Ročníková písemná práce
Logické konstanty
Vladimír Brablec
25. května 2008 Logika Filozofická fakulta Univerzity Karlovy Vedoucí práce: Prof. RNDr. Jaroslav Peregrin, CSc. Oponent: PhDr. Vojtěch Kolman, PhD. 1
Obsah
Cíle práce..................................................................................str. 3
1. Co jsou logické konstanty....................................................str. 4
2. Modelově - teoretická vymezení 2.1 Tarského koncepce........................................................str. 7 2.2 Další koncepce a námitky..............................................str. 12
3. Důkazově - teoretická vymezení 3.1 Náznaky inferenčního přístupu.....................................str. 14 3.2 Hacking.........................................................................str. 18
4. Shrnutí a závěry..................................................................str. 22
2
Cíle práce Cílem práce je popsat a srovnat dva významné náhledy na problematiku logických konstant. První z nich využívá k vymezení konstant teorii modelů a jeho zastánci jsou např. Tarski, Mostowski či Sher. Druhý vychází z teorie důkazů a je hájen např. Hackingem. První kapitolu jsem pojal jako úvod do problematiky. Snažím se zde stručně popsat různé historické přístupy k vymezení logických konstant a motivovat k podrobnějšímu studiu. Kapitola druhá popisuje modelově-teoretické pojetí konstant a jeho různá úskalí. Její první podkapitola zprostředkovává Tarského výsledky, druhá je pak směsicí dalších názorů a námitek. Třetí kapitola se věnuje důkazově-teoretickému přístupu. V její první podkapitole seznamuji s koncepcemi, které se v zásadě příliš neujaly. Stěžejní částí je podkapitola druhá, která ukazuje nejdůležitější body Hackingovy teorie. Poslední kapitola si dává za cíl porovnat výsledky předchozích dvou kapitol a pokud možno ukázat na konkrétních příkladech, jestli a jak se náhledy na logické konstanty liší.
3
1. Co jsou logické konstanty Každý,
kdo
se
seznámil
se
základy
logiky
(byť
jen
těmi
nejelementárnějšími), určitě snadno nahlédl, co jsou logické konstanty (ať už je nazýval jakkoliv). Pominu teď středoškolskou matematiku, ve které se logické konstanty uplatňují ve značné míře a s takovou samozřejmostí, že jsou někdy brány jako cosi intuitivního, nevyžadujícího teoretické vysvětlení. Běžný postup, jak objevit logické konstanty je asi tento: Všimneme si, že pro určité účely nepotřebujeme rozlišovat mezi některými výroky a že nám stačí zachytit jejich strukturu. Např. strukturu výroků
A) Jestliže bude pršet, Petr odejde domů. B) Bude-li tma, neuvidím nic. můžeme interpretovat tak, že pokud se stane to, co se tvrdí v jejich první části (bude pršet, bude tma), zaručuje to vyplnění druhé části (Petr odejde domů,
neuvidím nic). Pro určité účely může být tedy vhodné je nahradit schématem X -> Y. Člověk schopný takovéto jednoduché abstrakce, objevil logickou konstantu “ -> ”.
Postup podobný tomuto vlastně provedl Frege v
Begriffsschrift. Pro začátek jsou tedy logické konstanty výrazy, které hrají důležitou roli při zjišťování, zda jeden výrok vyplývá z jiného. Ve středověké logice převládal názor (např. Buridan
cit. 1
), že logické
konstanty jsou slova, která sama o sobě nemají žádný význam a která spojují subjekt s predikátem (což jsou plnohodnotné výrazy) nebo dvě subjektpredikátové propozice. Ukazují tedy, jakou formu propozice má. S příchodem Fregova Begriffsschrift se však pojem logické formy změnil. Středověcí logikové by větu “Každý člověk je menší než obr Goliáš.” analyzovali takto: Jedná se o subjekt člověk a predikát být menší než obr
Goliáš, které jsou spojeny konstantou každý. Frege chtěl analýzu zpřesnit a výsledek, ke kterému se dopracoval je∀x (x je člověk -> x je menší než obr
Goliáš). Je to “instance” druhořádové funkce ∀x (Φ(x) -> Ψ(x)), ve které se
4
kromě konstanty ∀ vyskytuje navíc ještě ->. Nyní je vidět, že se poněkud přímočaré středověké pojetí logických konstant dá jen stěží našroubovat na Fregeho analýzu. Quine a Dummet navrhli chápat logické konstanty jako gramatické výrazy jazyka
cit. 2
, tedy jako ty výrazy, které spojují gramaticky jednodušší
věty ve složitější. Jejich nápad dává dobré výsledky, když ho aplikujeme na klasickou prvořádovou logiku. To je však jen díky tomu, že byla tato logika zkonstruována tak, aby její gramatická struktura odrážela strukturu logickou. Stačí přidat do jazyka nový operátor ⊙, jehož význam je např. existuje
alespoň jeden slon takový, že... a gramatické kritérium dává neintuitivní výsledek, protože považuje ⊙ za logickou konstantu. Při přemýšlení o podstatě logických konstant si můžeme všimnout faktu, že se logika uplatňuje všude tam, kde dochází k nějaké formě odůvodňování. Není přitom důležité, co odůvodňujeme. Můžeme ji použít ve vědě, ve filozofii či ve zcela neformálním rozhovoru. To nás přivádí k tomu, že by se daly logické konstanty charakterizovat jako výrazy, které se vyskytují napříč tématy, či jako prvky jazyka tematicky neutrálních teorií. Při bližším pohledu však narážíme na jistou vágnost. Je třeba aritmetika tematicky neutrální? Ano, vždyť počítat se dá cokoliv. Na druhou stranu můžeme odpovědět i záporně – aritmetika je monotematická, týká se jen přirozených čísel. Podobné odpovědi dostaneme i v případě teorie množin. Ryle uvádí
cit. 3
toto kritérium: výrazy
přirozeného jazyka (např. češtiny) jsou nezávislé na tématu, pokud nedávají cizinci, jenž nezná význam žádného jiného českého slova kromě nich, klíč k pochopení českého textu, který je obsahuje. I takové kritérium je ovšem problematické. Představme si, že se cizinci české věty zredukují např. na ... a
ne ... protože to .... a vždycky se ... . Ale každý ... ačkoliv někteří ... . Určitý klíč k pochopení cizinec jistě dostal – protože značí kauzální vztah k negativní větě (ne), vždycky ukazuje, že se jedná o události opakující se v čase, každý,
někteří odhalují počitatelnou povahu objektů. Všechny uvedené výrazy asi 5
nebudou logickými konstantami, jde jen o to ukázat, že vést mezi nimi pevnou hranici nebude snadné. Snad se mi podařilo naznačit, jakými směry se dá o konstantách uvažovat, i když žádné z uvedených vysvětlení nebylo příliš uspokojivé. Další kapitoly se budou podrobněji věnovat dvěma zajímavým přístupům k otázce po vymezení logických konstant.
