plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu

Úloha 4: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 2.11.2009 Pracovní skupina: 11 Spolupracovníci: Štěpán Timr

Jméno: František Batysta Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Hodnocení:

Abstrakt Cílem této úlohy bylo změřit objemy dutých nádob využitím jednak rozdílu hmotností prázdné nádoby a zcela naplněné vodou, jednak metodou komprese plynu. Ukázalo se, že se obě metody ve svých výsledcích v rámci chyby shodují. Dále jsme měřili dvěma metodami Poissonovu konstantu vzduchu. Clément-Désormesovou metodou jsme určili konstantu κ = 1, 39 ± 0, 02, což se velmi dobře shoduje s tabulkovou hodnotou. Metoda kmitajícího pístku bohužel nedosáhla očekávané přesnosti.

1

Úvod

V této úloze se budeme zabývat především měřením Poissonovy konstanty vzduchu. Tato konstanta je definována jako polměr specifických tepel při konstantním tlaku a při konstantním objemu. Důležitost Poissonovy konstanty plyne především ze vztahu pro adiabatický děj: pV κ = konst.

(1)

Hodnotu Poissonovy konstanty pro ideální jednoatomový plyn lze dokonce vypočítat přímo z kinetické teorie plynů jako κ = 5/3. Pro reálný plyn však neposkytuje kinetická teorie dostatečně přesné výsledky. Proto nezbývá, než konstantu κ určit experimentálně. K tomu použijeme dvě různé metody: tzv. ClémentDésormesovu metodu a metodu kmitajícího pístku. U druhé z jmenovaných metod budeme navíc potřebovat znát objem měřící aparatury, který změříme metodou kompresí plynu. Shrneme tedy všechny pracovní úkoly:

2

Pracovní úkoly

2.1

Měření dutých objemů

1. Jednolitrovou lahev zvážit prázdnou a plnou vody. Z rozdílu hmotností určit objem lahve. 2. Objem lahve určit kompresí plynu. Stejným způsobem určit objem hadičky spojující byretu s měřeným prostorem. Tuto hodnotu odečíst od změřeného objemu lahve.

2.2

Měření Poissonovy konstanty

1. Změřit kompresí plynu objem baňky systému s kmitajícím pístkem. 2. Změřit Poissonovu konstantu vzduchu metodou adiabatické expanze (Clément-Désormes) 3. Změřit Poissonovu konstantu vzduchu metodou kmitajícího pístku. 4. Porovnat oba výsledky. Výsledek metody kmitajícího pístku ztotožnit s tabulkovou hodnotou.

3 3.1

Experimentální uspořádání a metody Měření dutých objemů 1

Objem duté nádoby změříme tak, že ji nejdříve zvážíme prázdnou, a pak zcela naplníme vodou a opět zvážíme. Hledaný objem pak vypočteme ze znalosti rozdílu hmotností a ze vztahu pro hustotu vody v závislosti na teplotě. ρv =

h g i , ˚C 3 cm

(2)

∆m = ∆m · 0, 9998(1 + 0, 00018 t). ρv

(3)

1 0, 9998(1 + 0, 00018 t)

a pro objem nádoby máme V =

Pokud není možné naplnit nádobu vodou, lze pro stanovení objemu využít vlastností plynu. Schéma měřící aparatury je na obrázku 1. Měřený objem V připojíme hadičkou k plynové byretě B, jejíž dolní konec je spojený s vyrovnávací trubicí T stejného průměru. Po uzavření obou ventilů u je možné zvýšit v aparatuře tlak pomocí balonku BL. Plyn v měřeném objemu V tímto stlačíme o (V1 − V0 ) a získaný přetlak odečteme z rozdílu hladin ∆h. Jemnější nastavení tlaku se provádí pomocí injekční stříkačky I. Předpokládejme izotermické stlačení. Potom podle Boyle- Obrázek 1: Schéma aparatury při měření Maryotteova zákona platí mezi stavy před – a po stlačení objemu kompresí plynu. následující vztah (V1 − V0 + V )p = (V )(p + ∆p), (4) kde V je měřený objem (počítaný od rysky V1 , kterou jsme během měření fixovali). Po úpravě V = (V1 − V1 )

p , ∆p

(5)

kde za ∆p dosadíme ∆p = ∆hρg. Protože rtuťový barometr má stupnici v Torrech, je třeba použít převod pP a = 133, 332 pT orr . (6)

3.2

Měření Poissonovy konstanty Clément-Désormesovu metodou

Hodnotu κ můžeme určit ze změny tlaku při adiabatickém ději, který je popsán Poissonovou rovnicí pV κ = konst.,

