Pénzügyi matematika Medvegyev Péter
2013. szeptember 8.
Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el®adásaim kib®vített verziója. két részb®l áll.
A könyv lényegében
Az els® rész a harmadik fejezet, amely a sztochasztikus integrálás és a
sztochasztikus dierenciálegyenletek elméletét tartalmazza.
Ez utóbbi nem szerepelt az
el®adásokon, így csak a teljesség kedvért került az anyagba.
A másik rész a többi feje-
zetb®l áll, amelyek a matematikai pénzügyek klasszikus, mondhatnám standard elméletét mutatják be. Némiképpen ezt a részt is kib®vítettem, ugyanis hozzácsaptam az anyaghoz néhány speciális származtatott termék részletes tárgyalását.
Így többek között részlete-
sen bemutatom az ázsia opciókat vagy a különböz® barrier opciókat. Ezekt®l eltekintve a tananyag megegyezik a korábbi el®adások anyagával. Egy ilyen jelleg¶ tankönyv megírásakor a szerz® f® problémája az, hogy milyen típusú el®ismeretekre építsen.
Kár tagani, a jelen tankönyv önmagában nem igazán követhet®,
ugyanis a sztochasztikus folyamatok elméletének aktív ismeretét tételezem fel.
El®ször
arra gondoltam, hogy a lábjegyzetekben visszautalok korábbi könyveimre, vagy az irodalomban fellelhet® egyéb forrásokra, de aztán ezek elhagyása mellett döntöttem, ugyanis ezek az utalások csak elbizonytalanítanák az olvasót és az el®képzettséggel nem rendelkez® olvasónak amúgy sem segítenének. Általában a jegyzet nem tartalmaz irodalomjegyzéket. Miel®tt ezt valaki a szememre hányná megjegyzem, hogy a pénzügyi matematika irodalma olyan nagy, hogy áttekintése számomra elképzelhetetlenül nehéz lenne, idegen tollakkal, vagyis mások irodalomjegyzékének az átvételével meg nem akartam ékeskedni. Ha valaki a könyv elolvasása után a területen akar kutatni, akkor számos olyan könyvet találhat, amelyek részletesen bemutatják az irodalmat és megfelel® utalásokat tartalmaznak. A legkimerít®bb talán
Monique Jeanblanc, Marc Yor és Marc Chesney kíváló monográ ája,
amelynek címe Mathematical Methods for Financial Markets és a Springer kiadó gondozásában jelent meg 2009-ben. Én ezt a könyvet és számos más hasonló m¶vet részletesen áttanulmányozva próbáltam az anyagot összeállítani. Végezetül kellemes kötelezettségemnek szeretnék eleget tenni. zom egy sor embernek, akik segítettek a könyv megírásakor.
szinte hálával tarto-
Ezek közül is kiemelkedik
Badics Tamás, aki a könyvet átnézte és az abban található számtalan hibát kijavította. Természetesen csak reménykedhetek abban, hogy a megmaradt hibák nem teszik a könyvet használhatatlanná. Medvegyev Péter
i
Tartalomjegyzék 1. A várható jelenérték szabálya és martingálmértékek
1
1.1.
Bevezetés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.
Martingálok és a várható jelenérték szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Az eszközárazás alaptétele diszkrét id®horizonton 2.1.
13
A DalangMortonWillinger tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.1.
14
2.1.2.
A tétel kimondása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Az L tér elemi tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.3.
A KrepsYan szeparációs tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.4.
A tétel bizonyítása
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
A piac teljessége, az eszközárazás második alaptétele
. . . . . . . . . . . .
25
2.3.
Európai eszközök árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.1.
Nincs diszkontálás
30
2.3.2.
Diszkontálás, ön nanszírozó portfóliók
2.3.3.
Elveszett illúziók
2.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Az amerikai opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.1.
Szuperreplikálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.2.
A megállási opciókról szóló tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4.3.
Az optimális megállítás problémája . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.4.
Snell-féle burkoló
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4.5.
Optimális megállításra vonatkozó példák . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.4.6.
A DoobMeyer felbontás és a szuperhedge létezése . . . . . . . . . .
53
3. Néhány tétel a sztochasztikus folyamatok elméletéb®l
57
3.1.
Néhány alapfeltevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2.
Sztochasztikus integrálás folytonos integrandusok esetén
. . . . . . . . . .
67
3.2.1.
A sztochasztikus integrál de níciója . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2.2.
Az integrál létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.2.3.
A Fisk-féle egyértelm¶ségi tétel
80
3.2.4.
Az integrál és a határérték felcserélhet®sége
3.2.5.
A kvadratikus variáció
3.2.6.
Helyettesítéses integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.2.7.
Mikor lesz egy sztochasztikus integrál valódi martingál
95
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
ii
. . . . . . .
TARTALOMJEGYZÉK
3.2.8.
iii
Sztochasztikus integrálás és arbitrázs . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.
Itô-formula
3.4.
Girszanov-tétel
3.5.
3.6.
3.7.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98 102 114
3.4.1.
Lokálisan ekvivalens mértékcsere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
3.4.2.
Mértékcserék konstruálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.4.3.
Egy érdekes ellenpélda
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sztochasztikus dierenciálegyenletek
127
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.5.1.
A megoldás egyértelm¶sége
3.5.2.
Er®s megoldás létezése
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
3.5.3.
A martingálprobléma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
3.5.4.
Gyenge megoldások létezése, Szkorohod tétele
. . . . . . . . . . . .
158
3.5.5.
Néhány példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
3.5.6.
Er®s Markov-tulajdonság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
3.5.7.
In nitezimális generátor és a resolvens operátor
. . . . . . . . . . .
Az integrálás kiterjesztése el®rejelezhet® integrandusokra
. . . . . . . . . .
183 189
3.6.1.
El®rejelezhet® folyamatok és kiterjesztés Itô-izometriával
. . . . . .
189
3.6.2.
A kiterjesztett integrál tulajdonságai
. . . . . . . . . . . . . . . . .
192
3.6.3.
Az integrál további kiterjesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
3.6.4.
Folytonos szemimartingálok szerinti integrálás . . . . . . . . . . . .
200
3.6.5.
Sztochasztikus integrálás és mértékcsere
. . . . . . . . . . . . . . .
204
Az integrálreprezentációs tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
3.7.1.
Lokális martingálokkal való integrálreprezentációs tétel
206
3.7.2.
Négyzetesen integrálható martingálokkal való integrálreprezentációs tétel
3.7.3.
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lokális martingálok reprezentálása
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Az eszközárazás diúziós modellje
213 220
224
4.1.
Ön nanszírozó portfóliók és az ármérce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
4.2.
Ekvivalens lokális martingálmérték és arbitrázs . . . . . . . . . . . . . . . .
229
4.3.
Új ármércére való áttérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
4.4.
Az eszközárazás diúziós modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
4.5.
A kockázat piaci ára
241
4.6.
Lokális martingálmérték létezése, Girszanov-formula . . . . . . . . . . . . .
242
4.7.
A lokális martingálmérték egyértelm¶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
4.8.
Integrálreprezentációs tétel és mértékcsere
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
4.9.
A piac teljessége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10. Árazási képlet és arbitrázs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
4.11. A BlackScholes dierenciálegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
5. BlackScholes világ 5.1.
251
Európai opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
5.1.1.
252
Határid®s termékek árazása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TARTALOMJEGYZÉK
5.1.2.
5.2.
iv
Vanilia call opciók árazása, BlackScholes-formula kiszámolása Bayesformulával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
5.1.3.
Néhány további egyszer¶ opció
255
5.1.4.
Összetett opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
5.1.5.
Csere opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
5.1.6.
Quanto termékek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
Útfügg® opciók
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1.
A tükrözési elv és a maximum folyamatok eloszlása
. . . . . . . . .
267
5.2.2.
Barrier opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
5.2.3.
Dupla barrier opciók
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
5.2.4.
Visszatekint® opciók
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
5.2.5.
Ázsiai opciók
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
6. Amerikai opciók folytonos id®horizonton 6.1.
6.2.
6.3.
312
Az optimális megállítás problémája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
6.1.1.
A megállási opciókról szóló tétel nem negatív szupermartingálokra .
316
6.1.2.
A Snell-burkoló konstruálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
6.1.3.
Az optimalitási kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
6.1.4.
Az optimális megállítási id® létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
6.1.5.
Az optimális megállási id® és a találati id® . . . . . . . . . . . . . .
333
Homogén Itô-diúziók és az er®s Markov-tulajdonság
. . . . . . . . . . . .
334
6.2.1.
Az optimális megállítás problémája Itô-diúziókra . . . . . . . . . .
336
6.2.2.
Szuperharmonikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336
6.2.3.
Szuperharmonikus burkoló és az értékfüggvény . . . . . . . . . . . .
340
6.2.4.
A kilépési id® mint legkisebb optimális megállítás
. . . . . . . . . .
345
6.2.5.
Az optimális megállítás létezése
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
Amerikai put opciók árazása és DoobMeyer dekompozíció
. . . . . . . . .
349
6.3.1.
Amerikai call opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351
6.3.2.
Az amerikai put opció árazó függvényének tulajdonságai
353
. . . . . .
7. Kamatláb modellek
372
7.1.
Forward ráták és hozamgörbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
7.2.
Azonnali rövid kamatláb modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
7.3.
7.4.
7.5.
A HJM nincsen arbitrázs feltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382
7.3.1.
A HJM feltétel levezetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383
7.3.2.
Markov-tulajdonság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
390
Sztochasztikus diszkontfaktor modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
7.4.1.
A feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tétel . . . . . . . . . .
393
7.4.2.
A FlesakerHughston formula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400
Kamat opciók árazása 7.5.1.
A LIBOR-modell
7.5.2.
A LIBOR-modell konzisztenciája
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400 402
1. fejezet A várható jelenérték szabálya és martingálmértékek Ebben a bevezet® fejezetben a legegyszer¶bb kérdést feszegetjük: Hogyan kell az árakat meghatározni véletlen jöv®beli ki zetések esetén. A tárgyalás szükségszer¶en igen absztrakt, de a funkcionálanalízis néhány közismert tételén kívül semmilyen más mélyebb matematikai területre nem kell hivatkozni. A fejezet legfontosabb kérdése, hogy miként indokolható a várható jelenérték szabálya, vagyis hogy minden jöv®beli ki zetés jelen id®pontban érvényes ára a jöv®beli ki zetés diszkontált várható értéke.
A dologban az egyetlen csavar
az, hogy a várható értékhez tartozó valószín¶ségi mértékr®l nem tudunk semmit.
Csak
annyit tudunk, hogy létezik a matematikai pénzügyek legtöbbet hivatkozott fogalma, a misztikus
1.1.
Q
mérték.
Bevezetés
A pénzügyi elmélet legfontosabb, s®t talán egyedüli eszköze a várható jelenérték szabály. E rendkívül praktikus és látszólag igen egyszer¶ szabály szerint egy jöv®ben esedékes ki zetéskor két tényez®t kell gyelembe venni: Az id®távot, illetve a ki zetés bizonytalanságát. Az id®horizonttól való függést a diszkonttényez®vel szokás gyelembe venni. A jöv®ben biztosan ki zetett összeg értéke a jelenben kevesebb, vagy legalábbis nem több, mint a jöv®ben kapott érték. Hogy mennyivel kevesebb, az a piaci szerepl®k id®vel kapcsolatos preferenciáinak a függvénye. A jelen és a jöv® közötti transzformációt megadó szorzószám közönséges árként viselkedik, és elvileg semmiben nem különbözik két egyszerre megvásárolható termék cserearányától. A ki zetés bizonytalansága hasonlóan m¶ködik. A módosító érték a bizonytalansággal kapcsolatos preferenciák által meghatározott kereslet és kínálat ered®je. Talán az egyetlen eltérés az, hogy a bizonytalanság fogalma nehezebben ragadható meg. Ebben a bevezet® fejezetben vizsgált kérdés a következ®: Ha
π (ξ)
jelöli a
ξ
jöv®beli
véletlen ki zetés jelen id®pontban érvényes árát, akkor milyen tulajdonságokkal, illetve reprezentációval rendelkezik a linearitás.
π
függvény?
Az árazó függvény alapvet® tulajdonsága a
Bár ez nem teljességgel nyilvánvaló, mégis a pénzügyi modellekben mindig
1
1.1. BEVEZETÉS
2
evvel a hallgatólagos feltétellel élünk. További kézenfekv® tulajdonságnak t¶nik a negativitása, vagyis ha
ξ ≥ 0,
akkor
π (ξ) ≥ 0.
π
nem
Azonban ez a két feltétel egyszerre minden
további megkötés nélkül általában nem teljesülhet.
1.1 Példa. A valószín¶ségi változók
L0
terén általában nincs a triviálistól különböz® nem negatív line-
áris funkcionál. Jelölje
L0
osztályait.
a
[0, 1] szakaszon mérhet® függvények Lebesgue-mérték szerinti ekvivalenciaL0 téren a topológiát a sztochasztikus konvergenciával szokás de niálni,
Az
ugyanakkor vegyük észre, hogy a lineáris funkcionáloktól a folytonosságot nem követeljük meg. Megjegyezzük, hogy a
K $ {ξ ≥ 0}
függvények olyan kúpot alkotnak, amely zárt a
sztochasztikus konvergenciában, de a kúpnak a sztochasztikus konvergencia által generált topológiában nincsen bels® pontja, így a végtelen dimenziós szeparációs tétel, a Hahn
Λ lineáris funkcionálra Λ (ξ) ≥ 0, ha ξ ≥ 0, és egy alkalmas ξ 0 ≥ 0 függvényre α $ Λ (ξ 0 ) > 0. Nyilvánvalóan a Λ monoton, vagyis ha ξ ≤ η , akkor Λ (ξ) ≤ Λ (η), ugyanis Λ (η) − Λ (ξ) = Λ (η − ξ) ≥ 0. Ekkor a ξ 0 χ [0, 1/2] és a ξ 0 χ (1/2, 1] függvények összege ξ 0 , amib®l a kett® közül az egyikre a Λ értéke ≥ α/2. Jelölje ξ 1 az így kapott függvény négyszeresét. Világos, hogy ξ 1 ≥ 0, és Λ (ξ 1 ) ≥ 2α. Felezzük meg az intervallumot és ismételjük meg az eljárást a ξ 1 -re, stb. Az 0 így kapott (ξ n ) sorozatra az η $ supn ξ n ∈ L függvény véges, ugyanis legfeljebb egyetlen olyan pont van, amelyre nem teljesül, hogy a (ξ n ) sorozat tagjai egy indext®l már nullák. n Mivel ξ n ≤ η , ezért a Λ monotonitása miatt 2 α ≤ Λ (ξ n ) ≤ Λ (η), amib®l Λ (η) = ∞, ami Banach-tétel, nem alkalmazható.
Tegyük fel, hogy egy alkalmas
lehetetlen, ugyanis a lineáris funkcionálok értéke de níció szerint véges.
2
1.2 Példa. A valószín¶ségi változók
L0
terén nincsen folytonos lineáris funkcionál.
Az el®z® példa egyszer¶ módosításával azonnal látható, hogy tetsz®leges olyan ξ 0 esetén, p amelyre Λ (ξ 0 ) $ α > 0, ξ n → 0, és Λ (ξ n ) → ∞, amib®l a Λ nem lehet folytonos a 0 sztochasztikus konvergenciában, vagyis az L téren nem adható meg Λ 6= 0 a sztochasztikus konvergenciában folytonos lineáris funkcionál.
2 L0 tér a sztochasztikus konvergenciával egy az kξk0 $ E (|ξ| ∧ 1) képlettel de niálhatjuk.
Az rikát
teljes metrizálható lineáris tér. A metNyilvánvalóan
kξ + ηk0 ≤ kξk0 + kηk0 .
A két példát a következ® egyszer¶ észrevétellel kapcsolhatjuk össze:
1.3 Állítás.
L ⊆ L0 egy lineáris tér, és tegyük fel, az L-en adott egy kξk függvény, amelyre
Legyen hogy 1.
kξk ≥ 0
2.
kξk = k−ξk .
és
kξk = 0
pontosan akkor, ha
hogy ha
ξ = 0.
ξ ∈ L,
akkor
|ξ| ∈ L.
Tegyük fel,
1.1. BEVEZETÉS
3. Ha a
3
kξ + ηk ≤ kξk + kηk . d (ξ, η) = kξ − ηk
távolságra nézve az
L
teljes metrikus tér, akkor az
L
téren értel-
mezett minden nem negatív lineáris funkcionál folytonos.
Bizonyítás:
Legyen
Λ
az
L
téren értelmezett nem negatív lineáris funkcionál, és legyen
(ξ n ) egy nullához konvergáló sorozat. Ez de níció szerint azt jelenti, hogy kξ n k → 0. A linearitás és a nem negativitás miatt |Λ(ξ n )| ≤ Λ(|ξ n |). Elegend® tehát belátni, hogy Λ(|ξ n |) → 0.
Feltehet® tehát, hogy a ξ n nem negatív. Elegend® belátni, hogy minden (ξ n )
−k részsorozata, amelyre Λ(ξ n ) → 0. Ha ξ n ≤ 2 , akkor a sorozatnak van egy ξ n k k k P∞ k=1 ξ nk sor szeletei Cauchy-sorozatot alkotnak, ugyanis ha M > N, akkor
M
M
N M M
X
X
X X X
ξ nk − ξ nk = ξ nk ≤ ξ nk = 2−k → 0.
k=1
Az
L
k=1
k=N +1
k=N +1
k=N +1
feltételezett teljessége miatt a sor konvergens. Legyen a sor összege
nem negatív és
ξ nk ≥ 0,
ξ∞.
Mivel a
Λ
ezért
N X
Λ ξ nk ≤ Λ (ξ ∞ ) < ∞.
k=1 Mivel ez minden
N -re
igaz, ezért a
P∞
k=1
Λ ξ nk
sor is konvergens, következésképpen
Λ ξ nk → 0.
2
Az idáig tett megfontolásokból evidens, hogy ahhoz, hogy egy értelmes pénzügyi elméletet tudjunk felépíteni, meg kell követelni, hogy a legyen.
π
értelmezési tartománya elég sz¶k
A legegyszer¶bben akkor járunk el, ha feltesszük, hogy a π árazó függvény L 1 ≤ p < ∞ kitev®vel egy Lp (Ω, A, P) tér1 . Egy
értelmezési tartománya egy alkalmas
megjegyzés erejéig érdemes utalni azonban arra, hogy bár a feltétel igen egyszer¶, mégp sem problémamentes, mert a L tér nem invariáns a matematikai pénzügyekben alapvet® 0 ∞ szerepet játszó mértékcserére. Ugyanakkor a két kézenfekv® alternatíva, az L és az L terek, bár invariánsak az ekvivalens mértékcserére, egyikük sem megfelel®, ugyanis miként 0 ∞ láttuk az L térben nincsenek folytonos lineáris funkcionálok, az L térben pedig bizonyos ∞ értelemben túl sok is van bel®lük, mivel miként ismert az L terekben vannak olyan folytonos lineáris funkcionálok is, amelyek mértékkel nem reprezentálhatóak. További probléma p forrása, hogy az L = L feltétel hallgatólagosan megköveteli egy P valószín¶ségi mérték létét.
Ennek szokásos interpretációja, hogy adott egy statisztikai valószín¶ségi mez®, és
feltételezzük, hogy az árfolyamok alakulása a klasszikus valószín¶ségszámítási modelleknek megfelel®en alakul, ami azonban csak részben tekinthet® helyes feltételnek, ugyanis a pénzügyek elvileg, vagy inkább remélhet®leg nem egy szerencsejáték. p Az L terekben minden folytonos lineáris funkcionál integrálként reprezentálható, így p az L = L feltétel legf®bb oka/következménye az alábbi egyszer¶ észrevétel:
1 Általában
p = 2,
de id®nként a
p=1
esettel is találkozhatunk.
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
4
1.4 Lemma. RLétezik, ξdµ. Ω
mégpedig egyetlen olyan a
P-mértékre abszolút folytonos µ mérték,
amelyre
π (ξ) =
Mivel a π nem negatív, ezért a µ valódi mérték. Amikor a π értelmezési tartományáról L-r®l megköveteltük, hogy lineáris teret alkosson, akkor hallgatólagosan megköveteltük, hogy az L elemei már elve diszkontálva vannak, ugyanis ellenkez® esetben nem lehetne, az
®ket pénzügyileg értelmes módon összeadni. Egy további triviális megkötés/feltétel, hogy elvárjuk, hogy az
1
konstans ki zetés eleme legyen a lehetséges ki zetések
L
alterének és
Z 1dµ,
1 = π (1) = Ω
µ valószín¶ségi mérték. A matematikai pénzügyek szokásos jelölését használva a µ reprezentáló mértéket Q-val fogjuk jelölni. Érdemes nyomatékosan hangsúlyozni, hogy az Lp (Ω, A,P) és az Lp (Ω, A,Q) terek nem azonosak. A π értelmezési tartománya továbbra p is az L (Ω, A,P) tér. Hangsúlyozni kell, hogy nem állítjuk, hogy a P és a Q ekvivalensek, vagyis hogy a P és a Q alatti nullmérték¶ halmazok egybeesnek. Ennek megköveteléséhez szükségünk lenne arra, hogy a π szigorúan monoton növeked® legyen, vagyis hogy minden P szerint nem nulla, nem negatív változó ára pozitív legyen. Ezt azonban nem követeljük meg. Mivel a π árfüggvényt reprezentáló mértékek a P-re nézve abszolút folytonosak, vagyis a
ezt ebben a fejezetben hallgatólagosan, minden további említés nélkül, mindig meg fogjuk követelni. A megadott matematikai és közgazdasági megkötések együttesét a következ® állításban foglalhatjuk össze:
1.5 Tétel. (Várható jelenérték szabály) A megadott feltételek esetén érvényes a várható jelenérték szabálya, vagyis tetsz®leges jöv®beli ki zetés jelenbeli
π (H)
árára érvényes a
π (H) = EQ H reprezentáció, ahol
H
a
H
H
diszkontált értéke és
EQ
a
Q
valószín¶ségi mérték szerint vett
várható érték operátora. Érdemes felhívni a gyelmet arra, hogy a tétel meglehet®sen semmitmondó, ugyanis nem tartalmaz semmilyen útmutatást arra, hogy hogyan kell a
Q
mértéket egy modellben
felírni, vagy a modell paraméterei alapján meghatározni.
1.2.
Martingálok és a várható jelenérték szabály
A várható jelenérték szabálynak van egy távolról sem triviális következménye. Jelölje
Q azt
a mértéket, amelyet a várható jelenérték szabályban használni kell. A várható jelenérték szabály pontosan azt állítja, hogy ilyen
Q mérték létezik.
Legyen
S
valamilyen kereskedett
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
5
termék árfolyamát megadó sztochasztikus folyamat. Kézenfekv® kérdés, hogy az típusú folyamatot alkot a
Q
Természetesen különböz®
t
id®pontokban az
S
τ a τ
S (τ )
id®pont véletlen, akkor jelölje (véletlen) id®pontban. Ha
τ
azt a változót, amely éppen az
függ®
τ
t = 0
S
S
értékét. Ha
értékét adja meg
S (τ )
termék kereskedett, ami de níció
id®pontban bármely x, vagy az aktuális kimenetelt®l
id®pontban esedékes értéke eladható, vagy megvehet®. Jelöle
használt folyamatot és jelölje
S
egy véges értékeket felvev® megállási id®, akkor az
természetesen szintén egy önálló pénzügyi termék. Az szerint azt jelenti, hogy a
milyen
folyamat értéke különböz® termék. Ké-
zenfekv® megkövetelni, hogy nem csak x id®pontokban számolhatjuk ki az a
S
mérték alatt?
S $ S/R a diszkontált folyamatot.
R
a diszkontálásra
Emlékeztetünk, hogy a
π
értelmezési tartománya a diszkontált ki zetéseket tartalmazza. Tekintsünk két id®pontot: legyenek ezek ára a várható
ahol a
Q
t1
S (t2 ) két különböz® határid®s termék, jelenérték szabály miatt a t = 0 id®pontban π S (t1 ) = EQ S (t1 ) , π S (t2 ) = EQ S (t2 ) , és
t2 .
Az
S (t1 )
és az
amelyek
π
fels® index a várható érték során használt mértékre utal. Mi a kapcsolat a két
π S (t1 ) = π S (t2 ) . Ehhez elegend® megmutatni, hogy kereskedett termék S0 -lal jelölt t = 0 id®pontban érvényes aktu-
ár között? Megmutatjuk, hogy a közös érték éppen a ális ára.
Ennek oka nagyon egyszer¶.
A pénzügyi termékek, szemben a hagyományos
termékekkel, költségmentesen tárolhatóak, ugyanis az id®b®l származó értékvesztést már a diszkontáláskor gyelembe vettük.
A
tk
id®pontban esedékes határid®s ki zetéshez az
Vagy a t = 0 id®S -ért megvesszük a terméket és kivárjuk a t id®pontot, vagy a t = 0 id®pontban k 0 π S (tk ) -ért megvesszük a tk id®pontban való hozzáférés jogát. Mivel mind a két esetben a tk id®pontban azonos értékünk lesz, ezért a ki zetett vételáraknak a t = 0 id®pontban is meg kell egyezniük. Például ha S0 < π S (tk ) , akkor a határid®s terméket eladva, majd a kapott összegb®l a terméket magát megvéve, majd költségmentesen tartva a tk id®pontig a t = 0 id®pontban biztos pro thoz juthatunk, annak ellenére, hogy a portfólió értéke a tk id®pontban nulla. Ugyanis a tk id®pontban egyrészt a kezünkben lesz a termék, másrészt ingyenes tárolás feltétele miatt két eltér® módon is hozzájuthatunk. pontban
azonban kötelesek vagyunk a határid®s szerz®dés alapján a terméket leszállítani.
A két
pozíció azonban pontosan ellentétes, így az együttes értékük éppen nulla. Mivel ezt bármilyen nagyságrendben megtehetjük, végtelen pro tra tehetünk szert, amit de níció szerint
2
kizárunk .
Némiképpen másképpen fogalmazva, ha feltesszük, hogy a bármely jöv®ben
esedékes nulla ki zetés jelenbeli ára is nulla, valamint megköveteljük, hogy a
π
árazó függ-
vény lineáris legyen, akkor a különböz® id®pontokra vonatkozó határid®s termékek jelenben esedékes ára meg kell hogy egyezzen. Következésképpen,
EQ S (t1 ) = π S (t1 ) = S0 = π S (t2 ) = EQ S (t2 ) . Mivel a
t1 , t2
id®pontok lehetnek megállási id®k is, ezért a megállási opciókról szóló tétel
alapján igaz a következ® állítás:
2 Vegyük észre, hogy a gondolatmenet a matematikai pénzügyekben központi szerepet játszó nincsen arbitrázs feltétel egy igen enyhe verziója.
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
6
1.6 Tétel. (Kereskedett termékek martingálmértéke) Ha az
S
termék kereskedett és a
Q
mérték esetén érvényes a várható jelenérték szabály,
akkor a diszkontált árfolyamokból álló
S
folyamat martingál a
Q
mérték alatt.
Vegyük észre, hogy a bizonyításhoz a várható jelenérték szabályon kívül csak azt használtuk, hogy egy kereskedett termék bármely jöv®beli id®pontra vonatkozó határid®s ki zetésének jelenlegi ára független attól, hogy melyik jöv®beli id®pontról van szó.
Ennek
oka az, hogy a modell feltételezése szerint minden pénzügyi termék költségmentesen tárolható, illetve, ugyancsak de níció szerint, a biztos végtelen pro tot kizárjuk. Érdemes fel gyelni azonban arra is, hogy hallgatólagosan feltettük, hogy a piac igen fejlett: Tetsz®leges megállási id® esetén a megállási id®ben lehívható határid®s terméknek van piaca, következésképpen van ára.
1.7 De níció. A
Q
mértéket az
S
kereskedett termék martingálmértékének mondjuk, ha az
folyamat martingál a
Q
S
diszkontált
alatt.
A martingálmértékekkel kapcsolatos legfontosabb kérdés továbbra is a következ®: Ha
π Q mérték van, amely esetén az S martingál és a ξ ki zetésre érvényes a diszkontált jelenérték szabály, akkor a π függvény értelemszer¶en Q a π (ξ) = E (ξ) alakot ölti. Ha azonban több martingálmérték is van, akkor nyilvánvalóan adott az
S
folyamat, miként, és milyen
ξ
diszkontált ki zetésekre határozhatjuk meg a
függvényt? Természetesen ha egyetlen olyan
csak az
inf
EQ (ξ) ≤ π (ξ) ≤
Q∈M(S ) egyenl®tlenség írható fel, ahol az
M S
az
S
sup EQ (ξ) Q∈M(S )
diszkontált árfolyam martingálmértékeinek
halmaza, ahol értelemszer¶en martingálmértéken az olyan mértékeket értjük amely alatt az
S
martingál. Vagyis a diszkontált jelenérték szabállyal kapcsolatos további fontos kérdés
a következ®: Mikor létezik egyetlen martingálmérték? Az ezt biztosító feltételekre kés®bb mint teljességi feltétel fogunk hivatkozni. Hangsúlyozni kell, hogy a teljesség problémája p abból ered, hogy a π értelmezési tartományát megadó L = L térnek az S (τ ) alakú megp állított változók által generált lineáris tér esetlegesen csak az L = L egy valódi altere, így bár a
π
függvényt reprezentáló
Q
ezen az altéren adott, de több olyan mérték is lé-
tezhet, amely lesz¶kítése erre az altérre a
Q,
így az altérre való lesz¶kítésb®l a
π
nem
rekonstruálható.
1.8 Példa. A BlackScholes modell martingálmértéke. A matematikai pénzügyek kedvenc modellje az úgynevezett BlackScholes modell. Err®l kés®bb sokat fogunk beszélni, egyenl®re elegend® annyit megjegyezni, hogy a modellben két eszköz van, a diszkontálásra használt kötvény, amely árfolyamának alakulását a B (t) = B0 exp (rt) folyamat írja le, illetve az S (t) = S0 exp ((µ − σ 2 /2) t + σw (t)) árfolyammal rendelkez® részvény. A modellben az
r, µ, σ, B0 és az S0 el®re adott konstansok és a részvény
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
árfolyamát megadó folyamat képletében a
w
7
egy Wiener-folyamatot jelöl. A diszkontált
folyamat értelemszer¶en
S0 S (t) = exp S (t) = B (t) B0
σ2 µ−r− 2
t + σw (t) .
Mivel a képletben szerepel egy Wiener-folyamat, ezért létezik az valamilyen
(Ω, A, P)
valószín¶ségi mez®. Az
S (t)
S (t)
alakulását megadó
eloszlása lognormális, és a lognormális
valószín¶ségi változók várható értékére vonatkozó képlet alapján
E
P
√ S0 P σ2 S0 S (t) = E exp N µ−r− t, σ t = exp ((µ − r) t) . B0 2 B0
µ 6= r, akkor a diszkontált részvényárfolyam várható értéke nem konstans, így az S nem w Wiener-folyamat mögötti valószín¶ségi mez®höz tartozó P valószín¶ségi mérték a π ár funkcionál szempontjából nem releváns. Ha
martingál, következésképpen a
A BlackScholes modellel kapcsolatos legfontosabb matematikai kérdés a következ®: Létezik-e, mégpedig egyetlen olyan
Q
mérték, amely esetén az
S
martingál? A létezéssel
kapcsolatos kérdésre a választ a kés®bb részletesen tárgyalt úgynevezett Girszanov-formula tartalmazza, de a legfontosabb gondolatok a Girszanov-formula nélkül is megérthet®ek: Egyrészt megmutatható, hogy nincs olyan a teljes
[0, ∞)
Q
mérték, amely alatt a diszkontált árfolyam
id®tartományon martingál lesz. Éppen ezért a BlackScholes modellben fel
[0, T ] id®intervallum. µ−r θ$ σ
kell tenni, hogy az id®horizont egy véges
Vezessük be a
jelölést és legyen
dQ 1 2 $ exp −θw (T ) − θ T . dP 2 Ismételten a lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján
E vagyis a
Q
dQ dP
1 2 1 2 = exp − θ T + θ T = 1, 2 2
szintén valószín¶ségi mérték. Mivel a
w
független növekmény¶, ezért
dQ | Ft dP
Λ (t) $ E = 1 2 = exp −θw (t) − θ T E (exp (−θ (w (T ) − w (t))) | Ft ) = 2 1 2 = exp −θw (t) − θ T E (exp (−θ (w (T ) − w (t)))) = 2 1 2 1 2 = exp −θw (t) − θ T exp θ (T − t) = 2 2 1 2 = exp −θw (t) − θ t , 2
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
8
vagyis a
1 2 Λ (t) $ exp −θw (t) − θ t 2 folyamat martingál. Ez másképpen a feltételes várható érték de níciója alapján azt jelenti, hogy az akkor
Ha
Ft σ -algebrán a dQ/dP RadonNikodym derivált éppen a Λ (t), ugyanis ha F ∈ Ft , Z Z Z dQ dQ dP = E | Ft dP = Λ (t) dP. Q (F ) = dP F F F dP
t ≤ T,
F ∈ Ft esetén Z Z Z S (T ) dQ = S (T ) Λ (T ) dP = EP S (T ) Λ (T ) | Ft dP = F F F Z EP S (T ) Λ (T ) | Ft Λ−1 (t) dQ. =
akkor minden
F Ez a reláció éppen a kés®bb bevezetett Bayes-formula speciális esete. Ebb®l következ®en
EQ S (T ) | Ft = EP S (T ) Λ (T ) | Ft Λ−1 (t) = Λ (t) P S (T ) Λ (T ) E | Ft = = S (t) Λ (t) S (t) Λ (t) S (T ) Λ (T ) P = S (t) E | Ft = S (t) , S (t) Λ (t) Λ exponenciális alapjából evidens, hogy a feltételes várható érték mögötti kifejezések a w (T ) − w (t) függvénye és mivel a w független növekmény¶, ezért a feltételes várható kiszámolásakor a feltétel elhagyható, és ha s $ T − t, akkor a θ de níciója alapján σ 2 + θ2 P s + (σ − θ) w (s) = E exp µ−r− 2 σ 2 + θ2 1 2 = exp µ−r− s + (σ − θ) s = 2 2 1 µ−r = exp (µ − r) s − 2σ s = 1. 2 σ
ugyanis az
S
és a
Ebb®l következ®en az
S
martingál a
Q
alatt.
2 Miként megjegyeztük a
Q
martingálmérték megtalálása csak fél siker, mert nem tud-
juk, hogy a martingálmérték egyértelm¶-e vagy sem. Általában a matematikai pénzügyek irodalmában a martingálmérték létezése matematikailag egyszer¶bb és kézenfekv®bb feltételnek t¶nik.
Sokkal kevesebbet tudunk a teljességr®l, vagyis arról, hogy mikor lesz
a martingálmérték egyértelm¶. téket.
Tegyük fel.
hogy sikerült találnunk egy martingálmér-
Milyen termékeket tudunk segítségével beárazni?
Tegyük fel, hogy az
S0
érték
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
9
ismert. Ekkor a martingálmérték tulajdonság miatt az
S (τ )
változók ára vagyis az
S (τ )
jöv®ben esedékes ki zetés jelen id®pontban érvényes határid®s ára is ismert és miként meg-
π S (τ ) = π S (0) = S (0). X ξ $ c0 + ck S (τ k ) − S (τ k−1 ) alakú
jegyeztük
π
Mivel a
lineáris funkcionál, ezért az összes
kifejezés ára is ismert, nevezetesen a kifejezés
k ára éppen
π (ξ) = c0 ,
ugyanis a második összeg ára a
a martingál tulajdonság miatt, ha
τ k > τ k−1
ck
és a
π
linearitása miatt nulla.
nem konstans, hanem egy
Éppen
θk Fτ k−1
mérhet®, korlátos valószín¶ségi változó, akkor a martingál tulajdonság miatt, tetsz®leges martingálmérték esetén
= EQ θk S (τ k ) − S (τ k−1 ) = EQ θk S (τ k ) − S (τ k−1 ) | Fτ k−1 = S (τ k ) − S (τ k−1 ) | Fτ k−1 = EQ (θk · 0) = 0.
π θk S (τ k ) − S (τ k−1 ) = EQ = EQ θ k EQ
A sztochasztikus analízis irodalmában az ilyen alakú kifejezéseket egyszer¶ integrandusoknak szokás mondani. Ebb®l következ®en az egyszer¶ integrandusként el®álló valószín¶ségi p változók mindegyikére a π árfüggvény értéke nulla. Mivel a π folytonos az L (Ω, A, P) tér normájában, ezért az egyszer¶ integrandusok összegeként el®álló valószín¶ségi váltop zók L (Ω, A, P) normában vett határértékeinek ára is nulla. Az egyszer¶ integrandusok összegeként el®álló valószín¶ségi változók sztochasztikus konvergenciában vett határértékeit szokás sztochasztikus integrálnak mondani. Mivel a Csebisev-egyenl®tlenség miatt az Lp -konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezért azt mondhatjuk, hogy RT alakú sztochasztikus integrálként el®álló valószín¶ségi változók egy részhalaz θ (s) dS 0 mazának π ára nulla. A sztochasztikus analízisben részletesen tárgyalásra kerül, hogy milyen alakú folyamatok esetén biztosítható a sztochasztikus integrál létezése, ugyanakkor jóval kevesebbet tudunk arról, hogy milyen további megkötésekkel biztosítható, hogy ne csak sztochasztikus konvergenciában, hanem er®sebb értelemben is, vagyis például az Lp (Ω, A, P) térben is konvergáljon az integrál. Az ezt biztosító alkalmas feltételek esetén érvényes a következ® tétel:
1.9 Tétel. (Derivatív árazás alaptétele) Ha valamely a
T
id®szakban esedékes
HT
ki zetés
Z
HT
diszkontált értéke el®áll
T
θ (s) dS
HT = λ +
(1.1)
0
alakban, ahol az integrál a
π
Lp (Ω, A, P) térben konvergens, θ (s) dS = λπ (1) + 0 = λ.
folytonosságát biztosító
Z
π (HT ) $ π H T = π (λ · 1) + π
T
3 akkor
0 3 Vegyük észre, hogy formálisan nézve a
π (HT ) kifejezés π árfüggvény
id®szakban érvényes ki zetésre értelmeztük, a
L
altéren de niált.
matematikailag értelmetlen, ugyanis egy
Vegyük észre, hogy legalábbis jelölés szintjén, hallgatólagosan kiterjesztettük a
értelmezési tartományát.
T
pedig a diszkontált ki zetéseket tartalmazó
π
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
10
Miként kés®bb látni fogjuk, a tételben szerepl® (1.1) összefüggés szokásos közgazdasági megfogalmazása az, hogy a
HT
ki zetést sikerült ön nanszírozó módon lefedezni. A
tétel szerint az ön nanszírozó módon fedezett pénzügyi tranzakciók jelen pillanatban érvényes ára éppen az induló befektetés költségével azonos. A matematikai pénzügyek nem elhanyagolható technikai problémái részben abból erednek, hogy miközben a sztochasz0 tikus integrálás természetes matematikai élettere az L tér, addig a π árazó függvények p természetes élettere az L tér. Az ebb®l ered® kon iktus számos nehéz órát okozott és valószín¶leg fog is még okozni a területen tevékenyked® kutatóknak. További kérdés lehet, hogy miként lehet a ahol
Q az S
λ
egy tetsz®leges martingálmértéke.
a sztochasztikus integrál egy tetsz®leges
Q
értéket kifejezni a
HT
és a
Q
segítségével,
Ehhez elegend® lenne azt biztosítani, hogy
martingálmérték szerinti várható értéke nulla
legyen, vagyis hogy az integrál martingál legyen a
Q
alatt. Ez a sztochasztikus integrálás
másik nehéz technikai jelleg¶ kérdésével függ össze, amely szerint egy martingál szerint vett sztochasztikus integrál általában csak lokális martingál és nem valódi martingál. Ha p azonban a martingálmérték egyértelm¶, és a sztochasztikus integrál az L (Ω, A, P) térben is konvergens, akkor ez a probléma nem lép fel, ugyanis ilyenkor
Z
T
θ (s) dS
π
=E
Q
T
Z
θ (s) dS
= 0,
0
0
π (HT ) = EQ H T
következésképpen a nevezetes
árazó képlet, vagyis a diszkontált je-
lenérték szabály, ilyenkor teljesül. Ha azonban a martingálmérték nem egyértelm¶, akkor mivel nincsen semmilyen garancia arra, hogy a sztochasztikus integrál a lokális martingál, az integrál várható értéke a
Q
Q alatt nem valódi
alatt nem feltétlenül lesz nulla.
De ezzel nincsen vége a technikai jelleg¶ problémáknak. Miként dönthet® el egy a id®szakban esedékes
HT
ki zetéshez tartozó
Elegend®-e ehhez az, hogy a
HT
HT
T
el®állítható-e megadott (1.1) alakban?
mérhet® legyen a
S
folyamat által generált ltrációra
nézve? Az ezt garantáló tételeket szokás integrálreprezentációs tételnek mondani. Általában viszonylag enyhe feltételek mellett biztosítható, hogy valamely
HT
rendelkezzen a
kívánt (1.1) el®állítással. Ugyanakkor a sztochasztikus integrálok konvergenciája csak sztop chasztikus konvergenciában teljesül, és mikor biztosítható az integrálok L normában való konvergenciája?
1.10 Példa. Európai call opciók árazása a BlackScholes modellben. A matematikai pénzügyek felvirágozása nagyrészt a következ® problémából származik: + Legyen adva egy S részvény. Mi lesz a T id®pontban esedékes HT $ (S (T ) − K) ki zetés
t=0
id®pontban érvényes ára.
Tegyük, fel, hogy az
S
alakulását a BlackScholes modell
írja le, és a fejezet alapfeltevésének megfelel®en tegyük fel, hogy létezik a Természetesen meg kell mondani, hogy mi lesz a
π
árazó függvény
L
π
árazó függvény.
értelmezési tarto-
(Ω, A, P) w Wiener-folyamat T id®pontig bezárólag való A = σ {w (t) | t ≤ T }. Megmutatjuk, hogy ezen az ele-
mánya. A BlackScholes modellben hallgatólagosan azt tételezzük fel, hogy az mez® éppen az
S
de níciójában szerepl®
meg gyeléséb®l származik, vagyis gend®en sz¶k
(Ω, A)
mérhet® téren a martingálmérték egyértelm¶.
A martingálmérték
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
11
egyértelm¶ségét a már említett integrálreprezentációs tétellel lehet megmutatni. rint a tétel szerint, ha egy
ξ
mérhet® a
σ {w (t) | t ≤ T } σ -algebrára
E sze-
nézve, és négyzetesen
integrálható, akkor el®állítható sztochasztikus integrálként.
Z
T
Xdw,
ξ =λ+ 0
4
mégpedig oly módon, hogy a sztochasztikus integrál martingál .
w,
nekünk nem elegend®, ugyanis nem a
hanem az
S
Ugyanakkor ez sajnos
szerint vett integrálként való el®-
állításra van szükségünk, ezért a fenti el®állítás bár létezik közvetlenül használhatatlan.
S szerint is meg tudjuk tenni, meg kell mutatni, hogy alkal(Ω, A, Q) martingálmérték alatt egy a másik w e módon jelölt Q mérték alatti Wienerfolyamattal dS = σSdw, e amely némiképpen tömör jelölés tartalma kés®bb, a sztochasztikus integrálás tárgyalásakor, világossá fog válni. Érdemes hangsúlyozni, hogy a w e-ra való áttéréskor ugyancsak biztosítani kell, hogy a w e által generált σ -algebra azonos legyen a w által generált σ -algebrával. Az integrálreprezentációs tételt a w e szerint használva, a sztochasz5 tikus integrálokra vonatkozó asszociativitási szabály alapján , minden a Q mérték szerint négyzetesen integrálható ξ változóra, felhasználva, hogy S > 0 Z T Z T Z T Z T X X Xdw e=λ+ ξ =λ+ θdS. σSdw e=λ+ dS $ λ + 0 σS 0 0 σS 0 Ahhoz, hogy az el®állítást az mas
Mivel a
ξ
négyzetesen integrálható a
Q
alatt, ezért az integrálreprezentációs tétel bizto-
sítja, hogy a sztochasztikus integrál martingál. Speciálisan ha most R a ξ korlátos, akkor az Rt T Q Q θdS | Ft folyamat szintén korláE (ξ | Ft ) martingál korlátos, így az 0 θdS = E 0 tos.
Ha most
R egy másik martingálmérték, és χA
egy tetsz®leges
A ∈ A halmaz karakte-
risztikus függvénye, akkor az integrál el®állításban szerepl® integrál olyan lokális martingál az
R
alatt, amely korlátos, ezért az
tegrál az
R alatt lokális martingál,
R
szerint is martingál. Az, hogy a sztochasztikus in-
az abból következik, hogy egyrészt a mértékcsere során
a sztochasztikus integrálok nem változnak, másrészt az
S,
a feltétel szerint, az
R
alatt
is martingál, és a martingálok szerint vett sztochasztikus integrálok lokális martingálok. Ebb®l
Z Q (A) = E λ+ Q
T
θdS
Z =λ=E λ+ R
A ∈ A
esetén.
Így tehát a martingálmérték az
úttal persze azt is igazoltuk, hogy nincs a alatt a
S
θdS
= R (A)
0
0 minden
T
Q
A σ -algebrán
egyértelm¶.
Egy-
mértéken kívül olyan másik mérték, amely
esetleg lokális martingál lesz, vagyis a BlackScholes modellben az alapul vett
Wiener-folyamat által generált
σ -algebrán
nem csak a martingálmérték, hanem a lokális
martingálmérték is egyértelm¶.
2 4 Miként látni fogjuk több különböz® integrálreprezentációs tétel is igazolható. A gondolatmenet lényege, hogy az el®állításban szerepl® sztochasztikus integrál valódi martingál, nem csak lokális martingál.
5 Egyenl®re használjuk formálisan, a pontos tartalom kés®bb részletesen kifejtésre fog kerülni.
1.2. MARTINGÁLOK ÉS A VÁRHATÓ JELENÉRTÉK SZABÁLY
12
1.11 Példa. Amerikai opciók árazása. Emlékeztetünk, hogy amerikai opción olyan terméket értünk, amely ki zetésének id®pontját a termék birtokosa határozza meg. Például az amerikai put opciók esetén az opció + birtokosa által megválasztható τ id®pontban a termék értéke (K − S (τ )) , így az opció birtokosa ezt az összeget kapja meg. Mivel a lehívás id®pontja utólag nem határozható meg a
τ
megállási id®. Amerikai opciók esetén tehát nem egy valószín¶ségi változó a ki zetés,
π függvény nem alkalmazható. Amerikai opciók árának meghatározásakor abból szokás kiindulni, hogy az eladó a H (τ ) alakú változók közötti választás lehet®ségét adja el, ahol H egy folyamat. Mivel a vev® a H (τ ) változók közül bármelyiket választhatja, így kézenfekv®, ha árként az eladó a π (H (τ )) lehetséges árak szuprémumát jelöli meg. Ha Q H (τ ) . Ha van Q egyértelm¶ martingál mérték, akkor az ár supτ π (H (τ )) = supτ E ∗ van olyan τ optimális lehívási id®pont, amelyre sup π (H (τ )) = sup EQ H (τ ) = max EQ H (τ ) = EQ H (τ ∗ ) , így közvetlenül a
τ akkor a
τ
τ
π (H (τ ∗ )) a vev® által is elfogadható, ugyanis nem fog szisztematikusan veszíteni. 2
2. fejezet Az eszközárazás alaptétele diszkrét id®horizonton A matematikai pénzügyekkel való ismerkedés folytatását érdemes a véges, diszkrét id®horizonton de niált modellekkel folytatni.
A folytonos id®horizontú elmélet számos olyan
technikai bonyodalmat tartalmaz, amely a diszkrét idej¶ modellekben nem jelentkezik, így a matematikai háttér a tárgyalása során nem vonja el a gyelmet a terület tényleges közgazdasági mondanivalójától. Ez nem jelenti azt, hogy a modellek matematikai szempontból nem izgalmasak, s®t. A terület matematikailag is rendkívül elegáns és lényegében a dualitáselmélet és a konvex analízis egy szellemes fejezetének tekinthet®. A pénzügyeket forradalmasító alapvet® feltétel az arbitrázs hiányának megkövetelése.
A fejezetben sze-
repl® dualitási tételek éppen ennek a feltételnek a meglétét karakterizálják a szeparációs tétel segítségével. A nincsen arbitrázs feltétel szokásos, köznapi megfogalmazása a kockázat nélkül nincsen üzlet, vagy ráfordítás nélkül nincsen eredmény közmondásos bölcsessége. A modern pénzügyi elmélet alapvet® gondolata, hogy ez az elv elegend® alapot szolgáltat a
Q
mérték létezéshez és a származtatott termékek árazásához. Az elmélet szerint a piacon
megjelen® termékek között nagyfokú redundancia van. A redundancia miatt az egyes termékek árai szorosan összefüggnek.
Mivel a termékek lényegében költségek és korlátozás
nélkül egymásba transzformálhatók, ezért az egyetlen korlát, ami az árakat alakítja, hogy veszteség lehet®sége nélkül ne lehessen eredményt elérni. Vagyis a nincsen arbitrázs elv. A fejezet legfontosabb állítása annak igazolása, hogy véges számú id®pontból álló id®tartomány esetén ha a modell arbitrázsmentes és teljes, akkor a lehetséges kimenetelek száma véges. Vagyis izgalmas matematikai modellek megfogalmazásához vagy a teljesség feltételét kell elhagyni, vagy az id®horizont végességét®l kell eltekinteni. A nem teljes modellek esetén el®térbe kerülnek a hasznossági függvények, vagyis ilyenkor a modellekben explicit módon nem meg gyelhet® elemeket is be kell vezetni.
Az id®horizont nem véges volta
esetén a modellekben fel kell használni a sztochasztikus analízis eszköztárát.
13
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
2.1.
14
A DalangMortonWillinger tétel
A matematikai pénzügyek talán legszebb állítása, a DalangMortonWillinger tétel szerint véges és diszkrét id®horizont esetén a nincs arbitrázs tulajdonság szükséges és elegend®
1
feltétele annak, hogy létezzen ekvivalens martingál mérték . A tétel több szempontból is gyelmre méltó: egyrészt rendkívül elegáns, másrészt végs® soron a legáltalánosabb ilyen irányú állítás, ugyanis a tételben szerepl® egyetlen lényegi megkötés, a lehetséges id®pontok végességének megkötése, nem ejthet® el. A DalangMortonWillinger tétel majdnem azonos a jóval egyszer¶bb, HarrisonPliska tételnek is mondott elemi állítással. Az egyetlen eltérés, hogy ez utóbbi állításban a lehetséges kimenetelek tere véges, vagyis az
Ω
alaptér
véges számú atomból áll. A két állítás igazolása közötti eltérés nagyrészt a tételben szerepl® feltételekb®l ered, ugyanis a DalangMortonWillinger tétel indoklásában, az állítás természetéb®l ered®en, néhány elemi mértékelméleti megfontolás nem kerülhet® el.
2.1.1.
A tétel kimondása
Az el®z® fejezetben az
L altér tulajdonságait nem különösebben speci káltuk.
Most az
L li-
neáris teret jóval konkrétabban megadjuk: Szemben az el®z® fejezettel, most az id®horizont nem egyetlen egy id®pontból, hanem
T <∞
számú diszkrét id®pontból áll. Így a
T
nem
csak egy id®pontra, hanem az id®pontok számára is utal, a lehetséges id®pontok halmaza
t = 0, 1, . . . , T halmaz. Legyen (Ω, A, P) egy általános valószín¶ségi mez®. Miként 0 látni fogjuk a P szerepe másodlagos, ugyanis alább az L (Ω, A, P) tér, vagyis az ekviva0 lencia osztályok halmaza játsza a f®szerepet, és az L megadásához elegend® megadni a nullmérték¶ halmazok N családját. Minden egyes t id®ponthoz rendeljük hozzá, az addig az id®pontig meg gyelhet® események Ft halmazát. Vagyis (Ω, Ft , P) jelöli a t id®pontig bezárólag bekövetkezett eseményeket megadó valószín¶ségi mez®t. Nyilván Ft ⊆ Ft+1 . T A sztochasztikus folyamatok elméletében bevett terminológiát használva az F $ (Ft )t=0 pedig a
tehát egy véges id®horizontú, de minden más szempontból tetsz®leges ltráció. Legyen (S (t))Tt=0 tetsz®leges m-dimenziós F -adaptált folyamat. Miként közismert, az adaptáltság csak annyit jelent, hogy minden t-re az S (t) vektor érték¶ valószín¶ségi változó mérhet® az
Ft σ -algebrára nézve. Az S (t) vektorokat mint a t = 0, 1, . . . , T id®pontokban meg gyelhet® m darab kereskedett pénzügyi eszköz diszkontált árának id®sorát interpretáljuk. A jelen állapotot reprezentáló t = 0 id®ponttól eltekintve az S (t) vektorok valószín¶ségi változók, ugyanis az eszközök kés®bbi értékét nem ismerjük. A pénzügyekben szokásos módon az eszközökb®l portfóliókat készíthetünk. Az egyes eszközök portfólióban lev® nagyságát, T vagyis a portfólió súlyokat a (θ (t))t=1 sorozat adja meg. Érdemes fel gyelni arra, hogy a θ (t) indexe nem 0-tól, hanem 1-t®l indul. Ennek oka, hogy a portfólió súlyokat mindig el®re meg kell adni. A hanem
Ft−1 -mérhet®.
θ (t) értékét A θ sorozat
a
t−1
id®pontban mondjuk meg, így a
ezen tulajdonságára mint a
1 A pontos de níciókra még egy kicsit várni kell, de már nem sokat.
θ (t)
nem
Ft ,
θ el®rejelezhet®ségére
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
15
2
szokás hivatkozni . Vezessük be az
( R$
H|H=
T X
) hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
t=1
θ az el®rejelezhet® stratégiákon fut keresztül, vagyis miként jeleztük a θ (t) t-re Ft−1 -mérhet®. Az R az S (t) árfolyamok megváltozásából származó lehetséges 0 kumulált árfolyamnyereségek halmaza. Az analízisben megszokott módon L+ jelölje a nem 0 negatív valószín¶ségi változók halmazát. Vezessük be az A $ R − L+ , valamint a cl (A) halmazokat, ahol a lezárás a sztochasztikus konvergenciában értend®, és az A de níciójában halmazt, ahol
minden
a kivonás jel komplexus kivonást jelent. Diszkrét, véges id®horizont esetén az úgynevezett eszközárazás els® alaptételének legáltalánosabb alakja a következ®:
2.1 Tétel. (DalangMortonWillinger) A modellben a következ® állítások ekvivalensek: 1.
A ∩ L0+ = {0} .
2. Megadható olyan tékkel, amelyre a
m-dimenziós
Q valószín¶ség, amely ekvivalens dQ/dP RadonNikodym derivált
az eredeti
P
valószín¶ségi mér-
korlátos, és amely mellett az
S
martingál.
Érdemes hangsúlyozni, hogy a tételben szerepl® els® állítás azt jelenti, hogy nincsen olyan (θ (t))Tt=1 el®rejelezhet® stratégia, amelyre
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i ≥ 0
t=1 és egy pozitív mérték¶ halmazon az egyenl®tlenség szigorú, vagyis nem lehet pozitív valószín¶séggel nyerni anélkül, hogy pozitív valószín¶séggel vesztenénk is. Ez közgazdaságilag éppen az el®z® fejezetben bevezetett nincsen arbitrázs feltétel. Másképpen fogalmazva az els® állítás szerint a modellben nincsen arbitrázs.
2.1.2.
Az L0 tér elemi tulajdonságai L0 (Ω, F, P)
F σ -algebrára mérhet® valószín¶ségi változók halmazát értjük. A továbbiakban az (Ω, F, P) paramétert elhagyjuk, és a valamivel 0 egyszer¶bb L jelölést fogjuk használni. A valószín¶ségi változókat a szokásos módon a P 0 valószín¶ségi mérték szerint ekvivalencia osztályokba soroljuk. Az L téren a konvergenciát Emlékeztetünk, hogy az
téren az
2 Bárki felvetheti, hogy az el®rejelezhet®ség de níciója némiképpen furcsa. gikusabb lenne, ha mindenhol a mondanánk. A
θ
θ (t)
helyett
θ (t − 1)-et
írnánk és a
θ
Talán els® ránézésre lo-
folyamatot szintén adaptáltnak
el®rejelezhet®ségének ily módon való bevezetésére a folytonos id®horizonttal való kom-
patibiltás miatt van szükség.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
16
a sztochasztikus konvergencia de niálja. Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus konvergen3 0 cia metrizálható , így az L részhalmazainak zártságát elegend® szekvenciális okoskodással 0 igazolni, vagyis egy Z ⊆ L halmaz pontosan akkor zárt, ha minden a Z halmazból vett konvergens sorozat határértéke is a
Z
halmazban van. A sztochasztikus konvergen-
cia alapvet®en fontos tulajdonsága, amely a kés®bbi gondolatmenet alapjául szolgál, hogy minden sztochasztikusan konvergens sorozat tartalmaz egy majdnem mindenhol konvergens részsorozatot, illetve, hogy a majdnem mindenhol való konvergenciából következik 0 a sztochasztikus konvergencia. Ennek megfelel®en egy Z ⊆ L halmaz pontosan akkor zárt, ha a
Z -b®l
Z -be esik.
Másképpen fogalmazva az
vett minden majdnem mindenhol konvergens sorozatnak a határértéke is L0 térben a zártságot szekvenciális gondolatmenettel
tudjuk igazolni, miközben az egyébként nem metrizálható majdnem mindenhol való kon4 0 vergenciát használjuk. Az L tér számunkra kulcs tulajdonságát a következ® kompaktsági lemma tartalmazza:
2.2 Lemma. Legyen
(η n ) Rm
érték¶ mérhet® függvények egy sorozata és tegyük fel, hogy a sorozat min-
den kimenetelre korlátos.
Ekkor megadható olyan
(σ k )
egész érték¶, szigorúan monoton
sorozat minden kimenetelre
supn kη n k = ∞, akkor van olyan monoton növ®, mérhet® függvényekb®l álló sorozat, amelyre
(σ k ) egész szigorúan
érték¶, limk→∞ η σk = ∞ minden
növ®, mérhet® függvényekb®l álló sorozat, amelyre az
η σk
konvergens. Másrészr®l, ha kimenetelre.
Bizonyítás:
Vegyük észre, hogy a BolzanoWeierstrass tétel miatt a kimenetelenkénti
korlátosság miatt minden
ω
kimenetel esetén triviálisan található olyan
σk
szigorúan
η σk (ω) (ω) sorozat konvergens. A lényeges észreindexsorozat mérhet®nek választható. Legyen el®ször (η n ) skalár érték¶
monoton növeked® sorozat, amelyre az vétel, hogy a
(σ k (ω))
sorozat. A feltétel szerint az mérhet®sége miatt az
η∞
η ∞ $ lim inf n η n
is mérhet®. Legyen
minden kimenetelre létezik és véges. Az
σ 0 $ 0,
(η n )
és vezessük be a
1 σ k $ inf n > σ k−1 | |η n − η ∞ | ≤ k függvényeket. Elemi megfontolásokkal azonnal belátható, hogy a
σk
minden
k -ra mérhet®,
η σk → η ∞ . Következésképpen a lemma állítása ilyenkor teljesül. Többdimenziós esetben el®ször az els® koordinátához készítsük el a részsorozatot, majd a már megritkított
illetve
sorozat második koordinátájához keressük meg a konvergenciát biztosító indexsorozatot. Az eljárást egymás után az összes koordinátákra megismételve a
(σ k )
indexsorozatot egy-
szer¶, véges lépésb®l álló iterációval megkaphatjuk. Az állítás második felének indoklásához elegend® a
σ k $ inf {n > σ k−1 | kη n k ≥ k} sorozatot venni.
3 Könnyen belátható, hogy a d (ξ, η) $ E (|ξ − η| ∧ 1) egy alkalmas metrika. 4 Érdemes megjegyezni, bár ennek nincsen jelent®sége, hogy a majdnem mindenhol való konvergencia nem is topologizálható.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
17
2 A lemma közvetlen következménye, hogy a véges számú elem által generált úgynevezett véges kúpok zártságára vonatkozó közismert tétel átvihet® véges dimenziós terekb®l az L0 (F, P) térbe.
2.3 Lemma. Legyenek
f1 , f2 , . . . , fm tetsz®leges, valamely A σ -algebra szerint mérhet® F ⊆ A és tekintsük az ( ) m X L$ f |f = fi ϕi , ϕi ∈ L0 (F, P)
függvények. Te-
gyük fel, hogy
i=1
lineáris teret. Az
Bizonyítás:
L
az
L0 (A, P)
zárt altere.
ln → l∞ , ahol a konvergencián a majdnem mindenhol való konvergenciát értjük. Az ln ∈ L feltételb®l meg kell mutatnunk, hogy l∞ ∈ L. Vektor jelölésre áttérve az L de níciója szerint ln $ hg, yn i , ahol (n) (n) (n) g $ (f1 , f2 , . . . , fm ) és yn $ ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕm , valamint minden n-re az yn F -mérhet®. Vegyük észre, hogy a bizonyítás nehézsége pusztán abból áll, hogy az (ln ) konvergenci5 ájából nem következik az (yn ) konvergenciája . Ugyancsak vegyük észre, hogy elegend® belátni, hogy az (yn ) sorozatnak van az els® lemma értelmében konvergens részsorozata, ugyanis ha alkalmas részsorozatra yσ k → y∞ , akkor az y∞ F -mérhet®, ugyanis a lemma által biztosított (yσ k ) részsorozat tagjai F -mérhet®ek, és Vegyünk egy
ln ∈ L
sorozatot, és tegyük fel, hogy
hg, yσk i → hg, y∞ i = l∞ . (yn ) sorozat megválasztható Ω1 az Ω azon részhalmaza, ahol ez nem teljesül. Mivel (yk ) F -mérhet® ezért Ω1 szintén F -mérhet®. A részsorozat megkonstruálásának céljából az Ω1 halmazon az
A konvergens részsorozat létezéséhez elegend® belátni, hogy az
úgy, hogy a sorozat majdnem minden kimenetelre pontonként korlátos. Legyen
ln (ω) = hg (ω) , yn (ω)i egyenl®séget osszuk végig az
kyn (ω)k
sorozattal:
ln (ω) = kyn (ω)k Az
yn (ω) g (ω) , . kyn (ω)k
(yn (ω) / kyn (ω)k) sorozat korlátos, így az el®z® lemma szerint van mérhet® módon inde-
xelt konvergens részsorozata. Természetesen el®fordulhat, hogy a kiválasztott részsorozat bizonyos kimenetelekre korlátos. Ezen kimenetelek halmaza ismételten
F -mérhet®.
Ezeket
5 Érdemes hangsúlyozni, hogy pontosan ez a probléma lép fel akkor, amikor a véges dimenziós terekben azt kell igazolni, hogy minden véges kúp, vagy egy altér zárt. Az alábbi bizonyítás ezen az igen fontos állítás bizonyításának közismert ötletére épül.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
a kimeneteleket töröljük az
Ω1
18
halmazból, és térjünk át a lemma második felében szerepl®
részsorozatra. A megmaradt kimenetelekre
kyσn (ω)k → ∞.
Erre a részsorozatra áttérve
Ω1 -halmazon
az
lσn (ω) →0 kyσn (ω)k Ω1 ∈ F F -mérhet® és
ugyanis a számláló konvergens a nevez® pedig végtelenbe tart. Az jelenti, hogy van egy olyan változó, nevezetesen
u∞ ,
hg (ω) , u∞ (ω)i = 0,
amely
halmazon ez azt amelyre
ω ∈ Ω1 .
u∞ (ω) ∈ Rm vektor egységnyi hosszú vektorok határértéke, nulla egyetlen ω ∈ Ω1 esetén sem. Így minden ω ∈ Ω1 -re az Az
így nem lehet azonosan
g (ω) $ (f1 (ω) , f2 (ω) , . . . , fm (ω)) egyik koordinátája, természetesen minden
ω -ra
esetleg más és más, kifejezhet® a többi
segítségével. A lényeges gondolat az, hogy amikor a kifejezzük a többivel, akkor a súlyok
F -mérhet®ek.
g
valamelyik koordinátáját az
Ω1 -en
A kifejtéseket az
lσn (ω) = hg (ω) , yσn (ω)i egyenl®ségbe visszahelyettesítve feltehet®, hogy az
Ω1
halmazon minden
ω -ra
yσn (ω) yσn kor-
az
m − 1 súly nem nulla, miközben az Ω1 komplementerén az ω 7→ yσn (ω) (ω) függvények F -mérhet®ek. Ha az így kapott súlyok halmaza még mindig nem korlátos, akkor az eljárást megismételjük. Vagyis létezik egy Ω2 ⊆ Ω1 pozitív mérték¶ halmaz, amelyhez már van olyan (yσ N ) részsorozat, amely az Ω2 komplementerén korlátos és amelynek az Ω2 -ön már legfeljebb csak m − 2 koordinátája nem nulla. Utolsó (n) lépésként már csak egyetlen koordináta marad, vagyis feltehet® például, hogy ln = f1 ϕ1 . (n) (n) Ilyenkor a ϕ1 (ω) csak akkor lehet nem korlátos, ha az f1 (ω) nulla, de ilyenkor a ϕ1 is (n) választható nullának, vagyis ha Ωm jelöli azt az F -mérhet® halmazt, ahol a ϕ1 nem kor (n) (n) látos, akkor a ϕ1 sorozat helyett a ϕ1 χΩc sorozatot véve a (yn ) sorozat F -mérhet® m koordinátái közül csak
látos és az
marad és korlátos lesz. Mivel az eljárás véges lépésben befejez®dik, ezért feltehet®, hogy az
(yn )
sorozat korlátos, amivel az
L
zártságát igazoltuk.
2 6
A nincsen arbitrázs feltétel a következ® lemmában játszik szerepet :
2.4 Lemma. Jelölje
L0+ (A, P)
az el®z® lemmában szerepl®
Ha az el®z® lemmában szerepl®
L
A σ -algebrán
nem negatív változók halmazát.
altérre
L ∩ L0+ (A, P) = {0} , 6 Vegyük észre, hogy ebben a lemmában az el®z® fejezet végén bemutatott zártsági problémát oldjuk fel.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
19
akkor az
A $ L − L0+ (A, P) kúp zárt az
L0 (A, P)
Bizonyítás:
térben.
A lemma bizonyítása az el®z® lemma bizonyításának értelemszer¶ módosítá-
sával kapható. Az ln
$ (g, yn )
egyenl®ség helyett az
an $ hg, yn i − rn rn ≥ 0. A végigosztás, illetve a konvergens részsorozatra való áttérés után az (rσ n / kyσ n (ω)k) sorozat szükségszer¶en konvergens, ugyanis az egyenl®ségben szerepl® másik két sorozat is konvergens. Az Ω el®z® lemmában szerepl® megfelel® Ωk részhalmazain érvényes a
egyenl®ségb®l kell kiindulni, ahol
0 = hg, y∞ i − r∞ , felbontás, ahol értelemszer¶en
r∞
jelöli az
r∞ ≥ 0
(rσn / kyσn (ω)k) sorozat határértékét.
Értelem-
szer¶en
g, y∞ χΩk = r∞ χΩk .
y∞ χΩk változó F -mérhet® az L∩L0+ (A, P) = {0} feltétel miatt = 0, vagy ami ugyanaz, az Ωk halmazon az r∞ nulla, így a hg, y∞ i is nulla, miközben nem nulla, vagyis a g nem nulla koordinátáinak száma ismételten csökkenthet®.
Ebb®l, felhasználva, hogy az
r∞ χΩk az y∞
Ebb®l az állítás indoklása az el®z® lemma gondolatmenetét megismételve már evidens.
2
2.5 Példa. A
Az
zártsága a nincsen arbitrázs feltétel nélkül nem igaz.
Ω $ [0, 1], F legyen a triviális σ -algebra, A σ -algebrája és legyen f (ω) $ ω. Legyen nω ha ω ≤ 1/n gn (ω) $ . 1 ha ω ≥ 1/n
Az ellenpélda a következ®: Legyen Borel-mérhet® halmazok
legyen a
gn ≤ n·f ∈ L, vagyis gn ∈ A. Nyilván gn → 1. Ugyanakkor 1 ∈ / A, ugyanis mivel σ -algebra, ezért az F -mérhet® függvények majdnem mindenhol konstansok, minden a ∈ A esetén van olyan m, hogy majdnem minden ω -ra
Triviálisan az
F
így
a triviális
a (ω) ≤ m · f (ω) = m · ω, ami a konstans
a=1
esetén nem teljesülhet.
2
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
2.1.3.
20
A KrepsYan szeparációs tétel
A tétel bizonyítása ismét a végtelen dimenziós szeparációs tételre épül. A véges dimenziós esetben a tétel bizonyításakor elegend® az
( H|H=
R$
T X
) hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
t=1 és az
Rm +
konvex halmazokat elválasztani. Az általános esetben, a nehézségek abból ered-
nek, hogy ilyenkor két konvex halmaz csak akkor választható el, ha az egyiknek van bels® 1 pontja. Az L térben, miként az el®z® fejezetben már említettük, a nem negatív változók halmazának azonban nincsen bels® pontja. Ezt orvosolja a következ® lemma.
2.6 Lemma. (KrepsYan) Legyen (Ω, A, P) tetsz®leges valószín¶ségi mez®. Legyen C a mez®n értelmezett integrálható 1 1 függvényekb®l álló L (Ω, A, P) tér olyan zárt, konvex kúpja, amelyre C ⊇ −L+ és C ∩ L1+ = {0}. Ekkor az (Ω, A) téren létezik olyan Q valószín¶ségi mérték, amely ekvivalens7 az eredeti P valószín¶ségi mértékkel, és amelyre
dQ ∈ L∞ , dP valamint
dQ dQ P dP = E c E (c) $ cdQ = c ≤ 0, dP Ω Ω dP Z
Q
Bizonyítás:
nálok alkalmas
L1
L1
Az
∞
L
Z
duálisa
L∞
tehát az
L1
∀c ∈ C.
téren értelmezett folytonos, lineáris funkcio-
függvény segítségével integrálként reprezentálhatóak, vagyis minden az
téren értelmezett
z
folytonos, lineáris funkcionálnak egyértelm¶en megfeleltethet® egy ∞ 1 olyan, szintén z -vel jelölt L -beli elem, amelyre tetsz®leges l ∈ L esetén
Z hz, li =
z · l dP. Ω
Z az olyan z folytonos, lineáris funkcionálok halmaza,
amelyekre hz, Ci ≤ 0. Mivel 1 1 C ⊇ −L+ ezért a hz, Ci ≤ 0 egyenl®tlenség miatt z, L+ ≥ 0, következésképpen z ≥ 0 majdnem mindenhol. Mivel 0 ∈ Z, ezért Z 6= ∅. Jelölje Y a Z elemeinek tartóhalmazaiból álló halmazt, vagyis Y ∈ Y, ha van olyan z ∈ Z, hogy Y = {z > 0}. Triviálisan az Y zárt a megszámlálható egyesítésre, ugyanis ha zn ∈ Z, akkor alkalmas αn pozitív konstansokkal P n αn zn ∈ Z . Ha λ0 = sup {P (Y ) | Y ∈ Y} ,
Legyen
7 Emlékeztetünk, hogy a
Q (A) = 0, Természetesen a P és akkor, ha
P
és a
Q
ekvivalenciája de níció szerint azt jelenti, hogy
P (A) = 0
pontosan
vagyis a nulla valószín¶ség¶ események halmaza a két mérték esetében egybeesik. a
Q
pontosan akkor ekvivalens, ha a
normalizálható, vagyis feltehet®, hogy a
Q
dQ/dP
is valószín¶ségi mérték.
létezik és pozitív. A
dQ/dP
mindig
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
akkor van olyan
(Yn ) ⊆ Y
sa nélkül feltehet®, hogy az
∪n Yn ∈ Y ,
21
P (Yn ) % λ0 .
sorozat, amelyre
(Yn )
Az általánosság megszorítá-
monoton n®, és miként az imént megjegyeztük,
Y0 $
P (Y0 ) = λ0 . Az állítást belátjuk, ha megmutatjuk, hogy λ0 = 1, ugyanis ∞ akkor találtunk egy olyan z0 ∈ Z elemet, vagyis egy olyan z0 ∈ L függvényt, amelyre hz0 , Ci ≤ 0, és amelyre P (z0 > 0) = 1. Ilyenkor a tehát
z0 $
dQ dP
választás mellett a lemma állítása teljesül.
P (Y0 ) < 1, és vegyük az x $ χY0c ∈ L1+ \ {0} függvényt. Mivel a C zárt, 1 konvex halmaz és a lemma C ∩ L+ = {0} feltétele miatt x ∈ / C , ezért a végtelen dimenziós 1 szeparációs tétel, a HahnBanach-tétel, szerint található az L téren értelmezett olyan zx Tegyük fel, hogy
folytonos, lineáris funkcionál, amelyre
hzx , xi > hzx , ci , A
C
kúp, így ha
hzx , ci > 0
valamely
c∈C
c ∈ C.
(2.1)
elemre, akkor
hzx , s · ci % ∞
ha
s % ∞,
így
az (2.1) szeparációs egyenl®tlenség nem teljesülhet. Ebb®l következ®en
hzx , ci ≤ 0,
c ∈ C.
B ∈ A esetén χB ∈ L1+ , ezért zx ≥ 0, ugyanis zx < 0, akkor a −sχB ∈ −L1+ ⊆ C halmazon Z hzx , −s · χB i = −s zx dP > 0,
Tetsz®leges halmazon
ha egy pozitív mérték¶
B
B ami az
s
növelésével ismét tetsz®legesen naggyá tehet®.
Következésképpen az (2.1) sze-
Rparációs egyenl®tlenség ismét nem teljesülhetne. Mivel 0 ∈ C , ezért hzx , xi > 0, vagyis z xdP > 0, tehát a zx tartója egy pozitív mérték¶ halmazon belemetsz az x $ χY0c Ω x c tartójába, vagyis a zx az Y0 halmaz egy pozitív valószín¶ség¶ részhalmazán pozitív. Ebb®l következ®en egyrészt
hz0 + zx , Ci = hz0 , Ci + hzx , Ci ≤ 0 másrészt
z0 + zx ≥ 0
és a
z0 + zx
tartója nagyobb mint
Y0 ,
ami ellentmond a
P (Y0 )
maximalitásának.
2
2.1.4.
A tétel bizonyítása
Végezetül rátérhetünk a DalangMortonWillinger tétel bizonyítására. 1. Tegyük fel, hogy teljesül a nincsen arbitrázs feltétel. Megmutatjuk, hogy ebb®l következik az ekvivalens martingálmérték létezése.
Az állítást
T
szerinti indukcióval igazoljuk.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
22
T = 1. Megjegyezzük, hogy tetsz®leges véges sok η k , változó esetén a P valószíη k változók integrálhatóak lesznek. Elég például P helyett a Z 0 P (A) $ α exp (− kηk) dP Legyen
n¶ségi mez® megválasztható úgy, hogy az a
A
P-vel
ekvivalens teret venni, ahol
értéke
µ = max |η k | < ∞. Az Z η k exp (− kηk) dP
új mérték mellett az
ηk
várható
Ω lesz. Az
x exp (− |x|) függvény korlátos, vagyis integrálható, az áttérést biztosító α exp (− kηk)
RadonNikodym-derivált korlátos. A korlátosság miatt a már integrálható változók integrálhatóak maradnak, így az eljárás többször egymás után is megismételhet®. Mivel a tétel-
8
ben szerepl® állítások érvényben maradnak, ha ekvivalens valószín¶ségre térünk át , ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az S folyamat minden id®szakban L1 -ben való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergen1 cia, ezért a C $ A ∩ L kúp az A sztochasztikus konvergenciában való zártsága miatt zárt 1 1 az L térben, és a nincsen arbitrázs feltétel szerint C ∩L+ = {0} . A KrepsYan szeparációs ∞ tétel alapján van olyan Q ekvivalens mérték, amelyre a dQ/dP ∈ L , és amelyre integrálható. Mivel az
EQ (c) ≤ 0,
c ∈ C.
c $ ± [S (t) − S (t − 1)] θ (t)
Speciálisan, ha vesszük a
elemeket, ahol a
θ (t) Ft−1 -mérhet®
és korlátos, akkor
EQ (hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i) = 0. Ha
θ (t) $ χF
ahol
F ∈ Ft−1 ,
akkor
Z S (t) − S (t − 1) dQ = 0. F Az
S
integrálható a
P
szerint és mivel a RadonNikodym-derivált korlátos, ezért a
Q
szerint is, így az integrálok szétszedhet®k, vagyis
Z
Z S (t − 1) dQ,
S (t) dQ = F
F ∈ Ft−1 .
F
A feltételes várható érték de níciója szerint
EQ (S (t) | Ft−1 ) = S (t − 1) , vagyis az
S
martingál a
Q
alatt, így a
Q
az
S
ekvivalens martingálmértéke.
8 A sztochasztikusan konvergens sorozatok pontosan azok a sorozatok, amelyek bármely részsorozata rendelkezik, ugyan ahhoz a változóhoz konvergáló, majdnem mindenhol konvergens részsorozattal. Ekvivalens mértékek esetén a majdnem mindenhol konvergens sorozatok halmaza nyilván azonos.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
Tegyük fel, hogy az állítást már
T −1
23
esetén igazoltuk. Világos, az eredeti modellre
feltett nincsen arbitrázs feltételb®l következik, hogy a nincsen arbitrázs feltétel az id®tarto-
t = 0, 1 és a t = 1, . . . , T id®periódusokra is. Jelölje Q1 a t = 0, 1 id®szakra kapott martingálmértéket és legyen Q2 a t = 1, . . . , T 9 id®szakra kapott martingálmérték . T = 1 esetén az állítást már igazoltuk, így az indukciós feltétel miatt a Q1 és Q2 mértékek léteznek. A nincsen arbitrázs feltétel teljesülése triviálisan nem függ az ekvivalens mértékcserét®l, ezért az állítást a (Ω, F1 , P) helyett alkalmazhatjuk a (Ω, F1 , Q2 ) mértéktérre is, így a dQ1 /dQ2 derivált korlátos. A Q mérték mány tetsz®leges részintervallumára is igaz, így a
deriváltját de niáljuk a
dQ1 dQ2 dQ $ dP dQ2 dP szorzattal. Ez azt jelenti, hogy
Z Q (A) $ A Mivel a
dQ/dP
dQ1 dQ2 dP = dQ2 dP
Z A
dQ1 dQ2 . dQ2
triviálisan pozitív és korlátos, ezért elegend® azt megmutatni, hogy a
Q
t = 0, 1, . . . , T id®tartományon. Az S -r®l feltehet®, hogy a P alatt integrálható volt és mivel a dQ/dP korlátos, ezért az S integrálható a Q alatt 10 is. Legyen F ∈ F0 . Felhasználva, hogy a Q1 martingálmérték a t = 0, 1 id®tartományon Z Z Z dQ dQ1 dQ2 S (1) S (1) dQ = dP $ S (1) dP = dP dQ2 dP F F F Z Z Z dQ1 = S (1) dQ2 = S (1) dQ1 = S (0) dQ1 = dQ2 F ZF ZF dQ1 dQ dP = = S (0) dQ2 = S (0) dQ2 dP F F Z S (0) dQ, = valóban martingálmérték a teljes
F vagyis
EQ (S (1) | F0 ) = S (0) . t ≥ 1. A dQ1 /dQ2 korlátos és a konstrukció miatt F1 -mérhet®, így Ft -mérhet®, t ≥ 1, így ha F ∈ Ft , akkor, a korlátosság alapján használva a kiemelési szabályt Z Z dQ1 S (t + 1) dQ = S (t + 1) dQ2 = dQ2 F F Z dQ1 Q2 = E S (t + 1) | Ft dQ2 = dQ2 F Z dQ1 Q2 = E (S (t + 1) | Ft ) dQ2 = dQ2 ZF Z dQ1 = S (t) dQ2 = S (t) dQ, F dQ2 F
Legyen most ugyanis
9 Az id®szak
10 Az
(Ω, F1 )
T −1
kereskedési periódust tartalmaz.
mérhet® téren kell a számolást elvégezni.
2.1. A DALANGMORTONWILLINGER TÉTEL
következésképpen az
(S (t))Tt=0
24
martingál a
Q
alatt.
2. Tegyük fel, hogy van olyan Q a P-vel ekvivalens mérték, amely mellett az h ∈ A ∩ L0+ , akkor van olyan θ el®rejelezhet® stratégia, amelyre
S
martingál.
Ha
0≤h≤
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i .
(2.2)
t=1 Elegend® megmutatnunk, hogy
0 ≤ EQ (h) ≤ EQ
T X
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
= 0.
t=1 Amib®l a a
h≥0
felhasználásával a
h Q-majdnem
minden kimenetelre nulla. Mivel a
P
és
Q ekvivalensek, ezért a h P-majdnem mindenhol is nulla, így teljesül a nincsen arbitrázs
feltétel. A bizonyításban némi technikai bonyodalmat jelent, hogy a
θ (t)
stratégiák nem fel-
tétlenül korlátosak, így a feltételes várható értékben a kiemelési szabály közvetlenül nem használható, s®t még azt sem tudjuk, hogy az egyes
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i szorzatok integrálhatóak, így azt sem tudjuk, hogy az összeg integrálja vehet®-e tagonként vagy sem.
Ez a következ® gondolatmenettel orvosolható: Legyen
ε > 0
tetsz®leges.
A
χ (kθ (1)k ≤ n)-nel. Az egyszer¶bb jelölés kedvéért legyenek h és θ a már beszorzott kifejezések. Így feltehet®, hogy a θ (1) korlátos. Tetsz®leges n-re a χ (kθ (1)k ≤ n) függvény F0 -mérhet®, így az új θ stratégia el®rejelezhet® marad. Az S Q-martingál tulajdonsága szerint (2.2) sort szorozzuk be
EQ (hS (1) − S (0) , θ (1)i) = EQ EQ (hS (1) − S (0) , θ (1)i | F0 ) =
EQ EQ (S (1) − S (0) | F0 ) , θ (1) = EQ (h0, θ (1)i) = 0. Vegyük észre, hogy a kiemelési szabályt azért használhattuk, mert a el®rejelezhet®ség miatt
F0 -mérhet®
θ (1)
függvény az Q
és természetesen korlátos. Ebb®l következ®en az
szerinti várható értékben az összeg szétszedhet® és
0 ≤ EQ (h) ≤ ≤ EQ (hS (1) − S (0) , θ (1)i) + EQ
T X t=2
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
E
2.2. A PIAC TELJESSÉGE, AZ ESZKÖZÁRAZÁS MÁSODIK ALAPTÉTELE
25
ahol az els® várható érték nulla. Tekintsük tehát az
T X
0 ≤ EQ (h) ≤ EQ
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
t=2 egyenl®tlenséget. Szorozzuk be a (2.2) sort most
χ (kθ (2)k ≤ n)-nel.
A majorált konver-
gencia tétel miatt
lim EQ (hS (1) − S (0) , θ (1) χ (kθ (2)k ≤ n)i) = 0,
n→∞ így van olyan
n,
hogy
EQ (hχ (kθ (2)k ≤ n)) ≤ EQ (hS (1) − S (0) , θ (1) χ (kθ (2)k ≤ n)i) + ! T X +EQ hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (2)k ≤ n)i < t=2
! T X ε < + EQ hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (2)k ≤ n)i = T t=2 ε = + EQ (hS (2) − S (1) , θ (2) χ (kθ (2)k ≤ n)i) + T ! T X +EQ hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (2)k ≤ n)i = t=3
ε = + EQ T
T X
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (2)k ≤ n)i .
t=3
Az eljárást folytatva megmutatható, hogy alkalmas
E
Q
h
T Y
n-re !
χ (kθ (t)k ≤ n)
≤ ε.
t=1 A monoton konvergencia tétel miatt Q
EQ (h) ≤ ε,
amib®l, mivel az
ε > 0
tetsz®leges,
E (h) = 0.
2
2.2.
A piac teljessége, az eszközárazás második alaptétele
A származtatott termékek árazásával kapcsolatos igen fontos fogalom a teljesség fogalma. A teljesség fogalma azt jelenti, hogy a jöv®beli követelések kivétel nélkül fedezhet®ek:
2.2. A PIAC TELJESSÉGE, AZ ESZKÖZÁRAZÁS MÁSODIK ALAPTÉTELE
26
2.7 De níció. Azt mondjuk, hogy az
S
eszközár folyamat által de niált piac a
zonton teljes, ha tetsz®leges
HT FT -mérhet® (θi (t))m i=1 ,
el®rejelezhet® stratégia és
λ
t = 0, 1, 2, . . . , T
id®hori-
valószín¶ségi változóhoz található olyan
t = 1, . . . , T
valós szám, hogy
HT = λ +
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i ,
t=1
ahol az egyenl®ség valószín¶ségi változók között érvényes, vagyis majdnem minden kimenetelre teljesül.
2.8 Tétel. (Az eszközárazás második alaptétele) Tegyük fel, hogy az csen arbitrázs.
(S (t)) , t = 0, 1, . . . , T
eszközár folyamat által de niált piacon nin-
A modell pontosan akkor teljes, ha a martingálmérték az
(Ω, FT )
téren
egyértelm¶.
Bizonyítás: 1.
Az állítás bizonyítása két részb®l áll.
Tegyük fel, hogy a piac teljes és legyenek
Q
és
R
két különböz® martingálmér-
Mivel a két mérték különböz®, ezért van olyan F ∈ FT , hogy Q (F ) 6= R (F ). A T feltételezett teljesség miatt van olyan (θ (t))t=1 m-dimenziós el®rejelezhet® stratégia, hogy
ték.
χF = λ +
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i .
(2.3)
t=1 A bizonyítás alapgondolata, hogy mind a két oldalon alkalmazzuk a
Q
és
R
szerinti várható érték operátorokat. A gondolatmenet kulcsa, hogy tetsz®leges
mértékek
P
martin-
gálmérték esetén
EP
T X
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
= 0,
(2.4)
t=1 amib®l
Q (F ) = λ = R (F ) ami lehetetlen.
A (2.4) sor igazolásában ismét gondot jelent, hogy mivel a
θ
stratégiák
nem feltétlenül korlátosak, ezért sem a kiemelési szabályt, sem az integrál additivitását nem tudjuk közvetlenül használni.
Vegyük észre azonban, hogy az összeg integrál-
ható. Miként korábban, ha az összeget beszorozzuk a
θ (1) χ (kθ (1)k ≤ n)
korlátossága és az
S (1) − S (0)
χ (kθ (1)k ≤ n)
kifejezéssel, akkor a
integrálhatósága miatt az
hS (1) − S (0) , θ (1)i χ (kθ (1)k ≤ n)
(2.5)
2.2. A PIAC TELJESSÉGE, AZ ESZKÖZÁRAZÁS MÁSODIK ALAPTÉTELE
27
integrálható lesz. Ebb®l következ®en a
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (1)k ≤ n)i $
t=2
θ
hS (t) − S (t − 1) , ψ (t)i
t=2
is integrálható és a és a
T X
ψ
változók el®rejelezhet®ek maradnak. Az
S
martingál tulajdonsága
el®rejelezhet®sége miatt az (2.5) várható értéke nulla lesz.
Az eljárást az el®z®
alpontban már bemutatott módon folytatva megmutatható, hogy tetsz®leges van olyan
n,
ε>0
esetén
hogy
P E
T X t=1 T X
≤ EP
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (t)k ≤ n)i ≤ !
|hS (t) − S (t − 1) , θ (t) χ (kθ (t)k ≤ n)i|
≤ ε.
t=1
n % ∞, akkor a majorált konvergencia tétele alapján ! T X hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i ≤ ε.
Mivel az összeg integrálható, ezért ha
P E Mivel
ε
t=2
tetsz®leges, ezért az (2.4) sor teljesül.
2. Tegyük fel, hogy a piac nem teljes. így van olyan
Q
mérték, amely mellett az
A feltétel szerint a piacon nincsen arbitrázs,
S
folyamat minden koordinátája martingál.
De níció szerint legyen
( L$
λ+
T X
) hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i ,
t=1 tetsz®leges el®rejelezhet® portfólió és λ tetsz®leges valós szám. Mivel a piac nem 0 teljes, ezért L 6= L (Ω, FT , Q). Legyen HT egy olyan követelés, amely nem állítható
ahol
θ
el®. Mivel a
P
HT -val
együtt is csak véges sok valószín¶ségi változó szerepel a modellben a
valószín¶ségi mérték ismét kicserélhet® úgy, hogy a modellben szerepl® összes változó
integrálható legyen. Emlékeztetünk, hogy az els® alaptételben az arbitrázs hiánya miatt létez® martingálmérték RadonNikodym-deriváltja korlátos. Így feltehet®, hogy nem csak T az (S (t))t=1 , hanem a HT is integrálható a Q martingálmérték alatt. Megmutatjuk, hogy 1 az L zárt az L (Ω, FT , Q) térben. Alább egy külön lemmában belátjuk, hogy az
( R$
H:H=
T X
) hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
t=1 1 A Markov-egyenl®tlenség miatt az L -ben való konvergenciából 1 1 következik a sztochasztikus konvergencia, így az R ∩ L zárt altér az L -ben. Valószín¶ségi az
L0
egy zárt altere.
2.2. A PIAC TELJESSÉGE, AZ ESZKÖZÁRAZÁS MÁSODIK ALAPTÉTELE
28
1 mértékekr®l lévén szó 1 ∈ L , így ha az egyszer¶ség kedvéért továbbra is L jelöli az L és az 1 L metszetét, akkor az L felírható mint egy zárt R altér és egy egy-dimenziós altér összege.
L = R és az L = R zárt. Ha 1 ∈ / R, akkor minden l ∈ L felírható l = λ1 + r alakban. Ha ln → l∞ az L altérben, akkor egyedül az okozza a problémát, hogy nem tudjuk, hogy az (ln )-hez tartozó (λn ) sorozat korlátos, vagy sem. Legyen d az R és az 1 távolsága. Mivel az R zárt és 1 ∈ / R, ezért d > 0. Az (ln ) sorozat konvergens, így korlátos is. Legyen c az (ln ) sorozat korlátja. Mivel az R altér, ezért ha rn ∈ R, akkor rn ∈R − λn Ha
1 ∈ R,
akkor készen vagyunk ugyanis ilyenkor
így
r r n n ≥ |λn | d, c ≥ |λn 1 + rn | = |λn | 1 + = |λn | 1 − − λn λn amib®l felhasználva, hogy d > 0 c ≥ |λn | , d vagyis a (λn ) sorozat korlátos. Ezért a (λn ) számsorozatnak van konvergens részsorozata. Erre áttérve feltehet® hogy a (λn 1) sorozat konvergens. Mivel az összeg konvergens, ezért az (rn ) sorozat is konvergens. Mivel az R zárt ezért az (rn ) határértéke az R-ben van, és így a (λn 1 + rn ) egy részsorozatának határértéke az L-ben van. Következésképpen a (λn 1 + rn ) határértéke is L-ben van. Mivel a HT ∈ / L is integrálható, ezért van olyan eleme az L1 térnek, amely nincsen ∞ benne az L zárt altérben. A HahnBanach-tétel miatt van olyan z ∈ L (Ω, FT , Q) , amely elválasztja az L alteret és a HT változót. Mivel az L altér, ezért az elválasztó síkot ∞ megadó z ∈ L függvényre Z hz, li $ z · l dQ = EQ (z · l) = 0, l ∈ L. (2.6) Ω Mivel a
ϕ (t) = 0
és
λ=1
egy lehetséges el®rejelezhet® stratégia, ezért
Z hz, 1i $
Z z · 1 dQ =
Ω Legyen
g $1+
z dQ = 0. Ω
z > 0, 2 kzk∞
és de niáljuk az
Z R (A) $
gdQ A
mértéket. A
g = dR/dQ
felülr®l korlátos és nagyobb vagy egyenl® mint egy pozitív szám,
így a két mérték alatt az integrálható változók megegyeznek. Világos, hogy
R (Ω) = EQ (1) +
EQ (z) = 1, 2 kzk∞
g > 0,
és
2.2. A PIAC TELJESSÉGE, AZ ESZKÖZÁRAZÁS MÁSODIK ALAPTÉTELE
tehát az matra a
R egy ekvivalens λ = 0 mellett
valószín¶ségi mérték. Mivel tetsz®leges
T X
29
θ
el®rejelezhet® folya-
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i ∈ L,
t=1 ezért ha a
θ
korlátos, akkor a (2.6) sor felhasználásával
T X
ER
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
$
t=1 T X
$ EQ
t=1 T X
= EQ
z hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i 1 + 2 kzk∞ !
! =
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i .
t=1
S martingál a Q alatt, és a θ el®rejelezhet®, ezért a jobb oldali kifejezés, tetsz®leges korlátos θ esetén nulla, ezért a bal oldal is nulla. Ha a θ azonosan nulla kivéve a t − 1 id®pontban, ahol az értéke χF , ahol F ∈ Ft−1 , akkor Mivel az
ER ((S (t) − S (t − 1)) χF ) = 0, ami nem más mint
Z
Z S (t − 1) dR,
S (t) dR = F
F
vagyis a feltételes várható érték de níciója alapján
ER (S (t) | Ft−1 ) = S (t − 1) . Tehát az
S
folyamat az
R 6= Q
mérték esetén is martingál, következésképpen a martingál-
mérték nem egyértelm¶.
2
2.9 Lemma. A bizonyításban szerepl®
Bizonyítás:
R
11 halmaz zárt a sztochasztikus konvergencia topológiában .
id®periódus szerinti indukcióra épül. Ha T = 1, akkor a T fenti 2.3. lemma szerint az R halmaz zárt. Ha T > 1, akkor R = Σt=1 R (t) , ahol mindegyik 12 R (t) egy-egy zárt altér . Legyen an ∈ R és an → a∞ . Meg kell mutatni, hogy a ∈ R. A bizonyítás a
T
Mivel minden sztochasztikusan konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol konvergens
an → a konvergencia majdnem mindenhol értelemben is an = ΣTt=1 an (t) , ahol an (t) ∈ R (t) . A bizonyítás problémája egyes (an (t)) sorozatok, külön-külön való konvergenciáját, illetve
részsorozata, feltehet®, hogy az teljesül.
Természetesen
az, hogy nem tudjuk az
11 Az állításhoz nincsen szükség a nincsen arbitrázs feltételre. 12 Miként tudjuk, zárt alterek összege általában nem zárt.
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
(θn (t)) sorozatok konvergenciáját. Tegyük fel, hogy a R (t) halmazok T − 1 tagból álló összegér®l már tudjuk hogy zárt. Ezen indukciós feltevés miatt elegend® belátni, hogy az (an (1)) sorozatnak van ank (ω) (1) konvergens részsorozata, ahol az nk (ω) függvények F0 -mérhet®ek. Ilyenkor mivel a teljes T tagú összeg konvergens a T −1 tagú maradék is konvergens és a határértéke az indukciós feltétel miatt eleme a T − 1 tagú halmazösszegnek, amiból következ®en az R zárt. Els® lépésben az Ω alapteret két F0 -mérhet® része bontjuk Ω = Ω1 ∪ Ω2 . Az egyiken az Ω1 halmazon a (θ n (1)) korlátos, a másikon az Ω2 halmazon a sorozat korlátlan. Az els® részen F0 -mérhet® módon részsorozatra áttérve a (θ n (1)) konvergenciája ezen a részhalmazon biztosítható. A másikon a (θ n (1)) sorozat korlátlan, normájával végigosztva, nem tudjuk az
t = 2, 3, . . . , T
an (t)-hez
30
tartozó
indexekhez tartozó
majd konvergens részsorozatra áttérve az indukciós feltételt felhasználva belátható, hogy ∗ alkalmas θ el®rejelezhet® folyamatra
∗
hS (1) − S (0) , θ (1)i +
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ∗ (t)i = 0.
t=2 Az összeg azért nulla, mert egy konvergens sorozatot egy végtelenbe tartó sorozattal végigosztva nullához tartó sorozatot kapunk. Az Ω2 halmazon minden kimenetelre nyilván θ∗ (1) 6= 0, ugyanis egy egy normájú sorozat határértéke. Ezért az S (1) − S (0) valamelyik koordinátája kifejezhet® a többi lineáris kombinációjaként. Az el®állítás során az együtthatók el®rejelezhet®ek lesznek. Az
an (t)
koordinátái közül valamelyik nulla. minden
2.3.
ω
kimenetelre az
(θn (1))
el®állításába visszahelyettesítve az
S (1) − S (0)
Az eljárást folytatva, végés lépésben elérhet®, hogy
korlátos legyen.
2
Európai eszközök árazása
Az eszközárazás els® és második alaptétele segítségével az európai típusú származtatott termékek árazása diszkrét és véges id®horizont esetén viszonylag egyszer¶en elintézhet®: Legyen
HT
egy a
T
id®szakban esedékes valamilyen pénzügyi tranzakció.
Mivel a
HT
T id®szakban meg gyelhet® eseményeket az FT ltráció HT FT -mérhet®. A kérdés az, hogy ha a HT értékét a t = 0 id®pontban kell ki zetni, akkor mennyi a HT ára, vagyis a t = 0 id®pontban ki zetend® milyen π (HT ) összeg tekinthet® a T id®pontban esedékes HT árának?
a
T
id®szakban esedékes, és a
tartalmazza, ezért a
2.3.1.
Nincs diszkontálás
Tegyük fel, hogy a piacon nincsen arbitrázs és tegyük fel, hogy a piac teljes. Ekkor az els® és második alaptétel szerint létezik egyetlen martingálmérték. Jelölje
Q
ezt a martingál-
mértéket. A teljesség miatt
HT = λ +
T X t=1
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i .
(2.7)
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
31
Közgazdasági megfontolásokból a HT ára alatt azt a π (HT ) összeget értjük, amely mellett a HT bevezetése nem fogja tönkretenni a piac arbitrázsmentességét. Másképpen fogalmazva a HT bevezetése azt jelenti, hogy a már meglev® m darab
Si (0) , Si (1) , . . . , Si (T ) , id®sor mellé bevezetünk egy
(m + 1)-edik
i = 1, 2, . . . , m
eszközt, amely árfolyamát a
π (HT ) , . . . , HT id®sor írja le
13
.
Mikor marad az
m+1
eszközb®l álló, kib®vített piac arbitrázsmentes.
Miként azonnal megmutatjuk, az arbitrázsmentesség csak akkor ®rizhet® meg, ha
λ.
π (HT ) > λ,
Valóban, ha például
π (HT ) =
akkor a
(θ (1) , −1) , (θ (2) , −1) , . . . , (θ (T ) , −1) (m + 1)
14
dimenziós stratégia egy arbitrázs stratégia
nyek minden
σ -algebra
, ugyanis mivel a konstans függvé-
szerint mérhet®ek, ezért egyrészt a kib®vített stratégia triviálisan
el®rejelezhet®, másrészt az új stratégia nettó eredménye a fenti (2.7) felhasználásával
π (HT ) +
T X
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i − HT = π (HT ) − λ > 0,
t=1 ami pedig arbitrázs. További kérdés persze, hogy hogyan lehetne a fejezni?
Ehhez fel kell tenni, hogy a
HT
λ
számot a
Q
integrálható a
Q
mérték segítségével ki-
martingálmérték szerint.
A
HT $ a HT is
szokásos származtatott termékek esetén ez triviálisan teljesül, ugyanis ha például
max (c, S1 (T )) ,
S1 (T )
akkor az
integrálható a
Q
martingál mérték szerint és így
integrálható a Q szerint. Mivel a Q martingálmérték és a HT a Q szerint integrálható, PT 15 ezért a t=1 hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i várható értéke nulla , vagyis
EQ
T X
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
= 0.
t=1 Ebb®l következ®en a (2.7) sorban a
Q
mérték szerint várható értéket véve
π (HT ) = λ + 0 = λ + EQ
T X
! hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i
=
(2.8)
t=1
= EQ (HT ) . 13 Hogy miként alakul a dolog az, hogy a
T
HT
tranzakció ára a köztes id®pontokban számunkra érdektelen.
id®pontban az árat a
HT
adja meg.
14 Mivel a termék drága a tényleges árához képest, ezért el kell adni! 15 A bizonyítása megegyezik a korábban már bemutatottal.
A lényeges
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
32
Érdemes megjegyezni, hogy a (2.8) képlet szempontjából csak az arbitrázsmentességre volt szükség, a teljesség feltételére csak annyiban támaszkodtunk, hogy feltettük, hogy a fenti (2.7) el®állítás lehetséges. Ha a piac nem teljes, akkor a (2.7) el®állítás nem minden
HT
HT -ra azonban az el®állítás létezik, akkor az árára a (2.8) Q melyik a lehetséges martingál mértékek közül. Az olvasó az egyértelm¶ség kapcsán felvetheti, hogy a λ értéke, és így a π (HT ) ár egyértelm¶e? Tegyük fel, hogy valamely HT rendelkezik, két olyan el®állítással, amelyben λ1 < λ2 . Tekintsük a (1) (2) (1) (2) θ (1) − θ (1) , . . . , θ (T ) − θ (T )
esetében lehetséges. Ha valamely
teljesül, függetlenül attól, hogy a
el®rejelezhet® stratégiát. Ennek eredménye
T D X
S (t) − S (t − 1) , θ
(1)
(t) − θ
(2)
E (t) = (HT − λ1 ) − (HT − λ2 ) =
t=1
= λ2 − λ1 > 0, ami a nincsen arbitrázs feltétel miatt lehetetlen. Ebb®l következ®en, ha nincsen arbitrázs, akkor teljesül az úgynevezett egy ár törvény, vagyis minden amelyre a (2.7) el®állítás létezik, a
λ
HT
pénzügyi tranzakció esetén
konstans értéke, következésképpen a
π (HT )
ár is,
azonos.
2.3.2.
Diszkontálás, ön nanszírozó portfóliók
Az idáig bemutatott modell matematikai szempontból igen elegáns, de pénzügyi szempontból hibás. Ennek oka, hogy a modellben szerepl®
S (t) − S (t − 1)
változó pénzügyi
szempontból értelmetlen. Két különböz® id®pontra vonatkozó árat csak akkor lehet kivonni egymásból, ha az árakat diszkontáltuk. A modell megmentésének egyik lehetséges módja, hogy az
S
folyamat elemeit eleve diszkontáltnak tételezzük fel. Ennek azonban az a hát-
ránya, hogy a diszkontálásra használt terméket nem szerepeltethetjük az
S
elemei között,
ugyanis a diszkontáláshoz használt termék diszkontált ára konstans módon egynek adódik, így az árfolyamdierenciája azonosan nulla, így a megfelel® koordináta hozzájárulása
hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i skaláris szorzathoz nulla, így a termékb®l 16 vagyis a θ (t) megfelel® koordinátáját, semmi sem korlátozza .
az
tartott mennyiséget,
Tegyük fel, hogy az egyes id®szakok jövedelmét nem lehet összeadni. A diszkontálásra használt termék indexe legyen 0. Az egyszer¶ség kedvéért a terméket nevezzük kötvénynek. S0 (t) legyen a kötvény ára a t id®pontban. Az egyszer¶ség kevéért tegyük fel, hogy S0 (0) =
16 Ha a modellben az
S
alaptermékek között ott szerepel a diszkontálásra használt termék, akkor mivel
az monoton n® csak úgy kaphatunk martingálmértéket, ha a diszkontált árfolyamokat tekintjük. Ilyenkor a diszkontálásra használt termék súlyát a replikáló portfolióban csak az ön nanszírozás feltételével tudjuk egyértelm¶en, közgazdaságilag értelmes módon rögzíteni. Ha a diszkontálásra használt termék nem szerepel közvetlenül a modellben, akkor nincsen szükség az ön nanszírozás feltételére, közvetlenül alkalmazhatjuk a sztochasztikus integrál alakot, de közgazdaságilag csak a diszkontált változók esetén értelmes a modell.
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
1.
Feltesszük, hogy minden
t
33
id®pontban
S0 (t) > 0.
S (t) $
Evidens módon a diszkontált ár
1 S (t) . S0 (t)
A továbbiak során a felülvonás mindig a diszkontálásra utal.
2.10 De níció. A
(θ (t))Tt=1
el®rejelezhet® sorozatot ön nanszírozónak mondjuk, ha
hS (t) , θ (t + 1)i = hS (t) , θ (t)i , vagyis a portfólió átrendezése a
t
(2.9)
17 id®szakban nem eredményez nettó pénzáramlást .
S0 (t)-vel,
S (t) , θ (t + 1) = S (t) , θ (t) ,
Mivel a (2.9) de nícióban a két oldal leosztható
is teljesül, vagyis ha a dítva. Legyen
θ
θ S -ön nanszírozó,
akkor a
θ S -ön nanszírozó,
szerint legyen nulla. Ha a kötvény
m X
Sk (t) θk (t) −
θ0 (t + 1) m X
θ
súlyát minden
nulladik koordinátája de níció
t
id®pontban a
Sk (t) θk (t + 1) = S0 (t) θ0 (t + 1)
θ0 (t + 1)
tri-
egyértelm¶ módon került rögzítésre.
A
egyenlegezzük, akkor ön nanszírozó portfóliót kapunk, ugyanis a
Ft -mérhet®.
(2.10)
k=1
k=0
viálisan
és nyilván megfor-
tetsz®leges el®rejelezhet® portfólió a kötvényt®l különböz® eszközökre. A
dimenzió problémák elkerülése céljából de níció szerint a
szabállyal
ezért az
Vegyük észre, hogy a
portfólió diszkontált értéke a
V (t) $
t
θ0
id®pontban
1 hS (t) , θ (t)i = S (t) , θ (t) = S (t) , θ (t) . S0 (t)
Az újabb tagokat levonva majd újra hozzáadva a portfólió értéke a
T
id®pontban az ön -
nanszírozás feltétele miatt
hS (T ) , θ (T )i = hS (T ) , θ (T )i ± hS (T − 1) , θ (T − 1)i ± . . . = hS (T ) , θ (T )i − hS (T − 1) , θ (T − 1)i + hS (T − 1) , θ (T − 1)i − . . . = hS (T ) , θ (T )i − hS (T − 1) , θ (T )i + hS (T − 1) , θ (T − 1)i − . . . = hS (T ) − S (T − 1) , θ (T )i + hS (T − 1) − S (T − 2) , θ (T − 1)i . . . = T X = hS (t) − S (t − 1) , θ (t)i + hS (0) , θ (1)i =
V (T ) $ = = =
t=1
$ G (T ) + V (0) , 17 Emlékeztetünk, hogy
θ (t) a t − 1 id®pontban került rögzítésre, az új portfolió súlyokat az S (t) ismereθ (t + 1) tartalmazza. A portfolió értéke a t id®pontban az el®z® id®szaki portfolió súlyok szorozva jelenlegi árakkal, vagyis hS (t) , θ (t)i .
tében a a
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
ahol
G
34
az úgynevezett nyereményfolyamat.
Mivel a levezetés csak az ön nanszírozáson
múlt, az egyenl®ség pontosan akkor teljesül, ha
T X
V (T ) =
t=1 T X
=
S (t) − S (t − 1) , θ (t) + V (0) $
(2.11)
S (t) − S (t − 1) , θ (t) + V (0) =
t=1
= G (T ) + V (0) . Az elmondottakat a következ® lemmában foglalhatjuk össze:
2.11 Lemma. A bemutatott két modell ekvivalens a következ® értelemben: Tetsz®leges a kötvényeket nem tartalmazó portfólió súlyokból álló el®rejelezhet® folyamat esetén a kötvények számát az (2.10) szabály szerint alakítva ön nanszírozó portfólió súlyokat kaphatunk.
Megfordítva
minden ön nanszírozó portfólióból a kötvényt elhagyva el®rejelezhet® portfóliót kapunk. Ha a portfólió értékét a
t=0
id®pontban rögzítjük, akkor a megfeleltetés egyértelm¶.
2.12 De níció. θ (m + 1) dimenziós ön nanszírozó portfólió folyamat, amelyre V (0) = 0, de V (T ) ≥ 0 és egy pozitív valószín¶ség¶ halmazon V (T ) > 0. A modellben nincsen arbitrázs, ha nincs olyan
S folyamat pontosan akkor tartalmaz arbitrázst, ha az S tartalmaz arbitrázst, ugyanis az S0 (T ) > 0 miatt a V (T ) pontosan akkor pozitív, illetve nem negatív, ha a diszkontált V (T ) pozitív, illetve nem negatív. Az arbitrázs de níciója ekvivalens 18 avval, hogy nincs olyan θ el®rejelezhet® folyamat , amelyre Világos, hogy az
T X
S (t) − S (t − 1) , θ (t) ≥ 0 t=1 és egy pozitív valószín¶ség¶ halmazon az egyenl®tlenség szigorú. Ebb®l következ®en a két alaptételt könnyen kiterjeszthetjük a diszkontálás esetére.
2.13 Tétel. A modellben pontosan akkor nincsen arbitrázs, ha van olyan a
P-vel
és amelyre nézve az
S
Q
mérték, amely ekvivalens
diszkontált folyamat martingál. A modell pontosan akkor
teljes, ha a martingálmérték egyértelm¶. Hogyan kell az európai származtatott termékek árazási képletét kiterjeszteni az általános esetre. vetelés
t = 0
Természetesen ilyenkor is a fedezés feltételéb®l indulunk ki és a
HT
kö-
id®pontban vett ára közgazdasági megfontolások alapján éppen a fedez®
portfólió értéke a
t = 0
18 Emlékeztetünk, hogy a
θ
id®pontban, vagyis ha
HT = V (T ) $ hS (T ) , θ (T )i ,
nulladik koordinátája de níció szerint mindig nulla.
akkor
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
35
π (HT ) = V (0) $ hS (0) , θ (1)i . A kérdés csak az, hogyan tudjuk a V (0) értéket elegánsan S0 (0) = 1, ezért V (0) = V (0) , így az ön nanszírozás miatt
kifejezni? Mivel
HT =
T X
S (t) − S (t − 1) , θ (t) + V (0) .
t=1 Ha nincsen arbitrázs, akkor az
S
folyamat martingál a
HT
bemutatott módon eljárva, ha a
integrálható a
Q
Q
mérték alatt. A már többször
19
alatt
, akkor az összeg
Q
szerinti
várható értéke nulla, így
π (HT ) = V (0) = EQ H T , vagyis a
t=0
id®pontban a
diszkontált értékének a
2.3.3.
Q
T
id®pontban lejáró
HT
tranzakció ára éppen a tranzakció
mérték szerint vett várható értéke
20
.
Elveszett illúziók
A bemutatott módszerrel a származtatott termékek árazása csak akkor lehetséges, ha a id®szaki ki zetés lefedezhet®. Ez tetsz®leges
HT
T
esetében csak akkor valósítható meg, ha
a piac teljes. Ez azonban komoly megszorítást jelent a modellre nézve.
2.14 Tétel. Ha a véges és diszkrét id®horizonton értelmezett modell nem tartalmaz arbitrázs lehet®séget és a modell teljes, akkor az alapul vett
Bizonyítás:
(Ω, FT ,P)
valószín¶ségi tér véges számú atomból áll.
HT egy tetsz®leges FT -mérhet® pénzügyi tranzakció. A már bemutatott módon eljárva a P mértéket kicserélve feltehetjük, hogy a HT integrálható a P alatt. A Q-ra való áttéréskor a RadonNikodym-derivált korlátos, így a HT integrálható marad a Q alatt is. Mivel a teljesség miatt a Q egyértelm¶, ezért minden FT -mérhet® HT változó integrálható az egyértelm¶en de niált közös Q alatt. Ebb®l következ®em az (Ω, FT , Q) Legyen
csak véges számú olyan diszjunkt halmazt tartalmazhat, amely mértéke pozitív. Mivel a
P
és a
Q
ekvivalensek, ezért az
(Ω, FT , P)
hasonló tulajdonságokkal bír.
2
A tiszta atomokból álló ltrációkat érdemes fákkal reprezentálni. A reprezentációban az
Ω alaptér az összes lehetséges trajektóriák halmaza.
A fa egy csomópontja az
A eseménytér
egy részhalmaza, amely azokból a kimenetelekb®l áll, amelyekhez tartozó utak átmennek az adott csomóponton. A fa azonos id®ponthoz tartozó szintjei az adott id®ponthoz tartozó ltrációt de niálják. particionálása.
A ltráció minden szintje a korábbi szint részhalmazainak további
Az atomok számára vonatkozóan a következ® észrevétel szerint minden
csomópontból legfeljebb az eszközök számával azonos elágazás indulhat ki.
19 Mivel a RadonNikodym-derivált korlátos, ehhez elegend®, hogy a
20 Ha a
HT
HT
integrálható legyen a
P
alatt.
nem integrálható, akkor a képlet értelmetlen és persze a gondolatmenet sem m¶ködik.
2.3. EURÓPAI ESZKÖZÖK ÁRAZÁSA
36
2.15 Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülnek az el®z® tétel feltételei. Ha F0 a triviális σ -algebra, akkor T az FT -ben lev® atomok száma maximum M , ahol M az eszközök és T az id®periódusok száma.
Bizonyítás:
L0 (Ω, FT , P) tér az FT -ben lev® atomok száma N . A teljesség 0 N vagyis az L (Ω, FT , P) = R minden eleme Legyen
N
az
dimenziója.
