7. Měření dutých objemů pomocí Poissonovy konstanty vzduchu
komprese
plynu
a
určení
Úkol 1: Určete objem skleněné láhve s kohoutem kompresí plynu. Pomůcky Měřený objem (láhev s kohoutem), speciální plynová byreta s porovnávacím ramenem, délkové měřidlo, teploměr. Princip měření Objem nádoby lze určit tak, že ji vyplníme beze zbytku vodou a poté vodu zvážíme. Je-li hmotnost vody vyplňující nádobu mV, platí pro objem nádoby vztah V =
mV
ρV
= mV VV ,
(1)
kde ρV je hustota vody a VV je objem 1 g vody, pro nějž platí vztah V = 0,9998 (1+0,00018 t)
cm 3 o , C , g
(2)
kde t je teplota. Objemy, jejichž velikost nelze z nějakých důvodů měřit vážením vody, je možno měřit kompresí plynu. V tomto případě použijeme uspořádání patrné z obr. 7.1. K měřenému objemu V se připojí horní konec plynové byrety B , jejíž dolní konec je spojen se svislou srovnávací trubicí T stejného průměru a se zásobní nádobou Z, z níž je možno přetlakem vzduchu vytlačovat vodu do byrety a srovnávací trubice. Předpokládejme, že byreta je dělená shora dolů, tj. že nahoře je nultý dílek. Sahá-li voda v byretě před kompresí k dílku V0 a stoupne-li po kompresi k dílku V1, stoupne tlak v objemu z původní hodnoty p na hodnotu p + ∆p.
Obr. 7.1 Schéma plynové byrety Podle Boyle-Mariotteova zákona platí (V0 + V).p = (V1 + V).(p + ∆p) ,
(3)
kde V je měřený objem. Pro něj lze úpravou dostat vztah V = (V0 − V1 )
p − V1 . ∆p
(4)
Takto změřený objem zahrnuje ovšem i objem hadičky spojující byretu s měřeným objemem. Atmosférický tlak p určíme pomocí údaje barometru v místnosti podle vztahu pPa = pTorr . 133,322.
(5)
Přetlak ∆p odečtený na srovnávací trubici určíme ze vztahu
∆p = ∆h.ρ.g ,
(6)
kde ∆h je rozdíl výšek hladin vody v byretě a ve srovnávací trubici měřený v metrech, ρ je hustota vody, g je tíhové zrychlení.
Postup měření 1) Na počátku komprese musí být hladiny v byretě a ve srovnávací trubici ve stejné výšce (nutno vytáhnout kohout). Výšku zásobní nádoby nad podložkou nastavíme tak, aby hladina vody v byretě dosahovala k požadovanému dílku (volíme co největší vzdálenost od nultého dílku). 2) Odečteme objem V0. 3) Kohout zasuneme zpět (doporučuje se několikrát s ním pootočit, aby kohout dobře těsnil). Nastavíme jej tak, aby správně odděloval měřený objem od okolní atmosféry (byreta musí zůstat spojená s měřeným objemem!!). 4) Provedeme kompresi plynu tak, že zásobní nádobu vysuneme opatrně nahoru. Rozdíl výšek hladin vody v byretě a ve srovnávací trubici volíme co největší. Odečteme objem V1. 5) Pomocí milimetrového měřítka (případně katetometru) změříme rozdíl výšek hladin ∆h vody v byretě a ve srovnávací trubici. 6) Změříme teplotu vody a určíme její hustotu pomocí vzorce nebo tabulky, která je uvedená v úloze Měření hustoty látek (úloha 1). 7) Měření 10krát opakujeme.
Pokyny ke zpracování měření Do tabulky jsme během měření zaznamenali hodnoty V0, V1, ∆h. Z hodnoty rozdílu výšek hladin vody v byretě a ve srovnávací trubici ∆h vypočteme nejprve podle vztahu (6) přetlak ∆p. Dosazením V0, V1, ∆p do vztahu (4) vypočteme objem V nádoby. Hodnoty V a ∆p zaznamenáme do tabulky. Z takto získaných hodnot objemu nádoby V vypočteme průměrnou hodnotu, určíme absolutní chybu (ta bude zahrnovat střední kvadratickou chybu aritmetického průměru, resp. pravděpodobnou chybu aritmetického průměru a chybu metody) i relativní chybu. Konečný výsledek uvedeme např. ve tvaru V = (1,68 ± 0,10).10-4 m3.