(7)

kde p, V jsou tlak a objem plynu.Z Popíšeme tzv. Clémentovu-Désormesovu metodu podle schématu na obrázku 2. Vzduch se nejdříve stlačí ve velké báni B, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku b přetlak h. Ten odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Poté na krátkou dobu otevřeme ventil K. Proběhne adiabatická expanze vzduchu v báni ze stavu 1 do stavu 2 1→2 (V1 , T1 , b + h) −−−→ (V2 , T2 , b). (8) Po dosti dlouhé době se teplota vzduchu v báni vyrovná na vnější teplotu T1 a tlak přitom stoupne o přírůstek h0 , který změObrázek 2: Schéma aparatury při měříme. Tato změna je izochorická. Celkově lze izochorický přechod ření Poissonovy konstanty Clémentzapsat jako Désormesovou metodou 2→3

(V2 , T2 , b) −−−→ (V2 , T1 , b + b0 ) 2

(9)

Z Poissonovy rovnice (7) dostáváme pro první (adiabatický) děj  κ b+h V2 = . b V1

(10)

Dále si všimneme, že celkový děj ze stavu 1 do stavu 3 je izotermický, můžeme tedy použít BoyleMariotteův zákon. V2 b+h = . (11) 0 b+h V1 Po umocnění rovnice (11) na κ, dosazení do (10) a odlogaritmování můžeme psát vztah pro Poissonovu konstantu κ: log(b + h) − logb κ= (12) log(b + h) − log(b + h0 ) Protože h je mnohem menší než b, můžeme s použitím Taylorova rozvoje pro logaritmus výraz zjednodušit: h (13) κ= h − h0 Vzhledem k tomu, že se jedná o podíl dvou tlaků, můžeme do vztahu (13) dosazovat v libovolných jednotkách, tedy mimo jiné můžeme dosazovat přímo rozdíly hladin ∆h, ∆h0 v kapalinovém manometru. 3.2.1

Možné zdroje chyb

Uvedeme možné zdroje chyb a metody, pomocí kterých jsme se snažili chyby eliminovat. 1. Netěsnost aparatury: Netěsnost aparatury by se po natlakování baňky projevila nestálostí tlaku a jeho postupným vyrovnáváním s tlakem atmosferickým. Během pětiminutového pozorování jsme žádnou netěsnost nepozorovali. 2. Ohřátí plynu v báni při počáteční kompresi: Po vytvoření přetlaku v baňce jsme vždy vyčkali alespoň 5 minut, než se teploty opět vyrovnají. 3. Doba, po kterou je kohout K Zpo expanzi otevřen není zanedbatelná: Po adiabatické expanzi dochází opět o ohřevu plynu na původní teplotu. Závislost teploty plynu na čase během přechodu do tepelné rovnováhy lze vyjádřit jako t

T (t) = T1 − (T1 − T2 )e− C ,

(14)

kde C je konstanta pro ohřev plynu v báni způsobený přenosem tepla z okolí. Protože doba, po kterou je ventil K otevřený, je dostatečně krátká, lze v prvním přiblížení považovat závislost naměřené konstanty κ na délce otevření ventilu za lineární. Z Naměříme tedy závislost κ = κ(tz ), kde tz je doba, po kterou je ventil K otevřen. Tuto dobu změříme automatickými stopkami s optickým senzorem. Získanou závislost proložíme přímkou a skutečnou hodnotu Poissonovy konstanty κ hledáme vyčíslením nalezené závislosti pro tz = 0.

3.3

Měření Poissonovy konstanty metodou kmitajícího pístku

Schéma aparatury je na obrázku 3. V baňce 1 o objemu V se pomocí kompresoru 8 udržuje mírný přetlak. K baňce je připojena skleněná válcová trubice s malým otvorem 3 uprostřed. V této trubici kmitá pístek 2. Když pístek překmitne nad otvor 3, poklesne tlak v baňce, pístek klesne zpět, což má za následek zvýšení tlaku, a takto se celý cyklus opakuje. Předpokládáme, že změny tlaku v baňce jsou adiabatické, tedy po celou dobu platí pV κ = konst. (15) Diferencováním této rovnice dostaneme dp = −pκ

dV . V

(16) 3

Obrázek 3: Schéma aparatury při měření objemu kompresí plynu.

