C- t
J:f-A 16.;2S
JURNAL FlSlKA DAN APLIKASINYA
(.{(
Penerapan Skema Modnlasi Stabll pada Penyelesaian Persamaan Diferensial Bernoulli . Ali Yunus Rohedi* Laboratorlum Optoiqformolilra. Juruscin FISika FMIPA Inslittd Teknologi Sepu/uh Nopember. Kampus ITS SuIroIllo-Surabaya. 60/// Intlsari Penyelesaiao persamaan diiereosiaI Bemoulli (PD BemouDi) secam tmdisi seIalu djlak"kan meIalui prosedur Iinierisasi dengan menggunakan fimgsi transformasi BemouDi. Pada JJIlIkahIh ini diperkenalkao teImik baiu penyelesaian PD Bernoulli taupa melibatkan prosedur linierisasi, yang ctidasarkan pads penempun skcma JDOdu... Iasi stabil Penempan metode yang dinamakan SMT (Stobie Modulation 1l!cImique) aIau teImik mndulasi stabil tersebut dimulai dengm memec:ah PO BemouDi atas bagian tinier dan 1akIiuia; kemurtian memdislmn solusi bagian takliniemya daIam bentuk timgsi tennodulasi yang niIai awaJnya disamping diperankan sebagai suku . amplitudo (A) juga dimodnl!l8llam rti daIam ftmgsi fiIsa F(A). Solusi eksak PO BemouDi diberikan dalam formula AF(A). )rang diperoleb setelah menggantikan solusi bagian tinier Ire daIam niIai awal fimgsi tennoduIasi solusi bagian takIiniemya. Pada paper iDi dicontohkan penggunaan SMT pads penyelesaian PO Bernoulli untuk model penyimpaoan energi magnet eli daIam induktor. KATA KUNCI:
teknik: moduJasi SIabiI, i\mgsi IennoduIasi. formula AF(A)
L PENDAllULUAN
Persamaan diferensial taklinier bomogen Bernoulli atau yang Iazim dikenal dengan sebutan PD Bernoulli menjadi model utama daIam berbagai cabang bidang aplikasi. PD Bernoulli tersebut dibedakan alas derajat ketaklinierannya (n). Sebagai contoh, PD orde dua Bemoulli (0 = 2) lazim digunakan untuk memodelkan proses pertumbuhan logistik daIam bidang iImu hayati [I] dan perilaku chaos [2]. Untuk orde taklinier ketiga (n = 3) PD Bemoulli membentuk: persamaan Gizbun-Landau atau persamaan qum1ic yang lazim digunakan dalam menelaah proses teJjadinya korosi [3]. PD Bemoulli juga merupakan bagian taklinier PD parsial Klein Gordon yang dikenal sangat Juas pemakaillllD)'ll, diantaranya untuk mempelajari dinamilca partikel-partikel elementer dan Stokastik resonan [4], penelaahan transportasi fluxon [5], pembangkitan laser squeezed [6].
Sebagaimana Iazim dijeJaskan pada pustaka matematika [7. 81 penyelesaian PD Bernoulli selalu dilakukan melalui proses linierisasi sesuai dengan yang dirokemendasikan 0100 Jacob Bernoulli. Tnmsformasi dati PO taIdiner Ice dalam PD Dnier dilakukan dengan menggunakan "fimgsi transformasi Bemo.ulh.... yang selanjutnya diselesaikan dengan metode penye1esaian PO linier. Bam-bam ini Rohedi [9] telah melaporkan pembuktian definisi fimgsi tnmsformasi Bernoulli tersebut, serta meqjustifikasi solusi umum PD Bernoulli yang tertera dalam berbagai pustaka matematika. Pada makalab tersebut diperkenalkan Teknik Modulasi Stabil (selanjutnya disingkat SMT) yang difokuskan untuk menyelesaikan PD Bernoulli berkoefisien konstan (koefisien Iinier dan koefisien
takliniemya bemilai konstan), khususnya penyelesaian yang dimulai dari titik ordiner (ordinary-point = perubah bebas bemilai nol). Rohedi [10] juga meIaporkan pengembangao penetapm SMT untuk penyeIesaian PO Ricatti berkoemien konstan dengan suku takhomogen perubab bebasnya bempa fungsi sinusoidal, juga dimulai dari titik ordiner. Pada makaJab ini, penerapan SMT dikembangkan untuk penyelesaian PD Bernoulli berkoefisien linier dan taklinier sembarang, baik yang bemilai konstan maupun yang belVatiasi sebagai fim.gsi dari perubah bebasnya. DaIam IIlIItenu¢Ib, persamaan diferensial ini dikenal sebagai the general h0mo:geneous Bernoulli dijferential equotion.
n.