6
2. Modelově – teoretická vymezení
2.1 Tarského koncepce Alfred Tarski je osoba, která má pro moderní logiku bezesporu stěžejní význam. Je všeobecně znám především díky své teorii pravdy. Avšak máme-li se zabývat logickou pravdivostí, dostaneme se záhy k problému vymezení logických konstant. V daném jazyce není s vymezením logických konstant nejmenší problém. Konstanty definujeme prostě tím, že je například vyjmenujeme. Tento způsob je nejen běžný, ale pro účely konkrétního jazyka velmi plodný. Jiná situace však nastává, pokud chceme logické konstanty vymezit obecně – nezávisle na jazyce. Takové vymezení bychom využili v obecné definici pravdy, protože ta se opírá o pojem „logická konstanta“. Není však jasné, jak tento pojem explikovat. Jenže dokud nebudeme schopni rozlišit logické od extralogického, nebudeme moci přijmout obecnou verzi Tarského definice pravdy. (Výsledek našeho snažení samozřejmě nemá žádný vliv na aplikaci Tarského teorie na konkrétní jazyky, ovšem z hlediska filozofické logiky je podstatná právě verze obecná.) Řešením pro Tarského bylo najít definici logického termínu, který bude obecně aplikovatelný na všechny jazyky. Tarski se nejdříve snažil formulovat požadavky na dobrou definici. 1. Úspěšná definice by měla potvrdit, že výrazy tradičně považované za logické skutečně logické jsou a vůbec by měla zobecnit a zpřesnit naše tradiční chápání logických konstant logického
termínu
na
jazyk
cit. 4
. (Když např. aplikujeme definici
Russellovy
Principia
Mathematica,
nedočkáme se žádných neobvyklých výsledků.) 2. V definici by se neměly vyskytovat žádné vágní pojmy
cit. 5
jako např.
„analytický“ nebo „apriori“. Pokud by totiž toto kritérium nebylo 7
splněno, bude nepřesně definován nejen logický termín, ale i logická pravda a logický důsledek, o které Tarskému jde v první řadě. Tarski počítá s tím, že znalost logických konstant by přispěla k objasnění pojmu analytičnosti
cit. 6
, avšak staví se skepticky k pevnému rozlišení na
analytické a syntetické, apriori a aposteriori. Tyto pojmy, stejně tak jako třeba tautologičnost, jsou pro něj poněkud vágní a relativní Tarski
cit. 8
cit. 7
.
a s ním pak i další logici (Mostowski, Sher) nakonec navrhují
řešení založená na permutacích prvků universa. Logické konstanty odlišuje od ostatního to, že logické objekty, které označují, jsou invariantní vůči permutacím universa. Tuto ideu nejdříve ukážu na jednoduchém příkladu. Zobrazení 1 -> 1 2 -> 5 3 -> 4 4 -> 3 5 -> 2 je permutací přirozených čísel od jedné do pěti. Ptáme-li se, zda je logická konstanta (přesněji řečeno logický objekt, který logická konstanta označuje) invariantní vůči permutacím prvků universa, chceme vlastně vědět, co se s (potenciální) konstantou stane, když zaměníme (některé) prvky universa za jiné. Například predikát „býti číslem“ je k uvedené permutaci invariantní. Naproti tomu „býti lichým číslem“ invariantní není, protože uvedená permutace přiřazuje např. lichému číslu 3 sudé číslo 4. Permutace samozřejmě mohou být určeny kromě výčtu prvků i jinak (třeba předpisem). Logické objekty mohou mít „tvar“ množiny, prvku universa, n-tice, množiny n-tic atd. Nazveme-li permutační funkci přiřazující prvku universa jiný prvek p, k popisu logických objektů bude užitečná funkce p*, kterou definujeme takto: 1. Je-li x prvek universa, p*(x) = p(x). 8
2. Je-li x množina, p*(x) = {y; ∃z (z ∈x & y=p*(z))} 3. Je-li x uspořádaná n-tice <x1,..., xn>, pak p*(x) =
. 2. a 3. můžeme volat rekurzivně a definovat tak p* pro množinu uspořádaných n-tic, množinu množin prvků universa apod. Logické konstanty však nejsou žádné množiny ani n-tice, jsou to výrazy jazyka. Nyní je ale zřejmé, jak bude vypadat kritérium, podle kterého je rozlišíme od všeho extralogického: Výraz je logickou konstantou, je-li to, co označuje (tj. logický objekt), invariantní vůči permutacím; tedy označím-li logickou konstantu C, příslušný logický objekt v universu D ED (C), pak p*(ED(C))=ED(C). Podle tohoto kritéria je logickou konstantou např. predikát „býti něčím“, jehož extenze je vždy celé universum, jeho opak, predikát „nebýt ničím“, jehož extenze je prázdná množina, relace identita, odkazující k objektu {<xi,xi>; xi jsou prvky universa}, spojky „et“, „vel“, „imp“, „ekv“, které označují dvouargumentovou funkci z množin pravdivostních ohodnocení do množiny pravdivostních ohodnocení, standardní existenční a všeobecný kvantifikátor, kvantifikátory „existuje nekonečně mnoho“, „existuje nespočetně mnoho“, protože kardinalita je invariantem. Co naopak logickou konstantou není? Mezi intuitivně nejasné případy patří obvykle některé výrazy teorie množin. Relace příslušnosti k množině (∈) není
logická
konstanta
stejně
tak,
jako
třída
všech
množin
(pokud
předpokládáme, že existuje nějaká vlastní třída, tj. třída, která není množinou). Nic zvláštního není, že mezi logické konstanty nepatří ani výrazy jako je predikát „býti plešatý“, „někteří psi“, „právě dvě přirozená čísla“ atd. Je vidět, že Tarského definice logických konstant je aplikovatelná obecně na všechny jazyky, na které chceme aplikovat jeho definice logického důsledku a pravdy. Také požadavek, že se v definici logických konstant nebudou vyskytovat žádná vágní nebo těžko explikovatelná slova, je splněn. 9
