Pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP

Pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP vypracoval: Martin Kopecký vedoucí práce: Ing. Martin Vrbka, Ph.D. Obor Aplikovaná mechanika Specializace Počítačová podpora konstruování 2005

3

3

Čestné prohlášení

strana 5

ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že tato diplomová práce byla vypracována jako původní autorská práce pod vedením vedoucího diplomové práce Ing. Martina Vrbky, Ph.D. a za použití uvedené literatury.

V Brně, dne 15.5.2005

…………………………………..….. podpis

5

Poděkování

strana 7

PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu diplomové práce Ing. Martinu Vrbkovi, Ph.D. za poskytnutí zajímavého tématu diplomové práce a za cenné rady a připomínky při její tvorbě. Děkuji také všem ostatním, kteří mi při práci na diplomovém projektu i v celém studiu pomohli.

7

Anotace

strana 9

ANOTACE Předmětem této diplomové práce je pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby z hlediska únosnosti boků zubů v dotyku a únosnosti zubů v ohybu. Důraz je kladen na deformačně napěťovou analýzu zadaného čelního soukolí pomocí metody konečných prvků (MKP) v CAE systému ANSYS a celkové zvládnutí kontaktních úloh v tomto programu. Pevnostní výpočet bude proveden také dle platné normy ČSN. Výsledky z analytického řešení dle normy a numerického řešení pomocí MKP budou analyzovány a vzájemně srovnány. Jedním z důležitých cílů diplomové práce je co největší přiblížení výsledků výpočtů dle těchto dvou postupů.

ANOTATION The subject of this diploma project is strain-stress analysis of spur gearing with direct involute symmetrical teeth focused on contact stress of the side of tooth and flexural stress of the tooth. The emphasis is laid on the strain-stress analysis of the teeth of assigned spur gearing through the finite element method (FEM) in CAE system ANSYS and complete mastering of contact problem in this computer program. Stress analysis will be done also according to the valid CSN standard. The results from the analytical solution according to CSN standard and from the FEM solution will be analyzed and compared. One of the most important goals of this diploma project is to come with the results from FEM solution near to the analytical solution as it is possible.

9

Obsah

strana 11

OBSAH POUŽITÉ SYMBOLY A OZNAČENÍ ........................................................ 13 1

ÚVOD............................................................................................................ 15

2

PROBLEMATIKA PEVNOSTNÍCH VÝPOČTŮ ČELNÍCH OZUBENÝCH SOUKOLÍ ........................................................................... 16 2.1 Základní pojmy z oblasti čelních soukolí a jejich zařazení ................. 16 2.1.1 Ozubené převody............................................................................ 16 2.1.2 Čelní ozubená kola s přímými zuby ................................................ 17 2.1.2.1 Podmínky záběru čelních ozubení ............................................... 18 2.1.2.2 Silové poměry v čelním ozubení ................................................. 20 2.1.2.3 Konstrukce čelních ozubených kol .............................................. 21 2.2 Pevnostní výpočet čelních ozubených soukolí...................................... 21 2.2.1 Výpočet napětí v dotyku ................................................................. 22 2.2.2 Výpočet napětí v ohybu .................................................................. 26 2.2.3 Pevnostní výpočty dle normy .......................................................... 31

3

METODA KONEČNÝCH PRVKŮ A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI PEVNOSTNÍCH VÝPOČTECH ČELNÍCH SOUKOLÍ ........................... 32 3.1 Využití metody konečných prvků při pevnostních výpočtech čelních soukolí ....................................................................................... 32 3.2 Základní principy metody konečných prvků....................................... 32 3.3 Výpočtový systém ................................................................................. 34 3.3.1 Lineární řešení ................................................................................ 34 3.3.2 Nelineární řešení............................................................................. 34 3.3.2.1 Kontaktní úlohy .......................................................................... 35

4

FORMULACE PROBLÉMU A CÍLE DIPLOMOVÉ PRÁCE ................. 36 4.1 Formulace problému ............................................................................ 36 4.2 Parametry zadaného čelního soukolí ................................................... 37

5

PEVNOSTNÍ VÝPOČET ZADANÉHO SOUKOLÍ DLE NORMY ČSN . 38 5.1 Geometrie zadaného čelního soukolí.................................................... 38 5.2 Pevnostní výpočet dle normy ČSN 01 4686, část 4............................... 39 5.2.1 Výpočet napětí v dotyku ................................................................. 40 5.2.2 Výpočet napětí v ohybu .................................................................. 41

6

ŘEŠENÍ HERTZOVA KONTAKTU .......................................................... 43 6.1 Kontaktní úlohy .................................................................................... 44 6.1.1 Řešené varianty............................................................................... 44 6.1.2 Analytický výpočet ......................................................................... 45 6.1.3 Numerický výpočet......................................................................... 46 6.1.3.1 Tvorba geometrie a konečnoprvkové sítě .................................... 46 6.1.3.2 Definice okrajových podmínek (vazby a zatížení) ....................... 47 6.1.3.3 Prezentace výsledků a jejich srovnání s analytickým výpočtem... 48

11

strana 12

Obsah

7

VÝPOČTOVÉ MODELOVÁNÍ................................................................... 53 7.1 Vytvoření modelů geometrie................................................................. 53 7.1.1 Import geometrie profilu zubů ......................................................... 53 7.1.2 Tvorba modelů geometrie................................................................ 55 7.2 Model materiálu prvků ......................................................................... 56 7.3 Vytvoření konečnoprvkové sítě ............................................................ 56 7.3.1 Tvorba konečnoprvkové sítě u variant 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ ...... 57 7.3.2 Tvorba konečnoprvkové sítě a 3D modelu varianty 3D VB ............. 61 7.4 Okrajové podmínky .............................................................................. 62 7.4.1 Stanovení vazeb řešených variant .................................................... 62 7.4.1.1 Vnější vazby................................................................................ 62 7.4.1.2 Vnitřní vazby............................................................................... 63 7.4.2 Stanovení zatížení ........................................................................... 64 7.4.2.1 Zatížení variant 2D VB, 2D ZZ, 2D KZ....................................... 64 7.4.2.2 Zatížení varianty 3D VB.............................................................. 65 7.5 Volba a nastavení řešiče........................................................................ 65

8

PREZENTACE A ANALÝZA VÝSLEDKŮ ŘEŠENÍ................................ 66 8.1 Varianta 2D VB..................................................................................... 66 8.1.1 Prezentace výsledků ........................................................................ 66 8.1.2 Analýza výsledků ............................................................................ 68 8.1.2.1 Citlivostní analýza – koeficient tření............................................ 70 8.2 Varianta 2D ZZ ..................................................................................... 71 8.2.1 Prezentace výsledků ........................................................................ 71 8.2.2 Analýza výsledků ............................................................................ 73 8.3 Varianta 2D KZ..................................................................................... 74 8.3.1 Prezentace výsledků ........................................................................ 74 8.3.2 Analýza výsledků ............................................................................ 76 8.4 Varianta 3D VB..................................................................................... 76 8.4.1 Prezentace výsledků ........................................................................ 76 8.4.2 Analýza výsledků ............................................................................ 78

9

ZÁVĚR .......................................................................................................... 80 LITERATURA.............................................................................................. 82

Použité symboly a označení

strana 13

POUŽITÉ SYMBOLY A OZNAČENÍ symbol

jednotka

E, Ered F Fn Ft Fr, Fbt KA KF KFv KFα

[MPa] [N] [N] [N] [N] [-] [-] [-] [-]

KFβ

[-]

KH KHv KHα

[-] [-] [-]

KHβ

[-]

Mk P P R, Re

[Nm] [kW] [J] [mm]

T UX, UY, UZ W YFa YFS YSa YSarel Yβ Yε ZB ZD ZE

[Nm] [mm] [J] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [Mpa1/2]

ZH Zβ Zε a b bW d

[-] [-] [-] [mm] [mm] [mm] [mm]

popis modul pružnosti materiálu, redukovaný modul pružnosti mat. přítlačná síla (Hertzova úlohy), zátěžná síla (model soukolí) normálná síla obvodová síla působící v čelním řezu na roztečné kružnici radiální síla, radiální síla přeložená do středu kola součinitel vnějších dynamických sil součinitel přídavných zatížení (pro výpočet na ohyb) součinitel vnitřních dynamických sil (pro výpočet na ohyb) součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů (pro výpočet na ohyb) součinitel nerovnom. zatížení zubů po šířce (pro výpočet na ohyb) součinitel přídavných zatížení (pro výpočet na dotyk) součinitel vnitřních dynamických sil (pro výpočet na dotyk) součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů (pro výpočet na dotyk) součinitel nerovnom. zatížení zubů po šířce (pro výpočet na dotyk) kroutící moment výkon potenciál vnějšího zatížení poloměr koulí či válců, ekvival. poloměr u řešených Hertzových úloh kroutící moment Posuv v ose x, y, z v ANSYSu energie napjatosti součinitel tvaru zubu při působení síly na hlavě zubu součinitel tvaru zubu a koncentrace napětí součinitel koncentrace napětí součinitel přídavného vrubu v patě zubu součinitel sklonu zubu součinitel vlivu na záběru profilu (pro výpočet na ohyb) součinitel jednopárového záběru pastorku součinitel jednopárového záběru kola součinitel mechanických vlastností materiálů (spoluzabírajících ozubených kol) součinitel tvaru spoluzabírajících zubů součinitel vlivu sklonu zubu součinitel součtové délky dotykových křivek boků zubů osová vzdálenost společná šířka válců, šířka nosníku aktivní šířka ozubení průměr roztečné kružnice

13

strana 14

Použité symboly a označení

symbol

jednotka

da, db, df e h, ha, hf k ka, kb, kf m n p p0 p0ANS pmax r s u w z Π α εα µ ρ1, ρ2, ρe σ1 (S1) σ3 (S3) σo, σT σF σF ANS

[mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [min-1] [mm] [MPa] [MPa] [MPa] [mm] [mm] [-] [N/mm] [-] [J] [°] [-] [-] [mm-1] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa]

σ0Flimb σFlimb σF0

[MPa] [MPa]

[MPa]

popis průměr hlavové kružnice, základní kružnice, patní kružnice zubová mezera výška zubu, výška hlavy zubu, výška paty zubu roztečná kružnice hlavová kružnice, základní kružnice, patní kružnice modul ozubení otáčky rozteč zubů maximální kontaktní tlak (analytické řešení Hertzových úloh) maximální kontaktní tlak (numerické řešení Hertzových úloh) maximální kontaktní tlak (numerické řešení záběru soukolí) poloměr kružnice, rameno síly tloušťka zubu, nosníku převodové číslo šířkové zatížení počet zubů celková potenciální energie úhel profilu zubu součinitel záběru profilu Poissonovo číslo poloměry křivosti válců, ekvivalentní poloměr křivosti 1. hlavní napětí (značení v ANSYSu) 3. hlavní napětí (značení v ANSYSu) ohybové napětí, tlakové napětí ohybové napětí v nebezpečném průřezu paty zubu hodnota ohybového napětí vypočteného dle ČSN pro srovnání s numerickým výpočtem mez únavy v ohybu odpovídající bázovému počtu zatěž. cyklů

mez únavy v ohybu materiálu ohybové napětí při ideálním zatížení přesných zubů (při KF = 1,0) napětí v dotyku (Hertzův tlak) ve valivém bodě hodnota napětí v dotyku dle ČSN pro srovnání s numerickým výpočtem

σH

[MPa] [MPa]

σ0Hlim σHlim σH0

[MPa] [MPa]

mez únavy v dotyku odpovídající bázovému počtu zatěž. cyklů mez únavy v dotyku materiálu

[MPa] [MPa]

napětí v dotyku při ideálním zatížení přesných zubů (při KH = 1,0) redukované napětí dle podmínky HMH (značení v ANSYSu)

[MPa] [MPa] [-] [-]

stykové napětí, maximální stykové napětí Hertzova kontaktu smykové napětí Úhlová rychlost Šířkový součinitel

σH ANS

σred (SEQV) σz, σzmax τ ω ψbd

Pozn.: Obecně platí, že u ozubení je index 1 použit pro pastorek a index 2 pro kolo, H v indexu u výpočtů napětí v dotyku a F v indexu u výpočtů napětí v ohybu.

1 Úvod

1

strana 15

1

ÚVOD

Nároky na ozubené převody se v současné době neustále zvyšují, zejména z hlediska výkonových parametrů a snižování hlučnosti a vibrací. Ve vývoji a konstrukci ozubených převodů se stále více uplatňují dosud nevyužívané poznatky, které spolu s novými výpočetními postupy a dokonalejší technologií výroby, vedou ke zlepšení výše uvedených hledisek. Rozvoj v oblasti navrhování, výpočtů a výroby čelních ozubených kol s evolventním profilem se odehrál v kontextu s rozvojem moderních technologií v posledních letech. Důvody, které vedly k tomuto rychlému rozvoji, lze spatřovat především v neustálém rozšiřování a zdokonalování výpočetní techniky a jejím široké uplatnění na všech pracovištích (programy pro optimalizaci návrhů geometrie ozubených kol a ke kontrole únosnosti), rozvoji a rozšiřování CNC obráběcích strojů, pokroku ve výrobě přesných nástrojů na výrobu ozubených kol s uplatněním nových technologií v kombinaci s moderními stroji (vyšší produktivita a výroba vysoce jakostních ozubených kol i nestandardních tvarů). V neposlední řadě byl významným impulsem k rozvoji produkce jakostních ozubených kol v ČR v devadesátých letech rozvoj styků s významnými odbornými pracovišti v zahraničí a rozšířená možnost nákupu výrobních strojů a nástrojů u špičkových výrobců. Jednou z důležitých součástí návrhu ozubeného soukolí jsou i výpočty únosnosti neboli výpočty pevnostní, kterými se tato diplomová práce zabývá. V současné době se můžeme setkat s několika způsoby posuzování únosnosti ozubených převodů. Cílem této diplomové práce je ukázat na zadaném čelním soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby postup při deformačně napěťové analýze únosnosti zubů soukolí numerickým výpočtem pomocí metody konečných prvků (MKP). Použitým výpočtovým systémem je program ANSYS 8.1 ve verzi Multiphysics, úlohy jsou řešeny jako rovinné (2D) i prostorové (3D). Snahou bylo zmapovat postup při tvorbě výpočtového modelu, poukázat na možné problémy, které se při takto náročné analýze mohou vyskytnout a nalézt jejich, alespoň částečné, řešení. Důležitou součástí práce je také analýza získaných výsledků, jejich vyhodnocení, prezentace a srovnání se standardním analytickým řešením pomocí platné normy ČSN. Diplomovou práci lze pomyslně rozdělit na několik celků. První část (kapitoly 2 - 4) obsahuje úvod do problematiky ozubených soukolí, jejich pevnostních výpočtů a využití metody konečných prvků při jejich návrhu a formulace problému a cíle diplomové práce. V druhé části (kapitoly 4 - 7) můžeme nalézt kromě pevnostního výpočtu zadaného soukolí dle normy ČSN a vlastní deformačně napěťové analýzy stejného soukolí také praktický úvod do problematiky kontaktních úloh v systému ANSYS v podobě několika jednoduchých úloh s Hertzovým kontaktem. Třetí částí práce (kapitola 8) je prezentace a analýza provedených výpočtů, jejich srovnání a vyhodnocení.

15

strana 16

2 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí

PROBLEMATIKA PEVNOSTNÍCH VÝPOČTŮ ČELNÍCH OZUBENÝCH SOUKOLÍ

2

2

2.1

2.1 Základní pojmy z oblasti čelních soukolí a jejich zařazení

2.1.1

2.1.1 Ozubené převody Ozubenými převody se převádí otáčivý pohyb a mechanická energie z jednoho hřídele na druhý. Jejich zařazení mezi převody je zobrazeno na obr. 2.1. Používají se pro převody, u kterých se jedná o stálý nebo stupňovitě měnitelný převodový poměr a tam, kde se jedná o malé vzdálenosti os. Převod ozubenými může být jednoduchý nebo složený. Jednoduchý převod sestává z jednoho páru kol, zpravidla z kol malého a velkého průměru, přičemž se menší kolo nazývá pastorkem, větší kolem. U složeného převodu je v záběru více párů ozubených kol než jeden. Dvě spoluzabírající kola se také nazývají jednoduchým soukolím, je-li v záběru více párů kol, soukolím složeným.

PŘEVODY

TVAROVÁ (BEZ SKLUZU)

ŘETĚZOVÝ

ZÁVITOVÝ

OZUBENÝ

IMPULSNÍ

ŘEMENOVÝ

OHEBNÝM ČLENEM

PŘÍMÝ

ELEKTRICKÉ

VAZBA

PŘENOS

MAGNETICKÉ

KOMBINOVANÉ

TŘECÍ (SE SKLUZEM)

PŘÍMÝ

OHEBNÝM ČLENEM

LANOVÝ

MECHANICKÉ

ŘEMENOVÝ

HYDRAULICKÉ

TŘECÍ KOLA

PNEUMATICKÉ

Obr. 2.1 Rozdělení převodů

Ozubená kola se rozdělují zpravidla podle dvou hledisek, jednak podle vzájemné polohy os obou kol a jednak podle tvaru boční křivky zubů, která je průsečnicí boční plochy zubu a roztečnou, valivou anebo jinou souosou plochou ozubeného kola stejného typu (např. s roztečným válcem čelního kola). Podle vzájemné polohy os rozeznáváme soukolí pro osy rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné. Pro osy rovnoběžné se používá čelních soukolí s vnějším nebo vnitřním ozubením. Pro osy různoběžné se používá soukolí kuželových, jejichž úhel os bývá nejčastěji 90°. Pro osy mimoběžné se používají šroubová soukolí, z nich nejčastěji válcová šroubová soukolí, dále pak soukolí šneková a hypoidní.


strana 17

Podle boční křivky zubů mohou být čelní soukolí se zuby přímými, šikmými, šípovými, obloukovými apod., soukolí kuželová se zuby přímými, šikmými, šípovými a zakřivenými.

2.1.1

Převody ozubenými koly mají splňovat tyto požadavky: § při rovnoměrném otáčení hnacího kola se má i hnané kolo otáčet rovnoměrně, čili převodový poměr musí být během jedné otáčky konstantní § na převodový poměr nesmí mít vliv tolerované výrobní úchylky od teoreticky přesné vzdálenosti os hřídelů § ztráty třením a opotřebením zubů mají být co nejmenší Uvedené požadavky mají vliv na volbu profilu zubního boku. Dnes se používá převážně ozubení s evolventními boky zubů, výjimečně ve speciálních případech i cykloidními nebo kruhovými boky. Požadavku stálosti převodového poměru vyhovuje evolventa i cykloida, požadavku na necitlivost k úchylkám od teoretické vzdálenosti os vyhovuje evolventa. Výrobní nástroj je nejjednodušší pro zuby evolventní. Cykloidní zuby zase mají menší opotřebení a nižší ztráty třením. Rozdíly v účinnosti a trvanlivosti ozubení však nejsou velké a nedostatky evolventního ozubení se dají vhodnou korekcí zmírnit. Rozhodující je tedy jednoduchost výroby, takže použití evolventního ozubení převažuje. V této diplomové práci se tedy budu zabývat čelními soukolími s přímými evolventními zuby. V následujících odstavcích budou zopakovány základní pojmy z této oblasti.

2.1.2 Čelní ozubená kola s přímými zuby

2.1.2

Základní vztažnou plochou čelního ozubeného kola je roztečný válec (obr. 2.2), který je u nekorigovaných kol totožný s válcem valivým. Vzájemný pohyb dvou ozubených kol se může nahradit bezskluzovým valením valivých válců po sobě. Ozubení je omezeno hlavovým a patním válcem. Část zubu mezi válcem roztečným a hlavovým se Obr. 2.2 Základní rozměry ozubeného kola nazývá hlavou zubu, část mezi válcem roztečným a patním patou zubu.

