Příklad 70 Vypočet konstanty šíření (fázová konstanta, měrný útlum) Zadání : Rovinná harmonická elektromagnetická vlna o kmitočtu : a) f = 10 5 Hz = 100kHz b) f = 10 7 Hz = 10 MHz c) f = 10 9 Hz = 1GHz se šíří v prostředí s těmito parametry: σ = 0.01[S / m] , ε r = 18 , µ r = 1 . Varianta a)
σ = 0.01[S / m]
ε r = 18 1 ⋅10 −9 36.π
ε0 =
ε = ε 0ε r
ε0 =
1 ⋅10 −9 36.π
ε = ε 0ε r
Permeabilita prostředí µr = 1
µr = 1 µ 0 = 4.π ⋅10 µ = µ0µr
Varianta b) Měrná vodivost prostředí σ = 0.01[S / m] Permitivita prostředí ε r = 18
−7
5
f = 10 Hz = 100kHz
ω = 2π . f = 6.283E + 5[rad/s ]
µ 0 = 4.π ⋅10 µ = µ0µr
−7
Kmitočet a úhlová frekvence f = 10 7 Hz = 10 MHz
ω = 2π . f = 6.283E + 7 [rad/s ]
Varianta c)
σ = 0.01[S / m]
ε r = 18 ε0 =
1 ⋅10 −9 36.π
ε = ε 0ε r µr = 1
µ 0 = 4.π ⋅10 −7 µ = µ0µr f = 10 9 Hz = 1GHz
ω = 2π . f = 6.283E + 9[rad/s ]
ω.ε lze posoudit, zda se prostředí bude chovat pro daný kmitočet jako vodivé nebo nevodivé σ ω.ε ω.ε ω.ε = 100 = 0.01 =1 σ σ σ ωε ≈ σ ω.ε << σ prostředí se bude chovat jako ωε >> σ prostředí se bude chovat jako S ohledem na poměr
vodivé
nevodivé Pro konstantu šíření platí obecně: k = β − jα = − j ωµ (j ωε + σ )
β je fázová konstanta α je měrný útlum Při výpočtu konstanty šíření je třeba postupně vyčíslit jednotlivé části vztahu: k = β − jα = − jωµ (jωε + σ ) Postupným dosazením za jednotlivé parametry prostředí dostaneme : k 2 = − jωµ (jωε + σ ) k 2 = 7.907.10 −5 − j 7.896.10 −3 k 2 = 7.907.10 −1 + j 7.896.10 −1 k 2 = 7.907.103 + j 7.896.101 Aby bylo možno komplexní číslo odmocnit,je třeba ho převést do polárního tvaru: k 2 = 7.896.10 −3
k 2 = 1.117
k 2 = 7.908.10 3
arg k 2 = −1.561
arg k 2 = −0.785
arg k 2 = −9.985.10 −3
Po odmocnění čísla k 2 = − jωµ (jωε + σ ) : k = 8.886.10 −2
k = 1.057
k = 88.925
arg k = −0.78
arg k = −4.992.10 −3
arg k = −0.392
Po převedení zpět do kartézského tvaru: α = 0.404 β = 0.977
α = 6.252.10 −2 β = 6.315.10 −2
α = 0.4439 β = 88.924
Pro rovnici k = β − jα = − jωµ (jωε + σ ) existuje i analytické řešení v podobě:
α =ω
β =ω
εµ
σ2 − 1 + 1 + 2 2 2 ω ε
εµ
σ2 1 + 1 + 2 ω 2 ε 2
Toto řešení dá zcela shodný výsledek jako předchozí výpočet. α = 0.404 β = 0.977
α = 6.252.10 −2 β = 6.315.10 −2
Při výpočtu konstanty šíření ve vodiči, kde platí ω.ε << σ lze provést zjednodušení: k = β − jα = − jωµσ = (1 − j)
α =β =
α = 0.4439 β = 88.924
Při výpočtu konstanty šíření v dielektriku, kde platí ωε >> σ , lze provést zjednodušení:
ωµσ
k = β − jα = ω µε
2
α =0
ωµσ
β = ω µε =
2
c=
Po dosazení dostáváme:
α = β = 6.283.10
−2
1
µ0ε 0
α =0
Výsledky zjednodušených výpočtů se liší jen málo od přesných hodnot.
