Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Břetislav Skovajsa
Perfektní funkce první třídy Katedra matematické analýzy
Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor:
doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Matematika Obecná matematika
Praha 2012
Chtěl bych poděkovat vedoucímu práce doc. RNDr. Jiřímu Spurnému, Ph.D. za veškerou pomoc při její tvorbě, především však za velice podnětný způsob, jakým mi problematiku představil.
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle §60 odst. 1 autorského zákona.
V . . . . . . . . dne . . . . . . . . . . . .
Podpis autora
Název práce: Perfektní funkce první třídy Autor: Břetislav Skovajsa Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Abstrakt: Široká třída problémů v matematické analýze se dá popsat jako hledání vlastností V takových, že pro každé F z předem daného systému zobrazení F mezi prostory K a L má libovolná reálná funkce na prostoru L vlastnost V právě tehdy, pokud ji má její složení s F . Práce se inspiruje v [1], kde je tento problém zkoumán v podobě stability funkcí Baireových tříd na kompaktních topologických prostorech vůči složení se spojitým zobrazením. Cílem práce bude seznámit se s původním výsledkem, mírně jej zlepšit na kompaktních metrických prostorech, pak se blíže podívat na jemnější strukturu B1 funkcí a zkusit v tomto prostředí najít podobný druh stability. Klíčová slova: Funkce první Baireovy třídy, teorie selekcí.
Title: Perfect functions of the first Baire class Author: Břetislav Skovajsa Department: Department of mathematical analysis Supervisor: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Abstract: A wide class of problems in mathematical analysis can be described as searching for properties P such that for each F from a given system of mappings F between spaces K and L an arbitrary real valued function on L has the property P if and only if its composition with F also has this property. The inspiration for this text comes from [1], where the mentioned problem is examined in the form of stability of Baire classes of functions towards composition with a continuous mapping between compact topological spaces. The goal of this text will be to get acquainted with the original result, to slightly improve it on compact metric spaces, then to take a closer look at the finer structure of B1 functions and to try to find a similar kind of stability in this environment. Keywords: Functions of the first Baire class, selection theory.
Obsah Použité značení
1
Úvod
2
1 Funkce Baireových tříd
3
2 Funkce první třídy
8
3 Stabilita 3.1 Stabilita Bλ funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stabilita B1 funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 16 19
Seznam použité literatury
21
Použité značení N Q R f :X→Y A⊂B A∩B A∪B ArB x∈M Ac A φ−1 (X) P(X) B(r, x) G(X) F(X) C(K) ω1 ∅ kF k∞ f ◦g |x| diam(A) dist(x, y) Qδ Qσ
Množina přirozených čísel. Množina racionálních čísel. Množina reálných čísel. f je zobrazení z X do Y . Množina A je podmnožina množiny B. Průnik množin A a B. Sjednocení množin A a B. Rozdíl množin A a B. x je prvek množiny M . Doplněk množiny A. Uzávěr množiny A. Vzor množiny X při zobrazení φ. Potenční množina množiny X. Otevřená koule o středu r a poloměru x. Systém všech otevřených podmnožin prostoru X. Systém všech uzavřených podmnožin prostoru X. Množina všech spojitých reálných funkcí na prostoru K. Nejmenší nespočetný ordinál. Prázdná množina. Standardní suprémová norma funkce F . Zobrazení x 7−→ f (g(x)). Absolutní hodnota x. Průměr množiny A. Vzdálenost x od y. Všechny spočetné průniky množin ze systému Q. Všechna spočetná sjednocení množin ze systému Q.
1
Úvod Obecný výsledek z [1] tvrdí, že pokud X a Y jsou kompaktní topologické prostory a φ spojité zobrazení X na Y , pak pro každý spočetný ordinál λ je libovolná reálná funkce F na prostoru Y třídy Bλ právě tehdy, když F ◦ φ je třídy Bλ na X. Řečeno jednodušeji, Baireovy třídy funkcí jsou stabilní vůči skládání se spojitým, surjektivním zobrazením mezi kompaktními prostory. Na kompaktních metrických prostorech se však samotné B1 funkce dělí do mnohých zajímavých podtříd, které jsou zkoumány např. v textech [2] a [3]. Otázka jejich stability se pak jeví jako přirozená. Za zmínku také stojí původ názvu práce. Zobrazení mezi dvěma topologickými prostory nazýváme perfektní, pokud je spojité, uzavřené, na a pokud vzor každého bodu je kompaktní množina. Takové zobrazení není tak silné jako homeomorfismus, přičemž hlavní problém představuje, že nemusí nutně být prosté. Řešením tohoto problému se zabývá odvětví nazývané teorie selekcí, neboť se snaží z množinové inverze vybrat tzv. selektor, který by nahrazoval inverzní zobrazení. Třídy funkcí stabilní vůči skládání s perfektním zobrazením se pak někdy pro jednoduchost označují také jako perfektní. Spojité, surjektivní zobrazení mezi kompaktními prostory je vždy perfektní, tedy cílem práce vskutku bude zabývat se perfektními podtřídami B1 funkcí.
2
1. Funkce Baireových tříd Ke zkoumání stability funkcí Baireových tříd budeme nejprve potřebovat přehled jejich základních vlastností, blíže se pak podíváme na vztah jejich úrovňových množin a hierarchie Borelovských množin. Definice 1.1. Nechť K je kompaktní metrický prostor. Pak B1 (K) bude označovat množinu všech funkcí první Baireovy třídy na K, neboli bodové limity posloupností spojitých funkcí na K. Pro 1 < λ < ω1 pak definujeme Bλ (K) jako S bodové limity posloupností ze 1≤γ<λ Bγ (K). Všimněme si, že Bλ jsou uzavřené na součet, rozdíl, maximum, minimum a součin dvou (tedy i konečně mnoha) funkcí přímo z aritmetiky limit. Pokud chceme dělit všude nenulovou funkcí, je potřeba si uvědomit, že nemusí být limitou všude nenulových funkcí. Je však zřejmé, že pokud fn → f a gn → g, pak f fn gn → . gn2 + n−1 g Lemma 1.2. Nechť K je kompaktní metrický prostor, 1 ≤ λ < ω1 a nechť (Fn )∞ n=1 ⊂ Bλ (K) stejnoměrně konverguje k funkci F . Pak F ∈ Bλ (K). Důkaz. Pokud f je bodovou limitou posloupnosti funkcí (fn ) a platí |f | ≤ ϑ, pak můžeme předpokládat, že |fn | ≤ ϑ, jinak položíme fn∗ := max{min{fn , ϑ}, −ϑ}. Díky standardní úvaze je možné předpokládat, že pro všechna a ≤ b přirozená čísla platí kFa − Fb k∞ ≤ ra , kde posloupnost kladných reálných čísel (rn )∞ n=1 tvoří konvergentní řadu. Můžeme psát F − F1 = (F2 − F1 ) + (F3 − F2 ) + . . . a označit φ = F − F1 a φn = Fn+1 − Fn . Zřejmě stačí dokázat φ ∈ Bλ (K). Mějme S tedy funkce (fk,n )∞ k,n=1 ⊂ 1≤γ<λ Bγ (K) ∪ C(K) takové, že φk = limn→∞ fk,n a |fk,n | ≤ rk . Definujme gn = f1,n + . . . + fn,n . Pak pro m < n zřejmě platí |gn − (f1,n + . . . + fm,n )| = |fm+1,n + . . . + fn,n | <
∞ X
rd .