TEKNIK MODVLASI STABIL (SMT)
Pengembangao Telmik ModuJasi Stabil (SMT) se~ teknik bam penyelesaian. PD Bernoulli dengari tanpa meIi-
balkan prosedur linierisasi tersebut merupakan salah satu juStifikasi terhadap solusi persamaan diferensial taklinier terintegralkan (An integrable nonlinear differential equations) yang penu1is "aksjomakan" dalam bentuk fimgsi tennnditiasi. Ide pengembangan SMT diinspirasi oleh keberhasiIan Wu dkk. [11] dalam membangkitkan pulsa soliton orde dasar, dengan cam mengemhkan laser Ice dalam bahan magnet fertentu melalui mekanime" moduIasi takstabil (moduJation instability). Secam matematis, bentuk pulsa soliton orde dasar tersebut merupakan fungsi penyelesaian PD parsial taklinier Schrijdinger (NLS equation) dengan nilai awaI bempa fimssi secant hyperbolic yang dikenal sebagai "pulsa masukan" soliton. Secara fisis puIsa soliton orde dasar yang tidak berubah bentuk di sepanjang jamk perambatannya di dalam medium fiber optik yang tidak memiliki rugi-rugi (lassless) daya tersebut, terlaksana "berkat" kemampuannya dalam memodulasi rasa secam mandiri (seJf-phose modulation) [12]. 070101-1
ALI YUNUS ROHEDI
Beberapa tahun terakbir ini, skema moduJasi takstabil dirninati banyak peneliti untuk: menyelesaikan persamaan NLS bahkan untuk pulsa masukan bukan soliton (non soliton pulse), yaitu dengan mengkombinasikan pemaJcajan Lagrangian dan pendekatan variational [13]. Teknik lain yang
juga Iazim digunakan untuk penyelesaian persamaan NLS ada1ah metode Split FFf (Fast Fourier Transform), yang didasarkan pada pemecahan persamaan NLS atas bagian PD tinier dan bagian PD taklinier (selanjutnya disebut bagian tinier dan taklinier) kemudian menyelesaikan keduanya secam silih berganti dengan menerapkan skema transformasi Fourier cepat, untuk: setiap rentang kecil (irifinitesimal stepsize) jatak mmbat pulsa [14, 15]. Penempan skema modu1asi yang mendasari pengembangan SMT dalam menyelesaikan PD Bemoulli ini didasarkan pada keterintegralan PO Bemoulli sebagaimana persamaan NLS untuk: orde dasar. Namoo, karena sifat kehomogenan PD Bernoulli, maka tidak diperlukan lagi penerapan skema Split FFI' dan pendekatan variational, berikut uji kestabilannya. Sebagaimana akan dipaparkan dalam pemmusan berikut, SMT dapat memberikan solusi eksak PD Bernoulli setelah solusi bagian takliniemya djtuliskan dalam bentuk: fungsi tennodulasi, kemudian menggantikan solusi bagian liniernya ke dalam nilai awal solusi bagian taklinier yang disamping berperan sebagai amplitudo juga tennodulasi (terlibat) dalam fungsi fusaitya. A. Penurunan Fonnulasi Teknik Modulasi StabD berbasiskan PD8emouI6
koefisien-koefisien tinier dan taklinier. Adapun n adaIah derajad ketaklinieran sebingga hams bilangan rill dan tidak bernilai satu [16], karena untuk n = 1 Pers.(l) membentuk. PD tinier yang terintegralkan. Prosedur tinierisasi PD Bernoulli Ire dalam PD tinier dilakukan dengan menggunakan fungsi transformasi Bernoulli z = yl-n, PD basil transformasi tersebut berbentak:
dz
dx
(1)
dengan x dan y(x) masing-masing ada1ah perubah bebas dan takbebas, tWlangkan p(x) dan Q(x) berturut-turut adalah
7/(X)
=
[(1 - n) e-(l-n) I
7/(x)
=
(
