Perhi1llnganTransformasifourier Cepa/I-Dimensi DenganRadiksGabunganEmpa/dan Dua Ser/a Con/oil Penggunaannya(RS Lasijo)
/SSN/4//-
348/
PERHITUNGAN TRANSFORMASI FOURIER CEPAT I-DIMENSI DENGAN RADIKS GABUNGAN EMPAT DAN DUA SERTA CONTOR PENGGUNAANNYA
R.S. Lasijo Puslitbang Teknik Nuklir, BATAN, Bandung ABSTRAK PERHITUNGAN TRANSFORMASI FOURIER CEPAT I-DIMENSI DENGAN RADIKS EMPAT DAN DUA SERTA CONTOR PENGGUNAANNY A. Metode perhitungan Transformasi Fourier Cepat I-dimensi telah disusun berdasarkan teori Cooley clan Tukey dengan radiks (bilangan dasar) kombinasi 4 clan 2, dengan pilihan hanya radiks 4 yang dipergunakan hila banyaknya data merupakan kelipatan dari 4, tetapi bilamana harus dipergunakan kombinasi 4 clan 2, maka hanya satu radiks 2 yang dipergunakan. Contoh penentuan fungsi konvolusi clan korelasi kemudian diberikan atas dasar perhitungan transformasi Fourier cepat tersebut. Kata kune! : transformasi konvolusi, fungsi korelasi.
Courier cepat, radiks
4 clan 2, fungsi
ABSTRACT CALCULATIONS OF I-DIMENSIONAL FAST FOURIER TRANSFORM WITH COMBINATION OF RADIXES FOUR AND TWO AND ITS APPLICATION EXAMPLES. Method of calculation for 1dimensional Fast Fourier Transform is described based on Cooley and Tukey theory with radixes (base numbers) the combination of 4 and 2, with preference of using radix 4 if the number of data can be stated as the multiplication of 4, but in case the combination of 4 and 2 has to be used, only a single radix 2 is included. Examples of the determinations of convolution and correlation functions are then given based on the calculation of the Fast Fourier Transform. Key words: fast fourier transform, function, correlation function.
radices 4 and 2, convolution
QQ
Jurnal Sain.~dan Teknologi Nuklir Indonesia Indonesian Journal Qf Nuclear Science and Technolog}' '"01 I. No 2. Aguslus 2000.. 99 -/19
/SSN /4//-
348/
PENDAHULUAN Untuk menyederhanakan banyak
orang
condong
suatu persoalan desain atau analisis,
untuk
melakukan
transformasi
dengan
harapan bahwa persoalan dapat dilihat atau diselesaikan secara Iebih mudah
clan
sederhana.
Salah
satu
transformasi
ini
adalah
transformasi Fourier. Transformasi satu alat analitis
Fourier sudah sejak lama dikenal sebagai salah yang serba guna, artinya
transformasi
ini dapat
dipakai untuk menyelesaikan persoalan dalam banyak bidang, antara lain bidang elektronika,
zat mampat,
mekanika
struktur,
mekanika
gelombang, clan mekanika kuantum. Sebelum kontinu
komputer merupakan
digit
berkembang,
transformasi
Fourier kontinu
tetapi bilamana
makin
dengan sangat baik,
kompleks
makin banyak, maka penyelesaian transformasi melelahkan
yang
data yang sedikit, penggunaan
dapat dilakukan
sistem menjadi
Fourier
yang banyak dipakai. Untuk sistem
yang sederhana clan dengan jumlah transformasi
transformasi
daD jumlah
data
Fourier akan sangat
atau bahkan tidak dapat dilakukan.
Setelah
komputer
digit
berkembang,
yang
diikuti
dengan
perkembangan metodologi analisis numerik, maka orang mulai melihat adanya titik terang atas penggunaan transformasi yang memungkinkan yang kompleks analisis
orang untuk
Fourier yang diskrit,
menyelesaikan
persoalan
sistem
maupun dengan data yang banyak. Maka metodologi
Fourier yang diskrit yang efisien mulai dikembangkan
yang
dipelopori antara lain oleh Cooley daD Tukey, yang kemudian dikenal dengan nama Transfomasi
Fourier
Cepat (Fast Fourier Transform).