d=m+1
Tedy pokud sumu na pravé straně označíme sm , zjevně sm → 0 pro m → ∞ a přímočarou úpravou nerovnosti dostaneme f1,n + . . . + fm,n − sm < gn < f1,n + . . . + fm,n + sm . Po limitním přechodu n → ∞ máme φ1 + . . . + φm − sm ≤ lim inf gn ≤ lim sup gn ≤ φ1 + . . . + φm + sm . To už přímo dává limn→∞ gn = φ. 3
Definice 1.3. Nechť X je metrický prostor. Pak systém množin M ⊂ P(X) nazveme algebrou, pokud ∅ ∈ M, X ∈ M a M je uzavřený na konečná sjednocení, konečné průniky a doplněk. Definice 1.4. Nechť X je metrický prostor a M ⊂ P(X) libovolný systém množin. Označme Σ1 (M ) := M a Π1 (M ) := {Ac ; A ∈ M }. Dále induktivně pro S S 1 < ξ < ω1 definujme Σξ (M ) := ( 1≤γ<ξ Πγ (M ))σ a Πξ (M ) := ( 1≤γ<ξ Σγ (M ))δ . Pro M = G(X) budeme používat pouze Σξ (X) a Πξ (X). Poznámka 1.5. Všimněme si, že pro 1 ≤ α < β < ω1 je Σα (M ) ⊂ Σβ (M ) a Πα (M ) ⊂ Πβ (M ). Lemma 1.6. Nechť X je metrický prostor a M ⊂ P(X) algebra množin. 1) Pro A ∈ P(X) a 1 ≤ λ < ω1 platí A ∈ Σλ (M ) právě tehdy, když Ac ∈ Πλ (M ). 2) Pro 1 ≤ λ < ω1 je Σλ (M ) uzavřený na spočetné sjednocení a konečné průniky, Πλ (M ) je uzavřený na konečné sjednocení a spočetné průniky. Důkaz. 1) Pro λ = 1 jde o základní vlastnost otevřených množin. S Pro 1 < λ < ω1 víme, že A ∈ Σλ (M ) znamená A = ∞ n=1 An , kde An ∈ S S Π (M ). Pak pro n ∈ N je z indukčního předpokladu A ∈ γ n 1≤γ<λ 1≤γ<λ Πγ (M ) S T∞ c c c právě tehdy, když An ∈ 1≤γ<λ Σγ (M ), ale A = n=1 An . 2) Pro λ = 1 se opět jedná pouze o základní vlastnosti otevřených a uzavřených množin. S S A , kde A ∈ Pokud pro n ∈ N je An ∈ Σλ (M ), pak An = ∞ n,t n,t t=1 1≤γ<λ Πγ (M ). S Přečíslujeme {An,t ; n ∈ N, t ∈ N} na {Bm ; m ∈ N} a vidíme, že ∞ n=1 An = S∞ m=1 Bm ∈ Σλ (M ). Uzavřenost Πλ (M ) na spočetné průniky dostaneme stejným způsobem. S Pokud k ∈ N a pro všechna n ≤ k je An ∈ Σλ (M ), pak opět An = ∞ t=1 An,t , kde S Tk An,t ∈ 1≤γ<λ Πγ (M ). Tedy x ∈ n=1 An platí právě tehdy, když pro každé n ≤ k existuje tn takové, že x ∈ An,tn . Tento fakt lze také zapsat tak, že existují t1 , . . . , tk S takové, že pro každé n ≤ k je x ∈ An,tn , neboli x ∈ (t1 ,...,tk )∈Nk A1,t1 ∩ . . . ∩ Ak,tk . Uzavřenost Πλ (M ) na konečná sjednocení je pak jednoduchým důsledkem De Morganových pravidel a tvrzení 1). Značení. Pro f, g : X → R a ϑ ∈ R budeme množinu {x ∈ X ; f (x) > ϑ} značit jako [f > ϑ], {x ∈ X ; f (x) ≥ ϑ} jako [f ≥ ϑ] a {x ∈ X ; f (x) > g(x)} jako [f > g]. Úrovňovými množinami funkce f budeme dále rozumět množiny typu [f > γ] a [f ≥ γ] pro γ ∈ R. Pro důkaz následujícího tvrení si bude potřeba rozmyslet 4
některé základní znalosti o úrovňových množinách reálných funkcí, pocházející z [4]. Nejdříve si všimneme zřejmého vztahu mezi různými druhy úrovňových množin, pro f reálnou funkci a λ ∈ R máme [f ≥ λ] =
∞ \
[f > λ −
n=1
[f > λ] =
∞ [
[f ≥ λ +
n=1
Nechť je nyní inf fn platí
(fn )∞ n=1
1 ], n 1 ]. n
posloupnost reálných funkcí, pak pro g := sup fn a h := [g > λ] =
∞ [
[fn > λ],
n=1
[h ≥ λ] =
∞ \
[fn ≥ λ].
n=1
Definice 1.7. Nechť f je reálná funkce na množině X a A, B ⊂ P(X). Řekneme, že f je typu (A, ∗), pokud ∀α ∈ R : [f > α] ∈ A. Naopak f je typu (∗, B), pokud ∀β ∈ R : [f ≥ β] ∈ B. Dále f je typu (A, B), pokud je typu (A, ∗) i typu (∗, B). Lemma 1.8. Nechť (fn ), (gn )∞ n=1 jsou posloupnosti reálných funkcí takové, že pro n ∈ N je fn typu (A, ∗) a gn typu (∗, B). Pak sup fn je typu (Aσ , ∗) a inf fn typu (∗, Aδ ), sup gn je typu (Bσ , ∗) a inf gn typu (∗, Bδ ). Důkaz. Z předchozích poznatků je přímo vidět, že sup fn je typu (Aσ , ∗) a inf gn typu (∗, Bδ ). Dále pak platí [sup gn > λ] =
[inf fn ≥ λ] =
∞ [
[gn > λ] =
∞ [ ∞ [
[gn ≥ λ +
n=1
n=1 w=1
∞ \
∞ \ ∞ \
[fn ≥ λ] =
n=1
[fn > λ −
n=1 w=1
1 ], w 1 ]. w
Tvrzení 1.9. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K → R. Pak pro 1 ≤ λ < ω1 je F ∈ Bλ (K) právě tehdy, když F je typu (Σλ+1 (K), Πλ+1 (K)). Důkaz. Jelikož nedochází ke konfliktu, budeme pro Bλ (K), Σλ (K) a Πλ (K) používat pouze Bλ , Σλ a Πλ .
5
Nejprve si uvědomíme, že C(K) ⊂ (G(K), F(K)). Pokud je funkce F bodovou limitou posloupnosti (fn )∞ n=1 , platí ∀t ∈ K : F (t) = lim sup fn (t) = lim sup fk (t) = inf sup fk (t), n→∞ k≥n
n∈N
n∈N k≥n
∀t ∈ K : F (t) = lim inf fn (t) = lim inf fk (t) = sup inf fk (t). n→∞ k≥n
n∈N
n∈N k≥n
Nechť je 1 ≤ λ < ω1 izolovaný, Bλ−1 ⊂ (Σλ , Πλ ) a (fn )∞ n=1 ⊂ Bλ−1 bodově konverguje k funkci F (pro zkrácení zápisu bude B0 znamenat C(K)). Pak dle lemmatu 1.8 a výše uvedených rovností je F ∈ ((Πλ )δσ , (Σλ )σδ ). Z lemmatu 1.6 je potom (Πλ )δσ = (Πλ )σ ⊂ Σλ+1 a (Σλ )σδ = (Σλ )δ ⊂ Πλ+1 , tedy F ∈ (Σλ+1 , Πλ+1 ). Pokud je λ limitní, pak z indukčního předpokladu a poznámky 1.5 platí (Σλ , Πλ ) a zbytek úvahy pokračuje stejně.