p(z} dz
1 Or=n e- I pCz) dz )
[
f
n)p(x) z = (1 - n)Q(x)
(2)
--
Pers.(2) merupakan PD tinier yang mkterintegralka Karena itu agar menjadi terintegmlkan guna mendapatkan soIusi y = zr-!n ,maIm penyelesaian Pers.(2) barus mehDatkan pemakai8n faktor integral, sebagaimana yang lazim diJakn1can psda penyelesaian PD tinier [7, 8, 16]. Pada makaJab ini diperkenalkan fungsi transformasi: u = y eIp(z) dz yang menjadikan PD Bemoulli dapat diselesaikan tanpamehDatkan prosedm tinierisasi. Dengan fungsi transformasi "bam" tersebut maim PD Bernoulli tereduksi ke dalam bentuk:
du = Q(x) e(l-n) I p(z) dz un
(3)
dx
Pers.(3) menunjukkan bahwa PD Bernoulli terkelompok atas PD taklinier biasa yang terintegmlkan (An integrable nonlinear ordinary differetial equation). Dan setelab memisab1mn kedua perubah x dan u, kemudian mengintegra1kanya maka dati Pers.(3) diperoleh :
Persamaan diferensial taldinier homogen Bernoulli yang dalam makalah ini disebut PD Bernoulli adaIah daIam bentuk:: [7,8]
nfl
+ (1 -
ul -
n
= (1 - n)
f
Q(x)
e(l-n) Ip(z)
dx
+0
(4)
dengan C adalah tetapan integral. Dengan mensubstitusika kembaJi u = y eIp(z) dz ke dalam Pers.(4), maka solusi eksak PD Bernoulli djdapatkan dalam bentuk Pers.(S). Pers.(5) tepat sarna dengan yang diperoleh dengan prosedur linierisasi [8, 17].
1
Q{x)
1 + (1- n)
Prinsip dasar pemooaban PD Bemoulli atas bagian linier dan taklinier yang mendasari penerapan skema modulasi stabil pada pengembangan SMT adaIah diperoleh dari Pers.(5), yaitu setelah persamaan tersebut dituJiskan dalam bentuk Pers.(6).
e(l-n) Ip(z) dz
f ( Q(x)
dx + 0 e-(l-n) I p(z) dz] r=n
C~ e- f
)
pCz) dz -(I-n)
dx] r-!n
(5)
(6)
dengan fungsi gelombang yang amplitudonya selalu konstan, amplitudo fimgsi tennodulasi solusi PD Bernoulli tersebut selalu bervariasi terbadap perubah bebasnya, daIam hal ini
Pers.(6) bersesuaian dengan bentuk fungsi termoduIasi, yaitu mengandung suk:u amplitudo dan fimgsi rasa. Berbeda 070101-2
(7)
~
J. FIS. DAN APt., VOL. 3, No. I, JANUARI 2007
ALI YUNUS ROHEDI
dengau solusi :
sedangkan fungsi filsanya berbentuk:
F(A) = [1 + (1 - n)
f
1
Q(x) [A(x)]-(l-n)
d.1;] r=n
Dengau demooan solusi eksak PD Bernoulli dapat pula ditllliskan daIam fomm1a AF(A). Fitur yang menarik dati fungsi teImodulasi solusi eksak PD Bernoulli tersebut adalah kererlibatan suku amplitudo eli daIam fimgsi fitsa. DaIam kontek. modulasi infromasi, skema modulasi dengan suku amplitudo teImodulasi eli daIam fimgsi rasa tidak. dikenaJ Karena itu pada penyelesaian PD Bernoulli ini diperkenalkan ansih istilah "Modulasi 8tabil" atas ketermodulasian amplitudo (A) eli daIam fimgsi rasa (phose-fimction) F(A). Alasan inilah yang mmgadikan teknik ini dmamakan Stable Modulation Technique (8MT) alan Telmik Modulasi 8tabil. Selanjutnya fungsi tennodulasi Pers.(6) ditllliskan daIam bentuk :
[
y(x) = YL 1 + (1 - n)
f
]~ Q(x) y;Y-n) d.1;
y},-n = Y!"Nn +
(8)
(9)
= CLe- f p(z) liz yang mempakan solusi bagian linier PD Bernoulli tersebut beIperan sebagai suku amplitudo (dengau CL = c(r.!n», dan bila YL(X) digantikan dengan YON, mak:a Pers.(9) tereduksi ke daIam bentuk :
[1 + (1- n)
f
Q(x) y;~l-n)
(1- n) Q d.1;
(14)