100
1
PerhitunganTransformasiFourier Cepal J-Dimensi DenganRadiksGahunganEmpal don Dua Serlo Conloh Penggunaannya (R.S. Lasijo)
Ternyata dapat
dalam
waktu
dipergunakan
dengan
selanjutnya untuk
sangat sederhana
konvolusi
dan fungsi
ISSN 1411 -3481
metode Fourier
menentukan
fungsi-fungsi
dan cepat, di antaranya
korelasi
yang sangat banyak
penentuan be saran-be saran terukur,
Cepat ini juga yang
lain
adalah
fungsi
dipakai
dalam
baik dalam bidang Bains maupun
rekayasa TEORI Transfonnasi
Fourier dari suatu fungsi
h(t) dapat dituliskan
berbentuk +cc
H(f) = fh(t) e-j2n-ftdt
(1)
.cc
dengan j = .r:I.
Pada umumnya
H (f) merupakan
fungsi berharga
kompleks H (f) = R (f) + j I (f)
(2 )
di mana R (f) clan I (f) berturut-turut
bagian nyata clan bagian khayal
daTi H (f). Transformasi inversi dari persamaan (1) adalah
Kedua be saran H ( f) clan h ( .:
"
Fourier
clan dituliskan [ 1I H ( f). 4 ) h(t) <=> Dalam banyak hal fungsi h I( t ) dipakai untuk menggambarkan besaran dalam
-~ "--
dalam domain
waktu
domain
frekuensi
Bentuk
diskrit
t dan
H ( f~' menggambarkan
besaran
f.
dari transformasi
Fourier yang ekivalen
dengan
" ( I.) adalah
persarnaan
1n1
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir Indonesia Indonesian Journal ofNuclear Science and Technolo&}' Vol I. No 2. Agu.\"IUS2000.. 99 -119
/SSN/4// .348/
N-!
X ( n ) = L Xo (k) e-j2Jrnk/N
(5 )
k=O
dengan n = 0, 1, 2, ..., N -1, yang
ekivalen
frekuensi,
dengan
di mana N banyaknya data, k besaran
waktu,
n
be saran
yang
sedangkan X(n) adalah transformasi
harga-harganya
banyaknya
N. Transformasi
ekivalen
dengan
Fourier daTi Xo(k) yang
inversinya yang ekivalen
dengan persamaan ( 3 ) adalah 1
No)
X ( k ) = -L
X(n) ej2lrok/N
(6 )
N 0=0
Banyaknya misalkan
data N diuraikan untuk
radiks
biner
sesuai dengan radiks atau
2, yaitu
yang
yang dipakai, menggunakan
bilangan 0 dan 1 saja, harus dipilih bilangan r yang bulat di mana 2Y , clan untuk radiks 4
0, 1,2,3
harus
dipilih
N
N = 4;5 dengan
" bilangan bulat yang lain. Dalam transformasi Fourier persoalannya adalah bagaimana menghitung X(n) dari Xo(k)yang diketahui dengan cara yang sangat efektif clan efisien. Untuk menyederhanakan notasi, diperkenalkan besaran baru W = e-j21r/N
(7 )
maka persamaan ( 5 ) dapat ditulis N-t
X (n )= L
Xc ( k) Wnk
(8 )
k=O
dengan n = 0, 1,2, ..., N-l. Sebagai langkah pertama marilah dipergunakan
radiks 2, yaitu
bilangan biner yang paling dikenal oleh mesin yang hanya mempunyai dua harga 0 clan 1. Sebagai contoh ambillah N = 4 = 2Y, maka dalam
102
PerhilunganTran.iformasiFourier Cepall-Dimensi DenganRadiksGabunganEmpal dunDua Serla Conloh Penggunaannya (R,S Lasijo)
ISSN 1411 -3481
hal ini r = 2. Sekarang k clan n dapat kita nyatakan dalam bilangan biner ini, yaitu k = 0, 1, 2, 3 (dalam desimal), menjadi k = ( k1 ko) = 00, 01, 10, 11. n = 0, 1,2, 3 (dalam desimal),
menjadi
n = ( nl no) = 00, 01, 10, 11
(9
Bentuk hubungan
kompak yang dapat kita pakai untuk
k clan n ini
adalah k = 2 k1 + ko
clan
n = 2 nl + no
di mana kl, ko , nl , no dapat mempunyai harga 0 dan 1. Dengan notasi seperti persamaan ( 10 ) maka persamaan ( 8 ) dapat ditulis
sehingga persamaan (11) menjadi
I
XI (no ko ) =
L
Xo (k( ko)
w2no k,
( 14 )
k) =0
Dari persamaan ( 14) didapatkan harga-harga Xl, sehingga persamaan ( 11 ) dapat ditulis
berbentuk I
X2 (DO D( ) =
I
XI (DO kO
w(2nl
+no)ko
15 )
ko =0
103
Jumal Sainsdan TeknologiNuklir Indonesia IndonesianJournal ofNuclearScienceand Technology Vol. I,No. 2,Agustus2000: 99-119
ISSN /411- 348/
Maka didapat transformasi Fourier dari X ( nl no) = X2 (no n( ). Yang perlu diperhatikan sarna dengan
Xo (k) ko ) ,yaitu ( 16 )
di Bini adalah bahwa X ( nJ no) yang dicari,
X2 (no nl ) dari somasi luar persarnaan ( 13 ) yang
kebetulan mempunyai harga bit yang terbalik, di mana bit dari X( n( no) yaitu (n) no ), berbalikan dengan bit dari X2 (no n) ) yang tidak lain adalah
(no n) ) .