Poslední nárok, že definice potvrdí naši intuici, je splněn jen částečně. Pro jazyk Russelovy Principia Mathematica skutečně platí, že všechny výrazy považované za logické konstanty, jimi opravdu jsou. Tarski s Lindenbaumem ukázali
cit. 9
, že všechny relace definovatelné v tomto jazyce jsou invariantní
vůči permutacím universa. Jsou ale výrazy, u kterých Tarského kritérium selhává. Vhodným příkladem takových výrazů jsou predikáty denotující v každém universu prázdnou množinu (tedy vlastnosti, které nemá žádné individuum). „Býti žijícím nebožtíkem“, „býti ženatým starým mládencem“ a jim podobné výrazy by tedy měly být logickými konstantami. To však zcela odporuje našemu intuitivnímu chápání a rozhodně to nepřispívá ke zpřesnění pojmu logická konstanta, tak jak je chápán v tradičních logických jazycích. Dalším výrazem, který podkopává důvěryhodnost Tarského návrhu, je binární relace ≒, odvozená z relace ekvivalence (=). a≒b znamená a=b, pokud neexistuje žádný ženatý starý mládenec, a a≠b, pokud existuje nějaký ženatý starý mládenec. Relace R má stejnou extenzi jako relace ekvivalence, je tedy dle Tarského kritéria logickou konstantou. Intuitivně bychom ji však asi nechtěli mezi logické konstanty řadit. Kromě výše vznesených námitek je tu ještě námitka jiného druhu: Dobrým důvodem pro nalezení definice logických konstant je jistě i touha vypořádat se s hraničními případy. Mezi výrazy stojícími na pomezí logického a extralogického patří i operátor možnosti (z modálních logik) či operátor „vždy“ Priorovy temporární logiky. Ani s jedním z těchto výrazů si však Tarského kritérium neporadí. Není totiž jasné, jak by měla vypadat extenze takovýchto výrazů (bez pomoci možných světů
a času). A pokud neznáme
logický objekt označovaný výrazem, těžko můžeme sledovat, jak se změní, permutujeme – li prvky universa. Avšak Tarského kritérium se dá rozšířit a pokud bude pravdivostní ohodnocení vztaženo i na možné světy a čas, budeme požadovat, aby byl logický objekt invariantní ještě vůči permutacím možných 10
světů a času
cit. 10
. Upravené kritérium prohlásí konstantou operátor nutnosti
v logice S5, ale už ne v logice S4. Temporární „vždy“ logickou konstantou taky nebude. Důvod je ten, že pro čas je esenciální jeho struktura (či uspořádání), a ta není všemi permutacemi zachována.
11
2.2 Další koncepce a námitky Pokud nejsme s to uznat, že se Tarskému podařilo problém logických konstant vyřešit zcela, měli bychom si alespoň uvědomit, že pozitivní na jeho návrhu je už jen to, že ukázal jednu z nadějných cest, po které se vydalo mnoho dalších autorů. Nabízí se silnější kritérium vycházející z Tarského nápadu, které vyslovil Mostowski
cit. 11
. C je konstanta, když pro všechna universa A a B
stejné mohutnosti a všechny bijekce f: A -> B platí: f(EA(C)) = EB(C). Mostowského definice po logických konstantách požaduje, aby v každém universu denotovaly objekt, který nejenže je invariantní vůči permutacím universa, ale je stejný pro všechna universa stejné mohutnosti. Všechny logické
konstanty
splňující
Mostowského
kritérium
splňují
i
kritérium
Tarského. (Permutace je speciální případ bijekce.) Opačná inkluze však neplatí. Stačí si představit predikát P, který v každém universu denotuje buď prázdnou množinu, nebo celé universum a který v universu A denotuje prázdnou množinu a v universu B, které má stejnou mohutnost jako A, denotuje celé B. P by byl logickým objektem podle Tarského, nikoliv však podle Mostowského. Přestože je Mostowského kritérium odlišné od Tarského, je výhrada, že považuje za konstantu třeba predikát „býti ženatým starým mládencem“, stejně účinná. Gila Sher se nechtěla permutačního kritéria vzdát a pokusila se podobné námitky odzbrojit. Tvrdí
cit. 12
, že jediná možnost jak porozumět významu
logických konstant je chápat je formálně. Tím je myšleno, že je nutné dívat se jen na logické objekty, které označují, a pokud se objekty shodují, ztotožnit i příslušné konstanty. Rozčarování, že je relace „≒“ (definice je uvedena na straně 10) logickou konstantou, není na místě. „≒“ označuje ve všech universech stejný objekt jako „=“, takže obě relace prostě ztotožníme a chápeme jako jedinou. Kritika Sherové vytýká, že pak by musely být sentence
12
jako
∀x ┐Ženatý_starý_mládenec(x) logicky pravdivé, a to odporuje
tradičnímu pohledu. Mně osobně nepřijde příliš rozumné odvolávat se na tradiční pojetí logické pravdivosti, když její vymezení je podobně nejasné jako tradiční vymezené logických konstant. Vadí mi spíš jiná věc. Má – li logika alespoň částečně odrážet povahu přirozeného jazyka, bál bych se ztotožňovat výrazy se stejnou extenzí, abych nedopadl podobně jako v jednu chvíli Frege, který ve finále redukoval všechny propozice jen na dvě – tu, jejíž extenzí je pravda, a tu, jejíž extenzí je nepravda. Na další problém s vymezením logických konstant pomocí invariance upozornil McCarthy