17

strana 18

2.1.2


Zubní mezera je omezena hlavovým a patním válcem a dvěma nestejnolehlými boky sousedních zubů. Vzhledem k tomu, že je ozubené kolo útvarem prostorovým a pro jeho vyšetřování je k dispozici pouze útvar rovinný (např. papír), provádí se veškerá vyšetřování v tzv. normálném řezu ozubeným kolem, to je v řezu kolmém na roztečnou boční křivku zubu. Tím se jeví u čelních kol s přímými zuby veškeré souosé válce jako souosé kružnice. Bude-li se tedy v dalším o kružnici roztečné, valivé, hlavové a patní, je třeba mít na mysli, že se ve skutečnosti jedná o válce. Základními rozměry ozubeného kola jsou rozteč p (obr. 2.2), to je vzdálenost dvou stejnolehlých boků sousedních zubů měřená na roztečné kružnici a průměr roztečné kružnice d. Vzájemný vztah mezi průměrem roztečné kružnice d ozubeného kola, mezi počtem zubů z a roztečí p vyplývá z porovnání obvodu roztečné kružnice, vyjádřeného jednou pomocí průměru d, podruhé pomocí rozteče p a počtu zubů z. Odtud π.d = z . p resp. d =

p z π

Poměr mezi roztečí p a π se nazývá modulem ozubení m (nebo také průměrovou roztečí). Hodnoty modulů ozubení jsou normalizovány. Základní rozměry (vše v mm) čelního nekorigovaného ozubení s přímými zuby tedy jsou: průměr roztečné kružnice: d = m.z rozteč: p = π.m teoretická tloušťka zubu a zubové mezery: p s=e= 2 V závislosti na velikosti modulu m se určují i další rozměry běžného ozubení na základě geometrické podobnosti. výška zubu:

h = 2,25m

výška hlavy zubu: ha = m výška paty zubu: h f = 1,25m průměr hlavové kružnice: d a = d + 2ha = mz + 2m = m( z + 2) průměr patní kružnice: d f = d − 2h f = mz − 2.1,25m = m( z − 2,5) 2.1.2.1

2.1.2.1 Podmínky záběru čelních ozubení Aby bylo ozubení vytvořeno po obou stranách roztečné kružnice (obr. 2.3) musí svírat tvořící přímka t ve valivém bodě C (bod na spojnici středů kol, který dělí vzdálenost os v převodovém poměru, resp. tečný dotykový bod roztečných kružnic obou kol) s tečnou k roztečné kružnici tzv. úhel záběru α na roztečné kružnici, který


strana 19

bývá nejčastěji α = 20°. Při odvalování tvořící přímky t po tzv. základní kružnici kb o poloměru rb vytváří bod C evolventu profilu zubu E.

2.1.2.1

průměr základní kružnice: d b [mm ] = d . cos α Zubní bok kola 1 vnějšího ozubení (obr. 2.4) je tvořen evolventou E1, která vznikne valením tvořící přímky t po základní kružnici kb1 a kola 2 evolventou E2, která vznikne valením t po kb2. Vzhledem k tomu, že evolventy E1 a E2 končí na základních kružnicích kb1 a kb2 bude pod těmito kružnicemi tvořen zubní Obr. 2.3 Evolventní profil boku bok přechodovou křivkou, odpovídající přímo tvaru zubu nástroje při výrobě principem dělícím, nebo přechodovou křivkou, odpovídající kinematice odvalování nástroje při principu výroby odvalováním. Tato přechodová křivka přechází zaoblením do patní kružnice. K záběru zubů bude docházet na tvořící přímce, to znamená, že tvořící přímka bude současně drahou záběru evolventního ozubení. Dráha záběru je tedy množinou bodů, ve kterých dochází k záběru. Poněvadž krajní možné body záběru jsou teoreticky na vrcholech zubů na hlavových kružnicích, bude dráha záběru omezena průsečíky hlavových kružnic s tvořící přímkou (body A a E, začátek a konec záběru). V obr. 2.3 jsou také zakresleny tzv. oblouky záběru, to jsou dráhy kol na roztečných kružnicích od počátku do konce záběru jednoho páru zubů. Při tom bude oblouk záběru F1G1, příslušný kolu 1, stejný jako oblouk záběru F2G2, příslušný kolu 2.

Obr. 2.4 Soukolí s vnějším ozubením

Aby mohlo docházet k nepřerušovanému a klidnému záběru, musí být oblouk záběru větší než rozteč. Poměr mezi obloukem záběru a roztečí se nazývá součinitelem záběru profilu εα. F CG F CG ε α [−] = 1 1 = 2 2 p p Pro nekorigované čelní ozubení potom platí:

19

strana 20


2.1.2.1

ε α [−] =

d a21 − d b21 + d a22 − d b22 − 2a. sin α 2πm.cos α

, kde: da1,2 ….. průměry hlavových kružnic pastorku a kola db1,2 ….. průměry základních kružnic pastorku a kola d + d2 a= 1 ….. osová vzdálenost (pro přímé zuby) 2 m …… modul ozubení α …… úhel záběru Součinitel záběru musí být tedy vždy větší než 1. Většinou bývá εα > 1,2, nejméně εαmin = 1,1. Obě evolventy končí na základních kružnicích a záběr tedy nemůže pokračovat za body N1 a N2, ve kterých se tvořící přímka dotýká základních kružnic. Správný záběr je tedy omezen podmínkou, že se koncové body záběru smějí nejvýše shodovat s body N1 a N2 (N1≡E, N2≡A). Tam, kde tato podmínka není splněna, se musí ozubení upravit tzv. korekcí. 2.1.2.2

2.1.2.2 Silové poměry v čelním ozubení Ozubené soukolí vedle přenosu rotačního pohybu přenáší také výkon P. Proto při úhlových rychlostech kol ω1, ω2 působí na kolech točivé kroutící momenty Mk1 a Mk2 (obr. 2.5) Přitom by v ideálním ozubení bez tření bylo: P = M k1ω1 = M k 2 ω 2 , z toho M r ω1 = u = k2 = 2 M k1 r1 ω2 , když

M k1 = Ft r 1 M k 2 = Ft r2

, kde Ft - síla na rozteč. průměru, která je často vstupní jmenovitou hodnotou při dimenzování Obr. 2.5 Silové poměry ve valivém bodě ozubených kol. Při styku ve valivém bodě C nedochází k relativnímu skluzu profilu zubů a proto nevzniká ve styku třecí síla. Proto platí: Fbt =

Ft ; Fr = Ft tgα cos α

Fbt - radiální síla přeložená do středu kola a namáhající hřídel na ohyb a kroutící moment. Leží na přímce záběru. Proto je ve kterémkoliv stykovém bodě kolmá


strana 21

na profily zubů. Vzhledem k tomu, že působí na konstantním rameni rb, je při stálém kroutícím momentu neproměnná v každém stykovém bodě celé dráhy záběru. Je-li záběrová úsečka AE a soukolí pracuje se součinitelem záběru εα > 1, pak v náběhu pastorku na dráze AB budou v záběru 2 páry zubů a stejně ve výběhu pastorku na dráze DE . Na těchto drahách budou v ideálním ozubení (přesném) stykové síly rozděleny rovnoměrně na oba páry zubů, tedy poloviční. Bod B je první stykový bod, kdy začne zabírat jen jeden zub pastorku se zubem kola, proto je nazýván vnitřním bodem osamělého záběru pastorku. Bod D je ve stejném smyslu posledním bodem záběru s názvem vnější bod osamělého záběru pastorku. Obdobná terminologie se používá pro kolo.

2.1.2.2

2.1.2.3 Konstrukce čelních ozubených kol Převodový poměr se volí pokud možno jako poměr dvou nesoudělných čísel, tím dosáhneme rovnoměrnějšího rozložení opotřebení všech zubů, což vede ke snížení vibrací a hlučnosti. Nejvyšší doporučitelná hodnota převodového poměru je závislá na druhu ozubení, na obvodové rychlosti, na způsobu pohonu, na uložení kol a na žádané tichosti chodu. Omezení velikostí převodových poměru vyplývá nejen z vlastností záběru při značných rozdílech velikostí spoluzabírajících kol, ale také z nárůstu rozměrů převodových soukolí vzhledem k nejmenšímu možnému počtu zubů na pastorku. Snahou konstruktéra při navrhování ozubených převodů je dosáhnout co nejmenších rozměrů konstrukce a z toho vyplývající nízké výrobní ceny. Zmenšováním počtu zubů by se dosáhlo snížení kroutících momentů a tím i rozměrů konstrukce, omezení však tvoří průměr hřídele pastorku a požadovaný nejmenší součinitel záběru. Vzhledem k tomu, že záběr ozubených kol je tím příznivější, čím delší je dráha záběru a tedy čím větší je počet zubů, volí se u motorického pohonu počet zubů pastorku raději větší, než nejmenší počty zubů dosažitelné korigováním. Na ozubená kola se používá mnoho kombinací materiálů. Většina se jich vyrábí z ocele a litiny, v posledních letech u některých zařízení tvrzených plastů. Jejich konstrukční provedení je závislé na velikosti kola, na počtu vyráběných kusů, na obvodové rychlosti apod.

2.1.2.3

Výše uvedené informace slouží pro zopakování základních pojmů v oblasti čelních soukolí a jako teoretický úvod pro problémy, kterými se zabývá tato diplomová práce. Podrobnější teoretické informace o geometrii a kinematice ozubení, jejich korekcích, nestandardních profilech apod. lze nalézt v literatuře |3| v kapitole 8.1.1 Kinematika čelních a kuželových soukolí, v literatuře |1| nebo podobné odborné zaměřené literatuře.

2.2 Pevnostní výpočet čelních ozubených soukolí

2.2

Při běhu ozubeného soukolí pod zatížením vznikají v ozubení různé druhy namáhání, která mohou vést k poškození ozubení. Překročení mezní hodnoty únosnosti v ohybu při namáhání paty zubu vede k lomu zubu, překročení mezní hodnoty kontaktního napětí při namáhání boků zubů v dotyku vede k únavovému kontaktnímu porušení, tzv. dolíčkovitému opotřebení (pittingu – obr. 2.6).

21

strana 22


Rozměry, materiál, přesnost ozubení, mazání atd. musí být navrženy tak, aby během požadovaného života nedošlo k žádné poruše. Výpočet únosnosti ozubeného kola vychází nejčastěji ze stanovení namáhání boků zubů a srovnávacích napětí v patě zubu. Výpočty tohoto typu jsou normalizovány. Ostatní typy poškození (opotřebení, zadírání) nemají únavový charakter a výpočet není běžně normalizován.

2.2

Obr. 2.6 Ukázka pittingu zubů

V následujících odstavcích budou zmíněny základní postupy pro výpočet napětí v dotyku a ohybu dle užívaných norem, které vycházejí ze stejných principů (ČSN, DIN, ISO). Cílem popisu výpočtů bude především vysvětlení principů, na kterých jsou výpočty napětí založeny, s důrazem na objasnění postupů normy ČSN, která bude v této diplomové práci využita. Pro konkrétní aplikace je třeba plně využít normy nebo počítačových programů odvozených z norem, pro které se řešitel rozhodne. 2.2.1

2.2.1 Výpočet napětí v dotyku Výpočet napětí v dotyku (dle ČSN, DIN, ISO) vychází z výpočtu Hertzova tlaku, který byl původně vyjádřen pro shodné Poissonovo číslo µ = 0,3 vztahem

[

]

F 2 E1 .E 2 σ 2H MPa 2 = 0,175 n b E1 + E2

 1 1   +   ρ1 ρ 2 

dle schématu na obr. 2.7, kde Obr. 2.7 Dotyk dvou válců

σ H [MPa ] …... Hertzův tlak mezi dvěma válci Fn [N ] ………. normálná síla E1 , E 2 [MPa ] ... modul pružnosti materiálu válců ρ1 ,ρ 2 [mm] ….. poloměry křivosti válců b [mm] ………. společná šířka válců Dle obr. 2.8 je dotyk dvou válců transformován do podoby dotyku válce o poloměru ρe s rovinou na základě podmínky, že vzdálenost válců y při odlehlosti od středu dotyku x je shodná. Pak lze poloměry křivosti dvou válců nahradit ekvivalentním poloměrem dle vztahu


strana 23

ρ + ρ2 1 1 1 + = 1 = ρ1 ρ 2 ρ1 .ρ 2 ρe

2.2.1

Když oba válce budou ze stejného materiálu, nabude výše uvedený výraz tvaru

[

]

F 1 σ 2H MPa 2 = 0,175 E n b ρe

Obr. 2.8 Dotyk válce s rovinou

Poloměry křivosti ρ1, ρ2 se v bodě dotyku X (obr. 2.9) během záběru ozubeného kola mění s tím, že jejich součet je konstantní. Na obr. 2.10 je uveden příklad změny poloměru křivosti v jednotlivých bodech na záběrové úsečce. Jako 100% byl vzat Hertzův tlak ve valivém bodě C. Pro výpočet Hertzova tlaku u ozubených soukolí je tedy třeba stanovit, ve kterém bodě dotyku na záběrové úsečce se má napětí v dotyku počítat. Výpočtové napětí v dotyku (Hertzův tlak) v rozhodujícím bodě záběru vypočteme podle ČSN 01 4686 na základě vztahu, který je Obr. 2.9 Poloměry křivosti v bodě záběru transformací uvedeného vztahu pro ozubená kola. σ H [MPa ] = Z E .Z H .Z ε .Z β .Z B , D .

FtH .K H u + 1 . bwH .d1 u

Obr. 2.10 Body záběru soukolí

Srovnání těchto dvou vztahů vyplývá z tabulky 2.1. Z uvedeného srovnání je zřejmé, že výpočet Hertzových tlaků u ozubených kol zcela odpovídá původně odvozenému výrazu s tím, že definice jednotlivých činitelů ve vztahu dle ČSN je upravena podle specifických poměrů v záběru ozubených kol. Jednotlivé činitele jsou definovány v normách ČSN, DIN, ISO. Uvedený výraz je ve všech citovaných normách v podstatě shodný.

23

strana 24

2.2.1


Tab. 2.1 Srovnání vztahů

zahrnutí normálná vlivu zatěžovací materiálu síla [N] [MPa] výraz dle Hertze

0,175 E

Fn

upravený výraz dle ČSN

Z E2

FtH .K H cos α t

vliv poloměrů křivosti [1/mm]

šířka dotyku [1/mm]

1 ρe

1 b

(Z H .Z B ,D )2 . 1 . u + 1 .cos α t (Z ε .Zβ )2 . d1

u

1 bwH

§ FtH - Směrodatná obvodová síla v [N] pro výpočet napětí v dotyku, její hodnota závisí na použité normě a zvoleném způsobu jejího stanovení (např. ČSN – způsoby A – E). Nejběžnější vztah pro výpočet obvodové síly (zde pro pastorek): FtH [N ] =

2000T1 d1

§ KH - Součinitel přídavných zatížení pro výpočet napětí v dotyku K H [−] = K A .K Hv .K Hα .K Hβ , kde KA ….. Součinitel vnějších dynamických sil, zohledňuje dynamické provozní zatížení dle užití převodu. Pohybuje se v rozmezí hodnot od 1 do 2,25. Lze vyhledat pro určité hnací a hnané stroje (např. hnací stoje - elektromotory, spalovací motory, turbíny a hnané stroje – čerpadla, lisy, obráběcí stroje apod.) KHv ……. Součinitel vnitřních dynamických sil pro výpočet na dotyk, tímto jsou ve výpočtu zubů na dotyk respektovány přídavné dynamické síly, které vznikají v ozubení v důsledku jeho nepřesnosti, jeho proměnné tuhosti během záběru zubů apod. Počítá se v závislosti na parametrech soukolí dle dynamických modelů zpracovaných pro daný pohon nebo zjednodušených výpočtů dle příslušných norem. Závisí na součinitelích εα a εβ, stupni přesnosti, obvodové rychlosti, převodu, šířkovém zatížení, součiniteli KA. KHα …… Součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů pro výpočet napětí v dotyku, respektuje vliv nerovnoměrnosti v rozdělení celkového zatížení na několik současně zabírajících párů zubů na Hertzův tlak. Je definován jako poměr největší síly působící při téměř nulových otáčkách v místě záběru uvažovaného soukolí a odpovídající největší síly v místě záběru soukolí ideálně přesného. Rozdělení celkového zatížení je závislé na geometrických parametrech, úchylkách ozubení a jeho záběhu, dále na modifikaci boků zubů, na záběrové tuhosti


strana 25

ozubení, na směrodatné obvodové síle a na pásmu dotyku zatížených boků zubů. Při optimální modifikaci boků zubů (přizpůsobené působícímu zatížení), vysoké přesnosti ozubení, rovnoměrném zatížení se součinitel blíží jedné. KHβ ……. Součinitel nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce pro výpočet napětí v dotyku, tímto součinitelem do výpočtu zahrneme okolnost, že měrné zatížení (tj. celkové působící zatížení vztažené na jednotku šířky zubu) není po celé aktivní ploše zubů rozloženo rovnoměrně. Přitom se uvažuje takové rozložení měrného zatížení, při kterém toto podél dotykových křivek směrem od jednoho čela zubu ke druhému buď trvale vzrůstá, nebo naopak trvale klesá. Součinitelem se tedy nerespektují jiné úchylky a nedostatky (konstrukční, výrobní atd.), které způsobují kolísání měrného zatížení po šířce zubu (jako např. vlnitost zubů). Dle ČSN je definován jako poměr největší (místní) síly působící na jednotku šířky zubu wmax a průměrné síly působící na jednotku šířky zubu wm, tedy w K Hβ = max wm Zjednodušeně lze říci, že součinitele KA a KHv patří k silovému působení a součinitele KHα a KHβ patří spíše k popisu tvarových vlastností zubů (vliv geometrie, tuhosti, přesnosti). Součinitele KHv, KHα a KHβ jsou závislé na velikosti zatížení daného součinem Ft.KA. Z definicí jednotlivých součinitelů pak plyne následující pořadí jejich stanovení: KHv se odvozuje od síly KHβ se odvozuje od síly KHα se odvozuje od síly

Ft.KA Ft.KA.KHv Ft.KA.KHv. KHβ

Stanovení součinitelů KHα a KHβ je tedy trochu závislé na způsobu výpočtu směrodatné síly Ft a součinitelů dynamických sil KA a KHv. Správné určení součinitelů je značně komplikované i pro nemodifikovaný tvar zubu vyrobený se standardním základním profilem. S použitím nestandardního základního profilu a modifikovaných tvarů zubů se většinou ve výpočtových normách nepočítá. § bwH - Pracovní (aktivní) šířka ozubení v [mm] pro výpočet na dotyk (příklady na obr. 2.11)

Obr. 2.11 Pracovní šířka ozubení

25

2.2.1

strana 26

2.2.1


§ d1 - Průměr roztečné kružnice pastorku [mm] § u - Absolutní hodnota převodového poměru počítaného soukolí (z1/z2 > 1) § ZE - Součinitel mechanických vlastností materiálu spoluzabírajících kol. Pro 2 kola ze stejných materiálů (stejný modul E a stejné Poissonovo číslo µ) platí dle ČSN vztah Z E MPa = 0,175 E

[

]

§ ZH - Součinitel tvaru spoluzabírajících zubů ve valivém bodě se v normách ČSN, DIN, ISO uvádí bezrozměrnou hodnotou dle vztahu Z H [− ] =