ω c
εr
≈ 3.108 m / s
β = 88.923
Příklad 71 Vlnová délka, fázová rychlost, hloubka vniku Rovinná harmonická elektromagnetická vlna o kmitočtu : a) f = 10 5 Hz = 100kHz b) f = 10 7 Hz = 10 MHz c) f = 10 9 Hz = 1GHz se šíří v prostředí s těmito parametry: σ = 0.01[S / m] , ε r = 18 , µ r = 1 . Varianta a) f = 10 5 Hz = 100kHz
ω = 2π . f = 6.283E + 5[rad/s ] α = 6.252.10 −2 β = 6.315.10 −2
Varianta b) f = 10 7 Hz = 10 MHz
Varianta c) f = 10 9 Hz = 1GHz
ω = 2π . f = 6.283E + 7 [rad/s ]
ω = 2π . f = 6.283E + 9[rad/s ]
Fázová konstanta a měrný útlum vypočtený v příkladu 70 α = 0.404 β = 0.977
α = 0.4439 β = 88.924
ω.ε lze posoudit, zda se prostředí bude chovat pro daný kmitočet jako vodivé nebo nevodivé σ ω.ε ω.ε ω.ε = 100 = 0.01 =1 σ σ σ ωε ≈ σ ω.ε << σ prostředí se bude chovat jako ωε >> σ prostředí se bude chovat jako S ohledem na poměr
vodivé
nevodivé Pro vlnovou délku platí obecně λ =
λ=
2π
β
= 99.501m
λ=
2π
β
2π
β λ=
= 6,433m
2π
β
= 7,066.10 − 2 m
V dielektriku lze provést následující zjednodušení 2π c λ= = εr ω f εr c Pro fázovou rychlost platí obecně : v f = vf =
ω = 9,95.10 6 β
vf =
ω β
ω = 6,433.10 7 β
vf =
ω = 7,066.10 7 β
Ve dielektriku lze provést toto zjednodušení c ω ω vf = = = = 7,066.10 7
β
ω c
Pro hloubku vniku platí obecný vztah : δ =
δ = 15,9m
δ = 2,474m
εr
εr
1
α
δ = 2,252m
Příklad 72 Vlnová impedance prostředí Rovinná harmonická elektromagnetická vlna o kmitočtu : a) f = 10 5 Hz = 100kHz b) f = 10 7 Hz = 10 MHz c) f = 10 9 Hz = 1GHz se šíří v prostředí s těmito parametry: σ = 0.01[S / m] , ε r = 18 , µ r = 1 . Varianta a) f = 10 5 Hz = 100kHz
ω = 2π . f = 6.283E + 5[rad/s ]
Varianta b) f = 10 7 Hz = 10 MHz
Varianta c) f = 10 9 Hz = 1GHz
ω = 2π . f = 6.283E + 7 [rad/s ]
ω = 2π . f = 6.283E + 9[rad/s ]
ω.ε lze posoudit, zda se prostředí bude chovat pro daný kmitočet jako vodivé nebo nevodivé σ ω.ε ω.ε ω.ε = 100 = 0.01 =1 σ σ σ ωε ≈ σ ω.ε << σ prostředí se bude chovat jako ωε >> σ prostředí se bude chovat jako S ohledem na poměr
vodivé
nevodivé Pro vlnovou impedanci platí obecně vztah : Z =
ωµ k
=
jωµ = Z ⋅ e jϕ z jωε + σ
Vlnovou impedanci lze tedy vypočítat buď přímým vyčíslením vztahu: j ωµ Z= = Z ⋅ e jϕ z j ωε + σ Z = Z ⋅ e jϕ z = 8,886e j0,785
Z = Z ⋅ e jϕ z = 74,693.e j0,392
Z = Z ⋅ e jϕ z = 88,79.e j0,0049
Máme-li již vypočtenou z předchozího výpočtu konstantu šíření, je vhodnější vycházet ze vztahu:
ωµ
= Z ⋅ e jϕ z k V našem případě byla vypočtena konstanta šíření v příkladu 70 k = 1.057 Z=
k = 8.886.10 −2
