Seminar Proposal Tugas Akhir Jurusan Statistika, ITS
Permodelan Data Jumlah Penumpang Pesawat Surabaya – Jakarta dengan Model ARFIMA dan SETAR
Senja Budhi Kusuma ~
[email protected] ~ Pembimbing : Slamet Mulyono -- Co Pembimbing : Jerry D.T.P S.Si, M.Si Surabaya, 31 januari 2011
~ Latar Belakang
FAKTA 4662 per hari 7 maskapai 42 penerbangan/hari
Jakarta 41%
BPN 13%
UPG 8%
AMI 8%
BDJ 8%
DPS 7% Lainnya 15%
~ Latar Belakang MODEL ALTERNATIF
8000
Jumlah Penumpang
7000
Long Memory
6000
Plot ACF hiperbolik
5000
Estimasi 0
4000
3000
Nonlinear
2000
1000 Month Jan Apr Year 2006
Jul
Oct Jan Apr 2007
Jul
Oct Jan Apr 2008
Jul
Oct Jan Apr 2009
Jul
Oct
Uji Terasvirta Uji White
Tujuan
Permasalahan
Pendahuluan 1. Bagaimana implementasi model ARFIMA dan SETAR pada data jumlah penumpang keberangkatan Surabaya menuju Jakarta ? 2. Bagaimana perbandingan model ARFIMA dan SETAR terhadap data tersebut? 1. Menerapkan model ARFIMA dan SETAR pada data jumlah penumpang keberangkatan Surabaya menuju Jakarta. 2. Membandingkan model ARFIMA dan SETAR terhadap data tersebut.
Batasan
Manfaat
Pendahuluan Diperoleh model dan ramalan mengenai jumlah penumpang keberangkatan Bandar Udara Juanda Surabaya menuju Jakarta sehingga dapat dijadikan informasi bagi pihak yang terkait. Informasi ini dapat menjadi pertimbangan dalam menentukan sebuah kebijakan khususnya yang berkaitan langsung pada bisnis jasa penerbangan.
Data jumlah penumpang keberangkatan dari Bandar Udara Internasional Juanda Surabaya menuju Bandar Udara Internasional Soekarno-Hatta Jakarta dari bulan Januari 2006 sampai dengan Desember 2009. Data berbentuk series harian
~ Tinjauan Pustaka LONG MEMORY Proses yang memperlihatkan adanya keterkaitan secara jangka panjang. ACF yang turun lambat secara hiperbolik Atau :
Dengan -0,5
Tinjauan Pustaka Pengujian LONG MEMORY Untuk mengidentifikasi adanya sifat long memory dapat dilakukan dengan pengujian : • Uji Geweke dan Porter-Hudak (GPH) dengan • Uji rescaled range statistics (R/S) • EML • MPL dengan hipotesis nol adalah d=0 dan daerah penilaian adalah 0,5
MODEL ARFIMA
Untuk d nilai real berkisar antara -0,5 < d < 0,5 dengan asumsi sebagai berikut :
Dengan koefisien binomial sebagai berikut :
Atau :
Self Exciting Treshold Autoregressive
Dengan :
Sumber Data
Data jumlah penumpang keberangkatan dari Bandar Udara Internasional Juanda Surabaya menuju Bandara Soekarno-Hatta, Jakarta. Berupa data harian mulai dari tanggal 1 Januari 2006 sampai dengan tanggal 30 Okt 2009. 1 Januari 2006 sampai dengan 30 September 2009 sebagai data in sample dan 1 Nov 2009 sampai dengan tanggal 30 Des 2009 sebagai data out sample
~ AUTOREGRESSIVE FRACTIONALY INTEGRATED MOVING AVERAGE Pengujian stasioner terhadap varian dan mean. Pengujian long memory Identifikasi model Penaksiran Parameter Diagnostic Check dan Pemilihan Model Terbaik
