PERSAMAAN BERNOULLI Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng
Pendahuluan Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan. Pada zat cair mengalir, diperhitungkan kecepatan, arah partikel, kekentalan yang menyebabkan gesekan antar partikel maupun dinding batas. Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari persamaan gerak. Persamaan energi → persamaan Euler untuk 3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D. Chapter 6: Persamaan Bernoulli
1
Persamaan Bernoulli Persamaan Bernoulli adalah hubungan pendekatan antara tekanan,, kecepatan p dan elevasi dan berlaku dalam aliran mantap, tak termampatkan dimana gaya geseran netto diabaikan. Persamaan berguna dalam daerah aliran di luar lapis batas (boundary layers), layers) dimana gerak fluida ditentukan efek gabungan gaya tekanan dan gaya berat. Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli Anggapan: Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalan Zat cair homogen, tidak termampatkan Aliran kontinu dan sepanjang garis arus (irrotational flow) p Kecepatan merata Gaya yang bekerja hanya gaya berat dan tekanan. Chapter 6: Persamaan Bernoulli
2
Garis aliran
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
3
Penurunan Persamaan Bernoulli
Go to Hydrodynamic Analysis
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
Gaya tekan dari up stream: p.dA ∂p ⎛ ⎞ ds ⎟ dA d id t dari down stream: ⎜p+ ∂s ⎝ ⎠ Berat zat cair: W = ρ.g.dA.ds Komponen berat arah s : ρ.g.dA.ds.cosθ :ρ.g.dAds.∂z/∂s Resultan gaya: F =−
∂p ∂z dA.ds − ρg.dA.ds. ∂s ∂s Chapter 6: Persamaan Bernoulli
4
Keseimbangan Gaya Menurut hukum Newton II: F = M.a
−
∂p ∂z dA.ds − ρg.dA.ds. = ρdA.ds.a ∂s ∂s ∂ −
∂s
(p + γz ) = ρ a
Bila v = f(s,t) → a = dv = ∂v + ∂v ∂s = ∂v + v ∂v dt
∂t
∂s ∂t
∂t
∂s
Sehingga pers menjadi:
⎛ ∂v ∂v ⎞ ∂ + v ⎟ + ( p + γ .z ) = 0 ∂s ⎠ ∂s ⎝ ∂t
ρ⎜
→ pers. Euler Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli Dari pers. Euler
∂v ⎞ ∂ ⎛ ∂v + v ⎟ + ( p + γ .z ) = 0 ∂s ⎠ ∂s ⎝ ∂t
ρ⎜
Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka
ρvdv + d ( p + γ .z ) = 0 1 ρ v 2 + p + γz = C 2
atau
v2 z+ + = H = const γ 2g p
→ pers. Bernoulli
dimana : H = total head (tinggi tekan total) z = potential head (tinggi tempat) p = pressure head (tinggi tekan) v2/2g = velocity head (tinggi kecepatan)
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
5
Garis Energi Zat Cair Ideal
v2 Persamaan energi: H = z + + γ 2g p
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titik pada garis arus yang sama memenuhi
P1 V12 P2 V22 + +z = + +z ρ1 g 2 g 1 ρ 2 g 2 g 2 dimana P/ρ : energi aliran, V2/2 : energi kinetis, dan gz : energi potensial, semua per unit mass. Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataan keseimbangan energi mekanis (mechanical energy balance) Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik Swiss Daniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis pada tahun 1738. Chapter 6: Persamaan Bernoulli
6
Persamaan Bernoulli Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arus untuk aliran mantap, tak termampatkan:
untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan menjadi: adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatis sebagaimana sama dengan dalam fluida diam Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan adalah:
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
7
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi Persamaan Bernoulli
P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan termodinamika aktual dari fluida. ρV2/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasi kenaikan tekanan bila fluida dalam gerak. ρgz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada bidang referensi yang ditetapkan.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi Jumlah tekanan statis, dinamis, dan hidrostatis disebut tekanan total (konstan sepanjang garis arus). Jumlah tekanan statis dan dinamis disebut tekanan stagnasi,
Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari :
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
8
Aplikasi Persamaan Energi
Titik 2 : titik stagnasi Dari pers energi didapat: p2 = p1 + ½ ρv12 Tekanan dinamis = ½ ρv12 Tekanan stagnasi = p2 Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tabung Stagnasi V2 p V2 + z1 + 1 = 2 + z2 + 2 γ 2g γ 2g
p1
p1 V12 p2 + = γ 2g γ 2 V12 = ( p2 − p1)
ρ
=
2
ρ
(γ (l + d ) − γd )
V1 = 2gl Chapter 6: Persamaan Bernoulli
9
Tabung Stagnasi dalam Pipa V2 2g
V2 H = +z+ γ 2g
p
p
γ
Pipe 2
Flow 1
z
z=0
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Pipa Pitot-statis Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari:
Piezometer mengukur tekanan statis.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
10
Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)
Dari D i pers energii : p2 = p1 + ½ ρv12 ρgh2 = ρgh1 + ½ ρv12
v1 =
2 g (h2 − h1 ) Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Venturi meter
Total energi titik 1 = total energi titik 2 Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran Q act = C d A1 A2
⎞ ⎛ρ 2 gh ⎜⎜ man − 1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ρ A12 − A22 Chapter 6: Persamaan Bernoulli
11
Garis Energi dan Garis Tekanan Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis nenggunakan tinggi.