Ve vodiči pro ω.ε << σ lze provést toto zjednodušení Z=
ωµ k
=
jωµ
σ Z =
ϕz =
V dielektriku pro ωε >> σ lze provést toto zjednodušení: ωµ µ jωµ Z= = = = Z ⋅ e jϕ z k jωε ε
π
=
ωµ j 4 ⋅ e = Z ⋅ e jϕ z σ
ωµ = 8,886Ω σ π
rad [45°]
arg k = −4.992.10 −3
arg k = −0.392
arg k = −0.78
k = 88.925
Z = 74,693Ω
ϕ z = 0,392rad [22,5°]
Z =
µ0 1 µ 120π = ⋅ = = 88,79Ω ε ε0 εr εr ϕz = 0
E předbíhá H o 22,5 stupně E a H je ve fázi 4 E předbíhá H o 45 stupňů Hodnoty impedance získané ze zjednodušených vztahů pro vodič a nevodič se liší pouze nepatrně od přesných hodnot.
Příklad 73 Časové průběhy veličin E a H ( okamžité hodnoty E a H v libovolném čase a místě) Rovinná harmonická elektromagnetická vlna o kmitočtu : a) f = 10 5 Hz = 100kHz b) f = 10 7 Hz = 10 MHz c) f = 10 9 Hz = 1GHz se šíří v prostředí s těmito parametry: σ = 0.01[S / m] , ε r = 18 , µ r = 1 . Předpokládáme, že rovinná vlna je v kartézské soustavě orientována tak, že intenzita elektrického pole E má pouze složku v kladném směru osy x, intenzita magnetického pole H pouze složku v kladném směru osy y, vlna se šíří v kladném směru osy z. Aby bylo možno určit hodnoty pole v libovolném místě, musíme znát hodnoty v jednom místě(okrajová podmínka). V našem případě je například zadán průběh intenzity elektrického pole v bodě z=0:
π E x ( z = 0, t ) = 46,6 sin ωt + 2 Varianta a) f = 10 5 Hz = 100kHz
ω = 2π . f = 6.283E + 5[rad/s ]
Varianta b) Kmitočet a úhlová frekvence f = 10 7 Hz = 10 MHz
Varianta c) f = 10 9 Hz = 1GHz
ω = 2π . f = 6.283E + 7 [rad/s ] ω = 2π . f = 6.283E + 9[rad/s ] Pro časové průběhy intenzity elektrického a magnetického pole platí obecně: E x ( z , t ) = E m e −α . z sin (ωt − β .z + ϕ 0 ) H y ( z , t ) = H m e −α . z sin (ωt − β .z − ϕ z + ϕ 0 )
Aby bylo možno konkrétně stanovit časový průběh veličin v libovolném místě, respektive stanovit okamžitou hodnotu veličin v libovolném čase a libovolném místě, je třeba stanovit všechny parametry ve výše uvedených rovnicích. Amplitudu intenzity elektrického pole a fázový posun této veličiny v bodě z=0 je možno určit ze zadané okrajové podmínky: π E x ( z = 0, t ) = E m sin (ϕ 0 ) = 46,6. sin 2 Z toho vyplývá : E m = 46,6V / m
ϕ0 =
α = 6.252.10 −2 β = 6.315.10 −2
π
2 Fázová konstanta a měrný útlum byl vypočten v příkladu 70 α = 0.404 β = 0.977
α = 0.4439 β = 88.924