~ SELF EXCITED THRESHOLD AUTOREGRESSIVE Uji Nonlinieritas Terasvirta Menentukan parameter delay dan treshold dengan kriteria AIC Menguji signifikansi parameter model. Memeriksa sampel ACF Menguji Normalitas dari sisa melalui Uji Kolmogorov-Smirnov
~ STASIONERITAS VARIAN DAN MEAN • BOX COX PLOT Box-Cox Plot of Sub-Cgk Lower C L
1200
Upper C L Lambda (using 95.0% confidence)
1100 1000
StDev
900
Estimate
0.99
Lower C L Upper C L
0.74 1.22
Rounded Value
1.00
800 700 600 500 400
Limit
300 -5.0
-2.5
0.0 Lambda
2.5
5.0
• UJI ADF dan PP Uji statistik Augmented Dikey Fuller (ADF) Phillips-Perron (PP) Keterangan : * α = 0,05
p-value
Kesimpulan
0,01
Tolak H0 ; data stasioner
0,01
Tolak H0 ; data stasioner
Permodelan ARFIMA Autocorrelation Function for Sub
(with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0
Autocorrelation
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
1
10
20
30
40 Lag
50
60
Estimasi Fractionally Difference Metode Estimasi
Estimasi
EML(Exact Maximum Likelihood
0,492732
MPL (Modified profile likelihood)
0,492724
GPH (Geweke Porter Hundak)
0,4997562
70
80
~ ACF dan PACF Autocorrelation Function for d = 0.484458
Partial Autocorrelation Function for d = 0.484458
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6 Autocorrelation
Partial Autocorrelation
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1.0
-1.0 1
10
20
30
40 Lag
50
60
70
1
80
10
20
30
40 Lag
50
60
70
80
Gambar 4.7 PACF Plot d
Gambar 4.6 ACF Plot d Partial Autocorrelation Function for diff_d
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Autocorrelation Function for diff_d
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.8
1.0
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
Autocorrelation
Partial Autocorrelation
1.0
0.0 -0.2 -0.4 -0.6
0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
-0.8
-0.8
-1.0
-1.0
1
10
20
30
40 Lag
50
60
Gambar 4.8 ACF Plot d diff 7
70
80
1
10
20
30
40 Lag
50
60
70
80
Gambar 4.9 PACF Plot d diff 7
~ MODEL ARFIMA Model 1
Model 2
Model 3
Coeff
t-prob
Coeff
t-prob
Coeff
t-prob
AR-1 AR-2 AR-5 AR-7
0.188616 -0.11228 0.046577 0.072411
0 0 0.076 0.009
0.142763 -0.10973 0.055693 -0.38535
0 0 0.02 0
0.149686 -0.1121 0.05654 -0.3364
0 0 0.023 0.016
AR-14
0.033614
0.219
AR-21
-0.05132
0.057
AR-28
0.021078
0.434
AR-35
-0.0656
0.015
-0.08685
0
MA-6
-0.02636
0.001
MA-7
-0.94285
0
MA-7
-0.54211
0
-0.45554
0
-0.51059
0
MA-14
-0.37343
0
-0.32367
0.008
MA-21
-0.06496
0.027
-0.07357
0.011
White noise Normal AIC
Ya Tidak 15.0971855
Ya Tidak 15.0973594
Tidak Tidak 15.1047607
PENGUJIAN LINEARITAS
Uji statistik
p-value
Kesimpulan
Terasvirta
0,0173
Tolak H0 ; data tidak linear
White
0,00539
Tolak H0 ; data tidak linear
Nilai AIC model SETAR dengan kombinasi d dan p
Parameter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
