PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN METAGAME TANPA KERJASAMA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN METAGAME TANPA KERJASAMA

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Disusun oleh: PUJI ASTUTI NIM : 023114031

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008


TWO-PERSON NON-ZERO-SUM GAMES AND METAGAME WITHOUT COOPERATION

Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the SARJANA SAINS Degree In Mathematics

by: PUJI ASTUTI Student number : 023114031

MATHEMATICS DEPARTMENT SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008

ii




Percayalah pada Tuhan dengan segenap hatimu, dan janganlah bersandar pada pergertianmu sendiri. Amsal 3:5

Kupersembahkan Skripsiku ini kepada : Tuhan Yesus Kristus yang senatiasa menyertaiku,sumber harapan dan kekuatanku. Kedua orang tuaku atas cinta dan doa yang tiada henti. Mas Sun, Mbak Asih, Nug, dan Bowo. Yang terkasih Albertus Aan Oky atas dukungan, doa, perhatian, dan cinta. Serta Almamaterku tercinta.

v


Punyailah iman yang dapat melihat kesempatan dalam kesulitan, dan bukan melihat kesulitan dalam kesempatan. Yakinilah dibalik semua kesulitan ada rencana indah yang Tuhan telah siapkan. -nn-

Seribu kata tidak akan meninggalkan kesan yang begitu dalam dibandingkan dengan satu perbuatan. -Henrik Ibsen-

Selalu ada jalan untuk melakukan yang lebih baik. Temukanlah ! -Thomas Alfa Edison-

Letakkan segala sesuatunya pada Tuhan sehingga Dia mengambil alih semuanya. Kerjakan bagianmu dengan baik, maka Dia akan mengerjakan bagian dengan sangat baik. -nn-

vi



ABSTRAK Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para pemainnya. Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masingmasing pemain.

viii


ABSTRACT Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes. The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies which is used by each player. Another way can be used is Swastika method, which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the game. Metagame without cooporation for two players is a games which is based on the actual game being played . It is because the game solving is based on the game theory which the outcomes is not always the same with the playing game. These are games where the players strategies are really reaction functions to the other players strategies. From the strategy it can be determine the rational outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from each players rational outcomes section.

ix



KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang bejudul ” Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol Dan Metagame Tanpa Kerjasama”. Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi dan selaku ketua program studi Matematika FST USD Yogyakarta yang telah memberikan banyak saran dan yang telah meluangkan waktu, pikiran, nasihat, tenaga, serta memberikan kesabarannya sehingga penulis dapat sampai pada tahap penyusunan skripsi ini. (matatih buangeeeet ya bu….. :)) 2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dekan FMIPA dan dosen pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan, saran, nasehat, dan dukungan selama ini. 3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. Selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma. 4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu pengetahuan yang sangat berguna bagi penulis.

xi


5. Mas Tukijo , Ibu Suwarni dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi dan urusan – urusan akademik kepada penulis selama masih kuliah. 6. Romo Dr. Frans Susilo, SJ, selaku kepala perpustakaan yang telah menyediakan fasilitas dan kemudahan selama penulis kuliah. 7. Perpustakaan USD dan Staf yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis. 8. Bapak dan ibu tercinta : Ibu Karpini dan Bapak Basuki yang selalu mendoakan penulis dan memberikan dukungan yang tak pernah berhenti dalam segala hal. 9. Mas Sun, Mbak Narsih, Sinuk, Bowo, Mas Sugeng, Mbak Ari dan sikecil Lintang terima kasih buat persaudaraan ini semoga kita dapat selalu menjaganya. Tuhan berkati kita. 10. Albertus Aan Oky Dwi Hatmoko yang telah memberikan banyak cinta, pengertian, waktu, kesabaran, nasehat, semangat (cayo-cayo ijup......:), perhatian, serta kasih sayangnya kepada penulis. Terima kasih buat doa yang tiada henti untuk penulis, saran, pengetahuan, kebersamaan dan kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis. 11. Saudara dan sahabat penulis : Yulita, Minul, Ika, Teguh, Mas Wawan, Mas Aga terima kasih untuk kesempatan hidup yang Tuhan berikan sehingga penulis bisa lalui bersama kalian, terima kasih untuk doa dan kasih sayangnya serta dukungan yang tak pernah berhenti.

xii


12. Aan, Bani, Taim, Markus, Galih, Tato, (genk mawut) terima kasih atas persahabatan, kenangan, dukungan, semangat, dan perjalanan hidup yang sangat berarti yang kalian berikan untuk penulis (kapan bisa main barengbareng lagi.....???). Untuk Ridwan dan Katrin (asyik bisa main bareng kalian). 13. Teman – teman Kost ‘ICHA’, mbak Nia, Lusae, Via, Indri, Tecca, Tiehna, Ratih, Cicil, Siane, Ana, Erita dan untuk teman dikost baru Yemima terima kasih buat keceriaan yang boleh dibagi bersama penulis. 14. Teman – teman angkatan 2002, Amelia, Lenta, Debby, Priska, Retno, Sari, Vida, Lili, Dani, Ika, Feliks, Archi, Aning, Desi, Deon, Nunung, Chea, Wuri, Rita, Asih, dan Palma yang sudah memberikan segala keceriaan dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD. 15. Seluruh teman – teman di Prodi Matematika, kakak angkatan dan adik angkatan. 16. Teman – teman KKN: Angga, Wiwik, Lisna, Suko, Suro, Beny, Mina, dan Tyas yang memberi warna hidup yang baru selama KKN. 17. Teman – teman di Persekutuan Ekklesia Blok 8, terima kasih untuk doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. 18. Pak Mardi dan Ibu yang memberikan nasehat, pengalaman hidup, dan semangat. 19. Kost Kodok Ijo : Didit, Topan, Sumin, Bayu yang memberi keceriaan. 20. Ririn yang memberikan bantuan dan pengertian kepada penulis. Semangat dan selamat berjuang.

xiii


Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan di sini.

Yogyakarta,

Januari 2008

Penulis

xiv


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL……………………………………………………....

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …………………….

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………...

iii

HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………..

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………..............

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………..

vii

ABSTRAK………………………………………………………………..

viii

ABSTRACT………………………………………………………………

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……………………...

x

KATA PENGANTAR ……………………………………………………

xi

DAFTAR ISI……………………………………………………………..

xv

BAB I PENDAHULUAN………………………………………………

1

A. Latar Belakang……………………………………………….

1

B. Rumusan Masalah……………………………………………

3

C. Pembatasan Masalah………………………………………...

4

D. Tujuan Penulisan…………………………………………….

4

E. Metode Penulisan…………………………………………....

4

F. Manfaat Penulisan…………………………………………...

5

G. Sistematika Penulisan……………………………………….

5

BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL…

6

xv


A. Permainan Berjumlah Tidak Nol…………………………….

7

B. Permainan Tanpa Kerjasama..…………………………….....

7

C. Strategi Campuran…………………………………………

15

D. Teorema Nash……………………………………………...

21

E. Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium

28

BAB III METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK DUA PEMAIN

48

A. Metagame dan Metaekuilibria………….…………………

49

B. Teorema Metarasionalitas..………………………………...

65

C. Simetri Metaekuilibria…………………………..………….

78

D. Analisis Pilihan………………...………………………….

81

E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar………

84

BAB IV PENUTUP…………….……………………………………...

103

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………..

106

xvi


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang bersifat kompetitif yang diwarnai dengan suatu keadaan persaingan (konflik). Persaingan ini dapat dilakukan diantara dua orang atau sejumlah orang (grup). Persaingan ini dapat disebut sebagai suatu permainan (game). Dari persaingan yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari, muncullah sebuah Teori Permainan. Teori Permainan diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh seorang ahli Matematika bangsa Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Pada tahun 1928 barulah John Von Neumann berhasil untuk pertama kalinya menganalisis dan menyatakan pembuktian dari Teorema Minimax, yang mencakup prinsip dasar tentang minimisasi dari kerugian (kekalahan) maksimum, yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan. Teori permainan dikenal kembali setelah muncul karya bersama yang gemilang dari John Von Neumann dan Oscar Morgestern seorang ahli ekonomi pada tahun 1944. Pada tahun yang hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1947, saat John Von Neumann dan Oscar Morgestren sedang mempublikasikan karyanya, tampil juga pengembangan dan penggunaan program linear oleh George Dantzig. Dari sini kemudian diketemukan bahwa permasalahan dalam teori permainan dapat dirumuskan sebagai kasus khusus dari program linear. Sejak saat itu teori permainan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

mendapatkan perhatian yang begitu besar dan digunakan pada bidang ekonomi, politik , olahraga, militer, dan bidang-bidang lainnya. Masih banyak kegiatan-kegiatan lain yang bersifat kompetitif , namun tidak setiap keadaan persaingan dapat disebut sebagai permainan, hanya persaingan yang memenuhi kriteria atau ciri-ciri tertentu saja yang dapat disebut sebagai permainan. Kriteria atau ciri-ciri tersebut adalah: 1. Terdapat persaingan kepentingan diantara pemain (pelaku). 2. Jumlah pemain terbatas. 3. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan atau tindakan yang terbatas yang disebut strategi. 4. Aturan permainan di dalam memilih tindakan diketahui oleh setiap pemain. 5. Hasil permainan dipengaruhi oleh tindakan-tindakan yang dibuat oleh semua pemain. Hasil untuk seluruh kombinasi tindakan yang mungkin dilakukan tersebut dapat didefinisikan secara numeris. Permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada faktor-faktor tertentu. Salah satunya adalah jumlah keuntungan atau kerugian dari pemain yang diklasifikasikan sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game) dan permainan bejumlah tidak nol (non zero-sum game). Faktor yang lain dapat ditentukan dari adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan tersebut yang diklasifikasikan dalam permainan dengan kerjasama dan permainan tanpa kerjasama. Dalam bab selanjutnya yang akan dibahas lebih lanjut adalah


permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama. Permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama merupakan permainan yang hasil permainannya

bukan

merupakan negatif dari hasil pemain lainnya dan dalam permainan tersebut tidak terdapat kerjasama diantara para pemainnya. Penyelesaian dalam permainan terkadang membuat hasil yang diperoleh tidak seperti yang diperkirakan. Dapat diasumsikan bahwa setiap pemain mencoba memprediksikan strategi apa yang akan digunakan oleh lawannya. Hal ini akan menuju pada hasil nyata yang stabil dimana masing-masing pemain dapat memprediksikan dengan tepat strategi yang digunakan dan hasil yang akan dicapai oleh pemain lain. Metagame merupakan pengembangan dari Teori Permainan, dimana metagame adalah strategi permainan yang titik ekuilibriumnya didapat berdasarkan pada permainan yang sebenarnya. Metagame merupakan permainan yang strategi para pemainnya benar-benar merupakan reaksi untuk strategi pemain lain. Dalam metagame setiap pemain memberikan reaksi untuk strategi yang dipilih oleh pemain lainnya.

B. Perumusan Masalah Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Bagaimana penyelesaian permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama? 2. Bagaimana metode penyelesaian Metagame berjumlah tidak nol tanpa


kerjasama untuk dua pemain? 3. Bagaimana aplikasi Metagame dalam penggunaannya pada Strategi Pasar?

C. Pembatasan Masalah Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut : 1. Teori permainan yang dibahas hanya yang terkait langsung dengan permasalahan dalam permainan berjumlah tidak nol. 2. Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada permainan tanpa kerjasama, dimana hanya terdapat dua pemain dalam setiap permainan. 3. Strategi permainan yang digunakan terbatas.

D. Tujuan Penulisan Skripsi ini bertujuan untuk : 1. Merumuskan model matematika untuk setiap masalah dalam suatu permainan. 2. Menyelesaikan permainan dengan menggunakan Metagame untuk dua pemain berjumlah tidak nol, sehingga setiap pemain dapat memprediksi dengan tepat strategi dan hasil yang dicapai oleh para pemain lain.

E. Metode Penulisan Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal


baru.

F. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis dan pembaca mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah permainan dengan Metagame.

G. Sistematika Penulisan Bab I.

Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai latar

belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini. Bab II. Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol. Pada bagian ini akan dibahas mengenai permainan tidak berjumlah nol, permainan tanpa kerjasama, strategi campuran, Teorema Nash, dan penyelesaian permainan menggunakan metode Swastika untuk menemukan pasangan ekuilibrium. Bab III. Metagame Tanpa Kerjasama Untuk 2 Pemain. Pada bagian ini

akan

dibahas

mengenai

metagame

dan

metaekuilibria,

teorema

metarasionalitas, simetri metaekuilibria, analisis pilihan, dan analisis pilihan yang berlaku untuk strategi pasar. Bab IV. Penutup. Pada bagian ini berisi mengenai kesimpulan dan saran.


BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL

Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pengambilan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik. Pihak-pihak tersebut selanjutnya disebut sebagai pemain. Para pemain yang bersaing diasumsikan bersifat rasional dan cerdas, artinya masing-masing pemain akan melakukan strategi atau tindakan yang rasional untuk memenangkan persaingan tersebut, dan masing-masing pemain juga mengetahui strategi pemain lawannya. Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada faktor-faktor berikut : banyaknya pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan. Sebagai contoh, jika banyaknya pemain adalah dua (baik individu maupun kelompok) maka permainannya disebut sebagai permainan dua pemain (two-person game). Jika banyaknya pemain adalah n pemain maka permainannya disebut sebagai permainan n pemain (n person game). Jika hasil permainan untuk salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game). Sebaliknya, jika hasil dari permainannya bukan merupakan negatif dari hasil pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah tidak nol (non-zero-sum game). Dalam permainan berjumlah nol maupun permainan berjumlah tidak nol, model permainannya dapat dibagi menjadi permainan dengan


kerjasama dan permainan tanpa kerjasama. Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama.

A. Permainan berjumlah tidak nol Pada permainan berjumlah nol untuk dua pemain hasil permainan untuk salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya. Untuk permainan berjumlah nol n pemain, penjumlahan dari hasil permainan pemain 1 sampai pemain n harus sama dengan nol. Pada permainan berjumlah tidak nol untuk dua pemain, hasil dari permainan untuk pemain 1 bukan merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain 2. Tetapi hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan, misalkan (A,B), dengan A adalah hasil dari pemain 1 dan B adalah hasil dari pemain 2. Untuk permainan n pemain tidak berjumlah nol maka hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan ( A1 , A2 ,..., An ) dengan Ai masing-masing adalah hasil dari pemain i.

B. Permainan Tanpa Kerjasama Dalam permainan berjumlah tidak nol, jika diantara pemainnya tidak diperbolehkan melakukan komunikasi atau tidak boleh saling berhubungan satu dengan yang lainnya, maka permainan tersebut dapat disebut dengan permainan tanpa kerjasama. Karena tidak ada kerjasama antara para pemainnya maka setiap pemain akan berusaha untuk dapat memaksimalkan perolehan hasil dalam setiap permainan yang akan dilakukan. Hasil dari permainan juga dapat


dinyatakan dengan sebuah matriks yang strategi-strategi pemainnya dinyatakan dengan baris dan kolom dalam matriks yang bersangkutan.

Definisi 2.2.1 Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu permainan. Permainan yang menggunakan dua atau lebih strategi murni disebut dengan permainan yang menggunakan strategi campuran.

Definisi 2.2.2 Misalkan x dan y masing-masing adalah strategi yang digunakan pemain 1 dan pemain 2, maka hasil untuk pemain i dapat dituliskan sebagai ei (x,y) Hasil permainan merupakan hasil terbaik yang diperoleh kedua pemain.

Definisi 2.2.3 Matriks hasil adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil permainan dari setiap pemain yang bersesuaian dengan strategi yang digunakan para pemain. Umumnya elemen baris ke-i kolom ke-j bersesuaian dengan hasil permainan pemain 1 bila menggunakan strategi i dan pemain 2 menggunakan strategi j.


Contoh 2.2.1 Misalkan suatu permainan dengan dua pemain, dengan pemain 1 menggunakan strategi (x1 , x2 ) dan pemain 2 menggunakan strategi ( y1 , y2 ) . Maka matriks hasil untuk pemain 1 tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

Strategi pemain 2 y1

Strategi

x1

pemain 1

x2

ei ( x1 , y1 ) ei ( x2 , y1 )

y2

ei ( x1 , y2 ) ei ( x2 , y2 )

Definisi 2.2.4 Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e(xi , y j ) . Jika hasil e1 (xi , y j )

merupakan keuntungan dari pemain 1 maka paling tidak pemain 1 mendapatkan hasil min y j {e1 (xi , y j )} untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 2. Kriteria maksimin adalah memilih strategi xi yang memaksimalkan hasil tersebut di atas,

yakni vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}.

Definisi 2.2.5

Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e(xi , y j ) . Jika hasil e2 (xi , y j )

merupakan kerugian dari pemain 2, maka paling tidak pemain 2 mendapatkan hasil max xi {e2 (xi , y j )} untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 1. Kriteria


10

minimaks adalah memilih strategi y j yang meminimumkan hasil tersebut di atas,

yakni vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )}.

Definisi 2.2.6 Nilai maksimin adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan

memaksimumkan minimum keuntungan dari strategi baris yang dimainkan pemain 1. Nilai minimaks adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan

meminimumkan maksimum kerugian dari strategi kolom yang dimainkan pemain 2.

Definisi 2.2.7 Titik sadel merupakan titik keseimbangan dari suatu permainan dengan nilai

maksimin sama dengan nilai minimaks. Suatu permainan yang hanya menggunakan strategi murni mempunyai titik sadel.

Definisi 2.2.8

Misalkan permainan yang dimainkan oleh dua pemain. Saat pemain 1 menggunakan strategi x* , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 1. Dan saat pemain 2 menggunakan strategi y * , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 2. e(x* , y * ) merupakan titik ekuilibrium dari permainan tersebut, yaitu titik keseimbangan saat kedua pemain menggunakan strategi yang terbaik dari permainan.


11

Contoh 2.2.2 (Permainan Prisoner’s Dilemma)

Dua orang ditangkap polisi karena mencuri barang milik orang lain. Kemudian dilakukan wawancara secara terpisah oleh polisi. Mereka berdua tahu jika mereka tetap diam maka polisi tidak mendapatkan cukup bukti untuk menghukum mereka atas pencurian tersebut, dan mereka hanya mendapatkan satu tahun hukuman penjara karena perbuatan mereka. Jika mereka berdua mengakui bahwa mereka mencuri, maka masing-masing mendapatkan sembilan tahun hukuman penjara. Jika salah satu mengakui dan yang lain tetap diam, maka yang mengakui menjadi bukti dan akan dibebaskan, sedangkan yang tetap diam akan mendapatkan hukuman sepuluh tahun penjara. Apa yang sebaiknya mereka lakukan?