cit. 13
. Uvažujme binární relaci „≈“ definovanou takto: x≈y
je splněno pravdivostním ohodnocením e, právě když e(x) a e(y) mají stejnou mohutnost. Podle Tarského kritéria je „≈“ logická konstanta pouze v případě, že je logický objekt označený konstantou „≈“ v každém universu invariantní vůči libovolné permutaci universa. V universu, které neobsahuje žádné dva prvky stejné mohutnosti, označuje „≈“ totéž, co relace „=“, která je logickou konstantou. Tedy kdyby neexistovalo universum s alespoň dvěma různými prvky různé mohutnosti, byla by relace „≈“ logickou konstantou a v opačném případě nikoliv. Ale zdá se být divné, že to, jestli je „≈“ logická konstanta, závisí na kontingentním faktu, zda existují různé prvky se stejnou mohutností. Nabízí se upravit definici a požadovat invariantnost vůči permutacím všech možných univers (tj. požadovat, aby byly logické objekty nutně invariantní). Pak bychom ovšem nedodrželi závazek, že k vysvětlení logických konstant nepoužijeme vágní pojmy.
13
3. Důkazově – teoretická vymezení
3.1. Náznaky inferenčního přístupu Hned na začátku bych chtěl upozornit na fakt, který někdy bývá přehlížen. Autoři, jejichž pojetí logických konstant se chystám popsat, samozřejmě znají Tarského návrh definice a třeba jsou jím i nějakým způsobem ovlivněni. Nemají však pro vymezení logických konstant stejný důvod jako Tarski – nejde jim o dotažení teorie pravdy:
„Quine starts his elementary textbook by implying that logic is a science of truths. That is where I part company. If we must have a one-word answer, logic is the science of deduction.“
cit. 14
Proto mi přijde nesprávné chtít od jejich definic logických konstant, aby hrály bezvadnou úlohu v Tarského teorii pravdy. Metody, jaké logici používají při vymezování konstant, i cíle, kvůli kterým to dělají, mohou být různé. Ti, kdo se snaží vymezit konstanty důkazově-teoreticky (inferenčně), vycházejí z faktu, že logické konstanty jsou výrazy vyskytující se v jakékoliv argumentaci či odůvodňování, napříč tématy. Následujících pár odstavců chci věnovat logikům, kteří navrhují ne příliš udržitelná řešení. Nemyslím si však, že je zmínka o nich ztrátou času. Chtěl bych na nich demonstrovat jiný pohled na věc než má modelově – teoretické pojetí a zároveň ukázat nedostatky takového pohledu. Christopher Peacocke navrhl charakterizovat logické konstanty takto cit.15
: Je-li α(β1, ..., βn) logická forma výroku (α je logická konstanta, kterou
chceme definovat, βi jsou jednodušší části, ze kterých je výrok složen za pomoci nové konstanty α) a známe-li, jaká pravdivostní ohodnocení splňují βi, pak víme apriorně, jaká pravdivostní ohodnocení splňují i α(β1, ..., βn). Jinak
14
řečeno, logické konstanty jsou takové výrazy, které umožňují každému, kdo zná jejich význam, získat určité apriorní poznání. Jedna z námitek proti Peacockovi je následující: Můžu vědět, čím je splněna formule A(x), znát pravidla charakterizující splněnost formule ∀xA(x), a tedy vědět, čím je splněna i formule ∀xA(x). Ovšem k tomu, abych to věděl apriori, bych si ještě potřeboval být jist, že pravdivostní ohodnocení, která uvažuji, jsou všechna ta, která existují. Peacock sám si byl tohoto problému vědom a přidal ke svému návrhu ještě následující hypotézu
cit. 16
: Existuje jakýsi imaginání znalec, který ví o
všech pravdivostních ohodnoceních (i o těch, která já neznám). K tomu, aby byl výraz prohlášen za logickou konstantu stačí souhlas imaginárního znalce. Asi není nikoho, kdo by byl s takovým vysvětlením spokojen. Není navíc jasné, jestli jsou takoví znalci imaginární nebo dokonce možní a i kdyby byla Peacockova hypotéza přijata, nikde tu není vysvětleno, proč by znalost významu určitých výrazů měla zaručovat apriorní poznání. Karl Popper si všiml
cit. 17
, že logické konstanty jsou významné právě
proto, že na nich závisí deduktivní úsudky. Naplno vyslovil to, čím se začalo zabývat více autorů: Logické konstanty jsou podle něj takové výrazy jazyka, jejichž plný smysl je dán odvozovacími pravidly, ve kterých se vyskytují. Např. význam konjunktivní spojky „&“ je plně vyjádřen následujícími pravidly: A, B / A&B A&B / A A&B / B Každý, kdo rozumí lomítku v pravidlech, je schopen pojmout i význam „&“. Proti takovému popisu logických konstant brzy vzešla slavná Priorova námitka
cit. 18
. Prior uvažuje binární spojku tonk, jejíž plný význam je dán
následujícími dvěma pravidly: 1. Z daného výroku P můžeme odvodit výrok P tonk Q, kde Q je libovolný výrok. (Tedy P / P tonk Q). 15
2. Z daného výroku tvaru P tonk Q můžeme odvodit Q. (Tedy P tonk Q / Q). Je vidět, že za pomoci těchto dvou odvozovacích pravidel můžeme z libovolného výroku odvodit jakýkoliv jiný (předpokládáme-li pouze tranzitivitu odvozovacích pravidel). Zdá se tedy, že rozumný Popperův nápad vede ke zcela scestnému výsledku. Situaci objasňuje Belnap
cit. 19
. Souhlasí s Popperem, ale upřesňuje, že ne
každá množina odvozovacích pravidel definuje logickou konstantu. (Stejně tak, jako ne každé tvrzení obsahující nový symbol je definicí tohoto symbolu v matematické
teorii).