S
1≤γ<λ
Bγ ⊂
K důkazu obrácené implikace nejdříve potřebujeme vědět, že pro každou množinu typu Σλ+1 najdeme funkci z Bλ , která je na ní kladná a nulová na jejím doplňku. a Indukci začneme pochopitelně od spojitých funkcí. Pro G otevřenou stačí vzít g(x) := dist(x, Gc ) a pak G = [g > 0]. S Nechť 1 ≤ λ < ω1 a nechť N je libovolná Σλ+1 množina. Pak N = ∞ h=1 Nh , kde pro h ∈ N je Nh ∈ Πλ . Vezměme konvergentní řadu čísel (rh )∞ h=1 a definujme gh := rh 1Nh a dále pak ∞ X g := gh . h=1
Takto definovaná funkce g je pak zřejmě kladná na N a nulová jinde. K dokončení důkazu stačí 1Hn ∈ Bλ , pak je totiž g stejnoměrnou limitou Bλ funkcí, tedy je dle lemmatu 1.2 také Bλ . Buď λ izolovaný a nechť již umíme ke každé M ∈ Σλ najít f ∈ Bλ−1 tak, že M = [f > 0] a f je nulová jinak. Definujme pro k ∈ N funkce fk :=
kf . 1 + kf
Pak limk→∞ fk = 1M , tedy platí 1M ∈ Bλ . Pokud je tedy H ∈ Πλ , platí 1H c ∈ Bλ a tedy i 1K − 1H c = 1H ∈ Bλ . T S Nechť je nyní λ limitní a E ∈ Πλ , pak E = ∞ n=1 En , kde En ∈ 1≤γ<λ Σγ pro n ∈ N. Pak 1E = inf n∈N 1En = limt→∞ 1E1 ∩...∩Et . Předchozí odstavec a lemma S 1.6 dávají 1E1 ∩...∩Et ∈ 1≤γ<λ Bγ . Tím je 1E ∈ Bλ . `
6
Pokračujme důkazem (Σλ+1 , Πλ+1 ) ⊂ Bλ . Nechť F ∈ (Σλ+1 , Πλ+1 ). Pro pevná reálná čísla x1 < x2 můžeme tedy najít f1 , f2 ∈ Bλ , že [f1 > 0] = [F > x1 ] a [f2 > 0] = [F < x2 ], jinak nulové. Jelikož [F ≤ x1 ] ∩ [F ≥ x2 ] = ∅, je f1 + f2 všude kladná. Definujme f1 . f := f1 + f2 Pak zřejmě [F ≤ x1 ] = [f = 0], [x1 < F < x2 ] = [0 < f < 1] a [F ≥ x2 ] = [f = 1]. Pro pevná x1 , x2 pak takovouto funkci označme f (x1 , x2 ). Nechť je nejprve 0 ≤ F ≤ 1. Zvolíme libovolné n ∈ N. Pro přirozené m ≤ n definujeme m−1 m , x2,m := . x1,m := n n Označíme em := f (x1,m , x2,m ) a nakonec e :=
e1 + . . . + en . n
V pevném bodě x ∈ K pak určite existuje m ≤ n, že x1,m ≤ F (x) ≤ x2,m . Pak z konstrukce e plyne, že také x1,m ≤ e(x) ≤ x2,m , neboli kF − ek∞ < n−1 . Jelikož e ∈ Bλ , je dle lemmatu 1.2 F ∈ Bλ . Pokud F není omezená, definujeme pro x ∈ R a z ∈ (−1, 1) funkce b(x) =
z x , c(z) = . 1 + |x| 1 − |z|
Jednoduchou úpravou lze ověřit, že pro x ∈ R je c ◦ b(x) = x, navíc si všimneme, že je vždy b(x) ∈ (−1, 1) a funkce b, c jsou spojité. Jelikož platí b(x1 ) ≤ b(x2 ) pro x1 ≤ x2 reálné, odpovídají množiny [F > x] a [F ≥ x] množinám [b ◦ F > b(x)] a [b ◦ F ≥ b(x)], tedy F je stejného typu jako b ◦ F . Funkce b ◦ F je však omezená, tedy je typu Bλ a funkce c ◦ b ◦ F = F je tudíž také typu Bλ .
Důsledek 1.10. Nechť K je kompaktní metrický prostor, F : K → R a 1 ≤ λ < ω1 . Pak F ∈ Bλ (K) právě tehdy, když F −1 (U ) je typu Σλ+1 (K) pro každou U ⊂ R otevřenou. Důkaz. Plyne ihned ze struktury otevřených množin na R. Každá taková množina je totiž sjednocením spočetně mnoha disjunktních otevřených intervalů a každý interval (a, b) je průnikem intervalů (−∞, b) a (a, ∞). Jejich vzory při F však jsou typu Σλ+1 (K), což je však systém uzavřený na konečné průniky a spočetná sjednocení.
7
2. Funkce první třídy V této kapitole se blíže podíváme na funkce první Baireovy třídy. Věnujeme pozornost především jejich charakterizacím. Srovnáním s charakterizací B1/2 funkcí, které se později ukážou jako stabilní podtřída, se pokusíme nahlédnout, které z nich mají vliv na stabilitu. Pokud by se ukázala případná souvislost, mohlo by to vést k získání stability širšího systému podtříd B1 funkcí. Připomeňme, že zdola resp. shora polospojité funkce na metrickém prostoru X jsou funkce typu (G(X), ∗), resp. (∗, F(X)). Označíme A(X) := Fσ (X) ∩ Gδ (X). Nejmenší algebru obsahující všechny uzavřené množiny v X budeme značit jako D(X). Lemma 2.1. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K → R zdola polospojitá funkce, pak F je zdola omezená a nabývá minimum. Důkaz. Systém {[F > λ] ; λ ∈ R} pokryje K, tedy existují λ1 , . . . , λn ∈ R takové, S že K ⊂ nk=1 [F > λk ] a zřejmě F > mink≤n λk . Dostáváme, že h := inf x∈K F (x) ∈ R a z definice polospojitosti zdola jsou pro n ∈ N množiny [F ≤ h+n−1 ] uzavřené, tedy kompaktní, tudíž jejich průnik je neprázdný. Tvrzení 2.2. Nechť K je kompaktní metrický prostor. Pak F : K → R je zdola polospojitá právě tehdy, když je bodovou limitou neklesající posloupnosti spojitých funkcí.. Důkaz. Pokud (fn )∞ n=1 ⊂ C(K) je neklesající, platí limn→∞ fn = supn∈N fn a stačí použít lemma 1.8. Pro důkaz opačné implikace nejdřív zmíníme, že díky lemmatu 2.1 je možné předpokládat F ≥ 0. Množinu Q ∩ (0, ∞) seřadíme do posloupnosti (qn )∞ . S∞ n=1 Pak Hn := [F > qn ] je otevřená a tedy Fσ v K. Buď tedy Hn = k=1 Fn,k , kde Fn,k jsou uzavřené a Fn,k ⊂ Fn,k+1 pro každé n, k ∈ N, jinak vezmeme ∗ Fn,k := Fn,1 ∪ . . . ∪ Fn,k . Definujme standardní funkce fn,k (x) =
qn dist(x, Hnc ) . dist(x, Hnc ) + dist(x, Fn,k )
Pak fn,k bodově konvergují k qn 1Hn , tedy stačí položit fn := maxk≤n fk,k a dostáváme požadovanou posloupnost. Definice 2.3. Nechť K je kompaktní metrický prostor. Pro F ∈ B1 (K) položme |F |D := inf{k
∞ X
|fn+1 −fn | k∞ ; (fn ) ⊂ C(K) bodově konverguje k F a f0 ≡ 0},
n=0
DBSC(K) := {F ∈ B1 (K) ; |F |D < ∞}. 8
Nejprve si rozmyslíme, že každá funkce F ∈ DBSC(K) se dá vyjádřit jako rozdíl omezených, nezáporných, zdola polospojitých funkcí na K. Pokud totiž |F |D < ∞, existuje dle definice 2.3 posloupnost (fn ) splňující k
∞ X
|fn+1 − fn | k∞ < ∞.
n=0
Pak F = F1 − F2 , kde F1 :=
∞ X
max{fn+1 − fn , 0} F2 :=
n=0
∞ X
− min{fn+1 − fn , 0}.
n=0
Funkce F1 a F2 jsou zdola polospojité z lemmatu 2.2 a omezené z rovnosti ∞ X
|fn+1 − fn | = F1 + F2 .