Posunutí pístku z rovnovážné polohy o ∆x vyvolá změnu tlaku ∆p. Sílu působící na pístek pak vyjádříme jako m

d2 x = πr2 · ∆p, dt2

(17)

kde m je hmotnost pístku, r jeho poloměr a ∆p změna tlaku v baňce vzhledem k tlaku v rovnovážné poloze. Dosazením rovnice (16) do (17) a po úpravě najdeme pohybovou rovnici d2 x π 2 r4 pκ + x = 0, dt2 mV ze které dostáváme využitím T =

2π ω

(18)

dobu kmitu r T =

4mV , κT 2 r4

(19)

odkud plyne výsledný vztah κ=

4mV . pT 2 r4

(20)

Objem baňky včetně válcové trubice je třeba změřit metodou kompresí plynu. K utěsnění válce slouží těsnící vložka A (na obr. 3), pomocí které se válec (utažením šroubu B) utěsní těsně pod otvorem 3. Přívod plynu k byretě (pro měření objemu kompresní metodou) upevníme k hrdlu 5.

3.4

Výpočet chyby měření

Shrneme použité metody pro výpočet chyby měření. Čerpali jsme především z [2]. • Chyby měřících přístrojů ∆y odhadujeme velikostí dílku příslušného měřícího přístroje. • Chyby opakovaně měřených veličin vypočítáme jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru v u N u X 1 2 sa¯ = t (ai − a ¯) (21) N (N − 1) i=1 • Celkovou chybu přímého měření pak vyjádříme jako q ua¯ = s2a¯ + ∆yp2

(22)

• Pro nepřímo měřené veličiny f = f (x1 , x1 , · · · , xk ) stanovíme chybu jako v u k  uX ∂f 2 2 ua¯ = t (ux¯i ) ∂x i i=1

(23)

• Směrodatnou odchylku koeficientů určených metodou nejmenších čtverců jsme vypočítali ze vzorce [5] v u N P u r u S0 x2i t N So i=1 sa = sb = , (24) (N − 2)W W N −2 kde W =N

N X i=1

x2i

−

N X

!2 xi

i=1

; So =

N X (yi − a − bxi )2 i=1

4

(25)

4

Výsledky

4.1 4.1.1

Měření dutých objemů Měření litrové lahve vážením

Lahev jsme zvážili nejprve prázdnou, poté jsme ji naplnili vodou o teplotě 19, 5 ˚C. Změřené a vypočtené veličiny jsou shrnuty v tabulce 1. číslo 1 2

mprazdna [g] 559 559

mplna [g] 1580 1581

mv [g] 1021 1022

t [˚C] 19,5 19,5

Vv [cm3 /g] 1,00331 1,00331

V [cm3 ] 1024,38 1025,38

Tabulka 1: Stanovení objemu lahve vážením – naměřená data po řadě: hmotnost prázdné a plné lahve, hmotnost vody, teplota vody, měrný objem, objem lahve. Objem litrové lahve jsme stanovili na (1, 025 ± 0, 001) dm3 . 4.1.2

Měření objemů metodou kompresí plynu

Následující měření probíhala při laboratorní teplotě 24, 0˚C a atmosferickém tlaku 984, 85 hPa. Při kompresi do větších objemů (lahev a baňka) jsme nastavili spodní hladinu V0 na nultý dílek stupnice byrety, zatímco při měření malého objemu (hadička bez lahve) jsme hladinu V0 nastavili na dílek 23. Horní hladinu V1 jsme pro všechna měření fixovali na dílek 25, jemuž přísluší hodnota čtená katetometrem h1 = (181.59 ± 0.01) mm. Objem jednoho „dílkuÿ byl 0, 656 cm3 . V tabulce 2 jsou uvedeny hodnoty naměřených rozdílů hladin ∆h = h2 − h1 , kde h2 je výška vodního sloupce ve vyrovnávací trubici (po natlakování) odečítaná katetometrem. Vzhledem k netěsnosti aparatury jsme zvýšili chybu měření katerometrem na 3 mm.

číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

baňka ∆h [mm] 131,58 139,66 141,03 146,9 146,26 149,23 149,04 154,96 144,89 156,81 153,5 145,74 153,93 150,34 157,49 155,49

lahev ∆h [mm] 152,81 151,03 151,26 150,89 151,74 150,55 150,89 150,42

hadička ∆h [mm] 157,55 180,39 173,2 176,17 168,69 178,47 181,54 176,29 181,21 170,56

Tabulka 2: Stanovení objemu metodou komprese plynu: rozdíly hladin indikující velikost přetlaku uvnitř měřeného objemu. Výsledný objem vypočítali podle vzorce V = (V1 − V0 ) p ·