2 cos β b 1 . cos α t tgα tw

Pro čelní soukolí s přímými zuby platí, že βb = 0 a αt = αtw = α § Zε - Součinitel součtové délky dotykových křivek boků zubů Z ε [− ] =

εβ 4 − εα . 1 − εβ + 3 εα

(

)

Pro přímé zuby (εβ = 0) nabývá výraz tvaru Z ε [− ] =

4 − εα 3

§ Zβ - Součinitel vlivu sklonu zubu. Dle ČSN 01 4686 část 1 respektuje tu část vlivu úhlu sklonu zubu, která není plně pokryta ostatními součiniteli. Dle DIN a ISO je definován jednoduše dle výrazu Z β [− ] = cos β § ZB,D - Součinitele jednopárového záběru ZB a ZD slouží u přímého ozubení pro přepočet napětí v dotyku (Hertzova tlaku) ve valivém bodě C do vnitřního bodu jednopárového záběru pastorku B, nebo kola D, je-li ZB > 1 nebo ZD > 1. Hodnotu ZD je obvykle nutno určovat pouze u soukolí s i < 1,5. Při větších převodových číslech je obvykle ZD < 1, takže rozhoduje Hertzův tlak ve valivém bodě a do výrazu pro σH se dosazuje ZD. Stanovení hodnoty součinitele záleží na použité normě. 2.2.2

2.2.2 Výpočet napětí v ohybu Základní model výpočtu napětí v patě zubu vyplývá z představy ohybového namáhání pevně vetknutého nosníku silou dle schématu na obr. 2.12. Ohybové napětí v místě vetknutí nosníku se vypočte ze vztahu


σo =

F .h 1 2 s .b 6

=

strana 27

h F F .6 = .Y 2 b b s

2.2.2

Tento výraz v podstatě tvoří základ pro výpočet napětí v patě zubu. Aplikace tohoto modelu pro soukolí s evolventním ozubením prodělala historický vývoj, který spočíval podle obr. 2.13 Obr. 2.12 Ohyb vetknut. v řešení těchto základních otázek: nosníku

§

§

§

ve stanovení šířky nebezpečného průřezu SF - SF ≈ 2m (Bach, Kutzbach) - parabola konstantní pevnosti (Lewis, Meritt, Tuplin, Nieman, BSI, původní ČSN) - tečna 30° k přechodové křivce (ISO, DIN, ČSN od r. 1980) ve stanovení působiště síly - na hlavě zubu (bod A s přepočtem ramene hF – ČSN, ISO, DIN metoda C) - ve vnějším bodě osamělého záběru (bod B – Nieman, Meritt, BSI, DIN a ISO metoda B) v zahrnutí ohybového, tlakového a smykového napětí - σo (ISO, DIN, ČSN) - σo ± σT (Meritt, Tuplin, BSI) -

(σ o − σT )2 + K .τ 2

(Nieman)

Obr. 2.13 Ohybový model

Další principiální otázkou je zahrnutí koncentrace napětí v patě zubu do výpočtu napětí. V platných výpočtových postupech dle ČSN, ISO, DIN metoda C se provádí výpočet napětí v ohybu dle vztahu F .K σ F [MPa ] = tF F .YFa .YSa .YSarel .Yβ .Yε bwF .m Srovnání tohoto vztahu se základní představou ohybového napětí dle výše uvedeného výrazu se nachází v tab. 2.3, která je obdobou tab. 2.2. Z něho plyne, že výpočet napětí v patě zubu víceméně odpovídá ohybovému namáhání zubu s tím, že se zanedbává vliv tlakového napětí (σT) od radiální síly a vliv smykového napětí (τ) dle obr. 2.13. Toto zanedbání je založeno na předpokladu, že na tahové straně zubu od ohybového momentu se zmenšuje tahové napětí, a tím se z větší části eliminuje vliv smykového napětí. Proti základnímu Obr. 2.14 Místní napětí v patě zubu modelu se v normách uvažuje vliv koncentrace napětí

27

strana 28

2.2.2


v patě zubu. Tím se přešlo v posledních úpravách norem z tzv. porovnávacího napětí v patě zubu na místní napětí. Které lze schematicky vyjádřit průběhem dle obr. 2.14 pro průběh napětí bez přídavného vrubu. Zjednodušeně lze říci, že průběh porovnávacího ohybového napětí je vyjádřen součinitelem YFa a vliv koncentrace napětí v patě zubu je vyjádřen součinitelem YSa. Vlivem finálního opracování dochází k místnímu zvýšení koncentrace napětí, které je vyjádřeno součinitelem přídavného vrubu v patě YSarel. Jednotlivé činitele ve vztahu si definuje každá norma, dále budou částečně popsány. Tab. 2.2 Srovnání vztahů

zatěžovací síla [N] základní model ohybového namáhání

F

upravený výraz dle ČSN

FtF .K F .Yε

vliv tvaru zubu [1/mm] 6

h s

2

YFa m

vliv koncentrace napětí v patě zubu [-]

šířka zubu [1/mm]

neuvažuje se

1 b

YSa .YSarel

Yβ bwF

§ FtF - Směrodatná obvodová síla v [N] pro výpočet na ohyb, její hodnota závisí na použité normě a zvoleném způsobu jejího stanovení (např. ČSN – způsoby A – E), může se shodovat s obvodovou silou pro výpočet na dotyk (ČSN způsob A - vztah viz výše v podkapitole 2.2.1 na straně 24) § KF - Součinitel přídavných zatížení pro výpočet na ohyb, vychází ze stejných principů jako součinitel KH, ve výpočtu na ohyb tedy respektuje přídavné dynamické síly, liší se způsobem určení jednotlivých koeficientů K F [−] = K A .K Fv .K Fα .K Fβ , kde KA …..... Součinitel vnějších dynamických sil KFv ….... Součinitel vnitřních dynamických sil pro výpočet na ohyb KFα ….... Součinitel podílu zatížení zubů jednotlivých zubů pro výpočet na ohyb KFβ ….... Součinitel nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce pro výpočet na ohyb Popis principu a vlastností těchto součinitelů lze nalézt na straně 24 – 25, v podstatě odpovídá popisu součinitelů pro výpočet na dotyk. Součinitel KA je v obou případech shodný, u ostatních je rozdíl v aplikaci buďto na dotyk nebo na ohyb a ve značení (index H – dotyk a index F – ohyb) § bwF - pracovní (aktivní) šířka zubů kola v [mm] pro výpočet na ohyb (příklady na obr. 2.15)


strana 29

2.2.2

Obr. 2.15 Pracovní šířka ozubení pro ohyb

§

m – Modul ozubení (pro šikmé zuby normálný modul mn)

§ YFa - Součinitel tvaru zubu při působení síly na hlavě zubu, lze jej určit dle vzorce hFa . cos α Fan mn YFa [−] = 6 2  S Fn    . cos α n  mn  Význam veličin vystupujích ve vztahu je vidět na obr. 2.16, výpočet těchto hodnot je popsán např. v normě ČSN. Pro vybrané nejběžnější tvary zubů základního profilu Obr. 2.16 Normálný řez zubem můžeme tento součinitel určit graficky v závislosti na posunutí profilu kola x a virtuálním počtu zubů zv. Přesný postup závisí na zvolené normě. Výpočet se však v současné době provádí téměř výhradně na počítači. V normě se uvádí platnost výše uvedeného vzorce pouze pro εαv ≤ 2, za předpokladu, že zub nebude podřezán a že není špičatý jej lze použít i pro soukolí s εα > 2. § YSa – Součinitel koncentrace napětí při záběru na hlavě zubu, tento součinitel byl stanoven empiricky na základě detailních analýz. Lze jej stanovit i graficky. Průběh YSa je závislý na šířce nebezpečného průřezu SFn dle obr. 2.15 a poloměru křivosti přechodové křivky v místě dotyku tečny 30° podle vztahu s YSa [− ] = 1,22 Fn ρ Fn § YFS - Součinitel tvaru zubu a koncentrace napětí, stanovuje se jako součin YFS [− ] = YFa .YSa Vztah platí pro kola frézovaná. Norma ISO uvádí empirický vztah pro výpočet YFS pro kola se základním profilem a norma DIN stanovuje tento součinitel pro základní profil graficky.

29

strana 30

2.2.2


§ YSarel - Součinitel přídavného vrubu v patě zubu. Zejména u broušených soukolí se zvyšuje přechodová křivka brusného kotouče resp. konec broušení se vyskytuje v blízkosti nebezpečného průřezu. Velikost tohoto součinitele je ve všech normách definována shodně dle vztahu 1,3 <2 YSarel [− ] = tg 1,3 − 0 ,6 ρg Obr. 2.17 Součinitel YSarel

Součinitel tedy závisí na přídavku na broušení tg a poloměru ρg (viz obr. 2.17), který je dán poloměrem hrany brusného kotouče a technologií broušení. Je-li hodnota vzdálenosti xB dostatečná (cca > 0,1mn), není nutno tento součinitel zohledňovat. § Yβ - Součinitel sklonu zubu, tímto součinitelem respektujeme rozdíl v namáhání paty zubu mezi reálným soukolím se šikmými zuby a náhradním soukolím s virtuálním počtem přímých zubů, pro které se výpočet provádí. Tím se zahrnuje vliv linie dotyku reálného soukolí se šikmými zuby, která probíhá šikmo po bocích zubů na namáhání v patě zubu. Hodnota Yβ se pohybuje v rozmezí 0,75-1 a vypočte se dle vztahu Yβ [−] = 1 − ε β

β 120°

, kde β je úhel sklonu zubů a εβ trvání záběru krokem. Pro přímé zuby je tedy tento součinitel roven nule. § Yε - Součinitel vlivu záběru profilu. Tímto součinitelem se přepočítává působiště normálné síly z bodů A, E na hlavě zubů do vnějšího bodu osamělého záběru (body B, D) virtuálního soukolí s εα < 2. V ČSN je hodnota součinitele dána vztahy Yε [− ] = 0,2 +

0 ,8 1 pro εβ < 1 ; Yε [− ] = pro εβ ≥ 1 εα εα

Normy DIN a ISO používají vztah odlišný, jinak také musíme uvažovat pokud εα ≥ 2. Pro εα = 2 body A a B splynou a platí Yε = 0,5 = 1/εα. Podrobnější informace o principech pevnostních výpočtů a určení součinitelů jsou uvedeny například v literatuře |1| v kapitolách 4. Rychlosti a síly mezi boky zubů čelního ozubeného soukolí, 5. Provozní zatížení ozubených kol a 7. Výpočet napětí u ozubených kol, v literatuře |3| v kapitole 8.1.2. Pevnostní výpočet čelních a kuželových soukolí a především také v samotných normách, které obsahují pevnostní výpočet čelních soukolí.


strana 31

2.2.3 Pevnostní výpočty dle normy

2.2.3

Z principů a vztahů uvedených v kapitolách 2.2.1 a 2.2.2 vychází většina platných norem. Pomocí těchto se provádí pevnostní výpočty ozubení v praxi. V našem regionu jsou nejčastěji používány normy ČSN 01 4686 (Česká státní norma), DIN 3990 (Deutsches Institut für Normung) či norma ISO (International Organization for Standardization) Norma ČSN 01 4686 Pevnostní výpočet čelních a kuželových ozubených kol z roku 1988 má 5 částí. Samotný pevnostní výpočet se nachází v 3. (Kontrolní výpočet čelních ozubených kol) a 4. části (Návrhový a zjednodušený kontrolní výpočet čelních ozubených kol). Třetí část obsahuje kompletní výpočet, část čtvrtá potom, jak je patrné z názvu, poněkud zjednodušený výpočet, který nedosahuje takové přesnosti, pro jednoduché nemodifikované soukolí však dostatečný. V současné době se již většinou používají normy zpracované do počítačových programů. Na trhu se vyskytuje velké množství produktů od malých specializovaných „prográmků“ až po pevnostní výpočty jako součásti komplexních automatizovaných návrhů ozubených převodů v nástavbách velkých CAD systémů.

31

strana 32

3 Metoda konečných prvků a její využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí

3

3

METODA KONEČNÝCH PRVKŮ A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI PEVNOSTNÍCH VÝPOČTECH ČELNÍCH SOUKOLÍ

3.1

3.1 Využití metody konečných prvků při pevnostních výpočtech čelních soukolí Výpočet napětí v dotyku i ohybu, který byl popsán v kapitole 2, je ve své podstatě výpočet smluvní. Řada součinitelů byla stanovena empiricky pro základní profil. Na druhé straně prodělala tato metoda pevnostního výpočtu dlouholetý vývoj a je podepřena rozsáhlými zkušenostmi a experimenty. V technické praxi se však vyskytují případy, kdy užití standardních výpočtů může vzbudit u uživatele oprávněné obavy o věrohodnost výsledků. Potom je tedy vhodné použít výpočtu, který vychází z jiných základů a lze jím lépe postihnout odlišnosti od tvaru zubu a tělesa ozubeného kola proti předpokladům, daných příslušnými standardy. K tomu je mimořádně vhodná metoda konečných prvků (MKP), kterou lze doporučit především v těchto případech: § § § § §

Tvar zubů soukolí se výrazně odlišuje od standardu (výška zubu, úhel, modifikace příčná i podélná) Tvar kola neodpovídá předpokladům, za kterých byly realizovány zkoušky při tvorbě norem (například slabý věnec) Stav napjatosti v patě zubu je ovlivněn konstrukčními vruby, které souvisejí například se zástavbou ozubeného kola Soukolí musí být naprosto bezpečně dimenzováno, protože na jeho funkci závisejí lidské životy (např. raketová a letecká technika, zvedací zařízení atd.) nebo když by havárie způsobila nedozírné škody Vysoká sériovost nebo cena umožní realizovat poměrně nákladný postup výpočtu, náročný na počítačové vybavení

Metodu lze však samozřejmě užít na tvarově jednoduchá ozubení standardního profilu. S využitím MKP by měly v budoucnu počítat i normy pevnostních výpočtů.

3.2

3.2 Základní principy metody konečných prvků Hlavní část diplomové práce se zabývá deformačně-napěťovou analýzou čelního soukolí numerickým přístupem. K řešení byla použita metoda konečných prvků. Tato numerická metoda byla vyvinuta jako inženýrská metoda pro řešení problémů pružnosti v kosmickém a jaderném inženýrství v padesátých letech. Rozvoj MKP souvisí s nástupem počítačových technologií, které jsou ideální k numerickým výpočtům. MKP vychází z variačního principu. Je-li použito deformační varianty MKP je východiskem Langrangeův variační princip, kde nezávislými funkcemi pružnosti jsou posuvy. Můžeme jej formulovat následovně: „Mezi všemi funkcemi posuvů, které zachovávají spojitost tělesa a splňují geometrické okrajové podmínky, se realizují ty, které udílejí celkové potenciální energii Π stacionární hodnotu.“

3 Metoda konečných prvků a jejich využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí

strana 33

Lze dokázat, že uvedená stacionární hodnota existuje, je jednoznačná a představuje zároveň minimum Π. Π lze vyjádřit jako Π =W − P , kde W je energie napjatosti tělesa W =

1 T ∫ σ .ε.dV 2Ω

a P je potenciál vnějšího zatížení P = ∫ u T .o.dV + ∫ u T .p.dS Ω

Γp

V uvedených vztazích vystupují sloupcové matice §

posuvů

uT = [ u ,v, w ]

§

přetvoření

ε T = [ ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ]

§

napětí

σ T = [ σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx ]

§

objemového zatížení o T = [ o x , o y , o z ]

§

plošného zatížení

pT = [ p x , p y , p z ]

Základní myšlenkou je diskretizace spojitého problému. Obecně je však Π závislé na spojitých funkcích u, v, w, z nichž každá reprezentuje nekonečné množství hodnot v nekonečně mnoha bodech řešené oblasti. Abychom úlohu mohli řešit numericky, je nutno každou z funkcí vyjádřit v závislosti na konečném počtu parametrů. V MKP se aproximační funkce posuvů vyjadřují přibližně jako součet předem daných, ~ , označovaných jako bázové funkce. Ty jsou násobeny známých funkcí u~i , v~ j , w k neznámými koeficienty: l

u = ∑ ai .u~i ;v = i =1

m

∑ b j .~v j ;w =

j =1

n

∑ ck .w~k

k =1

Dosazením této aproximace do výrazu pro celkovou potenciální energii přejdeme od vyjádření funkcionálu Π (u,v,w), závislého na funkcích, k vyjádření Π (a1,a2,a3, ...), závislému na konečném počtu parametrů. Podmínka stacionární hodnoty Π vede pak na soustavu rovnic pro určení těchto neznámých parametrů: ∂Π  = 0 ∂ a1  M  → a1 , a 2 ,K, c n ∂Π = 0  ∂c n  Řešením soustavy získáme parametry a1, a2, a3, ... a tím i aproximace hledaných funkcí posuvů. Uvedený obrat je společný více numerickým metodám, pro MKP je

33

3.2

strana 34

3 Metoda konečných prvků a její využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí

3.2

typický způsob konstrukce bázových funkcí, které jsou definovány vždy jen na malé podoblasti řešeného tělesa.

3.3

3.3 Výpočtový systém Pro numerické výpočty byl zvolen konečnoprvkový programový systém ANSYS Multiphysics, verze 8.1. Jedná se o velký výpočtový systém, který nabízí plnou kontrolu nad problémem i pro náročné úlohy. Systém umožňuje řešit kromě strukturálních problémů také teplotní analýzy, akustické problémy, elektromagnetická pole a proudění. U strukturálních problémů lze řešit jak lineární, tak i nelineární úlohy (geometrická nelinearita, materiálová nelinearita, kontakt). Základní struktura ANSYSu: § § §

Preprocessing – slouží k vytvoření geometrického modelu, zadání jeho mechanických charakteristik a dále pro tvorbu konečnoprvkové sítě na geometrickém modelu. Solution – zde se zadávají počáteční a okrajové podmínky (vazby, zatížení) modelu, výběr a nastavení řešiče a provádí se zde samotný výpočet. Postprocessing – umožňuje analyzovat výpočet, poskytuje výstupy řešení prostřednictvím tabulek, grafů, obrázků a animací.

Proces řešení z hlediska rychlosti výpočtu je silně závislý na výkonu výpočetní techniky. Doba lineárního řešení se řídí pouze hustotou konečnoprvkové sítě. Je-li síť příliš jemná je řešení přesnější, ale doba výpočtu je delší. Doba výpočtu se několikanásobně prodlouží u nelineárního řešení, které může být způsobeno geometrickou nelinearitou, materiálovou nelinearitou a kontaktem. 3.3.1

3.3.1 Lineární řešení Při řešení lineárních úloh se nevyskytují žádné komplikace, protože je vždy zaručena existence a jednoznačnost řešení. Přesnost řešení lze zvýšit zjemněním konečnoprvkové sítě, úměrně tomu se však zvyšuje doba výpočtu.

3.3.2

3.3.2 Nelineární řešení Pro správné vyřešení nelineární úlohy musíme zajistit její konvergenci. Na rozdíl od úloh lineárních zde není zaručena existence ani jednoznačnost řešení. Pokud úloha nekonverguje, příčina nemusí být u nás, ale fyzikálně přípustné řešení neexistuje. Konvergenci úlohy ovlivňuje typ nelineární úlohy a použité metody. U nelineárních úloh je zatížení rozloženo do několika přírůstků. Na konci každého vyřešeného přírůstku zatížení dojde k aktualizaci matice tuhosti, a to tak, aby nová matice tuhosti postihla změny v důsledku nelinearit. Mezi metody řešení patří: metoda přímé iterace a Newton-Raphsonova metoda, která používá vyvažující iterace. Newton-Raphsonova (N-R) metoda je trojího typu: úplná N-R metoda, kde si v každé iteraci vytváří novou matici tuhosti, modifikovaná N-R metoda, která

3 Metoda konečných prvků a jejich využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí

strana 35

používá pouze počáteční matici tuhosti, kombinace obou předchozích typů je N-R je aktualizace matice tuhosti jen občas.