n=0
Tvrzení 2.4. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K → R, pak |F |D = inf{kG + Hk∞ kde G, H jsou nezáporné, omezené, zdola polospojité funkce, že F = G − H}. Důkaz. Buď |F |D < ∞, volme ε > 0 a najděme z definice 2.3 posloupnost (fn ) splňující ∞ X k |fn+1 − fn | k∞ < |F |D + ε. n=0
Pokud definujeme F1 , F2 jako v předchozí úvaze, platí kF1 + F2 k∞ < |F |D + ε, z čehož jednoduše dostaneme první nerovnost. Nechť je nyní F = G − H rozklad na omezené, nezáporné, zdola polospojité funkce. Lemma 2.2 nám dá neklesající posloupnosti spojitých funkcí (gn ), (hn )∞ n=1 bodově konvergující ke G resp. H. Položme g0 i h0 jako nulové a rozmysleme si, že obě posloupnosti můžeme předpokládat nezáporné, jinak gn∗ := max{gn , 0}. Jelikož (gn − hn ) bodově konverguje k F , platí |F |D ≤ k
∞ X
|(gn+1 − hn+1 ) − (gn − hn )| k∞ .
n=0
Dále vidíme, že ∞ X
|(gn+1 − hn+1 ) − (gn − hn )| ≤
n=0
∞ X n=0
Dostáváme tedy |F |D ≤ kG + Hk∞ .
9
|gn+1 − gn | + |hn+1 − hn | = G + H.
Pokud je nyní F = f1 − f2 , kde f1 a f2 jsou omezené a zdola polospojité, vezmeme c ∈ R, které omezuje obě tyto funkce. Pak F = (f1 + c) − (f2 + c), tedy z tvrzení 2.4 platí |F |D ≤ kf1 + f2 + 2ck∞ ≤ 4c a dostali jsme F ∈ DBSC(K). Můžeme tedy tvrdit, že DBSC(K) jsou právě všechny rozdíly omezených, zdola polospojitých funkcí na K. Dále si všimneme, že je vždy kF k∞ ≤ |F |D , platí totiž ∞ ∞ X X F (x) = (fn+1 (x) − fn (x)) ≤ |(fn+1 (x) − fn (x))|. n=0
n=0
Tím je nutně také kF k∞ ≤ k
∞ X
|(fn+1 (x) − fn (x))| k∞ .
n=0
Norma F však nezávisí na volně posloupnosti (fn ), tedy na pravé straně můžeme přejít k |F |D . Toto pozorování vede k definici následujících tříd funkcí představených v [3]. B1/2 (K) := {F ∈ B1 (K) ; existuje posloupnost (Fn )∞ n=1 ⊂ DBSC(K) stejnoměrně konvergující k F }. B1/4 (K) := {F ∈ B1 (K) ; existuje posloupnost (Fn )∞ n=1 ⊂ DBSC(K) stejnoměrně konvergující k F , pro kterou platí sup{|Fn |D ; n ∈ N} < ∞ }. Velice zajímavé možnosti v případné charakterizaci stabilních podtříd by mohly nabídnout následující indexy, standardně zaváděné na funkcích první třídy. Definice 2.5. Nechť F : K → R je omezená funkce na kompaktním metrickém prostoru K a D ⊂ K je uzavřená, pak definujeme oscilaci funkce F vůči množině D v bodě k jako oscD (F, k) := lim sup{|F (k1 ) − F (k2 )| ; k1 , k2 ∈ B(k, r) ∩ D}. r→0+
Pro c > 0 označme Φ0 (F, c) := K a Φλ+1 (F, c) := {h ∈ Φλ (F, c) ; oscΦλ (F,c) (F, h) ≥ c}. T Pro λ limitní Φλ (F, c) := κ<λ Φκ (F, c). Dále pro c > 0 buď β(F, c) := inf{λ < ω1 ; Φλ (F, c) = ∅}. Oscilační index funkce F je pak β(F ) := supγ>0 β(F, γ). Dále položme ∆0 (F, a, b) := K a pro a < b definujme ∆λ+1 (F, a, b) = ∆λ (F, a, b) ∩ [F ≤ a] ∩ ∆λ (F, a, b) ∩ [F ≥ b]. 10
T Pro λ limitní pak ∆λ (F, a, b) := κ<λ ∆κ (F, a, b). Dále α(F, a, b) := inf{γ < ω1 ; ∆γ (F, a, b) = ∅}. Separační index funkce F potom bude znamenat α(f ) := sup{α(F, a, b) ; a ∈ Q, b ∈ Q, a < b}. Poznámka 2.6. Množiny ∆λ (F, a, b) a Φλ (F, c) jsou uzavřené. V limitních případech jsou totiž průnikem uzavřených množin. Pro λ izolované je ∆λ (F, a, b) definována jako průnik dvou uzavřených množin, tedy je uzavřená. Nechť (xi ) ⊂ Φλ (F, c) konverguje k x ∈ K. Vezměme libovolné otevřené okolí V 3 x, pak existuje k ∈ N, že xk ∈ V . Pak pro libovolné c > > 0 existuje r > 0 takové, že B(xk , r) ⊂ V a sup{|F (k1 ) − F (k2 )| ; k1 , k2 ∈ B(xk , r) ∩ Φλ−1 (F, c)} > c − , tedy i sup{|F (k1 ) − F (k2 )| ; k1 , k2 ∈ V ∩ Φλ−1 (F, x)} > c − a vidíme, že oscΦλ−1 (F,c) (F, x) ≥ c. Lemma 2.7. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F ∈ B1 (K). Pak α(F ) ≤ β(F ). Důkaz. Nechť a < b jsou pevně zvolená racionální čísla a L libovolná uzavřená množina. Pokud x ∈ Lr{h ∈ L ; oscL (F, h) ≥ b−a}, pak existuje okolí V 3 x, že sup{|F (k1 )−F (k2 )| ; k1 , k2 ∈ V ∩L} < b−a. To nám dává, že V nemůže protnout L ∩ [F ≥ b] a L ∩ [F ≤ a] zároveň. Tím dostaneme L ∩ [F ≥ b] ∩ L ∩ [F ≤ a] ⊂ {h ∈ L ; oscL (F, h) ≥ b − a} pro libovolné L. Z toho je přímo vidět, že pro λ < ω1 je ∆λ (F, a, b) ⊂ Φλ (F, b − a), tedy α(F ) ≤ β(F ). Lemma 2.8. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K → R ∈ B1 (K). Pak každá uzavřená A ⊂ K obsahuje bod spojitosti funkce F |A Důkaz. Pouhým rozepsáním definicí dostaneme, že F je spojitá v x ∈ K právě tehdy, když oscK (F, x) = 0. Pro γ > 0 definujme Φγ := {x ∈ K ; oscK (F, x) ≥ γ}. Z poznámky 2.6 již víme, že Φγ je uzavřená. Dokážeme Int Φγ = ∅. a Nechť pro spor existuje uzavřená koule Q, že Q ⊂ Φγ . Volme tedy (fn )∞ n=1 ⊂ C(K) posloupnost bodově konvergující k F a definujme ∆k := {x ∈ K ; ∀p, q ≥ k : |fp (x) − fq (x)| ≤ γ4 }, které jsou uzavřené, protože se dají vyjádřit jako průnik úrovňových množin spojitých funkcí. Díky bodové konvergenci (fn ) je zřejmě S S∞ K= ∞ k=1 ∆k a tedy Q = k=1 (∆k ∩Q). Q má neprázdný vnitřek, tedy z Baireovy věty o kategoriích existuje k0 ∈ N, pro které ∆k0 ∩ Q má opět neprázdný vnitřek, neboli obsahuje uzavřenou kouli Y o středu x0 ∈ ∆k0 ∩Q a poloměru λ > 0. Pak z definice ∆k0 pro všechna x ∈ Y a všechna t ≥ k0 platí |ft (x) − fk0 (x)| ≤ γ4 a tedy i |F (x) − fk0 (x)| ≤ γ4 . Dále najdeme κ ∈ (0, λ) ze stejnoměrné spojitosti fk0 , aby pro x, y ∈ K, x ∈ B(y, κ) platilo |fk0 (x) − fk0 (y)| ≤ γ4 . Pak pro x, y ∈ B(x0 , κ) máme |F (x) − F (y)| ≤ |F (x) − fk0 (x)| + |fk0 (x) − fk0 (y)| + |fk0 (y) − F (y)| ≤ 3γ 4 a tedy oscK (F, x0 ) < γ pro x0 ∈ Φγ , což je spor. `
11
S 1 a opětovným pouMnožina bodů nespojitosti F se však dá napsat jako ∞ h=1 Φ h S 1 , který je žitím Baireovy věty dostáváme, že v K existuje bod mimo ∞ h=1 Φ h tudíž bodem spojitosti F . Každá uzavřená podmnožina K je kompaktní, tedy tuto úvahu můžeme provést v její zděděné metrice a dostaneme požadovaný výsledek. Tvrzení 2.9. Nechť F : K → R je omezená funkce na kompaktním metrickém prostoru K. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) F ∈ B1 (K). 2) β(F ) < ω1 . 3) α(F ) < ω1 . 4) Pro a < b lze [F ≤ a] a [F ≥ b] oddělit disjunktními množinami z A(K). 5) F je stejnoměrnou limitou A-jednoduchých funkcí (A(K) měřitelných funkcí s konečným oborem hodnot). 6) F je typu (Fσ , Gδ ). 7) Pro U otevřenou podmnožinu R je F −1 (U ) typu Fσ v K. Důkaz. 1 ⇒ 2 Nejprve si rozmysleme, že na kompaktním metrickém prostoru nemůže existovat nespočetný systém uzavřených množin (Fλ ), pro který by platilo Fλ+1 $ Fλ . a Nechť takový systém existuje. Zvolme spočetnou bázi prostoru K. Pak pro každé λ je Fλ+1 rFλ neprázdné, tedy můžeme najít bázovou množinu Uλ takovou, c . Tím však musí být Uλ 6= Uκ pro λ 6= κ a že Uλ ∩ (Fλ+1 r Fλ ) 6= ∅ a Uλ ⊂ Fλ+1 na to nám spočetná báze nestačí, což je spor. ` Musí tedy pro libovolné c > 0 existovat nejmenší λ < ω1 takové, že Φλ (F, c) r Φλ+1 (F, c) = ∅. Nechť je Φλ (F, c) neprázdné, potom pro každé k ∈ Φλ (F, c) je oscΦλ (F,c) (F, k) ≥ c. To znamená, že F |Φλ (F,c) je ve všech bodech nespojitá, to je v rozporu s lemmatem 2.8. Musí tedy být β(F, c) < ω1 a tudíž i β(F ) < ω1 . 2 ⇒ 3 Je přímým důsledkem lemmatu 2.7. 3 ⇒ 4 Pokud a < b jsou dvě reálná čísla, pak vezmeme p, t ∈ Q takové, že a ≤ p < t ≤ b. Z definice separačního indexu je ∆α(F,p,t) (F, p, t) = ∅. Pro jednoduchost budeme dále značit ∆λ (F, p, t) jenom jako Kλ . Nejdříve ukážeme, že α(F, p, t) nemůže být limitní. Pokud by se tak stalo, je Kα(F,p,t) z definice průnikem neprázdných, kompaktních, do sebe zanořených množin, tedy také neprázdný, což je spor. Dále víme, že K0 = K, Kλ jsou zanořené do sebe a Kα(F,p,t) je prázdná, S tedy λ<α(F,p,t) Kλ r Kλ+1 = K. Definujeme množinu [ D := [F ≤ p] ∩ Kλ r Kλ+1 . λ<α(F,p,t)
12
S S Pak je D ⊃ λ<α(F,p,t) ([F ≤ p]∩Kλ )rKλ+1 = λ<α(F,p,t) [F ≤ p]∩(Kλ rKλ+1 ) = S [F ≤ p] ∩ λ<α(F,p,t) Kλ r Kλ+1 = [F ≤ p]. Rozepíšeme definici Kλ+1 a dostaneme [F ≤ p] ∩ Kλ r Kλ+1 = [F ≤ p] ∩ Kλ r ([F ≤ p] ∩ Kλ ∩ [F ≥ t] ∩ Kλ ) = [F ≤ p] ∩ Kλ r [F ≥ t] ∩ Kλ . Jelikož Kλ je uzavřená, je [F ≤ p] ∩ Kλ r [F ≥ t] ∩ Kλ ⊂ Kλ r [F ≥ t] ∩ Kλ . Potom platí, že S S S λ<α(F,p,t) [F ≤ p] ∩ Kλ rKλ+1 ⊂ λ<α(F,p,t) Kλ r[F ≥ t] ∩ Kλ ⊂ λ<α(F,p,t) Kλ r S ([F ≥ t] ∩ Kλ ) = λ<α(F,p,t) Kλ r [F ≥ t] = K r [F ≥ t]. To znamená, že D odděluje [F ≤ p] a [F ≥ t], tedy i [F ≤ a] a [F ≥ b]. Zbývá dokázat, že D je typu A(K). Zřejmě D je spočetným sjednocením rozdílů uzavřených množin, ty jsou typu Fσ . Stačí tedy ve stejném tvaru vyjádřit S její doplněk, a to jako Dc = λ<α(F,p,t) Kλ r [F ≤ p] ∩ Kλ . Všimněme si tedy, že Kλ ⊃ [F ≤ p] ∩ Kλ ⊃ Kλ+1 , můžeme proto napsat Kλ = (Kλ r [F ≤ p] ∩ Kλ ) ∪ ([F ≤ p] ∩ Kλ r Kλ+1 ) ∪ Kλ+1 . Takto můžeme pokračovat a Kλ+1 zapsat stejným způsobem. Jelikož Kα(F,p,t) = ∅ a α(F, p, t) není limitní, proces se zastaví na Kα(F,p,t)−1 = (Kα(F,p,t)−1 r [F ≤ p] ∩ Kα(F,p,t)−1 ) ∪ S ([F ≤ p] ∩ Kα(F,p,t)−1 ), tedy vidíme, že λ<α(F,p,t) Kλ r [F ≤ p] ∩ Kλ je doplňkem S λ<α(F,p,t) [F ≤ p] ∩ Kλ r Kλ+1 = D. 4 ⇒ 5 Předpokládejme, že 0 ≤ F ≤ 1. Pro n ∈ N pevné a k ≤ n najdeme Hk ∈ A(K) tak, že k k−1 [F ≥ ] ⊂ Hk ⊂ [F > ]. n n Pak funkce 1H1 + . . . + 1Hn fn = n −1 zřejmě splňuje kF − fn k ≤ n a je požadovaného typu. 1 ⇔ 6 ⇔ 7 je pouze zvláštním případem tvrzení 1.9. 5 ⇒ 6 1A je zřejmě typu (Fσ , Gδ ) pro A ∈ A(K), tedy je to B1 funkce. Potom A-jednoduché funkce jsou také B1 a F je jejich stejnoměrnou limitou.