Penyelesaian
persarnaan
dalarn persarnaan-persarnaan dari formulasi
( 8 ) dengan cara yang berurutan
(13 ), ( 14),
Cooley- Tukey untuk
clan (15)
harga N = 4 dengan radiks
(biner), yang juga disebut persarnaan-persarnaan Tukey untuk transformasi
adalah das~ 2
rekursif dari Cooley-
Fourier cepat [2J.
Bila N = 16 dengan radiks 2, maka
r = 4, sehingga diperlukan
4
digit untuk indeksnya, yaitu X(n3 n2 nJ no) J
=I k.=O
I
I
(
I
I
I
kl =0
k2=0
kJ=O
Xo(k3 k2 k. ko ) W8n.kJ W(2n,+n.)4k2
X W(4nJ+2nl +n.)2klW(8nJ+4n2+2n, +n.)k.
( 17a)
I
XI (no k2 k( k 0) = I
Xo(k3 k2 k) ko ) w8n.kJ
( 17b)
kJ=O
104
(
PerhitunganTraniformasiFourier Cepat l-Dimensi DenganRadiksGabunganEmpal don OIla Serlo ContohPenggunaannya (R,S Lasijo)
Bila menggunakan diperlukan bilangan
radiks
2 digit
/SSN/4//- 348/
4 didapat
untuk
16 = 42 berarti
indeksnya,
pokok 2, bedanya
serupa
Maka dengan radiks ( 17d),
dengan
hanya pada harga-harga
k = 4 kl + ko dengan kl = 0, 1,2,3 n = 4 nl + no dengan nl = 0, 1,2,3
t5 = 2 clan hanya N = 4 pada
k clan n, yaitu
clan ko = 0, 1,2,3 clan no = 0, 1,2,3.
4 persamaan-persamaan
-.
19 )
( 17a), ( 17b ), , ( 17c),
(17e I menjadi 3
X(n.no) 3
L
Xo kl ko) W(4n) +nn)(4k. + kg)
kn=O k)=O 3
L L
K"=O
3
= L
Xo (k,
ko)
W4n"k)
20a)
W(4n)+n")k,,
kl=O 3
x.(noko)
= L
xo(k)ko)W4nokl
(20b)
XI (no ko)
(20c)
k)=O
3
X2 (no n) ) =
L
W(4nl+no)ko
ko =0
X (n1 no) Membandingkan (20d)
=
X2(no nl ) .(
antara
20d )
persamaan-persamaan
dengan persamaan-persamaan
(20a), (20b), (20c),
(17a), (17b), (17c), (17d), (17e)
terlihat bahwa penggunaan radiks yang lebih besar akan didapatkan persamaan yang lebih sederhana dan jumlah
perhitungan
yang lebih
sedikit, berarti lebih efisien. Formula penggunaan gabungan radiks lebih daTi satu juga telah diberikan oleh Cooley-Tukey sebagai berikut [2]: Misalkan N dapat diuraikan f2
fm, maka
dalam m radiks f., f2'
k clan n dapat dinyatakan
" fm, yaitu
dalam
N = f)
radiks-radiks
tersebut, yaitu k = km-1
f2
f3
fm) + km-2
(f3
f4
fro) +
+ k( rm + ko (21a)
In~
Jurnal Sainsdan TeknologiNuklir Indonesia IndonesianJournal of/';'uc/earScienceand Techn%g}' Vol,I, No 2, Aguslus2000: 99-119
ISSN1411 -3481
+ nl G + no
fm-2) +
(21b)
O~i~m-l 1 -1 < .<-m,
L
Xo ( km-,
km-2
ko
wok
km-,
(22
)
Sebagai contoh untuk N = 8, dapat digunakan radiks 4 clan 2, yaitu 8 = 4 x 2 dengan G = 4 clan f2 = 2, jadi m = 2, clan k = k. f2 + ko = 2 k. + ko
(23a)
n = n, G + no = 4 n) + no
(23b)
Penggunaan
radiks-radiks
kecil akan menghasilkan
di mana
ko = 0, 1 clan k. =0, 1, 2, 3
di mana
no = 0, 1,2,3 clan n] = 0, 1.