Vlnová impedance Z = Z ⋅ e jϕ z byla vypočtena v příkladu 72, argument vlnové impedance se vyskytuje přímo v rovnici pro časový průběh intenzity magnetického pole, udává zpoždění vektoru H za vektorem E. Absolutní hodnota impedance poslouží při výpočtu amplitudy intenzity magnetického pole. Z = Z ⋅ e jϕ z = 8,886e j0,785 Z = Z ⋅ e jϕ z = 74,693.e j0,392 Z = Z ⋅ e jϕ z = 88,79.e j0,0049 Z =
ϕz =
ωµ = 8,886Ω σ π rad [45°]
4 E předbíhá H o 45 stupňů
Z = 74,693Ω
ϕ z = 0,392rad [22,5°] E předbíhá H o 22,5 stupně
Z = 88,79Ω
ϕ z = 0,0049 E a H je téměř ve fázi
Amplituda intenzity magnetikého pole se stanoví obecně podle vztahu: E Hm = m Z H m = 5,244 A / m
H m = 0,624 A / m
H m = 0,525 A / m
Nyní známe v rovnicích pro časové průběhy veličiny E a H všechny parametry, dosazením je možno snadno vypočítat okamžitou hodnotu E i H v libovolném čase t a místě z.
Příklad 74 Fázory veličin E a H Rovinná harmonická elektromagnetická vlna o kmitočtu : a) f = 10 5 Hz = 100kHz b) f = 10 7 Hz = 10 MHz c) f = 10 9 Hz = 1GHz se šíří v prostředí s těmito parametry: σ = 0.01[S / m] , ε r = 18 , µ r = 1 . Předpokládáme, že rovinná vlna je v kartézské soustavě orientována tak, že intenzita elektrického pole E má pouze složku v kladném směru osy x, intenzita magnetického pole H pouze složku v kladném směru osy y, vlna se šíří v kladném směru osy z. Aby bylo možno určit hodnoty pole v libovolném místě, musíme znát hodnoty v jednom místě(okrajová podmínka). V našem případě je například zadán průběh intenzity elektrického pole v bodě z=0:
π E x ( z = 0, t ) = 46,6 sin ωt + 2 Varianta a) f = 10 5 Hz = 100kHz
ω = 2π . f = 6.283E + 5[rad/s ]
Varianta b) Kmitočet a úhlová frekvence f = 10 7 Hz = 10 MHz
Varianta c) f = 10 9 Hz = 1GHz
ω = 2π . f = 6.283E + 7 [rad/s ] ω = 2π . f = 6.283E + 9[rad/s ] Pro fázory veličin elektromagnetického pole platí obecně: Fázor intenzity ilektrického pole : j( β − j α ) z E x ( z ) = E 0 e − j kz = E m e jϕ0 e1−4 243 1 424 3 − j kz E0
e
Fázor intenzity elektrického pole v bodě z=0 E x ( z = 0) = E 0 = E m e jϕ0
Fázor intenzity magnetického pole:
− j( β − jα ) z H y ( z ) = H 0 e − j kz = H m e j(ϕ 0 −ϕ z ) e1 4 3 14243 42 − j kz H0
e
Fázor intenzity magnetického pole v bodě z=0: H y ( z = 0) = H 0 = H m e j(ϕ0 −ϕ z )
Fázory intenzity elektrického a magnetického pole jsou vázány vlnovou impedancí: Z = Z e jϕ z =
E x ( z ) E 0 e − j kz E m e jϕ 0 e − j( β − jα ) z E = = = m e jϕ z H y ( z ) H 0 e − j kz H m e j(ϕ0 −ϕ z )e − j( β − jα ) z H m Z =
Em Hm
Aby bylo možno konkrétně stanovit fázory veličin v libovolném místě, je třeba stanovit všechny parametry ve výše uvedených rovnicích.
