Příklady k přednášce 11 - Regulátory
Michael Šebek Automatické řízení 2015 23-3-15
Soustavy s oscilujícími módy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• V běžných průmyslových procesech je to méně časté, ale některé důležité aplikace mají hodně oscilující módy: • pružné rameno robota • disková mechanika • AMF (Atomic Force Microscope) • MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) • pružné konstrukce v kosmu • spalovací systémy • Velmi obtížně se řídí, zejména je-li tlumení velmi malé, takže systém hodně rezonuje • Skoro nemožné řídit PI – nepřidá fázový předstih, proto je uzavřená smyčka ještě méně tlumená • PI regulátor nesmí vybudit oscilační módy, proto je výsledná reakce velmi pomalá • D akce velmi pomůže Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
2
Příklad: Málo tlumená oscilující soustava Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro oscilující soustavu s velmi malým tlumením
a2 G (s) = 2 s + 2ς as + a 2 ς = 0.005 • I regulátor (P pomůže jen málo) C (s) =
OL
CL
Ts ≅ 1500s
0.005 s
• PID regulátor C ( s ) =17 +
OL
27 + 5.99 s s
CL
• ještě lépe b = 0 , pak skok nevybudí vysoké frekvence Michael Šebek
AH_3_5_Oscil.mdl
Pr-ARI-01-2013
Ts ≅ 3s
3
Příklad: Soustava vyššího řádu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro soustavu 3. řádu
G (s) = • PID regulátor
AH_Ex3_3_HiOr.mdl
1
( s + 1)
3
>> G=1/(1+s)^3 >> PID=(1+1/2/s+.6*s) >> R=s*(s^2+11.5*s+57.5), S=144*s^3+575*s^2+870*s+512, T=8*s^3+77*s^2+309*s+512, RST=[T, -S]/R
1 C ( s ) = 3.5 1 + + 0.6 s 2.0 s
• TDF regulátor 3.řádu R( s )u = − S ( s ) y + T ( s ) ysp R( s ) =s ( s 2 + 11.5s + 57.5)
ysp
S ( s ) = 144s 3 + 575s 2 + 870 s + 512
yrst
T (= s ) 8s 3 + 77 s 2 + 309 s + 512
je lepší než PID Michael Šebek
y pid
d Pr-ARI-01-2013
4
Příklad: Soustava s dopravním zpožděním Automatické řízení - Kybernetika a robotika
AH_Ex3_4_TD.mdl
• Pro soustavu s velkým zpožděním 1 −4 s G (s) = e 1 + 2s • PI regulátor (složka D nepomůže) 1 = C ( s ) 0.4 1 + 2.5s
• Smithův prediktor s PI regulátorem 1 + C= s ( ) 1.8 1 0 0.9 s
• je ve srovnání s PID lepší: má o dost lepší reakce na skok reference a o něco lepší reakce na skok poruchy Michael Šebek
ysmith
y pi
ysp
d
Pr-ARI-01-2013
5
Rychlá odezva – pulzní vstup Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Větší akční zásahy rychlejší odezva - v praxi omezeny u (t ) ∈ [umin , umax ] • Pak dá nejrychlejší odezvu pulzní vstup „bang-bang“ • Přesný tvar vstupu lze vypočítat (časově optimální řízení) – není lineární Příklad • Soustava
1 P( s) = ( s + 1) 4
• PI regulátor
umin = −4 umax = 4
AH_5_11_FFPulse.mdl
u (t )
= K 0.43, = Ti 2.25 = b 1,= ( M S 1.4)
• PI regulátor
= K 0.78, = Ti 2.05 • = b 0.23, = ( M S 2.0)
y (t )
• Pulzní FF Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
6
Rychlá odezva – omezená rychlost akce Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jiné praktické omezení: rychlost akčního zásahu • Také časté kombinované omezení: na velikost i rychlost akčního zásahu • Také není lineární AH_5_11_FFPulse.mdl
Příklad • Soustava jako minule
P( s) =
u (t )
1 ( s + 1) 4
• ale musí být
du < konst dt
Michael Šebek
y (t )
Pr-ARI-01-2013
7
Hraní s P-I-D a dalšími regulátory Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• po internetu je mnoho zajímavých stránek o PID regulátorech • např. www.engin.umich.edu/group/ctm/index.html • o ladění PID regulátorů jsou celé knihy
Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
8