Penyelesaian :

Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan pemain 1 adalah A1 = mengakui dan A2 = tidak mengakui. Sedangkan strategi pemain 2 adalah B1 = mengakui dan B2 = tidak mengakui. Misalkan banyaknya hukuman dinyatakan dengan –n tahun, maka matriks hasil dari permainan di atas dapat dituliskan sebagai berikut :

Pemain 2 B1 : Mengakui

B2 : Tidak mengakui

A1 : Mengakui

(-9,-9)

(0,-10)

A2 : Tidak mengakui

(-10,0)

(-1,-1)

B

Pemain 1

B


12

Jika keduanya mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah

( A1 , B1 )

dan masing-masing akan mendapatkan hukuman 9 tahun penjara,

dituliskan dengan e1 ( A1 , B ) = − 9 dan e2 ( A, B1 ) = − 9 . Jika keduanya tidak mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah

( A2 , B2 )

dan setiap

pemain akan mendapatkan hukuman 1 tahun penjara dituliskan dengan e1 ( A2 , B ) = − 1 dan e2 ( A, B2 ) = − 1 . Jika salah satu mengakui dan yang lain tidak

mengakui mencuri berarti yang mengakui akan dibebaskan dan yang tidak mengakui akan mendapatkan hukuman 10 tahun penjara, dengan demikian strategi yang digunakan adalah ( A1 , B2 ) dan ( A2 , B1 ) dan hasilnya dapat dituliskan dengan e1 ( A1 , B ) = 0 , e2 ( A, B2 ) = − 10 dan e1 ( A2 , B ) = − 10 , e2 ( A, B1 ) = 0 . Akan dicari penyelesaian permainan tersebut, yaitu dengan cara mencari nilai minimaks dan nilai maksimin untuk setiap pemain. Matrik hasil untuk pemain 1 adalah:

B1

B2

Minimum baris -9

A1

-9

0

A2

-10

-1

Maksimum

-9

0

kolom

↓

→ maks

-10

min

Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 1 adalah e1 ( A1 , B1 ) = − 9 dan mempunyai titik sadel karena nilai maksimin sama dengan nilai minimaks. Sebaliknya matriks hasil untuk pemain 2 adalah sebagai berikut :


13

A1

A2

Minimum baris -9

B1

-9

0

B2

-10

-1

Maksimum

-9

0

kolom

↓

→ maks

-10

min

Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 2 e2 ( A1 , B1 ) = − 9 dan juga mempunyai titik sadel. Hasil permainan untuk kedua pemain dinyatakan dengan {e1 ( A1 , B1 ), e2 ( A1 , B1 )} = {− 9,−9} dan ini merupakan titik ekuilibrium dari

permainan ini. Maka penyelesaian dari permainan ini adalah jika kedua pemain saling mengakui bahwa mereka mencuri. Akan dicari penyelesaian permainan Prisoner’s Dilemma menggunakan kriteria maksimin dan kriteria minimaks. Dengan menggunakan kriteria maksimin vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}

hasil

permainan

vL = max xi min y j {e1 (xi , y j )}

{

untuk

pemain

1

adalah

}

= max xi min y j {(− 9,−9), (0,−10)}dan min y j {(− 10,0), (− 1,−1)}

= max xi {(− 9,−9)dan (− 10,0 )} = {(− 9,−9 )}

Dengan menggunakan kriteria minimaks

vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )} hasil

permainan untuk pemain 2 adalah vU = min y j max xi {e2 (xi , y j )}

{

}

= min y j max xi {(− 9,−9), (− 10,0)}dan max xi {(0,−10), (− 1,−1)} = min y j {(− 9,−9 ), (− 10,0 )} = {(− 9,−9 )}


14

Dapat dilihat bahwa hasil permainan dengan menggunakan kriteria maksimin sama dengan hasil permainan dengan menggunakan kriteria minimaks, yaitu vL = vU = {(− 9,−9)} . Maka permainan Prisoner’s Dilemma tersebut mempunyai titik ekuilibrium karena vL = vU .

Definisi 2.2.9

Dalam permainan tanpa kerjasama untuk n pemain, misalkan xi* adalah strategi campuran yang digunakan oleh pemain i. n pasang strategi campuran x1* , x 2* ,..., x n* , adalah n pasang ekuilibrium untuk strategi campuran jika untuk semua strategi – strategi yang lain, yaitu y1 , y 2 ,…, y n berlaku : ei (x1* , x 2* ,..., xi* ,..., x n* ) ≥ ei (x1* , x 2* ,..., y i ,..., x n* ) ,

1≤i≤n.

Definisi 2.2.10

Misalkan pada permainan yang dimainkan oleh dua pemain, X adalah himpunan strategi campuran untuk pemain 1, Y adalah himpunan strategi campuran untuk pemain 2. Suatu pasangan strategi x* ∈ X , y * ∈ Y adalah pasangan ekuilibrium untuk permainan tidak berjumlah nol jika untuk setiap x ∈ X , y ∈ Y :

( ) ( ) e (x , y ) ≤ e (x , y ) e1 x, y * ≤ e1 x* , y * *

2

*

*

2

Dengan e1 (x* , y * ) adalah hasil untuk pemain 1 dan e2 (x* , y * ) adalah hasil untuk pemain 2.


15

Contoh 2.2.3 Dari permainan Prisoners Dilemma pada contoh 2.2.2 didapatkan pasangan ekuilibrium {e1 (x* , y * ), e2 (x* , y * )}= {− 9,−9}. {− 9,−9} adalah pasangan ekuilibrium untuk permainan tidak berjumlah nol tersebut jika untuk setiap x ∈ X , y ∈ Y berlaku :

( ) ( ) e (x , y ) ≤ e (x , y ) e1 x, y * ≤ e1 x* , y * *

2

*

*

2

Dari permainan pada contoh 2.2.2 tersebut didapatkan hasil untuk pemain 1 adalah e1 (x, y * )= − 10 dan hasil untuk pemain 2 adalah e2 (x* , y )= − 10 . Didapatkan untuk pemain 1 berlaku e1 (x, y * )≤ e1 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 dan untuk pemain 2 berlaku e2 (x* , y )≤ e2 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 . Maka menurut definisi 2.2.9 untuk permainan Prisoners Dilemma berlaku

e1 (x, y * )≤ e1 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9

e2 (x* , y )≤ e2 (x* , y * ) ≡ − 10 < − 9 .

pasangan

Dengan

ekuilibriumnya

dan

adalah

{− 9,−9}.

C. Strategi Campuran Von Neumann menyarankan salah satu cara untuk menyelesaikan kasus dimana vL ≠ vU dengan menggunakan strategi campuran. Suatu strategi campuran terdiri atas seni percobaan acak setiap waktu dalam permainan tersebut dan untuk menentukan strategi yang akan digunakan pemain setiap saat. Strategi murni terdiri dari beberapa strategi murni dengan probabilitas tertentu.


16

Contoh 2.3.1 (Permainan Poker sederhana) Dalam permainan Poker yang sederhana strategi yang digunakan para pemain akan ditunjukkan dalam tabel berikut :

Strategi Pemain 1

Pemain 2

I1

Pemain 1 percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’

I2

Pemain 1 tidak percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’

II 1

Pemain 2 berkata ’Two’ ketika mempunyai ’Two’

II 2

Pemain 2 berkata ’Ace’ ketika mempunyai ’Two’

Dari strategi di atas akan didapatkan hasil permainan sebagai berikut. Jika pemain 1 menggunakan strategi I 1 dan pemain 2 menggunakan strategi II 1 , maka pemain 1 akan mendapatkan -1 jika pemain 2 menunjukkan ’Ace’. Tetapi jika pemain 2 menunjukkan ’Two’ maka saat itu juga pemain 1 mendapatkan +1. Harapan mendapatkan ’Ace’ adalah

1 2

dan harapan mendapatkan ’Two’ juga

1 2

,

maka nilai yang diharapkan adalah 1. 12 + (− 1). 12 = 0 . Jika pemain 1 menggunakan strategi I 1 dan pemain 2 menggunakan strategi II 2 , maka pemain 1 mendapatkan nilai -1. Jika pemain 1 menggunakan strategi I 2 dan pemain 2 menggunakan strategi II 1 , maka ketika pemain 2 menunjukkan ’Ace’ pemain 1 kalah -2. Jika pemain 2 menunjukkan ’Two’ pemain 1 menang +1. Maka nilai harapannya adalah 1 2

. − 2 + 12 .1 = − 12 .


17

Yang terakhir jika pemain 1 menggunakan strategi I 2

dan pemain 2

menggunakan strategi II 2 , maka pemain 1 akan mendapatkan -2 ketika pemain 2 mendapatkan ’Ace’. Tetapi jika kartu tersebut adalah ’Two’ maka pemain 1 mendapatkan +2. Kemudian, nilai harapannya adalah 12 . − 2 + 12 .2 = 0 . Maka matriks hasilnya dapat ditunjukkan sebagai berikut :

Pemain 2 II 1

II 2

0

-1

I1

Pemain 1

I2

-

1 2

0

Dalam permainan Poker, pemain 1 akan melempar koin untuk menentukan strategi yang akan digunakan. Apabila muncul ”kepala” maka yang digunakan adalah strategi I1 . Dan bila muncul ”ekor” maka akan menggunakan strategi I 2 . Probabilitas pemain 1 menggunakan strategi I1 dan strategi I 2 masing-masing adalah

1 2

.

Hasil permainan dari matriks di atas menunjukkan jika pemain 2 menggunakan strategi II 1 maka peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I 1 adalah 0 dan peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I 2 adalah -

1 2

.

Sedangkan, jika pemain 2 menggunakan strategi II 2 maka peluang pemain 1


18

menang jika menggunakan strategi I 1 adalah -1. Dan jika menggunakan strategi I 2 adalah 0.

Hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2 menggunakan strategi II1 adalah (0 x

1 2

) + (-

1 2

x

1 2

)=-

1 4

. Dan hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2

menggunakan strategi II 2 adalah (-1 x

1 2

) + (0 x

1 2

)=-

1 2

. Dalam permainan

tersebut digunakan strategi campuran, yakni pemain 1 menggunakan strategi campuran (I1 , I 2 ) dan pemain 2 menggunakan strategi campuran (II1 , II 2 ) . Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu permainan. Misalkan pemain 1 mempunyai n strategi murni, susunan strategi campuran X

bisa dinyatakan dengan n-tuple

x = ( x1 , x2 ,..., xn )

dimana

xi ≥ 0 , i =1,2,..., n , dan n

∑x i =1

i

=1

(2.3.1)

Persamaan (2.3.1) digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas xi . Sedangkan jika pemain 2 mempunyai m strategi murni, susunan strategi campuran Y bisa dinyatakan dengan m-tuple y = ( y1 , y2 ,..., ym ) dimana yi ≥ 0 , i =1,2,..., m , dan m

∑y i =1

i

=1

(2.3.2)

Persamaan (2.3.2) juga digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas yi .


19

Apabila pemain 1 memainkan strategi x = (x1 , x 2 ,..., x n ) dan pemain 2

y = ( y1 , y2 ,..., ym ) hasil yang diharapkan untuk pemain 1

memainkan strategi adalah :

m

n

e 1(x, y ) = ∑∑ xi eij y j

(2.3.3)

j =1 i =1

Contoh 2.3.2 Dalam permainan Poker yang sederhana, misalkan pemain 1 memainkan strategi x = ( x ,1 − x ) dan pemain 2 memainkan strategi y = ( y ,1 − y ) , dan matriks hasilnya

adalah

Pemain 2

Pemain 1

I1

x

I2

1-x

II 1

II 2

y

1-y

0

-1

1 2

0

-

Nilai harapan hasil pemain 1 adalah e1 (x, y ) = 0 . xy − 1. x (1 − y ) − 12 (1 − x ) y + 0 (1 − x )(1 − y ) = xy − x − 12 y + 12 xy = − x − 12 y + 32 xy

(2.3.4)


20

Jika pemain 1 memainkan strategi x *= (13 , 23 ) , yakni x = 13 artinya bahwa pemain 1 bermain dengan menggunakan strategi I 1

1 3

kali banyaknya permainan yang dia

lakukan. Maka dari persamaan (2.3.4) diperoleh e1 (x*, y ) = − 13 ,

untuk semua y ∈ Y

(2.3.5)

Hal ini secara tidak langsung menyatakan bahwa pemain 1 yakin hasilnya paling sedikit − adalah

1 3

1 3

jika memainkan x * . Artinya bahwa dia akan kalah paling tidak

.

Jika pemain 2 memainkan y * = ( 23 , 13 ) , yakni y = 23 artinya pemain 2 bermain dengan menggunakan strategi II 1 adalah

2 3

kali jumlah permainan yang

dimainkannya. Maka dari persamaan (2.3.4) memberikan e1 (x, y *) = − 13 ,

untuk semua x ∈ X

(2.3.6)

Jadi, jika pemain 2 memainkan y * dia meyakinkan pemain 1 bahwa pemain 1 tidak dapat memperoleh hasil lebih dari − dimainkan. Pemain 1 akan kalah

1 3

1 3

dengan strategi apapun yang

.

Dari contoh di atas jika pemain 1 menggunakan strategi x * maka hasilnya akan kurang dari atau sama dengan hasil pemain 2 jika pemain 2 menggunakan strategi y * . Penyelesaian optimal permainan ini adalah pemain 2 memainkan strategi campuran y* = ( 23 , 13 ) dan pemain 1 memainkan strategi campuran x* = ( 13 , 23 ) dengan hasil yang diharapkan −

1 3

untuk pemain 1.


21

D. Teorema Nash

Definisi 2.4.1 Semesta pembicaraan adalah R. Dengan titik x merupakan x ∈ R dan himpunan S⊂R. Untuk

p∈R

dan

r < 0.

Kitar

p

dengan

radus

r

adalah

N ( p, r ) = ( p − r , p + r ) = {x ∈ R :| x-p | < r} . Atau kitar titik p dengan radius r adalah

interval terbuka dengan ujung-ujung p-r dan p+r.

Definisi 2.4.2 Titik p adalah titik limit himpunan S jika untuk setiap r < 0 terdapat titik q dengan q ≠ p, q∈S dan q ∈ N ( p, r ) .

Definisi 2.4.3 Himpunan S dikatakan tertutup jika semua titik limitnya anggota dari S. Atau (S tertutup) ⇔ (p titik limit S ⇒ p ∈S ) .

Contoh 2.4.1 i.

Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} maka S adalah himpunan tertutup jika semua titik limitnya, yaitu titik limit diantara interval 0 sampai 1 adalah anggota himpunan S.


22

Definisi 2.4.4 Himpunan S disebut terbatas jika himpunan tersebut mempunyai batas atas atau batas bawah.

Contoh 2.4.2 i.

Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} maka S adalah himpunan terbatas karena himpunan S akan menuju ke 1 dan terbatas pada 1 saja, tidak akan melewati 1. Dengan kata lain, anggota-anggota himpunan S akan berada dintara 0 dan 1, batas bawah 0 dan batas atas 1.

Definisi 2.4.5 Himpunan S disebut konveks jika untuk setiap pasangan dari titik x1 , x 2 dalam S membentuk segmen garis [ x1 , x 2 ] = { x : x = α x1 + β x 2 , α ≥ 0, β ≥ 0,α + β = 1 }

y

untuk semua S.

y

x Gambar 2.4.1 Himpunan konveks

x Gambar 2.4.2 Himpunan bukan konveks


23

Contoh 2.4.3 i.

{

}

Misalkan himpunan S = x, y | x 2 + y 2 ≤ 4 adalah himpunan konveks. Untuk menunjukkan hal tersebut, ambil dua titik dalam S u = (u1 , u2 ) ∈ S ⇒ u1 + u2 ≤ 4 2

2

v = (v1 , v2 ) ∈ S ⇒ v1 + v2 ≤ 4 2

2

Himpunan S disebut konveks jika memenuhi definisi 2.4.5 ⎛ v ⎞ ⎛ α u + β u2 ⎞ ⎛u ⎞ ⎟⎟ α u + β v ∈ S ⇒ α ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + β ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 u v α v β v + 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1 ⎝ 2⎠

Maka :

(α u1 + β v1 )2 + (α u2 + β v2 )2

≤4

α 2 u12 + 2αβ u1 v1 + β 2 v12 + α 2 u2 2 + 2αβ u2v2 + β 2 v2 2 ≤ 4 α 2u12 + α 2u2 2 + 2αβ u1v1 + 2αβ u2v2 + β 2v12 + β 2v2 2

≤4

α 2 u1 + u2 + 2αβ (u1v1 + u2v2 ) + β 2 v1 + v2

≤4

(

2

2

)

(

2

2

)

Karena α ≥ 0, β ≥ 0,α + β = 1 dan u1 + u2 ≤ 4, v1 + v2 ≤ 4 2

( (v

) )

α 2 u12 + u2 2 Maka β

2

2 1

+ v2

2

2

2

2

≤4 ≤4

2αβ (u1v1 + u2v2 ) ≤ 4

(

)

(

Sehingga α 2 u1 + u2 + 2αβ (u1v1 + u2v2 ) + β 2 v1 + v2 2

2

2

2

)

≤4

Oleh karena itu α u + β v ∈ S maka himpunan S konveks. y

2

-2

2 -2

x


24

Definisi 2.4.6 Fungsi

f

kontinu jika fungsi tersebut berkelanjutan tanpa perubahan yang

mendadak.

Contoh 2.4.5 i.

Misalkan himpunan S = {x | 0 ≤ x ≤ 1} dan diberikan fungsi f ( x ) =1− x . Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai x antara 0 dan 1 jika dipetakan ke dalam fungsi f(x) maka akan mendapatkan nilai yang saling berdekatan dan dapat dihubungkan sebagai garis lurus.

ii.

Misalkan diberikan himpunan S = {x | −1 ≤ x ≤ 1} dengan persamaan f ( x ) = x 2 . Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai dalam x jika dipetakan ke dalam fungsi

f(x) akan mendapatkan nilai yang

berkelanjutan tanpa ada perubahan yang mendadak.

Gambar dibawah ini mengambarkan himpunan S yang tertutup, terbatas, konveks dan fungsi f yang berlaku dalam himpunan S tersebut kontinu. S f

Gambar 2.4.3 Fungsi f dalam sebuah lingkaran.


25

Teorema 2.4.1 (Teorema titik tetap Brouwer) Jika f suatu fungsi yang memetakan titik-titik pada himpunan S yang tertutup, terbatas dan konveks dalam ruang Euclides ke dalam himpunan S dan jika f adalah fungsi kontinu maka sekurang-kurangnya ada satu titik dalam S yang dipetakan ke dirinya sendiri (titik tetap). Dengan kata lain titik tetap tersebut dapat dituliskan ke dalam fungsi sebagai, misalkan f : x → y , x ∈ S , f kontinu ∃ p ∈ S ∋ f ( p ) = p

.