yang selanjutnya dibJlislcan daIam bentuk fungsi termodulasi
YN = YoN [1 + (1 - n)
! y;~l-'I&)
Q d.1;] r!n
(15)
(tetapan integral bagian taklinier diberikan sebagai Y!"N'I& .untuk memastika,n fungsi teImoduiasi tersebut- bemmplitudo YoN). Setelab. mensubstitusika YL(X) pada Pers.(12) ke dalam YoN pada Pers.(IS) mak:a diperoleh solusi UDllim :
y(x) = CL
e-PZ
[1 + (1- n)
f
1
QC;;(l-n)
e(l-n)pz
dx] (16)
Solusi umum pada Pers.(I6) ini dapat langsung eliperoleh dati fomula AF(A) pada Pers.(7) dan Pers.(8) di atas. 8etelab. menyelesaikan integral di dalam fungsi fasanya, selanjutnya Pers.(I6) tereduksi ke daIam bentuk:
Tampak babe YL(X)
YN(X) = YoN
f
y(x)
=
[C1-
1
n e-(l-n)pz
+ ~] r=n
(17)
Woo CL diperoleh dati penempan nilai awal, yak:ni pada x = Xo, y=Yo kedalamPers.(I7), yaitu:
1
d.1;] r=n (10)
yang tak lain merupakan solusi bagian taklinier PD Bernoulli yang tertulislcan daIam bentuk fungsi teImodulasi. Ini beIarti. solusi eksak PD Bernoulli dapat eliperoleh dengan 8MT setclab. menggantikan solusi bagian linier ke daIam nilai awal solusi bagian takliniemya, yang terlebih dahulu telab. djblliskan dalam bentuk fungsi teImodulasi [9,10].
B. Prosedur Penyelesalan SMT untok PD BemouDi berkoelisien konstao
Pada sub bah ini akan diberikan petunjUk: pemakaian 8MT pada penyeJesaian PD Bernoulli untuk koefisien linier (P) dan koefisien taklinier (Q) yang koostan, dengan nilai awaI perubah bebasnya yang diperumum (xo =1= 0). Bagian linier dati PD Bernoulli tersebut adalah daIam bentuk:
(ll)
c1-n =
(Y!- -
~)
(18)
e(l-n)J1Za
Dari basil substitusi CL dalam Pers.(I8) ke dalam Pers.(I7), mak:a solusi eksak PD Bernoulli berkoefisien konstan didapatkan daIam bentuk :
y(x) = [(y!-n _
~)
....L-
e-(l-n)p(z-zo)
+ ~] 1-..
(19)
Hingga saat ini formula eksak daIam Pers.(19) tidak dijumpai dalam. berbagai pustaka matematika, bahkan daIam solusi perangkat lunak simbolik sekalipun. Walaupun solusi umum PD Bernoulli telab. di'berikan daIam Pers.(S), namun nilai tetapan integIal C datam formula tersebut masih belum terdefinisi. Karena ito sebagabnana pada dua makaJab sebelumnya [9, 10], Pers.(19) diperkenalkan sebagai RohediSmart Formula untuk PD Bernoulli berkoefisien konstan.
m. APLIKASI TEKNIK MODULASI STARIL PABA PEMECAIIAN MODEL PENYIMPANAN ENERGI MAGNET KE DALAM INDUKTOR
dengan solusi : (12) dalam hal ini CL adaIab. tetapan integral bagian linier. Adapun bagian taklinier PD Bernoulli tersebut adaIab. :
dYN d.1; =Qy'N
Banyak problem fisika yang term.odelkan daIam persamaan diferensial1aklinier biasa orde satu. Salah satu gejala fisika termodelkan atas PD Bernoulli yang tanpa disadari telab. "sangat akrab" dengan fisikawan adaIab. gejala transien pada proses penyimpanan energi magnet ke daIam indu.ktor, sebagaiDl3JU1 terepresentasi dalam rangkaian 1istrik R-L berikut :
(13)
070101-3
J. PIs. DAN APL., VOL. 3, No.1, JANUAlU 2007
s
ALI YUNUS RoBEDI
vt~
L I
i(t) = Gambar 1: RangJndan Iistrik R-L uotuk penyimpanao enmgi-anet daIam induktor
Model matematis yang merepiCiliastlmn gejala tmosien tersebot terbangun dari Hukum KiIChoff [18]. yang manfi1twakan babwa jumJaban beda poteBsial antar ~g semua clemen 1istrik di dalam simpal tertutup (loop) ada1ab.