gabungan
dari yang besar sampai yang
banyaknya perhitungan
yang makin sedikit
clan waktu yang makin singkat, tetapi kesukaran akan dihadapi dalam penyusunan hanya
program komputer.
gabungan
radiks
samping penyusunan dapat dipergunakan
dinyatakan dalam 2'
Dalam penelitian
4 clan radiks
program
ini dipergunakan
2 Baja, dengan maksud
di
lebih sederhana, juga gabungan
ini
untuk harga N genap berapa Baja asalkan dapat
dengan r bilangan bulat
106
(27b)
Perhillmgan TransformasiFourier Cepa/I-Dimensi DenganRadiksGabunganEmpa/dan Dua Ser/a Con/oil Penggunaannya (R.S.Lasijo)
ISSN 141 J -3481
n = 4 n. + no clan k = 4 k) + ko dengan
( 25 )
n., no = 0, I, 2, 3 clan k"
ko = 0, I, 2, 3,
sehingga
n k = 4 no kl + ( 4 n) + no) ko + 16 n( k) = 4 no k) + (4 (26 ) Pada persamaan
(26) telah
dipergunakan
identitas
n) + no) ko.
bahwa
W)6nlk, =1
sehingga 16 n. k, = 0 Persamaan rekursifnya
dapat ditulis menjadi
3
XI (nO ko) = L
Xo (kl ko)
W4nokl
(27a)
k.-O 3
(n n ) = ~
X 2
0
I
X ( n k ) W( 4n.+no)ko
~
I
0
0
ko=O
X (nl nO) = X2 (no nl ). Persamaan-persamaan
(27a),
persamaan-persamaan
(27b),
.27c)tidak lain adalah
(27c) ini
(20a), (20b), (20c), (20d) yang dapat disusun
agak berbeda sebagai berikut 3
X (nl no) =
L
-~
w4nlkn
Wn°ko
ko=O 3
=
3
L
[ {
L
ko=O
Xo (kl ko) w4nokl
}
WOn kn
Maka bentuk rekursifnya
sekarang menjadi 3
XI (no ko
28)
k.=O
=
L
Xo (kl ko ) W4nokl
} wno ko
29a
k.=O ) W4nl ko
X(nl
no)
Dari persamaan diperoleh
(29b)
=
x2(nOnl). ~':IC "',..-) 29a ), mengingat N = 16, maka, sebagai contoh
107
.hlrnal Sain.~dan Teknologi Nuklir Indonesia Indonesian Jollrnal of Nuclear ,')cience and TechnoloK} J"oll. No 2 ,4gu.~tus2000: 99-119
ISSN 1.411 -3481
W4"lIk, = (W4 )""kl = COS( ~no k\) -j Dari persamaan barga, yaitu
(29a)
::!:j clan
no kl saja, sehingga
ditentukan
terlihat
bahwa
::!:1, tergantung suku-suku
Sin(~no
k\ ).
(30)
W4"lIkl hanya memiliki
dua
pada harga dari bilangan
bulat
yang berada di dalam kurung
oleh faktor di luar kurung kurawal
kurawal
tersebut, yaitu
Wnoko
yang disebut faktor peran (twiddle factor). Hal yang sarna dapat pula diterapkan pada persarnaan (29b) clan seterusnya. Dengan menggunakan faktor peran tersebut persarnaan rekursif secara umum dapat ditulis sebagai berikut : Xj(non
nj_.km N Ri-1 km-i
( -)
Ii
31 PEMBALIKAN INDEKS Dari pembahasan terdahulu didapatkan bahwa indeks daTi X(n) mempunyai
urutan
yang berbalikan
dengan indeks daTi x(n), yaitu
misalnya untuk N = 16 dengan radiks 4, maka X(n,
no) = x2(nOn,).