3.3.2

3.3.2.1 Kontaktní úlohy Kontaktní úlohy způsobují vysokou nelinearitu řešení, jehož doba výpočtu se oproti lineárnímu řešení několikanásobně prodlužuje. Při modelování kontaktu se používá speciálních kontaktních prvků, které se vkládají mezi stýkající se povrchy (na stykové plochy). Prvky si hlídají kinematické relace mezi posuvy a na základě změny posuvů se skokově mění tuhost takového prvku. Mohou nastat dva případy: buď je kontakt otevřený – povrchy jsou v kontaktu nebo je kontakt uzavřený – povrchy nejsou v kontaktu. O tom jaký nastane případ rozhoduje tzv. kontaktní tuhost KN, která významně ovlivňuje konvergenci řešení kontaktní úlohy. Určení správné velikosti KN je velice problematické a ne vždy se ji podaří stanovit ihned. Kontaktní tuhost má také vliv na přesnost výpočtu. Nejideálnější pro přesnost výpočtu je stanovit kontaktní tuhost co největší, tak aby ještě úloha konvergovala. Vysoká kontaktní tuhost způsobí, že výpočet bude příliš pomalý. Je-li kontaktní tuhost příliš malá, výpočet probíhá rychleji, ale dochází k prostupu (penetraci) těles. Důsledkem toho je výpočet nepřesný. Zvolíme-li kontaktní tuhost velmi vysokou, řešení bude divergovat. Vyspělé řešiče, které obsahují novější verze systému ANSYS, již však dokáží s kontaktní tuhostí pracovat automaticky bez nutnosti většího zásahu uživatele. Na konvergenci kontaktní úlohy má také vliv volba pokroků (substep) a vyvažujících iterací. Zvyšováním velikosti pokroků a vyvažujících iterací se zlepší konvergence úlohy, ale výpočet trvá déle.

3.3.2.1

35

strana 36

4 Formulace problému a cíle diplomové práce

4

4

FORMULACE PROBLÉMU A CÍLE DIPLOMOVÉ PRÁCE

4.1

4.1 Formulace problému Diplomová práce se zabývá pevnostními výpočty čelních soukolí. Zejména pak problematikou deformačně napěťové analýzy zadaného čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP se zaměřením na únosnost boků zubů v dotyku a pat zubů v ohybu. Cílem diplomové práce je vytvoření vhodného postupu tvorby výpočtového modelu, nastavení parametrů samotného výpočtu a srovnání numerického přístupu pomocí MKP s analytickým dle normy ČSN. Problematika numerického řešení kontaktních úloh v systému ANSYS byla zvládnuta na několika jednoduchých úlohách s Hertzovým kontaktem, výsledky jsou srovnány s analytickým řešením dle Hertzových vztahů. Úlohy jsou řešeny ve 2D, výhodně lze totiž využít rotační (osové) symetrie či možnost zvolit druh problému (rovinná deformace, rovinná napjatost, rovinná napjatost s tloušťkou). Pro deformačně napěťovou analýzu ozubení bylo zvoleno soukolí se základním profilem (přímé evolventní symetrické zuby). Pro následné srovnání numerického výpočtu s analytickým dle normy je to výhodné, protože pevnostní výpočet dle normy je pro základní profil dobře zvládnut a můžeme tedy porovnávat numerický výpočet s odpovídajícími hodnotami. Pro analytický výpočet bude použita norma ČSN 01 4686, část 4. - Návrhový a zjednodušený kontrolní výpočet čelních ozubených kol. Tato část obsahuje zkrácený pevnostní výpočet, který je však pro naši aplikaci dostačující. Důležitým momentem při tvorbě výpočtového modelu je tvorba geometrie zubu. Profil musí odpovídat skutečnému základnímu profilu pro zadané soukolí. Správným výsledkům musí předcházet také odpovídající zatížení kroutícím momentem a použití vhodných vazeb. Při vlastním výpočtu bude použita statická deformačně napěťová analýza, která neuvažuje rychlé dynamické děje při zatěžování soukolí (např. rozjezd). Pro analýzu únosnosti zubů bylo vytvořeno několik modelů. Pro 2D úlohy modely tři – soukolí v poloze, kdy dochází k záběru ve valivém bodě a také modely soukolí na počátku a na konci záběru. A pro 3D úlohy pak model soukolí v poloze, kdy dochází k záběru ve valivém bodě. Řešení deformačně napěťové analýzy pomocí MKP lze rozdělit do těchto částí: 1. Analýza a stanovení vstupních údajů § Vytvoření modelu geometrie (včetně importu základního profilu) § Určení materiálových charakteristik § Stanovení vazeb soustavy § Stanovení zatížení soustavy § Výběr prvků a vytvoření konečnoprvkové sítě 2. Proces řešení § Výběr vhodného řešiče a nastavení jeho parametrů § Nelineární řešení (kontaktní úlohy) 3. Analýza výsledků § Vyhodnocení jednotlivých variant řešení § Stanovení závěrů

4 Formulace problému a cíle diplomové práce

strana 37

4.2 Parametry zadaného čelního soukolí

4.2

Zadané výchozí parametry převodu vychází z prvního stupně dvoustupňové převodovky, jež je součástí jednotky převodového motoru od firmy SewEurodrive (obr. 4.1). Jedná se o převodovou skříň, kterou řeší studenti druhých ročníků v rámci výuky na FSI. Nejdůležitější modifikací parametrů oproti skutečnému převodu, který se nachází v převodovém motoru, je, že se bude jednat o zuby přímé. Což by v praxi pro tento převod nebylo nejvhodnější, ale Obr. 4.1 Převodový motor Sew-Eurodrive pro naši aplikaci je to změna možná. Jedná se tedy o čelní soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby. Předmětem této diplomové práce není úplný návrh převodovky, ale pouze pevnostní výpočet jednoho převodového stupně. Kromě základních parametrů nutných pro celkový návrh, byly zadány i další parametry, určené v návrhu. Zadané výchozí parametry čelního soukolí: § § § § § § § §

Vstupní otáčky - n1 = 1410 min −1 Převodový poměr - u = 1,611 Výkon - P = 1,5kW Očekávaný provozní faktor - f B = K A = 1,85 Počet zubů pastorku - z1 = 18 Aktivní šířka ozubení - bw = 15,9mm Modul ozubení - m = 1,75mm Úhel profilu zubu - α = 20°

Pomocí těchto parametrů jsem schopen jednoznačně určit geometrii základního profilu ozubení a poté také provést pevnostní výpočet z hlediska únosnosti v dotyku a v ohybu.

37

strana 38

5

5 Pevnostní výpočet zadaného soukolí dle normy ČSN

5

PEVNOSTNÍ VÝPOČET ZADANÉHO SOUKOLÍ DLE NORMY ČSN

Problematika geometrie čelních soukolí a principy pevnostních výpočtů ozubení byly popsány v kapitole 2. Pevnostní výpočet zadaného čelního soukolí byl proveden pomocí normy ČSN 01 4686 - Pevnostní výpočet čelních a kuželových ozubených kol, použita byla část 4. Návrhový a zjednodušený kontrolní výpočet čelních ozubených kol. Pro tento účel byl na počítači vytvořen v tabulkovém procesoru jednoduchý poloautomatický výpočet, který tuto normu sleduje. Umožnil mi rychlý přepočet veličin při změnách výchozích hodnot.

5.1

5.1 Geometrie zadaného čelního soukolí Před samotným pevnostním výpočtem byly pomocí zadaných parametrů určeny všechny důležité veličiny, jejichž znalost je nutná k určení únosnosti boků zubů na dotyk a únosnosti paty zubů na ohyb. Veličiny popisující geometrii soukolí jsem rovněž využil při tvorbě výpočtového modelu pro výpočet pomocí MKP. Výchozí hodnoty zadaných veličin jsou v kapitole 4.2. §

Volba materiálu Pro pastorek i kolo byl zvolen materiál 12 020. Jedná se o konstrukční uhlíkovou ocel cementovanou a kalenou. Mechanické vlastnosti této oceli je možné najít např. v normě ČSN 01 4686, část 5. – Meze únavy a údaje o materiálech, tab.12. Pro pevnostní analýzu jsou důležité tyto materiálové vlastnosti:

σ 0H lim = 1210MPa ; σ 0F lim b = 500MPa E = 2.10 5 MPa ; µ = 0,3 §

Počet zubů kola z 2 = u .z1 = 1,611.18 = 29

§

Výstupní otáčky n 1410 min −1 n2 = 1 = = 875,23 min −1 u 1,611

§

Kroutící momenty 60000 P 60000.1,5kW = = 10 ,15883Nm 2πn1 2π.1410 min −1 60000 P 60000.1,5kW T2 = = = 16,36587 Nm 2πn2 2π.875,23 min −1 T1 =


strana 39

§

Osová vzdálenost

5.1

§

Průměry roztečných kružnic

m( z1 + z 2 ) 1,75mm(18 + 29 ) a= = = 41,125mm 2 2

d1 = m.z1 = 1,75mm.18 = 31,50mm d 2 = m.z 2 = 1,75mm.29 = 50,75mm §

Průměry hlavových kružnic d a1 = m( z1 + 2 ) = 1,75mm(18 + 2 ) = 35,00mm

d a 2 = m( z 2 + 2 ) = 1,75mm(29 + 2 ) = 54,25mm

§

Průměry patních kružnic d f1 = m(z1 − 2 ,5) = 1,75mm(18 − 2 ,5) = 27 ,13mm

d f 2 = m( z 2 − 2 ,5) = 1,75mm(29 − 2,5) = 46,38mm

§

Průměry základních kružnic d b1 = d1 . cos α = 31,50mm. cos 20° = 29 ,60032 d b2 = d 2 . cos α = 50,75mm. cos 20° = 47 ,68940

§ εα = =

Součinitel trvání záběru profilu d a2 − d b2 + d a2 − d b2 − 2a . sin α 1 1 2 2 = 2πm. cos α

(35,00mm)2 − (27 ,13mm)2

+

(54 ,25mm)2 − (47 ,68940mm)2

− 2.41,125mm. sin 20°

2π.1,75mm. cos 20°

=

= 1,58786 §

Součinitel záběru kroku ε β = 0 pro přímé zuby

5.2 Pevnostní výpočet dle normy ČSN 01 4686, část 4.

5.2

4. část normy ČSN 01 4686 obsahuje Návrhový a zjednodušený kontrolní výpočet čelních ozubených kol. Tento výpočet nedosahuje takové přesnosti jako v části 3. této normy, ale pro naše jednoduché nekorigované soukolí se základním profilem přímých zubů poskytne dostačující výsledky únosnosti v dotyku a ohybu. Z normy byly použity pouze vztahy vedoucí k napětí v dotyku a napětí v ohybu. Pro zajištění větší přesnosti byly některé součinitele určeny pomocí 3. části normy.

39

strana 40

5.2


Veličiny a součinitele společné pro výpočet napětí v dotyku i ohybu: §

§

Obvodová síla na roztečných kružnicích Ft1 =

2000T1 2000.10,15883Nm = = 645,01N d1 31,50mm

Ft 2 =

2000T2 2000.16,36587 Nm = = 644,96 N d2 500 ,75mm

Součinitel vnějších dynamických sil (zadáno) K A = 1,85

5.2.1

5.2.1 Výpočet napětí v dotyku Principy výpočtu byly popsány v kapitole 2.2.1, zde uvádím pouze volbu jednotlivých koeficientů a výpočet napětí v dotyku ve valivém bodě C a v bodě B jednopárového záběru pastorku. §

Součinitele pro výpočet napětí v dotyku Z E = 0 ,175.E = 0 ,175.2 ,1.10 5 MPa = 191,646 MPa (vztah platí pro stejné materiály s µ = 0,3 ) ZH =

Zε =

ZB =

=

1 2 1 2 = = 2,495 cos α tgα cos 20° tg 20° (vztah platí pro přímé zuby) 4 − εα = 3

4 − 1,58786 = 0 ,897 3 (vztah platí pro ε β = 0 ) tgα

 d2   2  a1 2π   d a 2 2π  −1 − − 1 − (ε α − 1).   . 2 2 z z2  d d 1  b  b 1 2    tg 20°

=

 35,00 2 2π   54,25 2 2π   −1 − . − 1 − (1,58786 − 1).  27 ,13 2 18   47 ,68940 2 29    

= 1,064


strana 41

K Hα .K Hv = 1,2 (zjednodušení, které určuje ČSN 01 4686, část 4.)

5.2.1

K Hβ = 1,2 (určeno pomocí obr.1 přílohy 4. části normy - ψ bd = 0,50 ) => §

K H = K A .K Hβ .K Hα .K Hv = 1,85.1,2.1,2 = 2 ,664

Napětí v dotyku ve valivém bodě C σ H 0 = Z E .Z H .Z ε .

Ft1 u + 1 . = bwH .d1 u

= 191,646 MPa .2,496.0,897.

645,01N 1,611 + 1 . = 619,3MPa 15,9mm.31,50mm 1,611

σ H = σ H 0 . K H = 619,3MPa. 2 ,664 = 1010 ,9MPa §

Napětí v dotyku v bodě B jednopárového záběru pastorku σ H B = Z B .σ H = 1,064.1010 ,9MPa = 1075,8MPa 5.2.2

5.2.2 Výpočet napětí v ohybu Principy výpočtu byly popsány v kapitole 2.2.2. Podobně jako u výpočtu napětí v dotyku byla z normy vybrána a použitá pouze část, která vede k hodnotě ohybového napětí v patě zubu. §

Součinitele pro výpočet napětí v ohybu Yβ = 1,0 (hodnota určena pomocí obr.16 v 3. části normy ČSN 01 4686) Yε = 0 ,2 +

0,8 0,8 = 0 ,2 + = 0 ,704 (vztah platí pro ε β < 1,0 ) εα 1,58786

Y FS1 = 4 ,20 Y FS 2 = 3,90 (obě hodnoty odečteny z obr.7 v 3. části normy ČSN 01 4686, platí pro parametry základního profilu: α = 20° , h*a 0 = 1,25 a ρ*a0 = 0,38 ) K Fα .K Fv = 1,2 (zjednodušení, které určuje ČSN 01 4686, část 4.) K Fβ1 ≈ K Hβ1 = 1,2 (určeno pomocí obr.1 přílohy 4. části normy - ψ bd1 = 0,50 )

41

strana 42


K Fβ2 ≈ K Hβ2 = 1,07

5.2.2

(určeno pomocí obr.1 přílohy 4. části normy - ψ bd1 = 0 ,31 ) =>

K F1 = K A .K Fβ1 .K Fα .K Fv = 1,85.1,2.1,2 = 2,664 K F2 = K A .K Fβ2 .K Fα .K Fv = 1,85.1,07.1,2 = 2 ,378

§

Ohybové napětí - pastorek σ F 01 =

Ft1 bw .m

YFS1 .Yβ .Yε =

645,01N .4,20.1,0.0,704 = 68,5MPa 15,9mm.1,75mm

σ F1 = σ F 01 .K F1 = 68,5MPa .2 ,664 = 182,5MPa - kolo σF02 =

Ft 2 bw .m

YFS 2 .Yβ .Yε =

644,96 N .3,90.1,0.0,704 = 63,6 MPa 15,9mm.1,75mm

σ F2 = σ F 0 2 .K F2 = 63,6 MPa.2,378 = 151,1MPa Pro srovnání s výsledky numerickými řešeními níže popsaných výpočtových modelů nelze přímo použít takto určené hodnoty. Jak bude zdůvodněno v kapitole 8.1.2 pro napětí v dotyku, které lze srovnat s výpočtem v ANSYSu, musíme položit koeficient KH a Zε roven 1. Tedy: Ft1 u +1 σ HANS = Z E .Z H .Z ε . K H . . = bwH .d1 u = 191,646 MPa .2,496.1. 1.

645,01N 1,611 + 1 . = 690 ,7 MPa 15,9mm.31,50mm 1,611

Podobně pro srovnávání napětí v ohybu musíme položit KF rovno 1. Hodnoty σF1,2 ANS tedy odpovídají hodnotám σF01,2. V tabulce 5.1 je přehled nejdůležitějších vypočtených hodnot pro zadané soukolí nacházející se ve valivém bodě. Tab. 5.1 Přehled výsledků pevnostního výpočtu dle normy ČSN

napětí v dotyku [MPa] σ HANS σH (KH=1, Zε=1) pastorek (i=1) kolo (i=2)

1010,9

619,3

napětí v ohybu [MPa] σ Fi ANS σ Fi (KF=1) 182,5 68,5 151,1 63,6

6 Řešení Hertzova kontaktu

6

strana 43

ŘEŠENÍ HERTZOVA KONTAKTU

6

Kontaktní úlohy jsou v MKP specifickým problém, který vyžaduje správný postup při tvorbě výpočtového modelu. Uživatel MKP systému musí tuto problematiku zvládnout, zejména je důležité zvolení správného nastavení parametrů kontaktních prvků a jejich konstant. Právě takovou kontaktní úlohou je také styk spoluzabírajících ozubených kol. Pro zvládnutí kontaktu proto bylo v systému ANSYS vyřešeno několik základních úloh na Hertzův kontakt, z kterého také principiálně vychází pevnostní výpočet únosnosti boků zubů na dotyk. Hertzova teorie se týká bodového a liniového kontaktu. Při řešení těchto úloh musíme uvažovat tyto 4 podmínky: § § § §

Před zatížením se tělesa dotýkají v jednom bodě nebo u liniového kontaktu na přímce. Mezi stýkajícími se tělesy nepůsobí tření. Materiál stýkajících se těles je homogenní a lineárně pružný (nezplastizuje). Kontaktní oblast je velmi malá ve srovnání s poloměry křivosti stýkajících se těles.

Jednobodový dotyk můžeme sledovat na obr. 6.1. Průběh kontaktního napětí má elipsoidní tvar (obr. 6.2).

Obr. 6.1 Styk těles

Obr. 6.2 Průběh kontaktního napětí

Pro průběh napětí platí vztah x2 y2 σ z = σ z max . 1 − − a2 b2 a pro maximální (stykové) napětí vztah 3F σ z max = 2πab , kde F …... přítlačná síla a,b …. poloosy stykové elipsy

43

strana 44

6


Pro řešení našich úloh bude postačovat vztah modifikovaný pro 2 koule. Pro maximální kontaktní tlak při kontaktu 2 koulí tak získáme vztah po [MPa ] =

2 36E red  3

1  F3

 π  Re 

, kde Ered …. Redukovaný modul pružnosti v tahu v MPa 1 − µ12 1 − µ 22 1 −1 MPa = + E red E1 E2 5 Pro 2 ocelové koule (E = 2,1.10 MPa a µ = 0,3) ze stejného materiálu pak Ered = 1,153846.105 MPa Re …... Ekvivalentní poloměr v mm 1 1 1 mm −1 = + Re R1 R2 Slouží pro transformaci styku dvou koulí na styk koule o poloměru Re s rovinou. Tedy pro skutečný styk koule o poloměru R s rovinou dojde ke zjednodušení, protože Re = R. F ……. Přítlačná síla v [N]

[

]

[

]

Pro kontakt dvou válců platí vztahy uvedené v úvodu kapitoly 2.2.1 (strany 22 a 23).