Úkol: Zamyslete se na tím, jakou funkci má oddělovací kohout u měřeného objemu V nádoby na obr. 7.1. Jak byste tento kohout využili k určení objemu nádoby, do kterého by nebyl zahrnut i objem hadičky spojující byretu s měřeným objemem?
Úkol 2: Určete Poissonovu konstantu vzduchu.
Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 3.2.2, čl. 3.2.2.4; HLAVIČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 524-525; HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika -Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 541-542. Pomůcky Teploměr, barometr, skleněná báň se dvěma kohouty, otevřený manometr, hustilka.
Princip měření Vzhledem k velké stlačitelnosti plynů je snadné realizovat u nich podmínky odpovídající nejen izobarickému, ale i izochorickému ději. Z toho důvodu je také třeba rozlišovat u plynů měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku a měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu. Poissonova konstanta je poměr měrného tepla cp při stálém tlaku k měrnému teplu cv při stálém objemu
χ=
cp cv
.
(7)
χ má ve všech soustavách stejnou číselnou hodnotu. Pro všechny plyny je poměr měrných tepel větší než 1 a závisí na počtu atomů v molekule plynu. Hodnotu Poissonovy konstanty můžeme určit ze změny tlaku při adiabatickém ději1, který je popsán Poissonovou rovnicí p . V χ = konst, (8) kde p, V jsou tlak a objem plynu. Jednoduchá experimentální metoda k určení Poissonovy konstanty vzduchu je tzv. Clémentova-Désormesova metoda. Vzduch se nejdříve stlačí ve velké báni B (viz obr. 7.2) tak, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku b přetlak h (několik cm vodního sloupce). Ten odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Tlak vzduchu v báni je pak p1 = b + h.
(9)
Obr. 7.2 Schéma Clémentova- Désormesova přístroje
se působením vnější síly na píst koná práce W, která je rovna přírůstku ∆U vnitřní energie plynu (W = ∆U). Při adiabatickém rozpínání koná plyn práci W´, která je rovna záporné změně vnitřní energie plynu. V praxi dosáhneme adiabatického stlačení, nebo rozpínání zmenšením, nebo zvětšením objemu plynu v tak krátké době, že mezi plynem a okolím neproběhne tepelná výměna.
1 Při adiabatickém stlačení plynu v nádobě
Příslušný objem vzduchu v báni, který po adiabatické expanzi bude mít objem V2, označíme V1. Teplotu plynu, která by měla být shodná s teplotou okolí, označíme T1. Vnitřek báně je od vnějšího vzduchu oddělen kohoutkem K. Otevřeme-li jej na velmi krátkou dobu, vyrovnají se tlaky uvnitř a vně na hodnotu barometrického tlaku b, tedy p2 = b
(10)
Je to tak, jako by proběhla adiabatická expanze vzduchu v báni z počátečních podmínek V1, T1, p1 do stavu určeného veličinami V2, T2 < T1, p2 (kde V2 je objem báně). Po určité době se teplota vzduchu v báni vyrovná vnější teplotě T1 a tlak přitom stoupne o přírůstek h', který změříme. Tato změna je izochorická. Celkový tlak je p3 = b + h'.