Lemma 2.10. Nechť X je metrický prostor, pak D(X) jsou právě všechna konečná sjednocení rozdílů uzavřených množin. Důkaz. Pokud D bude značit konečná sjednocení rozdílů uzavřených množin, S pak zřejmě D ⊂ D(K). Nechť A = nk=1 (Fk r Hk ), kde Fk a Hk jsou uzavřené. Z vlastností uzavřených množin můžeme předpokládat, že Hk ⊂ Fk pro k ≤ n. 13
Můžeme však zapsat c
A =
n \
(Fkc k=1
∪ Hk ) =
n [ k=1
Fk
c
[
∪
I⊂{1,...,n}
\ k∈I
Hk r
\
Fk .
k∈{1,...,n}rI
T Rovnost plyne z elementární úvahy, že x ∈ nk=1 (Fkc ∪ Hk ) právě tehdy, když existuje I ⊂ {1, . . . , n}, že x ∈ Hk pro k ∈ I a x ∈ Fkc pro k ∈ {1, . . . , n} r I. Tím je D uzavřený na doplněk. Konečná sjednocení D jsou D přímo z definice. S S S Mějme A = nk=1 Ak r Fk a B = st=1 Bt r Ht . Potom A ∩ B = k≤n (Ak r Fk ) ∩ S S S t≤s (Bt r Ht ) = k≤n,t≤s (Ak r Fk ) ∩ (Bt r Ht ) = k≤n,t≤s (Ak ∩ Bt ) r (Fk ∪ Ht ). Tedy D je algebra a D(X) ⊂ D. Tvrzení 2.11. Nechť F : K → R je omezená funkce na kompaktním metrickém prostoru K. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) F ∈ B1/2 (K). 2) β(F ) ≤ ω. 3) α(F ) ≤ ω. 4) Pro a < b lze [F ≤ a] a [F ≥ b] oddělit disjunktními množinami z D(K). 5) F je stejnoměrnou limitou D-jednoduchých funkcí. Důkaz. 1 ⇒ 2 Nechť F je stejnoměrnou limitou (Fn )∞ n=1 ⊂ DBSC(K). Pak pro pevné c > 0 existuje t ∈ N takové, že kFt − F k∞ < c. Pro libovolnou uzavřenou množinu L pak zřejmě oscL (Ft , k) < c snadno dává oscL (F, k) < 2c, neboli Φλ (F, 2c) ⊂ Φλ (Ft , c). Odtud vidíme, že β(F, 2c) ≤ β(Ft , c), stačí tedy ukázat β(G) ≤ ω kdykoliv G ∈ DBSC(K). Nechť β(G) > ω. Pak existuje κ > 0 tak, že Φn (G, κ) 6= ∅ pro všechna n ∈ N. Ukážeme, že pokud pro m ∈ N a κ > 0 je Φm (G, κ) 6= ∅, pak |G|D ≥ mκ , neboli 4 že G ∈ / DBSC(K). Buď (gn )∞ n=1 ⊂ C(K) bodově konvergující ke G. Stačí ukázat, že existují přirozená čísla n1 < n2 < . . . < nm + 1 a k ∈ K tak, že |gnj+1 (k) − gnj (k)| > κ4 pro 1 ≤ j ≤ m. Za tímto účelem induktivně sestrojíme pro 1 ≤ i ≤ m indexy n1 < . . . < ni+1 , bod ki ∈ Φm−i (G, κ) a jeho otevřené okolí Ui takové, že pro libovolné k ∈ Ui a 1 ≤ h ≤ i je |gnh+1 (k) − gnh (k)| > κ4 . Položme n1 = 1, zvolme k0 ∈ Φm (G, κ) libovolně a označme U0 := K. Buď tedy 1 ≤ i ≤ m. Ze spojitosti gni pak existuje Vi otevřené okolí ki−1 ∈ Φm−i+1 (G, κ) takové, že sup{|gni (a) − gni (b)| ; a, b ∈ Vi } < κ8 . Označme dále 14
Wi := Vi ∩ Ui−1 . Z definice Φm−i+1 (G, κ) a otevřenosti Wi plyne, že existují . Díky bodové konverkia , kib ∈ Wi ∩ Φm−i (G, κ), pro které je |G(kia ) − G(kib )| > 3κ 4 a genci (gn ) můžeme najít ni+1 > ni takové, že |gni+1 (ki ) − gni+1 (kib )| > 3κ . Potom 4 κ a a pokud by platilo |gni+1 (ki ) − gni (ki )| ≤ 4 , pak je |gni+1 (kia ) − gni (kib )| ≤ |gni+1 (kia ) − gni (kia )| + |gni (kia ) − gni (kib )| <
κ κ 3κ + = . 4 8 8
Dostáváme, že platí |gni+1 (kib )−gni (kib )| = |gni+1 (kib )−gni+1 (kia )−(gni (kib )−gni+1 (kia ))| > |
3κ 3κ κ − |> . 4 8 4
Pokud by naopak bylo |gni+1 (kib )−gni (kib )| ≤ κ4 , je ze stejného důvodu |gni+1 (kia )− gni (kia )| > κ4 . Tedy existuje Ui ⊂ Wi otevřené okolí ki ∈ {kia , kib } takové, že pro k ∈ Ui je |gni+1 (k) − gni (k)| > κ4 . 2 ⇒ 3 Je opět důsledek lemmatu 2.7. 3 ⇒ 4 Je pouze zvláštním případem 3 ⇒ 4 z tvrzení 2.9, stačí si uvědomit, že lemma 2.10 přímo dává α(F,p,t)−1
[
[F ≤ p] ∩ Kλ r Kλ+1 ∈ D(K).
λ=0
4 ⇒ 5 Proběhne zcela stejným způsobem jako 4 ⇒ 5 v důkazu tvrzení 2.9. 5 ⇒ 1 Každá D-jednoduchá funkce je díky lemmatu 2.10 lineární kombinací charakteristických funkcí uzavřených množin, ty jsou polospojité a tedy DBSC. Lineární kombinace DBSC funkcí je zřejmě také DBSC, tudíž F ∈ B1/2 . Nepřehlédnutelnou souvislostí je shoda horní meze oscilačního a separačního indexu funkce. V textu [2] se dá najít výsledek, že pro spočetný ordinál λ je α(F ) ≤ ω λ právě tehdy, když β(F ) ≤ ω λ , vidíme tedy, že má smysl se dále zabývat B1/2 funkcemi a oscilačním resp. separačním indexem ve vztahu ke stabilitě.
15
3. Stabilita V této kapitole se budeme zabývat samotnou stabilitou systémů funkcí vůči složení se spojitým zobrazením mezi kompaktními metrickými prostory. Nejprve předvedeme již zmíněný výsledek z [1] o stabilitě Bλ funkcí, ukážeme mimo jiné, že na metrických prostorech je navíc selektor vždy Fσ měřitelné zobrazení. Poté se z již zmíněných důvodů budeme zabývat stabilitou B1/2 a B1/4 funkcí.