6.1

6.1 Kontaktní úlohy

6.1.1

6.1.1 Řešené varianty Byly vyřešeny 4 varianty základních úloh na Hertzův kontakt. Ocelová kulička o poloměru R1 = 10mm je přitlačována silou F = 1000N na: § § §

desku ze stejného materiálu (úloha č. 1 - obr.6.3) kouli o poloměru R2 = 30mm (úloha č. 2 - obr. 6.4) kulovou prohlubeň o poloměru R2 = 30mm (jakoby vnitřní strana duté koule - úloha č.3 - obr. 6.5)

Čtvrtou variantou je styk dvou válců ze stejného materiálu o poloměrech R1 = 10mm a R2 = 30mm a společné šířce b = 30mm, přítlačná síla je opět F = 1000N (úloha č.4 - obr. 6.6)

Obr. 6.3 Úloha č.1



strana 45

6.1.1



Kontaktní tlaky budou určeny jak analyticky tak, po vytvoření výpočtového modelu, numericky pomocí MKP v systému ANSYS. Výsledky dle obou postupů budou vzájemně srovnány. 6.1.2 Analytický výpočet Maximální kontaktní tlaky jsem určil pomocí zmíněných vztahů pro výpočet Hertzova jednobodového kontaktního tlaku (úlohy č.1 – č.3) a liniového kontaktního tlaku (úloha č.4). Všechny potřebné veličiny známe, s tím že pro jednotlivé úlohy platí určité modifikace vzorce, které budou zmíněny dále. §

Úloha č.1 – Kontakt koule s rovinou V této úloze platí zjednodušení Re = R1 a pro Ered pro 2 stejné materiály s E = 2,1.105 MPa a µ = 0,3 výše zmíněná hodnota. Tedy:

p01 =

§

2 1 3 6  1,153846.10 5 MPa  3 1   (1000 N ) 3 = 2953MPa  F 3 =

2 36E red  3

 π  R1 

π 

10mm

 

Úloha č.2 – Kontakt 2 koulí o různých poloměrech Vztah pro maximální kontaktní tlak platí v tomto případě doslovně. Hodnota Re byla určena dle výše zmíněného vztahu. Pro Ered platí hodnota z úlohy č.1. Tedy: 1 1 1 1 1 = + = + = 0,13333mm −1 => Re = 7 ,5mm Re R1 R2 10mm 30mm

p02 =

2 1 3 6  1,153846.10 5 MPa  3 1  (1000 N ) 3 = 3577 MPa   F 3 =

2 36E red  3

 π  Re 

π 

7 ,5mm

 

45

6.1.2

strana 46

6.1.2


§

Úloha č.3 – Kontakt koule s kulovou prohlubní V této úloze je důležité si uvědomit, že poloměr R2 je opačný, čili bude ve vzorci pro Re mít zápornou hodnotu. Pro Ered platí hodnota stejná jako v předchozích úlohách. Tedy: 1 1 1 1 1 = + = + = 0,06666mm −1 => Re = 15mm Re R1 R2 10mm − 30mm p03 =

§

2 1 3 6  1,153846.10 5 MPa  3 1   (1000 N ) 3 = 2254 MPa  F 3 =

2 36E  red 3

 π  Re 

π 

15mm

 

Úloha č.4 – Kontakt dvou válců Kontakt dvou válců je velmi blízký kontaktu spoluzabírajících ozubených kol. Úloha je poněkud odlišná od předchozích, jedná se o liniový kontakt, použijeme tedy vzorce uvedeného v kapitole 2.2.1. Tento vzorec platí pro dva stejné materiály, vystupuje v něm veličina E nikoli Ered. , podobně pak ρe odpovídá Re (hodnota je stejná jako v úloze č.1). Tedy: p04 2 = 0 ,175E

F 1 1000 N 1 = 0 ,175.2 ,1.10 5 MPa. = 163333,33MPa 2 b Re 30mm 7 ,5mm => p04 = 163333,33MPa 2 = 404 MPa

6.1.3

6.1.3 Numerický výpočet Úlohy jsem řešil jako rovinné (2D) s využitím rotační osové symetrie (úlohy 1-3) a s využitím osové symetrie a předpisu šířky (tloušťky) prvku. Dojde tak ke zjednodušení práce při tvorbě modelu (méně prvků) a především také ke zrychlení samotného výpočtu. Při tvorbě výpočtového modelu a při samotném výpočtu je dobré dodržet posloupnost činností, tak jak bylo popsáno v kapitole 4.1. U všech úloh byl definován stejný materiálový model, a to homogenní izotropní lineárně pružný materiál (ocel) s E = 2,1.105 MPa a µ = 0,3. Přestože tyto úlohy sloužili k osvojení základních postupů při výpočtu pomocí MKP v systému ANSYS, podrobné popisy užitých modelovacích postupů, typů prvků, způsoby zatížení, definice vazeb atd. budou zmíněny v hlavních kapitolách popisujících tvorbu výpočtového zadaného čelního soukolí.

6.1.3.1

6.1.3.1 Tvorba geometrie a konečnoprvkové sítě Geometrie modelů sestává z jednoduchých útvarů jako čtvrtkruhy a obdélníky. Při tvorbě geometrie jsem použil tzv. modelování zdola nahoru (postupujeme od entit nejnižší úrovně: Keypoint – klíčový bod a pomocí těchto se tvoří složitější: Line – úsečka, Area – plocha). Tento postup je výhodnější, protože je nutné v místech očekávaného kontaktu vytvořit podoblasti, které výhodně využijeme při tvorbě konečnoprvkové sítě. Podobně byla vytvořena geometrie u ostatních modelů. Při vytváření geometrie nebylo použito žádných jiných neobvyklých modelovacích funkcí, proto se o této části nebudu déle rozepisovat.


strana 47

Pro konečnoprvkovou síť byl použit strukturální prvek PLANE82. Podrobnější popis tohoto prvku se nachází v kapitole 7.3. Síť je nutno v místě kontaktu vytvořit velmi jemnou. Nejvíce pak v blízkosti stykového bodu. K tomuto účelu jsem využil připravených podoblastí. Za hranicí podoblasti již není nutná jemná síť, proto lze velikost prvků postupně zvětšovat. Takto odstupňovanou síť jsem vytvořil pomocí kontroly velikosti prvků na čarách. Geometrii a vytvořenou konečnoprvkovou síť si lze prohlédnout na obr. 6.7 - 6.10. Menší výřezy zobrazují jemnou síť v oblasti kontaktu, kde se velikost prvku pohybuje kolem 0,002mm. Celkový počet prvků v jedné úloze se pohybuje v rozmezí od 5600 do 8900, podle velikosti modelu, s tím že většina prvků se nachází v oblasti kontaktu těles.





6.1.3.2 Definice okrajových podmínek (vazby a zatížení) Na obr. 6.11 jsou názorně ukázány předepsané okrajové podmínky v úloze č.2. U ostatních úloh byly definovány analogické okrajové vazby a zatížení. Ve všech řešených variantách je základové těleso vetknuto na spodní hraně a symetrie je předepsána podél svislé osy těles. Silové zatížení má u úloh č.1 - č.3 díky použité rotační symetrii hodnotu 1000N, u úlohy č.4 je pak nutné uvažovat pouze poloviční zatížení, tedy 500N. Posuvy uzlových bodů na horní hraně menšího tělesa jsou svázány pomocí funkce „Coule DOFs“. Tím se odstraní vznik napěťového maxima v bodovém působišti přítlačné síly. V místě styku těles byl v každé úloze vytvořen kontaktní pár. Na kontaktní úsečky byly vygenerovány kontaktní prvky TARGE169 (na „target surface“ – cílové ploše)

47

6.1.3.1

6.1.3.2

strana 48

6.1.3.2


a CONTA172 (na „contact surface“ – kontaktní ploše). Podrobný popis těchto prvků a tvorby a nastavení kontaktních párů bude zmíněn v kapitole 7.4. V úlohách nebyl uvažován vliv tření. Je využito standardního nastavení kontaktních párů. Využito bylo pouze funkce „Close gap“ (KEYOPT(5) = 1), která zajistí uzavření malých mezer mezi tělesy v kontaktu, které se v těchto úlohách vyskytují. Pro úspěšné vyřešení úlohy je důležité, aby normály kontaktních ploch směřovaly proti sobě, tak jako ukazuje obr. 6.12. SMĚR ZATÍŽENÍ

CONTACT SURFACE

NORMÁLY

TARGET SURFACE

Obr. 6.11 Vazby a zatížení modelu

6.1.3.3

Obr. 6.12 Normály kontaktních prvků

6.1.3.3 Prezentace výsledků a jejich srovnání s analytickým výpočtem Pro samotný výpočet bylo ponecháno výchozí nastavení systému ANSYS. Všechny úlohy byly řešeny pomocí programem zvoleného řešiče „Sparse matrix“. Délka výpočtu na průměrně výkonném PC (procesor 1.5GHz, 768 MB DDR RAM) nepřekročila 5 minut. § Úloha č.1 – Kontakt koule s rovinou Úloha byla řešena pomocí symetrie, prezentované výsledky na obr. 6.13 – 6.18 jsou zobrazeny na tzv. expandovaném modelu, který umožňuje sledovat i druhou polovinu symetrického modelu. Na obr. 6.13 je vidět průběh kontaktního tlaku. Maximální hodnota p0ANS1 = 2960 MPa se liší pouze o 7 MPa od tlaku určeného pomocí Hertzova vztahu (p01 = 2953 MPa). Rozdíl mezi výsledky je 0,25%, numerický výpočet můžeme tedy považovat za velmi přesný. Na obr. 6.14 je

Obr. 6.13 Úloha č.1 - Kontaktní tlak

Obr. 6.14 Úloha č.1 – Napětí S3


strana 49

6.1.3.3

Obr. 6.15 Úloha č.1 – Redukované napětí

Obr. 6.16 Úloha č.1 – Posuv v ose Y

Obr. 6.17 Úloha č.1 – Smykové napětí SXY

Obr. 6.18 Úloha č.1 – Posuv v ose X

zobrazeno třetí hlavní napětí S3. Maximální hodnota se také pohybuje okolo 2950 MPa. Na obr. 6.15 je průběh redukovaného napětí σred dle podmínky HMH (von Mises Stress), maximální hodnoty se v souladu s Hertzovou teorií nacházejí pod povrchem v místě kontaktu. Obr. 6.16 ukazuje rozložení posuvů (deformací) ve směru osy Y (na obrázcích svislá). Na obr. 6.17 je zachycen průběh smykového napětí SXY, extrémy se nacházejí podobně jako u σred pod povrchem těles. Na obr. 6.18 je znázorněn průběh posuvů ve směru osy X. § Úloha č.2 – Kontakt dvou koulí Výsledky jsou opět prezentovány na expandovaném modelu. Na obr. 6.19 je eliptické rozložení kontaktních tlaků. Maximální hodnota pro tuto úlohu je p0ANS2 = 3588 MPa. To je o 11 MPa více než tlak určený analytickým výpočtem (p02 = 3577 MPa).

Obr. 6.19 Úloha č.2 - Kontaktní tlak


49

strana 50


6.1.3.3



Výsledek výpočtu pomocí MKP se tedy opět téměř shoduje s řešením dle Hertze (rozdíl 0,3%). Na dalších obrázcích jsou pro porovnání zachyceny stejné důležité veličiny jako u ostatních úloh. Na obr. 6.20 je opět zobrazeno napětí S3, které se v těchto úlohách významově blíží napětí SY. Na obr. 6.21 lze vidět redukované napětí. Maximální hodnota je tedy pod povrchem koulí a dosahuje 2200MPa. Obr. 6.22 představuje posuvy (deformace) v ose Y. § Úloha č.3 – Kontakt koule s kulovou prohlubní Na obr. 6.23 - 6.26 jsou na expandovaném modelu prezentovány výsledky úlohy č.3. Obr. 6.21 zobrazuje detail kontaktní oblasti s průběhem kontaktního tlaku. Na takto přiblíženém modelu lze vidět kolik prvků je skutečně v kontaktu (svislé pruhy).

Obr. 6.23 Úloha č.3 – Kontaktní tlak





strana 51

Maximální kontaktní tlak je p0ANS3 = 2259 MPa. Dle analytického výpočtu vychází toto maximum 2254 MPa. Rozdíl 5 MPa činí pouze 0,2% z této hodnoty. Numerický výpočet můžeme tedy považovat za přesný. Jak ukazuje obr. 6.24 průběh napětí S3 je shodný s předchozími úlohami. Redukované napětí na obr. 6.25 má i zde své maxima těsně pod povrchem. Na obr. 6.26 je znázorněn průběh posuvů (deformací) ve směru osy Y - SY. § Úloha č.4 – Kontakt dvou válců V této úloze se oproti předchozím jedná o kontakt liniový. Na obrazcích jsou průběhy tlaků a napětí zobrazeny v řezu, který platí pro celé válce. Rozdíly lze pozorovat již na obr. 6.27, kde je zobrazen průběh kontaktního tlaku. Maximální hodnota p0ANS4 = 385 MPa je o řád nižší než u předchozích úloh. To je způsobeno rozložením působící síly do celé stykové čáry, nikoliv jen do jednoho bodu jako u bodového kontaktu. Při srovnání s analytickým výpočtem, podle něhož je maximální kontaktní tlak 404 MPa, narazíme na větší vzájemný rozdíl ve výsledcích (19 MPa – 4,7%). To je způsobeno menším počtem prvků, které jsou v kontaktu. Menší kontaktní tlak způsobí vznik menší kontaktní plošky, při stejně jemné síti, jako byla užita pro předchozí úlohy, je pak v kontaktu méně prvků. Pro ještě větší přesnost výsledků je tedy nutno zjemnit síť. Průběh napětí S3 na obr. 6.28 je „protáhlejší“ než v úloze č.2. Také průběh redukovaného napětí na obr. 6.29 je odlišný od úlohy č.2, jeho maximum je přímo v místě styku těles. Obr. 6.30 znázorňuje posuvy (deformace) v ose Y.

Obr. 6.27 Úloha č.4 – Kontaktní tlak



Obr. 6.30 Úloha č.4 Posuv v ose Y

51

6.1.3.3

strana 52

6.1.3.3


U všech úloh se numerickou metodou pomocí MKP podařilo dosáhnout velmi velké přesnosti i při téměř výchozím nastavení, které nabízí systém ANSYS. U úlohy č.4 by bylo vhodné konečnoprvkovou síť nepatrně zjemnit, výsledné hodnoty by se tak více přiblížily analytickému řešení. Grafická podoba výsledků všech úloh je pro jednotlivé vykreslené veličiny podobná, v první úloze jsou představeny i veličiny (poslední 2 obrázky), které nejsou pro dostatečný popis těchto úloh nezbytné. V následujících úlohách byly představeny pouze 4 nejdůležitější veličiny – kontaktní tlak, 3. hlavní napětí S3 (zde odpovídá i napětí SY ve směru osy Y), redukované napětí dle podmínky HMH (von Mises Stress) a posuvy v ose Y. Přehled maximálních hodnot některých vybraných veličin se nachází v tab. 6.1 níže. Tab. 6.1 Srovnání výsledků řešených úloh

max. kontaktní tlak dle Hertze [MPa] (poi) úloha č.1 úloha č.2 úloha č.3 úloha č.4

nodal sol. element sol. nodal sol. element sol. nodal sol. element sol. nodal sol. element sol.

2953 3577 2254 404

max. kontaktní tlak dle ANSYSu [MPa] (poANSi) 2960 2961 3588 3588 2259 2259 385 385

max. 3. hlavní napětí [MPa] (S3) -2952 -2960 -3577 -3577 -2255 -2255 -386 -386

max. red. napětí [MPa] (SEQV) 1819 1819 2200 2200 1398 1398 385 385

Na těchto úlohách jsem si vyzkoušel tvorbu výpočtových modelů s kontaktem a poznal problémy, které se při řešení těchto nelineárních úloh mohou vyskytnout. Nové poznatky jsem využil při tvorbě výpočtového modelu čelního soukolí, jež je popsána v následujících kapitolách, které také obsahují podrobnější popis modelovacích postupů, použitých prvků, tvorby a nastavení kontaktních prvků, než je tomu u jednoduchých úloh v této kapitole.

7 Výpočtové modelování

7

strana 53

VÝPOČTOVÉ MODELOVÁNÍ

7

Základem pro výpočet pomocí MKP je vytvoření výpočtového modelu. Pro úspěšný výpočet je při vytváření modelu nutno klást důraz na co nejpřesnější model geometrie, kvalitní konečnoprvkovou síť a odpovídající model zatížení a vazeb. V této kapitole bude tvorba výpočtových modelů zadaného čelního soukolí popsána. Byly vytvořeny 4 varianty modelů: § § § §

VARIANTA 2D VB – soukolí ve valivém bodě C (2D model) VARIANTA 2D ZZ – soukolí na začátku záběru (2D model) VARIANTA 2D KZ – soukolí na konci záběru (2D model) VARIANTA 3D VB – soukolí ve valivém bodě C (3D model)

Tvorba 2D modelů bude popsána převážně na variantě 2D VB, kterou budeme srovnávat s pevnostním výpočtem a s variantou 3D VB. Modely neobsahují geometrie celého pastorku a kola, ve všech řešených variantách byla použita výseč 3 zubů v místě záběru. Toto zjednodušení výrazně urychlí tvorbu modelu i samotný výpočet a nemá žádný vliv na správnost výsledků.