Maka f ( p ) = p merupakan titik tetap. Bukti untuk teorema Titik Tetap Brouwer ini tidak diberikan, dapat dilihat pada buku ” Some Topics in Two Person Games” yang ditulis oleh T. Parthasarathy dan T.E.S. Raghavan, 1977.

Teorema 2.4.2 (Teorema Nash) Sebarang permainan untuk dua orang (berjumlah nol atau berjumlah tidak nol) dengan sejumlah strategi yang berhingga paling sedikit mempunyai satu pasangan ekuilibrium.

Bukti : Diberikan S = {(x,y)| x ∈ X, y ∈ Y} adalah himpunan semua pasangan strategi yang mungkin. Karena x dan y adalah vektor dengan strategi yang terbatas, maka dalam hal ini S adalah tertutup dan terbatas dan juga konveks.


26

Misal e1 (I i , y ) adalah nilai harapan untuk pemain 1 jika pemain 1 menggunakan strategi I , dan e2 (x, II j ) adalah nilai harapan untuk pemain 2 jika pemain 2 menggunakan strategi II. Didefinisikan (∀ x ∈ X , y ∈ Y ) ci (x, y ) = max { 0 , e1 (I i , y ) − e1 (x, y )}

,1 ≤ i ≤ n

d i (x, y ) = max {0 , e2 (x, II j ) − e2 (x, y )}

,1 ≤ j ≤ m

dengan n banyaknya strategi murni pemain 1 dan m banyaknya strategi murni pemain 2. Diberikan fungsi f : S → S dengan f (x,y) = (x′, y′) dimana

xi′ =

xi + ci (x, y ) n

1 + ∑ ci (x, y )

, 1≤ i < n

i =1

dan y′j =

y j + d j (x, y ) m

1 + ∑ d j (x, y )

, 1≤ j < m

j =1

Fungsi f adalah suatu fungsi yang kontinu, karena jika diambil sebarang x ∈ X, y ∈ Y, f akan selalu terdefinisi dengan perubahan yang kecil dalam x dan y, akan menyebabkan perubahan kecil dalam x′ dan y′ . Dengan demikian menurut

(

)

teorema Titik Tetap Brouwer ada suatu titik tetap x* , y * dimana

(

) (

f x* , y * = x* , y *

)

(2.4.1)

Menurut persamaan (2.3.1) dan (2.3.3) jika menggunakan strategi campuran maka


27

(

)

(

n

)

(

n

)

(

e1 x* , y * = ∑ xi* e1 I i , y * ≤ ∑ xi*e1 x* , y * =1. e1 x* , y * i =1

)

i =1

= e1 (x* , y * )

(

)

Jadi untuk suatu i diperoleh ci x* , y * = 0 dari persamaan (2.4.1) diperoleh x *i =

( ) 1 + ∑ c (x , y ) x*i + ci x* , y *

(2.4.2)

n

*

i =1

(

*

i

)

dan untuk i dimana ci x* , y * = 0, maka

∑ c (x , y ) = 0 . n

*

i =1

*

i

Jadi ∀i , 1 ≤ i < n , ci (x* , y * ) = 0 berlaku e1 (x* , y * ) ≥ e1 (I i , y * ) , sehingga dari sini diperoleh e1 (x* , y * ) ≥ e1 (x, y * ), Demikian

juga

∀ x∈ X

∀j , 1 ≤ j < m ,

untuk

(2.4.3)

menurut

persamaan

(2.3.3)

jika

menggunakan strategi campuran maka

(

)

(

)

(

e2 x* , y * = ∑ y *j e2 (x, II j ) ≤ ∑ y *j e2 x* , y * = 1.e2 x* , y * m

m

j =1

j =1

(

= e2 x* , y *

)

)

Jadi untuk suatu j, d j (x* , y * ) = 0 Dari persamaan (2.4.1) diperoleh y

*

j

=

( ) 1 + ∑ d (x , y ) y * j + d j x* , y *

(2.4.4)

m

*

j =1

*

j

Dan untuk j dimana d j (x* , y * ) = 0 , maka

∑ d (x , y ) = 0 m

*

j =1

j

*


28

Jadi ( ∀j ,1 ≤ j < m ),

(

)

d j x* , y * = 0

berlaku

(

)

(

e2 x* , y * ≥ e2 x* , II j

)

sehingga

diperoleh

(

(∀y ∈ Y ) Dari

)

(

e2 x * , y * ≥ e 2 x * , y

persamaan

(2.4.3)

dan

)

(2.4.5) persamaan

(2.4.5)

diperoleh

e1 (x, y * ) ≤ e1 (x* , y * ) dan e2 (x* , y ) ≤ e2 (x* , y * ) dengan demikian berdasarkan definisi pasangan ekuilibrium untuk permainan tidak berjumlah nol maka (x* , y * ) adalah suatu pasangan ekuilibrium.

▄

E . Metode Swastika untuk menemukan Pasangan Ekuilibrium Teorema Nash menyatakan bahwa paling sedikit ada satu titik ekuilibrium dalam suatu permainan. Tetapi dalam teorema tersebut tidak disebutkan cara untuk mendapatkannya. Metode untuk mencari titik ekuilibrium (x* , y * ) dari permainan dua orang berjumlah tidak nol antara lain dengan metode Swastika. Metode swastika ini digunakan pada matriks hasil berordo 2 x 2 dengan langkahlangkah sebagai berikut : 1. Dimisalkan x = (x, 1-x) adalah strategi untuk pemain 1 dan y = (y,1-y) adalah strategi untuk pemain 2. 2. Hitung

ei (x, y ) , yaitu nilai harapan hasil pemain i yang

berhubungan dengan strategi x dan y. 3. Tentukan nilai x* dan y * yang memaksimalkan e1 (x, y ) untuk semua nilai y, dan yang memaksimalkan e2 (x, y ) untuk semua nilai x.


29

4.

(x , y ) merupakan titik ekuilibrium. *

*

Contoh 2.5.1 Diberikan matriks hasil untuk permainan berjumlah tidak nol

Pemain 2

Pemain 1

II1

II2

I1

(3,2)

(2,1)

I2

(0,3)

(4,4)

Akan dicari hasil yang optimal untuk masing-masing pemain, yaitu titik ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik ekuilibrium.

Penyelesaian : Untuk pemain 1 Langkah 1: Matriks hasil untuk pemain 1 adalah

A=

y

1-y

x

3

2

1-x

0

4


30

Langkah 2 : Nilai harapan hasil pemain 1 adalah e1(x,y) = x ( 3y + 2 (1 – y)) + (1 – x) (0.y + 4 (1 – y)) = x ( 3y + 2 – 2y) + (1 – x) (4 – 4y) = x (y + 2) + (4 – 4y – 4x + 4xy) = x (y + 2) + x (4y – 4) + (4 – 4y) = x (5y – 2) + (4 – 4y)

(2.5.1)

Langkah 3 : Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.1) terhadap x, sehingga diperoleh : e1 ' (x, y ) = (5y – 2) = 0 ⇒ y = 52 .

Terdapat tiga kemungkinan nilai y, yaitu y < 52 , y = 52 , y > 52 . Dari persamaan (2.5.1) akan didapatkan : Jika y < 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 0 Jika y = 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh 0 < x < 1 Jika y > 52 maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 1 Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :


31

y 1

2 5

0

1

x

Gambar 2.5.1 x memaksimumkan hasil e1(x,y). Nilai x* yang memaksimalkan hasil e1(x,y) untuk semua nilai y adalah nilai-nilai diantara x = 0, 0 < x < 1 , x = 1.

Untuk pemain 2 Langkah 1 : Matriks hasil untuk pemain 2 adalah

B =

x

1-x

y

2

3

1-y

1

4

Langkah 2 : Nilai harapan hasil pemain 2 adalah e2(x,y) = y ( 2 x + 3 (1 – x)) + (1 – y) ( 1.x + 4 (1 – x)) = y ( 2x + 3 – 3x) + (1 – y) ( x + 4 – 4x) = y (-x + 3) + (1 – y) (-3x + 4)


32

= y (-x + 3) + (-3x + 4 + 3xy – 4y) = y (-x + 3) + y (3x – 4) + (4 – 3x) = y (2x – 1) + (4 – 3x)

(2.5.2)

Langkah 3 : Untuk mendapatkan hasil e2(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.2) terhadap y, sehingga diperoleh : e2 ' (x, y ) = (2x – 1) = 0 ⇒ x = 12 .

Terdapat tiga kemungkinan nilai x, yaitu x < 12 , x = 12 , x > 12 . Dari persamaan (2.5.2) diperoleh bahwa jika x <

1 maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 0 2

jika x =

1 maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh 0 < y < 1 2

jika x >

1 maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 1 2

Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :


33

y 1

0

1 2

1

x

Gambar 2.5.2 y memaksimumkan hasil e2(x,y). Nilai y * yang memaksimalkan hasil e2(x,y) untuk semua nilai x adalah nilai-nilai diantara y = 0, 0 < y < 1 , y = 1.

Langkah 4 : Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik dari Gambar 2.5.1 dan Gambar 2.5.2. Grafik perpotongannya disajikan sebagai berikut : y 1

2 5

0

1 2

1

x

Gambar 2.5.3 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.


34

Dari gambar 2.5.3 diperoleh tiga buah titik potong, yaitu A(0,0), B( 12 , 52 ), C(1,1). Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium-ekuilibrium tersebut. Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.1 dan persamaan 2.5.2 diperoleh e1 (x, y ) = x (5y – 2) + (4 – 4y) e2 (x, y ) = y (2x – 1) + (4 – 3x)

Untuk titik ekuilibrium A(0,0), yakni x = 0 dan y = 0 maka didapatkan e1 (0,0 ) = 0 (5.0 – 2) + (4 – 4.0) = 4 . e2 (0,0) = 0(2.0 – 1) + (4 – 3.0) = 4 .

Dengan demikian hasilnya adalah (4,4). Untuk titik ekuilibrium B( 12 , 52 ), yakni x = 12 dan y = 52 maka didapatkan e1 ( 12 , 52 ) =

1 2

(5.

2 5

– 2) + (4 – 4.

2 5

) = 125 = 2,4 .

e2 ( 12 , 52 ) =

2 5

(2.

1 2

– 1) + (4 – 3.

1 2

) = 2,5 .

Dengan demikian hasilnya adalah (2,4 ; 2,5). Untuk titik ekuilibrium C(1,1), yakni x =1dan y =1 maka didapatkan e1 (1,1) = 1 (5. 1– 2) + (4 – 4.1) = 3.

e2 ( 12 , 52 ) = 1 (2. 1 – 1) + (4 – 3. 1) = 2. Dengan demikian hasilnya adalah (3,2). Jadi titik ekuilibrium (x* , y* ) adalah (0,0),

( 12 , 52 ) , (1,1) dan hasil permainannya

masing-masing adalah (4,4), (2,4 ; 2,5), (3,2).

Pada permainan contoh 2.5.1 akan diselesaikan menggunakan program QM, matriks hasil untuk pemain 1 ditunjukkan sebagai berikut :


35

Dapat disimpulkan dari matriks hasil di atas bahwa hasil permainan untuk pemain 1 adalah 2,4. Akan ditunjukkan grafik untuk permainan tersebut.

a. Grafik hasil pemain 1 dilihat dari strategi baris pemain 1.

Strategi kedua dari pemain 1


Strategi pertama dari pemain 1

nilai permainan


Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa nilai permainan pada sumbu kiri mewakili nilai strategi kedua dari pemain 1 dan nilai permainan pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama dari pemain 1. Grafik terbentuk dari


36

hubungan strategi pertama dan strategi kedua pemain 1 terhadap strategi pemain 2. Pemain 1 akan memilih strategi pertama daripada memilih strategi kedua. Karena strategi pertama dari pemain 1 merupakan strategi yang memaksimumkan minimum keuntungan. Dengan peluang menggunakan strategi strategi pertama dari pemain 1 adalah 0,8 dan nilai permainan adalah 2,4.

b. Grafik hasil pemain 1 dilihat dari strategi kolom pemain 2.




nilai permainan


Untuk grafik yang kedua ini dapat dilihat bahwa nilai permainan pada sumbu kiri mewakili nilai strategi kedua dan nilai pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama dari pemain 2. Grafik di atas adalah hubungan dari strategi pertama dan strategi kedua pemain 2 terhadap strategi pemain 1. Pemain 1 akan mendapatkan hasil yang optimal dengan memilih strategi yang tepat, yaitu memilih strategi pertama. Karena strategi pertama membuat pemain 1 memaksimalkan minimum keuntungan dari hasil permainannya. Dengan peluang menggunakan strategi pertama adalah 0,4 dan nilai permainannya adalah 2,4.


37

Matriks hasil pemain 2 ditunjukkan sebagai berikut :

Matriks di atas merupakan matriks hasil dari permainan pemain 2. Dapat dilihat di atas bahwa hasil permainan untuk pemain 2 adalah 2. Di bawah ini grafik mengenai hasil permainan di atas. a. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi baris pemain 2.

Strategi kedua dari pemain 2 Strategi kedua dari pemain 1


nilai permainan


Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa hasil permainannya adalah 2. Nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi kedua pemain 2 dan


38

nilai pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama pemain 2. Pemain 2 memilih menggunakan strategi pertama karena akan mendapatkan hasil yang maksimal, yaitu 2. Daripada memilih strategi kedua akan mendapatkan hasil 1. Pemain 2 pasti akan memilih strategi pertama yang membuat dia meminimumkan maksimum kerugian. Dengan peluang menggunakan strategi pertama adalah 1 dan nilai permainannya adalah 2.



Strategi pertama dari pemain 1 Strategi pertama dari pemain2

nilai permainan


Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa nilai permainan dari sumbu kiri diwakili oleh nilai strategi kedua pemain 1 dan nilai permainan dari sumbu kanan diwakili oleh nilai strategi pertama pemain 1. Hasil permainannya adalah pemain 2 memilih strategi pertama karena dia akan mendapatkan hasil yang maksimum, yaitu 2 dengan peluang menggunakan strategi yang dimainkan adalah 1 dan nilai pemainannya adalah 2. Daripada memilih strategi kedua dengan hasil pemainannya adalah 1.


39

Contoh 2.5.2

Diberikan matriks hasil untuk permainan Prisoners Dilemma sebagai berikut : Pemain 2

Pemain 1

II1

II2

I1

(-9,-9)

(0,-10)

I2

(-10,0)

(-1,-1)

Dengan metode Swastika tentukan titik ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik ekuilibriumnya.

Penyelesaian : Untuk pemain 1

Langkah 1: Matriks hasil untuk pemain 1 adalah

A=

y

1-y

x

-9

0

1-x

-10

-1

Langkah 2 : Nilai harapan hasil pemain 1 adalah e1(x,y) = x ( -9y + 0 (1 - y)) + (1 - x) (-10y + (-1)(1 - y)) = x ( -9y ) + (1 - x) (-10y -1 + y)


40

= x (-9y) + (1-x) (-9y -1) = x (-9y) + (-9y -1 + 9xy +x) = x (-9y) + x (9y +1) + (-9y -1) = x- 9y -1

(2.5.3)

Langkah 3 : Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.3) terhadap x, sehingga diperoleh : e1 ' (x, y ) = 1 .

Maka nilai x* yang memaksimalkan hasil e1(x,y) untuk semua nilai y adalah x* = (1,0) .

Digambarkan dalam grafik berikut : y 1

0

1

x

Gambar 2.5.4 x memaksimumkan hasil e1(x,y).

Untuk pemain 2

Langkah 1 : Matriks hasil untuk pemain 2 adalah


41

x

1-x

y

-9

0

1-y

-10

-1

B =

Langkah 2 : Nilai harapan hasil pemain 2 adalah e2(x,y) = y ( -9 x + 0 (1 - x)) + (1 - y) ( -10.x + (-1) (1 - x)) = y ( -9x) + (1 – y) ( -10x -1 + x) = y (-9x) + (1 – y) (-9x -1) = y (-9x) + (-9x - 1 + 9xy + y) = y (-9x) + y (9x +1 ) + ( -9x -1) = y - 9x -1

(2.5.4)

Langkah 3 : Untuk mendapatkan hasil e2(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.4) terhadap y, sehingga diperoleh : e2 ' (x, y ) = 1

Maka Nilai y * yang memaksimalkan hasil e2(x,y) untuk semua nilai x adalah y * = (0,1) .

Digambarkan dalam grafik berikut :


42

y 1

0

1

x

Gambar 2.5.5. y memaksimumkan hasil e2(x,y).

Langkah 4 : Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik berikut : y 1

0

1

x

Gambar 2.5.6 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.

Dari gambar 2.5.6 diperoleh sebuah titik potong, yaitu (1,1). Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium tersebut. Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.3 dan persamaan 2.5.4 diperoleh e1 (x, y ) = x- 9y -1 e2 (x, y ) = y - 9x -1


43

Untuk titik ekuilibrium (1,1), yakni x =1dan y =1 maka didapatkan e1 (1,1) = 1 -9 -1= -9 . e2 (1,1) = 1-9 -1 = -9 .

Dengan demikian hasilnya adalah (-9,-9). Jadi titik ekuilibrium (x* , y * ) adalah (1,1) dan hasil permainannya adalah (-9,-9).

Mencari titik ekuilibrium pada permainan Prisoners Dilemma di atas menggunakan program QM.

Matriks hasil pemain 1 disajikan sebagai berikut :

Dapat disimpulkan dari matriks hasil di atas bahwa hasil untuk pemain 1 adalah -9. Hasil tersebut sesuai dengan hasil permainan pada contoh 2.2.2. Akan diperlihatkan grafik dari permainan di atas.


44

a. Grafik hasil pemain 1dilihat dari strategi baris pemain 1.

A2

B2 B

A1

nilai permainan

B1 B

Dari grafik di atas dapat ditunjukkan bahwa nilai pemainan pada sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi A2 (tidak mengakui) dan nilai permainan pada sumbu kanan mewakili nilai-nilai dar strategi A1 (mengakui). Grafik di atas menunjukkan hubungan strategi A1 dan A2 terhadap strategi kolom pemain 2. Pemain 1 akan lebih memilih A1 daripada A2 , karena pemain 1 memilih kemungkinan terburuk, yaitu jika pemain 1 memilih A1 maka dia akan mendapatkan hukuman penjara selama 9 tahun. Daripada memilih strategi A2 maka akan mendapatkan hukuman penjara selama 10 tahun. Maka pemain 1 memilih strategi yang meminimumkan maksimum hukuman yang akan dia terima, yaitu memilih dihukum 9 tahun daripada 10 tahun.