Belnap
navrhl
přidat
k
Popperově
charakterizaci
požadavek konzervativity, aby se novými pravidly pro logickou konstantu nezkazilo to, co jsme byli schopni odvodit bez těchto pravidel. Konzervativita tedy znamená: jakékoli odvození platné podle nových pravidel (tj. těch, která jsme přidali se zaváděnou konstantou) a neplatné podle pravidel starých musí obsahovat
výrok
obsahující
zaváděnou
konstantu.
Vidíme,
že pravidla
definující výraz tonk konzervativní nejsou. Je-li totiž P tvrzení, které lze odvodit bez nových pravidel a Q tvrzení, které bez nich odvodit nelze, umožňují odvodit Q (tj. tvrzení neobsahující výraz tonk). Wittgenstein se ve svém Tractatu pokusil vysvětlit, že některá logicky pravdivá tvrzení jsou vedlejším produktem elementárních vět a pravidel pro spojování těchto vět ve složitější (tedy vlastně pravidel charakterizujících logické konstanty). Mějme jazyk elementárních vět, jejichž význam je znám. Abychom mohli tvořit složitější věty, zavedeme do jazyka logické konstanty a s nimi pravidla určující pravdivostní hodnotu těchto vět v závislosti na jejich komponentách. Pak si všimneme, že některé složené věty jsou pravdivé nezávisle na svých komponentách. Takové věty obvykle nazýváme logicky
pravdivé, ale tento výsledek je jen vedlejším produktem pravidel pro zavedení logických konstant. K jeho získání jsme nepotřebovali zaobírat se významy,
16
šlo o jednoduchou konstrukci, která vysvětlila nutnou (apriorní) povahu některých vět.
17
3.2 Hacking Zbytek tohoto oddílu věnuji Hackingovu pohledu na věc, tak jak jej popsal v [3]. Jde o propracovanou koncepci, která ukazuje, jak přesně se dají logické konstanty charakterizovat inferenčními pravidly. Hacking vychází z Wittgensteinovy předtuchy a za odvozovací pravidla vhodná pro definici logických konstant bere ta gentzenovská. Chce začít od určitých inferenčních pravidel a pomocí nich definovat logiku. Hacking využívá konkrétně Gentzenův sekventový kalkul. Bude se hodit mít popsanou dedukci v tomto kalkulu. Relace mezi formulemi je klasickou dedukcí (značíme ji „├“, což je metajazykový symbol), když platí: 1. reflexivita (A├ A), 2. oslabení (jestliže Γ├ Θ, pak Γ, A├ Θ a Γ├ A,Θ), 3. tranzitivita (jestliže A├ B a B├ C, pak A├ C). Zobecněním tranzitivity je tzv. řez: když Γ├ A,Θ a Γ,A├ Θ, tak Γ├ Θ. Dedukce nijak nezávisí na přítomnosti logických konstant v jazyce. Navíc, tato relace v případě jejich nepřítomnosti v jazyce není prázdná (máme-li k dispozici pouze množinu elementárních vět X, relace ├ je tvořena dvojicemi
{<X,A>; A ∈ X}). Hacking v [3] tvrdí, že logické konstanty mohou být definovány prostřednictvím odvozovacích pravidel. Nebo jinak, k tomu, abych definoval logickou konstantu, stačí uvést určitá odvozovací pravidla. Dodává, že tato pravidla musí být konzervativní
cit. 20
- ve smyslu Belnapa. Máme objektový
jazyk (ať už obsahuje nějaké logické konstanty nebo ne) a chceme k němu přidat novou konstantu. O původním jazyce cosi vypovídá řada tvrzení obsahujících dedukci a požadavek konzervativity vlastně znamená, že se po přidání nové konstanty nesmějí „staré“ dedukce pokazit a že také nesmějí vzniknout další dedukce mezi formulemi neobsahujícími novou konstantu. Jak se dá ale poznat, jestli je něco špatně nebo ne? Častým nástrojem je použití
18
zmíněné vlastnosti dedukce – tzv. pravidla řezu. Ten jediný totiž umožňuje přecházet od složitějších metajazykových tvrzení k jednodušším. Na příkladě ukážu, proč nemůže být Priorova tonk logickou konstantou. Definiční pravidla pro tonk jsou tato dvě:
A ├ A tonk B A tonk B ├ B Na ně zkusíme bezprostředně použít pravidlo řezu a dostaneme A├ B. To je však nekonzervativní výsledek, který dostat nechceme. Hackingův nápad, že nám k definici konstanty stačí uvést její odvozovací pravidla, však nemusí být správný. Otázka zní: „Mohou být tato pravidla skutečně definicí?