Delay 17505,95 17466,13 17412,16 17387,72 17378,26 17361,62 17298,87 17267,89 17242,2* 17244,92 17246,77 17246,4
2 17959,64 17812,02 17766,56 17754,01 17738,8 17739,91 17716,76 17715,27 17709,93 17710,85 17710,18 17709,17
Estimasi model SETAR dengan AIC minimum
const L phiL,1
Estimate Pr(>|t|) 429,5768626 0,000127 const L 0,5522653 < 2,2e-16 phiL.1
phiL.2 phiL.3 phiL.4 phiL.5
-0,0528427 0,0954641 0,0848183 0,056572
0,1190726 0,0034918 0,0092309 0,085718
phiL.3 phiL.4 -
phiL.6 phiL.7
-0,0096299 0,7758459 0,2826677 < 2,2e-16 phiL.7
phiL.8 phiL.9 const H phiH.1
-0,2055486 8,90E-10 0,1015586 0,0005045 488,854953 0,2991734 0,7303242 < 2,2e-16
Estimate
Pr(>|t|) 443,6219 7,02E-05 0,534582 < 2,2e-16
-
0,074996 0,110823
-
phiL.8 phiL.9 const H phiH.1
0,011024 0,000176 -
0,282953 < 2,2e-16 -0,19704 2,97E-09 0,095862 0,000626 496,0324 0,292501 0,715679 < 2,2e-16
phiH.2 phiH.3
-0,046734 0,1761667
0,4985348 0,0092826 phiH.3
phiH.4 phiH.5
-0,0442301 0,1082791
phiH.6 phiH.7
-0,3104647 0,3983411
2,04E-07 phiH.6 3,30E-09 phiH.7
-0,27411 0,402222
5,31E-07 1,59E-09
phiH.8 phiH.9
-0,3801681 0,2675768
3,74E-07 phiH.8 2,95E-05 phiH.9
-0,36055 0,260338
3,70E-07 1,58E-05
0,5206103 0,1001989 -
0,154347 -
0,002379 -
~ PERBANDINGAN ARFIMA DAN SETAR Kriteria kebaikan model Model
Insample
Outsample
AIC
MSE
MAPE
ARFIMA
15.0973594
726313.3
12.85768
SETAR
17239
849957.4
89.2945992
Time Series Plot of AKTUAL, SETAR, ARFIMA 7000
Variable A KTUA L SETA R A RFIMA
6500
Data
6000 5500 5000 4500 4000 3500 Day Month Year
1 Nov 2009
6
11
16
21
26
1 Dec
6
11
16
21
26
~ KESIMPULAN
Model ARFIMA terbaik adalah model ARFIMA ([1,2,5,7,35], d, [7,14,21]), model ARFIMA ini tidak memenuhi asumsi kenormalan terhadap data namun sudah white noise. Kondisi ketidak normalan diakibatkan adanya outlier yang terjadi karena adanya hari libur nasional dan hari besar keagamaan. Model SETAR terbaik adalah model SETAR (1,(1,3,4,7,8,9) ,(1,3,5,6,7,8,9)). Asumsi residual normal belum terpenuhi diakibatkan hal yang sama pada model ARFIMA. Model SETAR terbaik memiliki threshold sebesar 5445 dengan 2 regime yang masing-masing proporsinya adalah 83,68 % untuk regime bawah dan 16,32 untuk regime atas. Perbandingan kedua metode menghasilkan kesimpulan bahwa model ARFIMA lebih baik dari kriteria insample maupun outsample.
~ SARAN Saran untuk penelitian selanjutnya yang sejenis adalah mencoba melakukan pembobotan pada titik-titik ekstrem yang menyebabkan outlier akibat adanya hari libur nasional dan hari raya keagamaan yang menjadikan residual tidak normal. Pembobotan akan membuat model lebih sensitif terhadap adanya hari-hari dengan penumpang ekstrem. Alternatif lain adalah dengan melakukan permodelan yang tidak ketat asumsi dan lebih robust terhadap outlier seperti Neural Network.
