PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Příklad 10.6 Pracovník, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku Alfa Blatná s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. a) V kapitole „Třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku“ jsme z tabulky 10.1 roztřídili zaměstnance podle hrubé mzdy na 7 tříd za měsíc červen. Výsledek je v tabulce Tabulku 9.5 upravíme na tabulku 10.4 vhodnou pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen metodou váženého aritmetického průměru. b) Učiníme slovní popis pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen 2012 c) Porovnáme hrubou měsíční mzdu spočítanou z intervalového rozdělení četnosti se mzdou ze skutečných hrubých mezd.
Tabulka 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012 Číslo prac.
Příjmení
Pohlaví
Titul
Stav
Počet vyživovaných dětí
Pracovní kategorie
Hrubá mzda
Zbývá dní dovolené
1
Adam
1
1
0
Dělník
15 000
4
2
Bartoš
1
2
1
Dělník
12 000
8
3
Beneš
1
2
4
Dělník
24 000
9
4
Berka
1
3
0
Provozní
23 000
6
5
Bláha
1
2
2
Technický
27 000
5
6
Bohuš
1
2
0
Dělník
18 000
7
7
Bouše
1
2
1
Dělník
17 000
4
8
Boušová
2
2
2
Hospodářský
32 000
5
9
Bůbal
1
2
1
Dělník
18 000
6
10
Bureš
1
2
4
Technický
20 000
9
11
Burešová
2
2
0
Provozní
24 000
5
12
Burgerová
2
2
2
Dělník
24 000
7
13
Černá
2
1
0
Dělník
14 000
3
14
Daněk
1
1
1
Dělník
19 000
6
15
Dlask
1
2
0
Dělník
18 000
6
16
Dobeš
1
2
3
Dělník
18 000
4
Ing.
17
Drobník
1
2
2
Hospodářský
40 000
9
18
Erb
1
1
2
Dělník
16 000
3
19
Fichtner
1
2
1
Dělník
16 000
6
20
Gál
1
2
1
Hospodářský
14 000
4
21
Gott
1
2
6
Dělník
29 000
5
22
Havel
1
2
0
Hospodářský
28 000
4
23
Házová
2
2
0
Dělník
10 000
3
24
Hejral
1
2
0
Technický
19 000
6
25
Hrubín
1
2
4
Dělník
18 000
3
26
Hubač
1
2
2
Dělník
18 000
8
27
Hupová
2
2
2
Provozní
17 000
4
28
Hus
1
2
3
Hospodářský
34 000
5
29
Janda
1
2
1
Dělník
19 000
8
30
Janků
1
2
0
Dělník
18 000
4
31
Janků
2
3
3
Provozní
14 000
3
32
Jarý
1
2
1
Dělník
19 000
6
33
Jiřinec
1
2
2
Dělník
18 000
4
34
Jonáš
1
2
3
Dělník
27 000
8
35
Kobosil
1
2
1
Hospodářský
30 000
5
36
Korousová
2
2
2
Dělník
14 000
8
37
Kos
1
2
2
Dělník
21 000
7
38
Koucký
1
2
2
Dělník
23 000
7
RNDr. Bc.
JUDr.
39
Kulíšek
1
2
1
Dělník
16 000
6
40
Lahodný
1
2
1
Dělník
24 000
4
41
Lahodová
2
2
3
Dělník
14 000
3
42
Líbenková
2
2
0
Hospodářský
12 000
5
43
Lín
1
2
3
Dělník
12 000
6
44
Linka
1
Doc.
2
2
Hospodářský
23 000
7
45
Líný
1
Mgr.
2
1
Technický
24 000
8
46
Mahel
1
2
2
Dělník
20 000
6
47
Masaryk
1
2
1
Dělník
18 000
6
48
Mocová
2
2
3
Dělník
17 000
5
49
Moravec
1
2
2
Technický
22 500
5
50
Nezval
1
2
3
Dělník
17 000
7
51
Nohavica
1
2
2
Technický
23 000
6
52
Novák
1
2
5
Dělník
19 000
6
53
Novák
1
2
2
Dělník
21 000
7
54
Nováková
2
2
0
Dělník
17 000
6
55
Ondráš
1
2
4
Dělník
17 000
5
56
Prádler
1
2
1
Hospodářský
19 000
5
57
Rus
1
3
2
Technický
20 000
7
58
Svoboda
1
1
2
Technický
21 000
7
59
Tatar
1
1
2
Technický
16 000
5
60
Tomšů
1
4
3
Technický
17 000
9
Mgr.