45

B2

B1

B

B

A1 nilai

A2

permainan

Grafik di atas ditunjukkan dengan nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai strategi B2 (tidak mengakui) dan nilai permainan dari sumbu kanan B

mewakili nilai strategi B1 (mengakui). Grafik merupakan hubungan strategi B1 dan B

B

B2 terhadap strategi baris pemain 1. Pemain 1 tetap akan memilih menggunakan B

strategi A1 . Karena pemain 1 tidak mengetahui strategi yang digunakan pemain 2, maka dia akan memilih strategi yang paling aman menurutnya.

Matriks hasil pemain 2 disajikan sebagai berikut :


46

Dari matriks di atas hasil permainan untuk pemain 2 adalah -9. Hasil permainan tersebut sesuai dengan hasil permainan pada contoh 2.2.2. Akan diperlihatkan grafik untuk pemain 2 dari permainan di atas.

a. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi baris pemain 2.

B1 B

B2 B

A2

nilai permainan

A1

Grafik di atas menunjukkan hasil permainan untuk pemain 2, yaitu -9. Nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai dari strategi B2 (tidak mengakui) B

dan nilai permainan dari sumbu kanan mewakili nilai dari strategi B1 (mengakui). B

Hasil yang optimal untuk pemain 2 didapatkan jika dia memilih strategi B1 B

(mengakui). Karena pemain 2 tidak mengetahui strategi apa yang akan digunakan oleh pemain 1, maka pemain 2 memilih strategi yang paling menguntungkan buatnya. Pemain 2 memilih meminimumkan maksimum hukuman yang akan diperolehnya, yaitu memilih dihukum 9 tahun daripada dihukum 10 tahun.


47

b. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi kolom pemain 1

A2

nilai

A1

B1

B2

B

B

permainan

Dari grafik di atas menunjukkan bahwa nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi A2 (tidak mengakui) dan nilai permainan dari sumbu kanan mewakili nilai-nilai dari strategi A1 (mengakui). Grafik tersebut menunjukkan hubungan strategi A2 dan A1 terhadap strategi baris pemain 2. Pemain 2 memilih untuk menggunakan strategi B1 (mengakui) daripada memilih B

strategi B2 (tidak mengakui). Karena jika pemain 2 memilih B2 (tidak mengakui) B

B

maka kemungkinan terburuknya adalah pemain 2 akan dihukum penjara selama 10 tahun. Tetapi jika dia memilih strategi B1 (mengakui) maka kemungkinan B

terburuknya adalah pemain 2 akan dihukum penjara selama 9 tahun.


BAB III METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK 2 PEMAIN

Metagame adalah permainan dengan strategi permainan yang titik ekuilibriumnya didapat berdasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Permainan tanpa kerjasama untuk dua pemain adalah permainan yang melibatkan dua pemain dimana tidak ada kerjasama antara kedua pemain tersebut. Jadi metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain adalah permainan yang melibatkan dua pemain dimana diantara para pemainnya tidak ada kerjasama dan strategi permainan yang digunakan oleh para pemain didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Dalam bab sebelumnya diberikan contoh tentang permainan Prisoners Dilemma. Titik ekuilibrium yang didapatkan pada permainan tersebut adalah kedua pemain memilih untuk mengakui mencuri, maka mereka mendapatkan hukuman sembilan tahun penjara. Tetapi dalam kenyataannya hasil permainan yang diperoleh terkadang tidak seperti yang diperkirakan dengan teori. Karena dalam kenyataan kebanyakan orang akan memilih untuk tidak mengakui dan hukuman yang didapatkan juga cukup ringan, yaitu satu tahun penjara. Nigel Howard adalah seorang peneliti yang tertarik tentang bagaimana menyelesaikan suatu permainan tanpa kerjasama seperti permainan Prisoners Dilemma. Howard memperkirakan bahwa setiap pemain mencoba memprediksi strategi apa yang akan digunakan lawannya, sehingga dia dapat memprediksi strateginya sendiri. Strategi para pemain dalam metagame merupakan fungsi reaksi untuk strategi


pemain lainnya. Dan hasil permainan yang didapatkan akan seperti dalam kenyataan. Kesulitan pada permainan ini adalah bahwa pemain yang satu memberikan peluang kepada pemain yang lain untuk memilih fungsi reaksi yang akan digunakan sebagai strateginya, dan jika terjadi terus menerus maka fungsi reaksi yang terjadi akan sampai tak hingga banyaknya. Asumsi untuk menemukan hasil nyata yang stabil adalah masing-masing pemain memprediksi dengan tepat strategi dari para pemain lainnya, dan memilih hasil yang paling menguntungkan untuknya.

A. Metagame dan Metaekuilibria

(

)

Misalkan pemain 1 memainkan strategi campuran X 1* = x11* , x12* .,..., x1*n ,

(

)

* * pemain 2 memainkan strategi campuran X 2* = x 21 , x 22 ,..., x 2*n dan misalkan juga

(

)

ei x1* , x 2* ,..., x n* adalah hasil untuk pemain i jika pemain 1 memainkan strategi campuran X 1* dan pemain 2 memainkan strategi campuran X 2* . Akan dijabarkan pengertian dari ekuilibrium dalam permainan tanpa kerjasama dengan n pemain yang telah didefinisikan dalam bab sebelumnya, yaitu definisi 2.2.8.

Misalkan pada sebuah permainan G dengan n pemain, pemain i mempunyai kumpulan strategi murni X i dengan i = 1,2 ,…,n. Hasil dari sebuah permainan ditentukan dari strategi yang digunakan masing-masing pemain. Pada umumnya para pemain akan memilih strategi yang nantinya akan lebih


50

menguntungkan untuk dirinya sendiri. Dalam metagame strategi yang digunakan pemain akan menentukan hasil rasional pada permainan tersebut.

Definisi 3.1.2

Misalkan X i = ( x1 , x 2 ,..., x n ) adalah kumpulan strategi murni dari n pemain. Hasil rasional pada saat permainan sedang berlangsung untuk pemain i merupakan n

pasang strategi x1* , x 2* ,..., x n* , dengan ei (x1* , x 2* ,..., xi* ,..., x n* ) ≥ ei (x1* , x 2* ,..., xi ,..., x n* )

,

untuk

semua

xi ∈ X i

.

Sekumpulan hasil rasional untuk pemain i dalam permainan G dinyatakan dengan Ri (G ) .

Definisi 3.1.3 Ekuilibrium dari permainan G dengan n pemain adalah hasil rasional untuk

semua pemain, yakni E (G ) , yang memenuhi : E (G ) =

n

I R (G ) i

.

i =1

Definisi 3.1.4 Hasil yang stabil terjadi jika pemain lawan menggunakan strategi lain, maka hal

tersebut tidak akan mempengaruhi hasil permainan yang terjadi.

Untuk mempertimbangkan hasil mana yang stabil maka misalkan dipertimbangkan metagame 1G. Dalam permainan ini masing-masing pemain


51

kecuali pemain 1 terlebih dahulu memilih strateginya dalam permainan dasar G. Setelah pemain lain memilih strateginya barulah pemain 1 memilih strateginya dalam permainan dasar tersebut dengan mempertimbangkan strategi–strategi lawannya. Jika pemain 1 dapat memprediksi strategi–strategi pemain lain sebelum memilih strategi untuk dirinya sendiri, maka pemain 1 dapat memilih strategi untuk mendapatkan hasil yang maksimal. Ini adalah hasil rasional untuk pemain 1 dalam permainan tersebut dan hasilnya dapat ditulis dengan R1 (1G ) . Jika seluruh pemain berada dalam tipe permainan tersebut dan memprediksi dengan benar seluruh strategi lawan – lawannya maka ekuilibrium dari hasil permainan yang rasional, yakni titik ekuilibrium E (1G ) untuk permainan tersebut dapat ditemukan.

Contoh 3.1.1

Tentukan titik ekuilibrium dalam permainan Prisoners Dilemma. Matrik hasil dari permainan tersebut diberikan dalam tabel sebagai berikut:

Pemain 2 B1 : Mengakui

B2 : Tidak mengakui

A1 : Mengakui

(-9,-9)

(0,-10)

A2 : Tidak mengakui

(-10,0)

(1,1)

B

Pemain 1

B


52

Penyelesaian :

Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan kedua pemain adalah X 1 = X 2 = {A, B}. Pemain 1 akan memilih strategi dimana hasilnya akan lebih

menguntungkan dirinya sendiri. Jika pemain 2 memainkan strategi B1 , yaitu mengakui bahwa dia mencuri maka pemain 1 akan memilih startegi A1 yaitu mengakui mencuri juga dari pada tidak mengakuinya. Karena jika pemain 1 mengakui mencuri, dia akan mendapatkan hukuman penjara selama 9 tahun. Hukuman ini lebih ringan dibandingkan jika dia tidak mengakui mencuri yang akan mendapatkan hukuman penjara selama 10 tahun. Apabila pemain 2 memainkan strategi B2 , yaitu tidak mengakui mencuri. Maka pemain 1 akan tetap memilih memainkan strategi A1 , yaitu mengakui mencuri. Karena jika pemain 1 mengakuinya maka dia tdak akan mendapatkan hukuman penjara atau dengan kata lain dia dibebaskan. Dari pada jika dia tidak mengakui maka akan mendapatkan hukuman penjara selama 1 tahun. Hasil rasional untuk pemain 1 dapat ditulis R1 (G ) = {( A1 , B1 )

( A1 , B2 )}.

Demikian juga jika pemain 1 terlebih dahulu bermain. Jika pemain 1 memainkan strategi A1 maka pemain 2 memilih memainkan strategi B1 , karena pemain 2 akan mendapatkan hukuman yang lebih ringan daripada dia memilih strategi lainnya. Jika pemain 1 memainkan strategi A2 maka pemain 2 lebih memilih memainkan strategi B1 , karena pemain 2 tidak akan mendapatkan hukuman atau dengan kata lain

dibebaskan.

R2 (G ) = {( A1 , B1 )

Dan

( A2 , B1 )}.

hasil

rasional

untuk

pemain

2

adalah


53

Pasangan ekuilibrium dari permainan ini dapat dicari, yakni E (G ) = R1 (G ) ∩ R2 (G ) = ( A1 , B1 ) .

Dengan demikian ekuilibrium permainan Prisoner Dilemma adalah

( A1 , B1 ) ,

yaitu kedua pemain memilih untuk mengakui.

Contoh 3.1.2

Dalam permainan 1G , misalkan strategi pemain 2 adalah

X 2 = {B1 , B2 }. Jika

pemain 1 memilih strateginya dengan mengetahui strategi pemain 2, maka strategi pemain 1 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 2 dan membentuk kumpulan fungsi yang didefinisikan dengan rumus F1 = { f | f : X 2 → X 1 } . Tentukan ekuilibrium untuk permainan 1G di atas.

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi mengenai fungsi reaksi maka pada permainan 1G didapatkan empat fungsi sebagai berikut : i).

f1 (B1 ) = A1 atau f1 (B2 ) = A1 ,yakni pemain 1 selalu memilih untuk

mengakui mencuri. ii).

f 2 (B1 ) = A2 atau f 2 (B2 ) = A2 ,yakni pemain 1 memilih untuk tidak

mengakui mencuri. iii).

f 3 (B1 ) = A1 atau f 3 (B2 ) = A2 ,yakni pemain 1 memilih untuk melakukan

hal yang sama seperti yang dilakukan pemain 2. iv).



54

kebalikan dari pemain 2. Dari permainan di atas didapatkan hasil permainan dari rumus fungsi yang telah dikerjakan dan mendapatkan empat hasil permainan. Maka hasil permainan tersebut dapat dituliskan dalam matrik hasil untuk permainan 1G , yaitu :

Pemain 2

Pemain 1

B1

B2

f1

(-9 , -9)

(0 , -10)

f2

(-10 , 0)

(-1 , -1)

f3

(-9 , -9)

(-1 , -1)

f4

(-10 , 0)

(0 , -10)

Karena dapat dilihat dari hasil permainan sebelumnya kedua pemain memilih untuk selalu mengakui, maka hasil di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk kedua pemain yaitu : R1 (1G ) = {( f 1 , B1 ), ( f 3 , B1 ), ( f 1 , B2 ), ( f 4 , B2 )}

,

R2 (1G ) = {( f1 , B1 ), ( f 2 , B1 ), ( f 3 , B2 ), ( f 4 , B1 )}

dengan demikian ekuilibrium dari permainan ini dapat ditemukan dengan mecari irisan

dari

hasil

rasional

E (1G ) = R1 (1G ) ∩ R2 (1G ) = {( f 1 , B1 )}.

kedua

pemain,

yaitu


55

Perhatikan hasil rasional untuk pemain 1. Hasil tersebut didapatkan dengan memaksimalkan hasil pertama dari pemain 1 yang ditunjukkan dalam setiap kolom, sedangkan hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil kedua dari pemain 2 yang ditunjukkan dalam setiap baris. Hasil ekuilibrium dari E (1G ) adalah

( f1 , B1 )

karena pemain 2 memilih B1 dan

pemain 1 memilih reaksi fungsi f1 . Fungsi reaksi f 1 memiliki arti bahwa sebenarnya pemain 1 memainkan A1 dalam permainan G karena f1 (B1 ) = A1 . Dengan demikian ( A1 , B1 ) dalam permainan G terjadi saat

( f1 , B1 )

dimainkan

dalam 1G . Jadi, titik ekuilibrium dari permainan 1G adalah ( A1 , B1 ) .

Definisi 3.1.5

Hasil (x1* , x 2* ,...., x n* ) dalam permainan G yang umumnya muncul

dari suatu

ekuilibrium dalam suatu permainan k1 k 2 ...k r G , dengan r adalah sebarang bilangan bulat non-negatif dan k1 , k 2 ,..., k r adalah sebarang urutan pemain, termasuk pengulangannya disebut metaekuilibrium. Eˆ (G ) menyatakan nilai dari setiap pemain metaekuilibria. Eˆ (k1k2 ...kr G ) adalah metaekuilibria yang muncul dari k1 k 2 ....k r G dan k1 , k 2 ,..., k r yang disebut sebagai judul permainan.

Dalam permainan 1G ( A1 , B1 ) ada dalam Eˆ (G ) karena ( A1 , B1 ) dalam E (G ) dan ( A1 , B1 ) adalah hasil ekuilibrium dalam E (1G ) . Untuk menemukan


56

semua elemen dari Eˆ (G ) akan diperlihatkan metagame yang lain yang didasarkan pada permainan G.

Contoh 3.1.3

Misalkan terdapat permainan 2G, yakni pemain 2 bermain setelah pemain 1, yang memiliki strategi permainan X 1 = {A1 , A2 } . Pemain 2 memilih strateginya dengan mengetahui strategi pemain 1. Tentukan ekuilibrium dari permainan tersebut.

Penyelesaian :

Strategi pemain 2 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 1 dan membentuk kumpulan fungsi yang didefinisikan dengan F2 = { f | f : X 1 → X 2 } maka terdapat empat fungsi sebagai berikut : i).

f1 ( A1 ) = B1 atau f1 ( A2 ) = B1 , yakni pemain 2 selalu memilih untuk


f 2 ( A1 ) = B2 atau f 2 ( A2 ) = B2 , yakni pemain

2 memilih untuk tidak


f 3 ( A1 ) = B1 atau f 3 ( A2 ) = B2 , yakni pemain 2 memilih untuk melakukan


f 4 ( A1 ) = B2 atau f 4 ( A2 ) = B1 , yakni pemain 2 memilih untuk melakukan

kebalikan dari yang dilakukan pemain 1.


57

Dari permainan di atas didapatkan hasil permainan dari rumus fungsi yang telah dikerjakan dan mendapatkan empat hasil permainan. Maka hasil permainan tersebut dapat dituliskan dalam matrik hasil untuk permainan 2G , yaitu :

Pemain 1

Pemain 2

A1

A2

f1

(-9 , -9)

(0 , -10)

f2

(-10 , 0)

(-1 , -1)

f3

(-9 , -9)

(-1 , -1)

f4

(-10 , 0)

(0 , -10)

Karena dapat dilihat dari hasil permainan sebelumnya kedua pemain memilih untuk selalu mengakui, maka dari matrik di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk kedua pemain yaitu : R1 (2G ) = {( A1 , f1 ), ( A1 , f 3 ), ( A2 , f1 ), ( A2 , f 4 )} , R2 (2G ) = {( A1 , f1 ), ( A1 , f 2 ), ( A2 , f 3 ), ( A1 , f 4 )}

didapatkan

E (2G ) = R1 (2G ) ∩ R2 (2G ) = {( A1 , f1 )} . Jadi metaekulibrium yang

sesuai dalam permainan G untuk ( A1 , f1 ) adalah ( A1 , B1 ) .

Dari uraian di atas dapat dilihat bahwa permainan 1G , permainan 2G sampai permainan nG untuk n orang merupakan permainan dasar yang mendasari metagame. Akan diperlihatkan permainan 21G , permainan ini sesuai


58

dengan permainan dimana pemain 1 memberitahukan strategi yang akan dimainkan dalam permainan 1G . Dan kemudian pemain 2 memutuskan strategi yang akan dimainkannya dalam mereaksi permainan pemain 1. Dengan kata lain, jika pemain 1 memilih untuk memberitahukan strategi permainannya terhadap pemain 2 maka pemain 2 akan bereaksi dengan memberitahukan strategi permainannya terhadap pemain 1. Permainan Ini adalah kondisi ketika pemain 2 mencoba untuk memprediksi strategi pemain 1 dan pemain 2 juga memperbolehkan pemain 1 untuk mencoba memprediksi strategi permainannya. Hasil rasional dalam permainan ini memberitahukan bahwa apa yang dilakukan oleh berbagai macam pemain akan memberi prediksi dalam kasus ini. Dan ekuilibria merupakan hasil dimana setiap pemain memprediksi secara tepat strategi dari pemain lawan.

Contoh 3.1.4

Dalam permainan 21G himpunan strategi pemain 1 adalah F1 = { f : X 2 → X 1 } dan himpunan strategi pemain 2 adalah

G2 = {g : F1 → X 2 }. Tentukan

metaekuilibrium dari permainan tersebut.

Penyelesaian:

Dalam G 2 terdapat 16 fungsi yang dapat didefinisikan oleh salah satu vektor seperti (B1 , B2 , B1 , B1 ) yang merupakan penyelesaian untuk fungsi f1 , f 2 , f 3 , f 4 antara lain : g ( f1 ) = B1 , g ( f 2 ) = B2 , g ( f 3 ) = B1 , dan g ( f 4 ) = B1 .


59

Strategi pemain 1 yang dinyatakan dengan rumus: F1 = { f : X 2 → X 1 } membentuk sekumpulan fungsi seperti pada contoh 3.1.1 dan didapatkan empat fungsi yaitu: i).

f1 (B1 ) = A1 atau f1 (B2 ) = A1 ,yakni pemain 1 selalu memilih untuk


f 2 (B1 ) = A2 atau f 2 (B2 ) = A2 ,yakni pemain 1 memilih untuk tidak





kebalikan dari pemain 2.