Amplitudu intenzity elektrického pole a fázový posun této veličiny v bodě z=0 je možno určit ze zadané podmínky: π E x ( z = 0, t ) = E m sin (ϕ 0 ) = 46,6. sin 2 Z toho vyplývá : E m = 46,6V / m
ϕ0 =
π 2
E 0 = E m e jϕ 0
E 0 = 46.6 e
j
π 2
j
π
j
π
E 0 = 46.6 e 2 V / m E 0 = 46.6 e 2 V / m Fázová konstanta a měrný útlum byl vypočten již v příkladu 70 α = 0.404 α = 0.4439 β = 0.977 β = 88.924
V /m
α = 6.252.10 −2 β = 6.315.10 −2
Po dosazení platí pro fázory intenzity elektrického pole vztah: E x ( z ) = E 0 e − j( β − jα ) z E x ( z ) = E 0 e − j( β − jα ) z
E x ( z ) = E 0 e − j( β − jα ) z
Vlnová impedance Z = Z ⋅ e jϕ z byla vypočtena v příkladu 72: Z = Z ⋅ e jϕ z = 8,886e j 0,785
Z = Z ⋅ e jϕ z = 74,693.e j 0,392
Z = Z ⋅ e jϕ z = 88,79.e j 0,0049
Po dosazení platí pro fázory intenzity magnetického pole vztahy: j
π
π
j
π
j
π
π
j E 46.6 e 2 H0 = 0 = = 5,244 e 4 j 0 , 785 Z 8,886e
E 46.6 e 2 H0 = 0 = = 0,624 e j1,179 Z 74,693.e j0,392
j E 46.6 e 2 H0 = 0 = = 0,525 e 2 j 0 , 0049 Z 88,79.e
H y ( z ) = H 0 e − j( β − jα ) z
H y ( z ) = H 0 e − j( β − jα ) z
H y ( z ) = H 0 e − j( β − jα ) z
Příklad 75 Střední hodnota Poyntingova vektoru v bodě z=0 a z=λ/4, objemová hustota ztrát v bodě z=0, bilance výkonů a ztrát v kvádru o podstavě 1m2 a délce hrany λ/4. Rovinná harmonická elektromagnetická vlna o kmitočtu : a) f = 10 5 Hz = 100kHz b) f = 10 7 Hz = 10 MHz c) f = 10 9 Hz = 1GHz se šíří v prostředí s těmito parametry: σ = 0.01[S / m] , ε r = 18 , µ r = 1 . Předpokládáme, že rovinná vlna je v kartézské soustavě orientována tak, že intenzita elektrického pole E má pouze složku v kladném směru osy x, intenzita magnetického pole H pouze složku v kladném směru osy y, vlna se šíří v kladném směru osy z. Je zadán průběh intenzity elektrického pole v bodě z=0:
π E x ( z = 0, t ) = 46,6 sin ωt + 2 Varianta a) Varianta b) Varianta c) 5 7 f = 10 Hz = 100kHz f = 10 Hz = 10 MHz f = 10 9 Hz = 1GHz Střední hodnota Poyntingova vektoru ( výkon, který projde v určitém místě plochou o velikosti 1m2, která je kolmá na směr šíření): 2 E 1 1 1 m S stř ( z ) = E m H m e − 2α ⋅ z cos(ϕ z ) = e − 2α ⋅ z cos(ϕ z ) = H m 2 Z e − 2α ⋅ z cos(ϕ z ) 2 2 Z 2 Střední hodnotu Poyntingova vektoru lze vyjádřit rovněž pomocí fázorů veličin, výsledek musí být ekvivalentní: S stř ( z ) =
α = 6.252.10
ϕz =
π
−2
rad [45°]
4 E předbíhá H o 45 stupňů E m = 46,6V / m H m = 5,244 A / m 1 E m H m cos(ϕ z ) 2 S stř ( z = 0) = 86,8W / m 2