Celkem
x
x
x
106
Pohlaví
Kód
x
Legenda: Stav
Kód
svobodný/á
1
muž
1
vdaná/ženatý
2
žena
2
vdova/vdovec
3
rozvedený/á
4 n
x
i
1
n
x i
x 1
x
2
n
...
x
n
Tab. 9.5: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná podle hrubé mzdy za červen 2012 Interval mezd dolní mez horní mez absolutně uzavřená otevřená 9 000 13 500 4 13 500 18 000 17 18 000 22 500 21 22 500 27 000 10 27 000 31 500 5 31 500 36 000 2 36 000 40 500 1
Počet pracovníků v% 6,7 28,3 35,0 16,7 8,3 3,3 1,7
kumulativně 4 21 42 52 57 59 60
kumulativně v % 6,7 35,0 70,0 86,7 95,0 98,3 100,0
1 194 500
345
60
Celkem
100,0
x
x
Řešení: Ad a) V kapitole „Třídění podle jednoho nespojitého číselného znaku“ jsme z tabulky roztřídili zaměstnance podle hrubé mzdy za měsíc červen. Výsledek je v tabulce 9.5. Tabulku 9.5 upravíme na tabulku 10.4 vhodnou pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc metodou váženého aritmetického průměru. Úpravu tabulky 9.5 na novou tabulku jsme prováděli v předchozí kapitole, nyní ji učiníme stejně. • Jediný problém navíc je, že místo hodnot znaků x i máme interval (u nás interval mezd). • Přepokládáme, že průměr hodnot (mezd) v každém intervalu je roven středu intervalu (mezd). • Každý interval nahradíme středem intervalu. • Střed intervalu se určí jako průměr horní a dolní meze intervalu. Například střed intervalu <9 000,13 500) se určí jako
x1
9 000 13 500 11 250 2
První interval mezd nahradíme středem intervalu tak, že napíšeme do buňky D138 jeden ze vzorců:
=(B143+C143)/2 =PRŮMĚR(B143;C143) Vzorec rozkopírujeme ve sloupci D do konce tabulky, kromě řádku "Celkem". Tím spočítáme ostatní středy intervalu v tabulce 10.4. Tabulka 10.4 vypadá takto:
Tab. 10.4: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná podle hrubé mzdy za červen 2012 Střed Horní Index Dolní mez mzdy mez mzdy intervalu i uzavřená otevřená mezd x i 1 2 3 4 5 6 7
S
9 000 13 500 18 000 22 500 27 000 31 500 36 000 x
13 500 18 000 22 500 27 000 31 500 36 000 40 500 x
11 250 15 750 20 250 24 750 29 250 33 750 38 250 x
Počet pracovní Součin x i .n i ků n i 4 17 21 10 5 2 1 60
45 000 267 750 425 250 247 500 146 250 67 500 38 250 1 237 500
Je zřejmé, že když nahradíme interval jeho středem, vzniká zde nepřesnost, protože nevíme, zda původní hodnoty mezd leží spíše u dolní nebo spíše u horní meze každého intervalu. Výpočet, nebo spíše odhad průměrné mzdy, provedeme stejně jako u váženého aritmetického průměru. k
x
k
x .n x .n i
i 1
n
i
i 1 k
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
i
U nás je k = 7 různých intervalů mezd, proto má vzorec pro výpočet váženého aritmetického průměru tvar: k 7
x
k 7
x .n x .n i 1
i
n
i
i 1 k 7
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 x3 n3 x4 n4 x5 n5 x6 n6 x7 n7 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
i
Po dosazení středů intervalů mezd x i a četností n i :
x
11 250.4 15 750.17 20 250.21 24 750.10 29 250.5 33 750.2 38 250.1 4 17 21 10 5 2 1
x
1 237 500 20 625 60
Průměrnou hrubou mzdu stačí z tabulky spočítat jako podíl součtů v řádku "Celkem": =1237500/60 Výsledek je 20 625 Kč
Ad b) Učiníme slovní popis pro odhad průměrné hrubé mzdy za měsíc červen 2012. Průměrná hrubá mzda ve firmě Alfa Blatná za měsíc červen 2012 je odhadem 20 625 Kč.
Ad c) Porovnáme hrubou měsíční mzdu spočítanou z intervalového rozdělení četnosti se mzdou ze skutečných hrubých mezd. Spočítejme znovu hrubou mzdu ze skutečných hodnot z tabulky 10.1: =PRŮMĚR(H24:H83)
Vyjde nám přesná průměrná hrubá mzda: 19 908 Kč Průměrná hrubá mzda ve firmě Alfa Blatná za měsíc červen 2012 je přesně 19 908 Kč. Vidíme, že mzda spočítaná z intervalového rozdělení četnosti je opravdu jen odhadem, od skutečné průměrné mzdy trochu liší.