7.1 Vytvoření modelů geometrie

7.1

Vytvoření kvalitního geometrického modelu ozubení, který bude co nejlépe vystihovat reálný stav a který bude základem správného řešení problému, je v systému ANSYS komplikovaný problém. Při tvorbě geometrie je také nutné myslet dopředu, zejména z důvodu následné tvorby konečnoprvkové sítě. Pro takto složitou geometrii (evolventní tvar profilu zubů) je nejvýhodnější využít tzv. modelování zdola nahoru (postupujeme od entit nejnižší úrovně: Keypoint – klíčový bod a pomocí těchto se tvoří složitější: Line – úsečka, Area – plocha). Tato část je shodná pro tvorbu 2D i 3D modelu. 7.1.1 Import geometrie profilu zubů

7.1.1

Základním problémem je tedy získání bodů profilu ozubení. Značné usnadnění v tomto směru znamenalo využití programu Profildata od pana docenta Němčeka z ostravské VŠB, fakulty strojní. Na internetových stránkách lze nalézt demoverzi, po domluvě s autorem mi byla pro studijní účely poskytnuta plná verze. Tento program dokáže vykreslit pomocí zvoleného počtu bodů profil ozubení. Lze také uložit souřadnice bodů profilu do datového souboru. Na obr. 7.1 je prostředí programu Profildata s nastavenými parametry zadaného soukolí. Soukolí je bez korekcí se základním profil zubů. Hodnoty dosud nezmíněných parametrů: §

korekce - x1 , x 2 = 0

§

výška hlavy zubu - h*a1 , h*a 2 = 1

53

strana 54

7.1.1


§

výška hlavy zubu nástroje - h*a 01 , h*a 0 2 = 1,25

§

poloměr zaoblení hlavy nástroje - ρ*a01 , ρ*a 0 2 = 0,38

Obr. 7.1 Program Profildata

Program umožňuje export bodů profilu soukolí ve 4 významných polohách soukolí (normální poloha, začátek záběru, valivý bod a konec záběru). Data vždy obsahují souřadnice tří zubů pastorku a tří zubů kola. Souřadnice bodů jsou určeny s přesností na 12 desetinných míst. Za počátek souřadnicového systému je brán střed pastorku. Získal jsem tedy tři datové soubory (soukolí ve valivém bodě – použiji pro 2D i 3D model, soukolí na začátku záběru a na konci záběru). Patu zubů vždy popisuje 15 bodů a evolventní bok zubů 40 bodů. Tři zuby pastorku a tři kola jsou tedy definovány 660 body. Datové soubory bylo nutno upravit tak, aby byl možný import do prostředí systému ANSYS. To umožňuje textový soubor *.log, který obsahuje sled příkazů, které po jeho načtení ANSYS provede. Pro každou polohu byly vytvořeny dva soubory – jeden pro body pastorku a jeden pro body kola. Hlavní částí těchto souborů jsou tedy příkazy tvořící bod po bodu geometrie profilu, např.: K, ,-6.203313349618 ,18.782684548684, , Tento příkaz například vytvoří bod se souřadnicemi x = -6.203313349618, y = 18.782684548684 a z = 0. Kromě bodů profilu zubů byly nadefinovány také středy pastorku a kola. Takto připravený soubor je poté importován do programu ANSYS, kde se vytvoří požadované body. Na obr. 7.2 jsou zobrazeny body pastorku po importu (varianta 2D VB). Obr. 7.2 Body importované do systému ANSYS


strana 55

7.1.2 Tvorba modelů geometrie

7.1.2

Importované body jsem proložil spline křivkou, získal jsem tak základ profilu ozubení. Vhodné je nejprve importovat body pastorku či kola, KOLO proložit splajnem a teprve potom vložit druhou část bodů. Vyhneme se tak problémům při práci s body, které jsou blízko kontaktu. Hlavu zubu tvoří části kružnic o poloměru hlavové kružnice pastorku či kola. Při následné tvorbě zbylého obrysu je nutno myslet na pozdější generování sítě a definici okrajových podmínek a tomu přizpůsobit základní čarovou geometrii. Profil jsem tedy doplnil o čáry tak, aby vznikla výseč pastorku a kola. Pastorek byl rozdělen na 3 menší PASTOREK oblasti. Výseč kola se skládá ze dvou oblastí, neobsahuje středovou část, která pro výpočtový model není potřebná. Model v této fázi je Obr. 7.3 Celkový pohled na čarový geometrický model zobrazen na obr. 7.3. Dalším krokem bylo rozdělení existujících čar na menší části, s ohledem na jejich další využití při modelování a meshování konečnoprvkové sítě. Takto byly upraveny především kontaktní oblasti a předpokládaná nebezpečná místa profilu, zejména paty zubů. Na zmíněných místech byly poté jednoduše vytvořeny malé podoblasti, které umožní tvorbu jemné a kvalitní sítě. Podoblasti v místě kontaktu pastorku a kola a na patách zubů jsou zobrazeny na Obr. 7.4 Detail vytvořených podoblastí obr. 7.4. Posledním krokem při modelování geometrie je vytvoření ploch uvnitř připravených čar. Na obr. 7.5 – 7.8 jsou zobrazeny geometrické modely všech řešených variant. Podoblasti jsou zvýrazněny odlišnou barvou (paty zubů zeleně a kontaktní oblasti červeně).

Obr. 7.5 Varianta 2D VB

Obr. 7.6 Varianta 2D ZZ

55

strana 56


7.1.2

Obr. 7.7 Varianta 2D KZ

Obr. 7.8 Varianta 3D VB

Zajímavostí je, že v některých případech docházelo na stykových hranách dvou ploch kola k nepřesnému vykreslování geometrie. Po vytvoření konečnoprvkové sítě se tento problém vytratil, prvky přesně sledují geometrii, jednalo se tedy skutečně pouze o problém při vykreslování. U variant 2D ZZ a 2D KZ (obr. 7.6 a 7.7) bylo vytvořeno více podoblastí a to z důvodu dvoupárového záběru, ke kterému zde dochází. Varianta 3D VB byla vytvořena bez podoblastí. 3D model, který bude z 2D profilu následně vytvořen, bude obsahovat značně hrubší síť prvků a podoblastí tedy není nutno využít.

7.2

7.2 Model materiálu prvků Nedílnou součástí tvorby výpočtového modelu je také vytvoření modelu materiálu. Ve všech variantách byl pro kolo i pastorek předepsán stejný materiál – konstrukční ocel. Materiálová charakteristika je vyjádřena modulem pružnosti E a Poissonovým číslem µ. Uvažuji materiál homogenní izotropní lineárně pružný. Tab. 7.1 Použité materiálové charakteristiky

var. 2D VB var. 2D ZZ var. 2D KZ var. 3D VB modul pružnosti E [MPa] 2,1 . 105 2,1 . 105 2,1 . 105 2,1 . 105 0,3 0,3 0,3 0,3 Poissonovo číslo µ

7.3

7.3 Vytvoření konečnoprvkové sítě Vytvoření kvalitní konečnoprvkové sítě je pro úspěšné vyřešení nelineárních úloh velmi důležité. Kvalita sítě prvků má významný vliv na přesnost výpočtu. Máme-li kvalitní geometrický model a na něm vytvoříme příliš hrubou síť, je řešení značně nepřesné. To platí i naopak. Hustota sítě musí být taková, aby dobře vystihovala geometrii tělesa. Je-li síť příliš jemná, výpočet (zvláště nelineární) může trvat zbytečně dlouho, či vůbec nemusí konvergovat (u nelineárních úloh). O přesnosti výpočtu rozhoduje také typ použitých prvků. Prvky, které mají kvadratické bázové funkce vystihují lépe gradienty napětí než prvky s lineárními bázovými funkcemi.


strana 57

7.3

Typy použitých strukturálních prvků: § PLANE82 – osmi- či šestiuzlový 2D strukturální prvek se dvěma stupni volnosti (UX a UY). Prvek byl použit ve všech 2D úlohách (varianty A,B,C). Podrobné informace jsou obsaženy v literatuře |4| v kapitole Element Reference 4.82 PLANE82 element description. § SOLID95 – dvacetiuzlový 3D strukturální prvek se třemi stupni volnosti (UX, UY a UZ). Prvek byl použit v 3D úloze (varianta D). Podrobnější informace jsou obsaženy v literatuře |4| v kapitole Element Reference 4.95 SOLID95 element description. § MESH200 – speciální typ prvku, nenese s sebou Obr. 7.9 Prvek PLANE82 žádné vlastnosti kromě tvaru samotné sítě, slouží pro vícekrokové meshování, byl použit ve variantě D pro popis základní 2D sítě, ze které byl „vytažen“ 3D model s prvky SOLID95. Podrobnější informace jsou obsaženy v literatuře |4| v kapitole Element Reference 4.95 SOLID95 element description. U všech úloh jsem se snažil vytvořit síť, která bude pro daný problém optimalizována. Tedy, aby byl výpočet co nejpřesnější a zároveň nebyla doba výpočtu příliš dlouhá. Byly stanoveny potenciální nebezpečná místa (v patách zubů a kontaktních oblastech), jak bylo zmíněno v kapitole 7.1.2 a zde vytvořeny podoblasti, které napomohli při tvorbě místně velmi zjemněné konečnoprvkové sítě. Při generování sítě můžeme vytvářet tzv. mapované (mapped mesh) nebo tzv. volné (free mesh) sítě. Prvky v mapovaných sítí jsou pravidelného tvaru odpovídající typu prvku, výpočet pomocí těchto sítí by měl být rychlejší, avšak tvorba takovýchto sítí je náročná a u složitějších geometrických modelů někdy až nerealizovatelná. Mapovaných sítí se využívalo v dobách, kdy výpočetní výkon dostupného HW nebyl velký a bylo potřeba zajistit co nejméně náročný výpočet. V současné době se však čím dál více využívá volné sítě, která je téměř automaticky generována počítačem a její vytvoření je mnohem snadnější. Při dodržení určitých postupů je možno vytvořit velmi „pěknou“ a pravidelnou síť. S použitím současného hardwaru není řešení modelů s volnou sítí ani znatelně časově náročnější. V řešených úlohách byla použita převážně volná síť. 7.3.1 Tvorba konečnoprvkové sítě u variant 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ

7.3.1

U 2D modelů jsem se snažil vytvořit pro všechny tři varianty síť se stejnými vlastnostmi. Bylo vytvořeno mnoho různých sítí pro každou variantu a postupně jsem se dopracoval až k sítím, které mohu považovat za kvalitní. Konečnoprvková síť má proměnlivou velikost prvků. V předpokládaných nebezpečných místech byly vytvořeny podoblasti (viz. kapitola 7.1.2). Před samotným vytvořením sítě byly předepsány velikosti prvků na existujících hranicích oblastí a podoblastí. Takto lze vytvořit základ sítě zjemněné v potřebných místech a s plynule se zvětšujícími prvky.

57

strana 58

7.3.1


Proměnlivou velikost prvků je vidět na obr. 7.10, obr. 7.11 a obr. 7.12, kde jsou zachyceny některé detaily u modelu soukolí ve valivém bodě.

Obr. 7.10 Kontaktní Obr. 7.11 Celkový pohled oblast

Obr. 7.12 Detail paty zubu pastorku

Pomocí několika testovacích úloh byla určena velikost prvků v kontaktní oblasti, tak aby se v kontaktu nacházel dostatečný počet prvků. V průběhu řešení těchto úloh jsem došel k závěru, že pro lepší výsledky výpočtů je dobré v kontaktní oblasti vytvořit prvky na kole o něco větší, než jsou prvky na pastorku. V tabulce 7.2 jsou přehledně uvedeny přibližné velikosti prvků v důležitých místech modelu. Tab. 7.2 Přibližné velikosti prvků v mm - var. 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ

pata zubu

uvnitř zubů v záběru

největší prvky vně důležitýc h míst

0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03

0,12 - 0,15 0,12 - 0,15 0,12 - 0,15 0,12 - 0,15 0,12 - 0,15 0,12 - 0,15

0,5 - 0,8 0,5 - 0,8 0,5 - 0,8 0,5 - 0,8 0,5 - 0,8 0,5 - 0,8

kontaktní oblast

var. pastorek 2D VB kolo var. pastorek 2D ZZ kolo var. pastorek 2D KZ kolo

valivý bod/kontakt prostředních zubů 0,002 0,0025 0,002 0,0025 0,002 0,0025

začátek/konec záběru 0,0005 0,00075 0,001 0,0015

Pro vlastní mesh bylo použito volných sítí jednotlivých podoblastí s prvkem PLANE82. Prvek byl použit s nastavením „plane strs w/thk“, tedy rovinná napjatost s tloušťkou, která byla předepsána na zadaných 15,9 mm. Prvky vytvořené konečnoprvkové sítě musí splňovat určité limity, tak aby nedošlo ke zkreslení výsledků při výpočtech (poměr stran prvků, uhel mezi nimi, atd.). Programový systém ANSYS automaticky nahlásí nově vytvořené prvky, které tyto limity překračují. Síť, která obsahuje varovné či chybné prky, je třeba v kritických místech vylepšit a znovu vygenerovat. V prezentovaných úlohách se nenachází žádný prvek, který by byl označen za nevyhovující. Na následujících stranách budou představeny vytvořené konečnoprvkové sítě variant 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ.


strana 59

§

7.3.1

Varianta 2D VB – Soukolí ve valivém bodě

Obr. 7.14 Var. 2D VB - kontaktní oblast

Obr. 7.15 Var. 2D VB - oblast paty zubu

Obr. 7.13 Var. 2D VB - celkový pohled

Na obr. 7.13 – 7.15 je zachycena konečnoprvková síť soukolí ve valivém bodě. Tmavší části obsahují jemnou síť. Zhuštěna je zejména na obou prostředních zubech jak pastorku, tak kola. §

Varianta 2D ZZ – Soukolí na začátku záběru

Obr. 7.16 Var. 2D ZZ - celkový pohled

Obr. 7.17 Var. 2D ZZ - Záběr prostředních zubů

Na obr. 7.16 – 7.19 je celkový pohled i detaily modelu soukolí na začátku záběru. V této poloze dochází k dvoupárovému záběru. Síť je tedy zhuštěna na dvou levých zubech, kde dochází ke kontaktu.

59

strana 60


7.3.1

Obr. 7.18 Var. 2D ZZ - zub vstupující do záběru

Obr. 7.19 Var. 2D ZZ - detail kontaktu zubů na začátku záběru

§ Varianta 2D KZ – Soukolí na konci záběru Soukolí se nachází na konci záběru. Dochází opět k dvoupárovému záběru. Síť je zjemněna na dvou pravých zubech, kde dochází ke kontaktu. Názorné ukázky konečnoprvkové sítě jsou na obr. 7.20 – 7.22.

Obr. 7.21 Var. 2D KZ - zuby v záběru

Obr. 7.20 Var. 2D KZ - celkový pohled

Obr. 7.22 Var. 2D KZ - detail zubu na konci záběru

V tabulce 7.3 jsou pro představu o složitosti úloh uvedeny celkové počty prvků a uzlových bodů, z toho kolik je definováno prvků na pastorku a kolik na kole a také kolik prvků se nachází v kontaktních podoblastech a kolik v podoblasti paty zubů.


strana 61

Tab. 7.3 Počty prvků a uzlových bodů – var. 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ

var. 2D VB var. 2D ZZ var. 2D KZ

celkový počet prvků 10568 19798 23877

celkový počet uzl. bodů 31778 58910 70959

počet prvků pastorku 5251 10750 10258

počet prvků kola 5317 9048 12257

7.3.1

počet prvků v kont. obl. 1904 7725 8344

počet prvků v patách 579 749 1113

7.3.2 Tvorba konečnoprvkové sítě a 3D modelu varianty 3D VB

7.3.2

U varianty 3D VB není využito podoblastí. Pro 3D model je třeba vytvořit hrubší síť, která neprodluží délku výpočtu. První krok, tedy vytvoření 2D sítě, je stejný jako u předchozích variant, s tím, že bylo použito prvku MESH200 (viz. výše), kterému bylo definováno chování osmiuzlového prvku. Přibližné velikosti prvků v důležitých místech modelu jsou srovnány v tab. 7.4. Tab. 7.4 Přibližné velikosti prvků v mm – var. 3D VB

var. 3D VB

pastorek kolo

kontaktní oblast (valivý bod) 0,017 0,021

pata zubu 0,07 0,07

uvnitř zubů v záběru 0,2 - 0,3 0,2 - 0,3

největší prvky vně důležitých míst 0,6 - 1,4 0,6 - 1,4

Takto vytvořený mesh (obr. 7.23) byl pomocí funkce „extrude“ vytažen do prostoru i s 2D sítí, jež byla nadělena na 20 částí (obr. 7.24). Hloubka vytažení je nastavena na 7,95mm. Počítá se s definováním symetrie, šířka modelu je tedy poloviční skutečné aktivní šířce soukolí.

Obr. 7.23 Var. 3D VB - síť připravená pro vytažení do prostoru

Obr. 7.24 Var. 3D VB - výsledný 3D model

61

strana 62

7.3.2


Takovouto jednoduchou operací vznikne 3D model složený z prvků SOLID95, který má v kontaktní oblastí v podstatě mapovanou, tedy velmi pravidelnou, síť (obr. 7.25). V důsledku pevného dělení prvků ve směru osy z jsou některé prvky hodně úzké a některé naopak hodně podlouhlé. Proto je nutno sledovat výskyt varovných či vadných prvků. V našem modelu se vyskytuje několik varovných prvků, které však překračují limit jen velmi málo, výpočet negativně Obr. 7.25 Var. 3D VB - detail pastorku neovlivní a nebylo tedy přistoupeno k regeneraci sítě. V tabulce 7.5 je přehledně zobrazen počet prvků v tomto modelu. I při výrazně hrubší konečnoprvkové síti je počet prvků a uzlových bodů více než dvojnásobný, než u 2D modelu. Tab. 7.5 Počty prvků a uzlových bodů – var. 3D VB

celkový počet prvků var. 3D VB – před vytažením 2245 var. 3D VB – 3D model 44900

7.4

celkový počet uzl. bodů 7632 192434

prvků na past. 1067 21340

prvků na kole 1178 23560

7.4 Okrajové podmínky Okrajové podmínky jsou nezbytnou součástí každého výpočtového modelu. Bez jejich stanovení nemůže být žádná úloha úspěšně vyřešena. Do okrajových podmínek jsou zahrnuty vazby a zatížení.

7.4.1

7.4.1 Stanovení vazeb řešených variant Obecně se vazby dají rozdělit na dvě skupiny: § §

7.4.1.1

Vazby vnitřní – vazby mezi jednotlivými komponentami Vazby vnější – vazby mezi soustavou a okolím

7.4.1.1 Vnější vazby Vnější vazby popisují interakci soustavy s okolím. Metoda konečných prvků vyžaduje zadání takovýchto vazeb, aby byla zamezeno posuvu tělesa v nežádoucích směrech. Ve všech řešených variantách bylo použito stejných vazeb, pro variantu 3D VB pak byly vazby rozšířeny o další rozměr ve směru osy z. Střed pastorku je pevně fixován odebráním všech stupňů volnosti. U variant 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ jsou to posuvy UY a UX v klíčovém bodě nacházejícím se ve středu pastorku, u varianty 3D VB


strana 63

pak posuvy UX, UY, UZ na všech uzlových bodech osy pastorku. Pastorek je poté možno zatížit silou na rameni, která vyvolá požadovaný moment. Kolo je pevně uchyceno odebráním všech stupňů volnosti v části nejbližší středu kola. Pro varianty 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ je to tedy horní úsečka profilu kola, kde je všem uzlovým bodům zamezen posuv ve směrech UX, UY. U varianty 3D VB jsou odebrány posuvy ve směrech UX, UY a UZ na odpovídající ploše modelu. Jak bylo řečeno, 3D model je pouze poloviční šířky, počítá se s použitím symetrie, která se definuje podobně jako se odebírají stupně volnosti. Symetrie byla aplikována na čelní plochy modelu soukolí. Na obr. 7.26 a 7.27 jsou zachyceny vytvořené vnější vazby na 2D a 3D modelech. Modré značky znázorňují zamezení posuvů v naznačených směrech.

7.4.1.1

VETKNUTÍ

SYMETRIE

Obr. 7.26 Vnější vazby 2D modelu

Obr. 7.27 Vnější vazby 3D modelu

7.4.1.2 Vnitřní vazby Vnitřními vazbami v těchto úlohách rozumíme předepsání kontaktu mezi pastorek a kolo. Kontakt modelujeme pomocí kontaktních prvků. Pro úlohy jsem použil následující kontaktní prvky: Použité kontaktní prvky: §

§

TARGE169 + CONTA172 – 2D kontaktní prvky (ve variantách 2D VB, 2D ZZ a 2D KZ), používají se pro kontakt typu surface-to-surface (plocha na plochu, resp. úsečku na úsečku), jsou kompatibilní se strukturálním prvkem PLANE82. TARGE169 je tříuzlový rovinný prvek a definuje se na tzv. „target surface“ (cílová plocha), zjednodušeně se dá mluvit o cílové ploše, na kterou tlačí „contact surface“ (kontaktní plocha), na kterou se definuje prvek CONTA172. CONTA172 je také tříuzlový prvek. Podrobné informace jsou obsaženy v literatuře |4| v kapitole Element Reference 4.169 TARGE169 element description a 4.172 CONTA172 element description. TARGE170 + CONTA174 – 3D kontaktní prvky, mají podobné vlastnosti jako předchozí prvky, ale používají se pro 3D modely. Podrobné informace jsou obsaženy v literatuře |4| v kapitole Element Reference 4.170 TARGE170 element description a 4.174 CONTA174 element description.