Eav=o,yaitu:
V-iR-L di =0 dt
(20)
dengan V ada1ah beda potensial sumber, R. adaJah tahaaan Iistrik, L adalah induktansi diri induktor. i adalah arus listrik yang mengalir daJam rangkaian, sedanglmn ~ Iajo pcrubahan arus 1istrik sesaat setelah saklar (8). Pers.(20) lazim ditnliskan dalam bentuk PD linier :
di V R. dt = L - L I
(21)
Cam yang lazim digunakan untuk mendapat1mn DiIai arus Jistrik setiap saat i(t) adaIah dengan pemisaban perobah t dan
i, yaitu:
[(i
1- O _ o
ef(l-o)(G-t)
+ VtL]~
RtL
(26)
i(t) = - V e-
R
ft + V
R
(27)
, Cara lain u.ntuk menjustifikasi bahwa pengisian energi magnet dalam Pers.(21) tersebut benar-benar dapat dbnodelkan dengan PD Bemoulli, maim harusIab. ditnJiskan daJam tJera..
jad ketaklinieran selain n = o. Bentuk PD Bernoulli tersebut adalah :
2
) 2R(02) d(i+ -L z -_ dt
2 V (.2)1/2
- z L
(28)
yang diperoleh setelah mengalilmn kedua mas Pers.(2I) dengan i dan memindabkan suku liniemya 1m mas kiri. Sekarang perubah takbebas PD Bemoulli tersebot beIganti lIleI\iadi ;,2, dengan koefisien Imier p = dan koefisien taklinier Q = sedanglmn demjad ketaklinieranny adaIah n = 1/2 . Dari substitusi p, Q, dan n 1m da1am Pers.(19) yang dalam hal ini 1J -+ ;2 dan z -+ t didapatkan :
2f
2f.
(i~)1/2 - ~~~) e- !i2!(t-o) + :%~r(~
(22)
v R.=dt r - rl
yang bersesuaian. dengan bentuk solusi :
kemndian dilanjutkan dengan pengintegm1an kedua mas :
i) = t + C
.( ) V _St V zt=-Re"J;+R
(23)
Penerapan nilai awa1 t = 0, io = 0 (tepat saat sak1ar ditutup) memberikan nilai tetapan integral C Zn( Setelab memasuk:kan nilai C ke dalam Pers.(23), maim solusi eksale Pers.(21) untuk aUmn arus listrik seJama pengisian energi magnet didapatkan daIam bentuk :
= -i
i(t)
VtL) RtL
Dengan dennldan arus yang mengalir daJam nmgkaian R.-L menurut 80lusi SMT adalah :
i 2(t) = [(
di
_ L In (V _ R R L L
=f .
=f
dengan p dan Q Kareua ito prosedur penyeIesaian Pers.(25) dengan SMT dapat diJaknlnm mengiImti Iangkah dati Pers.(ll) hingga Pers.(19). Oleh karena koefisien linier dan~er PD Bernoulli dalam Pers.(25) keduanya koustan, maka solusi SMT yang diperoleh dapat dikompamsiImn langsung dengan solusi RobediSmart Formula dalam Pers.(19). DaIam. hal ini perubah tak bebas y bersesuaian dengan i, sedangkan perobah bebas x bersesuaian dengan t, yaitu :
R
= ~ (1- e- ft )
f).