Dari strategi pemain 1 di atas dapat ditentukan strategi pemain 2. Strategi pemain 2 merupakan fungsi reaksi dari kumpulan strategi yang telah dipilih pemain 1 dengan strategi pemain 2 sendiri. Dapat dinyatakan dengan rumus fungsi yaitu: G2 = {g : F1 → X 2 } , dari rumus fungsi reaksi tersebut akan membentuk sekumpulan fungsi dalam G 2 . Fungsi reaksi tersebut didefinisikan oleh suatu vektor yang terdiri dari empat bagian dan merupakan jawaban untuk fungsi reaksi dari strategi pemain 1. Perhatikan matrik hasil dari G 2 di bawah ini, ada 16 fungsi dalam matrik tersebut dan didefinisikan sebagai berikut :


60

Pemain 2 g1

g2

g3

g4

(B1 , B1 , B1 , B1 )

(B1 , B1 , B1 , B2 )

(B1 , B1 , B2 , B1 )

(B1 , B2 , B1 , B1 )

f1

(− 9,−9)

(− 9,−9)

(− 9,−9)

(− 9,−9)

f2

(− 10,0)

(− 10,0)

(− 10,0)

(− 1,−1)

f3

(− 9,−9)

(− 9,−9)

(− 1,−1)

(− 9,−9)

f4

(− 10,0)

(0,−10)

(− 10,0)

(− 10,0)

g5

g6

g7

g8

Pemain 1

(B2 , B1 , B1 , B1 )

(B1 , B1 , B2 , B2 ) (B1 , B2 , B1 , B2 ) (B1 , B2 , B2 , B1 )

f1

(0,−10)

(− 9,−9)

(− 9,−9)

(− 9,−9)

f2

(− 10,0)

(− 10,0)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 9,−9)

(− 1,−1)

(− 9,−9)

(− 1,−1)

f4

(− 10,0)

(0,−10)

(0,−10)

(− 10,0)

g9

g10

g11

g12

(B2 , B1 , B1 , B2 ) (B2 , B1 , B2 , B1 ) (B2 , B2 , B1 , B1 ) (B1 , B2 , B2 , B2 ) f1

(0,−10)

(0,−10)

(0,−10)

(− 9,−9)

f2

(− 10,0)

(− 10,0)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 9,−9)

(− 1,−1)

(− 9,−9)

(− 1,−1)

f4

(0,−10)

(− 10,0)

(− 10,0)

(0,−10)

g13

g14

g15

g16


(0,−10)

(0,−10)

(0,−10)

(0,−10)

f2

(− 10,0)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 1,−1)

(− 9,−9)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f4

(0,−10)

(0,−10)

(− 10,0)

(0,−10)


61

Mengacu pada matriks hasil G2 di atas akan ditentukan hasil rasional untuk kedua pemain, yaitu dengan memisalkan

( fi , gi )1

adalah hasil rasional

untuk pemain 1 dan misalkan ( f i , g i ) adalah hasil rasional untuk pemain 2. Maka 2

hasil rasional didapatkan dengan memaksimalkan hasil pertama dari pemain 1 yang ditunjukkan dalam setiap kolom, sedangkan hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil kedua dari pemain 2 yang ditunjukkan dalam setiap baris. Hasil rasional untuk kedua pemain tersebut dapat dituliskan menurut definisi yang telah ditentukan diatas. Maka matrik hasil yang didapatkan sebagai berikut:

Pemain 2 g1

g2

g3

g4

(B1 , B1 , B1 , B1 )

(B1 , B1 , B1 , B2 )

(B1 , B1 , B2 , B1 )

(B1 , B2 , B1 , B1 )

f1

(− 9,−9)12

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

f2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 1,−1)1

f3

(− 9,−9)1

(− 9,−9)

(− 1,−1)12

(− 9,−9)

f4

(− 10,0)2

(0,−10)1

(− 10,0)2

(− 10,0)2

g5

g6

g7

g8

(B2 , B1 , B1 , B1 ) Pemain 1

(B1 , B1 , B2 , B2 ) (B1 , B2 , B1 , B2 ) (B1 , B2 , B2 , B1 )

f1

(0,−10)1

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

f2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 1,−1)

(− 1,−1)1

f3

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

(− 9,−9)

(− 1,−1)12

f4

(− 10,0)2

(0,−10)1

(0,−10)1

(− 10,0)2


62

g9

g10

g11

g12


(0,−10)1

(0,−10)1

(0,−10)1

(− 9,−9)2

f2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

f4

(0,−10)1

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(0,−10)1

g13

g14

g15

g16


(0,−10)1

(0,−10)1

(0,−10)1

(0,−10)1

f2

(− 10,0)2

(− 1,−1)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 1,−1)2

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

(− 1,−1)2

f4

(0,−10)1

(0,−10)1

(− 10,0)2

(0,−10)1

Hasil rasional untuk pemain 1 dan pemain 2 dapat juga dituliskan sebagai berikut: ⎧( f1 , g1 ), ( f 2 , g 4 ), ( f 3 , g1 ), ( f 3 , g 3 ), ( f 4 , g 2 ), ( f1 , g 5 ), ( f 2 , g8 ), ⎫ ⎪ ⎪ R1 (21G ) = ⎨( f 3 , g8 ), ( f 4 , g 6 ), ( f 4 , g 7 ), ( f1 , g 9 ), ( f1 , g10 ), ( f1 , g11 ), ( f 4 , g 9 ), ⎬ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g )⎪ 4 13 4 14 4 16 ⎭ ⎩ 4 12 1 13 1 14 1 15 ⎧(− 9,−9 ), (− 1,−1), (− 9,−9 ), (− 1,−1), (0,−10 ), (0,−10 ), (− 1,−1),⎫ ⎪ ⎪ = ⎨(− 1,−1), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), ⎬ ⎪(0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ) ⎪ ⎩ ⎭ = {(− 9,−9 ), (− 1,−1), (0,−10 )}


63

⎧( f1 , g1 ), ( f1 , g 2 ), ( f1 , g3 ), ( f1 , g 4 ), ( f1 , g 6 ), ( f1 , g 7 ), ( f1 , g8 ), ( f1 , g12 ), ⎫ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ⎪ ⎪ 2 1 2 2 ⎪ 2 3 2 5 2 6 2 9 2 10 2 13 R2 (21G ) = ⎨ ⎬ ⎪( f 3 , g3 ), ( f 3 , g 6 ), ( f3 , g8 ), ( f3 , g10 ), ( f3 , g12 ), ( f 3 , g13 ), ( f 3 , g15 ), ( f 3 , g16 ),⎪ ⎪⎩( f 4 , g1 ), ( f 4 , g3 ), ( f 4 , g 4 ), ( f 4 , g5 ), ( f 4 , g8 ), ( f 4 , g10 ), ( f 4 , g11 ), ( f 4 , g15 ) ⎪⎭ ⎫ ⎧(− 9,−9), (− 9,−9), (− 9,−9), (− 9,−9), (− 9,−9), (− 9,−9), (− 9,−9), ⎪(− 9,−9), (− 10,0 ), (− 10,0 ), (− 10,0), (− 10,0), (− 10,0), (− 10,0 ), (− 10,0 ),⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ = ⎨(− 10,0 ), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), ⎬ ⎪(− 1,−1), (− 10,0), (− 10,0 ), (− 10,0 ), (− 10,0 ), (− 10,0 ), (− 10,0 ), (− 10,0 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩(− 10,0 ) = {(− 9,−9 ), (− 10,0 ), (− 1,−1)}

Dan didapatkan titik ekuilibriumnya adalah E (21G ) = R1 (21G ) ∩ R2 (21G )

= {( f1 , g1 ), ( f 3 , g 3 ), ( f 3 , g8 )}

= {(− 9,−9 ), (− 1,−1), (− 1,−1)} = {(− 9,−9 ), (− 1,−1)} Dalam

permainan

Prisoners

Dilemma,

karena

g1 ( f 1 ) = B1

dan

f1 (B1 ) = A1 maka ( f1 , g 1 ) sesuai dengan ( A1 , B1 ) , demikian juga g 3 ( f 3 ) = B2 dan

f 3 (B2 ) = A2 maka ( f 3 , g 3 ) sesuai dengan ( A2 , B2 ) . Demikian juga g8 ( f 3 ) = B2

dan f 3 (B2 ) = A2 maka

( f3 , g8 )

sesuai dengan ( A2 , B2 ) . Dalam permainan ini

( A1 , B1 ) dan ( A2 , B2 ) merupakan metaekuilibria jadi Eˆ (21G ) = {( A1 , B1 ), ( A2 , B2 )} = {(− 9,−9 ), (− 1,−1)}

Pemain 1 terlebih dahulu mengetahui strategi apa yang akan digunakan oleh pemain 2, jika pemain 2 memilih untuk mengakui maka pemain 1 juga akan


64

memilih untuk mengakui. Dengan demikian hukuman yang didapatkan sama, yakni 9 tahun penjara. Jika pemain 2 memilih untuk tidak mengakui maka pemain 1 juga akan memilih untuk tidak mengakui. Dengan demikian hukuman yang didapatkan sama, yakni 1 tahun penjara. Hal ini memberikan contoh kegunaan analisis metagame untuk mengenal hasil apa yang dapat diharapkan dari sebuah permainan. Dapat menggunakan cara lain untuk menganalisis metagame dalam permainan tersebut. Dengan menggunakan fungsi reaksi dalam setiap strategi yang digunakan masing-masing pemain. Kasus-kasus di bawah akan mencari penyelesaian permainan yang diharapkan hasilnya akan sesuai dengan hasil di atas. Perhatikan permainan 21G dengan kasus di bawah ini : i. Kasus 1

Tahap I

: Pemain 2 memilih mengakui.

Tahap II

: Pemain 1 juga memilih mengakui.

Tahap III : Maka pemain 2 memilih mengakui. Dan mendapatkan hukuman sembilan tahun penjara. Begitu pula dengan pemain 1 juga mendapatkan hukuman sembilan tahun penjara. ii. Kasus 2

Tahap I : Mula-mula pemain 2 memilih tidak mengakui. Tahap II : Pemain 1 juga memilih untuk tidak mengakui. Tahap III : Maka pemain 2 memilih tidak mengakui. Maka hasil yang diperoleh adalah pemain 2 mendapatkan satu tahun hukuman penjara. Dan begitu juga dengan pemain satu hukuman yang didapatkan sama


65

Jadi, jika para tawanan diijinkan untuk berbicara satu dengan yang lain dan setiap tawanan dapat meyakinkan yang lain bahwa mereka dapat bebas dari strategi apapun maka dia akan mengikutinya. Untuk itu analisis berguna dalam pengambilan keputusan untuk banyak orang. Jika dilakukan analisis yang sama untuk permainan 12G akan didapatkan lagi antara ( A1 , B1 ) dan ( A2 , B2 ) sebagai metaekuilibria. Melihat uraian dimuka untuk menemukan himpunan metaekuilibria harus ditemukan ekuilibria dalam semua permainan. Setiap permainan dalam metagame terdapat pola permainan, yaitu permainan 1212121G, permainan 21G, permainan 12G, dan masih ada yang lainnya. Jika ada permainan 1212121G maka hasil metaekuilibrianya sama dengan permainan 21G, karena dalam permainan 1212121G pola permainannya adalah pemain 2 akan bermain terlebih dahulu baru pemain 1 bermain kemudian. Selanjutnya akan terjadi sampai pola permainan 1212121G berakhir dan hasilnya sama dengan permainan 21G. Begitu juga dengan permainan 22222G maka hasil metaekuilibrianya sama dengan permainan 2G. dan jika ada permainan 21212G maka hasil metaekuilibrianyapun sama dengan permainan 12G. Maka dari itu dalam bagian selanjutnya permainan yang digunakan hanya akan disekitar permainan 12G dan 21G.

B. Teorema Metarasionalitas

Dalam metagame untuk dua pemain matrik hasil yang didapatkan cukup besar. Apalagi jika untuk n pemain maka perhitungan yang digunakan juga akan semakin rumit dan banyak. Sebab semua hasil dalam permainan dasar dapat


66

diidentifikasi sesuai dengan hasil yang rasional untuk pemain tertentu dalam metagame. Metarasional adalah hasil dalam permainan dasar dan menandakannya ^

dengan Ri (k1 k 2 ....k r G ) . Teorema berikut akan menjelaskan mengenai hal tersebut.

Teorema 3.2.1

Dalam metagame k1 k 2 ...k r G , Fi adalah himpunan pemain-pemain yang letak nomornya dekat dengan G sebelum pemain i muncul dalam permainan k1k2 ...k r G , atau semua pemain yang muncul dalam k1 k 2 ...k r jika pemain i tidak muncul. Pi merupakan himpunan dari pemain-pemain yang tidak berada dalam Fi , yang setelah pemain I muncul dalam permainan k1k2 ...k r G . U i merupakan pemain i . Hasil x = yang tidak didalam Pi atau Fi atau {}

(x

Fi

)

, x Pi , xU i , xi dalam G

merupakan metarasional untuk i dalam k1 k 2 ...k r G . Jika

(

)

min max min ei xFi , xPi , xU i , xi ≤ ei (x ) x Pi

xi

x Fi

(3.2.1)

Bukti :

Jika permainan G hanya mempunyai dua pemain yaitu 1 dan 2, dengan F1 = P1 =

{φ },

U 1 = 2, maka teorema 3.2.1 berbunyi bahwa dalam permainan 1G ( x1 , x 2 )

merupakan metarasional untuk pemain 1 jika, max e1 ( x1 , x 2 ) ≤ e1 ( x1 , x 2 ) , x1

(3.2.2)


67

dengan

F2 = {1}, P2 = U 2 = {φ } untuk permainan 1G,

(x1 , x 2 )

merupakan

metarasional untuk pemain 2 jika max min e2 ( x1 , x 2 ) ≤ e2 ( x1 , x 2 ) ,

Dalam

(3.2.3)

x1

x2

metagame

P1 = {2}, F1 = U 1 = {φ }

21G

berdasarkan

kedua

pemain

maka teorema 3.3.1 berbunyi

(x1 , x 2 )

G,

dengan

merupakan

metarasional untuk pemain 1 jika min max e1 ( x1 , x 2 ) ≤ e1 ( x1 , x 2 ) x2

(3.2.4)

x1

Untuk permainan 21G ( x1 , x 2 ) merupakan metarasional untuk pemain 2 jika max min e2 ( x1 , x 2 ) ≤ e2 ( x1 , x 2 ) ,

(3.2.5)

x1

x2

seperti dalam (3.2.2). Hasil yang sama untuk permainan 2G dan 21G dinamakan 2G

(x1 , x 2 )

dengan F1 = {2}, P1 = U 1 = {φ } ,

(x1 , x2 )

merupakan metarasional

untuk pemain 1 jika max min e1 ( x1 , x 2 ) ≤ e1 ( x1 , x 2 )

F2 = P2 = {φ }, U 2 = {1} maka

Dengan

(3.2.6)

x2

x1

(x1 , x2 )

merupakan metarasional untuk

pemain 2 jika max e2 ( x1 , x 2 ) ≤ e2 ( x1 , x 2 ) x2

(3.2.7)

Akhirnya untuk permainan 12G mempunyai syarat yang mengikuti, dengan F1 = {2}, P1 = U 1 = {φ } maka ( x1 , x 2 ) merupakan metarasional untuk pemain 1 jika

max min e1 ( x1 , x 2 ) ≤ e1 ( x1 , x 2 ) x1

x2

(3.2.8)


68

Dengan

(F2 = U 2 = {φ }, P2 = {1})

maka

(x1 , x2 )

merupakan metarasional

untuk pemain 2 jika min max e2 (x1 , x 2 ) ≤ e2 ( x1 , x 2 ) x1

(3.2.9)

x2

■

Misalkan diperiksa bahwa hasil metarasional diberikan oleh pertaksamaan (3.2.1 – 3.2.9) akan sama dengan hasil pada pekerjaan matrik hasil untuk permainan 1G dan matrik hasil untuk permainan Prisoners Dilemma. Untuk permainan 1G

(x1 , x2 )

merupakan metarasional untuk pemain 1 jika sesuai

dengan pertaksamaan 3.2.2. Maka max( x1 , x2 ) sesuai dengan maksimum dari x1

e1 ( A1 , x2 ) = −9 dan e1 ( A2 , x2 ) = −10 . Jadi hasil maksimumnya adalah -9 harus

kurang dari hasil e1 ( x1 , x2 ) . Dan ( x1 , x 2 ) merupakan metarasional untuk pemain 2 jika sesuai dengan pertaksamaan 3.2.3. Maka max min e2 (x1 , x2 ) sesuai dengan x1

x2

min e2 ( x1 , B1 ) = −9 dan min e2 ( x1 , B2 ) = −10 . Jadi max dari -9 dan -10 adalah -9 x1

x1

x2

harus kurang dari hasil e1 ( x1 , x2 ) . Untuk permainan 1G pertaksamaan 3.2.2 berisi

(x1 , x 2 )

merupakan

metarasional untuk pemain 1 jika ( x1 , x 2 ) merupakan hasil tertinggi untuk pemain 1 dalam kolom terhadap strategi x2 . Kembali pada matrik hasil pada permainan dasar G, yaitu pada matrik hasil permainan Prisoners Dilemma memberikan Rˆ1 (1G ) = {( A1 , B1 ), ( A1 , B2 )} . Untuk pemain 2 hasil metarasional pada pertaksamaan 3.2.3 memerlukan syarat max x 2 min x1 e2 ( x1 , x2 ) . Sekarang min x1 e2 ( x1 , B1 ) = −9


69

dan min x1 e2 (x1 , B2 ) = −10 , maka max x 2 min x1 e2 ( x1 , x2 ) adalah maksimum dari -9 dan -10 yaitu -9. Dan memberikan Rˆ 2 (1G ) = {( A1 , B1 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 )}, dengan Rˆi merupakan hasil metarasional. Jadi hasil akhir yang disetujui dari R1 (1G ) dan R2 (1G ) ada dalam hasil rasional untuk permainan 1G. Untuk permainan 21G, keadaan untuk hasil rasional pemain 2 sama dengan

hasil

rasional

untuk

permainan

1G

jadi

Rˆ 2 (21G ) = Rˆ 2 (1G ) = {( A1 , B1 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 )}. Untuk pemain 1 pertaksamaan 3.2.4 memerlukan untuk menemukan min x 2 max x1 e1 ( x1 , x2 ) . Dengan x2 = B1 memiliki max x1 e1 ( x1 , B1 ) = −9 dari matrik hasil permainan dasar G, jika x2 = B2 memiliki max x1 e1 ( x1 , B2 ) = 0 . Jadi min x 2 max x1 e1 ( x1 , x2 ) adalah minimum dari -9 dan 0, yaitu menghasilkan -9.

