Pertemuan ke-3 Persamaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection) 27 September 2012
Analisa Terapan Terapan:: Metode Numerik
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Metode Bisection – Dasar Teorema:
Suatu persamaan f(x)=0, dimana f(x) adalah fungsi kontinyu real, memiliki akar-akar antara xl dan xu bila f(xl) f(xu) < 0. f(x)
xl xu
x
Gambar 1 Setidaknya satu akar persamaan berada diantara dua titik bila fungsi real, kontinyu, dan berbeda tanda. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
2
1
Metode Bisection – Dasar f(x)
xu
xl
x
Gambar 2 Jika fungsi f(x) tidak berubah tanda antara dua titik titik,, akar akar--akar persamaan f(x) = 0 masih berada diantara dua titik Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
3
Metode Bisection – Dasar f(x)
f(x)
xl xl
xu
xu
x
f (x )
x
f (x ) = 0
Gambar 3 Bila fungsi f(x) tidak berubah tanda diantara dua titik titik,, akar akar-akar persamaan f(x) = 0 tidak berada diantara dua titik Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
4
Metode Bisection – Dasar
f(x)
xu xl
x
Gambar 4 Bila fungsi f(x) berubah tanda diantara dua titik, lebih dari satu akar persamaan f(x) = 0 berada diantara dua titik Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Persamaan NonNon-Linier: Metode Bisection
Algoritma metode Bisection
5
Langkah 1 Pilih xℓ dan xu sebagai dua akar perkiraan sehingga f(xℓ) f(x f(xu) < 0, atau f(x) tanda yang berbeda antara xℓ dan xu. Seperti pada Gambar 1-1. f(x)
xℓ xu
x
Gambar 1-1 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
7
Langkah 2 Perkirakan akar xm dari persamaan f(x) = 0 sebagai titik tengah (mid point) antara xℓ and xu yaitu f(x)
xm =
xℓ + xu 2
xℓ
xm xu
x
Gambar 5 Perkiraan xm Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
8
Langkah 3 Periksa kondisi berikut: berikut: a) Bila f(xl) f(x f(xm) < 0, maka akar berada diantara xℓ dan xm; dan xℓ = xℓ ; xu = xm. b) Bila f(xl) f(x f(xm) > 0, maka akar persamaan berada diantara xm dan xu; dan xℓ = xm; xu = xu. c) Bila f(xl) f(x f(xm) = 0; maka akar persamaan adalah xm. Hentikan algoritma bila benar benar.. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
9
Langkah 4 Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan: xm =
xℓ + xu 2
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif ∈a =
− xmold x new m xmnew
×100
dimana, xmold = nilai perkiraan akar sebelumnya xmnew = nilai perkiraan baru akar Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
10
Langkah 5 Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|
Yes
Ke Langkah 2 gunakam nilai perkiraan baru atas dan bawah
No
“Stop“ algoritma
Is ∈a >∈s ?
Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasi maksimum yang diijinkan. Bila kondisi ini tercapai, algoritma perlu dihentikan penghitungannya. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
11
Contoh1 Suatu bola terapung seperti Gambar 6 memiliki berat jenis 0.6 dan jarijari-jari 5.5 cm. Tentukan kedalaman bola yang terendam dalam air!
Gambar 6 Diagram bola terapung Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
12
Contoh1 (Cont.) Kedalaman bola yang terendam air x dinyatakan dengan persamaan berikut x 3 − 0.165 x 2 + 3.993 ×10 −4 = 0
a) Gunakan metode bisection untuk menentukan akarakar-akar persamaan kedalaman bola yang terendam air x. Lakukan tiga kali iterasi untuk memperkirakan akarakar-akar persamaan terebut. terebut. b) Tentukan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif pada masingmasing-masing iterasi, iterasi, dan jumlah digit pentingnya. pentingnya. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
13
Contoh 1 (Cont.) Secara fisik, fisik, bagian bola yang terendam air memiliki kedalaman antara x = 0 dan x = 2 2R R, dengan R = jari jari--jari bola, yaitu 0 ≤ x ≤ 2R 0 ≤ x ≤ 2(0.055) 0 ≤ x ≤ 0.11
Gambar 6 Diagram bola terapung Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
14
Contoh1 (Cont. ) – Solusi Penyelesaian:
0.0005 0.0004 0.0003
Fungsi f(x)
Untuk membantu pemahaman tentang bagaimana metode ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan, ditampilkan grafik fungsi f(x), dimana
0.0002 0.0001 0 -0.02 -0.0001
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-0.0002 -0.0003
x (m) f(x)
f ( x ) = x 3 − 0.165 x 2 + 3.993 ×10- 4
Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
15
Contoh1 (Cont.) – Solusi Asumsikan nilai awal terendah dan teratas
xℓ = 0.00 xu = 0.11
Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓ and xu . 3
2
f ( xl ) = f (0) = (0) − 0.165(0) + 3.993 × 10 −4 = 3.993 ×10 −4 3
2
f ( xu ) = f (0.11) = (0.11) − 0.165(0.11) + 3.993 × 10 − 4 = −2.662 × 10 − 4 Maka
(
)(
)
f ( xl ) f ( xu ) = f (0) f (0.11) = 3.993 ×10 −4 − 2.662 ×10 −4 < 0 Jadi, terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓ and xu, yaitu antara 0 dan 0.11 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
16
Contoh 1 (Cont.) – Solusi 0.0005 0.0004
Fungsi f(x)
0.0003 0.0002 0.0001 0 -0.02 -0.0001
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-0.0002 -0.0003
x (m) f(x)
xl
xu
Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tanda diantara batas awal xl dan xu Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
17
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Iterasi 1 Nilai perkiraan akar persamaan
xm =
3
xℓ + xu 0 + 0.11 = = 0.055 2 2 2
f ( xm ) = f (0.055) = (0.055) − 0.165(0.055) + 3.993 ×10 −4 = 6.655 ×10 −5
(
)(
)
f ( xl ) f (xm ) = f (0) f (0.055) = 3.993 ×10 − 4 6.655 ×10 −5 > 0 Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara 0.055 dan 0.11. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar persamaan
xl = 0.055, xu = 0.11 Pada titik ini, nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belum bisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
18
Contoh 1 (Cont.) – Solusi 0.0005 0.0004
Fungsi f(x)
0.0003 0.0002 0.0001 0 -0.02 -0.0001
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-0.0002 -0.0003
x (m) f(x)
xl
xu
xm,1
Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
19
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Iterasi 2 Nilai perkiraan akar persamaan
xm =
xℓ + xu 0.055 + 0.11 = = 0.0825 2 2
3
2
f ( xm ) = f (0.0825) = (0.0825) − 0.165(0.0825) + 3.993 × 10 −4 = −1.622 × 10 −4 f ( xl ) f ( xm ) = f (0.055) f (0.0825) = (− 1.622 × 10 −4 )(6.655 × 10 −5 ) < 0 Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara 0.055 dan 0.0825. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar persamaan
xl = 0.055, xu = 0.0825
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
20
Contoh 1 (Cont.) – Solusi 0.0005 0.0004
Fungsi f(x)
0.0003 0.0002 0.0001 0 -0.02 -0.0001
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-0.0002 -0.0003
x (m) f(x)
xl
xu
xm,2
Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
21
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2
∈a =
xm( 2 ) − xm(1) xm( 2 )
×100
0.0825 − 0.055 × 100 0.0825 = 33.333% =
Jumlah digit penting akar persamaan xm = 0.0825 belum memberikan hasil yang tepat karena nilai |εa| > 5%.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
22
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Iterasi 3 Nilai perkiraan akar persamaan
xm =
xℓ + xu 0.055 + 0.0825 = = 0.06875 2 2
3
2
f ( xm ) = f (0.06875) = (0.06875) − 0.165(0.06875) + 3.993 ×10 −4 = −5.563 ×10 −5
(
)(
)
f ( xl ) f ( xm ) = f (0.055) f (0.06875) = 6.655 ×10 −5 − 5.563 ×10 −5 < 0 Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara 0.055 and 0.06875. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar persamaan
xl = 0.055, xu = 0.06875
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
23
Contoh 1 (Cont.) – Solusi 0.0005 0.0004
Fungsi f(x)
0.0003 0.0002 0.0001 0 -0.02 -0.0001
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-0.0002 -0.0003
x (m) f(x)
xl
xu
xm,3
Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
24
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3
∈a =
xm( 3) − xm( 2 ) xm( 3)
× 100
0.06875 − 0.0825 × 100 0.06875 = 20% =
Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa| masih > 5%. Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
25
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasi menggunakan Metode Bisection Iteration
xℓ
xu
xm
∈a %
f(xm)
1 2
0.00000 0.055
0.11 0.11
0.055 0.0825
---------33.33
6.655×10−5 −1.622×10−4
3 4 5 6 7
0.055 0.055 0.06188 0.06188 0.06188
0.0825 0.06875 0.06875 0.06531 0.06359
0.06875 0.06188 0.06531 0.06359 0.06273
20.00 11.11 5.263 2.702 1.370
−5.563×10−5 4.484×10−6 −2.593×10−5 −1.0804×10−5 −3.176×10−6
8 9 10
0.06188 0.0623 0.0623
0.06273 0.06273 0.06252
0.0623 0.06252 0.06241
0.6897 0.3436 0.1721
6.497×10−7 −1.265×10−6 −3.0768×10−7
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
26
Contoh 1 (Cont.) – Solusi 0.09
Akar persamaan, Xm
0.07 0.06 0.05 0.04
xm
0.03 0.02 0.01
Kesalahan perkiraan relatif (%)
100
0.08
10
|ea|
1
0.1
0 0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
Iterasi ke-n
Iterasi ke-n
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
27
Contoh 1 (Cont.) – Solusi Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagai nilai terbanyak m yaitu :
∈a ≤ 0.5 ×10 2− m 0.1721 ≤ 0.5 ×10 2− m 0.3442 ≤ 10 2− m log(0.3442 ) ≤ 2 − m m ≤ 2 − log(0.3442) = 2.463 Jadi, m = 2 Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 0.06241 pada iterasi ke-10 adalah 2. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
28
Kelebihan Metode Bisection • Selalu konvergen. konvergen. • Akar persamaan berkurang pada setiap iterasi.. iterasi
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
29
Kekurangan Metode Bisection
Mencapai konvergen relatif lama Bila nilai perkiraan akar awal terlalu dekat dengan nilai akarnya, konverge dicapai lebih lama.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
30
Kekurangan Metode Bisection • Bila fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga hanya menyentuh sumbu x, maka tidak diperoleh nilai perkiraan terendah dan tertinggi. tertinggi. f(x)
f (x ) = x 2 x
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
31
Kekurangan Metode Bisection
Fungsi berubah tanda, tetapi tidak memiliki akar-akar persamaan. f(x)
1 f (x ) = x x
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
32