(32)
Urutan indeks dalam desimal (radiks 10) clan radiks 4 tertera pada Tabel 1.
108
Perhill/nganTran.~rormasi Fourier Cepall-DimensI Dengan Radik.fGabunganEmpal dun Dr/aSerla Conloh Penggunaannya (R.S.Lasijo)
ISSN 1411- 348/
Tabel 1. Indeks X clan x dalam desimal clan radiks 4 Radiks 4
Desi
mal
4
0 1 2 3
00 01
4 5 6 7
10
02 03
Desi mal
Radiks
Desi mal
11 12 13
--
Radiks Desi
8 9
4 20 21
10 11
22 23
Radiks 4
mal 12 13 14 15
30
31 32 33
Kesesuaian indeks X dengan x dalam desimal tertera pada Tabel 2 Tabe12.
indeks
X dengan x dalam desimal
-
x
X
x
Diperlukan
x 1 5 9 13
4 5 6 7
0 4 8 12
0 1 2 3
pengecekan
mengu bahnya indeks
Kesesuaian
dari
dipergunakan
bilamana x.
X
x
8
2
9
6
10 11
10 14
terhadap indeks
Bilamana
X 12 13
x
14
15
indeks-indeks
tersebut
dari X belum bersesuaian
banyaknya
satu macam radiks
data
N tetap,
dengan
clan hanya
saja, maka penyusunan
indeks tidak begitu rumit.
clan
komputer
dalam pembalikan
bilamana
N sebarang (tetapi genap clan dapat dinyatakan
program
Akan tetapi dengan
2 r dengan r bilangan bulat), clan bilamana harns dipergunakan dari
satu
programnya untuk dengan
radiks,
maka
perlu
berhati-hati
dalam
lebih
penyusunan
supaya kesesuaian indeks tetap terjaga. Sebagai contoh
N = 32 dengan gabungan radiks 4 clan 2, maka m = 3 dan
f] = 4, f2 = 4, f3 = 2. Hubungan
desimal dan radiks 4 & 2 tertera pada Tabel 3.
32 = 4x4x2
indeksnya
dalam
X)
Jurnal Sainsdan TeknolagiNuklir Indonesia IndonesianJournal ofNuclearScienceand Technology Vol. /. No 2. Agllstus2000: 99-/19
/SSN/4//- 348/
Tabe13. Indeks dalam desimal clan radiks gabungan 4&2
Desi mal
Radiks 4&2
0
000 001 010 011 020 021 030 031
1 2 3 4 5 6 7
Desi Radiks mal 4&2 8 9 10 11
Desi Radiks Desi Radiks mal 4&2 mal 4&2 16 200 24 300
100 101 110 111 120 121 130 131
12
13 14 15
17 18
201 210 211 220 221 230 231
19 20
21 22 23
25 26 27 28
~
30
31
301 310 311 320 321 330 331
Di Bini kesesuaian indeks daTi X (n2 nl no ) = x2 (no nl n2 )
tidak
mudah
dilihat
menggunakan
( 33 )
daTi Tabel 3 tersebut
di atas hanya
dengan
rumus yang sarna dengan hanya membalik indeksnya
Baja, misalnya indeks desimal ke-5 X ( 021 ) = x 3( 120 ).
( 33a)
Dengan radiks carnpuran 4 & 2 seperti pada Tabel 3 pembalikan dilakukan,
tetapi hams
menggunakan
rumus
dapat
yang berbeda untuk
indeks X dan x 3, yaitu untuk
indeks X:
I
= n 2 * 41 * 21 + n * 40* 21 +
,
I
no
* 20
= 0 * 4 * 2 + 2 * 1 *2 + 1 * 1 = 0 + 4 + 1 = 5, bersesuaian
I(
dengan X
3
indcks
) = n * 42 2
=
untuk
( 34 )
X3 yaitu
+ n * 41 + n * 40 I
0
1 * 16 + 2 * 4 + 0 * 1 = 16 + 8 = 24.