Teorema 3.2.2

Diberikan suatu metagame k1k2 ...kr G . Jika semua permainan, kecuali permainan terakhir yang muncul dalam k1k2 ...k r G (yang paling dekat dengan G), dihapus maka hasil permainan k1′k2′ ...k s′G mempunyai hasil metarasional yang sama dengan metagame k1k2 ...k r G .

Bukti :

Untuk membuktikan Teorema di atas, akan digunakan beberapa contoh, yakni akan ditunjukkan bahwa hasil permainan 22G sama dengan hasil permainan 2G.


70

Dan untuk permainan 121G hasil permainannya sama dengan permainan 21G. Keduanya menggunakan contoh permainan Prisoners Dilemma.

1.

Permainan 22G

Dalam

permainan

22G

pemain

2

bermain

setelah

pemain

1

memberitahukan strategi yang akan digunakan, misalkan strategi yang digunakan oleh pemain 1 adalah X 1 = ( A1 , A2 ) dan strategi pemain 2 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 1. Untuk permainan 22G terdapat dua kumpulan fungsi reaksi untuk pemian 1, yakni i.

F1 = { f | f : X 1 → X 2 }

dengan

X 2 = (B1 , B2 )

adalah

strategi

yang

digunakan pemain 2. Maka kumpulan fungsi reaksi untuk strategi yang digunakan pemain 2 adalah a.

Pemain

2

selalu

memilih

untuk

mengakui

jadi

f1 ( A1 ) = B1 , f1 ( A2 ) = B1 .

b.

Pemain

2

selalu

memilih

untuk

tidak

mengakui

jadi

f 2 ( A1 ) = B2 , f 2 ( A2 ) = B2 . c. Pemain 2 memilih untuk melakukan hal yang sama seperti pemain 1 jadi f 3 ( A1 ) = B1 , f 3 ( A2 ) = B2 . d. Pemain 2 memilih untuk melakukan kebalikan dari pemain 1 jadi f 4 ( A1 ) = B2 , f 4 ( A2 ) = B1 .

ii.

G2 = {g | g : X 1 → X 2 } , maka kumpulan fungsi reaksi untuk strategi yang

digunakan pemain 2 adalah


71

a. Pemain

2

selalu

memilih

untuk

mengakui

jadi

g1 ( A1 ) = B1 , g1 ( A2 ) = B1.

b. Pemain

2

selalu

memilih

untuk

tidak

mengakui

jadi

g 2 ( A1 ) = B2 , g 2 ( A2 ) = B2 .

c.

Pemain 2 memilih untuk melakukan hal yang sama seperti pemain 1 jadi g 3 ( A1 ) = B1 , g 3 ( A2 ) = B2 .

d. pemain 2 memilih untuk melakukan kebalikan dari pemain 1 jadi g 4 ( A1 ) = B2 , g 4 ( A2 ) = B1.

Dari dua kumpulan fungsi reaksi untuk strategi pemain 2 di atas, kumpulan fungsi reaksi F1 dan G2 mempunyai fungsi reaksi yang sama, maka untuk mencari hasil permainannya cukup digunakan salah satu dari kedua kumpulan fungsi reaksi tersebut. Dengan demikian hasil permainan 22G dapat dituliskan dalam matrik hasil berikut :

Pemain 1

Pemain 2

A1

A2

f1 / g1

(-9 , -9)

(0 , -10)

f 2 / g2

(-10 , 0)

(-1 , -1)

f 3 / g3

(-9 , -9)

(-1 , -1)

f 4 / g4

(-10 , 0)

(0 , -10)


72

Dari matriks di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk kedua pemain, yaitu : R1 (22G ) = {( A1 , f1 ), ( A1 , f 3 ), ( A2 , f1 ), ( A2 , f 4 )} , R2 (22G ) = {( A1 , f1 ), ( A1 , f 2 ), ( A2 , f 3 ), ( A1 , f 4 )} maka

didapatkan

metaekuilibrium

dari

permainan

22G

adalah

E (22G ) = R1 (22G ) ∩ R2 (22G ) = {( A1 , f1 )} , yakni ( A1 , B1 ) yang artinya pemain 1

memilih untuk mengakui begitu juga dengan pemain 2 memilih untuk mengakui. Kesimpulannya adalah hasil rasional dari permainan 22G sama dengan hasil rasional dari permainan 2G dalam contoh 3.2.3, yakni

( A1 , B1 )

dengan

penyelesaian bahwa kedua pemain sama-sama mengakui mencuri.

2.

Permainan 121G

Dalam permainan 121G, pemain 1 bermain setelah pemain 2, yang telah memberitahukan strategi yang akan digunakan. Misalkan strategi yang digunakan oleh pemain 2 adalah X 2 = (B1 , B2 ) , maka pemain 1 akan melakukan fungsi reaksi terhadap strategi yang akan digunakan pemain 2. Strategi pemain 1 sekarang adalah kumpulan fungsi F1 = { f | f : X 2 → X 1} . Lalu pemain 2 juga akan melakukan fungsi reaksi terhadap strategi yang digunakan oleh pemain 1. Strategi pemain 2 sekarang adalah kumpulan fungsi G2 = {g | g : X 1 → X 2 } . Kemudian pemain 1 akan bermain kembali dengan melakukan fungsi reaksi terhadap strategi yang digunakan oleh pemain 2. Sekarang strategi pemain 1 merupakan kumpulan fungsi yang didefinisikan dengan H 3 = {h | h : X 2 → X 1}.


73

Dapat dilihat bahwa kumpulan strategi untuk pemain 1 adalah F1 = { f | f : X 2 → X 1} dan H 3 = {h | h : X 2 → X 1} yang mempunyai fungsi yang

sama.

i.

Kumpulan

strategi

pemain

1

yang

dinyatakan

dengan

F1 = { f | f : X 2 → X 1} , yang juga berlaku untuk H 3 = {h | h : X 2 → X 1}

adalah : a. Pemain

1

selalu

memilih

untuk

mengakui

jadi

f1 (B1 ) = A1 , f1 (B2 ) = A1.

b. Pemain

1

selalu

memilih

untuk

tidak

mengakui

jadi

f 2 (B1 ) = A2 , f 2 (B2 ) = A2 .

c. Pemain 1 memilih untuk melakukan hal yang sama seperti pemain 2 jadi f 3 (B1 ) = A1 , f 3 (B2 ) = A2 . d. Pemain 1 memilih untuk melakukan kebalikan dari pemain 2 jadi f 4 (B1 ) = A2 , f 4 (B2 ) = A1.

ii.

Kumpulan

strategi

pemain

G2 = {g | g : X 1 → X 2 } . Himpunan

2

dapat

dinyatakan

dengan

ini akan terdiri dari fungsi-fungsi

dalam G 2 yang didefinisikan oleh suatu vektor yang memilih empat elemen dan merupakan fungsi reaksi dari strategi pemain 1.


74

Hasil rasional untuk kedua pemain dapat ditentukan dengan memisalkan

( fi , gi )1

sebagai hasil rasional untuk pemain 1 dan ( f i , g i ) adalah hasil rasional 2

untuk pemain 2. Maka hasil rasional untuk pemain 1 didapatkan dengan memaksimalkan hasil pemain 1 yang ditunjukkan dalam setiap kolom, sedangkan hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil pemain 2 yang ditunjukkan dalam setiap baris. Hasil rasional untuk kedua pemain dapat dituliskan dalam matrik hasil sebagai berikut:

Pemain 2 g1

g2

g3

g4

(B1 , B1 , B1 , B1 )

(B1 , B1 , B1 , B2 )

(B1 , B1 , B2 , B1 )

(B1 , B2 , B1 , B1 )

f1

(− 9,−9)12

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

f2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 1,−1)1

f3

(− 9,−9)1

(− 9,−9)

(− 1,−1)12

(− 9,−9)

f4

(− 10,0)2

(0,−10)1

(− 10,0)2

(− 10,0)2

g5

g6

g7

g8

(B2 , B1 , B1 , B1 )

Pemain 1

(B1 , B1 , B2 , B2 ) (B1 , B2 , B1 , B2 ) (B1 , B2 , B2 , B1 )

f1

(0,−10)1

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

(− 9,−9)2

f2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 1,−1)

(− 1,−1)1

f3

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

(− 9,−9)

(− 1,−1)12

f4

(− 10,0)2

(0,−10)1

(0,−10)1

(− 10,0)2

g9

g10

g11

g12


(0,−10)1

(0,−10)1

(0,−10)1

(− 9,−9)2


75

f2

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

f4

(0,−10)1

(− 10,0)2

(− 10,0)2

(0,−10)1

g13

g14

g15

g16


(0,−10)1

(0,−10)1

(0,−10)1

(0,−10)1

f2

(− 10,0)2

(− 1,−1)

(− 1,−1)

(− 1,−1)

f3

(− 1,−1)2

(− 9,−9)

(− 1,−1)2

(− 1,−1)2

f4

(0,−10)1

(0,−10)1

(− 10,0)2

(0,−10)1

Hasil rasional untuk pemain 1 dan pemain 2 dapat juga dituliskan sebagai berikut: ⎧( f1 , g1 ), ( f 2 , g 4 ), ( f 3 , g1 ), ( f 3 , g3 ), ( f 4 , g 2 ), ( f1 , g 5 ), ( f 2 , g8 ), ⎫ ⎪ ⎪ R1 (121G ) = ⎨( f 3 , g8 ), ( f 4 , g 6 ), ( f 4 , g 7 ), ( f1 , g 9 ), ( f1 , g10 ), ( f1 , g11 ), ( f 4 , g 9 ), ⎬ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g )⎪ 4 13 4 14 4 16 ⎭ ⎩ 4 12 1 13 1 14 1 15 ⎧(− 9,−9 ), (− 1,−1), (− 9,−9 ), (− 1,−1), (0,−10 ), (0,−10 ), (− 1,−1),⎫ ⎪ ⎪ = ⎨(− 1,−1), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), ⎬ ⎪(0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ), (0,−10 ) ⎪ ⎭ ⎩ = {(− 9,−9 ), (− 1,−1), (0,−10 )}

⎧( f1 , g1 ), ( f1 , g 2 ), ( f1 , g 3 ), ( f1 , g 4 ), ( f1 , g 6 ), ( f1 , g 7 ), ( f1 , g8 ), ( f1 , g12 ), ⎫ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ⎪ ⎪ 2 1 ⎪ 2 2 2 3 2 5 2 6 2 9 2 10 2 13 R2 (121G ) = ⎨ ⎬ ⎪( f 3 , g 3 ), ( f 3 , g 6 ), ( f 3 , g8 ), ( f 3 , g10 ), ( f 3 , g12 ), ( f 3 , g13 ), ( f 3 , g15 ), ( f 3 , g16 ),⎪ ⎪⎩( f 4 , g1 ), ( f 4 , g 3 ), ( f 4 , g 4 ), ( f 4 , g 5 ), ( f 4 , g 8 ), ( f 4 , g10 ), ( f 4 , g11 ), ( f 4 , g15 ) ⎪⎭ ⎧(− 9,−9 ), (− 9,−9 ), (− 9,−9 ), (− 9,−9 ), (− 9,−9 ), (− 9,−9 ), (− 9,−9 ), ⎫ ⎪(− 9,−9 ), (− 10,0 ), (− 10,0 ), (− 10,0), (− 10,0 ), (− 10,0), (− 10,0), (− 10,0 ),⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ = ⎨(− 10,0 ), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), (− 1,−1), ⎬ ⎪(− 1,−1), (− 10,0 ), (− 10,0), (− 10,0 ), (− 10,0), (− 10,0), (− 10,0), (− 10,0 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩(− 10,0 ) ⎪⎭ = {(− 9,−9 ), (− 10,0 ), (− 1,−1)}


76

Dan didapatkan titik ekuilibriumnya adalah E (121G ) = R1 (121G ) ∩ R2 (121G )

= {( f1 , g1 ), ( f 3 , g 3 ), ( f 3 , g8 )}

= {(− 9,−9 ), (− 1,−1), (− 1,−1)} = {(− 9,−9 ), (− 1,−1)} Dalam

permainan

Prisoners

Dilemma,

karena

g1 ( f 1 ) = B1

dan

f1 (B1 ) = A1 maka ( f1 , g 1 ) sesuai dengan ( A1 , B1 ) , demikian juga g 3 ( f 3 ) = B2 dan

f 3 (B2 ) = A2 maka ( f 3 , g 3 ) sesuai dengan ( A2 , B2 ) . Begitu pula g8 ( f 3 ) = B2 dan f 3 (B2 ) = A2 maka

( f3 , g8 )

sesuai dengan ( A2 , B2 ) . Dengan demikian dalam

permainan ini ( A1 , B1 ) dan ( A2 , B2 ) merupakan metaekuilibria. Jadi, Eˆ (G ) = {( A1 , B1 ), ( A2 , B2 )}

= {(− 9,−9 ), (− 1,−1)}

Hasil metaekuilibria

metaekuilibria dari

dari

permainan

permainan 21G

( A1 , B1 ) = (− 9,−9) dan ( A2 , B2 ) = (− 1,−1) .

121G

dalam

sama

contoh

dengan 3.1.4

,

hasil yaitu

Maka dapat disumpulkan bahwa

Teorema 3.2.2 berlaku.

■

Teorema 3.2.2 mempunyai arti bahwa dalam permainan 121G atau dalam permainan 1212121G mempunyai hasil metarasional yang sama dengan permainan 21G, dan dalam permainan 2222G mempunyai hasil akhir yang sama dengan permainan 2G. Dengan demikian, jika permainan dasar hanya mempunyai dua pemain,

maka semua kemungkinan hasil metarasional dapat ditentukan

dengan melihat hasil dari metagame 1G, 2G, 12G, dan 21G.


77

Teorema 3.2.3

Untuk

permainan

dasar

dengan

n

pemain

terdapat

sebanyak

⎧ n! n! n! n! ⎫ + + + ... + metagame yang dapat dibentuk. ⎨ (n − n )!⎬⎭ ⎩ (n − 1)! (n − 2)! (n − 3)!

Bukti :

Untuk permainan dasar dengan n-pemain, dibutuhkan sebanyak n tingkat metagame yang semua kemungkinannya adalah jumlah dari permutasi dalam setiap tingkatan, yaitu dari tingkat nomor 1 sampai n. Metagame untuk n pemain dapat ditunjukkan dengan rumus sebagai berikut : n

∑ i =1

Dengan

n

n

Pi

Pi merupakan rumus permutasi, yaitu

n

Pi =

n! , maka metagame (n − i )!

untuk n pemain dapat ditunjukkan sebagai berikut : n

∑ i =1

n

P i = {n P1 + n P2 + n P3 + ...+ n Pn }

⎧ n! n! n! n! ⎫ =⎨ + + + ... + (n − n )!⎬⎭ ⎩ (n − 1)! (n − 2)! (n − 3)! ⎧ n! n! n! n! ⎫ + + + ... + Jadi untuk n pemain terdapat sebanyak ⎨ (n − n )!⎬⎭ ⎩ (n − 1)! (n − 2)! (n − 3)! metagame yang dapat dibentuk. Misalkan ada 3 pemain maka metagame yang dapat dibentuk adalah


78

3

∑ i =1

n

P i = {3 P1 + 3 P2 + 3 P3 } ⎧ 3! 3! 3! ⎫ =⎨ + + ⎬ ⎩ (3 − 1)! (3 − 2 )! (3 − 3)!⎭ ⎧ 3! 3! 3!⎫ =⎨ + + ⎬ ⎩ 2! 1! 0!⎭ ⎧ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅ 1⎫ =⎨ + + ⎬ 1 1 ⎭ ⎩ 2 ⋅1 = {3 + 6 + 6} = 15

15 permainannya dapat dijabarkan sebagai berikut : permainan 1G, 2G, 3G, 12G, 13G, 21G, 23G, 31G, 32G, 123G, 132G, 213G, 231G, 312G, dan 321G. Maka dari 3 pemain dapat dibentuk 15 metagame. Jadi teorema 3.2.3 terbukti.

■

Selanjutnya ditentukan metaekuilibria Eˆ (G ) untuk metagame tersebut, dengan Definisi 3.1.3 dapat ditentukan metaekuilibria untuk setiap permainan, syarat yang dipenuhi adalah dasar permainan harus sama. Sebagai contoh adalah: Eˆ (12G ) = Rˆ1 (12G ) ∩ Rˆ 2 (12G )

dan

Eˆ (21G ) = Rˆ1 (21G ) ∩ Rˆ 2 (21G )

C. Simetri Metaekuilibria

Dalam menguji hasil metarasional pada metagame yang telah dibahas di muka, diketahui bahwa jika suatu hasil merupakan metarasional untuk permainan G , maka hasil tersebut juga merupakan metarasional untuk permainan 1G, 2G, 12G dan 21G. Dan jika hasil metarasional untuk permainan 1G adalah juga hasil


79

metarasional untuk permainan 21G. Dengan demikian suatu hasil metarasional adalah metarasional untuk semua metagame dengan orde yang lebih tinggi jika mempunyai dasar permainan yang sama, seperti teorema berikut :

Teorema 3.3.1

Jika x = ( x1 , x2 ,..., xn ) adalah metarasional untuk pemain i dalam permainan k 2 k3 ...kr G , maka x = ( x1 , x2 ,..., xn ) juga hasil metarasional untuk pemain i dalam permainan k1k2 k3 ...k r G (apapun k1 tidak akan mempengaruhi).

Bukti :

Dalam Teorema 3.2.1 pemain dibagi menjadi tiga himpunan kelompok, yaitu U i , Fi dan Pi . Dan menurut pertaksamaan 3.2.1 syarat bahwa x merupakan metarasional dalam k 2 k3 ...k r G adalah :

(

)

min max min ei xFi , xPi , xU i , xi ≤ ei ( x ) x Pi

i.

xi

x Fi

(3.3.1)

Jika k1 muncul di depan permainan k 2 k3 ...k r G , maka berdasarkan teorema 3.2.2, x juga metarasional untuk permainan k1k2 k3 ...k r G (nomor pemain yang dekat dengan G tidak berubah).

ii.

Jika k1 tidak muncul di depan permainan k 2 k3 ...kr G dan k1 = {} i , maka menurut definisi dari Fi hasil permainan tidak berubah. Dengan demikian


80

pertaksamaan 3.3.1 merupakan syarat untuk x agar menjadi metarasional untuk permainan k1k2 k3 ...k r G seperti dalam permainan k 2 k3 ...k r G . iii.