Daftar Pustaka Amendola, A. Niglio, M. 2000. Non-Linear Dynamics and Evaluation of forecast using High-Frequency Time Series. Quaderni di Statistica, Vol. 2, 2000 Bhardwaj, G. Swanson, N,R. 2003. An Empirical Investigation of the Usefulness of ARFIMA Models for Predicting Macroeconomic and Financial Time Series. Rutgers University Breidht, F.J. Hsu, N.J. 2002. A Class of nearly long memory time series models, International of forecasting, 18, 265-281. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reissel, G.C., 1994. Time Series Analysis Forecasting and Control, 3rd edition. Englewood Cliffs : Prentice Hall. Chan, W.S. Wong,A.C.S. Tong, H. Some Nonlinear Threshold Autoregressive Time Series Models For Actuarial Use.North American Actuarial Journal, Vol. 8, No. 4 Choi, K., Hammoudeh, S. 2009. Long Memory in Oil and Refined Product Markets. The Energy Journal ;2009;30;2;ABI/INFORM Global pg 97 Cowpertwait, P.S.P., Metcalve, A.V., 2009. Introductory Time Series with R. New York : Springer. Cryer, J.D., Chan, K. 2008. Time Series Analysis with Applications in R. New York : Springer. Doornik, J. A., dan Ooms, M.1999. Inference and Forecasting for Fractional Autoregressive Integrated Moving Average Models, with An Application to US and UK Inflation, Econometric Institute Report 9947/A, Erasmus University, Rotterdam, The Netherlands. Doornik, J. A., dan Ooms, M. 2001. A Package for Estimating, Forecasting, and Simulating Arfima Models: Arfima Package 1.01 for Ox, Nuffield College, Rotterdam. Galbraith, J.W., Zinde-Walsh, V. 2001. Autoregression-Based Estimator for ARFIMA Models. Scientific Series. ISSN 1198-8177. Gourieoux, C. Jasiax, J. 2001. Memory and infrequent breaks, Economics Letter, 70, 29-41 Granger, C.W.J., Hyung, N. 2004. Occasional structural breaks and long memory, Journal of Empirical Finance, 11, 399-421.
Daftar Pustaka Irhamah. 2001. Perbandingan Metode-metode Pendugaan Parameter Model ARFIMA. Tesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Karlaftis, M.G., Vlahogianni, V.I., 2009. Memory Properties and Fractional Integration In Transportation Time-Series. Transportation Research Part C 17 (2009) hal 444–453. Kirchgässner, G., Wolters, J., 2007. Introduction to Modern Time Series Analysis. New York :Springer. Kuswanto, H. Sibbertsen, P. 2008. A Study on "Spurious Long Memory in Nonlinear Time Series Models". Apllied Mathematical sciences, Vol. 2, 2008, no. 55, 2713-2734 Koul, H.L. Stute, W. Li, F. 2005. Model Diagnosis for SETAR Time Series. Statica Sinics 15(2005), 795-817 Lahiania, A. Scaillet, O,. 2009. Testing for threshold effect in ARFIMA models: Application to US unemployment rate data. Rennes School of Business and EconomiX, University of Paris 10 Nanterre, France Lobato, I.N. Savin, N.E. 1998.Real and Spurious Long-Memory Propoerties of Stock-Market Data.Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 16, No. 3. (Jul., 1998), pp. 261-268. Nuryana, F. 2001. Perbandingan Pendekatan ARIMA dan ARFIMA (Studi Kasus Permodelan Kecepatan Angin di Kabupaten Sumenep). Tugas Akhir S1 Statistika ITS Surabaya. Ozun, A. Cifter, A. 2008. Modeling Long-Term Memory Effect In Stock Price. Study In Economic And Finance Vol.25 No.1, 2008 hal 38-48 Prafitia, H.A., 2010. Long Memory Pada Data Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dollar Amerika Serikat (USD). Tugas Akhir S1 Statistika ITS Surabaya. Schmidt, C.S., Tschernig, R., 1994. The Identification of Fractional ARIMA Models. Suhartono, 2008. Analisis Data Statistik dengan R. Surabaya : Jurusan Statistika, ITS. Subanar. Suhartono. 2000. Uji Linearitas Tipe Lagrange Multiplier dengan Ekspansi Taylor untuk Deteksi Hubungan Nonlinear Pada Data Time Series. J. Indones. Math. Soc. (MIHMMI) Tong, H.1983. Threshold Models in Non-Linear Time Series Analysis. Springer, New York. Wei, W.W.S., 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. United States : Pearson Education, Inc. Qu, Zhongjun. 2008. A Test Against Spurious Long Memory. Boston University.