( 35 )
Jadi untuk indeks desimal X yang ke-5 persesuaiannya adalah indeks desimal x 3 yang ke- 24
110
PerhitunganTransformasiFourier CepatI-Dimensi DenganRadiksGabunganEmpatdanDua Serta ContohPenggunaannya (R.S Lasijo)
/SSN /4//
-348/
PENGGUNAAN DALAM FUNGSI KONVOLUSI DAN KORELASI Yang transformasi
paling
banyak
dipergunakan
sebenarnya
Fourier itu sendiri, tetapi fungsi-fungsi
bukanlah
lain seperti fungsi
konvolusi dari x(k) clan h(k) yang berbentuk N-I
y ( k) = L
x ( i ) h (k -i )
(36)
i=O
clan fungsi korelasi dari x(k) clan h(k) yang berbentuk N-!
z(k )= L
x ( i ) h ( k + i ).
(37)
i=O
Fungsi-fungsi Cepat
terse but dapat dihitung
dengan
konvolusi
lebih
mudah
dengan Transformasi
clan sederhana.
clan korelasi dilakukan
Fourier
Perhitungan
fungsi
misalnya pada pemrosesan sinyal
(signal processing), filter elektronik (electronic filtering) [3,4,5], analisis sistem, clan sebagainya, di mana x(k) pada umumnya masukan
yang didapat secara manual
atau secara automatik
suatu sistem deteksi yang berupa sinyal-sinyal h(k ) berupa
respons
dari
peralatan,
berupa data
elektronik,
dari
sedangkan
clan y(k) atau z(k) berupa
keluaran. Untuk menghitung fungsi konvolusi daTi x(k) dan h(k), pertamatama dihitung transformasi
Fourier dari masing-masing x (k) dan h (k),
yaitu N-I
X(n) = L
x(k) e-j2Jrnk/N
(38)
h(k) e-j2Jrnk/N.
(39)
k=O N-I
H(n) = L k=O
Kalikan hasilnya untuk mendapatkan Y(n) Y(n) = X (n) .H (n) .
(40)
(n Y(n) (n) z(k) k)
Jurnal Sainsdan TeknologiNuklir Indonesia IndonesianJournal ofNuclearScienceand Technology 1'0/. /, No.2. Aguslus2000: 99-119
Kemudian lakukan transformasi
/SSN /4/ / -348/
inversi dari Y(n) untuk mendapatkan
fungsi konvolusi y(k) yang dimaksud, yaitu y(k) = 1- I N
Y(n) e+j2:rnk/N.
(41)
k=O
Bila y(k) berupa bilangan transformasi maju, yaitu Y ( k ) = -LIN-I
nyata,
maka
dapat pula
dipergunakan
y'( n) e-j2:rnkfN
(42)
N k=O
di mana y' (n) adalah pasangan kompleks
Untuk menghitung
(complex conjugate) dari
fungsi korelasi caranya harnpir sarna, yaitu
dihitung fungsi transformasi kemudian bentuk fungsi Z
Fourier dari masing-masing x(k) clan h(k), :
Z ( n ) = X (n) .H * (n)
(43)
di mana H* (n) adalah pasangan kompleks dari H (n), clan akhirnya lakukan transformasi IN-!
= -L
inversi dari Z ( n ) untuk mendapatkan Z
z k) (44)
e+j21rnk/N
N k=O
Bila z ( k ) bilangan
zI
nyata dapat dipergunakan
IN-! I = -L
Z*(n) e-j2:rnk/N
transformasi
maju (45)
N k=O
dengan
Z*(n) pasangan
kompleks
daTi Z(n).
PERHITUNGAN DAN HASILNYA Sebagai contoh pertama
diberikan
perhitungan
untuk
menentukan transformasi Fourier dari suatu fungsi periodik yang berbentuk
x(k)=cos(21[nk)
112
PerhitunganTransformasiFourier Cepall-Dimensj DenganRadiksGabunganEmpatdonDua Serta Contoh Pengglinaannya (R.S.Lasijo)
/SSN/4//-
348/
dengan k sesuai dengan waktu t dan n sesuai dengan frekuensi Dalam perhitungan
f.
diambil N = 32, interval waktu T = 1, dan frekuensi
f = 1/8 seperti tertera pada Gambar la. ~
1.5-
-
1
-1
-1.5
Gambar la. x(k) = cas
Transformasi
Fourier
Garnbar 1b. X(n),
21l"nk)
dari x(k) ini
adalah X(n) yang tertera
Gambar 1b. Kurva sinambung pada gambar menunjukkan kontinu,
sedangkan titik-titik
diambil untuk 1b, tidak yang
menunjukkan
perhitungan.