(11)
Pro první (adiabatickou) změnu stavu vzduchu dostaneme z Poissonovy rovnice (8), za předpokladu, že vzduch můžeme považovat za ideální plyn, rovnici
p1 V2 = p 2 V1
χ
(12)
Změna ze stavu V1, T1, p1 do stavu V3 = V2, T3 = T1, p3 je izotermická a platí pro ni BoyleMariotteův zákon p1 V2 = . p3 V1
(13) χ
V Rovnici (13) umocníme na χ a dosadíme do ní za 2 . Dostaneme pak V1 χ
p1 p1 = . p 2 p3
(14)
Po dosazení za tlaky do rovnice (14) a zlogaritmování této rovnice pak získáme Poissonovu konstantu
χ=
log(b + h) − log b . log(b + h) − log(b + h´)
(15)
Protože h je mnohem menší než b, můžeme s použitím rozvoje pro logaritmus psát
log(b + h ) = log b +
h b h′ log(b + h ′) = log b + b Pro Poissonovu konstantu vzduchu χ pak dostaneme vztah
χ=
h . h − h´
(16)
Postup měření 1) Vzduch v báni B stlačíme pomocí balónku, který je připojený k trubici 1. Kohout K přitom musí být zavřen a kohout K′ otevřen. Při měření můžete volit přetlaky až do maximálního rozsahu připojeného otevřeného vodního manometru. 2) Vyčkáme alespoň 7–10 min, až se přestanou měnit výšky hladin v trubicích manometru. Pomocí milimetrového papíru odečteme výškový rozdíl hladin h. 3) Provedeme adiabatickou expanzi tak, že rychle otevřeme kohout K (kohout K′ je uzavřen) a po vyrovnání hladin vody v manometru jej opět uzavřeme. 4) Opět vyčkáme alespoň 7–10 min, až se přestanou měnit výšky hladin v trubicích manometru. Pomocí milimetrového papíru odečteme výškový rozdíl hladin h´. 5) Měření provedeme alespoň pětkrát.
Pokyny ke zpracování měření Dosazením h a h´ do vztahu (17) vypočteme Poissonovu konstantu χ. Ze získaných hodnot vypočteme průměrnou hodnotu této konstanty a střední kvadratickou chybu aritmetického průměru, resp. pravděpodobnou chybu aritmetického průměru, a relativní chybu. Chyba metody může být v tomto případě dosti velká, neboť odečítáme dvě veličiny h - h´, přičemž absolutní chyby těchto veličin se sčítají. Kromě toho je celá situace ještě komplikována tím, že v experimentálním uspořádání Clémentova-Désormersova pokusu ve fyzikálním praktiku se mohou projevovat čtyři výrazné zdroje systematických chyb, které mohou tuto chybu ještě zvětšovat. Jedná se především o: a) Netěsnost aparatuty: netěsnost aparatury je možno experimentálně ověřit změřením přetlaku v závislosti na čase a chyby z toho plynoucí odhadnout. b) Ohřátí plynu při počáteční kompresi: v důsledku stlačení plynu balónkem při zavřeném kohoutu K přes kohout K′ dochází k zahřívání plynu v báni. K adiabatické expanzi (tj. k otevření kohoutu K) by nemělo dojít, pokud teplota plynu v báni není vyrovnaná s teplotou okolí. Vyrovnání teploty je možno kontrolovat pomocí manometru. c) Složení vzduchu v experimentální místnosti: v důsledku toho, že současně s měřením Poissonovy konstanty probíhají v experimentální místnosti další měření, při kterých se ohřívá a vaří voda na plynových kahanech, může docházet ke značnému zvyšování obsahu vodní páry a kysličníku uhličitého v měřeném vzduchu. Hodnota Poissonovy konstanty takového vzduchu bude snížena. d) Doba, po kterou je kohout K po expanzi otevřen, není zanedbatelná. Krátkodobým otevřením uzavíracího kohoutu tedy nedosáhneme přesně adiabatické změny, ale dojde i k částečné výměně tepla mezi plynem a okolím nádoby. Proto při určování χ můžeme dosáhnout přesnosti zhruba 2 až 3 %. Označme Tz dobu, která uplyne od okamžiku t = 0 otevření kohoutu K při expanzi do okamžiku opětovného uzavření t = tz. Předpokládejme, že k vyrovnání tlaků dojde ve velmi krátkém čase v prvních fázích otevření kohoutu K, že tedy expanze probíhá adiabaticky. Teplota plynu T v báni po expanzi je zásluhou přenosu tepla z okolí závislá na čase podle vztahu T(t) = T1 – (T1 –T2).e-t/C , kde C je časová konstanta pro ohřev plynu v báni způsobený přenosem tepla z okolí.
Vzhledem k výše uvedeným skutečnostem tedy do výsledku uvedeme pouze chybu statistickou a zjištěnou hodnotu Poissonovy konstanty χ porovnáme s hodnotou tabulkovou.
Úkoly: 1) Proveďte podrobné odvození rovnice (16). 2) Snažte se alespoň při jednom měření Poissonovy konstanty proměřit časovou závislost tlaku plynu v báni v průběhu pokusu.