Ez pontosan azt jelenti, hogy
feltétele azt jelenti, hogy minden követelés,
HT = VT = hS (T ) , θ (T )i θ (T ) FT −1 -mérhet®. Ha T = 1, HT = H1 ∈ RN vektor el®állítható
alakba írható, ahol hogy minden
akkor a teljesség feltétele azt jelenti,
H1 (ω) = V1 (ω) = hS1 (ω) , θ1 (ω)i =
M X
S1s (ω) θ1s (ω)
s=1
F0 a triviális σ -algebra, ezért θ1 nem függ az ω -t®l és egy M -dimenziós deÍgy a hS1 , θ 1 i éppen M darab vektorból képzett lineáris kombináció,
függvényszorzatok összegeként. minden
F0 -mérhet®
terminisztikus vektor. vagyis ha
T = 1,
Mivel a feltétel szerint az
változó konstans. Így a
akkor az
{VT (θT ) | θT FT −1 -mérhet®} =
(M X
) ST s (ω) θT s (ω) | θT FT −1 -mérhet®
(2.12)
s=1 altér dimenziója nem lehet nagyobb mint Tegyük fel, hogy
T −1
M,
így éppen az állítást kapjuk
T =1
esetén.
esetére az állítást már igazoltuk. Ekkor
dim L0 (Ω, FT −1 , P) ≤ M T −1 , így az
FT −1 -ben
lev® atomok száma maximum
M T −1 ,
ugyanis maximum annyi atom le-
hetséges, amekkora a tér dimenziója. Az el®rejelezhet®ség de níciója miatt a
θT
mérhet®
FT −1 -re nézve , így az összes lehetséges θT stratégiák által kifeszített altér dimenziója M T −1 lehet. Ismét csak M terméket használhatunk, így a fedezett követelések (2.12) halmaza az M darab függvényb®l képzett olyan szorzatösszegek halmaza, ahol a T −1 súlyok egy M dimenziós altér pontjai lehetnek. Tekintsük az így kapott függvények az
legfeljebb
egy lineárisan független elemekb®l álló halmazát és tekintsük az egyes termékekhez tartozó súlyok halmazát. Így M darab halmazt kapunk. Egyetlen halmazban sem lehet több elem T −1 T −1 mint M ugyanis a súlyok dimenziója legfeljebb M és ha a súlyoknak van nullát el®állító nem triviális lineáris kombinációja, akkor már a szorzatösszegeknek is van, elegend® ugyanis a többi súlyt nullának választani. Következésképpen a lineárisan független T −1 elemekb®l álló halmazban lev® elemek szám nem lehet nagyobb mint M · M = MT , T így N ≤ M .
2
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
2.4.
37
Az amerikai opciók árazása
Az amerikai származtatott termékek olyan termékek, amelyek tetsz®leges id®pontban lehívhatóak. Mivel az alapfeltevés az, hogy a jöv® nem látható el®re, a lehívás csak megállási
H = (Hn ) folyamat. A folyamat kiválasztani, és az ω kimenetel esetén a
id®k mentén történhet. Legyen tehát adott egy nosának joga van egy
τ
megállási id®t
tulajdo-
(Hτ ) (ω) $ Hτ (ω) (ω) értéket lekaszálni. Az európai származtatott termékek esetén csak a ahol
T <∞
τ =T
megengedett,
a származtatott termék lejárati ideje. Feltesszük, hogy az id®horizont véges,
az utolsó id®pontot jelölje felteszük, hogy a
H
T.
A
H
lehívása a meg gyelhet® eseményekhez kötött, vagyis
adaptált az el®re rögzített
(Ft )
ltrációra nézve. Feltesszük továbbá,
hogy a de niált piac teljes, valamint, hogy a piacon nincsen arbitrázs. Feltesszük tehát, hogy az
(Ω, FT )
mérhet® struktúrán van, mégpedig egyetlen martingál mérték, amelyre
nézve az árfolyamok martingált alkotnak. véges sok atomból áll.
Így az
Ω
fontos kovetkezménye, hogy ha az
A feltevésekb®l következ®en az
(Ω, FT )
téren értelmezett összes függvény korlátos.
X
akkor az
Y (s) $
valamilyen mérték alatt martingál és a
s X
mez®
Ennek egy
θ el®rejelezhet®,
hX (t) − X (t − 1) , θ (t)i
t=1 alakú összegek is martingált alkotnak: Valóban, a korlátosság miatt az alábbi m¶veletek végrehajthatók
E (Y (s + 1) | Fs ) =
s+1 X
E (E (hX (t) − X (t − 1) , θ (t)i | Fs )) =
t=1
= E (hE (X (s + 1) − X (s) | Fs ) , θ (s + 1)i) + Y (s) = = E (h0, θ (s + 1)i) + Y (s) = Y (s) .
2.4.1.
Szuperreplikálás
Mennyi a
H
ára?
Az alapfeltétel, hogy a
ért kötelezettséget vállaló oldal a
H
H
származtatott terméket eladó, vagyis a
H-
lehívásának id®pontjában fedezett állapotban akar
lenni. Ehhez az szükséges, hogy a származtatott termék
x
árából egy olyan ön nanszírozó
V (x) értékfolyamatára tetsz®leges τ megállási id® esetén Vτ (x) ≥ Hτ legyen. Természetesen ehhez szükséges és elegend®, ha minden 0 ≤ t ≤ T id®pontra Vt (x) ≥ Ht . portfóliót tudjon építeni, amely
2.16 De níció. Valamely
x
kezd®értékb®l kiinduló ön nanszírozó stratégia szuperreplikálja a
tott terméket, ha a
V (x)
értékfolyamatra minden
t
id®pontra
Vt (x) ≥ Ht .
H
származta-
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
38
Természetesen a vev® sem akar az üzleten szisztematikusan veszíteni, ezért csak akkor hajlandó az
x
áron az üzletbe belemenni, ha van olyan
τ
megállási id®, amelyre
Hτ =
Vτ (x) . Ugyanis ha ez nem teljesülne, akkor a szuperreplikáló tulajdonságú stratégia létezése miatt az eladó, vagyis a H ki zetését felvállaló oldal, szisztematikusan keresne rajta, így a vev® is inkább eladná mint megvenné a H származtatott terméket: Ha π (H) > x, akkor a származtatott termék drága, így eladva és az x-b®l felépítve a szuperreplikáló portfóliót biztos nyereséghez jutunk. Ha pedig x > π (H) , akkor a szuperreplikáló portfóliót eladva x és a származtatott terméket megvéve és a τ id®pontban lehívva és a Hτ bevételb®l a fedez® portfóliót felszámolva biztos x − π (H) > 0 nyereséghez juthatunk.
2.17 De níció. Ha valamely
V (x)
Hτ = Vτ (x) ,
akkor a
szuperreplikáló értékfolyamathoz van olyan
V (x)
τ
megállási id®, amelyre
értékfolyamatot likvidálható szuperreplikáló portfóliónak mond-
juk. Az elmondottakból világos, hogy ha valamely
H
amerikai típusú pénzügyi tranzakció-
V (x) likvidálható szuperreplikáló portfólió, akkor a H arbitrázs elmélet szerinti ára éppen a portfólió induló értéke x: Tegyük fel, hogy egy (x1 , τ 1 ) és egy (x2 , τ 2 ) is megadható valamely H követeléshez. Ha x1 6= x2 , akkor az olcsóbb likvidálható, szuperreplikáló portfóliót megvéve, a drágábbat eladva, illetve a H -ra vonatkozó vételi és eladási pozíciót egyszerre biztosítva a t = 0 id®pontban pozitív pro tra tennénk szert. (Ugyanis a H követelés egyszerre való megvétele és eladása nulla költséget jelent.) A megfelel® τ i id®ponhoz létezik
tokban az eladott portfóliót a megvett követeléssel likvidálva, illetve a megvett portfólióval az eladott követelés lehívását megvárva arbitrázs lehet®séghez jutunk. szerint nincsen arbitrázs ezért
Mivel a feltétel
x1 = x2 .
Az amerikai opciók árazási problémájának megoldásához két kérdést kell tisztázni:
•
Létezik-e a megadott tulajdonságú
•
illetve hogyan számolható ki a
2.4.2.
(x, τ ) ,
(x, τ )
pár a modellben szerepl® paraméterekb®l?
A megállási opciókról szóló tétel
El®ször egy a kés®bbiekben szerepet játszó állítást ismertetünk.
2.18 Lemma. (Xn , Fn ) diszkrét id®tartományon értelmezett T < ∞, hogy a τ 1 , τ 2 megállási id®kre Ha
integrálható szubmartingál, és van olyan
P (τ 1 ≤ τ 2 ) = P (τ 2 ≤ T ) = 1, akkor
Xτ 1 ≤ E (Xτ 2 | Fτ 1 ) és
E (X0 ) ≤ E (Xτ 1 ) ≤ E (Xτ 2 ) ≤ E (XT ) . Martingálok esetén mind a két sorban mindenhol egyenl®ség van.
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Bizonyítás:
Legyen
τ1 ≤ τ2 ≤ T
39
és
θk $ χ (τ 1 < k ≤ τ 2 ) . Vegyük észre, hogy
{θk = 1} = {τ 1 < k, τ 2 ≥ k} = = {τ 1 ≤ k − 1} ∩ {τ 2 ≤ k − 1}c ∈ Fk−1 , PT vagyis a θ folyamat el®rejelezhet®. Vezessük be az η $ k=1 θ k (Xk − Xk−1 ) változót. A feltétel szerint az Xk minden k -ra integrálható, így az Xk − Xk−1 is integrálható, következésképpen az Xk − Xk−1 változónak létezik az Fk−1 szerinti feltételes várható értéke, így a θk korlátosságát, illetve a T végességét felhasználva E(η) $ E(
T X
θk (Xk − Xk−1 )) =
k=1
=
T X
T X
E(E(θk (Xk − Xk−1 ) | Fk−1 )) =
k=1
E (θk E (Xk − Xk−1 | Fk−1 )) ≥ 0.
k=1
ω kimenetelre τ 1 (ω) = τ 2 (ω), akkor minden k indexre θk (ω) = 0, így ilyenkor η (ω) $ 0. Ha τ 1 (ω) < τ 2 (ω) , akkor a θ k (ω) = 1 valahányszor k = τ 1 (ω) + 1, . . . , τ 2 (ω) , és θk (ω) = 0 minden más esetben, így a
Ha valamilyen
η (ω) $
T X
θk (Xk − Xk−1 ) = X (τ 1 (ω) + 1) − X (τ 1 (ω)) +
k=1
+X (τ 1 (ω) + 2) − X (τ 1 (ω) + 1) + . . . +X (τ 2 (ω)) − X (τ 2 (ω) − 1) , teleszkópikus összeg éppen
X (τ 2 (ω)) − X (τ 1 (ω)) ,
vagyis
η = X (τ 2 ) − X (τ 1 ) , E (η) ≥ 0 miatt, E (X (τ k )) véges
tehát az az
felhasználva, hogy mivel az
Xk
minden
k -ra
E (X (τ 2 )) ≥ E (X (τ 1 )) . Ha
A ∈ Fτ 1 ⊆ Fτ 2 ,
akkor a
τ ∗i
(ω) $
változók megállási id®k, ugyanis ha
τ i (ω) T +1
n ≤ T,
ha ha
ω∈A ω∈ /A
akkor
{τ ∗i ≤ n} = A ∩ {τ i ≤ n} = A ∩ {τ i ≤ n} ∈ Fn .
integrálható, ezért
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
40
A már belátottak alapján
E (X
Z
Z
(τ ∗2 ))
ZA
ZA
=
c
X (τ 1 ) dP+
XT +1
X (T + 1) dP. Ac
A Következésképpen az
X (T + 1) dP ≥ E (X (τ ∗1 )) =
X (τ 2 ) dP+
=
integrálhatósága miatt az
R Ac
X (T + 1) dP
a két oldalról tö-
rölhet®, tehát
Z
Z X (τ 2 ) dP ≥ A Az
X (τ 1 ) Fτ 1 -mérhet®,
X (τ 1 ) dP. A
ezért
E (X (τ 2 ) | Fτ 1 ) ≥ X (τ 1 ) . 2
2.4.3.
Az optimális megállítás problémája
V ≥ H Ps≥ 0 a szuperreplikálás miatt nem negatív. Az ön nanszírozás feltétele miatt V (s) $ t=1 hS (s) − S (s − 1) , θ (s)i + V (0) , illetve ugyanez igaz a diszkontált változókra is. Mivel a Q martingálmérték, ezért a diszkontált S martingál, így a V diszkontált értékfolyamat martingál. Következésképpen minden 0 ≤ τ ≤ T megállási id®re a megállási opciókról szóló tétel alapján x = V0 (x) = V 0 (x) = EQ V τ (x) ≥ EQ H τ . Tegyük fel, hogy
Mivel ez minden
H ≥ 0.
τ
Ilyenkor a
esetén teljesül, ezért
π (H) = x = V 0 (x) ≥ sup EQ H τ . τ
2.19 De níció. Tetsz®leges
(Ω, A, F, P)
sztochasztikus alaptér és
H
folyamat esetén a
sup E (H (τ )) τ
feladatot, ahol a
τ
a lehetséges megállási id®k halmazán fut végig, az optimális megállítás
problémájának nevezzük. Az elmondottak miatt a értéke az ár alsó korlátja.
Q alatti, a H -ra vonatkozó optimális megállítás problémájának Ha valamilyen τ -ra Vτ (x) = Hτ , akkor a megállási opciókról
szóló tétel miatt
EQ H τ = EQ V τ = EQ V 0 = EQ (V0 )
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
41
és a fenti becslés utolsó egyenl®tlenségében egyenl®ség van.
Következésképpen, ha az
amerikai opciónak van az arbitrázselmélet alapján meghatározható ára, akkor ez az ár éppen az optimális megállítás problémájának értéke. Mivel a valószín¶ségi mez® véges számú atomból áll a megállási id®k száma is véges, ∗ Legyen τ a
így az optimális megállítás problémájának van véges optimális megoldása. feladat egy optimális megoldása. Tegyük fel továbbá, hogy az
x $ max EQ (Hτ ) = EQ (Hτ ∗ ) τ
értékb®l kiindulva elkészíthet® egy ön nanszírozó, szuperreplikáló portfólió. Ekkor mivel a
V
szuperreplikáló, ismételten a megállási opciókról szóló tétel miatt a
V
veszíti a várható
értéket
EQ (V (τ ∗ )) ≤ V0 (x) = x = = EQ (Hτ ∗ ) ≤ EQ (V (τ ∗ )) . Ami csak akkor teljesülhet, ha egyenl®ség van, vagyis replikálás miatt a
Q
EQ (Hτ ∗ ) = EQ (V (τ ∗ )) .
A szuper-
mérték alatt
m.m.
H (τ ∗ ) = V (τ ∗ ) . ekvivalenciája miatt a P alatt is. Vagyis ha az optimális megállítás ∗ problémájának van τ optimális megoldása és az optimum értékéb®l kiindulva felépíthet® Így a
P
és a
Q
egy szuperreplikáló portfólió, akkor a már bemutatott gondolatmenet alapján a meghatározható az ára, és ilyenkor
H -nak
π (H) = x.
A kérdés tehát a következ®:
x $ maxτ EQ (Hτ )
•
Miként számolható ki az
•
Van-e olyan szuperreplikáló portfólió, amely az
érték?
x
kezd®értékb®l indul ki?
2.20 Példa. Call és put opciók. Legyen
H
amerikai call opció. Ilyenkor
Hn =
Hn = (Sn − K)+ . K Sn − 0 0 Sn Sn
S a Q alatt martingál. Ha feltesszük, hogy −K/Sn0 kifejezés várható értéke n®, vagyis az Az
az
Sn K − 0 0 Sn Sn
A diszkontált ki zetés
+ . 1/Sn0
diszkonttényez® csökken, akkor a
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
42
folyamat növeli a feltételes várható értéket, vagyis szubmartingál. Szubmartingálok konvex és monoton növeked® függvénye szintén szubmartingál. megállási opciókról szóló tétel miatt tetsz®leges
E
Q
Hτ Sτ0
≤E
τ Q
A szubmartingálokra vonatkozó
megállási id® esetén
HT ST0
.
Így az elmondottak miatt a call opció ára, ha az x-b®l kiindulva felépíthet® ön nanszírozó, π (H) = EQ (HT /ST0 ) , amely azonos az európai call opció árával. + A put opciók esetén Hn $ (K − Sn ) . A
szuperreplikáló portfólió,
K Sn − 0 0 Sn Sn kifejezés azonban szupermartingál.
Szupermartingálok monoton növ® konkáv és nem kon-
vex függvénye lesz szupermartingál, így a bemutatott gondolatmenet a put opció esetén nem alkalmazható.
2
2.4.4.
Snell-féle burkoló
A keresett
x értéket visszafelé való indukcióval tudjuk kiszámolni. Jelölje ∆n az n ≤ τ ≤ T ∆0 az összes megállási id®k
egyenl®tlenséget kielégít® megállási id®k halmazát. Speciálisan halmaza.
2.21 De níció. Az
Xn $ max E (H (τ ) | Fn ) τ ∈∆n
sorozatot a
H
Snell-féle burkolójának szokás mondani.
F0 = {∅, Ω}, akkor az X0 éppen az optimális megállítás feladatának megjegyezni, hogy általában a ∆n halmaz nem véges számú elemb®l
Ha feltesszük, hogy megoldása. Érdemes
áll, és ilyenkor a maximum helyébe lényeges szuprémumot kell írni. Az amerikai opciók árazásakor fel kell tételeznünk a teljességet és az arbitrázsmentességet, vagyis ilyenkor az alapul vett mez® véges számú atomból áll, így a megállási id®k száma véges, és a technikai problémák elkerülése céljából az a lényeges szuprémummal kapcsolatos nehézségekt®l most eltekintünk.
A gondolatmenet kiterjesztését és az általános eset tárgyalását az olvasó a
folytonos esetben bemutatott eszközökkel könnyen elvégezheti
21
.
2.22 Tétel. Ha
H ≥ 0,
akkor a Snell-burkoló elemei kiszámolhatóak a következ® hátrafelé haladó in-
dukcióval:
XT = HT , Xn = max (Hn , E (Xn+1 | Fn )) . 21 V.ö.: 316. oldal, 6.10. lemma, 320. oldal.
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Bizonyítás:
43
bn az állításban szerepl®, hátrafelé haladó indukciós eljárás eredméX bT egyenl®ség nyilvánvaló, ugyanis ∆T = {T } és a H adaptált, így nyét. Az XT = HT = X a HT nyilván FT -mérhet®. Az n konstans megállási id®, n ∈ ∆n , a H adaptált, így nyilván Jelölje
m.m.
m.m.
Xn = max E (Hτ | Fn ) ≥ E (Hn | Fn ) = Hn . τ ∈∆n
∆n halmazok végesek, így a Snell-burkoló de níciójában van így alkalmas τ n+1 ∈ ∆n+1 ⊆ ∆n megállási id®re: E (Xn+1 | Fn ) = E E Hτ n+1 | Fn+1 | Fn = E Hτ n+1 | Fn ≤ ≤ max E (Hτ | Fn ) = Xn ,
Mivel a mez® véges, ezért a ximum
ma-
τ ∈∆n
Ebb®l
m.m.
bn . Xn ≥ max (Hn , E (Xn+1 | Fn )) $ X τ ∈ ∆n
Most térjünk rá a másik irány igazolására. Tetsz®leges
esetén
τ ≥ n,
így
H (τ ) = Hn χ (τ = n) + Hτ ∨(n+1) χ (τ > n) , τ ∨ (n + 1) ∈ ∆n+1 , így az Xn+1 de níciója szerint E Hτ ∨(n+1) | Fn+1 ≤ max E (Hσ | Fn+1 ) $ Xn+1 .
Fontos hangsúlyozni, hogy
σ∈∆n+1
A két oldalon
Fn
szerint feltételes várható értéket véve
E E Hτ ∨(n+1) | Fn+1 | Fn = E Hτ ∨(n+1) | Fn ≤ E (Xn+1 | Fn ) . Így minden
τ ∈ ∆n
esetén
E (Hτ | Fn ) = E Hn χ (τ = n) + Hτ ∨(n+1) χ (τ > n) | Fn = = Hn χ (τ = n) + E Hτ ∨(n+1) | Fn χ (τ > n) ≤ ≤ Hn χ (τ = n) + E (Xn+1 | Fn ) χ (τ > n) ≤ bn . ≤ max (Hn , E (Xn+1 | Fn )) = X Következésképpen
bn . Xn $ max E (Hτ | Fn ) ≤ X τ ∈∆n
A két egyenl®tlenséget összevetve:
b X = X.
2
2.23 Tétel. H ≥ 0, akkor az X nálja a H folyamatot.
Ha
Snell-burkoló a legkisebb olyan
(Fn )-szupermartingál,
amely domi-
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Bizonyítás:
Az indukciós algoritmus szerint
következésképpen az Legyen
Y
44
X
H
dominálja a
Xn ≥ Hn ≥ 0, X nem
folyamatot és az
és
egy másik olyan szupermartingál, amely dominálja a
YT ≥ HT $ XT .
Az
Y
Xn ≥ E (Xn+1 | Fn ) ,
negatív szupermartingál.
H
folyamatot.
Ekkor
szupermartingál, így
YT −1 ≥ E (YT | FT −1 ) ≥ E (HT | FT −1 ) = E (XT | FT −1 ) , így
YT −1 ≥ max (HT −1 , E (XT | FT −1 )) = XT −1 . Általában visszafelé haladó indukcióval, felhasználva, hogy az
Y
szupermartingál
Yn−1 ≥ E (Yn | Fn−1 ) ≥ E (Xn | Fn−1 ) . Felhasználva, hogy az
Y
H
dominálja a
folyamatot
Yn−1 ≥ max (Hn−1 , E (Xn | Fn−1 )) = Xn−1 . 2
2.24 Tétel. Ha
H ≥ 0,
akkor a
τ ∗ = min {n ≥ 0 | Hn = Xn } változó megállási id®,
Bizonyítás:
A
τ∗
τ∗ ≤ T
és a
τ∗
optimális megállási id®.
megállási id®, ugyanis
{τ ∗ = 0} = {H0 = X0 } ∈ F0 ! n−1 \ ∗ {τ = n} = {Hn = Xn } ∩ {Hk < Xk } ∈ Fn k=0 ugyanis az esetén.)
X
és a
H
adaptáltak. (A
τ∗
H − X találati ideje XT = HT , így biztosan
éppen a
A Snell-burkoló de níciója alapján
a
B $ {0}
0 ≤ τ ∗ ≤ T. Megmutatjuk, hogy az
∗
Xnτ $ Xn∧τ ∗
megállított folyamat martingál. Legyen
ϕn $ χ (τ ∗ ≥ n) . A
τ∗
megállási id®, így
{ϕn = 1} = {τ ∗ ≥ n} = {τ ∗ ≤ n − 1}c ∈ Fn−1 , következésképpen a
ϕ
folyamat el®rejelezhet®. Nyilván ∗
∗
τ = X (τ ∗ ∧ n) − X (τ ∗ ∧ (n − 1)) = Xnτ − Xn−1 = χ (τ ∗ ≥ n) (Xn − Xn−1 ) = = ϕn (Xn − Xn−1 ) .
halmaz
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Mivel a
τ∗
az els® olyan
n,
45
amelyre
Hn = Xn ,
így a
{τ ∗ ≥ n}
halmazon
Xn−1 > Hn−1 .
Mivel az indukciós formula szerint
Xn−1 = max (Hn−1 , E (Xn | Fn−1 )) , ezért a
{τ ∗ ≥ n}
halmazon az els® tag nem lehet "éles", így
Xn−1 = E (Xn | Fn−1 ) . Következésképpen
χ {τ ∗ ≥ n} (E (Xn | Fn−1 ) − Xn−1 ) = 0. ϕn
Így felhasználva, hogy a ∗
változó
∗
τ E Xnτ − Xn−1 | Fn−1
Xτ ∗ Xτ
következésképpen az
F0 = {∅, Ω} ,
így az
∗
= E (ϕn (Xn − Xn−1 ) | Fn−1 ) = = ϕn E (Xn − Xn−1 | Fn−1 ) = = χ {τ ∗ ≥ n} (E (Xn | Fn−1 ) − Xn−1 ) = 0,
martingál. Az
X0
konstans, ugyanis a modell de níciója szerint
martingál tulajdonsága szerint
∗
X0 = X0τ = E XTτ ahol az utolsó egyenl®ség a
X0
Fn−1 -mérhet®
τ∗
∗
= E (X (τ ∗ ∧ T )) = E (Xτ ∗ ) = E (Hτ ∗ ) ,
de níciója miatt teljesül®
Xτ ∗ = Hτ ∗ következménye. Mivel τ ∗ valóban egy optimális
éppen az optimális megállítás problémájának megoldása a
megállási id®.
2 Általában az optimális megállási id® nem egyértelm¶. Érvényes a következ® karakterizáció:
2.25 Tétel. Ha
H ≥ 0,
akkor valamely
τ
megállási id® pontosan akkor optimális a
H
ki zetés esetén,
ha 1.
m.m.
H (τ ) = X (τ )
2. az
X
a
Xτ H
megállított folyamat martingál, ahol
Snell-burkolója.
Bizonyítás: 1.
és
2.
Az egyik irány az el®z® állítás bizonyításának vége alapján világos: Ha az
τ optimális. Csak azt 2. feltételek. Mivel az X tetsz®leges ρ megállási id® esetén
feltételek teljesülnek, akkor a
optimális, akkor érvények az vagyis mivel
H ≤ X,
ezért
1.
és a
H (ρ) ≤ X (ρ) .
kell belátni, hogy ha a dominálja a
H
τ
ki zetést,
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Ha a
τ
46
optimális megállási id®, akkor a megállási opciókról szóló tétel alapján, felhasználva,
hogy az
X
integrálható szupermartingál
X (0) = E (H (τ )) ≤ E (X (τ )) ≤ E (X (0)) = X (0) , ami csak úgy teljesülhet, ha mindenhol egyenl®ség van, következésképpen teljesül az els® feltétel, vagyis
H (τ ) = X (τ ).
Be akarjuk látni a második feltételt. Az opciókról szóló tétel szerint a
τ ∧n≤τ
X
integrálható szupermartingál, így a megállási
miatt
X (0) ≥ E (X (τ ∧ n)) ≥ E (X (τ )) = E (H (τ )) = X (0) , ahol az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy a már belátott els® feltétel, illetve a
τ
optima-
litása miatt
E (X (τ )) = E (H (τ )) = X (0) . Tehát a becslésb®l következ® egyenl®ség és a torony szabály felhasználásával
E (X (τ ∧ n)) = E (X (τ )) = E (E (X (τ ) | Fn )) .
(2.13)
Az alábbi lemma alapján egy megállított szupermartingál szintén szupermartingál, így az X τ szupermartingál. Ezt felhasználva
X (τ ∧ n) = X τ (n) ≥ E (X τ (T ) | Fn ) = = E (X (τ ∧ T ) | Fn ) = E (X (τ ) | Fn ) . A várható értékre vonatkozó (2.13) sor miatt az el®z® sorban valójában csak egyenl®ség lehet, így
Xnτ = E (X (τ ) | Fn ) , Xτ
következésképpen az
az
X (τ )
x változó
(Fn )
szerinti feltételes várható értékeib®l áll,
így valóban martingál.
2
2.26 Következmény. A korábban de niált
Bizonyítás:
A
τ∗
τ∗
megállási id® a legkisebb optimális megállási id®.
a legkisebb olyan megállási id®pont, amelyre az els® optimalitási
kritérium teljesül.
2
2.27 Lemma. Ha
X
egy integrálható szubmartingál és
τ
egy tetsz®leges megállítási id®, akkor az
megállított folyamat szintén integrálható szubmartingál.
Xτ
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Bizonyítás:
47
X τ integrálható. X szubmartingál,
El®ször megmutatjuk, hogy az
Szubmartingálok konvex, X + is szubmart+ ingál. Mivel a szubmartingálok pozitív része de níció szerint integrálható ezért az X egy növeked® függvénye szubmartingál. Így ha az
akkor az
tetsz®leges szubmartingál esetén egy integrálható szubmartingál.
A megállási opciókról
szóló tétel miatt
E (X τ )+ (t) = E X + (τ ∧ t) ≤ E X + (t) < ∞, vagyis az
X τ (t) pozitív része integrálható.
Az
X (0) integrálható, így a megállási opciókról
szóló tétel miatt a várható érték monotonitása alapján
E (X τ (t)) = E (X (τ ∧ t)) ≥ E (X (0)) > −∞ X τ (t)
τ negatív része is integrálható, vagyis az X (t) integrálható. Most mutassuk τ meg, hogy az X szubmartingál. Vegyük az s < t id®pontokat. Ha F ∈ Fs és így az
σ (ω) $
s t
ha ha
ω∈ /F , ω∈F
s ≤ σ miatt Z X (τ ∧ s) dP+ X (τ ∧ t) dP ≥ E (X (τ ∧ s)) .
akkor a megállási opciókról szóló tétel és az
Z E (X (τ ∧ σ)) = Fc
F
Vagy ami ugyanaz
Z
Z X (τ ∧ t) dP ≥
F
X (τ ∧ s) dP. F
Vagyis
E (X τ (t) | Fs ) ≥ X τ (s) , ami éppen a kívánt egyenl®tlenség.
2
2.4.5.
Optimális megállításra vonatkozó példák
Ebben az alpontban rövid kitér®t teszünk és néhány egyszer¶ és ismert példát tárgyalunk.
A példákban az alapul vett mez® végességét nem tesszük fel, így a Snell-burkoló
konstrukciójakor az említett lényeges szuprémumot kell használni.
2.28 Példa. Optimális részvényeladás azonos és független áreloszlások esetén. Tegyük fel, hogy egy
T
hossszú, diszkrét id®pontsorozat során minden id®szakban ka-
punk egy véletlen nem negatív ajánlatot valamilyen eszközre. Ha az
n
id®pontban eladjuk T −n az eszközt, akkor az id®szak végéig betehetjük a ξ n vételárat a bankba és ξ n (1 + r) kamatot kapunk. Mikor kell eladni az eszközt?
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Vegyük észre, hogy egy
48
Hn $ ξ n (1 + r)T −n ki zetéssorozatról van szó.
A Snell-burkolót
el®állító iteráció
XT = HT = ξ T , Xn = max (Hn , E (Xn+1 | Fn )) = max (Hn , E (Xn+1 )) = = max ξ n (1 + r)T −n , E (Xn+1 ) ugyanis az
Xn+1
független az
Fn
feltételi
az
αn $
σ -algebráktól.
E (Xn+1 ) (1 + r)T −n
,
Ebb®l következ®en ha bevezetjük
αT = 0
számsorozatot, akkor az optimális lehívási stratégia a
τ ∗ = min {n ≥ 0 | Hn = Xn } = min {n ≥ 0 | ξ n ≥ αn } , αn
vagyis addig kell várni, amíg az aktuális ajánlat el®ször el nem éri az megoldás pontos megértése céljából megjegyezzük, hogy az
(αn )
értéket.
A
sorozat csökken. Ennek
igazolásához vezessük be a
Vn (ξ) $ sorozatot. Az
Xn
Xn (1 + r)T −n
,
de níciójából és a független és azonos eloszlás feltételéb®l
E (Vn+1 (ξ)) 1+ r E (Vn+1 (ξ)) = max (ξ, αn ) . Vn (ξ) = max ξ, 1+r αn =
Nyilván
E (VT −1 (ξ)) VT (ξ) = ξ ≤ max ξ, = VT −1 (ξ) , 1+r illetve indukcióval
E (Vn+2 (ξ)) E (Vn+1 (ξ)) Vn+1 (ξ) = max ξ, ≤ max ξ, = Vn (ξ) , 1+r 1+r amib®l a
αn ≥ αn+1
már evidens. Ugyanakkor ha
F (x)
a
(ξ n )
változók közös eloszlásfügg-
vénye, akkor
αk
E max ξ k+1 , αk+1 E (Vk+1 ) = = 1+r 1+r
αT = 0
1 = 1+r
Z
αk+1
Z
∞
αk+1 dF + 0
! xdF (x)
αk+1
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
egy az
(αk )
49
sorozatot megadó hátrafelé haladó indukció.
Ha a
(ξ n )
a
[0.1]
szakaszon
egyenletes eloszlású, akkor
αT = 0, 1 = 1+r
αn
=
x2 α2n+1 + 2
!
1
= αn+1
1 α2n+1 + 1 . 2 (1 + r) 2
2.29 Példa. Azonos és független ajánlatok esetén való vásárlás. Tegyük fel, hogy valamilyen terméket akarunk megvásárolni és ehhez a
T
hosszú id®szak
mindegyikében egy azonos eloszlás szerinti, és egymástól független véletlen árajánlatot kapunk.
Mikor kell a terméket megvenni?
Mivel az árat minimalizálni akarjuk, ezért a
bemutatottal azonos módon megmutatható, hogy az
XT = HT $ ξ T Xn = min (ξ n , E (Xn+1 | Fn )) Snell-burkoló és a
Hn $ ξ n
ki zetések els®
érintkezési pontját kell meghatározni. Ismé-
telten a függetlenség feltétele miatt
Xn = min (ξ n , E (Xn+1 )) , amib®l bevezetve az
αn $ E (Xn+1 )
konstansokat az optimális stratégiát a
τ ∗ = min {n ≥ 0 | ξ n ≤ αn } ∧ T megállási id® adja. E szerint a
T −1
T
id®pontban a terméket mindenképpen meg kell venni. A
ξ T −1
id®pontban akkor kell a terméket megvenni, ha a
mint a közös várható érték, stb. Az így kapott
αn
utolsó el®tti árajánlat kisebb
sorozat nyilván nem n® és az értékét a
αT = E (ξ T ) Z
αn+1
αn = αn+1 (1 − F (αn+1 )) +
xdF (x) 0
hátra felé haladó iterációval határozhatjuk meg.
Ha a
(ξ n )
a
[0, 1]
szakaszon egyenletes
eloszlású, akkor
αT =
1 2
αn = αn+1 (1 − αn+1 ) +
α2n+1 α2 = αn+1 − n+1 . 2 2 2
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
50
2.30 Példa. Részvény eladási feladat az árak megtartása esetén. Tekintsük a már tárgyalt részvényeladási példát avval az eltéréssel, hogy a korábbi árakat szintén el lehet utóbb fogadni. Persze ha kés®bb fogadjuk el az árat, akkor kevesebb kamatot kapunk rá az id®szak végén. Ilyenkor a
Hn $ (1 + r)T −n max ξ k k≤n
ki zetéshez tartozó feladatot kell megoldani.
XT = HT = max ξ n , n≤T
Xn = max (Hn , E (Xn+1 | Fn )) . Az egyenl®ségeket
(1 + r)T −n -nel
végigosztva és új
Vn $
Xn (1 + r)T −n
változókat bevezetve az
VT = max ξ n , n≤T E (Vn+1 | Fn ) Vn = max max ξ k , k≤n 1+r iterációhoz jutunk. A
(ξ k )
változók függetlensége miatt az
E (f (ξ, η) | ξ = x) = E (f (x, η)) szabályt használva
VT −1
E (maxn≤T ξ n | FT −1 ) = max max ξ k , = k≤T −1 (1 + r) E (max (maxn≤T −1 ξ n , ξ T ) | FT −1 ) = = max max ξ k , k≤T −1 1+r = max max ξ k , h max ξ k k≤T −1
ahol
h (x) $ Vezessük be az
k≤T −1
E (max (x, ξ T )) . 1+r
E (max (x, ξ T )) S $ {x | x ≥ h (x)} = x | x ≥ 1+r
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
51
tartományt. Nyilván
Z
∞
wdF (w) .
E (max (x, ξ T )) = xF (x) + x Ugyanakkor
Z ∞ S = (1 + r) x ≥ xF (x) + wdF (w) = x Z ∞ wdF (w) = = rx ≥ x (F (x) − 1) + x Z ∞ (w − x) dF (w) . = rx ≥ x
S = {x ≥ a} , ahol Z ∞ xdF (x) . (1 + r) a = aF (a) +
Mivel a bal oldal n®, a jobb csökken, ezért
a Ebb®l következ®en a T − 1 id®ponban akkor kell vásárolni, ha maxn≤T −1 ξ n ≥ esetben tovább kell lépni az utolsó periódusra. Megmutatjuk, hogy általában
a,
ellenkez®
τ = min n | max ξ k ∈ S ∧ T = min n | max ξ k ≥ a ∧ T, ∗
k≤n
k≤n
vagyis az els® olyan id®pontban meg kell állni, ahol az aktuális ajánlati ár eléri, vagy nagyobb mint az
a
szint.
Ennek oka, hogy ebben a feladatban érvényes az úgynevezett
egy lépéssel való el®relátás szabálya, vagyis minden id®pontban a megállás eldöntéséhez elég úgy tenni, mintha egyetlen lépés lenne csak hátra. Legyen
Sn(T ) $ Hn(T ) = Xn(T ) = Hn = Xn(T ) T hosszú id®horizonthoz tartozó n id®pontban érvényes megállítási halmaz. Mivel (T ) (T ) az id®horizont növelésével a Hn nem változik, az Xn azonban legfeljebb n®het, ezért (T +1) (T ) általában Sn ⊆ Sn . Jelen esetben ha az id®horizont hossza T = n + 1, akkor egy
Sn = {maxk≤n ξ k ≥ a}. Ha az id®horizontot eggyel T = n + 2-re megnöveljük, akkor a maxk≤n+1 ξ k ≥ maxk≤n ξ k ≥ a nyilván teljesülni fog, ezért az Sn halmazon, kihasználva,
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
hogy a
(ξ n )
52
változók eloszlása azonos és függetlenek
E (Vn+1 | Fn ) Vn = max max ξ k , = k≤n 1+r |Fn+1 ) | F E max maxk≤n+1 ξ k , E(Vn+1 n 1+r = = max max ξ k , k≤n 1+r E (maxk≤n+1 ξ k | Fn ) = max max ξ k , = k≤n 1+r ! E max maxk≤n ξ k , ξ n+1 | Fn = max max ξ k , = k≤n 1+r = max max ξ k , h max ξ k = max ξ k , k≤n
k≤n
vagyis, miként állítottuk teljesül a fordított
(T )
Sn
k≤n
(T +1)
⊆ Sn
tartalmazás is, vagyis a
{Hn = Xn }
halmaz független a hátra lev® id®periódusok számától.
2
2.31 Példa. Racionális betör®. Ezen példa szerint egy betör® minden éjszaka betöréskor
p valószín¶séggel lebukik.
ξk
bevételre tehet szert, de minden
Lebukás esetén a teljes megszerzett vagyonát elveszti.
Ilyenkor
Hn $
n X k=1
ahol az
ηk p
! ξk
n Y
ηk ,
k=1
valószín¶séggel nulla vagy egy értékeket felvev®,
Fk -mérhet®
változó. A Snell-burkoló egyenlete
XT = HT XT −1 = max (HT −1 , E (XT | FT −1 )) = = max (HT −1 , (1 − p) (HT −1 + E (ξ T ))) . Ebb®l látható, hogy az utolsó lépésben a megállítási halmaz
S=
1−p E (ξ T ) . x|x≥ p
valószín¶ségi
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
53
Megmutatjuk, hogy a feladat szintén egy lépéssel való el®retekintéssel megoldható. Növeljük meg az id®horizontot eggyel. Ekkor
HT , (1 − p) HT + E ξ T +1 , HT −1 , E (1 − p) HT + E ξ T +1 | FT −1 = HT −1 , (1 − p) E (HT | FT −1 ) + E ξ T +1 = HT −1 , (1 − p) (1 − p) HT −1 + E ξ T +1 + E ξ T +1 = 2 = max HT −1 , (1 − p) HT −1 + (1 − p) ((1 − p) + 1) E ξ T +1 .
XT = XT −1 = = =
max max max max
A megállítási halmaz ilyenkor
x | x ≥ (1 − p)2 x + (1 − p)2 + (1 − p) E ξ T +1 = x 1 = x| ≥x+ 1+ E ξ T +1 = 1−p (1 − p)2 1 2−p = x|x −1 ≥ E ξ T +1 = 1−p (1 − p)2 2−p p (2 − p) ≥ E ξ T +1 = = x|x 1−p (1 − p)2 1−p E ξ T +1 $ {x | x ≥ a} , = x|x≥ p
vagyis a megállítási halmaz nem függ az id®szak hosszától és a betörési sorozatot akkor kell befejezni, amikor el®ször lesz a rablott összérték eleme az fenti
a
S
halmaznak, vagyis legalább a
szám.
2
2.4.6.
A DoobMeyer felbontás és a szuperhedge létezése
Térjünk vissza az amerikai opciók árazási problémájára.
2.32 Tétel. Ha
X
integrálható szubmartingál, akkor van, mégpedig egyetlen olyan
M
martingál és
A
el®rejelezhet®, növeked® folyamat, hogy
X = M + A,
Bizonyítás:
Legyen
Mn $ X0 +
M0 $ X0 , A0 $ 0,
n−1 X j=0
Mivel az hogy az
A0 = 0.
és
(Xj+1 − E (Xj+1 | Fj )) ,
An $
n−1 X
(E (Xj+1 | Fj ) − Xj ) .
j=0
Xn változók integrálhatóak, ezért a feltételes várható értékek értelmesek és világos, Mn változók integrálhatóak. Könnyen látható, hogy X = M + A.
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
54
E (Mn+1 | Fn ) $ E X0 +
n X
! (Xj+1 − E (Xj+1 | Fj )) | Fn
=
j=0
= E (X0 | Fn ) +
n X
E (Xj+1 − E (Xj+1 | Fj ) | Fn ) =
j=0
= X0 +
n−1 X
(Xj+1 − E (Xj+1 | Fj )) + 0,
j=0 így M martingál. Az X szubmartingál, így E (Xj+1 | Fj )−Xj ≥ 0 következésképpen az An Fn−1 -mérhet® és növeked®. Megmutatjuk, hogy a felbontás egyértelm¶. Ha Xn = Mn0 + A0n egy másik felbontás, akkor
0 A0n+1 − A0n = Xn+1 − Mn+1 − (Xn −Mn0 ) = 0 = (Xn+1 − Xn ) − Mn+1 − Mn0 = 0 = (An+1 − An ) + (Mn+1 − Mn ) − Mn+1 − Mn0 . Ha az Fn -szerint feltételes várható értéket veszünk, majd felhasználjuk, hogy az A0 el®rejelezhet®, valamint, hogy az M és az M 0 martingál
A
és az
A0n+1 − A0n = An+1 − An + 0 − 0. Mivel
A0 = A00 = 0,
ezért minden
n-re An = A0n .
Ezt felhasználva az
Mn = Mn0
egyenl®ség
már evidens.
2
2.33 Tétel. Ha a piac teljes és nincsen arbitrázs, akkor minden
H ≥ 0
ki zetés esetén az amerikai
opciónak van ára és az ár éppen a kockázatsemleges mérték mellett értelmezett optimális megállítás feladatának optimális értékével azonos.
Bizonyítás: H
A feltételek miatt nincsen arbitrázs, így létezik
martingálmérték. Legyen
H -hoz tartozó Snell-burkolót. Az X szupermartingál, és az alaptér véges atomossága miatt a −X integrálható szubmartingál, tehát rendelkezik DoobMeyer felbontással: X = M − A, ahol M martingál, A ≥ 0, A0 = 0. ∗ Mivel a modell teljes, ezért létezik olyan x , hogy a hozzá tartozó portfólió értékfolyama∗ tára VT (x ) = MT . A V lokális martingál a Q martingálmérték mellett. Mivel az MT ∗ integrálható a V (x ) nem csak lokális martingál, hanem valódi martingál, tehát a ki zetésekb®l álló folyamat. Jelölje
X
Q
a
Vn (x∗ ) = EQ (VT (x∗ ) | Fn ) = EQ (MT | Fn ) = Mn . Mivel
A0 = 0,
és mivel létezik
τ∗
optimális megállási id®, ezért a megállási opciókról szóló
tétel miatt
EQ (Vτ ∗ (x∗ )) = V0 (x∗ ) = M0 = M0 − A0 = X0 = = max EQ (Hτ ) = EQ (Hτ ∗ ) . τ
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
55
és
Vn (x∗ ) = Mn = (Xn + An ) ≥ (Hn + An ) ≥ ≥ Hn , vagyis a
V (x∗ )
szuperreplikáló és az els® egyenl®ség miatt
m.m.
Vτ ∗ (x∗ ) = Hτ ∗ . Természetesen a szuperreplikálás és a megállítás id®pontjában való majdnem mindenhol való egyezés a ekvivalensek
Q
mérték mellett majdnem mindenhol teljesül.
De mivel a
P
és a
Q
ezért a relációk az eredeti statisztikai mérték esetén is teljesülnek. Miként H ára éppen x∗ .
a bevezet®ben elmondtuk, ilyenkor a
2 Hangsúlyozni kell, hogy a
H
ki zetésen, illetve az
S
alaptermékeken általában a disz-
kontált folyamatokat értjük. Vagyis az optimális megállítási problémát a diszkontált értékfolyamatra kell megoldani. A modell közgazdaságilag csak így értelmes. Ugyanakkor matematikai szempontból a feladat akkor is megoldható, ha portfólióként közvetlenül a sztochasztikus integrálokat
tekintjük és az els® és második alaptételt közvetlenül az
H
alaptermékekre alkalmazzuk. Ilyenkor természetesen a Matematikai szempontból csak az a lényeg, hogy az
M
ki zetést nem kell diszkontálni.
felírható legyen replikáló portfóli-
óként. Vegyük észre, hogy az el®z® állításban nem használtuk ki, hogy a DoobMeyer felbontásban szerepl®
A
el®rejelezhet®.
Erre az alábbiakban lesz szükségünk.
A DoobMeyer
felbontás segítségével további optimális megállási id®ket is meghatározhatunk.
2.34 De níció. Legyen
H ≥ 0
tetsz®leges és legyen
X
a
H
Snell-burkolója.
Legyen
X = M −A
az
X
DoobMeyer felbontása. Legyen
τ
∗∗
(ω) $
T min {n | An+1 (ω) > 0}
2.35 Tétel. A
τ ∗∗
a
H
egy optimális megállási ideje.
Bizonyítás:
Mivel az
A
A
τ ∗∗
ha ha
AT (ω) = 0 . AT (ω) > 0
a maximális optimális megállási id®.
el®rejelezhet®, ezért az
An+1
változó
Fn -mérhet®,
így
{τ ∗∗ = n} = ∩k≤n {Ak = 0} ∩ {An+1 > 0} ∈ Fn ∗∗ megállási id®. A τ optimalitását az optimalitási kritérium segítségével fogjuk ∗∗ τ igazolni. Nyilván A = 0, tehát tehát a
τ ∗∗
Xτ
∗∗
= Mτ
∗∗
− Aτ
∗∗
∗∗
= Mτ .
2.4. AZ AMERIKAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
Az
56
M
martingál, minden megállított martingál martingál, tehát az ∗∗ ∗∗ a második feltétel teljesül. Megmutatjuk, hogy X (τ ) = H (τ ) .
T −1 X
∗∗
X (τ ) =
k=0 T −1 X
=
Xτ
∗∗
is martingál, így
χ (τ ∗∗ = k) Xk + χ (τ ∗∗ = T ) XT = χ (τ ∗∗ = k) max (Hk , E (Xk+1 | Fk )) + χ (τ ∗∗ = T ) HT .
k=0 Mivel az
A
el®rejelezhet® és az
M
martingál, ezért
E (Xk+1 | Fk ) = E (Mk+1 − Ak+1 | Fk ) = Mk − Ak+1 . A
{τ ∗∗ = k}
halmazon
Ak = 0
miközben
Ak+1 > 0,
így ezen a halmazon
E (Xk+1 | Fk ) = Mk − Ak+1 < Mk − Ak = Xk , így a
{τ ∗∗ = k}
halmazon
Xk = max (Hk , E (Xk+1 | Fk )) = Hk , következésképpen
Xτ ∗∗ = Hτ ∗∗ ,
amely éppen az els® feltétel. τ ∗∗ a maximális optimális megállási id®. Legyen τ ≥ τ ∗∗ ∗∗ egy megállási id® és tegyük fel, hogy egy pozitív mérték¶ halmazon τ > τ . Ezen a Végül megmutatjuk, hogy a
halmazon az
A (τ )
pozitív.
Mivel
A ≥ 0,
ezért
E (A (τ )) > 0,
így a megállási opciókról
szóló tétel szerint
E (H (τ )) ≤ E (X (τ )) = E (M (τ )) − E (A (τ )) < < E (M (τ )) = E (M (0)) = E (X (0)) = X (0) , tehát a
τ
nem lehet optimális.
2
3. fejezet Néhány tétel a sztochasztikus folyamatok elméletéb®l A sztochasztikus integrálás elmélete, els®sorban a közgazdasági alkalmazások miatt virágkorát éli.
Ugyanakkor az elmélet a mértékelmélet és a funkcionálanalízis olyan pontos
és alapos ismeretére épül, amely az alkalmazásokban érdekelt kutatók számára gyakran csak komoly er®feszítések árán érhet® el. Viszonylag jól képzett matematikusok számára is a sztochasztikus integrálás elmélete számos mértékelméleti meglepetést tartalmaz.
A
matematikai pénzügyek népszer¶ségének egyik oka, hogy legfontosabb eredményei a sztochasztikus integrálás, illetve általánosabban a sztochasztikus analízis eszköztárára épülnek, így a matematikai elmélet fénye kétségtelenül átvetül a pénzügyi elméletre, és nagyban hozzájárul a pénzügyi világ által önmaga köré épített káprázathoz. A fejezetben megpróbálok az el®ismeretek minimumát felhasználva rövid áttekintést adni a legfontosabb konstrukciókról. Természetesen bizonyos alapfogalmakra szükségünk lesz. Így például feltételezem, hogy az olvasó olyan fogalmakkal mint ltráció, megállási id®, trajektória tisztában van. Ugyanakkor néhány nehezebb, talán kevésbé elemi, de azért közismert eredményt is fel 2 fogunk használni. Ezek közé tartozik az L (Ω)-ban korlátos halmazok egyenletes integrálhatósága illetve a Doob-egyenl®tlenségek. A szükséges el®ismereteket egy jelent®s részét a fejezet els® pontjában röviden összefoglalom. Ugyanakkor mivel egy igen ki nomult és szerteágazó matematikai elméletr®l van szó, így az olvasónak a téma pontos, az apró részletekbe is belemen® megértéséhez esetlegesen szüksége lehet a Valószín¶ségszámítás könyvemben megtalálható egyes további tételekre. Bár a tárgyalás reményeim szerint a lehet®ségekhez képest egyszer¶, azért távolról sem egyszer¶ és hallgatólagosan a mértékelméletre épül® valószín¶ségszámítás jelent®s ismeretére épül. A tárgyalás kulcsa, hogy els® lépésként csak folytonos, pontosabban balról reguláris, integrandus esetén vizsgáljuk az integrálást. Ilyenkor az integrál igen egyszer¶en de niálható: az integrál a közelít® összegek határértéke. Az egyetlen észrevétel, amit tenni kell, hogy az integrál értéke, szemben a klasszikus esettel, függ a közelít® pont választásának módjától. Ez az úgynevezett kvadratikus variáció létezésében és pozitivitásában jelentkezik. A bemutatott eredmények használhatóságát többek között a sztochasztikus dierenciálegyenletek elméletének rövid ismertetésén teszteljük. A fejezet végén röviden bemutatom az integrál kiterjesztését mérhet® integrandusokra.
57
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
58
A sztochasztikus integrálás elméletének kulcsfogalma a kvadratikus variáció. Az alábbi gondolatmenet némiképpen egyszer¶síthet® lenne, ha csak Wiener-folyamatok szerinti integrálokat próbálnánk bevezetni, ugyanis a Wiener-folyamatok kvadratikus variációja igen egyszer¶.
Valamely intervallumon egy Wiener-folyamat kvadratikus variációja éppen az
intervallum hossza. Ennek következtében a kvadratikus variáció által de niált mérték egyrészt determinisztikus, másrészt éppen a Lebesgue-mérték. Ha azonban az integrátor csak Wiener-folyamat lehet, akkor nem világos, hogy mit jelentenek azok az integrálok, amikor az integrátor már maga is egy Wiener-folyamat szerinti sztochasztikus integrál.
A
Wiener-folyamat azon kétségtelen el®nye, hogy a kvadratikus variációja determinisztikus, a formulákat és a gondolatmenetet leegyszer¶síti, de ha hajlandók vagyunk az absztrakciós létrán egy kicsit feljebb mászni, akkor többet nyerünk, mint amennyi energiát elveszítünk. A fejezet a könyv els® olvasásakor kihagyható. Második és harmadik olvasásra elegend® a de níciókat és a tételeket nagyjából megérteni. A negyedik olvasásra a de níciók és a példák tartalmát érdemes átgondolni.
Ötödik olvasásra esetleg érdemes a tételek pon-
tos tartalmát megérteni, és csak nagyon sokadik olvasásra és nagyon elhivatott olvasónak érdemes a fejezetben szerepl® összes tétel bizonyítását átgondolni.
3.1.
Néhány alapfeltevés
Ebben a pontban azokat a nem teljesen triviális, de a sztochasztikus folyamatok területén közismert állításokat és feltételeket sorolom fel, amelyekre a kés®bbiekben támaszkodni fogunk. 1. Kezdjük a sztochasztikus alaptérrel. Legyen
(Ω, A, P)
egy valószín¶ségi mez®. Hang-
súlyozni kell, hogy mivel csak folytonos szemimartingálok szerint akarunk integrálni, nem lesz szükségünk a mez® teljességére, vagyis nem tételezzük fel, hogy a nullmérték¶ hal-
A σ -algebrának. A mez®n értelmezve t változójával indexelt σ -algebrákból álló Ft család, amelyre ha s < t, akkor Fs ⊆ Ft ⊆ A. Egy X (t, ω) sztochasztikus folyamatot adaptáltnak mondunk, ha minden t id®pontra az ω 7→ X (t, ω) mérhet® az Ft
mazok részhalmazai is események, vagyis elemei az van egy
F
ltráció
,
vagyis adott az id®tartomány
szerint. A továbbiakban az adaptáltságot minden további említés nélkül minden folyamattól automatikusan megköveteljük. Feltételezzük, hogy az összes
Ft
tartalmazza az alaptér
nullmérték¶ halmazait. Erre azért van szükség, mert két folyamatot akkor tekintünk azo-
X Y folyamatok, akkor az X = Y reláció azt jelenti, hogy majdnem minden kimenetelre az X és az Y trajektóriái azonosak. Másképpen, a sztochasztikus folyamatok függvény nosnak, ha a trajektóriáik egy nulla mérték¶ halmaztól eltekintve azonosak. Vagyis, ha
és
érték¶ valószín¶ségi változók ekvivalencia osztályai. Felvethet®, hogy függvényérték¶ valószín¶ségi változók értelmezéséhez valamiképpen de niálni kell a trajektóriák terén a mérhet®ség fogalmát, ugyanis a mérhet® leképezések mérhet® terek között hatnak. Ehhez el®ször értelemszer¶en rögzíteni kell a függvényosztályt, amib®l a trajektóriákat vesszük. Például ez lehet a folytonos függvények
C ([0, ∞))
halmaza, vagy a kés®bb bevezetett jobbról, vagy balról reguláris függvények osztálya. A rögzített függvénytéren a mérhet®séget általában az úgynevezett koordinátaleképezések ál-
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
59
tal generált mérhet®ségi struktúrával de niáljuk, vagyis a függvénytéren azt a legsz¶kebb
σ -algebrát
tekintjük, amelyre nézve minden
koordinátaleképezés éppen
Ft
t
id®pontban az
ω 7→ X (t, ω)
úgynevezett
mérhet®. Ilyenkor a trajektóriák terén a mérhet®ség de ní-
cióját visszavezetjük a már megadott ltrációra.
El®fordul azonban a fordított irány is.
Például a folytonos függvények terén a topológiát a kompakt halmazokon való egyenletes konvergenciával szokás de niálni. Ez a topológia de niál egy Borel-mérhet®ségi struktúrát
Ft az a legsz¶kebb σ algebra, amelyre nézve az összes s ≤ t id®pont esetén az ω → 7 X (s, ω) koordináta leképezés a trajektóriák terén. Ezt követ®en a ltrációt úgy de niáljuk, hogy
mérhet®. Ilyenkor tehát a függvénytéren de niált mérhet®ségi struktúrából származtatjuk a ltrációt. Természetesen a tárgyalás során kiemelt gyelemmel kell ügyelni arra, hogy a két megközelítés egyidej¶ alkalmazása kompatibilis legyen. A nullmérték¶ halmazokra tett feltétel miatt minden egyes folyamathoz tartozó osztály minden eleme adaptált, vagyis ha
vagyis ha a trajektóriáik csak nullmérték¶
t-re az Ft tartalmazza a nullmérték¶ halmazokat, ezért az X (t) mérhet®ségéb®l következik az Y (t) mérhet®sége. Érdemes megjegyezni, hogy ha minden t-re X (t) majdnem mindenhol megegyezik az Y (t)-vel, akkor azt szokás mondani, hogy az Y folyamat az X folyamat módosítása. Mivel a ltrációban szerepl® σ -algebrák tartalmazzák a nullmérték¶ halmazokat, ezért ha az X adaptált és az Y az X módosítása, akkor az Y is adaptált. Mivel a folyamatok egyenl®ségéb®l következik halmazban különböznek, és az
X (t)
X
X=Y
adaptált, akkor az
majdnem mindenhol megegyezik az
Y (t)-vel,
Y
is adaptált, ugyanis minden
és mivel az
a módosítás erejéig való egyenl®ség, ezért az els® megjegyzés a második speciális esete. A ltrációról feltesszük, hogy jobbról folytonos. Ez alatt azt értjük, hogy tetsz®leges
t-re Ft = ∩s>t Fs $ Ft+ .
Azt mondjuk, hogy a sztochasztikus alaptér teljesíti a szokásos
feltételeket, ha 1. a
F
ltráció jobbról folytonos,
2. minden id®pontban az
Ft
tartalmazza a nullmérték¶ halmazokat,
(Ω, A, P) tér teljes, vagyis ha A ∈ A és P (A) = 0, akkor minden N ⊆ A esetén N ∈ A. Ismételten hangsúlyozni kell, hogy ez utóbbi feltételre folytonos integrátorok
3. az
esetén, vagyis az itt bemutatott tételek tárgyalása során, nincsen szükség.
2. Az
X
folyamatot folytonosnak mondjuk, ha a
t 7→ X (t, ω) trajektóriák folytonosak.
Az
ekvivalenciaosztály bevezetése miatt, a minden kimenetre való folytonosság helyett gyakran megelégszünk a majdnem minden
ω
kimenetelre való folytonossággal. Egy folyamat
jobbról reguláris, ha a trajektóriálnak minden id®pontban létezik véges bal oldali határértéke és a trajektóriák jobbról folytonosak. folyamatok családja. Egy
X
Hasonlóan értelmezhet® a balról reguláris
folyamatot regulárisnak mondunk, ha vagy jobbról vagy bal-
ról reguláris. Érdemes hangsúlyozni, hogy a regularitás de níciójában szerepl® határérték mindig véges. Annak ellenére, hogy gyakran használunk absztrakt nyelvezetet a sztochasztikus folyamatok trajektóriái legtöbbször reguláris függvények. Például az alább felépített ItôStieltjes integrálás elméletében az integrandusok balról regulárisok, az integrátorok
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
60
pedig jobbról reguláris folyamatok. A trajektóriák regularitásának fontos következménye, hogy beszélhetünk az
X
folyamat ugrásaiból álló
∆X
folyamatról, amely de níció szerint
∆X = X+ − X− , ahol az X+ a jobb oldali határértékekb®l álló folyamat és értelemszer¶en X− jelöli a bal oldali határértékekb®l álló folyamatot. A ∆ szimbólumot gyakran egy folyamat növekményeinek jelölésére is alkalmazni fogjuk, ami elvileg némiképpen félreérthet®. A szövegkörnyezetb®l kiragadva például a ugrásaiból álló
∆X
folyamat
tk
∆X (tk )
jelölés esetén nem világos, hogy az
X
id®pontban vett helyettesítési értékér®l van szó, vagy egy
(tk ) id®pont sorozat által de niált X (tk ) − X (tk−1 ) növekményr®l van-e szó. 1
Remélhet®leg
azonban a szövegkörnyezetb®l ez mindig egyszer¶en kideríthet® . Könnyen belátható, hogy reguláris függvényekre értelemszer¶ módosítással átvihet®k az elemi analízisben a kompakt szakaszokon értelmezett folytonos függvényekre belátott állítások. Például a reguláris függvények minden kompakt intervallumon korlátosak, illetve ha az ugrások nagysága kisebb mint egy x
c
konstans, akkor tetsz®leges kompakt szakasz
ε > 0 számhoz található olyan δ > 0, hogy ha a t1 és t2 távolsága δ , akkor a reguláris függvény t1 és a t2 id®pontokban vett értékeinek távolsága legfeljebb c + ε. Természetesen a korlát, illetve a δ függvényenként más és más lehet. A korlátosságra vonatkozó megjegyzés indoklása a következ®: Tegyük fel, hogy az X folyamat reguláris és egy alkalmas (tn ) sorozatra |X (tn )| ≥ n, és a (tn ) sorozat elemei egy kompakt esetén bármilyen kisebb mint
id®tartományban vannak. Részsorozatokra áttérve a kompaktság miatt feltehet®, hogy a
(tn )
konvergens, illetve hogy monoton n® vagy esetleg csökken.
annak, hogy az
X
Ez azonban ellentmond
reguláris, és ezért minden id®pontban a trajektóriáknak van jobbról és
balról vett határértéke. Hasonlóan, ha van olyan (tk ) és (sk ) sorozat, amelyre |tk − sk | ≤ 1/k és |f (tk ) − f (sk )| ≥ c + ε, akkor részsorozatokra áttérve feltehet®, hogy az (sk ) és a (tk ) sorozat konvergens. Ha a két sorozat a közös határérték egyik oldalára esik, akkor ez ellentmond annak hogy létezik a jobb és bal oldalról vett határérték, ha pedig a közös határérték két különböz® oldalára esik a két sorozat, akkor az ellenmond annak, hogy a lehetséges ugrások maximális nagysága 3.
c.
-
Sztochasztikus folyamatra a legfontosabb példát a Wiener folyamatok szolgáltatják.
3.1 De níció. Egy
{w (t, ω)}t≥0
folyamatot Wiener-folyamatnak mondunk, ha teljesíti az alábbi négy fel-
tételt: 1.
w (0) ≡ 0.
2. A
w
t0 < t1 < . . . < tn
növekményei függetlenek, vagyis tetsz®leges
a növekményekb®l álló
n
darab
w (tk ) − w (tk−1 )
valószín¶ségi változó független.
0 ≤ s < t értékekre a w (t) − w (s) w (t) − w (s) változó s¶r¶ségfüggvénye
3. Tetsz®leges
1
id®sorozat esetén
exp gt−s (x) $ p 2π (t − s)
eloszlása
−x2 2 (t − s)
√ N 0, t − s ,
.
1 Mivel általában folytonos folyamatokkal foglalkozunk, az ugrásokra ritkán kell hivatkozni.
vagyis a
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
Ebb®l következ®en a
w
61
stacionárius növekmény¶, amin azt értjük, hogy a
növekmény eloszlása csak az id®intervallum
t−s
w (t)−w (s)
hosszától és nem az id®intervallum
elhelyezkedését®l függ. 4. A
w
folytonos abban az értelemben, hogy minden
ω
kimenetelre a
t 7→ w (t, ω)
trajek-
tória folytonos. 0 a fenti de níció szerint egy Wiener-folyamat és Ft a fo0 lyamat által generált ltráció, vagyis Ft a {w (s) | s ≤ t} változók által generált σ -algebra, 0 akkor az F ltráció nem lesz jobbról folytonos. A legegyszer¶bb példa a következ®: Le-
Érdemes hangsúlyozni, hogy ha
gyen
N
w
azon kimenetelek halmaza, amelyre az
w
Wiener-folyamat trajektóriái egy pozitív
[0, t (ω)] szakaszon nullák maradnak. Az N valószín¶sége nulla. Mivel de níw (0) = 0, ezért a t = 0 pontban a generált ltráció a triviális (Ω, ∅) σ -algebra. 0 Ugyanakkor könnyen látható, hogy N ∈ ∩t>0 Ft , ugyanis bármilyen kicsi, de pozitív hosszúságú id®intervallumot is megyünk el®re az N -be es® kimenetelekhez tartozó trajektóriákat 0 meg tudjuk határozni. Megmutatható azonban, hogy ha az F -ban szerepl® σ -algebrákat kib®vítjük a nullmérték¶ halmazokkal, akkor az így kapott F ltráció jobbról folytonos
hosszúságú ció szerint
lesz. A ltráció jobbról való folytonossága nélkül a sztochasztikus analízis legtöbb tétele nem teljesül, így a nullmérték¶ halmazokkal a ltrációt mindenképpen ki kell egészíteni. 0 Ennek megfelel®en Wiener-folyamat által generált ltráción nem az F , hanem a nullmérték¶ halmazokkal kiegészített A Wiener-folyamat
F
ltrációt szokás érteni.
t = 0 pontban való értékével kapcsolatos további apró bonyodalom,
hogy miként jeleztük két folyamatot akkor tekintünk egyenl®nek, ha a trajektóriái majdnem minden kimenetelre azonosak. folyamatnak kell mondanunk, ha a
Ennek megfelel®en egy folyamatot akkor is Wiener-
w (0)
csak majdnem mindenhol nulla. Ez is arra utal,
hogy a szokásos feltételekben szerepl® nullmérték¶ halmazokkal való kiegészítés nem úszható meg. Az persze egy külön szerencse, hogy Wiener-folyamatok esetén, a már idézett tétel alapján, evvel a kiegészítéssel két legyet ütünk egy csapással. A de níció körüli további bonyodalom forrása, hogy beszélni szokás egy adott
F
lt-
rációhoz tartozó Wiener-folyamatról is. Ennek több praktikus oka van. A legegyszer¶bb eset az, amikor több folyamat egyszerre adja meg a ltrációt és ehhez a ltrációhoz képest akarunk egy Wiener-folyamatot de niálni. folyamat és a
w e (t) $ w (t + s) − w (s)
Egy másik eset, amikor adott egy
F0
Wiener-
úgynevezett újraindított folyamatról szeretnénk
igazolni, hogy Wiener-folyamat, de a ltráción az teni, amelyre például az
w
Fet $ Ft+s
ltrációt szeretnénk ér-
már nem a nulla és egy valószín¶ség¶ halmazok
σ -algebrája.
Ennek megfelel®en a Wiener-folyamat de nícióját érdemes általánosítani és a független növekmény feltételét módosítani:
3.2 De níció. X folyamatot az F ltrációra nézve független növekmény¶nek mondjuk, ha minden t > s esetén az X (t) − X (s) növekmény független az Fs σ -algebrától. Értelemszer¶en ez de níció szerint azt jelenti, hogy az X (t)−X (s) növekmény által generált σ (X (t) − X (s)) σ -algebra minden eleme független az Fs σ -algebra minden elemét®l. Egy w folyamatot egy F ltráció szerint Wiener-folyamatnak mondunk, ha Az
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
1.
w (0) = 0
2.
w
az
F
majdnem mindenhol,
ltrációra nézve független növekmény¶,
w stacionárius √ N 0, t − s .
3. a
w
4. a
62
növekmény¶ és tetsz®leges
0<s
esetén a
w (t) − w (s)
eloszlása
trajektóriái majdnem minden kimenetelre folytonosak.
τ véletlen id®pontot megállási id®nek mondunk, ha minden t esetén a τ ∧ t $ min (τ , t) valószín¶ségi változó az (Ω, Ft ) téren. Ennek interpretációja az, hogy a megállási id® t id®pontig bekövetkezett része valószín¶ségi változó a t id®pontban. Könnyen belátható, hogy ez ekvivalens avval, hogy minden t esetén {τ ≤ t} ∈ Ft . Könnyen belátható, hogy mivel {τ ≤ t} = ∩n {τ < t + 1/n} és mivel az F jobbról folytonos, ez ekvivalens avval, hogy minden t esetén {τ < t} ∈ Ft . Megjegyezzük, hogy a ltrációk jobbról való 4.
Egy
folytonosságára leginkább azért van szükség, hogy ezt az ekvivalenciát biztosítani tudjuk. A megállási id®k halmazának kiemelked®en fontos részhalmaza a találati id®k halmaza. Egy
B
halmaz találati idején a
τ B (ω) $ inf {t | X (t, ω) ∈ B} véletlen id®pontot értjük. Vegyük észre, hogy netelre az
X
folyamat
t 7→ X (t, ω)
τ B (ω) = ∞
mat megfelel® trajektóriája nincsen feltétlenül a
X
folyamatra, illetve a
B
pontosan akkor, ha az
trajektóriája nem metsz bele a
hangsúlyozni, hogy a de nícióban szerepl® in mum miatt a az
(3.1)
B
B
2
ω
kime-
halmazba . Érdemes
τ B (ω) id®pontban az X
folya-
halmazban. A sztochasztikus alaptérre,
halmazra tett különböz® feltételek teljesülése esetén garantál-
ható, hogy a találati id®k egyúttal megállási id®k is legyenek.
3.3 Állítás. Ha az a
B
X
folyamat folytonos és a
B
halmaz zárt, vagy ha az
nyílt és a ltráció jobbról folytonos, akkor a
Bizonyítás: t
X
jobbról vagy balról folytonos
találati id®k megállási id®k.
A nyílt és a zárt halmazok találati ideje közötti eltérés abból ered, hogy a
nyílt halmazok esetén csak a
τB
{τ B = t}
tartalmazhat olyan
ω
kimeneteleket, amelyekre a
után következik be, vagyis amikor a folyamat kívülr®l éri el a
kell nyílt halmazok esetén a
{τ B < t}
eseménnyel foglalkozni.
B
B
elérés
halmazt. Ezért
Amikor egy zárt halmaz
határát elérjük, akkor már tudjuk, hogy a halmazban vagyunk, de egy nyílt halmaz esetén a határról még visszafordulhatunk és csak a határátlépés után tudjuk meg, hogy végül beléptünk a halmazba vagy sem.
B halmaz zárt, az X folytonos trajektóriájú folyamat, akkor a τ B találati id® egyben megállási id®. Hangsúlyozzuk hogy ezt az
I. Megmutatjuk, hogy ha a fenti (3.1) sorban de niált
X
és a
B
egyszer¶ tulajdonságai miatt minden további megkötés, vagyis például a ltráció
2 Mivel egy megállási id® egy pozitív valószín¶ség¶ halmazon felveheti a végtelen értéket, ezért formailag a megállási id®k nem valószín¶ségi változók.
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
63
jobbról való folytonosságának feltétele nélkül igazoljuk. A trajektóriák folytonossága miatt
ω kimenetelre a K (t, ω) $ X ([0, t] , ω) halmaz kompakt. A B zártsága miatt K (t, ω) ∩ B = ∅ pontosan akkor, ha a két halmaz távolsága pozitív, és ilyenkor τ B (ω) > t. minden
Másképpen
{τ B ≤ t} = {ω | K (t, ω) ∩ B 6= ∅} . A trajektóriák folytonossága miatt az
X ([0, t] ∩ Q, ω) s¶r¶ a K (t, ω) halmazban.
A távol-
ságfüggvény folytonossága alapján
{τ B ≤ t} = {ω | K (t, ω) ∩ B 6= ∅} = {ω | d (K (t, ω) , B) = 0} = = {ω | inf {d (X (s, ω) , B) | s ≤ t, s ∈ Q} = 0} . s ≤ t-re az ω 7→ X (s, ω) Ft -mérhet®, ami az x 7→ d (x, B) folytonossága miatt teljesül az ω 7→ d (X (s, ω) , B)-re is. Megszámlálható mérhet® függvény in muma mérhet®, mérhet® függvény nívóhalmazai mérhet®ek, tehát {τ B ≤ t} ∈ Ft . Rögzített
II. Megmutatjuk, hogy ha a
B
(3.1) találati id® megállási id® az folytonos, akkor a re
{τ B < t} ∈ Ft .
τB
X trajektóriái $ ∩s>t Fs σ -algebrára
nyílt, és az
Ft+
jobbról folytonosak, akkor a nézve, tehát ha az
Ft
jobbról
megállási id®. Ezt úgy igazolhatjuk, ha megmutatjuk, hogy minden t-
B nyíltsága miatt, X (s, ω) ∈ B X (u, ω) ∈ B , ha u ∈ [s, s + ε). Ebb®l
A trajektóriák jobbról folytonossága és a
pontosan akkor, ha egy alkalmas
ε>0
számra
{τ B < t} = ∪s∈[0,t) {X (s) ∈ B} = ∪s∈Q∩[0,t) {X (s) ∈ B} ∈ Ft . X
III. Hasonlóan belátható, hogy ha nyílt, akkor a
τB
balról folytonos, a ltráció jobbról folytonos és
B
elérési id® megállási id®.
2
3.4 Példa. Nyílt halmaz találati ideje amely nem megállási id®. I. Ha
B
nyílt, és a ltráció nem jobbról folytonos, akkor még folytonos trajektóriák esetén
sem tudjuk garantálni, hogy
τB
megállási id® legyen. Ha például
X (t, ω) $ t · ξ (ω) , ξ egy normális eloszlású változó, és F a generált ltráció, akkor F0 = {Ω, ∅}, és ha t > 0, akkor Ft = B (R). Evidens módon látható, hogy a B $ {x > 0} halmazhoz tartozó τ B , vagy a nulla, vagy a ∞ értéket veszi fel, attól függ®en, hogy ξ (ω) > 0, vagy ξ (ω) ≤ 0. Következésképpen {τ B ≤ 0} ∈ / F0 . Az is könnyen látható, hogy a példa szempontjából ahol
irreleváns, hogy a nullmérték¶ halmazokat hozzácsapjuk a ltrációhoz vagy sem. II. Hasonlóképpen látható, hogy ha
X
egy Wiener-folyamat és
B $ {x 6= 0},
akkor a
τB
csak akkor megállási id®, ha a Wiener-folyamat által generált ltrációt kib®vítjük a nullmérték¶ halmazokkal, vagyis ha a ltrációt jobbról folytonossá tesszük, ugyanis a nulla valószín¶séggel el®forduló konstans szakaszok miatt a w által generált ltrációra nézve {τ B ≤ 0} ∈ / F00 = {Ω, ∅}. Nyílt halmazok találati idejére fontos példa a valamely pontból
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
64
való kilépés id®pontja. Ha egy folyamat éppen egy
x
állapotban van, akkor a
nyílt halmaz találati ideje az az id®pont, amikor a folyamat kilép az véletlen id®tartamot szokás az
pontból.
Ezt a
pontban való tartózkodás idejének is mondani. Miként
t
id®pontig
meg gyelve a trajektóriákat nem lehet eldönteni, hogy a folyamat kilép az adott
t id®pont-
az
x = 0
x
x
B $ {x}c
állapot tartózkodási idejére vonatkozó példából látszik, egy adott
ban vagy sem. Csak annyit lehet látni, hogy a
t
el®tt kilépett vagy sem. Értelemszer¶en a
problémát a konstans szakaszok okozzák. Wiener-folyamatok esetén a konstans szakaszokat tartalmazó trajektóriákkal rendelkez® kimenetelek valószín¶sége nulla, így a nullmérték¶ halmazok hozzáadása automatikusan megoldja a konstans szakaszokkal kapcsolatos problémákat, így a ltráció jobbról folytonos lesz.
Az els® példából azonban látszik, hogy
tetsz®leges folytonos trajektóriájú folyamat esetén ez nem feltétlenül teljesül, így a nullmérték¶ halmazokkal kiegészített ltráció nem lesz automatikusan jobbról folytonos, így a kilépési id®k nem lesznek automatikusan megállási id®k.
2 Az állításból következ®en ha az
X
folytonos, akkor tetsz®leges
a
valós szám esetén
esetén a
τ a $ inf {t | |X (t)| ≥ a}
(3.2)
vagy például a
τ a $ inf {t | X (t) = a} τ a $ inf {t | X (t) ≤ a} véletlen id®pontok megállási id®k, illetve jobbról folytonos ltráció és folyamat esetén a
τ a $ inf {t | |X (t)| > a}
(3.3)
vagy a
τ a $ inf {t | X (t) > a} véletlen id®pontok is megállási id®k. A hivatkozni.
τa
megállási id®kre mint szintátlépési id®kre szokás
A gyelmes olvasó észrevehette, hogy a
trajektóriáknak lehetnek konstans szakaszai a
>,
τa
jelölés nem egyértelm¶.
illetve a
≥
Mivel a
relációval de niált megállási
id®k nem azonosak. Ennek azonban a jelen tárgyalás szempontjából nincsen jelent®sége, így a bonyolultabb jelölések bevezetését®l eltekintek. 5. A megállási id®k eloszlását a legtöbb esetben nem ismerjük. A ritka kivételek egyike a Wiener-folyamatok
τ a $ inf {t | w (t) = a} találati ideje, amely s¶r¶ségfüggvénye
2 a exp − . f (x) = √ 2x 2πx3 |a|
(3.4)
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
65
6. A megállási id®ket legtöbbször a megállított folyamatok de níciója során használjuk. Ha
X
egy tetsz®leges folyamat és
τ
egy véletlen id®pont, akkor
X τ (t, ω) $ X (t ∧ τ (ω) , ω) . Gyakran szükségünk lesz a következ® észrevételre: Ha τ egy megállási id® és X egy reτ guláris, adaptált folyamat, akkor az X megállított folyamat adaptált marad. Ugyancsak
τ a a fenti (3.2) vagy (3.3) sorban de niált szint|X τ a | ≤ a. Érdemes talán hangsúlyozni, hogy τ azonban csak az |X a | ≤ a + |∆X (τ a )| egyenl®tlenség
gyakran fogjuk használni a következ®t: Ha átlépési id® és az
X
balról folytonos, akkor
jobbról folytonos folyamatok esetén igazolható. 7. Egy
X
jobbról reguláris, adaptált és integrálható folyamatot martingálnak mondunk,
ha tetsz®leges
t<s
esetén
E (X (s) | Ft ) = X (t) .
(3.5)
t id®pontban az X (t) Ha E (X (s) | Ft ) ≤ X (t), ak-
Integrálható folyamat alatt értelemszer¶en azt értjük, hogy minden valószín¶ségi változó integrálható, vagyis van várható értéke. kor szupermartingálról, ha
E (X (s) | Ft ) ≥ X (t),
akkor szubmartingálról szokás beszélni.
A de níciókból evidens, hogy a martingálok tartják a várható értéküket, a szubmartingálok várható értéke n®, a szupermartingálok várható értéke pedig csökken. Martingálra a legegyszer¶bb példát a Wiener-folyamatok szolgáltatják. Ugyanakkor ha X martingál, 2 akkor az Y = X szubmartingál. A gyelmes olvasóban felmerülhet, hogy miért van 2 az Y = X -nek várható értéke. Természetesen semmi sem garantálja ezt. Ugyanakkor 2 az Y (s) = X (s) nem negatív, így a feltételes várható értéke létezik, bár az esetlegesen felveheti a végtelen értéket is. Éppen ezért a szubmartingálok de níciója az irodalom nem mindig egyértelm¶, és a szubmartingálok de níciójába nem feltétlenül szokás beleérteni a folyamat integrálhatóságát csak azt, hogy létezzen a feltételes várható érték.
Ezért a
továbbiakban, ha ez fontos, akkor szubmartingálok esetén mindig explicite jelezni fogjuk a folyamat integrálhatóságát. A martingálokkal kapcsolatos legfontosabb állítás a megállási opciókról szóló tétel. Ennek több alakja is van. Talán a legszemléletesebb a következ®:
3.5 Állítás. X folyamat pontosan akkor martingál, ha tetsz®leges τ korlátos megállási id® esetén az X (τ ) integrálható és E (X (0)) = E (X (τ )), vagyis a folyamat várható értéke korlátos megállási id®kkel nem manipulálható. Ha teljesülnek a szokásos feltételek, akkor egy jobbról reguláris
A
megállási opciókról szóló tétel egy másik alakjának megértéséhez de niálni kell a
megállított
σ -algebra
fogalmát.
3.6 De níció. Ha
τ
tetsz®leges megállási id®, akkor az
családját értjük, amelyekre tetsz®leges
t
Fτ
σ -algebrán A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft .
megállított
esetén
az olyan
A
halmazok
3.1. NÉHÁNY ALAPFELTEVÉS
66
Interpretációját tekintve az mények
σ -algebráját
értjük.
Fτ
a
τ
τ
el®tt, beleértve a
id®pontot is, bekövetkez® ese-
Az interpretáció különösen szemléletes, ha a sztochasztikus
X (t, ω) = ω (t) koordinátaleképezéFt = σ ({X (s) | s ≤ t}) . Megmutatható, hogy ilyenkor
alaptér éppen a trajektóriák tere és a ltráció éppen az sek által generált ltráció, vagyis
Fτ = σ ({X (τ ∧ t) | t ∈ R+ }).
3.7 Állítás. Ha teljesülnek a szokásos feltételek és ha
σ ≥ τ,
σ
és
τ
két korlátos megállási id®, valamint ha
akkor a martingált de niáló (3.5) egyenl®ség átvihet® megállási id®kre is:
E (X (σ) | Fτ ) = X (τ ) . Az egyenl®ségben implicite azt is felhasználtuk, hogy az
X (τ ) változó Fτ -mérhet®.
Ér-
3
demes megjegyezni, hogy diszkrét idej¶ megállási id®kre a tételt korábban már igazoltuk . Az általános eset bizonyítása arra épül, hogy tetsz®leges olyan
(τ n )
τ
megállási id®höz konstruálható
véges értékkészlet¶ megállási id®kb®l álló sorozat, amelyre
τn & τ.
Miként a
megállási id®k tárgyalásakor jeleztük, a nyílt halmazok találati ideje, nem feltétlenül megállási id®. Ahhoz, hogy ez teljesüljön a ltrációnak jobbról folytonosnak kell lenni. Ha ez
Fτ helyett az Fτ + módon jelölt σ -algebrát szokás használni, σ -algebráját szokás érteni, amelyekre A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft+ , minekvivalens vele A ∩ {τ < t} ∈ Ft , minden t esetén. A megállási
nem biztosítható, akkor az amely alatt azon halmazok den
t
esetén vagy ami
opciókról szóló tétel ilyenkor
E (X (σ) | Fτ + ) = X (τ ) alakba írható. A martingálok osztálya számos matematikai m¶veletre nézve zárt.
Például könnyen
látható, hogy azonos ltráció szerint vett martingálok összege újra martingál.
Vagy a
megállási opciókról szóló tétellel belátható, hogy ha X martingál és τ egy megállási id®, τ akkor az X megállított folyamat újra martingál. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy martingálok szorzata általában nem martingál, így martingálok négyzete sem martingál. 8.
Most röviden vázoljuk a martingálok körében bevezetett topológiákat.
Martingálok
konvergenciája során biztosítani akarjuk, hogy a trajektóriák regularitása megmaradjon. Ezért a folyamatok konvergenciája során a trajektóriáktól egyenletes konvergenciát fogunk megkövetelni.
Éppen ezért igen hasznosak lesznek a martingálok maximumára érvényes
úgynevezett Doob-féle egyenl®tlenségek:
3.8 Állítás. Legyen
X
szerint ha
[0, T ] szakaszon értelmezett nem negatív szubmartingál. λ ≥ 0, akkor λP sup X (t) ≥ λ ≤ kX (T )k1 ,
a
0≤t≤T
3 V.ö.: 2.18. lemma, 38. oldal.
Az els® Doob-egyenl®tlenség
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
a második szerint ha
p > 1,
67
akkor
sup X (t) ≤ p kX (T )k . p
0≤t≤T
p−1 p Speciálisan az egyenl®tlenségek alkalmazhatók, ha 9. Egy ha
M
egy martingál és
X = |M |.
(fα ) függvényhalmazt egy µ mérték szerint egyenletesen integrálhatónak mondunk, Z lim sup |fα | dµ = 0. N →∞
Ha létezik
g
α
{|fα |>N }
integrálható függvény, amelyre minden
α
esetén
|fα | ≤ g ,
akkor az
(fα )
egyenletesen integrálható. Ugyanakkor az egyenletesen integrálható halmazok jóval b®vebb családot alkotnak. A legfontosabb példa a következ®: Ha p > 1 és az (fα ) halmaz korlátos p az L (µ) térben, akkor a halmaz a µ szerint egyenletesen integrálható. Ha a µ mérték véges, m.m. az (fn ) függvények egyenletesen integrálhatóak és fn → f , akkor az f is integrálható, és
Z
Z fn dµ →
X
Z |fn − f | dµ → 0.
f dµ, X
X
Az egyenletes integrálhatóság fontos következménye, hogy amennyiben egy az
félegye-
X (t) valószín¶ségi változók halmaza egyenX folytonosan kiterjeszthet® a +∞ id®pontra, vagyis létezik olyan X (∞), amelyre X (t) = E (X (∞) | Ft ) és X (t) → X (∞), ahol a konvergencia 1 majdnem mindenhol és L (Ω) értelemben is teljesül. Természetesen a [0, ∞] szakasz rendezéstartó és bijektív módon ráképezhet® a [0, 1] szakaszra, így az egyenletesen integrálható nesen értelmezett
X
R+
martingál által de niált
letesen integrálható, akkor az
martingálokat tekinthetjük véges id®szakaszokon de niált martingáloknak. Ennek fontos következménye, hogy egyenletesen integrálható martingálok esetén, vagyis amikor az
X (t)
változókból álló halmaz egyenletesen integrálható, a megállási opciókról szóló tétel kiterjeszthet® tetsz®leges megállási id®kre.
3.2.
Sztochasztikus integrálás folytonos integrandusok esetén
A sztochasztikus integrálás általános elmélete igen bonyolult. Ugyanakkor szerencsére az integrálelméletre épül® legtöbb közgazdasági alkalmazás igazolásához elegend® az elmélet egy igen csekély szeletét ismerni. A legtöbb esetben feltehetjük, hogy mind az integrátor, mind az integrandus folytonos.
Ilyenkor az általános sztochasztikus integrál helyett ele-
gend® az úgynevezett ItôStieltjes integrált bevezetni. Ebben a pontban az ItôStieltjes integrál de nícióját és elemi tulajdonságait tárgyaljuk. Bevezetésként érdemes felidézni a RiemannStieltjes integrállal kapcsolatos legegyszer¶bb ismereteket.
RiemannStieltjes integrál esetén az integrátor egy
V
korlátos változású
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
68
függvény, az integrandus pedig egy folytonos függvény. A RiemannStieltjes integrált mindig egy
[a, b]
létezik olyan
zárt intervallumon de niáljuk. A korlátos változás fogalma azt jelenti, hogy
K
konstans, hogy az
[a, b]
minden
a = t0 < t1 < . . . < tm = b partíciója esetén
m X
|V (tk ) − V (tk−1 )| ≤ K .
Vagy ami ugyanaz,
k=1
sup
m X
|V (tk ) − V (tk−1 )| < ∞,
(tk ) k=1 ahol a
(tk )
az
[a, b]
összes lehetséges partícióinak halmazán fut végig. RiemannStieltjes
integrálon a
In $
X (n) (n) (n) f τk V tk − V tk−1 k
összegek közös htípusú közelít® i (n) (n) tk−1 , tk szakasz tetsz®leges lehet mindaddig, amíg
határértékét értjük, ahol a
(n)
τk
tesztpont a hozzá tartozó
pontja lehet, és ahol a partíciósorozat szintén tetsz®leges
limn→∞ maxk
(n) tk
−
(n) tk−1
= 0.
A korlátos változású függvény fogalmának bevezetését a következ® gondolatmenet indokolja: Az integrál létezésének igazolásához meg kell mutatni, hogy tetsz®leges partíciósorozat esetén az az
(In )
(In )
sorozat konvergens, amit úgy látunk be, hogy megmutatjuk, hogy
Cauchy-sorozat. Mivel az
[a, b] szakaszon értelmezett folytonos f függvény egyenε > 0 esetén van olyan δ , hogy ha |x − y| < δ, akkor
letesen is folytonos, ezért tetsz®leges
|f (x) − f (y)| < ε.
Közös nomításra áttérve és a
X X an bn ≤ max |an | |bn | n n
n
triviális becslést alkalmazva ha a partíciók már elég nomak, akkor
|In − Im | ≤ ε sup
m X
|V (tk ) − V (tk−1 )| ,
(tk ) k=1 amely a korlátos változás feltétele miatt tetsz®legesen kicsivé tehet®, vagyis az (In ) sorozat Rb konvergens, így az f dV módon jelölt integrál létezik. a A probléma csak az, hogy a sztochasztikus folyamatok trajektóriái általában nem korlátos változásúak!
3.2.1.
A sztochasztikus integrál de níciója
Els® lépésként a sztochasztikus integrál de nícióját adjuk meg:
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
69
3.9 De níció. Legyenek
X
és
Y
sztochasztikus folyamatok és minden (n)
(n)
a = t0 < t1 < . . . < t(n) mn = b felosztáshoz rendeljük hozzá az
In $
X
X
(n) tk−1
(n) (n) Y tk − Y tk−1
(3.6)
k
ItôStieltjes közelít® összeget. Ha létezik olyan
ζ
valószín¶ségi változó, hogy minden olyan
felosztásra, amelyre
lim max
n→∞
k
(n) tk
−
(n) tk−1
=0
a (3.6) közelít® összegek sorozatára sztochasztikus konvergenciában
lim In = ζ,
n→∞
határértéket az X folyamat [a, b] szakaszon vett Rb integráljának mondjuk, és a XdY módon jelöljük. akkor ezt a közös
ζ
Y
szerinti ItôStieltjes-
A de níció legfontosabb eleme, hogy szemben a RiemannStieltjes típusú integrálok de níciójával az integrálközelít® összegekben a tesztpont csak az intervallum elején választható. A kés®bbiek pontos megértése szempontjából néhány dolgot hangsúlyozni kell: 1. Egyrészt az a tény, hogy a közönséges RiemannStieltjes integrálok esetén az integrál értéke független kell, hogy legyen a tesztpont választásának módjától dönt® szerepet játszik a NewtonLeibniz formula igazolásakor. Mivel azonban az ItôStieltjesintegrál értéke függ a tesztpont megválasztásának módjától, ezért az Itô-típusú integrálok esetén NewtonLeibniz típusú formula nem bizonyítható és a formula helyét az Itô-formula vesz át. 2. Másrészt az integrál, nem trajektóriánként számolandó, és az értéke csak egy nullmérték¶ halmaz erejéig meghatározott, így nem teljesen világos, hogy hogyan lehet Rt értelmezni a t 7→ XdY típusú integrálfüggvények trajektóriáit. Miként látni fog0 juk a tárgyalás legf®bb problémája nem az el®z®, hanem ez a második probléma. Az integrálfüggvény közelítésekor gyakran szükségünk lesz az tervallumain való közelítésre. Az
In
[a, b]
intervallum részin-
szimbólumot ilyenkor nem változóként, hanem
folyamatként fogjuk használni és értelemszer¶en
In (t) $
X
(n) (n) (n) X tk−1 ∧ t Y tk ∧ t − Y tk−1 ∧ t .
k 3. Folyamatok körében a konvergenciát trajektóriánként érdemes értelmezni. Mivel a trajektóriák topológiai tulajdonságait a határátmenet során megkívánjuk ®rizni, ezért
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
70
a trajektóriák konvergenciájáról az id® paraméter szerint megköveteljük a kompakt halmazokon való egyenletességet. Ugyanakkor a véletlen paraméter szerint a konvergencia már nem egyenletes, hanem azt tételezzük fel, hogy az id® szerinti egyenletességhez tartozó norma sztochasztikusan nullához tart. Vagyis ha folyamatok egy sorozata, akkor az alábbiakban a
[a, b]
Zn → Z
(Zn )
sztochasztikus
konvergencián a tetsz®leges
szakaszon fennálló
P
sup |Zn (t) − Z (t)| → 0 a≤t≤b sztochasztikus konvergenciát értjük. Ezt a konvergenciát szokás a kompakt halmazokon való sztochasztikusan egyenletes konvergenciának nevezni. 4. Ha az
Y
trajektóriái korlátos változásúak és az
X
balról reguláris, akkor a majorált
konvergencia tétellel megmutatható, hogy a konvergencia nem csak sztochasztikus értelemben létezik, hanem minden kimenetelre külön-külön is fennáll, és az ItôStieltjes integrál megegyezik a súlyfüggvény által generált mérték szerinti LebesgueStieltjes integrállal. Ugyanakkor el®fordulhat, hogy ebben az esetben a közönséges Riemann Stieltjes integrál nem létezik. Ha azonban az integrandus nem balról reguláris, akkor az ItôStieltjes integrál és a LebesgueStieltjes integrál értéke eltérhet. Tanulságos R1 átgondolni az XdY integrál értékét, ha Y a t = 1/2 pontban való egységnyi ugrás 0 eloszlásfüggvénye, vagyis
Y (t) $ Az
Y
által de niált mérték a
t = 1/2 R1
0 1
ha ha
t < 1/2 . t ≥ 1/2
pontra koncentrálódott valószín¶ségi mérték,
XdY = X (1/2). Ha 0 ha t < 1/2 X (t) $ Y (t) $ , 1 ha t ≥ 1/2
így LebesgueStieltjes integrálként
0
akkor könnyen látható, hogy a RiemannStieltjes integrál nem létezik, ugyanis a közelít® összegben a tesztpont választási módjától függ a határérték.
Ugyancsak
könnyen látható, hogy ilyenkor az ItôStieltjes integrál létezik és az értéke nulla, ugyanis minden közelít® összeg értéke nulla. 5. Végezetül, bár az integrál nem számolható trajektóriánként, s®t x id®szakaszok esetén de niálásakor nincs is szükségünk a trajektóriákra, ez nem jelenti azt, hogy az integrál nem függ a trajektóriáktól. Mivel a sztochasztikus konvergens sorozatok rendelkeznek majdnem mindenhol konvergens részsorozatokkal, ezért ha valamely
A⊆Ω
halmazon az
X1
és
Y1
trajektóriái megegyeznek az
akkor minden a és b esetén majdnem mindenhol az Rb X2 dY2 integrálok megegyeznek. a
A⊆Ω
X2
és
Y2
trajektóriáival, Rb halmazon az X1 dY1 és a
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
3.2.2.
71
Az integrál létezése
Minden integrál esetén az els® probléma annak tisztázása, hogy mikor létezik az integrál? Ehhez szükségünk lesz egy sor lemmára:
3.10 Lemma. (Martingáltranszformáció) Legyen
M
az
F
ltrációra nézve diszkrét idej¶ martingál,
X
az
F -re
nézve adaptált folya-
mat. Ha az
Xk−1 · (Mk − Mk−1 )
(3.7)
kifejezések integrálhatóak, akkor az
I0 $ 0,
In $
n X
Xk−1 · (Mk − Mk−1 )
k=1
sorozat nulla várható értékkel rendelkez® martingál. Speciálisan, ha és
M
tetsz®leges martingál, akkor az
Bizonyítás:
I
Kihasználva, hogy a feltétel szerint az
4
kiemelési szabály
X
egyenletesen korlátos
is martingál.
Xk−1 · (Mk − Mk−1 ) integrálható, k − 1 ≥ m tetsz®leges n-re
a
és a teljes várható érték tétele szerint, ha
E (Xk−1 χ (|Xk−1 | ≤ n) (Mk − Mk−1 ) | Fm ) = = E (E (Xk−1 χ (|Xk−1 | ≤ n) (Mk − Mk−1 ) | Fk−1 ) | Fm ) = = E (Xk−1 χ (|Xk−1 | ≤ n) E ((Mk − Mk−1 ) | Fk−1 ) | Fm ) = = E (Xk−1 χ (|Xk−1 | ≤ n) · 0 | Fm ) = 0. Mivel a feltétel szerint a lemmában szerepl® (3.7) szorzatra használhatjuk a majorált konvergencia tételét, így
E (Xk−1 (Mk − Mk−1 ) | Fm ) = 0, amib®l a lemma igazolása már evidens.
2
3.11 Lemma. (Energiaazonosság) Legyen
M
t id®pontra az M (t) s < t, akkor E (M (t) − M (s))2 = E M 2 (t) − E M 2 (s) ,
egy martingál és tegyük fel, hogy minden
valószín¶ségi
változó négyzetesen integrálható. Ha
vagy ami ugyanaz valamely
[a, b]
szakasz tetsz®leges
kM (b) − M (a)k22 =
X
=
X
(tk )
partíciója esetén
kM (tk ) − M (tk−1 )k22 =
k
kM (tk )k22 − kM (tk−1 )k22
k
= kM (b)k22 − kM (a)k22 4 A kiemelési szabálynak több verziója is lehetséges. A legegyszer¶bb eset, amikor a feltételes várható értékb®l kivitt, a feltételi ható.
σ -algebrára
nézve mérhet® tag korlátos, a bent maradó kifejezés pedig integrál-
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Bizonyítás:
72
A második egyenl®ség igazolásához vegyük észre, hogy az els® és az utolsó
kifejezés egyenl®sége az els® egyenl®ség alapján nyilvánvaló. Hasonló igaz a második és a harmadik kifejezésre. A második és a harnadik sor azonossága a teleszkópikus összegzés miatt triviális.
Az els® egyenl®ség indoklásához vegyük észre, hogy a két oldal eltérése
d $ 2 · E (M (s) · (M (s) − M (t))).
Meg kell mutatni, hogy ez a kifejezés nulla.
igazolása lényegében azonos az el®z® lemma igazolásával.
Ha
s < t,
Ennek
akkor a martingál
tulajdonság és a kiemelési szabály miatt
dn $ = = = Mivel
2 · E (M (s) χ (|M (s)| ≤ n) · (M (s) − M (t))) = 2 · E (E (M (s) χ (|M (s)| ≤ n) · (M (s) − M (t)) | Fs )) = 2 · E (M (s) χ (|M (s)| ≤ n) · E (M (s) − M (t) | Fs )) = 2 · E (M (s) χ (|M (s)| ≤ n) · 0) = 0.
M (s) , M (t) ∈ L2 (Ω), ezért az |M (s) · (M (s) − M (t))| integrálható.
Így a majorált
konvergencia tétele alkalmazható és
d = lim dn = 0. n→∞
2
3.12 Lemma. (Sztochasztikus integrál L2 -becslése) Ha
|X| ≤ K
és
M
egy olyan martingál, hogy minden
t
id®pontra az
M (t)
négyzetesen
integrálható, akkor
kIn k22 = D2 (In ) ≤ K 2 kM (b)k22 − kM (a)k22 ,
Bizonyítás:
(3.8)
Az els® lemma alapján az integrálközelít® összegek
I (n) $
X
(n) (n) (n) X tk−1 M tk − M tk−1
!
k sorozata martingál, így a sorozat tagjainak várható értéke nulla.
Az energiaazonosság
alapján
kIn k22
2 X
(n) (n) (n) =
X tk−1 M tk − M tk−1 . 2
k Az energiaazonosság újabb alkalmazásával
kIn k22
2 X
(n) (n) (n) =
X tk−1 M tk − M tk−1 ≤ 2
k
2 X
(n) (n) ≤ K2
M tk − M tk−1 = 2
k
2 2 X
(n) (n) 2 = K
M tk − M tk−1 = k
= K2
2
2
kM (b)k22 − kM (a)k22 . 2
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
73
3.13 De níció.
M ∈ H2
tartalmazás azt jelenti, hogy az M olyan martingál, amelyre az kM (t)k2 a t 5 2 id®paraméter szerint korlátos . A H tér elemeit szokás négyzetesen integrálható martin6 gáloknak is mondani .
Az
3.14 Példa. Ha
w
Wiener-folyamat, akkor minden véges szakaszon id®tengelyen w ∈ / H2 .
w
eleme a
H2
térnek, de a teljes
3.15 Tétel. (ItôStieltjes integrálok létezése)
[a, b] véges szakaszon értelmezett, balról reguláris, adaptált folyamat és M ∈ H2 , akkor az X az [a, b]-én az M szerint ItôStieltjes integrálható. Az Itô-féle közelít® összegek sztochasztikusan egyenletesen tartanak az integrálhoz, vagyis ha (In ) jelöli a közelít®
Ha az
X
az
összegekb®l álló folyamatok sorozatát, akkor sztochasztikus konvergenciában
Z s sup In (s) − XdM → 0. a≤s≤b a
Ha
|X| ≤ K ,
akkor
Z b
2
≤ K 2 kM (b)k2 − kM (a)k2 $ K 2 L. XdM 2 2
a
Bizonyítás:
(3.9)
2
El®ször tegyük fel, hogy az
X
folytonos.
Ilyenkor a bizonyítás közvetlen
és kézenfekv® módosítása annak a közismert elemi tételnek, miszerint a folytonos függvények Riemann, illetve általában RiemannStieltjes integrálhatóak.
Miként említettük
ezen állítások bizonyítása a folytonos függvények kompakt szakaszokon való egyenletes folytonosságára épül. A sztochasztikus környezetbe való átültetéskor az egyetlen felmerül® probléma az, hogy a folytonossági modulus bár minden trajektória esetén nullához tart, nyilván a trajektóriák szerint nem tart egyenletesen nullához. A sztochasztikus konvergenciában minden Cauchy-sorozat konvergens, ezért az integrál
(In ) [a, b]
konvergenciájának belátásához elegend® megmutatni, hogy az integrálközelít® összegek sorozata sztochasztikusan Cauchy-sorozat. Az
X
trajektóriái folytonosak, vagyis az
véges szakaszon egyenletesen is folytonosak, ezért ha
δ → 0, akkor tetsz®leges ω kimenetelre
az
U (ω, δ) $ sup |X (t, ω) − X (s, ω)| |t−s|≤δ folytonossági modulus nullához tart. az
U
Könnyen látható, hogy az
kiszámolásakor elegend® a racionális
t
és
s
X
folytonossága miatt
id®pontokat venni, így az
U
mérhet®.
5 Emlékeztetünk, hogy ha Ebb®l következ®en a
p > 1, akkor az Lp (Ω) térben korlátos halmazok egyenletesen integrálhatóak. H2 -martingálok az egyenletesen integrálható martingálok egy speciális részhalmazát
alkotják.
6 Vagyis a négyzetesen integrálható martingál fogalma nem azonos avval, hogy minden id®pontban a
martingál négyzetesen integrálható. Speciálisan a Wiener-folyamatok a teljes számegyenesen nem négyzetesen integrálhatók.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
74
A pontonkénti konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezért tetsz®leges σ, ε > 0 számokhoz található olyan A ⊆ Ω halmaz és δ > 0 szám, hogy P (Ac ) < σ, és ha
ω ∈ A,
akkor
U (ω, δ) < ε.
U (u, ω, δ) jelöli az [a, u] szakaszon vett folytonossági az (u, ω) 7→ U (u, ω, δ) folytonos trajektóriájú adaptált
Ha
modulust, akkor evidens módon folyamat. Ha
τ (ω) $ inf {u | U (u, ω, δ) > ε} ∧ b, akkor a
τ
megállási id®. Ha
Tekintsük az
In
és
Im
ω ∈ A,
akkor
τ (ω) = b,
így az
A
halmazon
közelít® összegekhez tartozó felosztások közös
tekintsük a
In − Im =
X
τ = In − Im . Inτ − Im (ui ) nomítását és
(X τ (si ) − X τ (vi )) (M (ui+1 ) − M (ui ))
(3.10)
i összeget, ahol minden i-re
(Az
si , vi
persze tartalmazhat ismétlést is.) Az
In
és
si és a vi tetsz®legesen τ megállási id®, az X adaptált, ezért az X megállított 2 folyamat is adaptált, így a fenti (3.10) összeg L (Ω) normájára igaz a korábban bemuτ τ tatott (3.8) becslés, ugyanis |X (si ) − X (vi )| ≤ ε. Mivel az [a, b] intervallum felosztása az
Im
si , vi ≤ ui .
közelít® összegekhez tartozó partíciókat elég nomra véve az
közel kerülhet egymáshoz. Mivel a
τ
végtelenül nomodik, ezért tetsz®leges
α>0
számra, elegend®en nagy
n, m
indexekre a
Markov-egyenl®tlenség és a Cauchy-egyenl®tlenség miatt
P (|In − Im | > α) ≤ P (Ac ) + P (A ∩ {|In − Im | > α}) = τ = P (Ac ) + P (A ∩ {|Inτ − Im | > α}) ≤ τ ≤ P (Ac ) + P (|Inτ − Im | > α) ≤ τ τ τ E (1 · |Inτ − Im |) E (|In − Im |) = P (Ac ) + ≤ ≤ P (Ac ) + α α √ τ k1k2 kInτ − Im k2 ε L ≤σ+ ≤σ+ . α α A jobb oldali kifejezés az
ε és a σ
megválasztásával tetsz®legesen kicsivé tehet®, így az
sztochasztikusan Cauchy-sorozat.
(In )
Az egyenletes konvergenciára vonatkozó észrevétel az
els® Doob-egyenl®tlenség majd a Cauchy-egyenl®tlenség alkalmazásának következménye:
P
sup |In (s) − Im (s)| > α
c
≤ P (A ) + P
a≤s≤b
sup
|Inτ
a≤s≤b E (|Inτ (b)
(s) −
τ Im
τ − Im (b)|) α τ τ kI (b) − Im (b)k2 ≤ σ+ n ≤σ+ α
≤ P (Ac ) +
(s)| > α
≤
≤ √ ε L , α
τ ahol a Doob-egyenl®tlenség használatakor kihasználtuk, hogy az (In ) martingál. A közelít® Rb sorozatokra a második (3.9) becslés teljesül. Mivel In → XdM a Fatou-lemma miatt a
Z b
2
2
2 2 2
= XdM lim I
≤ lim inf kIn k2 ≤ K 2 kM (b)k2 − kM (a)k2 . n
n→∞ n→∞ 2 a
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Végezetül tegyük fel, hogy az
X
7
balról reguláris .
75
Ilyenkor az ugrásokat tartalmazó fo-
lyamatokkal kapcsolatos standard eljárással válasszuk szét a nagy és a kis ugrásokat.
θ > 0 küszöböt és vegyük az Yθ $ ∆Xχ (|∆X| > θ) nagy ugrásokMivel az X reguláris, azonnal látható, hogy az Yθ minden trajektóriája
Vagyis tekintsünk egy ból álló folyamatot.
véges sok id®ponttól eltekintve nulla, következésképpen a
lim
n→∞
X
X (n) (n) (n) Yθ tk M tk+1 − M tk = Yθ ∆M
k
határérték létezik, ahol
∆M
M
értelemszer¶en az
ugrásaiból álló folyamat és az összeg
minden kimenetelre véges sok tagból áll, ugyanis az
Yθ
véges sok id®ponttól eltekintve
nulla. Ha a kis ugrásokat tartalmazó folyamatot tekintjük, akkor
δ & 0 esetén a folytonosθ. Így mindenhol
sági modulus nem fog nullához tartani, de a határértéke kisebb lesz mint az
ε helyébe az ε + θ
összeget téve a folytonos esetre elmondott becslések szó szerint megis-
mételhet®ek. Ebb®l az általános eset bizonyítása már evidens, ugyanis a sztochasztikusan egyenletes konvergencia teljes metrikus teret de niál.
2 Következ® lépésként érdemes a tételt némiképpen általánosítani.
3.16 De níció. L folyamatot lokális martingálnak mondunk, ha megadható olyan megállási id®k(τ n ) úgynevezett lokalizációs sorozat, amelyre τ n % ∞ és az Lτ n megállított folyamatok mindegyike martingál. Hasonlóan egy L folyamat lokálisan négyzetesen integrálható τ martingál, ha megadható olyan τ n % ∞ lokalizációs sorozat, amelyre az L n megállított 2 τ folyamat négyzetesen integrálható martingál, vagyis amelyre L n ∈ H minden n-re. A 2 lokálisan négyzetesen integrálható martingálok terét Hloc módon szokás jelölni. Valamely b®l álló
3.17 Példa. Ha
w
egy Wiener-folyamat, akkor a teljes id®tengelyen
w∈ / H2 ,
de
2 . w ∈ Hloc
3.18 Példa. Lokális martingál, ami nem martingál. Nem egyszer¶ példát adni olyan folytonos lokális martingálra, amely nem martingál. p w12 + w22 + w32 , ahol w1 , w2 és w3 független WienerA legismertebb példa az L $ 1/ folyamatok. A példa részletes tárgyalása azonban messze vezetne, így elhagyjuk.
2
3.19 Példa. Ha
L olyan lokális martingál, amelyre alkalmas ξ E (ξ) < ∞, akkor az L valódi martingál8 .
változóval minden
t
esetén
|L (t)| ≤ ξ,
ahol
7 Valójában az integrálközelít® összegek minden reguláris integrandus esetén konvergálnak, de a jobbról reguláris eset érdektelen, ugyanis ilyenkor a sztochasztikus integrál értéke nem lesz feltétlenül azonos a klasszikus integrálelméletben de niált értékkel.
8 A feltétel hallgatólagosan azt jelenti, hogy az
L (τ )
megállított változók halmaza egyenletesen integ-
rálható. A sztochasztikus analízis általános elméletében ilyenkor azt szokás mondani, hogy az
D
osztálynak. A példa szerint tehát minden
D-osztályba
L
es® lokális martingál valódi martingál.
eleme a
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
76
L (t) rendelkezik id®t®l független integrálható ξ majoránssal, akkor az L lokáτ n % ∞ lokalizációs sorozatának minden elemére |L (τ n )| ≤ ξ , így alább τ alkalmazható a majorált konvergencia tétele. Mivel az L n martingál, ezért ha s < t, akkor E (L (t) | Fs ) = E lim L (t ∧ τ n ) | Fs = lim E (L (t ∧ τ n ) | Fs ) = Ha az
lis martingál
n→∞
= vagyis az
L
n→∞
lim E (Lτ n (t) | Fs ) = lim Lτ n (s) = lim L (s ∧ τ n ) = L (s) ,
n→∞
n→∞
n→∞
martingál.
2
3.20 Következmény. Ha az tesen
X
[a, b] véges szakaszon adaptált, balról reguláris folyamat és az L lokálisan négyzeintegrálható martingál, akkor az X az [a, b]-én az L szerint ItôStieltjes integrálható. az
Ilyenkor a sztochasztikus konvergenciában
Z s XdL → 0. sup In (s) − a≤s≤b a
Bizonyítás:
M helyett L -et írunk, és felhasználjuk, hogy a lokalizáció de níciójában szerepl® τ n % ∞ alapján tetsz®leges σ > 0 számhoz, ha n elég nagy, akkor egy legalább 1 − σ valószín¶ség¶ B halmazon τ n ≥ b. Másképpen, ha n elég nagy, akkor egy tetsz®legesen kicsi valószín¶ség¶ τ halmaztól eltekintve az [a, b] szakaszon az L és az L n egybeesik. Ha Elegend® az el®z® állítás bizonyítását úgy módosítani, hogy az
τn
τ (ω) $ inf {u | U (u, ω, δ) ≥ ε} ∧ τ n ∧ b, akkor a már bemutatottal szinte szó szerint megegyez® módon
P (|In − Im | > α) ≤ ≤ P (A ) + P (B c ) + P (A ∩ B ∩ {|In − Im | > α}) ≤ ε2 L τ ≤ 2σ + P (|Inτ − Im | > α) ≤ 2σ + 2 . α c
2
3.21 Következmény. Ha
L
folytonos lokális martingál,
X
balról-reguláris, adaptált folyamat, akkor az
Rb
XdL
a sztochasztikus integrál létezik. A közelít® összegek sorozatára a sztochasztikus konvergenci-
ában
Z s sup In (s) − XdM → 0. a≤s≤b a
Bizonyítás:
Legyen
τ n $ inf{t | |L (t)| > n}. Az
L
folytonossága miatt
|Lτ n | ≤ n,
vagyis az
L
lokálisan korlátos, így nyilván lokálisan
négyzetesen integrálható, következésképpen alkalmazható az el®z® állítás.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
77
2 A sztochasztikus integrált minden intervallumra csak egy nullmérték¶ halmaz erejéig de niáltuk. Nem teljességgel nyilvánvaló, hogy ezekb®l a különálló változókból miként lesz egy folytonos idej¶ folyamat, amely esetében a trajektóriáknak is értelmezve kell lenni. A megoldás lényege, hogy mivel az integrálok konvergenciája egyenletes, ezért az integrálfüggvény is egyértelm¶en de niálható.
3.22 Tétel. (Az integrálfolyamat létezése) Ha az
X
L folytonos lokális martingál, akkor létezik amelyet X • L-lel fogunk jelölni, és amelyre tetsz®leges t esetén Z t m.m. XdL. (X • L) (t) =
balról reguláris, adaptált folyamat és az
olyan folytonos folyamat,
0
Bizonyítás:
Minden sztochasztikusan konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol
(nk ) részsorozatra Z s XdL = 0 = 1, P lim sup Ink (s) −
konvergens részsorozata. Ezért feltehet®, hogy alkalmas
k→∞
a≤s≤b
a
s 7→ Ink (s) folyamatokból álló sorozat majdnem minden trajektóriájának létezik egyenletes konvergenciában vett határértéke. Az így kapott folyamat minden s id®pontban Rs az XdL integrál egy verziója. Végtelen id®szakasz esetén az integrálközelít® összegek a amib®l az
sorozatát és az integrálokat el®ször végtelenbe tartó végpontú intervallumokban konstruáljuk meg. A nullmérték¶ halmazokat összegy¶jtve, egy nullmérték¶ halmaztól eltekintve, az integrálok minden
ω
kimenetelre és minden id®pontban jól de niáltak, amivel az
X •L
folyamat létezését igazoltuk. az
Ha az
X
X •L
trajektóriái folytonos függvények egyenletes konvergenciában vett határértékei,
és az
L
folytonosak, akkor az
In (t)
folyamat is folytonos, következésképpen
tehát maguk is folytonos függvények. Vegyük észre azonban, hogy ha az
In (t) $
az
X
X (tk−1 ∧ t) (L (tk ∧ t) − L (tk−1 ∧ t))
folyamat az
X
L folytonos, akkor
értékét®l függetlenül
k 9 mindenképpen folytonos, így az egyenletes konvergenciában vett határértéke is folytonos .