“ Není těžké připustit, že inferenční pravidla nějakým způsobem konstanty definují. Připadá mi, že podáme-li jako příklad inferenční definice pravidla charakterizující konjunkci nebo jinou notoricky známou konstantu, dosáhneme značného efektu: Hackingův projekt najednou vypadá velmi přesvědčivě; vždyť co víc potřebujete k vymezení konjunkce? Pokud bychom však měli před sebou množinu pravidel, o nichž by bylo řečeno, že jsou definicí logické konstanty „*“, která nepatří mezi tradičně uznávané konstanty (a třeba ani mezi tradiční mezní případy), mohl by kdekdo Hackinga podezírat, že namísto definování „*“ spíše skrývá její význam v jakémsi syntaktickém pološeru. Podobné úvahy vedou k námitce, že inferenční (syntaktická) pravidla přece nemohou fixovat význam (čili záležitost sémantiky). Přesvědčení, že mohou, poukazuje na to, že pro pochopení významu logické konstanty nic jiného než inferenční pravidla opravdu nepotřebujeme. Vždyť například ten, kdo ví, co může odvodit z výroku A&B a z čeho může odvodit A&B, musí jistě znát význam konstanty &. Pokud však cítíme, že pojem „význam logické konstanty“ zahrnuje i její pravdivostní podmínky, nebo z nějakého důvodu nechceme zredukovat sémantiku na syntax, musíme se vydat jinou cestou. Předpokládejme, že je dán 19
pojem klasické pravdy a nepravdy pro elementární věty, ve kterých se žádné logické konstanty nevyskytují. Dále nechť je relace dedukce úplná pro klasické logické důsledky ve třídě elementárních vět. Teprve pak budeme schopni vyčíst sémantiku logických konstant z definujících pravidel. Tato sémantika nebude tedy určena jen a pouze inferenčními pravidly. Jak bude vypadat, ukážu v dalších odstavcích. Hacking upozorňuje
cit. 21
, že je nutné se vyhnout postupu, který se
nejdříve snaží vymezit význam konstant čistě za pomoci odvozovacích pravidel a posléze definuje pravdu a nepravdu v duchu Tarského. Představme si, že chceme přidat – pomocí inferenčních pravidel - logickou konstantu do jazyka, který má danou sémantiku (neboli kterému rozumíme). Pak budeme rozumět i jazyku rozšířenému o novou konstantu. Kdyby tomu tak nebylo, pravidla, která jsme s konstantou přidali, nejsou její definicí. Hackingova sémantika není žádnou samostatnou, soběstačnou teorií. Ono to vlastně ani není potřeba. Činnost, kterou se Hacking soustavně zabývá v [3], je přidávání logické konstanty do již „zaběhnuté“ logiky, která má sémantiku vypracovanou od základů (může se jednat např. o klasickou Tarského sémantiku). Hackingova sémantika je tedy výhradně sémantikou
přidávaných konstant, která stojí na sémantice původního jazyka. To, jestli si za původní sémantiku vybereme tu Tarského nebo nějakou jinou, je úplně jedno. Všechny jsou totiž určitou abstrakcí vztahů významů v přirozeném jazyce, přičemž jejich volba může být čistě pragmatická. Podle Hackinga nelze říci, že by jakákoliv z nich třeba lépe vystihovala nějaký přirozený jazyk těchto sémantikách Hacking předpokládá pouze dvě věci
cit.22
.O
cit. 23
. Zaprvé, že
každému výroku přiřazují právě jednu ze dvou pravdivostních hodnot, zadruhé, že množina formulí Θ je důsledkem množiny formulí Γ, právě když pravdivostí každé formule z Γ je zaručena pravdivost nějaké formule z Θ. Jak bychom tedy mohli vyčíst význam konstanty z odvozovacích pravidel? Hacking tvrdí, že pravidla mohou být v zásadě dvou druhů
cit. 24
: 20
1. „levé“ pravidlo {Πi ├ Σi} / X ├ 2. „pravé“ pravidlo {Πj ├ Σj} / ├ X To vyplývá z vlastnosti oslabení. Na postranní formule totiž nejsou kladena žádná omezení, a můžeme je tedy v našich úvahách vynechat (více o tom v [3], část IX. a XVI.). Platí následující teze: X je pravdivá právě tehdy, když existuje pravé pravidlo takové, že pro každé j je některý člen Σj nepravdivý nebo některý člen Πj pravdivý. X je nepravdivá právě tehdy, když existuje levé pravidlo takové, že pro každé i je některý člen
Σi nepravdivý nebo některý člen Πi
pravdivý. Jako příklad použití těchto faktů uvádím konstantu *, která je definována následujícími pravidly: Γ├ A, Θ ; Γ├ B, Θ / Γ, A, B├ Θ
/
Γ, A*B├ Θ
Γ├ A*B, Θ.
Po vynechání postranních formulí vypadají pravidla takto: ├A A, B├
; ├B /
A*B├
/ ├ A*B.
Jaké jsou pravdivostní podmínky pro A*B? Podle výše uvedených tvrzení je A*B pravdivá právě tehdy, když alespoň jedna z formulí A, B je nepravdivá. Ať už se rozhodneme chápat pod tím, že někdo zná význam logické konstanty, jakoukoliv ze zmíněných alternativ, vypadá to, že útok na sémantiku logických konstant byl odražen.