(24)
Untuk: menyelesaikan Pers.(21) dengan SMT, maka per-
(30;\ J
Tampak bahwa 80lusi Pers.(30) dan Pers.(27) tepat sama dengan 80lusi eksak daJam Pers.(24). Model PD Bernoulli tidak dapat digunakan untuk pelUCUiaD. energi magnet daIam induktor, karena sesaat setelah V dilepas maka Pers.(21) dan Pers.(28) keduanya tereduksi ke dalam PD Imier terintegralkan. Dengan demikian Rohedismart formnla dalam Pers.(26) dan Pers.(29) tidak lagi dapat digunakan. Keeksakan 80lusi SMT untuk PD Imier model pengisian energi magnet daIam Pers.(21) dapat dijadikan dasar penempan SMT langsung pada PD Imier basil tninsforsmasi Bemoulli da1am Pers.(2). Bagian tinier PD 1erSebut ada1ah
samaan diferensial lioier tersebut hams dipandang sebagai persamaan difeJeDsial taklinier. Pers.(2I) pada dasamya mempakan bentuk PD Bemoulli dengan demjad kctaldinieran nol (n = 0) • yaitu : di • Q.o -+pz= z
dt
dzL
dz
+ (1 -
n) p(z)
= 0
(31)
CLz e- /(1-n) p(z) dz
(32)
ZL
dengan 801usi :
(25) 070101-4
ZL--
. 1
1 __ ;'
I
i
· J. FIs. DAN APL., VOL. 3. No.1, JANUARI 2007
ALI YUNUS ROHEDI
dengan .CLa adalab tetapan integral solusi bagian linier, sedangkan bagian takliniernya adalah : dZN
-
dx
dengan ZaN adalah tetapan integral yang berseslJaian dengan ni1ai awa1 solusi bagian taklinier. Solusi PD Pers.(2) tersebut didapatkan setelah menggantikan. ZL ke ZaN , yaim :
(33)
= (l-n) Q(x)
yang solusi fungsi term.odulasinya adalah dalam bentuk : ZN
=
ZaN
[1 + (l-n)
J
Q(x)
z~ dx]
(34)
(35) atau
Z(X) = CLz
e-(l-n) I p(z) dz
[1 + (1 - n)
J
Q(x)
(CLz)-l ef(l-n)p(z)dz
dx]
(36)
dan
Pem.(36) merupakan. solusi PD transfonnasi Bemou1li pada Pers.(2) dalam formula AF(A). Solusi eksak PD Bernoulli dalam Pets.{l) dipero1eb seteJah mensubstitusikan fungsi transformasi Bernoulli z = yl-n ke Pers.(36), dan didapatkan Pers.(37). Pers.(37) tepat sama dengan solusi eksak yang diperoleb dengan tek:nik: konvensional yang tertem pada Pers.(S) manakala tetapan CLz = C. I{csatnaan ini membolehkan penggonaan sembarang lambang untuk tetapan integral solusi bagian Iiniet, karena pacta akhirnya ni1ai tetapan integral tersebut elitentnkan. melalui penempan ni1ai awal.
PD biasa maupun PO pamial
v. slMPULAN Dari penjabaran dan pembabasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan beberapa hal
1: PD Bernoulli t u
duktor..
=y eFp(z)dz.
2. Penerapanskema modulasi stabil dengan "ansih" solusi da1am bentuk fimgsi termodulasi AF{A) memberikan solusi eksak PO BemouIli yang tepat sarna dengan yang diperoleb menggunakan tekoik penyelesaian konvensional. DaIam hal ini suku amplitudo berupa solusi bagian linier :
tv. DISKUSI Sebagaimana telah dijabarlmn, penyelesaian PD Bernoulli dengan Teknik Modulasi Stabil (SMT) yang didasarkan pada penerapan skema modulasi stabil memberikan solusi eksak yang. tepa! sarna dengan yang diperolcb melalui prosedor linierisasi. Iustifikasi kesamaan bentuk solusi eksak tersebut ditunjukkan melalui kesamaan solusi RobediSmart Fol'mula (salah satu produk SMT) dengan yang diperoleb me1alui metode integral pada penyelesaian PO Bernoulli berkoefisien 1mnstan untuk model pengisian energi magnet ke dalam in-
+ p(x) y:;: Q{x) ynterintegmlkan so-
cam Iangsung dengan menggunakan fungsi tmnfOImasi
A(x) = CLe- I
p(z) dz
sedangkan fimgsi filsanya adalah :
F(A) =
Fiturutama yang diperoleh dati penerapan skema moduIasi
stabi1 pada penyelesa.ia.n PD Bernoulli adalah didapatkannya salusi PD taklineat biasa dalam fungsi termodulasi AF{A), yaitu suatu fungsi penyelesaian yang mirip dengan fimgsi gelombang tetapi suku amplitudonya (A) juga term.odulasi ke da1am fimgsi rasa F{A). Penempan skema modulasi stabit pada penyelesaian PD Bernoulli ini dapat dijadilmn dasar basi pengembangan SMT dalam menyelesaikan PD taldinier ordesatu atau yang Iebih tinggi, baik yang terkelompok atas
070101-5
[1 + (1- n)
f
Q(x)[A(x)r(l-n)
dx]
1
1-D
dengan CL adaJah tetapan integral yang ditentllkan melalui penempan ni1ai awal.