2
3.23 De níció. Az
R+
félegyenesen értelmezett
V
folyamatot véges változásúnak mondjuk, ha a
V
tra-
R+ tetsz®leges [a, b] szakaszán korlátos változásúak. Ha V véges változású, Var (V ) jelöli azt a folyamatot, amely értéke a (t, ω) pontban az ω kimenetelhez tartozó trajektória teljes megváltozása a [0, t] id®szakaszon. Ha egy S folyamat felbontható S = S (0) + L + V módon, ahol az L lokális martingál és a V véges változású, adaptált jektóriái az akkor
9 ∆ (X
• L) = X∆L formula alapján az X • L folytonos, ugyanis az L feltételezett folytonossága ∆L = 0. ∆ (X • L) = X∆L formulát azonban a tárgyalás során csak érint®legesen tárgyaljuk, folytonosságot közvetlenül igazoljuk.
miatt így a
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
folyamat,
V (0) = L (0) = 0,
akkor az
S
78
folyamatot szemimartingálnak mondjuk. Az
folyamatot folytonos szemimartingálnak mondjuk, ha a felbontásban szerepl®
V
és
L
S
folya-
matok választhatóak folytonosnak. Ha a
V
trajektóriái véges változásúak és az
X
balról reguláris, akkor tetsz®leges véges
id®szakaszon az Itô-féle közelít® összegek sorozata éppen az
X
integrandus
V
súlyfüggvény
szerinti LebesgueStieltjes integráljához konvergál. A véges változás de níciójából evidens, hogy minden trajektóriára a konvergencia a kompakt id®szakaszokon egyenletes. Ebb®l a következ® tétel már evidens.
3.24 Tétel. (Folytonos szemimartingál szerinti integrálhatóság) Ha az
X
adaptált sztochasztikus folyamat az
reguláris és az
S
kompakt részén az
ω -ra
balról
félegyenes minden
[a, b]
egy közelít® sorozat, akkor minden
[a, b]
félegyenesen majdnem minden
R+
folytonos szemimartingál, akkor az
S
X
az
R+
szerint ItôStieltjes integrálható. Ilyenkor az t
Z (X • S) (t) $
XdS 0
folyamatnak létezik folytonos verziója.
Ha
(In )
véges szakaszon sztochasztikus konvergenciában
Z s XdS → 0. sup In (s) − a≤s≤b a
A sztochasztikus konvergencia és az összeadás felcserélhet®, így az integrál de níciója miatt az integrál additivitása nyilvánvaló.
3.25 Tétel. (Linearitás) A sztochasztikus integrál mind az integrandus, mind az integrátor szerint lineáris
10
.
Ezidáig csak azt mutattuk be, hogy a sztochasztikus integrálok léteznek. Most megmutatjuk, hogy a folytonos lokális martingálok szerinti sztochasztikus integrálok lokális martingálok.
Ebb®l persze már egyszer¶en következik, hogy a szemimartingálok szerint
vett sztochasztikus integrálok szemimartingálok.
3.26 Állítás. (Megállítási szabály) Ha
X
balról reguláris, adaptált folyamat,
S
11 folytonos szemimartingál és
τ
tetsz®leges
megállási id®, akkor
(X • S)τ = X • S τ = (Xχ ([0, τ ])) • S.
Bizonyítás:
Vegyük észre, hogy a
Xχ ([0, τ ])
kifejezés balról reguláris. Érdemes megje-
gyezni, hogy a balról reguláris integrandusok tárgyalására éppen azért volt szükség, hogy a
10 Éppen ez indokolja és teszi igen hasznossá az X • Y jelölést. 11 Valójában a folytonosságot nem használjuk ki csak azt, hogy az integrál létezik és a trajektóriáktól függ.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
79
megállítási szabályban szerepl® integrálokat értelmezni tudjuk. Ugyancsak érdemes megjegyezni, hogy mivel a
τ
megállási id®, ezért tetsz®leges
t
esetén
{χ ([0, τ ]) (t) = 0} = {τ < t} ∈ Ft , χ ([0, τ ]) folyamat adaptált. (n) Tekintsük az R+ id®tengely tk
vagyis a
partíciójához tartozó
(In )
közelít® sorozatot. Nyil-
vánvalóan
X
Inτ (t) $
X
(n) tk−1
! τ (n) (n) ∧ t (L tk ∧ t − L tk−1 ∧ t ) =
k
=
X
=
X
=
X
(n)
(n)
(n)
X(tk−1 ∧ t)(Lτ (tk ∧ t) − Lτ (tk−1 ∧ t)) =
k (n)
(n)
(n)
X(tk−1 ∧ t)χ ([0, τ ]) (L(tk ∧ t) − L(tk−1 ∧ t)) =
k (n)
(n)
(n)
X(tk−1 ∧ t)χ ([0, τ ]) (Lτ (tk ∧ t) − Lτ (tk−1 ∧ t)).
k Az utolsó három egyenl®séget használva, és kihasználva, hogy az integrálok a már elmondottak miatt léteznek az
X • Lτ = (Xχ ([0, τ ])) • L = (Xχ ([0, τ ])) • Lτ egyenl®ség evidens.
Vegyük észre, hogy ha valamilyen
(Zn )
sorozat egy
Z
folyamathoz Znτ → Z τ
tart a véges szakaszokon a sztochasztikus konvergenciában egyenletesen, akkor a konvergencia is teljesül, ugyanis
sup |Znτ (s) − Z τ (s)| ≤ sup |Zn (s) − Z (s)| .
a≤s≤b
a≤s≤b
Ebb®l következ®en
(X • L)τ (t) =
τ lim In (t) = lim Inτ (t) = X • Lτ ,
n→∞
n→∞
amib®l az állítás már evidens.
2
3.27 Tétel. (Lokális martingál) Ha az
X
X •L
lokális martingál. Ha az
balról reguláris, adaptált folyamat és az
X
L
folytonos lokális martingál, akkor az L ∈ H2 , akkor az X • L nem
egyenletesen korlátos és
csak lokális martingál lesz, hanem valódi martingál is.
Bizonyítás:
Tegyük fel el®ször, hogy az
X
egyenletesen korlátos és
L ∈ H2 .
Jelölje
(In ) a
közelít® összegek sorozatát. A martingáltranszformációs lemma közvetlen megismétlésével azonnal belátható, hogy az
In
martingál, vagyis ha
s < t,
E (In (t) | Fs ) = In (s) .
akkor
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Ha most
n → ∞,
80
akkor a kérdés csak az, hogy az alábbi számolás során a határérték és a
feltételes várható érték felcserélhet® vagy sem:
E ((X • L) (t) | Fs ) = E
lim In (t) | Fs =
n→∞
= lim E (In (t) | Fs ) = lim In (s) = (X • L) (s) . n→∞
n→∞
2 A sztochasztikus integrálok L -becslésére vonatkozó (3.8) sorban szerepl® egyenl®tlenség 2 miatt az (In (t)) sorozat L (Ω)-ban korlátos és a sztochasztikus konvergencia miatt, rész2 sorozatra áttérve, feltehet®, hogy majdnem mindenhol is konvergens. Az L (Ω)-ban való korlátosság miatt az
(In (t))
sorozat egyenletesen integrálható. Egyenletesen integrálható
sorozat esetén a feltételes várható érték és a majdnem mindenhol vett határérték felcserélhet®, amib®l az egyenl®ség, így a martingál tulajdonság már evidens. Végezetül tekintsük az általános esetet. Legyen
τ n $ inf {t | |X| (t) > n } ∧ inf {t | |L| (t) > n} az els® olyan id®pont, ahol az
|X|
vagy az
|L|
átlépi az
n
szintet. A megállítási szabály
miatt
(X • L)τ n = Xχ ([0, τ n ]) • Lτ n . |Xχ ([0, τ n ])| ≤ n és |Lτ n | ≤ n, az X • L lokális martingál.
Mivel pen
ezért az
Xχ ([0, τ n ]) • Lτ n
martingál, következéskép-
2
3.28 Tétel. X
Ha
egy balról reguláris, adaptált folyamat és
S = S (0) + V + L
egy folytonos szemo-
martingál, akkor
X •S =X •V +X •L következésképpen az
3.2.3.
X •S
egy folytonos szemimartingál.
A Fisk-féle egyértelm¶ségi tétel
3.29 Tétel. (Fisk egyértelm¶ségi tétele) Ha
L folytonos lokális martingál és az L trajektóriái véges változásúak, akkor az L konstans.
Bizonyítás: 0.
Legyen
Tekintsük az
V $ Var (M )
M $ L − L (0) lokális martingált. Elég belátni, (ρn ) az M lokalizációs sorozata. Mivel
és legyen
hogy
M =
a folytonos
függvények teljes megváltozása is folytonos a
υ n $ inf {t | |M (t)| ≥ n} és a
κn $ inf {t | V (t) ≥ n} megállási id®k. Így a τ n $ υ n ∧ κn ∧ ρn szintén megállási id®. Nyilván τ n % ∞, így ha n indexre M τ n = 0 akkor az M minden n-re nulla a [0, τ n ] szakaszon, így az M
minden
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
81
∪n [0, τ n ] = R+ × Ω halmazon, így M = 0. A trajektóriák folytonossága miatt |M | ≤ n és |V τ n | ≤ n, így a megállított folyamatok trajektóriái korlátosak. Feltehet® tehát, hogy az M és a V $ Var (M ) korlátosak. Az egyszer¶bb jelölés miatt a megállításra vonatkozó jelt elhagyjuk. Mivel az M martingál, az energiaazonosság miatt a [0, t] szakasz (n) tetsz®leges tk partíciójára is nulla a τn
X (n) (n) E M 2 (t) = E M 2 tk − M 2 tk−1
! =
k
=E
X
(n)
M tk
(n)
− M tk−1
2
! ≤
k
X (n) (n) (n) (n) ≤E M t − M t · max M t − M t k k−1 k k−1
!
k
k
≤
(n) (n) ≤ E V (t) · max M tk − M tk−1 ≤ k (n) (n) ≤ K · E max M tk − M tk−1 .
k
Az
M
trajektóriái folytonosak, így egyenletesen is folytonosak a
[0, t]
szakaszon, így
(n) (n) lim max M tk − M tk−1 = 0.
n→∞ Másrészt
k
(n) (n) max M tk − M tk−1 ≤ V (t) ≤ K, k
így a majorált konvergencia tétele miatt
(n) (n) lim E max M tk − M tk−1 = 0,
n→∞ következésképpen
k
E (M 2 (t)) = 0.
Így minden t-re
m.m
M (t) = 0.
Az
M
trajektóriái folytono-
sak, így a nullmérték¶ halmazokat a racionális id®pontokban egyesítve azonnal belátható, hogy majdnem minden
ω
esetén
M (t, ω) = 0
minden
t-re. 2
3.30 Következmény. (Folytonos szemimartingálok egyértelm¶ felbontása) A folytonos szemimartingálok folytonos lokális martingálra és folytonos véges változású folyamatra való felbontása egyértelm¶.
Bizonyítás:
Ha
S = S (0) + V1 + L1 = S (0) + V2 + L2 ,
akkor
V1 − V2 = L2 − L1
egy
véges változású folytonos lokális martingál, amely az egyértelm¶ségi tétel miatt konstans, így
V1 − V2 = 0 = L2 − L1 .
2
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
3.2.4.
82
Az integrál és a határérték felcserélhet®sége
3.31 Tétel. (Határérték és integrálás felcserélhet®sége) Legyen
(Xn )
balról-reguláris, adaptált folyamatok egy sorozata, amely a kompakt id®tarto-
mányokon a sztochasztikus konvergenciában egyenletesen egy amelyre minden
t
X
folyamathoz tart, vagyis
id®pont esetén
sup |Xn (s) − X (s)| → 0,
(3.11)
0≤s≤t
ahol a konvergencia sztochasztikus konvergenciát jelöl. Ha
S
egy folytonos szemimartingál,
akkor a sztochasztikus konvergenciában
(Xn • S) (t) → (X • S) (t) .
Bizonyítás: att az
X
Els® lépésként érdemes megjegyezni, hogy az egyenletes konvergencia mi-
határérték meg®rzi az
Xn
folyamatok balról való regularitását. Ha az
S
véges
változású, akkor az állítás a klasszikus analízisb®l ismert. Emlékeztetünk, hogy az állítás indoklása ilyenkor a trajektóriánként érvényes
Z |(Xn • S) (t) − (X • S) (t)| ≤
t
|Xn − X| dVar (S) 0
Var (S) az S trajektóriáinak teljes megváltozásaiból álló folyamatot jelöli. Az S folytonossága miatt a Var (S) is folytonos, így minden trajektória korlátos a [0, t] szakaszon. Természetesen a Var (S) nem egyenletesen korlátos, de tetsz®leges ε > 0 számhoz található olyan N, hogy egy ε-nál kisebb valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve a [0, t] szakaszon az s 7→ Var (S) (s, ω) trajektória már kisebb mint N. Ebb®l következ®en egy ε valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve egyenl®tlenségb®l következik, ahol
|(Xn • S) (t) − (X • S) (t)| ≤ N sup |Xn − X| , 0≤s≤t amib®l az állítás már evidens. Most tegyük fel, hogy az sorozatát.
Mivel az
P (τ n < t) < δ/2.
S
S
egy folytonos lokális martingál. Jelölje (τ n ) az S lokalizációs S τ n ∈ H2 és ha n elég nagy, akkor
folytonos, feltehet®, hogy
Legyen
σ n $ inf {s | |Xn − X| (s) ≥ ε} . n elég nagy, akkor P (σ n < t) < P (Ac ) < δ és így a sztochasztikus
A tétel feltételeiben szerepl® (3.11) konvergencia miatt, ha
δ/2.
Ha most
ρn $ τ n ∧ σ n
és
A $ {ρn ≥ t} ,
akkor
integrálokra de niált (3.9) négyzetes egyenl®tlenség alapján
P (|((Xn − X) • S) (t)| > α) ≤ P (Ac ) + P (A ∩ |((Xn − X) • S) (t)| > α) = = P (Ac ) + P (A ∩ |((Xn − X) • S)ρn (t)| > α) = = P (Ac ) + P (A ∩ |((Xn − X) χ ([0, ρn ]) • S ρn ) (t)| > α) ≤ ≤ P (Ac ) +
k(((Xn − X) χ ([0, ρn ])) • S ρn ) (t)k22 ε2 L ≤ δ + , α2 α2
amib®l az állítás már evidens.
2
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
3.2.5.
83
A kvadratikus variáció
Az alábbi állítás legfontosabb része, hogy az
[X, Y ] ,
úgynevezett keresztvariáció folyamat
létezik.
3.32 Tétel. (Parciális integrálás) Ha
X
és
Y
folytonos szemimartingálok, akkor tetsz®leges
Z
t
X (t) Y (t) − X (0) Y (0) =
Z XdY +
0
ahol
[X, Y ] ,
t
id®pont esetén
t
Y dX + [X, Y ] (t) , 0
de níció szerint, a két szemimartingál kvadratikus keresztvariációja.
resztvariáció a
t
In (t) $
A ke-
id®pontban az
X
X
(n) ti+1
∧t −X
(n) ti
(n) (n) ∧t Y ti+1 ∧ t − Y ti ∧ t
i
szorzatösszeg sztochasztikus konvergenciában vett határértéke.
Továbbá a sztochasztikus
konvergenciában
sup |In (s) − [X, Y ] (s)| → 0. a≤s≤b
Bizonyítás:
A parciális integrálás formuláját a közelít® összegekre felírva az egyenl®ség, a
közelít® összegekre, elemi számolással kapható. A bizonyítás lényegi eleme, hogy mivel az integrálok konvergálnak, a bal oldalon szerepl® kifejezés konstans, ezért a keresztvariációt közelít®
(In )
sorozat konvergens kell hogy legyen.
[X] monoton n®, ugyanis ha s < t, akkor az s id®pontot a [0, t] felbontásához hozzávéve a [0, s] szakaszon vett közelít® összegek nem lehetnek nagyobbak a [0, t] szakaszon vett összegeknél. Az
[X, X]
2 folyamatot szokás
[X]
módon jelölni.
A de nícióból világos, hogy az
Az integrálás integrandus és integrátor szerinti linearitása segítségével könnyen belátható, hogy
[X, Y1 + Y2 ] = [X, Y1 ] + [X, Y2 ] . Ebb®l azonnal látható, hogy
[X + Y ] = [X + Y, X + Y ] = [X] + 2 [X, Y ] + [Y ] . Speciálisan
[X, Y ] = következésképpen az
[X, Y ]
1 ([X + Y ] − [X − Y ]) , 4
véges változású.
3.33 Példa. Folytonos és korlátos változású folyamatok kvadratikus keresztvariációja nulla.
(3.12)
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
84
A sztochasztikus analízis lényegében a keresztvariáció miatt különbözik a közönséges analízist®l. A Fisk-tétel bizonyításakor is használt
X
(X (tk ) − X (tk−1 ))2 ≤ max |X (tk ) − X (tk−1 )| k
k triviális egyenl®ség miatt ha egy
0,
X
X
|X (tk ) − X (tk−1 )|
k
folyamat folytonos és véges változású, akkor az
[X, X] =
ugyanis minden véges szakaszon a folytonos függvények egyenletes folytonossága miatt
a szorzat els® tagja nullához tart, miközben a feltételezett véges változás miatt a szorzat második tényez®je korlátos. Ez az észrevétel felhasználható a Fisk-tétel bizonyítására: feltételt kielégít® lokális martingál.
Legyen
L
egy az
L (0) = 0
L
folytonos és korlátos változású, ezért a 2 2 példa alapján [L, L] = 0. A parciális integrálás formulája miatt az L − [L, L] = L 2 egy lokális martingál. Következésképpen egy alkalmas (τ n ) lokalizációs sorozatra az L négyzetfolyamat
τn
Mivel az
pontban való megállítása martingál, így minden
t-re
a Fatou-lemma
miatt
2
E L (t)
= E lim L (τ n ∧ t) ≤ lim E L2 (τ n ∧ t) = n→∞ n→∞ τ n 2 τn = lim E L (t) = lim E L2 (0) = lim E L2 (0) = 0, 2
n→∞
n→∞
n→∞
ahol kihasználtuk, hogy a martingálok tartják a várható értéket. m.m. következésképpen L (t) = 0.
Vagyis
m.m.
L2 (t) = 0, 2
3.34 Példa. Ha
w
egy Wiener-folyamat, akkor
folyamatok, akkor
[w] (t) $ [w, w] (t) = t.
Ha
w1
és
w2
független Wiener-
[w1 , w2 ] = 0. Korrelált Wiener-folyamatok keresztvariációja. [w1 , w2 ] (t) =
ρt. Független Wiener-folyamatok esetén a
[w1 , w2 ]
keresztvariációt több módon is kiszá-
molhatjuk. Az egyik módszer szerint el®ször megmutatjuk, hogy ha és független növekmény¶ek, akkor az
X1 + X2
X1
és
X2
függetlenek
is független növekmény¶. Emlékeztetünk,
hogy az X1 és X2 folyamatok de níció szerint pontosan akkor függetlenek, ha tetsz®leges (ti ) sorozatra az (X1 (ti )) és az (X2 (ti )) vektorok függetlenek. Legyen t > s és ξ i $ Xi (s) és η i $ Xi (t + h) − Xi (t). Az együttes eloszlásokat felírva, el®ször a függetlenséget, majd a független növekményeket, majd ismét a függetlenséget használva
P (ξ 1 ∈ B1 , ξ 2 ∈ B2 , η 1 ∈ C1 , η 2 ∈ C2 ) = P (ξ 1 ∈ B1 , η 1 ∈ C1 ) P (ξ 2 ∈ B2 , η 2 ∈ C2 ) = = P (ξ 1 ∈ B1 ) P (η 1 ∈ C1 ) P (ξ 2 ∈ B2 , ) P (η 2 ∈ C2 ) = = P (ξ 1 ∈ B1 , ξ 2 ∈ B2 ) P (η 1 ∈ C1 , η 2 ∈ C2 ) . A monoton osztály tétel segítségével
P ((ξ 1 , ξ 2 ) ∈ B, (η 1 , η 2 ) ∈ C) = P ((ξ 1 , ξ 2 ) ∈ B) P ((η 1 , η 2 ) ∈ C)
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
85
ξ 1 + ξ 2 független az η 1 + η 2 -t®l. A gondolatmenetet kett® helyett véges sok változóra alkalmazva kapjuk az eredményt. Ebb®l könnyen belátható, hogy ha w1 és w2
amib®l a
független Wiener-folyamatok, akkor a
√ (w1 + w2 ) / 2
szintén Wiener-folyamat.
Ebb®l,
felhasználva a Wiener-folyamatok kvadratikus variációjának képletét
2t = [w1 + w2 ] (t) = [w1 ] (t) + 2 [w1 , w2 ] (t) + [w2 ] (t) = = 2t + 2 [w1 , w2 ] (t) , amib®l evidens módon
w1
és
w2
[w1 , w2 ] (t) = 0.
(w1 , w2 ) növekményei függetlenek és egy alkalmas ρ korrelációs együttható esetén minden t id®pontra és tetsz®leges ∆w1 (tk ) és ∆w2 (tk ) növekményekre a ∆w1 (tk ) és a ∆w2 (tk ) együttes eloszlás normális és a korreláció együtthatójuk ρ. Ilyenkor a [0, t] tetsz®leges partíciója A
Wiener-folyamatokat korrelált Wiener-folyamatnak mondjuk, ha a
esetén
! E
X
∆w1 (tk ) ∆w2 (tk )
=
X
k
X
E (∆w1 (tk ) ∆w2 (tk )) =
k
ρ · D (∆w1 (tk )) · D (∆w2 (tk )) =
2 X p ∆tk = ρt. ρ k
k A növekmények függetlenségét használva
! D2
X
∆w1 (tk ) ∆w2 (tk )
=
X
D2 (∆w1 (tk ) ∆w2 (tk )) .
k
k Ugyanakkor
D2 (∆w1 (tk ) ∆w2 (tk )) = E (∆w1 (tk ) ∆w2 (tk ))2 − (ρ∆tk )2 ≤ q q ≤ E (∆w1 (tk ))4 E (∆w2 (tk ))4 = q q 2 = 3 (∆tk ) 3 (∆tk )2 = 3 (∆tk )2 , Így a partíció végtelenül való nomításával
! X
D2
∆w1 (tk ) ∆w2 (tk )
k k
ρ = 1
[w1 , w2 ] (t) = ρt
kapjuk a
[w1 , w2 ] = 0
X
(∆tk )2 ≤
(tk − tk−1 ) → 0,
formula már evidens.
és ilyenkor kapjuk a
X k
≤ 3 max |tk − tk−1 | amib®l a
≤3
[w] (t) = t
Vegyük észre, hogy ha
formulát, és ha a
w1
és a
w2
w1 = w2 ,
akkor
függetlenek, akkor
formulát.
2
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
86
Mivel a kvadratikus variáció a sztochasztikus analízis legfontosabb fogalma érdemes a létezését egy kicsit jobban körüljárni: Tetsz®leges
(tk )
X
[a, b]
folyamat és
szakasz tetsz®leges
partíciója esetén
!2 X
(X (b) − X (a))2 =
(X (tk ) − X (tk−1 ))
!2 =
k
= 2·
X
∆X (tj ) ∆X (tk ) +
X
(∆X (tk ))2 =
k
= 2
X
k−1 X
k
j=1
= 2
X
= 2
X
! ∆X (tj ) ∆X (tk ) +
X
(X (tk−1 ) − X (a)) ∆X (tk ) +
X
(∆X (tk ))2 =
k
X (tk−1 ) ∆X (tk ) +
X
k
egy folytonos
(∆X (tk ))2 =
k
k
X
=
k
X j
Ha az
∆X (tk )
(∆X (tk ))2 −
k
−2 (X (b) − X (a)) X (a) . X szemimartingál, akkor a X (tk−1 ) ∆X (tk )
határértéke létezik,
k amib®l a
X
(∆X (tk ))2
konvergenciája és az
k 2
Z
2
X (b) − X (a) = 2
b
XdX + [X]a,b a
szabály már evidens.
3.35 Következmény. (A keresztvariáció karakterizálása) Ha
L1
és
L2
tetsz®leges folytonos lokális martingálok, akkor
változású folytonos
Bizonyítás:
V
L1 L2 − V
folyamat, amelyre az
[L1 , L2 ]
az egyetlen olyan véges
folytonos lokális martingál.
A parciális integrálási formula miatt, felhasználva, hogy a két integrál lokális
martingál, világos, hogy az
L1 L2 − [L1 , L2 ]
folytonos lokális martingál. Ha ez egy másik
V
véges változású folyamat esetén is teljesülne, akkor az
(L1 L2 − [L1 , L2 ]) − (L1 L2 − V ) = V − [L1 , L2 ] egy olyan korlátos változású, folytonos lokális martingál lenne, amely a nulla. Fisk tétele miatt ilyenkor
t = 0
[L1 , L2 ] = V .
3.36 Következmény. (Keresztvariációra vonatkozó megállítási szabály) Ha
X
és
Y
folytonos szemimartingálok és
τ
tetsz®leges megállási id®, akkor
[X τ , Y τ ] = [X τ , Y ] = [X, Y τ ] = [X, Y ]τ .
pontban
2
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Bizonyítás:
87
A kvadratikus variáció de níciója alapján
[X τ , Y τ ] $ X τ Y τ − X (0) Y (0) − X τ • Y τ − Y τ • X τ = = X τ Y τ − X (0) Y (0) − (X τ • Y )τ − (Y τ • X)τ = = X τ Y τ − X (0) Y (0) − (X τ χ ([0, τ ]) • Y )τ − (Y τ χ ([0, τ ]) • X)τ = = X τ Y τ − X (0) Y (0) − (Xχ ([0, τ ]) • Y )τ − (Y χ ([0, τ ]) • X)τ = = X τ Y τ − X (0) Y (0) − (X • Y )τ − (Y • X)τ = = (XY − X (0) Y (0) − (X • Y ) − (Y • X))τ = [X, Y ]τ . Az integrál linearitása alapján a keresztvariáció bilineáris, így a további egyenl®ségek bizoτ τ τ τ nyításához elég megmutatni, hogy [X , Y − Y ] = 0. Az X a τ után konstans, az Y − Y pedig a
τ ω
el®tt nulla, így a keresztvariáció de níciójából világos, hogy a közelít® összeg (n) (ω) minden kimenetelre csak egyetlen tagból áll, amikor is tk < τ (ω) < tk+1 . De a folyamatok folytonossága miatt ezen egyetlen közelít® négyzet határértéke nulla, vagyis valóban [X τ , Y − Y τ ] = 0.
2
3.37 Következmény. Ha
L
L trajektóriái [L] = 0.
folytonos lokális martingál, akkor az
kintve pontosan akkor konstansok, ha
Bizonyítás:
egy nullmérték¶ halmaztól elte-
[L] = 0, akkor az L L − L (0) folyamatot írva a 2 kvadratikus variáció nem módosul, így feltehet®, hogy L (0) = 0. Legyen (τ n ) az L − [L] τ lokális martingál egy lokalizációs sorozata. Elegend® belátni, hogy minden n-re L n = τ 0. Mivel [Lτ n ] = [L]τ n = 0, ezért feltehetjük, hogy az (L2 ) n = (Lτ n )2 martingál. A Az egyik irány evidens.
Elegend® belátni, hogy ha
majdnem minden trajektóriája konstans.
Az
L
helyébe az
lokalizációra utaló jelölést az egyszer¶ség kedvéért elhagyva
E L2 (t) = E L2 (t) − [L] (t) = 0, L2 −[L] a lokalizáció miatt martingál, és a martingálok tartják a várható értéket. 2 Ebb®l az L (t) majdnem mindenhol nulla. A racionális id®pontokhoz tartozó nullmérték¶ halmazokat egyesítve az L trajektóriáinak folytonosságát kihasználva azonnal látható, hogy az L majdnem minden trajektóriája nulla. 2 ugyanis az
3.38 Tétel. (Polaritási formula) Ha
L
folytonos lokális martingál és
X
balról reguláris, adaptált folyamat, akkor
[X • L] = X 2 • [L] . Hasonlóan, ha
L1
és
L2
két folytonos lokális martingál és
X1 , X2
folyamatok, akkor
[X1 • L1 , X2 • L2 ] = X1 X2 • [L1 , L2 ] .
balról reguláris, adaptált
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Bizonyítás:
88
A második egyenl®ség az integrál linearitása miatt következik az els®b®l:
[(X1 + X2 ) • L] = (X1 + X2 )2 • [L] = = X12 + 2X1 X2 + X22 • [L] Ugyanakkor
[(X1 + X2 ) • L] = [X1 • L + X2 • L] = = [X1 • L] + 2 [X1 • L, X2 • L] + [X1 • L] , amib®l az els® egyenl®ség felhasználásával
[X1 • L, X2 • L] = X1 X2 • [L] . Az
L
helyébe
L1 + L2 -t
írva hasonló számolással kapjuk a második egyenl®séget. A meg-
állítási szabályok miatt elegend® feltenni, hogy az feltehet®, hogy az
L
X
és az
L
korlátos. Ebb®l következ®en
martingál. Az els® egyenl®ség bizonyításához írjuk fel a
!2 X
X (tk−1 ) ∆L (tk )
= 2
X
X (tk−1 ) X (tj−1 ) ∆L (tk ) ∆L (tj ) +
k<j
k
+
X
X 2 (tk−1 ) (∆L (tk ))2
k azonosságot.
A kétszeres szumma éppen
! In $
X X k
$
X (tj−1 ) ∆L (tj ) X (tk−1 ) ∆L (tk ) $
j
X
Y
(n)
(tk−1 ) ∆Y (n) (tk ) .
k Vegyük észre, hogy martingáltranszformációs lemma miatt az kez®en a lemma ismételt alkalmazásával belátható, hogy az
Y (n) martingál.
In is martingál.
Ebb®l követ-
Ha a felbontást
minden határon túl nomítjuk, akkor, felhasználva, hogy a sztochasztikusan konvergens sorozatok négyzete is sztochasztikusan konvergens
!2 X
→
X (tk−1 ) ∆L (tk )
X
2 XdL .
0
k Mivel
t
Z
(∆L (tk ))2 → [L] (t) és a
k
X
X 2 (tk−1 ) (∆L (tk ))2
összeg tekinthet® a tk pontokra
k
(∆L (tk ))2 nagyságú ugrásokat tartalmazó korlátos változású folyamat szeintegrálnak, ezért felhasználva, hogy az X trajektóriái balról regulárisak a bizonyítás
koncentrálódott rinti
utáni lemma alapján a trajektóriánkénti konvergenciában
X k
2
2
Z
X (tk−1 ) (∆L (tk )) → 0
t
X 2 d [L] .
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Legyen
Z $ X • L.
89
Ha a felbontást nomítjuk, akkor felhasználva, hogy
Y (n) → Z
a
kompakt szakaszokon a sztochasztikus konvergenciában egyenletesen
t
Z lim
n→∞
Z
− Z dZ =
0
t
lim Y
(n)
0 n→∞
Z
− Z dZ =
t
0dZ = 0. 0
(n) így egy elegend®en kicsi valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve az Y (n) már elég közel van a Z -hez, így feltehet®, hogy az Y egy elegend®en kicsi valószín¶Az
Y (n)
Y
(n)
tart a
Z -hez,
ség¶ halmaztól eltekintve egyenletesen korlátos. Ebb®l következ®en a már többször látott módon a sztochasztikus integrálokra vonatkozó (3.9) egyenl®tlenséggel belátható, hogy (n) sztochasztikus konvergenciában Y • Y (n) − Z → 0. Ezt felhasználva
Y (n) • Y (n) − Z • Z = Y (n) • Y (n) − Z + Y (n) − Z • Z → 0. Így
Z 2 = 2 · Z • Z + X 2 • [L] . Mivel a
Z
Z •Z
lokális martingál, ezért a
is lokális martingál, következésképpen
[Z] = [X • L] = X 2 • [L] . 2
3.39 Lemma. (Gyenge konvergencia jellemzése) Tegyük fel, hogy
Fn → F ,
(Fn )
ahol az
sorozat tagjai és az
F
monoton növeked®, jobbról
folytonos függvények és a konvergencia minden pontban érvényes. Ha az
f
balról reguláris
függvény, akkor
Z
b
Z f dFn →
f dF. a
a
Bizonyítás:
b
A lemma a mértékek gyenge konvergenciájára vonatkozó gyakran használt
állítás egy verziója. Gyenge konvergencia de níciója alapján elegend® megkövetelni, hogy
Fn (x) → F (x) konvergencia. (Fn ) gyengén tart az F -hez. Ez indokolja a lemma elnevezését. Vegyük észre, hogy mivel az f balról reguláris, ezért tetsz®leges n-re az 1/n-nél nagyobb ugrásainak száma véges, így az f legfeljebb megszámlálható pontban szakadhat. Ha az F folytonos, akkor az egy pontból álló halmazok mértéke nulla, így az F által generált mérték szerint az f majdnem mindenhol folytonos. Miként ismert,
az
F
minden folytonossági pontjában érvényes legyen az
Emlékeztetünk, hogy ilyenkor azt szokás mondani, hogy az
a mértékek gyenge konvergenciája esetén az integrálok konvergenciája ilyenkor is biztosítható. Mivel azonban ennek indoklása némiképpen szövevényes, eltekintünk a használatától és a gyenge konvergencia jellemzését a fenti egy enyhén módosított alakban mondtuk ki. A balról regularitás miatt az Ezek száma véges.
f
felbontható két részre. Jelölje
Tekintsünk egyetlen nagy ugrást.
h (x) $
0 g
ha ha
t ≤ t0 . t > t0
f1
a nagy ugrásokat.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Ilyenkor, kihasználva, hogy az
F
jobbról folytonos, így egy
(u, v]
90
szakasz mértéke
F (v) −
F (u) Z
b
Z
Z
hdFn =
hdFn = g (Fn (b) − Fn (t0 )) →
hdFn =
a ugyanis az
Z
(a,b]
hdF, a
(t0 ,b]
Fn (x) → F (x)
b
konvergencia minden pontban teljesül. Legyen
és a kis ugrásokat megadó rész.
Ekkor az
f2
f2
a folytonos
folytonossági modulusa a nagy ugrások
alkalmas megválasztásával tetsz®legesen kicsi lehet. Legyen
h az f2
függvényt jól közelít®
szakaszonként konstans, balról folytonos függvény.
Z b Z b f2 dFn ≤ f2 dF − a Z b Za b Z b Z b |h − f2 | dFn ≤ hdFn + hdF − |f2 − h| dF + a a a a Z b Z b ε (F (b) − F (a)) + hdF − hdFn + ε (Fn (b) − Fn (a)) . a
Az els® és a harmadik kifejezés az
a
ε
megválasztásával tetsz®legesen kicsivé tehet®.
A
második integrál pedig
X X hk (F (tk ) − F (tk−1 )) − hk (Fn (tk ) − Fn (tk−1 )) k
alakú, amely az
k
Fn → F
konvergencia miatt szintén tetsz®legesen kicsivé tehet®.
2
3.40 Következmény. (A sztochasztikus integrál karakterizációja) L egy X • L az Ha
folytonos lokális martingál és egyetlen olyan a
t=0
X
egy adaptált, balról reguláris folyamat, akkor az
pontban nulla értéket felvev® folytonos lokális martingál,
amelyre igaz az, hogy tetsz®leges
N
folytonos lokális martingál esetén
[X • L, N ] = X •
[L, N ].
Bizonyítás:
Ha valamely
U
U (0) = 0 minden N N $ U − X • L esetben
folytonos lokális martingálra, amelyre
folytonos lokális martingál esetén
[U, N ] = X • [L, N ] ,
akkor az
[N ] = [U − X • L, N ] = [U, N ] − [X • L, N ] = 0, vagyis
N = 0,
amib®l
U =X •L
A fordított irány a polaritási formula miatt evidens.
2
3.41 Tétel. (Asszociativitási szabály) Legyen
S
folytonos szemimartingál,
X
és
Y
balról reguláris adaptált folyamatok. Érvényes
a következ® asszociativitási formula:
Y • (X • S) = (Y X) • S. Másképpen fogalmazva integrálfüggvény szerinti integrálás esetén az integrálok elvégzésének sorrendje átrendezhet®.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Bizonyítás:
R
f dµ, A
R
akkor
gdν = X
R
f gdµ, ezért ha az S korlátos X változású, akkor az azonosság a klasszikus integrálelméletb®l ismert. Ha S lokális martinMivel ha
ν (A) $
91
gál, akkor a trajektóriánkénti integrál ezen tulajdonságát használva tetsz®leges
N
lokális
martingál esetén
[Y • (X • S) , N ] = Y • [X • S, N ] = Y • (X • [S, N ]) = = Y X • [S, N ] = [Y X • S, N ] . Ebb®l a kvadratikus variáció linearitása miatt
[Y • (X • S) − Y X • S, N ] = 0. Lokális martingálok különbsége szintén lokális martingál, így
N $ Y • (X • S) − Y X • S
választással
[Y • (X • S) − Y X • S] = 0, amib®l
Y • (X • S) = Y X • S. 2
3.2.6.
Helyettesítéses integrálás
Miel®tt továbbmegyünk érdemes röviden megtárgyalni a sztochasztikus folyamatok id®transzformáltját, amely a helyettesítéses integrálás hasznos módszerének sztochasztikus általánosítása. Csak a legegyszer¶bb esetet tárgyaljuk. Legyen
A egy az A (0) = 0 pontból
kiinduló, adaptált, folytonos szigorúan monoton növeked® folyamat, és vezessük be a
τ (t) $ inf {s | A (s) ≥ t} = inf {s | A (s) = t} = A−1 (t) < ∞ 12
megállási id®kb®l álló folyamatot
A (∞) = ∞.
.
Ugyancsak az egyszer¶ség véget tegyük fel, hogy
F alap ltráció mellett vezessük be a Gs $ Fτ (s) σ -algebrákat. Mivel az A τ (t) folyamat is monoton n®, és mivel a megállított σ -algebra a megállási növeked® függvénye a Gs σ -algebrákból készített G család ltráció.
Az
monoton n®, a id® monoton
1. Megmutatjuk, hogy ha az
F
teljesíti a szokásos feltételeket, akkor a
kielégíti a szokásos feltételeket. Valóban, mivel
G
ltráció is
τ (0) = 0, ezért F0 = G0 , így a G minden G ∈ Gt+ , akkor G ∈ Fτ (s) minden s > t
eleme tartalmazza a nullmérték¶ halmazokat. Ha esetén, vagyis minden
a≥0
esetén
G ∩ {τ (s) ≤ a} ∈ Fa ,
s > t.
Mivel minden megállási id® egyúttal gyenge megállási id® is, ezért
G ∩ {τ (s) < a} ∈ Fa , 12 Az alábbi helyettesítéses integrálás formulájában az
A közvetlenül nem jelenik meg, csak a τ (t) folyaA és a τ (t) folyamat tulajdonságai közvetlenül megfeleltethet®k egymásnak. Az alkalmazásokban τ (t) általában egy A segítségével származtatható.
mat. a
s > t.
Az
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Ha
sn & t,
akkor
τ (sn ) & τ (t) ,
92
ezért egyrészt
G ∩ {τ (sk ) < a} ⊆ G ∩ {τ (sk+1 ) < a} ⊆ G ∩ {τ (t) < a} , másrészt
G ∩ {τ (t) < a} ⊆ ∪k G ∩ {τ (sk ) < a} , ezért a tartalmazás helyett egyenl®ség van, így
1 G ∩ {τ (t) ≤ a} = G ∩ ∩n τ (t) < a + ∈ Fa+ = Fa , n következésképpen 2. Ha az
X (τ (t))
X
G ∈ Fτ (t) = Gt ,
reguláris
13
tehát a
G
valóban jobbról folytonos.
folyamat és adaptált az
F
ltrációra nézve, akkor az
átskálázott folyamat adaptált lesz a G -re nézve. Valóban tetsz®leges X τ megállított folyamat adaptált marad az F -re nézve.
τ
Y (t) $
megállási
id® esetén az
{Y (t) ≤ a} ∩ {τ (t) ≤ u} $ {X (τ (t)) ≤ a} ∩ {τ (t) ≤ u} = = {X (τ (t) ∧ u) ≤ a} ∩ {τ (t) ≤ u} = = X τ (t) (u) ≤ a ∩ {τ (t) ≤ u} ∈ Fu , vagyis az
Y (t) Fτ (t) = Gt
mérhet®.
L egy folytonos lokális martingál az F ltrációra nézve. Megmutatjuk, hogy az M (t) $ L (τ (t)) lokális martingál a G -re nézve. Valóban legyen σ < ∞ egy olyan F -megállási id®, amelyre az Lσ korlátos F -martingál. Legyen 3. Legyen most
ρ $ inf {t | τ (t) ≥ σ} = inf {t | τ (t) = σ} . A
ρ
egy
megállási id® a
ρ≥0
G
ltrációra nézve. Ennek igazolásához elég azt meggondolni, hogy
függvény pontosan akkor megállási id®, ha a
[ρ, ∞)
véletlen szakasz
χ ([ρ, ∞))
jobbról folytonos karakterisztikus függvénye adaptált. Nyilván
χ ([ρ, ∞)) (t, ω) = χ ([σ, ∞)) (τ (t) , ω) , következésképpen az el®z® pont miatt a
ρ
valóban
G -megállási
M ρ (t) = M (ρ ∧ t) $ L (τ (ρ ∧ t)) = L (τ (ρ)) ha ρ ≤ t L (σ) = = L (τ (t)) ha t < ρ L (τ (t)) L (σ) ha τ (ρ) ≤ τ (t) = = L (τ (t)) ha τ (t) < τ (ρ) L (σ) ha σ ≤ τ (t) = = L (τ (t)) ha τ (t) < σ = Lσ (τ (t)) .
id®.
ha ha
ρ≤t = t<ρ
13 A regularitásnál jóval általánosabb körülmények között is érvényben marad, például teljesül az alább bevezetett el®rejelezhet® folyamatokra is, a pontos részleteket most nem tisztázzuk.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Mivel az
Lσ
korlátos, ezért nyilván az
Mρ
korlátos.
Ha
t ≥ s,
93
akkor a korlátos, vagyis
egyenletesen integrálható martingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel alapján
E (M ρ (t) | Gs ) $ E Lσ (τ (t)) | Fτ (s) = Lσ (τ (s)) = L (τ (ρ ∧ s)) = = M ρ (s) . Ha
σ n % ∞,
akkor a megfelel®
ρn % ∞
éppen az
M
egy lokalizációs sorozata.
L lokális martingál az F alatt. Ekkor az L2 − [L] lokális martingál az F alatt, amib®l L2 (τ (t)) − [L] (τ (t)) lokális martingál a G alatt. Mivel az [L] (τ (t)) trajektóriái monoton n®nek és folytonosak, ezért a t 7→ L (τ (t)) kvadratikus variációja [L] (τ (t)). Hasonlóan ha L1 és L2 F lokális martingálok, akkor a Z1 (t) $ L1 (τ (t)) és a Z2 (t) $ L2 (τ (t)) keresztvariációja 4.
Legyen
[Z1 , Z2 ] (t) = [L1 , L2 ] (τ (s)) .
5. Legyen
X
egy balról reguláris folyamat és legyen
V
(3.13)
véges változású. Ekkor érvényes
a következ® helyettesítéses integrálási formula:
τ (t)
Z
Z
t
X (s) dV (s) = 0 Mivel a felírni a
X (τ (s)) dV (τ (s)) . 0
V szerinti integrál trajektóriánként számolható, ezért minden kimenetelre elég [0, τ (t, ω)] egy végtelenül nomodó partíciósorozatára az bal oldalon álló integrál
egy Itô-féle közelít® összegét. Azonnal látható, hogy ez egyúttal tekinthet® a jobb oldalon álló integrál egy Itô-féle közelít® összegének is. Az integrandus mind a két oldalon balról reguláris, így mind a két oldalon a közelít® összegek sorozata konvergál, és az egyenl®ség az integrálokra is átvihet®. 6.
Legyen
X
ismét egy balról reguláris folyamat
14
és legyen
L
egy folytonos lokális
martingál. Ekkor érvényes a következ® helyettesítéses integrálási formula:
Z
τ (t)
Z
t
X (s) dL (s) = 0
X (τ (s)) dL (τ (s)) . 0
τ (s) trajektóriái folytonosak, ezért az s 7→ X (τ (s)) L (τ (s)) a τ folytonossága miatt folytonos lokális martingál
El®ször is megjegyezzük, hogy mivel a is balról reguláris. Mivel az
ezért a két oldalon az ItôStieltjes integrálok léteznek. Tekintsük az
Z
τ (t)
Z
t
X (s) dL (s) − X (τ (s)) dL (τ (s)) = 0 Z t = (X • L) (τ (t)) − X (τ (s)) dL (τ (s))
Y (t) $
0
0 14 Könnyen látható, hogy az
X
választható el®rejelezhet®nek.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
G -lokális
94
martingált. A kvadratikus variációra belátott (3.13) formula alapján
Z
t
X 2 (τ (s)) d [L (τ (s))] − [Y ] (t) = [X • L] (τ (t)) + 0 Z t X (τ (s)) d[L (τ (s)) , (X • L) (τ (s))] = −2 0 Z t X 2 (τ (s)) d [L (τ (s))] − =2 0 Z t −2 X (τ (s)) d[L (τ (s)) , (X • L) (τ (s))], 0 ugyanis a közönséges trajektóriánként vett helyettesítéses integrál formulája alapján
τ (s)
u=
helyettesítéssel
Z [X • L] (τ (t)) =
τ (t)
Z
2
X (u) d [L] (u) = 0
t
X 2 (τ (s)) d [L] (τ (s)) .
0
Ugyanakkor ismételten a trajektóriánként vett helyettesítéses integrálás formulája és a keresztvariációra kimondott formula szerint
Z
t
X (τ (s)) d[L (τ (s)) , (X • L) (τ (s))] = Z t = X (τ (s)) d[L, X • L] (τ (s)) = 0 Z t = X (τ (s)) d ((X • [L]) (τ (s))) = 0 Z t X (τ (s)) d (X (τ (s)) • [L (τ (s))]) = = 0 Z t = X 2 (τ (s)) d [L (τ (s))] . 0
0 Így az
Y
kvadratikus variációja nulla, következésképpen az
Y
is nulla, amib®l a sztochasz-
tikus integrálokra vonatkozó helyettesítéses integrálás formulája már teljesül.
3.42 Tétel. (Helyettesítéses integrálás) Ha
τ (t)
az alpont elején megadott folytonos, szigorúan monoton növeked® folyamat, ak-
Y F -szemimartingál esetén a t 7→ Y (τ (t)) folyamat G -szemimartingál X balról reguláris, F -adaptált folyamat esetén érvényes az Z τ (b) Z b XdY = X (τ (s)) dY (τ (s))
kor tetsz®leges minden
τ (a)
martingál és
a
Y F -lokális [Z] (t) = [Y ] (τ (t)).
helyettesítési formula.
Ha az
és
martingál, akkor a
Z (t) $ Y (τ (t)) G -lokális
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
3.2.7.
95
Mikor lesz egy sztochasztikus integrál valódi martingál
Ebben az alpontban a BurkholderDavisGundy egyenl®tlenségek speciális esetét igazoljuk.
Csak a legegyszer¶bb esetet tárgyaljuk, amikor
p = 2
és egyedül avval az esettel
foglalkozunk, amikor az egyenl®tlenségben szerepl® lokális martingál sztochasztikus integrálként áll el®. Ez utóbbi feltétel a bizonyítások közvetlen módosításával azonnal elejthet®.
3.43 Állítás. Ha
X
adaptált, balról reguláris folyamat,
L
folytonos lokális martingál, akkor
2
E (X • L) (t) ≤ E
t
Z
2
X d [L] .
(3.14)
0
Bizonyítás:
A polaritási formula miatt az
(X • L)2 − [X • L] = (X • L)2 − X 2 • [L] lokális martingál. Legyen
(τ n ) egy lokalizációs sorozat.
Feltehet®, hogy a lokalizált
X 2 • [L]
folyamatok korlátosak. Ekkor a martingál tulajdonság miatt
E
(X • L)2 − X 2 • [L] (τ n ∧ t) = 0.
A korlátosság miatt a várható érték szétszedhet®.
2
E (X • L) (τ n ∧ t) = E
Z
t∧τ n 2
X d [L] . 0
Ha
n % ∞,
akkor
az egyik oldalon a monoton konvergencia tételt a másikon a Fatou-
lemmát használva éppen a kívánt egyenl®tlenséget kapjuk.
2 A Doob-féle maximál egyenl®tlenséggel az állítás élesíthet®:
3.44 Állítás. Ha
X
adaptált, balról reguláris folyamat,
E
Bizonyítás:
L
folytonos lokális martingál, akkor
Z t 2 max (X • L) (s) ≤ 4 · E X d [L] . 2
0≤s≤t
0
Az el®z® gondolatmenetet szó szerint megismételve
2
E (X • L) (τ n ∧ t) = E
Z
t∧τ n 2
X d [L] . 0
Az
X 2 • [L]
feltételezett korlátossága miatt az
(X • L) (τ n ∧ t) = (X • Lτ n ) (t)
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
egy
H2
96
martingál, ezért a Doob-egyenl®tlenség miatt
τn 2 E max (X • L) (τ n ∧ s) = E max (X • L ) (s) ≤ 0≤s≤t 0≤s≤t ≤ 4 · E (X • Lτ n )2 (t) = Z t∧τ n 2 X d [L] . = 4·E 2
0 Ha
n % ∞,
akkor
az egyik oldalon a monoton konvergencia tételt a másikon a Fatou-
lemmát használva éppen a kívánt egyenl®tlenséget kapjuk.
2
3.45 Állítás. Ha
X
adaptált, balról reguláris folyamat,
Z
t
E
L
folytonos lokális martingál, akkor
2 X d [L] ≤ E max (X • L) (s) . 2
0≤s≤t
0
Bizonyítás:
Miként az el®z® állítás igazolásakor most is feltehetjük, hogy alkalmas loka-
lizációs sorozatra
2
E (X • L) (τ n ∧ t) = E
t∧τ n
Z
2
X d [L] , 0
amib®l
E
Z max (X • L) (s) ≥ E 2
0≤s≤t
t∧τ n 2
X d [L] .
0
Mivel a jobb oldalon alkalmazhatjuk a monoton konvergencia tételt ezért, ha
n % ∞,
akkor éppen az egyenl®tlenséget kapjuk.
2
3.46 Tétel. (BurkholderDavisGundy) Ha
X
adaptált, balról reguláris
Z E
t
L
folytonos lokális martingál, akkor
Z t 2 2 X d [L] . X d [L] ≤ E max (X • L) (s) ≤ 4 · E 2
0≤s≤t
0
(3.15)
0
A sztochasztikus integrál általában csak lokális martingál.
Éppen ezért a következ®
kritérium jelent®ségét nem lehet túlértékelni.
3.47 Következmény. (Martingálkritérium) Ha
L
X
folytonos lokális martingál és az
Z E
adaptált, balról reguláris folyamatra
t 2
X d [L]
< ∞,
0
akkor a
[0, t] szakaszon az X •L négyzetesen integrálható martingál. t = ∞.
marad akkor is ha
A kritérium érvényben
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Bizonyítás:
97
A feltétel teljesülésekor a
2
max (X • L) (s) =
0≤s≤t integrálható.
2 max |(X • L) (s)|
0≤s≤t
A Cauchy-egyenl®tlenség miatt ilyenkor a
rálható, így az
Y $ X •L
len integrálható majoránsa.
max0≤s≤t |(X • L) (s)|
is integ-
egy olyan lokális martingál, amelynek van id®t®l függetHa
E (Y (s ∧ τ n ) | Ft ) = Y (t ∧ τ n ).
(τ n )
egy lokalizáló sorozat, akkor minden
t < s
esetén
De az integrálható majoráns létezése miatt a határátme-
n % ∞, E (Y (s) | Ft ) = E Y lim s ∧ τ n | Ft =
net a feltételes várható érték alatt is végrehajtható, vagyis ha
akkor
n→∞
lim E (Y (s ∧ τ n ) | Ft ) =
=
n→∞
lim Y (t ∧ τ n ) = Y (t) ,
= vagyis az
Y
martingál. Az
3.48 Példa. Tetsz®leges Mivel
n-re
az
Rt 0
Y
wn dw
n→∞
triviálisan korlátos az
L2 (Ω)
térben, így
Y $ X • L ∈ H2 .
2
integrál martingál.
[w]
determinisztikus használható a Fubini-tétel, így az integrálás sorrendje fel√ 2n 2n cserélhet®. Kihasználva, hogy a w (s) eloszlása N (0, s) = sn N (0, 1)2n
Z
t
Z
t
Z
t
E sn N (0, 1)2n ds = E w (s) ds = w d [w] = 0 0 0 Z t n+1 t E N (0, 1)2n sn ds = E N (0, 1)2n < ∞, n+1 0 E
2n
ezért a martingálkritérium szerint a
2n
wn • w
folyamat martingál.
2 A BurkholderDavisGundy egyenl®tlenség általánosítható. tetsz®leges
M,
p>0
esetén vannak olyan
cp
és
Cp
Az általánosítás szerint
pozitív konstansok, amelyekre tetsz®leges
nullából induló lokális martingál esetén
p/2
cp E ([M ] (t))
≤E
p p/2 . sup |M (s)| ≤ Cp E ([M ] (t))
(3.16)
0≤s≤t Ha
p = 1,
és az
M
egy
L
X•L
sztochasztikus
sup0≤s≤t |M (s)|integrálható
legyen, vagyis
folytonos lokális martingál szerint vett
integrál, akkor az
p X 2 • [L] < ∞ E [M ]1/2 = E szükséges és elegend® feltétele annak, hogy a hogy az
X •L
rendelkezzen integrálható majoránssal. Miként láttuk, ha egy lokális mart-
ingálnak van id®t®l független integrálható majoránsa, akkor a folyamat valódi martingál.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
√ x
A
függvény konkáv, így
E
p p X 2 • [L] ≤ E (X 2 • [L]),
98
vagyis nem túl meglep®
módon a fenti martingálkritérium gyengébb feltétel mint az integrálható majoráns létezésének feltétele. Ha azonban a négyzetgyök a várható értéken belül van, akkor az integrál és a várható érték felcserélése nehezen oldható meg, így az integrálható majoráns létezésének kritériuma konkrét számításokban ritkán használható.
Ennek ellenére érvényes a
következ®:
3.49 Következmény. Ha
L
folytonos lokális martingál és az
X
adaptált, balról reguláris folyamatra
s Z t E X 2 d [L] < ∞, 0
akkor a
[0, t]
3.2.8.
szakaszon az
X •L
egyenletesen integrálható martingál.
Sztochasztikus integrálás és arbitrázs
A sztochasztikus integrálás és a matematikai pénzügyek kapcsolatának megértése céljából érdemes néhány, bizonyos szempontból korai példát tárgyalni.
3.50 Példa. Az
I (t) $
Rt
1 dw (s) összenyomott Wiener-folyamat martingál a 0 T −s
[0, T )
id®tartomá-
nyon. Legyen
w
egy Wiener-folyamat és legyen
Z I (t) $ 0 A
[0, T )
t
1 dw (s) . T −s
I sztochasztikus integrál értelmes [0, T ) tartományon 2 ! Z t 2 Z t 1 1 1 1 ds = ds = − < ∞, E T −s T −s T −t T 0 0
szakaszon az integrandus folytonos és az
és egy
lokális martingált de niál. A
vagyis az
I
valódi martingál.
2
3.51 Példa. Folytonos id®horizonton a sztochasztikus integrál, amely alulról nem korlátos nem használható az árazási elméletben ugyanis arbitrázst tartalmaz.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
Természetesen a
[0, T ]
99
szakaszon az
Z
t
I (t) $ 0
1 dw (s) T −s
integrál nem létezik. Az
t
Z [I] (t) = 0
1 1 1 − 2 ds = T −t T (T − s)
triviálisan egy szigorúan monoton növ®, folytonos és determinisztikus függvény. Az inverzét jelölje
f (x) $
xT 2 . 1 + Tx
szakaszra. Az
[0, ∞) félegyenest [0, ∞) félegyenesen,
amely kvadratikus variációja
Lévy-féle ka-
rakterizációs tétel miatt az
megjegyezni,
Az
f
szintén egy szigorúan monoton növ® folytonos függvény és az
képezi a
[0, T )
f
a
I (f (s)) kifejezés folytonos martingál a [I (f (s))] = [I] (f (s)) = s. Az alább tárgyalt s 7→ I ((f (s))) egy Wiener-folyamat. Érdemes
hogy ebben az egyszer¶ esetben a karakterizációs tételre nincsen igazán szükség, ugyanis az integrandus determinisztikus, így közvetlen számolással könnyen látható, hogy az integrál eloszlása normális és az integrálfolyamat független növekmény¶.
p
I (t) eloszlása N 0, [I] (t) . Ebb®l már az állítás egyszer¶en w b (s) $ I (f (s)) egy Wiener folyamat, ezért 1 1 −1 I (t) = w b f (t) = w b − . T −t T az
Tetsz®leges
igazolható.
t-re
Mivel a
A Wiener-folyamatokra a limesz szuperior és a limesz inferior végtelenbe tart, így
lim supw b (s) =
lim supI ((f (s))) = lim supI (t) = ∞
lim inf w b (s) =
lim inf I ((f (s))) = lim inf I (t) = −∞
s→∞
s→∞
s→∞ s→∞
t→T t→T
Ebb®l következ®en a
τ a $ inf {t ≤ T | I (t) = a} kifejezés majdnem minden kimenetelre véges és majdnem mindenhol Tekintsük az
X (t) $
1 χ (t ≤ τ a ) T −t
balról reguláris stratégiát. Tegyük fel, hogy az árak alakulását a Wiener-folyamat írja le. Az
X
τ a < T.
[0, T ]
szakaszon egy
stratégiából származó nyereség a sztochasztikus integrálokra
vonatkozó asszociativitási, illetve megállási szabály miatt
s
1 1 (X • w) (s) $ χ (t ≤ τ a ) dw (t) = χ (t ≤ τ a ) • w (s) = T −t 0 T −t 1 = χ (t ≤ τ a ) • •w (s) = T −t = (χ (t ≤ τ a ) • I) (s) = I τ a (s) = I (τ a ∧ s) . Z
w
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
100
Ebb®l következ®en
lim (X • w) (s) = (X • w) (T ) = a,
s→T
w
vagyis ha az árakat egy
Wiener-folyamat írja le, akkor egy tetsz®leges
tetsz®leges nyereség realizálható.
[0, T ]
szakaszon
Vagyis folytonos id®horizonton, még a lehet® legegy-
szer¶bb esetben is mindenképpen van arbitrázs.
Az idéz®jelet az indokolja, hogy az
arbitrázst csak megengedett stratégiák halmazának rögzítése esetén értelmezhetjük és a gondolatmenet lényege, hogy az
X
stratégia nem megengedett".
2
3.52 De níció. w b (t) $ I ((f (t))) egy Wiener-folyamat. Ez indokolja, Z t 1 1 1 −1 dw (s) = w b f (t) = w b − I (t) $ T −t T 0 T −s
Az el®z® példában a
folyamatot a
[0, T )
hogy az
szakaszra összenyomott Wiener-folyamatnak hívjuk.
A folytonos id®horizont kézenfekv® módon végtelen számú id®pontból áll, és ezért tetsz®leges véges szakaszon lehet duplázni. miként.
Valójában tetsz®leges
folyamat eléri az
a
a
Az el®z® példa éppen azt mutatja be, hogy
τa
esetén, ha
id®pontot, akkor
τa < ∞
és
az els® id®pont, amikor egy
w (τ a ) = a,
w
Wiener-
vagyis végtelen id®horizonton
egy egyszer¶ megállítási stratégiával triviálisan lehet arbitrálni. A példa csak azt mutatja meg, hogy ha megengedjük a sztochasztikus integrált mint kereskedési stratégiát, akkor már korlátos id®horizonton is el lehet érni az
a
értéket. Valójában a megállási opciókról
szóló tételben a megállási id®k korlátossága azt biztosítja, hogy ne lehessen a végtelen számosságú id®horizontot kihasználva duplázni.
A megengedett stratégiák alulról való
korlátosságának megkövetelése hasonló célt szolgál: Korlátot kívánunk szabni a kockázat növekedésének.
3.53 De níció. Megengedett stratégián olyan
θ•S
θ
stratégiákat értünk, amelyekre egy alkalmas
a
konstanssal a
alulról egyenletesen korlátos.
3.54 Lemma. Egy alulról
15
korlátos lokális martingál mindig szupermartingál, így nem tartalmazhat ar-
bitrázst
Bizonyítás:
Az állítás minden trivialitása ellenére igen fontos, így szerepét nem lehet
eléggé kiemelni. Legyen
L
egy lokális martingál és legyen
(τ n )
a lokalizációs sorozata. Az
L ≥ 0. A Fatou-lemma miatt E (L (t) | Fs ) = E lim L (t ∧ τ n ) | Fs ≤
egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy
ha
t>s
n→∞
≤ lim inf E (L (t ∧ τ n ) | Fs ) = lim inf L (s ∧ τ n ) = L (s) , n→∞
n→∞
15 Emlékeztetünk, hogy a korlátos lokális martingálok valódi martingálok, ugyanis ilyenkor a Fatoulemma helyett a majorált konvergencia tétele használható.
3.2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁS FOLYTONOS INTEGRANDUSOK ESETÉN
vagyis az
L
valóban szupermartingál.
101
Ha egy rögzített számmal alulról korlátos nyere-
ségfolyamatokra szorítkozunk, akkor nem lehetséges az arbitrázs, ugyanis az alulról való korlátosság miatt valamely lokális martingál szerinti sztochasztikus integrál szupermartingál, vagyis veszíti a várható értékét. Ha tehát
(X • w) (T ) = HT ≥ 0,
akkor
0 = E ((X • w) (0)) ≥ E ((X • w) (T )) = E (HT ) ≥ 0. következésképpen
E (HT ) = 0,
vagyis
m.m.
HT = 0.
2
3.55 Példa. Követelések replikálásában a konstans még véges id®horizonton sem egyértelm¶. Tekintsük az el®z® példában szerepl® az
I
folyamat
−a
I
összenyomott Wiener-folyamatot és
τ −a
jelölje
értékhez tartozó találati idejét. Ha
Xa (t) $
1 χ (t ≤ τ −a ) , T −t
Va $ a + Xa • w = a + I τ −a ≥ 0, így az Xa megengedett, hiszen alulról korlátos, ugyanakkor minden a-ra Va (T ) = a + I (τ −a ) = 0. Ennek megfelel®en a HT $ 0 értéket replikáló a konstans nem egyértelm¶, ugyanis az értéke tetsz®leges a ≥ 0 szám le-
és
a ≥ 0,
akkor
het. Vegyük észre, hogy szemben a véges id®horizont esetével ez nem mond ellent a nincsen arbitrázs feltételnek, ugyanis az
X $ Xa1 − Xa2
portfólió nem lesz feltétlenül megenge-
dett, ugyanis a hozzá tartozó értékfolyamat nem lesz alulról korlátos, hiszen a alulról nem korlátos, ugyanis az
Xa2 • w
−Xa2 • w
csak alulról, de nem felülr®l korlátos. A probléma
a megengedett portfólió fogalmának bevezetésében gyökerezik.
A lényeges gondolat az,
hogy mivel a végtelen számosságú id®horizont miatt az arbitrázs lehet®ségét kizárandó a lehetséges stratégiák nem egy lineáris alteret, hanem egy kúpot alkotnak, ezért a replikáló konstans egyértelm¶sége, szemben a diszkrét és véges id®horizonttal, már nem következik a modell közgazdasági feltételeib®l. Mivel a sztochasztikus integrál nem feltétlenül valódi martingál, ezért a matematikai modell nem garantálja a replikáló portfólióban az induló konstans egyértelm¶ségét. Ha valamely
HT
integrálható változóra
HT = a + (X • L) (T ) , ahol az
L
egy folytonos lokális martingál és az
X
megengedett, akkor
E (HT ) = a + E ((X • L) (T )) ≤ a + E ((X • L) (0)) = a ugyanis az
X•L
alulról korlátos lokális martingál, így szupermartingál, tehát veszíti a
várható értéket. Vagyis a reprezentáló konstans nem lehet kisebb mint a várható érték, de semmi sem garantálja, hogy a reprezentáló konstans éppen a várható érték.
2
3.3. ITÔ-FORMULA
3.3.
102
Itô-formula
A sztochasztikus analízis legfontosabb állítása a következ®:
3.56 Tétel.
n vektor elemei folytonos szemimartingálok, U ⊆ R egy olyan 2 n nyílt halmaz, amely tartalmazza az X értékkészletét és F ∈ C (R ), vagyis az F az U
Ha az
X = (X1 , X2 , . . . , Xn )
halmazon kétszer folytonosan deriválható függvény, akkor
F (X (t)) − F (X (0)) =
Bizonyítás: 1.
n Z X
t
∂F (X) dXk + ∂xk k=1 0 Z 1 X t ∂ 2F + (X) d [Xi , Xj ] . 2 i,j 0 ∂xi ∂xj
(3.17)
A bizonyítást több lépésre bontjuk.
A bizonyítás els® lépéseként az állítást polinomokra igazoljuk.
A formula az
F ≡ c
konstansra triviálisan teljesül, tehát ahhoz, hogy minden polinomra teljesüljön elegend® megmutatni, hogy ha az
F
polinomra teljesül, akkor a
G $ xl F -re
is teljesül. Tegyük fel,
hogy
F (X) = F (X (0)) +
X ∂F 1 X ∂ 2F (X) • Xk + (X) • [Xi, Xj ] . ∂xk 2 i,j ∂xi ∂xj k
A parciális integrálási formula alapján
G (X) $ Xl F (X) = = G (X (0)) + Xl • F (X) + F (X) • Xl + [Xl , F (X)] = ! X ∂F (X) • Xk = G (X (0)) + Xl • F (X (0)) + Xl • + ∂xk k ! 1 X ∂ 2F +Xl • (X) • [Xi, Xj ] + 2 i,j ∂xi ∂xj +F (X) • Xl + [Xl , F (X)] . Az asszociativitási szabály felhasználásával, illetve a
G (X) = G (X (0)) + +
1X 2
i,j
X k 2
Xl
Xl
Xl • F (X (0)) = 0
∂F (X) • Xk + ∂xk
∂ F (X) • [Xi, Xj ] + ∂xi ∂xj
+F (X) • Xl + [Xl , F (X)] .
tagot elhagyva
3.3. ITÔ-FORMULA
103
A szorzat deriválási szabálya szerint
∂G = ∂xk
xl ∂F/∂xk xl ∂F/∂xl + F
ha ha
k= 6 l , k=l
amit behelyettesítve
G (X) = G (X (0)) + + A
G
X ∂G (X) • Xk + ∂xk k
1X ∂ 2F (X) • [Xi, Xj ] + [Xl , F (X)] . Xl 2 i,j ∂xi ∂xj
függvényhez tartozó másodrend¶ parciális deriváltak
xl ∂ 2 F/∂xi ∂xj ∂ 2G xl ∂ 2 F/∂xi ∂xj + ∂F/∂xj = xl ∂ 2 F/∂xi ∂xj + ∂F/∂xi ∂xi ∂xj xl ∂ 2 F/∂ 2 xl + 2∂F/∂xl vagyis az
F 00
és a
G00
ha ha ha
i, j 6= l i = l, j 6= l , i 6= l, j = l i=j=l
csak az l -dik sorban és az l -dik oszlopban különbözik, tehát elegend®
belátni, hogy
Az
ha
n X ∂F [Xl , F (X)] = (X) • [Xl , Xj ] . ∂xj j=1
F (X) az indukciós feltétel szerint szemimartingál.
A sztochasztikus integrál rész kvad-
ratikus keresztvariációja
"
# n n X X ∂F ∂F Xl , (X) • Xk = (X) • [Xl , Xj ] , ∂xk ∂xj j=1 j=1
a korlátos változású rész kvadratikus keresztvariációja a
16
nulla
Xl
folytonossága miatt viszont
. Evvel az állítást polinomokra igazoltuk.
az U -ban lev® racionális középpontú, racionális sugarú zárt gömbök egy Kn $ ∪k≤n Bk , akkor a Kn kompakt halmazok egy olyan növekv® sorozata, amelyre ∪n Kn = U . Ha K ⊆ U tetsz®leges kompakt halmaz, akkor a K lefedhet® véges sok racionális sugarú, racionális középpontú gömbbel, így elég nagy n-re K ⊆ Kn . Megmutatható, hogy tetsz®leges K kompakt halmaz esetén létezik polinomok olyan (Qn ) 2 2 sorozata, amelyre a C (K) topológiájában Qn |K → F |K . A C topológia de níciója szerint, az összes derivált is egyenletesen konvergens. Legyen Pn olyan polinom, hogy a Kn 2 halmazon az F és a Pn távolsága a C (Kn ) topológiában nem nagyobb mint 1/n. Világos, hogy Pn → F , ahol a konvergencia az összes kompakt halmazon egyenletes. Tekintsük az id®tengely tetsz®leges T kompakt részhalmazát. Az X trajektóriái folytonosak, így 2. Legyen
felsorolása.
(Bk ) Ha
16 V.ö.: 3.33. Példa, 83. oldal.
3.3. ITÔ-FORMULA
104
K (ω) $ X (ω, T ) képhalmaz minden ω esetén kompakt. A Kn konstrukciója szerint n-re K (ω) ⊆ Kn . Mivel Kn % U, és minden ω esetén K (ω) ⊆ U , ezért ha An $ {K ⊆ Kn } , akkor An % Ω. A folytonosság miatt elég ellen®rizni, hogy a T egy s¶r¶, megszámlálható részhalmazán az X (ω) trajektória a Kn -be képezzen. Ebb®l következ®en az An mérhet®, így P (An ) % 1. Következésképpen tetsz®leges ε > 0 esetén ha n elég nagy, akkor egy ε valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve K (ω) $ X (ω, T ) ⊆ Kn , így a (Pn (X)) sorozat az id®tengely kompakt részhalmazain egyenletesen tart az F (X) folyamathoz, és
a
elég nagy
ugyanez igaz az els® és a második deriváltakra is. Az el®z® pont szerint a formula teljesül polinomokra, így a sztochasztikus és a közönséges integrálokra vonatkozó konvergencia 2 tételek szerint a tétel teljesül az F ∈ C (U ) függvényre is.
2
Bizonyítás:
Mivel egy igen fontos tételr®l van szó, ezért az
n=1
esetre egy másik bizo-
nyítást is bemutatunk. A bizonyítás f® el®nye, hogy rávilágít az Itô-formula és a Newton Leibniz szabály rokonságára.
F
Legyen
kétszer folytonosan deriválható, és a Newton
Leibniz szabály bizonyításához hasonlóan tekintsük az
F (X (b)) − F (X (a)) =
X
(F (X (tk )) − F (X (tk−1 )))
k teleszkopikus felbontást.
A NewtonLeibniz szabály bizonyításakor használt középérték
tétel helyett a Taylor-formula minden
ω -ra
való alkalmazásával vegyük az
1 F (X (tk ))−F (X (tk−1 )) = F 0 (X (tk−1 )) (X (tk ) − X (tk−1 ))+ F 00 (ξ k ) (X (tk ) − X (tk−1 ))2 2 ξk
X (tk−1 ) és az X (tk ) által meghatározott véletlen intervallumnak. A Bolzano-tétel miatt ξ k = X (η k ), ahol az η k a [tk−1 , tk ] szakasz trajektóriától függ® pontja. A jelölések ellenére sem a ξ k sem az η k
azonosságot, ahol a
a kimenett®l függ® alkalmas eleme az
nem feltétlenül valószín¶ségi változók, ugyanis a mérhet®ségükr®l nem tudunk semmit. Ha 0 a felosztást minden határon túl nomítjuk, akkor az F folytonossága és az ItôStieltjes integrál létezése miatt
X
Z
0
F (X (tk−1 )) (X (tk ) − X (tk−1 )) →
b
F 0 (X (s)) dX (s) .
a
k Így a
X
F 00 (X (η k )) (X (tk ) − X (tk−1 ))2
k összegnek is van határértéke, az egyedüli kérdés csak az, hogy ennek a határértéknek vane valamilyen értelmes és használható reprezentálása. Mivel a konvergencia sztochasztikus értelemben értend®, ezért a határérték kiszámolása szempontjából tetsz®leges részsorozatot is vehetünk. Vegyük azt a részsorozatot, amelyre majdnem minden kimenetelre
Um (t) $
X k
2 (m) ∆X tk ∧ t → [X] (t)
3.3. ITÔ-FORMULA
105
konvergencia az [a, b] szakasz minden t pontjában majdnem minden trajektóriára telje00 sül. Az F (X) folytonossága miatt a mértékek gyenge konvergenciájára vonatkozó lemma alapján
17
Z
b
b
Z
00
F 00 (X (s)) d [X] (s) ,
F (X (s)) dUm → a
a
amib®l a formula már nyilvánvalóan teljesül.
2
3.57 Példa. A Wiener-folyamat harmadik hatványa. Ha
w
egy Wiener-folyamat, akkor az
módon nulla.
Ennek ellenére az
X
X (t) $ w3 (t)
folyamat várható értéke konstans
nem lehet martingál, s®t nem is lehet lokális martingál,
ugyanis az Itô-formula miatt
t
Z X (t) = X (t) − X (0) = 3
t
Z
2
w (s) dw (s) + 3 0
w (s) ds, 0
a sztochasztikus integrál rész lokális martingál, a korlátos változású második tag azonban nem nulla, és a Fisk-féle egyértelm¶ségi tétel miatt csak akkor lehetne az
X
is lokális
martingál, ha ez a tag nulla lenne.
2
3.58 Példa. Számoljuk ki az
f (t) $ E sin2 w (t)
függvényt.
Az Itô-formula alapján
2
2
Z
2
t
Z
sin 2w (s) dw (s) + sin w (t) = sin w (t) − sin w (0) = 0 Z t Z t sin 2w (s) dw (s) + 1 − 2 sin2 (w) ds. =
t
cos 2w (s) ds = 0
0
0
Várható értéket véve, kihasználva, hogy a sztochasztikus integrál rész az integrandus korlátossága miatt valódi martingál, így a várható értéke nulla
Z f (t) = t − 2
t
f (s) ds,
f 0 (t) + 2f (t) = 1.
0 A lineáris dierenciálegyenletet megoldva, felhasználva, hogy
f (0) = 0, f (t) = 1/2 −
1/2 exp (−2t) . 2 Felmerülhet a kérdés, hogy miért folytonos lokális martingál integrátorokra építettük fel az integrálelméletet.
Miért nem csak az alkalmazásokban kiemelked® szerepet játszó
Wiener-folyamatokra. A választ a következ® gyakran használt kritérium igazolása tartalmazza:
17 V.ö.: 3.39. Lemma, 3.39. oldal.
3.3. ITÔ-FORMULA
106
3.59 Tétel. (Lévy-féle karakterizációs tétel) Egy
t
L folytonos lokális martingál pontosan akkor Wiener-folyamat, ha L (0) = 0, és minden [L] (t) = t.
id®pontra
Bizonyítás:
w Wiener-folyamat, akkor a kvadrat id®pontban t egyszer¶en igazolható18 : Legyen w egy Wiener-folyamat [0, t] szakasz egy partíciója. Ha
Az egyik irány, nevezetesen, hogy ha a
tikus variációja a (n) és legyen tk a
(n) (n) (n) ∆w tk $ w tk − w tk−1 , akkor a Wiener-folyamat de níciója alapján
2 X (n) E ∆w tk
! =
k A
w
X
X (n) = D2 ∆w tk (tk − tk−1 ) = t − 0.
k
k
független növekmény¶ és a növekmények várható értéke nulla, ezért, ha a
(n) tk
felosztás nomsága nullához tart, akkor
2
!
X 2 2 X
(n) (n) ∆w tk − t = D2 ∆w tk =
k k 2 4 2 X X (n) (n) 2 = E ∆w tk D ∆w tk ≤ = k
k
4 X 2 X q (n) (n) (n) (n) 4 3 · tk − tk−1 ≤ tk − tk−1 = = E (N (0, 1)) k
k
≤ 3 · (t − 0) · max
k
Mivel az
w
L2 (Ω)-ban való
(n) tk
−
(n) tk−1
→ 0.
konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia ezért a
kvadratikus variációja a
[0, t]
szakaszon éppen
t.
A fordított irány igazolása az Itô-formulára épül: Legyen tingál. Az Itô-formula szerint, felhasználva, hogy
Z
L
egy folytonos lokális mar-
L (0) = 0
t
exp(iuL(t)) − 1 = iu
exp(iuL(s))dL (s) − Z 1 2 t − u exp(iuL(s))d [L] (s) . 2 0 0
exp (iux) exp(iuL) kor-
Komplex függvényekre az Itô-formulát nem igazoltuk, de ha vesszük külön-külön az valós és komplex részét, akkor a fenti formula teljesülése azonnal evidens. Az látos, így felhasználva, hogy az
18 V.ö.: 3.34. példa, 84. oldal.
L
kvadratikus variációja
t,
a martingálkritérium miatt a
3.3. ITÔ-FORMULA
107
sztochasztikus integrál valódi martingál. A két oldalon várható értéket véve és a Fubinitétel alapján az integrálokat megcserélve
Z t 1 2 E (exp(iuL(t))) − 1 = − u E exp(iuL(s))ds = 2 0 Z 1 2 t E (exp(iuL(s))) ds. = − u 2 0 Ha bevezetjük a
ϕ (u, t) $ E (exp(iuL(t)))
jelölést, akkor ez
1 ϕ (u, t) − 1 = − u2 2 t
szerint deriválva
A dierenciálegyenletet
Z
t
ϕ (u, s) ds. 0
dϕ (u, t) 1 = − u2 ϕ (u, t) . dt 2 megoldva tetsz®leges u-ra 1 2 ϕ (u, t) = exp − u t . 2
A normális eloszlás Fourier-transzformáltjának képletét felhasználva az pen
√ N 0, t .
L (t)
eloszlása ép-
A gondolatmenetet az újraindított folyamatra alkalmazva ebb®l könnyen
belátható, hogy a növekmények eloszlása
√ N 0, t − s , vagyis a folyamat stacionárius nö-
vekmény¶. Ebb®l azonban még nem következik, hogy a folyamat Wiener-folyamat, ugyanis nem tudjuk, hogy a növekmények függetlenek vagy sem. A szórásokra vonatkozó képletb®l belátható, hogy a növekmények korrelálatlanok, ugyanis teljesül a
D2 (L (t + s)) = t + s = D2 (L (t)) + D2 (L (s)) . Sajnos azonban normális eloszlású változók korrelálatlansága csak akkor implikálja a függetlenséget, ha az együttes eloszlás is normális, ezért még nem értünk célba.
L
Írjuk fel az
exponenciális martingálját:
1 2 exp (iuL (t)) exp (iuL (t)) = exp iuL (t) + u t . = ϕ (u, t) 2 exp − 12 u2 t Mivel
[L] (t) = t
az Itô-formulával azonnal látható, hogy a kifejezés lokális martingál.
Általában tetsz®leges
L
folytonos lokális martingál esetén az
1 Z $ exp L − [L] 2
3.3. ITÔ-FORMULA
108
kifejezés lokális martingál: Az exponenciális függvény deriválási szabályát kihasználva
Z (t) − Z (0) = Z 1 1 t 1 Zd L − [L] + = Zd L − [L] = 2 2 0 2 0 Z t Z t 1 1 Zd L − [L] + = Zd [L] = 2 2 0 0 Z t ZdL, = Z
t
0 amely kifejezés egy lokális martingál szerint sztochasztikus integrál, vagyis lokális martingál. Vegyük észre, hogy felhasználtuk, hogy a véges változású folytonos folyamatokat tartalmazó kifejezések keresztvariációja nulla
Nyilván tetsz®leges
19
, ezért
1 1 1 [L] = [L] . L − [L] = [L] − 2 L, [L] + 2 2 2
z -re
az
1 1 2 exp zL − [zL] = exp zL − z [L] 2 2 z = iu helyettesítéssel 1 2 exp iuL (t) + u t 2
is lokális martingál. A jelen példában a
kapjuk az
kifejezést. Mivel ez minden véges szakaszon korlátos, ezért nem csak lokális, hanem valódi
s < t, akkor 1 2 1 2 E exp iuL (t) + u t | Fs = exp iuL (s) + u s . 2 2
martingál is, ezért ha
Ezt átrendezve
1 2 E (exp (iu (L (t) − L (s))) | Fs ) = exp − u (t − s) . 2 F ∈ Fs halmazra Z Z 1 2 exp (iu (L (t) − L (s))) dP = exp − u (t − s) dP = 2 F F 1 2 = P (F ) exp − u (t − s) . 2
A feltételes várható érték de nícióját felírva minden
19 V.ö.: 3.33. Példa, 83. oldal.
3.3. ITÔ-FORMULA
109
Az egyenl®séget az
F =Ω
esetben alkalmazva
1 2 E (exp (iu (L (t) − L (s)))) = exp − u (t − s) , 2 így
Z exp (iu (L (t) − L (s))) dP = P (F ) · E (exp (iu (L (t) − L (s)))) . F A monoton osztály tétel segítségével az
exp (iux) helyébe tetsz®leges Borel-mérhet® halmaz
karakterisztikus függvénye írható, így
P ({L (t) − L (s) ∈ B} ∩ F ) = P (F ) · P ({L (t) − L (s) ∈ B}) vagyis az
Fs σ -algebra
és az
L (t) − L (s)
növekmények függetlenek, vagyis az
L
független
növekmény¶.
2 A Lévy-féle karakterizációs tétel számtalan alkalmazása közül példaként tekintsük a következ®t:
3.60 Tétel. (Tükrözési elv) Ha
w
Wiener-folyamat, akkor tetsz®leges
w b (t, ω) $ a
τ
τ
megállási id®re a
w (t, ω) 2w (τ (ω) , ω) − w (t, ω)
t ≤ τ (ω) t > τ (ω)
ha ha
megállási id®pontban tükrözött folyamat szintén Wiener-folyamat.
Bizonyítás:
Evidens módon w b (0) = 0 és a w b folytonos. Ugyancsak nyilvánvaló módon w b = 2wτ −w. Ebb®l következ®en a w b lokális martingál, ugyanis lokális martingálok összege.
[w] b = [2wτ − w] = [2wτ ] − 2 · [2wτ , w] + [w] = = 4 [w]τ − 4 [w, w]τ + [w] = [w] . Így a Lévy-féle karakterizációs tétel szerint a
3.61 Példa. Az
X (t) $
Rt 0
sign (w (s)) dw (s)
Wiener-folyamat.
2
integrál Wiener-folyamat
A sztochasztikus analízis irodalomban a
sign (x) $ 20 A példa némiképpen korai, ugyanis a értelemben nem létezik.
w b
sign (x) −1 1
ha ha
20
.
jelölésen a
x≤0 x>0
sign (w) folyamat nem balról reguláris, így az integrál ItôStieltjes
3.3. ITÔ-FORMULA
110
balról folytonos függvényt szokás érteni. A polaritási formula szerint
Z [X] (t) =
t
(sign (w (s)))2 ds = t,
0 így a Lévy-féle karakterizációs tétel alapján az
X
Wiener-folyamat.
2 Gyakran szokás hivatkozni a következ®re:
3.62 Állítás. Ha
n ≥ 2,
akkor egy
x 6= 0
n-dimenziós
pontból elindított
Wiener-folyamat majdnem min-
den kimenetelre nem veszi fel a nulla értéket.
Bizonyítás:
Nyilván elegend® az állítást
n=2
esetén igazolni.
1, El®ször egy általános észrevételt érdemes tenni. Tegyük fel, hogy az 2 halmazon értelmezett f ∈ C (U ) függvény kielégíti a
∆f $
n X ∂ 2f k=1
Laplace-egyenletet. Wiener-folyamatra
Legyen
wτ
az
U
τ
megállási id®.
∂x2i
U ⊆ Rn
=0
Ha az
x
nyílt
(3.18)
pontból elindított
w n-dimenziós
halmazon belül marad, akkor az Itô-formula alapján
n X ∂f (wτ ) • wkτ + f (w ) − f (x) = ∂x k k=1 X X ∂ 2f 1 + (wτ ) • wiτ , wjτ . 2 i j ∂xi ∂xj τ
Mivel ha
i 6= j,
wi és a wj [wi , wj ] = 0.
akkor a
független, ezért ilyenkor
a többdimenziós Wiener-folyamat de níciója miatt Ezért a
f (wτ ) − f (x) = Tegyük fel, hogy
τ <∞
és a
w
a
[0, τ ]
∆f = 0
feltételt felhasználva
n X ∂f (wτ ) • wkτ . ∂x k k=1
(3.19)
véletlen szakaszon egyenletesen korlátos. Ilyenkor
a fenti (3.19) sorban szerepl® integrandusok korlátosak, tehát a sztochasztikus integrálok martingálok lesznek. A megállási opciókról szóló tétel alapján tetsz®leges
T < ∞ id®pontra
E (f (w (T ∧ τ ))) = E (f (x)) = f (x) . A korlátosság miatt ha
T → ∞,
akkor
E (f (w (τ ))) = f (x) .
(3.20)
3.3. ITÔ-FORMULA
2.
111
Az állítás a fenti (3.20) sorban szerepl® Dinkin-formulának nevezett összefüggésb®l
elemi számolással már könnyen igazolható: Egyszer¶ deriválással azonnal belátható, hogy ha
n = 2,
akkor az
f (x1 , x2 ) $ log függvény az 3.
U $ R2 \ {0}
Tegyük fel, hogy az
trajektóriái a
t≥0
q
x21
+
x22
= log kxk ,
nyílt halmazon kielégíti a Laplace-egyenletet.
kxk
a
0 < r < R < ∞
sugarak közé esik. Wienerfolyamatok
félegyenesen majdnem minden kimenetelre nem korlátosak és minden
kimenetelre folytonosak, ezért a küls® körb®l a
w
egy valószín¶séggel kilép. A kérdés csak
az, hogy a bels® vagy a küls® határon fogja-e a folyamat a
B (r, R) $ {u | r ≤ kuk ≤ R} gy¶r¶t el®bb elhagyni. Jelölje
A (r, R)
azokat a kimeneteleket, amikor belül lép ki a folya-
mat. A Dinkin-formula szerint, felhasználva, hogy a kilépés pillanatában a folyamat vagy a bels® vagy a küls® körön van
log kxk = P (A (r, R)) log r + (1 − P (A (r, R))) log R, amib®l
P (A (r, R)) = Ha adott
R
r & 0,
mellett
log kxk − log R . log r − log R
akkor
log kxk − log R = 0. r&0 log r − log R lim
Tegyük fel, hogy a
w
pozitív valószín¶séggel lesz nulla. Jelöljük ezt a halmaz
pontot elér® trajektóriák mindegyike az korlátos. Jelölje
An
az
A
következ®en létezik olyan trajektóriák az
x
x
és a
0
azon részhalmazát, ahol ez a korlát
R
szám, hogy az
A
A-val.
A
0
pontok között eltelt id®ben külön-külön
n.
Nyilván
pozitív valószín¶ség¶
és a nulla között határozottan kisebbek mint
R.
AR
An % A.
Ebb®l
részhalmazán a
Így ezen elegend® nagy
R esetén pozitív valószín¶séggel a nullába érkez® trajektóriák belül lépnek ki az összes B (r, R) gy¶r¶b®l, ami lehetetlen ugyanis ha r1 < r2 , akkor A (r1 , R) ⊆ A (r2 , R) , ezért P (∩n A (1/n, R)) = 0. 2 Az Itô-formula számtalan alkalmazása közül további példaként tekintsünk egyet, a Tyihonov-féle egyértelm¶ségi tétel igazolását:
3.63 Tétel. Tegyük fel, hogy az
u (t, x)
folytonos megoldása a
függvény valamely
[0, T )
1 ∂ 2u ∂u = ∂t 2 ∂x2
szakaszon, a
T = ∞
megengedett,
3.3. ITÔ-FORMULA
egyenletnek. Ha
112
u (0, x) ≡ 0
u
és az
eleget tesz a
|u (t, x)| ≤ K exp c · x2 növekedési feltételnek, ahol
Bizonyítás: halmazon.
c>0
és
K>0
el®re adott konstansok, akkor
u ≡ 0.
u folytonossága azt jelenti, hogy az u folytonos a [0, T )×R A deriváltak létezését és az egyenlet teljesülését természetesen csak a (0, T ) × R Értelemszer¶en az
halmazon követeljük meg. Az Itô-formula bizonyítása során könnyen ellen®rizhet®, hogy ha a formulában szerepl® valamelyik folyamat trajektóriái korlátos változásúak akkor ezen folyamattal való keresztvariációkat tartalmazó tagok nullák, és ilyenkor nem szükséges az adott változó szerinti második deriváltak létezése. Mivel az
u
megoldása az egyenletnek
ezért a megoldás de níciója szerint az els® változó szerint egyszer a második változó szerint kétszer folytonosan deriválható, így az Itô-formula alább következ® alkalmazása megengedett. Rögzítsük a Legyen
w
egy az
x
t>0
és az
x
értékét. Vezessük be a
v (s, y) $ u (t − s, y)
függvényt.
pontból elindított Wiener-folyamat. Az Itô-formula szerint
−u (t, x) = −v (0, w (0)) = 0 − v (0, w (0)) = v (t, w (t)) − v (0, w (0)) = Z t Z t ∂v 1 t ∂ 2v ∂v (s, w (s)) ds + (s, w (s)) dw (s) + (s, w (s)) d [w] (s) = = 2 0 ∂ 2x 0 ∂x 0 ∂s Z t Z t Z ∂v ∂v 1 t ∂ 2v = (s, w (s)) ds + (s, w (s)) dw (s) + (s, w (s)) ds = 2 0 ∂ 2x 0 ∂s 0 ∂x Z t ∂v (s, w (s)) dw (s) , = 0 ∂x Z
ahol kihasználtuk, hogy illetve, hogy az
u
[w] (s) = s, valamint az u kielégíti a parciális dierenciálegyenletet, v függvényre csak a 0 < s < t
folytonos, ugyanis az Itô-formula a
tartományon használható, de a feltételezett folytonosság és a sztochasztikus integrálok folytonossága miatt az utolsó egyenl®ség a
t
és a nulla id®pontokban is érvényben marad.
A bizonyításban az egyetlen gondot az jelenti, hogy nem tudjuk, hogy a sztochasztikus integrál martingál lesz vagy sem.
Amennyiben tudnánk, hogy martingál, akkor a két
oldalon várható értéket véve és kihasználva, hogy a martingálok tartják a várható értéket
u (t, x) = 0,
amit éppen igazolni szeretnénk.
21
Ezt azonban nem tudjuk értéket és legyen
σn
, ezért némiképpen ügyeskedni kell. Válasszunk egy
az els® olyan id®pont, ahol a
|w|
a
átlépi az
Z v (t, w (t)) − v (0, w (0)) = 0
t
n
szintet. A
σn
n > |x|
id®pontban
∂v dw ∂x
egyenl®ségben szerepl® folyamatokat megállítva, és várható értéket véve
E (v (σ n ∧ t, w (σ n ∧ t))) − E (v (0, w (0))) = E (v (σ n ∧ t, w (σ n ∧ t))) − u (t, x) = Z σn ∧t Z t ∂v ∂v =E (s, w (s)) dw = E (s, w (s)) χ ([0, σ n ]) dw = 0, ∂x 0 0 ∂x 21 A martingál kritérium használatához a függvény növekedésére tettünk feltételt.
∂v/∂x
derivált növekedésére kell feltételt tenni, mi pedig a
3.3. ITÔ-FORMULA
113
ugyanis a sztochasztikus integrálban az integrandus korlátos, így a sztochasztikus integrál a martingálkritérium miatt martingál. Ha
σ n ≥ t,
akkor
u (t − σ n ∧ t, w (σ n ∧ t)) = u (0, w (σ n ∧ t)) = 0. A növekedési feltételt a
{σ n < t}
halmazon felhasználva
|u (t, x)| = = ≤ ≤ τa
Jelölje
|E (v (σ n ∧ t, w (σ n ∧ t)))| = |E (u (t − σ n ∧ t, w (σ n ∧ t)))| ≤ E (|u (t − σ n ∧ t, w (σ n ∧ t))|) ≤ K exp c · n2 P (σ n < t) .
valamely a nulla pontból elindított Wiener-folyamat szintátlépési idejét. Miként
a bevezet®ben a (3.4) sorban megjegyeztük a
τa
rendelkezik
a2 exp − f (u) = √ 2u 2πu3
|a|
s¶r¶ségfüggvénnyel.
{σ n < t}
Attól függ®en, hogy hol lép ki a
esemény felbontható két részre.
w
az
{|u| ≤ n}
intervallumból a
A két esemény tekinthet® egy nulla pontból
a = ±n − x
elindított valamely Wiener folyamat
szintátlépési idejének. A
P (σ n < t) ≤ P (τ n−x < t) + P (τ −n−x < t) becslést beírva
|u (t, x)| ≤ K exp cn2 (P (τ n−x < t) + P (τ −n−x < t)) = ! ! Z t 2 2 |n − x| 1 (n − x) |−n − x| (−n − x) = K exp n2 c √ exp − + exp − du. 2u u3/2 2u 2π 0 u3/2 s=
q
(±n − x)2 /u
helyettesítést végezve az integrálok
2 √ 2π
∞
2 s exp − ds √ 2 |±n−x|/ t
Z
α > 0 esetén 2 Z ∞ Z s2 1 ∞ s ds = α exp − ds ≤ exp − 2 α α 2 α 2 Z 1 ∞ s exp (−α2 /2) ≤ s exp − ds = , α α 2 α
alakba írhatók. Vegyük észre, hogy minden
amib®l
|u (t, x)| ≤ C
! exp c · n2 − (n − x)2 /2t exp c · n2 − (−n − x)2 /2t √ √ . + |n − x| / t |−n − x| / t
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
114
n → ∞ és t ≤ 1/ (2c) , akkor a becslés határértéke nulla, így az u (t, x) is a [0, 1/2c] id®x-re nulla. Ezt követ®en a bizonyítást megismételhetjük a t = 1/ (2c) id®pontból kiindulva és megmutathatjuk, hogy az u (t, x) nulla a [0, 2/2c] id®tartományon. Az eljárást folytatva belátható, hogy tetsz®leges k -ra az u nulla a [0, k/ (2c)] id®tartományon, vagyis az u minden 0 < t < T esetén nulla. 2
Ha
tartományon minden
3.4.
Girszanov-tétel
A sztochasztikus analízis leggyakrabban idézett tétele a Girszanov-tétel.
A tétel legfon-
tosabb állítása, hogy ha az alaptéren ekvivalens módon kicseréljük a mértéket, akkor a szemimartingálok osztálya nem változik és nem változik a szemimartingálok szerinti sztochasztikus integrálok értéke sem. Ugyanakkor a martingálok, vagy a lokális martingálok családja megváltozik, miközben a kvadratikus variációjuk szintén nem változik.
Ennek
megfelel®en a mértékcsere a szemimartingálok felbontását módosítja, miközben az integrált nem módosítja. Ez az észrevétel a szemimartingál fogalmának hasznosságát hangsúlyozza.
3.4.1. Ha a
Q
Lokálisan ekvivalens mértékcsere mérték abszolút folytonos a
P-re
nézve, akkor tekinthetjük a
dQ/dP
deriváltat.
Emlékeztetünk, hogy a derivált de níciója alapján
Z Q (A) = A A derivált de níciója alapján ha
s
Z sdQ =
lépcs®s függvény, akkor
Z X Ω
Ω
=
dQ dP. dP
X i
ci χAi dQ =
X
i
Z ci Ai
dQ dP = dP
ci Q (Ai )
Zi s Ω
dQ dP. dP
Mivel a derivált nem negatív, a monoton konvergencia tétel segítségével az egyenl®ség igazolható akkor is, ha
s
tetsz®leges nem negatív mérhet® függvény. Ebb®l következ®en az
integrál de níciója alapján az egyenl®ség átvihet® tetsz®leges mérhet® függvényre, ahol a két oldalon szerepl® két integrál egyidejüleg létezik, illetve nem létezik. Az elmondottakból p világos, hogy amennyiben a dQ/dP derivált korlátos, akkor az L (Ω) terek a két mérték alatt megegyeznek.
Ha azonban a derivált nem korlátos, akkor a két mérték alatt az
integrálható függvények halmaza különböz® lehet. Az alábbiakban a derivált korlátossága nem garantálható.
3.64 De níció. Két mértéket ekvivalensnek mondunk, ha a nullmérték¶ halmazok a két mérték alatt megegyeznek. Nyilvánvaló, hogy két mérték pontosan akkor ekvivalens, ha létezik és pozitív a derivált.
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
115
Ekvivalens mértékek esetén a majdnem mindenhol való konvergens sorozatok halmaza triviálisan megegyezik. Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus konvergencia metrizálható és valamely
(ξ n )
sorozat pontosan akkor tart sztochasztikusan egy
ξ
változóhoz, ha a
összes részsorozatának van olyan további részsorozata, amely majdnem mindenhol a
(ξ n )
ξ -hez
tart. Ebb®l következik, hogy a sztochasztikus konvergencia, szintén invariáns az ekvivalens mértékcserére nézve.
Ez és a sztochasztikus konvergencia metrizálhatósága miatt a
sztochasztikus konvergenciát megadó metrikus tér által generált topológia szintén invariáns az ekvivalens mértékcserére. Formálisan: ha a P és Q mértékek ekvivalensek akkor az L0 (Ω, A, P) és az L0 (Ω, A, Q) metrikus terek mint topológikus terek megegyeznek. Mivel 0 a sztochasztikus analízis tényei nagyrészt az L tér topológiájára és nem a topológiát megadó metrikára épülnek, nem túl meglep® módon a sztochasztikus analízis jórészt invariáns az ekvivalens mértékcserére. Az úgynevezett Girszanov-tétellel ezt az általános elvet fogalmazzuk meg konkrét állítások formájában. Ez persze egy meta állítás, ugyanis nem 0 1 világos, hogy miért az L és nem például az L terek topológiájától függ a sztochasztikus analízis. Az világos, hogy, miként az analízisben általában, nem a konkrét metrika, hanem a generált topológia fontos. Ha az
F
ltráció teljesíti a szokásos feltételeket, akkor evidens módon a
Λ (t) $ E
dQ |Ft dP
folyamat egyenletesen integrálható martingál, és az
Z
Z Λ (t) dP = F miatt a
F
dQ dP = Q (F ) , dP
F ∈ Ft
Λ (t) éppen a Q RadonNikodym-deriváltja az (Ω, Ft , P) téren.
Célszer¶ némikép-
Q mérték Ft -re való lesz¶kítése, amit Q (t)-vel jelölünk, abszolút folytonos a P Ft -re való P (t) lesz¶kítésére nézve, akkor beszélhetünk a Λ (t) $ dQ (t) /dP (t) deriváltakról. Ha F ∈ Fs ⊆ Ft , akkor Z Z Z Z dQ (t) dQ (s) Λ (t) dP $ dP = Q (F ) = dP $ Λ (s) dP, F dP (s) F F F dP (t) pen általánosabban szemlélni a problémát. Tegyük fel, hogy minden t-re a
ezért a
Λ
logikai martingál. Mivel feltesszük, hogy az
F
teljesíti a szokásos feltételeket,
illetve mivel a RadonNikodym-deriváltak ekvivalencia osztályok, feltehet®, hogy a
Λ mar-
tingál. Van azonban itt egy apró technikai probléma. A szokásos feltételek miatt az összes olyan
N
P (N ) = 0 része a ltráció összes Ft σ -algebrájának. Q (N ) = 0 is vagyis a Q abszolút folytonos a P-re nézve.
halmaz, amelyre
következ®en ilyenkor
Ebb®l Vagyis
a szokásos feltételek teljesülése esetén a lokálisan abszolút folytonos, vagy a lokálisan ekvivalens mértékcsere fogalma értelmetlen, ugyanis egybeesik az abszolút folytonos és az ekvivalens mértékcserével. Ennek oka azonban az, hogy a szokásos feltételek de niálásakor némiképpen túl nagyvonalúan bántunk a nullmérték¶ halmazokkal. is kínálkozik:
Több megoldás
Vagy átgondoljuk a nullmérték¶ halmazok szerepét és a szokásos feltéte-
lek de nícióját, vagy nem vezetjük be a lokálisan ekvivalens mértékcsere fogalmát, vagy
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
csak a
116
P (t) és Q (t) mértékcsaládok ekvivalenciájáról beszélünk.
Mindegyiknek meg van a
maga el®nye, bár az utóbbi kett® esetén nem igazán nézünk szembe a problémával és evvel inkább csak zavart okozunk, mint megmagyarázzuk a nehézségeket. Ahhoz, hogy megmagyarázzuk a problémát vissza kell térnünk a sztochasztikus analízis alapjaihoz. Induljunk ki az alapproblémából. Mikor tekintsünk két folyamatot azonosnak? Természetesen akkor, ha a trajektóriái majdnem mindenhol azonosak. Ugyanakkor ezt mindig úgy biztosítjuk, hogy garantáljuk, hogy a trajektóriák az id®tengely egy s¶r¶ részhalmazán megegyeznek, vagy megmutatjuk azt, hogy az id®tengely bármely véges szakaszán majdnem mindenhol 0 0 megegyeznek. Ehhez azonban nem szükséges az A tér vagy az F∞ $ σ (Ft , t ≥ 0) összes nullmérték¶ részhalmazát hozzácsapni a ltrációhoz. Elegend® azt feltenni, hogy ha valamely
N
nullmérték¶ halmaz valamilyen
Ft ,
ahol
t
véges, esetén eleme az
Ft σ -algebrának,
akkor minden más t-re is eleme a ltrációban lev® σ -algebráknak. Ha például tekintjük 0 0 az F generált ltrációt és valamely N ∈ Ft nullmérték¶, akkor elegend® megkövetelni, hogy az
N
legyen eleme a kiterjesztett ltrációhoz tartozó
F0 σ -algebrának.
Miként majd
alább az ellenpélda tárgyalásakor látni fogjuk, valójában két fajta nullmérték¶ halmaz van. A nullmérték¶ halmazok egy része olyan, hogy csak az
F∞ $ σ (Ft , t ≥ 0)
családban van
benne. Ilyen például az a nullmérték¶ halmaz, amelyen kív¶l a nagyszámok törvényében a trajektória valóban konvergens. A nullmérték¶ halmazok másik családja, amit nevezhetünk lokálisan nullmérték¶ halmazoknak pedig olyanok, hogy véges id®tartományon meg gyelve a halmaz bekövetkezése eldönthet®. A szokásos feltételeket némiképpen átfogalmazhatjuk és megkövetelhetjük a következ®t:
3.65 De níció. (A szokásos feltételek módosított de níciója) (Ω, A, (Fs ) ,P) sztochasztikus alaptér lokálisan teljesíti a szokásos minden t < ∞ esetén az Ω, A, (Fs )s≤t ,P alaptér a [0, t] id®tartományon
Azt mondjuk, hogy az feltételeket, ha
teljesíti a szokásos feltételeket a korábbi de níció szerint.
P és a Q ekvivalensek, akkor a Λ martingál egyenletesen integrálható, ugyanis Λ (t) $ E (dQ/dP |Ft ) alakú. Ha azonban a szokásos feltételeket lokálisan értjük, akkor elképzelhet®, hogy van olyan P és Q, hogy csak minden t-re az Ft σ -algebrákra való lesz¶kítésük lesz abszolút folytonos, vagy ekvivalens. A Λ martingál ilyenkor is létezik, de a Λ martingál nem feltétlenül lesz egyenletesen integrálható, ezért nem feltétlenül van olyan Λ (∞) , amelyre Λ (t) = E (Λ (∞) | Ft ). Vegyük észre, hogy a Fontos hangsúlyozni, hogy ha a
lokálisan vett szokásos feltételek esetén, a nullmérték¶ halmazokra tett feltétel alapján
Q és a P F∞ = σ (∪t Ft ) σ -algebrán.
elképzelhet®, hogy a az
ekvivalens bármely
Ft
esetén, de
Q
és a
P
nem ekvivalens
3.66 De níció. Ha minden
t-re
a
P Ft -re való lesz¶kítése ekvivalens P és a Q lokálisan ekvivalensek.
a
Q Ft -re
való lesz¶kítésével, akkor
azt mondjuk, hogy a
3.67 De níció. A
Λ (t) $ dQ (t) /dP (t)
folyamatot a
Q
és
P
RadonNikodym-folyamatának mondjuk.
Az elmondottakat a következ® állításban foglalhatjuk össze:
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
117
3.68 Tétel. A
P
és
Q
mértékek pontosan akkor lokálisan ekvivalensek, ha a
lyamatuk pozitív martingál. A mérhet® téren, ha a
Bizonyítás:
Λ
P
és
Q
Λ
RadonNikodym fo-
mértékek pontosan akkor ekvivalensek az
(Ω, F∞ )
pozitív, egyenletesen integrálható martingál.
Λ > 0 egyenletesen integrálható martingál, akkor a P és a Q ekvivalens az (Ω, F∞ ) téren. Ha a Λ egyenletesen integrálható, pozitív martingál, akkor alkalmas ξ > 0, F∞ -mérhet® változóra Λ (t) = R E (ξ | Ft ). Tekintsük az R (A) $ A ξdP mértéket. Z Z R (Ω) $ ξdP = Λ (t) dP = 1, A már elmondottak után csak azt kell belátni, hogy ha a
Ω vagyis az
R
Ω
A ∈ Ft , akkor a feltételes várható Z ξdP = Λ (t) dP = Q (A) ,
valószín¶ségi mérték. Ha
szerint
Z R (A) $ A
érték de níciója
A
Q valószín¶ségi mértékek az ∪t Ft π -rendszeren megegyeznek. Jelölje L azon korlátos, és F∞ -mérhet® függvények halmazát, amelyekre a két mérték szerint vett integrálok megegyeznek. Az L nyilván λ-rendszert alkot. Például az imént láttuk, hogy 1 ∈ L, a λ-rendszer többi tulajdonsága az integrálás elemi tulajdonságaiból következik. Ha
vagyis az
R
és a
a halmazokat azonosítjuk a karakterisztikus függvényeikkel, akkor az elmondottak miatt
∪t Ft ⊆ L,
így a monoton osztály tétel miatt
mérték megegyezik és így az
F∞ σ -algebrán
σ (∪t Ft ) $ F∞ ⊆ L, következésképpen éppen ξ = dQ/dP > 0.
a két
2
Érdemes hangsúlyozni, hogy valójában az ekvivalens mértékcseréket azonosítottuk a pozitív egyenletesen integrálható martingálokkal. Ugyanakkor a lokálisan ekvivalens mértékcseréket csak a pozitív martingálok egy részhalmazával azonosítottuk, vagyis azt nem láttuk be, hogy ha van egy
Λ
pozitív martingálunk, akkor van olyan
P
és
Q
amelyek loká-
Λ éppen a megfelel® RadonNikodym deriváltfolyamat. A probléma teljes megértése szempontjából érdemes ezt is tisztázni. Legyen Λ egy pozitív martingál. Ilyenkor a Λ egy Z Q (F ) $ Λ (t) dP, F ∈ Ft lisan ekvivalensek és a
F
∪t Ft
Λ martingál tulajdonsága azért léF ∈ ∪t Ft mértéke ne függjön attól, hogy melyik Ft σ -algebrából vettük éppen ki. A kérdés csak az, hogy az így kapott Q additív halmazfüggvény kiterjeszthet®-e a σ (∪t Ft ) σ -algebrára. Ehhez a kiterjesztési tétel miatt szükséges és elegend®, hogy a Q σ -additív legyen az ∪t Ft algebrán. Ezt azonban általáadditív halmazfüggvényt de niál a
algebrán. A
nyeges, mert ez biztosítja azt, hogy valamely
ban nem tudjuk garantálni. Az absztrakt mértékelméletb®l tudjuk, hogy általában csak bizonyos topológiai és regularitási extra feltételekkel lehet garantálni, hogy egy additív halmazfüggvény
σ -additív
is legyen. Éppen ez teszi szükségessé a konkrét konstrukciók-
ban a topológiai és a mérhet®ségi struktúra valami fajta összekapcsolását. Ismert, hogy
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
118
(Ω, A)
egy teljes, szeparábilis metrikus tér a Borel-halmazokkal, akkor egy
amennyiben az
algebrán értelmezett, additív, véges és belülr®l kompakt reguláris halmazfüggvény egyúttal
σ -additív is. A sztochasztikus analízis legtöbb konkrét konstrukciója esetén garantálható, hogy az (Ω, A, P) valamilyen teljes szeparábilis metrikus tér Borel-halmazain értelmezett mértéktér. Ilyenkor a Q kiterjeszthet® mértékké. Az absztraktság általunk tárgyalt szintjén azonban a kiterjesztés reménytelen. Nyomatékosan hangsúlyozni kell, hogy az elmondottak részletei semmilyen jelent®séggel nem bírnak. A lényeges gondolat csak az, hogy a jelenlegi absztrakt tárgyalási szinten csak az egyenletesen integrálható
Λ
martingálok
azonosíthatóak valamilyen mértékcserével. Ez is arra mutat, hogy a lokálisan ekvivalens mértékcsere több titkot rejt, mint arra els® ránézésre számítottunk. −1 Világos, hogy a Λ > 0 miatt a Λ mindig létezik. Mivel
Z
Z 1dP =
P (A) = A ezért
Λ
−1
Z
Λ−1 (t) dQ
(t) Λ (t) dP =
A
A
Λ−1 (t) a P deriváltja az Ft σ -algebrán a Q-ra nézve, ezért a Λ−1
A
Λ
Q
alatt a
martingál a
Q alatt.
regularizálásához hallgatólagosan felhasználtuk a szokásos feltételeket a P alatt. A Λ−1 -et már nem kell regularizálni, ugyanis a Λ > 0 miatt az x 7→ x−1 reciprok −1 függvény folytonos. Az Itô-formulából evidens, hogy a Λ valódi szemimartingál a P alatt, bár a
Q
alatt martingál. Vagyis a lokális martingálok, vagy a martingálok halmaza
nem invariáns a mértékcserére nézve. A mértékcserével kapcsolatos legfontosabb kérdések, hogy mi történik a szemimartingálokkal az ekvivalens mértékcsere hatására, illetve mi történi a sztochasztikus integrálokkal az ekvivalens mértékcsere hatására? A kulcs állítás a következ®:
3.69 Tétel. Tegyük fel, hogy a
P
és a
Q
mértékek lokálisan ekvivalensek. Legyen
L
adaptált, jobbról
reguláris folyamat.
L pontosan P alatt.
1. Az a
2. Az
L
akkor lokális martingál a
pontosan akkor martingál a
Bizonyítás:
Q
Q
alatt, ha az
alatt, ha az
LΛ
LΛ
szorzat lokális martingál
szorzat martingál a
El®ször az egyszer¶bb állítást igazoljuk: Az
L
P
alatt.
pontosan akkor martingál a
Q alatt, ha az LΛ martingál a P alatt: A martingál tulajdonság teljesüléséhez a Q, illetve a P alatt szükséges és elegend®, hogy minden s < t és F ∈ Fs esetén Z Z L (t) dQ = L (s) dQ. F illetve
Z
F
Z L (t) Λ (t) dP =
F
L (s) Λ (s) dP. F
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
De ha
F ∈ Fs ,
119
akkor
Z
Z
Z dQ L (t) dQ = L (t) L (t) Λ (t) dP = dP = dP F F F Z Z Z dQ L (s) Λ (s) dP = L (s) L (s) dQ. dP = dP F F F
Amib®l az említett állítás már triviális.
σ egy lokalizációs sorozat. Nyilván elegend® belátni, hogy az L n pontosan σn akkor martingál a Q alatt, ha az (LΛ) martingál a P alatt. Az egyszer¶bb jelölés céljából Legyen
legyen
(σ n )
σ $ σn.
Egy
(σ n )
lokalizációs sorozat mindig helyettesíthet® a
(σ n ∧ n)
sorozattal,
így egy lokalizációs sorozat tagjairól mindig feltehetjük, hogy korlátosak, így feltehetjük, hogy a
σ
korlátos, vagyis van olyan
r,
amelyre
megállási opciókról szóló tétel szerint tetsz®leges
σ ≤ r. A Λ martingál a P alatt, ρ ≤ r korlátos megállási id®re
így a
EP (Λ (r) | Fρ ) = Λ (ρ) , Bár az állítás általában is igaz, feltehetjük L folytonos, ugyanis csak ilyenkor fogjuk az Lσ lokalizált folyamatra feltehetjük, hogy korlátos, így alább
állítást használni. Ilyenkor az
a kiemelési szabály triviálisan használható.
Ellenkez® esetben a kiemelési szabályt meg
kellene gondolni.
EQ (L (ρ)) = EP (L (ρ) Λ (r)) = EP EP (L (ρ) Λ (r) | Fρ ) = = EP L (ρ) EP (Λ (r) | Fρ ) = EP (L (ρ) Λ (ρ)) . Legyen
s
és
F ∈ Fs ,
valamint legyen
τ $ tχF + sχF c . Könnyen látható, hogy
Z
τ
egy megállási id®. Ezt felhasználva
Z
σ
L (t) dQ −
σ
Z
σ
Lσ (s ∧ τ ) dQ =
L (t ∧ τ ) dQ−
L (s) dQ = Ω
F Q
F
Z
Ω Q
= E (L (σ ∧ t ∧ τ )) − E (L (σ ∧ s ∧ τ )) = = EP ((LΛ) (σ ∧ t ∧ τ )) − EP ((LΛ) (σ ∧ s ∧ τ )) = Z Z σ = (LΛ) (t) dP− (LΛ)σ (s) dP. F
F
Az egyenl®ség két oldalán pontosan akkor van nulla, illetve az egyenl®ségben szerepl® integrálok pontosan akkor értelmesek, ha a másik oldalon nulla van, illetve, ha az integrálok a másik oldalon értelmesek, amib®l az állítás evidens.
2
3.70 Példa. A
Λ−1
martingál a
Q
alatt pontosan azért, mert a
Λ−1 Λ ≡ 1
martingál a
P
alatt.
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
120
Megjegyezzük, hogy a kvadratikus variáció nem változik a lokálisan ekvivalens mértékcsere során, ugyanis a lokálisan ekvivalens mértékcsere nem módosítja a sztochasztikusan konvergenciát.