P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolom fluida yang menghasilkan tekanan statis P. V2/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yang p p kecepatan p untuk fluida mencapai V selama jjatuh bebas diperlukan tanpa gesekan. z adalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial dari fluida. H adalah tinggi total.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi dan Garis Tekanan Garis Tekanan (HGL)
HGL =
P +z ρg
Garis Energy (EGL) (atau tinggi total)
EGL =
P V2 + +z ρ g 2g
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
12
Garis Energi Aliran Zat Cair Riil
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
HGL dan EGL Untuk benda diam seperti waduk atau danau, EGL dan HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, sepanjang p j g kecepatannya p y nol dan tekana statis (gage) = nol. EGL selalu berjarak V2/2g di atas HGL. Dalam idealized Bernoulli-type flow, EGL horisontal dan tingginya tetap konstan. Ini juga untuk HGL bila kecepatan aliran konstan. Untuk aliran saluran terbuka (openchannel flow), flow) HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, dan EGL berjarak V2/2g di atas permukaan bebas.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
13
HGL dan EGL Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titik dimana HGL memotong fluida.Tekanan dalam bagian aliran yang terletak di atas HGL negatif, negatif dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGL positif.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Kecepatan aliran dalam pipa = 0 Chapter 6: Persamaan Bernoulli
14
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Aliran zat cair ideal Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Aliran zat cair riil Chapter 6: Persamaan Bernoulli
15
Contoh Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m. Hitung : Tekanan di A. Penyelesaian : persamaan Bernoulli
titik 1
V2 p V2 + z1 + 1 = A + z A + A γ 2g γ 2g
p1
0
γ
+h+
0 p V2 = A +0+ A 2g γ 2g
Titik A
V2 18 p A = γ ( h − A ) = 98 9810 0(15 5− ) 2g 9.81 p A = 129.2 kPa
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Contoh Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ft Hitung: VA
Point 1
Penyelesaian: persamaan Bernoulli
p1
γ
+ z1 +
0
γ
+h+
V12 p A V2 = + zA + A 2g 2g γ
Point A
0 0 V2 = +0+ A 2g γ 2g V A = 2 gh = 16 ft / s
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
16
Contoh – Tabung Venturi Diketahui: air 20oC, V1=2 m/s, p1=50 kPa, D=6 cm, d=3 cm Hitung : p2 dan p3 Penyelesaian : persamaan kontinuitas.
D
D
d
V1 A1 = V2 A2
2
A D V2 = V1 1 = V1⎛⎜ ⎞⎟ A2 ⎝d ⎠
2
Persamaan Bernoulli p1
γ
V12
+ z1 +
2g
p 2 = p1 + = p1 +
ρ 2
ρ 2
=
p2
(V12
γ
+ z2 +
V 22 2g
− V 22 )
[1 − (D / d )4 ]V12
1000 [1 − (6 / 3 )4 ]2 2 Pa 2 p 2 = 120 kPa
= 150 ,000 +
1
3
Nozzle: kecepatan meningkat, tekanan turun
Diffuser: kecepatan turun, tekanan meningkat
Sama halnya untuk 2 Æ 3, atau 1 Æ 3
p3 = 150 kPa Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap tidak ada kehilangan karena gesekan Tahu penurunan tekanan 1 Æ 2 dan d/D, dapat dihitung kecepatan dan debit
V2 =
2( p1 − p2 )
ρ [1 − (d / D )4 ]
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Analisis Energi Aliran Mantap Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak ada peralatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi: P1 V12 P2 V22 + +z = + + z2 ρ1 g 2 g 1 ρ 2 g 2 g Faktor koreksi energi kinetis, α Menggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaan dapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energi kinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis, digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan mengganti term energii kinetis persamaan energii dengan t ki ti V2/2 dalam d l d 2 αVavg /2. α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk aliran turbulen dalam pipe bulat. Chapter 6: Persamaan Bernoulli
17
Faktor Koreksi Energi Kinetik
Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetik g v2/2g Kenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energi kinetik rata-rata α.v2/2g Dimana α = koefisien Coriolis = koreksi energi kinetik Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Analisis Energi Aliran Mantap α sering diabaikan, sepanjang mendekati 1 untuk aliran turbulen dan kontribusi energi kinetis kecil. persamaan energi untuk aliran mantap, tak termampatkan, menjadi
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
18
Harga Faktor Koreksi α 1
3 Harga faktor koreksi α = Av 3 ∫ v dA A
Harga α tegantung distribusi kecepatan Aliran dalam pipa : laminer α = 2 turbulen α = 1,01 – 1,15 Setelah dikoreksi persamaan energi p2 v22 p1 v12 menjadi :
z1 +
γ
+ α1
2g
= z2 +
γ
+ α2
2g
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
19