3.1
Stabilita Bλ funkcí
Lemma 3.1. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, nechť (An )∞ n=1 je posloupnost uzavřených podmnožin K a nechť Φ : L → P(K) má tyto vlastnosti: 1) Φ(y) je kompaktní a neprázdná pro každé y ∈ L, 2) pro F ⊂ K uzavřenou je Φ−1 (F ) = {y ∈ L ; Φ(y) ∩ F 6= ∅} uzavřená podmnožina L. Pak existuje zobrazení φ : L → K takové, že: (a) φ(y) ∈ Φ(y) pro každé y ∈ L, (b) φ−1 (An ) ∈ D(L) pro všechna n ∈ N, (c) φ−1 (U ) je typu Fσ pro každou U ⊂ K otevřenou. Důkaz. Prostor K je kompaktní, tedy existuje spočetná báze tvořená uzavřenými množinami. Předpokládejme, že jsme posloupnost (An ) již rozšířili o tuto bázi, že žádná z množin An není prázdná a položme A0 := K. Sestrojíme (Φn )∞ n=0 posloupnost zobrazení z L do P(K) takovou, že pro každé n ≥ 0 platí (α) Φn (y) je neprázdná a kompaktní pro všechna y ∈ L, (β) Φn+1 (y) ⊂ Φn (y) ⊂ Φ(y) pro všechna y ∈ L, (γ) (Φn )−1 (F ) ∈ D(L) pro každou F ⊂ K uzavřenou, (δ) (Φn )−1 (An ) ∩ (Φn )−1 (Acn ) = ∅. Pro Φ0 := Φ jsou všechny podmínky splněny z předpokladů. Mějme tedy požadované Φk pro všechna k ≤ n. Označme Λ := (Φn )−1 (An+1 ). Podmínka (γ) nám dává Λ ∈ D(L). Definujme Φn+1 následovně ( Φn (y) ∩ An+1 , y ∈ Λ, Φn+1 (y) = Φn (y), y ∈ Λc . Podmínky (α) a (β) plynou přímo z indukčních předpokladů. Pro F ⊂ K uzavřenou plyne (γ) z rovnosti (Φn+1 )−1 (F ) = {y ∈ Λ ; Φn (y) ∩ An+1 ∩ F 6= ∅} ∪ {y ∈ Λc ; Φn (y) ∩ F 6= 16
∅} = ({y ∈ L ; Φn (y) ∩ An+1 ∩ F 6= ∅} ∩ Λ) ∪ ({y ∈ L ; Φn (y) ∩ F 6= ∅} ∩ Λc ) = ((Φn )−1 (An+1 ∩ F ) ∩ Λ) ∪ ((Φn )−1 (F ) ∩ Λc ). Abychom ověřili (δ), uvědomíme si, že pokud Φn (y) ∩ An+1 = ∅, pak je Φn (y) ∩ Acn+1 6= ∅, neboli Λc ⊂ (Φn )−1 (Acn+1 ). Potom stačí dosadit do předchozí rovnosti F = An+1 a F = Acn+1 a dostaneme (Φn+1 )−1 (An+1 ) = ((Φn )−1 (An+1 ∩ An+1 ) ∩ Λ) ∪ ((Φn )−1 (An+1 ) ∩ Λc ) = (Λ ∩ Λ) ∪ (Λ ∩ Λc ) = Λ, (Φn+1 )−1 (Acn+1 ) = ((Φn )−1 (An+1 ∩ Acn+1 ) ∩ Λ) ∪ ((Φn )−1 (Acn+1 ) ∩ Λc ) = Λc . Buď y ∈ L libovolné. Z kompaktnosti Φ(y) víme, že ji lze pokrýt konečně mnoha 1 otevřenými koulemi o poloměru 2m , z nichž každá je sjednocením nějakého systému bázových množin, spojení těchto systémů označme I. Pak I je podsystém T {An ; n ∈ N} a pokrývá Φ(y). Protože ∞ n=1 Φn (y) ⊂ Φ(y), musí existovat n0 ∈ N T∞ takové, že An0 ∈ I a An0 ∩ n=1 Φn (y) 6= ∅. Z toho, jak vznikají Φn (y) můžeme T T∞ Φn (y) < m1 pro všechna m ∈ N. vyvodit, že ∞ n=1 Φn (y) ⊂ An0 , tedy diam Tn=1 Z vlastností kompaktních prostorů je tedy ∞ n=1 Φn (y) jeden bod, ten označíme φ(y). Podmínka (a) je jasná z konstrukce φ. Dále vidíme, že φ−1 (An ) ⊂ (Φn )−1 (An ) a φ−1 (Acn ) ⊂ (Φn )−1 (Acn ). Jelikož (Φn )−1 (An ) ∩ (Φn )−1 (Acn ) = ∅ a φ−1 (An ) ∪ φ−1 (Acn ) = L, dostaneme φ−1 (An ) = (Φn )−1 (An ) ∈ D(L), tedy je splněno (b). Pokud U ⊂ K je otevřená, pak je spočetným sjednocením nějakého podsystému {An , n ∈ N}, vzor každé z nich je D(L), a tedy φ−1 (U ) je typu D(L)σ . Podmínka (c) je tedy splněna z následujícího lemmatu. Lemma 3.2. Nechť K je kompaktní metrický prostor a 1 < λ < ω1 . Pak Σλ (K) = Σλ (D(K)) Důkaz. Zřejmě stačí Σ2 (D(K)) = Σ2 (K) a Π2 (D(K)) = Π2 (K). Pokud je množina S typu (D(K))σ , lze ji napsat jako ∞ n=1 (Fn,1 r Fn,2 ), kde pro n ∈ N jsou Fn,1 a c c Fn,2 uzavřené. Pak (Fn,1 r Fn,2 ) = (Fn,1 ∩ Fn,2 ). Protože Fn,2 je uzavřená, je Fn,2 otevřená a tedy Fσ , ty jsou však uzavřené na konečné průniky a spočetné sjednocení, je tedy Σ2 (D(K)) = Σ2 (K). Víme, že množina je typu Π2 (D(K)) právě tehdy, když její doplňek je typu Σ2 (D(K)) = Σ2 (K), tedy jsme hotovi. Lemma 3.3. Nechť X je metrický prostor, 1 ≤ λ < ω1 a M ∈ Σλ (X). Pak existuje spočetný systém množin Λ ⊂ G(X) ∪ F(X), že M ∈ Σλ (Λ). Obdobně lze pro každou N ∈ Πλ (X) najít spočetný systém Λ ⊂ G(X) ∪ F(X), že N ∈ Πλ (Λ).
17
Důkaz. Pro λ = 1 je M otevřená nebo uzavřená a tvrzení platí. Nechť je tedy 1 < λ < ω1 a předpokládejme, že pro všechna 1 ≤ γ < λ již množiny ze Σγ (X) a Πγ (X) vznikají ze spočetných podsystémů G(X) ∪ F(X). Pokud je M ∈ Σλ (X), S S pak M = ∞ n=1 Ai , kde Ai ∈ 1≤γ<λ Πγ (X) pro i ∈ N. Nechť tedy Ai vzniká S ze systému Λi ⊂ G(X) ∪ F(X), pak pokud označíme Λ := ∞ n=1 Λi , je zřejmě T∞ S M ∈ Σλ (Λ). Pro N ∈ Πλ (X) je N = n=1 Bi , kde Bi ∈ 1≤γ<λ Σγ (X) pro i ∈ N. Pokud nyní Bi vzniká z Λi , je opět N ∈ Πλ (Λ). Lemma 3.4. Nechť K, L jsou metrické prostory, φ : K → L, 1 ≤ λ < ω1 , Λ ⊂ P(K) a M ∈ Σλ (Λ). Pak pro ∆ = {φ−1 (H) ; H ∈ Λ} je φ−1 (M ) ∈ Σλ (∆). Obdobně pro N ∈ Πλ (Λ) je φ−1 (N ) ∈ Πλ (∆) Důkaz. Pro λ = 1 tvrzení zřejmě platí, stačí si vzpomenout, že vzor doplňku je S doplňkem vzoru. Pro 1 < λ < ω1 je M = ∞ n=1 Ai , kde Ai ∈ Πγi (Λ) pro i ∈ N −1 a γi < λ. Pak φ (Ai ) ∈ Πγi (∆), navíc víme, že můžeme zaměnit vzor množin a S −1 −1 jejich sjednocení, neboli φ−1 (M ) = ∞ n=1 φ (Ai ), tedy φ (M ) ∈ Σλ (∆). Jelikož je možné zaměnit také vzor množin a jejich průnik, proběhne důkaz pro Πλ (Λ) zcela stejně.