frekuensinya
lni
fungsi yang
fungsi yang diskrit yang
Dari hasilnya yang tertera pada Gambar
ada perbedaan yang berarti
diskrit.
pada
disebabkan
antara yang kontinu
karena
pemilihan
dengan
interval
clan
sangat sesuai. ~
~
0
Gambar 2a. x(k), dengan f=I/9.143
10
20
30
40
Gambar 2b. X(n), transformasi Fourier dan x(k).
113
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir Indonesia Indonesian JOIlrnal of Nuclear Science and Technology Vol. I. No.2. Agustus 2000.. 99 -119
ISSN /411 -3481
Pada Garnbar 2a hila frekuensinya
diarnbil f = 1/9.143 dengan
T yang sarna, basil transformasi
Fourier yang didapat pada
interval Garnbar Garnbar
2b ternyata Jadi
terlihat
di
transformasi
Fourier
yang
diskrit
transformasi
Fourier
yang kontinu
pemilihan
lb.
agak berbeda
pararnetemya.
dengan
sini
fungsi
bahwa
supaya kita
Pada umumnya
dalarn
hasilnya
harus
kontinu
penggunaan sarna dengan
berhati-hati
pemilihan
pada
interval
dalarn yang
Makin kecil dapat memberikan kesarnaan yang lebih baik. Garnbar 3a menunjukkan
data x(k) yang diskrit, dengan transformasi
Fourier bagian nyata tertera pada Garnbar 3b, sedangkan Garnbar 3c menunjukkan
transformasi
totalnya
X(n) = ~[Re X(n)] 2+ [1mX(n)] 2
(47)
dengan Re menunjukkan bagian nyata dan 1m menunjukkan bagian khayal daTi X(n).
Gambar 3a. Fungsi diskrit x(k)
Gambar 3b. X(n) bagian nyata
14
PerhitunganTransformasiFourier CepatJ-Dimensi DenganRadiksGabunganEmpatdan Dua Serta ContohPenggunaannya(R.S.Lasijo)
/SSN/4//- 348/
0.8 0.6
Kurva sinambung hanya dipakai untuk memperjelas penglihatan.
0.4
0.2 0
-0.2 L
~---
Gambat 3c. X(n), ttansf. Fourier clari x(k) Sebagai contoh perhitungan atau data masukan yang berbentuk Gambar-gambar
fungsi konvolusi dari suatu sinyal
x(k) clan respon alat h(k) dengan basil keluaran
fungsi konvolusi
y(k) , masing-masing
tertera
pada
4a, 4b, clan 4c.
Gambar4a. Fungsidiskrit x (k)
Gambar 4b. Fungsi respons h (k)
Garnbar 4c. Fungsi konvolusi
Gambar5b. Fungsix(k)
y (k)
Garnbar5b. Fungsiresponh(k) 115
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir Indonesia Indone.vian Journal ofNuclear Science and Technology /"'011 No 2. ,4gu.'iflls2000 99 -119
/SSN /4//-
348/
1.2 1
0.8
R
0.8 0.4
T
I 0.: 50
V;
Gambar Sc. Fungsi konvolusi y(k)
konvolusi
~
150
100
Gambar-gambar
CJ
Gambar Sd. Filter RC
Sa, Sb, clan Sc, adalah contoh perhitungan
yang analog dengan suatu rangkaian
fungsi
filter elektronik
RC
yang digandeng dengan suatu sumber tegangan Vi (Gambar Sd), di mana x(k) analog dengan masukan
Vi , fungsi
respon h(k) analog
dengan rangkaian filter RC yang berbentuk 1
-k/RC
-e
48)
RC
dengan R hambatan konvolusi
resistor, clan C kapasitas kondensator.