Érdemes megjegyezni hogy a kvadratikus variáció konstruálásához elég
megkövetelni, hogy a szokásos feltételek lokális értelemben teljesüljenek. Ennek megfelel®en az alábbi állításokban a kvadratikus variáció bármelyik mérték esetén vehet®. A korlátos változású integrátor szerinti integrálás, mivel trajektóriánként történik, szintén nem −1 változik az ekvivalens mértékcsere során, így a Λ • [Λ, L] integrál invariáns a lokálisan −1 ekvivalens mértékcserére, így bármelyik mérték alatt képezhet®. Λ > 0, így a Λ értelmes és nyilván jobbról reguláris marad, ugyanis a módosítja a
Λ pozitivitása miatt a reciprok függvény nem
Λ
trajektóriáinak folytonosági tulajdonságait. Könnyen látható, hogy minden −1 reguláris függvény minden véges szakaszon korlátos, így a Λ • [Λ, L] integrál mindig létezik. Vegyük azonban észre, hogy mivel csak folytonos integrátorok esetén de niáltuk a sztochasztikus integrálást elvileg a
[Λ, L]
keresztvariáció létezését nem igazoltuk. Ennek
következtében hallgatólagosan azt is fel kell tenni, hogy a
Λ
is folytonos.
3.71 Tétel. Tegyük fel, hogy a martingál a
P
P
és a
Q
mértékek lokálisan ekvivalensek. Egy
L
pontosan akkor lokális
alatt, ha az
b $ L − Λ−1 • [Λ, L] L lokális martingál a
Bizonyítás: L
folytonos.
Q
alatt.
Az egyszer¶ség kedvért csak azt az esetet igazoljuk, amikor a
Λ
és az
Ez nem jelent érdemi megszorítást, ugyanis a gondolatmenetet a Wiener-
folyamat esetén fogjuk alkalmazni. Valójában a folytonosságra csak azért van szükség, mert egyrészt nem akarjuk használni a
∆ [L, N ] = ∆L∆N
összefüggést, ugyanis ezt korábban
nem igazoltuk, másrészt nem foglalkoztunk a nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálással. A tétel azonban általános esetben is érvényes.
L
Tegyük fel, hogy
lokális martingál.
Λ > 0, így a Λ−1 hogy L (0) = 0. A
Mivel
Ugyancsak az egyszer¶ség kedvéért feltehetjük,
folyamat értelmes. parciális integrálás
formulája miatt
LΛ − [L, Λ] = L • Λ + Λ • L. A
Λ
és az
L
lokális martingál a
lokális martingálok a két oldalt
Λ-val
P
P
alatt, vagyis a jobb oldali sztochasztikus integrálok
mérték mellett. Így a
LΛ − [L, Λ]
lokális martingál a
P
alatt. A
végigosztva az el®z® állítás szerint az
L − Λ−1 [L, Λ] lokális martingál a
Q
alatt, hiszen a
integrálás formulája szerint a
Q
Λ-szorosa
lokális martingál a
mérték mellett
1 1 1 1 [L, Λ] = • [L, Λ] + [L, Λ] • + , [L, Λ] . Λ Λ Λ Λ
(3.21)
P
alatt.
A parciális
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
Az
1/Λ
121
feltételezett folytonossága miatt, felhasználva, hogy az
[L, Λ]
véges változású a
formulában szerepl® keresztvariáció nulla. Ebb®l
1 1 1 [L, Λ] − • [Λ, L] = [L, Λ] • . Λ Λ Λ Vegyük észre, hogy a
Λ−1
martingál a
tikus integrál lokális martingál a a
Q
Q
Q alatt.
Ebb®l következ®en a
(3.22)
[L, Λ] • Λ−1
sztochasz-
mérték mellett. Így a fenti (3.22) is lokális martingál
alatt, így felhasználva, hogy lokális martingálok összege lokális martingál a (3.21) és
(3.22) sorokat összeadva
1 1 1 1 b [L, Λ] + [L, Λ] − • [Λ, L] = L − • [Λ, L] $ L Λ Λ Λ Λ Q alatt.
L− lokális martingál a
Megfordítva, tegyük most fel, hogy az
L − Λ−1 • [Λ, L] lokális martingál a
Q
alatt. Ekkor mivel
−1
(Λ−1 )
=Λ
a már elmondottak miatt az újra-
transzformált transzformált
L − Λ−1 • [Λ, L] − Λ • Λ−1 , L − Λ−1 • [Λ, L] lokális martingál a
P
alatt. Meg kell mutatnunk, hogy ez a kifejezés éppen L. A második Λ−1 • [Λ, L] tag véges változású a Λ−1 folytonos, így
kvadratikus variációban a
−1 Λ , L − Λ−1 • [Λ, L] = Λ−1 , L . Vagyis az újratranszformált kifejezés éppen.
L − Λ−1 • [Λ, L] − Λ • Λ−1 , L . A parciális integrálás formulája szerint
0 = 1 − 1 = Λ−1 Λ − Λ−1 (0) Λ (0) = Λ−1 • Λ + Λ • Λ−1 + Λ, Λ−1 . A két oldal
L-lel
vett kvadratikus keresztvariációját felírva és felhasználva, hogy a kvadra-
tikus variációs tag a folytonosság miatt elhagyható
0 = Λ−1 • Λ, L + Λ • Λ−1 , L . A polaritási formula miatt
Λ−1 • [Λ, L] + Λ • Λ−1 , L = 0. Ezt az újratranszformált kifejezésbe beírva
L − Λ−1 • [Λ, L] − Λ • Λ−1 , L = L. Így az
L
lokális martingál a
P
alatt.
2
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
122
3.72 De níció. Az
L − Λ−1 • [Λ, L]
transzformációt az
L
Girszanov-transzformációjának mondjuk és
b L
módon jelöljük.
3.73 Tétel. A szemimartingálok osztálya invariáns a lokálisan ekvivalens mértékcserére.
Bizonyítás:
S = S (0) + L + V egy szemimartingál a P alatt, ahol L lokális martingál és V véges változású. Mivel a V véges változású a Q alatt is, ezért elegend® belátni, hogy ha az L lokális martingál a P alatt, akkor az L szemimartingál a Q alatt. Az Legyen
b $ L − Λ−1 • [Λ, L] L lokális martingál a
Q
alatt és ezért az
b + Λ−1 • [Λ, L] L=L szemimartingál a
Q alatt.
Vagyis a mértékcsere hatására a szemimartingálok osztálya nem
változik.
2
3.4.2.
Mértékcserék konstruálása
Most a kérdést némiképpen megfordítjuk.
Hogyan lehet ekvivalens, vagy lokálisan ekvi-
dQ/dP derivált a mértékek feltételezett ekvivalenciája miatt pozitív. Ebb®l következ®en a Λ martingál is pozitív. Ha valamely folyamatról biztosan tudni akarjuk, hogy pozitív, akkor a folyamatot érdemes exp (H)-alakban el®állítani. A kérdés csak az, hogy mi lesz a H ? A Girszanov-formula szokásos megfogalmazásában valens mértékcseréket készíteni? A
szerepl® transzformáció az alábbi észrevételen alapszik:
3.74 Tétel. Λ szigorúan pozitív, folytonos lokális martingál, akkor a Λ-nak létezik, mégpedig egyetlen Log (Λ) módon jelölt sztochasztikus logaritmusa. Pontosabban az
Ha
L $ Log (Λ) $ log Λ (0) + Λ−1 • Λ az egyetlen olyan folytonos lokális martingál, amelyre
1 Λ = E (L) $ exp L − [L] . 2
Bizonyítás: Λ > 0,
Az egyértelm¶ség igazolása egyszer¶: Ha
Λ = E (L1 ) = E (L2 ) ,
ezért
Λ 1 1 1 = = exp L1 − L2 − [L1 ] + [L2 ] , Λ 2 2
akkor mivel
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
123
L1 −L2 = 12 ([L1 ] − [L2 ]) , tehát az L1 −L2 folytonos lokális martingál véges változású, következésképpen Fisk tétele alapján konstans. Mivel evidens módon L1 (0) − L2 (0) = 0, ezért L1 = L2 . Most lássuk be, hogy a megadott összefüggés teljesül. Mivel Λ > 0, a log Λ kifejezés vagyis
értelmes, és az Itô-formula alapján
1 1 • [Λ] $ 2 Λ2 1 1 1 −1 Λ • Λ = $ L− • [Λ] = L − 2 Λ2 2 1 = L − [L] . 2
log Λ = log Λ (0) + Λ−1 • Λ −
Ebb®l
1 Λ = exp (log Λ) = exp L − [L] $ E (L) . 2
2
3.75 Tétel. P és Q mértékek lokálisan ekvivalensek és a RadonNikodym-deriváltakból álló Λ martingál folytonos. Tegyük fel, hogy Λ = E (L), vagyis L = Log (Λ). Egy M folytonos folyamat pontosan akkor lokális martingál a P mérték mellett, ha az Tegyük fel, hogy a
c $ M − [M, L] $ M − [M, Log (Λ)] M lokális martingál a
Bizonyítás:
Q
mérték alatt.
Az egyenl®ség teljesüléséhez elegend® megjegyezni, hogy
[M, L] $ M, log Λ (0) + Λ−1 • Λ = M, Λ−1 • Λ = = Λ−1 • [M, Λ] . 2 Mivel garantálni akarjuk, hogy a derivált pozitív, a ban de niáljuk.
Λ
martingált exponenciális alak-
A mértékcserét a derivált sztochasztikus logaritmusán keresztül adjuk
meg. Az alábbi állítás gyenge pontja, hogy a martingál. Másképpen az összes
E (L)
Λ
ugyan pozitív, de általában csak lokális
alakú kifejezések nem mindegyike lesz egyenletesen
integrálható martingál, de az ekvivalens mértékcserék mindegyike ilyen alakú. Vagyis az ekvivalens mértékcserék halmazát azonosíthatjuk a lokális martingálok egy részhalmazával, azokkal az
L lokális martingálokkal, amelyekre nézve az E (L) egyenletesen integrálható
martingál.
3.76 Tétel. Ha
M
és
L
folytonos lokális martingálok és a
1 Λ $ E (L) $ exp L − [L] 2
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
folyamat a
[0, T ]
124
véges vagy végtelen szakaszon martingál, akkor az
c $ M − [L, M ] = M − 1 • [Λ, M ] M Λ Z dQ Λ (T ) dP, Q (A) $ $ Λ (T ) dP A
a
mérték alatt folytonos, lokális martingál a
[0, T ]
szakaszon.
Bizonyítás:
Ha a Λ martingál a [0, T ] zárt szakaszon, akkor Q (Ω) $ E (Λ (T )) = E (Λ (0)) = 1, vagyis a Q valószín¶ségi mérték. Mivel a Λ, mint minden nem negatív lokális martingál, szupermartingál, ahhoz, hogy a [0, T ] szakaszon martingál legyen szükséges és elegend® ha E (Λ (T )) = 1. Ennek megfelel®en a [0, T ] szakaszon való martingál feltétel pontosan azt jelenti, hogy a Q szintén valószín¶ségi mérték. Ha a Λ csak a [0, T ) szakaszon pozitív martingál és van olyan Q amely lesz¶kítéseinek deriváltja éppen a Λ, akkor a Λ egy lokálisan ekvivalens mértékcserét de niál a [0, T ) id®tartományra. Ha T = ∞, akkor a Λ kiterjeszthet® a T = ∞ id®pontra martingálként, vagyis a Λ egyenletesen integrálható a [0, ∞) félegyenesen. Vagyis a tételben a [0, T ] zártsága fontos, ugyanis a tétel úgy értend®, hogy a Λ a T pontra is kiterjeszthet® martingálként. Véges szakaszon ehhez elegend®, ha a Λ martingál a zárt szakaszon, ugyanis akkor automatikusan egyenletesen integrálható. származhat, hogy a Az
[L, M ]-re
Λ
Természetesen véges szakaszon a probléma csak abból
esetleg valódi lokális martingál.
vonatkozó formula a korábbiak szerint kapható.
folytonos, és mivel a feltétel szerint a
Λ
Λ (t) = E (Λ (T ) | Ft ) = E F ∈ Ft
Z Λ (t) dP =
F
Λ (t)
éppen a
dQ | Ft , dP
halmazra
Z
vagyis
c M
martingál, ezért
vagyis tetsz®leges
Evidens módon az
F
dQ (t) /dP (t)
dQ dP = Q (F ) , dP
RadonNikodym-derivált az
Ft σ -algebrán.
Ebb®l az
állítás az elmondottak miatt már evidens.
2 Legyen
w
egy Wiener-folyamat a
módon áttérünk egy
Q
P
mérték és valamely
w b = w − [L, w] = w − lokális martingál a
Q
F
ltráció mellett. Ha a fenti
ekvivalens mértékre, akkor a
alatt. A
w
1 • [Λ, w] Λ
folytonossága miatt az
[L, M ]
folytonos és nyilván véges
változású. Ebb®l, felhasználva, hogy a kvadratikus variáció lokálisan ekvivalens mértékek esetén azonos
[w] b (t) $ [w − [L, w]] (t) = [w] (t) = t.
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
125
A Lévy-féle karakterizációs tétel alapján a
w b
Wiener-folyamat a
Q
mérték mellett az
F
ltrációra nézve. Evvel beláttuk a következ® állítást:
3.77 Tétel. F tetsz®leges ltráció és w legyen Wiener-folyamat az F ltrációra nézve. Ha valamely L lokális martingálra az Λ $ E (L) egy egyenletesen integrálható martingál, akkor R a w b = w − [L, w] folyamat Wiener-folyamat a Q (A) $ A Λ (∞) dP valószín¶ségi mérték Legyen
mellett. Hasonló állítás igaz véges id®horizontra is.
Vagyis általában lokális martingál Girszanov-transzformáltja lokális martingál, de Wienerfolyamat Girszanov-transzformáltja, Wiener-folyamat. As alábbi tételben az regularitása teljesen irreleváns A lényeg az, hogy ha az
L
X
balról való
felírható sztochasztikus integrál-
ként, akkor a kvadratikus variációja explicite kiszámolható:
t
Z [L, w] (t) = [X • w, w] (t) = (X • [w]) (t) =
X (s) ds. 0
3.78 Tétel. Legyen
X
F
tetsz®leges ltráció és
w
legyen Wiener-folyamat az
F
ltrációra nézve és legyen
adaptált és balról reguláris. Tegyük fel továbbá, hogy a
Z 1 t 2 X (s) ds $ X (s) dw (s) − Λ (t) $ exp 2 0 0 1 2 $ exp X • w − X • [w] (t) $ E (X • w) (t) 2 Z
folyamat martingál a
[0, T ]
t
zárt szakaszon. De niáljunk a
szabállyal. Ekkor a
Z w b (t) $ w (t) − az
F
ltrációra nézve Wiener-folyamat a
Q
Q
mértéket a
dQ/dP $ Λ (T )
t
X (s) ds 0
mérték mellett.
F a w által L = X • w el®állítás mindig létezik, vagyis a lehetséges 2 mértékcserék azonosíthatóak az Lloc (w) egy alkalmas részhalmazával. A gond természete2 sen ismét az, hogy nem minden X ∈ Lloc (w) esetén lesz a Λ martingál a [0, T )-én, vagy a [0, T ] zárt szakaszon. A Λ ugyanis általában csak lokális martingál. A tétel interpretációja kapcsán érdemes hangsúlyozni, hogy amennyiben az
generált ltráció, akkor a kívánt
3.79 De níció. Legyen
µ ∈ R, w
Wiener-folyamat. A
w(µ) (t) $ w (t) + µt
Wiener-folyamatnak mondjuk.
3.80 Példa. Egy
µ
drifttel rendelkez® Wiener-folyamat
(µ) τ (µ) (t) = a a $ inf t | w
folyamatot
µ
drifttel rendelkez®
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
126
találati idejének Laplace-transzformáltja
p 2 L (s) = exp (µa) exp − |a| 2s + µ , El®ször a
s > 0.
µ = 0 esetben számoljuk ki a Laplace-transzformáltat. Legyen τ a a w Wienerτ a ∧ t egy korlátos megállási id®, exp (u · w (t) − u2 t/2) egy mar-
folyamat találati ideje.
tingál, így a megállási opciókról szóló tétel alapján
u2 = 1. E exp u · w (τ a ∧ t) − τ a ∧ t 2 Ha
a≥0
akkor
Átrendezve
w (τ a ∧ t) ≤ a
s = u2 /2
t % ∞ akkor a majorált u2 = 1. E exp u · a − τ a 2 így ha
konvergencia tétele alapján
helyetesítéssel
√ E (exp (−sτ a )) = exp − 2sa . Ha
a<0
akkor a
τa
τ −a eloszlásával, √ L (s) = exp − 2u |a| .
eloszlása megegyezik
így
Az általános esetre rátérve vezessük be a
Z 1 2 Q (A) $ exp µw (t) − µ t dP $ Λ (t) dP, A ∈ Ft 2 A A Z
(3.23)
w b (s) $ w (s) − µs Wiener-folyamat a [0, t] szakaszon a Q alatt. Jelölje τ a a w (t) = w b (t) + µt a pontba való érkezésének id®pontját. τ a (ω) < ∞ és w b (τ a (ω)) + µτ a (ω) = a pontosan akkor, ha τ a (ω) < ∞ és w (τ a (ω)) = a. Vegyük észre, hogy ha σ ≤ t valamely megállási id®, akkor az Fσ σ -algebrán dQ/dP = Λ (σ) ugyanis a
mértéket. A Girszanov-tétel miatt a
megállási opciókról szóló tétel miatt
E (Λ (t) | Fσ ) = Λ (σ) , vagyis minden
F ∈ Fσ ⊆ Ft
esetén a feltételes várható érték de níciója miatt
Z Q (F ) =
Z Λ (t) dP =
F és a
Λ (σ)
mérhet® az
számolhatjuk a
(µ,a)
Lt
τa
Fσ -ra
nézve. A Laplace-transzformált csak az eloszlástól függ, ezért
Q alatt. Ha s > 0, EP exp −s τ (µ) = EQ (exp (−s (τ a ∧ t))) = a ∧t dQ P = E exp (−s (τ a ∧ t)) dP EP (exp (−s (τ a ∧ t)) Λ (τ a ∧ t)) = 1 2 P E exp (−s (τ a ∧ t)) exp µw (τ a ∧ t) − µ (τ a ∧ t) . 2
Laplace-transzformáltját a
(s) $ = = =
Λ (σ) dP F
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
127
s > 0, így az EP mögötti w (τ a ∧ t) ≤ a, tehát
exp (µw (τ a ∧ t)).
kifejezést majorálja az
Ha
a ≥ 0,
akkor
exp (µw (τ a ∧ t)) ≤ exp µa, t → ∞ határérték mind a két oldalon bevihet® az integrálok mögé22 . 23 folyamat τ a találati idejének Laplace-transzformáltját felhasználva L(µ,a) (s) $ E exp −sτ (µ) = a 1 2 = = E exp (−sτ a ) exp µw (τ a ) − µ τ a 2 1 2 = = exp (µa) E exp − s + µ τ a 2 p = exp (µa) exp − |a| 2s + µ2 . ezért a
(µ)
τa
A Wiener-folyamat szimmetriája miatt a
és a
(−µ)
τ −a
A Wiener-
eloszlás azonos, ezért ha
a < 0,
akkor
L(µ,a) (s) = L(−µ,−a) (s) = p 2 = exp (µa) exp − |a| 2s + µ . Ha
s → 0,
akkor
( (µ)
lim exp −sτ a
s→0
=
0 1
ha ha
(µ)
τa = ∞ . (µ) τa < ∞
A majorált konvergencia tétel szerint
P τ (µ) a < ∞ = exp (µa − |µa|) , amely szerint egy
µ
(3.24)
drifttel rendelkez® Wiener-folyamat pontosan akkor éri el majdnem
minden kimenetelre az
a
értéket, ha az
a
és a
µ
el®jele azonos.
2
3.4.3.
Egy érdekes ellenpélda
Ebben az alpontban a lokálisan ekvivalens mértékcserére és így a sztochasztikus analízis alapjaira, illetve a nullmérték¶ halmazok drámai szerepére rávilágító egyik legnevezetesebb példát tárgyaljuk.
22 Vegyük észre, hogy mivel τ < ∞ P m.m., ezért az integrálok alatti határértékek P m.m. léteznek. a 23 Illetve kihasználva, hogy τ < ∞, vagyis w (τ ) = a majdnem minden kimenetre. Mivel a τ (µ) felveheti a
a
a
(µ)
+∞ értéket is a Laplace-transzformált de nícióját értelemszer¶en módosítani kell. Ha τ a (ω) = ∞ és s > 0, akkor exp (−sτ a (ω)) $ 0. Vegyük észre, hogy a mértékelméletben szokásos 0 · ∞ = 0 konvenció miatt az s = 0 eset nem megengedett. a
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
128
3.81 Példa. Lokálisan ekvivalens mértékcsere és a Wiener-folyamatok. Legyen
µ 6= 0.
w
egy Wiener-folyamat és tekintsük a
Ilyenkor a
w b (t) $ w (t) − µ · t
folyamatot, ahol
1 2 Λ (t) $ exp µw (t) − µ t 2 Λ
egy pozitív martingál. De a
nem egyenletesen integrálható, vagyis a
nem terjeszthet® ki martingálként, ugyanis
Λ (∞) = 0!
T =∞
id®pontra
Alább megmutatjuk, hogy az
(Ω, A) $ (C (R+ ) , B (C (R+ ))) téren a Λ-hoz tartozik egy Q valószín¶ségi mérték, amely lokálisan ekvivalens a P-vel és amely alatt a w b Wiener-folyamat. A Q mérték természetesen az egyes Q (t) mértékek közös kiterjesztéseként írható fel. Természetesen igazolni kell, hogy ilyen közös kiterjesztés létezik. Ugyanakkor ha ilyen Q van, akkor a P és Q egymásra szingulárisak: A nagy számok törvénye miatt majdnem mindenhol a P alatt w (t) − µt w b (t) = lim = −µ, t→∞ t→∞ t t lim
illetve majdnem mindenhol a
Q
alatt
w b (t) = 0. t→∞ t lim
Ebb®l következ®en van olyan
A ∈ F∞ = σ (∪t Ft ) halmaz, amelyre P (A) = 0 és Q (A) = 1. 2
Q mérték létezésének igazolásához a (C (R+ ) , Bt ) tereken értelmezett Q (t) mértékek közös kiterjesztésének létezését kell igazolni. Mivel a Λ martingál, ezért ha s < t, akkor minden A ∈ Bs esetén Z Z Λ (t) dP = Λ (s) dP = Q (s) (A) , Q (t) (A) = A
A
A
Q (t) lesz¶kítése a Bs -re éppen a Q (s) , így a Q egyértelm¶en de niálható az A $ ∪t Bs algebrán. A Caratheodory-tétel alapján a Q létezéséhez elég belátni, hogy a Q σ -additív az A algebrán. Az algebrán való σ -additivitás igazolásához szükséges közismert vagyis a
eredmények a következ®ek:
3.82 De níció.
24 halmaz részhalmazaiból álló K családot σ -kompaktnak mondunk, ha valahány∞ szor egy Kn ∈ K sorozatra ∩n=1 Kn = ∅, mindannyiszor található olyan N index, hogy N a ∩n=1 Kn = ∅ is teljesül.
Az
X
3.83 Példa. Egy topologikus tér kompakt halmazai 24 Nem keverend® össze a
X = ∪∞ n=1 Kn ,
ahol a
Kn
σ -kompakt
σ -kompakt
családot alkotnak.
halmazzal, amely egy topologikus tér olyan
X
halmaza, amelyre
kompakt. Szokásos elnevezés még a szemikompakt halmaz család.
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
129
3.84 Példa. Teljes szeparábilis metrikus tér Legyen
X
σ -kompakt
bázisa.
teljes, szeparábilis metrikus tér, és legyen
számlálható részhalmaza. Minden
n-re
az
sn ∈ S
S
az
X
mindenhol s¶r¶, meg-
pont körül vegyük a
B (sn , 1/k) , k ≥ n K. Mivel egy
zárt gömböket. Az így kapott megszámlálható gömbb®l álló halmaz legyen
1/k ≤ 1/n sugarú gömböket vettük gyelembe, ezért világos, hogy tetsz®leges ε > 0 esetén a B (sn , 1/k) gömbök közül csak véges sok sugara nagyobb m mint ε. Legyen (Kn ) a K egy sorozata. Ha minden m-re a ∩n=1 Kn 6= ∅, akkor minden ∞ xm ∈ ∩m n=1 Kn sorozat Cauchy-sorozat, ezért konvergens, így a határértéke eleme a ∩n=1 Kn halmaznak, amely így nem lehet üres. Mivel a K az X nyílt halmazainak megszámlálható bázisa, ezért σ (K) = B (X) . 2 adott
n
indexre csak az
3.85 De níció. Az
A
µ
halmazrendszeren értelmezett
risnak mondjuk, ha minden
A∈A
K⊆A
függvényt a
rendszerre nézve belülr®l regulá-
esetén
µ (A) = sup {µ (K) | K ∈ K, K ⊆ A} .
(3.25)
3.86 Állítás. (Kompakt regularitás és kiterjeszthet®ség) Legyen az
A
halmazcsalád algebra,
halmazfüggvény, halmazfüggvény
µ:A → R+
K ⊆ A σ -kompakt család. σ -additív az A algebrán.
Ha a
végesen additív, véges értékeket felvev®
µ
belülr®l
K-reguláris
az
A-n,
akkor a
µ
Bizonyítás:
Mivel a µ véges, ezért a σ -additivitáshoz elég megmutatni, hogy ha An & ∅, µ (An ) & 0. Tegyük fel, hogy limn→∞ µ (An ) ≥ 2ε. A (3.25) és a µ (An ) végessége miatt, minden n-re van olyan Kn ⊆ An , hogy
akkor
µ (An ) − µ (Kn ) = µ (An \ Kn ) ≤ Ebb®l a
µ
elemi tulajdonságai alapján tetsz®leges
µ (An \ ∩ni=1 Ki ) ≤ µ (∪ni=1 (Ai \ Ki )) ≤
ε . 2n
n-re
n X
µ (Ai \ Ki ) ≤ ε
i=1 Mivel
∞ X 1 = ε. i 2 i=1
An & ∅, ezért ∩ni=1 Ki & ∅, amib®l a σ -kompaktság miatt alkalmas N -re ∩N i=1 Ki = ∅,
tehát
ε ≥ µ AN \ ∩N K = µ (AN ) ≥ 2ε, i i=1 ami lehetetlen.
2
3.87 De níció. Emlékeztetünk, hogy egy topologikus téren értelmezett halmaz reguláris, ha tetsz®leges
ε > 0
µ
esetén van olyan
mértékre nézve egy
G
nyílt és
F
A
mérhet®
zárt halmaz, hogy
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
F ⊆ A ⊆ G,
egyrészt
F
130
másrészt
µ (G\F ) < ε.
(Hallgatólagosan feltesszük, hogy a
mérhet®.) Ha a regularitás de níciójában szerepl®
A
nak, akkor az
F
halmazt kompakt regulárisnak mondjuk.
(kompakt) reguláris, akkor a
µ
G
és az
zárt halmaz választható kompaktHa a minden mérhet® halmaz
mértéket (kompakt) regulárisnak mondjuk.
3.88 Állítás. Legyen
(X, A, µ)
1. Ha
X
véges mértéktér.
topologikus tér, akkor a reguláris halmazok
σ -algebrát
alkotnak.
2. Ha a Baire-halmazok mérhet®ek, akkor regulárisak. Speciálisan, ha és az 3. Ha
A
X
metrikus tér,
tartalmazza a nyílt halmazokat, akkor minden Borel-halmaz reguláris.
teljes, szeparábilis metrikus tér, akkor a
Bizonyítás:
X
µ
kompakt reguláris.
A bizonyítást több egymásra épül® lépésre bontjuk.
1. Els® lépésben belátjuk, hogy ha az alaptér mértéke véges, akkor a reguláris halmazok tetsz®leges topologikus tér esetén
σ -algebrát alkotnak. Mivel az X és az ∅ halmazok nyíltak R reguláris halmaz, akkor minden ε > 0 F zárt halmazok, hogy
is, meg zártak is egyszerre, ezért regulárisak. Ha számra léteznek olyan
G
nyílt és
F ⊆R⊆G Mivel az
Fc
nyílt és a
Gc
zárt halmazokra
és
µ (G \ F ) < ε.
Gc ⊆ Rc ⊆ F c
és
µ (F c \ Gc ) = µ (F c ∩ (Gc )c ) = µ (F c ∩ G) = µ (G \ F ) < ε, ∞ is reguláris. Meg kell még mutatni, hogy ha az (Rn )n=1 halmaz sorozat minden ∞ eleme reguláris, akkor az ∪n=1 Rn halmaz is reguláris. Minden n indexre legyenek Fn ⊆ Rn ⊆ Gn olyan zárt illetve nyílt halmazok, hogy µ (Gn \ Fn ) ≤ ε/2n+1 . A Bn $ ∪nk=1 Fk ∞ ∞ halmazok monoton n®nek, és az egyesítésük ∪k=1 Fk , ezért (∪k=1 Fk ) \ Bn & ∅. Mivel a µ ∞ ∞ véges, ezért µ ((∪k=1 Fk ) \ Bn ) & 0, tehát elég nagy n-re µ ((∪k=1 Fk ) \ Bn ) ≤ ε/2. Világos, n ∞ ∞ ∞ hogy Bn $ ∪k=1 Fk ⊆ ∪k=1 Rk ⊆ ∪k=1 Gk , ahol a Bn halmaz zárt a ∪k=1 Gk halmaz pedig ∞ ∞ ∞ nyílt. Mivel ∪k=1 Gk \ ∪k=1 Fk ⊆ ∪k=1 (Gk \Fk ) ezért
ezért az
Rc
∞ ∞ ∞ µ (∪∞ k=1 Gk \ Bn ) = µ (∪k=1 Gk \ ∪k=1 Fk ) + µ (∪k=1 Fk \ Bn ) ≤ ∞ ε X ε ε + ≤ = ε, ≤ µ (∪∞ (G \F )) + k k k=1 k+1 2 2 2 k=1 ami alapján az
∪∞ n=1 Rn
is reguláris, vagyis az els® állítást beláttuk.
2. A Baire-halmazokra vonatkozó megjegyzés igazolása a következ®: Legyen f folytonos −1 függvény. Ha F az R egy zárt részhalmaza, akkor az f (F ) halmaz zárt, tehát evidens −1 −1 módon belülr®l reguláris. Ugyanakkor mivel f (F ) = f (∩n Gn ) = ∩n f −1 (Gn ) , ahol a Gn & F halmazok nyíltak, a mérték végessége miatt az f −1 (F ) kivülr®l is reguláris. Mivel
3.4. GIRSZANOV-TÉTEL
131
−1 alkotnak, ezért az f (F ) alakú halmazok által generált −1 σ -algebra minden eleme reguláris, és mivel az f (F ) alakú halmazok generálják a Baire-
σ -algebrát
a reguláris halmazok
halmazokat, ezért minden Baire-halmaz is reguláris. Ha az
X
metrikus tér, akkor a Baire
és a Borel-halmazok egybeesnek, tehát ilyenkor minden Borel-halmaz is reguláris. 3. Hátra van még annak igazolása, hogy ha az
F
X
teljes szeparábilis metrikus tér, akkor az
zárt halmaz választható kompaktnak. Ennek belátásához elegend® megmutatni, hogy
minden
F
zárt halmazhoz és minden
ε > 0 számhoz létezik olyan K ⊆ F
kompakt halmaz,
hogy
µ (F \K) < ε. Az állítást el®ször az
X
(3.26)
X
szeparábilis metrikus tér, ezért (k) minden k természetes számhoz létezik megszámlálható sok 1/k sugarú, zárt Bn gömb, (k) hogy X = ∪n Bn . Mivel a mérték véges, ezért elegend®en sok, de azért véges mk számú zárt c (k) (k) (k) mk mk k ∞ k B . B < ε/2 . Legyen K $ ∩ ∪ = µ ∪m gömb esetén µ X \ ∪s=1 Bs s=1 s s=1 s k=1
k esetén létezik benne véges 1/k sugarú ε-háló25 . X teljes metrikus tér, ezért a K kompakt26 . De mk mk ∞ (k) ∞ (k) c µ (X \ K) = µ X \ ∩k=1 ∪s=1 Bs = µ ∪k=1 ∪s=1 Bs ≤
Világos, hogy a az
alaphalmazra látjuk be. Mivel az
K
zárt és minden
Mivel
∞ ∞ X X ε mk (k) c ≤ µ ∪s=1 Bs < ≤ ε, 2k k=1 k=1 ami éppen a (3.26). Mivel az
X
minden
F
zárt részhalmaza, maga is teljes szeparábilis
(F, AF , µF ) lesz¶kített K ⊆ F, amelyre fennáll
metrikus tér, ezért a bizonyítás utolsó részét megismételhetjük az mértéktérre. Ez alapján minden
F
zárt halmazhoz létezik olyan
(3.26).
2
A Q mérték létezésének bizonyítása: alkalmas
s
id®pontra
A ∈ Bs .
A
A ∈ A $ ∪s Bs -r®l feltehet®, hogy (C (R+ ) , Bs ) azonosítható a (C ([0, s]) , B (C ([0, s]))) Tetsz®leges
mérhet® térrel. Mivel ez egy teljes szeparábilis metrikus tér, ezért ezen a téren értelmezett véges mértékek belülr®l kompakt regulárisak. azt megmutatni, hogy a
C (R+ )
A
Q
létezésének igazolásához elegend®
kompakt tartójú cilinderhalmazai, vagyis a
részhalmazainak családja, amelyekhez van olyan
[0, n]
és a
C ([0, n])
C (R+ ) olyan K kompakt
olyan
részhalmaza, amelyre a halmaz
n o f ∈ C (R+ ) | f |[0,n] ∈ K 25 Az
b
A
halmaz a
B
halmaz
ε-hálója, ε.
ha minden
b∈B
ponthoz létezik olyan
a ∈ A,
hogy az
a
pont és a
távolsága nem nagyobb mint
26 Felhasználtuk a kompaktságra vonatkozó Hausdor-kritériumot, amely szerint egy teljes metrikus
K halmaz ε-hálója.
térben egy zárt elemszámú
pontosan akkor kompakt, ha tetsz®leges
ε>0
számhoz a halmaznak van véges
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
alakú
132
σ -kompakt családot alkotnak. Mivel ez a család metszet zárt, elég megmutatni, hogy Kn−1 ⊇ Kn ⊇ . . . sorozat tagjai nem üresek, akkor a metszetük sem üres. Lemost fn ∈ Kn . A tartalmazás miatt az (fn ) sorozat lesz¶kítése a K1 -hez tartozó
ha valamely gyen
id®tartományra kompakt, így egy alkalmas részsorozata konvergens. Ha most áttérünk a
K2
halmazra, akkor ennek a részsorozatnak van olyan további részsorozata, amely szintén
konvergál, de már a
K2 -höz
tartozó id®tartományon is. Az eljárást folytatva, majd átló-
san újabb részsorozatot választva egy olyan
Kn -hez
tartozó id®szakaszon konvergál.
(fnk )
részsorozathoz jutunk, amely az összes
Három eset lehetséges: ha az id®tartományok-
Kn -be
nak nincsen fels® határa, akkor a sorozat határértéke az összes metszet nem üres.
N
beleesik, vagyis a
Ha ilyen fels® korlát van, akkor az intervallumok hosszának van egy
szupremuma. Ezen belül két eset lehetséges. Ha a szuprémum felvev®dik, akkor való-
jában van egy olyan kompakt halmaz, hogy az összes konvergál. A függvényeket az
N
fn
a halmazhoz tartozó szakaszon
pontban kimerevítve az egész számegyenesen konvergens
sorozatot kapunk, amely határértéke része a metszetnek. Ha a szuprémum nem vev®dik fel, akkor az összes intervallum határozottan kisebb mint az választhatók oly módon, hogy például az
N
N
és ezért az egyes
fn
függvények
pontban nulla értéket vegyenek fel.
2
3.5.
Sztochasztikus dierenciálegyenletek
Sztochasztikus dierenciálegyenleten a
dX (t) = b (t, X (t)) dt + σ (t, X (t)) dw (t) típusú formális kifejezéseket értjük, ahol az lehetnek.
Az általános esetben a
n-dimenziós
x
b,
a
m-dimenziós
σ
és a
(t, x)
esetén egy
n-dimenziós
X (t) − X (0) =
t
X pedig egy n × m dimenziós vektor, a b (t, x) szintén
σ (t, x)
egy
vektor, stb. Az egyenlet megoldásán
Z
t
id®pontra
t
σ (s, X (s)) dw (s) ,
b (s, X (s)) ds + 0
akár többdimenziósak is
Wiener-folyamat, az
vektor folyamatot értünk, amelyre tetsz®leges
Z
w
n-dimenziós
argumentum értelemszer¶en egy
értelemszer¶en minden
X
egy
a
sztochasztikus folyamat. Ennek megfelel®en a
mátrix, ahol az egy olyan
w
X,
(3.27)
(3.28)
0
ahol például ismét értelemszer¶en a második, sztochasztikus, integrálon a
m Z X j=1 típusú integrálokból álló
t
σ ij (s, X (s)) dwj (s)
0
n-dimenziós
vektort értjük.
Ha a
σ
és a
b
folytonos és az
X
megoldásokat a folytonos trajektóriával rendelkez® folyamatok körében keressük, akkor az egyenletek felírásához elég az ItôStieltjes típusú integrálokat ismerni. megoldás egyértelm¶ségér®l csak akkor beszélhetünk, ha az
X (0)
Világos, hogy a
értékét el®re rögzítjük.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
133
Ezt a kés®bbiek során mindig fel is tesszük, vagyis adott kezdeti feltétel esetén beszélünk csak az egyenletr®l. Az egyenlet felírásakor nem mondtuk meg, hogy pontosan mit értünk rajta, nevezetesen melyik
w
Wiener-folyamat írandó az egyenletbe. Ha egy rögzített
beszélünk a megoldásról, akkor az adott lünk.
w
w
folyamat esetén
folyamat esetén való er®s megoldásról beszé-
Ha azonban csak azt tudjuk mondani, hogy található egy olyan
(Ω, A, P)
mez®,
a mez®n értelmezett ltráció és hozzá tartozó Wiener-folyamat, amely esetén az így választott mez®n értelmezett
X -et
X
sztochasztikus folyamat megoldása az egyenletnek, akkor az
az egyenlet gyenge megoldásának mondjuk.
Gyenge megoldás létezésére az egyik
legismertebb példát a Bessel-folyamatok szolgáltatják.
3.89 Példa.
27 Bessel-folyamatok mint gyenge megoldások . Legyen
w
egy
n-dimenziós
Wiener-folyamat, ami de níció szerint azt jelenti, hogy a
w vektorfolyamat egyes koordinátái független Wiener-folyamatok. n ≥ 2 és r > 0, akkor az r $ kxk pontból indított sX wk2 R $ kwk $ kwk2 $
Megmutatjuk, hogy ha
k folyamatra
t
Z R (t) = r + 0
n−1 ds + B (t) , 2R (s)
ahol
B$
X
B
(k)
,
B
(k)
Z
B
egy Wiener-folyamat.
s
(s) $ 0
k és a
0 ≤ t < ∞, wk dwk , R
Másképpen fogalmazva az
gyenge megoldása a
dR =
R
(3.29)
(3.30)
úgynevezett Bessel-folyamat
n−1 dt + dw 2R R folyamatot megadó (3.29) n ≥ 2 megkötés miatt majdnem min-
sztochasztikus dierenciálegyenletnek. Vegyük észre, hogy az képlet értelmes, ugyanis a nevez®ben lev® kifejezés az
s id®pontban sem nulla, így a trajektóriánkénti integrál, majdnem B folyamatott de niáló (3.30) sorban szerepl® sztochaszti(k) kus integrál integrandusa, majdnem minden kimenetelre folytonos, ezért a B folyamatot den kimenetelre egyetlen
minden kimenetelre értelmes. A
de niáló sztochasztikus integrál szintén értelmes. Az állítás igazolása a következ®: 1. Sztochasztikus integrálok keresztvariációjának képlete alapján, felhasználva, hogy ha a Wiener-folyamatok függetlenek akkor a keresztvariációjuk nulla
(k) (j) B ,B (t) =
Z 0
t
wk wj d [wk , wj ] = δ kj R2
Z 0
t
wk (s) wj (s) ds, R2 (s)
27 Kés®bb megmutatjuk, hogy a Bessel-folyamatokhoz tartozó egyenleteknek van er®s megoldása.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
ezért
" [B] (t) =
# X
B
(k)
k
134
Z tX 2 Z t X wk (s) (k) (t) = 1ds = t, = B ds = 2 (s) R 0 0 k k
amib®l, felhasználva, hogy lokális martingálok összege lokális martingál, a Lévy-féle karakterizációs tétel alapján a 2. Az
B
Wiener-folyamat.
R el®állítását megadó (3.29) sor igazolása az Itô-formulán alapszik. X 1X R2 − R2 (0) = 2wk • wk + 2 • [wk ] , 2 k k
Az
R2 folyamatra
tehát
X
R2 (t) − R2 (0) $
wk2 (t) − wk2 (0) =
k
= 2
t
XZ k
wk dwk + t · n.
0
A polaritási formula miatt
Z
t
Z wk dwk ,
0
t
wi dwi
Z
t
=
wk wi d [wk , wi ] = Z t = δ ki wk2 ds,
0
0
0 amib®l
R
2
=4
XZ k
0
t
wk2 ds
Z =4
t
R2 ds.
0
28
A többdimenziós Wiener-folyamat majdnem minden kimenetelre nem lesz nulla √ R2 > 0, és a x függvényre alkalmazható az Itô-formula
Z 2 1 111 t 1 2 √ dR − d R = 2 2 2 2 0 (R2 )3/2 0 2 R Z t Z X Z t wk n 1 t 1 2 dwk + ds − d R = 3 R 2R 8 R 0 0 0 k Z Z t X Z t wk n 4 t 1 2 dwk + ds − R ds = 8 0 R3 0 R 0 2R k Z t X Z t wk n−1 dwk + ds. R 2R 0 0 k
Z R (t) − r = = = =
t
28 Érdemes hangsúlyozni, hogy igen lényeges lépésr®l van szó, ugyanis itt használjuk ki, hogy Ha
n = 1,
akkor az Itô-formula nem használható, ugyanis ilyenkor csak az
R2 ≥ 0
n ≥√2. x
biztosítható, és a
x ≥ 0 tartományon nem eleme a C 2 térnek. Ha formálisan mégis használjuk a formulát, akkor R = sign (w) • w egyenl®séghez jutunk. A Lévy-féle karakterizációs tétel alapján a jobb oldali kifejezés
függvény az az
, ezért
Wiener-folyamat, a baloldali pedig nem negatív, így a két oldal nem lehet azonos.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
135
2 Az alábbiakban a jelölés egyszer¶sítése céljából feltesszük, hogy
m = n = 1.
Az olvasó
egyszer¶en kiterjesztheti a gondolatmenetet az általános esetre.
3.5.1.
A megoldás egyértelm¶sége
Minden dierenciálegyenlet esetén az alapvet® kérdés az egyenlet megoldhatósága, illetve a megoldás egyértelm¶sége. Els® lépésben az egyértelm¶ség kérdését tisztázzuk. El®ször az er®s megoldások egyértelm¶ségét tárgyaljuk. A tárgyalás során szükségünk lesz a közismert Gronwall-egyenl®tlenségre.
3.90 Lemma. Ha valamely folytonos
f
függvény esetén minden
Z 0 ≤ f (t) ≤ α (t) +
t≥0
esetén
t
β (s) f (s) ds, 0
ahol
α
integrálható,
β≥0
és folytonos, akkor
Z
t
α (s) exp (β (t − s)) ds
f (t) ≤ α (t) + 0
minden
t≥0
t≥0
esetén. Speciálisan, ha minden
Z 0 ≤ f (t) ≤
esetén
t
β (s) f (s) ds, 0
akkor
f = 0.
3.91 Tétel. (Egyértelm¶ség)
b (t, x) és a σ (t, x) folytonos, valós érték¶ függvények29 . Ha együtthatói az x változó szerint lokálisan kielégítik a Lipschitz-feltételt, esetén található olyan KN konstans, amelyre
Legyenek a
az egyenlet
b
és
vagyis minden
σ N
|b (t, x) − b (t, y)| ≤ KN |x − y| , |σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ KN |x − y| valahányszor
t, |x| , |y| ≤ N ,
akkor, adott kezdeti feltétel esetén, az egyenlet megoldása er®s
értelemben egyértelm¶, vagyis az egyenlet bármely két megoldásának trajektóriái csak egy nullmérték¶ halmazban térhetnek el. 29 Emlékeztetünk, hogy az egyszer¶bb jelölés céljából csak az egydimenziós esettel foglalkozunk, de az állítás vektor érték¶ egyenletekre is teljesül.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Bizonyítás: ahol az
|X1 |
és X2 az egyenlet megoldásai. Legyen τ 1 az els® olyan id®pont, |X2 | átlépi az N szintet. Legyen továbbá τ $ τ 1 ∧ τ 2 ∧ N . A τ τ világos, hogy |X1 | ≤ N és |X2 | ≤ N. Vegyük észre, hogy ha N % ∞,
Legyenek és
τ2
folytonosság miatt
136
X1
ahol az
akkor a megállási id®k sorozata egy nullmérték¶ halmaztól eltekintve a végtelenbe tart, mert ha nem így lenne, akkor egy pozitív mérték¶ halmazon az
X1
vagy az
X2
egy véges
id®tartományon korlátlan lenne, ami ellentmond annak, hogy a megoldások trajektóriái a τ τ teljes számegyenesen biztosan folytonosak. E miatt elegend® megmutatni, hogy X1 = X2 . A két megoldást egymásból kivonva, felhasználva, hogy a kezdeti érték közös
X1τ
(t) −
Z
X2τ
t∧τ
b (u, X1 (u)) − b (u, X2 (u)) du +
(t) = 0
t∧τ
Z
σ (u, X1 (u)) − σ (u, X2 (u)) dw (u) .
+ 0 Tetsz®leges
u
és
v
számokra
(u + v)2 = u2 + 2uv + v 2 ≤ 2 u2 + v 2 . Ezt felhasználva
E (X1τ (t) − X2τ (t))2 ≤ 2 · E
Z
t∧τ
2 ! b (u, X1 (u)) − b (u, X2 (u)) du +
0
Z
2 !
t∧τ
+2 · E
σ (u, X1 (u)) − σ (u, X2 (u)) dw
.
0 A
τ
de níciója miatt az integrációs tartományon
|X1 (u)| , |X2 (u)| ≤ N, így az els® várható
értékre a Cauchy-egyenl®tlenség szerint
t∧τ
Z E
2 ! b (u, X1 (u)) − b (u, X2 (u)) du ≤
0
Z
t∧τ
≤E
2 ! |b (u, X1 (u)) − b (u, X2 (u))| du ≤
0
≤ KN2 · E
Z
t∧τ
2 ! |X1 (u) − X2 (u)| du ≤
0 t∧τ
≤ ·t·E (X1 (u) − X2 (u)) du ≤ 0 Z t 2 2 τ τ ≤ KN · t · E (X1 (u) − X2 (u)) du . KN2
Z
2
0
(3.31)
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
137
A másik integrálban a BurkholderDavisGundy egyenl®tlenség (3.14) sorban szerepl® legegyszer¶bb verziója alapján
2 !
t∧τ
Z
σ (u, X1 (u)) − σ (u, X2 (u)) dw
E
≤
0
Z ≤E
t∧τ 2
(σ (u, X1 (u)) − σ (u, X2 (u))) d [w] Z t∧τ 2 2 (X1 (u) − X2 (u)) du ≤ ≤ KN · E 0 Z t 2 2 τ τ ≤ KN · E (X1 (u) − X2 (u)) du .
≤
0
0 Ebb®l ha
f (t) $ E (X1τ (t) − X2τ (t))2 , akkor tetsz®leges, de rögzített
T
[0, T ]
esetén a
f (t) ≤
2KN2
szakaszon a Fubini-tétel alapján
t
Z (T + 1)
f (u) du. 0
Vegyük észre, hogy az
X1τ és az X2τ korlátossága miatt az f folytonos. Így a Gronwallf = 0. Így minden t-re majdnem minden kimenetelre X1τ (t) =
egyenl®tlenség alapján X2τ (t). Mivel a trajektóriák folytonosak, a racionális id®pontokban való egyenl®ségb®l következik a trajektóriák egyenl®sége, így a racionális id®pontokhoz tartozó nulla mérték¶ τ τ halmazokat egyesítve kapjuk, hogy az X1 és az X2 trajektóriái egy nulla valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve azonosak.
2
3.92 Példa. Lineáris dierenciálegyenletek megoldása. Tekintsük a BlackScholes modellben szerepl®
dS = µSdt + σSdw,
S (0) = S0
egyenletet. Az Itô-formula segítségével könnyen igazolható, hogy az
S (t) = S0 exp
1 2 µ − σ t + σw (t) 2
kielégíti az egyenletet. Világos, hogy az egyértelm¶ségi tétel feltételei teljesülnek, és így az
S (t)
az egyenlet egyetlen megoldása. Vegyük észre, hogy ugyanakkor a Bessel-folyamatot
de niáló
dR =
n−1 dt + dB 2R
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
138
egyenletben az együtthatók nem teljesítik a tétel feltételeit.
2 Bár az egyértelm¶ségi tétel igen elegáns, valójában túl gyenge, ugyanis nem alkalmazható például a Bessel-folyamatok négyzetét megadó
√ dρ = δdt + 2 ρdw,
ρ (0) = x
alakú egyenletekre, vagy a pénzügyi matematikában fontos szerepet játszó
√ dr = θ (µ − r) + σ rdw 30
CIR modellre
, vagy a
dS = µSdt + σS γ dw 31
úgynevezett CEV modellre
. Ha az egyenlet egydimenziós, akkor az egyértelm¶ségi tétel
élesíthet®:
3.93 Tétel. (YamadaWatanabe) Tegyük fel, hogy a vizsgált (3.27) sztochasztikus dierenciálegyenlet egydimenziós és a
b (t, x)
kielégíti a lokális Lipschitz-feltételt vagyis minden
|b (t, x) − b (t, y)| ≤ KN · |x − y| ,
N -re
t, |x| , |y| ≤ N
továbbá
|σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ k (|x − y|) , ahol
KN
minden
N -re
egy pozitív konstans és
növeked® függvény, amelyre minden
ε>0 Z ε 0
k2
k : R+ → R+
egy olyan szigorúan monoton
esetén
1 du = ∞. (u)
Ilyenkor a megoldás, amennyiben létezik, egyértelm¶.
Bizonyítás:
A
k
függvényre tett feltételek szerint van olyan
Z
an−1
an vagy ami ugyanaz
Z
an−1
an 1. Legyenek az
(0, an−1 )
k2
an & 0
sorozat, amelyre
1 du = n, (u)
1 du = 1. n · k 2 (u)
(ρn )
olyan kompakt tartójú, folytonos függvények, amelyek tartója része R an−1 nyílt intervallumnak, ρn (u) du = 1, valamint 0
0 ≤ ρn (x) ≤ 30 CoxIngersollRoss modell. 31 Constant Elasticity of Variance modell.
2 . n · k 2 (x)
(3.32)
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
139
(ρn ) függvények konstruálásához legyenek (δ n ) a (−an /2, 0) intervallumra támaszkodó folytonosan deriválható nem negatív függvények amelyek integrálja egy. Legyen továbbá
A
Z
an
ρn (x) $ an−1 A
pn
1 δ n (x − v) dv = n · k 2 (v)
Z
0
−an /2
n·
k2
1 δ n (v) dv. (x − v)
tekinthet® két s¶r¶ségfüggvény konvolúciójának, így nem negatív, az integrálja egy
és a tartója az
(an /2, an−1 )
szakasz.
Z 0 1 1 1 n · k 2 (x) − n · k 2 (x − v) δ n (v) dv ≤ n · k 2 (x) − ρn (x) ≤ −an /2 Z 0 1 1 ≤ δ n (v) dv = . 2 n · k 2 (x) −an /2 n · k (x) Következésképpen
0 ≤ ρn (x) ≤ Mivel a
δn
2 . n · k 2 (x)
folytonosan deriválható, ezért a konvolúció képletéb®l látható, hogy a paramet-
rikus integrál is deriválható így a
ρn
függvény eleget tesz a feltételeknek.
2. De niáljuk a
Z
|x|
Z
y
ρn (u) dudy
ψ n (x) $ 0
0
ρn folytonos, ezért a ψ n (x) kétszer folytonosan deriválható, és mivel 0 integrálja egy, ezért |ψ n (x)| ≤ 1 minden x esetén. Ha X1 és X2 két azonos kezdeti
függvényeket. Mivel a a
ρn
értékhez tartozó megoldás, akkor
Z X1 (t) − X2 (t) =
t
b (s, X1 (s)) − b (s, X2 (s)) ds + Z t + σ (s, X1 (s)) − σ (s, X2 (s)) dw (s) . 0
0 Meg kell mutatni, hogy
X1 − X2 = 0,
amihez nyilván elegend® belátni, hogy a másik oldal
nulla. Ennek igazolásához lokalizálhatjuk az egyenl®séget, és feltehetjük, hogy
|X2 | ≤ N,
|X1 | ≤ N
ψn folyamatra alkalmazva az Itô-formula
illetve hogy a lokalizált sztochasztikus integrál négyzetesen integrálható. A
kétszer folytonosan deriválható függvényt az
X1 −X2
ψ n (0) = 0 Z t ψ n (X1 (t) − X2 (t)) = ψ 0n (X1 (s) − X2 (s)) d (X1 (s) − X2 (s)) + 0 Z 1 t 00 + ψ (X1 (s) − X2 (s)) d [X1 (s) − X2 (s)] . 2 0 n
szerint, felhasználva, hogy
és
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
140
ψ 0n korlátos, így a sztochasztikus integrálok feltételezett martingál tulajdonsága miatt a dw -s tag várható értéke nulla, így Z t 0 E (ψ n (X1 (t) − X2 (t))) = E ψ n (X1 (s) − X2 (s)) (b (s, X1 (s)) − b (s, X2 (s))) ds + 0 Z t 1 2 00 + E ψ n (X1 (s) − X2 (s)) (σ (s, X1 (s)) − σ (s, X2 (s))) ds , 2 0 Mivel a
ahol kihasználtuk a polaritási és az asszociativitási szabályt, valamint, hogy egy szemimartingál kvadratikus variációja éppen a lokális martingál rész kvadratikus variációja. Az 0 együtthatók növekedésére tett feltételeket, illetve a |ψ n | ≤ 1 becslést kihasználva
Z
t
E (ψ n (X1 (t) − X2 (t))) ≤ E |b (s, X1 (s)) − b (s, X2 (s))| ds + 0 Z t 1 2 00 + E |ψ n (X1 (s) − X2 (s))| (σ (s, X1 (s)) − σ (s, X2 (s))) ds ≤ 2 0 Z t ≤ KN E (|X1 (s) − X2 (s)|) ds+ 0 Z 1 t + E |ψ 00n (X1 (s) − X2 (s))| k 2 (X1 (s) − X2 (s)) ds. 2 0 A második integrál becsléséhez vegyük észre, hogy
|ψ 00n | = ρn ,
és ezért a fenti (3.32) sor
alapján a második integrálra
t
Z
|ψ 00n
E
2
(X1 (s) − X2 (s))| k (X1 (s) − X2 (s)) ds ≤
t
Z
0
0
2 2 E ds = t. n n
Összefoglalva
Z E (ψ n (X1 (t) − X2 (t))) ≤ KN
t
E (|X1 (s) − X2 (s)|) ds + 0
Ha
n → ∞,
akkor a Fatou-lemma alapján
E Tetsz®leges a
(0, an−1 )
1 t. n
x-re
Z t lim ψ n (X1 (t) − X2 (t)) ≤ KN E (|X1 (s) − X2 (s)|) ds.
n→∞ ha
n
0 elég nagy akkor
0 < an−1 < x
és mivel a
an−1 → 0
és a
ρn
intervallumon egy ezért a Fatou-lemma alapján
Z lim ψ n (x) $
n→∞
lim Z |x|
n→∞
|x|
Z
y
Z ρn (u) dudy ≥
0
0
1dudy = |x|
= 0
|x|
Z lim
0
n→∞
y
ρn (u) dudy = 0
integrálja
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Ebb®l
Z
141
t
E (|X1 (s) − X2 (s)|) ds.
E (|X1 (t) − X2 (t)|) ≤ KN 0
E (|X1 (t) − X2 (t)|) = 0, következésképpen az X1 (t) = X2 (t) majdnem minden kimenetelre. Az X1 és az X2 folytonossága miatt, a nullmérték¶ halmazokat a racionális id®pontokban egyesítve kapjuk, hogy az X1 és az X2 ekvivalens. 2
A Gronwall-egyenl®tlenség alapján
3.94 Példa. A tételben
k (x) = xα ,
ahol
α ≥ 1/2
megfelel®. Ha a
dS = µSdt + σ
µ
és a
σ
konstansok, akkor
p |S|dw
egyenletnek, ha létezik megoldása, akkor a megoldás egyértelm¶. Ha
α = 1/2,
akkor a
p p p |x| − |y| ≤ |x − y| egyenl®tlenség miatt használható a feltétel. Hasonlóan ha
0 < α ≤ 1,
akkor
||x|p − |y|p | ≤ |x − y|p így ha
1/2 ≤ α ≤ 1
és a
dS = µSdt + σ |S|α dw egyenletnek, ha létezik megoldása, akkor a megoldás egyértelm¶.
2 YamadaWatanabe tétele némiképpen általánosítható.
Ezt az általánosítást szokás
összehasonlítási tételnek mondani.
3.95 Tétel. (Összehasonlítási tétel) Tegyük fel, hogy a feltételei.
(b1 , σ)
és a
(b2 , σ)
X1 (0) ≤ X2 (0) X1 (t) ≤ X2 (t).
megoldásai. Ha eltekintve
feladatok esetén teljesülnek a YamadaWatanabe tétel
Tegyük továbbá fel, hogy az egyenleteknek léteznek az
Bizonyítás:
és
b1 (t, x) ≤ b2 (t, x) ,
X1
és
X2
módon jelölt
akkor egy nullmérték¶ halmaztól
A tétel bizonyítása csak annyiban más, hogy a ψ n függvény helyett a + függvényeket kell venni, amelyek az x függvényhez fognak tartani, illetve
ψ n χ ([0, ∞)) értelemszer¶en módosítani kell a
b1 − b2
becslését:
b1 (s, X1 (s)) − b2 (s, X2 (s)) = b1 (s, X1 (s)) − b1 (s, X2 (s)) + +b1 (s, X2 (s)) − b2 (s, X2 (s)) ≤ ≤ b1 (s, X1 (s)) − b1 (s, X2 (s)) ≤ K |X1 (s) − X2 (s)| ,
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
ugyanis a feltétel miatt
b1 ≤ b2 .
Ha
142
X1 (s) < X2 (s) ,
ψ 0n (X1 (s) − X2 (s)) = 0,
akkor
így
ψ 0n (X1 (s) − X2 (s)) (b1 (s, X1 (s)) − b2 (s, X2 (s))) ≤ ≤ K · |X1 (s) − X2 (s)| χ (X1 (s) ≥ X2 (s)) = K (X1 (s) − X2 (s))+ . E (X1 (t) − X2 (t))+ = 0 egyenl®séget kapjuk, amib®l a majdnem mindenhol fennálló X1 (t) ≤ X2 (t) becsléshez jutunk. A nullmérték¶ halmazok összeÍgy a bizonyítás végén az
vonásával a már bemutatott módon kapjuk a tételt.
2 Felmerülhet a kérdés, hogy ha két különböz® téren oldjuk meg az egyenletet, vagyis a valószín¶ségi mez®t nem rögzítjük el®re, akkor mit lehet mondani a megoldás egyértelm¶ségér®l. A válasz nem túl meglep®, de mindenképpen igazolandó: Az eloszlások azonosak lesznek. Emlékeztetünk, hogy egy
(t1 , t2 , . . . , tk )
X
sztochasztikus folyamat eloszlásán az összes lehetséges
véges id®pont sorozatokhoz tartozó
(X (t1 ) , X (t2 ) , . . . , X (tk ))
változók el-
oszlásainak halmazát értjük. Természetesen, ha adott egy sztochasztikus folyamat, akkor a folyamat tekinthet® egy függvénytér érték¶ valószín¶ségi változónak is. Ha a trajektóriák függvényterén adott valamiféle topológia, akkor a trajektóriák terén értelmezettek a Borel−1 halmazok, és eloszláson a Borel-halmazokon értelmezett P (B) = P (X (B)) mértéket is érthetjük.
Külön gondot kell fordítani arra, hogy a két de níció azonos eloszlásfogal-
mat de niáljon. Az egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy az értelmezve van. Ha az
X
X
a teljes
R+
id®tengelyen
folytonos, akkor az említett eloszlások tekinthet®ek az
R+ félegye-
nesen értelmezett folytonos függvények terének cilinderhalmazain értelmezett kompatibilis
32
mértékcsaládnak
. A kompakt id®tartományokon való egyenletes konvergenciára nézve a
folytonos függvények tere egy teljes szeparábilis metrikus tér
33
algebrája megegyezik a koordinátaleképezések által generált
, amely Borel-halmazainak
σ -algebrával.
σ-
Ennek igazolása
viszonylag egyszer¶: Egy oldalról elég meggondolni, hogy a koordinátaleképezések mindegyike folytonos a kompakt halmazokon egyenletes konvergencia topológiára nézve, így mérhet® a Borel-halmazok generált
σ -algebra
σ -algebrájára,
része a Borel-halmazok
következésképpen a koordinátaleképezések által
σ -algebrájának.
Más oldalról, ha két folytonos
függvény egy intervallum racionális id®pontjaiban közel van, akkor a teljes intervallumon egyenletesen is közel van, így minden nyílt halmaz mérhet® a koordinátaleképezések által
σ -algebrára nézve, vagyis a Borel-halmazok mindegyike eleme a koordinátaleképezések által generált σ -algebrának. Ebb®l következ®en belátható, hogy a cilinderhalmazokon generált
értelmezett valószín¶ségi mértékek tetsz®leges kompatibilis családja kiterjeszthet® a folytonos függvények Borel-halmazaira
34
. Az így kapott mértéket szintén szokás a folytonos
32 Miként ismert, egy mértékcsaládot kompatibilisnek mondunk, ha a halmaz mértéke nem függ attól, hogy miként reprezentáltuk a halmazt, és melyik mérték szerint vettük a mértékét, amennyiben persze az adott halmaznak több mérték szerint is vehetjük a mértékét.
33 A távolságot a
d (f, g) =
X
n 34 V.ö.: 3.4.3. pont, 127. oldal.
1 2n
sup0≤x≤n |f (x) − g (x)|
formulával de niálhatjuk.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
trajektóriákkal rendelkez®
X
143
folyamat eloszlásának mondani, vagyis a két de níció folyto-
35
nos trajektóriák esetén azonos eredményre vezet
.
3.96 Tétel. (Eloszlásban való egyértelm¶ség) Ha valamely sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása bármely hordozó mez® esetén egyértelm¶, akkor a megoldások eloszlása is egyértelm¶, feltéve persze, hogy a kezdeti értékek eloszlása azonos.
Bizonyítás:
A bizonyítás igen egyszer¶, és a sztochasztikus folyamatok eloszlásának
fogalmára épül. Az igazolást több apróbb részre bontjuk.
C (R+ ) a t = 0 pontban nulla értéket felvev® folytonos függvények halmazát. w egy tetsz®leges Wiener-folyamat. Mivel a trajektóriák folytonosak, a w tekinthet® egy ω 7→ w (·, ω) ∈ C (R+ ) leképezésnek, amely nyilván mérhet® az f 7→ f (t) alakú koordinátaleképezések által generált σ -algebrára nézve. A Wiener-folyamat de níciójából evidens, hogy a (w (t1 ) , w (t2 ) , . . . , w (tn )) alakú vektorok eloszlása egyértelm¶. A mértékek egyértelm¶ kiterjesztésér®l szóló tételb®l evidens, hogy a w eloszlása nem függ a w Wiener-folyamattól. Az így kapott a C (R+ ) téren értelmezett egyértelm¶en de niált mér1.
Jelölje
Legyen
téket szokás Wiener-mértéknek nevezni. Vagyis miközben rengeteg Wiener-folyamat van, a Wiener-mérték egyértelm¶.
wX Wiener-folyamatot (X (0) , X − X (0) , wX ) hármas eloszlása egy b (t, ω) módon valószín¶ségi mérték az Ω $ R × C (R+ ) × C (R+ ) tér Borel-halmazain. Az X jelölt (t, ω) $ (t, u, x, w) 7→ x (t) + u hozzárendelés egy sztochasztikus folyamat, ugyanis az Ω elemeihez az id® egy függvényét rendeli. A folyamat eloszlása éppen azonos lesz az c (t, ω) módon jelölt (t, ω) $ (t, u, x, w) 7→ w (t) folyamat eloszlása X eloszlásával. A W b folyamat pedig azonos lesz a wX Wiener-folyamat eloszlásával. Megmutatjuk, hogy az X c Wiener-folyamat és az az Ω felett megoldása a dierenciálegyenletnek, természetesen a W b b (t) − X b (0) változó X (0, ω) = u kezdeti feltétel mellett. Ehhez az szükséges, hogy az X
2.
Tegyük fel, hogy az
(X, wX )
hordozó valamilyen mez® felett.
pár megoldása az egyenletnek a Ekkor az
értéke éppen megegyezzen a megfelel® két sztochasztikus integrál összegével. Ez pontosan
b (t) − X b (0) az X X (n) X (n) (n) (n) (n) (n) c b b b Zn $ b sk−1 , X sk−1 ∆sk + σ sk−1 , X sk−1 ∆W sk
azt jelenti, hogy az
k
k
közelít® összegek sztochasztikus konvergenciában vett határértéke. Mivel az
(X, wX )
pár
X (t) − X (0) éppen a X (n) X (n) (n) (n) (n) (n) Zn $ b sk−1 , X sk−1 ∆sk + σ sk−1 , X sk−1 ∆wX sk
megoldása az egyenletnek, ezért az
k
k
35 Érdemes megjegyezni, hogy nem folytonos trajektóriák esetében a helyzet nem ilyen egyszer¶, és ezért ha a trajektóriák tere nem a folytonos függvények tere, akkor az egyenletes konvergencia toplógia helyett egy másik speciális topológiát, az úgynevezett Szkorohod-topológiát, kell a trajektóriák terén bevezetni.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
144
sztochasztikus konvergenciában vett határértéke. A konstrukció miatt a kalapos és a kalap nélküli változók eloszlása azonos.
A sztochasztikus konvergencia de níciójában szerepl®
P (|ξ n − ξ| > ε) egyenl®tlenség csak az eloszlástól függ,
ezért a kalap nélküli változók szto-
chasztikus konvergenciája implikálja a kalapos változók sztochasztikus konvergenciáját. 3. Legyen
(Y, wY )
egy másik megoldás. Tekintsük az
Ω = R × R × C (R+ ) × C (R+ ) × C (R+ ) × C (R+ ) téren az
(X (0) , Y (0) , X − X (0) , Y − Y (0) , wX , wY ) eloszlását. Jelölje
g (B | x) az X (0) kezdeti értékhez, vagyis az Ω szorzat els® komponensé-
hez tartozó regresszív feltételes valószín¶séget. A feltételes valószín¶ség de níciója alapján
X (0) képterének minden C Borel-halmazára Z Z P (B ∩ {X (0) ∈ C}) = g (B | x) dF (x) = χC g (B | x) dF (x) =
a szorzattér minden
B
Borel-halmazára és az
C
R
= E (χC (X (0)) g (B | X (0))) . ahol
F (x) a kezdeti érték eloszlásfüggvénye és P
az
Ω téren bevezetett eloszlás.
A transz-
formált valószín¶ségi változók várható értékének képletéb®l, felhasználva, hogy az az
Y (0)
X (0) és
eloszlása megegyezik evidens, hogy
Z E (χC (X (0)) g (B | X (0))) =
g (B | x) dF (x) = E (χC (Y (0)) g (B | Y (0))) . C
Ha most
B
X − X (0) , Y − Y (0) komponensekhez tartozó Borel-mérhet® P (B | X (0) = x) és a P (B | Y (0) = y) regresszív feltételes valószín¶sé-
valamilyen az
halmaz, akkor a
gek nullmérték¶ halmaztól eltekintve azonosak. Hasonló gondolatmenet érvényes az utolsó két komponens, vagyis a
wX
és a
wY
esetén is.
4. Végezetül vezessük be az ismételten
Ω-val
jelölt
Ω $ R × C (R+ ) × C (R+ ) × C (R+ )
szorzatot és tekintsük rajta az
(X (0) , X − X (0) , Y − Y (0) , wX ) eloszlását.
Vegyük észre, hogy az els® és az utolsó komponensek esetén az
X
eloszlását
használtuk, amely csak azért nem jelent problémát mert az el®z® pontban beláttuk, hogy a szorzaton generált mérték azonos az
(Y (0) , X − X (0) , Y − Y (0) , wY ) eloszlásával. Az
X
és az
Y
megoldásokhoz hozzárendeljük az
b $u+x X
Yb $ u + y közös u mel-
és az
folyamatokat, amelyek a kezdeti feltételek eloszlásának azonossága miatt a
letti megoldásai a sztochasztikus dierenciálegyenletnek. Az er®s megoldás egyértelm¶sége
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
145
b = Yb . De az X b eloszlása megegyezik az X X megegyezik az Y eloszlásával. Következésképpen az X
miatt majdnem minden kimenetelre sával az
Yb
eloszlása pedig
eloszláés az
Y
eloszlása azonos.
2 A tétel bizonyításában követett gondolatmenet átvezet a megoldás létezésének vizsgálatához. Gyakran szokás hivatkozni a következ® észrevételre:
3.97 Következmény. (Egyértelm¶ trajektóriák és gyenge megoldás) Ha valamely sztochasztikus dierenciálegyenletnek van gyenge megoldása és teljesül az er®s megoldás egyértelm¶ségének feltétele, akkor az egyenlet er®s értelemben is megoldható.
Bizonyítás:
A gyenge megoldás létezése és az er®s megoldás egyértelm¶sége miatt az
Ω $ R × C (R+ ) × C (R+ ) A $ B (R) × B (C (R+ )) × B (C (R+ )) = B (R × C (R+ ) × C (R+ )) P -vel jelölt egyértelm¶ eloszlása. Mivel az Ω egy teljes szeparábilis metrikus tér, ezért a P -nek van a harmadik komponens szerint vett reguláris feltétles valószín¶sége, vagyis minden w ∈ C (R+ ) esetén
mérhet® téren de niálható a sztochasztikus dierenciegyenlet
de niálható a
P (A | W = w) $ P (A, w) ,
A∈A
mérték, amely éppen a harmadik komponens, a Wiener-folyamat, által de niált
σ -algebra
szerinti feltételes valószín¶ség regressziós függvénye. Az egyszer¶bb jelölés céljából, ha a
C (R+ )
egy részhalmazára hivatkozunk, akkor azt azonosítjuk az általa generált cilinder-
halmazzal. Az el®z® tétel bizonyítása alapján ha tekintjük a
(P (f ∈ A, w) × P (g ∈ B, w)) · dW $ $ Q ((f, g) ∈ A × B | W = w) · dW A, B ∈ B (C (R+ )) , akkor egyértelm¶sége miatt a Q mérték a
szorzatmértéket, ahol megoldás
de nálhatunk két megoldást és az er®s
∆ $ R× {f × f | f ∈ C (R+ )} × C (R+ ) halmazra koncentrálódik. Rögzítsünk egy
w
értéket.
P (A, w) = P (A, w) · P (C (R+ ) , w) = Q (A × C (R+ ) , w) = Q (A × C (R+ ) ∩ ∆, w) = = Q (A × A, w) = P 2 (A, w) , P (A, w) tetsz®leges A esetén vagy nulla, vagy egy. Mivel a C (R+ ) egy szeparábilis metrikus tér a C (R+ ) felírható megszámlálható, diszjunkt zárt gömb egyesítéseként. A C (R+ ) tetsz®leges zárt gömbökb®l álló partíciójában pontosan egy gömb valószín¶sége
amib®l
lehet nulla, így ha a partíciókat minden határon túl nomítjuk, akkor, felhasználva, hogy a
C (R+ )
teljes, az egy valószín¶ség¶ gömbök egyetlen
f (w)-vel
jelölt pontra húzódnak.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Az így kapott
w 7→ f (w)
146
C (R+ ) teret a C (R+ ) B ∈ B (C (R+ )) halmaz esetén
leképezés a
leképezés ugyanis tetsz®leges
térre képez® Borel mérhet®
{w | f (w) ∈ B} = P (B, w) = 1 amely a
w
Borel-mérhet® függvénye.
P ({f (w)} , w) = 1,
következésképpen az
X (t, ω) = X (t, (λ, f, w)) = λ + f (w) (t) megoldása az egyenletnek ugyanis a konstrukció miatt az egyenlet megoldása a
λ+f
(λ, f, w) 7→
λ + f (w) leképezéssel. e (t, ω) $ f (w Legyen most w e egy tetsz®leges Wiener-folyamat és legyen X e (ω)) (t) , ahol e w e (ω) az ω kimenetelhez tartozó trajektóriája a w e-nak. Az X egy összetett leképezés, amely során a bels® függvény a Wiener-folyamat által megvalósított w : Ω → C (R+ ) leképezés a küls® függvény pedig az f : C (R+ ) → C (R+ ) Borel-mérhet® leképezés. Az adaptált e mérhet® marad, ezért az X e adaptált folyamatok által generált σ -algebrára nézve az X projekció és ez egy valószín¶séggel megegyezik a
marad. Legyen
Zen $
X (n) X (n) (n) (n) e s(n) e s(n) = ∆ w e sk σ s , X ∆s + b sk−1 , X k−1 k−1 k k−1
k k X (n) X (n) (n) (n) (n) (n) e sk σ sk−1 , f (w) e sk−1 ∆w b sk−1 , f (w) e sk−1 ∆sk + = k
k A
Zen
eloszlása megegyezik a
Zn $
X (n) X (n) (n) (n) (n) (n) σ sk−1 , f (w) sk−1 ∆w sk b sk−1 , f (w) sk−1 ∆sk + k
k eloszlásával, így
e X
az egyenlet
megoldása az egyenletnek.
w e-hoz
tartozó megoldása, ugyanis az
X − X (0) = f (w) 2
3.5.2.
Er®s megoldás létezése
Az er®s megoldások létezését a következ® tétel garantálja:
3.98 Tétel. (Er®s megoldás létezése) Tegyük fel, hogy a
b (t, x)
és a
σ (t, x)
függvények folytonosak és
|b (t, x) − b (t, y)| + |σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ K · |x − y| és
|b (t, x)|2 + |σ (t, x)|2 ≤ K 2 1 + x2 . Ha
ξ ∈ L2 (Ω, F0 ) ,
akkor az
X (0) = ξ
(3.27) egyenletnek van, mégpedig egyetlen
kezdeti feltétel mellett az alpont elején de niált
X
megoldása.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Bizonyítás:
147
A tétel feltételei mellett a megoldás egyértelm¶.
A megoldás létezését a
közönséges dierenciálegyenletekhez hasonlóan egy alkalmasan választott metrikus térben de niált iteráció határértékeként de niáljuk. Kézenfekv® módon legyen
t
Z Xk+1 (t) $ X0 +
Z b (s, Xk (s)) ds +
0 Minden lépésben az
Xk
és
t
σ (s, Xk (s)) dw (s) . 0
folyamatok folytonosak, következésképpen az integrandusok is
folytonosak, így az iteráció korlátlanul folytatható. Triviálisan minden
ξ.
X0 $ ξ
k
indexre
Xk (0) =
Mivel a trajektóriák folytonosak, ezért a trajektóriák körében a természetes metrika a
kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia. Így a folyamatok között a természetes metrika a kompakt id®tartományokon a sztochasztikus konvergenciában való egyenletes konvergencia.Tegyük fel, hogy van olyan
Xk → X ,
vagyis minden
X
folyamat, hogy a megadott konvergenciában
ε > 0 esetén P sup |Xk (s) − X (s)| > ε → 0. 0≤s≤T
A sztochasztikusan konvergens sorozatoknak van majdnem mindenhol konvergens részsorozata, így egy részsorozatra az tartanak az
X
Xk
trajektóriái majdnem minden kimenetelre egyenletesen
trajektóriáihoz, így az
X
majdnem minden kimenetelre folytonos. A feltétel
szerint
|b (s, Xk (s)) − b (s, X (s))| ≤ K · |Xk (s) − X (s)| , így ha
|b (s, Xk (s)) − b (s, X (s))| > ε, akkor
|Xk (s) − X (s)| > ε/K következésképpen
P sup |b (s, Xk (s)) − b (s, X (s))| > ε ≤ 0≤s≤T ε → 0. ≤ P sup |Xk (s) − X (s)| > K 0≤s≤T Hasonló igaz a második integrátorra.
Mivel a sztochasztikus és a közönséges integrálás
véges id®tartományon felcserélhet® a sztochasztikusan egyenletes konvergenciával, ezért
X (t) $
lim Xk (t) = Z t Z t = ξ + lim b (s, Xk (s)) ds + lim σ (s, Xk (s)) dw (s) = k→∞ 0 k→∞ 0 Z t Z t = ξ+ b (s, X (s)) ds + σ (s, X (s)) dw (s) , k→∞
0
0
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
vagyis az
X
148
megoldása az egyenletnek.
Rögzítsünk egy
T < ∞
számot és mutassuk meg az iteráció konvergenciáját a
[0, T ]
szakaszon. A konvergencia igazolásához a sztochasztikus konvergenciához képest egy valamivel er®sebb konvergencia fogalmat választunk, nevezetesen az
s 2 kXkT $ E max X (s) 0≤s≤T
normát. Miként könnyen látható, ha
X
a
[0, T ]
szakaszon értelmezett folytonos, adaptált
(X , k·kT ) Banach-tér. Banach-tér a konvergencia teljesüléséhez elég belátni, hogy az
folyamatok ekvivalencia osztályainak tere, akkor az Mivel az
X
(Xk ) Cauchy-
sorozat. Az egyértelm¶ség igazolásakor már bemutatott (3.31) becslés értelemszer¶ módosításával
u
Z E
b (s, Xk (s)) ds −
max
0≤u≤T
0 u
max
0≤u≤T
2 ! |b (s, Xk (s)) − b (s, Xk−1 (s))| ds ≤
0
Z
≤ K2 · E 2
≤
b (s, Xk−1 (s)) ds 0
Z ≤E
2 !
u
Z
|Xk (s) − Xk−1 (s)| ds
max
0≤u≤T
≤
0
≤K ·E
2 !
u
Z
u
(Xk (s) − Xk−1 (s)) ds ≤ 2
max u · 0 Z T ≤ K 2T E (Xk (s) − Xk−1 (s))2 ds. 0≤u≤T
0 Hasonlóan, szintén a már látott becslés értelemszer¶ módosításával a sztochasztikus integrálokra vonatkozó (3.15) BurkholderDavisGundy egyenl®tlenség felhasználásával
E
Z
u
Z σ (s, Xk (s)) dw (s) −
max
0≤u≤T
0
=E
2 !
u
σ (s, Xk−1 (s)) dw (s) 0
u
Z max
0≤u≤T
2 ! σ (s, Xk (s)) − σ (s, Xk−1 (s)) dw (s) ≤
0
Z
T
≤4·E (σ (s, Xk (s)) − σ (s, Xk−1 (s))) ds ≤ 0 Z T 2 2 ≤4·K ·E (Xk (s) − Xk−1 (s)) ds . 2
0
=
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Mivel
(a + b)2 ≤ 2 (a2 + b2 ) , kXk+1 −
L
ezért alkalmas
149
konstansra
Xk k2T
2
max (Xk+1 (s) − Xk (s))
$ E
≤
0≤t≤T T
Z
E (Xk (s) − Xk−1 (s))2 ds ≤ 2 E max (Xk (t) − Xk−1 (t)) ds =
≤ L 0 T
Z ≤ L
0≤t≤s
0 T
Z
kXk − Xk−1 k2s ds.
= L 0 Az egyenl®tlenséget iteratíve használva
kXk+1 −
Xk k2T
≤L
k
T
Z
t1
Z 0
0
Z
t2
0
. . . kX1 − X0 k2tk dtk . . . dt2 dt1 .
A kvadratikus növekedésre vonatkozó második feltétel és a feltételezett
ξ ∈ L2 (Ω)
miatt
ismételten a már bemutatott gondolatmenet alapján
kX1 −
X0 k2T
u
Z
max
≤
0
0 u
= 2 !
σ (s, ξ) dw (s)
b (s, ξ) ds +
0≤u≤T
0≤u≤T
0≤u≤T
u
max
Z ≤2·E
max (X1 (u) − X0 (u))
$E
Z =E
2
2 Z b (s, ξ) ds + max 0≤u≤T
0 T
u
2 ! σ (s, ξ) dw (s) ≤
0 T
b (s, ξ) ds + 4 · σ (s, ξ) ds ≤ 0 0 Z T 2 2 ≤A·E b (s, ξ) + σ (s, ξ) ds ≤ 0 Z T 2 2 ≤A·E K 1 + ξ ds < ∞.
Z ≤2·E T
Z
2
2
0 A többszörös integrált indukcióval egyszer¶en kiszámolhatjuk. Ha Ha
k = 2,
k = 1, akkor
akkor
Z
T
Z
t1
Z dt2 dt1 =
0
0
T
t1 dt1 = 0
illetve általában teljes indukcióval az integrál értéke
T2 , 2
T k /k!.
kXk+1 − Xk k2 ≤ kX1 − X0 k2
Ebb®l
(LT )k , k!
RT 0
dt1 = T .
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
így a Weierstrass-kritérium alapján az
(Xk )
150
Cauchy-sorozat, következésképpen az
(Xk )
sorozat konvergens.
2 1. A feltétel szerint a a
ξ
ξ
változó független a
mérhet® az
w
F0 -ra nézve.
Ilyenkor, mivel a
Wiener-folyamattól. A
(Xk )
többször felhasználtuk, hogy az
w független növekmény¶,
ξ F0 -mérhet®ségét
kihasználtuk, ugyanis
sorozat elemei adaptáltak arra a ltrációra nézve,
w Wiener-folyamat. Természetesen ha a ξ nem mérhet® az F0 -ra nézve, F -mérhet® megoldás nem is létezik. Ugyanakkor a ltráció meghatározásában szabadságunk van és mindaddig b®víthetjük a ltrációt, amíg a w Wiener-folyamat marad a kib®vített ltrációra nézve. Ha például a ξ független a w -t®l, akkor a ξ és a w által generált ltrációra nézve a w Wiener-folyamat marad, így általában elég feltenni, hogy a ξ független a w -t®l és elegend® a ltrációt a σ (ξ)-vel b®víteni. Ilyenkor persze az X megoldás az új amelyre nézve a akkor
kib®vített ltrációra lesz csak adaptált. 2.
Id®nként a tételben a kvadratikus növekedés feltétele helyett a
|b (t, x)| + |σ (t, x)| ≤ K (1 + |x|) lineáris növekedés feltételét szokás megadni. Mivel
q 1 |b (t, x)| + |σ (t, x)| ≤ |b (t, x)|2 + |σ (t, x)|2 ≤ 2 √ ≤ K 1 + x2 ≤ K (1 + |x|) , illetve, ha
|b (t, x)| + |σ (t, x)| ≤ K (1 + |x|) , akkor
|b (t, x)|2 + |σ (t, x)|2 ≤ (|b (t, x)| + |σ (t, x)|)2 ≤ ≤ K 2 (1 + |x|)2 = = K 2 1 + |x|2 + 2 |x| ≤ ≤ K 2 1 + |x|2 + K 2 1 + |x|2 , vagyis a két megkötés ekvivalens. 3. Vegyük észre, hogy a kvadratikus növekedés feltételét csak az
Z E
T 2
2
b (s, ξ) + σ (s, ξ) ds
<∞
0 becslésnél használtuk ki.
σ
és a
b
Világos, hogy ha
ξ = x
konstans, akkor ez biztosan teljesül a
feltételezett folytonossága miatt, és ilyenkor
nincsen szükség.
a kvadratikus növekedés feltételére
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
3.5.3.
151
A martingálprobléma
A következ®kben a gyenge megoldások létezését próbáljuk meg igazolni. Els® lépésként az úgynevezett martingálproblémát de niáljuk.
A sztochasztikus dierenciálegyenlet együtt-
hatóihoz rendeljük hozzá az
(Af ) (t, x) $
∂f ∂ 1 ∂2 (t, x) + b (t, x) f (t, x) + σ 2 (t, x) 2 f (t, x) ∂t ∂x 2 ∂x
(3.33)
A értelmezési tartománya legyen az olyan f (t, x) függvények halmaza, amelyek a t szerint folytonosan deriválhatóak az x szerint pedig kétszer folytonosan 1,2 deriválhatóak. A függvényosztály szokásos jelölése C .
dierenciáloperátort. Az
3.99 Lemma. X a dX = b · dt + σ · dw sztochasztikus dierenciálegyenlet egy gyenge megoldása. f (t, x) függvény az A operátor imént bevezetett C 1,2 értelmezési tartományának egy
Legyen Ha az
eleme, akkor az t
Z
f
M (t) $ f (t, X (t)) − f (0, X (0)) −
(Af ) (s, X (s)) ds 0
egy folytonos lokális martingál.
Ha az
f
kompakt tartójú, akkor az
Mf
minden véges
intervallumon négyzetesen integrálható martingál. A lokális martingál, illetve a martingál tulajdonság természetesen a gyenge megoldás által meghatározott sztochasztikus alaptéren értend®.
Bizonyítás:
Mivel az
X
egy gyenge megoldás, ezért egy alkalmas
t
Z
Wiener-folyamattal
t
Z
σ (s, X (s)) dw (s) .
b (s, X (s)) ds +
X (t) = X (0) +
w
0
0 Az Itô-formula szerint
Z t ∂f ∂f (s, X (s)) ds + (s, X (s)) dX (s) + f (t, X (t)) − f (0, X (0)) = 0 ∂x 0 ∂t Z 1 t ∂ 2f + (s, X (s)) d [X] (s) . 2 0 ∂x2 Z
Az
X
t
kvadratikus variációja az els® tag véges változásúsága és a polaritási szabály miatt
Z [X] (s) =
s
Z
2
σ (u, X (u)) d [w] (u) = 0
s
σ 2 (u, X (u)) du.
0
Az asszociativitási szabály alapján egyszer¶ behelyettesítéssel
f
Z
M (t) = 0
t
∂f (s, X (s)) σ (s, X (s)) dw (s) . ∂x
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
152
Mivel a lokális martingálok szerinti sztochasztikus integrálok lokális martingálok, ezért a lemma els® fele evidens. Tegyük fel, hogy az
f
kompakt tartójú, és legyen
K
az
f
tartója.
Akkor az integrandus nulla a
∂f (s, X (s)) σ (s, X (s)) χ ((s, X (s)) ∈ K) ∂x halmazon kívül. A
∂f /∂x
derivált és a
σ
folytonos függvények, ezért a
∂f /∂x (K) σ (K)
halmaz korlátos, következésképpen az integrandus korlátos. Így a martingál kritérium f miatt az M minden véges szakaszon négyzetesen integrálható martingál.
2
3.100 Lemma. Legyen
X
σ (t, x)
folytonos függvényekkel de niált A operátorra tetsz®leges az operátor értelmezési f ∈ C 1,2 esetén az M f lokális martingál. Akkor az X a
egy folytonos sztochasztikus folyamat és tegyük fel, hogy valamilyen
b (t, x)
és
tartományába es®, vagyis minden
dX (t) = b (t, X (t)) dt + σ (t, X (t)) dw (t) sztochasztikus dierenciálegyenlet gyenge megoldása. A gyenge megoldásban szerepl® Wienerfolyamat konstruálásához esetlegesen ki kell b®víteni az alapul vett sztochasztikus alapteret.
Bizonyítás:
Az állítás igazolásához elég feltenni, hogy az f függvényekkel az M lokális martingál. Legyen f (t, x) = Rt b (s, X (s)) ds jelölést, akkor a feltétel alapján az 0
f (t, x) = x és az f (t, x) = x2 x. Ha bevezetjük a B (t) $
t
Z X (t) − X (0) −
b (s, X (s)) ds = (X − B) (t) − (X − B) (0) 0
lokális martingál. Számoljuk ki a kvadratikus variációját! Ehhez használjuk fel az x2 függvényt. A feltétel miatt az
2
Z
2
t
Z
f (x) =
t
X (s) b (s, X (s)) ds − σ 2 (s, X (s)) ds = 0 Z t Z t0 = X 2 (t) − X 2 (0) − 2 X (s) dB (s) − σ 2 (s, X (s)) ds
X (t) − X (0) − 2
0
0
szintén lokális martingál. A parciális integrálás formulája szerint
Z
t
Z
t
XdB = (XB) (t) − 0 ugyanis mivel a
B
BdX 0
véges változású a keresztvariáció nulla.
szerint
2
Z
B (t) = 2
t
BdB, 0
Ugyanakkor az Itô-formula
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
153
ugyanis ismételten a kvadratikus variáció nulla. Ezeket visszaírva, és ismételten a parciális integrálás formuláját használva
t
Z
Z
t
BdX − σ 2 (s, X (s)) ds = 0 0 Z t Z t 2 2 2 = (X − B) (t) − (X (0) − B (0)) − B + 2 BdX − σ 2 (s, X (s)) ds = 2
2
X (t) − X (0) − 2 (XB) (t) + 2
0
0
= (X − B)2 (t) − (X (0) − B (0))2 − B 2 + Z t Z t Z t +2 BdB + 2 Bd (X − B) − σ 2 (s, X (s)) ds = 0 0 0 Z t Z t 2 2 σ 2 (s, X (s)) ds. Bd (X − B) − = (X − B) (t) − (X (0) − B (0)) + 2 0
0 Mivel az
X −B
Rt
lokális martingál, ezért az
0
Bd (X − B)
zésképpen az
2
Z
2
(X − B) (t) − (X (0) − B (0)) −
is lokális martingál. Követke-
t
σ 2 (s, X (s)) ds
0 is lokális martingál.
A kvadratikus variáció jellemzése alapján az
variációja éppen
Z [X − B] (t) =
X −B
kvadratikus
t
σ 2 (s, X (s)) ds.
0 Ha
σ (s, X (s)) 6= 0,
akkor de niálhatjuk a
Z
t
w (t) $ 0
1 d (X − B) (s) σ (s, X (s))
lokális martingált. Mivel a polaritási és asszociativitási szabály miatt
t
Z [w] (t) = 0
t
Z
1 d [X − B] (s) = (s, X (s)) 1 σ (s, X (s))2 ds = t, 2 σ (s, X (s)) σ2
= 0
ezért a Lévy-féle karakterizációs tétel alapján a
Z
t
Z
w
Wiener folyamat és
t
1 d (X − B) (s) = σ (s, X (s)) 0 = (X − B) (t) − (X − B) (0) ,
σ (s, X (s)) dw (s) = 0
σ (s, X (s))
amit átrendezve
Z
t
X (t) − X (0) = B (t) + σ (s, X (s)) dw (s) = 0 Z t Z t = b (t, X (s)) ds + σ (s, X (s)) dw (s) , 0
0
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
X
vagyis az
154
gyenge megoldása az egyenletnek. Ha azonban a
nem akarunk élni, akkor az alapteret ki kell b®víteni.
Az
X
σ (s, X (s)) 6= 0
feltétellel
folyamatot hordozó alap-
tér mellett tekintsünk egy tetsz®leges másik valószín¶ségi mez®t, amelyen értelmezve van egy
w e
Wiener-folyamat. Például tekinthetjük a nullából induló folytonos függvények te-
rét a Wiener-mértékkel.
Kib®vített valószín¶ségi mez®nek de niáljuk az alaptér és a
folyamatot hordozó tér szorzatát. Az egyszer¶bb jelölés céljából legyen
t
Z w b (t) $
0
+ 0
w b
Legyen továbbá
1 χ (σ (s, X (s)) 6= 0) dL (s) + σ (s, X (s))
Z
Számoljuk ki a
L $ X − B.
w e
t
χ (σ (s, X (s)) = 0) dw e (s) .
kvadratikus variációját. Az összeg kvadratikus variációja és a polaritási
formula alkalmazásával
Z [w] b (t) =
t
1 2 χ (σ (s, X (s)) 6= 0) d [L] (s) + 0 σ (s, X (s)) Z t χ (σ (s, X (s)) = 0) d [w] e (s) + + 0
Z
t
1 +2 χ (σ (s, X (s)) 6= 0) χ (σ (s, X (s)) = 0) d [L, w] e (s) = 0 σ (s, X (s)) Z t 1 2 = 2 χ (σ (s, X (s)) 6= 0) σ (s, X (s)) ds+ 0 σ (s, X (s)) Z t + χ (σ (s, X (s)) = 0) ds = 0 Z t Z t = χ (σ (s, X (s)) 6= 0) ds + χ (σ (s, X (s)) = 0) ds = t. 0
0
Vagyis a Lévy-féle karakterizációs tétel miatt a hogy
Z
t
w b
ismét Wiener-folyamat. Vegyük észre,
Z t σ 2 (s, X (s)) χ (σ (s, X (s)) = 0) ds = 0 χ (σ (s, X (s)) = 0) dL (s) =
0
0
következésképpen
Z
t
χ (σ (s, X (s)) = 0) dL (s) = 0. 0
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
w b
Ebb®l a
Z
t
0
155
de nícióját beírva, az asszociativitási szabály alapján
Z
t
1 σ (s, X (s)) σ (s, X (s)) dw b (s) = χ (σ (s, X (s)) 6= 0) dL (s) + σ (s, X (s)) 0 Z t + σ (s, X (s)) χ (σ (s, X (s)) = 0) dw e (s) = 0 Z t = χ (σ (s, X (s)) 6= 0) dL (s) = 0 Z t Z t = χ (σ (s, X (s)) 6= 0) dL (s) + χ (σ (s, X (s)) = 0) dL (s) 0 0 Z t 1dL = L (t) − L (0) . = 0
Az
L$X −B
jelölést visszaírva
Z 0
t
Z σ (s, X (s)) dw b (s) = X (t) − X (0) −
t
b (s, X (s)) ds, 0
amit átrendezve
Z X (t) − X (0) =
t
Z b (s, X (s)) ds + 0
0 így az
X
t
σ (s, X (s)) dw b (s) ,
valóban gyenge megoldása az egyenletnek.
2 A gyelmes olvasó azonnal észrevette, hogy a
σ (s, X (s)) = 0
esetben a sztochasztikus
integrálok integrandusai nem balról folytonos függvények. Az ebb®l ered® problémákat a következ® pontban a sztochasztikus integrálás kiterjesztésével fogjuk orvosolni.
3.101 Lemma. Az el®z® állításban elegend® feltenni, hogy minden kompakt tartójú kétszer folytonosan f deriválható f (x) esetén az M martingál.
Bizonyítás:
Tekintsük a
τ n $ inf {t | |X (t)| ≥ n} szintátlépési id®ket. Legyen
gn
egy olyan kompakt tartójú, kétszer deriválható függvény 2 amely a [−n, n] szakaszon éppen egy. Ekkor ha f (x) = x, vagy f (x) = x , akkor az f gn f gn szorzathoz tartozó M lokális martingál valódi martingál, ugyanis az f gn kompakt f gn tartójú. Ugyanakkor az M (t) − M f gn (0) martingált megállítva a τ n pontban
Z f gn (X (τ n ∧ t)) −
τ n ∧t
Z Af gn (X (s)) ds = f (X (τ n ∧ t)) −
0 egy martingál. Következésképpen az
τ n ∧t
Af (X (s)) ds 0
Mf
lokális martingál.
2
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
156
3.102 De níció. X folyamatra tetsz®leges f (t, x) kompakt tartójú, a t szerint folytonosan deriválx szerint kétszer folytonosan deriválható függvényre az M f martingál, akkor azt mondjuk, hogy az X megoldása a martingálproblémának.
Ha egy
ható, az
3.103 Példa. Wiener-folyamat és a tükrözött Wiener-folyamat mint sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása. Ha a sztochasztikus dierenciálegyenlet az
A
b és σ paraméterei nem függnek az id®t®l, akkor
operátor helyettesíthet® az
1 2 d2 d (Af ) (x) $ b (x) f (x) + σ (x) 2 f (x) dx 2 dx másodrend¶, lineáris dierenciáloperátorral.
Ezek közül a legegyszer¶bb a
b = 0, σ =
1
eset, amelyhez tartozó megoldások értelemszer¶en a különböz® pontokból elindított 2 Wiener-folyamatok. Például ha f (x) = x , akkor
f
2
Z
2
t
1ds = w2 (t) − t,
M (t) $ w (t) − w (0) − 0 amely lokális martingál. Ha
f (x) = x,
akkor
Z
f
M (t) $ w (t) − w (0) −
t
0ds = w (t) , 0
amely szintén lokális martingál. Vegyük észre, hogy ha a
w helyébe a |w| tükrözött Wiener-
folyamatot írjuk, akkor az els® kifejezés továbbra is lokális martingál lesz, a második azon0 ban nem. Legyen f egy olyan kétszer folytonosan deriválható függvény, amelyre f (0) = 0. Ilyenkor a
g (x) $
f (x) f (−x)
ha ha
x≥0 x<0
szintén egy kétszer folytonosan deriválható függvény. A
g
szimmetriája miatt
1 t 00 f (|w| (t)) ds = M f (t) = f (|w| (t)) − f (|w| (0)) − 2 0 Z 1 t 00 = g (w (t)) − g (w (0)) − g (w (t)) ds, 2 0 Z
amely az Itô-formula miatt lokális martingál.
A
w és a |w| Markov-folyamatok, így, miként
alább látni fogjuk, de niálható a
E x (f (X (h))) − f (x) = h&0 h E x (f (X (h))) − E x (f (X (0))) = lim h&0 h
(Gf ) (x) $ lim
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
157
in nitezimális generátoruk. Érdemes felidézni, hogy Markov-folyamatok esetén minden x x esetén de nálható egy az x pontból egy valószín¶séggel elindított folyamat P eloszlása. x Az E az ehhez az eloszláshoz tartozó várható érték. A G operátor értelmezési tartománya értelemszer¶en azokból az
f
függvényekb®l áll, amelyekre a határérték az
den lehetséges indulóállapota esetén létezik és persze véges. Ha és
f
X
X
folyamat min-
egy Wiener-folyamat
egy kompakt tartójú, kétszer folytonosan deriválható függvény, akkor az imént elf kompakt tartójú ezért az M f valódi
mondottak alapján, felhasználva, hogy mivel az martingál
36
E x (f (w (h)) − f (w (0))) E x (f (w (h))) − f (x) = lim = (3.34) h&0 h&0 h h R Rh h E x M f (h) + 0 (Af ) (w (s)) ds E x 0 (Af ) (w (s)) ds = lim = lim = h&0 h&0 h h R ! h 00 R h 00 x f (w (s)) ds E f (w (s)) ds 0 1 1 x = lim = E lim 0 = h&0 2 h&0 h 2 h
(Gf ) (x) = lim
=
1 1 x 00 E (f (w (0))) = f 00 (x) , 2 2
ahol kihasználtuk, hogy mivel az
f 00
folytonos és kompakt tartójú, ezért korlátos, így a
várható érték alatti kifejezés is egyenletesen korlátos, így a határérték és a várható érték felcserélhet®.
Vagyis a Wiener-folyamatok, mint Markov-folyamatok, in nitezimális ge-
nerátorának értelmezési tartománya tartalmazza a kompakt tartójú, kétszer folytonosan 00 deriválható függvényeket, és ezen az osztályon a G éppen az f /2 operátor. Ha azonban + az X a tükrözött Wiener-folyamat, akkor az X értékkészlete az R , így az in nitezimális generátora is csak az
értelmezett függvényekb®l áll, de csak az olyan kétszer deri0 válható függvényeket tartalmazza, amelyekre f (0) = 0. Például, ha f ≥ 0, és az x = 0 egy
δ
R+ -on
sugarú környezetében
(Gf ) (0) $ = = ≥
f (x) = x,
akkor
37
2 Z 1 z E 0 (f (|w| (h))) − 0 = lim √ dz = lim f (|z|) exp − h&0 h 2πh R h&0 h 2h 2 Z ∞ 2 z lim √ f (z) exp − dz = h&0 h 2πh 0 2h 2 Z ∞ √ 2 u √ lim √ f hu exp − hdu ≥ h&0 h 2πh 0 2 2 Z δ/√h √ 2 u √ C lim √ hu exp − hdu ≥ lim √ → ∞. h&0 h 2πh 0 h&0 2 h
36 A Markov-folyamat de níciójával összhangban
w (t)
most az
x
pontból indított Wiener-folyamatot
jelöli.
37 Az
f természetesen nem kompakt tartójú, de a példa alapján könnyen csinálható olyan példa is, ahol f kompakt tartójú, illetve a számolás egyszer¶ módosításával belátható, hogy valahányszor f ∈ C 2 és f 0 (0) 6= 0, akkor a határérték nem létezik. az
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
158
Az elmondottak közvetlen általánosításával azonnal belátható, hogy ha egy sztochasztikus dierenciálegyenlet
b és σ paraméterei folytonosak és nem függnek a t-t®l, akkor a megoldá-
sokból készített homogén Markov-folyamatok in nitezimális generátora értelmezve van a kétszer folytonosan deriválható, kompakt tartójú függvények téren, ahol a generátor éppen az
dierenciáloperátor.
1 (Af ) (x) = b (x) f 0 (x) + σ (x) f 00 (x) 2 Ebb®l következ®en a |w| egyetlen ilyen típusú sztochasztikus dieren-
ciálegyenletnek sem lehet a megoldása. A sztochasztikus folyamatok elméletének terminológiája szerint a
|w|
tükrözött Wiener-folyamat folytonos diúzió, de nem Itô-diúzió.
2
3.5.4.
Gyenge megoldások létezése, Szkorohod tétele
A sztochasztikus dierenciálegyenletek elméletének egyik legszebb eredménye a következ®:
3.104 Tétel. (Szkorohod egzisztencia tétele) Ha a
b (t, x)
σ (t, x)
és a
vagyis alkalmas
L
függvények folytonosak és teljesül a lineáris növekedés feltétele,
konstanssal
|b (t, x)| + |σ (t, x)| ≤ L · (1 + |x|) , akkor a
dX (t) = b (t, X (t)) dt + σ (t, X (t)) dw (t) ,
X (0) = x
egyenletnek van gyenge megoldása, vagyis egy alkalmas valószín¶ségi mez®n az egyenletnek van olyan
X
megoldása, amelyre
X (0) = x.
A tétel bizonyításához szükségünk lesz néhány valószín¶ségszámításból ismert eredményre. Ezeket el®ször röviden ismertetjük. Az els® az ugyancsak Szkorohodtól származó reprezentációs tétel:
3.105 Állítás. (Szkorohod) Legyen
(X, d)
egy teljes szeparábilis metrikus tér, és legyen
(Pn )
az
(X, d)
Borel-halmazain
P valószín¶ségi mértékhez. Ekkor található olyan (Ω, A, P) valószín¶ségi mez® és az (Ω, A, P) téren értelmezett (X, d) érték¶ valószín¶ségi változók (ξ n ) sorozata, amelyre egyrészt a ξ n eloszlása éppen Pn , másrészt a ξ n majdnem minden kimenetelre tart egy ξ változóhoz, amely eloszlása éppen P . Vagyis egy teljes szeparábilis metrikus téren a valószín¶ségi mértékek gyenge értelmezett valószín¶ségi mértékek egy sorozata, amely gyengén tart egy
konvergenciája reprezentálható valószín¶ségi változók majdnem mindenhol való konvergenciájával. A másik állítás a Prohorovtól származó következ® kompaktsági feltétel:
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
159
3.106 Állítás. (Prohorov) (X, B (X)) téren értelmezett (Pn ) valószín¶ségi mértékeket szorosnak mondjuk, ha minden ε > 0 számhoz létezik Kε ⊆ X kompakt halmaz, hogy c minden n-re egyidejüleg Pn (K ) ≤ ε. Ha valamely (X, d) metrikus tér Borel-halmazain értelmezett (Pn ) sorozat szoros, akkor a sorozatnak létezik (Pnk ) gyengén konvergens rész(X, d)
Legyen
egy metrikus tér. Az
sorozata. Szkorohod egzisztencia tételének bizonyítása során Prohorov tételét a rikus téren akarjuk alkalmazni
38
C ([0, ∞))
met-
. A szorossági feltétel megtalálásához szükségünk lesz az
folytonos függvények terében a kompaktságot karakterizáló ArzelàAscolli tételre:
3.107 Állítás. (ArzelàAscolli) F
Legyen Az
F
valamely
[a, b]
kompakt szakaszon értelmezett folytonos függvények egy családja.
lezártja pontosan akkor kompakt az egyenletes konvergencia topológiában, ha az
pontonként korlátos és egyenl® mértékben egyenletesen folytonos, vagyis minden
{f (x) | f ∈ F} halmaz korlátos és bármilyen ε > 0 számhoz f ∈ F esetén |f (x) − f (y)| < ε valahányszor |x − y| < δ .
az
van olyan
δ,
x
F
pontban
hogy minden
Az ArzelàAscolli tétellel karakterizálhatjuk a folytonos függvények terén értelmezett szoros sorozatokat:
3.108 Állítás. (Pn )
Legyen
a
C ([0, ∞))
téren értelmezett valószín¶ségi mértékek egy családja.
A
(Pn )
halmaz pontosan akkor szoros, ha
lim sup Pn (|f (0)| > y) = 0
y%∞
és bármely
T
és
ε>0
n
esetén
lim sup Pn ({f | U (f, T, δ) > ε}) = 0,
δ&0
n
ahol
U (f, T, δ) $ max {|f (t) − f (s)| | 0 ≤ s ≤ t ≤ T, |t − s| < δ} az
f
függvény
Bizonyítás:
[0, T ]
szakaszon
δ -hoz
tartozó folytonossági modulusa.
Egy metrikus térben egy
K
halmaz pontosan akkor kompakt, ha minden a
halmazba es® sorozatnak van konvergens részsorozata. A níciója szerint ha egy sorozat konvergens, akkor a a sorozat egyenletesen konvergens. Ha most
38 Ha az
∞ X
1 2n
n=1 Ha az
X
(fn ) ⊆ K,
topológikus tér
supx∈Kn |f (x)| = X
∞ X
1 2n
[0, T ]
σ -kompakt, kf kC(Kn ) C (X)
minden kompakt részhalmazán
vagyis
K ⊆ C ([0, ∞))
alakú szakaszra való lesz¶kítése kom-
akkor a sorozat lesz¶kítése a
n=1 metrikus tér is, akkor a
topológiájának de -
Megfordítva tegyük fel, hogy egy
halmazba es® függvények összessége minden pakt.
[0, ∞)
C ([0, ∞))
X = ∪∞ n=1 Kn ,
egy kvázinorma és a
[0, 1] ahol
intervallumra rendelkezik
Kn
kompakt, akkor az
d (f, g) = kf − gk
teljes szeparábilis metrikus tér.
kf k =
egy teljes metrikus tér.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
egy konvergens részsorozattal, amit jelöljön
(1)
fn
160
.
Ezt követ®en az
(1) fn
lesz¶kítése a
[0, 2]
intervallumra szintén rendelkezik egy konvergens részsorozattal, stb. Könnyen lát (n) ható, hogy az fn úgynevezett diagonális sorozat, amely az (fn ) egy olyan részsorozata,
[0, ∞) minden kompakt szakaszán egyenletesen konvergens. Ebb®l következ®en a C ([0, ∞)) egy K részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha minden [0, T ] alakú szakaszra amely a
való lesz¶kítése kompakt. Tegyük fel el®ször, hogy a legyen
K
(Pn )
τ > 0 tetsz®leges, és Pn (K) > 1 − τ minden n-re. Ekkor a K
mértéksorozat szoros.
olyan kompakt halmaz, amelyre
Legyen
[0, T ] szakaszra való lesz¶kítése is kompakt. Ekkor az ArzelàAscolli tétel miatt {f (0) | f ∈ K} halmaz korlátos, így ha y elég nagy, akkor az {|f (0)| > y} halmaz nem eshet a K -ba, vagyis Pn (|f (0)| > y) < τ minden n-re, így az els® feltétel teljesül. Az tetsz®leges
az
egyenl® mértékben való egyenletes folytonosság felhasználásával hasonlóan igazolható a második feltétel is. A fordított irány igazolásához tegyük fel, hogy a két feltétel teljesül. Vegyünk egy
τ >0
szakaszt és egy
számot. Legyen
y>0
sup Pn (|f (0)| > y) ≤ n A
(δ k )
[0, T ]
olyan, amelyre
τ 2T +1
.
sorozatot válasszuk úgy, hogy
sup Pn n
1 f | U (f, T, δ k ) > k
≤
τ 2T +k+1
.
Legyen
1 KT $ f | |f (0)| ≤ y, U (f, T, δ k ) ≤ , k = 1, 2, . . . , k A
K
K $ ∩∞ T =1 KT .
halmaz zárt és
Pn (KT ) ≥ 1 − és
τ 2T +1
−
∞ X k=1
τ 2T +k+1
=1−
τ 2T
∞ X τ Pn (K) ≥ 1 − = 1 − τ. 2T T =1
Meg kell mutatni, hogy a
K
kompakt a
C ([0, ∞))
térben.
egyenl® mértékben való egyenletes folytonosság miatt minden
|f (t)| ≤ |f (0)| +
X
f (0) korlátossága f ∈ KT esetén
Az
és az
|f (tk ) − f (tk−1 )| ≤ |f (0)| + N ε ≤ L,
k vagyis a
KT
halmazba es® függvények családja minden pontban egyenletesen korlátos, így
KT C ([0, T ])
az ArzelàAscolli tétel miatt, a zárt, ezért a
KT
kompakt a
lezártja kompakt a
C ([0, T ]) K
térben, következésképpen a
térben.
KT C ([0, ∞))
Mivel a
kompakt a
térben.
2
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
161
3.109 Állítás. (Xn )
Legyen
valamely valószín¶ségi mez®n értelmezett folytonos sztochasztikus folyamatok
egy családja. Ha léteznek
α, β
és
γ
pozitív konstansok, amelyekre minden
n-re
E (|Xn (0)|γ ) ≤ M < ∞ és
E (|Xn (t) − Xn (s)|α ) ≤ MT |t − s|1+β , akkor az
(Xn )
Bizonyítás:
folyamatok eloszlásaiból álló
(Pn )
0 ≤ s ≤ t ≤ T,
sorozat szoros.
A Markov-egyenl®tlenség szerint minden
P (|Xn (0)| > y) ≤
n-re
M , yγ
y → ∞, akkor az el®z® állítás els® feltétele teljesül. Legyen ε és δ > 0 tetsz®leges. Az egyszer¶bb jelölés kedvéért
és így ha
egész szám. Ugyancsak a Markov-egyenl®tlenség szerint tetsz®leges
feltehetjük, hogy a
c
T
esetén
1+β i+1 i 1 1 > mc − Xn ≤ MT 2αmc = P Xn m m 2 2 2 2m = MT 2−m−m(β−cα) . [0, T ] szakaszban éppen T · 2m darab diadikus intervallum 1 i i + 1 > − Xn ≤ MT T · 2−m(β−cα) . P max Xn 0≤i≤2m T −1 2m 2m 2mc
Felhasználva, hogy a
Legyen
0 < cα < β ,
továbbá a
ν
van
legyen olyan, amelyre
1 + 2/ (2c − 1) <ε 2νc és
! ∞ X i 1 i + 1 Xn − X > ≤ M T P max 2−m(β−cα) < δ, n T m m mc 0≤i≤2m T −1 2 2 2 m=ν m=ν ∞ [
ahol
ε
és
δ
Ων jelöli a valószín¶ség mögötti halmazt, akkor értelemszer¶en P (Ων ) < δ és ha ω ∈ / Ων , akkor i + 1 i Xn ≤ 1 , m ≥ ν, i + 1 ≤ T. , ω − X , ω n 2mc 2m 2m 2m
a korábban rögzített konstansok. Ha
által kijelölt
egyesítés
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
162
[i/2ν , (i + 1) /2ν ) alakú j X ν intervallumba es® diadikus racionális számok felírhatók s = i/2 + dl /2ν+l alakba, ahol Jelölje
DT
a
[0, T ]
értelemszer¶en
szakaszba es® diadikus racionális számokat. Az
dl 0,
vagy
1.
Ha
ω∈ / Ων ,
akkor a
j
l=1 darab digitális jegyet közbeszúrva
j ∞ X 1 1 X 1 Xn (s) − Xn i ≤ ≤ νc = 2ν 2(ν+l)c 2 l=1 2lc l=1 1 1 2−c = νc c . νc −c 2 (1 − 2 ) 2 2 −1
= Legyenek
akkor a
ν
s, t ∈ DT .
i-re i−1 i t∈ , , 2ν 2ν
Ha most alkalmas
i i+1 s ∈ ν, ν 2 2
,
megválasztása miatt
i + |Xn (s) − Xn (t)| ≤ Xn (s) − Xn 2ν i i − 1 + Xn − X n 2ν 2ν i − 1 ≤ + Xn − X (t) n 2ν 1 1 1 1 1 + νc + νc c = ≤ νc c 2 2 − 1 2 2 2 − 1 1 2 = νc + 1 < ε. c 2 2 −1 Ha pedig
i i+1 t ∈ ν, ν 2 2 akkor, ismételten a
ν
,
i i+1 s ∈ ν, ν 2 2
,
megválasztása miatt
|Xn (s) − Xn (t)| ≤ i i Xn (s) − Xn + Xn − Xn (t) ≤ ν ν 2 2 ≤2 Ebb®l következ®en, ha
1 1 < ε. νc c 2 2 −1
ω∈ / Ων , s, t ∈ DT
és
|s − t| ≤ 1/2ν ,
|Xn (s) − Xn (t)| ≤ ε.
akkor
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
A
DT
163
[0, T ]-ben és mivel az Xn folytonos, ezért ha ω ∈ / Ων , akkor az 0 ≤ s ≤ t ≤ T esetén igaz. Ebb®l következ®en minden n-re P max −ν |Xn (s) − Xn (t)| > ε ≤ P (Ων ) < δ
s¶r¶ a
minden
egyenl®tlenség
s,t∈[0,T ],|s−t|<2
vagyis a második feltétel is teljesül.