21
4. Shrnutí a závěry Moje představa o závěru této práce byla asi taková, že zde uvedu tabulku, která na konkrétních případech výrazů jazyka jasně ukáže shody a rozdíly mezi dvěma popsanými pojetími logických konstant. Uvést takové shrnutí u modelově – teoretického pojetí nenaráží na žádný problém. Avšak Hackingův inferenční přístup tak jednoznačně shrnout nelze. Důvodem je fakt, že Hacking pouze popisuje, jak přidat výraz (logickou konstantu) do již zavedeného jazyka. Zde se tudíž nejedná o žádné absolutní rozlišení jako v případě teorie modelů. Pokud by si čtenář myslel, že předchozím odstavcem zavrhuji Hackingův pohled na konstanty pro jeho určitou relativitu, musím ho vyvést z omylu. Ukáže se totiž, že tato relativita není nikterak destruktivní, naopak s sebou nese několik pozitiv včetně svobody při budování logiky. Nicméně k tomu, abych mohl uskutečnit závěrečné srovnání, musím nejdříve udat, jak vypadá logika před přidáváním výrazů a zjišťováním, zda jsou konstantami. Asi nikoho nepřekvapí, že si za onen základ vybírám klasickou prvořádovou predikátovou logiku s již zavedenými logickými konstantami ¬, &, ∨, →, ∀,∃ v jejich obvyklém významu. Teď už by mělo být připraveno vše pro posouzení konkrétních problémů. 1. Identita (=) Podle modelově – teoretického kritéria (MTK) je logickou konstantou (jedná se o relaci odkazující k objektu {<xi,xi>; xi jsou prvky universa}, který je vůči permutacím universa invariantní). V gentzenovském sekventovém kalkulu se rovnost standardně zavádí těmito pěti pravidly: i. / ├ t=t ii. / t=s ├ s=t iii. / t=s, s=u ├ t=u
22
iv. / t1=s1, t2=s2, ..., tn=sn ├ F(t1,t2,...,tn)=F(s1,s2,...,sn) v. / t1=s1, t2=s2, ..., tn=sn, P(t1,t2,...,tn) ├ P(s1,s2,...,sn) Na pravých stranách pravých sekventů pravidel i. - iv. se vyskytuje symbol “=”, takže u nich nehrozí, že by mohla být nekonzervativní. Pouze pravidlem v. bychom mohli konzervativitu porušit, ovšem jen tehdy, kdybychom se dokázali zbavit rovností t1=s1, t2=s2, ..., tn=sn z levé strany pravého sekventu pravidla v. To by bylo možné jen ve speciálním případě, kdy by v. mělo tvar / t1=t1, t2=t2, ..., tn=tn, P(t1,t2,...,tn)
├
P(t1,t2,...,tn), protože pak by se dalo z i. a v. odvodit / P(t 1,t2,...,tn) ├ P(t1,t2,...,tn), kde se rovnost nevyskytuje. To není ovšem nic, co by nešlo odvodit v původním, nerozšířeném jazyce, takže zavedení rovnosti je konzervativní a “=” je tedy logickou konstantou podle důkazově – teoretického kritéria (DTK).
2. Konstanty modálních logik (nutnost, možnost) MTK dle Tarského si s modalitami neporadí, kritérium rozšířené zařadí operátor nutnosti v logice S5 mezi konstanty, v logice S4 už však nikoliv (podrobněji na straně 10). Podle DTK nejsou modální operátory logickými konstantami, protože pravidla, která je definují, kladou omezení na své postranní formule. Například nutnost v logice S4 je zavedena následujícím způsobem: i. Γ, A ├ Θ / Γ, □A ├ Θ ii. □Γ├ A / □Γ├ □A Ve ii. musí všechny postranní formule začínat □ a to je proti vlastnosti oslabení, kterou musí relace dedukce mít.
3. Kvantifikátor „existuje nekonečně mnoho“ Dle MTK je logickou konstantou, protože kardinalita universa je invariantní vůči permutacím prvků. Stejně tak je konstantou třeba i 23
„existuje nespočetně mnoho“. U DTK vyvstává otázka, na jaká zaváděcí pravidla ho použít. Odpověď není složitá: Pokud jsem se rozhodl obohacovat klasickou predikátovou logiku prvního řádu, nelze v ní najít pravidla pro tento kvantifikátor, protože by musela mít nekonečně premis.
4. Existuje právě jeden (∃!x) Ze stejného důvodu jako kvantifikátor „existuje nekonečně mnoho“ je logickou konstantou podle MTK i tento výraz. ∃!x by se dala zavést do predikátové logiky s rovností (o které jsme zjistili, že konstantou je) následujícími pravidly: i. P(x), P(y)├ x=y ii.
/
∃x P(x)├ ∃!x P(x)
/ ∃!x P(x), P(y), P(z)├ ∃x P(x), z=y
Na ně nelze použít žádný řez, který by usvědčil jejich nekonzervativitu, prohlásíme tedy ∃!x za logickou konstantu.
5. Člen „the“ (ί) ί bude podle MTK logickou konstantou. Jsou-li například prvky universa sudá čísla a mezi nimi právě jedno liché (třeba 3), před permutací i po permutaci universa bude „to jediné x, které je liché“ číslo 3. Určitou deskripci ί se pokusím definovat tímto způsobem: i. P(x), P(y)├ x=y ii.
/
∃x (P(x) & Q(x))├ Q(ίx P(x))
/ Q(ίx P(x))├ ∃!x P(x), P(x) → Q(x)
Předpokládám-li levou část pravidla i., mohl bych provést řez na pravou část i. a pravidlo ii. a výsledkem by bylo P(x), P(y)├ x=y /
∃x (P(x) & Q(x))├ ∃!x P(x), P(x) → Q(x).
Chvíli to možná vypadá, že jde o nekonzervativní pravidlo, protože umožní odvodit ∃!x P(x) z ∃x (P(x) & Q(x)). Je ale nutné si uvědomit, 24
že k ∃!x P(x) nás přivedou již pravidla pro zavedení kvantifikátoru „existuje právě jeden“, odvodíme ho tedy prostředky „staré“ logiky. To znamená, že
pravidla i. a ii. konzervativní jsou a ί je podle DTK
logickou konstantou.