Jika mula-mula k1 di dalam U i sekarang k1 masuk dalam Pi , dan karena

(

)

(

min min max min ei xFi , xPi , xk1 , xU i , xi ≤ min max min ei xFi , xPi , xk1 , xU i , xi x k1

x Pi

xi

x Fi

x Pi

xi

x Fi

)

jika x membuat pertaksamaan 3.3.1 benar, maka x metarasional untuk pemain i dalam permainan k1k2 k3 ...kr G . Jadi terbukti bahwa x = ( x1 , x2 ,..., xn ) juga merupakan hasil metarasional untuk pemain i dalam permainan k1k2 k3 ...kr G .

■

Hasil ini menyiratkan bahwa hanya diperlukan melihat permainan 123…nG atau nn – 1…21G dan yang lainnya seperti permutasi dari 1,2,…,n untuk menemukan metaekuilibria dalam suatu permainan. Suatu permainan jika judulnya adalah beberapa permutasi dari 1,2,…,n disebut permainan lengkap.

Definisi 3.3.1

Hasil (x1∗ , x2∗ ,..., xn∗ ) adalah simetri ekuilibrium jika dia adalah metaekuilibrium dalam semua permainan lengkap.

Jika G mempunyai dua pemain metaekuilibria yang simetri adalah Eˆ (12G ) ∩ Eˆ (21G ) , dan untuk permainan Prisoners Dilemma metaekuilibrianya adalah simetri.


81

D. Analisis Pilihan

Penerapan analisis metagame dalam kehidupan nyata salah satunya adalah dapat mendiskusikan konsep metagame tersebut bukan dengan ahli teori permainan. Misalnya, ada perusahaan A,B dan C, ketiga perusahaan tersebut merupakan pelaku bisnis yang bersaing untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal. Setiap perusahaan akan berusaha untuk memenangkan persaingan tersebut dengan menggunakan strategi yang akan membuat mereka mendapatkan keuntungan yang maksimal. Masalah dari ketiga perusahaan tersebut dapat dibawa ke dalam metagame yaitu, permainan 321G dengan pemain 1 adalah perusahaan A, pemain 2 adalah perusahaan B, dan pemain 3 adalah perusahaan C. Dan strategi yang digunakan setiap pemain merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Untuk mendapatkan hasil metarasional dalam permainan 321G maka setiap perusahaan harus memprediksi dengan tepat strategi yang digunakan perusahaan lainnya dan memilih strategi yang paling menguntungkan untuknya. Pada umumnya kebanyakan orang tidak ingin mengetahui semua hasil yang stabil, yakni hasil yang stabil dalam jangka waktu yang lama. Tetapi mereka hanya tertarik pada hasil yang stabil untuk suatu waktu tertentu. Untuk memenuhi tujuan tersebut dapat digunakan suatu teknik yang disebut analisis pilihan. Tujuan analisis pilihan ini adalah untuk menyelidiki suatu situasi konflik dengan memeriksa apakah suatu skenario atau hasil dalam metagame adalah stabil. Satu-satunya yang diperlukan adalah bahwa setiap pemain dapat menyatakan sikap suka atau tidak suka terhadap sembarang dua


82

skenario. Sehingga, pada umumnya seorang pemain akan menggunakan pilihan yang lebih disukai pemain lain sebagai strateginya. Langkah-langkah yang dapat ditempuh oleh seorang pemain A adalah sebagai berikut : 1.

Mendaftar semua pemain dan semua pilihan atau strategi yang terbuka bagi setiap pemain.

2.

Menentukan skenario dasar. Skenario dasar adalah hasil atau skenario (pasangan strategi) yang diperiksa stabilitasnya.

3.

Memilih salah satu pemain yang lain, untuk memeriksa apakah hasil tersebut akan menjadi metarasional untuk pemain A. Dengan cara sebagai berikut :

4.

Menentukan peningkatan sepihak terhadap skenario dasar untuk pemain A. Peningkatan sepihak adalah hasil yang lebih disukai dari pada skenario dasar yang dapat dicapai oleh pemain A dengan mengubah strateginya, tetapi semua pemain yang lain tetap menggunakan strategi skenario dasar. Jika tidak ada peningkatan sepihak kembali ke langkah (3) dan memeriksa pemain lain.

5.

Jika ada peningkatan sepihak untuk pemain A, tentukan apakah ada pemain lain yang mempunyai sanksi terhadap pemain A. Suatu sanksi terjadi saat pemain lain mengubah sembarang strategi mereka, maka pemain A tidak akan lebih menyukai hasil yang baru daripada skenario dasar. Jika ada sanksi terhadap pemain A, kembali ke langkah (3) dan memeriksa pemain lain.


83

6.

Jika pemain A mempunyai peningkatan hasil, tetapi tidak ada sanksi terhadap pemain A, harus diperiksa apakah sembarang peningkatan hasil adalah peningkatan terjamin. Peningkatan terjamin terjadi jika untuk semua strategi yang dipilih pemain lain, pemain A lebih menyukai skenario dasar. Jika sembarang peningkatan sepihak adalah peningkatan terjamin maka skenario dasar tidak stabil. Jika sembarang peningkatan sepihak bukan peningkatan terjamin kembali ke langkah (3) dan memeriksa pemain lain.

7.

Jika setelah diperiksa untuk semua pemain, tidak satupun dari mereka mempunyai peningkatan terjamin, skenario dasar telah stabil.

Untuk melihat hubungan antara algoritma 1 - 7 dan analisis metagame, akan dipertimbangkan syarat-syarat permainan G untuk dua pemain dan perhatikan kembali pertaksamaan-pertaksamaan (3.2.2 – 3.2.9) yang menjamin

(x1, x2 ) adalah metarasional di dalam permainan 1G, 21G, 12G, 2G. Pada pertaksamaan (3.2.2), (x1 , x2 ) adalah metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 1G jika e1 ( x1 , x2 ) ≥ max x1 e1 ( x1 , x ) , yang bisa dikatakan tidak ada peningkatan sepihak untuk pemain 1 jika menggunakan strategi (x1 , x2 ) . Pada pertaksamaan (3.2.4), (x1 , x2 ) adalah metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 21G jika x2 yang meminimumkan ruas kiri pertaksamaan tersebut adalah sanksi. Dalam hal ini artinya jika skenario dasar kedua pemain


84

adalah

(x1 , x2 ) ,

mula-mula pemain lain menggunakan strategi x2 kemudian

mengubah strateginya menjadi x2 . Maka pemain 1 akan memilih hasil yang baru daripada skenario dasar, yaitu e1 ( x1 , x2 ) .

Di dalam metagame 12G dan 2G, syarat-syarat metarasional pada pertaksamaan (3.2.6) dan (3.2.8) tidak ada peningkatan terjamin untuk pemain 1, artinya untuk semua strategi yang dipilih pemain lain, pemain 1 lebih menyukai hasil yang baru, yaitu e1 ( x1 , x2 ) daripada skenario dasar. Oleh karena itu tidak ada peningkatan terjamin untuk pemain 1. Sehingga analisis pilihan dapat mengenali skenario dasar sebagai metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 2G pada langkah (4), metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 21G pada langkah (5), dan metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 12G dan 2G pada langkah (6). Jika semua langkah-langkah ini terlewati sehingga mempunyai peningkatan terjamin, maka (x1 , x2 ) tidak stabil. Tujuan dari analisis pilihan adalah meminimumkan banyaknya langkah (6) yang dilakukan. Dalam menemukan sanksi dan peningkatan hasil relatif mudah karena hanya strategi pemain A atau pemain lain sisanya yang diubah.

E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar Untuk melihat analisis pilihan di tempat kerja akan dipertimbangkan masalah bisnis berikut: A.U.K merupakan suatu pabrik komputer, harus memutuskan apakah akan membuat sebuah komputer pribadi dan jika demikian apakah hanya bertujuan


85

untuk kepentingan pabrik U.K semata-mata, atau untuk mencoba dan mendapatkan penjualan yang meliputi seluruh dunia (yang mana sebagian besar adalah U.S). Di Amerika perusahaan telah memasarkan apa yang disebut komputer pribadi di U.S, dan harus memutuskan apakah akan menjual komputer pribadi tersebut di U.K, dan jika demikian harganya bisa mahal atau murah. Pada bagian sebelumnya dituliskan langkah-langkah untuk analisis pilihan. Jika mengikuti langkah-langkah tersebut didapatkan analisis apakah keadaaan status quo, yaitu tidak ada penjualan oleh perusahaan manapun juga di U.K maka keadaan akan stabil jika perusahaan U.K dibantu untuk menyelesaikan permasalahannya tersebut.

Penyelesaian : a. Tahap I ~ Langkah 1. Mendaftar semua pemain

Misalkan pemain 1 adalah perusahaan U.K dan pemain 2 adalah perusahaan U.S. Diberikan aturan sebagai berikut : 0’ jika pemain tidak memilih pilihan strategi yang ada. 1’ jika pemain memilih pilihan strategi yang ada. Maka diberikan tabel 3.5.1 sebagai berikut :


86

Tabel 3.5.1

Membuat komputer bagi pasar U.K Membuat komputer bagi pasar U.S

Perusahaan U.K

Perusahaan U.S

Komputer masuk pasar U.K dengan harga tinggi Komputer masuk pasar U.K dengan harga rendah

Pilihan 1

Pilihan 2

Status quo

Infeasible

1

1

0

0

0

1

0

1

Pilihan 1

Pilihan 2

Status quo

Infeasible

1

0

0

1

0

1

0

1

Dengan begitu kedua pemain mempunyai dua pilihan strategi, terlepas dari keadaan status quo dan satu pilihan lainnya yang tidak layak, karena tidak mungkin untuk memilih pilihan tersebut.

~ Langkah 2. Menentukan skenario dasar

Misalkan dipertimbangkan keadaan status quo sebagai skenario dasar, dimana perusahaan tidak mengerjakan apapun yang baru.

~ Langkah 3.

Memilih pemain untuk memeriksa apakah skenario dasar

menjadi metarasional untuk perusahaan U.K

Mempertimbangkan perusahaan U.K terlebih dahulu. ~ Langkah 4.

Menentukan peningkatan sepihak terhadap skenario dasar

untuk perusahaan U.K


87

Untuk menentukan apakah perusahaan U.K mempunyai strategi secara sepihak, maka yang dilakukan perusahaan U.K adalah memilih mengubah strategi skenario dasar yang digunakannya. Dari strategi skenario dasar ke strategi yang baru, dengan syarat hasil dari strategi yang baru akan lebih disukai oleh perusahaan U.K dan perusahaan U.S tetap memilih menggunakan strategi skenario dasar sehingga tidak akan memberikan perubahan kepada perusahaan U.K. Atau perusahaan U.S tidak mengerjakan apapun. Ada peningkatan sepihak terhadap skenario dasar perusahaan U.K. Karena perusahaan U.K lebih menyukai hasil dari strategi yang baru, yaitu pilihan strategi lebih menyukai status quo. Yang membuat perusahaan U.K dapat memproduksi komputer untuk pasarnya sendiri dan pasar perusahaan U.S. Misalkan pilihannya diberikan pada tabel 3.5.2. Tabel 3.5.2

Perusahaan U.K

Perusahaan U.S

Membuat komputer bagi pasar U.K Membuat komputer bagi pasar U.S Komputer masuk pasar U.K dengan harga tinggi Komputer masuk pasar U.K dengan harga rendah

Lebih menyukai status quo

Status quo

Tidak menyukai status quo

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0


88

~ Langkah 5.

Menentukan apakah perusahaan U.S mempunyai sanksi

terhadap perusahaan U.K, jika ada peningkatan sepihak untuk perusahaan U.K

Ada peningkatan sepihak (bagi pasar keduanya) untuk perusahaan U.K maka adakah sanksi. Disini perusahaan U.K harus memilih pilihannya jika perusahaan U.S bertindak terlebih dahulu. Sanksi terjadi saat perusahaan U.S mengubah sembarang strateginya maka perusahaan U.K tidak menyukai hasil dari perubahan tersebut dan perusahaan U.K lebih menyukai hasil dari strategi skenario dasar. Ada dua kemungkinan bagi perusahaan U.S untuk mengubah strateginya, yaitu memasuki pasar U.K dengan harga tinggi atau dengan harga rendah. Akan dilihat kemungkinan-kemungkinan perubahan strategi yang digunakan perusahaan U.S pada tabel 3.5.3 yang diberikan dibawah ini.

Tabel 3.5.3

Perusahaan U.K

Perusahaan U.S



Status quo


1 0 1

0

-

0 0 1

0

-

1 1 1

0

0

0 0 0

0

1


89

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa perusahaan U.S memasuki pasar U.K dengan harga rendah adalah sanksi. Karena apapun juga yang perusahaan U.S kerjakan, perusahaan U.K tidak menyukai hasil tersebut sebanyak status quo . Analisis pilihan untuk perusahaan U.K telah dikerjakan. Dan dapat disimpulkan bahwa perusahaan U.K mempunyai peningkatan sepihak dan perusahaan U.S mempunyai sanksi terhadap dia. Maka untuk tahap dua akan kembali ke langkah (3) dan memilih pemain yang lain. Sekarang dapat dilihat untuk perusahaan U.S.

b. Tahap II ~ Langkah 3.

Memilih pemain untuk memeriksa apakah skenario dasar

menjadi metarasional untuk perusahaan U.S

Mempertimbangkan perusahaan U.S .

~ Langkah 4.

Menentukan peningkatan sepihak terhadap skenario dasar

untuk perusahaan U.S

Pilihan kemungkinan strategi yang digunakan pemain 2, yaitu perusahaan U.S jika perusahaan U.K tidak mengerjakan apapun akan memberikan tabel 3.5.4 :


90

Tabel 3.5.4

Perusahaan U.K

Perusahaan U.S



Status quo

0 0

0

0 0

0

1 0

0

0 1

0


Maka kedua strategi yang dipilih perusahaan U.S seperti yang terlihat pada tabel di atas meningkat secara sepihak untuk perusahaan U.S. Karena disaat perusahaan U.S memilih mengubah strateginya dan hasil yang didapat lebih disukai, perusahaan U.K memilih untuk tetap menggunakan strategi skenario dasar. Dapat disimpulkan bahwa ada peningkatan secara sepihak terhadap skenario dasar perusahaan U.S. Selanjutnya akan diperiksa adakah sanksi.

~ Langkah 5.

Menentukan apakah perusahaan U.K mempunyai sanksi

terhadap perusahaan U.S, jika ada peningkatan sepihak untuk perusahaan U.S

Karena dari langkah sebelumnya didapatkan bahwa perusahaan U.S mempunyai peningkatan sepihak maka akan dipertimbangkan kemungkinan sanksi untuk perusahaan U.K. Sanksi terjadi saat perusahaan U.K mengubah sembarang


91

strateginya, maka perusahaan U.S tidak akan menyukai hasil yang baru dan lebih menyukai skenario dasar. Hasilnya bisa dilihat dalam tabel 3.5.5, yang mana memberi perusahaan U.S pilihan dan meliputi pilihan dalam tabel 3.5.4.

Tabel 3.5.5

Perusahaan U.K

Perusahaan U.S



Status quo


0 0 1 1

0

1 1 1 1

0 0 0 1

0

0 1 0 1

1 0 1 0

0

0 1 0 0

0 1 0 1

0

1 0 0 0

Masing-masing strategi yang digunakan perusahaan U.K adalah (0,0),(1,0), dan (1,1). Dapat dilihat dari tabel di atas bahwa perusahaan U.S menyukai hasil yang didapat dari perubahan strategi perusahaan U.K, maka tidak ada sanksi untuk perusahaan U.K. Karena tidak ada sanksi maka akan diperiksa adakah peningkatan terjamin untuk perusahaan U.S.

~ Langkah 6. Menentukan apakah peningkatan sepihak perusahaan U.S merupakan peningkatan terjamin


92

Peningkatan terjamin terjadi saat semua strategi yang dipilih perusahaan U.K, maka perusahaan U.S lebih menyukai skenario dasar. Akan diperiksa dari tabel 3.5.5 : i. Strategi (1,1,1,0) Perusahaan U.S memilih strategi (1,1,1,0), artinya bahwa dia memilih memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga tinggi. Hasil ini lebih disukai perusahaan U.S daripada hasil dari skenario dasar, yaitu untuk keadaan status quo. Maka memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga tinggi bukanlah peningkatan terjamin. ii. Strategi (1,0,0,1) Perusahaan U.S memilih strategi (1,0,0,1), artinya bahwa dia memilih untuk memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga rendah. Hasil ini juga lebih disukai perusahaan U.S daripada hasil untuk keadaan status quo. Maka memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga rendah bukanlah peningkatan terjamin.

Jadi dapat disimpulkan bahwa peningkatan sepihak perusahaan U.S bukanlah peningkatan terjamin.

~ Langkah 7. Menentukan kesimpulan bahwa skenario dasar stabil

Karena semua pemain sudah diperiksa dan telah mengikuti langkah-langkah analisis pilihan dengan benar, maka dapat disimpulkan bahwa tidak satupun dari kedua pemain yang mempunyai peningkatan terjamin. Maka skenario dasar stabil.


93

Didapatkan analisis bahwa pasar stabil untuk keadaan status quo, yaitu tidak ada penjualan oleh perusahaan U.S di U.K.

Contoh 3.5.1

Pada kota ”Z” terdapat persaingan perebutan pasar barang-barang elektronik dari pengusaha A dan pengusaha B. Mereka mengadakan kampanye promosi dengan menggunakan dua media promosi, yaitu media surat kabar dan media radio. Dengan menggunakan informasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran diperoleh data sebagai berikut :

Matriks hasil riset pemasaran (matriks 3.5.1)

Pengusaha ” B” B1 (surat kabar)

B2 (radio)

(-1,-1)

(6,0)

(0,0)

(3,3)

B

Pengusaha ” A”

A1 (surat kabar) A2 (radio)

B

Tanda minus dalam hasil permainan menunjukkan kerugian pemain dalam melakukan promosi barang-barang elektronik mereka. Dan yang tidak terdapat tanda minus menunjukkan keuntungan masing-masing pemain. Angka dalam hasil permainan menunjukkan jumlah keuntungan atau kerugian dalam ratusan ribu rupiah. Jadi jika pemain mendapatkan angka (-1), maka pemain tersebut rugi seratus ribu rupiah. Jika pemain mendapatkan angka (0), maka pemain tersebut tidak mendapat untung atau rugi. Jika hasil yang didapatkan pemain adalah angka


94

(6) atau (3), maka pemain tersebut mendapatkan keuntungan sejumlah angka yang tertulis dalam hasil permainan tersebut. Analisislah permainan di atas, apakah setiap hasil yang diperoleh dapat menentukan bahwa hasil tersebut rasional terhadap permainan dasar 1G dan 2G atau metarasional bagi setiap pemain. Tentukan metaekulibrium dari permainan di atas, supaya kedua pengusaha barang elektronik tersebut tidak rugi atau mendapatkan keuntungan yang sama.