S stř ( z = 0) =
λ=
2π
β
= 99.501m
[
1 Re E(z)H(z)∗ 2
]
Měrný útlum byl vypočten v příkladu 70 α = 0.404 Fázový posun E a H byl vypočten v příkladu 72 ϕ z = 0,392rad [22,5°] E předbíhá H o 22,5 stupně Amplituda intenzity elektrického pole: E m = 46,6V / m Amplituda intenzity magnetikého pole: H m = 0,624 A / m
α = 0.4439 ϕ z = 0,0049 E a H je téměř ve fázi E m = 46,6V / m H m = 0,525 A / m
Střední hodnota Poyntingova vektrou v bodě z=0 1 1 S stř ( z = 0) = E m H m cos(ϕ z ) S stř ( z = 0) = E m H m cos(ϕ z ) 2 2 2 S stř ( z = 0) = 13,43W / m S stř ( z = 0) = 12,23W / m 2 Vlnová délka vypočtená v příkladu 71 2π 2π λ= λ= = 6,433m = 7,066.10 − 2 m
β
β
Amplituda intenzity elektrického a magnetického pole poklesne na vzdálenosti z = −α ⋅
λ
−α ⋅
e 4 = 0,211 poklesne na 21.4%
S stř ( z =
λ 4
λ
− 2α ⋅
− 2α ⋅
λ 4
−α ⋅
λ
λ − 2α ⋅ z = 4 e
λ 4
λ
4
) = S stř ( z = 0) ⋅ e
λ
λ
− 2α ⋅
− 2α ⋅
S stř ( z =
S stř ( z = 0) − S stř ( z =
λ 4
S stř ( z =
) = 82.97W
) = 3.66W / m 2
λ
4 = 0.984 e poklesne na 98.4%
λ 4
krát
λ 4
) = S stř ( z = 0) ⋅ e
− 2α ⋅
λ 4
λ
) = 12.038W / m 2 4 4 4 Rozdíl středních hodnot Poyntingova vektoru by se měl rovnat podle předpokladu výkonu, který se přemění v kvádru o podstavách 1m2 a délce λ/4 na teplo: S stř ( z =
) = 3.87W / m 2
S stř ( z =
λ −α ⋅ z = 4 krát
e 4 = 0.992 poklesne na 99.2%
4 = 0.273 e poklesne na 27.3% Střední hodnota Poyntingova vektoru poklesne na hodnotu:
) = S stř ( z = 0) ⋅ e
λ
4
e 4 = 0.522 poklesne na 52.2%
4 = 0.0446 e poklesne na 4.46%
e
λ
Střední hodnota Poyntingova vektoru poklesne na vzdálenosti z = − 2α ⋅
λ
S stř ( z = 0) − S stř ( z =
λ
4
) = 9.77W
S stř ( z =
S stř ( z = 0) − S stř ( z =
λ
4
) = 0.19W
O tom, že je to skutečně výkon přeměněný v daném objemu na teplo, je možno se přesvědčit integrací objemoví hustoty ztrát. Výkon, který se přemění v jednotce objemu v teplo (objemová hustota ztrát), se určí obecně podle vztahu: 1 ∆pϑ = σ ⋅ E m 2 ⋅ e − 2α ⋅ z 2 Například objemová hustota ztrát v bodě z=0 má velikost: 1 ∆pϑ (z = 0) = σ ⋅ E m 2 2
∆pϑ (z = 0) = 10.86W / m 3
∆pϑ (z = 0) = 10.86W / m 3
∆pϑ (z = 0) = 10.86W / m 3
Integrací objemové hustoty ztrát v kvádru o podstavách 1m2 a délce λ/4 dostaneme výkon, který se přemění v tomto kvádru na teplo: λ − 2α ⋅ σ ⋅ Em 2 4 ∆Pϑ = ⋅ 1− e 4α ∆Pϑ = 82.97W ∆Pϑ = 9.77W ∆Pϑ = 0.19W Z vypočtených hodnot je patrno, že v daném kvádru skutečně platí: ∆Pϑ = S stř ( z = 0) − S stř ( z = λ )