0, 9998(1 + 0, 00018 t) , ∆hg

5

(26)

baňka lahev hadička

V0 [dílek] 23 ±1/4 0 ±1/4 0 ±1/4

V1 [dílek] 25 ±1/4 25 ±1/4 25 ±1/4

V0 [cm3 ] 15,1 ±0, 2 0 ±0, 2 0 ±0, 2

V1 [cm3 ] 16,4 ±0, 2 16,4 ±0, 2 16,4 ±0, 2

∆h [mm] 148,5 ±0, 3 151,2 ±2, 5 174,4 ±2

Tabulka 3: Stanovení objemu metodou komprese plynu: veličiny dosazované do vzorce (26) do kterého jsme dosazovali hodnoty z tabulky 3. Velikosti tří objemů, které vypočítáme dosazením do vzorce (26) jsou: Vhadiˇcka + Vl´ahev = (1, 09 ± 0, 02) dm3 Vhadiˇcka + Vbaˇnka = (1, 11 ± 0, 02) dm3 Vhadiˇcka = (76 ± 02) cm3 . Po odečtení objemu hadičky dostaneme konečný výsledek: Vl´ahev = (1, 01 ± 0, 02) dm3 Vbaˇnka = (1, 03 ± 0, 02) dm3

4.2

Měření Poissonovy konstanty Clément-Désormesovu metodou

Po zvýšení tlaku v báni a teplotním ustálení jsme odečetli horní a dolní polohu h2 a h1 vodní hladiny v kapalinovém manometru. Poté jsme otevřeli ventil na dobu tz ∈ (0, 1s, 0, 7s) a po ustanovení tepelné rovnováhy odečetli výšky hladin h02 a h01 . Ty jsou uvedené v tabulce 4. číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

h2 [cm] 50,2 50,0 49,8 51,2 48,6 48,5 48,4 49,5 47,6 48,0 50,3

h1 [cm] 13,8 14,0 14,2 12,9 15,4 15,6 15,6 14,6 16,4 16,0 13,7

h1 [cm] 36,6 36,8 36,8 37,1 35,6 36,3 36,0 36,2 36,2 36,1 36,2

h1 [cm] 27,3 27,1 27,1 26,8 28,2 27,6 27,9 27,7 27,7 27,8 27,5

t [s] 0,21 0,13 0,12 0,16 0,67 0,23 0,27 0,34 0,11 0,26 0,41

κ 1,34 1,37 1,37 1,37 1,29 1,36 1,33 1,32 1,37 1,35 1,31

Tabulka 4: Výšky vodních sloupců kapalinového manometru ve stavu 1 a ve stavu 3, doba otevření ventilu tz a vypočítaná Poissonova konstanta κ. Závislost Poissonovy konstanty κ na době otevření ventilu tz jsme vynesli do grafu 4 a proložili přímkou. Jako výslednou hodnotu Poissonovy konstanty jsme brali regresní přímku vyčíslenou v čase tz = 0 s ohledem na chybu regrese získanou ze vzorce (24).

6

Obrázek 4: Závislost Poissonovy konstanty κ na době otevření ventilu tz Výsledná hodnota Poissonovy konstanty určená Clément-Désormesovu metodou je: κ = 1, 39 ± 0, 02.

4.3

(27)

Měření Poissonovy konstanty metodou kmitajícího pístku

Parametry měřící soustavy byly následující: hmotnost pístku m = (4, 59 ± 0, 01)g, objem baňky V = (1, 03 ± 0, 02)dm3 , poloměr pístku r = (5, 95 ± 0, 05)mm. Opakovaně jsme měřili počet kmitů pístku během pětiminutových intervalů a zaznamenali je do tabulky 5 číslo 1 2 3 4 5 7 8 9

počet kmitů / 5min 871 ±1 877 ±1 877 ±1 873 ±1 874 ±1 868 ±1 865 ±1 861 ±1

číslo 10 11 12 13 15 16 17 18

počet kmitů / 5min 864 ±1 863 ±1 861 ±1 864 ±1 866 ±1 865 ±1 868 ±1 868 ±1

Tabulka 5: Počty kmitů pístku během pětiminutových intervalů Odtud po převedení na dobu kmitu a dosazení do (20) získáme výslednou hodnotu Poissonovy konstanty. κ = 1, 28 ± 0, 06. (28)

5 5.1

Diskuze Měření dutých objemů

Měření dutého objemu lahve metodou vážení můžeme považovat za velmi přesné bez významných systematických chyb. Proto nepřesnost získaného objemu lahve (1, 025 ± 0, 001) dm3 je menší než jeden ml. 7