2
3.110 Állítás. Szkorohod egzisztencia tétele teljesül, ha
Bizonyítás:
b
és
σ
korlátos.
Az állítás bizonyítását több lépésre bontjuk. Az állítás több dimenzióban
is érvényes, de a jelölés egyszer¶sége miatt csak az egydimenziós esetben mutatjuk meg. Az általános eset indoklása a bizonyítás egyszer¶ módosításával kapható. alapgondolata viszonylag egyszer¶: Els® lépésben a
(bn )
és
(σ n )
b
és
σ
A bizonyítás
függvényeket kicseréljük olyan
függvényekre amelyekre teljesül az er®s megoldás létezésér®l szóló tétel. Az
(Xn ) sorozatról belátjuk, az (Xn ) sorozat eloszlása-
így kapott egyenleteket megoldjuk, majd a megoldásokból kapott hogy kielégíti a Prohorov-tétel feltételeit, vagyis belátjuk, hogy
inak halmaza tartalmaz egy gyengén konvergáló részsorozatot. Szkorohod reprezentációs tétele miatt található olyan valószín¶ségi mez®, amely felett találhatók ték¶ valószín¶ségi változók, amelyek eloszlása megegyezik az majdnem minden kimenetelre az és a
(σ n )
függvények minden
tartanak a
b
és a
σ
t-re
en X az x
(Xn )
en X
függvényér-
eloszlásával, és amelyre
sorozat konvergál. A konstrukcióban szerepl®
(bn )
változó szerint a kompakt halmazokon egyenletesen
függvényekhez. Vegyük észre, hogy miként azt korábban már több-
ször használtuk az azonos eloszlás feltétele miatt az
en X
szintén gyenge megoldása a szto-
chasztikus dierenciálegyenletnek. Ennek oka az, hogy az egyenlet megoldása azt jelenti, hogy a folyamat két, a folyamattól függ®, szochasztikus integrál összege.
A sztochasz-
tikus integrálok az integrandusok folytonossága miatt a közelít® összegek sztochasztikus konvergenciában vett határértékei és mivel az eloszlások azonosak ezért a közelít® összegek eloszlása is azonos és közelít® összegek sztochasztikus konvergenciája, illetve az összegnek a folyamathoz való konvergenciája is egyszerre teljesül. Mivel az megoldásai a megfelel® egyenletnek, ezért kielégítik a ált
An f
bn
és a
en X
σn
sorozat tagjai gyenge
együtthatók által de ni-
operátorhoz tartozó martingál problémát, vagyis tetsz®leges
f
kompakt tartójú
függvény esetén az
Mnf
Z t en (t) − f 0, X en (0) − en (s) ds (t) $ f t, X (An f ) s, X
0 martingál.
Mivel
(An f ) (t, x)
t-re a b és a σ függvényekhez tartozó (Af ) (t, x) f (t, x) x-szerinti tartóján egyenletesen, ezért e e (An f ) s, Xn (s) → (Af ) s, X (s) .
függvényhez tart, mégpedig az
minden
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Mivel az
Mnf
164
egyenletesen korlátos, így a határérték a feltételes várható értékkel felcserél-
het®, ezért a határérték elvégzése után az
e X
függvényekkel, így az
e X
kielégíti a martingál problémát a
b
és a
σ
az eredeti egyenlet gyenge megoldása.
Most térjünk rá a bizonyítás egyes lépéseinek bemutatására.
g (x) ≥ 0
1. Legyen
[−1, 1]
olyan végtelen sokszor deriválható függvény, amely
tartója része a
szakasznak, és amely integrálja egy. A
Z
∞
σ (t, y) g (n (x − y)) dy = σ n (t, x) = n −∞ Z ∞ u = σ t, x − g (u) du = n −∞ Z 1 u σ t, x − = g (u) du n −1 t-re
az
x
az integráljel alatt. A
σn
függvények mindegyike korlátos és a közös korlátjuk megegyezik
függvény minden a
σ
szerint végtelen sokszor deriválható és a deriválás elvégezhet®
korlátjával. A σ korlátossága miatt Z ∞ Z ∞ ∂σ n (t, x) 0 2 ≤ n2 |g 0 (n (x − y))| dy = |σ (t, y) g (n (x − y))| dy ≤ L · n ∂x −∞ −∞ Z 1 Z ∞ 0 |g 0 (u)| du $ K. |g (u)| du = Ln = Ln
−1
−∞ ahol az
σ
L
a
σ
egy korlátja. Így a
K
Lipschitz-konstans választható a
|σ n (t, x) − σ (t, x)| ≤
u − σ (t, x) g (u) du → 0 σ t, x − n −1
x változó szerint kompakt halmazokon egyenletesen. bn (t, x) függvényeket. Legyen
M
t-re
1
az
2.
függetlenül. A
folytonos, így a kompakt halmazokon egyenletesen folytonos, ezért minden
Z
a
t-t®l
Hasonlóan eljárva konstruálhatjuk
olyan folytonos, korlátos martingál, amelyre
M (0) = 0.
Az Itô-formula
szerint
M 4 (t) = 4 · M 3 • M + 6 · M 2 • [M ] . Felhasználva, hogy az
M
M 3 • M sztochasztikus integrál martingál 2 2 M • [M ] (t) ≤ 6 · E sup M (s) · [M ] (t) ≤
korlátossága miatt az
E M 4 (t) = 6 · E 0≤s≤t v ! u 2 q u t E [M ]2 (t) = sup M 2 (s) ≤ 6 E 0≤s≤t
s q 4 = 6 E sup M (s) E [M ]2 (t) . 0≤s≤t
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Az
M2
165
nem negatív submartingál, így a Doob-egyenl®tlenség szerint
E
2 !
2
sup M (s)
= E
0≤s≤t
sup M (s) ≤ 4
0≤s≤t
2 2 ≤ · E M 4 (t) ≤ 2−1 s q E [M ]2 (t) ≤ 4 · 6 E sup M 4 (s)
0≤s≤t vagyis alkalmas
C
konstanssal
E
sup M (s) ≤ C · E [M ]2 (t) , 4
0≤s≤t ahol a
C
konstans független az
M -t®l.
Könnyen látható, hogy lokalizációval az egyenl®t-
39
lenség kiterjeszthet® tetsz®leges folytonos lokális martingálra
.
3. A sztochasztikus dierenciálegyenletek er®s megoldásáról szóló tétel alapján léteznek a
dXn (t) = b (t, Xn (t)) dt + σ n (t, Xn (t)) dw megoldások.
Az el®z® egyenl®tlenséget, valamint a
bn
és a
σn
egyenletes korlátosságát
felhasználva
E (Xn (t) − Xn (s))4 = 4 ! Z t Z t bn (u, Xn (u)) du + σ n (u, Xn (u)) dw ≤ =E s
Z ≤8·E
s
4 Z t 4 ! t σ n (u, Xn (u)) dw ≤ bn (u, Xn (u)) du +
s
s 4
≤ C · |t − s| . Mivel
Xn (0) = x,
ezért az
(Xn )
sorozat teljesíti a Prohorov-tétel feltételeit, így a bizo-
nyítás elején említett megfontolások miatt létez®
e X
gyenge megoldása a sztochasztikus
dierenciálegyenletnek.
2 A bizonyítás következ® lépéseként elhagyjuk a korlátosság feltételét és egyedül a a
σ
b
és
folytonosságát tesszük fel. Ilyenkor el®fordulhat, hogy a megoldás egy véges id®tar-
40
tományon végtelenhez tart
.
Ezt kezelend® de niáljuk a felrobbanó megoldás fogalmát:
39 Vegyük észre, hogy a belátott egyenl®tlenség az általános Burkholder-DavisGundy egyenl®tlenség,
p = 4,
egy speciális esetét igazoltuk. V.ö.: (3.16) sor, 97. oldal.
40 Gondoljuk például az
x0 = x2
közönséges dierenciálegyenletre.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 41
Tekintsük a fázistér, jelen esetben
az
R,
166
42
egy pont kompakti kációját
, és a fázistér ér-
ték¶ folytonos függvények helyett tekintsük azokat a kompakti kált térbe ható f folytonos 43 ∗ ∗ függvényeket , amelyekre ha f (t) = y , ahol y a kompakti káció során a fázistérhez hoz∗ závett pont, akkor minden s ≥ t esetén is f (s) = y . Másképpen fogalmazva a fázistérbe ható folytonos függvények helyett a lehetséges trajektóriák legyenek a kompakti kált térbe ható folytonos függvények családja, de a trajektóriákat megállítjuk a kompakti kációhoz ∗ 44 használt y pont e-vel jelölt elérési idejében .
3.111 De níció. Egy sztochasztikus dierenciálegyenlet felrobbanó megoldásán egy olyan
X
a kompakti kált
térbe ható, folytonos és adaptált folyamatot értünk, amelyre a sztochasztikus dierenciálegyenlethez tartozó (3.28) integrálegyenlet a
[0, e)
véletlen intervallum minden pontjában
teljesül. Érdemes hangsúlyozni, hogy ha
X
egy felrobbanó megoldása egy sztochasztikus die-
renciálegyenletnek, akkor a
τ n $ inf {t | |X (t)| ≥ n} y ∗ környezetei az {|x| > α} alakú halmazok és mivel az X folytonos, ezért az {|X (t, ω)| | t ≤ e (ω)} összefügg®, így τ n ≤ e. Ha e (ω) < ∞, akkor tetsz®leges ε > 0 esetén a [0, e (ω) − ε] szakasz kompakt, ezért az X (t, ω) trajektória ezen a szakaszon valós érték¶ és ezért a folytonosság miatt korlátos, így elég nagy n indexre τ n (ω) ≥ e (ω) − ε. Ha e (ω) = ∞, akkor az X (t, ω) az egész id®tengelyen valós érték¶, így a τ n % ∞, ugyanis, ha a (τ n (ω)) sorozat határértéke véges lenne, akkor ez ellentmondana annak, hogy az X (t, ω) valós érték¶ folytonos függvény. Megmutatjuk, hogy a τ n megállási id®. Vegyük észre, hogy a τ n egy zárt halmaz id®pontok megállási id®k, és
τ n % e.
Ennek igazolásához el®ször megjegyezzük, az
folytonos adaptált folyamat általi találati ideje, így a korábban bemutatott gondolatmenet egyszer¶en módosítható:
{τ n ≤ t} = {|X| ([0, t]) ∩ [0, n] 6= ∅} ugyanis a metszetben szerepl® két halmaz kompakt, így amennyiben nincs közös pontjuk a távolságuk pozitív. Ebb®l következ®en
{τ n > t} = {|X (r)| < n, r ∈ Q, r ≤ t} ∈ Ft . Következésképpen az
e
is megállási id®, ugyanis
{e ≤ t} = ∩n {τ n ≤ t} ∈ Ft . 41 A gondolatmenet minden további nélkül alkalmazható akkor is, ha a fázistér valamilyen véges dimenziós
R
d
tér.
42 A kompakti kált tér egy kompakt metrikus tér. 43 Egydimenziós fázistér esetén a kompakti kált térben való folytonosság azt jelenti, hogy a robbanás
id®pontja felé haladva a trajektória nem oszcillálhat a két,
44 e mint explosion, robbanás.
±∞,
végtelen között.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
167
3.112 Lemma. b (t, x) és a σ (t, x) folytonos függvények és teljesül a lineáris növekedési feltétel, illetve, ha a b és a σ folytonos és nem függenek a t-t®l, akkor a fenti (3.27) sztochasztikus Ha a
45 dierenciálegyenlet rendelkezik felrobbanó gyenge megoldással .
Bizonyítás:
Elegend® megmutatni, hogy alkalmas valószín¶ségi mez®n létezik olyan a
ρn jelöli és minden kétszer folytonosan
kompakti kált térbe ható folytonos, adaptált sztochasztikus folyamat, amelyre ha az
{|X| ≥ n}
halmaz találati idejét, akkor minden
deriválható, kompakt tartójú
f (x)
n-re
függvény esetén az
Z
t∧ρn
L (t ∧ ρn ) $ f (X (t ∧ ρn )) − f (X (0)) −
Af (X (s)) ds 0
martingál. Ebb®l következ®en az L a [0, lim ρn ) véletlen intervallumon lokális martingál. Ebb®l a már bemutatott módon belátható, hogy az egyenletnek az X gyenge megoldása a
[0, lim ρn ) = [0, e)
intervallumon. Legyen
p (t, x) $ 0 < p ≤ 1
1 . 1 + |b (t, x)| + |σ (t, x)|
és az σ e $ pσ függvények e a megfelel® dierenciáloperátor. Az el®z® állítás alapján van olyan A e amelyre az mez®, amelyen értelmezve van egy X, Z t e e (s) ds e (t) $ f X e (t) − f X e (0) − Af X (3.35) L
egy olyan folytonos függvény, amelyre a
korlátossak. valószín¶ségi
eb $ pb
Legyen
0
Rt R∞ e e martingál. Legyen Q (t) $ p s, X (s) ds, és legyen e $ Q (∞) = 0 p s, X (s) ds. 0 Mivel 0 < p ≤ 1 a Q minden t-re véges, illetve 0 < e ≤ ∞. Mivel p > 0 ezért a Q szigorúan monoton n®, és nyilván folytonos, így van folytonos inverze, amelyet jelöljön σ (t). A e σ (t) nyilván a [0, e) halmazon van értelmezve és limt%e σ (t) = ∞. Mivel a p és az X folytonosak, ezért a Q de níciójában szerepl® integrál tekinthet® Riemann-integrálnak, ezért az integrál a közelít® összegek határértéke, így a Q adaptált, következésképpen, mivel a σ (t) éppen azon els® id®pont, ahol a Q eléri a t szintet, a σ (t) minden t id®pontra megállási id®. Vezessük be a Gt $ Fσ(t) ltrációt és legyen e (σ (t)) ha t < e X . X (t) $ y∗ ha t ≥ e Alább egy külön lemmában belátjuk, hogy az leképezés.
X (t)
a kompakti kált térbe ható folytonos
Ha ezt már tudjuk, akkor már majdnem készen vagyunk.
Legyen
τn
az
e X
45 Kés®bb, Szkorohod tételének igazolásaként, megmutatjuk, hogy az els® esetben a megoldás nem robban fel.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
szintátlépési ideje.
168
A fenti (3.35) sorban de niált
e F -martingál. L
Ebb®l következ®en
e de níciója alapján A e = pA felhasználva, hogy az A Z t∧τ n τn e e e e e e (s) ds = L (t) = L (τ n ∧ t) = f X (t ∧ τ n ) − f X (0) − Af X 0 Z t∧τ n e (t ∧ τ n ) − f X e (s) (Af ) X e (0) − e (s) ds = f X p s, X 0
F -martingál.
megállított folyamat is miatt a
t 7→ σ (t)
Következésképpen a megállási opciókról szóló tétel
helyettesítéssel kapott
eτ n (σ (t)) = t 7→ L Z σ(t)∧τ n e e (s) (Af ) X e e (s) ds = f X (σ (t) ∧ τ n ) − f X (0) − p s, X 0
G -martingál.
Legyen
ρn
a bizonyítás elején bevezetett megállási id®, vagyis
ρn $ inf {t | |X (t)| ≥ n} . X
Vegyük észre, hogy az
τ n = σ (ρn ) ,
de níciója alapján
így
σ (t) ∧ τ n = σ (t) ∧ σ (τ n ) = σ (t ∧ ρn ) , Ebb®l
e (σ (t) ∧ τ n ) = X e (σ (t ∧ ρn )) $ X (t ∧ ρn ) . X Ugyanakkor
t
Z 0 így
s = σ (s)
1 dQ (s) = e p s, X (s)
Z 0
t
e (s) p s, X ds = t, e p s, X (s)
helyettesítéssel
Z
σ(t)
1 dQ (s) = e (s) p s, X
σ (t) = 0
Z = 0
t
Z 0
σ(Q(s))
1 dQ (σ (s)) = e (σ (s)) p σ (s) , X
1 ds, p (σ (s) , X (s))
következésképpen ismét
s = σ (s) helyettesítéssel Z σ(t∧ρn ) e (s) (Af ) X e (s) ds = p s, X 0
Z = 0
t∧ρn
e (σ (s)) dσ (s) = e (σ (s)) (Af ) X p σ (s) , X Z t∧ρn = (Af ) (X (s)) ds. 0
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Ebb®l az
eτ n
L
169
Z
t∧ρn
(σ (t)) = f (X (t ∧ ρn )) − f (X (0)) −
(Af ) (X (s)) ds 0
G -martingál,
amib®l az állítás már evidens.
2 Térjünk rá a lemmára:
3.113 Lemma. Ha valamely
ω
kimenetelre
e (ω) < ∞,
akkor a kompakti kált tér topológiájában
lim X (t, ω) = y ∗ . t%e(ω)
Bizonyítás: ∞,
Elegend® belátni,
ω -hoz
akkor az
R∞ e hogy ha egy ω kimenetelre e (ω) $ p s, X (s, ω) ds < 0
tartozó trajektórián
e (σ (t, ω) , ω) = lim X e (t, ω) = y ∗ . lim X (t, ω) = lim X
t%e(ω) Legyenek
0
t%∞
t%e(ω)
olyanok, hogy
e X (0) = |x| < z .
De niáljuk a megállási id®kb®l álló
következ® sorozatot:
n σ 1 $ 0, τ 1 $ inf t > σ 1 n o n e σ 2 $ inf t > τ 1 | X (t) < y , τ 2 $ inf t > σ 2 . . .
. . .
o e (t) > z , | X o e | X (t) > z ,
Egy adott kimenetelre három eset lehetséges: Van olyan n index, hogy τ n < ∞, és σ n+1 = ∞, vagy van olyan index, hogy σ n < ∞, de τ n = ∞, illetve, hogy minden n-re a σ n és a τ n véges. Megmutatjuk, hogy ha valamilyen y < z esetén az utóbbi két eset teljesül, akkor R∞ e p s, X (s) ds = ∞. 0 1.
σ n < ∞ és τ n = ∞, akkor erre a kimenetelre a t ≥ σ n b és a σ együtthatók függnek a t-t®l, akkor a feltételek szerint
Ha valamely kimenetelre
halmazon
e X (t) ≤ z .
Ha a
teljesül a lineáris növekedés feltétele, így
e (t) = p t, X = Ha a
b és a σ
1 1 ≥ e ≥ e (t) + σ t, X e (t) 1 + b t, X 1 + L 1 + X (t) 1 $ p∗ > 0. 1 + L (1 + z)
nem függ a t-t®l, akkor a
{|u| ≤ z} halmazon a folytonos |b| és |σ| rendelkezik
maximummal, így
e (t) = p X e (t) = p t, X
1 ≥ p∗ > 0, e e 1 + b X (t) + σ X (t)
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
így mind a két esetben
170
R∞ e (s) ds = ∞. p s, X 0
X Tekintsük azt az esetet, amikor a τ n és a σ n véges. Megmutatjuk, (τ n − σ n ) = ∞, következésképpen ilyenkor mind a két esetben
2.
hogy ilyenkor
n
Z
∞
XZ e p s, X (s) ds ≥
0
= p
XZ e p s, X (s) ds ≥
σn
n ∗
τn
X
n
τn
p∗ ds =
σn
(τ n − σ n ) = ∞.
n Elegend® belátni, hogy majdnem minden kimenetelre
Y
X χ (σ n < ∞) · exp − (τ n − σ n ) =
n
=
Y
(χ (σ n < ∞) exp (− (τ n − σ n ))) = 0.
n Mivel a változók nem negatívak ez ekvivalens avval, hogy
! E
Y
(χ (σ n < ∞) exp (− (τ n − σ n )))
= 0.
n A nem negatív változókra vonatkozó kiemelési szabály alapján, felhasználva, hogy a megállított
σ -algebrák
monotonok a megállási id® szerint, illetve, hogy minden megállási id®
mérhet® a saját megállított
E
m+1 Y
σ -algebrájára
nézve
! (χ (σ n < ∞) exp (− (τ n − σ n ))) | Fσm+1
=
n=1
=
m Y
(χ (σ n < ∞) exp (− (τ n − σ n ))) ×
n=1
×E χ (σ m+1 < ∞) exp (− (τ m+1 − σ m+1 )) | Fσm+1 . Vizsgáljuk meg a feltételes várható értéket. Az
e (t) X
korlátos együtthatókkal kielégíti a
sztochasztikus dierenciálegyenletet, így felírható
e (t) = X e (0) + M (t) + V (t) X Rt V (t) = 0 v (s) ds és M egy folytonos martingál, amely kvadratikus variáciRt 2 ója [M ] (t) = m (s) ds, és ahol a v és az m2 egyenletesen korlátos függvények. A közös 0 korlátot jelölje c > 0. A következ® pontban tárgyalt er®s Markov-tulajdonság miatt a fele folyamatot a σ m+1 pontból indítottuk tételes várható érték számolható úgy, mintha az X e (0) = y lenne és a τ m+1 a z pontba érkezés id®pontja. Jelölje ν volna, vagyis mintha X alakban, ahol
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
171
V túllép a (z − y) /2 szinten és µ, amikor az M átlépi a (z − y) /2 szintet. Világos, hogy τ m+1 ≥ ν ∧ µ. A V integrálel®állításából könnyen látható, hogy ν ≥ (z − y) / (2c). Az 1 2 exp (sM ) − [sM ] 2
az els® olyan id®pontot, amikor a
exponenciális martingálra és a tételt, majd
k -val
µ∧k
megállási id®re alkalmazva a megállási opciókról szóló
végtelenhez tartva a Fatou-lemma felhasználásával
1 2 ≤ E χ (µ < ∞) exp (sM ) (µ) − [sM ] (µ) 2 1 2 ≤ E exp (sM ) − [sM ] (0) = 1. 2 Ugyanakkor
χ (µ < ∞) exp s2 M 2 (µ) = χ (µ < ∞) exp s2
z−y 2
2 ! ,
így
2 2 ! s z − y E χ (µ < ∞) exp − [M ] (µ) ≤ exp −s2 . 2 2
Továbbá
Z
µ
[M ] (µ) =
m2 (s) ds ≤ cµ,
0 vagyis
E (exp (−µ)) = E (χ (µ < ∞) exp (−µ)) ≤ 1 [M ] (µ) ≤ ≤ E χ (µ < ∞) exp − 2 c/2 2 ! 2 z−y ≤ exp − . c 2 Így
(z − y)2 z − y ∧ 2c 2c
E χ (σ m+1 < ∞) exp (− (τ m+1 − σ m+1 )) | Fσm+1 ≤ exp −
!! < 1.
Ebb®l következ®en a szorzat nullához tart. 3.
Végül tekintsük a harmadik esetet.
minden
y < z
Ha
e (ω) < ∞,
akkor csak az lehetséges, hogy
esetén ez az eset teljesül, vagyis van olyan
n
index, hogy
τ n < ∞,
és
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
σ n+1 = ∞.
172
e t ≥ τ n esetén X (t) ≥ y . Mivel az y e → y ∗ konvergencia ilyenkor teljesül. kívánt X
Ilyenkor minden
kompakti kált térben a
A Szkorohod egzisztencia tétel bizonyítása:
Tegyük fel, hogy a
tetsz®leges, ezért a
2 b (t, x)
és a
σ (t, x)
folytonos és hogy teljesül a lineáris növekedés feltétele, vagy ami evvel ekvivalens, teljesül a
b2 (t, x) + σ 2 (t, x) ≤ K 1 + x2 kvadratikus növekedési feltétel. Legyen és legyen
|x| ≤ n
f
X a felrobbanó megoldás.
Legyen
τ n $ inf {t | |X (t)| ≥ n},
egy olyan kompakt tartójú kétszer folytonosan deriválható függvény, amely az x2 . Ekkor az
szakaszon
Z
t∧τ n
f (X (t ∧ τ n )) − f (X (0)) −
Af (X (s)) ds 0
martingál. Várható értéket véve
E X 2 (t ∧ τ n ) = Z t∧τ s 2 2X (s) b (s, X (s)) + σ (s, X (s)) ds ≤ E X (0) + E 0 Z t∧τ s 2 2X (s) b (s, X (s)) + K 1 + X 2 (s) − b2 (s, X (s)) ds = ≤ E X (0) + E Z 0t∧τ s − (b (s, X (s)) − X (s))2 + X 2 (s) + K 1 + X 2 (s) ds ≤ = E X 2 (0) + E 0 Z t∧τ s 2 ≤ E X (0) + C · E 1 + X 2 (s) ds. 2
0 Vagyis
2
2
E X (t ∧ τ n ) + 1 ≤ E X (0) + 1 + C
Z
t
E X 2 (s ∧ τ n ) + 1 ds.
0 A Gronwall-egyenl®tlenség szerint
E X 2 (t ∧ τ n ) ≤ E X 2 (0) + 1 exp (Ct) . Ha egy pozitív valószín¶ség¶ halmazon
e < ∞,
akkor egy ugyancsak pozitív valószín¶ség¶
T esetén e < T . Ekkor E X 2 (0) + 1 exp (C · T ) ≥ E X 2 (T ∧ τ n ) ≥ n2 · P (e < T ) → ∞,
halmazon egy alkalmas
ami lehetetlen.
Így a megoldás minden
t-re
véges.
Vegyük észre, hogy a Fatou-lemma
alapján
E X 2 (t) ≤ E X 2 (0) + 1 exp (Ct) < ∞, vagyis a kvadratikus növekedési feltétel teljesülése esetén
E (X 2 (t)) < ∞
minden
t-re. 2
A bizonyításból azonnal látszik, hogy érvényes a következ® tétel:
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
173
3.114 Tétel. Ha a
b (x)
és
σ (x)
folytonos, esetleg többdimenziós függvények, akkor a
dX = b (X) dt + σ (X) dw egyenletnek van, esetlegesen felrobbanó gyenge megoldása.
3.115 Következmény. Ha a
b (t, x)
és a
σ (t, x)
függvények kielégítik a lineáris növekedési feltételt és lokálisan ki-
elégítik a Lipschitz-feltételt, vagyis minden
N
esetén található olyan
KN
konstans, amelyre
|b (t, x) − b (t, y)| ≤ KN |x − y| , |σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ KN |x − y| valahányszor
|x| , |y| ≤ N ,
akkor, a
dX (t) = b (t, X) dt + σ (t, X) dw, egyenletnek tetsz®leges
Bizonyítás:
x
X (0) = x
kezdeti feltétel esetén van egyértelm¶ er®s megoldása.
Elegend® azt megjegyezni, hogy a lineáris növekedés feltétele miatt Szkoro-
hod tétele alapján van gyenge megoldás. Az egyértelm¶ségi tétel miatt a lokális Lipschitzfeltétel alapján ha van er®s megoldás, akkor az egyértelm¶, így az egyértelm¶ trajektóri-
46
ákról szóló következnény
alapján létezik egyértelm¶ er®s megoldás.
2
3.5.5.
Néhány példa
3.116 Példa. Bessel-folyamatok. Az idáig elmondottakat egy érdekes folyamatosztály a Bessel-folyamatok bevezetésével szemléltethetjük. A Bessel-folyamatokkal korábban már találkoztunk. Legyen w egy 2 2 dimenziós Wiener-folyamat. Ha ρ (t) $ kw (t)k , akkor az Itô-formula alapján
n≥2
n X wk ρ − ρ (0) = 2 wk • wk + n · t = 2 ρ • wk + n · t = ρ k=1 k=1 ! n X wk = 2ρ • • wk + n · t, ρ k=1 2
n X
2
ahol felhasználtuk, hogy szerint
"
ρ > 0.
n X wk k=1
ρ
A polaritási formula és a Lévy-féle karakterizációs tétel
# • wk (t) =
46 V.ö.: 3.97. Következmény, 145. oldal.
X wi wj i,j
ρ2
! • [wi , wj ] (t) = t,
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
174
vagyis
dρ2 = ndt + 2ρdw, ahol a
w
egy Wiener-folyamat. A
egyenlethez jutunk.
ρ2
Q-t írva a δ = n p dQ = δdt + 2 |Q|dw helyett
esetben a
gyenge megoldása. A YamadaWatanabe tétel miatt, felhasználva,
p |x − y|
δ ≥ 0 esetén van p p hogy |x| − |y| ≤
A Szkorohod-tétel miatt az egyenletnek minden
a megoldás egyértelm¶ és a mivel a gyenge megoldás létezése és a megoldás
egyértelm¶sége miatt létezik, mégpedig egyetlen megoldás ezért a
Q
minden
w
Wiener-
δ = 0 és x ≥ 0, akkor Q ≥ 0,
folyamat esetén tetsz®leges kezdeti érték mellett egyértelm¶en de niálható. Ha
x = 0,
Q ≡ 0,
akkor
így az összehasonlítási tétel miatt ha
δ≥0
és
így ilyenkor az abszolút érték elhagyható.
3.117 De níció. Ha
x≥0
és
δ ≥ 0,
akkor a
dQ = δdt + 2 egyenlet megoldását
δ -dimenziós
r $ kxk > 0
Q (0) = x
négyzetes Bessel-folyamatnak mondjuk.
négyzetes Bessel-folyamat négyzetgyökét Mivel egy
p Qdw,
δ -dimenziós
A
δ -dimenziós
Bessel-folyamatnak mondjuk.
pontból elindított kétdimenziós Wiener-folyamat egy valószí-
n¶séggel nem éri el az origót az összehasonlítási tétel alapján világos, hogy ha
x = Q (0) √ > 0, akkor Q > 0, így ilyenkor alkalmazható az Itô-formula. Q a megfelel® Bessel-folyamat, akkor ha R $ 1 1 δ−1 dt + dw $ ν + dt + dw, dR = 2R 2 R ahol a
ν $ δ/2 − 1
δ ≥2
és
Miként azt láttuk,
paramétert a Bessel-folyamat indexének mondjuk.
2
3.118 Példa. Girszanov ellenpéldája. Kézenfekv®en merül fel a kérdés, hogy lehet-e a YamadaWatanabe tételt élesíteni. A következ®, Girszanovtól származó ellenpélda azt mutatja, hogy nem: Ha
0 < α < 1/2,
akkor a
dX = |X|α dw, egyenletnek az
X ≡ 0 er®s megoldása,
X (0) = 0
de az egyenlet gyenge megoldása nem egyértelm¶
47
,
ugyanis megmutatjuk, hogy alkalmas valószín¶ségi mez®n van egy másik, nullától különböz®, megoldás is.
47 Emlékeztetünk, hogy a YamadaWatanabe tétel az
α ≥ 1/2
esetr®l szól.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
175
A konstrukció alapgondolata viszonylag egyszer¶. Legyen
w
egy Wiener-folyamat.
w = 1 • w = |w|α |w|−α • w = |w|α • |w|−α • w $ |w|α • L, feltéve, hogy az
L $ |w|−α • w
48
integrál létezik
.
Ez utóbbi igazolására vezessük be az
integrál kvadratikus variációjából álló
Z [L] (t) $
t
−α w2 (s) ds
0 folyamatot. Mivel a
49
nulla
w majdnem minden trajektóriája csak egy nullmérték¶ halmazon lehet
, ezért a trajektóriánként vett integrál értelmes, bár lehet, hogy az értéke végtelen.
t esetén ez csak egy nulla valószín¶ség¶ halmazon fordulhat 2 Fubini-tétele alapján u = x helyettesítéssel, kihasználva, hogy α < 1/2 2 Z tZ ∞ 1 1 x √ E ([L] (t)) = dxds = 2α exp − 2s 2πs |x| 0 −∞ 2 Z t Z ∞ x 2 1 √ exp − = dxds = 2α 2s 2πs 0 x 0 Z t Z ∞ u 1 2 √ √ duds = u−α exp − = 2s 2 u 2πs 0 0 Z t Z ∞ u 1 −(α+1/2) √ = u exp − duds = 2s 2πs 0 0 Z t Z t 1 1 1 1 1 1/2−α √ √ = Γ − α, (2s) Γ − α ds = dt = 2 2s 2 2πs 2πs 0 0 Z t = C t−α dt < ∞.
Megmutatjuk, hogy minden el®:
0 A probléma csak az, hogy az
L $ |w|−α • w
helyettesítéses integrálás formulájával
50
lokális martingál, de nem Wiener-folyamat. A
azonban az
L-et
Wiener-folyamattá alakíthatjuk.
Az iterált logaritmusok tétele miatt majdnem minden trajektóriára
w (t) = 1, lim sup √ t log log t t%∞ így tetsz®leges
ε>0
w (t) lim inf √ = −1, t%∞ t log log t
esetén majdnem minden trajektóriára elég nagy
|w (t)| ≤ (1 + ε)
t-re
p t log log t ≤ (1 + ε) t.
48 Mivel az integrandus nem balról reguláris, az integrál csak az alább tárgyalt kiterjesztett értelemben létezik, ezért a példa némiképpen korai.
R 49 ∞ E (χ (w (t)
= 0)) dt = 0,
0 50 V.ö.: 3.42. tétel, 94. oldal.
így a Fubin-tétel szerint egy valószín¶séggel
R∞ 0
χ (w (t) = 0) dt = 0.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Ebb®l
176
1 1 2α ≥ C 2α , t |w (t)|
amib®l
limt%∞ [L] (t) = ∞.
Az
[L]
el®állításában szerepl®
nullmérték¶ halmaztól eltekintve pozitívak, így az
|w|−2α
folyamat trajektóriái
[L] trajektóriái szigorúan monoton n®nek
és folytonosak. Legyen
τ (s) $ inf {t | [L] (t) ≥ s} az
[L] folytonos inverze.
formula szerint
így a
w b
a
Legyen
w b (s) = L (τ (s)).
A kvadratikus variációra belátott (3.13)
[w] b (s) = [L] (τ (s)) = [L] [L]−1 (s) = s,
Gs $ Fτ (s)
ltrációra nézve Wiener-folyamat.
Legyen
X (s) $ w (τ (s)).
A
sztochasztikus integrálokra érvényes helyettesítési formula miatt
Z
τ (t) α
Z
|w (s)| dL (s) = X (t) $ w (τ (t)) = 0 Z t |X (s)|α dw b (s) , $
t
|w (τ (s))|α dL (τ (s)) $
0
0
következésképpen az
X
a
dX = |X|α dw
egyenlet egy gyenge megoldása.
2
3.5.6.
Er®s Markov-tulajdonság
A Markov-folyamatok a sztochasztikus folyamatok egy külön családja.
A Markov-tulaj-
donság a folyamat eloszlásaira ír el® bizonyos megkötést: A folyamat jöv®jének eloszlása a múlttól csak a jelen állapoton keresztül függ.
Markov-folyamatra a legegyszer¶bb példa a
kumulatív folyamatok. Valamely folyamatos összeg jöv®je mindig csak az aktuális összeg értékét®l függ, és független attól, hogy miként, konkrétan milyen úton értünk el az éppen aktuális összegig.
A sztochasztikus dierenciálegyenletek tipikus példái a folyama-
tos összegzésnek, ugyanis az egyenletet megadó integrálok mindegyike egy-egy folyamatos összeg. Mivel a Markov-tulajdonság a folyamat eloszlásaira vonatkozik, ezért mindig ki kell jelölni a lehetséges trajektóriák terét. Mivel az általunk tárgyalt sztochasztikus dierenci-
R+ = [0, ∞) id®C ([0, ∞)) = C (R+ ) tere51 . A kompakt szakaszokon való egyenletes konvergenciára nézve a C ([0, ∞)) tér teljes szeparábilis metrikus tér. álegyenletek trajektóriái folytonosak, ezért az eloszlásokat hordozó tér az tengelyen értelmezett folytonos függvények
A sztochasztikus dierenciálegyenletek megoldásainak eloszlásai ezen tér Borel-halmazain értelmezett valószín¶ségi mértékek. Érdemes emlékeztetni, hogy a teljes szeparábilis metrikus terek Borel-halmazain értelmezett valószín¶ségi mértékek matematikai tulajdonságai
51 Korábban szintén a
C (R+ )-szal
jelöltük a nullából induló folytonos függvényeket.
A túl sok index
nem teszi világosabbá a tárgyalást, ezért inkább az inkonzisztens jelölés b¶nét választjuk.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
igen kedvez®ek.
177
Többek között a valószín¶ségi mértékek automatikusan kompakt regu-
σ -algebrája, akkor az F -re vett feltételes valószín¶ségeknek van reguláris verziója, vagyis ha a P valamilyen valószín¶ségi mérték, akkor létezik egy olyan P (ω, A) függvény, amely egyrészt az A szerint minden ω -ra Borelmérték, másrészt amelyre minden A Borel-mérhet® halmazra az ω 7→ P (ω, A) a P (A | F) feltételes valószín¶ség egy verziója, így többek között F -mérhet®. Legyen Ω $ C ([0, ∞)) és jelölje B az Ω Borel-halmazait. Az így kapott (Ω, B) mérhet® teret kézenfekv® módon elláthatjuk az úgynevezett kanonikus ltrációval, ahol Bt az a legsz¶kebb σ -algebra, amelyre nézve minden 0 ≤ s ≤ t esetén az ω 7→ ω (s) koordilárisak, illetve ha
F
a Borel-halmazok egy rész
nátaleképezések mérhet®ek.
Az így kapott ltráció azonban nem tesz eleget a szokásos
feltételeknek, vagyis például nem jobbról folytonos, valamint a nullmérték¶ halmazokat sem tartalmazza.
A nullmérték¶ halmazokat nem tudjuk egyszer¶en odacsapni a ltrá-
cióhoz ugyanis nem tudjuk, hogy a téren értelmezett több mérték közül melyik mérték szerint kell a nullmérték¶ halmazokat venni.
A szokásos feltételek hiánya nagyon sok
technikai probléma forrása, amelyek megoldására számos mértékelméleti bravúr ismert.
A
ltráció nullmérték¶ halmazokkal való kib®vítése általában két okból szükséges. Egyrészt a majdnem minden kimenetelre megegyez® folyamatok azonosítása miatt, másrészt, például Lévy-folyamatok esetén, a ltráció jobbról való folytonosságának biztosítása céljából. Az els® probléma az eloszlások vizsgálatakor nem releváns, ugyanis minden folyamatot kanonikus módon azonosítunk a koordinátafolyamattal és az
(Ω, B)
téren csak a mértéke-
ket cserélgetjük. A ltráció jobbról való folytonossága els®sorban azért szükséges, hogy a
{τ < t} ∈ Bt
feltételeknek eleget tev® gyenge megállási id®kr®l be tudjuk látni, hogy valódi
megállási id®k, vagyis hogy teljesítik az er®sebb
{τ ≤ t} ∈ Bt
feltételt is.
Ugyanakkor,
szemben a találati id®kkel, az eredeti tér összes megállási ideje nem feltétlenül értelmezhet® az
(Ω, B, (Bt ))
kanonikus reprezentációban.
Mivel az általunk tárgyalt esetben a trajek-
tóriák folytonosak és a zárt halmazok találati idejei a ltráció jobbról való folytonossága nélkül is megállási id®k, ezért ha körültekint®en járunk el, akkor nincsen igazán szükségünk a ltráció jobbról való folytonosságára. Ugyanakkor érdemes azonban megjegyezni, hogy az egyes pontokban való tartózkodási id®k, mivel azok az adott pont komplementerének, vagyis egy nyílt halmaznak a találati idejei, a ltráció jobbról való folytonosságának hiánya miatt, nem lesznek feltétlenül megállási id®k. Az er®s Markov-tulajdonság értelmezéséhez szükségünk van az eltolás operátor fogal-
τ (ω) = ∞ azt jelenti, hogy a τ által leírt esemény az ω trajektóriára nem következik be. Egy X (t, ω) sztochasztikus folyamat esetén a {τ < ∞} halmazon tekinthetjük a (t, ω) 7→ X (t + τ (ω) , ω) újraindított folyamatot. Az így kapott folyamat az X alakulását adja meg a τ bekövetkezésekor, illetve azt követ®en. Az (Ω, B) kanonikus reprezentációban a τ egy operátort de niál, amely értelmezési tartománya a {τ < ∞} ⊆ Ω halmaz. Az operátort szokás eltolás operátornak mondani, ugyanis azokat az ω trajektóriákat, amelyekre τ (ω) < ∞ balra eltolja, mégpedig τ (ω)-val. Az operátor szokásos jelölése θ τ . A θ τ minden ω trajektóriához hozzárendeli a trajektória τ
mára. Legyen
τ
tetsz®leges véletlen id®pont. A
véletlen id®pont által leírt esemény bekövetkezése utáni alakulását. Érdemes hangsúlyozni, hogy a balra való eltoláskor a szigorúan a τ el®tti id®pontokban felvett értékek elt¶nnek. −1 Tetsz®leges B ∈ B halmaz esetén θ τ (B) azokat az ω trajektóriákat jelöli, amelyekre egy-
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
részt a
τ
178
B ⊆ C ([0, ∞)) által t 7→ ω (τ (ω) + t) folytonos függvény
által jelzett esemény bekövetkezett, másrészt amelyekre a
τ után teljesül, a B halmaznak.
leírt tulajdonság a értelmes és eleme
vagyis amelyre a
A sztochasztikus dierenciálegyenletek vizsgálatára rátérve tegyük fel, hogy minden esetén az
X (0) = x
x
kezdeti feltétel mellett a vizsgált sztochasztikus dierenciálegyenlet
rendelkezik egy egyértelm¶ eloszlással rendelkez® gyenge megoldással. A gyenge megoldás x x által az (Ω, B) téren generált eloszlást jelölje P . A P (x, B) $ P (B) interpretálható mint egy átmenetvalószín¶ség függvény, amely azt mondja meg, hogy mi annak a valószín¶sége, hogy az x-b®l elindított folyamat trajektóriái a B halmazban fognak haladni (P x ) család er®s Markov-tulajdonságán a következ®t értjük:
52
. Valamely
3.119 De níció. (Er®s Markov-tulajdonság)
(P x ) valószín¶ségi mértékekb®l álló családot er®s Markov-tulajdonságúnak mondunk, ha az (Ω, B, (Bt )) minden τ megállási idejére és minden B ∈ B halmazra tetsz®leges x esetén ω(τ (ω)) P x θ−1 (B) = τ (B) | Bτ (ω) = P
Az
(Ω, B)
kanonikus téren értelmezett
= P (θτ (ω))(0) (B) Vagyis a folyamat
τ
a
{τ < ∞}
halmaz
utáni alakulásának a
P x -majdnem
τ
minden
ω
kimenetele esetén.
el®tti információkra vonatkozó feltételes való-
szín¶ségének kiszámolásához elegend® ismernünk azt, hogy a folyamat hol volt a 53 kezésekor .
τ
bekövet-
3.120 Lemma.
(Ω, B) kanonikus téren értelmezett (P x ) család pontosan akkor er®s Markov-tulajdonságú, ha tetsz®leges Φ : (Ω, B) → R+ ∪{+∞} $ [0, ∞] mérhet®, nem negatív funkcionál és τ < ∞ Az
megállási id® esetén
E x (Φ (θτ X) | Bτ ) = E x (Φ (θτ X) | X (τ )) = E X(τ ) (Φ (X)) , ahol
X (t, ω) = ω (t)
a koordinátaleképezés.
Hasonló állítás igaz, ha
Φ : (Ω, B) → R
mérhet® funkcionál.
3.121 Példa. Er®s Markov-tulajdonság és a találati id®k.
a szint eléréséhez X (τ a ) = a. Ha τ a < ∞, akkor
A leggyakorabban használt megállási id® valamely lati id®. Folytonos trajektóriák esetén
szükséges
τa
talá-
E x (Φ (θτ a X) | Bτ a ) = E X(τ a ) (Φ (X)) = E a (Φ (X)) . 2 52 Megmutatható, de a de nícióból nem következik, hogy az
P (x, A) $ P x (A)
x 7→ P x (A)
leképezés Borel-mérhet®.
A
a de níció alapján azonban automatikusan nem átmenetvalószín¶ség. Amennyiben ezt
mégis fel akarjuk tételezni, akkor ezt igazolni kell.
53 Vagyis a jöv® múlt alapján való el®rebecsléséhez elegend® a jelen állapotot ismerni.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
179
3.122 Példa. Elemi példák mérhet® funkcionálokra. Függvénytereken az tálása esetén
f 7→ f (x) , illetve a sztochasztikus folyamatok kanonikus reprezen-
ω 7→ ω (t) a módon jelölt pontfunkcionálok, vagy másképpen koordinátafügg-
vények által generált mérhet®ségi struktúra szerint mérhet® függvényre a legegyszer¶bb példák természetesen maguk az
ω 7→ ω (t)
koordinátafüggvények.
Tipikus, és gyakran
használt példa a trajektóriák szuprémuma, vagy in muma egy adott id®tartomány felett. Természetesen, ahhoz hogy a szuprémum-funkcionál mérhet® legyen valami megkötést kell tenni a trajektóriákra. Mivel a jobbról, vagy balról reguláris függvények egyértelm¶en meghatározottak a racionális id®pontokban felvett értékeik által, ezért ilyenkor a szuprémum, illetve az in mum által de niált funkcionál mérhet® a koordinátafunkcionálok által generált
σ -algebrára
nézve. A folytonos függvények terén további példa mérhet® funkcionálra
valamely id®tartományon vett integrál. Riemann-integrál, így a
Φ
Folytonos függvények esetén ugyanis az integrál
funkcionál a koordinátafunkcionálok lineáris kombinációjának
határértéke. Ha
τ a $ inf {t | X (t) ≥ a} a folytonos függvények terén egy szintelérési id®, akkor az
ω 7→ τ a (ω)
egy nem negatív
mérhet® funkcionál, ugyanis
{ω | τ a (ω) ≤ t} =
sup X (s) ≥ a 0≤s≤t
és az utóbbi halmaz mérhet® a pontfunkcionálok által generált
σ -algebrára nézve.
Hasonló
igaz a
τ a $ inf {t | |X (t)| ≥ a} találati id®kre. Legyen
X
egy többdimenziós folytonos folyamat és legyen
K
egy kompakt
halmaz.
τ K $ inf {t | X (t) ∈ K} = inf {t | d (X (t) , K) = 0} . Y (t) $ d (X (t) , K) egy folytonos folyamat és nyilvánvalóan τ K τ 0 elérési id®, így a τ K egy mérhet® nem negatív funkcionál. Az
éppen az
Y -hoz tartozó 2
3.123 Tétel. Ha valamely folytonos együtthatókkal rendelkez®
dX = b (X) dt + σ (X) dw homogén sztochasztikus dierenciálegyenletnek minden
X (0) = x
kezdeti érték esetén van
egyértelm¶ eloszlással rendelkez® gyenge megoldása, akkor az ezekb®l az egyértelm¶ eloszx 54 lásokból álló (P ) család er®s Markov-tulajdonságú . 54 Ha tekintünk egy olyan
X t
ξt
összegzési folyamatot, amely során a t-edik lépésben kapott valószín¶ségi
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
180
Az er®s Markov-tulajdonság bizonyítását a megállási opciókról szóló tételre vezetjük vissza. A tétel bizonyítását több lépésre bontjuk.
3.124 Lemma. A tételben szerepl® feltétel helyettesíthet® avval, hogy 1. tetsz®leges 2. az
x
P x (ω (0) = x) = 1,
esetén
X (t, ω) $ ω (t)
koordinátaleképezés a
(Bt )
ltráció mellett megoldása a az egyen-
lethez tartozó martingálproblémának, és a 3. martingálprobléma megoldásának eloszlása egyértelm¶.
Bizonyítás:
A bizonyítás megkezdése el®tt érdemes megjegyezni, hogy a lemmában
szerepl® feltételek esetén a sztochasztikus analízis nem használható, ugyanis a nem teljesíti a szokásos feltételeket.
Ezért a
(Bt )
(Bt ) ltráció
helyett az
Ft $ σ (Bt ∪ N )t+ $ ∩s>t σ (Bs ∪ N ) ltrációt kell használni. halmazok
N
Vegyük észre, hogy mivel a
családja egyértelm¶.
szerint akkor a
(Bt )
Px
rögzített, ezért a nullmérték¶
(Bt )-adaptált Z folyamat mivel Bs ⊆ Fs ezért
Ha egy
szerint is az, ugyanis
martingál az
(Ft )
E (Z (t) | Bs ) = E (E (Zt | Fs ) | Bs ) = Z (s) . M f martingál a (Bt ) szerint. Ha A ∈ Bs+1/n ∪ N , akkor x van olyan B ∈ Bs+1/n , amely a P mérték szerint csak nullmérték¶ halmazban különbözik f az A-tól. Mivel az M martingál a (Bt ) alatt, ezért Z Z Z Z 1 1 x f f x f x f dP = M s+ dP x . M (t) dP = M (t) dP = M s+ n n A B B A Megfordítva, tegyük fel, hogy az
Mivel az
f
kompakt tartójú, ezért az
Mf
integrál alatt is elvégezhet®. Ebb®l, felhasználva, hogy
Z
f
x
Z
M (t) dP = A ami éppen a bizonyítandó
n → ∞ esetén f az M folytonos
korlátos, így
M f (s) dP x ,
a határérték az
A ∈ Fs ,
A
F -martingáltulajdonság.
A bizonyítás érdemi részére rátérve, egy x kezdeti érték esetén a megoldás eloszlására x biztosan P (ω (0) = x) = 1. Ha a koordinátaleképezés a (Bt ) mellett martingál, akkor az változó eloszlása függ a egy
a
t-t®l,
akkor az így kapott folyamat nem lehet er®s Markov-tulajdonságú, ugyanis
szint elérésekor ha nem tudjuk, hogy hányadik lépésben értük el a szintet, vagyis nem ismerjük
a trajektória teljes múltját, akkor nem tudjuk a növekmény eloszlását kiszámolni.
Természetesen, ha
a folyamatban az eltelt id®t is tároljuk, akkor az aktuális állapotból tudjuk folytani a folyamatot, de ilyenkor már a két dimenziós
(X, t)
folyamatot vizsgáljuk.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
(Ft )
181
mellett is az, így egy alkalmasan b®vített téren az egyenletnek van megoldása, így
az egyenletnek van gyenge megoldása.
De ez a gyenge megoldás egyúttal megoldása a
martingálproblémának is, és mivel a martingálprobléma megoldásának eloszlása a lemma x feltétele miatt egyértelm¶, ezért a P az egyenlet gyenge megoldásainak egyértelm¶ eloszlása. Ha pedig az egyenletnek van gyenge megoldása, akkor a koordinátaleképezés a gyenge f megoldás eloszlása mellett megoldása az egyenletnek, de akkor az M egy (Ft ) alatti marf tingál. Mivel az M az együtthatók folytonossága miatt ilyenkor (Bt ) adaptált is, ezért az M f egyúttal (Bt ) martingál is. És mivel a gyenge megoldás eloszlása egyértelm¶, ezért a martingálprobléma eloszlása is egyértelm¶.
2
A tétel bizonyítása: Rögzített x esetén tekintsük a D 7→ P x (D | Bτ ) feltételes valószín¶C ([0, ∞)) egy teljes szeparábilis metrikus tér és a Bτ a Borel-halmazok egy rész σ -algebrája, ezért a Bτ szerinti feltételes valószín¶ségnek létezik egy reguláris verziója, amelyet jelöljön R (ω, D). Rögzítsük egy olyan ω 0 kimenetelt, amelyre τ (ω 0 ) < ∞ és de niáljuk az y $ ω 0 (τ (ω 0 )) értéket. Ha megmutatjuk, hogy egy kés®bb pontosan de niált −1 x x N a P szerint nullmérték¶ halmaztól eltekintve az F 7→ R ω 0 , θ τ (F ) mérték mellett az X (t, ω) $ ω (t) koordinátaleképezés megoldása a martingálproblémának, mégpedig
séget. Mivel a
egy olyan megoldása, amelyre ezen mérték mellett majdnem minden kimenetelre az olyan
h ∈ C ([0, ∞))
függvények halmaza, amelyekre
h (0) = y
egy valószín¶ség¶ halmazt alkot,
akkor a sztochasztikus dierenciálegyenlet gyenge megoldásának feltételezett
egyértelm¶
F ∈ B (C ([0, ∞)))-ra m.m. −1 y ω 0 (τ (ω 0 )) θ−1 (F ) , τ (F ) | Bτ (ω 0 ) = R ω 0 , θ τ (F ) = P (F ) = P
eloszlása miatt minden
Px
ami éppen a bizonyítandó egyenl®ség. A kezdeti értékre vonatkozó egyenl®ség igazolása a következ®: Tekintsük azon függhalmazát, amelyek a t = 0 pontban az y értéket veszik fel. Meg kell mu −1 R ω 0 , θ−1 (A) = 1 . A B $ θ (A) az olyan h folytonos függvények halτ τ maza, amelyekre τ (h) < ∞ és h (τ (h)) = y . De a h 7→ τ (h) maga a τ megállási id®,
vények
A
tatni, hogy a
h 7→ h (τ (h))
pedig a koordinátafolyamat kiértékelése a
ált id®pontban, így a
h 7→ h (τ (h))
τ
megállási id® által de ni-
éppen a megállított változó, vagyis egy
Bτ -mérhet®
valószín¶ségi változó. Ha egy esemény a feltétel szerint mérhet®, akkor a feltételes valószím.m. n¶sége P (A | F) $ E (χA | F) = χA . A reguláris feltételes valószín¶ség de níciója miatt a feltételes valószín¶ség közvetlen behelyettesítéssel kapható, így
R (ω 0 , B) = χB (ω 0 ) = χ ({h | h (τ (h)) = y}) (ω 0 ) = 1. Ugyanakkor van itt egy csekély technikai probléma: Minden
B
esetén a
χB
csak egy ver-
ziója a feltételes valószín¶ségnek és nem világos, hogy a reguláris verzió aktuálisan melyik reprezentánssal azonos, így egy konkrét jesül. Ha az egyes
B
ω0
esetén az egyenl®ség még sem biztos, hogy tel-
halmazokhoz tartozó azokat a nullmérték¶ halmazokat, amelyeken
χB -t®l egyesítjük, nem világos hogy milyen ω 0 kimenetelek maradnak meg. A bizonyítás els® felének befejezéseként meg szeretnénk mutatni, hogy van
a reguláris verzió eltér a
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
182
N nullmérték¶ halmaz, amelyen kívül már a χB választható a reguláris verziónak. Ennek kulcsa a következ® észrevétel: A kanonikus reprezentációban a Bτ megállított σ -
olyan
algebra szerkezete igen egyszer¶: éppen a
t
τ ∧t
alakú változók által generált
változó helyébe csak a racionális id®pontokat írva azonnal látható, hogy a
σ -algebra. A Bτ valójában
megszámlálható függvény által van generálva. Ebb®l következ®en megadható megszámlálható (Bn ) ⊆ Bτ halmaz, amely már generálja a Bτ σ -algebrát. Mivel feltehetjük, hogy a (Bn ) család metszet zárt, ezért elegend® a Bτ -n értelmezett mértékeket a (Bn ) halmazokon megadni, ugyanis két mérték pontosan akkor esik egybe a Bτ -n, ha a (Bn ) halmazokon egybeesnek. Ha a Bn halmazokhoz tartozó nullmérték¶ halmazokat egyesítjük, akkor minden ω0 ∈ / N esetén a χB (ω 0 ) éppen a feltételes valószín¶ség egy verziója. Térjünk rá annak igazolására, hogy a koordináta leképezés megoldása a martingálprob-
F ∈ Bs .
Bs
egy generált σ -algebra, ezért a generált σ -algebrák ∞ általános szerkezete miatt egy alkalmas U ⊆ B (R ) halmazra és 0 ≤ sk ≤ s sorozatra lémának. Legyen
Mivel a
F = {y ∈ C ([0, ∞)) | (y (s1 ) , y (s2 ) , . . .) ∈ U } . Ebb®l a
θ−1 τ F = {y ∈ C (R+ ) | (y (s1 + τ (y)) , y (s2 + τ (y)) , . . .) ∈ U } ∈ Bτ +s ⊆ Fτ +s , y 7→ y (sk + τ (y)) függvények Bτ +s -mérhet®ségének D 7→ P x (D | Bs ) reguláris verziója. A reguláris feltételes
ahol az utolsó reláció az nye. Legyen
R
a
(3.36)
következmévalószín¶ség
de níciója alapján a feltételes várható érték a feltételes valószín¶ség szerinti integrálként írható fel, így tetsz®leges
ξ
valószín¶ségi változó esetén
Z
ξdR = E x (ξ | Bs ) .
Ω Ugyanakkor az
X (t) = ω (t)
koordinátaleképezések esetén
t
Z
f
M (t, ω) $ f (t, ω (t)) − f (0, ω (0)) −
(Af ) (s, ω (s)) ds, 0
így tetsz®leges
y
függvényre
Z
f
M (t, θτ y) = f (t, y (t + τ )) − f (0, y (τ )) −
t
(Af ) (s, y (s + τ )) ds. 0
Ugyanakkor mivel a sztochasztikus dierenciálegyenletben az együtthatók nem függnek a tt®l, ezért elegend® az id®t®l független martingálproblémával foglalkozni, vagyis feltehetjük, hogy az
f
nem függ a
t-t®l.
Így
Z
f
M (t, θτ y) = f (y (t + τ )) − f (y (τ )) −
t
(Af ) (y (s + τ )) ds = 0
Z
t+τ
= f (y (t + τ )) − f (y (τ )) −
(Af ) (y (u)) du = Z τ f = M (t + τ , y) − f (y (τ )) + f (y (0)) + (Af ) (y (u)) du = τ
0
= M f (t + τ , y) − M f (y (τ )) .
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
A 7→ R ω 0 , θ−1 τ (A)
183
Ha t > s, akkor a megállási opciók tétele f x kompakt tartójú, ezért az M a P mellett korx látos martingál, ugyanis a lemma alapján P alatt a koordináta leképezés megoldása a Jelölje
Q
az
mértéket.
alapján, felhasználva, hogy mivel az
f
martingálproblémának
Z F
Z
f
M (t, y) dQ (y) = M f (t, y) χF (y) dQ (y) = Ω Z M f (t, θτ y) χF (θτ y) R (ω 0 , dy) = = Ω
Z
(y) R (ω 0 , dy) = M (t + τ , y) − M f (τ , y) χθ−1 τ F Ω | Bs (ω 0 ) = = E x M f (t + τ ) − M f (τ , y) χθ−1 τ F | B (ω 0 ) = = E x E x M f (t + τ ) − M f (τ , y) | Fτ +s χθ−1 s F τ x f f =E M (s + τ ) − M (τ , y) χθ−1 | Bs (ω 0 ) = τ F Z M f (s, y) dQ (y) , = =
f
F ahol kihasználtuk a fenti (3.36) sort. Következésképpen az
Mf
martingál a
Q mérték alatt. 2
Érdemes megjegyezni, hogy a tétel a jelen alakjában alkalmazható valamely zárt halmaz találati idejére, de nem alkalmazható valamely nyílt halmaz találati idejére, ugyanis amennyiben a ltráció nem jobbról folytonos a nyílt halmazok találati idejei nem feltétlenül megállási id®k.
3.5.7. Legyen
In nitezimális generátor és a resolvens operátor Y egy homogén Markov-folyamat. Egy Markov-folyamat homogenitásán azt értjük, s < t id®pontok között átmenetvalószín¶ségek egyedül t − s id®tartamtól függnek. F az Y folyamat fázisterét, jellemz®en F = Rn . Tetsz®leges g ∈ Bb (F ) korlátos
hogy az Jelölje
mérhet® függvényre de niáljuk a
(Pt g) (x) $ E (g (Y (t)) | Y (0) = x) $ E x (g (Y (t))) operátorokat. Evidens módon a homogén Markov-tulajdonság miatt
(Pt+s g) (Y (0)) $ E (g (Y (t + s)) | Y (0)) = E (E (g (Y (t + s)) | Y (t)) | Y (0)) = = E (Ps g (Y (t)) | Y (0)) = Pt (Ps g (Y (0))) , amib®l a lineáris operátorok körében szokásos jelöléssel operátor félcsoport. Triviális módon
P0 = I .
de niáljuk az
Z (Rp g) (x) $
A
Pt
Pt+s = Pt · Ps ,
segítségével tetsz®leges
∞
exp (−ps) (Ps g) (x) ds 0
(Pt ) egy p > 0 számra
vagyis a
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
rezolvens operátort
55
.
184
A de nícióban szerepl® integrál a konkrét operátor félcsoportok
esetén eltér® módon értelmezhet®.
3.125 Példa. Az egydimenziós Wiener-folyamat rezolvens operátora ∞
Z
Z exp (−pu) E (f (w (t))) dt =
(Rp f ) (x) $ 0
ahol
w
egy az
x
R
p 1 √ exp − 2p |x − y| f (y) dy, 2p
pontból elindított Wiener-folyamat és
f ≥ 0
tetsz®leges Borel-mérhet®
függvény. A Fubini-tétel alapján
Z
∞
Z exp (−pt)
(Rp f ) (x) $ 0
R
1 (x − y)2 √ exp − 2t 2πt
! f (y) dydt $
Z up (x, y) f (y) dy,
$ R ahol
∞
Z up (x, y) $ 0 A
z $ |x − y|
és
γ$
√ 2p
t = zs2 /γ
! dt.
jelölés mellett
1 up $ √ 2π Ha
1 (x − y)2 √ exp −pt − 2t 2πt
Z 0
∞
1 1 z2 2 √ exp − γ t+ dt. 2 t t
helyettesítést végzünk, akkor
p Z ∞ 2 z/γ 1 −1 2 exp − zγ s − s exp (−γz) ds. up $ √ 2 2π 0 Most
v $ s − s−1
helyettesítéssel
p Z ∞ 2 z/γ 1 ds 2 up = √ exp (−γz) exp − zγv dv. 2 dv 2π −∞ A
v $ s − s−1
másodfokú egyenletet megoldva, elemi számolással
s (v) = v + s (−v) amib®l
s0 (v) + s0 (−v) = 1, up
tehát
p Z ∞ 2 z/γ 1 2 exp (−γz) exp − zγv dv = = √ 2 2π 0 −1 = γ exp (−γz) .
55 Szokás még potenciáloperárorról is beszélni.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
A bevezetett
γ
z
és
185
konstansokat visszahelyettesítve éppen a bizonyítandó összefüggést
kapjuk.
2
3.126 De níció. Egy
(Pt )
az olyan
operátorfélcsoport
f
G
in nitezimális generátorának
D (G)
értelmezési tartománya
függvényekb®l áll, amelyekre a
Gf $ lim
h&0
Ph f − f h
határérték létezik, ahol természetesen a határérték értelmezése az operátorfélcsoport speci kációjától függ. A
G operátort az operátorfélcsoport in nitezimális generátorának mondjuk.
Az operátorfélcsoportok elmélete az absztrakt analízis egyik legkidolgozottabb fejezete, amely bemutatása önmagában is több kötetet igényelne, ezért csak az elmélet egy az Itô-formulához kapcsolódó fölhözragadt verzióját tárgyaljuk röviden.
f ∈ Cb (F ) , zát jelöli..
ahol a
Cb (F )
Legyen most
a fázistéren értelmezett korlátos és folytonos függvények halma-
A korlátosság és a folytonosság miatt minden
x-re
a
t 7→ E x (Y (t)) $ (Pt f ) (x) függvény korlátos és folytonos, így a
Z g (x) $ (Rp f ) (x) $
∞
exp (−ps) (Ps f ) (x) ds 0
függvény jól de niált.
x-re a t 7→ (Pt f ) (x) $ E x (f (Y (t))) módon de niált függvény t szerint deriválható. (Gf ) (x) jelölje a t = 0 pontban vett 56 deriváltat. Tegyük fel, hogy az alábbi számolás az f függvény esetén végrehajtható f (Y (t + h)) − f (Y (t)) d x x E f (Y (t)) $ lim E = h→0 dt h f (Y (t + h)) − f (Y (t)) x Y (t) = lim E E = h→0 h f (Y (h)) − f (Y (0)) Y (t) x = lim E E = h→0 h f (Y (h)) − f (Y (0)) x Y (t) = E lim E = h→0 h = E x (Gf (Y (t))) . 1. Tegyük fel, hogy valamely
f ∈ Cb (F )
függvényre
56 A félcsoportok absztrakt elméletében fel szokás tételezni, hogy a fázistéren adott egy topológia és ebben a topológiában az operátorok folytonosak. Ha a deriváltakat létezését ebben a topológiában követeljük meg, akkor a limesz és az operátor a feltételezett folytonosság miatt felcserélhet®.
f
függvény esetén közvetlenül nem egyszer¶ eldönteni, hogy eleme-e a
G
A lényeg az, hogy egy adott
értelmezési tartományának vagy
sem, ugyanis az absztrakt megfogalmazás id®nként elrejti a tényleges nehézségeket.
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
186
A számolás során az egyedüli problémás lépés a határérték és az felcserélhet®sége. Azokat az net teljesül jelölje 2.
Legyen
f
Ex
szerinti várható érték
korlátos és folytonos függvényeket amelyekre a gondolatme-
D (G).
f ∈ D (H).
Az
f
korlátossága miatt a
t 7→ E x (f (Y (t)))
valósból valósba
képez® függvény korlátos, így a következ® számolásban használhatjuk a parciális integrálás formuláját
f (x) = − [exp (−pt) E x f (Y (t))]∞ 0 = Z ∞ Z ∞ d exp (−pt) x d = − E (f (Y (t))) dt − exp (−pt) E x f (Y (t)) dt = dt dt 0 0 Z ∞ = p (Rp f ) (x) − exp (−pt) E x ((Gf ) (Y (t))) dt = 0
= p (Rp f ) (x) − (Rp (Gf )) (x) = (Rp (pI − G) f ) (x) . Vegyük észre, felhasználtuk, hogy a parciális integrálás formulájában ha két tag véges, akkor a harmadiknak is végesnek kell lenni.
f ∈ D (H)
jelenti, hogy minden
Az egyenl®ség másképpen fogalmazva azt
esetén
Rp (pI − G) f = f. 3. Legyen ismételten
f ∈ Cb (F ).
(3.37)
Egyszer¶ számolással
Z
∞
Pt (Rp f ) = Pt exp (−ps) Ps f ds = Z ∞0 = exp (−ps) Pt Ps f ds = 0 Z ∞ = exp (−ps) Pt+s f ds = 0 Z ∞ exp (−p (u − t)) Pu f du = = t Z ∞ exp (−pu) Pu f du. = exp (pt) t Az egyenl®ség igazolásához csak a
Z
Pt
és az integrálás felcserélhet®ségét biztosító
∞
Pt
∞
Z exp (−ps) Ps f ds =
0
exp (−ps) Pt+s f ds 0
egyenl®séget érdemes közelebbr®l megvizsgálni. Ez másképpen a Fubini-tétel és a Markovtulajdonság alapján teljesül®
E
x
Z
∞
exp (−ps) E
Y (t)
(f (Y (s))) ds
Z
∞
=
0
Z0 ∞ = 0
exp (−ps) E x E Y (t) (f (Y (s))) ds = exp (−ps) E x (f (Y (t + s))) ds
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
187
egyenl®séget jelenti. A számolás eredményeként kapott alakot behelyettesítve
Pt+h (Rp f ) − Pt (Rp f ) = h&0 h R∞ R∞ exp (p (h + t)) t+h exp (−pu) Pu f du − exp (pt) t exp (−pu) Pu f du = lim . h&0 h lim
A határérték mögötti rész
exp (p (h + t)) − exp (pt) Rp f − h R t+h Rt exp (p (h + t)) 0 exp (−ps) Ps f ds − exp (pt) 0 exp (−ps) Ps f ds − h módon írható. A második sor
exp (p (h + t)) h Ha
h → 0,
Z
t+h
t
exp (p (h + t)) − exp (pt) exp (−ps) Ps f ds + h
Z
t
exp (−ps) Ps f ds. 0
akkor a határérték
Z
t
p exp (pt) Rp f − exp (pt) exp (−pt) Pt f − p exp (pt) exp (−ps) Ps f ds = 0 Z t = p exp (pt) Rp f − Pt f − p exp (pt) exp (−ps) Ps f ds. 0 Speciálisan ha
t = 0,
akkor
G (Rp f ) = pRp f − f, vagy ami ugyanaz
(pI − G) (Rp ) = I, feltéve, ha
Rp f ∈ D (H) .
(3.38)
Vegyük észre, hogy
E x (G (Rp f (Y (t)))) = E x ((pRp f − f ) (Y (t))) = = pE x (pRp f (Y (t))) − E x (f (Y (t))) . A második kifejezés éppen a derivált képletében szerepl®
−Pt f .
Számoljuk ki az els® tagot.
A Fubini-tétel szerint az integrálokat megcserélve és a Markov-tulajdonságot felhasználva
Z
∞
exp (−ps) E x (Ps f (Y (t))) ds = 0 Z ∞ =p exp (−ps) Ps+t f ds = Z ∞0 = exp (−p (u − t)) Pu f du = t Z t = p exp (pt) Rp (f ) − p exp (pt) Pu f du p
0
3.5. SZTOCHASZTIKUS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
ami éppen a derivált többi tagja.
Rp f ∈ D (G).
188
Ebb®l következ®en tetsz®leges
f ∈ Cb (F )
függvényre
A belátott (3.37) és (3.38) sorok együttes interpretációja, hogy a
téren értelmezett
Rp
minden pozitív
p
estén éppen a
pI − G
Cb (F )
inverze, vagyis
Rp = (pI − G)−1 , ami éppen indokolja a rezolvens elnevezést, ugyanis általában egy −1 a z 7→ (zI − B) leképezést szokás érteni.
B
operátor rezolvensén
3.127 Példa. Homogén sztochasztikus dierenciálegyenletek in nitezimális generátora.
b (x) és σ (x) folytonos függvények és tekintsünk egy dY (t) = b (Y (t)) dt + σ (Y (t)) dw (t) alakú sztochasztikus dierenciálegyenletet és tekintsük az általa de niált Y homogén Markov-folyamatot. Az Y folytonossága miatt az el®z® gondolatmenet használható. Az egyedüli problémát a D (G) értelmezési tartományának meghatározása jelenti. Megmutatjuk, ha f kompakt tartójú és kétszer folytonosan deriválható, akkor f ∈ D (G) és ilyenkor Gf = Af , ahol az A a martingálprobléma de niálásakor felírt (3.33) operátor. Minden x-re tekintsük a Z t x x f t 7→ (Pt f ) (x) $ E (f (Y (t))) = E M (t) + f (Y (0)) + (Af ) (Y (s)) ds = 0 Z t x = E (f (Y (0))) + E x ((Af ) (Y (s))) ds Legyenek
0 leképezést, ahol felhasználtuk, hogy mivel az így a várható értéke nulla. Mivel a folytonos és mivel az
b, σ
f
és az
M f martingál, s→ 7 A (f (Y (s))) is
kompakt tartójú, ezért az
Y
folytonos, ezért az
f
második deriváltja is kompakt tartójú ezért ez a függvény korlátos x is, így a határérték és az E szerinti várható érték megcserélhet®, így az integrál alatti kifejezés folytonos. Ebb®l következ®en ilyenkor a kifejezés deriválható. A derivált a
t=0
pontban éppen az
E x (Af (Y (0))) = (Af ) (x) ugyanis az
Y (0)
az
következésképpen a
E x alatt egy valószín¶séggel éppen x. Ebb®l következ®en f ∈ D (G) G az A kiterjesztése. Természetesen a gondolatmenet pontosan arra
épül. hogy az Itô-formula által megadott
f
Z
M (t) =
t
σ (Y (t)) 0
∂f (Y (t)) dw ∂x
sztochasztikus integrál mikor lesz valódi martingál. Arra azonban, hogy egy sztochasztikus integrál mikor lesz martingál csak elégséges feltételek állnak rendelkezésre.
2
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
3.6.
189
Az integrálás kiterjesztése el®rejelezhet® integrandusokra
Az idáig bemutatott sztochasztikus integrálás az alkalmazások egy jelent®s részében megfelel®. Ugyanakkor a sztochasztikus analízis néhány tételének igazolásához az integrálfogalmat ki kell terjeszteni. Ilyen tétel például a pénzügyi alkalmazásokban alapvet® szerepet
57
játszó integrálreprezentációs tétel
. A kiterjesztés két irányba történhet. Egyrészt nem
folytonos integrátorok bevezetésével, másrészt nem balról reguláris integrandusok bevezetésével.
Mivel a sztochasztikus analízis leggyakoribb alkalmazásaiban az integrátorok
folytonosak, ezért a lehetséges integrátorok b®vítését nem tárgyaljuk
58
.
Az integrál kiterjesztésének általános háttere igen egyszer¶: Legyenek adva
X
és
Y
teljes, és legyen f az X egy s¶r¶ részhalmazát az f izometriaként kiterjeszthet® a teljes X térre. A kiterjesztés igen egyszer¶. Ha xn → x, akkor az (xn ) Cauchy-sorozat az X -ben, de akkor az izometria miatt az (f (xn )) Cauchy-sorozat az Y -ban. Mivel az Y teljes, ezért létezik olyan y ∈ Y , amelyre f (xn ) → y . Az f (x) $ y módon de niált függvény éppen a keresett kiterjesztés. Könnyen látható, hogy a kiterjesztés után az f izometria marad. metrikus terek, tegyük fel, hogy az
Y
térbe képez® izometria.
3.6.1.
Y
Ekkor az
El®rejelezhet® folyamatok és kiterjesztés Itô-izometriával
A kib®vítés több módon is megtehet®.
Az itt röviden vázolt kiterjesztés a Burkholder
DavisGundy féle (3.15) egyenl®tlenségre és a martingál kritériumra épül. Ezek alapján ha
L egy lokális martingál és az X olyan adaptált balról reguláris folyamat, amelyre R ∞folytonos 2 E 0 XR d [L] < ∞, akkor2 az N = X • L egy folytonos négyzetesen integrálható martin∞ 2 X d [L] egy L norma az R+ × Ω téren értelmezett lehetséges integrandusok gál. E 0 terén. Mivel az idáig bevezetett integrandusok balról regulárisak, ezért az idáig bevezetett 2 integrandusok tere ebben az L normában nem teljes. Az integrál kiterjesztésekor ezt a teret egyszer¶en teljessé tesszük.
3.128 Állítás. Ha
N
négyzetesen integrálható martingál, akkor az
Bizonyítás:
N 2 − [N ]
Az egyszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy
lokalizációs sorozata. Ha
valódi martingál.
N (0) = 0.
Legyen
(τ n ) az N 2 −[N ]
p = 2, akkor a második
sup |X (s)| ≤ p kX (t)k . p
0≤s≤t
p−1 p
Doob-egyenl®tlenség miatt tetsz®leges
[0, t] véges szakaszon az N 2
rendelkezik integrálható
majoránssal. A megállított folyamat martingál tulajdonsága miatt
E N 2 (t ∧ τ n ) = E ([N ]τ n (t)) . 57 A tételt már használtuk az el®z® pontban. 58 Az integrátor általában egy Wiener-folyamat, vagy egy Wiener-folyamat szerinti integrál, vagy valamilyen Wiener-folyamattal felírt sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása.
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
190
A monoton konvergencia tétel és a majorált konvergencia tétel egyidej¶ használatával be2 látható, hogy E (N (t)) = E ([N ] (t)) , következésképpen az E ([N ] (t)) is véges. Ebb®l 2 következik, hogy az N − [N ] folyamat a [0, t] szakaszon rendelkezik id®t®l független integrálható majoránssal, így valódi martingál.
2
3.129 Következmény. (Itô-izometria) Ha
L
nézve
folytonos lokális martingál és
E
R
t 0
X 2 d [L] < ∞,
X
olyan balról reguláris és adaptált folyamat, amelyre
akkor
2
E (X • L) (t) = E
t
Z
X d [L] 2
0
t
ahol a
lehet végtelen is.
3.130 De níció. P
Jelölje
R+ ×Ω tér azon részhalmazaiból álló σ -algebrát, amelyet a folytonos59 , adaptált generálnak. A P σ -algebrára nézve mérhet® kétváltozós függvényeket el®rejelez-
az
folyamatok
60 het® folyamatoknak mondjuk .
3.131 Példa. Ha
X
folytonos adaptált folyamat, akkor az
Y (t) $ sign (X (t)) $ vagy az
Y $
1 −1
X (t) > 0 , X (t) ≤ 0
ha ha
1 χ (X 6= 0) X
folyamatok el®rejelezhet®ek, de nem balról regulárisak.
3.132 Példa. A balról folytonos adaptált folyamatok el®rejelezhet®ek. 59 Könnyen megmutatható, hogy a generált által generált
σ -algebra megegyezik a balról reguláris, adaptált folyamatok
σ -algebrával.
60 Az el®rejelezhet® elnevezés oka az, hogy ha
el®rejelezhet® halmaz, ha a
τ
τ
τ gráfja pontosan akkor (τ n ) megállási id®kb®l álló τ (ω) > 0 a τ n (ω) el®rejelzi a τ (ω)
egy megállási id®, akkor a
megállási id® el®rejelezhet®, vagyis ha van olyan
τ n % τ és minden τ n (ω) < τ (ω). Nem
sorozat, amelyre
olyan kimenetelre, amelyre
értéket, vagyis
minden megállási id® el®rejelezhet®, például a Poisson-folyamatok
ugrásainak id®pontja nem el®rejelezhet® megállási id®. Megmutatható, hogy folytonos integrátor esetén az integrandusokat jóval b®vebb
σ -algebrából
is választhatjuk.
Ennek azonban nincsen jelent®sége.
Az
el®rejelezhet® folyamatokra a mértékelmélet szokásos megfontolásait használni tudjuk és ez a sztochasztikus analízis szempontjából elegend®.
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
Legyen
X
balról folytonos, adaptált folyamat. Az adaptáltság miatt az
Xn (t) $ X (0) χ ({0}) +
∞ X
X
k=0
X
k 2n
k k+1 χ , 2n 2n 61
miatt minden (t, ω) Xn (t, ω) → X (t, ω) . Könnyen belátható, hogy a χ ((a, b]) balról reguláris függvények
folyamat adaptált lépcs®s folyamat. Az párra
191
balról való folytonossága
el®állnak folytonos függvények határértékeiként, következésképpen az
Yn $ X
k 2n
k k+1 χ , 2n 2n
folyamatok el®rejelezhet®ek.
2
3.133 Példa. Ha
X
el®rejelezhet®, akkor az
Ha az
X
Xτ
folytonos, akkor az
is el®rejelezhet®.
Xτ
is folytonos.
A folytonos adaptált folyamatok
π
rendszert alkotnak. Könnyen látható, hogy az olyan folyamatok, amelyekre a megállított folyamat el®rejelezhet®
λ
rendszert alkotnak, így a monoton osztály tétel miatt ha az τ megállási id® esetén az X τ is el®rejelezhet®.
X
el®rejelezhet®, akkor tetsz®leges
2 A sztochasztikus analízis tárgyalása során számos
σ -algebrát
szokás bevezetni
Ezek
közül a legsz¶kebb az el®rejelezhet® halmazok családja. Ez a család valóban sz¶k. Megmutatható például, hogy a Poisson-folyamatok nem el®rejelezhet® folyamatok.
Ebb®l is
látható, hogy nem minden jobbról folytonos, bal oldali határértékkel rendelkez® folyamat el®rejelezhet®.
A
σ -algebra
sz¶kösségére utal, hogy a jobbról reguláris
χ ([0, τ ))
véletlen
intervallumok nem feltétlenül el®rejelezhet®ek, miközben a balról reguláris trajektóriájú
χ ([0, τ ])
τ megállási τn % τ.
folyamatok el®rejelezhet®ek. Ennek oka, hogy nem minden
jelezhet® abban az értelemben, hogy van olyan
(τ n )
sorozat, hogy
id® el®re-
A monoton osztály tétellel látható be, hogy az el®rejelezhet® folyamatok trajektóriái R∞ 2 X d [L] kifejezés minden el®rejelezhet® X folyamat esetén értelmérhet®ek, így az E 0 mezhet® és a Z ∞
χA d [L]
µ (A) $ E 0
egy mértéket de niál az el®rejelezhet® halmazok osztályán. konstrukciójából evidens, hogy tetsz®leges
X
A mérték szerinti integrál
el®rejelezhet® folyamat esetén
Z
Z Xdµ = E R+ ×Ω
∞
d [L]
0
61 Vegyük észre, hogy a gondolatmenet nem vihet® át jobbról folytonos folyamatokra, ugyanis az analóg
módon képzett
X
k+1 2n
χ
k k+1 2n , 2n
nem lenne adaptált.
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
192
2 teret jelölje L (L), vagy ha az L folyto2 2 nos lokális martingál egyértelm¶, akkor egyszer¶en L . Az X ∈ L (L) folyamat normáját Az így kapott az
kXkL
(R+ × Ω, P, µ) téren értelmezett L2
módon fogjuk jelölni.
62
Emlékeztetünk, hogy a teljes számegyenesen
négyzetesen integrálható martingálok
egyenletesen integrálhatóak, így egyértelm¶en kiterjeszthet®k a a minden
t≤∞
id®pontra. Vagyis
esetén teljesül®
M (s) = E (M (t) | Fs ) ,
s≤t
egyenl®ség miatt a négyzetesen integrálható martingálok
Ft % F∞ $ σ (Ft , t ≥ 0)
téren négyzetesen integrálható
Az így kapott Hilbert-térben a normát miatt minden
t=∞
t≤∞
kM kH2 -vel
H2 -vel jelölt tere azonosítható az 2 függvények L (Ω, F∞ , P) terével.
fogjuk jelölni. A Doob-egyenl®tlenség
esetén
2
E M (t) ≤ E
2 !
sup M (s)
≤ 4 · E M 2 (t) ,
0≤s≤t
M (t) értéknek az L2 (Ω, Ft , P) térben vett konvergenciája ekvivalens avval hogy a 2 trajektóriák id®tengelyen való egyenletes konvergenciában vett távolsága L (Ω)-ban nullá2 hoz tart. Mivel minden L -ben konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol konvergens ezért az
részsorozata, ezért, legalábbis egy részsorozatra, majdnem minden trajektória egyenletesen is konvergens. Mivel folytonos függvények egyenletes konvergens sorozatának határértéke is folytonos, ezért a folytonos négyzetesen integrálható martingálok családja zárt részhalmaza a négyzetesen integrálható martingálok családjának. Az Itô-izometria minden t ≤ ∞ 2 2 2 esetén tekinthet® az L (Ω, Ft , P) , illetve a vele ekvivalens H és az L (L) egy-egy line2 áris altere közötti izometriának. Ha X ∈ L (L) , akkor jelölje X • L azt a négyzetesen 2 integrálható martingált, amit az X 7→ X • L izometria L (L)-re való kiterjesztése segítségével kapunk. Mivel a folytonos adaptált folyamatok, következésképpen a balról reguláris 2 2 folyamatok s¶r¶ek az L (L)-ben a kiterjesztett leképezés minden L (L) esetén értelmes. 2 A kiterjesztés során kapott H martingálok folytonosak, ugyanis a folytonos martingálok egy zárt alteret alkotnak. Természetesen a kiterjesztés során konstruált sztochasztikus integrálokra már nem lesz igaz, hogy az integrál az integrálközelít® összegek határértéke, de az ItôStieltjes integrálokra belátott számolási szabályok kivétel nélkül átvihet®k a kiterjesztett integrálfogalomra is.
3.6.2.
A kiterjesztett integrál tulajdonságai
Az ItôStieltjes integrál linearitása miatt a következ® állítás evidens:
3.134 Állítás. (Linearitás) Ha
X1 , X2 ∈ L2 (L) ,
akkor
(X1 + X2 ) • L = X1 • L + X2 • L.
62 Emlékeztetünk, hogy a négyzetesen integrálhatóság azt jelenti, hogy az
L2 -norma
korlátos.
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
193
3.135 Állítás. (Polaritási formula)
L és N folytonos lokális martingálok és X ∈ L2 (L), akkor [X • L, N ] = X • [L, N ]. Az X • L az egyetlen olyan a t = 0 pontban nulla értéket felvev®, folytonos négyzetesen integrálható martingál, amire ez az egyenl®ség minden N folytonos négyzetesen integrálható
Ha
martingálra teljesül.
Bizonyítás:
Az egyértelm¶ség könnyen igazolható:
Ha
M
egy másik ilyen folytonos,
négyzetesen integrálható martingál, akkor
0 = X • [L, N ] − X • [L, N ] = [X • L, N ] − [M, N ] = [X • L − M, N ] . Ha most
N $ X •L−M, akkor [X • L − M ] = 0, következésképpen az X •L−M
konstans.
Mivel mind a két folyamat a nulla id®pontban nulla, ezért az eltérés azonosan nulla, amivel az egyértelm¶séget igazoltuk. Az azonosság teljesülésére rátérve vegyük észre, hogy az azonosság lokalizálható: Legyen
(τ n )
egy lokalizációs sorozat.
Egyrészt a folytonos lokális martingálok kvadratikus
variációjára már belátott megállítási szabály miatt
[X • L, N τ n ] = [X • L, N ]τ n . Másrészt a trajektóriánként vett integrálra triviálisan igaz a megállítási szabály, így
(X • [L, N ])τ n = X • [L, N ]τ n = X • [L, N τ n ] . Következésképpen, ha igazolni tudjuk, hogy az
[X • L, N τ n ] = X • [L, N τ n ] egyenl®ség teljesül, akkor
[X • L, N ]τ n = [X • L, N τ n ] = X • [L, N τ n ] = X • [L, N ]τ n = (X • [L, N ])τ n , amib®l, mivel
τn % ∞
a kívánt egyenl®ség már következik. Mivel az
N
folytonos, ezért
elegend® az
[X • L, N ] = X • [L, N ] azonosságot
N
és
[N ]
korlátossága esetén igazolni.
Ennek belátásához a keresztvariáció
jellemzése alapján elég belátni, hogy az
(X • L) N − X • [L, N ] lokális martingál. De mivel az
X • L négyzetesen integrálható, az N pedig korlátos, vagyis 63 ha az X folytonos, akkor az ItôStieltjes integrá-
szintén négyzetesen integrálható, ezért
lásra már belátott polaritási szabály miatt
64
(X • L) N − X • [L, N ] = (X • L) N − [(X • L) , N ] 63 V.ö.: 3.128. állítás, 189. oldal. 64 V.ö.: 3.38. tétel, 87. oldal.
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
kifejezés valódi martingál, vagyis ha
t > s,
194
akkor
Z s Z t Xd [L, N ] | Fs = (X • L) (s) N (s) − Xd [L, N ] . E (X • L) (t) N (t) − 0 Ha az
0
X ∈ L2 (L) , akkor vannak olyan folytonos Xn ∈ L2 (L) folyamatok, amelyekre Xn → X L2 (L) térben. A H2 tér topológiája miatt minden u id®pontra L2 (Ω)
(Xn • L) (u) → (X • L) (u) . Az alább külön belátott KunitaWatanabe egyenl®tlenség miatt felhasználva, hogy az L2 Xn → X és az [N ] korlátos, [N ] ≤ K
Z
2 !
u
(Xn − X) d [L, N ]
E
u
Z
Z
2
≤ E
u
(Xn − X) d [L]
0
0
1d [N ]
=
0
Z u 2 = E [N ] (u) (Xn − X) d [L] ≤ 0 Z u 2 (Xn − X) d [L] → 0, ≤ K ·E 0 vagyis minden
u
esetén
u
Z
L2 (Ω)
Z
Xn d [L, N ] →
Xd [L, N ] . 0
0 A feltételes várható érték
u
L1 (Ω)
folytonossága miatt a határérték és a feltételes várható
érték felcserélhet®, amib®l az állítás már könnyen igazolható.
2 A Cauchy-egyenl®tlenség sztochasztikus integrálásra átszabott verzióját már az el®z® állítás igazolásakor is felhasználtuk.
3.136 Állítás. (KunitaWatanabe egyenl®tlenség) Ha
U
és
V
szorzatmérhet® folyamatok,
X
és
Y
folytonos lokális martingálok, akkor
sZ sZ Z t Z t t t 2 d [X] U V d [X, Y ] ≤ |U V | dVar ([X, Y ]) ≤ U V 2 d [Y ]. 0
Bizonyítás:
0
0
Az els® egyenl®ség triviálisan teljesül. Ha
gálok, akkor tetsz®leges
a
és
b
X
0
és
Y
folytonos lokális martin-
konstansok esetén
[aX + bY ] = a2 [X] + 2ab [X, Y ] + b2 [Y ] , ahol az egyenl®ség majdnem mindenhol értelemben értend®.
Ha az
a
és a
b
racionális
számok, akkor a nullmérték¶ halmazokat egyesíthetjük és feltehetjük, hogy az egyenl®ség
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
195
minden trajektóriára teljesül. Mivel a kvadratikus variáció alatt nem tudunk határértéket venni, az egyenl®séget nem tudjuk minden hogy minden
a
és
b
a és b esetére kiterjeszteni.
De azért feltehetjük,
racionális számra
a2 [X] + 2ab [X, Y ] + b2 [Y ] ≥ 0, amely egyenl®tlenséget már kiterjeszthetünk minden valós
a
és
b
konstansokra.
Mivel a
diszkrimináns nem lehet pozitív, ezért majdnem minden trajektóriára
|[X, Y ]| ≤ Legyen
s
p p [X] [Y ].
tetsz®leges. Az egyenl®tlenséget az
e (t) $ X (s + t) X
és
Ye (t) $ Y (s + t)
folyamatokra alkalmazva és felhasználva, hogy
h i e Ye (t) = [X, Y ] (t) − [X, Y ] (s) X, könnyen belátható, hogy
q q [X, Y ]t2 ≤ [X]t2 [Y ]t2 . t1
t1
t1
Természetesen ez ismét csak majdnem mindenhol értelemben teljesül. Ezért a nullmérték¶ halmazokat egyesítve minden racionális
t1 , t2
számra egy közös nullmérték¶ halmaztól el-
tekintve az egyenl®tlenség teljesül. Kihasználva, hogy a trajektóriák folytonosak minden
t1 és t2 esetére is kiterjeszthet® az egyenl®tlenség. Rögzítsünk egy kimenetelt és az [X, Y ] , [X] és az [Y ] ezen kimeneteléhez tartozó trajektóriáját jelölje f, g és h. Így ha t1 < t2 , akkor
|f (t2 ) − f (t1 )| ≤
p p g (t2 ) − g (t1 ) h (t2 ) − h (t1 ).
(3.39)
Legyen
µ $ Var (f ) + g + h és legyen
ν a $ a2 g + 2af + h. A fenti (3.39) sorból triviálisan, ha
t1 < t2 ,
akkor a
ν a (t2 ) − ν a (t1 ) = a2 (g (t2 ) − g (t1 )) + +2a (f (t2 ) − f (t1 )) + +h (t2 ) − h (t1 ) nem negatív, ugyanis az Így a
νa
minden
a
a
szerint vett másodfokú polinom diszkriminánsa nem pozitív.
esetén nem csökken®. Tehát
0≤
dν a dg df dh = a2 + 2a + dµ dµ dµ dµ
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
a
µ
196
mérték szerint majdnem mindenhol. A nullmérték¶ halmazokat egyesítve ismét iga-
zolható, hogy ez minden
a
esetén teljesül. Így ismételten a
df ≤ dµ Tetsz®leges
u
és
v Borel-mérhet® Z ∞ |uv| df =
s
dg dµ
s
µ
szerint majdnem mindenhol
dh . dµ
függvények esetén
Z ∞ Z ∞ df df |uv| dµ ≤ |uv| dµ ≤ dµ dµ 0 0 s s Z ∞ dg dh |uv| ≤ dµ ≤ dµ dµ 0 sZ sZ ∞ ∞ dg dh ≤ u2 dµ v 2 dµ = dµ dµ 0 0 sZ sZ ∞ ∞ = u2 dg v 2 dh
0
0
0
ami éppen a bizonyítani kívánt KunitaWatanabe egyenl®tlenség.
2 A polaritási formula kulcs szerepet játszik az Itô-izometria segítségével kiterjesztett integrálfogalom tulajdonságainak igazolásakor.
Példaként tekintsük a megállítási és az
asszociativitási szabályok igazolását:
3.137 Állítás. (Megállítási szabály) Ha
τ
megállási id®, akkor
X • M τ = (χ ([0, τ ]) X) • M = (X • M )τ .
Bizonyítás:
(3.40)
A kvadratikus variáció megfelel® tulajdonsága és a polaritási szabály szerint
[(X • M )τ , N ] = [X • M, N ]τ = (X • [M, N ])τ = X • [M, N ]τ = = X • [M τ , N ] = [X • M τ , N ] , ami csak akkor lehetséges, ha
(X • M )τ = X • M τ . Hasonlóan,
[X • M τ , N ] = X • [M τ , N ] = X • [M, N ]τ = = (χ ([0, τ ]) X) • [M, N ] = = [(χ ([0, τ ]) X) • M, N ] , amib®l
X • M τ = (χ ([0, τ ]) X) • M. 2
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
3.138 Állítás. (Asszociativitási szabály) Ha
X ∈ L2 (M )
Bizonyítás:
Y ∈ L2 (X • M ) ,
és
akkor
XY ∈ L2 (M )
197
és
(Y X) • M = Y • (X • M ) . (3.41) R ∞ X ∈ L2 de níciója E 0 X 2 d [M ] < ∞. Ebb®l következ®en R ∞ szerint kimenetelre az X 2 d [M ] trajektóriánként vett integrál véges. A 0
Az
majdnem minden
polaritási szabály szerint
[X • M ] = [X • M, X • M ] = X • [M, X • M ] = = X • (X • [M, M ]) = X 2 • [M, M ] , ahol kihasználtuk, hogy az asszociativitási szabály trajektóriánként vett integrálokra tel2 jesül. Ha Y ∈ L (X • M ) , akkor
∞
Z
2
∞ > E
Z
Y d [X • M ] = E Z ∞ 2 2 = E Y X d [M ] ,
∞
Z
2
s
Y d
0
0
X d [M ] = 2
0
0 vagyis
2
Y X ∈ L (M ) .
Ugyanakkor ismételten a polaritási szabály miatt
[(Y X) • M, N ] = (Y X) • [M, N ] $ Z t $ Y Xd [M, N ] = 0 Z s Z t Xd [M, N ] $ Yd =
(3.42)
0
0
$ Y • (X • [M, N ]) , ahol felhasználtuk, hogy mivel miatt
Z
t
X ∈ L2 (M ) , sZ
0
X
sZ
t
X 2 d [M ]
|X| dVar ([M, N ]) ≤ így az
ezért a KunitaWatanabe egyenl®tlenség
0
majdnem minden kimenetelre
[M, N ]
t
1d [N ] < ∞, 0
integrálható. Továbbá
Y • (X • [M, N ]) = Y • [X • M, N ] = [Y • (X • M ) , N ] , vagyis a fenti (3.42) sorral összevetve
[(Y X) • M, N ] = [Y • (X • M ) , N ] , amib®l a sztochasztikus integrál egyértelm¶sége alapján
(Y X) • M = Y • (X • M ) , ami éppen a bizonyítani kívánt asszociativitási szabály.
2
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
3.6.3.
198
Az integrál további kiterjesztése
2 Célunk egy olyan integrálfogalom de niálása, amelyre érvényes az [X • L] = X • [L] 2 polaritási szabály. Mivel az [X • L] véges, ezért ilyenkor az X • [L] is véges kell hogy legyen. A kérdés az, hogy ha L egy folytonos lokális martingál és X egy olyan el®rejelezRt 2 het® folyamat, amelyre X (s) d [L] (s) < ∞ minden t esetén, akkor van-e olyan X • L 0 módon jelölt folytonos, a nullában nulla értéket felvev® lokális martingál, amelyre minden
[X • L, N ] = X • [L, N ]? Miként már többször láttuk, ha ilyen X • L folytonos lokális martingál van, akkor az X • L egyértelm¶. Valóban, ha [X • L, N ] = [M, N ] = X • [L, N ] minden N folytonos lokális martingál esetén, akkor minden N folytonos lokális martingálra [X • L − M, N ] = 0, amib®l X • L = M , vagyis ha van
N
folytonos lokális martingálra
olyan integrálfogalom amely teljesíti a polaritási formulát, akkor az integrál egyértelm¶.
3.139 De níció.
L lokális martingál. Az L2loc (L) téren az olyan X el®rejelezhet® folyamatok halmazát értjük, amelyekhez az L-nek van olyan (τ n ) lokalizációs sorozata, hogy minden n-re X ∈ L2 (Lτ n ) , vagyis Z ∞ Z τ n Z ∞ τn 2 2 2 τn X d [L] X d [L] = X d [L ] = E =E E 0 0 0 Z ∞ 2 χ ([0, τ n ]) X d [L] < ∞. = E Legyen
0
3.140 Tétel. (Sztochasztikus integrál létezése) L folytonos lokális X • L módon jelölt,
Ha
martingál, akkor tetsz®leges
X ∈ L2loc (L)
folyamathoz létezik olyan
1. a nulla pontban nulla értéket felvev®, folytonos lokális martingál, amelyre minden
N
folytonos lokális martingálra érvényes az
[X • L, N ] = X • [L, N ] polaritási szabály
65
(3.43)
.
L2loc (L) tér pontosan azokból az el®rejelezhet® folyamatokból áll, amelyekre minden t-re Z t [X • L] (t) = X 2 d [L] $ X 2 • [L] (t) < ∞. (3.44)
2. Az
0
3. Tetsz®leges
τ
megállási id®re teljesül az
(X • L)τ = χ ([0, τ ]) X • L = X τ • Lτ = X • Lτ
(3.45)
megállítási szabály. 65 Miként korábban most is belátható, hogy a polaritási formula megkövetelése egyértelm¶en de niálja az
X •L
lokális martingált.
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
X ∈ L2loc (L),
4. Ha
akkor
Y ∈ L2loc (X • L)
pontosan akkor, ha
199
XY ∈ L2loc (L)
és
ilyenkor teljesül az
(Y X) • L = Y • (X • L)
(3.46)
asszociativitási szabály. 5. Az
X •L
bilineáris, vagyis
X • (α1 L1 + α2 L2 ) = α1 (X • L1 ) + α2 (X • L2 ) és
(α1 X1 + α2 X2 ) • L = α1 (X1 • L) + α2 (X2 • L) feltéve, hogy az összes kifejezés értelmes. Ha az egyenl®ségben szerepl® három tagból kett® értelmes, akkor értelmes a harmadik is.
Bizonyítás:
Az állítások igazolása a korábbiak alapján már egyszer¶:
2 1. Legyen X ∈ Lloc (L) és L2 (Lτ n ) . Tekintsük az In $
(τ n ) legyen az L olyan lokalizációs sorozata, amelyre X ∈ X • Lτ n integrálokat. Az In+1 a [0, τ n ] szakaszon megegyezik
az
τn In+1 $ (X • Lτ n+1 )τ n = X • (Lτ n+1 )τ n = X • Lτ n = In folyamattal, vagyis a kaszon az
(τ n )
In -nel
X•L
integrál egyértelm¶en de niálható ha értékét a
értelmezzük.
lokalizációs sorozattól.
A konstrukcióból nyilvánvaló, hogy az
Az
X•L
X•L
[0, τ n ]
sza-
nem függ a
a nulla id®pontban biztosan elt¶nik és folytonos.
Triviálisan
(X • L)τ n $ (X • Lτ n )τ n = X • Lτ n . Az
X • Lτ n
négyzetesen integrálható martingál és ezért az
is négyzetesen integrálható martingál, így az
X •L
(X • L)τ n
megállított folyamat
lokális martingál. Meg kell mutatni,
hogy teljesül a (3.43) polaritási formula. A kvadratikus variációra vonatkozó megállítási szabály szerint
[X • L, N ]τ n = [(X • L)τ n , N τ n ] $ $ [X • Lτ n , N τ n ] = X • [Lτ n , N τ n ] = = X • [L, N ]τ n = (X • [L, N ])τ n , amib®l a (3.43) általános polaritási formula evidens. 2.
A trajektóriánkénti integrálás elemi szabályai szerint a polaritási szabály alapján
[X • L] $ [X • L, X • L] = X • [L, X • L] = = X • (X • [L, L]) = X 2 • [L] . Az
[X • L]
kvadratikus variáció majdnem mindenhol való végességéb®l és a fenti sorból 2 következ®en ha X ∈ Lloc (L) , akkor teljesül a (3.44). Megfordítva, ha az el®rejelezhet® X Rt 2 folyamathoz vesszük az olyan (τ n ) megállási id®ket , ahol a t 7→ X d [L] véges, folytonos 0
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
R∞ 2 τn folyamat el®ször lépi át az n szintet, akkor E X d [L ] ≤ n, vagyis 0 2 2 vagyis X ∈ Lloc (L) , tehát az Lloc (L) tér tartalmazza az összes olyan folyamatot, amelyre majdnem minden kimenetelre minden
τ
3. Legyen
tetsz®leges megállási id®. Ha
X ∈ L2loc (L) ,
t-re
200
X ∈ L2 (Lτ n ) , el®rejelezhet®
teljesül a (3.44).
akkor az
|χ ([0, τ ]) X| ≤ |X| miatt triviálisan
χ ([0, τ ]) X ∈ L2loc (L) . τn
((X • L)τ )
A már belátott analóg szabály alapján
τ
= ((X • L)τ n ) $ (X • Lτ n )τ = = χ ([0, τ ]) X • Lτ n $ $ (χ ([0, τ ]) X • L)τ n .
A (3.45) egyenl®ség többi részének igazolása analóg. 4. Az
XY ∈ L2loc (L)
ekvivalens az
X 2 Y 2 • [L]
végességével. A trajektóriánkénti integrálás
miatt mindig teljesül az
Y 2 X 2 • [L] = Y 2 • X 2 • [L] = Y 2 • [X • L] azonosság, következésképpen
Y ∈ L2loc (X • L)
pontosan akkor, ha
XY ∈ L2loc (L) .
Ha
Y ∈ L2loc (X • L) , akkor alkalmas
(τ n )
lokalizációs sorozatra
Y ∈ L2 ((X • L)τ n ) = L2 ((X • Lτ n )) . τ
(Y • (X • L))τ n $ (Y • (X • Lτ n )τ n ) n = τ = ((Y • (X • Lτ n ))τ n ) n = = ((Y X • Lτ n ))τ n $ (Y X • L)τ n , amib®l az asszociativitási szabály evidens. 5. A linearitás a konstrukció miatt evidens.
2
3.6.4.
Folytonos szemimartingálok szerinti integrálás
A már elmondottak alapján értelemszer¶en de niáljuk a folytonos szemimartingálok szerinti integrálást.
3.141 De níció. X = X (0) + V + L az X egyértelm¶ felbontása, ahol a szemimartingál de níciójának megfelel®en L folytonos lokális martingál és V folytonos, véges változású folyamat, továbbá az egyszer¶ség kedvéért V (0) = L (0) = 0. Legyen
X
egy folytonos szemimartingál és legyen
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
Az
Y
201
el®rejelezhet® folyamatot az X szemimartingál szerint integrálhatónak mondjuk, ha Y ∈ L2loc (L) , vagyis majdnem minden ω kimenetelre minden t esetén
egyrészt
Z
t
Y 2 (s, ω) d [L] (s, ω) < ∞,
0
másrészt majdnem minden trajektóriára és minden t id®pontra léteznek az (Y • V ) (t, ω) $ Rt Y (s, ω) dV (s, ω) trajektóriánként vett integrálok, vagyis majdnem minden ω kimenetelre 0 és minden t id®pontra Z t
|Y | (s, ω) dVar (V ) (s, ω) < ∞. 0
De níció szerint
Z (Y • X) (t) $
t
Z
t
Y (s) dX (s) $ 0
Z Y (s) dV (s) +
0
t
Y (s) dL (s) $ 0
$ (Y • V ) (t) + (Y • L) (t) . Az olvasó könnyen beláthatja, hogy az így kapott
Y •X
a sztochasztikus integrálásra már bemutatott szabályok.
integrálfogalomra teljesülnek
A kiterjesztett integrálfogalom
egyik f® el®nye, hogy az integrálok és a határérték felcserélésére átvihetjük a majorált konvergencia kritériumot:
3.142 Tétel. (Majorált konvergencia tétele) Legyen
X
folytonos szemimartingál. Tegyük fel, hogy
sorozata, amelyre az
Yn
(Yn )
el®rejelezhet® folyamatok olyan
Y∞ |Yn | ≤ Y,
majdnem minden kimenetelre minden id®pontban valamely
X szerint integrálható Y folyamat, amelyre Yn •X → Y∞ •X, ahol a konvergencia sztochasztikus konvergenciában minden kompakt
folyamathoz tart. Ha van olyan az akkor
intervallumon egyenletesen, vagyis p
sup |(Yn • X) (s) − (Y∞ • X) (s)| → 0,
0 ≤ t < ∞.
s≤t
Bizonyítás:
Az állítást elég külön-külön az
X
korlátos változású és lokális martingál
részére belátni. Az integrál linearitása miatt elegend® belátni az állítást ha El®ször tegyük fel, hogy az és
X
véges változású. Mivel
|Yn | ≤ Y ,
Y∞ = 0.
ezért tetsz®leges
ω -ra
[0, t] intervallumra az Yn (ω) trajektória a [0, t] szakaszon integrálható. Trajektóriánként s ≤ t fels® határra Z s Z t Yn dX ≤ |Yn | dVar (X) → 0,
alkalmazva a Lebesgue-féle majorált konvergencia tételt minden
0
0
tehát az integrál trajektóriánként, a fels® határ szerint egyenletesen, nullához tart.
A
pontonkénti konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, így az állításban szerepl® konvergencia teljesül.
X folytonos lokális martingál. Az Y a feltétel szerint az X Y ∈ L2loc (X). Legyen τ olyan megállási id®, amelyre X τ ∈ H2
Legyen tehát
szerint integrálható, Y ∈ L2 (X τ ). Ha
és
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
Y ∈ L2 (X τ ),
akkor az
|Yn | ≤ Y
miatt
Yn ∈ L2 (X τ ),
így az
Yn → 0
202
miatt a majorált
konvergencia tétel felhasználásával
Z
kYn k2X τ
∞
Yn2 d [X τ ]
$ E
Yn2 d [X]τ
=E
0
Z
∞
Z
=
0 ∞
χ ([0, τ ]) Yn2 d [X]
= E
→ 0,
0
L2 (X τ ) térben Yn → 0. 2 Legyen (τ n ) az X integrandus H -lokalizációs sorozata. Legyen ε, δ > 0 és jelölje σ egyik olyan τ n megállási id®t, amelyre P (τ n ≤ t) ≤ δ . A [0, σ] véletlen intervallumon Yn • X megegyezik az Yn • X σ folyamattal, vagyis ha s ≤ σ (ω) , akkor tehát az
Ha
az az
(Yn • X) (s, ω) = (Yn • X σ ) (s, ω) . A $ sups≤t |Yn • X| (s) > ε , akkor P (A) = P ((σ ≤ t) ∩ A) + P ((σ > t) ∩ A) ≤ ≤ P (σ ≤ t) + P ((σ > t) ∩ A) ≤ δ + P (Aσ )
ahol
Aσ
az
A-val
analóg módon képzett halmaz, vagyis
Aσ $
sup |Yn • X | (s) > ε σ
s≤t
2 σ Mivel az L (X ) topológiában Yn → 0, és mivel a σ Yn • X → 0. A Doob-egyenl®tlenség szerint
E
Z 7→ Z • X σ
izometria, ezért a
H2 -ben
2 ! sup |Yn • X σ | (s) ≤ 4 E2 ((Yn • X σ ) (∞))2 = s≤∞
= 4 kYn • X σ k2H2 → 0. A Markov-egyenl®tlenség szerint az
L2 -konvergenciából
következik a sztochasztikus kon-
vergencia, ezért
P (Aσ ) $ P sup |Yn • X | (s) > ε → 0. σ
s≤t
2 A majorált konvergencia tétele segítségével megmutathatjuk, hogy balról reguláris folyamatok esetén a sztochasztikus integrálok és az ItôStieltjes integrálok egybeesnek, vagyis a sztochasztikus integrálás valóban kiterjesztése az ItôStieltjes-integrálásnak.
3.143 De níció. Egy
X
folyamatot lokálisan korlátosnak mondunk, ha az X − X (0) rendelkezik olyan (X − X (0))τ n egyenletesen korlátos.
lokalizációs sorozattal, amelyre nézve az
(τ n )
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
Ha egy
X
203
M egy folytonos lokális (X − X (0))τ n és az [M τ n ] is
folyamat lokálisan korlátos és el®rejelezhet® és az
martingál, akkor van olyan (τ n ) lokalizációs sorozat, hogy az 2 korlátos, így X ∈ Lloc (M ) , vagyis az X • M létezik.
3.144 Lemma. Minden balról reguláris folyamat lokálisan korlátos, így minden balról reguláris, adaptált folyamat integrálható tetsz®leges folytonos szemimartingál esetén.
Bizonyítás:
Feltehet®, hogy
X (0) = 0.
Legyen
τ n $ inf {t | |X (t)| > n} . |X τ n | ≤ n, ugyanis ha a τ n id®pontban nem teljesülne, balról való folytonosság miatt a τ n csökkenthet® lenne. A jobb oldali határérték miatt τ n % ∞, ugyanis ellenkez® esetben a (τ n ) véges torlódási pontjában nem
A balról való folytonosság miatt akkor a létezése
létezhetne a jobb oldali határérték. tetsz®lges
M
Triviálisan minden lokálisan korlátos folyamatra és 2 véges, így X ∈ Lloc (M ) , így az M
X 2 • [M ] folyamat X integrálható.
lokális martingálra az
feltételezett folytonossága miatt az
2
3.145 Lemma. Ha
X
balról reguláris, és adaptált, akkor az
lisan korlátos és ezért tetsz®leges
M
X ∗ (t) $ sup {|X (s)| | s ≤ t}
folyamat is loká-
folytonos lokális martingál esetén integrálható.
Bizonyítás:
Az X reguláris, ezért a szuprémumot elég a racionális koordinátájú id®pon∗ tokban venni, így az X mérhet® a balról reguláris folyamatok által generált σ -algebrára ∗ nézve, így az X el®rejelezhet®. Ha X lokálisan korlátos, akkor triviálisan ugyan avval a (τ n ) lokalizációs sorozattal az X ∗ is lokálisan korlátos.
2
3.146 Tétel. Ha
X
folytonos szemimartingál,
Y
balról reguláris, adaptált folyamat, akkor az
Y •X
integrál el®áll ItôStieltjes típusú közelít® összegek határértékeként, ahol a konvergencia sztochasztikusan a véges szakaszokon egyenletes.
Bizonyítás:
Legyek
(n) tk
egy in nitezimális partíciósorozat és legyen
Y
(n)
$
P
k
Y
a megfelel® lépcs®s függvény. Mivel a partíciósorozat végtelenül nomodik tetsz®leges
(n) tk−1
(n) (n) χ tk−1 , tk
t ese-
id®pontot tartalmazó intervallumok alsó határa balról a t-hez tart. Az Y balról Y (n) (t, ω) → Y (t, ω) minden t és ω esetén. Vegyük a K (t) $ sups
tén a
t
folytonos, ezért
Y (n) • X → Y • X, ahol a konvergencia sztochasztikusan a véges szakaszokon egyenletes.
2
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
3.6.5.
204
Sztochasztikus integrálás és mértékcsere
Miként említettük, ekvivalens mértékcsere esetén a sztochasztikus és a majdnem mindenhol való konvergencia nem változik.
Ebb®l következ®en valamely folyamat kvadratikus
variációja sem változik a lokálisan ekvivalens mértékcsere során.
A lokálisan ekvivalens
mértékcsere nyilvánvalóan nem befolyásolja a trajektóriánként de niált sztochasztikus integrálok értékét. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a sztochasztikus integrál értéke általában" ugyancsak nem változik a lokális martingálok szerint vett integrálokra. Ennek indoklása némiképpen boegy folytonos szemimartingál és X egy balról reguláris, adaptált folyaRt t-re az 0 XdS sztochasztikus integrál az Itô-féle közelít® összegek sztochasztikus konvergenciában vett határértéke. Mivel a lokálisan ekvivalens
nyolultabb. Ha
S
mat, akkor miként láttuk minden
mértékcsere véges intervallumon nem befolyásolja a sztochasztikus konvergenciát a ltráció egyes
σ -algebráin,
ezért az integrálás eredménye nem függ az alapul vett mértékt®l. Vilá-
gos, hogy a folytonos, korlátos és adaptált folyamatok
π -rendszert
alkotnak és az olyan
korlátos, el®rejelezhet® folyamatok, amelyekre a két mérték mellett vett megegyezik
λ-rendszer.
S
X
szerinti integrál
Emlékeztetünk, hogy a sztochasztikus integrálás additív m¶velet
és a sztochasztikus integrálokra érvényes a majorált konvergencia tétele, illetve minden korlátos, el®rejelezhet® folyamat sztochasztikusan integrálható. Így a monoton osztály tétel miatt minden olyan korlátos
X
folyamat esetén, amely mérhet® a folytonos, adaptált
folyamatok által generált legsz¶kebb ezen
σ -algebra
σ -algebra szerint a két integrál megegyezik.
De éppen
elemeire de niáltuk a sztochasztikus integrálást. Az idáig elmondottakat a
következ® lemmában foglalhatjuk össze:
3.147 Lemma. Ha
P
és
Q
lokálisan ekvivalens mértékek és
korlátos el®rejelezhet®
X
folyamatra az
X •S
S
folytonos szemimartingál, akkor minden
sztochasztikus integrál független a
P
és a
Q
mértékt®l. A tétel általában is igaz, bár tetsz®leges
S
szemimartingál esetén nem de niáltuk a
sztochasztikus integrált. A ltrációkkal persze vigyázni kell és mind a két mérték esetén azonos ltrációkat kell tekinteni. Többek között például azért, mert az adaptált, folytonos folyamatok, illetve az el®rejelezhet®ség de níciója függ a ltrációtól. Miként említettük a kib®vített ltrációk de níciója függ attól, hogy milyen nullmérték¶ halmazokkal b®vítettük a ltrációt.
Mivel a két oldalon azonos ltrációknak kell lenni, ezért többek között a
nullmérték¶ halmazok azonos osztályaival kell a ltrációkat b®víteni. Ezt oldja fel többek között a már említett lokálisan nullmérték¶ halmazok bevezetése.