Kontaktní páry vytvořené s užitím těchto prvků, se nacházejí v oblastech předpokládaného kontaktu pastorku a kola. Při jejich tvorbě bylo opět využito předem nadělených čar profilu zubů, tak aby kontaktní pár byl co nejmenší, přitom

63

7.4.1.2

strana 64

7.4.1.2


ale zcela zahrnoval oblast kontaktu. Ve všech úlohách se „target surface“ nacházel na kole a „contact surface“ na pastorku. Pro správně nadefinovaný kontaktní pár je po vytvoření nutné nastavit jeho vlastnosti, tak aby byl následný výpočet realizovatelný. Jak bylo řečeno u úloh s Hertzovým kontaktem, normály kontaktních ploch musí směřovat proti sobě (viz obr. 6.12). Důležité je také zjistit zda jsou plochy skutečně v kontaktu nebo zda jsou od sebe trochu vzdáleny nebo dochází k přílišnému prostupu. U složitější ploch k tomu dochází velmi často. Problém se řeší pomocí funkce „Close gap/Reduce penetration“ („uzavřít mezeru/redukovat prostup“ – parametr KEYOPT(5)). U řešených variant se vyskytla mezera v kontaktní oblasti, největší v místě vstupu zubu do záběru a při výběhu ze záběru, kde byly plochy od sebe vzdáleny řádově až o 10-4 mm. Pomocí parametru CNOF („contact surface offset“) lze tuto mezeru/prostup dále zmenšit. Nastavení kontaktní tuhosti bylo ponecháno na výchozí hodnotě (FKN = 1). Při nastavování kontaktních párů lze počítat také se třením, koeficient tření byl pro základní výpočet nastaven na hodnotu 0,1. Důležité parametry kontaktních párů lze najít v tab. 7.6. Počtem kontaktních prvků je myšlen celkový počet prvků, ne tedy počet prvků, které jsou skutečně v kontaktu. Tab. 7.6 Nastavení kontaktních párů

var. 2D VB var. 2D ZZ

var. 2D KZ var. 3D VB

7.4.2

místo kontaktu

počet prvků CONTA 172/174

počet prvků TARGE 169/170

koef. tření

valivý bod

139

121

0,1

218

124

0,1

188

186

0,1

180

153

0,1

245

214

0,1

480

580

0,1

vstup do záběru prostřední zuby výběh ze záběru prostřední zuby valivý bod

výchozí stav kontaktu [mm] mezera 4,8101.10-8 mezera 1,3067.10-4 mezera 6,3060.10-9 mezera 8,1175.10-6 mezera 1,4686.10-9 mezera 1,4299.10-6

KEYOPT(5) =

mezera po nast. parametru CNOF [mm]

1 - close gap

0

1 - close gap

2,4647.10-14

1 - close gap

8,8818.10-16

1 - close gap

1,3333.10-16

1 - close gap

8,8817.10-16

1 - close gap

1,6197.10-16

7.4.2 Stanovení zatížení Zatížení výpočtové modelu patří stejně jako vazby do okrajových podmínek. Kvalita modelu zatížení také určuje správnost řešení. Pro zadané soukolí bylo nutno nasimulovat zatížení pastorku vypočteným kroutícím momentem T1.

7.4.2.1

7.4.2.1 Zatížení variant 2D VB, 2D ZZ, 2D KZ Klíčový bod ve středu pastorku je vetknut (odebrány oba stupně volnosti), definováním síly na určitém poloměru tedy zatížíme pastorek momentem odpovídajícím součinu velikosti síly a poloměru (vzdálenosti od středu pastorku). Jako působiště této síly bylo využito vytvořené geometrie modelu a jeho dělení na podoblasti. Klíčový bod se nachází na ose y (tedy souřadnice x = 0) na poloměru


strana 65

7.4.2.1

r = 8 mm. Velikost síly, která působí na rameni r a vytvoří kroutící moment T1 = 10,15883Nm, tedy bude: F=

1000T1 1000.10 ,15883Nm = = 1270 N r 8mm F = 1270 N r = 8 mm

Model zatížení názorně ukazuje obr. 7.28. na variantě 2D VB. Pro varianty 2D ZZ a 2D KZ je model zatížení zcela shodný. V působišti síly se dá předpokládat vznik napěťových špiček, díky poloze působiště však nedojde k ovlivnění zubové oblasti, kterou budeme sledovat.

Obr. 7.28 Zatížení 2D modelů

7.4.2.2 Zatížení varianty 3D VB Zatížení 3D modelu vychází ze stejného předpokladu, tedy nahrazení kroutícího momentu silou na rameni. Aby se však 21 x (F = 30,2 N) zatížení rozložilo na celou šířku soukolí byla výsledná síla rozdělena do jednotlivých uzlových bodů. Pro model se symetrií je však nutné uvažovat pouze poloviční zatížení, tedy celkové zatížení F´ = 1270N/2 = 635N bude následně rozděleno do 21 uzlových bodů. Jeden uzlový bod tedy je zatížen silou F = 30,2N. Zatížení 3D modelu je Obr. 7.29 Zatížení 3D modelu zachyceno na obr. 7.29 r = 8 mm

7.4.2.2

7.5 Volba a nastavení řešiče

7.5

Před spuštěním výpočtu je vhodné zvolit řešič, kterým budeme výpočet provádět. Programový systém ANSYS jich nabízí několik. Lze také nastavit automatickou kontrolu nad výpočtem, ale pro nelineární úlohy se ukázalo výhodnější manuální nastavení. Volba řešiče a jeho nastavení se nachází v tab. 7.7. Úlohy byly řešeny na středně výkonném HW – procesor 1,5GHz, 768 MB DDR RAM. Tab. 7.7 Volba a nastavení

varianta řešič 2D VB 2D ZZ 2D KZ 3D VB

PCG PCG PCG PCG

NSUBST NLGEOM

AUTOTS

on on on on

on on on on

NSbst 10 10 10 10

max min 25 25 25 25

5 5 5 5

NEQIT 50 50 50 50

čas výpočtu [min] cca 30 cca 50 cca 50 cca 180

65

strana 66

8 Prezentace a analýza výsledků řešení

PREZENTACE A ANALÝZA VÝSLEDKŮ ŘEŠENÍ

8

8

8.1

8.1 Varianta 2D VB Varianta 2D VB se zabývá deformačně napěťovou analýzou zadaného čelního soukolí, které se nachází v poloze valivého bodu. Jedná se o 2D model tvořený osmiuzlovými prvky PLANE82, kontaktní oblasti jsou tvořeny kontaktními prvky TARGE169 a CONTA172. Výpočet je nelineární.

8.1.1

8.1.1 Prezentace výsledků Na obr. 8.1 – 8.3 jsou zachyceny průběhy redukovaného napětí σred dle podmínky HMH (v ANSYSu napětí von Mises stress – SEQV). Obr. 8.1 obsahuje celkový pohled na ovlivněnou oblast. Předpoklady se potvrdily, napěťové špičky vznikly v místě dotyku zubů a na patách zubů. Obr. 8.2 a 8.3 přibližují průběh redukovaného napětí v kontaktní oblasti. Na obr. 8.3 je vykreslen průběh velmi přiblížené kontaktní oblasti dle tzv. „element solution“. Vykreslení pomocí „element solution“ nám ukáže nezprůměrované výsledky (oproti tzv. „nodal solution“) včetně sítě prvků. Výsledky dle „nodal solution“ i „element solution“ se navzájem velmi přibližují, konečnoprvkovou síť tedy můžeme považovat za kvalitní a dostatečně jemnou ve vhodných oblastech.

Obr. 8.1 Var. 2D VB – redukované napětí σred


strana 67

8.1.1

Obr. 8.2 Var. 2D VB - σred v kontaktní oblasti

Obr. 8.3 Var. 2D VB - σred v kontaktní oblasti

Na obr. 8.4 je vykreslen průběh 3. hlavního napětí σ3 (v ANSYSu 3rd Principal stress – S3), které obsahuje zápornou složku napětí (tlakové napětí). V místě kontaktu zubů tedy odpovídá napětí v dotyku, další napěťovou špičku můžeme pozorovat na protějších patách zubů pastorku i kola, kde díky ohybu zubů dojde ke vzniku tlakových napětí. Obr. 8.5 zachycuje přiblíženou kontaktní oblast s průběhem napětí σ3.

Obr. 8.4 Var. 2D VB - σ3 na zubech v záběru

Obr. 8.5 Var. 2D VB - σ3 v kontaktní oblasti

1. hlavní napětí σ1 obsahuje kladné složky napětí (tahové napětí), při záběru zubů vzniká tahové napětí jejich ohybem v patách zubů. Průběh 1. hlavního napětí (v ANSYSu 1st Principal stress – S1) je na obr. 8.6. Detail paty zubu s průběhem ohybového napětí pomocí „element solution“ znázorňuje obr. 8.7.

Obr. 8.6 Var. 2D VB – 1. hlavní napětí σ1

Obr. 8.7 Var. 2D VB - σ1 v patě zubu pastorku

67

strana 68

8.1.1

8.1.2


Díky nelineárnímu řešení jsme získali průběh kontaktního tlaku přímo na povrchu pastorku a další charakteristiky kontaktní oblasti. Obr. 8.8 popisuje stav prvků v kontaktní oblasti (v ANSYSu Contact status – CONTSTAT). Modré prvky jsou kontaktu relativně vzdáleny, naopak prvky oranžové v kontaktu jsou. Na obr. 8.9 je zachycen průběh kontaktního tlaku (v ANSYSu Contact pressure – CONTPRES). Obr. 8.10 a 8.11 ukazují další veličiny – průběh zvětšování mezery mezi tělesy v kontaktu (v ANSYSu Contact gap distance – CONTGAP) a jejich prostup (v ANSYSu Contact Penetration – CONTPENE).

Obr. 8.8 Var. 2D VB – Stav kontaktu

Obr. 8.9 Var. 2D VB – kontaktní tlak

Obr. 8.10 Var. 2D VB – mezera (polovina kontaktní oblasti)

Obr. 8.11 Var. 2D VB – prostup těles

8.1.2 Analýza výsledků Řešená varianta 2D VB, která postihuje zadané čelní soukolí v poloze, kdy dochází ke kontaktu ve valivém bodě C, je pro srovnání s pevnostním výpočtem dle normy nejvhodnější. Výsledné hodnoty nejdůležitějších veličin, které byly výše graficky prezentovány, jsou seřazeny v tab. 8.1. Tab. 8.1 Var. 2D VB – číselné výsledky numerického řešení dle MKP

var. nodal sol. 2D VB element sol.

max. σred [MPa]

max. σ3 [MPa]

666,8 674,5

-703,9 -728,7

max. σ1 na patách [MPa] 59,7 59,7

max. kont. tlak [MPa] 668,5 690,6

prvků pastorku v kont. 30


strana 69

Pro srovnání s vypočítaným napětím v dotyku dle normy byla použita maximální hodnota kontaktního tlaku (CONTPRES – obr. 8.9) a pro srovnání s ohybovým napětím dle normy pak maximální hodnota 1. hlavního napětí (S1 – obr. 8.6 a 8.7) na patě zubu pastorku a kola. Pro srovnání nelze použít konečné hodnoty napětí v dotyku σH a ohybu σF1,2. Do řešení výpočtového modelu v systému ANSYS nemohou být zahrnuty některé charakteristiky kontaktu pastorku a kola. Zejména přídavná zatížení (vnitřní a vnější dynamické síly, nerovnoměrnost zatížení, …), které zohledňují součinitele KH a KF nelze v takto vytvořeném výpočtovém modelu uvažovat. Tyto součinitele tedy budou pro srovnání s numerickým řešením rovny 1 (KH = 1, KF = 1), tento stav popisují veličiny σH0 a σF01,2. Předmětem diskuze je také součinitel Zε, který budeme rovněž, u námi uvažovaného ideálního záběru po celé aktivní šířce ozubení, považovat roven 1 (Zε = 1). K pochopení těchto úvah může sloužit např. popis principu pevnostních výpočtů v kapitole 2 této práce. V tab. 8.2 a 8.3 je přehledné srovnání výsledků řešení dle normy a pomocí MKP. Tab. 8.2 Var. 2D VB – Napětí v dotyku

var. 2D VB

napětí v dotyku dle ČSN (KH = 1, Zε = 1) [MPa]

nodal sol. element sol.

690,7

rozdíl MKP rozdíl max. kont. výpočtu výsledků tlak dle (100% = ČSN) MKP [MPa] [MPa] [%] 668,5 22,2 3,2% 0,01% 690,6 0,1

Tab. 8.3 Var. 2D VB – Napětí v ohybu

var. 2D VB pastorek kolo

nodal sol. element sol. nodal sol. element sol.

napětí v ohybu dle ČSN (KH = 1) [MPa] 68,5 63,6

max. napětí σ1 dle MKP [MPa] 59,7 59,7 53,5 53,5

rozdíl výsledků [MPa] 8,8 8,8 11,1 11,1

rozdíl MKP výpočtu (100% = ČSN) [%] 12,8% 12,8% 17,4% 17,4%

Na základě výše uvedených srovnání můžeme říci, že výpočtový model se shoduje s normou ČSN. Zejména u napětí v dotyku téměř došlo ke shodě ve výsledcích řešení. Větší rozdíl naopak nastal při srovnání ohybových napětí. Výsledky numerického řešení ohybu na pastorku se od řešení dle normy ČSN liší o 12,8%, u ohybu na kole je to potom dokonce 17,4%. Výpočtový model tedy dosahuje větší přesnosti pro výpočet napětí v dotyku. Jako nejdůležitější pro kvalitní výsledky řešení se ukázala konečnoprvková síť, která má významný vliv na výsledky. Pro tuto variantu bylo vytvořeno několik Obr. 8.12 Var. 2D VB – nepravidelný průběh různých sítí, které se lišily zejména kontaktního napětí u jemnější sítě

69

8.1.2

strana 70


8.1.2

velikostí prvků v kontaktní oblasti. Při vygenerování sítě jemnější než je prezentována, docházelo u průběhů kontaktních charakteristik k nepravidelnostem (obr. 8.12), přitom číselné výsledky jsou téměř shodné. Pro větší shodu mezi výsledky dle „nodal solution“ a „element solution“ je také důležité zajistit, aby síť prvků CONTA172 byla „o něco“ jemnější než protilehlé prvky TARGE169.

8.1.2.1

8.1.2.1 Citlivostní analýza – koeficient tření Všechny varianty byly řešeny s koeficientem tření 0,1. Pro variantu 2D VB byla provedena citlivostní analýza, kdy stejný výpočtový model byl použit pro různé hodnoty koeficientu tření. Výsledné maximální hodnoty vybraných veličin jsou seřazeny v tab. 8.4 Tab. 8.4 Var. 2D VB – Citlivostní analýza - koeficient tření

koef. tření

0,01 0,03 0,05 0,075 0,1 0,15 0,2 0,3

675,4 701,3 674,2 699,6 668,1 688,7 666,6 692,5 668,6 690,6 668,5 690,6 668,5 690,6 668,5 690,6 668,5 690,6 napětí S3 v abs. hodnotě

nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s. nodal s. element s.

0

710

kon taktn í tlak

max. tečné napětí CONTSFRI [MPa] 0 0 -6,7 -6,7 -20,0 -20,7 -33,3 -34,6 -43,9 -44,9 -43,4 -45,0 -43,8 -47,2 -44,5 -49,8 -45,3 -55,3

max. kont. tlak CONTPRES [MPa]

nodal element

maximální kontaktní tlak - CONTPRES v MPa 700

690

max. 3. hl. napětí - S3 [MPa] -688,564 -705,537 -684,8 -708,1 -691,9 -721,2 -701,8 -725,5 -705,9 -731,1 -704,0 -728,7 -702,9 -727,4 -702,7 -726,7 -702,4 -726,5

740 nodal

3. hlavní napětí

element

730

720

710

680 700

670 690

660 680

650

670

640

660

0

0,01

0,03

0,05

0,075

0,1

0,15

0,2

0,3

koeficient tření

Graf 8.1 Var. 2D VB – Citlivostní analýza – kontaktní tlak

0

0,01

0,03

0,05

0,075

0,1

0,15

0,2

0,3

koeficient tření

Graf 8.2 Var. 2D VB – Citlivostní analýza – 3. hlavní napětí


strana 71

Změna maximální hodnoty kontaktního tlaku a 3. hlavního napětí σ3 je pro názornost ukázána také v grafech 8.1 a 8.2. Změna koeficientu tření se na výsledcích projevuje celkem nevýrazně.Můžeme tedy říci, že volba koeficientu tření má na sledované veličiny malý vliv.

8.1.2.1

8.2 Varianta 2D ZZ

8.2

Varianta 2D ZZ se zabývá deformačně napěťovou analýzou zadaného čelního soukolí, které vstupuje do záběru (dvoupárový záběr). Jedná se o 2D model tvořený osmiuzlovými prvky PLANE82, kontaktní oblasti jsou tvořeny kontaktními prvky TARGE169 a CONTA172. Výpočet je nelineární. 8.2.1 Prezentace výsledků

8.2.1

Při prezentaci výsledků této varianty je nutno podotknout, že v důsledku vzniku velkého napěťového maxima na několika prvcích v blízkosti kontaktu zubů při vstupu do záběru, dochází k problémům s vykreslováním průběhů jednotlivých veličin. Pro lepší názornost byly proto problémové prvky v některých případech odebrány z výběru. Těmto napěťovým špičkám se bude blíže věnovat následující kapitola. Na obr. 8.13 je zachycen průběh redukovaného napětí σred dle podmínky HMH (SEQV), lze pozorovat dvě kontaktní oblasti. Díky ohybu zubů vznikají mírné napěťové špičky na patách zubů, které jsou v kontaktu.

Obr. 8.13 Var. 2D ZZ – redukované napětí σred

71

strana 72

8.2.1


Obr. 8.14 ukazuje průběh 3. hlavního napětí σ3 (S3), tedy záporných tlakových napětí, které se projevují v kontaktních oblastech a na stlačených patách zubů. Na obr. 8.15 je vidět detail části zubů, při vstupu do záběru. Lze zde dobře pozorovat vznik napěťového maxima na několika prvcích (zelené až modré prvky).

Obr. 8.14 Var. 2D ZZ – 3. hlavní napětí σ3

Obr. 8.16 Var. 2D ZZ – 1. hlavní napětí σ1

Obr. 8.17 Var. 2D ZZ – kontaktní tlak v místě styku prostředních zubů

Obr. 8.15 Var. 2D ZZ – detail σ3 na vstup zubů do záběru

Obr. 8.16 znázorňuje průběh 1. hlavního napětí σ1 (S1), u této varianty tedy opět ohybová napětí na patách zubů. K ohybu dochází na patách obou zubů v záběru, maxima ale nedosahují takových hodnot jako u jednopárového záběru u varianty 2D VB. Obr. 8.17 a 8.18 ukazují průběhy kontaktních tlaků (CONTPRES) v obou místech záběru. Na obr. 8.18 lze pozorovat velkou napěťovou špičku kontaktního tlaku při vstupu zubů do záběru.