Tvrzení 3.5. Nechť K, L jsou kompaktní, metrické prostory, f : K → L spojité a na, P ⊂ L a 1 < λ < ω1 . Pak P ∈ Σλ (L) právě tehdy, když f −1 (P ) ∈ Σλ (K). Důkaz. Pokud P ∈ Σλ (L), existuje podle lemmatu 3.3 spočetný systém Λ ⊂ G(L) ∪ F(L), že P ∈ Σλ (Λ). Tedy pokud označíme ∆ := {f −1 (H), H ∈ Λ}, pak dle lemmatu 3.2 a 3.4 je f −1 (P ) ∈ Σλ (∆) ⊂ Σλ (K). Pokud Q := f −1 (P ) ∈ Σλ (K), pak opět najdeme spočetný systém Λ ⊂ G(L) ∪ F(L) tak, že Q ∈ Σλ (Λ). Systém {H c ; H ∈ Λ ∩ G(K)} ∪ {H ; H ∈ Λ ∩ F(K)} uspořádáme do posloupnosti {An }. Všimneme si, že pro x ∈ L je f −1 (x) kompaktní, dále pro F ∈ F(K) je množina {y ∈ L ; f −1 (y) ∩ F 6= ∅} = f (F ) uzavřená. Tedy můžeme použít lemma 3.1 pro {An } a Φ = f −1 . Tím dostaneme φ : L → K, že pro n ∈ N je φ−1 (An ) ∈ D(L), dále pro y ∈ L je φ(y) ∈ f −1 (y), z čehož plyne P = φ−1 (Q). Označme opět ∆ := {f −1 (H) ; H ∈ Λ} a vidíme, že ∆ ⊂ D(L), je tedy P ∈ Σλ (∆) ⊂ Σλ (D(L)) = Σλ (L). Tvrzení 3.6. Nechť K, L jsou kompaktní, metrické prostory, nechť φ : K → L je spojité a na. Nechť dále g : L → R a označme f := g ◦ φ. Pak pro 1 ≤ λ < ω1 je g ∈ Bλ (L) právě tehdy, když f ∈ Bλ (K). Důkaz. Nechť G ⊂ R otevřená. Pak platí φ−1 (g −1 (G)) = f −1 (G) a požadovaný výsledek přímo plyne z tvrzení 1.9 a 3.5.
18
3.2
Stabilita B1 funkcí
Nejprve si všimneme, že pokud φ je zobrazení mezi kompaktními metrickými prostory K a L, které je spojité a na, F : L → R a |F |D < ∞, pak |F |D = |F ◦φ|D přímo z vlastností limit složených funkcí. Pokud však F je funkce na K, vůbec nemusí vznikat jako složení s φ, tedy na první pohled není jasné, jak by se měly znalosti o |F |D dát využít na prostoru L, což nás vede k následujícím úvahám. Lemma 3.7. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, φ : K → L je spojité zobrazení K na L a f : K → R je zdola polospojitá funkce. Pak funkce f : L → R definovaná jako f (y) := min{f (x) ; x ∈ φ−1 (y)} je zdola polospojitá. Důkaz. Nejdříve je potřeba zmínit, že f je dobře definována, neboť φ je na a zdola polospojitá funkce nabývá na kompaktu minima. Buď λ ∈ R libovolné. Chceme ověřit, že f −1 (λ, ∞) je otevřená v L. Pro λ < min{f (t) ; t ∈ K} platí triviálně. Nechť tedy λ ≥ min{f (t) ; t ∈ K}. Zřejmě pro libovolné x ∈ L platí f (x) ≤ λ ⇔ ∃y ∈ K : φ(y) = x & f (y) ≤ λ. To znamená, že f −1 (−∞, λ] = φ(f −1 (−∞, λ]), tudíž doplněk f −1 (λ, ∞) je uzavřený v L. Tvrzení 3.8. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, φ : K → L je spojité zobrazení K na L, g : L → R, f := g ◦ φ. Pak g ∈ B1/2 (L) právě tehdy, když f ∈ B1/2 (K). Důkaz. Nechť g ∈ B1/2 (L), pak existuje posloupnost (gn )∞ n=1 ⊂ DBSC(L) stejnoměrně konvergující ke g. Již jsme si rozmysleli, že pak |gn ◦ φ|D = |gn |D , tedy ∞ platí (gn ◦ φ)∞ n=1 ⊂ DBSC(L). Jako posloupnost však (gn ◦ φ)n=1 konverguje stejnoměrně ke g ◦ φ a vidíme, že f ∈ B1/2 (K). Nechť je nyní f ∈ B1/2 (K). Potom víme, že existuje posloupnost fukncí (fn )∞ n=1 ⊂ DBSC(K) stejnoměrně konvergující k f . Zvolme pevné y ∈ L, n ∈ N a fa , fb omezené, zdola polospojité funkce na K, že fn = fa − fb . Označme γ := g(y), M := φ−1 (y) a εn := kf − fn k∞ . Pak zřejmě f (x) = γ pro libovolné x ∈ M . Dále víme, že na M platí : γ − εn ≤ f a − f b ≤ γ + εn , fb + (γ − εn ) ≤ fa ≤ fb + (γ + εn ), fa − (γ + εn ) ≤ fb ≤ fa − (γ − εn ). Dále vybereme body xa , xb z M , že fa (y) = fa (xa ) a fb (y) = fb (xb ). Dostáváme 19
fa (y) ≤ fa (xb ) ≤ fb (xb ) + (γ + εn ) = fb (y) + (γ + εn ), fb (y) ≤ fb (xa ) ≤ fa (xa ) − (γ − εn ) = fa (y) − (γ − εn ). Druhou nerovnost upravíme na fb (y) + (γ − εn ) ≤ fa (y) a dohromady dostaneme fb (y) + γ − εn ≤ fa (y) ≤ fb (y) + γ + εn , γ − εn ≤ fa (y) − fb (y) ≤ γ + εn . (∗) To však platí pro všechna n ∈ N a pro všechna y ∈ L, tedy pokud fn = fn,a − fn,b bude opět rozklad na rozdíl omezených, zdola polospojitých funkcí, můžeme definovat gn (t) := fn,a (t) − fn,b (t),
t ∈ L.
Vidíme, že gn ∈ DBSC(L) díky lemmatu 3.7 a kg − gn k∞ ≤ kf − fn k∞ z (∗), neboli gn stejnoměrně konvergují ke g, tedy g ∈ B1/2 (L). Tvrzení 3.9. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, φ : K → L je spojité zobrazení K na L, g : L → R, f := g ◦ φ. Pak g ∈ B1/4 (L) právě tehdy, když f ∈ B1/4 (K). Důkaz. Pokud g ∈ B1/4 (L), je opět stejnoměrnou limitou (gn )∞ n=1 ⊂ DBSC(L) ∞ a |gn ◦ φ|D = |gn |D . Pokud tedy platí, že posloupnost (|gn |D )n=1 je omezená, pak (|gn ◦ φ|D )∞ n=1 je také omezená a f ∈ B1/4 . Nechť f ∈ B1/4 (K). Z definice B1/4 dostaneme posloupnost (fn )∞ n=1 ⊂ DBSC(K) stejnoměrně konvergující k f takovou, že sup{|fn |D ; n ∈ N} < ∞. Pro n ∈ N a ε > 0 můžeme díky tvrzení 2.4 najít fn,a , fn,b nezáporné, omezené, zdola polospojité, že kfn,a + fn,b k∞ ≤ |fn |D + ε. Pokud definujeme funkce fn,a , fn,b a gn jako v předchozím tvrzení, vidíme, že |gn |D ≤ kfn,a + fn,b k∞ opět z tvrzení 2.4. Jelikož (gn ) stejnoměrně koncerguje ke g, stačí k dokončení důkazu ověřit kfn,a + fn,b k∞ ≤ kfn,a + fn,b k∞ . Pro x ∈ K je fn,b (x) + fn,a (x) ≥ min{fn,b (z) ; z ∈ φ−1 (φ(x))} + min{fn,a (z) ; z ∈ φ−1 (φ(x))} = fn,b (φ(x)) + fn,a (φ(x)).
20
Seznam použité literatury [1] J. Lukeš, J. Malý, I. Netuka, J. Spurný, Integral representation theory: applications to convexity, Banach spaces and potential theory, Walter de Gruyter (2010). [2] A. S. Kechris, A. Louveau, A classification of Baire class 1 functions, Trans. A.M.S. 318 (1990), 209-236. [3] R. Haydon, E. Odell and H. Rosenthal, On certain classes of Baire-1 functions with applications to Banach space theory, Springer-Verlag LNM 1470 (1991), 1-35. [4] Felix Haussdorf, Set Theory, Chelsea, New York (1962).
21