3.148 Tétel. Ha
X
el®rejelezhet® és
S
invariáns a lokálisan ekvivalens mértékcserére, vagyis az
P
X • S sztochasztikus integrál, X • S pontosan akkor létezik egy
folytonos szemimartingál, akkor az
mérték alatt, ha létezik a vele lokálisan ekvivalens
Q
alatt is, és ilyenkor a két integrál
értéke azonos.
Bizonyítás:
Mivel a véges változású rész szerinti integrál nyilván invariáns a lokálisan
3.6. AZ INTEGRÁLÁS KITERJESZTÉSE ELREJELEZHET INTEGRANDUSOKRA
205
ekvivalens mértékcserére, ezért elegend® a lokális martingál szerinti résszel foglalkozni. Le-
P mérték mellett. Az S szemimartinQ alatt és miként láttuk ha X korlátos és el®rejelezhet®, akkor (X • S)P = (X • S)Q .
gyen tehát gál a
S
tetsz®leges folytonos lokális martingál a
Érdemes hangsúlyozni, hogy a két oldalon, a mértékek különböz®sége miatt a közös integrátorok matematikai tulajdonságai különböz®ek, így a két oldalon teljesen más matema-
P alatt integrálható, el®rejelezhet® folyamat és Xn $ Xχ (|X| ≤ n) , akkor, mivel az Xn korlátos, az állítás igaz, vagyis (Xn • S)P = (Xn • S)Q . Meg fogjuk mutatni, hogy az (X • S)Q integrál is létezik. Ha tikai konstrukciók állnak.
Ha most
X
tetsz®leges a
ez teljesül, akkor mind a két oldalon alkalmazva a majorált konvergencia tételt az állítás már egyszer¶en indokolható.
S = S (0) + N + V az S felbontása a Q alatt. és folytonos ezért [V ] = [V, N ] = 0. Mivel a kvadratikus variáció mértékcsere során nem változik, ezért [N ] = [S] . Az X pontosan S lokális martingál szerint a P alatt, ha X 2 • [S] < ∞ majdnem Legyen tehát
A
V
véges változású
a lokálisan ekvivalens akkor integrálható az mindenhol a
P
alatt.
Amihez persze elegend®, ha ugyanez minden véges szakaszon teljesül, vagyis elegend®, ha egy lokálisan nullmérték¶ halmazon teljesül. Így az
[S] = [N ]
miatt triviálisan
X 2 • [N ] = X 2 • [S] < ∞ lokálisan majdnem mindenhol a
Q
alatt is, tehát az
mellett az
V
X •V
X•N
P
Q és a P lokális ekvivalenciája miatt a Q alatt. A V véges változású folyamat létezik, ha |X| • Var (V ) < ∞, ahol Var (V ) a
alatt, így a
integrál létezik a
integrál pontosan akkor
trajektóriánként vett teljes megváltozásainak folyamata.
A Girszanov-transzformáció
szerint
V $ −Λ−1 • [S, Λ] = − S, Λ−1 • Λ $ − [S, L] , ahol az
L
lokális martingál a
P
alatt. A KunitaWatanabe egyenl®tlenség szerint
|X| • Var (V ) ≤ tehát az
X •V
p p X 2 • [S] 12 • [L] < ∞,
integrál is létezik. Így az
(X • S)Q $ (X • N )Q + (X • V )Q integrál is létezik és az állítást igazoltuk.
2 Érdemes megjegyezni a következ®t: Azt mondjuk, hogy egy lokálisan abszolút folytonos a
Ft σ -algebrára
P
Q
valószín¶ségi mértékre nézve, ha a
abszolút folytonos a
P
Q
lesz¶kítése minden
lesz¶kítésére nézve. Világos, hogy a szokásos felté-
telek nem feltétlenül maradnak érvényben, ha a halmazok halmaza csak n®het. Így a
valószín¶ségi mérték
Q
P-r®l
áttérünk a
Q-ra,
de a nullmérték¶
alatt az el®rejelezhet® folyamatok halmaza elvi-
leg b®vülhet. A bemutatott gondolatmenettel megmutatható, hogy tetsz®leges az eredeti ltrációra nézve el®rejelezhet®, integrálható folyamat integrálható lesz a alatti integrálja a
Q
alatti integrál egy verziója lesz.
Q
alatt is és a
P
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
3.7.
206
Az integrálreprezentációs tétel
Miként jeleztük az integrál kiterjesztésére az integrálreprezentációs tétel miatt van szükség. Az integrálreprezentációs tételek a piac teljességének indoklása során játszanak alapvet® szerepet.
Két tételt tárgyalunk:
El®ször a Dudley-féle, majd az Itô-féle reprezentációs
tételt mutatjuk be. Mind a két tétel arról szól, hogy egy ξ valószín¶ségi változó milyen RT Xdw módon. körülmények között írható fel, reprezentálható ξ = λ + 0
3.7.1.
Lokális martingálokkal való integrálreprezentációs tétel
0 egy Wiener-folyamat, akkor az Ft $ σ (w (s) | s ≤ t) egy ltrá0 ciót de niál. Ellenpéldával megmutattuk, hogy az F nem jobbról folytonos. Megmutat0 0 ható, hogy ha az F helyett az Ft $ σ (Ft ∪ N ) kib®vített ltrációt tekintjük, akkor az F jobbról folytonos lesz, vagyis ilyenkor Ft = Ft+ $ ∩s>t Fs . Mivel a w folytonos, ezért min0 den t-re w (t) = lims%t w (s) . Ezért a w (t) mérhet® az Ft− $ σ (w (s) | s < t) σ -algebrára. 0 0 0 Ebb®l következ®en Ft = Ft− $ σ (Fs | s < t) . Ez nyilván teljesül az F kib®vített ltráciEmlékeztetünk, hogy ha
w
óra is. Ezt úgy szokás mondani, hogy az ezért az
F
F
balról is folytonos, és mivel jobbról is folytonos,
ltrációt folytonosnak mondjuk.
3.149 Tétel. (Dudley) Legyen w egy Wiener-folyamat és F legyen a w által generált kib®vített ltráció. ξ FT -mérhet® változó esetén létezik X ∈ L2loc (w) folyamat, amelyre
Tetsz®leges
T
Z ξ=
Xdw. 0
Az állítás akkor is érvényes, ha az
F
nem feltétlenül a 66 Wiener-folyamat az F -re nézve .
w
által generált ltráció, de az
F
folytonos és a
w
Bizonyítás:
A bizonyításban használt legf®bb eszköz a következ®, korábban már felhasz-
nált észrevétel: Tetsz®leges
0≤a
esetén az
t
Z Ia,b (t) $ a
1 dw (s) b−s
[a, b) szakaszon és ha t % b, akkor az I (t, ω) trajektóriái majdnem minden kimenetelre a −∞ és a +∞ között ingadoznak. Az I folyamat tekinthet® úgy mintha egy Wiener-folyamatot összenyomtunk" volna az a és a b
sztochasztikus integrál értelmes, folytonos az
id®pontok közé
67
.
Els® lépésben belátjuk, hogy tetsz®leges hogy minden
n-re ξ n
mérhet® az
66 Tipikus eset, amikor az
w
az egyik koordináta.
F
tn % T
Ftn σ -algebra
sorozat esetén van olyan
(ξ n )
szerint és majdnem mindenhol
sorozat,
ξn → ξ.
egy többdimenziós Wiener-folyamat által generált kiterjesztett ltráció és
67 V.ö.: 3.51. példa, 98. oldal.
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
Ennek igazolása a következ®: Ha
68
konvergencia tétel
207
η $ arctan ξ, akkor az η korlátos, így a Lévy-féle martingál
miatt majdnem mindenhol
η n $ E (η | Ftn ) → E (η | Ftn ) = E (η | FT − ) . Ugyanakkor az
F
E (η | FT ) = η.
ltráció a feltétel szerint balról folytonos, vagyis
Az
(η n )
segítségével a
(ξ n )
FT − = FT , így E (η | FT − ) =
sorozat már könnyen de niálható:
ξ n $ tan (η n ) → tan (η) = ξ. Véges mérték esetén a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia. Ebb®l következ®en megadható olyan
ξ nk
részsorozat, amelyre
1 1 P ξ nk − ξ > 3 < 2 . k k Az egyszer¶bb jelölés kedvért az eredeti sorozat helyett vegyük ezt a részsorozatot.
A
bizonyítás végén szükségünk lesz a következ® becslésre:
4 P (n + 1) ξ n+1 − ξ n > 2 = n 4 = P ξ n+1 − ξ n > 2 ≤ n (n + 1) 1 3 + P |ξ n − ξ| > 2 ≤ ≤ P ξ n+1 − ξ > 2 n (n + 1) n (n + 1) 1 1 ≤ P ξ n+1 − ξ > + P |ξ n − ξ| > 3 ≤ 3 n (n + 1) 1 2 1 ≤ 2 + 2 ≤ 2 n n (n + 1)
Tekintsük a
Z
t
In (t) $ tn
1 tn+1 − s
(3.47)
dw (s)
In egy a [tn , tn+1 ) intervallumba beszorított" Wiener-folyamat. Miként ha t % tn+1 , akkor az In integrálfolyamat a ±∞ között ingadozik és mivel
integrálokat. Az megjegyeztük az
In
folyamat folytonos, ezért
τ n $ inf s ≥ tn : In (s) = ξ n − ξ n−1 = = inf s ≥ tn : In (s) − ξ n − ξ n−1 = 0 < tn+1 . Mivel a
ξ n − ξ n−1
változó
Ftn -mérhet®
könnyen belátható, hogy az
In (s) − ξ n − ξ n−1 , 68 A tétel szerint ha sorozata, akkor
tn+1 > s ≥ tn
η egy integrálható valószín¶ségi változó és (Fn ) σ -algebrák egy monoton növeked® E (η | Fn ) → E (η | F∞ ) , ahol F∞ az Fn σ -algebrák egyesítése által generált σ -algebra.
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
folyamat adaptált és folytonos a A
0 ≤ s ≤ t1
halmazon az
X
[tn , tn+1 )
208
szakaszon, így a
τn
legyen nulla és indukcióval a
találati id® megállási id®.
(tn , tn+1 ]
szakaszokon legyen
1/ (tn+1 − s) ha tn < s ≤ τ n = 0 ha τ n < s ≤ tn+1 1 = χ (s ≤ τ n ) . tn+1 − s
X (s, ω) $
n-re
Tetsz®leges
a
τ n < tn+1
Z
tn+1
miatt
Z
tn+1
1 χ (s ≤ τ n ) ds = (tn+1 − s)2 tn τ n Z τn 1 1 = = 2 ds = tn+1 − s tn tn (tn+1 − s) 1 1 = − < ∞. tn+1 − τ n tn+1 − tn
2
X d [w] = tn
n-re X ∈ L2loc a [tn , tn+1 ] szakaszon, következésképpen a sztochasztikus integrál R tn+1 2 additivitása miatt X ∈ Lloc a [0, tn+1 ] szakaszon is. Ebb®l következ®en az Xdw 0 Így minden
integrál értelmes. Ugyanakkor
tn+1
Z
XZ
Xdw = 0
k≤n
tk+1
Xdw =
XZ
tk
XZ
k≤n
tk+1
tk
1 χ (s ≤ τ k ) dw = tk+1 − s
τk
X 1 Ik (τ k ) = dw = tk+1 − s k≤n tk k≤n X = ξ k − ξ k−1 = ξ n , =
k≤n
ξ 0 $ 0. szakaszon is integrálható, akkor a majorált konvergencia tétel
ahol értelemszer¶en feltettük, hogy Ha az
X
a teljes
[0, T ]
miatt, felhasználva, hogy az egy pontból álló halmazok az integrátor folytonossága miatt elhagyhatóak, vagyis hogy a
Z
T
Z Xdw =
0
[0, T ]
és a
(0, T )
halmazon való integrálok egybeesnek
T
Z lim χ ((0, tn+1 ]) Xdw = lim
0
n→∞
n→∞
tn+1
Xdw = lim ξ n = ξ, 0
n→∞
ami éppen a bizonyítani kívánt reprezentáció. Az
X
integrálhatóságához meg kell mutatni, hogy
minden kimenetelre
Z 0
X ∈ L2loc (w),
T
X 2 (s) ds < ∞.
vagyis hogy majdnem
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
209
Legyen
Z
τn
1 2 ds = tn (tn+1 − s) 1 1 = − $ fn−1 (τ n ) . tn+1 − τ n tn+1 − tn
γ n $ [In ] (τ n ) =
RT
Evidens módon
0
P∞ γ . Meg kell mutatni, hogy n n=0 n=0 γ n < ∞ majdnem éppen a [tn , tn+1 ) intervallumot képezi a [0, ∞) félegyenesre.
X 2 (s) ds =
fn−1 függvény w bn (s) $ In (fn (s)) a megfelel®
mindenhol. Az Ha
P∞
széthúzott Wiener-folyamat, akkor
w bn (γ n ) = w bn fn−1 (τ n ) = In (τ n ) = ξ n − ξ n−1 és mivel az
f
és az
f −1
szigorúan monoton n®, valójában
γn
az els® olyan id®pont, ahol
ξ n − ξ n−1 változót. Vegyük észre, hogy a ξ n − ξ n−1 az w bn pedig a [tn , tn+1 ) id®intervallumon értelmezett In áttranszformálása. Következésképpen az In , így a w bn is független a ξ n − ξ n−1 változótól. Vizsgáljuk meg a γ n eloszlását. Az egyszer¶ség kedvéért az n indexet elhagyva tetsz®leges B Borel-mérhet® halmazra, ha F jelöli a ξ $ ξ n − ξ n−1 eloszlását, akkor Z P (γ ∈ B) $ P (γ ∈ B | ξ = x) dF (x) . a w bn Wiener-folyamat Ftn σ -algebrára nézve
eltalálja a
mérhet®, a
R Vegyük észre, hogy ez az egyenl®ség egy triviális azonosság. Bármely valószín¶ség felírható tetsz®leges másik változóra vonatkozó feltételes valószín¶ségek integráljaként. Az azonosság felírásához pusztán a feltételes valószín¶ség de níciója szükséges és az, hogy a feltételes valószín¶ség mindig létezik, vagy ami ugyanaz, hogy a feltételes várható érték integrálható változó esetén mindig létezik. Kérdés csak az, hogy hogyan lehet kiszámolni a feltételes valószín¶séget? Az egyetlen széles körben használható feltétel a következ®:
3.150 Lemma. Ha a
ξ
és az
η
független, véges vagy végtelen dimenziós vektorváltozók és
Z (x, y)
egy két-
változós, szorzatmérhet® függvény, akkor
E (Z (ξ, η) | η = y) = E (Z (ξ, y)) vagyis függetlenség esetén a feltétel behelyettesíthet® és elhagyható". tere tetsz®leges mérhet® tér lehet, amelyre nézve a
ξ
és az
η
A
ξ
és az
η
valószín¶ségi változó és a
szorzatmérhet®.
Bizonyítás:
Ha
Z = χA χB
kép-
alakú mérhet® tégla karakterisztikus függvénye, akkor
E (Z (ξ, η) | η) = E (χA (ξ) χB (η) | η) = χB (η) E (χA (ξ) | η) = = χB (η) E (χA (ξ)) ,
Z
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
210
így a regressziós függvény de níciója miatt
E (Z(ξ, η) | η = y) = χB (y)E(χA (ξ)) = E(χB (y)χA (ξ)) = = E(Z(ξ, y)). Az általános eset a lépcs®s függvényekkel való közelítéssel kapható.
2 Jelölje
C ([0, ∞))
a nullából induló folytonos függvények terét.
A
C ([0, ∞))
teret a
σZ egyik változója az x ∈ C ([0, ∞)) függvények,
Borel-halmazok által generált, vagy ami ugyanaz, a pontfunkcionálok által generált algebrával látjuk el. A konkrét helyzetben a a másik az az
x
y ∈R
számok. A
függvény eléri az
y
Z (x, y)
függvény értéke legyen az az els® id®pont, amikor
λ≥0
értéket. Legyen
tetsz®leges. Ha
y > 0,
akkor felhasználva,
hogy egy kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény felveszi a maximumát
{(x, y) | Z (x, y) > λ} = {(x, y) | x (t) < y, ∀t ≤ λ} = 1 = ∪n (x, y) | x (t) ≤ y − , ∀t ≤ λ = n 1 = ∪n (x, y) | x (r) ≤ y − , ∀r ≤ λ, r ∈ Q . n
(3.48)
r id®pontra az {(x, y) | x (r) ≤ y − 1/n} halmaz zárt, így a halmaz B (C ([0, ∞)))× B (R) = B (C ([0, ∞)) × R) mérhet®. Következésképpen a fenti (3.48) halmaz szorzatmérhet®. Hasonlóan járhatunk el, ha y < 0. Ha y = 0, akkor a fenti (3.48) halmaz üres. Vagyis a Z esetén alkalmazható a lemma. Bármely
A lemma szerint ha
γ (x) $ inf {s ≥ 0 | w (s) = x} , akkor
Z P (γ ∈ B) $
P (γ ∈ B | ξ = x) dF (x) = ZR
=
P γ (x) ∈ B dF (x) .
R Mivel
γ (x)
az
x
pont találati ideje, akkor a
γ (x)
s¶r¶ségfüggvény éppen
2 x h (u) = |x| √ exp − , 3 2u u 2π 1
u ≥ 0.
A s¶r¶ségfüggvény képletéb®l
h (u) ≤ vagyis
P γ
(x)
≥ u ≤ |x|
Z
∞
y u
−3/2
|x| u3/2
1 dy = −2 |x| √ y
∞ u
|x| = 2√ . u
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
211
Következésképpen
Z 1 1 (x) P γn ≥ 2 = P γ n ≥ 2 dF (x) = n n R Z 1 = min P γ (x) , 1 dF (x) ≤ n ≥ 2 n R ! Z Z |x| ≤ min 2 p , 1 dF (x) = min (2n |x| , 1) dF (x) = 1/n2 R R = E min 2n ξ n − ξ n−1 , 1 ≤ 8 8 +1· . ≤ P 2n ξ n − ξ n−1 > 2 (n − 1) (n − 1)2 A tárgyalás elején lev® (3.47) becslés alapján
P n ξ n − ξ n−1 > ezért
Az
P
1 P γn ≥ 2 n
≤
4 (n − 1)2
≤
2 , (n − 1)2
8 10 2 . 2 + 2 = (n − 1) (n − 1) (n − 1)2
1/ (n − 1)2
sor konvergens, így a BorelCantelli lemma miatt majdnem minden kiP 2 menetelre véges sok indext®l eltekintve γ n < 1/n , vagyis a γ n sor majdnem minden kimenetelre konvergens, tehát az integrálhatóság teljesül.
2
3.151 Példa. Integrálreprezentáció többdimenziós Wiener-folyamat esetén. A Dudley-féle tételben csak a ltráció folytonosságára van szükség. Ez teljesül például akkor, ha a ltrációt egy többdimenziós Wiener-folyamat de niálja, miközben a reprezentálást csak az egyik koordináta segítségével akarjuk elvégezni. A Dudley-tétel szerint az el®állítás ilyenkor is megvalósítható. Vagyis ha az
X
nem mérhet® az integrátor által gene-
rált ltrációra nézve, akkor esetlegesen az integrátor által generált ltrációra nem mérhet® változó is el®állítható sztochasztikus integrálként. Erre tekinthetjük a következ® példát: Legyen
(w1 , w2 )
egy kétdimenziós Wiener-folyamat. Legyen
t [w2 ] (t) E (t) $ exp w2 (t) − = exp w2 (t) − . 2 2 Az az
E éppen a w2 exponenciális martingálja, így az Itô-formulával könnyen igazolható, hogy E lokális martingál. Ugyanakkor az E valódi martingál: Ha t > s, akkor, felhasználva,
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
hogy a
w2
212
független növekmény¶
E (E (t) | Fs ) = = = =
t E exp w2 (t) − | Fs = 2 t exp (w2 (s)) E (exp (w2 (t) − w2 (s)) | Fs ) = exp − 2 t exp − exp (w2 (s)) E (exp (w2 (t) − w2 (s))) = 2 t−s t exp (w2 (s)) exp = E (s) , exp − 2 2
ahol az utolsó sorban kihasználtuk a lognormális eloszlás várható értékének képletét. Legyen továbbá
a>1
és
τ a $ inf {t < T | a + I (t) = E (t)} , ahol ismét
Z I (t) $ 0
a
w1
t
1 dw1 (s) , T −s
t
Wiener-folyamat már látott összenyomása.
[0, T ) szakaszon a −∞ és ∞ között ingadozik, az E trajektóriái, mivel folytonosak, külön-külön korlátosak a [0, T ] kompakt szakaszon, ezért τ a < T . Világos, hogy a τ a megállási id® a (w1 , w2 ) által generált ltrációra nézve. Legyen a [0, T ] szakaszon Miként korábban láttuk az
I
összenyomott Wiener-folyamat a
X (s) $
1 χ (s ≤ τ a ) . T −s
E ≥ 0 és E (0) = 1 < a = a + I (0) azonnal látható, a + I az E felett van, így ezen a szakaszon Z t 1 a + I (t) $ a + dw1 (s) ≥ E (t) ≥ 0. 0 T −s
Felhasználva, hogy szakaszon az
hogy a
[0, τ a )
Vagyis
1 1 χ (s ≤ τ a ) • w1 = • w1τ a = I τ a ≥ −a, T −s T −s így az X egy megengedett befektetési stratégia a w1 -re nézve. Ha HT $ E (τ a ) , akkor Z τa 1 HT $ E (τ a ) = a + I (τ a ) = a + dw1 (s) = T −s 0 Z T = a+ Xdw1 (s) = a + (X • w1 ) (T ) , X • w1 $
0 vagyis a
w1
egy a
állítani. (Persze az
(w1 , w2 ) által generált ltrációra nézve X csak a (w1 , w2 )-re nézve adaptált.)
mérhet® változót is el® tudott
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
213
A megállási opciókról szóló tétel miatt, felhasználva, hogy az
E
martingál és
τa ≤ T
E (HT ) $ E (E (τ a )) = E (E (0)) = 1, így a replikáló stratégiában a replikáló konstans értéke
a > 1 nem
a várható érték. Ugyan-
akkor az Itô-formulával való elemi számolással
Z E (t) = 1 +
t
E (s) dw2 (s) . 0
Az
E (t)
triviálisan nem negatív. Következésképpen
Z
E • w2 ≥ −1.
τa
E (s) dw2 (s) = HT $ E (τ a ) = 1 + 0 Z T χ (s ≤ τ a ) E (s) dw2 (s) , = 1+ 0
HT tranzakció HT az integrál-
így van olyan replikáló, alulról korlátos portfólió is, ahol a konstans éppen a várható értéke. Vegyük észre, hogy ebben az el®állításban sem mérhet® a ban szerepl®
w2
Wiener-folyamat által generált ltrációra nézve. Ebben az el®állításban
szerepl® integrál azonban martingál a
3.7.2.
(w1 , w2 )
által generált ltrációra nézve.
2
Négyzetesen integrálható martingálokkal való integrálreprezentációs tétel
A Dudley-tételben az el®állítás nem egyértelm¶, ennek megfelel®en nem tudjuk garantálni, hogy a reprezentációban szerepl® konstans éppen a
ξ
változó várható értéke legyen.
Az
alább tárgyalandó Itô-féle reprezentációs tételben a legfontosabb az, hogy az el®állításban szerepl® konstans éppen a várható érték. Ugyancsak érdemes hangsúlyozni, hogy az el®állításban szerepl® sztochasztikus integrál nem csak lokális martingál, hanem valódi martingál, 2 ugyanis az el®állításban szerepl® integrál X integrandusára X ∈ L (w). Ugyanakkor ennek ára is van. Egyrészt a rálható, másrészt a
ξ
nem lehet tetsz®leges, fel kell tenni, hogy a
ξ
négyzetesen integ-
ξ -nek mérhet®nek kell lenni az el®állító Wiener-folyamat által generált σ -algebrára nézve. Az eszközárazási képletben a beárazható követelé-
ltrációban szerepl®
sek mérhet®ségére szigorú megkötéseket kell tenni. A modellben a ltrációt az alapul vett Wiener-folyamatok generálják. Ennek oka éppen az alább tárgyalt tételben rejlik.
w egy Wiener-folyamat és jelölje F a w által generált ltrációt. Emlé0 0 keztetünk, hogy Ft $ σ (Ft ∪ N ) , ahol F a w által generált ltráció. Könnyen látható, 0 hogy minden F ∈ Ft halmazhoz található olyan F0 ∈ Ft és N nullmérték¶ halmaz, hogy F ∆F0 = N. Az Ft0 , de níció szerint, éppen a w (s) , s ≤ t alakú változók által generált legsz¶kebb σ -algebra. Világos, hogy ez a σ -algebra megegyezik a w (s1 ) − w (s2 ) , s1 , s2 ≤ t alakú növekmények által generált σ -algebrával. Ugyancsak emlékeztetünk, hogy valamely véges számú ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ m változók által generált σ -algebra minden eleme felírható Legyen tehát
{ω | (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ m ) (ω) ∈ B}
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
214
B az Rm egy tetsz®leges Borel-mérhet® halmaza. Vagyis a (ξ k )m k=1 változók által generált σ -algebra éppen az m-dimenziós Borel-halmazok inverzképeinek halmaza. 0 Emlékeztetünk, hogy az Ft σ -algebra de níció szerint az w (s) , s ≤ t valószín¶ségi változók alapján generált σ -algebra. Tekintsük a ∆w (tk ) $ w (tk ) − w (tk−1 ) , tk, , tk−1 ≤ t alakú növekményekb®l álló D halmazt. A D tetsz®leges véges elem¶ részhalmaza esetén tekintsük az ezen véges számú változó által generált σ -algebrát, majd tekintsük ezen σ -
módon, ahol
algebrák unióját. Világos, hogy egyrészt metszet zárt rendszert kapunk, másrészt az így 0 kapott S halmazcsalád szintén generálja az Ft σ -algebrát. A monoton osztály tételb®l evidens, hogy tetsz®leges ν (véges) el®jeles mérték esetén ha ν (S) = 0 minden S ∈ S halmazra, akkor a
ν = 0,
vagyis az
S
elemei egyértelm¶en meghatározzák az el®jeles
mértékeket. (Venni kell az összes olyan korlátos a
ν
mérték véges, ezért a lehetséges
u
u
függvényt, amelyre
R
udν = 0.
Ω függvények halmaza lineáris tér.)
Mivel
Ezt követ®en
tekintsük a következ® egyszer¶ lemmát:
3.152 Lemma. Jelölje
F
valamely
w
Wiener-folyamat által generált ltrációt.
Ha a
h
végigfutja
[0, T ]
szakaszon értelmezett determinisztikus lépcs®s függvényosztály elemeit, akkor az
Z (E (h • w)) (T ) $ exp 0
T
alakú függvények által generált lineáris tér s¶r¶ az engedett, azonban ilyenkor is a
h
T
Z
1 hdw − 2
h d [w] 2
0
2
L (Ω, FT , P)
térben. A
T =∞
meg-
függvények tartója korlátos kell, hogy legyen, ugyanis
ellenkez® esetben az integrálok értelmetlenek.
Bizonyítás:
Jelölje
U
Megmutatjuk, hogy ha a
az
g
(E (h • w)) (T )
alakú függvények által generált lineáris teret. m.m. U -ra, akkor g = 0. Ebb®l a lemma
függvény mer®leges az
már következni fog, mert ha egy függvény mer®leges az U -ra, akkor mer®leges az U által 2 generált zárt altérre is, amely ezek szerint a teljes L tér, ugyanis ha a generált zárt altér az 2 L -nek csak egy valódi zárt altere lenne, akkor létezne egy a generált zárt altérre mer®leges nem nulla elem is. Vagyis elegend® belátni, hogy ha minden
m X
h$
λk χ ((tk , tk+1 ]) ,
k=0 esetén
0 = E exp
X
λk ∆w (tk ) −
k
$ C · E exp
X
1X 2 !
λk ∆w (tk )
! λ2k ∆tk
! ·g
$
k
! ·g ,
k akkor
g = 0.
Evidens módon tetsz®leges
(λk , tk )
sorozat esetén
hogy
! E exp
X k
λk ∆w (tk )
! ·g
= 0.
C 6= 0,
vagyis feltehetjük,
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
A következ® gondolatmenet célja, hogy a
215
λk
valós paraméterek helyébe az
iλk
imaginárius
értékeket tegyük. Rögzítsük a
λ0
kivételével a
λk
konstansokat. Az
exp (λk ∆w (tk )) ,
k = 1, 2, . . . , m L2 (Ω, A, P)-beli
alakú kifejezések lognormálisak, így van szórásuk, vagyis
elemek. Mivel
függetlenek egymástól, ezért a négyzetük szorzatának várható értéke éppen a négyzetek 2 2 várható értékeinek szorzata. Így a szorzatuk is L (Ω)-beli. A g szintén L (Ω)-ban van. Két 2 négyzetesen integrálható függvény szorzata integrálható, következésképpen a g ∈ L (Ω)Pm 1 vel szorozva az exp ( k=1 λk ∆w (tk )) változót egy L (Ω)-beli u függvényt kapunk. Mivel erre a kés®bbiekben szükségünk lesz érdemes hangsúlyozni, hogy ugyanez a gondolatmenet érvényes az exp (λk |∆w (tk )|) változókra is, egyedül azt kell csak felhasználni, hogy ha ξ normális eloszlású, akkor az exp (|ξ|) változónak van szórása: Legyen ξ ∼ = N (0, σ). 2 E (exp (|ξ|)) = E (exp (2 |ξ|)) és így elegend® az E (exp (c |ξ|))-vel, c ≥ 0 és ξ ∼ = N (0, 1) várható értékkel foglalkozni. A lognormális eloszlás várható értékének végessége miatt
2 Z ∞ x 1 exp (c |x|) exp − dx = E (exp (c |ξ|)) = √ 2 2π −∞ 2 Z ∞ x 2 exp (cx) exp − dx ≤ = √ 2 2π 0 2 Z ∞ x 1 √ exp (cx) exp − dx < ∞. ≤ 2 2 2π −∞ Térjünk vissza a
λ0
változóra.
! M (λ0 ) $ E exp
X
λk ∆w (tk )
! ·g
$
k
$ E (exp (λ0 ∆w (t0 )) · u) $ Z $ exp (λ0 ∆w (t0 )) · udP $ ZΩ $ exp (λ0 ∆w (t0 )) dµ ≡ 0, Ω
R
ahol µ (A) $ udP egy el®jeles mérték. Minden el®jeles mérték de níció szerint csak A véges értékeket vehet fel, tehát fontos, hogy az u integrálható a P-re nézve. Könnyen látható, hogy az
M
végtelen sokszor deriválható és a deriválás elvégezhet® az integrál alatt.
(Emlékeztetünk, hogy ehhez elegend®, hogy a magfüggvény paraméter szerinti parciális deriválása után a deriváltnak legyen deriváláshoz használt paramétert®l független integrálható majoránsa. Mivel a deriválás lokális m¶velet, az integrálható majoráns elegend® ha a deriválandó paraméter tetsz®leges értéke esetén egy a paraméter érték köré rajzolt nyílt sávban létezik.)
Formálisan az integrál alatt deriválva
M
(n)
Z (λ0 ) = Ω
(∆w (t0 ))n exp (λ0 ∆w (t0 )) dµ.
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
ε > 0 esetén alkalmas k λ0 ∈ (λ0 − ε, λ0 + ε) , akkor
Mivel tetsz®leges ha
216
konstanssal
xn exp (x) ≤ k exp (x (1 + ε)) , x ≥ 0,
|(∆w (t0 ))n exp (λ0 ∆w (t0 ))| ≤ |(∆w (t0 ))n | exp (|λ0 ∆w (t0 )|) ≤ ≤ k exp ((|λ0 | + ε) |∆w (t0 )|) amely kifejezés miként láttuk, integrálható.
M (λ) ≡ 0 alapján Z (n) (∆w (t0 ))n exp (λ0 ∆w (t0 )) dµ = 0. M (λ0 ) =
A deriválást elvégezve az
Ω Ha
λ0 = 0,
akkor
Z
(∆w (t0 ))n dµ = 0,
n = 0, 1, 2, . . . .
Ω Tekintsük az
Z X (iλ0 ∆w (t0 ))n exp (iλ0 ∆w (t0 )) dµ = dµ. n! Ω Ω n
Z
integrált. A bizonyítás alapgondolata, hogy az összegzést és az integrálást fel tudjuk cserélni. Ezt a majorált konvergencia tétellel fogjuk igazolni. A így miként már megjegyeztük az
exp (|λ0 ∆w (t0 )|)
∆w (t0 )
eloszlása normális, 2 változónak van szórása. Az u ∈ L (Ω)
miatt
Z X Z X |λ0 ∆w (t0 )|n |(iλ0 ∆w (t0 ))|n d |µ| = d |µ| = n! n! Ω n Ω n Z Z exp (|λ0 ∆w (t0 )|) |u| dP < ∞. exp (|λ0 ∆w (t0 )|) d |µ| = = Ω
Ω
Ezt felhasználva az alábbi sorban használhatjuk a majorált konvergencia tételt:
Z exp (iλ0 ∆w (t0 )) dµ = Ω Vagyis minden
λ0
Z ∞ X (iλ0 )n n=0
n!
(∆w (t0 ))n dµ = 0.
Ω
valós szám esetén
E (exp (iλ0 ∆w (t0 )) · u) = 0. Ezt követ®en a
g
helyébe írjuk az
exp (iλ0 w∆ (t0 )) g függvényt. Mivel a komplex exponenciális függvény korlátos az új függvény szintén négyzetesen integrálható marad. gondolatmenetet a
λ1 -re
Ezt követ®en vegyük a
λ1
változót, majd ismételjük meg a
stb. Véges lépés után az
! M (iλ0 , . . . , iλn ) $ E exp
X k
iλk ∆w (tk )
! ·g
≡0
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
217
azonossághoz jutunk.
f (x1 , x2 , . . . , xm )
Az olyan
λ-rendszert
alkotnak. A
korlátos függvények, amelyekre
E (f (∆w (t1 ) , . . . , ∆w (tk )) · g) = 0 X exp (iλk x) korlátos függvények π -rendszert
k kalmazhatjuk a monoton osztály tételt.
Következésképpen minden
alkotnak, így al-
f (x1 , . . . , xm )
Borel-
mérhet®, korlátos függvényre
E (f (∆w (t1 ) , . . . , ∆w (tk )) · g) = 0. f = χB ,
Ha
ahol
B
az
Rn
egy Borel-mérhet® halmaza, akkor
E (χB (∆w (t1 ) , . . . , ∆w (tk )) · g) = 0. A generált
akkor
σ -algebra
korábban említett konstrukciója miatt ha
A ∈ σ (∆w (t0 ) , . . . , ∆w (tm )) = σ (w (t0 ) , . . . , w (tm )) , R E (χA g) = 0. Vegyük észre, hogy a ν (A) $ A gdP egy el®jeles mérték.
A monoton
osztály tétel miatt a már korábban említett észrevétel alapján
E (χA g) = 0, Az
F
A ∈ σ (w (s) , s ≤ T ) = FTw .
ha
ltráció a feladat megfogalmazása szerint a
w
által generált ltráció, ezért
Z A ∈ FT .
gdP = 0, A A
g
függvény
FT -mérhet®,
halmaz mértéke pozitív lenne, akkor
R
3.153 Tétel. (Itô) Legyen
w
Wiener-folyamat, és jelölje
F
akkor található, mégpedig egyetlen olyan
Bizonyítás:
m.m.
g = 0, ugyanis ha például az A $ {g > 0} gdP > 0 lenne, ami lehetelen, ugyanis A ∈ FT . A 2
következésképpen
w által generált ltrációt. Ha ξ ∈ L2 (Ω, FT , P) , RT X ∈ L2 (w), amelyre ξ = E (ξ) + 0 Xdw.
a
U az olyan ξ változók halmaza, amelyekre a tételben szerepl® el®állíX ∈ L (w) folyamattal lehetséges. Az U triviálisan lineáris tér. Ha ξ ∈ U,
Legyen
tás valamilyen
2
akkor az el®állítás két oldalát négyzetre emelve az Itô-izometria alapján
E ξ
2
2
= (E (ξ)) + 2E (ξ) · E
T R 0
2
= (E (ξ)) + E
T R
2 ! Xdw
Xdw + E
T R
2 ! Xdw
= (E (ξ))2 + k(X • w) (T )k22 $
0 2
=
0
$ (E (ξ)) + kX • wk2H2 = (E (ξ))2 + kXk2w ,
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
ugyanis a feltétel szerint
X ∈ L2 (w) ,
218
így az
X•w
négyzetesen integrálható martingál,
tehát
E ((X • w) (T )) = E ((X • w) (0)) = 0. U zárt az L2 (Ω)-ban, ugyanis ha (ξ n ) ⊆ U ⊆ L2 (Ω, FT , P) és ξ n → ξ ∞ , akkor E (ξ n ) → E (ξ ∞ ) és ezért a (ξ n ) , illetve az (E (ξ n )) Cauchy-sorozatok. Így a megfelel® (Xn ) is 2 2 2 Cauchy-sorozat az L (w) térben. Mivel az L (w) , miként minden L -tér, teljes, ezért 2 2 az (Xn ) sorozatnak van X∞ ∈ L (w) határértéke, természetesen az L (w)-ben de niált 2 konvergencia szerint. Ugyancsak az Itô-izometria szerint az L (Ω) térben Az
Z
T
T
Z Xn dw →
0 ezért az integrálel®állítás teljesül a Megmutatjuk, hogy az
U
X∞ dw, 0
ξ∞
határértékre is.
tartalmazza a
1 2 ξ $ E (h • w) (T ) $ exp h • w − h • [w] (T ) 2 alakú változókat, ahol integrálfüggvénye a
λ
h
egy lépcs®s függvény. Természetesen
h2 • [w]
értelemszer¶en a
h2
Lebesgue-mérték szerint.
Az Itô-formula alapján tetsz®leges
M
folytonos szemimartingálra ha
1 E (M ) $ exp M − [M ] , 2 akkor
E(M ) − E(M )(0) = 1 = E(M ) • (M − 1/2 [M ]) + E (M ) • [M − 1/2 [M ]] = 2 1 = E (M ) • (M − 1/2 [M ]) + E (M ) • [M ] = 2 = E (M ) • M. Így ha az
M
lokális martingál, akkor az
E (M )
mindig lokális martingál. Ha
akkor
E (M ) • M $ E (M ) • (h • w) = (E (M ) h) • w, így
E (M ) = E (M ) (0) + (E (M ) h) • w. [0, T ] szakaszon 1 2 E (M ) h = h exp h • w − h • [w] ∈ L2 (w) , 2
Elegend® belátni, hogy tetsz®leges lépcs®s
h
esetén a
M $ h • w,
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
ugyanis ekkor az
219
E (M ) valódi martingál, így, felhasználva, hogy az F0
a triviális
σ -algebra
E (E (M ) (T )) = E (E (M ) (0)) = E (M ) (0) . Mivel a
h
lépcs®s és determinisztikus, ezért felhasználva, hogy a
(h • w) (s) =
sZ
X
λi ∆w (ti ∧ s) = N
Z
T
= 0 T
Z
h2 (u) du . 0
T
Z
1 2 h • [w] ))2 (s) ds) = 2 0 2 ! Z T 1 2 E h exp h • w − h • [w] = (s) ds = 2 0 Z s 2 2 h (s) exp − h (u) du · E exp ((h • w) (s))2 ds = 0 sZ Z (M )k2w
(h exp((h • w) −
= E(
s
h2 (s) exp(−
=
független növekmény¶
!
s
0,
ti ≤s
khE
w
0
s
h2 (u) du) · E( exp(2N (0,
h2 (u)du)))ds =
0
0
Z s Z s 2 2 2 = h (s) exp − h (u) du exp 2 h (u) du ds = 0 0 0 Z T Z s Z T 2 2 2 h (s) ds − 1 < ∞. h (u) du ds = exp h (s) exp = Z
T
0
0
0
Következésképpen, miként állítottuk, a
[0, T ]
szakaszon
hE (M ) ∈ L2 (w) . Így az E (h • w) (T ) alakú változókra teljesül a tétel, vagyis minden h lépcs®s függvényre E (h • w) (T ) ∈ U. Ha F a Wiener-folyamat által generált ltráció, akkor az E (h • w) (T ) 2 alakú változók által generált lineáris tér s¶r¶ az L (FT ) térben, az U zárt lineáris tér, így 2 U = L (FT ) . Az egyértelm¶ség igazolása céljából tegyük fel, hogy
Z ξ = E (ξ) +
T
Z
T
X1 dw = E (ξ) + 0
X2 dw, 0
vagyis
Z
T
T
Z X1 dw −
0
X2 dw = 0. 0
Az Itô-izometria felhasználásával
Z
2 !
T
X1 − X2 dw
0=E 0
Z =E 0
T
(X1 − X2 ) d [w] . 2
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
De níció szerint az
L2 (w)
az
220
(R+ × Ω, R, αw ) ,
ahol
αw $ λ × P
tartozó Doléans-mérték, szerint ekvivalens folyamatokból áll, így
a Wiener-folyamathoz
X1 = X2
vagyis az
αw
szerint majdnem mindenhol megegyeznek.
2
3.154 Következmény. Az Itô-féle reprezentációs tételben a konstans egyértelm¶, vagyis ha el®írjuk, hogy L2 (w) , akkor a x = E (ξ) az egyetlen olyan konstans, amelyre
X ∈
T
Z ξ =x+
Xdw. 0
Bizonyítás:
Ha
X ∈ L2 (w) ,
akkor a sztochasztikus integrál valódi martingál és ezért a
várható értéke nulla. Ebb®l következ®en
x = E (ξ) . 2
3.7.3.
Lokális martingálok reprezentálása
Az Itô és a Dudley integrálreprezentációs tételek közötti alapvet® eltérés, hogy az Itô-féle tételben az el®állítás egyértelm¶. Ez kulcs szerepet játszik a következ® állításban.
3.155 Tétel. Legyen
w
F -lokális
egy Wiener-folyamat.
F
Ha
a
w
által generált ltráció, akkor tetsz®leges
M
martingálra
M = M (0) + X • w, ahol
X ∈ L2loc (w).
Bizonyítás:
Ha
Ha
M ∈ H2 ,
M ∈ H2 ,
akkor
akkor
X ∈ L2 (w).
M (∞) ∈ L2 (Ω)
és
M (t) = E (M (∞) | Ft ) . Az Itô-féle integrálreprezentációs tétel szerint
M (∞) = M (0)+
R∞ 0
Xdw, ahol X ∈ L2 (w).
Így
∞
Z
M (t) = E (M (∞) | Ft ) = E E (M (0)) + Z t = E (M (0)) + Xdw,
Xdw | Ft
=
0
0 ugyanis mivel hogy az
X
az
X ∈ L2 (w) ezért az X • w ∈ H2 integrálfüggvény martingál. αw Doléans-mérték erejéig egyértelm¶.
Megjegyezzük,
Ilyenkor tehát az állítás teljesül. Vegyük észre, hogy elvileg csak minden
t
id®pontra
majdnem mindenhol értelemben azonos a két oldal, de mivel mind a két oldalon jobbról reguláris folyamatok vannak a nullmérték¶ halmazok egyetlen nullmérték¶ halmazba egyesíthet®ek. A kés®bbiek miatt hangsúlyozni kell, hogy az folytonos verzióval.
M
az el®állítás miatt rendelkezik
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
Legyen
221
M (∞) ∈ L1 (Ω).
Mivel a majorált konvergencia tétel és a mérték végessége 1 miatt a korlátos függvények s¶r¶ek az L (Ω)-ban, és mivel ugyancsak a mérték végessége 2 1 miatt egyrészt L (Ω) ⊆ L (Ω) , másrészt a korlátos függvények mindegyike négyzetesen 2 1 2 integrálható, ezért az L (Ω) s¶r¶ az L (Ω) térben, így van olyan ξ n ∈ L (Ω) sorozat, 1 amelyre ξ n → M (∞) az L (Ω) konvergenciában. Tekintsük az
Mn (t) $ E (ξ n | Ft ) martingálokat. A Doob-egyenl®tlenség miatt
kMn (∞) − M (∞)k1 P sup |Mn (t) − M (t)| > λ ≤ . λ t Mivel
kMn (∞) − M (∞)k1 → 0,
ezért valószín¶ségben
sup |Mn (t) − M (t)| → 0. t Mivel minden sztochasztikusan konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol konvergens részsorozata, ezért részsorozatra áttérve feltehet®, hogy a konvergencia majdnem mindenhol értelemben is teljesül, vagyis az egyenletes konvergencia topológiában az jektóriái egy nulla valószín¶ség¶ halmaztól eltekintve az bizonyítás el®z® pontjában megjegyeztük konvergenciából következ®en az
M
M -hez
(Mn )
tra-
konvergálnak. Miként a
Mn -r®l feltehet®, hogy folytonos, és az egyenletes
is folytonos.
lokális martingál, akkor létezik korlátos megállási id®kb®l álló (τ n ) lokalizációs τ τ τ sorozat. Így az M n megállított martingálokra feltehet®, hogy M n (∞) = M n (T ) = 1 τn M (τ n ) ∈ L (Ω), ahol a T a τ n egy korlátja. Így az M folytonos minden n-re. Ebb®l Ha
M
következ®en az vagyis hogy az
69
M is folytonos. Így feltehet®, hogy a lokalizált folyamatok korlátosak, M τ n folyamatok H2 -ben vannak, vagyis teljesül rájuk az állítás. Ennek
megfelel®en
M τ n = M τ n (0) + Xn • w $ M (0) + Xn • w. Ugyanakkor
M τ n−1 = (M τ n )τ n−1 = (M (0) + Xn • w)τ n−1 = = M (0) + (Xn • w)τ n−1 = = M (0) + Xn χ ([0, τ n−1 ]) • w. Ez el®állítás egyértelm¶sége miatt Xn−1 2 tók egyetlen X ∈ Lloc folyamattá.
m.m.
= Xn χ ([0, τ n−1 ]) ,
69 A megállított folyamat de níciójában id®nként szokás az ponthoz tartozó értéket.
és az
Xn -ek
összeragasztha-
2 M (0) χ (τ > 0)
Ezt most az egyszer¶ség kedvéért elhagyjuk.
Ha a
módon lokalizálni a
t = 0
t = 0
pontban szükséges
lokalizációtól el akarunk tekinteni, akkor a lokális martingál de nícióját oly módon kell módosítani, hogy az
L − L (0)
folyamatról kell feltenni, hogy rendelkezik lokalizációs sorozattal.
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
222
3.156 Következmény. Legyen az
F
w
Wiener-folyamat és legyen
ltrációra nézve, akkor az
Bizonyítás:
L
F
a
w
Az el®z® állítás szerint az
integrálként írhatók fel a
w
által generált ltráció. Ha
L
lokális martingál
folytonos.
F
szerinti lokális martingálok sztochasztikus
folyamat szerint, így folytonosak.
2 A folytonos ltráció fontos következménye, hogy ha ltrációra nézve, akkor tetsz®leges
t
M
egy martingál egy folytonos
id®pontban
m.m.
lim M (s) = M (t) = lim M (s) . s&t
s%t
Az els® egyenl®ség azért igaz, mert a martingálokat eleve jobbról regularizálva de niáljuk. A második egyenl®ség a Lévy-féle konvergencia tétel
m.m.
70
következménye, amely szerint
m.m.
lim M (s) = lim E (M (t) | Fs ) = E (M (t) | Ft− ) = s%t
s%t
m.m.
= E (M (t) | Ft ) = M (t) . Mivel az egyenl®ségek minden lépésben csak majdnem mindenhol teljesülnek, ezért a ltráció folytonossága csak azt implikálja, hogy minden majdnem mindegyik folytonos, vagyis egy adott
t
t
id®pontban a trajektóriák közül
id®pontban az ugrás valószín¶ség nulla.
Ugyanakkor a nullmérték¶ halmazok bosszújának" típikus esetér®l van szó. Mivel a lehetséges id®pontok halmaza nem megszámlálható, nem tudjuk igazolni, hogy majdnem mindegyik trajektória folytonos. A tipikus példa a Poisson-folyamat, amely minden id®pontban nulla valószín¶séggel ugrik, de a trajektóriái egy valószín¶séggel nem folytonosak.
3.157 Példa. Az állítás nem igaz minden folytonos ltrációra nézve Legyen
X
egy Poisson-folyamat. Az
X
71
.
által generált ltrációról könnyen igazolható,
hogy jobbról folytonos. (Elegend® felhasználni, hogy a trajektóriák minden t id®pontban X egy ideig konstansok.) Ha az F -et kiegészítjük a nullmérték¶ halmazokkal, akkor az így kapott kib®vített ltráció balról is folytonos lesz, ugyanis ha
tn % t,
akkor majdnem
X (tn ) % X (t) , ugyanis minden t id®pontban az ugrás valószín¶sége nulla, vagyis minden t id®pontban a trajektóriák majdnem minden kimenetelre folytonosak. Így minden t-re az X (t) mérhet® az Ft− σ -algebrára nézve, így Ft− = Ft . Ugyanakkor az F hordozza, a nem folytonos trajektóriákkal rendelkez® X (t) − λt kompenzált Poissonminden kimenetelre
folyamatot, amely martingál.
2
3.158 Példa. Tetsz®leges lokális martingál esetén nem teljesül az integrálreprezentációs tulajdonság. 70 Ha
Fn % F∞
és
ξ
integrálható, akkor
nem mindenhol értelemben is teljesül.
E (ξ | Fn ) → E (ξ | F∞ ) ,
ahol a konvergencia
L1 -ben
71 A példa azért fontos, mert a Sztochasztikus analízis könyvben az idevágó állítás hibás.
és majd-
3.7. AZ INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL
223
((w1 , w2 ) , G) független koordinátákból álló kétdimenziós Wiener-folyamat. LeX $ w1 • w2 , és F legyen az X által generált ltráció. Evidens módon Ft ⊆ Gt , és az [X] kvadratikus variáció F -adaptált. Mivel Z t Z t 2 w12 (s) ds, w1 d [w2 ] = [X] (t) = Legyen
gyen
0
0 ezért a
w12
éppen az
[X]
deriváltja, tehát a
w12
szintén
F -adaptált,
következésképpen az
Itô-formula szerint a
1 2 w1 − [w1 ] (t) 2 2 A Z F -martingál, ugyanis ha s < t, akkor, felhasználva, hogy a Z $ w1 −[w1 ] Z (t) $ (w1 • w1 ) (t) =
F -adaptált. G -martingál
is
E (Z (t) | Fs ) = E (E (Z (t) | Gs ) | Fs ) = E (Z (s) | Fs ) = Z (s) . Mivel analóg módon
E (X (t) | Fs ) = E (E (X (t) | Gs ) | Fs ) = E (X (s) | Fs ) = X (s) , ezért az
X
is
F -martingál.
Tegyük fel, hogy az
(X, F)
párra teljesül a reprezentációs
tulajdonság és legyen
Z = Y • X $ Y • (w1 • w2 ) = Y w1 • w2 . A
w1
és
w2
függetlenek, ezért
[w1 , w2 ] = 0,
és így a
Z
két fajta el®állítását felhasználva
0 < [Z • Z] = [w1 • w1 , Y • X] = [w1 • w1 , Y w1 • w2 ] = = Y w12 • [w1 , w2 ] = 0, lenne, ami lehetetlen.
2
4. fejezet Az eszközárazás diúziós modellje A származtatott termékek árazásának f® állítása, hogy megfelel® matematikai és közgazdasági feltételek teljesülése esetén ha a
t
HT
valamely
R
id®pontban esedékes követelés, akkor
id®pontban a követelés ára
π t (HT ) = E ahol
T
a diszkont tényez® és
mérték. Speciálisan a
t=0
Q
Q
R (t) HT | Ft , R (T )
az úgynevezett kockázatsemleges, vagy (lokális) martingál
pontban
π (HT ) = E
Q
HT R (T )
.
Emlékeztetünk, hogy diszkrét és véges id®horizonton a képlet a teljesség megkötése esetén, felhasználva a nincsen arbitrázs tulajdonságot, érvényes minden
HT -re.
Ha a piac
nem teljes, de arbitrázsmentes, akkor az egyenl®ség teljesüléséhez elegend®, hogy a
HT
sztochasztikus integrálként el®állítható legyen az alaptermékekkel. Miel®tt a részletek tárgyalására rátérnénk érdemes egy gyors áttekintést tenni. fel, hogy alkalmas
(X, Y )
Tegyük
portfólió súlyokkal
Z
T
Z XdR +
HT = λ +
T
Y dS. 0
0
Hasonlóan a diszkrét id®horizonthoz, folytonos id®horizonton a sztochasztikus integrálok tekinthet®k olyan folytonos befektetésfolyamatoknak, amelyek során az egyes id®pontokban az egységnyi nagyságú befektetéseken realizálódó megszorozzuk az
X
és
Y
dR és dS
pillanatnyi árfolyamnyereségek
aktuális porfóliósúlyokkal, majd ezeket a pillanatnyi nyereségeket
vagy veszteségeket az id®tengely mentén kumuláljuk. Ez a tevékenység a modell feltételezései szerint költségmentesen végezhet®, így kézenfekv® közgazdasági gondolat, hogy a ára éppen az induló
λ
drágábbat eladva arbitrázsnyereséghez lehetne jutni. Vagyis ha például a
HT
HT
konstans legyen. Ugyanis ellenkez® esetben az olcsóbbat megvéve a
π (HT ) < λ,
akkor
termék az olcsóbb, azt meg kell venni, az el®állító portfóliót pedig el kell adni. Ekkor
224
225
a
t = 0
λ − π (HT )
id®pontban
esetben éppen a
HT
nyereséghez jutunk, de a
t = T
id®pontban mind a két
termékhez jutunk, következésképpen a felvett pozíció nettó egyenlege
nyilván nulla. Mivel a sztochasztikus integrálok mögötti árfolyamspekulációs folyamat a modell feltételei szerint költségmentes, a
t = 0
id®pontban keletkezett pozitív nyereség
az id®szak végére is megmarad. Ez azonban arbitrázs, amit elvileg de níció szerint kizá-
λ konstanst kifejezni a modell paramétereivel?
runk. A kérdés pusztán az, hogyan tudjuk a
Vagyis hogyan tudnánk a sztochasztikus integráloktól megszabadulni. A kézenfekv® gondolat, hogy vegyünk várható értéket. De mivel mind az
S mind az R valódi szemimartingál,
a sztochasztikus integrálok várható értéke nem lesz nulla. Az egyik termékt®l az ármérce módosításával meg lehet szabadulni.
Miként alább megmutatjuk, ha az
R
tényez®vel
diszkontálunk, akkor
λ HT = + R (T ) R (0) ugyanis az
S $ S/R
R/R ≡ 1
Z
T
0
R Xd + R
Z
T
0
S Yd , R
konstans folyamat szerinti integrál értéke nulla.
(4.1)
Ugyanakkor az
diszkontált részvényárfolyam általában továbbra is valódi szemimartingál.
azonban a mértéket megváltoztatjuk, akkor az
Ha
S/R esetlegesen (lokális) martingállá tehet®
az új mérték alatt, és ilyenkor alkalmas feltételek mellett a sztochasztikus integrál martingál lesz, így a várható értéke minden id®pontban, így a
HT R (0) /R (T ) t = 0 id®pontban.
értéke éppen a jelentené a
T -ben
is, nulla lesz, amely miatt a
λ
várható értéke, amely éppen az árazó formula teljesülését
A gondolatmenet, szemben a diszkrét és véges id®horizonttal, folytonos id®horizont esetében bizonyos megszorítások nélkül nem alkalmazható. A szükséges egyik feltétel értelemszer¶en, az hogy a
HT
követelésnek és a piacot leíró kötvény és részvény folyamatoknak
mérhet®nek kell lenni a véletlen forrást reprezentáló valamely Wiener-folyamat által generált ltrációra nézve.
A ltrációra tett megszorítás az integrálreprezentációs tétel folyo-
mánya és lényegében a teljesség feltétele folytonos id®horizontra. Lényegesebb probléma, hogy a sztochasztikus integrálok általában csak lokális martingálok. Korlátos, de folytonos id®horizonton lehetséges a duplázási stratégia, ugyanis egy korlátos intervallum végtelen sok részintervallumra bontható, így folytonos id®horizonton még a korlátos id®tartományok is úgy viselkednek, mintha az id®tartomány korlátlan lenne. Így ahhoz, hogy értelmes modellhez jussunk, a megengedett, lehetséges portfóliók körét korlátozni kell. Általában az irodalomban két megoldás ismert.
Az egyik szerint a
HT
követelésnek az
S/R
folyamat
martingálmértékére nézve négyzetesen integrálhatónak kell lenni. Ilyenkor a fent levezetett (4.1) sorban alkalmazható az Itô-féle reprezentációs tétel és így a szochasztikus integrál valódi martingál lesz.
Mi azonban egy másik, némiképpen nehezebb utat fogunk követni:
A lehetséges fedez® porfóliók körét sz¶kítjük, és csak alulról korlátos értékfolyamatokkal rendelkez® porfóliókat engedünk meg. Mind a két megoldás azonos eredményre vezet, de ez utóbbi talán némiképpen kevésbé átlátszó.
4.1. ÖNFINANSZÍROZÓ PORTFÓLIÓK ÉS AZ ÁRMÉRCE
4.1. Legyen geket.
226
Ön nanszírozó portfóliók és az ármérce (R, S)
két kockázatos termék és jelölje
Az opcióárazás szokásos modelljében
R
(X, Y )
a termékekb®l tartott mennyisé-
a kötvény,
S
folyamatokról feltesszük, hogy folytonos szemimartingálok, az
a részvény ára.
(X, Y )
álló folyamatokról pedig tegyük fel, hogy az alábbi integrálok léteznek. Az ségeket tartalmazó portfólió értéke értelemszer¶en
Az
(R, S)
portfólió súlyokból
(X, Y ) mennyi-
V $ XR + Y S.
4.1 De níció. Az
(X, Y, R, S)
vektorfolyamatot ön nanszírozónak mondjuk, ha
XR + Y S $ V = V (0) + X • R + Y • S. Rögzített
(R, S)
esetén a megadott (4.2) feltételt kielégít®
(X, Y )
(4.2)
párt ön nanszírozó port-
fóliónak mondjuk. Az olvasóban felmerül® els® kérdés az lehet, hogy egyáltalán léteznek-e ön nanszírozó portfóliók.
A most következ® gondolatmenet célja többek között ennek igazolása.
Az
ön nanszírozás de níciója jobban érthet®, ha az integrálokat a hagyományos jelöléssel írjuk fel. Az ön nanszírozás feltétele
t
Z V (t) = V (0) +
Z X (s) dR (s) +
0 amely szerint a portfólió értékét a
t
t
Y (s) dS (s) , 0
id®pontban úgy kapjuk, hogy a portfólió nulla id®-
pontban vett értékéhez hozzáadjuk a portfólióban szerepl® eszközök
X (s) dR (s) + Y (s) dS (s) értékváltozásából származó nyereségek és veszteségek kumulált összegét.
Hangsúlyozni
kell, hogy a képlet a diszkrét id®horizonton tárgyalt egyenl®ség formális átvételéb®l adódik. Ennek ellenére folytonos id®horizonton az ön nanszírozás interpretációja nem annyira kézenfekv®, mint a diszkrét esetben. Az interpretációval kapcsolatos legnagyobb nehézség abból ered, hogy az ön nanszírozást diszkrét id®horizonton az
Y (t) S (t) + R (t) X (t) = Y (t + 1) S (t) + X (t + 1) R (t) képletb®l de niáltuk, amely tartalmilag tényleg az ön nanszírozást jelenti és az integrálalakot ennek következményeként de niáltuk. A de nícióból ugyancsak nem világos, hogy az
(X (s) , Y (s)) id®pontja
miként viszonyul a
(dR (s) , dS (s)) id®pontjához.
Ha azonban
az Itô-integrálásnál megszokott konvenciót vesszük, akkor a megváltozások az után következnek be.
s
id®pont
Az ön nanszírozás elnevezés némiképpen félrevezet®, talán jobb
lenne költségmentes kumulált árfolyamnyereségr®l beszélni. Az ön nanszírozás feltétele miatt a hogy az, hogy a
V
V
értékfolyamat szemimartingál.
Vegyük észre,
szemimartingál egyedül az ön nanszírozás feltételéb®l következik, ugyanis
4.1. ÖNFINANSZÍROZÓ PORTFÓLIÓK ÉS AZ ÁRMÉRCE
ilyenkor a
V
227
X
sztochasztikus integrálok összege. Mivel az
mimartingálok, általában a
V $ XR + Y S
és az
Y
nem feltétlenül sze-
szorzatösszeg nem lesz automatikusan szem-
imartingál. Ha U 6= 0, akkor az S és R termékek árát U -ban is, vagyis ha U 6= 0, akkor az U válaszható ármércének. Az 1/x függvény az x > 0 halmazon tetsz®legesen sokszor deriválható, így az Itô-formula miatt az U $ S/U és az R/U szintén szemimartingál és az új ármérce mellett a portfólió értéke Legyen
U
egy további szemimartingál.
kifejezhetjük az
R S + Y $ X · R + Y · S. U U Kézenfekv®en merül fel a kérdés, hogy vajon az X, Y, R, S vektorfolyamat ön nanszírozó V $X
marad-e vagy sem, vagyis érvényes-e a
V − V (0) = X • R + Y • S, egyenl®ség?
4.2 Állítás. Az új ármérce bevezetése nem módosítja a portfólió ön nanszírozó jellegét.
Bizonyítás:
Mivel egy általánosan használt, igen alapvet® összefüggésr®l van szó, ezért
a kérdést általános szemimartingálok esetén igazoljuk.
Az általános és a folytonos eset
igazolása közötti egyetlen eltérés, hogy a parciális integrálás formulájában az integrandusok
1
balról regularizált verzióját kell alkalmazni .
Amennyiben az olvasót ez zavarja, úgy az
ugrásokra vonatkozó megjegyzéseket nyugodtan gyelmen kívül hagyhatja. A folyamatok szemimartingál tulajdonsága miatt alkalmazható a parciális integrálás formulája, amely szerint
V 1 1 1 V $ = V (0) + V− • + • V + V, . U U U− U Vegyük észre, hogy a nem folytonos esetben az következ®en az sem igaz, hogy az
1/U
U 6= 0 nem implikálja, hogy U− 6= 0. 2
szintén szemimartingál marad .
a nem folytonos esetben de níció szerint megköveteljük, hogy az
1/U
függvény szintén
jobbról reguláris legyen és így többek között implicite megköveteljük, hogy az teljesüljön. Az ön nanszírozás hogy az
1/U−
V − V (0) = X • R + Y • S
Ebb®l
Ezt kizárandó
U− 6= 0
is
feltételét beírva és kihasználva,
folyamat balról reguláris és így lokálisan korlátos, így az asszociativitási
1 Értelemszer¶en egy
X
reguláris folyamat esetén
X−
a balról vett határértékekb®l álló, balról regula-
rizált folyamatot jelöli.
2 Vegyük az
de az
1/U
U (t) $ 1−t, ha t < 1 és 1 ha t ≥ 1 folyamatot.
nem korlátos változású, így nem is szemimartingál.
Az
U
jobbról reguláris és korlátos változású,
4.1. ÖNFINANSZÍROZÓ PORTFÓLIÓK ÉS AZ ÁRMÉRCE
228
szabály használható
1 •V U−
1 1 • (X • R) + • (Y • S) = U U − − 1 1 = X •R+ Y •S = U− U− 1 1 •R +Y • •S , = X• U− U−
$
A polaritási szabály szerint
1 V, U
1 1 = X • R, + Y • S, . U U
Visszahelyettesítve, elemi átrendezéssel
1 1 1 V − V (0) = V− • + X • • R + X • R, + U U− U 1 1 + Y • • S + Y • S, . U− U Térjünk rá a
V−
tagra.
A sztochasztikus integrálás általános elméletében megmutatható,
hogy nem folytonos integrátorok esetén érvényes a
∆ (H • G) = H · ∆G
szabály, vagyis az
integrálfolyamat ugrásai az integrandus és az integrátor ugrásainak szorzataként kapható. Ez véges változású integrátorok esetén evidens, lokálos martingálok esetén pedig lényegében része az integrál de níciójának. Ezt felhasználva
Y S− .
∆V = X∆R + Y ∆S, vagyis V− = XR− +
Ezt beírva
V− •
1 1 1 = XR− • + Y S− • . U U U
Ezt is behelyettesítve
1 1 1 • R + X • R, V − V (0) = XR− • + X • + U U− U 1 1 1 + Y S− • + Y • • S + Y • S, . U U− U
Ami éppen
1 1 1 V − V (0) = X • R− • +X • • R + X • R, + U U− U 1 1 1 • S + Y • S, +Y • S− • +Y • . U U− U Amibe az
S 1 1 1 S = • S + S, = S (0) + S− • + , U U U− U R 1 1 1 R = = R (0) + R− • + • R + R, . U U U− U
4.2. EKVIVALENS LOKÁLIS MARTINGÁLMÉRTÉK ÉS ARBITRÁZS
229
relációkat behelyettesítve
V − V (0) = X • R + Y • S, X, Y, R, S
vagyis az
ön nanszírozó.
2 A diszkontálás kapcsán jelezni kell, hogy a diszkontált értékfolyamat alulról való korlátosságát meg akarjuk ®rizni, ez az ármércére további megkötéseket jelent. Ha a értéket is felvehet, akkor az
U
V
negatív
nem vehet fel tetsz®legesen kicsi értéket, mert akkor a
V /U
nem lenne alulról egyenletesen korlátos. Ennek elkerülése céljából számos szerz® megkö-
V folyamat ne csak alulról korlátos, hanem nem negatív is legyen. U > 0 használható, ugyanis a V /U ≥ 0 érvényben marad még akkor
veteli, hogy a
Ilyenkor
tetsz®leges
is, ha az
U
esetleg tetsz®legesen kicsi értéket is felvehet. Ha diszkontfaktornak az
R
folyamatot tekintjük, akkor
R = R/R = 1,
így a következ®
állítás evidens:
4.3 Tétel. R > 0,
Ha
akkor az
(X, Y, R, S)
pontosan akkor ön nanszírozó, ha a diszkontált értékfo-
lyamatra
V − V (0) = X • R + Y • S = Y • S. Az állítás minden trivialitása ellenére igen hasznos. Az ön nanszírozó portfóliók halma-
Y • S alakú sztochasztikus integrálokkal. Tetsz®leges olyan Y • S létezik, a fenti képlettel meghatározható a V − V (0). De mivel az ön nanszírozás követelménye miatt V = XR + Y S = X · 1 + Y · S , ezért X = V − Y S = V (0) + Y • S − Y S . zát a tétellel azonosítottuk az
Y
és
V (0)
4.2.
esetén, amelyre az
Ekvivalens lokális martingálmérték és arbitrázs
Az ekvivalens lokális martingálmértékek létezése szorosan összefügg az arbitrázs fogalmával. Miel®tt a de níciót megadnánk emlékeztetni szeretnénk, hogy a Dudley-féle integrálRT reprezentációs tétel alapján bármilyen ξ ∈ FT el®állítható Xdw alakban. Így könnyen 0 látható hogy a BlackScholes modell a lehetséges portfóliókra tett minden további megkötés nélkül az arbitrázs bármilyen értelmes de níciója esetén tartalmaz arbitrázst. Ezt úgy zárhatjuk ki, ha nem minden ön nanszírozó portfóliót engedünk meg.
A megenge-
dett portfólió fogalma az irodalomban nem egyértelm¶. A legegyszer¶bb de níció talán a következ®:
4.4 De níció. Egy
(X, Y )
párt megengedettnek mondunk, ha a 3 egyenletesen korlátos .
V $ XR + Y S
értékfolyamat alulról
3 A matematikai pénzügyi elmélet kulcs fogalma a megengedett stratégia fogalma. Az irodalomban számos eltér® de níció ismert. Néhány szerz® akkor nevez egy befektetési stratégiát megengedettnek, ha az értékfolyamat a kockázatmentes mérték alatt martingál. Mások akkor, ha az értékfolyamat, ugyancsak a kockázatmentes mérték alatt, négyzetesen integrálható.
Ezen de níciók el®nye, hogy ha egy stratégia
4.2. EKVIVALENS LOKÁLIS MARTINGÁLMÉRTÉK ÉS ARBITRÁZS
A de nícióval kapcsolatos legf®bb gond az, hogy a
V
230
értékfolyamatra mint valamiféle
kereskedett termékre szokás gondolni. Az alulról való korlátosság feltétele miatt egy lehetséges portfólió mínusz egyszerese nem feltétlenül megengedett. Vagyis például valaminek a megvétele megengedett, de az eladása már nem.
4.5 De níció. Azt mondjuk, hogy az 1. az 2. a
(X, Y, R, S)
(R, S)
modellben az
(X, Y )
pár arbitrázs a
T
id®pontban, ha
ön nanszírozó,
V $ XR + Y S
értékfolyamathoz tartozó
(X, Y )
pár a
[0, T ]
id®tartományon meg-
engedett, 3.
V (0) = 0, V (T ) ≥ 0
Ha a
P
és a
Q
és
E (V (T )) > 0.
mértékek ekvivalensek, akkor a sztochasztikus integrálok megegyeznek,
és a mértékek ekvivalenciája miatt az utolsó egyenl®ségben a
P helyébe Q is írható, vagyis
az arbitrázs fogalma invariáns az ekvivalens mértékcserére nézve.
4.6 De níció. (Ω, A, P, F) téren értelmezett (R, S) modell rendelkezik lokális martingálmértékkel, ha létezik egy a P-vel ekvivalens Q valószín¶ségi mérték és olyan U ármérce, 4 amely mellett az S $ S/U és R = R/U diszkontált árfolyamok lokális martingált alkotnak. Ha másképpen nem mondjuk, akkor ármércén mindig az R kötvényt értjük. Ilyenkor a Q pontosan akkor lokális martingálmérték, ha az S $ S/R diszkontált folyamat lokális Azt mondjuk, hogy az
martingál. Hasonlóan de niálhatjuk a martingálmértéket. Nyilvánvaló módon a
Q függ az ármércét®l.
Ha ennek szerepe van, akkor az ármércét a
Q alsó vagy fels® indexeként szokás írni. Ha nincsen index, akkor az ármérce általában az R kötvény. Az R-hez tartozó martingálmértéket, illetve lokális martingálmértéket szokás kockázatsemleges mértéknek is nevezni.
4.7 Állítás. (X, Y ) pár arbitrázs az (R, S) modellben, és U ≥ u0 > 0 tetsz®leges ármérce, akkor az (X, Y ) arbitrázs az (R/U, S/U ) modellben is. A Q = QR pontosan akkor kockázatsemleges mérték az (R, S) modellben, ha kockázatsemleges mérték az (R/U, S/U ) modellben az R-nek megfelel® R/U diszkontfaktor szerint. Ha az
megengedett, akkor a mínusz egyszerese is megengedett.
Ugyanakkor mivel ezt a kockázatsemleges mérték
alatt követelik meg egy kicsit kilóg a lóláb, bár ilyenkor a várható jelenérték szabály könnyen igazolható. A jelen de níció el®nye, hogy az alsó korlát létezése független az alapul vett mértékt®l, hátránya azonban, hogy segítségével a várható jelenérték szabály nem igazán indokolható és az árat a lehetséges fedez® konstansok minimumával kell de niálni.
4 Mind a kett® egyszerre.
4.2. EKVIVALENS LOKÁLIS MARTINGÁLMÉRTÉK ÉS ARBITRÁZS
Bizonyítás:
231
(X, Y ) pár pontosan akkor ön nanszírozó az (R, S) árak mellett, ha (R/U, S/U ) árak mellett. Az U pozitivitása miatt az XR + Y S el®jele megegyezik az XR/U + Y S/U el®jelével. Az U ≥ u0 > 0 miatt a diszkontált értékfolyamat Az
ön nanszírozó az
alulról korlátos marad. A második állítás evidens, ugyanis
S$
S S/U = . R R/U 2
Az alulról való korlátosság feltétele kulcs szerepet játszik a következ® elemi, ugyanakkor a matematikai pénzügyekben kiemelked® jelent®ség¶ állításban:
4.8 Tétel. [0, T ]
Ha a
szakaszon
R ≥ r0 > 0
és az
(R, S)
modellben van ekvivalens lokális martingál-
mérték, akkor a modellben nincsen arbitrázs.
Bizonyítás:
Az
R ≥ r0
feltétel közgazdaságilag triviális megkötés, ugyanis az
R
általá-
ban a kötvényt jelenti, vagy valamilyen más kockázatmentes befektetést jelöl. Általában fel szokás tenni, hogy
R (0) = r0 > 0,
és a feltétel hallgatólagosan azt jelenti, hogy a disz-
konttényez®ként használt kötvény ára monoton n®. Általában az de szemben az
S -sel
R
függhet a véletlent®l,
az értéke nem csökkenhet.
Tegyük fel, hogy a
Q
mérték mellett az
S/R
lokális martingál. Legyen az
(X, Y )
az
(R, S) modellben ön nanszírozó portfólió. Tegyük fel, hogy V (0) = 0 és a V legyen alulról korlátos. Az (X, Y ) ön nanszírozó az 1, S modellben is és az R ≥ r0 > 0 feltétel miatt a V diszkontált értékfolyamat szintén alulról korlátos. A sztochasztikus integrálok lokálisan martingálok, így a
V $ a
Q
XR + Y S $X •R+Y •S =Y •S R
alatt alulról korlátos lokális martingál. Emlékeztetünk arra, hogy minden
L
alulról
korlátos lokális martingál szupermartingál, ugyanis, ha t > s és a lokális martingál de níτ τ ciójából következ® E (L n (t) | Fs ) = L n (s) egyenl®ségben alkalmazzuk a Fatou-lemmát, akkor
E (L (t) | Fs ) = E =
lim Lτ n (t) | Fs ≤ lim inf E (Lτ n (t) | Fs ) =
n→∞
n→∞
τn
lim inf L n→∞
(s) = L (s) .
Q Szupermartingálok esetén a várható érték csökken, tehát E V (T ) ≤ 0, következésképm.m. pen ha V (T ) ≥ 0, akkor V (T ) = 0. Természetesen mindez a Q mérték alatt. De a Q és
P ekvivalenciája miatt a nullmérték¶ halmazok egybeesnek m.m. V (T ) = 0 a P alatt, tehát az (X, Y ) nem lehet arbitrázs. a
a
P
és a
Q
alatt, amelyb®l
2 Problémát jelent, hogy az állítás nem fordítható meg, vagyis az arbitrázsmentesség még nem implikálja az ekvivalens martingálmérték létezését. Diszkrét id®horizont esetében az
4.3. ÚJ ÁRMÉRCÉRE VALÓ ÁTTÉRÉS
232
ekvivalens martingálmértéket közvetlenül az arbitrázsmentesség közgazdasági de níciójából származtattuk. Erre folytonos id®horizont esetében nincsen mód. Ezért, ahhoz, hogy az árazási problémát kezelni tudjuk, vagyis hogy az ekvivalens martingálmértéket meg tudjuk konstruálni, közvetlen megszorításokat kell bevezetnünk az
4.3.
S
és
R
folyamatokra.
Új ármércére való áttérés U
Legyen
és
W
két ármérce és legyen
vivalens lokális martingálmérték.
QU
és
QW
a két ekvivalens martingál, illetve ekU W Hogyan számolható ki a dQ /dQ RadonNikodym
derivált? Miként korábban, a Girszanov-formula tárgyalásakor láttuk igaz a következ®:
4.9 Állítás. Tegyük fel, hogy a
P
reguláris folyamat és
L pontosan P alatt.
1. Az a
2. Az
L
Q mértékek lokálisan ekvivalensek. legyen Λ a deriváltfolyamat. és a
akkor lokális martingál a
pontosan akkor martingál a
Q
Q
alatt, ha az
alatt, ha az
LΛ
L
adaptált, jobbról
szorzat lokális martingál
szorzat martingál a
P
alatt.
LΛ $ S/W lokális martingál a QW alatt, ezért az egyedül lehetséges szorzó nyilván D $ U/W . A D azonban nem választható Λ-nak, ugyanis a várható értéke nem lesz konstans módon 1, amit a Λ deriváltfolyamattól Mivel
L $ S/U
lokális martingál a
QU
LΛ
Legyen
alatt és
elvárunk. Ennek megfelel®en azt sejtjük, hogy
Λ=
U W (0) W U (0)
és így
dQU U (T ) W (0) = Λ (T ) = . W dQ U (0) W (T )
(4.3)
Ami természetesen csak akkor igaz, ha a Λ martingál. Tegyük fel, hogy az aktuális ármérce W éppen W és legyen Q a hozzá tartozó aktuális mérték. Az U folyamat a W ármércében kifejezve
U/W .
Így az új ármérce régi ármérce szerinti értéke martingál kell hogy legyen a
régi ármérce szerinti lokális martingál mérték szerint. Vagyis a régi ármérce által meghatározott szemüvegen keresztül nézve a folyamatokat az új ármércének martingálnak kell lenni.
Például ha az induló BlackScholes-modellben az
lunk, akkor az
R/R ≡ 1
vagy az
S/S ≡ 1
R
vagy az
S
szerint diszkontá-
konstans folyamat nyilván tetsz®leges
kockázatsemleges mérték mellett az
akkor az
S
mérték
R ármércéhez tartozó S $ S/R > 0 diszkontált árfolyam martingál,
esetén martingál. További példaként tekintsük a következ®t: Ha az
Q $ QR
P
választható ármércének.
dQS dQS S (T ) R (0) S (T ) = = = . R dQ dQ S (0) R (T ) S (0)
4.3. ÚJ ÁRMÉRCÉRE VALÓ ÁTTÉRÉS
Ahhoz, hogy az
S
233
ármércér®l vissza tudjunk térni az R ármércére szükséges, hogy az S -hez tartozó QS mérték mellett.
R/S
martingál legyen az
Mivel egy igen fontos összefüggésr®l van szó egy másik indoklást is bemutatunk. El®ször
G rész σ -algebra esetén ha G ∈ G, Z Z dQ dQ Q (G) = dP = E | G dP, dP G dP G
egy hasznos számolási szabályt mutatunk be: Tetsz®leges akkor
vagyis a
G σ -algebrán
a RadonNikodym derivált éppen
mérték szerint integrálható változóra, és minden
Z
F ∈G
E (dQ/dP | G).
Minden
ξ
a
Q
esetén
Z dQ dQ P ξ dP = E | G dP = ξdQ = ξ dP F F dP −1 Z dQ dQ dQ P ξ = E |G E |G E | G dP = dP dP dP F −1 Z dQ dQ P = E ξ |G E |G dQ. dP dP F Z
F
Mivel az utolsó integrálban szerepl® kifejezés
G -mérhet®,
ezért igaz a következ® formula:
4.10 Állítás. (Bayes-formula) Ha létezik az
EQ (ξ | G)
feltételes várható érték és a
Q
és
P
mértékek ekvivalensek, akkor
|G EP ξ dQ dP . E (ξ | G) = EP dQ | G dP Q
D > 0
Legyen
Q martingálmérték mellett martingál. b D folyamatot. Ekkor az S folyamat helyett az S $ S/D, a b $ 1/D folyamatot kell vizsgálni. Mi lesz az S, b R b modell R
valamilyen termék, amelyik a
Új ármércének válasszuk a
R = 1
helyett pedig a
martingálmértéke?
4.11 Állítás. Legyen
Q
Q
alatt a
S, R egy martingálmértéke és tegyük [0, T ] szakaszon. Ha az R deriváltja az
fel, hogy a
dR D (T ) $ , dQ D (0) akkor az
R
az
b b S, R $ S/D, R/D
egy martingálmértéke.
D
egy pozitív martingál a
(4.4)
4.3. ÚJ ÁRMÉRCÉRE VALÓ ÁTTÉRÉS
Bizonyítás:
234
A Bayes-formula szerint ha a
ER
Z (T ) | Ft D (T )
Z
EQ
= E
Q
egy martingál a
Z(T ) dR D(T ) dQ
EQ
Q
dR dQ
| Ft | Ft
Z(T ) D (T ) D(T )
alatt, akkor
=
| Ft
= EQ (D (T ) | Ft ) Z (t) EQ (Z (T ) | Ft ) = , = D (t) D (t) =
vagyis a
Z/D
martingál az
R
alatt.
Az összefüggést a
Z = S
és
Z = R
esetekben
alkalmazva éppen az állítást kapjuk.
2
4.12 Példa. A forward mérték. Az egyszer¶bb jelölés céljából tegyük fel, hogy tartozó
Q
mérték.
R (0) = 1.
Az
R-rel való diszkontáláshoz
mérték mellett az egyik legismertebb árazó mérték, az úgynevezett forward
Ennek megértéséhez meg kell jegyezni, hogy az árazás kérdéséhez két módon
közelíthetünk:
Vagy azt kérdezzük, hogy mi lesz egy a
T
id®szakban realizálódó a
HT
t < T id®pontban zetend® π t (HT ) prompt ára, vagy azt is kérdezhetjük, hogy milyen, a T id®pontban zetend® F (HT , t, T ) módon jelölt úgynevezett forward árban kell a t < T id®pontban megállapodni, ahhoz, hogy a megállapodás értéke a t id®pontban nulla legyen. Mivel az F (HT , t, T ) árban a t id®pontban állapodunk meg, ezért de níció szerint az F (HT , t, T ) valószín¶ségi változóról feltesszük, hogy Ft -mérhet®. Az F (HT , t, T ) képletének levezetéséhez el®ször vezessük be a B elemi kötvényeket. Az elemi kötvény de níciója szerint B (t, T ) a T id®pontban azonosan egyet zet® zetési kötelezettség árfolyama a t < T id®pontban, vagyis a HT = 1 ki zetéshez tartozó árazó folyamat. A kés®bb bemutatott árazó képlet alapján, feltéve, hogy az 1/R (T ) integrálható a Q alatt 1 HT Q Q | Ft = R (t) E | Ft . B (t, T ) = π t (1) = R (t) E R (T ) R (T ) követelés
Ha az
R
folyamat determinisztikus, akkor
azonban a
B
és az
R
különböz®.
B (t, T ) = R (t) /R (T ) , az általános esetben t id®pontban a szerz®dés értéke nulla
Ahhoz, hogy a
legyen teljesülni kell a
0 = π t (HT − F (HT , t, T ))
4.3. ÚJ ÁRMÉRCÉRE VALÓ ÁTTÉRÉS
235
egyenl®ségnek. Az árazó képletb®l
HT − F (HT , t, T ) E | Ft = R (T ) F (HT , t, T ) HT Q Q | Ft − E | Ft = E R (T ) R (T ) HT 1 Q Q E | Ft − F (HT , t, T ) E | Ft = R (T ) R (T ) HT F (HT , t, T ) Q | Ft − B (t, T ) , E R (T ) R (t) Q
0 = = = =
F (HT , t, T )
ahol kihasználtuk azt, hogy az integrálható a
Q
F (HT , t, T ) = E Vezessük be a
új mértéket. A
mérhet® az
Q
helyett a
HT /R (T )
HT R (t) | Ft . R (T ) B (t, T )
QT
a
Q
1 | Ft R (T )
1 EQ = R (t)
új diszkontfaktorhoz tartózó mérték. Vagyis ha a
QT -re
illetve, hogy a
R−1 1 dQT $ Q T −1 = dQ R (T ) B (0, T ) E RT
D (t) = E
a
Ft -re,
szerint, így a várható érték szétszedhet®. Egyszer¶ átrendezéssel
való áttéréskor
B (t, T )-vel
D-vel
Q
R (t) | Ft R (T ) alatt az
=
B (t, T ) R (t)
R-rel diszkontált változókat R-rel való diszkontálás
diszkontáljuk, akkor valójában az
való diszkontálásra térünk át.
1 dQT Q | Ft $ E | Ft = E dQ R (T ) B (0, T ) 1 R (t) B (t, T ) Q = E | Ft = . B (0, T ) R (t) R (T ) B (0, T ) R (t) Q
A Bayes-tétel alapján
Q
1 EQ HT R(T )B(0,T | F t )
E (HT dQT /dQ | Ft ) = B(t,T ) EQ (dQT /dQ | Ft ) B(0,T )R(t) 1 B (0, T ) R (t) Q = E HT | Ft = R (T ) B (0, T ) B (t, T ) 1 R (t) = EQ HT | Ft = F (HT , t, T ) R (T ) B (t, T )
EQT (HT | Ft ) =
=
4.4. AZ ESZKÖZÁRAZÁS DIFFÚZIÓS MODELLJE
vagyis a
HT
ki zetés
várható értéke a
HT
t
id®pontban érvényes forward ára éppen a
kifejezésnek. Ez indokolja, hogy a
hívjuk. A BlackScholes világban az például a
HT = ST
236
R
QT
QT
szerinti feltételes
kifejezést forward mértéknek
determinisztikus, így ilyenkor
Q = QT
és ilyenkor
forward ára
Q
F (ST , t, T ) = E (ST | Ft ) = R (T ) E = R (T )
Q
S (T ) | Ft R (T )
=
S (t) R (T ) = S (t) = S (t) exp (r (T − t)) . R (t) R (t)
F (HT , t, T ) forward ár nem csak abban különbözik a π t (HT ) prompt π t (HT ) kiszámolásakor diszkontálni kell, az F (HT , t, T ) meghatározásakor
Általában az
ártól,
hogy a
pedig
nem, hanem az árazó képletben szerepl® várható értékhez tartozó mérték meghatározása-
S/R, illetve az S/B martingálmértékét kell meghatározni. egy HT ki zetés t < T id®pontban érvényes prompt árát a
kor más folyamat az
A forward
mérték segítségével
következ®-
képpen számolhatjuk ki.
HT R (t) HT Q | Ft = B (t, T ) E | Ft = π t (HT ) = R (t) E R (T ) R (T ) B (t, T ) = B (t, T ) F (HT , t, T ) = B (t, T ) EQT (HT | Ft ) . Q
A képlet pontosan megfeleltethet® az eredeti árazó képletnek ha gyelembe vesszük, hogy
QT
éppen a
B (t, T )-hez
tartozó kockázatsemleges ár és
B (T, T ) = 1. 2
4.4.
Az eszközárazás diúziós modellje
4.13 De níció. Az
X
folyamatot Itô-folyamatnak vagy Itô-diúziónak mondjuk, ha az
Z X (t) = X (0) +
Z a (s) ds +
0
módon, ahol
t
X
felírható
t
b (s) dw (s) 0
w Wiener-folyamat, az a (s, ω) és b (s, ω) folyamatok el®rejelezhet®ek, valamint Z t P ω| |a (s, ω)| ds < ∞ = 1, t > 0 0 Z t 2 P ω| b (s, ω) ds < ∞ = 1, t > 0. 0
X Itô-folyamatot formálisan szokás a dX = a·dt+b·dw X sztochasztikus dierenciáljának mondjuk.
Egy az
módon jelölni. A
dX
kifejezést
4.4. AZ ESZKÖZÁRAZÁS DIFFÚZIÓS MODELLJE
237
Tegyük fel, hogy a részvények ára kielégíti a
dS = S · (µ (t) · dt + σ (t) · dw) µ (t, ω) és σ (t, ω) el®rejelezhet® folyamatok. HedS/S hozam egy µdt + σdw Itô-folyamatot alkot. Az
sztochasztikus dierenciálegyenletet, ahol urisztikusan ez azt jelenti, hogy a egyenlet természetesen azonos az
Z
t
t
Z
S (t) − S (0) =
σ (s) S (s) dw (s)
µ (s) S (s) ds + 0
0
S az S (0), illetve a µ és a σ ismeretében f (x) = exp (x) függvényre alkalmazva azonnal
integrálegyenlettel. Az integrálegyenletet kielégít® könnyen kiszámolható. Az Itô-formulát az ellen®rizhet®, hogy az
Z S (t) = S (0) exp 0
t
σ 2 (s) µ (s) − ds + 2
Z
t
σ (s) dw (s)
0
kielégíti a fenti egyenletet: Ha
Z
t
X (t) $ 0 akkor az
[X] (t) =
Rt 0
σ 2 (s) ds
σ 2 (s) ds + µ (s) − 2
Z
t
σ (s) dw (s) , 0
polaritási szabály miatt
1 dS = SdX + Sd [X] = Sµdt + Sσdw. 2 Természetesen ebb®l még nem következik, hogy
S
az egyetlen ilyen folyamat. Ezt azonban
hallgatólagosan mindig feltesszük.
Vegyük észre, hogy implicite megköveteltük, hogy az Rt Rt |µ| ds és az 0 σ 2 ds integrálok majdnem minden 0 kimenetelre végesek legyenek. Az S folytonos, így minden trajektóriája minden véges Rt Rt szakaszon korlátos, így ha a |µ| ds és az 0 σ 2 ds integrálok léteznek, akkor a µS és a σS 0 integrálja is létezik.
integrálok létezzenek, vagyis hogy a
Az Itô-diúzió de níciójában explicite feltettük, hogy az
S
szemimartingál véges válto-
zású része abszolút folytonos a lokális martingál rész kvadratikus variációja által generált
dS = SdX , ahol X = X (0) + V + L egy folytonos szeS = S (0) exp (X − [X] /2) = S (0) exp (X − [L] /2). R > 0, ezért R = exp (log (R)) , így
mértékre nézve. Tegyük fel, hogy mimartingál.
Az Itô-formula miatt
Mivel a feltétel szerint
S = S (0) exp (X (0) + V − log (R) + L − [L] /2) . Ha a
log (R)
folytonos és korlátos változású, akkor ebb®l ismételten az Itô-formula miatt
dS = Sd (V − log (R) + L) = Sd (X − log (R)) $ Sd (W + L) .
4.4. AZ ESZKÖZÁRAZÁS DIFFÚZIÓS MODELLJE
Legyen
W $ V − log (R) $ A + B
folytonos és szinguláris részre.
238
[L] szerint abszolút Var (B) = U • B felbontást.
a véges változású rész felbontása az
Tekintsük a szinguláris részre a
Mivel
Z
T
0
amely ha a
B
Z T Z T Z T U U dS = Sd (W + L) = U dW + U dL = S 0 S 0 0 = Var (B) (T ) + 0
nem nulla, akkor az
U/S
integrátor arbitrázst de niál. A gondolatmenet né-
A+B
miképpen pontatlan, ugyanis nem világos, hogy az
felbontás, illetve az
el®rejelezhet® módon. (Vagyis például folytonos és adaptált módon.)
U
választható
Mivel nem akarunk
feleslegesen általános megfontolásokat az állítást csak egy egyszer¶bb alakban igazoljuk. A kockázatmentes befektetést megvalósító kötvény
R áráról, triviális közgazdasági meg-
fontolások alapján feltesszük, hogy az id®ben monoton n®, és mivel a kötvény árával diszkontálni akarunk, ezért feltesszük, hogy az
R
pozitív.
miatt
Z
t
R (t, ω) = exp (log R (t, ω)) = R (0) exp
A Lebesgue-féle felbontási tétel
r (s, ω) ds + h (t, ω) ,
0 ahol a az
R
h
r a log R deriváltja. [t, T ] , t > 0 szakaszon
a Lebesgue-mérték szerint szinguláris és
monoton n®,
Mivel
R > 0
és
log R kifejezés minden véges szintén n®, így a S részvényr®l feltesszük, hogy a megadott alakkal rendelkezik, vagyis
felbontás létezik. Az
hogy Itô-folyamatot alkot.
4.14 Lemma. h = 0. R t U (t, ω) $ R0 exp 0 r (s, ω) ds
A nincsen arbitrázs feltétel teljesülése esetén
Bizonyítás:
Ha tekintjük az
R $ R/U minden trajektóriája vagy konstans, vagy szinguláris és R (0) = 1, vagyis R ≥ 1. Mivel elegend® a lemma állítását az R-ra igazolni, feltehetjük, hogy R ≥ 1, az R növeked® és az R trajektóriái Itô-formula miatt az
S
diszkontfaktort, akkor az
diszkontált folyamat szintén Itô-folyamat, de az
által generált mértékek a Lebesgue-mérték szerint szingulárisak. Legyen
D (t, ω) = lim sup n→∞ az
R
R (t, ω) − R (t − 1/n, ω) 1/n
baloldali deriváltjaiból álló folyamat. Mivel az
R
folytonos a
X $ χ ({D > 0}) el®rejelezhet® folyamatot. Az R által {D > 0} halmaznak, így mivel az R vagy konstans, vagy
D
el®rejelezhet®. Te-
kintsük az
generált mérték tartója
része a
szinguláris, ezért az
trajektóriái a Lebesgue-mérték szerint majdnem mindenhol nullák. Az
SR kvadratikus variációja abszolút T Következésképpen RXdS = 0. Mivel S > 0 és 0
része, valamint az
T
Z SdR ≥ 0
0
és
E
az
R
T
egy pozitív mérték¶ halmazon
SdR
0
véges változású
folytonos a Lebesgue-mértékre nézve.
szigorúan n®, ezért
Z
S
X
> 0.
4.4. AZ ESZKÖZÁRAZÁS DIFFÚZIÓS MODELLJE
Tekintsük az
239
((XS) (t) , − (RX) (t)) portfólió súlyokat.
Mivel az
X
trajektóriái a Lebesgue-
mérték szerint majdnem mindenhol nullák a befektetési stratégia által biztosított árfolyamnyereség nagysága
Z
T
Z (XS) (t) dR (t) −
V (T ) − V (0) =
Z
t
T
T
Z
SdR
(XS) (t) dR (t) =
(RX) (t) dS (t) =
0
0
0
0 miközben az összes
T
id®pontban az eszközölt befektetések értéke
X (t) S (t) R (t) − X (t) R (t) S (t) = 0. Ez közgazdasági értelemben egyértelm¶ arbitrázs, ugyanis nulla befektetéssel olyan nem negatív árfolyamnyereséghez jutottunk, amely egy pozitív valószín¶ség¶ halmazon pozitív. Az érvelés azonban nem pontos, ugyanis nem a korábban rögzített nincsen arbitrázs feltételre épül. Ahhoz, hogy a nincsen arbitrázs de níciót alkalmazni tudjuk, meg kell mondani, hogy minden
t
id®pontban mit csináljunk a már felhalmozott árfolyamnyereséggel.
Nyilvánvaló módon a felhalmozott nyereségen kötvényt kell venni, így az árfolyamnyereség képlete
T
Z V (T ) = 0
T
Z = 0
V + (XS) dR − R V + XSdR. R
T
Z
XRdS =
(4.5)
0
Az így kapott stratégia ön nanszírozó, ugyanis
V + XS R − XRS = V. R
Meg kell mutatni, hogy a fenti (4.5) sztochasztikus dierenciálegyenletnek van
V ≥ 0
megoldása, ugyanis akkor
Z V (T ) = 0
T
V + XSdR ≥ R
és így valóban arbitrázst kapunk. Vezessük be a
Z
T
XSdR, 0
τ
1 τ $ inf t | R (t) − R (0) ≥ >0 2 megállási id®t. Mivel az
R
Rτ − R (0) ≤ 1/2. meg. Legyen V0 $ 0 és Vn Vn+1 $ + XS • R. R
folytonos, ezért
oldását iterációval határozzuk
A dierenciálegyenlet meg-
4.4. AZ ESZKÖZÁRAZÁS DIFFÚZIÓS MODELLJE
240
R ≥ 1 egyenl®tlenségb®l világos, hogy a [0, τ ] szakaszon Vn $ + XS • R ≤ (Vn + XS) • R = R Vn−1 + XS • R + XS • R ≤ = R ≤ ((Vn−1 + S) • R + S) • R ≤ . . . ≤ ≤ ((S • R + S) • R + . . . S) • R ≤ ≤ ((max S · (R − R0 ) + max S) • R + . . . + max S) • R ≤ ∞ X ≤ max S (R − R0 )n ≤ 2 · max S < ∞.
A de nícióból és az
Vn+1
n=0 Ugyanakkor
V1 − V0 = V1 = XS • R ≥ 0. Ebb®l indukcióval
Vn+1 − Vn
vagyis
[0, τ ]
Vn+1 ≥ Vn ,
amib®l a
Vn Vn−1 $ + XS • R − + XS • R = R R Vn − Vn−1 • R ≥ 0, = R (Vn )
sorozat konvergens és a
Vn → V
a fenti (4.5) egyenlet a
szakaszon való olyan megoldása, amely arbitrázs.
2 h szinguláris rész tekinthet® nullának, így az egyszer¶ség kedvéért mindig feltesszük, hogy h = 0, vagyis az R alakulását az Z t r (s, ω) ds , R (t, ω) = R (0) exp A modell közgazdasági tartalma alapján az általánosság megszorítása nélkül a
0 vagy ami azonos az
dR = rRdt egyenlettel írjuk le.
Ha most
r ≥ 0, akkor R ≥ R (0) R t , és így r (s) ds 0
a korábbi tételek mind alkalmazhatóak. Ismételten implicite feltettük, hogy az integrál majdnem minden kimenetelre véges.
4.15 De níció. Az így kapott
(R, S) dR = R · rdt, R (0) = R0 , dS = S · (µdt + σdw), S (0) = S0
modellt az eszközárazás diúziós modelljének szokás mondani. másképpen nem mondjuk mindig feltesszük, hogy
R0 = 1.
A továbbiakban, hacsak
4.5. A KOCKÁZAT PIACI ÁRA
4.5.
241
A kockázat piaci ára
A részvény
S
diszkontált árfolyama triviálisan
S (t) = R (t) Z t Z t σ 2 (s) σ (s) dw (s) , ds + = S (0) exp µ (s) − r (s) − 2 0 0 S (t) $
így ismételten az Itô-formula miatt elemi számolással
dS = S · ((µ − r) dt + σdw) .
4.16 De níció. Vezessük be a
θ (t, ω) $
µ (t, ω) − r (t, ω) σ (t, ω)
folyamatot, amit a kockázat piaci árának szokás mondani. Természetesen ahhoz, hogy a képletnek legyen értelme fel kell tenni, hogy Tekintsük az
L $ −θ • w
σ (t, ω) > 0.
lokális martingált és a
Z t Z 1 t 2 θ (s, ω) ds Λ (t) $ E (L) (t) $ E (−θ • w) (t) = exp − θ (s, ω) dw (s) − 2 0 0 Girszanov-féle transzformációs függvényt, ahol értelemszer¶en megköveteljük, hogy a formula értelmes, vagyis többek között feltesszük, hogy feltesszük, hogy
σ > 0 és az integrálok léteznek, vagyis
Z t 2 θ (s, ω) ds < ∞ = 1. P ω| 0
Feltesszük még, hogy a Girszanov-formula alkalmazásakor nem lép fel probléma, vagyis a
Λ
valódi martingál. A
Q
mértéket válasszuk a
dQ $ Λ (T ) dP egyenl®séggel.
Mivel a
Λ
martingál, ezért
csak mérték, hanem valószín¶ségi mérték.
E (Λ (T )) = 1,
Q
nem
Érdemes hangsúlyozni, hogy explicit módon
nem tesszük fel a nincs arbitrázs feltételt. Burkoltan a a feltételt.
következésképpen a
Λ
martingál volta helyettesíti ezt
Miel®tt tovább megyünk érdemes hangsúlyozni, hogy a megadott feltételek,
különösen az, hogy a
Λ
martingál legyen igen er®s megkötés.
használt eset az, amikor a
µ
és a
σ
konstans, ilyenkor a
θ
Az egyik leggyakrabban
is konstans és a
Λ
egy
1 2 Λ (t) = exp −θw (t) − θ t 2 exponenciális martingál. Emlékeztetünk, hogy végtelen id®horizonton a
Λ
nem egyenlete-
sen integrálható martingál, így a mértékcsere csak véges id®horizonton hajtható végre.
4.6. LOKÁLIS MARTINGÁLMÉRTÉK LÉTEZÉSE, GIRSZANOV-FORMULA
4.6. A
P
242
Lokális martingálmérték létezése, Girszanov-formula
mérték mellett az
S
folyamat folytonos szemimartingál, amely lokális martingál része
Z
t
σ (s) S (s) dw (s) .
M (t) $ 0 A
Λ
által megvalósított
lokális martingál, de a
Q mérték Q alatt.
mellett a Girszanov-tétel miatt az
c M
Számoljuk ki az
folyamatot!
\ c $ σS M • w szintén Az M képlete, a θ
de níciója és a Girszanov-tétel felhasználásával
c $ M − [−θ • w, M ] = M + [θ • w, M ] = M = σS • w + θ • w, σS • w = σS • w + (σθ) S • [w] =
(4.6)
= σS • w + (µ − r) S • [w] = S − S (0) . Következésképpen a
Q
az
S
lokális martingálmértéke. Természetesen, a korábban elmon-
dottak alapján ilyenkor nincsen a modellben arbitrázs. Ugyanakkor azt nem láttuk be, hogy az arbitrázs hiánya esetén a Girszanov-transzformáció használható-e vagy sem. Ha a
σ > 0,
akkor a
rálok léteznek, de nem tudjuk, hogy a
Λ
θ
és a
Λ
de niálható, feltéve, hogy az integ-
valódi martingál lesz vagy sem. Vagyis szemben
a diszkrét id®horizonttal, nem jellemeztük a nincsen arbitrázs megkötést. A szituáció jobb megértése céljából érdemes egy kis kitér®t tenni, és egy másik módszerrel is belátni, hogy az
S
lokális martingál a
Q
alatt. Miként már láttuk
Z t Z t σ2 σdw (s) . S (t) = S (0) exp µ−r− ds + 2 0 0 A
w
Girszanov-transzformáltja
Z w b (t) = w (t) −
t
Z −θ (s) ds = w (t) +
0
t
Z w (t) = w b (t) − S
θ (s) ds. 0
Ebb®l
Ezt az
t
θ (s) ds. 0
képletébe beírva, az asszociativitási szabály szerint
Z t S (t) = S (0) exp 0
σ2 µ−r− 2
Z ds + 0
t
Z σdw b (s) −
σθ = µ − r Z t 2 Z t σ S (t) = S (0) exp − ds + σdw b (s) . 0 2 0
Az összevonások után, felhasználva, hogy
t
σθds .
0
4.7. A LOKÁLIS MARTINGÁLMÉRTÉK EGYÉRTELM
A
243
w b a Q alatt Wiener-folyamat, így ha N $ σ • w b, akkor az N lokális martingál a Q alatt, Q alatti Wiener-folyamat szerinti sztochasztikus integrál. Mivel 1 S = S (0) exp N − [N ] = S (0) E (N ) , 2
hiszen egy
ezért a
Q
alatt az
S
valóban lokális martingál.
Vegyük észre, hogy
Z t Z t σ2 σdw b (s) . r− ds + S (t) = R (t) S (t) = S (0) exp 2 0 0 dS = rSdt+σSdw. b Vegyük észre, hogy az S alakulását leíró sztochasztikus dierenciálegyenletben a µ helyébe r került, vagyis a µ kiesett". Ugyanakkor persze a w helyébe pedig w b került. A kérdés csak az, hogy a w b milyen szempontból helyettesíti" a w folyamatot. Egy szempontból biztosan: A w b a Q alatt szintén Wiener-folyamat, így az eloszlásaik megegyeznek!!! Vagyis az egyiknek a P alatt vett eloszlása megegyezik a másiknak a Q alatt vett eloszlásával. A mértékcsere hatására tehát az S folyamat nem változott, de a dierenciálegyenletben szerepl® együtthatók megváltoztak. Tegyük fel, hogy az F ltráció az S de níciójában szerepl® w Wiener-folyamat által generált, kiterjesztett ltráció. Érdemes hangsúlyozni, hogy a w b szintén Wiener-folyamat az F alatt, de mivel a helyettesítés nem tökéletes", a generált ltrációja esetlegesen sz¶kebb lehet mint az F . A kifejezéshez tartozó sztochasztikus dierenciálegyenlet
4.7. Legyen
A lokális martingálmérték egyértelm¶ F
a
w
által generált ltráció. Megmutatjuk, hogy ilyenkor a
mérték egyértelm¶. Legyen
R
az
S
Γ (t) $ E
dR | Ft dP
pozitív martingál, amely a ltrációra tett feltétel miatt folytonos.
L az F
lokális martingál-
egy másik lokális martingálmértéke. A
módon. Az
Q
szerint lokális martingál, az
F
Tehát felírható
pedig, miként feltételeztük, a
w
E (L)
Wiener-
folyamat ltrációja, így az integrálreprezentációs tétel miatt alkalmas ϕ folyamattal L m.m. ϕ • w. Megmutatjuk, hogy ϕ = −θ. Vegyük az S folytonos szemimartingál P alatti
=
S $ M + A $ S (0) + σS • w + A felbontását. Az ekvivalens mértékcsere során a folytonos szemimartingálok folytonos szemimartingálok lesznek. Az
R
ekvivalens lokális martingálmérték alatt tehát az
S
szintén
folytonos szemimartingál, amely lokális martingál része az imént elmondottakkal analóg módon
M − [L, M ] = M − ϕ • w, σS • w = M − (ϕσ) S • [w] .
4.8. INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL ÉS MÉRTÉKCSERE
244
A folytonos szemimartingálok egyértelm¶ felbontása miatt, felhasználva, hogy az
R
az
S
lokális martingál mértéke az
S = M − (ϕσ) S • [w] + A + (ϕσ) S • [w] , felbontásban
A + (ϕσ) S • [w] = 0,
vagyis
m.m.
A = −σϕS • [w] . Hagyományos integrál jelöléssel, majdnem minden
t
Z
Z
Az
θ, σ
és
ϕ
esetén minden
t-re
t
θ (s, ω) σ (s, ω) S (s, ω) ds = − 0
ω
σ (s, ω) ϕ (s, ω) S (s, ω) ds. 0
folyamatok négyzetesen integrálhatóak, az
S
folytonos, így az integrandusok
minden véges szakaszon integrálhatóak, következésképpen a két oldalt deriválva azonnal látható, hogy majdnem minden
ω
megegyeznek. A feltételek szerint
kimenetelre és majdnem minden
S>0
és
σ > 0,
s-re
az integrandusok
tehát
m.m.
θ (s, ω) = −ϕ (s, ω) , következésképpen
4.8.
P = Q.
Integrálreprezentációs tétel és mértékcsere
4.17 Tétel. Legyen
M
egy folytonos lokális martingál és tegyük fel, hogy az
rálreprezentációs tulajdonsággal a
P
M
den folytonos lokális martingál felírható
Q
rendelkezik az integ-
P
alatt min-
szerinti sztochasztikus integrálként.
Legyen
P és a Q közötti Radon c E (L) módon. Legyen M lokális martingál a Q alatt,
egy ekvivalens valószín¶ségi mérték, és tegyük fel, hogy a
Nikodym-folyamat egy az
M
mérték alatt, vagyis tegyük fel, hogy a
M
L
folytonos lokális martingállal felírható
Girszanov-transzformáltja. Ha
akkor alkalmas
Y
N
tetsz®leges folytonos
esetén érvényes az
c N (t) = N (0) + Y • M (t) , reprezentáció, vagyis az
Bizonyítás:
c rendelkezik M
0≤t≤T
az integrálreprezentációs tulajdonsággal a
Az integrálreprezentációs tétel használatához vissza kell térni a
Legyen
dQ = E (L) (T ) , dP
Q
alatt.
P mértékre.
4.8. INTEGRÁLREPREZENTÁCIÓS TÉTEL ÉS MÉRTÉKCSERE
L
ahol
lokális martingál a
P
245
mérték alatt. Ekkor
−1 dP 1 −1 = (E (L) (T )) $ exp L − [L] (T ) = dQ 2 1 = exp −L + [L] (T ) = 2 1 = exp [L] − L − [L − [L]] (T ) . 2 Vegyük észre, hogy az
[L] − L = (−L) − [−L, L] éppen a
−L
lokális martingál
c −L
Girszanov-transzformáltja, így lokális martingál a
Q
alatt. Vagyis
dP 1hci c c . = exp −L − −L (T ) = E −L dQ 2 Így a a
Q
Q-ból P-be felírt Griszanov-transzformáció miatt ha az N
folytonos lokális martingál
alatt, akkor az
h i b $ N − N, −L c = N − [N, [L] − L] = N + [N, L] N lokális martingál a
P
alatt. Az
tulajdonsággal, így van olyan
M
Y,
a feltétel szerint rendelkezik az integrálreprezentációs
hogy
N + [N, L] = N (0) + Y • M. A két oldal
L-lel
vett keresztvariációját véve
[N, L] = [Y • M, L] = Y • [M, L] . Tehát átrendezve
N = N (0) + Y • M − [N, L] = N (0) + Y • M − Y • [M, L] = c, = N (0) + Y • (M − [M • L]) $ N (0) + Y • M ami éppen az állítás bizonyítása.
2 Hasonlóan látható be a következ®:
4.18 Tétel. Girszanov-transzformációhoz tartozó ekvivalens valószín¶ségi mértékcsere esetén ha
N (0) = X • M ,
akkor
b −N b (0) = X • M c. N
N−
4.9. A PIAC TELJESSÉGE
Bizonyítás:
246
Tegyük fel, hogy
N −N (0) = X•M .
Legyen
L a Girszanov-transzformációban
szerepl® kitev®. Ekkor
[N, L] = [X • M, L] = X • [M, L] . Ezt a két oldalról kivonva
b −N b (0) = N − N (0) − [N, L] = X • M − X • [M, L] = N c. = X • (M − [M, L]) = X • M 2
4.9.
A piac teljessége
Rögzítsünk egy
T
id®pontot. Miként korábban, legyen
Z t Z 1 t 2 Λ (t) $ E (−θ • w) (t) = exp − θ (s, ω) dw (s) − θ (s, ω) ds , 2 0 0 és legyen
Q
a
Λ (T )
által de niált ekvivalens lokális martingálmérték. Ügyeljünk
θ
el®je-
lére! A gond abból származik, hogy a kockázat piaci árát pozitívnak szeretnénk de niálni.
HT a T id®pontban esedékes pénzügyi tranzakció véletlen eredménye. Tegyük fel, hogy az F ltráció a modellben szerepl® w Wiener-folyamat ltrációja. A modellben tehát csak egy véletlen forrás, a w szerepelhet. Ha például az r és a µ, vagy a σ meghatározásához további Wiener-folyamatokra van szükség és F az összes Wiener-folyamat által meghatározott ltráció, akkor a modell nem teljes, vagyis az összes FT -mérhet® változó Legyen
árát nem tudjuk az alábbi árazási képlettel megadni. Q H T | Ft Q-martingált. Természetesen csak akkor kapunk Vezessük be az N (t) $ E martingált, ha az replikálja a
HT
HT
integrálható a
Q
alatt. Vegyük észre, hogy az
N
adaptált folyamat
H T FT -mérhet® triviálisan N (T ) $ EQ H T | FT = H T .
változót, ugyanis mivel a
Ez azonban nem jelent semmit, ugyanis a replikálást ön nanszírozó, alulról korlátos portfólióval kell elvégezni. Az ön nanszírozás azt jelenti, hogy a diszkontált értékfolyamatot a diszkontált árak szerinti sztochasztikus integrálként állítjuk el®. Ehhez elegend® megmutatni, hogy az
N − N (0)
el®állítható
tulajdonsága miatt felírhatjuk a
w b
X •S
módon. Az
szerinti integrálként.
N -et
a
w
integrálreprezentációs
Felhasználva, hogy
σS 6= 0
és
hogy a Girszanov-transzformáció felcserélhet® a sztochasztikus integrálással, illetve, a már igazolt (4.6) sor alapján
Y N − N (0) = Y • w b = σS b= •w b $ σSX • w σS \ c = X • S. = X • σS • w b = X • σS •w =X •M Tehát igazoltuk a következ®t:
4.10. ÁRAZÁSI KÉPLET ÉS ARBITRÁZS
247
4.19 Tétel. Ha
F
a modellben szerepl®
martingál az
F
w
Wiener-folyamathoz tartozó ltráció és
ltrációra nézve, akkor az
N
S
el®állítható az
N
tetsz®leges
Q-
sztochasztikus integráljaként:
N = N (0) + X • S. Ha most újra
N (T ) = H T ,
akkor
T
Z
XdS = E H T = N (T ) = N (0) + 0 Z T Q = E HT + XdS.
Q
Z
T
H T | F0 +
XdS = 0
0 Bár a levezetésb®l evidens, de érdemes hangsúlyozni, hogy az
X •S
integrál létezik. Ennek
szükséges és elégséges feltétele, hogy az
Z
t 2
X d S =
Z
0
t
Y2
2 0 S σ2
2 2
Z
t
S σ ds =
Y 2 ds
0
kifejezés majdnem minden kimenetelre véges legyen. Ami azonban az integrálreprezentációs tétel miatt triviálisan teljesül.
4.10.
Árazási képlet és arbitrázs
Vegyük észre, hogy szemben a véges, diszkrét id®horizontos esettel nem hivatkozhatunk közvetlenül a nincs arbitrázs feltételre, mert az alulról való korlátosság feltétele miatt valamely megengedett portfólió mínusz egyszerese nem lesz feltétlenül alulról korlátos. Ezért a diszkrét esethez képest közgazdaságilag egy kicsi módosítani kell a gondolatmenetet:
4.20 De níció. Ha valaki a
HT
tranzakció eredményét szintetikusan kockázatmentes módon el® akarja ál-
lítani, akkor egy olyan
VT (x) ≥ HT .
x
kezdeti összegre van szüksége, amelyb®l indított
A reláció teljesülése esetén azt mondjuk, hogy az
kiinduló portfólió szuperreplikálja a
HT
követelést. Valamely
HT
x
V
értékfolyamatra
kezdeti befektetésb®l
követelés fair árán a
π (HT ) $ min {x | VT (X, x) ≥ HT } értéket értjük, feltéve ha létezik, ahol az
X
a lehetséges, szuperreplikáló, ön nanszírozó
portfólió súlyok halmazán fut keresztül.