Obr. 8.18 Var. 2D ZZ – kontaktní tlak v místě vstupu zubů do záběru


strana 73

8.2.2 Analýza výsledků

8.2.2

Varianta 2D ZZ nebyla řešena pro srovnání s analytickým pevnostním výpočtem, ale společně s variantou 2D KZ jako doplňková úloha, která ukazuje dvoupárový záběr. V tabulce 8.5 jsou vypsány některé hodnoty sledovaných veličin, a to v místě záběru prostředních zubů. Tyto hodnoty lze srovnat s odpovídajícími hodnotami varianty 2D VB (tab. 8.1) a 2D KZ (tab. 8.6). Tab. 8.5 Var. 2D ZZ – číselné výsledky numerického řešení dle MKP

max. σred [MPa]*

max. σ3 [MPa]*

var. nodal sol. 527,2 -540,1 2D ZZ element sol. 527,3 -540,8 * v oblasti kontaktu prostředních zubů




Z tabulky vyplývá, že zatížení prostředních zubů modelu je menší než u varianty 2D VB. To je důsledek rozložení zatížení u dvoupárového záběru. Podařilo se vytvořit kvalitní konečnoprvkovou síť, která ve výsledku znamenala pravidelný a hladký průběh kontaktního tlaku v místě styku prostředních zubů i pro velmi jemnou síť (obr. 8.17). Největší problém se vyskytuje v místě vstupu zubů do záběru (levé zuby pastorku a kola). V této kontaktní oblasti dochází ke vzniku velkého napěťového maxima. Ostrá hrana hlavy zubu kola je přitlačována na bok zubu pastorku. Je to důsledek geometrie modelu, skutečný profil hlavy zubu takovéto ostré hrany nemá. Tento problém jsem se snažil vyřešit úpravou geometrie – přidáním malých zaoblení na tuto hranu. Jak je vidět na obr. 8.19 – 8.20, i po takovéto změně geometrie nadále napěťové špičky vznikají. Obr. 8.21 zobrazuje model, který v dané oblasti obsahuje velmi hrubou síť prvků, lze pozorovat, že dochází ke „zprůměrňování“ napěťové špičky s okolím a jejímu minimalizování. Takový model ovšem neposkytuje dostatečně kvalitní Obr. 8.19 Var. 2D ZZ – zaoblení hrany I výsledky.

Obr. 8.20 Var. 2D ZZ – zaoblení hrany II

Obr. 8.21 Var. 2D ZZ – hrubá síť 73

strana 74


8.2.2

Vzniku napěťových špiček by se zřejmě dalo vyhnout změnou profilu zubu (využitím korekce nebo prodloužením hlavy zubu). K vstupu do záběru by tak nedocházelo hned na hraně na začátku boku zubu. Takovéto řešení již ale není předmětem této diplomové práce.

8.3

8.3 Varianta 2D KZ Varianta 2D ZZ se zabývá deformačně napěťovou analýzou zadaného čelního soukolí, které vystupuje ze záběru (dvoupárový záběr). Jedná se o 2D model tvořený osmiuzlovými prvky PLANE82, kontaktní oblasti jsou tvořeny kontaktními prvky TARGE169 a CONTA172. Výpočet je nelineární.

8.3.1

8.3.1 Prezentace výsledků Při prezentaci výsledků této varianty došlo ke stejným problémům jako u varianty 2D ZZ. Tedy v důsledku vzniku napěťového maxima na několika prvcích v blízkosti kontaktu zubů při výstupu ze záběru, je pro lepší názornost nutno problémové prvky v některých případech odebrat z výběru. Vzniklým napěťovým špičkám se bude blíže věnovat kapitola „Analýza výsledků“. Pro srovnání s předchozími variantami jsou prezentovány stejné veličiny. Obr. 8.22 je zachycen průběh redukovaného napětí σred dle podmínky HMH (SEQV), opět lze pozorovat dvě kontaktní oblasti.

Obr. 8.22 Var. 2D KZ – redukované napětí σred


strana 75

Obr. 8.23 zobrazuje průběh 3. hlavního napětí σ3 (S3), tedy záporných tlakových napětí, které se projevují v kontaktních oblastech a na patách zubů. Na obr. 8.24 je vidět detail části zubů, při výstupu ze záběru. Lze zde dobře pozorovat vznik napěťové špičky na několika prvcích (zelené až modré prvky).

Obr. 8.23 Var. 2D KZ – 3. hlavní napětí σ3

Obr. 8.25 znázorňuje průběh 1. hlavního napětí σ1 (S1), u této varianty tedy opět ohybová napětí na patách zubů. K ohybu dochází na patách obou zubů v záběru, maximální ohybové napětí se oproti variantě 2D ZZ nachází na patě prostředního zubu kola. Obr. 8.26 a 8.27 ukazují průběhy kontaktních tlaků (CONTPRES) v obou místech záběru. Na obr. 8.27 lze pozorovat velkou napěťovou špičku kontaktního tlaku v místě výstupu zubů ze záběru.

Obr. 8.26 Var. 2D KZ – kontaktní tlak v místě styku prostředních zubů

Obr. 8.24 Var. 2D KZ – detail σ3 při výstupu zubů ze záběru

Obr. 8.25 Var. 2D KZ – 1. hlavní napětí σ1

Obr. 8.27 Var. 2D KZ – kontaktní tlak v místě výstupu zubů ze záběru

75

8.3.1

strana 76

8.3.2


8.3.2 Analýza výsledků Pro popis této varianty platí to, co bylo zmíněno v analýze varianty 2D ZZ. V důsledku dvoupárového záběru zubů dochází k rozložení zatížení do dvou oblastí. V tabulce 8.6 jsou vypsány některé hodnoty sledovaných veličin, a to v místě záběru prostředních zubů. Tyto hodnoty lze srovnat s odpovídajícími hodnotami varianty 2D VB (tab. 8.1) a 2D ZZ (tab. 8.5). Tab. 8.6 Var. 2D KZ – číselné výsledky numerického řešení dle MKP

max. σred [MPa]*

max. σ3 [MPa]*

var. nodal sol. 609,4 -669,8 2D KZ element sol. 613,5 -687,7 * v oblasti kontaktu prostředních zubů



Prvků pastorku v kont. 34

Při srovnání s předchozími variantami zjistíme, že zatížení prostředních zubů v poloze soukolí na konci záběru je opět menší než ve valivém bodě (var. 2D VB) a zároveň ale větší než u soukolí vstupujícího do záběru (var. 2D ZZ). Maximální ohybové napětí se nachází na patě prostředního zubu kola, nikoliv pastorku jako u předchozích úloh. U prezentovaného výpočtového modelu docházelo ke vzniku mírných nepravidelností v průběhu kontaktních charakteristik (obr. 8.26). Může to být opět způsobeno příliš jemnou sítí v kontaktní oblasti. Podobně jako u varianty 2D ZZ, i v místě výstupu zubů ze záběru dochází ke vzniku napěťových špiček. Ani v této oblasti se mi nepodařilo tyto maxima zredukovat změnou geometrie modelu zubů. Platí stejné závěry jako u var. 2D ZZ.

8.4

8.4 Varianta 3D VB Varianta 3D VB se zabývá deformačně napěťovou analýzou zadaného čelního soukolí, které se nachází v poloze, kdy dochází k záběru ve valivém bodě. Jedná se o 3D model tvořený dvacetiuzlovými prvky SOLID95, kontaktní oblasti jsou tvořeny kontaktními prvky TARGE170 a CONTA174. Úloha je řešena pomocí symetrie na modelu o poloviční šířce. Oproti 2D modelům je konečnoprvková síť výrazně hrubější. Výpočet je nelineární.

8.4.1

8.4.1 Prezentace výsledků Hrubější konečnoprvková síť znamená urychlení výpočtu, ale logiky poskytne méně kvalitní průběhy sledovaných veličin. Výsledky řešení této varianty budou srovnány zejména s výsledky varianty 2D VB, tedy 2D modelu soukolí ve stejné poloze. Prezentovány jsou tedy podobné veličiny jako u varianty 2D VB. Na obr. 8.28 je průběh redukovaného napětí σred dle podmínky HMH (SEQV), obr. 8.29 a 8.30 přibližují kontaktní oblast a patu zubu pastorku, který je v záběru. Obr. 8.31 přibližuje průběh 3. hlavního napětí σ3 (S3), tedy záporných tlakových napětí, které se projevují v kontaktních oblastech a na stlačených patách zubů. Na obr. 8.32 je vidět detail kontaktní oblasti, vykresleno pomocí „element solution“.


strana 77

8.4.1




Obr. 8.31 Var. 3D VB – 3. hlavní napětí σ3

Obr. 8.32 Var. 3D VB – detail 3. hl. napětí σ3

77

strana 78


8.4.1

symetrie

Obr. 8.33 Var. 3D VB – 1. hlaví napětí σ1

Obr. 8.33 znázorňuje průběh 1. hlavního napětí σ1 (S1) na patě zubu pastorku (podobný průběh u paty kola). Zachycuje ohybové napětí na patě zubu. Obr. 8.34 a 8.35 ukazují charakteristiky kontaktní plochy tvořenou prvky CONTA174. Na obr. 8.34 je rozložení kontaktního tlaku (CONTPRES), obr. 8.35 zachycuje detail průběhu kontaktního tlaku. Průběhy jsou zobrazeny na modelu, který je poloviční skutečnému soukolí, předepsaná symetrie je na obrázcích vyznačena.

symetrie Obr. 8.34 Var. 3D VB – kontaktní tlak

8.4.2

Obr. 8.35 Var. 3D VB – kontaktní tlak - detail

8.4.2 Analýza výsledků 3D model soukolí ve valivém bodě byl vytvořen zejména pro srovnání s variantou 2D VB, tedy odpovídajícím 2D modelem. Vytvoření 3D modelu soukolí s přímými zuby není časově náročnější než vytvoření 2D modelu, s ohledem na náročnost výpočtu však nelze zajistit stejně jemnou konečnoprvkovou síť. Prezentace výsledků je na 3D modelu názornější, ale výsledky a průběhy některých veličin mohou být, díky hrubější síti, trochu zkresleny. Sledované veličiny jsou shrnuty v tab. 8.7. Tab. 8.7 Var. 3D VB – číselné výsledky numerického řešení dle MKP

var. nodal sol. 3D VB element sol.

max. σred [MPa]

max. σ3 [MPa]

453,1 507,1

-793,5 -876,4




Na příliš hrubou síť v kontaktní oblasti poukazuje také velký rozdíl mezi zprůměrovanými (nodal solution) a nezprůměrovanými (element solution) výsledky. Naopak dobré výsledky jsme získali u ohybového napětí na patách zubů, to svědčí o tom, že v této oblasti je síť dostatečně jemná a poskytuje přesné výsledky. Srovnání s variantou 2D VB a s výpočtem dle normy ČSN se nachází v tab. 8.8.


strana 79

Tab. 8.8 Var. 3D VB – Srovnání výsledků numerického řešení dle MKP (nodal solution) s normou

napětí v dotyku [MPa] ohybové pastorek napětí na patě kolo [MPa]

8.4.2

rozdíl oproti var. 2D VB 20,2 (3,0%)

dle normy

var. 2D VB

var. 3D VB

rozdíl oproti normě

690,7

668,5

688,7

2 (0,3%)

68,5

59,7

64,6

3,9 (5,7%)

4,9 (8,2%)

63,6

53,5

58,3

5,3 (8,3%)

4,8 (9,0%)

Z tabulkového srovnání vyplývá, že u obou přístupů (2D i 3D model) dosáhneme odpovídajících výsledků. Pro vytvořený 3D model platí, že by bylo vhodné konečnoprvkovou síť v některých oblastech ještě více zjemnit. Dojde tak sice k prodloužení nelineárního výpočtu, ale tento problém, zvláště s ohledem na neustále rostoucí výkon výpočetní techniky, časem odpadne a takováto síť prvků poté může poskytnout i kvalitní řešení na celém modelu. Závěrem této krátké analýzy mohu říci, že pro deformačně napěťovou analýzu čelního soukolí lze vytvořit a úspěšně použít jak 2D modelu, tak 3D modelu. U obou variant bylo dosaženo požadovaných výsledků. Neexistuje jednoznačné doporučení, kterou variantu použít. 2D model může obsahovat velice jemnou síť a jak je patrno z prezentovaných obrázků a tabulkových srovnání, dosáhneme kvalitních průběhu a výsledných hodnot sledovaných veličin. U 3D modelu, který obsahuje další rozměr, můžeme zase poukázat na větší názornost. To platí pro soukolí s přímými zuby. Ozubení se šikmými zuby či jiná modifikovaná soukolí je vhodnější řešit pouze jako 3D úlohy.

79

strana 80

9

9 Závěr

9

ZÁVĚR

Stěžejním tématem této diplomové práce bylo provedení deformačně napěťové analýzy zadaného čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby. Sledována byla zejména únosnost boků zubů v dotyku a únosnost zubů v ohybu. Statická deformačně napěťová analýzy byla realizována numericky, pomocí metody konečných prvků (MKP), ve výpočtovém systému ANASYS. Výsledky získané numerickou metodou byly srovnány s odpovídajícími výsledky výpočtů únosnosti dle stávající platné normy ČSN 01 4686. Pevnostní výpočet dle uvedené normy nebyl proveden kompletně, byly vybrány pouze pasáže nutné pro srovnání s výsledky numerického výpočtu. Z důvodu využití nelineárního řešení pro deformačně napěťovou analýzu záběru ozubených kol (kontakt) bylo nejprve vyřešeno několik úloh na základní Hertzův kontakt, na kterých bylo plně zvládnuto řešení nelineárních úloh s kontaktem těles. Byly vytvořeny a vyřešeny 4 úlohy: § Úloha č.1 – kontakt koule s rovinou – mezi analytickým výpočtem (p01 = 2953 MPa) a numerickým (pOANS1 = 2960 MPa) je rozdíl 7 MPa, tedy 0,25% § Úloha č.2 – kontakt 2 koulí – mezi analytickým výpočtem (p02 = 3577 MPa) a numerickým (p0ANS2 = 3588 MPa) je rozdíl 11 MPa, tedy 0,3% § Úloha č.4 – kontakt koule s kulovou prohlubní – mezi analytickým výpočtem (p03 = 2254 MPa) a numerickým ( p0ANS3 = 2259 MPa) je rozdíl 5 MPa, tedy 0,2% § Úloha č. 4 – kontakt dvou válců – mezi analytickým výpočtem (p04 = 404 MPa) a numerickým (p0ANS4 = 385) je rozdíl 19 MPa, tedy 4,7% Úlohy tedy byly vyřešeny s vysokou přesností, výpočtové modely pro nelineární řešení byly vytvořeny správně. Před samotnou tvorbou výpočtových modelů soukolí byla ze zadaných veličin dopočítána geometrie ozubení a následně proveden pevnostní výpočet dle normy ČSN 01 4686. Výsledné napětí v dotyku (σH = 1010,9 MPa) a v ohybu (pastorek σF1 = 182,5 MPa, kolo - σF1 = 151,1 MPa) však nelze použít pro srovnání s numerickým výpočtem. Úvahou byly určeny přídavné součinitele, které výpočet v ANSYSu nemůže postihnout a jež je tedy nutno položit rovno 1. Pro hodnoty součinitelů KH = 1, KF = 1 a Zε = 1 tedy platí σH ANS = 690,7 MPa, σF1 ANS = 68,5 MPa, σF2 ANS = 63,6 MPa. Tyto hodnoty byly použito pro následné srovnání s numerickým výpočtem. V kapitole 7 je podrobně popsána tvorba výpočtových modelů zadaného soukolí. Byly vytvořeny tyto 4 varianty: § Varianta 2D VB – soukolí ve valivém bodě C (2D model) § Varianta 2D ZZ – soukolí na začátku záběru (2D model) § Varianta 2D KZ – soukolí na konci záběru (2D modelu) § Varianta 3D VB – soukolí ve valivém bodě (3D model) Pro srovnání s analytickým výpočtem jsou vhodné výsledné hodnoty maximálního kontaktního tlaku, který odpovídá napětí v dotyku a maximální hodnoty 1. hlavního

9 Závěr

strana 81

napětí ve sledované patě zubu, která odpovídá tahovému napětí. Sledován byl také průběh redukovaného napětí σred a 3. hlavního napětí σ3.S normou byly porovnány především varianty 2D VB a 3D VB. V obou případech hodnoty zmíněných veličin dostatečně sledují výpočet dle normy. U varianty 2D VB jsme získali max. kontaktní tlak pmax = 668,5 MPa, to je pouze rozdíl 3,2% oproti napětí v dotyku dle normy. Větší rozdíl (přes 12%) ve výsledcích nastal u 1. hlavního napětí, kde σ1past = 59,7 MPa pro ohybové napětí na patě zubu pastorku a σ1kolo = 53,5 MPa pro patu zubu kola. Jemná síť zajistila kvalitní průběhy ve všech sledovaných oblastech modelu, řešení „element solution“ se velmi blíží „nodal solution“. Model varianty 3D VB poskytl podobně kvalitní výsledky. Max. kontaktní tlak pmax = 688,7 MPa, odpovídá rozdílu 0,3%. 1. hlavní napětí na patách zubů σ1past = 64,6 MPa pro ohybové napětí na patě zubu pastorku a σ1kolo = 58,3 MPa pro patu zubu kola, ukazuje na rozdíl 3,9%, resp. 5,3%. Zprůměrované výsledky dle „nodal solution“ se tedy normě přibližují více než u varianty 2D VB. Je však nutné zdůraznit, že dochází ke značnému rozdílu u nezprůměrovaných výsledků dle „element solution“ a to především díky použití hrubější konečnoprvkové sítě. Proto také není možné 3D model považovat za kvalitnější a lépe popisující záběr soukolí ve valivém bodě. Tvorba 3D modelu má spíše ukázat na jeden ze směrů, ve kterém je možno v tématu pokračovat. Varianty 2D ZZ a 2D KZ nelze z podstaty srovnávat s analytickým výpočtem, protože pevnostní výpočet tyto polohy nezahrnuje. Výpočtové modely se tedy pokoušejí soukolí v těchto polohách alespoň částečně popsat. U prezentovaných výsledků je patrné rozložení zatížení zubů (dvoupárový záběr) a tedy snížení kontaktních tlaků na prostředních zubech modelu oproti soukolí ve valivém bodě. Asi největším nedostatkem těchto modelů je vznik napěťových špiček v místě vstupu zubů do záběru a jejich výběhu ze záběru. K jejich odstranění nepřispěla ani úprava geometrie zubů v dané oblasti (zaoblení hrany). Problém je částečně způsoben také tím, že modely popisují standardní základní profil zubu bez korekcí. Využitím korekcí či jiných nestandardních profilů zubu je možné tyto nedostatky odstranit, to ale není předmětem této diplomové práce. V této diplomové práci jsem se snažil vytvořit „praktický návod“ k výpočtovému modelování ozubených soukolí, které je popsáno na jednoduchém čelní ozubení s přímými zuby. Na tento úvod do problematiky lze navázat řešením podobných problémů u náročnějších ozubení (šikmé zuby, modifikované výšky zubu, úhel záběru, slabý věnec, vliv konstrukčních vrubů atd.), u kterých nelze dost dobře využít analytické metody pevnostních výpočtů a jsou tedy velmi vhodné pro deformačně napěťovou analýzu pomocí MKP, zejména jako 3D úlohy.

81

9

strana 82

Literatura

LITERATURA |1| MORAVEC, V.: Konstrukce strojů a zařízení II. – čelní ozubená kola. Montanex, Ostrava, 2001 |2| ČSN 01 4686. Pevnostní výpočet čelních a kuželových ozubených kol |3| BOHÁČEK, F a kol.: Části a mechanismy strojů III – Převody. VUT v Brně, Brno, 1987 |4| SAS IP, Inc.: Nápověda programového systému ANSYS 8.1. |5| HORYL, P., HLAVÁČKOVÁ, M.: Contact and substandard gearing. In Conference Proceedings 11st CAD-FEM Users’Meeting 2003 “Int. Congress on FEM Technology“. Potsdam, 2003 |6| WANG, E.: Ansys contact. In Conference Proceedings 12th CAD-FEM Users’Meeting 2004 “Int. Congress on FEM Technology“. Hrubá skála, 2004

Pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP

Recommend Documents