Nastavení podle Zieglera a Nicholse Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• 2 klasické metody nastavení (ladění) PID regulátoru publikoval • Callender et al. 1936, J.G. Ziegler a N.B. Nichols 1941 a 1943 • od té doby se hojně požívají Výhody: Metoda Ziegler-Nicholsova • nepotřebují model • jsou jednoduché • jsou založeny na experimentu se samotným procesem • prakticky vyzkoušené na mnoha případech – fungují rozumně (?) Nevýhody • nikdy nebyly dokázány ani pořádně vysvětleny • byly nalezeny pomocí pokusů a omylů • lze teoreticky ukázat, že mnoho systémů nedokážou ani stabilizovat Shrnuto • praktici je mají rádi, teoretici ne • používaly se pro řízení procesů opravdu často • ale s postupujícím časem jejich význam upadá Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
9
Metoda 1: Odezva na skok – 1/4 poměr útlumu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
U (s)
=
τ s +1
směrnice = rychlost reakce
e − std
L = td
zpoždění y (t )
τ
t
změřená aproximace 1. řád
a
Pr-ARI-01-2013
ustálená hodnota
Michael Šebek
R=a τ
časová konstanta
Postup získání parametrů • u procesu změříme odezvu na skok reference a nakreslíme tečnu v inflexním bodě • hodnoty L parametrů přímo odečteme RL z grafu
tečna v inflexním bodě
ustálená hodnota
• Mnoho řízených procesů má dopravní zpoždění a OL odezvu na skok tvaru „S“ y (t ) • říká se jí reakční křivka procesu a • můžeme ji aproximovat odezvou na skok jednoduchého systému 1. řádu s dopravním zpožděním Y ( s ) a
L = td
τ
t 10
Metoda 1: Odezva na skok – 1/4 poměr útlumu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Cílem ladění 1. metodou je, aby výsledný CL systém měl asi • 25% poměr útlumu za jednu periodu to znamená, že druhé maximum je čtvrtinou prvního, • což je rozumný kompromis mezi rychlostí a bezpečnou stabilitou. • U systému 2. řádu tomu odpovídá ζ = 0.21 • sérií experimentálních simulací na analogovém počítači dostali ZN empirické hodnoty pro nastavení parametrů PID regulátoru P
k P = 1 RL
= k P 0.9 = RL , TI 3L PI k P 1.2 RL = , TI 2= L, TD 0.5 L PID = Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
y (t )
1
0.25 t
perioda
1 + TD s DC ( s ) = k P 1 + TI s
P
I
D 11
Metoda 2: mezní citlivost – frekvenční odezva Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Založená na měření systému na mezi stability: • budíme krátkým impulsem (nenulovými pp.) • postupně zvětšujeme zesílení P členu až se systém dostane na mez stability • a začne kmitat stálými oscilacemi s amplitudou omezenou saturací akčního členu (s co nejmenší ale ustálenou amplitudou) • periodu těchto kmitů změříme a nazveme mezní periodou PU • zesílení při němž to nastane nazveme mezním zesílením KU • z těchto naměřených hodnot určili ZN empirické k Phodnoty = 0.5 KU pro nastavení P parametrů PID regulátoru = k P 0.45 = KU , TI PU 1.2 PI
k P 0.6 = KU , TI P= PU 8 PID= U 2 , TD Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
proces
KU
PU
y (t )
t
mezní perioda
P
I
D
1 + TD s DC ( s ) = k P 1 + TI s
12
Příklad: výměník tepla Automatické řízení - Kybernetika a robotika
(volně podle Franklin 5e s 201, Ex. 4.9) Metoda 1 – odezva na skok experimentálně určíme odezvu na skok a z ní odměřímeL = 18, RL = 0.2 z toho vypočteme konstanty pro P regulátor = k P 1= RL 5 pro PI regulátor = k P 0.9 = RL 4.5 0.3 60 = TI L=
L = 18
RL = 0.2 1 + TD s DC ( s ) = k P 1 + TI s
V obou případech je výsledek moc kmitavý Pomůže redukce k P na polovinu Michael Šebek
F=1/((35*s+1)*(25*s+1)),td=10,Ftd=tf(F), Ftd=set(Ftd,'ioDelay',td)
Pr-ARI-01-2013
PI
P
13
Příklad: výměník tepla Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Volně podle Franklin 5e s 201, Ex. 4.10 Metoda 2 – mezní citlivost • zapojíme P regulátor a postupně budíme krátkým pulsem (nebo nenulovými pp) • zvyšujeme zesílení až nastanou ustálené (lineární) oscilace • pak odměříme zesílení a periodu KU = 6.87