Diskutujme nyní výsledky získané metodou komprese plynu. Porovnáme-li touto metodou získaný objem litrové lahve Vl´ahev = (1, 01 ± 0, 02) dm3 můžeme konstatovat, že se oba výsledky v rámci chyb měření shodují. Nepřesnost uV = 20 ml této metody je způsobena z velké části netěsností aparatury. Závit spoje mezi hadičkou a měřenou nádobou bylo třeba v průběhu měření dotahovat – vzduchotěsnost soustavy se v průběhu měření měnila. Teto fakt implikuje poměrně velkou směrodatnou odchylkou rozdílu hladin ∆h kapalinového manometru (směrodatná odchylka jednoho měření až s∆h ' 7mm), kterou jsme snažili eliminovat větším počtem měření. Abychom vliv netěsností co nejvíce potlačili, snažili jsme se měření provést co nejrychleji. Tím byly do měření vneseny systematické chyby, neboť po zvýšení tlaku systém nestihl přejít zpět do tepelné rovnováhy. Skutečné hodnoty objemů jsou vzhledem k této systematické chybě pravděpodobně vyšší, než námi naměřené.

5.2

Měření Poissonovy konstanty Clément-Désormesovu metodou

Námi nalezená hodnota Poissonovy konstanty κ = 1, 39 ± 0, 02 se velmi dobře shoduje s tabulkovou hodnotou pro vzduch (bez CO2 ) κtab = 1, 4 [1]. Jednotlivé hodnoty Poissonovy konstanty v závislosti na čase lze dobře proložit přímkou. Na rozdíl od metody kmitajícího pístku zde nepotřebujeme vůbec znát objem plynové báně, což snižuje počet veličin, kterými lze vnést do celkového výsledku chyby. Vzhledem k tomu, že se podařilo eliminovat všechny zdroje chyb uvedené v odstavci 3.2.1, lze považovat výsledek měření za velmi přesný.

5.3

Měření Poissonovy konstanty metodou kmitajícího pístku

Výsledek metody kmitajícího pístku je hodnota κ = 1, 28 ± 0, 06, která se bohužel neshoduje s tabulkovou hodnotou a spíše připomíná tabulkovou hodnotou Poissonovy konstanty pro oxid uhličitý κCO2 = 1, 29. Avšak vzhledem k tomu, že jsme se během experimentu neudusili, koncentrace oxidu uhličitého nejspíše nepřekročila 5%, tedy konstanta κ by se měla mnohem více blížit hodnotě κtab = 1, 4. Námi změřenou hodnotu tedy nelze považovat za tabulkovou. Diskutujme tedy přesnost metody kmitajícího pístku: Tato metoda sice umožňuje měřit s vynikající přesností dobu kmitu T , ale jak je vidět ze vztahu (20), výsledek závisí i na jiných, méně přesných veličinách. Do celkové chyby se pak promítla zejména nepřesnost poloměru pístku r (neboť vystupuje ve vztahu (20) ve čtvrté mocnině) a nepřesnost objemu baňky V diskutovaná v odstavci 5.1 Možná systematická chyba mohla být způsobena tím, že skleněná trubice v níž pístek kmital byla, poté co jí některá z předchozích skupin rozbila, nahrazena jinou, náhradní trubicí, která nemusela být vyrobena s dostatečnou přesností.

6

Závěr

Změřili jsme objem dutých nádob metodou vážení a metodou komprese plynu. Obě metody se ve svých výsledcích shodují, nicméně výsledky metody komprese plynu jsou především kvůli netěsnostem zatíženy asi o řád větší chybou, než výsledky metody přímého vážení. Dále jsme měřili dvěma metodami Poissonovu konstantu vzduchu. Zatímco výsledek Clément-Désormesovy metody se dobře shoduje s tabulkovou hodnotou, metoda kmitajícího pístku nedosáhla očekávané přesnosti. Diskutovali jsme možné příčiny chyb metody kmitajícího pístku.

Reference [1] MACHÁČEK M. :Matematické, fyzikální a chemické tabulky Prometheus, Praha, 2005, ISBN 80-7196-264-3 [2] FJFI ČVUT: Chyby měření a zpracování naměřených výsledků [online], [cit. 9. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/ProvPokyny/chybynav/CHYBY1n.pdf [3] FJFI ČVUT: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu [online], [cit. 9. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy

8

[4] FJFI ČVUT: Měření Poissonovy konstanty vzduchu [online], [cit. 9. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/Poisson [5] FJFI ČVUT: Měření Poissonovy konstanty metodou kmitajícího pístu [online], [cit. 9. listopadu 2009], http://fyzport.fjfi.cvut.cz/Praktika/PoissonPist/mans/Cespiro/praktika.pdf

9