6. Být ženatým starým mládencem V kapitole 2.1 jsem ukázal, že Tarského kritérium vyhodnotí tento výraz jako logickou konstantu, protože denotuje v každém universu prázdnou množinu. Tento predikát nelze z inferenčního hlediska nijak rozumně zavést do vznikající logiky. Podle DTK není logickou konstantou.
7. Být prvkem (∈) Jak již bylo řečeno, podle MTK není ∈ logickou konstantou. Inferenční přístup by postupoval tak, že by převedl axiomy teorie množin na definiční pravidla výrazu ∈, a pak by prozkoumal vlastnosti těchto pravidel. Na takové zkoumání není v mé práci již prostor, proto ponechávám tento problém otevřený.
Mám-li oba zkoumané pohledy na problematiku logických konstant porovnat, je nutné říci, že každý z nich naráží na jistá úskalí. Modelově – teoretické pojetí dává některé špatné výsledky (být ženatým starým mládencem a výrazy parazitující na konstantách), u inferenčního přístupu může být někdy nepřekousnutelná potíž s tím, jak dokázat, že pravidla charakterizující konstantu ji přesně definují. Osobně bych označil jako nadějnější důkazově – teoretické řešení, protože dává svobodu při budování logiky. Myslím si, že slevíme-li z touhy po absolutní demarkaci logických konstant, dostaneme přesnější výsledky. Na závěr uvádím ještě stručný přehled výsledků:
25
Je logickou
Modelově-teoretický pohled
Důkazově-teoretický pohled
identita
ANO
ANO
nutnost, možnost
NEVÍ (rozšířené kritérium: v
NE
konstantou?
S5 ano, v S4 ne ) existuje nekonečně
ANO
NE
existuje právě jeden
ANO
ANO
the
ANO
ANO
být ženatým starým
ANO
NE
NE
?
mnoho
mládencem být prvkem
26
Citace
cit. 1
Buridan, J., Tractatus de Consequentiis, 1976, I. 7. 2, citováno podle
[1], kap. 1.
cit. 2
Quine, W. V., Grammar, Truth, and Logic, v: Kanger, S., Öman, S. (ed.),
Philosophy and Grammar, s. 17-28, citováno podle [1], kap. 2. Quine, W. V., Philosophy of Logic, 1986, citováno podle [1], kap. 2. Dummett, M., Frege: Philosophy of Language, 1981, citováno podle [1], kap. 2.
cit. 3
Ryle, G., Dilemmas, 1954, s. 116, citováno podle [1], kap. 4.
cit. 4
Tarski, A., On the concept of logical consequence, v: Tarski, A., Logic,
semantics, metamathematics, 1983, s. 420, citováno podle [2], s. 11.
cit. 5
Tarski, A., On the concept of logical consequence, v: Tarski, A., Logic,
semantics, metamathematics, 1983, s. 414, citováno podle [2], s. 11.
cit. 6
Tarski, A., On the concept of logical consequence, v: Tarski, A., Logic,
semantics, metamathematics, 1983, s. 419, citováno podle [2], s. 11.
cit. 7
Tarski, A., On the concept of logical consequence, v: Tarski, A., Logic,
semantics, metamathematics, 1983, s. 420, citováno podle [2], s. 11-12.
cit. 8
Tarski, A., Givant, S., A formalization of set theory without variables,
1987, citováno podle [2] s. 10-14, [1] kap. 5.
27
cit. 9
Tarski, A., Lindenbaum, A., On the limitations of the means of
expression
of
deductive
theories,
v:
Tarski,
A.,
Logic,
semantics,
metamathematics, 1983, s. 384-392.
cit. 10
Scott, D., Advice on Modal Logic, v: Lambert, K. (ed.), Philosophical
Problems in Logic: Some Recent Developments, 1970, s. 161 McCarthy, T., The Idea of a Logical Constant, v: Journal of Philosophy 78: 511-513, 1981.
cit. 11
Mostowski,
A.,
On
a
generalization
of
quantifiers,
Fundamenta
Mathematicae, vol. 44, 1957, s. 13, citováno podle [2], s. 15.
cit. 12
Sher, G., The bounds of logic, 1991, s. 64-65, citováno podle [2], s.
18-19.
cit. 13
McCarthy, T., The Idea of a Logical Constant, Journal of Philosophy,
vol. 78, 1981, s. 516, citováno podle [1], kap. 5.
cit. 14
[3], s. 290.
cit. 15
Peacocke, C., What is a logical constant?, Journal of Philosophy, vol. 73,
1976, s. 225-226, citováno podle [2], s. 22.
cit. 16
[2], s. 23.
cit. 17
Popper, K. R., New foundations for logic, Mind, vol. 56, 1947, s. 220,
citováno podle [2], s. 24.
28
cit. 18
Prior, A. N., The runabout inference-ticket, Analysis, vol. 21, 1960, s.
39, citováno podle [2], s. 25.
cit. 19
Belnap, N. D., Tonk, plonk and plink, Analysis, vol. 22, 1962, s. 130-
134, citováno podle [2], s. 25.
cit. 20
[3], s. 296.
cit. 21
[3], s. 300.
cit. 22
[3], s. 310.
cit. 23
[3], s. 311.
cit. 24
[3], s. 312.
29
Literatura
[1] Logical constants, Stanford Encyclopedia of Philosophy, MacFarlane, J., http://plato.stanford.edu/entries/logical-constants, 2005.
[2] The Problem of Logical Constants, The Bulletin of Symbolic Logic, Gómez-Torrente, M., Volume 8, Number 1, 2002.
[3] What is Logic?, The Journal of Philosophy, Hacking, I., Volume 76, Issue 6, 1979, s. 285-319.
[4] Švejdar, V., Logika – neúplnost, složitost a nutnost, 2002.
30