yang didapat mempunyai
Fungsi
bentuk seperti potensial Vo atau
banyaknya muatan q yang berkembang di dalam kondensator C. Sebagai contoh terakhir fungsi
masukan
menghasilkan
x(k)
yang
perhitungan non
periodik
fungsi konvolusi dengan
fungsi konvolusi y(k), yang masing-masing
oleh Gambar-gambar
bilamana
dengan cara memberikan
dirangkaikan
ditunjukkan
memori komputer
tidak mampu untuk menampung, maka perhitungan
masing-masing
h(k) ,
6a, 6b, clan 6c. Untuk data atau sinyal-sinyal
yang terns menerns clan tidak periodik,
pada selang tertentu,
respon
adalah
dapat dilakukan
suatu harga N tertentu untuk x(k) clan h(k)
kemudian
dihitung
fungsi konvolusinya
periode N, yang selanjutnya
untuk
semua basil perhitungan
menjadi satu dengan cara tertentu
untuk menghindari
116
Perhitungan7ransformasiFourier Cepat l-Dimen,5i DenganRadiksGabunganEmpatdanDuo Serlo ContohPenggunaannya(R.S.Lasijo)
ISSN 14/1 -348/
adanya efek pinggir (end effect). Program komputer yang telah disusun untuk
perhitungan
sinyal-sinyal
telah pula dilengkapi
dengan perhitungan
untuk
yang terns menerus ini dengan membagi data dalam
siklus-siklus
sebesar
(select-savings
method)
N data
menggunakan
metode
pilih-simpan
[2,6] dengan basil yang sama dengan hila
seluruh data dianalisis sekaligus, kecuali pada bagian pinggir (depan) sebanyak
fungsi
responnya,
yang
dalam
hat
contoh
kita
adalah
sebanyak 36 titik data. 1.2 0.8 0 6 0 4 0.2 0 0
50
100
150
200
250
300
--Gambar 6a. Fungsi x (k)
Gambar 6b. Fungsi respon h (k)
1 1'7
Jurnal :!.'ainsdan TeknologiNuklirlndonesia Indone.fianJournal ofNuclearScienceand Technology Vol. I. No.2. AgU.fIlIS 2000: 99-119
ISSN 14/1 -3481
40 30
20 10 0 50
0
100
150
200
250
300
Gambar 6c. Fungsi konvolusi y (k) Karena perhitungan
untuk
perhitungan
fungsi
untuk
fungsi
korelasi caranya
konvolusi,
maka
identik
dalam
dengan
makalah
ini
hasilnya tidak disertakan.
KESIMPULAN Dari
pembahasan
kesimpulan dilakukan periodik.
bahwa baik
pada bab-bab sebelumnya,
pemakaian
untuk
sinyal-sinyal
Fungsi konvolusi
menggunakan
Transformasi
transformasi
yang
Fourier periodik
dapat diambil Cepat dapat maupun
clan korelasi dapat pula dihitung
dengan
ini dengan lebih mudah clan sederhana
Berta cepat. Kecepatan proses dalam penggunaan Transformasi Cepat menarik
inilah
yang sebenarnya menjadikan
clan diminati
perkembangan
Transformasi
transformasi
perangkat keras maupun
perangkat lunak
metodologi perhitungan,
Fourier Cepat akan mempunyai
Fourier
ini sangat
banyak orang dalam pemakaiannya.
digit, Berta perkembangan
non-
Dengan komputer
maka pemakaian
aplikasi yang semakin
luas dalam masa-masa yang akan datang.
118
PerhitunganTransformasiFourIer CepalJ-Dimensl DenganRadiksGabunganEmpal don Dua Serlo Conloh Penggtlnaannya (RS [,asijo)
/SSN /4//
-348/
DAFT AR PUST AKA
1. PRESS, W.H., TEUKOLSKY, S.A., VETTERLING, W.T., FLANNERY, B.P., "Numerical Recipes in Fortran", 2nd edition, Cambridge University Press, 1992, p.491. 2. BRIGHAM,E.O., "The Fast Fourier Transform", Prentice-Hall Inc., 1974. 3
OPPENHEIM,
A.V.,
SCHAFER,
: Time
Processing", Prentice-Hall Inc., 1989. 4
RABINER,L.R., GOLD,B., "Theory and Application of Digital Signal Processing", Prentice-Hall Inc., 1975.
5
OPPENHEIM,
A.V.,
WILSKY, A.S.,
YOUNG,
I.T.,
"Signals
and
Systems", Prentice-Hall Inc., 1983.
6. NUSSBAUMER,
R.W., Signal "Discrete
Algorithms",
H.J.,
"Fast Fourier
Springer-Verlag,
Transform
and Convolution
1990.
Kembali ke Jurnal