Penyelesaian : Permainan 1G

Misalkan strategi pemain 2 adalah B = (B1 , B2 ) dan strategi pemain 1 adalah A = ( A1 , A2 ) . Strategi pemain 1 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 2,

dan

membentuk

kumpulan

fungsi

yang

didefinisikan

dengan

rumus

F1 = { f | f : B → A}. Akan ditentukan titik ekuilibrium dari permainan tersebut.

Berdasarkan definisi mengenai fungsi reaksi, maka diperoleh beberapa fungsi sebagai berikut : i.

Pemain 1 memilih untuk selalu menggunakan media surat kabar, yang dinyatakan dengan f1 (B1 ) = A1 atau f1 (B2 ) = A1 .

ii.

Pemain 1 memilih untuk selalu menggunakan media radio, yang dinyatakan dengan f 2 (B1 ) = A2 atau f 2 (B2 ) = A2 .

iii.

Pemain 1 memilih untuk melakukan media yang sama dengan pemain 2, yang dinyatakan dengan f 3 (B1 ) = A1 atau f 3 (B2 ) = A2 .


95

iv.

Pemain 1 memilih untuk melakukan media yang berbeda dengan pemain 2, yang dinyatakan dengan f 4 (B1 ) = A2 atau f 4 (B2 ) = A1 .

Dari rumus fungsi di atas hasil permainan 1G dapat dituliskan dalam matriks hasil sebagai berikut :

Matriks hasil permainan 1G (matriks 3.5.2)

Pemain 2 (pengusaha ”B”) B1

B2

f1

(-1,-1)

(6,0)

f2

(0,0)

(3,3)

f3

(-1,-1)

(3,3)

f4

(0,0)

(6,0)

B

Pemain 1 (pengusaha ”A”)

B

Dari matriks hasil di atas akan dicari hasil rasional untuk masing-masing pemain. Hasil rasional untuk pemain 1 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang pertama untuk setiap kolom, yaitu : R1 (1G ) = {( f 2 , B1 ), ( f 4 , B1 ), ( f1 , B2 ), ( f 4 , B2 )} .

Hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang kedua dari setiap baris, yaitu : R2 (1G ) = {( f1 , B2 ), ( f 2 , B2 ), ( f 3 , B2 ), ( f 4 , B1 ), ( f 4 , B2 )} . Dengan demikian titik ekuilibriumnya adalah E (1G ) = R1 (1G )∩ R2 (2G )

= {( f1 , B2 ), ( f 4 , B1 ), ( f 4 , B2 )} = {(6,0 ), (0,0), (6,0)} = {(6,0), (0,0)}


96

Jadi titik ekuilibriumnya adalah ( A1 , B2 ) dan ( A2 , B1 ) . Titik ekuilibrium

( A1, B2 )

berarti bahwa pemain 1 menggunakan media surat kabar dan pemain 2

menggunakan media radio, dan hasil yang diperoleh pemain 1 adalah enam ratus ribu rupiah sedangkan hasil yang diperoleh pemain 2 adalah 0, artinya bahwa pemain 2 tidak mendapatkan untung atau rugi. Titik ekuilibrium ( A2 , B1 ) berarti bahwa pemain 1 menggunakan media radio dan pemain 2 menggunakan media surat kabar. Dan kedua pemain memperoleh hasil yang sama, yaitu 0 yang berarti tidak mendapatkan untung atau rugi.

Permainan 2G

Hasil permainan dari permainan 2G akan sama dengan permainan 1G. Maka titik ekuilibrium dari permainan 2G adalah ( A1 , B2 ) dan ( A2 , B1 ) . Keterangan tentang hasil permainan sudah dijelaskan di atas.

Permainan 21G

Dalam permainan ini strategi pemain 1 yang digunakan adalah fungsi reaksi F1 = { f | f : B → A} dan strategi pemain 2 yang digunakan adalah fungsi reaksi G2 = {g | g : F1 → B} . Untuk fungsi F1 pada permainan ini sama seperti fungsi F1 pada permainan 1G. Selanjutnya akan diselidiki strategi untuk pemain 2.

Dalam G2 terdapat 16 fungsi dari definisi fungsi reaksi G2 = {g | g : F1 → B} , dan dapat didefinisikan oleh salah satu vektor seperti (B1 , B1 , B2 , B1 ) yang merupakan


97

penyelesaian untuk fungsi f1 , f 2 , f 3 , f 4 antara lain : g ( f1 ) = B1 , g ( f 2 ) = B1 , g ( f 3 ) = B2 , dan g ( f 4 ) = B1 . Dari rumus fungsi G2 = {g | g : F1 → B} akan membentuk sekumpulan fungsi dalam G2 dan matriks hasilnya didefinisikan sebagai berikut :

Matriks hasil permainan 21G (matriks 3.5.3)

Pemain 2 (pengusaha B) Pemain 1 (pengusaha A)

g1

g2

(B1 , B1 , B1, B1 ) (B1 , B1, B1 , B2 )

g3

g4

(B1 , B1, B2 , B1 )

(B1 , B2 , B1, B1 )

f1

(-1,-1)

(-1,-1)

(-1,-1)

(-1,-1)

f2

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(3,3)

f3

(-1,-1)

(-1,-1)

(3,3)

(-1,-1)

f4

(0,0)

(6,0)

(0,0)

(0,0)

g5

g6

g7

g8

(B2 , B1 , B1 , B1 ) (B1 , B1 , B2 , B2 ) (B1 , B2 , B`1, B2 ) (B1 , B2 , B2 , B1 ) f1

(6,0)

(-1,-1)

(-1,-1)

(-1,-1)

f2

(0,0)

(0,0)

(3,3)

(3,3)

f3

(-1,-1)

(3,3)

(-1,-1)

(3,3)

f4

(0,0)

(6,0)

(6,0)

(0,0)

g9

g10

g11

g12

(B2 , B1 , B1, B2 ) (B2 , B1 , B2 , B1 ) (B2 , B2 , B1, B1 )

(B1 , B2 , B2 , B2 )

f1

(6,0)

(6,0)

(6,0)

(-1,-1)

f2

(0,0)

(0,0)

(3,3)

(3,3)


98

f3

(-1,-1)

(3,3)

(-1,-1)

(3,3)

f4

(6,0)

(0,0)

(0,0)

(6,0)

g13

g14

g15

g16

(B2 , B1 , B2 , B2 ) (B2 , B2 , B1, B2 ) (B2 , B2 , B2 , B1 )

(B2 , B2 , B2 , B2 )

f1

(6,0)

(6,0)

(6,0)

(6,0)

f2

(0,0)

(3,3)

(3,3)

(3,3)

f3

(3,3)

(-1,-1)

(3,3)

(3,3)

f4

(6,0)

(6,0)

(0,0)

(6,0)

Mengacu pada matriks hasil di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk kedua pemain. Hasil rasional untuk pemain 1 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang pertama dari kolom dan dimisalkan dengan ( f i , g i ) . Sedangkan hasil 1

rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang kedua dari baris dan dimisalkan dengan

( fi , gi )2 . Hasil rasional untuk kedua pemain dapat

dituliskan dalam matriks hasil sebagai berikut :

Matriks hasil rasional permainan 21G (matriks 3.5.4)

Pemain 2 (pengusaha B) Pemain 1 (pengusaha A)

g1

g2

(B1 , B1 , B1, B1 ) (B1 , B1, B1 , B2 )

g3

g4

(B1 , B1, B2 , B1 )

(B1 , B2 , B1, B1 )

f1

(-1,-1)

(-1,-1)

(-1,-1)

(-1,-1)

f2

(0,0)1

(0,0)

(0,0)

(3,3)12

f3

(-1,-1)

(-1,-1)

(3,3)12

(-1,-1)


99

f4

(0,0)12

(6,0)12

(0,0)2

(0,0)2

g5

g6

g7

g8

(B2 , B1 , B1 , B1 ) (B1 , B1 , B2 , B2 ) (B1 , B2 , B`1, B2 ) (B1 , B2 , B2 , B1 ) f1

(6,0)12

(-1,-1)

(-1,-1)

(-1,-1)

f2

(0,0)

(0,0)

(3,3)2

(3,3)12

f3

(-1,-1)

(3,3)2

(-1,-1)

(3,3)12

f4

(0,0)2

(6,0)12

(6,0)12

(0,0)2

g9

g10

g11

g12

(B2 , B1 , B1, B2 ) (B2 , B1 , B2 , B1 ) (B2 , B2 , B1, B1 )

(B1 , B2 , B2 , B2 )

f1

(6,0)12

(6,0)12

(6,0)12

(-1,-1)

f2

(0,0)

(0,0)

(3,3)2

(3,3)2

f3

(-1,-1)

(3,3)2

(-1,-1)

(3,3)2

f4

(6,0)12

(0,0)2

(0,0)2

(6,0)12

g13

g14

g15

g16

(B2 , B1 , B2 , B2 ) (B2 , B2 , B1, B2 ) (B2 , B2 , B2 , B1 )

(B2 , B2 , B2 , B2 )

f1

(6,0)12

(6,0)12

(6,0)12

(6,0)12

f2

(0,0)

(3,3)2

(3,3)2

(3,3)2

f3

(3,3)2

(-1,-1)

(3,3)2

(3,3)2

f4

(6,0)12

(6,0)12

(0,0)2

(6,0)12

Hasil rasional untuk pemain 1 juga dapat dituliskan sebagai berikut :


100

⎧( f1 , g5 ), ( f1 , g9 ), ( f1 , g10 ), ( f1 , g11 ), ( f1 , g13 ), ( f1 , g14 ), ( f1 , g15 ), ⎫ ⎪ ⎪ R1 (21G ) = ⎨( f1 , g16 ), ( f 2 , g1 ), ( f 2 , g 4 ), ( f 2 , g8 ), ( f 3 , g3 ), ( f 3 , g8 ), ( f 4 , g1 ), ( f 4 , g 2 ),⎬ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ) ⎪ 4 7 4 9 4 12 4 13 4 14 4 16 ⎩ 4 6 ⎭ ⎧(6,0), (6,0 ), (6,0), (6,0), (6,0 ), (6,0), (6,0), ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨(6,0), (0,0 ), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (0,0), ⎬ ⎪(6,0), (6,0 ), (6,0), (6,0), (6,0 ), (6,0), (6,0), (6,0)⎪ ⎩ ⎭ = {(6,0), (0,0 ), (3,3)}

Hasil rasional untuk pemain 2 juga dapat dituliskan sebagai berikut : ⎧( f1 , g 5 ), ( f1 , g 9 ), ( f1 , g10 ), ( f1 , g11 ), ( f1 , g13 ), ( f1 , g14 ), ( f1 , g15 ), ( f1 , g16 ), ⎫ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ⎪ 2 7 2 8 2 11 2 12 2 14 2 15 2 16 ⎪ ⎪⎪ 2 4 ⎪ R2 (21G ) = ⎨( f 3 , g3 ), ( f 3 , g 6 ), ( f 3 , g8 ), ( f 3 , g10 ), ( f 3 , g12 ), ( f 3 , g13 ), ( f 3 , g15 ), ( f 3 , g16 ), ⎬ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ⎪ 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 ⎪ 4 1 4 2 ⎪ ⎪⎩( f 4 , g 9 ), ( f 4 , g10 ), ( f 4 , g11 ), ( f 4 , g12 ), ( f 4 , g13 ), ( f 4 , g14 ), ( f 4 , g15 ), ( f 4 , g16 )⎪⎭ ⎧(6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), ⎫ ⎪(3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎪(0,0 ), (6,0 ), (0,0 ), (0,0 ), (0,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (0,0 ), (6,0 ), (0,0 ), (0,0), (6,0 ),⎪ ⎪⎩(6,0 ), (6,0 ), (0,0 ), (6,0 ), (6,0), (3,3), (0,0) ⎪⎭ = {(6,0 ), (3,3), (0,0)}

Titik ekuilibrium adalah E (21G ) = {R1 (21G ) ∩ R2 (21G )}

⎧( f1 , g 5 ), ( f1 , g 9 ), ( f1 , g10 ), ( f1 , g11 ), ( f1 , g13 ), ( f1 , g14 ), ( f1 , g15 ), ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨( f1 , g16 ), ( f 2 , g 4 ), ( f 2 , g8 ), ( f 3 , g 3 ), ( f 3 , g8 ), ( f 4 , g1 ), ( f 4 , g 2 ), ⎬ ⎪( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g ), ( f , g )⎪ 4 7 4 9 4 12 4 13 4 14 4 16 ⎭ ⎩ 4 6

⎧(6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0), (6,0), (3,3), (3,3), ⎫ =⎨ ⎬ ⎩(3,3), (3,3), (0,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0 ), (6,0), (6,0), (6,0), (6,0 ), (6,0)⎭ = {(6,0 ), (3,3), (0,0)} dalam permainan ini ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ) dan ( A2 , B2 ) merupakan metaekuilibria, jadi Eˆ (G ) = {( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 )} = {(6,0 ), (0,0 ), (3,3)}


101

Dalam permainan perebutan pasar bagi kedua pengusaha elektronik tersebut masing-masing pemain berusaha untuk meminimumkan kerugiannya dan berusaha mendapatkan keuntungan yang sama. Supaya kedua pengusaha elektronik tersebut mendapatkan pasar penjualan yang sama. Jika dilakukan analisis yang sama untuk permainan 12G akan didapatkan lagi antara

( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ) dan ( A2 , B2 ) sebagai metaekuilibria. Akan dicari penyelesaian untuk permainan 12G menggunakan cara lain, yaitu menganalisis metagame dalam permainan tersebut. Dengan menggunakan fungsi reaksi dalam setiap strategi yang digunakan masing-masing pemain. Kasuskasus di bawah akan mencari penyelesaian permainan yang diharapkan hasilnya akan sesuai dengan hasil di atas. Perhatikan permainan 12G dengan kasus di bawah ini : i

Kasus 1

Tahap I : Mula-mula pemain 1 menggunakan media surat kabar. Tahap II : Pemain 2 memilih menggunakan media radio. Tahap III : Pemain 1 mereaksi strategi pemain 2 dengan memilih menggunakan media surat kabar . Dan mendapatkan keuntungan enam ratus ribu rupiah. Sedangkan pemain 2 tidak mendapatkan keuntungan, tetapi juga tidak rugi.

ii

Kasus 2

Tahap I : Mula-mula pemain 1 menggunakan media surat kabar. Tahap II : Pemain 2 memilih menggunakan media radio.


102

Tahap III : Pemain 1 mereaksi strategi pemain 2 dengan memilih menggunakan media radio . Dan mendapatkan keuntungan tiga ratus ribu rupiah. Sedangkan pemain 2 juga mendapatkan keuntungan tiga ratus ribu rupiah.

iii

Kasus 3

Tahap I

: Mula-mula pemain 1 memilih menggunakan media radio.

Tahap II : Kemudian pemain 2 memilih menggunakan media surat kabar. Tahap III : Maka pemain 1 akan mereaksi strategi pemain 2 dengan memilih menggunakan media radio. Dan kedua pemain mendapatkan hasil nol rupiah, atau mereka tidak untung dan juga tidak rugi.

Dari ketiga kasus di atas hasil dari permainan 12G adalah (6,0), (0,0) dan (3,3). Kasus-kasus di atas dilihat dari reaksi para pemain dalam menanggapi strategi yang digunakan lawannya. Para pemain akan memilih strategi yang paling menguntungkan untuknya. Supaya hasil yang didapatkan menjadi lebih optimal bagi pemain tersebut. Hasil yang didapatkan sama dengan hasil metagame dengan mencari hasilnya menggunakan titik ekuilibrium, yaitu irisan dari hasil rasional yang didapatkan masing-masing pemain.


BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan Permainan dua orang berjumlah tidak nol adalah permainan yang dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain bukan negatif dari hasil permainan pemain lainnya. Pada permainan tersebut yang dibahas hanyalah permainan tanpa kerjasama, yaitu permainan yang tidak ada kerjasama antara pemainnya. Hasil permainannya merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium yang didapatkan adalah hasil yang paling maksimal dari hasil permainan yang lainnya. Pasangan ekuilibrium dari permainan tersebut dapat diselesaikan juga dengan metode Swastika. Metode ini berlaku untuk matriks yang berordo 2x2 dan dengan langkah-langkah yang telah diberikan pada bab sebelumnya. Metagame merupakan permainan yang strateginya berdasarkan pada permainan yang sedang berlangsung, sehingga dapat ditemukan titik ekuilibrium dari permainan tersebut. Strategi yang digunakan pemain merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Permasalahannya yang terjadi jika salah satu pemain memberikan peluang kepada pemain yang lain untuk memilih strateginya dan jika hal tersebut terjadi secara terus-menerus, maka fungsi reaksi yang terjadi akan sampai pada tak hingga banyaknya. Oleh karena itu, penyelesaian permainan dengan metagame dibatasi hanya pada dua pemain dan pada strategi yang


terbatas. Dalam metagame model permainannya menggunakan permainan dasar yang dinyatakan dengan permainan G. Dalam metagame setiap pemain mempunyai strategi masing-masing, sehingga strategi yang dipilih akan menguntungkan mereka. Misalkan X i = ( x1 , x 2 ,..., x n ) adalah strategi murni dari n pemain. Dari strategi tersebut dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Hasil rasional untuk pemain i dalam permainan dasar G dinyatakan dengan Ri (G ) . Untuk mencari titik ekuilibrium ( E (G ) ) dari permainan tersebut ditentukan dengan rumus : E (G ) =

n

I R (G ) i

i =1

atau dengan kata lain titik ekuilibrium didapatkan melalui irisan dari hasil rasional masing-masing

pemain.

Dalam

menyelesaikan

permasalahan

metagame

menggunakan strategi yang disebut sebagai fungsi reaksi untuk strategi pemain lawan. Untuk menyelesaikan masalah dalam metagame, kunci utamanya adalah adanya fungsi reaksi yang terjadi diantara pemainnya. Dan berdasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Karena penyelesaian permainan yang berdasarkan teori hasilnya tidak selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi.

B. Saran Dalam penulisan skripsi ini penulis menyarankan untuk membahas permainan dua orang berjumlah tidak nol lebih mendalam dengan membahas hal-


hal lain yang mungkin berkaitan dengan permainan tersebut. Serta membahas metagame tanpa kerjasama tidak hanya untuk dua pemain.


DAFTAR PUSTAKA

Bronson, R . (1991) . Theory and Problem Of Operation Research. New York: Schaum Outline Series, McGraw-Hill. Kartono. (1994) Teori permainan . Yogyakarta: Andi Offset. Supranto, J. (1988). Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta : UIPress. Taha, H.A. (2003). Operational Research. New York : Pearson Education Inc. PHI. Thomas, L.C. (1984). Games, Theory and Applications. England: Ellis Horwood Limited.

PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN METAGAME TANPA KERJASAMA

Recommend Documents