τ [ms] platí vztah τ = kt kde k = 1000 • Dopad na derivování je 2 dx dx dx d 2x d x 2  x = , = x k , = = k = 2 2 dt d (τ k ) dτ dt dτ • a tak se stavová rovnice transformuje na

1 1 x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) ⇒ x (τ ) = Ax(τ ) + Bu (τ ) k k

• Jí v „měřítku času τ“

g ( sτ ) =− ( sτ kI − A ) B ( sτ I Aτ ) Bτ =− ( sτ I A k ) B k = −1

−1

−1

• Tedy s = sτ k což odpovídá, neboť proměnná s v LT má rozměr „1/čas“ • Dále platí pro časové konstanty T = kT τ

Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

25

Příklad: změna časového měřítka Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Rychlý oscilátor s přirozenou frekvencíωn = 15.000 rad s (asi 2 kHz) s 106 u (t ) ϕ(t ) + 15.0002 ϕ (t ) = • Změníme-li jednotku času ze sekundy na milisekundu (τ = 1000t ) • Pak a „rovnice v milisekundách“ je 2 ϕ τ d ( ) 2 d ϕ (τ ) ϕ(t ) = 106 2 2 15 ϕ (τ ) = u (τ ) + dτ 2 dτ • Z první rovnice dostaneme přenos, ze druhé 6 1 10 y ( s ) = u (s) y(s) = 2 u ( s) τ 2 2 2 sτ + 15 s + 15.000 • Z porovnání je zřejmé, že s = 1000 sτ x1 ϕ= , x2 ϕ ) je • Změna ve stavovém modelu (pro=  x1 (t )   x (t )   2   x1 (τ )   x (τ )   2  Michael Šebek

0 1   x1 (t )   0    −152 × 10002 0   x (t )  + 106  u (t )   2    0 0.001  x1 (τ )   0   +  3  u (τ )    −152 × 1000  0   x2 (τ )  10   ARI-Pr-02-2015

106 g (s) = 2 s + 15.0002 1 g ( sτ ) = 2 sτ + 152 26

Spojité modely v Matlabu – objekty a funkce Automatické řízení - Kybernetika a robotika

CSTbx: • (lti) ss, tf, zpk • step, impulse, initial, … PolTbx: • sdf, (ldf, rdf, mdf), abcd, pol • num, den SymbMathTbx: • symbolické výpočty • laplace, ilaplace

Michael Šebek

ARI-Pr-02-2015

27