PU = 75s
z toho vypočteme konstanty • pro P regulátor 1 + T s D ( s ) = k 1 + T s = k P 0.5 = KU 3.44 • pro PI regulátor = k P 0.45 = KU 3.09 ZN.mdl = TI P= 62.5 U 1.2 C
D
P
I
Michael Šebek
PI
Pr-ARI-01-2013
P Moc kmitá: snížit kp o 50% ! 14
Příklad: Proti-intuitivní chování Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Obvyklé pravidlo pro manuální ladění říká, že když snížíme K, tak zvýšíme stabilitu a potlačíme oscilace (zvýšíme tlumení) • Platí to obvykle, ale ne vždy: 1 • Uvažme soustavu G ( s ) = 1 s PI regulátorem C = ( s) K P 1 +
s
Ti s
• Uzavřená smyčka má charakteristický polynom pcl ( s ) = Ti s 2 + K PTi s + K ⇒ s 2 + K P s +
• Porovnáním s obecným polynomem pro systém 2. řádu s 2 + 2ζωn s + ωn2 • vypočteme tlumení jako ς=
Proti intuici: PM roste s KP
K = 0.2
K PTi 2
• které zřejmě závisí na KP právě opačně, než říká pravidlo Michael Šebek
K Ti
Pr-ARI-01-2015
K =1
K =5 15
Příklad: Soustava 2. řádu a PID regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Použití umístění pólů v extrémní situaci, kdy ostatní metody ladění nefungují • soustava s nestabilní nulou a málo tlumenými oscilačními módy • tento příklad nelze jinými (klasickými) metodami řešit (diskuse viz Åström, Hägglund: Advanced PID Control, s 180) • zvolíme
b( s ) 1 − s = a( s) s 2 + 1
c( s ) =s 3 + 2 s 2 + 2 s + 1 =( s + 1)( s + 0.5 + j 0.866)( s + 0.5 − j 0.866)
• pak sestavíme soustavu a vyřešíme ji (PolTbx) 2 2 k s + k s + k ( ) 2 q s s +1 D P I >> c=s^3+2*s^2+2*s+1,a=s^2+1,b=1-s = = c = 1 + 2s + 2s^2 + s^3 3s p( s) s
a = 1 + s^2 b = 1 - s >> [x,y]=axbyc(a*s,b,c) x = 3.0000 y = 1 + 2s^2
Michael Šebek
kP = 0 kI = 1 3 kD = 2 3 Pr-ARI-01-2013
16
Příklad na umístění jednoho pólu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
h 2 kI = =h (1 − h ) =h3 − 2h 2 + h G ( − h) zvolíme-li s = −h, h > 0 , pak tento pól přiřadí konstanta vybereme-li např. h = 1 3 tj. pól v s = − 1 3 pak je potřebná konstanta Tedy I regulátor s přenosem 4 27 k I = 4 27 D (s) =
G= (s)
• • •
b( s ) 1 = a ( s ) ( s + 1)2
DC ( s) =
kI s
C
• přiřadí CL charakteristický polynom c( s)= 0.15 + s + 2s 2 + s 3
• jeho kořeny, tedy CL póly jsou
• jeden z pólů (vlastně dvojnásobný) byl umístěn do požadované polohy a přitom je „dominantní“ Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
s
>> format rat >> P=1/(s+1)^2; >> h=1/3,kI=h/value(P,-h) h = 1/3 kI = 4/27 >> D=kI/s D = 0.15 / s >> c=P.den*D.den+P.num*D.num c = 0.15 + s + 2s^2 + s^3 >> roots(c) ans = -4/3 -1/3 + 1/297399692i -1/3 - 1/297399692i 17
Praktické triky: Filtrování derivace Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• ideální derivace má pro vysoké frekvence příliš velké zesílení signál
šum
poměr šum : signál = a • Proto ji často ještě filtrujeme: místo
KTd s D= 1 + sTd N
ω↓
ω↑
D = KTd s použijeme D ≅ KTd s D ≅ KN , N ∈ [ 2, 20]
• Alternativně nefiltrujeme jen D, ale všechny složky regulátoru
high frequency roll-off
dy = cos t + aω cos ωt dt = aω
= y sin t + a sin ωt
1 1 C ( s ) = C ( s )C f ( s ) = K 1 + + sTd 2 sT 1 + sT + ( sT ) 2 i f f ( jω ) = 0 lim C filtr 2. řádu s tlumením ς = 1 2 ω →∞ a konstantou T f = Ti N pro PI a T f = Td N pro PID Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
18
Praktické triky: Set-point weighting Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Často se užívá flexibilnější struktura
ded (t ) 1 u (t ) = K e p (t ) + ∫ e(τ )dτ + Td 0 T dt i ep = bysp − y, ed = cysp − y t
e ysp − y =
v integrační složce zůstává regulační odchylka kvůli nulové ustálené odchylce!