3. Penyelesaian PD Bernoulli memberikan fitur skema moduJasi "bam" yaitu skema modulasi stabil, dengan amplitudo yang termodulasi ke dalam fungsi &sa, sebagaimana terepresentasi pada formula AF(A).
l. FIs. DAN APL., VOL. 3, No.1, lANUARI 2007
ALI YUNUS ROHEDI
[1] Weiner, U., Models in Biology, on the Basic Application of Mathematics and Statistics in Biological Sciem:es, page 66.UMK Tonm (2004). [2] Barger,v., OIBoD,M., CIosslcal Mechtmic:s A. Modem Prespeclive, Second Edition (Chapter 11, page 391, Mc:Gmw-Bi1J.inc., 1995). [3] Hongbo, D., Zhcmgxiao, P., and Seeber, ICSE, I (1999). [4] Morales,L.,Mollina, arXiy:Cond-mat10510704v2, 30 Nov, 200S. [5] Oonzile, lA, Marcano,A.. Mello, B.A., Trqjiloo,L., arXiv:Cond-mat 10510187vl, 7 oct (2005).
[6] FnlJeIg, S.R, Macbida, S, Werner MJ, Lewnon, A. and Mukai,T., Physical Review Letters vol 77, (18), pages : 37753778,28 october (1996). [7l Boas,M.L.,MathematicaI Methods In The Physlcal ScJences, Second Edition (Chapter 8, page : 350, John Wiley &; Sons, Inc., 1983). [8] Hmper,C.Jntroduction to MothematicalPhysics (Chapter 5 page:1S7 Prentice-Hall of India, 1978). [9] Rohedi,A.Y., Solving of the homogeneus nonlinear diffiaential eqUation by using Stable Modullition TecImique, Pnlsented in the Symposium Mathematicol Antilyaia and its Applicalitms, Department of Matbematics, Natural Sciences, ITS, Sumbaya, 10-11 August (2006).
Equation For High Frequency Derived ByUsiog The Stable Modulation Thclmique, Presented in Intemm1ionaI Conference ofMothemotics and Natural Sciences, Poster Edition, Faculty of Natural Sciences, ITB, Handling, 29-30 Nopember (2006). [11] Wu,M, Carl E, Patton, and Kalinikos,B,A..lntemational Confenmce on Non Linear Waves, Integrable System, and Applkolion, Univercity ofColomdo, at BonIder June 4-8 (2005). [12] AgmwaJ,G.P., Application of Nonli1leor F1ber Optics (Academic Press. San Diego, 2001). [13] Rapti, Z, Kevn:dikis, P.G, Smersi, A. and Bishop, A.R, arXiv:Cond-mat /0404601(2004).
[14] Kat:zmark,T, and KI!CZDl!U"!c, Scientljic- Proceedings of RGA. 7echnica1lJJJiversity. (Series Computer Sicence, 2001). [15] HaU,B., Aspect of Wave and Intemction In Nonlinear Media, Thesis For The Degree ofDoctor ofPhylosophy, Chalmers, Gtebmg, Sweden, 2005.
[16] BronshoD, Differential Equatiom R, Schaum's easy outline, (Page:14,McGraw-Hill Company, 2003). [17] Spiegel,M.R., Mathematical Handbook of Formulas and Tables, (Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, page 104, 1968). [18] Tlpler,P.A, FlSlKA. untuk Sains don Teknik, fdid 2, Edisi ketiga (hal: 301-308, Penerbit AirJangga, 2001).
[10] Rohedi,A.Y, Analytical Solution Of The Ricatti Dift'erential
~
I
070101-6