V T (x) ≥ H T . lenni. Mivel a V
A szuperreplikálás feltételét diszkontálva nanszírozónak és alulról korlátosnak kell miatt éppen az gál, ezért a
V,
S
Az el®állításban a
V -nak
ön-
az ön nanszírozás de níciója
szerinti sztochasztikus integrál, és mivel az
S
mint sztochasztikus integrál, lokális martingál a
Q alatt Q alatt.
a
lokális martinHa feltesszük,
4.10. ÁRAZÁSI KÉPLET ÉS ARBITRÁZS
HT
hogy a
alulról korlátos, akkor a
248
V
egy alulról korlátos lokális martingá, ezért a
V
egy
szupermartingál. Mivel a szupermartingálok nem növelik a várható értéket, ezért
EQ H T | F0 ≤ EQ V T (X, x) | F0 ≤ EQ V 0 (X, x) | F0 = V 0 (X, x) =
x . R (0)
Vegyük észre, hogy a korábban elmondottak miatt egy alkalmas X lehetséges, ön nanszí Q rozó portfólióra VT (x) = HT , és ilyenkor x = R (0) E H T | F0 . Ebb®l következ®en az x = R (0) EQ H T | F0 = EQ H T az eladó szempontjából egy versenyképes ár. A kérdés csak az, hogy kérhet-e ett®l eltér® árat? Ha a tényleges π (HT ) ár nagyobb mint R (0) EQ H T | F0 , vagyis az alkalmas, ön nanszírozó, lehetséges portfólió induló költsége, akkor a
HT
drága, így el kell adni, a reprezentáló portfólió pedig olcsó és ezért azt meg
kell venni. Ha eladjuk a
HT
a költségeink, az értékfüggvény, alulról korlátos. A nettó eredmény nulla, a
t=0
X portfóliót, akkor a t = T id®pontban
tranzakciót és dinamikusan felépítjük az
id®pontban pedig a bevétel és a költség különbsége
π (HT ) − R (0) EQ H T | F0 > 0, ami arbitrázs. Mivel a modellben a feltételek szerint van ekvivalens lokális martingálmérték az arbitrázs lehet®sége ellentmondás. Ha az ár kisebb lenne, és a szerepl®k csak fedezett helyzetben hajlandók a terméket kínálni, akkor senki sem lenne hajlandó az üzletbe belemenni, vagyis nem lennének eladók a piacon, így az üzlet nem jönne létre. Másképpen fogalmazva az árazóképlet biztosításához szükséges közgazdasági modellben az eladó a
HT -
ért kapott árból fedezett helyzetbe akar kerülni. Ha nem tudja a követelést lefedezni, akkor a terméket a modell feltételei szerint nem adja el, ugyanis nem akar valódi kockázatot vállalni.
Szemben a szokványos közgazdasági helyzettel, az eladó nem feltétlenül akarja a
terméket eladni, ugyanis az pusztán egy matematikai formula, így nem romlik, nincsen gyártási költsége stb. Vagyis a kereslet hiánya nem vezet az ár csökkenéséhez, illetve az alacsony ár nem feltétlenül vezet a kereslet növekedéséhez. Vegyük észre, hogy a gondolatmenet nem azonos a véges id®horizonton elmondottal. Véges id®horizonton mind a két oldalon az arbitrázs lehet®sége határozza meg az árat a szerepl®k hozzáállástól függetlenül, vagyis véges id®horizonton az alacsony ár keresletet támaszt és emelni fogja az árat. Ha a származtatott termék ára alacsony, akkor a terméket meg kéne venni, a fedez® portfóliót el kéne adni. A fedez® portfólió azonban csak alulról korlátos, így az eladásakor létrejött portfólió felülr®l és nem alulról korlátos, így nem egy megengedett portfólió.
Folytonos
id®horizonton a duplázási stratégiából ered® arbitrázs miatt a helyzet nem szimmetrikus. Természetesen korlátos ki zetések esetén, például a put opcióknál, van alulról és felülr®l is
5
korlátos replikáló stratégia, így ilyenkor mind a két irányba lehet arbitrálni . Ezidáig csak a
t=0
id®pontra határoztuk meg az árakat. De milyen folyamatot követ
a származtatott termék ára a
0≤t≤T
π t (HT ) = E
id®szak alatt? Megmutatjuk, hogy
Q
R (t) · HT | Ft . R (T )
5 Vegyük észre, hogy a gondolatmenet nehézsége abból ered, ahogyan a megengedett portfólió fogalmát de niáltuk.
4.11. A BLACKSCHOLES DIFFERENCIÁLEGYENLET
Valamely
HT
249
t id®pontban de níció szerint a [0, T − t] id®tartományon Gs $ Ft+s ltráció mellett. Vegyük észre, e e (s) $ S (s) $ S (t + s) folyamatot kell írni az R helyébe pedig az R
követelés fair ára a
de niált árazási probléma megoldását értjük a
S helyébe az R (t + s) kerül. Így hogy az
π t (HT ) = R (t) E
Q
HT | G0 R (T )
= R (t) E
Q
HT | Ft . R (T )
4.21 Tétel. Legyen
w
egy Wiener-folyamat és legyen
Z
F
a
w
által generált ltráció. Tegyük fel, hogy
t
r (s) ds
R (t) = R (0) exp Z 0t S (t) = S (0) exp 0
Z
t
= exp
r (s) ds , Z t σ 2 (s) µ (s) − ds + σ (s) dw . 2 0 0
Tegyük fel továbbá, hogy a kockázat piaci árának nevezett
θ (t) $
µ (t) − r (t) σ (t)
folyamat esetén a
Z t Z 1 t 2 θ (s) ds Λ (t) $ E (−θ • w) (t) = exp − θ (s) dw (s) − 2 0 0 [0, T ]
folyamat valódi martingál a
szakaszon. Legyen
Z Q (A) $
Λ (T ) dP,
A ∈ FT .
A
Ha
HT
alulról korlátos és
akkor a
HT
fair ára a
FT -mérhet®, valamint HT Q E HT = E Λ (T ) < ∞, R (T )
0≤t≤T
id®pontban éppen
π t (HT ) = R (t) · E
4.11.
Q
HT | Ft . R (T )
(4.7)
A BlackScholes dierenciálegyenlet
Tegyük fel, hogy
HT = h (S (T )) és hogy R (t) = exp
R
t 0
r (s) ds
és az
r
determinisztikus.
Ilyenkor
Z T π t (HT ) = exp r (s) ds · E exp − r (s) ds h (ST ) | Ft = 0 0 Z T Z T Q = E exp − r (s) ds h (ST ) | Ft = exp − r (s) ds EQ (h (ST ) | Ft ) . Z
t
t
Q
t
4.11. A BLACKSCHOLES DIFFERENCIÁLEGYENLET
250
Legyen
dS = b (t, S) dt + σ (t, S) dw az
S
egyenlete a kockázatsemleges mérték alatt.
Tegyük fel, hogy egy alkalmas
f (t, x)
függvény kielégíti a
∂f ∂ 1 ∂2 (t, x) + b (t, x) f (t, x) + σ 2 (t, x) 2 f (t, x) = r (t) f (t, x) ∂t ∂x 2 ∂x f (T, x) = h (x) R t úgynevezett BlackScholes egyenletet. Legyen g (t, x) $ f (t, x) exp − r (s) ds . Az 0 S (t) folyamatra alkalmazva az Itô-formulát, kihasználva, hogy az r determinisztikus Z t Z t ∂f ∂g (t, S (t)) = (t, S (t)) exp − r (s) ds − r (t) f (t, S (t)) exp − r (s) ds ∂t ∂t 0 0 elemi számolással
Z g (T, S (T )) − g (t, S (t)) =
T
σ (s, S (s)) t
∂g (s, S (s)) dw (s) , ∂x
amib®l az
Z g (T, S (T )) − g (t, S (t)) = exp −
T
r (s) ds h (S (T )) − g (t, S (t))
0 lokális martingál. Tegyük fel, hogy a
g
korlátos, vagy legalábbis a
integrálható majoránssal. Ilyenkor valódi martingál. Ebb®l
Z t r (s) ds = g (t, S (t)) = f (t, S (t)) exp − 0 Z T Q =E exp − r (s) ds h (S (T )) | Ft = 0 Z t r (s) ds π t (HT ) , = exp − 0 amib®l
f (t, S (t)) = π t (HT ).
g (t, S (t))
rendekezik
5. fejezet BlackScholes világ A BlackScholes világon a klasszikus opcióárazás modellkörét értjük. Ilyenkor a modellben két termék van, egy kötvény és egy részvény. Ez a feltételezés a gondolatmenetet, f®leg a jelölést, jelent®sen leegyszer¶síti. A részvény árát általában
dS = µSdt + σSdw, sztochasztikus dierenciálegyenlet írja le, ahol folyamatot
R
µ
S
jelöli és mozgását a
S (0) = S0 és
σ
konstansok.
A kötvény árát leíró
jelöli és mozgását a
dR = rRdt,
R (0) = R0 (= 1)
dierenciálegyenlet írja le. A modellkör legf®bb célja, hogy a különböz® származtatott termékek árára vonatkozó egyszer¶en kezelhet®, zárt alakban felírható formulákat vezessünk le.
A hangsúly az egyszer¶en kezelhet®, zárt alakban megadható formulán van, ugyanis
közismert, hogy a modell a valóságtól igen távol van. tott formulák egyfajta els® közelítésnek tekinthet®k.
A modell segítségével származtaA matematikai pénzügyek minden
modellje a BlackScholes-modell általánosítása.
5.1.
Európai opciók árazása
Ahhoz, hogy konkrét számolásokat is be tudjunk mutatni, az általános diúziós modellt tovább konkretizáljuk. Ha a
µ, r
és a
σ
paraméterek konstansok, akkor szokás BlackScholes
modellr®l beszélni. Azonnal látható, hogy a BlackScholes modell esetén az általános áraµ−r kockázat piaci ára konstans. A Q zási formula feltételei teljesülnek. Ilyenkor a θ $ σ kockázatmentes mértéket generáló
1 2 Λ (t) = exp −θw (t) − θ t , 2
0≤t≤T
folyamat martingál, és az
σ2 S (t) = S (0) exp (µ − r) t − t + σw (t) 2 251
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
R
Λ (T ) dP lokális martingálmérték mellett valódi marA tingál. Ennek igazolásához elegend® belátni, hogy az S várható értéke a Q mérték alatt diszkontált árfolyam a
Q (A) $
252
Q alatt nem negatív lokális martingál, ezért biztosan martingál. Mivel µ − r = θσ ezért dQ 1 2 Q E S (t) = E S (t) = E S (t) exp −θw (T ) − θ T = dP 2 1 2 = = E E S (t) exp −θw (T ) − θ T | Ft 2 1 2 = E S (t) E exp −θw (T ) − θ T | Ft = 2 1 2 = E S (t) exp −θw (t) − θ t = 2 1 2 2 = θ + σ t + (σ − θ) w (t) = S (0) E exp θσt − 2 1 2 = S (0) E exp − (θ − σ) t + (σ − θ) w (t) = 2 E (exp ((σ − θ) w (t))) = S (0) = S (0) exp (θ − σ)2 t/2 konstans, ugyanis mivel a
szuper-
ahol az utolsó sorban kihasználtuk a lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képletet.
5.1.1.
5.1 Példa.
Határid®s termékek árazása
Határid®s ügyletek árazása. Els® példaként legyen
HT $ S (T ) − K ,
ahol
K
konstans. A kifejezés alulról korlátos,
így az árazási formula használható. Ilyenkor
π (HT ) = EQ H T = S (0) exp((µ − 21 σ 2 )T + σw (T )) − K 1 = E( 1 exp(−θw (T ) − θ2 T )) = exp (rT ) 2 1 = S (0) E exp (σ − θ) w (T ) − (σ − θ)2 T − 2 1 2 −K exp (−rT ) E exp −θw (T ) − θ T . 2 S (0) , a második −K exp (−rT ). Másképpen
Miként az el®z® levezetésben az els® kifejezés martingál tulajdonsága miatt éppen
π (HT ) = S (0) − K exp (−rT ) .
kifejezés pedig a
Λ (t)
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
A határid®s ügyleteknél a
K
253
értékét úgy kell meghatározni, hogy
π (HT ) = 0 legyen.
Ebb®l
K = S (0) exp (rT ) . 2
5.1.2.
Vanilia call opciók árazása, BlackScholes-formula kiszámolása Bayes-formulával
5.2 Példa. Az európai call opciók ára. Térjünk rá az európai call opciók árát megadó nevezetes BlackScholes formula tárgyalására. Ilyenkor
HT $ max (0, ST − K) = (ST − K)+ . A konkrét formula több módon is kiszámolható. A kérdés csak az, hogy hogyan lehet egyszer¶en kiszámolni. Az árazási formula alapján a BlackScholes-formula kiszámolásakor a
(ST − K)+ ST K HT $ = χ (ST ≥ K) − χ (ST ≥ K) exp (rT ) exp (rT ) exp (rT )
integrálját kell a
Q
mérték alatt kiszámolni. Világos, hogy a diszkontált ki zetés alulról
korlátos és integrálható a
Q
alatt.
A második tag integrálja könny¶:
I2 $ E =
Q
K K χ (ST ≥ K) = EQ (χ (ST ≥ K)) = exp (rT ) exp (rT )
K Q (ST ≥ K) . exp (rT )
Mivel
ST = S0 exp
σ2 r− 2
T + σw b (T ) ,
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
ahol a
w b
Wiener-folyamat a
254
Q
alatt, így ha
Φ
jelöli a standard normális eloszlás eloszlás-
függvényét, akkor
K Q (S (T ) ≥ K) = exp (rT ) K σ2 Q S0 exp σ w b (T ) + r − T ≥K = exp (rT ) 2 2 K K σ Q σw b (T ) ≥ ln + −r T = exp (rT ) S (0) 2 K ln (K/S (0)) + (σ 2 /2 − r) T Q w b (T ) ≥ = exp (rT ) σ K w bT ln (K/S (0)) + (σ 2 /2 − r) T √ Q −√ ≤ − = exp (rT ) T σ T K ln (S (0) /K) + (r − σ 2 /2) T √ Φ . exp (rT ) σ T
I2 $ = = = = =
Az els® integrálja némiképpen kínosabb, ugyanis az Ugyanakkor válasszuk most az
S -ot
ST
nem emelhet® ki az integrálból.
diszkont tényez®nek.
A korábban a Bayes-formula
következményeként belátott (4.4) sort felhasználva
I1
dQ $ E S (T ) χ (S (T ) ≥ K) = E S (T ) χ (S (T ) ≥ K) = dR S0 R = E S (T ) χ (S (T ) ≥ K) = S0 R (S (T ) ≥ K) . ST Q
R
A formula el®nye, hogy ismét csak egy valószín¶séget kell kiszámolni. Persze gondot jelent, hogy nem tudjuk, pontosabban tudhatnánk, de nem akarjuk megtudni, hogy mi az
R
mérték. Ezért egy kerül®utat választunk:
b (t) = R (t) = 1 = S −1 exp R 0 S (t) S (t) Mivel az ezért az
R = 1 martingál a Q alatt, az R pedig az új ármércéhez tartozó martingálmérték, b martingál az R alatt. A Girszanov-formula miatt a w-b®l w R e + αt lesz az R
alatt, vagyis
S alakú lesz, ahol vagyis
w e
−1
(t) = S (0)−1 exp (−σ w e (t) − δt)
w e Wiener-folyamat az R alatt, ami csak akkor lesz martingál, ha δ = σ 2 /2, S
ahol a
σ2 r−µ+ t − σw (t) . 2
−1
Wiener-folyamat az
−1
(t) = S (0) R
σ2 exp −σ w e (t) − t , 2
mérték mellett. Következésképpen
S (T ) = S (0) exp
σ2 r+ 2
T + σw e (t) .
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
255
Ezt beírva és a már látott módon ebb®l elemi számolással
I1 = S (0) R (S (T ) ≥ K) = σ2 = S (0) R S (0) exp r+ T + σw e (T ) ≥ K = 2 S (0) σ2 = S (0) R( − σ w e (T ) ≤ ln + r+ T) = K 2 w e (T ) ln (S (0) /K) + (r + σ 2 /2) T √ = S (0) R(− √ ≤ )= T σ T ln (S (0) /K) + (r + σ 2 /2) T √ = S (0) Φ . σ T Ebb®l következ®en
ln (S (0) /K) + (r + σ 2 /2) T √ π (HT ) = I1 − I2 = S (0) Φ σ T K ln (S (0) /K) + (r − σ 2 /2) T √ − Φ . exp (rT ) σ T
Ha
d1 $
ln (S (0) /K) + (r + σ 2 /2) T √ , σ T
d2 $
akkor
π (HT ) = S (0) Φ (d1 ) −
5.1.3.
−
ln (S (0) /K) + (r − σ 2 /2) T √ σ T
K Φ (d2 ) . exp (rT )
2
Néhány további egyszer¶ opció
5.3 Példa. Gallér opciók ára. Gallér opciók esetén adottak a
0 < K1 < K2
korlátok és
HT $ min (max (S (T ) , K1 ) , K2 ) , vagyis a ki zetés
S (T )
ha a
T
id®pontban az ár a
K1 < K2
sávban van, ellenkez® esetben
az éppen aktuális korlát, amelyet utoljára átlépett az ár. Könnyen látható, hogy
HT = K1 + (S (T ) − K1 )+ − (S (T ) − K2 )+ . Ebb®l következ®en a gallér opció két azonos lejárati id®ponttal, de különböz® kötési árral rendelkez® call opció árának különbsége és a
K1 exp (−rT ) összege.
Az opció nem keverend®
össze a korlátozott call opcióval, amely esetén a ki zetés
HT $ min (max (S (T ) − K1 , 0) , K2 ) = = max (S (T ) − K1 , 0) − max (S (T ) − (K1 + K2 ) , 0) . 2
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
256
5.4 Példa. Korlátozott határid®s opció. Jelölje
FT
az
S
alaptermék
T
id®pontban esedékes határid®s árát, vagyis legyen
FT $ S (0) exp (rT ) . Korlátozott határid®s opció árán azt az
X
értéket értjük, amelyre a
T
id®pontban esedékes
HT $ max (S (T ) , FT ) − X ki zetés
t=0
id®pontban vett ára nulla. Könnyen látható, hogy
HT $ (S (T ) − FT )+ + FT − X. Ebb®l
0 = π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S (T ) − FT )+ + exp (−rT ) (FT − X) , amib®l
X = EQ (S (T ) − FT )+ + FT = = exp (rT ) exp (−rT ) EQ (S (T ) − FT )+ + S (0) . Az
exp (−rT ) EQ (S (T ) − FT )+
kifejezés éppen a
K = FT $ S (0) exp (rT )
kötési árhoz
tartozó call opció ára, amely a BlackScholes-formulával közvetlenül kiszámolható.
2
5.5 Példa. Határid®s kötési árfolyamos opció. A határid®s kötési árfolyamos opció esetén adott egy
T0 < T
id®pont és
HT $ (S (T ) − S (T0 ))+ . Ilyenkor
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S (T ) − S (T0 ))+ = = exp (−rT ) EQ EQ (S (T ) − S (T0 ))+ | FT0
=
= exp (−rT ) EQ S (T0 ) EQ (S (T ) /S (T0 ) − 1)+ | FT0
=
= exp (−rT0 ) EQ S (T0 ) exp (−r (T − T0 )) EQ (S (T ) /S (T0 ) − 1)+ | FT0
.
Vegyük észre, hogy mivel
S (T ) = exp S (T0 ) és mivel a
w b (T ) − w b (T0 )
σ2 r− 2
(T − T0 ) + σ (w b (T ) − w b (T0 ))
növekmény független az
FT0
-tól, ezért a bels® feltételes várható
értékben a feltétel elhagyható, következésképpen a kifejezés éppen egy a
T − T0
id®pontban
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
lejáró
K = 1
kötési árhoz és
257
S (0) = 1
részvényárhoz tartozó call opció
C (1, T − T0 , 1)
módon jelölt ára. Mivel ez konstans, ezért
π (HT ) = exp (−rT0 ) EQ (S (T0 )) · C (1, T − T0 , 1) = = S (0) · C (1, T − T0 , 1) = C (S (0) , T − T0 , S (0)) , amely érték a BlackScholes-formulával már kiszámolható.
2
5.6 Példa. A közönséges európai put opció ára. Az európai put opció esetén a ki zetés
HT = max (0, K − ST ) = (K − ST )+ , ugyanis de níció szerint a put szerz®dés birtokosa eladhatja a terméket
K
áron a
T
id®-
pontban.
(ST − K)+ − (K − ST )+ = ST − K ebb®l
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (K − ST )+ = = exp (−rT ) EQ (ST − K)+ − exp (−rT ) EQ (ST − K) = = exp (−rT ) EQ (ST − K)+ − S (0) + K exp (−rT ) . vagyis az árat visszavezettük két már kiszámított ár különbségére.
Beírva a call opció árát
K K Φ (d2 ) − S (0) + = exp (rT ) exp (rT ) K = S (0) (Φ (d1 ) − 1) − (Φ (d2 ) − 1) = exp (rT ) K = Φ (−d2 ) − S (0) Φ (−d1 ) . exp (rT )
π (HT ) = S (0) Φ (d1 ) −
2
5.7 Példa. Black-formula, a Black-76 modell. Legyenek adva a
T < T0
id®pontok és legyen adva egy
K
kötési árfolyam, amelyre
HT $ (F (T ) − K)+ , F (T ) az S -re vonatkozó a T 0 id®pontban lejáró forward ügylet ára a T 0 Mivel F (T ) = S (T ) (exp (r (T − T ))), ezért + HT = exp r T 0 − T S (T ) − K exp −r T 0 − T . ahol
id®pontban.
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
258
A közönséges call opcióra vonatkozó képlet alapján, felhasználva, hogy
F (0) = S (0) exp (rT 0 )
K exp (−r (T 0 − T )) Φ (d2 )) = exp (rT ) = exp (−rT ) (F (0) Φ (d1 ) − KΦ (d2 )) ,
π (HT ) = exp r T 0 − T
d1 és d2 a call HT = (K − F (T ))+ ahol
(S (0) Φ (d1 ) −
opcióknál megadott konstansok.
Az el®z® példa alapján az analóg
put opció ára
π (HT ) = exp (−rT ) (KΦ (−d2 ) − F (0) Φ (−d1 )) . Vegyük észre, hogy a call és a put ára csak az
F (0)-on
keresztül függ a
T0
id®ponttól.
2
5.8 Példa. Választható opció.
T0 < T id®pontban az opció birtokosa választhat egy közös T id®pontban lejáró azonos K kötési árhoz tartozó put és call között. Ilyenkor HT0 = exp (−r (T − T0 )) max EQ (S (T ) − K)+ | FT0 , EQ (K − S (T ))+ | FT0 . A választható opció esetén egy
a
Az el®z® példa alapján
EQ (K − ST )+ | FT0 = EQ (ST − K)+ | FT0 + EQ (K − S (T ) | FT0 ) = EQ (ST − K)+ | FT0 + K − S (T0 ) exp (r (T − T0 )) , ami behelyettesítve
HT0 = exp (−r (T − T0 )) EQ (S (T ) − K)+ | FT0 + + (K exp (−r (T − T0 )) − S (T0 ))+ , π (HT0 ) = exp (−rT ) EQ (S (T ) − K)+ + + exp (−rT0 ) EQ (K exp (−r (T − T0 )) − S (T0 ))+ . vagyis a választható opció felírható egy alkalmas put és egy call opció árának összegeként.
T id®szakra vonatkozik és a kötési ára K exp (−r (T − T0 )) . A put és call árára
Az egyetlen dolog, amire ügyelni kell, hogy a call a
K, a put a T0
id®szakra vonatkozik és a kötési ára
vonatkozó már belátott képleteket beírva
K Φ (d2 ) + exp (rT ) K exp (−r (T − T0 )) e e + Φ −d2 − S (0) Φ −d1 = exp (rT0 ) K e e Φ (d2 ) − Φ −d2 , = S (0) Φ (d1 ) − Φ −d1 − exp (rT ) π (HT0 ) = S (0) Φ (d1 ) −
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
259
ahol
ln (S (0) /K exp (−r (T − T0 ))) + (r ± σ 2 /2) T0 √ de12 = = σ T0 ln (S (0) /K) + r (T − T0 ) + (r ± σ 2 /2) T0 √ = = σ T0 ln (S (0) /K) + rT ± σ 2 T0 /2 √ = σ T0 2
5.1.4.
Összetett opciók árazása
5.9 Példa. Összetett opciók árazása. Az összetett opciók olyan opciók, amelyek alapterméke maga is egy opció. Valójában négy alapeset lehetséges, attól függ®en, hogy call vagy put opciót tekintünk egy call vagy put opcióra nézve. A négy eset kiszámolása nagyon hasonló, így példaként a call opciókra vonatkozó call opció árát számoljuk ki. id®pontban call opciót.
K1
kötési áron megvehetjük a
Jelölje
c (S, T, K)
az
S
T1 < T2 id®pontunk van. A T1 K2 kötési árral rendelkez® a T id® múlva esedékes K kötési
Ilyenkor két
T2
id®pontban lejáró
árfolyam esetén
árfolyamhoz tartozó call opció árát. A BlackScholes formula éppen ezt az árat adja meg. Ekkor a keresett ár a
T1
id®pontban esedékes
HT1 $ max (0, c (S (T1 ) , T2 − T1 , K2 ) − K1 ) , ki zetés
t=0
id®pontban zetend® értéke. Vagyis a
alapján kiszámoljuk a ennek
K1
K2
kötési árhoz tartozó
T1
T2 − T1
id®pontban az aktuális
S (T1 )
ár
id® múlva lejáró call opció árát, és
feletti értékét lekaszáljuk. Mennyit kell ezért zetni a t = 0 id®pontban? Az ár S 0 szintet, ahol az összetett opció értékessé
kiszámolásához el®ször ki kell számolni azt az 0 válik vagyis azt a S értéket, amelyre
c S 0 , T2 − T1 , K2 = K1 . 0 szigorúan növeked® függvénye, így az S értéke numerikusan 0 egyértelm¶en kiszámolható. Világos, hogy ha S (T1 ) > S , akkor az összetett opció értéke A BlackScholes-formula az
S
pozitív, minden más esetben az opció értéke nulla. ára a
T1
A
T2
id®pontban esedékes call opció
id®pontban a korábban látott (4.7) sor alapján
exp (−r (T2 − T1 )) · EQ (S (T2 ) − K2 )+ | FT1 .
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
260
Ezt beírva a feltételes várható érték de níciójának felhasználásával
π (HT1 ) = + + Q Q = = exp (−rT1 ) E exp (−r (T2 − T1 )) E (S (T2 ) − K2 ) | FT1 − K1 = exp (−rT1 ) EQ exp (−r (T2 − T1 )) EQ (S (T2 ) − K2 )+ | FT1 − K1 χ S (T1 ) > S 0 = = exp (−rT2 ) EQ S (T2 ) χ S (T2 ) > K2 , S (T1 ) > S 0 − − exp (−rT2 ) K2 Q S (T2 ) > K2 , S (T1 ) > S 0 − − exp (−rT1 ) K1 Q S (T1 ) > S 0 . Ebb®l következ®en az összetett opció negatív lába, vagyis amit a
T1
id®pontban zetni kell
az opció lehívásakor
π HT11 = exp (−rT1 ) K1 Q S (T1 ) > S 0 = σ2 0 = exp (−rT1 ) K1 Q S (0) exp r− T1 + σ w b (T1 ) > S = 2 ln (S 0 /S (0)) − (r − σ 2 /2) T1 √ = exp (−rT1 ) K1 Q N (0, 1) > = σ T1 ln (S (0) /S 0 ) + (r − σ 2 /2) T1 √ = = exp (−rT1 ) K1 Q −N (0, 1) < σ T1 ln (S (0) /S 0 ) + (r − σ 2 /2) T1 √ = exp (−rT1 ) K1 Φ . σ T1 Mennyi lesz az ügylet pozitív lába?
Ennek meghatározásához az
S
árfolyamot a
T1
és
T2 id®pontokban kell gyelembe venni. A bels® opció lehívásakor zetend® összeg K2 χ (S (T2 ) > K2 ) , amit csak akkor kell meg zetni, ha a küls® összetett opció is le lett 0 hívva, vagyis ha egyúttal S (T2 ) > S . Ebb®l következ®en a küls® opció lehívásakor a bels® opció negatív lába a T1 id®pontban HT21 $ exp (−r (T2 − T1 )) K2 χ S (T1 ) > S 0 , S (T2 ) > K2 , amely
t=0
id®pontban esedékes ára
π HT21 = exp (−rT1 ) EQ HT21 = exp (−rT2 ) K2 Q S (T1 ) > S 0 , S (T2 ) > K2 . A valószín¶ség kiszámolásakor vegyük gyelembe, hogy a
S (t) = S (0) exp
σ2 r− 2
Q
mérték alatt
t + σw b (t) .
Így a valószín¶ség
Q
σ2 r− 2
T1 + σ w b (T1 ) > ln
S0 S (0)
σ2 K2 , r− T2 + σ w b (T2 ) > ln . 2 S (0)
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
A
w b (T1 )
és a
w b (T2 )
261
együttes eloszlása normális a korrelációs együtthatója
EQ (w b (T ) w b (T2 )) EQ ( w b (T1 ) (w b (T1 ) + w b (T2 ) − w b (T1 ))) √ 1√ √ √ = = T1 T2 T1 T2 r EQ w b (T1 )2 T1 T1 √ √ . =√ √ = = T2 T1 T2 T1 T2
ρ =
Ebb®l következ®en ha
Φ2 (x, y, ρ) jelöli a kétdimenziós standard normális eloszlásfüggvényt,
akkor
π HT21 = exp (−rT2 ) K2 × ×Φ2
ln (S (0) /S 0 ) + (r − σ 2 /2) T1 ln (S (0) /K2 ) + (r − σ 2 /2) T2 √ √ , , σ T1 σ T2
r
T1 T2
! .
Végezetül ki kell még számolni a
HT31 $ exp (−r (T2 − T1 )) S (T2 ) χ S (T1 ) > S 0 , S (T2 ) > K2
ki zetéshez tartózó
π HT31 = exp (−rT1 ) EQ HT31 = = exp (−rT2 ) EQ S (T2 ) χ S (T1 ) > S 0 , S (T2 ) > K2 = EQ S (T2 ) χ S (T1 ) > S 0 , S (T2 ) > K2
=
várható értéket. A már bemutatott
S (0) dQ = dR S (T2 ) mértékcserével ez éppen
π HT31 = S (0) R S (T1 ) > S 0 , S (T2 ) > K2 . ahol az
ahol a
R
w e
alatt
Wiener-folyamat az
π HT31 = S (0) Φ2
σ2 S (t) = S (0) exp σ w e (t) + t , 2
R
mérték mellett. Ebb®l a már bemutatott módon
ln (S (0) /S 0 ) + (r + σ 2 /2) T1 ln (S (0) /K2 ) + (r + σ 2 /2) T2 √ √ , , σ T1 σ T2
r
T1 T2
! .
A call opcióra vonatkozó összetett call opció ára értelemszer¶en a fenti három kifejezés összege.
2
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
5.1.5.
262
Csere opciók
5.10 Példa. Csere opciók, Magrabe-formula. A csere opciók esetén adott két termék
S1
és
S2
és
HT $ (S1 (T ) − S2 (T ))+ . Vagyis a csere opció olyan opció, ahol a kötési ár nem egy rögzített konstans, hanem maga is egy sztochasztikus folyamat. A csere opciók árazási formulájának felírásához tegyük fel, hogy a
Q
kockázatsemleges mérték alatt a két termék árfolyamának egyenlete
dS1 = (r − δ 1 ) dt + σ 1 dw1 , S1 dS2 = (r − δ 2 ) dt + σ 2 dw2 , S2 ahol a trend tagok felírásakor a két részvény
δ1
és
δ2
osztalékfolyamát is gyelembe vettük.
Érdemes felhívni a gyelmet arra, hogy általában a részvényárfolyamok tárgyalásakor eltekintünk az osztalékoktól. Most azonban kockázatmentes áron az osztalékkal növelt diszkontált árfolyhoz tartozó martingálmértékr®l van szó. Jelölje továbbá a két Wiener-folyamat korrelációs együtthatóját
ρ.
Az általános árazási elv alapján
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S1 (T ) − S2 (T ))+ = + ! S (T ) 1 −1 $ = exp (−rT ) EQ S2 (T ) S2 (T ) $ exp (−rT ) EQ S2 (T ) (X (T ) − 1)+ , ahol értelemszer¶en az
S2
X
jelöli az
S1 /S2
hányados folyamatot. Az
X
valójában az
S1
értéke
ármércére nézve. Vezessük be a
1 2 S2 (T ) dR = exp σ 2 w2 (T ) − σ 2 T = exp (− (r − δ 2 ) T ) dQ 2 S2 (0) új mértéket. Vegyük észre, hogy az el®tt az
exp (− (r − δ 2 ) t)
S2
nem martingál, ezért az új ármércére való áttérés
faktorral szorozva martingállá kell tenni. Ekkor
+ dQ π (HT ) = exp (−rT ) E S2 (T ) (X (T ) − 1) = dR = S2 (0) exp (−δ 2 T ) ER (X (T ) − 1)+ . R
Ez a képlet már emlékeztet a call opció árát megadó formulára. Mi lesz az
X
R mérték alatt? A Girszanov-tétel alapján tetsz®leges M c $ M − [M, L] lokális martingál az új mérték alatt. Ezt M L $ σ 2 w2 , M = w2 szereposztásban az R alatt a egyenlete az
lokális martingál esetén az alkalmazva az
w b2 (t) = w2 (t) − σ 2 t
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
egy Wiener-folyamat. Ha
263
M = w1 ,
1
akkor pedig a
w b1 (t) = w1 (t) − [w1 , σ 2 w2 ] = w1 (t) − σ 2 [w1 , w2 ] = w1 (t) − σ 2 ρt szintén Wiener-folyamat az hatója továbbra is
ρ.
R
alatt. Nyilvánvaló módon a
Vezessük be a
σ$ konstanst és legyen
w (t) $ A
w
lokális martingál az
Wiener-folyamat az
X (t) = = = = = =
R
R
w b1
és a
w b2
korrelációs együtt-
q σ 21 + σ 22 − 2σ 1 σ 2 ρ 1 (σ 1 w b1 (t) − σ 2 w b2 (t)) , σ
alatt, és a Lévy-féle karakterizációs tételb®l evidens, hogy a
w
alatt.
S1 (0) exp ((r − δ 1 − σ 21 /2) t + σ 1 w1 (t)) = S2 (0) exp ((r − δ 2 − σ 22 /2) t + σ 2 w2 (t)) 1 2 S1 (0) 2 exp δ2 − δ1 − σ − σ 2 t + σ 1 w1 (t) − σ 2 w2 (t) = S2 (0) 2 1 1 2 S1 (0) 2 2 2 exp δ2 − δ1 − σ − σ2 − σ + σ t + σ 1 w1 (t) − σ 2 w2 (t) S2 (0) 2 1 S1 (0) 1 2 2 exp δ 2 − δ 1 + σ 2 − σ 1 σ 2 ρ − σ t + σ 1 w1 (t) − σ 2 w2 (t) = S2 (0) 2 1 2 S1 (0) exp δ2 − δ1 − σ t + σ1w b1 (t) − σ 2 w b2 (t) = S2 (0) 2 1 2 S1 (0) exp δ 2 − δ 1 − σ t + σw (t) . S2 (0) 2
Következésképpen az Itô-formula már sokszor bemutatott alkalmazásával
dX = (δ 2 − δ 1 ) dt + σdw. X Mivel a
w
Wiener-folyamat az
R
alatt, ezért ha az
X
folyamatot diszkontáljuk a
kamatlábhoz tartozó kötvénnyel, akkor martingált kapunk az
R
alatt.
Ezt a
korábbi képletébe beírva
π (HT ) = S2 (0) exp (−δ 2 T ) ER (X (T ) − 1)+ = = S2 (0) exp (−δ 1 T ) exp (− (δ 2 − δ 1 ) T ) ER (X (T ) − 1)+ = = S2 (0) exp (−δ 1 T ) · C (δ 2 − δ 1 , σ, 1) , 1 V.ö.: 3.34. példa, 84. oldal.
δ2 − δ1 π (HT )
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
C
ahol a
264
a megfelel® paraméterekkel rendelkez® call opció ára. A BlackScholes formula
alapján
C (δ 2 − δ 1 , σ, 1) =
S1 (0) Φ (d1 ) − exp ((δ 1 − δ 2 ) T ) Φ (d2 ) S2 (0)
ahol
ln S1 (0) /S2 (0) + (δ 2 − δ 1 + σ 2 /2) T √ , σ T
d1 $
d2 $
ln S1 (0) /S2 (0) + (δ 2 − δ 1 − σ 2 /2) T √ σ T
vagyis
π (HT ) = S1 (0) exp (−δ 1 T ) Φ (d1 ) − S2 (0) exp (−δ 2 T ) Φ (d2 ) .
(5.1)
A formula egy szokásos elnevezése Magrabe-formula.
2
5.1.6.
Quanto termékek
5.11 Példa. Quanto opciók. A quanto termékek esetén az alapterméket valamilyen zet®eszközben tartják nyilván, de az elszámolást egy másik zet®eszközben végzik oly módon, hogy csak a mennyiségeket veszik gyelembe. A quanto elnevezés a quantity adjusting option kifejezés rövidítése. Ebben az alpontban a
HT $ X (T ) · (S (T ) − K)+ ki zetéshez tartozó quanto termék árát fogjuk meghatározni, ahol
X (T )
a megfelel® devi-
zaárfolyam. Vagyis a T id®pontban esedékes elszámoláskor a hazai zet®eszközben esedékes (S (T ) − K)+ helyett ugyan ennyi mennyiség¶ külföldi zet®eszközt adnak, amely értéke hazai zet®eszközben nyilván éppen a
HT .
Vegyük észre, hogy a quanto ára tekinthet®
egyszer¶ csere opciónak, ahol a felcserélend® termékek hazai zet®eszközben kifejezett ára
X · S,
illetve
K · X.
Az alapterméket leíró
S
folyamatra a
Q
mérték alatt érvényes a
dS = (r1 − δ) dt + σ 1 dw1 S egyenlet, ahol
r1
a kockázatmentes kamatláb,
Ugyanakkor legyen adott egy egyenlete a
Q
pedig a folytonosított osztalék zetési ráta.
hazai zet®eszközben kifejezett devizaárfolyam, amely
alatt legyen
dX = µdt + σ 2 dw2 , X alakú. Legyen továbbá betét értéke a
X
δ
t
r2
X (t) = X (0) exp
1 2 µ − σ 2 t + σ 2 w2 (t) 2
a külföldi kockázatmentes kamatláb. Egységnyi külföldi bank-
id®pontban
exp (r2 t).
Ez hazai zet®eszközben kifejezve
X (t) exp (r2 t) = X (0) exp
1 2 µ + r2 − σ 2 t + σ 2 w (t) . 2
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
265
Ha feltesszük, hogy ez a hazai piacon egy kereskedett termék, akkor az
exp (−r1 t) X (t) exp (r2 t) = X (0) exp diszkontált érték martingál a vagyis a
Q
Q
1 2 µ + r2 − r1 − σ 2 t + σ 2 w (t) 2
mérték alatt. De ez csak úgy lehetséges, ha
µ = r1 − r2 ,
alatt
dX = (r1 − r2 ) dt + σ 2 dw2 . X Az egyenlet szerint, ha a hazai kockázatmentes kamatláb nagyobb mint a külföldi, akkor a
Q
mérték alatt a hazai zet®eszköz árfolyama átlagban emelkedik, mégpedig
(r1 − r2 ) dt
ütemben, vagyis a hazai zet®eszköz elértéktelenedik, ugyanis a hazai befektetés kockáza-
w1 és a w2 Wiener-folyamatok Y $ XS szorzatot.
tosabb mint a külföldi. A jelölje
ρ.
Számoljuk ki az
közötti korrelációs együtthatót
Y (t) $ (XS) (t) = σ 22 σ 21 = X (0) S (0) exp r1 − r2 − t + σ 2 w2 (t) + r1 − δ − t + σ 1 w1 (t) = 2 2 σ 23 t + σ 3 w3 (t) , = X (0) S (0) exp 2r1 − r2 − δ + σ 1 σ 2 ρ − 2
ahol
σ3
q σ 21 + σ 22 + 2ρσ 1 σ 2 $
w3 (t) $ A
w3
és a
w2
σ 1 w1 (t) + σ 2 w2 (t) . σ3
korrelációs együtthatója
b ρ$
σ1ρ + σ2 . σ3
Ennek megfelel®en
Ha bevezetjük az
dY = (2r1 − r2 − δ + σ 1 σ 2 ρ) dt + σ 3 dw3 . Y S1 $ Y és S2 $ KX jelöléseket akkor az el®z® példában
árképlet
S1 (0) = X (0) S (0) , S2 (0) = X (0) K. r = r1, δ 1 = r2 − r1 + δ − ρσ 1 σ 2 , δ 2 = r2 , illetve
σ = = =
q
σ 23 + σ 22 − 2σ 3 σ 2b ρ=
q
σ 21 + σ 22 + 2ρσ 1 σ 2 + σ 22 − 2σ 2 (σ 1 ρ + σ 2 ) =
q
σ 21 = σ 1
levezetett (5.1)
5.1. EURÓPAI OPCIÓK ÁRAZÁSA
266
jelölésekkel közvetlenül alkalmazható.
2
5.12 Példa. Határid®s quato ügylet. A határid®s quanto ügylet értéke az a
K,
amelyre a
HT $ X (T ) (S (T ) − K) jelenlegi
π (HT ) = exp (−r1 T ) EQ (X (T ) (S (T ) − K)) ára nulla. Mivel az exponenciális függvény sohasem lehet nulla, ezért
K= ahol a
és a
Q
w1
EQ (X (T ) S (T )) , EQ (X (T ))
mérték alatt
és a
w2
közötti
dS = (r1 − δ) dt + σ 1 dw1 , S dX = (r1 − r2 ) dt + σ 2 dw2 X korrelációs együttható ρ. EQ (X (T )) = X (0) exp ((r1 − r2 ) T ) .
Számoljuk ki az
XS
szorzatot.
σ 22 (XS) (T ) = X (0) S (0) exp T + σ 1 w1 (T ) + r1 − r2 − T + σ 2 w2 (T ) = 2 σ 21 σ 22 − T + σ 1 w1 (T ) + σ 2 w2 (T ) $ = X (0) S (0) exp 2r1 − r2 − δ − 2 2 σ2 $ X (0) S (0) exp 2r1 − r2 − δ + ρσ 1 σ 2 − T + σw (T ) , 2
σ2 r1 − δ − 1 2
ahol ismételten
σ $
q
σ 21 + σ 22 + 2ρσ 1 σ 2 ,
σ 1 w1 (T ) + σ 2 w2 (T ) . σ azonnal látható, hogy a w
w (T ) $ A Lévy-féle karakterizációs tétellel
Wiener-folyamat, így
EQ ((XS) (T )) = X (0) S (0) exp ((2r1 − r2 − δ + ρσ 1 σ 2 ) T ) , amib®l
K=
exp ((2r1 − r2 − δ + ρσ 1 σ 2 ) T ) = S (0) exp ((r1 − δ + ρσ 1 σ 2 ) T ) . exp ((r1 − r2 ) T ) 2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
5.2.
267
Útfügg® opciók
Az útfügg® opciók olyan származtatott termékek, amelyek ára nem csak az alaptermékek egy-egy pontban meg gyelt értékét®l függ, hanem attól is, hogy miként jutottunk el a lehíváskor érvényes állapotba.
5.2.1.
A tükrözési elv és a maximum folyamatok eloszlása
A sztochasztikus folyamatok elméletében megjelen® objektumok eloszlása a legritkább esetben adható meg egyszer¶ zárt formulával. Éppen ezért rendkívül fontosak azok az eloszlások, amelyek konkrét alakját ismerjük. Az alábbi formulákat a barrier és a visszatekint® opciók árazási képleteinél fogjuk használni.
5.13 De níció. Legyen
w
Wiener-folyamat. A továbbiakban legyen
w∗ (t) $ sup {w (s) | 0 ≤ s ≤ t} = max {w (s) | 0 ≤ s ≤ t} . A
w∗
folyamatot a
w
maximumfolyamatának mondjuk. Általában, ha
X
tetsz®leges szto-
chasztikus folyamat, akkor
X ∗ (t) $ sup {X (s) | 0 ≤ s ≤ t} jelöli az
X
maximumfolyamatát. Hasonlóan de niálható az
X∗ (t) $ inf {X (s) | 0 ≤ s ≤ t} minimumfolyamat.
5.14 Lemma. Ha az
A
w∗ jelöli a w Wiener-folyamat maximumfolyamatát, akkor a (w (t) , w∗ (t)) pár eloszlása y ≥ 0, x ≤ y tartományon 2y − x ∗ √ P (w (t) ≤ x, w (t) ≥ y) = 1 − Φ , ha y ≥ 0, x ≤ y. t P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≤ y) = P (w (t) ≤ x) − P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) = 2y − x x √ ha y ≥ 0, x ≤ y. =Φ √ −1+Φ t t
(w, w∗ )
együttes eloszlásának s¶r¶ségfüggvénye az
y > 0, x < y
tartományon
2 (2y − x) 2y − x √ ϕ = 3/2 t t ! r 2 2y − x (2y − x)2 = exp − , π t3/2 2t
ft (x, y) $
ha
y > 0, x < y.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Bizonyítás:
268
Rögzítsük az
y≥0
értéket és vezessük be a
τ y $ inf (t | w (t) = y) id®pontban tükrözött
w b (t, ω) $
w (t, ω) 2y − w (t, ω)
folyamatot. A tükrözési elv miatt miatt a ha
x≤y
w b
ha ha
t ≤ τ y (ω) t ≥ τ y (ω)
szintén Wiener-folyamat. Ebb®l következ®en,
P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) = P (w (t) ≤ x, τ y ≤ t) = = P (2y − w (t) ≥ 2y − x, τ y ≤ t) = = P (w b (t) ≥ 2y − x, τ y ≤ t) . w b Wiener-folyamat, továbbá a τ y evidens módon azonos a w és a w b folyamatokra, ugyanis a w b éppen a τ y id®pontban tükrözött Wiener-folyamat. Ezért, a τ y helyébe is b τ y írható, ahol értelemszer¶en a b τ y jelöli a w b y -hoz tartozó els® elérési idejét. Mivel y − x ≥ 0 ezért A
{w b (t) ≥ 2y − x} ⊆ {w b (t) ≥ y} ⊆ {(w) b ∗ (t) ≥ y} = {b τ y ≤ t} , következésképpen
P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) = P (w b (t) ≥ 2y − x, b τ y ≤ t) = 2y − x √ = P (w b (t) ≥ 2y − x) = 1 − Φ . t Számoljuk ki a s¶r¶ségfüggvényt:
P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≤ y) = = P (w (t) ≤ x) − P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) = x 2y − x √ =Φ √ −1+Φ . t t y majd x szerint. Az els® két tag y deriváltja nulla ! ∂ 2y − x 2 2y − x 2 (2y − x)2 √ √ Φ =√ ϕ =√ exp − . ∂y 2t t t t 2πt
Ezt kell deriválni
Most ezt deriváljuk
x
szerint
(2y − x)2 ∂ 2 √ exp − ∂x 2πt 2t
!
! 2 · 2 · (2y − x) (2y − x)2 √ exp − = = 2t 2t 2πt ! r 2 (2y − x) (2y − x)2 = exp − π t3/2 2t 2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
5.15 Példa. Számoljuk ki a Legyen
w∗ (t)
269
eloszlását és várható értékét.
y ≥ 0, x ≤ y
P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≤ y) = P (w (t) ≤ x) − P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) x 2y − x √ = Φ √ −1+Φ . t t x=y
(5.2)
helyettesítéssel
P (w∗ (t) ≤ y) = P (w (t) ≤ y, w∗ (t) ≤ y) = y = 2Φ √ − 1. t A s¶r¶ségfüggvény
2 ft (y) = √ ϕ t
y √
t
,
y ≥ 0.
A várható érték
2 √ t
Z 0
2 Z ∞ y 2 y exp − yϕ dy = √ dy = 2t t 2πt 0 ∞ r 2 2t 1 y2 √ t = . =√ − exp − 2 t π 2π 0
∞
y √
A kés®bbiek szempontjából hasznos a következ®:
2 Z ∞ 2 y E (exp (w (t))) = √ exp (y) exp − dy = 2t 2πt 0 ! 2 Z ∞ Z ∞ 2 y − 2yt (y − t)2 − t2 2 =√ exp − dy = √ exp − dy = 2t 2t 2πt 0 2πt 0 2 √ t = 2 exp P N t, t > 0 = 2t √ t = 2 exp Φ t . 2 ∗
(5.3)
2 Felmerül a kérdés, hogy mit lehet mondani az
x≥y
esetben. Mivel
P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) $ P (B ∩ C) = P (C) − P (B c ∩ C) $ $ P (w∗ (t) ≥ y) − P (w (t) > x, w∗ (t) ≥ y) = = P (w∗ (t) ≥ y) − P (w (t) > x) ,
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
ugyanis mivel
x ≥ y,
270
ezért
{w (t) > x} ⊆ {w∗ (t) ≥ x} ⊆ {w∗ (t) ≥ y} . Nyilvánvaló módon
P (w (t) > x) = 1 − Φ és
∗
x √ t
∗
P (w (t) ≥ y) = 1 − P (w (t) ≤ y) = 2 1 − Φ
y √
t
.
5.16 Lemma. Ha
x ≥ y,
akkor
Ft (x, y) $ P (w (t) ≤ x, w∗ (t) ≥ y) = x y − 1−Φ √ = =2 1−Φ √ t t y x = 1 − 2Φ √ + Φ √ . t t Vegyük észre, hogy
∂2 Ft (x, y) = 0, ∂x∂y
így ilyenkor a kétváltozós eloszlásnak nincsen kétváltozós s¶r¶ségfüggvénye. Most térjünk rá a trenddel rendelkez® Wiener-folyamatokra.
5.17 Lemma. Legyen az
X
X (t) $ w (t) + µt
egy
maximumfolyamatát. Ha
µt alakú trenddel rendelkez® Wiener-folyamat. Jelölje X ∗ y ≥ 0, x ≤ y , akkor az (X (t) , X ∗ (t)) együttes eloszlásának
s¶r¶ségfüggvénye
2 (2y − x) √ ft (x, y) = ϕ t t
2y − x √ t
1 2 exp µx − µ t . 2
Az eloszlásfüggvény ∗
P (X (t) < x, X (t) < y) = Φ
Bizonyítás:
x − µt √ t
− exp (2µy) Φ
Vezessük be a
1 2 Λ (t) $ exp −µw (t) − µ t 2
x − 2y − µt √ t
.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
271
martingált. Az
Z R (A) $
Λ (T ) dP A
(−µ)-hez tartozó Girszanov-transzformált, mellett az X −∞ ≤ x ≤ y, akkor legyen
mérték, amely a Ha
Wiener-folyamat.
A = {X (t) < x, X ∗ (t) < y} . Ilyenkor az
X
képletét beírva
F (x, y) $ P (A) = E (χA ) = ER χA Λ−1 (t) = 1 2 R χA exp µw (t) + µ t =E = 2 1 2 R χA exp µ (X (t) − µt) + µ t =E = 2 1 2 R =E χA exp µX (t) − µ t . 2 Ha
g
a Wiener-folyamat és a maximumának együttes eloszlásnak s¶r¶ségfüggvénye, akkor,
felhasználva, hogy
2 1 u ϕ (u) $ √ exp − 2 2π az
Az
R
u0 (x) exp (u (x)) dx = exp (u (x)) integrálási szabálya alapján Z y Z y 2 (2u − x) 2u − x √ √ g (x, u) du = ϕ du = t t 0 t 0 x 2y − x 1 1 √ = √ ϕ √ −√ ϕ . t t t t
R
alatt az
X
Wiener-folyamat, így
x
y
1 2 F (x, y) = exp µz − µ t g (z, u) dudz = 2 −∞ 0 Z y Z x 1 = exp µz − µ2 t g (z, u) dudz = 2 −∞ 0 Z x 1 1 z z − 2y = exp(µz − µ2 t) √ (ϕ( √ ) − ϕ( √ ))dz = 2 t t t −∞ Z 0 1 1 x+z x − 2y + z √ = exp(µ (z + x) − µ2 t) √ (ϕ( √ ) − ϕ( ))dz = 2 t t t −∞ 1 2 = exp µx − µ t (Ψ (x) − Ψ (x − 2y)) , 2 Z
Z
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
272
ahol
Z 0 1 u+z √ Ψ (u) $ √ exp (µz) ϕ dz = t −∞ t ! Z 0 (u + z)2 1 exp µz − =√ dz = 2t 2πt −∞ ! Z 0 1 (u + z)2 =√ dz = exp µ (z + u) − exp (−µu) 2t 2πt −∞ ! Z 0 1 (u + z)2 − 2tµ (z + u) =√ exp − exp (−µu) dz 2t 2πt −∞ Z 0 1 u + z − µt 1 2 √ ϕ √ dz = = exp −µu + µ t 2 t t −∞ 1 2 u − µt √ = exp −µu + µ t Φ . 2 t Visszahelyettesítve
Ft (x, y) = Φ Deriválva
x
és
y
x − µt √ t
− exp (2µy) Φ
x − 2y − µt √ t
.
szerint kapjuk az együttes s¶r¶ségfüggvényt
2 (2y − x) √ ft (x, y) = ϕ t t
2y − x √ t
1 2 exp µx − µ t . 2 2
5.18 Példa. Vizsgáljuk meg a Ha
µ = 0,
µ=0
esetet.
akkor
x − 2y x √ = Φ √ −Φ t t x x − 2y Φ √ − P N (0, 1) < √ = t t x 2y − x Φ √ − P N (0, 1) > √ = t t 2y − x x √ Φ √ −1+Φ t t
∗
P (X (t) < x, X (t) < y) = = = =
ami ugyanaz mint a már belátott (5.2) képlet.
2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
273
5.19 Állítás. Legyen
X (t) $ µt + σw (t),
ahol
µ
tetsz®leges
σ > 0.
Ilyenkor az
(X, X ∗ )
együttes eloszlá-
sának s¶r¶ségfüggvénye
2 (2y − x) √ ϕ ft (x, y) = σt t
2y − x √ σ t
exp
1 2 −2 . µx − µ t σ 2
Az eloszlásfüggvény
∗
P (X (t) < x, X (t) < y) = Φ
x − µt √ σ t
µy x − 2y − µt √ − exp 2 2 Φ , σ σ t
y ≥ 0, x ≤ y.
feltéve, hogy
Bizonyítás:
Elegend® az
e (t) $ µ t + w (t) X σ
folyamatra alkalmazni az el®z® formulát és mindenhol az eloszlásfüggvényben a az
y
(5.4)
helyébe
µ/σ -át, x/σ -át
és
y/σ -át
µ
az
x
és
írni, ugyanis
e ∗ (t) < y . e (t) < x , X P (X (t) < x, X ∗ (t) < y) = P X σ σ 2
5.20 Következmény. µ tetsz®leges és σ > 0. Ha y ≤ 0 és y ≤ x, akkor µy −x + 2y + µt −x + µt √ √ P (X (t) ≥ x, X∗ (t) ≥ y) = Φ − exp 2 2 Φ σ σ t σ t
Legyen
X (t) $ µt + σw (t) ,
ahol
(5.5)
Bizonyítás: P (X (t) ≥ x, X∗ (t) ≥ y) = P (−X (t) ≤ −x, −X∗ (t) ≤ −y) = = P (−X (t) ≤ −x, (−X)∗ (t) ≤ −y) Vegyük észre, hogy a Wiener-folyamat szimmetriája miatt
−X (t) = −µt − σw (t) = −µt + σ w e (t) alakú, így az el®z® (5.4) formula használható.
2
5.21 Következmény. Legyen
y ≥ 0, akkor µy −y − µt y − µt ∗ √ √ − exp 2 2 Φ . P (X (t) < y) = Φ σ σ t σ t
X (t) $ µt + σw (t),
ahol
µ
tetsz®leges és
σ > 0.
Ha
(5.6)
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Bizonyítás:
274
Elegend® a fenti (5.4) képletbe
x=y
értéket tenni és felhasználni, hogy
P (X ∗ (t) < y) = P (X (t) < y, X ∗ (t) < y) 2
5.22 Következmény. Legyen
µ tetsz®leges és σ > 0. Ha y ≤ 0, akkor µy y + µt −y + µt √ √ P (X∗ (t) ≥ y) = Φ − exp 2 2 Φ . σ σ t σ t
X (t) $ µt + σw (t) ,
Bizonyítás:
ahol
Elegend® a fenti (5.5) képletbe
x=y
(5.7)
értéket tenni és felhasználni, hogy
P (X∗ (t) ≥ y) = P (X (t) ≥ y, X∗ (t) ≥ y) 2
5.2.2.
Barrier opciók
A barrier opciók annyiban különböznek a közönséges opcióktól, hogy az értékük megváltozik, ha az alaptermék ára egy bizonyos szintet elér. az
(S, R)
A továbbiakban feltesszük, hogy
egy BlackScholes-modell, vagyis a modellben a
µ,
a
σ
és az
r
paraméterek
konstansok.
5.23 Példa. Legyen
HT
árfolyam a
K kötési árhoz tartozó olyan európai call [0, T ] szakaszon a H szint alá esik. Ekkor a
opció, amely értékét veszti, ha az
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) ≥ H) = ! 1+2r/σ2 H Φ (d6 ) − = S (0) Φ (d5 ) − S (0) ! 2r/σ2 −1 H − exp (−rT ) K Φ (d3 ) − Φ (d4 ) S (0) ahol
d5 d6
σ2 2
K S(0)
σ2 2
+ r− T − ln + r− T √ √ = , σ T σ T 2 H2 ln S(0)K + r − σ2 T √ $ , σ T K σ2 σ2 + r + T − ln + r + T ln S(0) K 2 S(0) 2 √ √ = , $ σ T σ T 2 H2 ln KS(0) + r + σ2 T √ $ . σ T ln
d3 $ d4
S(0) K
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
275
A ki zetés
HT = (S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) ≥ H) ahol
S∗ (T ) jelöli az ár minimumát a [0, T ] szakaszon. Az általános árazási képlet ismételten FT -mérhet® és Q-integrálható ki zetésr®l van
alkalmazható, ugyanis egy alulról korlátos, szó:
π (HT ) = EQ H T = exp (−rT ) EQ (S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) ≥ H) . Ahhoz, hogy a várható értéket ki tudjuk számolni, szükségünk van az
(S, S∗ )
pár együttes
eloszlására.
5.24 Lemma. Ha
S∗
jelöli az
S
minimum folyamatát, akkor
Q (S (T ) ≥ K, S∗ (T ) ≥ H) = Φ (d3 ) −
Bizonyítás:
A
Q
σ2 S (T ) = S (0) exp r− 2 $ S (0) exp (X (T )) , w e
2r/σ2 −1 Φ (d4 ) .
mérték alatt
ahol a
H S0
Wiener-folyamat a
Q
T + σw e (T )
$
alatt. Ebb®l a keresett valószín¶ség
H K , X∗ (T ) ≥ ln Q X (T ) ≥ ln . S (0) S (0) Így elegend® a már belátott (5.5) képlet alkalmazni
µ=r−
K H σ2 , x = ln , y = ln 2 S (0) S (0)
paraméterek mellett. Vegyük észre, hogy
H ≤ S (0)
értelemszer¶en teljesül, ugyanis ellen-
kez® esetben az opció ára mindig nulla. Ugyancsak érvényes a eset értelmetlen. Így
y ≤ 0, x ≥ y, tehát a formula használható.
K ≥ H,
hiszen a
K
A kívánt képletet egyszer¶
behelyettesítéssel kapjuk.
2
5.25 Lemma. Legyen
(S, R)
egy BlackScholes modell. Ekkor
EQ (S (T ) χ (S (T ) ≥ K, S∗ (T ) ≥ H)) = ! 1+2r/σ2 H = S0 exp (rT ) Φ (d5 ) − Φ (d6 ) . S0
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Bizonyítás:
A
Q
276
mérték alatt
σ2 S (T ) = S (0) exp r− T + σw e (T ) 2 alakú, ahol
w e
Wiener-folyamat. Vegyük észre, hogy
2 S (T ) S (T ) σ = = exp − T + σ w e (T ) S (0) S (0) exp (rT ) 2 éppen az
S
ármércéhez tartozó derivált. Tekintsük a
2 dR σ = exp − T + σ w e (T ) dQ 2 deriválttal adott új mértéket. Ekkor
EQ (S (T ) χ (S (T ) ≥ K, S∗ (T ) ≥ H)) = dQ R = =E S (T ) χ (S (T ) ≥ K, S∗ (T ) ≥ H) dR = S (0) exp (rT ) ER (χ (S (T ) ≥ K, S∗ (T ) ≥ H)) . w b (t) $ w e (t) − σt Wiener-folyamat, σ2 S (T ) = S (0) exp σ w b (t) + r + T . 2
Az új ármércéhez tartozó
R
mérték alatt a
így
Ebb®l a keresett
ER (χ (S (T ) ≥ K, S∗ (T ) ≥ H)) 2 valószín¶ség visszavezethet® az el®z® lemmára, avval az eltéréssel, hogy most a µ = r−σ /2 2 helyébe mindenhol a µ = r + σ /2 kifejezést kell írni. Vegyük észre, hogy a kitev®ben szerepl® 2
r − σ2 2r − 1 = 2 σ2 σ2 helyébe 2
r + σ2 2r 2 = 2 +1 2 σ σ kerül.
2
5.26 Példa. Legyen
HT
árfolyam a
a K kötési árhoz tartozó olyan európai call [0, T ] szakaszon a H szint fölé emelkedik.
opció, amely értékét veszti, ha az
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
277
Ilyenkor a ki zetés
HT = (S (T ) − K)+ χ (S ∗ (T ) ≤ H) = = S (T ) χ (S (T ) ≥ K, S ∗ (T ) ≤ H) − K · χ (S (T ) ≥ K, S ∗ (T ) ≤ H) . A ki zetés ismét alulról korlátos és integrálható, így alkalmazható az árazó képlet. Számoljuk ki el®ször a második taghoz tartozó valószín¶séget. A
σ2 S (T ) = S (0) exp r− 2 $ S (0) exp (X (T )) .
Q
alatt
T + σw e (T )
$
Ebb®l
K H ∗ Q (S (T ) ≥ K, S (T ) ≤ H) = Q X (T ) ≥ ln , X (T ) ≤ ln = S (0) S (0) K H H ∗ ∗ − Q X (T ) ≤ ln , X (T ) ≤ ln . = Q X (T ) ≤ ln S (0) S (0) S (0) ∗
A második
H K ∗ , X (T ) ≤ ln Q X (T ) ≤ ln S (0) S (0)
valószín¶ség a már belátott (5.4)
Φ
x − µT √ σ T
µ x − 2y − µT √ − exp 2 2 y Φ σ σ T
képletb®l
x = ln
K H σ2 , y = ln ,µ = r − . S (0) S (0) 2
helyettesítéssel kapható. Értelemszer¶en opció értelmetlen, így
y > 0 és y > x.
H>K
és
S (0) < H
ugyanis ellenkez® esetben az
Az els® valószín¶ség a fenti (5.6) képletb®l kapható.
Az árban szerepl® várható értékek kiszámolásakor vegyük gyelembe, hogy
EQ (S (T ) χ (S (T ) ≥ K, S ∗ (T ) ≤ H)) = = EQ (S (T ) χ (S ∗ (T ) ≤ H)) − EQ (S (T ) χ (S (T ) ≤ K, S ∗ (T ) ≤ H)) . Elegend® a második várható értéket kiszámolni, az els® kiszámolásakor a már kiszámolt másodikban
K=H
helyettesítéssel kell majd élni. A
S (T ) = S (0) exp alakú, ahol
w e
σ2 r− 2
Q
mérték alatt
T + σw e (T )
Wiener-folyamat. Vegyük észre, hogy
2 S (T ) S (T ) σ = = exp − T + σ w e (T ) S (0) S (0) exp (rT ) 2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
éppen az
S
278
ármércéhez tartozó derivált. Tekintsük a
dR σ2 = exp σ w e (T ) − T dQ 2 deriválttal adott új mértéket. Ekkor
EQ (S (T ) χ (S (T ) ≤ K, S ∗ (T ) ≤ H)) = dQ ∗ R S (T ) χ (S (T ) ≤ K, S (T ) ≤ H) =E = dR = S (0) exp (rT ) ER (χ (S (T ) ≤ K, S ∗ (T ) ≤ H)) . Új ármércét bevezetve az új ármércéhez tartozó
R
mérték alatt a
w b (t) $ w e (t) − σt Wiener-folyamat, így
σ2 S (T ) = S (0) exp σ w T $ b (t) + r + 2 $ S (0) exp (X (T )) . Ebb®l a keresett
ER (χ (S (T ) ≤ K, S ∗ (T ) ≤ H)) = R (S (T ) ≤ K, S ∗ (T ) ≤ H) = K H ∗ = R X (T ) ≤ ln , X (T ) ≤ ln S (0) S (0) visszavezethet® a már többször használt (5.4) képletre
H σ2 K , y = ln ,µ = r + x = ln S (0) S (0) 2 paraméterekkel.
2
5.27 Példa. Legyen
HT
a
K
kötési árhoz tartozó olyan európai call opció, amely csak akkor hívható le,
ha az árfolyam a
[0, T ]
szakaszon a
H
szint fölé emelkedik.
Ilyenkor a ki zetés
HT = (S (T ) − K)+ χ (S ∗ (T ) > H) és az ár
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S (T ) − K)+ χ (S ∗ (T ) > H) . Világos, hogy
(S (T ) − K)+ χ (S ∗ (T ) > H) + (S (T ) − K)+ χ (S ∗ (T ) ≤ H) = (S (T ) − K)+ , így az ár már korábban kiszámolt két ár különbségeként kapható.
2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
279
5.28 Példa. Legyen
HT
a
K
kötési árhoz tartozó olyan európai call opció, amely csak akkor hívható le,
ha az árfolyam a
[0, T ]
szakaszon a
H
szint alá csökken.
Ilyenkor a ki zetés
HT = (S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) < H) és az ár
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) < H) . Világos, hogy
(S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) < H) + (S (T ) − K)+ χ (S∗ (T ) ≥ H) = (S (T ) − K)+ , így az ár már korábban kiszámolt két ár különbségeként kapható.
2
5.2.3.
Dupla barrier opciók
A dupla barrier opciók esetén az opció ki zetése két határ valamelyikének átlépését®l függ. Például ha a
K
kötési ár mellett adottak még a
[0, T ]
akkor az opció értéktelen lesz, ha a
0 < L < K < U alsó és fels® határok, S ár eléri az L vagy az U
id®tartományban az
értékek bármelyikét. Vagyis az opció csak akkor zet, ha az opció élettartama során az ár végig az
L és az U
τA
árfolyam folyamat esetén az
az
S
által megadott sávban mozog. Legyen
call opció ki zetése a
T
A
τ $ τ L ∧ τ U , ahol értelemszer¶en
szinthez tartozó elérési id®. Az alpontban vizsgált
id®pontban
HT $ (ST − K)+ χ (τ > T ) .
(5.8)
A dupla barrier opciók árazásának nehézsége abból ered, hogy a
HT
eloszlásának kiszámo∗ lásához meg kell határozni az S árfolyam folyamat S∗ minimumának, S maximumának és ∗ magának az S folyamatnak az együttes eloszlását, vagyis ismerni kell az (S∗ , S, S ) hármas együttes eloszlását. Az irodalomban számos módszer ismert a fenti (5.8) opció
π (HT )
árának meghatáro-
zására. Mi most a Laplace-transzformációra épül® módszert fogjuk bemutatni. 1. Els® lépésben az általános esetet egy egyszer¶bb kanonikus esetre vezetjük vissza. Valamivel egyszer¶bb kiszámolni a
ϕ $ π (ST − K)+ χ (τ ≤ T ) kifejezést. Mivel
(ST − K)+ χ (τ > T ) = (ST − K)+ − (ST − K)+ χ (τ ≤ T ) , ahol az els® tag éppen a call opció
T
id®pontban érvényes ki zetése, amely ára a Black
Scholes formula szerint ismert, ezért a
π (HT )
kiszámolásához elegend® a második tag, a
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
ϕ
280
árnak a kiszámolására koncentrálni. A Laplace-transzformációs módszer lényege, hogy
valamely származtatott termék árát a kapott
g (T ) $ π (HT )
T
lejárati id® függvényeként tekintjük, és az így
függvény
∞
Z
Z
∞
exp (−sT ) π (HT ) dT
exp (−sT ) g (T ) dT =
F (s) $
0
0
Laplace-transzformáltját számoljuk ki. A Laplace-transzformált meghatározását követ®en
π (HT ) értékét a Laplace-transzformáció numerikus invertálásával szokás exp (−rT ) diszkont tényez®t és az S (0) konstanst az invertálást követ®en
a
megadni.
Az
az árban egy-
szer¶en érvényesíthetjük, így az egyszer¶ség kedvéért ezeket a formulából eleve kiemeljük. Ennek megfelel®en a kiszámolandó Laplace-transzformált éppen
Z
∞
F (s) $
exp (−sT ) EQ (S (T ) − H)+ χ (τ ≤ T ) dT,
0
S (T ) = exp ((r − σ 2 /2) T + σ w e (T )) és nem S (0) exp ((r − σ 2 /2) T + σ w e (T )) , valamint H $ K/S (0). Az S (0) kiemelésével természetesen az L és az U határok helyébe az A $ L/S (0) és a B $ U/S (0) kifejezéseket kell írni. Mivel ahhoz, hogy a feladat értelmes legyen teljesülni kell az L < S (0) < U megkötésnek az S (0)-lal való normálás 2 után teljesülni kell az A < 1 < B relációnak. Ha T = u/σ helyettesítést végzünk, akkor Z ∞ s + u du u Q F (s) = exp − 2 u E S −H χ τ ≤ 2 . σ σ2 σ σ2 0
ahol most
A Wiener-folyamat elemi tulajdonságai miatt
u u σ2 u S = exp r− + σw e 2 $ σ2 2 σ2 σ $ exp (ν · u + w (u)) , ahol
w
(5.9)
egy Wiener-folyamat és
σ2 1 ν $ r− . 2 σ2 egy konstans.
A
τ
σ2τ
helyébe a
változót írva azonnal látható, hogy a
A s 1 F (s) = 2 L 2 , σ σ jelölés kedvéért újra τ jelöli
az ideje, hogy az imént bevezetett (5.9) el®ször éri el az
vagy a
ahol, ha most az egyszer¶bb
az
kilépési idejét az
[A, B] Z ∞
B
σ2τ
éppen annak
határokat. Így tehát
exp (ν · u + w (u))
sávból
exp (−su) EQ (exp (ν · u + w (u)) − H)+ χ (τ ≤ u) du = 0 Z ∞ + Q = E exp (−su) (exp (ν · u + w (u)) − H) du $ τ Z ∞ Q $ E exp (−su) f (X (u)) du ,
L (s) $
τ
folyamat
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
281
ahol az egyszer¶bb jelölés céljából továbbiakban tehát az 2.
Az
L (s)
L
X (u) $ exp (ν · u + w (u))
és
f (x) $ (x − H)+ .
A
kiszámolására koncentrálunk.
képletében szerepl® bels® integrál tekinthet® a trajektóriák terén értelme-
zett funkcionálnak. Z ∞
Z
∞
exp (−s (u + τ )) f (X (u + τ )) du.
exp (−su) f (X (u)) du = 0
τ Az er®s Markov-tulajdonság miatt
Q
Z
∞
Q
Z
∞
exp (−s (u + τ )) f (X (u + τ )) du | Fτ = exp (−su) f (X (u)) du | Fτ = E 0 Z ∞ Z ∞ Q Q exp (−su) f (θτ X (u)) du exp (−su) f (X (u + τ )) du | Fτ = exp (−sτ ) E = exp (−sτ ) E 0 0 Z ∞ R exp (−su) f (X (u)) du = exp (−sτ ) EX(τ ) E
τ
0 ahol
Rx jelöli az x pontból elindított geometriai Brown-mozgás eloszlását a Q mérték alatt.
Ezt felhasználva
Z R L (s) = E exp (−sτ ) · EX(τ ) Q
∞
exp (−su) f (X (u)) du
$
0
$ EQ (exp (−sτ ) · g (X (τ ))) , ahol értelemszer¶en
g (x) $
ER x
Z
∞
exp (−su) f (X (u)) du .
(5.10)
0 A Girszanov-tétellel cseréljük ki úgy a mértéket, hogy a
νu + w (u)
folyamat trendje nulla
legyen. Ha
akkor a
dD 1 2 = exp −νw (T ) − ν T dQ 2 w b (t) = w (t) − t (−ν) = w (t) + tν Wiener-folyamat a D mérték alatt. dQ D L (s) = E exp (−sτ ) g (X (τ )) = dD dQ D D = E exp (−sτ ) g (X (τ )) E | Fτ = dD ν2 D = E exp (−sτ ) g (X (τ )) exp νw (τ ) + τ = 2 ν2 D = = E exp (−sτ ) g (X (τ )) exp ν w b (τ ) − τ 2 ν2 D = E exp − s + τ g (X (τ )) exp (ν w b (τ )) = 2 ν2 ν D = E exp − s + τ g (X (τ )) (X (τ )) . 2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
exp (ν · u + w (u)) folyamat kilép τ = τ A ∧ τ B , így ν2 D ν exp − s + L (s) = E τ A g (A) A χ (τ A < τ B ) + 2 ν2 D ν exp − s + +E τ B g (B) B χ (τ B < τ A ) . 2
Emlékeztetünk, hogy az
(A, B)
282
τ
éppen annak az id®pontja, hogy
nyílt intervallumból. Ennek megfelel®en a
Vezessük be az
A $ exp (−a)
és
B $ exp (b)
τ
felírható mint
értékeket. Mivel
A<1
ezért,
a, b > 0.
Ekkor egyszer¶ helyettesítéssel
ν2 exp − s + L (s) = E τ A g (exp (−a)) exp (−νa) χ (τ A < τ B ) + 2 ν2 D exp − s + +E τ B g (exp (b)) exp (νb) χ (τ B < τ A ) . 2 √ Vezessük be a µ $ 2s + ν 2 jelölést. Vegyük észre, hogy az exponenciális transzformáció monotonitása miatt a τ A éppen az az id®pont, amikor a w b Wiener-folyamat eléri a −a értéket, illetve a τ B , amikor a b értéket. Így 2 µ D L (s) = g (exp (−a)) exp (−νa) · E exp − τ −a χ (τ −a < τ b ) + (5.11) 2 2 µ D +g (exp (b)) exp (νb) · E exp − τ b χ (τ b < τ −a ) , 2 D
ahol most értelemszer¶en a
τ −a ,
illetve a
τb
jelölés a
idejei. 3. Harmadik lépésként számoljuk ki a fenti
D
w b
Wiener-folyamat megfelel® találati
szerinti várható értékeket. Legyen
w
egy tetsz®leges Wiener folyamat és tekintsük az
µ2 M (t) $ exp µw (t) − t 2 exponenciális martingált. Ha τ jelöli a w els® kilépési idejét a (−a, b) intervallumból, τ τ akkor az M egy korlátos martingál. A korlátosság miatt az M egyenletesen integrálható martingál, így a
τ <∞
megállási id®re érvényes az
E (M (τ )) = E (M τ (τ )) = E (M τ (0)) = 1 egyenl®ség. Vagy ami ugyanaz
2 µ2 µ 1 = E exp µw (τ ) − τ = exp (−µa) · E exp − τ −a χ (τ −a < τ b ) + 2 2 2 µ + exp (µb) · E exp − τ b χ (τ b < τ a ) . 2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
283
−w esetén 2 µ2 µ 1 = E exp −µw (τ ) − τ = exp (µa) · E exp − τ −a χ (τ −a < τ b ) + 2 2 2 µ + exp (−µb) · E exp − τ b χ (τ b < τ a ) . 2
Ugyanez a
Az egyenletrendszert Cramer-szabállyal megoldva
exp (−µa) exp (µb) exp (µa) exp (−µb) = exp (−µ (a + b)) − exp (µ (a + b)) 1 exp (µb) 1 exp (−µb) = exp (−µb) − exp (µb) vagyis
2 sinh (b) µ , = E exp − τ −a χ (τ −a < τ b ) 2 sinh (a + b) 2 µ sinh (a) E exp − τ b χ (τ −a < τ b ) . = 2 sinh (a + b) 4. Következ® lépésként számoljuk ki a korábban a fenti (5.10) sorban bevezett
g (x) $
ER x
Z
∞
exp (−su) f (X (u)) du
0 függvényt az
exp (z)
helyen. Emlékeztetünk, hogy
R
jelöli az exponenciális folyamat el-
oszlását, így
∞
g (exp (z)) $ exp (−su) f (exp (νu + w (u))) du = 0 Z ∞ Q = Ez exp (−su) f (exp (νu + w (u))) du . ER exp(z)
Z
0 A Markov-folyamatok tárgyalásakor bevezett terminológia szerint ez éppen az
exp (νu + w (u)) 5.
X (u) $
geometriai Brown-mozgás rezolvens operátora.
Ahhoz, hogy a Wiener-folyamat rezolvensét
2
használni tudjuk mértékcserét kell
végezni. Ha
Z T dZ 1 2 = exp − νdw − ν T = dQ 2 0 1 2 exp −ν (w (T ) − w (0)) − ν T , 2 2 V.ö: 3.125. példa, 184. oldal.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
akkor a
284
w b (t) = w (t) + νt
g (exp (z)) = = = =
Z
Wiener-folyamat a
felcserélve és mértékcserét minden
u-ra
mérték alatt.
∞
Z
Tehát az integrálokat
elvégezve, majd az integrálokat visszacserélve
1 2 exp (−su) f (exp (w b (u))) exp ν u + νw (u) du = 2 0 Z ∞ 2 µu Z exp (−νz) Ez exp − f (exp (w b (u))) exp (ν w b (u)) du = 2 0 Z 1 ∞ exp (−µ |z − y|) f (exp (y)) exp (νy) dy = exp (−νz) µ −∞ Z 1 ∞ exp (−νz) exp (−µ |z − y|) (exp (y) − H) exp (νy) dy $ exp (−νz) U (µ, z) . µ ln H exp (−νz) EZz
Viszaírva a már levezett (5.11) képletbe
L (s) = ahol az
U
jelöli az
sinh (µa) sinh (µb) U (µ, −a) + U (µ, b) , sinh (µ (a + b)) sinh (µ (a + b))
1/µ-vel
beszorzott integrál részt.
6. Számoljuk ki a két integrált. Kezdjük az egyszer¶bb
1 U (µ, −a) = µ
Z
z = −a
esettel. Ekkor
∞
exp (−µ |−a − y|) (exp (y) − H) exp (νy) dy. ln H
Az integrál kiszámolásához elegend® az
1 µ
Z
∞
exp (−µ |−a − y|) exp (cy) dy ln H
típusú integrálokat meghatározni, ahol
c < µ =
−a − y ≤ 0, így Z ∞ Z exp (−µ |−a − y|) exp (cy) dy =
Mivel
−a < ln H ≤ y,
∞
exp (µ (−a − y) + cy) dy = ∞ exp ((c − µ) y) = exp (−aµ) = c−µ ln H H c−µ = exp (−aµ) . µ−c
ln H
A képletbe a
√ 2s + ν 2 .
ln H
c=ν+1
és
c=ν
értékeket betéve
H ν+1−µ H ν−µ − H exp (−aµ) = µ (µ − ν − 1) µ (µ − ν) H ν+1−µ = exp (−aµ) . µ (µ − ν − 1) (µ − ν)
U (µ, −a) = exp (−aµ)
ezért
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
285
√ µ = 2s + ν 2 > ν + 1 és a µ > ν s > max (0, ν + 1/2) megkötésre.
Vegyük észre, hogy a van az A
feltételek teljesüléséhez szükségünk
z = b eset annyiból bonyolultabb, hogy mivel ln H < b, ezért a kitev®ben az abszolút
értéket két felé kell bontani. Ilyenkor az integrál egyszer¶ számolással
2
5.2.4.
exp (b (ν + 1)) H exp (bν) − µ2 − ν 2 µ2 − (ν + 1)2
+ exp (−µb)
H µ+ν+1 . µ (ν + 1) (µ + ν + 1)
Visszatekint® opciók
Visszatekint® opción olyan opciókat értünk, ahol a ki zetés az aktuális trajektória valamilyen nevezetes értékét®l függ. Leggyakrabban a felvett maximális vagy minimális ártól.
5.29 Példa. A szabad végpontú visszatekint® európai put opció ára. Szabad végpontú visszatekint® európai put opción a
HT $ S ∗ (T ) − S (T ) ki zetéshez tartozó származtatott terméket értjük. A ki zetés ismételten nem negatív, így ∗ alkalmazható az árazó képlet, ugyanis az S (T ) a BlackScholes modellben integrálható.
π (HT ) = exp (−rT ) EQ (S ∗ (T ) − S (T )) = = exp (−rT ) EQ (S ∗ (T )) − S (0) . Számoljuk ki az
EQ (S ∗ (T ))
várható értéket. A
Q
σ2 S (t) = S (0) exp r− 2 $ S (0) exp (X (t)) ,
mérték alatt
t + σw e (t) $
S ∗ (T ) = S0 exp (X ∗ (T )) . Miként már láttuk, (5.6) sor, az X ∗ (T ) eloszlásfüggvénye µ $ r − σ 2 /2 jelöléssel µx −x − µT x − µT √ √ − exp 2 2 Φ , x ≥ 0. F (x) $ Φ σ σ T σ T
amib®l a
Vegyük észre, hogy az
0
F
eloszlásfüggvény az
így alább mindig csak az
x≥0
x < 0 tartományon nulla, ugyanis az X ∗ (T ) ≥
tartományon kell integrálni. Vegyük azt is észre, hogy
a transzformált valószín¶ségi változó várható értékének képlete alapján a kiszámítandó várható érték éppen az
∗
Z
E (exp (X (T ))) =
∞
exp (x) dF (x) 0
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
integrál. Az
F (x)
286
képletének megfelel®en az integrál két részre bontható. Számoljuk ki
az els®t. Vegyük észre, hogy az els® tag éppen az
√ N µT, σ T
eloszlásfüggvénye, így az
integrál
Z I1 $
∞
√ exp (x) dN x, µT, σ T =
0
1 √ = σ 2πT
∞
Z 0
(x − µT )2 exp (x) exp − 2σ 2 T
! dx.
Az egyszer¶ség kedvéért a
1 I$ √ D 2π
Z
∞
0
(x − M )2 exp (Ax) exp − 2D2
! dx
jelölést használva számoljuk ki az integrált. A lognormális eloszlás várható értékének kiszámolásakor használt eljárást követve
1 √ I = D 2π
∞
0
(x − M )2 − 2AD2 x exp − 2D2
! dx =
! 2 2 (x − (M + AD2 )) + M 2 − (M + AD2 ) dx = exp − 2D2 0 !Z ! 2 2 ∞ 1 M 2 − (M + AD2 ) (x − (M + AD2 )) √ exp − = exp − dx = 2D2 2D2 D 2π 0 M 2 − (M 2 + A2 D4 + 2AM D2 ) 2 = exp − P N M + AD , D > 0 = 2D2 A2 D2 = exp AM + P D · N (0, 1) + M + AD2 > 0 = 2 2 2 AD M + AD2 = exp AM + P −N (0, 1) < = 2 D A2 D2 M + AD2 Φ . = exp AM + 2 D √ A = 1, M = (r − σ 2 /2) T és D = σ T értéket beírva (r + σ 2 /2) T r + σ 2 /2 √ √ I1 = exp (rT ) Φ = exp (rT ) Φ T . σ σ T 1 √ = D 2π
Az
Z
Z
∞
A második integrál
Z I2 =
∞
exp (x) dΨ (x) , 0
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
287
ahol
az
µx −x − µT √ Ψ (x) $ exp 2 2 Φ σ σ T
F (x) eloszlásfüggvény képletében szerepl® második tag.
A parciális integrálás formulája
szerint
I2 =
[exp (x) Ψ (x)]∞ 0
Z
Ψ (x) d exp (x) = 0
=
[exp (x) Ψ (x)]∞ 0
∞
− Z
∞
−
Ψ (x) exp (x) dx. 0
A kiintegrált rész az
u
x=0
√ Ψ (0) = Φ −µ T /σ .
Z
∞
A fels® határon az
2 Z ∞ x2 x x exp − dx = dx ≤ exp − dx = 2 2 −u |u| |u| 2 ∞ 2 1 x 1 u = − exp − = exp − |u| 2 |u| 2 u
x2 exp − 2 −∞
Z
helyen
becslést használva a határérték nulla. Ebb®l következ®en tehát
√ Z I2 = −Φ − µ T /σ −
∞
Ψ (x) d exp (x) .
0 Ismételten parciálisan integrálva
∞
∞
µx −x − µT √ exp 2 2 + x Φ Ψ (x) exp (x) dx = dx = σ σ T 0 0 " #∞ + 1 x exp 2µ −x − µT 2 σ √ Φ = + 2µ +1 σ T σ2 0 −1 Z ∞ µx −x − µT 2µ √ exp 2 2 + x ϕ dx. + +1 σ2 σ σ T 0 √ −1 2µ A fels® határ ismételten nulla, az alsó határ értéke Φ −µ T /σ + 1 . 2 σ Z
I2
Z
√ ! √ ! µ T µ T σ2 = −Φ − +Φ − − σ σ 2µ + σ 2 −1 Z ∞ µx −x − µT 2µ √ exp 2 2 + x ϕ − +1 dx. σ2 σ σ T 0
A kiintegrált részeket összevonva
√ ! √ ! 2µ µ T σ2 µ T Φ − − 1 = −Φ − , 2 σ 2µ + σ σ 2µ + σ 2
Ebb®l tehát
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
következésképpen
288
√ ! µ T 2µ σ2 I2 = −Φ − − I3 , σ 2µ + σ 2 2µ + σ 2
ahol a kiszámolandó integrál most
∞
2µ + σ 2 −x − µT √ exp dx = I3 $ x ϕ σ2 σ T 0 Z ∞ 2µ + σ 2 x + µT √ exp = dx. x ϕ σ2 σ T 0 Z
A
µ $ r − σ 2 /2
jelölést visszaírva és bevezetve az
2µ + σ 2 2r = , σ2 σ2 σ2 − r T, M $ −µT = 2 √ D $ σ T A $
konstansokat az integrál az
I
már kiszámolt képlet alapján az
2
M + AD D A2 D2 AM + 2
2 σ − r T + σ2r2 σ 2 T + r T 2 √ √ = = . σ T σ T 2r σ 2 1 4r2 2 = − r T + σ T = σ2 2 2 σ4 2r2 1 4r2 = r− 2 T + T = r. σ 2 σ2 σ2 2
konstansokkal
2 A2 D2 M + AD2 σ /2 + r √ I3 = exp AM + Φ = exp (rT ) Φ T . 2 D σ Következésképpen
2 σ /2 + r √ r − σ 2 /2 √ 2r − σ 2 σ 2 I2 = −Φ − T − exp (rT ) Φ T . σ 2r 2r σ Az integrál tehát
∗
Z
∞
E (exp (X (T ))) = exp (x) dF (x) = I1 − I2 = 0 (r + σ 2 /2) T r − σ 2 /2 √ √ = exp (rT ) Φ +Φ − T − σ σ T σ2 r − σ 2 /2 √ − Φ − T + 2r σ σ2 r + σ 2 /2 √ + exp (rT ) Φ T . 2r σ
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Ha
r = 1/2, σ = 1,
akkor
289
µ = 0.
Ilyenkor az integrál
2 exp
1 T 2
Φ
√ T ,
ami azonos a korábban kiszámolt (5.3) képlettel.
A szabad végpontú visszatekint® put
opció ára tehát
σ2 r + σ 2 /2 √ π (HT ) = exp (−rT ) S (0) E (exp (X (T ))) − S (0) = S (0) 1 + Φ T + 2r σ r − σ 2 /2 √ σ2 Φ − +S (0) exp (−rT ) 1 − T −1 . 2r σ ∗
2
5.30 Példa. Szabad végpontú visszatekint® európai call opció. Szabad végpontú visszatekint® európai call opción a
HT $ S (T ) − S∗ (T ) ki zetést értjük. A számolás er®sen emlékeztet az el®z® példában bemutatottra, így némiképpen tovább bonyolítjuk a problémát és nem a be, hanem egy tetsz®leges venni, hogy a
[0, t]
0≤t≤T
t = 0 id®pontban érvényes árat mutatjuk
id®pontban esedékes árat. Ilyenkor gyelembe kell
szakaszon már a folyamat rendelkezik egy
S∗ (t)
minimummal.
S∗ (T ) = min (S∗ (t) , S∗ (t, T )) , ahol értelemszer¶en
S∗ (t, T ) $ min {S (u) | t ≤ u ≤ T } jelöli a
[t, T ]
Q mérték alatt σ2 u + σw e (u) = S (u) = S (0) exp r− 2 σ2 = S (t) exp r− (u − t) + σ (w e (u) − w e (t)) . 2
szakaszon vett minimumot. A
Ebb®l
S∗ (t, T ) = S (t) exp
min
t≤u≤T
σ2 r− 2
(u − t) + σ (w e (u) − w e (t)) =
= S (t) exp (X∗ (t, T )) ahol értelemszer¶en
σ2 X∗ (t, T ) = min r− (u − t) + σ (w e (u) − w e (t)) | t ≤ u ≤ T $ 2 $ min {µ · v + σw (v) | 0 ≤ v ≤ T − t} .
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Vezessük be az ismertek, így a
290
m $ S∗ (t) , s = S (t) jelöléseket. T id®szakban esedékes ki zetés
A
t
id®pontban ezek az értékek már
HT $ S (T ) − min (m, s (exp (X∗ (t, T )))) . Így a
t
id®pontban esedékes ár
π (HT ) = S (t) − exp (−r (T − t)) E (min (S∗ (t) , S (t) (exp (X∗ (t, T ))))) $ $ s − exp (−r (T − t)) E (min (m, s exp (X∗ (t, T )))) . Ha átmenetileg
T −t
helyébe a
T
szimbólumot írjuk, akkor az exponenciális függvény
y ≤ 0, y + µT √ . σ T
kitev®jében szerepl® változó eloszlását már a fenti (5.7) sorból ismerjük: Ha
Γ (y) $ P (X∗ (T ) ≥ y) = Φ
−y + µT √ σ T
µy − exp 2 2 Φ σ
Ebb®l
Z
0
min (m, s exp (y)) d (1 − Γ (y)) = E (min (m, s exp (X∗ (t, T )))) = −∞ Z 0 min (m, s exp (y)) dΓ (y) = =− −∞
Z
0
Z
=−
ln(m/s)
mdΓ (y) − s
exp (y) dΓ (y) . −∞
ln(m/s) Az els® integrál könnyen kiszámolható, értéke
m I1 $ m (Γ (ln m/s) − Γ (0)) = m · Γ ln . s A második integrálban parciálisan integrálva
Z
ln(m/s)
I2 $ −s
exp (y) dΓ (y) = −∞
=
s [exp (y) Γ (y)]−∞ ln(m/s)
Z
ln(m/s)
+s
= s [exp (y) Γ (y)]−∞ ln(m/s) + s
Γ (y) d exp (y) = −∞ Z ln(m/s)
Γ (y) exp (y) dy = −∞
Z ln(m/s) m = −s exp (ln m/s) Γ ln +s Γ (y) exp (y) dy = s −∞ Z ln(m/s) m = −m · Γ ln +s Γ (y) exp (y) dy. s −∞
Az
I1 + I2
összegb®l a kiintegrált rész kiesik, így a kiszámolandó integrál
Z
ln(m/s)
I3 $ s
Γ (y) exp (y) dy. −∞
akkor
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
291
Az integrál két részre bontható:
I31 I32
ln(m/s)
−y + µT √ exp (y) Φ = s dy, σ T −∞ Z ln(m/s) µy y + µT √ exp 2 2 + y Φ = −s dy. σ σ T −∞ Z
Számoljuk ki az els®t:
ln(m/s) Z ln(m/s) −y + µT −y + µT √ √ = s exp (y) Φ exp (y) ϕ dy = +s σ T σ T −∞ −∞ Z ln(m/s) − ln (m/s) + µT y − µT √ √ = m·Φ exp (y) ϕ +s dy. σ T σ T −∞
I31
Ismételten érdemes az általánosabb integrált kiszámolni.
! Z ln(m/s) (x − M )2 1 √ exp (Ax) exp − dx = 2D2 D 2π −∞ A2 D2 m 2 = exp AM + = P N M + AD , D < ln 2 s A2 D2 ln (m/s) − M − AD2 = exp AM + Φ . 2 D Ezt beírva
I31 = m · Φ
ln (s/m) + (r − σ 2 /2) T √ σ T
+ s exp (rT ) Φ
ln (m/s) − (r + σ 2 /2) T √ σ T
Hasonlóan
−∞ σ2 2µ + σ 2 y + µT √ = s exp y Φ + 2µ + σ 2 σ2 σ T ln(m/s) Z ln(m/s) σ2 2µ + σ 2 y + µT √ +s exp y ϕ dy. 2µ + σ 2 −∞ σ2 σ T
I32
A kiintegrált rész
ln (m/s) + (r − σ 2 /2) T 2r √ ln (m/s) Φ = σ2 σ T σ 2 m 2r/σ2 ln (m/s) + (r − σ 2 /2) T √ = −s Φ . 2r s σ T
σ2 −s exp 2r
Az integrál
σ2 s exp (rT ) Φ 2r
ln (m/s) − (r + σ 2 /2) T √ σ T
.
.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Így tehát a
T
292
id®pontban lejáró szabad végpontú visszatekint® call opció ára a
t id®pontban
ln (s/m) + (r − σ 2 /2) (T − t) √ s − m exp (−r (T − t)) Φ − σ T −t ln (m/s) − (r + σ 2 /2) (T − t) √ −sΦ + σ T −t ln (m/s) + (r − (σ 2 /2)) (T − t) σ 2 m 2r/σ2 √ Φ − + exp (−r (T − t)) s 2r s σ T −t σ2 ln (m/s) − (r + σ 2 /2) (T − t) √ −s Φ . 2r σ T −t
2
5.2.5.
Ázsiai opciók
Az ázsiai opciók olyan opciók, amelyekben az alaptermék valamilyen termék átlagára. Például az ázsiai call opció esetén
HT $
1 T
Z
+
T
S (t) dt − K
.
0
A BlackScholes-modellben a kockázatmentes valószín¶ség alatt
σ2 S (t) = S (0) exp r− t + σw e (t) . 2 A legf®bb probléma nyilvánvalóan abból ered, hogy a
HT
képletében szerepl® integrál
lényegében lognormális eloszlások összege, így az eloszlása igen nehezen számolható. Els® lépésként megjegyezzük, hogy az általános eset visszavezethet® egy kanonikus esetre: 4u/σ 2 helyettesítéssel
Z 0
T
T
σ2 S (t) dt = S (0) exp r− t + σw e (t) dt = 2 0 Z σ2 T /4 σ2 4 σ 4 4 exp r− u + 2w e u du $ = S (0) 2 σ 0 2 σ2 2 σ2 Z σ2 T /4 4 $ S (0) 2 exp (2 (ν · u + w b (u))) du, σ 0
ahol egyrészt a
Z
w b
szintén Wiener-folyamat, másrészt
ν$
σ2 r− 2
2 2r = − 1. σ2 σ2
t=
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
293
3
Ha bevezetjük az
A
(ν)
Z
T
exp (2 (ν · u + w b (u))) du,
(T ) $ 0
Ψ (T, K, ν) $ EQ
exp (2 (ν · u + w b (u))) du − K
0
= EQ
+ !
T
Z
A(ν) (T ) − K
=
+
jelöléseket, akkor
π (HT ) = exp (−rT ) EQ
!+
σ 2 T /4
Z
S (0) 4 T σ2
exp (2 (ν · u + w b (u))) du − K
0
=
!+ Z σ2 T /4 S (0) 4 Q KT σ 2 = exp (−rT ) E exp (2 (ν · u + w b (u))) du − = T σ2 4S (0) 0 2 σ T KT σ 2 S (0) 4 Ψ , ,ν . = exp (−rT ) T σ2 4 4S (0) Így elegend® a
Ψ (T, K, ν) értéket megadni.
A
Ψ (T, K, ν) értékét, nem túl meglep® módon, T szerinti Laplace-transzformáltját
nem tudjuk explicite meghatározni csak a kifejezés
tudjuk kiszámolni. A Laplace-transzformációt megadó képlet a következ®:
5.31 Tétel. (GemanYor) Tetsz®leges
λ > max (0, 2 (ν + 1))
esetén
Z
∞
L (λ, T, K, ν) $ =
(2K)1−β 2λ (α + 1) Γ (β)
ahol
γ$
√
exp (−λT ) Ψ (T, K, ν) dT = 0 Z 1 0
2λ + ν 2 ,
(5.12)
u uβ−2 (1 − u)α+1 exp − du, 2K α$
γ+ν , 2
β$
γ−ν . 2
A tétel bizonyítását több lemmára bontjuk és igazolásához szükségünk lesz többek között a Bessel-folyamatok és függvények tulajdonságaira és a Bessel-folyamatokra épül® igen elegáns Lamperti-féle formulára. El®ször emlékeztetünk a de nícióra:
5.32 De níció. Egy
Q (t)
x ≥ 0 pontból indított δ ≥ 0 paraméter¶ mondjuk, ha alkalmas w Wiener-folyamattal kielégíti a Z tp Q (s)dw (s) Q (t) = x + δ · t + 2
sztochasztikus folyamatot az
Bessel-folyamatnak
0 3 A exponenciális függvény kitev®jében szerepl®
2
szorzó szerepe kés®bb világos lesz.
négyzetes
(5.13)
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
294
R folyamatot Bessel-folyamatnak mondunk, ha √ Q alakú, ahol Q egy négyzetes Bessel-folyamat. R(ν) alatt a δ = 2 (ν + 1) paraméter¶ Bessel-folyamatot értjük. A ν paraméter bevezetését els®sorban az indokolja, hogy ha δ ≥ √ 2, vagy ami ugyanaz ν ≥ 0, akkor megmutatható, hogy Q > 0, következésképpen a Q folyamat kiszámolására alkalmazható az Itô-formula. Ebb®l következ®en ha ν ≥ 0, akkor az R(ν) de niálható az Z t 1 1 (ν) (ν) R (t) = R + w (t) + ν + ds (ν) 2 (s) 0 R
sztochasztikus dierenciálegyenletet. Egy
R=
4 egyenletettel .
5.33 Példa. Bessel-folyamat átmenetvalószín¶ség függvénye Miként korábban láttuk, ha
n
δ = 2,
vagy ami ugyanaz a
ν=0
esetben.
w egy n-dimenziós Wienerfolyamat, akkor az R $ kwk2 a δ =
paraméter mellett kielégíti a de nícióban szerepl® sztochasztikus dierenciálegyenletet.
Az
R
nyilvánvalóan Markov folyamat. Ha
n = 2,
akkor
E (f (kw (t)k2 ) | w (s) = x) = ! Z kx − yk22 1 exp − f (kyk2 ) dλn (y) . = (2π (t − s)) R2 2 (t − s) Az integrálban polárkoordinátákra áttérve, a koszinusztétel alapján az exponenciális függvény kitev®jében
kx − yk22 = kxk22 + kyk22 − 2 (x, y) = $ r2 + ρ2 − 2rρ cos θ elemi számolással
1 (2π (t − s)) Ebb®l az
r 7→ ρ
Z 0
∞
Z 0
2π
r2 + ρ2 − 2rρ cos θ exp − 2 (t − s)
f (ρ) ρdθdρ.
átmenetvalószín¶ség s¶r¶ségfüggvénye
Z 2π rρ 1 r 2 + ρ2 ps,t (r, ρ) = ρ exp − exp cos θ dθ. (2π (t − s)) 2 (t − s) t−s 0 Az átmenetvalószín¶ség stacionárius, így
2 Z 2π rρ ρ r + ρ2 1 pt (r, ρ) = exp − exp cos θ dθ = t 2t 2π t 2 0 2 ρ r +ρ rρ exp − I0 = t 2t t 4 Bár a Bessel-folyamatokat de niáló egyenletekre nem alkalmazható a korábban belátott egzisztencia tétel, megmutatható, hogy a de niáló (5.13) egyenletnek létezik gyenge megoldása és a megoldás, amennyiben létezik, egyértelm¶ a trajektóriákra nézve, így a bevezetett folyamatosztályok eloszlása egyértelm¶.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
alakba írható, ahol
295
I0 az alább de niált módosított Bessel-függvény a ν = 0 paraméter mel-
lett. Éppen a Bessel-függvények megjelenése az átmenetvalószín¶ség képletében indokolja a folyamatok elnevezését.
2
5.34 De níció. Az
Iν
módosított Bessel-függvényen az
x2 y 00 (x) + xy 0 (x) − x2 + ν 2 y (x) = 0 dierenciálegyenlet kanonikus megoldását értjük.
(5.14)
A kanonikus megoldás azt jelenti,
hogy a megoldás alakja a lehet® legegyszer¶bb legyen, ami alatt az egyenletb®l levezethet®, alternatív de nícióként szolgáló,
Iν (x) =
∞ X n=0
∞
x ν X (x/2)2n (x/2)ν+2n = n!Γ (n + ν + 1) 2 n=0 n!Γ (n + ν + 1)
függvénysor együtthatóinak egyszer¶ségét értjük.
5.35 Példa. Az
I0 (x) $ 1/ (2π)
R 2π 0
exp (x cos θ) dθ
megoldása a de nícióban szerepl® (5.14) módosított
Bessel-egyenletnek. A parametrikus integrál deriválási szabálya szerint
Z 2π 1 cos θ exp (x cos θ) dθ, (x) = 2π 0 Z 2π 1 00 I0 (x) = (cos θ)2 exp (x cos θ) dθ. 2π 0 I00
Parciálisan integrálva
Z
2π
cos θ exp (x cos θ) dθ =
[sin θ exp (x cos θ)]2π 0
2π
Z
x (sin θ)2 exp (x cos θ) dθ =
+
0
0
Z
2π
= x
sin2 θ exp (x cos θ) dθ.
0 Ezt felhasználva azonnal látható, hogy
ν=0
esetén a
I0
kielégíti a de niáló (5.14) egyen-
letet. Vegyük észre, hogy
Z π Z 2π 1 I0 (x) = exp (x cos θ) dθ + exp (x cos θ) dθ = 2π 0 π Z 1 π = exp (x cos θ) dθ. π 0 Ugyanakkor, vegyük észre, hogy
I0 (0) = 1
és
I00 (0) = 0,
amely értékek azonosak a függ-
vénysor alapján kapható értékekkel.
2
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
296
5.36 Lemma. (Lamperti-azonosság) Tetsz®leges
ν≥0
paraméter esetén
exp (w (t) + ν · t) = R
Z
(ν)
t
exp (2 (w (s) + ν · s)) ds
$ R(ν) (Aν (t)) ,
0
ahol
R(ν)
egy alkalmas ltrációval és egy ezen a ltráción értelmezett alkalmas Wiener-
folyamattal egy
Bizonyítás:
ν
paraméter¶ Bessel-folyamat.
Az integrátor pozitivitása miatt az
A(ν) (t) $
Rt
exp (2 (w (s) + ν · s)) ds folimt→∞ A(ν) (t)
0 lyamat folytonosan deriválható és szigorúan monoton n®. A növekedés miatt a
w
határérték létezik és mivel a
majdnem minden trajektóriára egy végtelenbe tartó id®-
sorozaton visszatér az origóba ezért a ν ≥ 0 feltétel miatt majdnem minden kimenetelre A(ν) (t) % ∞. Jelölje C az A(ν) inverzét. Az A(ν) (t) % ∞ miatt a C (u) folyamat minden
u≥0
esetén jól de niált. Vegyük észre, hogy
C (u) = inf t | A(ν) (t) ≥ u = inf t | A(ν) (t) > u . Az
A(ν)
(5.15)
egy adaptált folytonos folyamat Riemann-integrálja, így könnyen látható, hogy
ω 7→ C (u, ω) minden u-ra egy megállási id®. Ugyanakkor ha C (t1 ) ≤ C (t2 ), vagyis FC(t1 ) ⊆ FC(t2 ) . Ennek megfelel®en a Gt $ FC(t)
maga is adaptált, így az
t1 ≤ t2 ,
akkor
ltráció értelmes. Az állítás igazolásához meg kell mutatni, hogy az
R (u) $ exp (w (C (u)) + ν · C (u)) egy
ν
(5.16)
paraméter¶ Bessel-folyamat, ugyanis ilyenkor
R A(ν) (t) = exp w C A(ν) (t) + ν · C A(ν) (t) = = exp (w (t) + ν · t) , ami éppen a bizonyítandó állítás. Tekintsük a
Z
C(t)
exp (w (s) + ν · s) dw (s) = I (C (t))
B (t) $ 0 folyamatot, ahol értelemszer¶en
I (u) $
Ru 0
exp (w (s) + νs) dw (s) .
A
B
kvadratikus vari-
ációja
Z [B (t)] = [I] (C (t)) =
C(t)
exp (2 (w (s) + νs)) ds = A(ν) (C (t)) = t.
0
L2 (w)
térnek, ezért az I martinT gál. A megállási opciókról szóló tétel miatt, felhasználva, hogy az I (t) $ I (t ∧ T ) egy Mivel az integrátor minden véges szakaszon eleme az egyenletesen integrálható martingál, ha
s
akkor
E I T (C (t)) | FC(s) = I T (C (s))
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
így a
BT
297
G ltrációra nézve, így a Lévy-féle karakterizációs FC(t) ltrációra nézve. Az Itô-formula szerint
martingál a
Wiener-folyamat az
tétel miatt a
B
t
Z 1 t exp (w (s) + νs) d (w (s) + νs) + exp (w (t) + νt) − 1 = exp (w (s) + νs) ds = 2 0 0 Z t Z t 1 exp (w (s) + νs) dw (s) + ν + exp (w (s) + νs) ds = = 2 0 0 Z t Z t 1 exp (2 (w (s) + νs)) exp (w (s) + νs) dw (s) + ν + ds = 2 exp (w (s) + νs) 0 0 Z t Z t 1 dA(ν) (s) exp (w (s) + νs) dw (s) + ν + . = 2 0 0 exp (w (s) + νs) Z
Ebb®l
t = C (u)
helyettesítéssel
R (u) $ exp (w (C (u)) + νC (u)) = Z C(u) 1 dA(ν) (s) = 1 + B (u) + ν + = 2 exp (w (s) + νs) 0 Z u dA(ν) (C (s)) 1 = = 1 + B (u) + ν + 2 0 exp (w (C (s)) + νC (s)) Z u 1 ds = 1 + B (u) + ν + , 2 0 R (s) vagyis az
R
(5.17)
éppen a kívánt folyamat, ugyanis az Itô-formula miatt
2
Z
2
u
R (u) − R (0) = 2
R (s) d (R (s)) + [R] (u) = Z u 1 = 2 R (s) dB (s) + 2 ν + u+u 2 0 Z u = 2 R (s) dB (s) + 2 (ν + 1) u, 0
0 ami éppen a
δ = 2 (ν + 1)
paraméter¶ négyzetes Bessel-folyamat (5.13) sztochasztikus
dierenciálegyenlete.
2
5.37 Lemma. Ha
ν ≥ 0,
akkor tetsz®leges
K
esetén
τ K $ inf t | A(ν) (t) ≥ K $ C (K) = Z K 1 = 2 du. (R(ν) (u)) 0
(5.18)
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Bizonyítás:
298
C (K) = A(ν)
−1
(K).
Az inverz függvény deriválási szabálya és az
R
folyamat (5.17) de níciója miatt
Z
K
C 0 (u) du = τ K = C (K) = C (K) − C (0) = 0 Z K Z K 1 1 = du = du = 0 exp (2 (νC (u) + w (C (u)))) (A(ν) ) (C (u)) 0 0 Z K 1 = 2 du. (R(ν) (u)) 0 2
5.38 Lemma. Ha
ν ≥ 0,
akkor az
R(ν)
Markov-folyamat átmenetvalószín¶ségének s¶rúségfüggvénye
2 y y ν x + y2 xy pt (x, y) = exp − Iν , t x 2t t ahol
x, y, t > 0.
Bizonyítás:
A bizonyítást több lépésben végezhetjük el.
1. Els® lépésként megmutatjuk, hogy ha
X2
(5.19)
X1
egy
x1
pontból elindított
δ1
paraméter¶,
X1 -t®l független, az x2 pontból elindított, δ 2 paraméter¶ négyzetes Bessel-folyamat, akkor az X1 + X2 egy az x1 + x2 pontból elindított, δ 1 + δ 2 paraméter¶ négyzetes Besselfolyamat, legalábbis ha az alapul vett valószín¶ségi mez® elég b®. Nyilván az X $ X1 + X2 az
kielégíti a
Z
t
X (t) = x1 + x2 + (δ 1 + δ 2 ) t + 2
p
Z tp X1 (s)dw1 (s) + X2 (s)dw2 (s) 0
0 egyenletet. Legyen
w3
egy a
Z w4 (t) $
w1
w2
és
5
folyamatoktól független folyamat . Vezessük be a
p
t
χ (X (s) > 0) 0
Z w (t) $ w4 (t) +
p X1 (s)dw1 (s) + X1 (s)dw1 (s) p , X (s)
t
χ (X (s) = 0) dw3 (s) 0
folyamatokat. A Bessel-folyamatok de níció szerint nem negatív-folyamatok, így
χ (X (s) > 0) 5 Ha a
w3
δ 1 , δ 2 > 0,
p Xk /X ≤ 1,
akkor a megfelel® Bessel-folyamat zérus helyeinek Lebesgue-mértéke nulla, így ilyenkor
bevezetése szükségtelen.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
299
így a w de níciójában szerepl® sztochasztikus integrálok léteznek és nyilvánvalóan lokális Rt√ martingált alkotnak. Mivel a X1 és a X2 független folyamatok, ezért a X1 dw1 és 0 Rt√ X2 dw2 lokális martingálok is függetlenek, így a kereszetvariációjuk nulla. Mivel 0
√ p X 1 √ k • wk = √ • X k • wk X X a polaritási szabály alapján
Z t X1 (s) X2 (s) χ (X (s) > 0) χ (X (s) > 0) [w4 ] (t) = ds + ds+ X (s) X (s) 0 0 Z t hp i p 1 +2 χ (X (s) > 0) d X1 • w1 , X2 • w2 = X (s) 0 Z t χ (X (s) > 0) ds. = Z
t
0 Ebb®l következ®en a
w
Wiener-folyamat és az
X
(x, δ) paraméter¶ négyzetes Bessel-folyamat
2. Második lépésként megmutatjuk, hogy az Laplace-transzformáltja a
t
kielégíti a de niáló (5.13) egyenletet.
id®pontban
L (x, δ, λ, t) =
1 (1 + λt)δ/2
λx exp − 1 + 2λt
.
Független valószín¶ségi változók összegének Laplace-transzformáltja éppen a Laplace-transzformáltak szorzata. Ebb®l következ®en, felhasználva az
(x, δ)
szerinti additivitási tulajdonságot, va-
lamint, hogy a Cauchy-egyenlet egyetlen megoldása az exponenciális függvény
L (x, δ, λ, t) = L (x, 0, λ, t) · L (0, δ, λ, t) = = Lx (1, 0, λ, t) · Lδ (0, 1, λ, t) . A
(0, 1)
pár esetén az egyenlet
t
Z
2
X (t) = t + 2
X (s) dw, 0
Ugyanakkor az
(x, 0)
pár esetén az egyenlet
Z
2
X (t) = x + 2
t
Xdw, 0
amely éppen az
(x, 1)
kiszámolni tetsz®leges
(0, 1) párhoz tartozó egyenletek különbsége. Elegend® x ≥ 0 esetén az (x, 1) párhoz tartozó megoldást, vagyis az Z t 2 X (t) = x + t + 2 Xdw, x ≥ 0 és a
0
tehát
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
300
egyenlet megoldását. Vegyük észre, hogy X éppen az x pontból indított Wiener-folyamat. √ √ 2 2 Ilyenkor a Q (t) = X (t) eloszlása N x, t . Ez utóbbi eloszlás Laplace-transzformáltja
λx 1 exp − L (x, 1, t, λ) = √ . 1 + 2λt 1 + 2λt Ennek belátása a következ®: A kiszámolandó integrál
√ √ 2! ( u − x) 1 √ du = exp (−λu) exp − 2t 2 u 0 √ Z ∞ 2 u (1 + 2tλ) + x − 2 ux 1 √ du = =√ exp − 2t 2 u 2πt 0 ! √ x Z ∞ x − 2 ux −x u (1 + 2tλ) + 1+2tλ 2 1 1+2tλ √ exp =√ exp − du = 2t 2t 2 u 2πt 0 p p x 2 Z ∞ u (1 + 2tλ) − 1+2tλ 1 λx 2 exp − exp − =√ √ du = 1 + 2λt 2t 2 u 2πt 0 2 √ 2πt
Z
∞
λx = exp − 1 + 2λt
√
1 . 1 + 2tλ
Következésképpen
L (x, δ, t, λ) =
1 (1 + 2λt)δ/2
exp −
λx 1 + 2λt
.
3. Harmadik lépésként vegyük észre, hogy a Laplace-transzformációban az els®
1 (1 + 2λt)δ/2 tényez® éppen egy második
Γ (δ/2, 1/ (2t)) gamma eloszlású változó Laplace-transzformáltja6 , λx x 1 = exp exp − −1 1 + 2λt 2t 1 + 2λt
a
x/ (2t) 1/ (2t). Ebb®l a keresett eloszlás éppen x/ (2t) paraméter¶ Poisson-eloszlás szerinti keverése Γ (δ/2 + n, 1/ (2t)) eloszlásoknak. A s¶r¶ségtag egy olyan összetett Poisson-eloszlás, ahol a kever® Poisson-eloszlás paramétere
a kevered® exponenciális paramétere pedig
függvényeket beírva a Bessel-függvény függvénysora alapján a négyzetes Bessel-folyamat
6 Mivel csak a
ν≥0
esettel foglalkozunk, feltehetjük, hogy
δ > 0.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
301
átmenetvalószín¶ség függvénye
∞ X (1/2t)n+δ/2 y n+δ/2−1
x y (x/ (2t))n qt (x, y) = exp − exp − = Γ (n + δ/2) 2t n! 2t n=0 √ 2n ∞ X xy x+y δ/2−1 = y = exp − 2n+δ/2 2t Γ (n + δ/2) n! n=0 (2t) √ xy 1 y ν/2 x+y = Iν . exp − 2t x 2t t
4. Utolsó lépésként a s¶r¶ségfüggvényben mindenhol az
x
helyébe
x2 -tet
teszünk az
y
szerint pedig érvényesítjük a gyökvonás transzformációt
2 xy 1 y ν x + y2 Iν 2y. pt (x, y) = exp − 2t x 2t t 2
5.39 Lemma. Ha
λ ≥ 0,
akkor az
x>0
pontból elindított
Z
t
1
E exp −λ
2 du (R(0) (u))
0
Bizonyítás:
R(0) !