• Změnou vah dále ladíme např. b = 0 zpomaluje reakci na změnu, ale zase snižuje překmit • Je to ekvivalentní struktuře se standardním PID a přímovazebním F F (s)
PID
P( s)
2 cTT s + bsTi + 1 F (s) = i d 2 TT i d s + sTi + 1
b=0
• volbou vah b, c tedy ovlivňujeme nuly výsledného přenosu Michael Šebek
b = 0.5
b =1
Pr-ARI-01-2013
AH_3_9_SetPoint.mdl 19
Windup Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Saturace akčního členu • každý reálný akční člen má omezený rozsah • ventil může být nejvýše „úplně otevřený“ a nejméně „úplně zavřený“ • řídicí plochy letadla se nemohou vychýlit za jistý úhel od nominální polohy • elektronické zesilovače mohou produkovat nejvýše konečné napětí • Když dojde k saturaci • řídicí signál dále neroste/neklesá a smyčka je v podstatě otevřená • výstup integračního členu regulátoru za této situace stále zvyšuje svou hodnotu, ale není to k ničemu • když se změní znaménko regulační odchylky, začne klesat, ale dlouho trvá, než se dostane pod úroveň saturace • důsledkem je velký překmit a špatná odezva na skok • v otevřené smyčce je integrační člen nestabilním prvkem a musí být extra stabilizován Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
20
Anti-Windup Automatické řízení - Kybernetika a robotika
±1.0
bez saturace se saturací bez saturace se saturací Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
21
Anti-Windup Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• řešením je obvod anti-windup, který „vypne“ integrální akci, jakmile dojde k saturaci • tím se zmenší překývnutí a přechodová charakteristika • z hlediska stability způsobuje nelinearita typu saturace dočasné rozpojování smyčky • účelem zařízení anti-windup je pomocí lokální ZV stabilizovat regulátor v době, kdy je hlavní smyčka rozpojena saturací • každé řešení, které tohle umožní, může být použito jako anti-windup Digitální řešení • pokud je regulátor implementován digitálně, řešení je snadné: • prostě logika I člen vypne: „if |u| ≥ umax, kI = 0“
Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
22
Anti-Windup: Analogové řešení 1 Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• (snadno se vysvětluje, nesnadno realizuje – potřebuje další nelinearitu) kP
±umax
po dobu saturace je to ekvivalentní zapojení
kI
±umax
směrnice k A
• tedy po dobu saturace má regulátor přenos
kP
kI + kP s + kI k A
kI
• který uděláme stabilní • po skončení saturace se přidaná ZV rozpojí • a regulátor je zase PI Michael Šebek
kA Pr-ARI-01-2013
23
Anti-Windup: Analogové řešení 2 Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• (nesnadno se vysvětluje, snadno realizuje – nepotřebuje další nelinearitu) kP
• •
po dobu saturace je to ekvivalentní zapojení
±umax
kI
kP
kA kI
• tedy po dobu saturace je přenos regulátoru kP s + kI s + kI k A • po skončení saturace se přidaná ZV rozpojí • a regulátor je zase PI Michael Šebek
kA
±umax
uC kI
kA Pr-ARI-01-2013
uC − uC = 0
24
Anti-Windup Automatické řízení - Kybernetika a robotika
±1.0
bez anti-windup s anti-windup bez anti-windup s anti-windup
Michael Šebek
Pr-ARI-01-2013
25