Bessel-folyamat esetén
!
| R(0) (t) = y
I√2λ xy . I0 t
=
(5.20)
A bizonyítás ismételten több lépésb®l áll.
1. Els® lépésként megmutatjuk, hogy minden véges id®szakaszon a tetsz®leges x > 0 (ν) pontból elindított ν ≥ 0 paraméter¶ R Bessel-folyamat eloszlása ekvivalens az ugyancsak (0) az x pontból elindított R eloszlásával és a Radon-Nikodym derivált folyamat
Λ (t) =
R
(0)
x
(t)
ν
2
exp −
ν 2
t
Z 0
1 (R(0)
! 2 du
(u))
.
Emlékeztetünk, hogy sztochasztikus folyamatok esetén eloszláson a trajektóriák terén értelmezett olyan mértéket értünk, amelyre nézve a koordináta leképezés éppen a megfelel® (0) típusú folyamat. Ennek megfelel®en az R éppen a folytonos függvények terén értel(0) mezett koordináta leképezés. Az R folyamat éppen a kétdimenziós Wiener-folyamat hosszát megadó folyamat és mint ilyen majdnem minden trajektóriára pozitív, és alkalmas Wiener-folyamattal kielégíti az
R
(0)
1 (t) = x + w (t) + 2
Z 0
t
1 R(0)
(s)
ds
egyenletet. A parciális integrálás formulája szerint
! ν Z R(0) (u) ν2 u 1 Λ (t) − Λ (0) = d exp − ds + x 2 0 (R(0) (s))2 0 ! ν Z t Z ν2 t 1 R(0) (u) + exp − du d . 2 0 (R(0) (u))2 x 0 Z t
(5.21)
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
302
Az els® integrálban az integrátor folytonosan deriválható, így az értéke
−ν 2
Z t 0
R(0) (u) x
ν
ν2 exp − 2
Z
t
!
1
2 du
(R(0) (u))
0
1
2 du.
2 (R(0) (u))
Az Itô-formula szerint
ν−2 0 1 dR(0) + ν (ν − 1) R(0) d R . 2 (0) (t) = t Felhasználva, hogy a bemutatott (5.21) sor miatt R ! ν Z t (0) Z t 2 R (u) ν 1 1 Λ (t) − Λ (0) = −ν 2 exp − du 2 2 du+ x 2 0 (R(0) (u)) 2 (R(0) (u)) 0 2Z t (0) ν Z t ν 1 1 R (u) exp − +ν du dR(0) (u) + (0) (0) 2 R (u) x R (u) 0 0 2Z t (0) ν Z t 1 ν 1 R (u) du exp − +ν (ν − 1) 2 du = 2 0 R(0) (u) x 2 (R(0) (u)) 0 Z t Z t 1 1 2 = −ν Λ (u) du + ν Λ (u) (0) dR(0) (u) + 2 (0) R (u) 2 (R (u)) 0 0 Z t 1 Λ (u) +ν (ν − 1) 2 (u) du, 2 (R(0) (u)) 0 d R(0)
ν
= ν R(0)
ν−1
ami az asszociativitási szabály és a már használt (5.21) sor alapján éppen
Z
t
Λ (t) − Λ (0) = ν
Λ (u) 0
1 R(0)
t
(u)
dR
(0)
Z
t
(u) − ν
Λ (u) 0
Z 1 u 0 = ν Λ (u) (0) d R (u) − R (u) 2 0 0 Z t 1 dw (u) . = ν Λ (u) (0) R (u) 0 Z
1
Megmutatjuk, hogy az integrandus minden
t-re
eleme az
1 2
2 (R(0) (u)) 1 ds = R(0) (s)
L2 (w)
(u) du =
térnek, vagyis a
martingál.
Z t νΛ (u) 0 2ν
1 R(0) (u)
2 du =
!! Z u R(0) (u) d 1 2 = − exp −ν ds du ≤ (0) (s))2 x du 0 0 (R !! (0) 2ν Z t Z u R (u) 1 d 2 ≤ max − exp −ν ds du ≤ 2 (0) 0≤u≤t x (s)) 0 du 0 (R ! (0) 2ν 2ν Z u R (u) 1 R(0) (u) 2 ≤ max exp −ν ds ≤ max . (0) (s))2 0≤u≤t 0≤u≤t x x 0 (R Z t
Λ
valódi
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
303
r > 1 esetén v (0) 2ν ! u (0) 2νr ! u R (u) R (u) r ≤t E max E max , 0≤u≤t 0≤u≤t x x
A Hölder-egyenl®tlenség alapján tetsz®leges
így elég megmutatni, hogy egy alkalmas
p>1
E
Az
R(0)
2
max
0≤u≤t
esetén
R(0) (u) x
2p ! < ∞.
éppen két független Wiener-folyamat négyzetének összege, ezért szubmartingál,
így az állítás a Doob-egyenl®tlenség, illetve a normális eloszlás momentumainak végességének közvetlen következménye.
A
Λ
tehát pozitív martingál.
Ugyanakkor ha a
Λ-val
mértékcserét végzünk, akkor Girszanov tétele alapján a
1 w b = w − Λ • [Λ, w] = w − Λ • νΛ (0) • w, w = R 1 ν = w − Λ−1 • νΛ (0) • [w, w] = w − (0) • [w] R R −1
Wiener-folyamat az új mérték alatt.
−1
De a koordináta leképezés az eredeti mérték alatt
kielégíti a fenti (5.21) azonosságot, tehát
R
(0)
Z 1 t 1 (t) = x + w (t) + du = (0) 2 0 R (u) Z Z t 1 t 1 ν du + du = = x+w b (t) + (0) (u) 2 0 R(0) (u) 0 R Z t 1 1 du = x+w b (t) + ν + (0) 2 (u) 0 R
vagyis a koordináta leképezés az új mérték alatt 2. Legyen ges
f
√ ν $ 2λ,
vagyis
λ = ν 2 /2.
R(ν)
eloszlású folyamat.
Az átmenetvalószín¶ség képlete alapján tetsz®le-
Borel-mérhet® függvény esetén
!! 2 Z t ν 1 ds = E f R(0) (t) exp − 2 0 (R(0) (s))2 ! ! Z ∞ Z ν2 t 1 (0) = f (y) E exp − | R(0) (t) = y pt (x, y) dy. 2 ds (0) 2 (s)) 0 0 (R
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
304
De ez egyúttal
!! ν Z 1 R(0) (t) ν2 t exp − ds = R(0) (t) x 2 0 (R(0) (s))2 ν ν Z ∞ x x (y) (0) (ν) f R (t) f (y) E = pt (x, y) dy = (0) R (t) y 0 Z ∞ Iν (xy/t) (0) p (x, y) dy, = f (y) I0 (xy/t) t 0
E f R(0) (t)
amib®l mivel az
f
ν
x
tetsz®leges
ν2 E exp − 2
Z
t
!
1
2 ds
(R(0) (s))
0
! | R(0) (t) = y
=
Iν (xy/t) . I0 (xy/t) 2
5.40 Lemma. λ paraméter¶ exponenciális eloszlású valószín¶ségi változó. Tetsz®leges ν esetén az A (σ) eloszlása ξ/2η alakú, ahol a ξ egy (1, α) paraméter¶ béta és az η egy t®le független (β, 1) paraméter¶ gamma eloszlású valószín¶ségi változó és ahol Legyen
σ
egy (ν)
α$
γ+ν , 2
illetve
γ$ Az
A(ν) (σ)
β$
√
γ−ν , 2
2λ + ν 2 .
s¶r¶ségfüggvénye
h (y) =
Bizonyítás:
Z
λ (2y)β+1 Γ (β + 1)
0
1
u exp − uβ (1 − u)α−1 du. 2y
A bizonyítást több lépésre bontjuk.
exp (ν · σ + w (σ)) , A(ν) (σ) pár eloszlásának s¶r¶ségfüggEhhez elegend® meghatározni azt a h (x, y) függvényt, amelyre tetsz®leges f, g ≥ 0
1. El®ször számoljuk ki az vényét.
(5.22)
Borel-mérhet® függvényekre
(ν)
E f (exp (ν · σ + w (σ))) g A
(σ) =
Z Z f (x) g (y) h (x, y) dxdy. R
R
A Girszanov-tétel alapján ha
ν2 Λ (t) = exp −νw (t) − t , 2
akkor az új mérték alatt
w b (t) $ w (t) + ν · t
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
305
Wiener-folyamat az új mérték mellett. Ebb®l
E f (exp (ν · t + w (t))) · g A(ν) (t) = = ER f (exp (ν · t + w (t))) · g A(ν) (t) · Λ−1 (t) = Z t −1 R exp (2w b (t)) · Λ (t) = =E f (exp (w b (t))) · g 0 Z t ν R f (exp (w b (t))) · g exp (2w b (t)) · exp ν w (t) + t =E = 2 0 2 ν b (t))) · g A(0) (t) · exp (ν w b (t)) . = exp − t ER f (exp (w 2 σ független a w Wiener-folyamattól E f (exp (ν · σ + w (σ))) · g A(ν) (σ) = Z ∞ = E f (exp (ν · σ + w (σ))) · g A(ν) (σ) | σ = t λ exp (−λt) dt = 0 Z ∞ =λ E f (exp (ν · t + w (t))) · g A(ν) (t) exp (−λt) dt.
A teljes valószín¶ség tétele alapján, felhasználva, hogy a
0 A
√ γ $ 2λ + ν 2 λE
R
de níciót beírva és az integrálokat felcserélve a keresett várható érték
Z 0
∞
γ 2t exp − 2
f (exp (w b (t))) g A
(0)
(t) exp (ν w b (t)) dt .
t = C (0) (u) helyettesítést végezve 2 (0) Z ∞ 0 γ C R (0) (0) (0) (0) λE exp − f exp w b C g A C exp ν w b C dC . 2 0 Kihasználva, hogy exp w b C (0) (u) = R0 (u) és A(0) C (0) (u) = u Kimenetelenként
λE
R
∞
Z 0
γ 2 C (0) (u) exp − 2
f R
(0)
ν (0) (0) (u) g (u) R (u) dC (u) .
A korábban belátott (5.18) sor szerint
C
(0)
Z (u) = 0
u
1
2 du,
(R(0) (u))
amit beírva
λER
Z 0
∞
γ2 exp − 2
Z 0
u
! ν−2 (0) (u) g (u) R(0) (u) du . 2 du f R (0) (R (u)) 1
!
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
306
Az integrálokat felcserélve
Z
∞
λ
γ2 exp − 2
g (u) ER
0 Az
R(0)
u
Z 0
!
1
(0) ν−2 (0) du f R (u) R (u) 2 (R(0) (u))
! du.
szerint feltételes várható értéket számolva és az integrálos tényez® helyébe a ki-
számolt (5.20) feltételes várható értéket beírva és felhasználva, hogy a konstrukció szerint (0)
R
(0) = 1
∞
Z λ
Z
0 A
(0)
pu
∞
g (u) 0
Iγ (1 · r/u) f (r) rν−2 p(0) u (1, r) drdu. I0 (1 · r/u)
(5.19) képletét beírva
∞
∞
2 Iγ (r/u) r +1 r ν−2 r g (u) λ f (r) r exp − I0 drdu = I0 (r/u) u 2u t 0 0 2 Z ∞ Z g (u) ∞ r r +1 ν−1 =λ f (r) r exp − Iγ drdu. u u 2u 0 0 Z
Z
Amib®l az együttes s¶r¶ségfüggvény
λ h (x, y) = Iγ y
2 x x +1 ν−1 x exp − . y 2y
2. Vezessük be az
∞ X (a)n n z M (a, b, z) $ 1 F1 (a, b, z) $ (b)n n! n=0 úgynevezett kon uens hipergeometrikus függvényeket, ahol tetsz®leges
c
esetén
(c)n $ c (c + 1) . . . (c + n − 1) . Ha
b > a > 0,
akkor érvényes az úgynevezett integrálreprezentációs tétel:
Γ (b) M (a, b, x) = Γ (a) Γ (b − a)
Z
1
exp (xu) ua−1 (1 − u)b−a−1 du.
0
Ezt igazolandó írjuk be az exponenciális függvény hatványsorát és cseréljük fel az összegzést és az integrálást
Z
1
I (a, b, x) $
exp (xu) ua−1 (1 − u)b−a−1 du =
0
=
Z ∞ X xn n=0
n!
0
1
u
a+n−1
(1 − u)
b−a−1
du =
∞ X xn n=0
n!
B (a + n, b − a) ,
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
307
B a béta függvény. A béta Γ (x + 1) = xΓ (x) azonosságot ahol
I (a, b, x) =
∞ X xn Γ (a + n) Γ (b − a) n=0
=
függvényt a gamma függvénnyel kifejezve és használva a
n!
Γ (b + n)
n=0
∞ Γ (b − a) Γ (a) X xn (an )
Γ (b)
n=0
= Γ (b − a)
∞ X xn (an ) Γ (a)
n! (b)n
=
n! (b)n Γ (b)
=
Γ (b − a) Γ (a) M (a, b, x) . Γ (b)
Ebb®l az összefüggés már evidens. Az alábbi számolás során szükségünk lesz a
b>a>0
esetben érvényes
exp (−z) M (a, b, z) = M (b − a, b, −z) v =1−u
úgynevezett Kummer-transzformációra.
Z
helyettesítéssel
1
exp (x (1 − v)) (1 − v)a−1 v b−a−1 dv = 0 Z 1 exp (−xv) (1 − v)a−1 v b−a−1 dv = = exp (x)
I (a, b, x) =
0
= exp (x) I (b − a, b, −x) , amib®l az azonosság evidens.
R ∞ 3. Következ® lépésként számoljuk ki h (x, y) dx. Írjuk be a Bessel-függvény 0
az
A(ν) (σ)
s¶r¶ségfüggvényét.
Ennek értéke
X ∞ (x/2y)γ+2n x Iγ = y n!Γ (n + γ + 1) n=0 függvénysorát, majd a Fubini-tétellel cseréljük fel az összegzést és az integrálást
∞ Z X
2 xν−1 (x/2y)γ+2n x +1 h (x, y) dx = λ exp − dx = y n!Γ (n + γ + 1) 2y 0 0 n=0 2 Z ∞ ∞ X λ exp (−1/ (2y)) x 2n+γ+ν−1 = x exp − dx = 2n+γ+1 2y n!Γ (n + γ + 1) (2y) 0 n=0 Z ∞ X λ exp (−1/ (2y)) 1 ∞ n+(γ+ν)/2−1 u = u exp − du = 2n+γ+1 2 2y n!Γ (n + γ + 1) (2y) 0 n=0 ∞ X γ+ν λ exp (−1/2y) 1 γ+ν = (2y)n+ 2 = 2n+γ+1 Γ n + 2 2 n!Γ (n + γ + 1) (2y) n=0
Z
∞
= λ exp (−1/2y)
∞
∞ X Γ (n + (γ + ν) /2)
1 n+(γ−ν)/2+1
n=0
n!Γ (n + 1 + γ) (2y)
.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
A
Γ (x + 1) = xΓ (x)
308
azonosságot használva
γ+ν γ+ν γ+ν Γ n+ = ·Γ , 2 2 2 n Γ (n + 1 + γ) = (γ + 1)n · Γ (γ + 1) . Következéképpen az
M
jelöléssel a s¶r¶ségfüggvény
λ exp (−1/ (2y)) Γ ((γ + ν) /2) M Γ (1 + γ) (2y)(γ−ν)/2+1
γ+ν 1 , γ + 1, 2 2y
.
A Kummer-transzformáció szerint a s¶r¶ségfüggvény
λ
Γ ((γ + ν) /2) M (2y)(γ−ν)/2+1 Γ (1 + γ)
γ−ν 1 + 1, γ + 1, − 2 2y
.
Az integrálreprezentációs tétel miatt a s¶r¶ségfüggvény
Γ ((γ + ν) /2) Γ (1 + γ) × Γ (1 + γ) Γ ((γ − ν) /2 + 1) Γ ((γ + ν) /2) Z 1 γ+ν γ−ν u exp − × u 2 (1 − u) 2 −1 du 2y 0
λ
(γ−ν)/2+1
(2y)
ami éppen
Z
λ (2y)(γ−ν)/2+1 Γ ((γ − ν) /2 + 1) Vezessük be az
α$
0
1
u exp − 2y
γ+ν , 2
β$
u
γ−ν 2
(1 − u)
γ+ν −1 2
du.
γ−ν 2
jelöléseket. Ekkor a s¶r¶ségfüggvény
λ (2y)
β+1
Γ (β + 1)
Z 0
1
u exp − 2y
uβ (1 − u)α−1 du
(5.23)
alakra egyszer¶södik. Ez éppen a lemmában szerepl® (5.22) függvény. 4.
(β, 1)
Legyen végül
ξ
béta eloszlású
paraméterekkel. A
2η
(1, α)
paraméterekkel és legyen
y (y/2)β−1 g (y) = exp − , 2 · Γ (β) 2 A
ξ
η
gamma eloszlású
s¶r¶ségfüggvénye
y > 0.
s¶r¶ségfüggvénye
f (x) =
Γ (1 + α) (1 − x)α−1 = α (1 − x)α−1 Γ (α)
, 0 < x < 1.
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
309
A hányados s¶r¶ségfüggvényének képlete alapján
∞
Z
f (uz) g (u) |u| du =
h (z) = −∞
Z 1/z u β−1 u α = (1 − zu)α−1 exp − udu = 2Γ (β) 0 2 2 Z 1 β v 1 α α−1 v = β dv = (1 − v) exp − 2 Γ (β) 0 z 2z z Z 1 v α = β β+1 (1 − v)α−1 v β exp − dv. 2 z Γ (β) 0 2z Mivel
γ$
p 2λ + ν 2 ,vagyis γ2 − ν2 = 2αβ = λ 2
ezért
Z 1 v 2αβ (1 − v)α−1 v β exp − h (z) = β+1 β+1 dv = 2 z βΓ (β) 0 2z Z 1 y λ α−1 β (1 − y) y exp − dy = 2z (2z)β+1 Γ (β + 1) 0 ami éppen megegyezik a levezetett (5.23) s¶r¶ségfüggvénnyel.
2
A tétel bizonyítása: Z
A kiszámolandó Laplace-transzformáció képlete
∞
exp (−λT ) E
A(ν) (T ) − K
+
+ 1 E A(ν) (σ) − K , λ
dT =
0 ahol
σ
egy
λ
paraméter¶ exponenciális eloszlású változó. Az
A(ν) (σ)
korábban kiszámolt
(5.22) s¶r¶ségfüggvényét beírva
λ 1 λ Γ (β + 1)
Z
∞ +
(z − K) 0
1 (2z)β+1
Z
1 α−1
(1 − v) 0
v v exp − dvdz. 2z β
λ = 2αβ kifejezést beírva Z Z v 2αβ2−β−1 1 ∞ 1 (z − K) β+1 (1 − v)α−1 v β exp − dzdv. λΓ (β + 1) 0 K z 2z
Egyszer¶sítve és a
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
z = vK/u
310
helyettesítéssel
−(β+1) u Kv vK Kv −K exp − (1 − v) v dudv = u u 2K u2 0 0 Z Z v u α (2K)1−β 1 1 (1 − v)α−1 − 1 uβ−1 exp − dvdu = = 2λΓ (β) 0 u u 2K Z u Z 1 v α (2K)1−β 1 β−1 = u exp − (1 − v)α−1 − 1 dvdu = 2λΓ (β) 0 2K u u ! Z 1 1 α 1−β Z 1 α v u (1 − v) α (2K) (1 − v) = uβ−1 −1 − dv du = exp − 2λΓ (β) 0 2K α u αu u u " # α+1 1 1−β Z 1 (1 − v) (2K) u = exp − uβ−2 − dv du = 2λΓ (β) 0 2K α+1 u Z 1 1−β u (2K) exp − uβ−2 (1 − u)α+1 du, = 2λΓ (β) (α + 1) 0 2K α21−β 2λΓ (β)
Z
1
α−1
β
Z
v
ami éppen a bizonyítandó (5.12) összefüggés. Végül érdemes megjegyezni, hogy az integrál konvergenciájához és a számolás korrektségéhez szükséges, hogy szerepl®
λ > 2 (ν + 1)
β − 2 > −1,
β>1
vagyis
legyen. Ez azonban a tétel feltételeiben
megkötés miatt teljesül.
2
5.41 Következmény. A már bevezetett jelölésekkel a Laplace-transzformáció felírható
L (λ, T, K, ν) $ 1 (2K) Γ (α + 1) M β − 1, α + β + 1, − = 2λ (β − 1) Γ (α + β + 1) 2K 1−β
alakban.
Bizonyítás:
Az integrálreprezentációs tétel szerint
Γ (b) M (a, b, x) = Γ (a) Γ (b − a)
Z
(2K)1−β L (λ, T, K, ν) = 2λΓ (β) (α + 1)
Z
1
exp (xu) ua−1 (1 − u)b−a−1 du.
0
Ezt beírva
1
u exp − uβ−2 (1 − u)α+1 du = 2K 0 1−β (2K) Γ (β − 1) Γ (α + 2) 1 = M β − 1, α + β + 1, − = 2λΓ (β) (α + 1) Γ (a + β + 1) 2K (2K)1−β Γ (α + 1) 1 = M β − 1, α + β + 1, − . 2λ (β − 1) Γ (a + β + 1) 2K
5.2. ÚTFÜGG OPCIÓK
Vegyük észre, hogy a
311
λ > 2 (ν + 1)
feltétel miatt
β > 1,
így a formulák értelmesek.
2
6. fejezet Amerikai opciók folytonos id®horizonton A folytonos és a véges számú pontból álló id®horizont nagyon sok szempontból azonosan kezelhet®. A teljesség kedvéért el®ször röviden összefoglaljuk a két modell közös közgazdasági hátterét: Az amerikai származtatott termékek olyan termékek, amelyek tetsz®leges id®pontban lehívhatóak. Mivel az alapfeltevés az, hogy a jöv® nem látható el®re, a lehívás csak megállási id® mentén történhet.
Legyen tehát adott egy
által generált ltrációra adaptált folyamat. megállási id® kiválasztásához, és az
ω
H,
a modell alaptermékei
A folyamat tulajdonosának joga van egy
τ
kimenetel esetén a
H (τ (ω) , ω) $ Hτ (ω) (ω) $ (H (τ )) (ω) értéket lekaszálni". Az európai származtatott termékek esetén csak a ahol
T <∞
τ =T
megengedett,
a származtatott termék lejárati ideje. Feltesszük hogy az alaptermékek által
de niált piac teljes, valamint, hogy a piacon nincsen arbitrázs. Pontosabban ennél többet
(Ω, A) mérhet® struktúrán van, mégpedig az S diszkontált árfolyam valódi martingál.
követelünk meg, feltesszük, hogy az martingál mérték, amelyre nézve
A kérdés a következ®: Mennyi a Az alapfeltétel, hogy a
H
H
egyetlen
Q
ára?
származtatott terméket eladó személy a
H
lehívásának id®-
pontjában fedezett állapotban akar lenni. Ehhez az szükséges, hogy a származtatott termék
x
árából egy olyan ön nanszírozó portfoliót tudjon építeni, amely
tetsz®leges
τ
megállási id® esetén
elegend®, ha minden
0≤t≤T
Vτ (x) ≥ Hτ legyen. Vt (x) ≥ Ht .
V (x)
értékfolyamatára
Természetesen ehhez szükséges és
id®pontra
6.1 De níció. Valamely
x
kezd®értékb®l kiinduló ön nanszírozó stratégia szuperreplikálja a
tott terméket, ha a
V (x)
értékfolyamatra minden
t
id®pontra
H
származta-
Vt (x) ≥ Ht .
Természetesen a vev® sem akar az üzleten veszíteni, ezért csak akkor hajlandó az áron az üzletbe belemenni, ha van olyan
τ
megállási id®, amelyre
Hτ = Vτ .
x
Ugyanis ha
ez nem teljesülne, akkor a szuperreplikáló tulajdonság miatt az eladó, mindig szisztematikusan keresne rajta, így ® is inkább eladná mint megvenné a Másképpen fogalmazva, ha van olyan
x,
H
származtatott terméket.
amelyhez tartozik ön nanszírozó, szuperreplikáló
312
313
portfolió és
H
τ
Hτ = Vτ
megállási id®, amelyre a
egyenl®ség teljesül, akkor az
származtatott termék ára. Megint másképpen fogalmazva, ha
maztatott termék drága, így eladva és az nyereséghez jutunk. Ha pedig
x-b®l
π (H) < x,
π (H) > x,
x
éppen a
akkor a szár-
felépítve a szuperreplikáló portfoliót biztos
akkor a szuperreplikáló portfoliót dinamikusan
eladva és a származtatott terméket megvéve majd a
τ
id®pontban lehívva
nyereséghez juthatunk. Érdemes azonban megjegyezni, hogy a
H≥0
x − π (x)
biztos
miatt a szuperrep-
likáló portfolió biztosan nem negatív, így megengedett, de a portfolió nem feltétlenül lesz felülr®l korlátos, így az eladása nem lesz feltétlenül megengedett stratégia. Ezt az európai opciókhoz hasonló gondolatmenettel korrigálhatjuk. Az amerikai opciók árazási problémájának megoldásához két kérdést kell tisztázni:
•
Létezik-e a megadott tulajdonságú
•
hogyan számolható ki a
(τ , x)
Emlékeztetünk, hogy ha a a
V
V
V
(τ , x)
pár, és
pár a modellben szerepl® paraméterekb®l?
ön nanszírozó, akkor a kockázatsemleges mérték mellett
diszkontált értékfolyamat lokális martingál. A
H
nem negatív, így a szuperreplikáló
alulról korlátos. Az alulról korlátos lokális martingálok szupermartingálok. Így a
szupermartingál. minden
A szupermartingálok csökkentik a várható értéket.
0≤τ ≤T
V
egy
Következésképpen
megállási id®re
x = V0 (x) = V 0 (x) = EQ V 0 (x) ≥ EQ V τ (x) = Vτ (x) Hτ Q Q = E ≥E . Rτ Rτ Vagyis
π (H) $ x = V0 (x) ≥ sup E τ
Tegyük fel, hogy alkalmasan választott
sup E
Q
τ
Hτ Rτ
τ∗
Hτ Rτ
.
esetén a szuprémum felvev®dik, vagyis
= max E
Q
τ
Tegyük fel továbbá, hogy az így kapott
Q
Hτ Rτ
=E
Q
x $ EQ (Hτ ∗ /Rτ ∗ )
Hτ ∗ Rτ ∗
.
értékb®l kiindulva felépíthet®
egy ön nanszírozó, szuperreplikáló portfolió. Ekkor a szupermartingál és a szuperreplikáló tulajdonság miatt
x=E
Q
Hτ ∗ Rτ ∗
= V0 (x) ≥ E
Q
∗
V (τ ) ≥ EQ
Hτ ∗ Rτ ∗
= x.
Ez azonban csak akkor teljesülhet, ha egyenl®ség van, ami a szuperreplikáló tulajdonság ∗ ∗ miatt csak akkor teljesülhet, ha majdnem mindenhol V (τ ) = H (τ ) , amib®l a diszkont faktorral való átszorzás után
V (τ ∗ ) = H (τ ∗ ) . Következésképpen a már elmondott közgazdasági megfontolások miatt ilyenkor (Feltéve, hogy nincsen gond a visszafelé járatott portfoliókkal.) A kérdés tehát a következ®:
x = π (H).
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
314
1. Miként számolható ki a
sup E
Q
τ <∞
H (τ ) R (τ )
$ sup EQ H (τ )
(6.1)
τ <∞
érték? 2. Mikor van olyan
τ∗
megállási id® amikor az egyenl®ség felvev®dik? Miként határoz∗ ható meg egy olyan τ , ahol a szuprémum felvev®dik?
3. Van-e olyan ön nanszírozó, szuperreplikáló portfolió, amely a bevezetett (6.1) optimális megállítás feladat optimális megoldásának értékéb®l indul ki?
6.1.
Az optimális megállítás problémája id®tengelyen értelmezett
(Ω, A, P, F) egy sztochasztikus alapsztochasztikus folyamat. Legyen T a
T =∞
is megengedett. A következ®, megle-
El®ször az els® két problémával foglalkozunk: Legyen tér, és legyen
H
H
egy az
R+
ki zetés lejáratának id®pontja. Elvileg a
het®sen enyhe feltételezésekkel élünk:
(Ω, A, P, F) kielégíti a szokásos feltételeket, vagyis a ltráció jobbról folytonos és 1 tartalmazza a nulla halmazokat és az A teljes .
1. Az
2. Az
F0
csak a triviális
σ -algebra, vagyis ha A ∈ F0 , akkor P (A) = 0, vagy P (A) = 1.
3. A
H
folyamat folytonos.
4. A
H
nem negatív.
supt H (t) változó integrálható, vagyis a értékt®l független integrálható majoránsa.
5. Feltételezük, hogy a
H
folyamatnak van a
t
g ∗ $ supτ <∞ E (H (τ )) érték meghatározása, ahol a τ az összes olyan megállási id®n fut végig, amelyekre τ ≤ T . A de nícióval De níció szerint az optimális megállítás feladata a
kapcsolatban érdemes hangsúlyozni, hogy nem teljességgel egyértelm¶, hogy mi történjen azokkal a kimenetelekkel, amelyekre a megállási id® értéke esetlegesen végtelen. El®fordul,
supτ E (H (τ ) χ (τ < ∞)) H kiterjeszthet® a T = ∞
hogy az optimális megállítás problémáját a
módon de niálják.
Elvileg az az eset is el®fordulhat, hogy a
végtelen id®pontra
és ilyenkor a
supτ E (H (τ ))
kifejezés is értelmes. Ugyanakkor a végtelen érték¶ megállási
id®k szokásos interpretációja, hogy ilyenkor a megállítási szabály által el®írt feltétel sohasem teljesül, így bár matematikailag esetleg a feladat értelmezhet® lenne, az alkalmazások
2
szempontjából a végtelen id®pontban való megállítás interpretálhatatlan .
1 Az amerikai opciók árazási problémájának megoldásában kulcs szerepe van a DoobMeyer felbontásnak, amihez a sztochasztikus analízis általános elméletének összes feltevésére szükség van.
2 Az irodalom egy részében az általunk megállási id®nek nevezett függvényeket szokás Markov-id®knek
nevezni és csak a véges érték¶ Markov-id®ket szokás megállási id®nek mondani.
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
315
T = ∞, ugyanis ha T < ∞, akkor a [T, ∞) H értéke legyen mindenhol H (T ). Ugyancsak az egyszer¶ség kedvéért fel∗ tesszük, hogy 0 < g , amivel a H = 0 trivialitást akarjuk kizárni. Az utolsó feltétel fontos ∗ következménye, hogy g < ∞. Az integrálható majoránssal kapcsolatos feltétel nem igazán Az egyszer¶ség kedvéért feltehetjük, hogy
szakaszon a
szigorú megkötés. Például a put opciók ki zet®függvényének korlátossága miatt a put opciók esetén, véges vagy végtelen id®horizonton az utolsó megkötés mindig teljesül. Ha az a BlackScholes modellnek megfelel®en valamilyen
dS = αSdt + βSdw
S
alakú egyenletnek
tesz eleget, akkor
β2 β2 t + βw (t) ≤ exp α− t + β max w (t) $ S (t) = exp α− s≤t 2 2 β2 $ exp α− t + βw∗ (t) . 2 Mivel a korábban belátott (5.3) összefüggés miatt az
exp (βw∗ (t))
várható értéke véges,
véges id®horizonton a call opciókra az integrálható majoráns létezésére tett feltétel teljesül. Természetesen az optimális megállítás feladatának megoldásán a következ®ket értjük: 1. Hogyan számolható ki a 2. Van-e olyan
τ ∗ < ∞,
g∗
értéke?
amely mellett az optimum eléretik?
3. Miként karakterizálhatóak az optimális megállási id®k?
6.2 Példa. A feladatnak lehet véges szuprémuma, de a szuprémum helyébe nem mindig írható maximum. Legyen
t . 1+t E (H (τ )) < 1,
H (t) $
τ < ∞ megállási id® esetén ugyanakkor supτ E (H (τ )) = 1. Ha ω kimenetelre τ (ω) $ ∞, akkor ott a megálított változó szokáos interpretációja (H (τ )) (ω) ki zetés értéke nulla, így nincsen optimális megállítási id®. A példa
Tetsz®leges valamely szerint a
némiképpen problémás, ugyanis a megállított változó de níciójára épül. Emlékeztetünk, hogy a megállított változó de níciója nem feltétlenül egyértelm¶. Id®nként a megállított változót a határértékkel szokás, persze ha létezik, de niálni és ilyenkor az ellenpélda nem jó.
Ugyanakkor az optimális megállítás problémájában, hasonlóan az amerikai opciók
árazásakor a
τ (ω) = ∞
kimenetelekre a feladat tartalma alapján célszer¶ a határérték
létezésekor is a megállított változót nullának de niálni. Ha
H -t
H (∞) = 1 de nícióval megoldása, a τ = ∞, de a a
supτ E (H (τ )) feladatnak van optimális supτ <∞ E (H (τ )) , vagy a supτ E (H (τ ) χ (τ < ∞)) feladatoknak kiterjesztjük, akkor a
ilyenkor sincs optimális
megoldása.
2
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
6.1.1.
316
A megállási opciókról szóló tétel nem negatív szupermartingálokra
A diszkrét és véges id®horizonton bemutatott tárgyalás alapján sejthet®, hogy a f®szerepet a megállási opciókról szóló tétel fogja játszani. A megállási opciókról szóló tételben hangsúlyozni szokás, hogy csak korlátos megállási id®kre érvényes. Általában megállási id®kre csak akkor érvényes az állítás, ha a folyamat kiterjeszthet® a
[0, ∞]
id®tartományra. Ez
például teljesül, ha a folyamat, amelyre az állítást alkalmazni akarjuk egyenletesen integrálható martingál. Ilyenkor persze az
3
X (∞) értékét a kiterjesztéskor kapott változóval kell
de niálni , vagyis
X (∞) $ lim X (t) . t→∞
A dologban a trükk az, hogy a
[0, ∞]-nen
értelmezett kiterjesztett folyamat egy deter-
minisztikus id®transzformációval teljesen megfeleltethet®, mondjuk a
[0, 1]-en
értelmezett
folyamatnak és ez utóbbira már alkalmazható a korlátos megállási id®kr®l szóló eset. Legyen
X
határértéke a
nem negatív szupermartingál.
+∞-ben. A L1 (Ω)-ban.
de nem létezik
A nem negatív szupermartingáloknak van
határérték általában majdnem mindenhol értelemben létezik, Ugyanakkor a Fatou-lemma miatt
E (X (∞) | Fs ) = E lim X (t) | Fs ≤ t→∞
≤
lim inf E (X (t) | Fs ) ≤ X (s) , t→∞
vagyis a kiterjesztett folyamat is szupermartingál marad, így egyszer¶ monoton transzformációval véges id®horizontra transzformálható, így nem negatív szupermartingálokra alkalmazható a megállási opciókról szóló tétel tetsz®leges megállási id®kkel. Ugyanakkor
X nem negatív szupermartingál, akkor az X szupermartingál marad akkor is, ha az X (∞) $ 0 de nícióval élünk. Vegyük észre, hogy az eredeti X végtelenben vett határértékének létezése miatt a transzformált X -nek a transzformáció során használt véges ha
id®pontban van bal oldali határértéke. Korlátos megállási id®kkel alkalmazva a megállási opciókról szóló tételt a következ® állítást kapjuk:
6.3 Tétel. (Megállási opciókról szóló tétel) Ha
X
nem negatív szupermartingál és
σ≤τ
tetsz®leges megállási id®k és az
X (∞) $ 0
konvencióval élünk, akkor
E (X (τ ) | Fσ ) ≤ X (σ) .
6.1.2.
A Snell-burkoló konstruálása
Az optimális megállítás problémáját folytonos id®horizonton teljesen hasonlóan kell megoldani mint a diszkrét, véges id®horizontos esetben. Az egyetlen lényegi eltérés az, hogy a
3 Egyébként például a
τ ≡ ∞ megállási id®vel nem lenne érvényes az E (X (σ)) = E (X (τ ) | Fσ ) egyenX (τ ) $ χ (τ < ∞) X (τ ) de nícióhoz, akkor egyenletesen integrálható mart-
l®ség. Ha ragaszkodunk az ingálokra csak a
τ <∞
esetben alkalmazható a megállási opciókról szóló tétel.
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
317
Snell-burkoló de niálása távolról sem evidens. Ennek oka, hogy folytonos id®horizonton a burkolót csak a lényeges szuprémummal tudjuk de niálni, és a lényeges szuprémumot csak nulla valószín¶ség¶ események erejéig tudjuk meghatározni, így a nullmérték¶ halmazok bosszúja miatt a Snell-burkoló mint folyamat esetlegesen nem is létezik. Ebb®l következ®en az er®feszítések egy jelent®s részének célja a Snell-burkoló, mint folyamat, létezésének igazolása.
6.4 Lemma. Legyen
H≥0
mum létezik, egyértelm¶ és alkalmas
Bizonyítás: H ≤ 1. ξn ∈ H
H háló, akkor ξ n % ess sup H.
valószín¶ségi változók egy halmaza. Ha a
ξn ∈ H
sorozatra
a lényeges szupré-
Mivel a lényeges szuprémum csak a rendezést®l függ, feltehet®, hogy
0≤
λ $ sup {E (ξ) | ξ ∈ H} < ∞. A szuprémum de níciója miatt alkalmas ξ n ∈ H. sorozatra E (ξ n ) % λ. Legyen e ξ n $ ∨ni=1 ξ i . A háló tulajdonság miatt e Nyilván E e ξ n % λ. Ha ξ ∞ $ limn e ξ n , akkor E (ξ ∞ ) = λ. Ha ξ ∈ H tetsz®leges, akkor m.m. ξ ≤ ξ ∞ , ugyanis ellenkez® esetben E (ξ ∨ ξ ∞ ) ≥ E ξ ∨ e ξ n > λ lenne. Ha H ≤ ξ , akkor a e ξ n ≤ ξ és így a ξ ∞ ≤ ξ is teljesül, vagyis ξ ∞ = ess sup H. 2 Legyen
6.5 De níció. Tetsz®leges
ρ
megállási id® esetén
∆ρ $ {τ | τ ≥ ρ, τ megállási X (ρ) $ ess supE (H (τ ) | Fρ ) .
id®} ,
τ ∈∆ρ
6.6 Példa. X (ρ)
call opciók esetén.
Legyen
Q
Q alatt martingál, + max (S (t) − K, 0) K = S (t) − H (t) $ R (t) R (t)
a kockázatsemleges mérték. Az
egy szubmartingál, ugyanis a
K/R (t)
S
a
egy csökken® folyamat, az
x+
így a
pedig konvex és nö-
veked®. Következésképpen a megállási opciókról szóló tétel miatt tetsz®leges véges id®horizonton ha
τ ≥ ρ,
[0, T ]
akkor
EQ (H (T ) | Fρ ) ≥ EQ (H (τ ) | Fρ ) így
X (ρ) = EQ (H (T ) | Fρ ) . Így a Snell-burkoló egy logikai martingál, amelyhez, a szokásos feltételek teljesülése miatt létezik ekvivalens módosítás, amelyik martingál.
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
318
2 Fontos hangsúlyozni, hogy az
X (ρ)
nem tekinthet® valamilyen
ban való megállításának, ugyanis minden
ρ-ra
az
erejéig van meghatározva. Így mivel a lehetséges ságú az
t 7→ X (t)
X (ρ)
t
X
id®pont-
A továbbiakban els® lépésként az
ebb®l ered® technikai problémákat kell legy¶rni. Vegyük észre, hogy
F0 ,
ρ
id®pontok halmaza kontinum számos-
trajektóriái nem értelmezhet®ek.
megoldása, ugyanis az
folyamat
csak egy nulla mérték¶ halmaz
az el®zetes feltételek miatt, a triviális
X (0) éppen a feladat
σ -algebra,
így
m.m.
E (H (τ ) | F0 ) = E (H (τ )) . A kés®bbiekben az egyszer¶ség kedvéért a konstansok és a majdnem mindenhol konstans valószín¶ségi változók között nem teszünk különbséget.
6.7 Lemma. Az
X (τ )
alakú változók formailag kielégítik a szupermartingálokra vonatkozó megállási op-
ciókról szóló tételt.
Bizonyítás:
A konstrukciót több lépésre bontjuk:
1. Els® lépésként megjegyezzük, hogy a lényeges szuprémum mögött álló
G $ {E (Hτ | Fρ ) | τ ∈ ∆ρ } halmaz háló, vagyis ha
Hτ 1 , Hτ 2 ∈ G ,
akkor a
Hτ 1 ∨ Hτ 2 $ max (Hτ 1 , Hτ 2 ) ∈ G is teljesül. Legyen ugyanis
R $ {E (Hτ 1 | Fρ ) < E (Hτ 2 | Fρ )} ∈ Fρ , és legyen
τ $ χRc τ 1 + χR τ 2 . Megjegyezzük, hogy a
R
Fρ -nak, mivel egy Fρ -mérhet® függvény nívóhali = 1, 2, akkor τ i ≥ ρ következésképpen Fρ ⊆ Fτ i , tehát
azért eleme az
maza. Felhasználva, hogy ha
{τ ≤ t} = ({τ 1 ≤ t} ∩ Rc ) ∪ ({τ 2 ≤ t} ∩ R) ∈ Ft , így a
τ
megállási id®. Következésképpen
τ ∈ ∆ρ .
Ugyanakkor a
R ∈ Fρ
felhasználásával
E (Hτ | Fρ ) = E (χRc Hτ 1 + χR Hτ 2 | Fρ ) = = χRc E (Hτ 1 | Fρ ) + χR E (Hτ 2 | Fρ ) = = max (E (Hτ 1 | Fρ ) , E (Hτ 2 | Fρ )) . 2. Tetsz®leges
σ
és
τ
megállási id®k esetén
E ess sup E (H (ρ) | Fτ ) | Fσ $ E (X (τ ) | Fσ ) = ess sup E (E (H (ρ) | Fτ ) | Fσ ) . ρ∈∆τ
ρ∈∆τ
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
319
(ρk ) ⊆ ∆τ sorozat, hogy E (H (ρk ) | Fτ ) % X (τ ) . Így a feltételes várható értékre vonatkozó monoton konvergencia A háló tulajdonság miatt van olyan megállási id®kb®l álló tétel miatt
E (X (τ ) | Fσ ) = lim E (E (H (ρk ) | Fτ ) | Fσ ) ≤ ess sup E (E (H (ρ) | Fτ ) | Fσ ) . k→∞
Másrészt tetsz®leges
ρ∈∆τ
ρ ∈ ∆τ
esetén de níció szerint
X (τ ) ≥ E (H (ρ) | Fτ )
így a fordított
irányú egyenl®tlenség a feltételes várható érték monotonitása miatt evidens. 3. Ha
τ ≥ σ,
akkor
E (X (τ ) | Fσ ) ≤ X (σ) . τ ≥ σ,
Mivel
ezért
∆τ ⊆ ∆σ .
Ebb®l következ®en, a 2. pont alapján
E (X (τ ) | Fσ ) $ E ess sup E (H (ρ) | Fτ ) | Fσ = ρ∈∆τ
= ess sup E (E (H (ρ) | Fτ ) | Fσ ) = ess sup E (H (ρ) | Fσ ) ≤ ρ∈∆τ
ρ∈∆τ
≤ ess sup E (H (ρ) | Fσ ) $ X (σ) . ρ∈∆σ 4. Ha
σ = 0,
akkor az el®z® egyenl®tlenségben várható értéket véve
E (X (τ )) ≤ E (X (0)) $ E ess sup E (H (τ ) | F0 ) = τ
= ess sup E (E (H (τ ) | F0 )) = sup E (H (τ )) = g ∗ < ∞. τ
τ
X (τ ) X (τ ) egy sztochasztikus folyamatból származó megállított változó lenne, akkor a {τ = ∞} halmazon az értéke, de níció szerint, nulla kellene legyen. Ha ρ ≥ τ , akkor az összes H (ρ) értéke, most persze de níció szerint, nulla a {τ = ∞} halmazon. Mivel {τ = ∞} ∈ Fτ , ezért 5.
Bár ennek nincsen a kés®bbiek szempontjából nagy jelent®sége érdemes az
értékét megvizsgálni a
{τ = ∞}
halmazon.
Ha az
E (H (ρ) | Fτ ) = E (χ (τ < ∞) H (ρ) | Fτ ) = χ (τ < ∞) E (H (ρ) | Fτ ) , E (H (ρ) | Fτ ) is nulla a {τ = ∞} halmazon. Ebb®l is nulla az {τ = ∞} halmazon, vagyis az X (τ ) nulla
így az
következ®en a lényeges szupré-
mum
az
{τ = ∞}
halmazon.
2 Miként említettük a nyilvánvaló gondot az jelenti, hogy az
X (τ )
változók nem egy
folyamat megállításából származnak. A következ® lépésben megkonstrálunk egy olyan szupermartingált, amelynek az állási id® esetén a
b (τ ) X
X
egy verziója abban az értelemben, hogy minden
majdnem mindenhol megegyezik az
tételt fogjuk, bizonyítás nélkül, felhasználni:
X (τ )-val.
τ
X b X
meg-
Ehhez a következ®
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
320
6.8 Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülnek a szokásos feltételek. Legyen martingál. Az
t 7→ E (X (t))
X
egy integrálható logikai szub-
X -nek
pontosan akkor létezik olyan módosítása, amely szubmartingál, ha a 4 függvény jobbról folytonos .
A diszkrét és a folytonos idej¶ modellek összehasonlítása miatt nem érdektelen a következ® konstrukció: Megállási id®k esetén de niáljuk a értjük, hogy a akkor a
ρ
τ
minden véges értéke esetén a
is végtelen. A
ennek van értelme. A
∆τ
ρ
ρ
≺
relációt. A
nagyobb mint a
τ,
ρ τ
illetve ha a
tehát szigorúan kés®bb következik be mint a
halmazok és
X (τ )
reláción azt
τ,
τ
végtelen,
feltéve, hogy
változók mellett de niáljuk a
∆∗τ $ {ρ | ρ τ , ρ megállási id®} , X ∗ (τ ) $ ess sup {E (Hρ | Fτ ) | ρ ∈ ∆∗τ } halmazokat és változókat. Vizsgáljuk meg az
X∗
folyamatot. Egy általános érvény¶ elemi
megjegyzéssel kezdjük:
6.9 Lemma. Tetsz®leges
τ
és
σ
megállási id®k esetén a
{τ = σ}
és
{τ ≤ σ}
stb. halmazok elemei az
Fσ ∩ Fτ σ -algebrának.
Bizonyítás:
Valóban tetsz®leges
t-re
{τ < σ}c ∩ {τ ≤ t} = {σ ≤ τ } ∩ {τ ≤ t} = = {σ ∧ t ≤ τ ∧ t} ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft és
{τ > σ} ∩ {τ ≤ t} = ∪r≤t {τ > r > σ} ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft , ahol az
r
értelemszer¶en racionális. Így
{τ > σ}
és
{τ < σ}
eleme az
Fτ
-nak. Így
{τ ≤ σ} = {τ > σ}c ∈ Fτ {τ = σ} = {τ ≤ σ} \ {τ < σ} ∈ Fτ . A szimmetria miatt a
{τ = σ} , {τ ≤ σ} ∈ Fσ
tartalmazások indoklása analóg.
2
6.10 Lemma.
X (τ ) = X ∗ (τ ) ∨ H (τ ) = max {H (τ ) , X ∗ (τ )}. 4 Érdemes hangsúlyozni, hogy a jobbról folytonosság nélkül az állítás biztosan nem lehet igaz.
kintsünk egy balról folytonos, de azért nem folytonos, növeked® függvényt.
Te-
A függvény által de niált
determinisztikus sztochasztikus folyamat növeked® trajektóriákkal rendelekezik és ezért logikai szubmartingál, de nem módosítható úgy, hogy szubmartingál legyen, ugyanis a szubmartingálok de níció szerint jobbról folytonosak.
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
Bizonyítás:
321
Vegyük észre, hogy az egyenl®ség a diszkrét esetben belátott iteráció folyto(τ ) ≥ X ∗ (τ ), illetve
nos esetre való átvitele. Az indoklása a következ®: Egyrészt nyilván X X (τ ) ≥ H (τ ). Így X (τ ) ≥ X ∗ (τ ) ∨ H (τ ) . Másoldalról legyen ρ ∈
{τ = ρ} , {τ > ρ} ∈ Fρ .
Miként láttuk,
Ebb®l következ®en a
∗
ρ $
ρ ∞
ha ha
{τ < ρ} {τ ≥ ρ}
{ρ∗ ≤ t} = {τ < ρ} ∩ {ρ ≤ t} ∈ Ft .
megállási id® ugyanis
∆τ .
Nyilván
ρ∗ ∈ ∆∗τ .
E (H (ρ) | Fτ ) = E (H (ρ) χ (τ = ρ) + H (ρ) χ (ρ > τ ) | Fτ ) = = E (H (τ ) χ (τ = ρ) + H (ρ) χ (ρ > τ ) | Fτ ) = = E (H (τ ) χ (τ = ρ) | Fτ ) + E (H (ρ) χ (ρ > τ ) | Fτ ) = = H (τ ) χ (τ = ρ) + χ (ρ > τ ) E (χ (ρ > τ ) H (ρ) | Fτ ) = = H (τ ) χ (τ = ρ) + χ (ρ > τ ) E (H (ρ∗ ) | Fτ ) ≤ ≤ H (τ ) χ (τ = ρ) + χ (ρ > τ ) X ∗ (τ ) ≤ H (τ ) ∨ X ∗ (τ ) . Ebb®l
X (τ ) ≤ H (τ ) ∨ X ∗ (τ ) . 2
6.11 Lemma. Majdnem minden kimenetelre
Bizonyítás: gyeztük a
X ∗ (τ ) = X (τ ).
{τ < ∞} halmazon kétséges, ugyanis miként megjeX (τ ) nulla és a bemutatott indoklás miatt az X ∗ (τ ) is τ n & τ , τ n τ . A H feltételezett jobbról való folytonossága és a
Az egyenl®ség csak a
{τ = ∞}
halmazon az
nyilván nulla. Legyen
Fatou-lemma miatt majdnem mindenhol
X ∗ (τ ) ≥ lim inf E (H (τ n ) | Fτ ) ≥ E lim inf H (τ n ) | Fτ = n→∞
n→∞
= E (H (τ ) | Fτ ) = H (τ ) . Így majdnem mindenhol
X (τ ) = X ∗ (τ ) ∨ H (τ ) = X ∗ (τ ) . 2
6.12 Lemma. Tetsz®leges
τn & τ, τn ≥ τ
A ∈ Fτ , akkor Z X (τ ) dP = lim X (τ n ) dP.
sorozat esetén ha
Z A
n→∞
A
Speciálisan a
t 7→ E (X (t)) függvény jobbról folytonos.
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
Bizonyítás:
322
Az álszubmartingál egyenl®tlenség miatt ha
σ ≥ ρ,
akkor
E (X (σ) | Fρ ) ≤ X (ρ) . Ebb®l a
τn & τ
miatt
E (X (τ n ) | Fτ ) ≤ E (X (τ n+1 ) | Fτ ) ≤ X (τ ) , így majdnem mindenhol
lim E (X (τ n ) | Fτ ) ≤ X (τ ) .
n→∞ Ha
A ∈ Fτ ,
akkor a két oldalt integrálva
Z
Z
Z E (X (τ n ) | Fτ ) dP ≤
X (τ n ) dP = lim
lim
n→∞
n→∞
A
X (τ ) dP.
A
A
A másik irányú egyenl®tlenség igazolása a következ®: A Fatou-lemma miatt
Z
Z X (τ n ) dP ≥
lim
n→∞ Legyen
σ ∈ ∆τ
A
tetsz®leges, vagyis legyen
id®ket. Triviálisan
σn ≥ τ n,
ezért
lim X (τ n ) dP.
A n→∞
σ ≥ τ.
σ n ∈ ∆τ n ,
Vezessük be a
σn $ τ n ∨ σ
megállási
így
X (τ n ) ≥ E (H (σ n ) | Fτ n ) . τ n ≥ τ , így A ∈ Fτ ⊆ Fτ n Z H (σ n ) dP ≥ lim inf H (σ n ) dP.
Ezért az el®z® becslést folytatva és kihasználva, hogy
Z X (τ n ) dP ≥ lim
lim
n→∞
Z n→∞
A
A n→∞
A
n % ∞, akkor τ n & τ , és mivel σ ≥ τ ezért σ n & σ, így a H jobbról való folytonossága miatt Z Z Z lim X (τ n ) dP ≥ H (σ) dP = E (H (σ) | Fτ ) dP.
Ha
n→∞
A
A
Ahol az egyenl®tlenség minden
(σ k ) ⊆ ∆τ
σ ∈ ∆τ
A
esetén teljesül. A háló tulajdonság miatt alkalmas
sorozatra
E (H (σ k ) | Fτ ) % X (τ ) . Ezt az éppen belátott sorban alkalmazva, a monoton konvergencia tétel miatt:
Z
Z E (H (σ k ) | Fτ ) ≤ lim
X (τ ) dP = lim A
k→∞
Z n→∞
A
X (τ n ) dP, A
ami éppen a kívánt egyenl®tlenség másik iránya.
2 A lemma szerint, ha veszük a
t 7→ X (t)
leképezést, akkor olyan integrálható logikai
szupermartingált kapunk, amelyeknek a várható érték függvénye jobbról reguláris. Ilyenkor
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
az idézett tétel miatt van a
t 7→ X (t)-nek
323
b X
olyan
verziója, amelyik jobbról reguláris,
vagyis amelyik szupermartingál. A reguláris verzió létezése azt jelenti, hogy minden az
X (t)
és az
b (t) X
majdnem mindenhol megegyeznek.
t-re
Sajnos ez azonban nem jelenti
b (ρ) és az X (ρ) is majdnem mindenhol megegyezik. Vegyük feltétlenül azt, hogy az X b (ρ) az X b folyamat megállítását jelenti, az X (ρ) pedig a korábban de niált észre, hogy az X változót.
6.13 Állítás. A szenvedések befejezéseként mutassuk meg, hogy tetsz®leges
τ
megállási id® esetén
b (τ ) m.m. X =
X (τ ). A bizonyítást több lemmára bontjuk.
6.14 Lemma. Ha
b X
τ n & τ , akkor minden A ∈ Fτ Z Z b (τ n ) dP = b (τ ) dP. lim X X
egy nem negatív szupermartingál és
n→∞
Bizonyítás:
Legyen
Így tetsz®leges
A
A
τ n & τ . A megállási opciókról szóló tétel alapján b (τ n ) | Fτ ≤ E X b (τ m ) | Fτ ≤ X b (τ ) . E X
A ∈ Fτ
esetén az
R
b (τ n ) dP X A
Z
m > n,
akkor
sorozat monoton n® és
b (τ n ) dP ≤ X
b (τ ) dP. X
A
A
b X
A fordított egyenl®tlenség indoklása a következ®: Az felhasználva, hogy
ha
Z
lim
n→∞
esetén
jobbról való folytonossága miatt,
τn & τ b (τ n ) = X b (τ ) . lim X
n→∞
Így a Fatou-lemma miatt, felhasználva, hogy a
Z A
X ≥ 0,
miatt
Z b (τ n ) dP ≥ X
lim
n→∞
H≥0
így
b ≥0 X
Z b (τ n ) dP = lim X
A n→∞
b (τ ) dP. X A
Következésképpen a két egyenl®tlenséget összevetve
Z lim
n→∞
Z b (τ n ) dP = X
A
b (τ ) dP. X A
2
6.15 Lemma. Tetsz®leges
n-re
a
τn
τ
megállási id®höz létezik olyan
τn & τ
sorozat, amelyek
véges számú elemb®l álló értékkészlet¶ megállási id®.
τn ≥ τ
és minden
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
324
A lemma bizonyítása közismert, így az olvasóra bízzuk.
6.16 Lemma.P Ha
τ=
ti χAi
Bizonyítás:
X (τ ) =
alakú, akkor
Legyen
ρ
P
X (ti ) χAi .
tetsz®leges megállási id®,
ρ (ω) ∞
ρA (ω) $ A ∈ Fρ
egy megállási id® ugyanis az
A ∈ Fρ .
A
ω∈A ω∈ /A
ha ha
miatt
{ρA ≤ t} = {ρ ≤ t} ∩ A ∈ Ft . Ha
ρ ∈ ∆τ ,
akkor mivel
H (∞) $ 0 X X H (ρ) = H ρ Ai = H ρAi χAi . i
Másrészt akár hogyan veszünk a
ti ρ $
P
(ρi )Ai ∈ ∆τ
ρi
i
megállási id®ket, amelyekre
és megfordítva nyilván minden
ρ ∈ ∆τ
ρi
az
Ai -n
nem kisebb mint
el®állítható így.
X (τ ) $ ess sup E (H (ρ) | Fτ ) = ρ∈∆τ
! =
X
ess sup E ρ∈∆τ
=
ess sup
=
X
=
X
ρ∈∆τ
H ρAi | Fτ
=
i
X
E H ρAi χAi | Fτ =
i
ess sup E H ρAi χAi | Fτ Ai = ρ∈∆τ
i
X (τ Ai ) =
X
i
X (ti ) χAi .
i
2
Az állítás bizonyítása:
A már belátott
Z X (τ n ) dP =
lim
n→∞
Z
A
egyenl®ség alapján, felhasználva, hogy a b (τ n ) m.m. megszámlálható, ezért X = X (τ n )
Z
(τ n )
sorozat tagjainak értékkészlete legfeljebb
Z X (τ ) dP = lim
n→∞
A
X (τ ) A ∈ Fτ
b (τ ) X
X (τ ) dP A
Z X (τ n ) dP = lim
n→∞
A
Mivel az
és az
minden
esetén teljesül, ezért
Z b (τ n ) dP = X
A
b (τ ) dP. X A
Fτ -mérhet®ek, valamint mivel b (τ ) . majdnem mindenhol X (τ ) = X
integrálható és
az egyenl®ség
2
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
325
6.17 De níció. b X
Az
folyamatot a továbbiakban egyszer¶en
X -szel
fogjuk jelölni, és a
H
folyamat Snell-
burkolójának fogjuk mondani.
6.18 De níció. Az mondjuk, hogy valamely
Y
az
Y
folyamat dominálja a
Z
trajektóriái minden id®pontban nem kisebb mint a
folyamatot, ha egy valószín¶séggel
Z
megfelel® trajektóriája.
6.19 Tétel. (Snell-burkoló létezése) A megadott feltételek mellett a Snell-burkoló létezik és a Snell-burkoló a legkisebb szupermartingál, amely dominálja a
Bizonyítás:
H
ki zetést.
Ha a folyamatok trajektóriái jobbról folytonosak, akkor a domináláshoz
elegend®, hogy egy megszámlálható az id®tengelyen s¶r¶ halmaz minden pontjában az
Y (t) ≥ Z (t)
egyenl®tlenség teljesüljön majdnem mindenhol. Ugyanis ha egyesítjük a ki-
vételes kimenetelek halmazát, akkor a s¶r¶ halmaz megszámlálhatósága miatt a kivételes pontok egyesített halmaza is csak nulla mérték¶.
Y (t) ≥ Z (t)
A nem kivételes pontok mindegyikére
a s¶r¶ halmaz minden pontjára. A jobbról való folytonosság miatt az egyen-
X (t) ≥ H (t) majdnem mindenhol. X dominálja a H ki zetést. Legyen Y egy másik szupermartingál, amely dominálja a H ki zetést, és legyen t tetsz®leges. A megállási opciókról szóló tétel miatt ha τ ∈ ∆t , akkor
l®tlenség az összes id®pontra kiterjeszthet®. Triviálisan Mivel mind a két folyamat jobbról folytonos, ezért az
E (H (τ ) | Ft ) ≤ E (Y (τ ) | Ft ) ≤ Y (t) . Az
X
de níciója alapján majdnem mindenhol
X (t) = ess sup E (H (τ ) | Ft ) ≤ Y (t) . τ ∈∆t
2 Érdemes hangsúlyozni, az állítás igazolásához a H -ról a jobbról regularitást, a nem g ∗ végességét használtuk ki. Ez utóbbira azért volt szükség, ugyanis
negativitást, illetve a
csak integrálható logikai szupermartingálokhoz tudunk, reguláris verziót készíteni. A logikai szubmartingálok vesztik a várható értéket, így a folyamat integrálható, ha a
t=0
pontban integrálható, ami a jelen helyzetben pontosan azt jelenti, hogy a feladat optimális megoldása véges.
6.1.3.
Az optimalitási kritérium
Térjünk rá az optimalitás kritériumának igazolására.
6.20 Tétel. (Optimalitási kritérium) Valamely 1.
τ∗ < ∞
megállási id® optimalitásának szükséges és elegend® feltétele, hogy
H (τ ∗ ) = X (τ ∗ )
majdnem mindenhol,
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
2. az
Xτ
∗
Bizonyítás: kritériumok.
326
megállított folyamat (egyenletesen integrálható) martingál. Az egyik irány indoklása egyszer¶. Tegyük fel, hogy teljesülnek a megadott ∗ ∗ X τ martingál. Vegyük észre, hogy az X τ rendelkezik a ∞ id®pontra
Az
való kiterjesztéssel. Ennek oka, hogy mivel a modell feltételei szerint a
H
rendelkezik egy
integrálható majoránssal, ezért az integrálható majoránsból álló konstans sorozat a majoráló szupermartingál, így mivel az
H -t
X
a minimális domináló szupermartingál, ezért τ∗ az H -t majoráló változó az X -nek is majoránsa, tehát az X nem pusztán martingál, Felhasználva, hogy az F0 csak a nulla és τ∗ egy valószín¶ség¶ halmazokat tartalmazza valamint hogy az X egyenletesen integrálható hanem egyenletesen integrálható martingál. martingál
∗ E (H (τ ∗ )) = E (X (τ ∗ )) = E X τ (∞) = ∗ = E X τ (0) = E (X (0)) = = E (X (0) | F0 ) = X (0) = g ∗ , τ ∗ optimális. Vegyük észre, hogy kihasználtuk, ∗ E (X (τ )) = E X τ (∞) egyenl®ségben a végtelen távoli vagyis a ∗
5
hogy
τ ∗ < ∞.
Ugyanis az
pontra való kiterjesztést az
egyenlet két oldalán két különböz® módon értjük . ∗ Megfordítva, tegyük fel, hogy a τ optimális. Az optimális megoldás minden olyan részhalmazon optimális, amelynek megengedett eleme, így a
E ess supH (ρ) | Fσ $ E (X (τ ) | Fσ ) = ess sup E (H (ρ) | Fσ ) . ρ∈∆τ
ρ∈∆τ egyenl®ség alapján a
σ = 0, τ = τ ∗
szereposztással
E (H (τ )) = sup E (H (ρ)) = E ess sup H (ρ) = ρ∈∆τ ∗ ρ∈∆τ ∗ = E E ess sup H (ρ) | Fτ ∗ = ρ∈∆τ ∗ = E ess sup E (H (ρ) | Fτ ∗ ) $ E (X (τ ∗ )) . ∗
ρ∈∆τ ∗ Ugyanakkor
H (τ ∗ ) ≤ X (τ ∗ ) ,
így az
1.
teljesül. Másrészt tetsz®leges
σ
korlátos megállási
id®re a már említett részhalmazon való optimalitás miatt
E (H (τ ∗ )) =
sup E (H (τ )) = E (X (τ ∗ ∧ σ)) = ∗ = E X τ (σ) . τ ∈∆τ ∗ ∧σ
5 Gondoljunk csak a már bemutatott a két feltétel teljesül, de mégsem lesz a
H (t) $ t/ (1 + t) példára. H (∞) = X (∞) = 0 τ = ∞ optimális megállítási id®.
de nícióval élve
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
Így az
Xτ
∗
327
folyamat, adaptált és jobbról reguláris, és korlátos megállási id®k esetén a meg∗ X τ martingál.
állított változó várható értéke független a korlátos megállítási id®t®l, így az
2 Az optimalitási kritérium fontos következménye, hogy amennyiben a feladatnak van
∗
τ <∞
optimális megoldása, akkor az
{X = H}
halmaz
τ ∗ $ inf {t | X (t) = H (t)} találati ideje majdnem minden kimenetelre véges, ugyanis az els® kritériumból nyilvánva τ∗ τ∗ ∗ τ , ezért az X τ ∗ szintén martingál, így a τ ∗ találati lóan τ ∗ ≤ τ < ∞. Mivel X ∗ = X id® egyúttal optimális megállítás is. Ebb®l következ®en ha van optimális megoldás, akkor a
τ∗
a legkisebb optimális megoldás. A további er®feszítések célja annak igazolása, hogy
{H = X} halmaz τ ∗ találati ideje véges, akkor a H és az X jobbról való folytonossága miatt H (τ ∗ ) = X (τ ∗ ). τ A τ ∗ optimailtásához csak azt kell megmutatni, hogy az X ∗ martingál. Ennek közvetlen ha a
τ∗
találati id® véges, akkor van optimális megállítás. Ha a
igazolása nem is olyan egyszer¶ és miként látni fogjuk egy kerül®utat kell választanuk.
6.1.4.
Az optimális megállítási id® létezése
El®ször nézzünk még egy példát.
6.21 Példa. Nem létezik optimális megállítás. Felvethet®, hogy miért van szükség ellenpéldára, ugyanis egyet már láttunk. Természetesen azért, mert a korábbi ellenpélda nem volt teljesen fair, abban az értelemben, hogy er®sen arra játszott rá, hogy a
t = ∞
id®pontban a megállított változót mindenképpen
nullának de niáljuk. Tekintsük a
t 1 H (t) $ exp w (t) − + 2 t+1 folyamatot. Az
t M (t) $ exp w (t) − 2 exponenciális martingál. Az
M
exponenciális martingál kanonikus példája a nem egyen-
letesen integrálható martingálnak.
t → ∞,
akkor
M (t) → 0.
Az
τn % ∞
M
azért nem egyenletesen integrálható, mert ha
Ez azért igaz, mert az
határértéke a végtelenben, de mivel a alkalmas
w
M
egy nem negatív martingál, így van
bármilyen id®pont után visszatér az origóba, ezért
sorozatra
τn M (τ n ) = exp w (τ n ) − = 2 τ n = exp − → 0. 2
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
328
M az M (∞) $ 0 de nícóval kiterjeszthet® a t = ∞ id®pontra. [0, ∞] id®szakon folytonos szupermartingál lesz. Természetesen a H (∞) $ 0 de nícióval a H is folytonosan kiterjeszthet® a t = ∞ id®pontra. Nyilván M ≥ H , tehát a H Snell-burkolója nem lehet nagyobb mint az M . A konstrukció szerint
Ebb®l következ®en az Ekkor az
M
a
ess sup E (H (τ ) | Ft ) ≥ ess sup E (H (s) | Ft ) = s≥t τ ∈∆t 1 = M (t) sup exp − = M (t) . s+1 s≥t
X (t) =
∗ Ebb®l következ®en az M éppen a H Snell-burkolója. Világos, hogy az egyetlen olyan τ , ∗ ∗ ∗ ∗ amelyre H (τ ) = M (τ ) a τ = ∞. Ilyenkor azonban a H (τ ) $ 0, amely érték nem lehet τ∗ optimális. Vegyük észre, hogy az M megállított folyamat nem martingál a [0, ∞] halmazon. Csak szupermartingál, így a második kritérium nem teljesül! Vegyük azt is észre, hogy determinisztikus id®transzformációval a példát áttranszformálhatjuk véges id®horizontra. Hangsúlyozni kell, hogy a kor az
M
H
folyamat nem rendelkezik integrálható majoránssal, mert ak-
M egyenletesen integrálható [0, ∞] halmazra. 2
is rendelkezne integrálható majoránssal, és akkor az
lenne, tehát folytonos martingálként kiterjeszthet® lenne a
6.22 De níció. Tetsz®leges
0<λ<1
skalár és tetsz®leges
σ
megállási id® esetén
τ λ (σ) $ inf {t > σ | λX (t) ≤ H (t)} , τ ∗ (σ) $ lim τ λ (σ) . λ%1
6.23 Tétel. folytonos és létezik a H -nak integrálható majoránsa, és a ∗ akkor a τ optimális megállítási id®. Ha a
H
Bizonyítás:
Mivel az
X
τ ∗ $ limλ%1 τ λ (0)
véges,
jobbról reguláris, ezért a
τ λ (0) $ inf {t > 0 | λX (t) ≤ H (t)} megállási id®. A
vagyis a
τλ
a
λ
λn % 1, akkor {τ ∗ ≤ t} = ∩n τ λn ≤ t ∈ Ft ,
növekv® függvénye. Ha
τ ∗ megállási id®.
(Megállási id®k növeked® sorozatának határértéke megállási id®.)
Kérdés persze, hogy optimális-e? A
H
és az
X
jobbról való folytonossága miatt triviálisan
λX τ λ (σ) ≤ H τ λ (σ) . (Ha
τ λ (σ)
(6.2)
valamely kimenetelre végtelen, akkor mind a két oldal értéke de níció szerint
nulla.) Az optimális megállítás létezésének igazolása a következ® egyenl®ségen múlik:
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
329
6.24 Lemma. A de nícióban megadott feltételek teljesülése esetén
m.m. X (σ) = E X τ λ (σ) | Fσ .
(6.3)
Miel®tt a lemmát belátnánk mutassuk meg, hogy a lemmában szerepl® egyenl®ségb®l ∗ ∗ folytonos H esetén következik a τ $ τ (0) optimalitása. A jobbról folytonosság miatti korábban említett (6.2) egyenl®tlenség alapján, felhasználva, hogy a
H
rendelkezik integ-
rálható majoránssal, ezért ha λ % 1, akkor a határérték és a feltételes várható érték képzése λ felcserélhet®. (Mivel a τ (0) a λ-ban triviálisan n®, ezért a következ® számolásban a H balról való folytonosságára van szükség.)
X (0) = lim X (0) = lim E X τ λ (0) | F0 = lim E X τ λ (0) ≤ λ%1 λ%1 λ%1 1 λ λ λ ≤ lim E H τ (0) = E lim H τ (0) = E H lim τ (0) $ E (H (τ ∗ (0))) . λ%1 λ λ%1 λ%1 Másoldalról triviálisan
τ ∗ (0) ∈ ∆0 ,
ugyanis
τ ∗ (0) ≥ τ λ (0) ≥ 0.
Ezért a Snell-burkoló
de níciója miatt
X (0) ≥ E (H (τ ∗ (0)) | F0 ) , amit az el®z® becsléssel összevetve
X (0) = E (H (τ ∗ (0)) | Fσ ) . Következésképpen a
τ ∗ (0)
valóban optimális megállítás.
2
A lemma bizonyítása:
Térjünk rá a lemmában szerepl® (6.3) egyenl®ség indoklására. A
bizonyítást több lépésre bontjuk.
τ λ (σ) ≥ σ . Az X nem negatív így a megállási szupermartingál, λ opciókról szóló tétel miatt X (σ) ≥ E X τ (σ) | Fσ , így csak az ellenkez® irányú X (σ) ≤ E X τ λ (σ) | Fσ egyenl®tlenséget kell igazolni. Tekintsük az Y (t) $ E X τ λ (t) | Ft , Y (σ) $ E X τ λ (σ) | Fσ 1.
Triviálisan
változókat. Mivel az
X (σ) ≤ E X τ λ (σ) | Fσ $ Y (σ) egyenl®tlenséget kell igazolni, ezért elegend® mutatni, hogy az
Y
is tekinthet® szupermart-
ingálnak, az Y (σ) is származtatható a megállási opciókból szóló tételb®l, illetve hogy X (t) ≤ Y (t) . λ 2. Ha s < t, akkor az s ≤ τ (s) miatt a torony szabály többszöri alkalmazásával, kihasználva, hogy az X szupermartingál a megállási opciókról szóló tétel miatt E (Y (t) | Fs ) $ E E X τ λ (t) | Ft | Fs = E X τ λ (t) | Fs = = E E X τ λ (t) | Fτ λ (s) | Fs ≤ E X τ λ (s) | Fs $ Y (s) .
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
Következésképpen az
Y -nak
egy integrálható logikai szupermartingál.
Megmutatjuk, hogy az
van jobbról reguláris verziója. Ehhez a már idézett tétel miatt meg kell mutatni,
hogy az 3.
Y
330
E (Y (t))
függvény jobbról folytonos. λ Alább megmutatjuk, hogy a τ (t) jobbról folytonos.
Ez, és az
X
jobbról való
folytonossága miatt a Fatou-lemma felhasználásával
lim E (Y (s)) $ lim E E X τ λ (s) | Fs = lim E X τ λ (s) ≥ s&t s&t s&t ≥ E lim inf X τ λ (s) = E X τ λ (t) $ E (Y (t)) . s&t
A logikai szupermartingál tulajdonság miatt az
E (Y (t))
nem növeked®, így
E (Y (t)) ≤ lim E (Y (s)) ≤ E (Y (t)) , s&t
Y szupermartingál módosítását Yb . λ 4. Miként igértük, megmutatjuk, hogy a t 7→ τ (t) folyamat trajektóriái minden kimenetelre valóban jobbról folytonosak. Világos, hogy ha s1 > s2 , és
vagyis az
E (Y (t))
jobbról folytonos. Jelölje az
Si $ {t > si | λX (t) ≤ H (t)} , S1 ⊆ S2 .következésképpen τ λ (s1 ) ≥ τ λ (s2 ) , sn & s, akkor van olyan (tn ) sorozat, amelyre
akkor
így a
τλ
trajektóriái növeked®ek. Ha
{tn > sn | λX (tn ) ≤ H (tn )} és
tn − τ λ (sn ) < 2−n . A
tn > sn > s
és a konstrukció miatt feltehet®, hogy
tn & t∗ $ lim τ λ (sn ) . n→∞
λ Tegyük fel, hogy a τ nem jobbról folytonos. A trajektóriák növekedése miatt ilyenkor λ ∗ τ (s) < t . Triviálisan s ≤ τ λ (s) , így s < t∗ . Az X és a H jobbról való folytonossága és ∗ ∗ λ ∗ a λX (tn ) ≤ H (tn ) miatt λX (t ) ≤ H (t ) . A τ (s) < t csak akkor lehetséges, ha van ∗∗ ∗ 6 olyan s < t < t , amelyre ∗∗ ∗∗
λX (t ) ≤ H (t ) .
De ekkor mivel
sn & s,
elég nagy
n-re
az
sn < t∗∗
is teljesül, tehát a
τ λ (sn )
de níciója
miatt
τ λ (sn ) ≤ t∗∗ < t∗ $ lim τ λ (sn ) , n→∞
6 Itt kihasználtuk a τ λ (σ) de níciójában megjelen® szigorú egyenl®tlenséget. Általában, ha egy monoton függvény inverze a konstans szakaszok miatt lehet jobbról vagy balról folytonos attól függ®en, hogy konstans szakaszokon melyik végpontot vesszük gyelembe.
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
331
ami lehetetlen. 5.
Megmutatjuk, hogy tetsz®leges
σ
megállási id® esetén is
m.m. Y (σ) = Yb (σ) .
Ennek
indoklása igen hasonló a korábban a Snell-burkoló konstruálása során bemutatottal. Most is tekintsünk egy megszámlálható értékkészlet¶ megállási id®kb®l álló sorozatot, amelyre
σ n & σ.
Az
Yb
szupermartingál, így
Z
Z
lim
Yb (σ n ) dP =
n%∞
Yb (σ) dP.
A
A
Ez az egyenl®ség minden nem negatív szupermartingál esetén érvényes, és miként láttuk, els®sorban arra épül, hogy a szupermartingálok jobbról folytonosak. analóg egyenl®séget az
Y -ra.
El®ször is megjegyezzük, hogy ha
τ ≥ σ,
Nézzük, most az akkor
E (Y (τ ) | Fσ ) ≤ Y (σ) , Ezt azonos módon kell belátni, mint ahogyan az analóg egyenl®tlenséget igazoltuk x
Y (σ) formailag kielégíti a megállási opciókról szóló A ∈ Fσ . Miként szintén már láttuk, a szupermartingál egyenl®tlenség miatt Z Z Z Y (σ n ) dP = E (Y (σ n ) | Fσ ) dP ≤ Y (σ) dP.
id®pontok esetén a 2. pontban. Így az tételt. Legyen
A
A
A
Következésképpen
Z
Z Y (σ n ) dP ≤
lim sup n→∞ Eddig a jelen bizonyítás és az
X
Y (σ) dP.
A
A
Snell-burkoló esetén tárgyalt bizonyítás szó szerint meg-
egyezik. Ett®l a lépést®l azonban a két bizonyítás már más. Miként megjegyeztük, a gond
Y
értelemszer¶en abból ered, hogy az
nem feltétlenül jobbról folytonos. (Hát persze, ez volt
az eredeti probléma, ezért kellett áttérni a reguláris verzióra!) Most azonban a bizonyítás jóval egyszer¶bb, ugyanis az
Y
a speciális konstrukció miatt majdnem jobbról folytonos, λ ugyanis az Y de níciójában szerepl® X τ folyamat jobbról folytonos. λ λ A Fatou-lemma miatt, valamint felhasználva, hogy τ (σ n ) & τ (σ) és hogy az X jobbról folytonos
Z Y (σ n ) dP $
lim inf n→∞
Z
A
lim inf n→∞
E X τ λ (σ n ) | Fσn dP =
ZA
lim inf E X τ λ (σ n ) | Fσ dP ≥ n→∞ A Z λ ≥ E lim inf X τ (σ n ) | Fσ dP = n→∞ ZA Z λ = E X τ (σ) | Fσ $ Y (σ) dP. =
A
A
Így a már belátott iránnyal összevetve
Z lim
n→∞
Z Y (σ n ) dP =
A
Y (σ) dP. A
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
332
Ett®l a lépést®l kezdve a két bizonyítás újra azonos. A
σn
megszámlálható értékkészlet¶,
így
Z
Z Yb (σ n ) dP =
A
Y (σ n ) dP, A
következésképpen a két oldalon határértéket véve
Z
Z Yb (σ) dP = A Mivel ez minden
A ∈ Fσ
esetén teljesül és a két oldalon az integrandusok
és integrálhatóak, ezért
A továbbiakban a
Yb
Y (σ) dP. A
Fσ -mérhet®ek
m.m. Yb (σ) = Y (σ) .
helyett az egyszer¶bb
Y
jelölést használjuk.
6. Meg kell mutatni, hogy X ≤ Y. Tekintsük a Z $ λX + (1 − λ) Y folyamatot. Mivel 0 < λ < 1 a folyamat szupermartingálok konvex kombinációja így szupermartingál. Az X ≤ Y igazolásához meg kell mutatni, hogy Z ≥ H, ugyanis mivel X a legkisebb majoráló szupermartingál, ezért
λX + (1 − λ) Y $ Z ≥ X amib®l az X λ Ha τ (t)
≤ Y evidens. > t, akkor a τ λ (t)
de níciója miatt a
λX (t) ≤ H (t)
nem teljesül, így
Z (t) $ λX (t) + (1 − λ) Y (t) ≥ λX (t) ≥ H (t) . Hátra van még a
τ λ (t) = t
eset.
χ τ λ (t) = t Z (t) $ $ χ τ λ (t) = t (λX (t) + (1 − λ) Y (t)) $ $ χ τ λ (t) = t λX (t) + (1 − λ) χ τ λ (t) = t E X τ λ (t) | Ft = = χ τ λ (t) = t λX (t) + (1 − λ) E χ τ λ (t) = t X τ λ (t) | Ft = = χ τ λ (t) = t λX (t) + (1 − λ) E χ τ λ (t) = t X (t) | Ft = = χ τ λ (t) = t λX (t) + (1 − λ) χ τ λ (t) = t E (X (t) | Ft ) = = χ τ λ (t) = t (λX (t) + (1 − λ) E (X (t) | Ft )) = = χ τ λ (t) = t (λX (t) + (1 − λ) X (t)) = = χ τ λ (t) = t X (t) ≥ χ τ λ (t) = t H (t) . Vagyis a
Z
valóban olyan szupermartingál, amely majorálja a
de níciója miatt
Z ≥ X,
így
Y ≥X
H -t,
így a Snell-burkoló
következésképpen majdnem mindenhol
X (σ) ≤ Y (σ) = E X τ λ (σ) | Fσ . Ezt az els® pontban kapott egyenl®tlenséggel összevetve éppen az igazolandó egyenl®séget kapjuk.
2
6.1. AZ OPTIMÁLIS MEGÁLLÍTÁS PROBLÉMÁJA
6.1.5.
333
Az optimális megállási id® és a találati id®
6.25 Tétel. Tegyük fel, hogy a hogy a {H τ ∗ éppen a
H
folytonos és rendelkezik integrálható majoránssal. Tegyük fel továbbá, ∗ halmaz találati ideje véges. Ilyenkor az imént bevezetett τ is véges és a
= X} {H = X}
halmaz találati ideje, vagyis majdnem mindenhol
τ ∗ = inf {t ≥ 0 | H (t) = X (t)} . Következésképpen a
Bizonyítás:
{H = X}
halmaz találati ideje optimális megállítás.
τ ∗ < ∞ a {H = X} halmaz kezd®idejét. Vegyük észre, hogy ha τ ∗ > 0, akkor van olyan t ≥ τ ∗ > 0, amelyre a {H (t) = X (t)}. H (t) ≥ λX (t) és H (0) 6= X (0), így az olyan kimenetelekre, amelyekre
Jelölje
valamely kimenetelre Minden ilyen
t-re
τ∗ > 0 τ λ (0) $ inf {t > 0 | λX (t) ≤ H (t)} ≤ ≤ inf {t > 0 | X (t) = H (t)} = τ ∗ . Következésképpen ilyenkor
τ ∗ $ lim τ λ (0) ≤ τ ∗ . λ%1
{τ ∗ = 0}kimeneteleket. Az X és a H jobbról való folytonossága miatt a X (0) = H (0). Ha valamely kimenetelre X (0) = H (0) > 0, akkor a jobbról való folytonosság miatt minden λ < 1-re H (t) ≥ λX (t) minden elegend®en kicsi λ ∗ ∗ pozitv t-re, így ilyenkor τ (0) = 0, következésképpen τ = 0, vagyis ilyenkor τ ∗ = τ . Ha valamely kimenetelre X (0) = H (0) = 0, akkor a megállási opciókról szóló tétel szerint tetsz®leges t-re Z E (χ (X (0) = 0) X (t)) = X (t) dP ≤ {X(0)=0} Z ≤ X (0) dP = 0, Vizsgáljuk meg a
{τ ∗ = 0}
halmazon
{X(0)=0} m.m.
tehát ilyenkor az {X λ m.m. = 0, vagyis így τ
(0) = 0} halmazon X (t) = 0 vagyis triviálisan λX (t) = 0 ≤ H (t) , m.m. τ ∗ = 0. Ebb®l következ®en majdnem mindenhol τ ∗ ≤ τ ∗ . Így a τ ∗ ∗ feltételezett végessége miatt a τ egy véges megállási id®. Következésképpen az el®z® állítás ∗ ∗ ∗ miatt a τ optimális. Ebb®l következ®en az optimalitási kritérium miatt H (τ ) = X (τ ) , ∗ vagyis a τ ∗ ≤ τ is teljesül. 2
6.26 Példa. Vizsgáljuk meg a
H (t) = t/ (1 + t)
Könnyen látható, hogy most
τ ∗ = +∞, λ/ (1 − λ) ,
folyamatot.
X (t) = 1.
amely nem optimális megoldás. ∗ így τ = ∞.
A
{H = X} halmaz üres, így a találati ideje 0 < λ < 1 és λ = t/ (1 + t) ,akkor t =
Ha
2
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
6.2.
334
Homogén Itô-diúziók és az er®s Markov-tulajdonság
A továbbiakban ismét áttekintjük az optimális megállítás problémáját, de az absztrakt nyelvezet helyett a modell fogalmait némiképpen speci káljuk. 1. A problémát Itô-diúziókra tárgyaljuk. 2. A
H (t)
ki zetés
g (X (t))
alakú, ahol
X
egy Itô-diúzió,
g
pedig folytonos függvény.
6.27 De níció. Homogén Itô-diúzión sztochasztikus folyamatot olyan családját értünk, amely kielégíti a
dXts,x = b (Xts,x ) dt + σ (Xts,x ) dwt t ≥ s, X s,x (s) = x sztochasztikus dierenciálegyenletet, ahol
b : Rn → Rn
és
σ : Rn → Rn×m .
Feltesszük
továbbá, hogy a modellben szerepl® paraméterek elég jók vagyis teljesítik azokat a feltételeket, amelyek biztosítják, hogy az egyenlet gyenge megoldása minden
(s, x)
pár esetén
létezik és egyértelm¶. Filtráción a
(w1 , w2 , . . . , wm ) Wiener-folyamatok által generált kiterjesztett ltrációt érjük. Az Itô-diúziók a dinamikus rendszerek fogalmának általánosításai. Minden
x
kezdeti
X a megoldás által de niált sztoX (s, x, t, ω) négyváltozós függvény. A felírásból ugyancsak látható, hogy az X értékkészletének dimenziója n, és a modellben szerepl® független Wiener-folyamatok száma m. Tetsz®leges s és x valamint t esetén az X (s, x, t) egy valószín¶ségi változó. Az X x jelölésen az s = 0 id®ponthoz tartozó, az x feltétel esetén más és más folyamatot kapunk. Jelölje chasztikus dinamikus rendszert. Az
X
valójában egy
kezdeti pontból elindított megoldást értjük. Az Itô-diúziókat a továbbiakban a kanonikus x reprezentációban fogjuk tekinteni. Az x pontból elindított folyamat eloszlását jelölje P . Emlékeztetünk az er®s Markov-tulajdonságra:
6.28 Tétel. Φ
C ([0, ∞))
téren értelmezett nem negatív Borel-mérhet® függvény és legyen τ x tetsz®leges véges megállási id®. Ekkor minden x-re a P mérték szerint majdnem mindenhol
Legyen
a
E x Φ (θτ X) | Fτ0 = E x (Φ (θτ X) | X (τ )) = E X(τ ) (Φ (X)) . A a
Φ,
Φ
mérhet®sége kapcsán valójában nem a Borel-mérhet®ség a lényeg, hanem az, hogy 0 hasonlóan a F ltráció generálásához, a koordináta-függvények által generált σ -
algebrára nézve mérhet®. A
C ([0, ∞))
speciális tulajdonságai miatt ez egybeesik a Borel-
mérhet®séggel. A kés®bbiek szempontjából dönt® a következ® példa:
6.29 Példa. Nyílt halmazokból való kilépés id®pontjában felvett érték Borel-mérhet®sége.
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
Legyen
G ⊆ Rn
335
egy tetsz®leges nyílt halmaz és tekintsük a
τ G $ inf {t | X (t) ∈ / G} = inf {t | X (t) ∈ Gc } véletlen id®pontot. A
τ G éppen a Gc zárt halmaz találati ideje.
Érdemes hangsúlyozni, hogy
tetsz®leges Borel-mérhet® halmazokból való kilépési id®k, vagyis a Borel-mérhet® halmazok találati idejei csak a szokásos feltételek teljesülése esetén lesznek biztosan megállási id®k. Ahhoz, hogy megállási id®k kapjunk a ltrációt teljessé kell tenni.
A teljessé tett
σ-
algebra szerint mérhet® függvényekre az er®s Markov-tulajdonságot azonban nem igazoltuk.
R
Ha
egy zárt halmaz,
X
folytonos trajektóriájú, adaptált folyamat, akkor a
R
találati
ideje a ltrációra tett minden további feltétel megkövetelése nélkül is megállási id®. A n kilépés helyét megadó X (τ G ) ∈ R megállított változó, mint minden megállított változó, n mérhet®, vagyis a folytonos függvények Ω $ C ([0, ∞)) terén Borel-mérhet®. Ha ϕ : R → R
Φ (X (ω)) $ ϕ (X (τ G )) módon de niált lehetséges trajektóriák Ω $ C ([0, ∞)) terén. 2
egy tetsz®leges Borel-mérhet® függvény, akkor a funkcionál szintén Borel-mérhet® függvény a
A kés®bb bevezetett elnevezések motiválása céljából röviden emlékeztetünk a harmonikus függvényekre. Megmutatható a következ®:
6.30 Állítás. Egy
f
függvény pontosan akkor harmonikus egy
G
nyílt halmazon, vagyis pontosan akkor
∆f (x) = 0, x ∈ G, ha
Z 1 f (y) dλ∂R (y) f (x) = λ∂R (∂R) ∂R minden R ⊆ G gömb esetén, ahol λ∂R jelöli a R gömb felszinén értelmezett felszínmértéket.
Bizonyítás:
Az egyik irány, nevezetesen, hogy ha az
tulajdonság, az Itô-formula miatt triviális:
f
harmonikus, akkor teljesül az átlag
Elegend® a formulát a gömb®l való kilépés
id®pontjára alkalmazni és a formulában szerepl® két tag várható értékét kiszámolni.
A
másik irány valamivel bonyolultabb és az indoklást elhagyjuk.
2
6.31 Példa. Wiener-folyamat nyílt halmazból való kilépése és a harmonikus függvények.
w egy n dimenziós Wiener-folyamat és legyen G ⊆ Rn egy nyílt halmaz és legyen ϕ a G halmaz ∂G határán értelmezett, korlátos, hasznossági függvény. Legyen τ G x a korábban de niált kilépési id®pont és f (x) $ E (ϕ (w (τ G ))) , vagyis f (x) legyen az x id®pontból elindított Wiener-folyamat kilépéskor való átlagos ϕ-értéke. Legyen R (x, r) ⊆ G és S $ {kyk = r} a R (x, r) felszíne. Mivel a w Wiener-folyamat forgatásinvariáns, ezért a w (τ S ) változó Legyen
µ (C) $ P x (w (τ S ) ∈ C) = E x (χC (w (τ S ))) ,
C ∈ R (S)
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
336
eloszlása is forgatásinvariáns. Könnyen megmutatható, hogy a gömbfelszínen a forgatásinvariáns valószín¶ségi mérték egyértelm¶, és bármely azonos szögtartomány azonos. hogy
S -be,
w
A
µ
tekinthet® az
G-b®l
a
S
gömbfelszínen való egyenletes eloszlásnak.
kilépjen ki kell el®bb lépnie a
R (x, r)-b®l
µ
mértéke
Mivel ahhoz,
is, vagyis bele kell metszenie az
ezért az er®s Markov-tulajdonság és a transzformált valószín¶ségi változók várható
értékének képlete miatt
f (x) $ E x (ϕ (w (τ G ))) $ E x (Φ (w)) = E x (Φ (θτ S w)) = w(τ S ) x x x = E (E (Φ (θτ S w) | Fτ S )) = E E (Φ (w)) = Z w(τ S ) x x f (y) dµ (y) . = E E (ϕ (w (τ G ))) $ E (f (w (τ S ))) = S Következésképpen az
f
függvény harmonikus.
2
6.2.1. Legyen
Az optimális megállítás problémája Itô-diúziókra X
egy homogén Itô-diúzió és legyen
g : Rn → R+ .
Az optimális megállítás
feladata a
g ∗ (x) $ sup E x (g (X) (τ )) = sup E (g (X x ) (τ )) = sup E (g (X x ) (τ ) χ (τ < ∞)) τ
τ
τ
érték meghatározása. Vegyük észre, hogy a feladat szempontjából elvileg nem közömbös, hogy a kanonikus megfogalmazásban, vagy az eredeti megfogalmazásban írjuk-e fel a feladatot, ugyanis a két különböz® megfogalmazásban semmi sem biztosítja a megállási id®k halmazának kölcsönös megfeleltethet®ségét. Az optimális megállási id®k halmaza tartalmazza bizonyos halmazokból való els® kilépések id®pontját. A kilépések id®pontjai csak a trajektóriáktól függnek, így az optimum szempontjából mind a két megfogalmazás esetén
ω kimenetelre τ (ω) = ∞. g (X) (τ ) ki zetés értékét az ω
rendelkezésre állnak. A feladatban el®fordulhat, hogy valamely Ilyenkor a megállított változó de níciójával összhangban a kimenetel esetén nullának de niáljuk.
6.2.2.
Szuperharmonikus függvények
6.32 De níció. Emlékeztetünk, hogy de níció szerint egy ha tetsz®leges
xk → x
f
függvényt alulról félig folytonosnak mondunk,
sorozatra
lim inf f (xk ) ≥ f (x) . k→∞
Ez a de níció ekvivalens avval, hogy tetsz®leges illetve az
{f ≤ λ}
halmaz zárt.
λ
szint esetén az
{f > λ}
halmaz nyílt,
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
337
6.33 De níció.
f : Rn → [0, ∞] Borel-mérhet® függvényt x és tetsz®leges τ megállási id® esetén
Valamely leges
szuperközepesnek mondunk, ha tetsz®-
f (x) ≥ E x (f (X (τ ))) = E (f (X x (τ ))) . Az alulról félig folytonos és szuperközepes függvényeket szuperharmonikusnak mondjuk. Természetesen a szuperközepesség és így a szuperharmonikus tulajdonság az alapul vett
X
diúzió szerint értend®. A de nícióból világos, hogy a szuperközepesség a konkáv függvényeknek, a szuperhar-
monikusság az alulról félig folytonos konkáv függvények általánosításának felel meg. Ha
(fα ) alulról félig folytonos {f ≤ λ} = ∩α {fα ≤ λ} . A
és
f $ sup fα ,
akkor az
f
is alulról félig folytonos ugyanis
szuperharmonikusság megadott de níciójában nem túl szeren-
csés, hogy az egyenl®tlenségnek minden
τ
megállási id® esetén teljesülni kell.
A feltétel
teljesülésének ellen®rizhet®sége nem t¶nik egyszer¶nek. Éppen ezt próbálja megkerülni a következ® de níció:
6.34 De níció. Az alulról félig folytonos minden
s≥0
f : Rn → [0, ∞]
függvényt excesszívnek, vagy túlzó mondjuk, ha
id®pont esetén
f (x) = E x (f (X (0))) ≥ E x (f (X (s))) .
6.35 Állítás. Ha
X
egy Itô-diúzió, akkor valamely
f : Rn → [0, ∞]
pontosan akkor túlzó, ha szuperhar-
monikus.
Bizonyítás:
Az egyik irány, nevezetesen hogy minden szuperharmonikus függvény túlzó,
triviális. Mivel mind a két fogalom de níciójában szerepel az alulról félig folytonosság, a fordított irány bizonyításához elegend® belátni, hogy az
f
szuperközepes. Ennek igazolását
több lemmára bontjuk.
6.36 Lemma. A következ® tulajdonságok teljesülnek: 1. Ha
α ,β ≥ 0
és az
f
és a
g
szuperharmonikus, akkor az
αf + βg
is szuperharmonikus.
Hasonló tulajdonság teljesül a szuperközepes és a túlzó függvényekre.
(fγ ) szuperközepes függvények egy halmaza és az f (x) $ inf γ fγ (x) Borel-mérhet®, akkor az f szuperközepes. Ha az függvény alulról félig folytonos, akkor ez a szuperharmonikus és a túlzó függvényekre is teljesül. Speciálisan az f említett tulajdonságait megöröklik az f ∧ n függvények.
2. Ha
3. Ha
0 ≤ fn % f
és mindegyik
fn
szuperharmonikus, akkor az
f
is szuperharmonikus.
Hasonló tulajdonság érvényes a szuperközepes és a túlzó függvényekre.
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
A lemma bizonyítása:
338
Az egyes tulajdonságok indoklása a következ®:
1. Az els® tulajdonság bizonyítása nyilvánvaló. 2. A szuperközepesség de níciója szerint tetsz®leges id® esetén, feltéve, hogy az
f
γ
indexre és minden
τ
megállási
Borel-mérhet® és így az utolsó várható érték értelmes
fγ (x) ≥ E x (fγ (X (τ ))) ≥ E x (f (X (τ ))) . A
γ
szerint in mumot véve az állítás evidens módon következik.
3. Ha az
(fn )
függvények szuperközepesek, akkor a monoton konvergencia tétel miatt
lim fn (x) ≥ lim E x (fn (X (τ ))) = n→∞ = E x lim fn (X (τ )) $ E x (f (X (τ ))) ,
f (x) $
n→∞
n→∞
vagyis az
supn fn
f
szuperközepes. Ha az
(fn )
függvények alulról félig folytonosak, akkor az
f =
is alulról félig folytonos, így a szuperharmonikusság is meg®rz®dik.
2
Mivel a konstans függvények túlzóak és szuperharmonikusak, ezért a lemmában szerepl® tulajdonságok alapján az állítás bizonyítása során feltehet®, hogy az
6.37 Lemma. Ha az
f
túlzó, akkor minden
x
esetén az
Ex
mérték mellett az
f (X)
f
korlátos.
olyan logikai szuper-
martingál, amelynek van szupermartingál módosítása.
A lemma bizonyítása:
A Markov-tulajdonság és a túlzó függvények de níciója miatt
E x (f (X (t + h)) | Ft ) = E X(t) (f (X (h))) ≤ f (X (t)) , vagyis az
f (X)
logikai szupermartingál. Mivel az
f
korlátos, ezért az x ható. Az ekvivalens módosítás létezéséhez elég megmutatni, hogy az E
f (X (t)) integrál(f (X (t))) jobbról
folytonos. Érdemes emlékeztetni, hogy a ltráció a Wiener-folyamat által generált ltráció, amely nem jobbról folytonos, így a szokásos feltételek nem teljesülnek. Ha azonban a ltrációt kiegészítjük a nullmérték¶ halmazokkal, akkor a szokásos feltételek teljesülni fognak, és akkor az ekvivalens módosítás erejéig a módosítás meghatározható. A logikai x szupermartingál tulajdonság miatt az E (f (X (s))) nem növekszik, tehát ha s > t, akkor E x (f (X (s))) ≤ E x (f (X (t))) . Az f alulról való félig folytonossága az X jobbról való folytonossága és a Fatou-lemma miatt
E (f (X (t))) ≥ lim E (f (X (s))) ≥ E lim inf f (X (s)) ≥ E x (f (X (t))) , x
x
s&t
amib®l az
E x (f (X (s)))
x
s&t
jobbról folytonossága már adódik.
2
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
A tétel bizonyítására visszatérve jelölje
fb(X)
339
a második lemmában szerepl® szuper-
martingál módosítást. Ekkor a szupermartingál tulajdonság miatt tetsz®leges id®re
E
x
τ
megállási
x b b f (X (τ )) ≤ E f (X (0)) = E x (f (X (0))) = f (x) .
Az egyetlen gond csak az, hogy az egyenl®tlenségben az
fb(X) és nem az f (X) szerepel.
Ezt
ismételten a véges értékkészlet¶ megállási id®kkel való közelítéssel fogjuk orvosolni. Legyen
τn & τ
τn
és
véges értékkészlet¶. Az
X
folytonossága és az
f
alulról félig folytonossága
miatt, felhasználva a Fatou-lemmát
E x (f (X (τ ))) = E x f X lim τ n = E x f lim X (τ n ) ≤ n→∞ n→∞ x x x b ≤ E lim inf f (X (τ n )) ≤ lim inf E (f (X (τ n ))) = lim inf E f (X (τ n )) ≤ f (x) n→∞
vagyis az
f
n→∞
n→∞
szuperközepes, amib®l a tétel már evidens.
2
6.38 Következmény. Legyen
X
egy Itô-diúzió. A következ® állítások teljesülnek:
f szuperharmonikus és σ ≤ τ E (f (X (σ))) ≥ E x (f (X (τ ))) .
1. Ha x
tetsz®leges megállási id®k, akkor tetsz®leges
f szuperharmonikus függvény, és G legyen τ G $ inf {t | X (t) ∈ / G} a G-ból való els® E (f (X (τ G ))), akkor az fe szuperközepes.
2. Legyen lölje x
Bizonyítás:
x-re
egy tetsz®leges nyílt halmaz. Jekilépés id®pontját.
Ha
fe(x) $
A már elmondottak alapján az indoklás egyszer¶:
1. Az el®z® tétel bizonyítása során használt második lemma miatt a t
7→ f (X (t))
rendelkezik olyan nem negatív szupermartingál módosítással, amelyet az egyenl®tlenség igazolásához alkalmazhatunk. Az egyenl®tlenség a megállási opciókról szóló tétel közvetlen folyománya. 2. Legyen
τ
tetsz®leges megállási id®. Vegyük észre, hogy
fe(X (τ )) $ fe(x) |x=X(τ ) $ E x (f (X (τ G ))) |x=X(τ ) = E X(τ ) (f (X (τ G ))) . ω 7→ Φ (ω) $ f (X (τ G (ω) , ω)) függvény a következ®t jelenti: Adott ω esetén megnézzük, hogy hol hagyja el a G nyílt halmazt az X (ω) trajektória, majd ebben a kilépési ponban kiértékeljük az f függvényt. Miként láttuk az így kapott Φ : C ([0, ∞)) → [0, ∞] függvény Borel-mérhet®. Az fe(X (τ )) = E X(τ ) (Φ (X)) valószín¶ségi változó az x er®s Markov-tulajdonság alapján a P mérték szerint majdnem mindenhol megegyezik az E x (Φ (θτ X) | Fτ ) változóval. Tekintsük a E x fe(X (τ )) $ E x E X(τ ) (f (X (τ G ))) = E x (E x (Φ (θτ X) | Fτ )) = E x (Φ (θτ X)) Az
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
340
várható értéket. Az utolsó képlet szerint a trajektóriákat el kell tolni a
τ
id®pontba, majd
az eltolt trajektóriák esetén meg kell keresni az els® kilépési pontot és ott alkalmazni kell az
f
függvényt. Legyen
ρ $ inf {t ≥ τ | X (t) ∈ / G} ≥ τ G $ inf {t ≥ 0 | X (t) ∈ / G} . Nyilván
így az
Φ (θτ X) = f (X (ρ)). Az els® pont alapján x e E f (X (τ )) = E x (f (X (ρ))) ≤ E x (f (X (τ G ))) = fe(x) ,
fe szuperközepes.
6.2.3.
2
Szuperharmonikus burkoló és az értékfüggvény
A konvex analízisben fontos szerepet játszik a konvex burkoló fogalma. Hasonló szerepet játszik a szupeharmonikus burkoló.
6.39 De níció. Legyen
h
tetsz®leges az
Rn
téren értelmezett függvény.
f függvény a h függvény egy szuperközepes majoránsa, ha az f ≥ h. A h összes szuperközepes majoránsának in mumát a h burkolójának mondjuk. A h szuperközepes burkolóját h módon fogjuk
1. Azt mondjuk, hogy az
f
szuperközepes és
szuperközepes jelölni. 2. Hasonlóan a
b h
jelöli a
h
legkisebb szuperharmonikus majoránsát, vagy másképpen
szuperharmonikus burkolóját. De níció szerint a lamint minden olyan
g
b h
b h ≥ h, vag ≥ h teljesül a b h≤g
szuperharmonikus és
szuperharmonikus függvényre, amelyre
egyenl®tlenség.
gb = g = g ∗ egyenl®ség igazolása folytonos legyen f a g egy szuperközepes majoránsa. Ha
Az alább következ® gondolatmenet célja a
g ≥ 0 függvények esetén. Legyen g ≥ 0 és τ egy tetsz®leges megállási id®, akkor az f
szuperközepessége szerint
f (x) ≥ E x (f (X (τ ))) ≥ E x (g (X (τ ))) , így
f (x) ≥ sup E x (g (X (τ ))) $ g ∗ (x) . τ
Mivel az egyenl®ség minden
f
szuperközepes majoráns esetén teljesül, ezért az in mumukra
is teljesül, ezért
g (x) $ inf f (x) ≥ g ∗ (x) . f
(6.4)
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
A de níció kapcsán érdemes hangsúlyozni, hogy a
b h
341
szuperharmonikus burkoló esetén fel-
b h szuperharmonikus. A h szuperközepes burkoló esetén azonban nem biztos, h szuperközepes. Ha a h Borel-mérhet®, akkor persze szuperközepes7 és egyetlen
tettük, hogy a hogy a
szuperközepes majoráló függvénynél sem nagyobb. A szuperközepes burkoló mindig létezik, bár esetleg nem lesz mérhet®. A szuperharmonikus burkoló létezését a szuperközepes burkoló segítségével fogjuk igazolni. Gyakran fogunk hivatkozni a következ®re:
6.40 Lemma. Ha
gn % g ,
akkor
gbn % gb,
feltéve, hogy a burkolók léteznek.
Bizonyítás:
Legyen h $ limn→∞ g bn . A h szuperharmonikus. Mivel gn ≤ g ezért triviálisan gbn ≤ gb, következésképpen h $ limn→∞ gbn ≤ gb. Másrészt azonban gn ≤ gbn ≤ h, így n szerint határértéket véve g ≤ h. Mivel g b a legkisebb szuperharmonikus majoráns, ezért gb ≤ h. Ebb®l következ®en h = g b. 2
6.41 Lemma. Ha
g
gb = g . | 0 ≤ k ≤ 4n .
folytonos, korlátos, nem negatív függvény, akkor
Sn $ k2−n
Legyen továbbá
De niáljuk a
g0 $ g gn+1 (x) $ max E x (gn (X (t))) t∈Sn
iterációt. Ilyenkor
Bizonyítás: folytonos.
gn % gb.
Els® lépésben indukcióval megmutatjuk, hogy a
Tetsz®leges
látni, hogy minden
t
n-re
a
gn
függvények mindegyike
gn véges számú függvény maximuma, így elegend® bex → 7 E x (gn (X (t))) függvények mindegyike folytonos. tetsz®leges r ≥ 0 folytonos, korlátos függvény esetén az
esetén az
Ehhez elég megmutatni, hogy u (x) $ E x (r (X (t))) függvény folytonos.
Miként a sztochasztikus dierenciálegyenletek 2 tárgyalásakor jeleztük a kezdeti érték függvényében a megoldás L (Ω)-ban folytonos. Ebx 2 x b®l következ®en ha xn → x, akkor L (Ω)-ban X n (t) → X (t). Részsorozatra áttérve a konvergencia majdnem mindenhol is teljesül. kihasználva, hogy az
r
A majorált konvergencia tétel alapján
folytonos
u (x) $ E x (r (X (t))) = E (r (X x (t))) = E =
lim E (r (X
n→∞
xn
(t))) $ lim u (xn ) .
Mivel ez tetsz®leges sorozatra igaz, ezért az
7 V.ö.: 6.36. lemma, 337. oldal.
n→∞
u
folytonos.
lim r (X xn (t)) =
n→∞
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
(gn )
Nyilvánvalóan a
sorozat n®, ugyanis mivel
0 ∈ Sn
342
ezért
gn+1 (x) $ max E x (gn (X (t))) ≥ E x (gn (X (0))) = gn (x) . t∈Sn
(gn )
Jelölje a
sorozat határértékét
g∞ .
g∞ szuperharmonikus. gn folytonos és a konvergencia monoton folytonos. Ha t ∈ ∪k Sk , akkor alkalmas n-re
Meg kell mutatni, hogy a
Ehhez elegend® belátni, hogy túlzó. Mivel az összes
g∞ = sup gn t ∈ Sn ⊆ Sn+1 ⊆ . . . , amib®l
növeked® ezért a
alulról félig
g∞ (x) ≥ gn+1 (x) ≥ E x (gn (X (t))) . Ebb®l ha
t ∈ ∪k Sk
tetsz®leges, akkor
x
g∞ (x) ≥ lim E (gn (X (t))) = E
x
n→∞
t tetsz®leges. Az Sk halmazok tk → t. Az imént belátott
Legyen most amelyre
lim gn (X (t)) = E x (g∞ (X (t))) .
n→∞
konstrukciója alapján van olyan
(tk ) ⊆ ∪k Sk ,
g∞ (x) ≥ E x (g∞ (X (tk ))) egyenl®tlenség, a Fatou-lemma és a
g∞
alulról félig folytonosága alapján
g∞ (x) ≥ lim inf E x (g∞ (X (tk ))) ≥ E x lim inf g∞ (X (tk )) ≥ E x (g∞ (X (t))) . k→∞
Következésképpen a
g
k→∞
g∞
túlzó, így szuperharmonikus. Mivel
egy szuperharmonikus majoránsa. Ha
akkor
f ≥ g $ g0
f
a
g
g $ g0 ≤ g∞ ,
ezért a
g∞
a
egy tetsz®leges szuperközepes majoránsa,
és indukcióval
f (x) ≥ sup E x (f (X (t))) ≥ sup E x (gn (X (t))) $ gn+1 (x) , t∈Sn
t∈Sn így
f ≥ g∞ .
Ebb®l következ®en
g ≥ g∞ ≥ gb ≥ g
így
g∞ = gb = g .
2
6.42 Következmény.
g folytonos, nem negatív, korlátos függvény és h0 $ g és hn+1 (x) $ supt≥0 E x (hn (X (t))) , akkor hn % g b. Ha
Bizonyítás:
Mivel
hn+1 (x) ≥ E x (hn (X (0))) = E x (hn (x)) = hn (x) , (hn ) sorozat n®. Legyen hn % h∞ . Mivel hn ≥ gn , ezért világos, hogy h∞ ≥ limn→∞ gn = gb. A gb túlzó, így a gb ≥ g $ h0 összefüggésb®l kiindulva, indukcióval ezért a
gb (x) ≥ sup E x (b g (X (t))) ≥ sup E x (hn (X (t))) $ hn+1 (x) , t≥0
következésképpen
gb ≥ h∞ ,
t≥0
így
gb = h∞ .
2
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
343
6.43 Következmény. g
Ha
folytonos, nem negatív függvény, akkor
Bizonyítás:
gn $ g ∧ n.
gb = g.
gb = limn→∞ gbn = limn→∞ g n . Ha f a g egy szuperközepes majoránsa, akkor f ≥ g ≥ gn , következésképpen f ≥ g n , így inf f $ g ≥ limn→∞ g n . Ugyanakkor mivel a gbn alulról félig folytonos, ezért Borel-mérhet®, így a g n is Borel-mérhet®, következésképpen a limn→∞ g n is az, így a limn→∞ g n egy szuperközepes függvény, amelyre limn→∞ g n ≥ limn→∞ gn = g, tehát g ≤ limn→∞ g n , tehát limn→∞ g n = g. Következésképpen g b = g. 2
6.44 Tétel. Jelölje
Legyen
Miként beláttuk
g∗
g<∞
az optimális megállítás problémájában szerepl® értékfüggvényt, és legyen ∗ folytonos ki zet® függvény szuperharmonikus burkolója. Ekkor g = g b.
Bizonyítás:
Tegyük fel, el®ször, hogy a
g
gb a 0 ≤
korlátos. Legyen
Dε $ {x | g (x) < gb (x) − ε} . és legyen
τ ε $ inf {t | X (t) ∈ / Dε } valamint legyen
geε (x) $ E x (b g (X (τ ε ))) $ E x (b g (X (τ ε )) χ (τ ε < ∞)) . A
g
geε
feltételezett korlátossága miatt a
és a
gb is
korlátos, így az alábbi számolásokban az
egyenl®tlenségekben a végtelen érték nem fordul el®. A
gb
alulról félig folytonos, a
miként láttuk, a
geε
g
folytonos, így a
szuperközepes.
Dε
halmaz nyílt. Ebb®l következ®en,
Megmutatjuk, hogy minden
Tegyük fel, hogy nem és legyen
x-re g (x) ≤ geε (x) + ε.
R $ sup (g (x) − geε (x)) > ε. x
A szuprémum de níciója miatt tetsz®leges
geε (x0 ) ≥ R − η. Ugyanakkor
η > 0
számhoz van olyan
x0 ,
hogy
g (x0 ) −
Vagyis
geε + R
geε (x0 ) + R ≤ g (x0 ) + η. a
g
egy szuperközepes majoránsa, ezért
gb ≤ geε + R,
amib®l
gb (x0 ) ≤ geε (x0 ) + R ≤ g (x0 ) + η. 1. Tegyük fel, hogy a tetsz®leges
P x0
szerint
τ ε > 0.
Ekkor, felhasználva, hogy a
t-re g (x0 ) + η ≥ gb (x0 ) ≥ E x0 (b g (X (t ∧ τ ε ))) ≥ x0 ≥ E (b g (X (t)) χ (t < τ ε )) ≥ x0 ≥ E ((g (X (t)) + ε) χ (t < τ ε ))
gb szuperközepes
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
344
t < τ ε , akkor X (t) ∈ Dε és ezért a Dε de níciója miatt g (X (t)) < gb (X (t))−ε. g és az X folytonossága szerint, illetve felhasználva, hogy τ ε > 0 x mindenhol a P 0 mérték szerint
ugyanis ha
A Fatou-lemma és a majdnem
lim inf E x0 ((g (X (t)) + ε) χ (t < τ ε )) ≥ t→0 ≥ E x0 lim inf (g (X (t)) + ε) χ (t < τ ε ) =
g (x0 ) + η ≥
t→0
= E x0 (g (X (0) + ε) χ (0 < τ ε )) = g (x0 ) + ε, ami lehetelen, ha
η < ε.
2. Tegyük fel, hogy a
P x0
τ ε = 0.
mérték szerint majdnem mindenhol
Ilyenkor
geε (x0 ) $ E x0 (b g (X (τ ε ))) = E x0 (b g (X (0))) = gb (x0 ) ≥ g (x0 ) , amib®l
geε (x0 ) ≥ g (x0 ) ≥ geε (x0 ) + R − η, ellenmondás, ha 3.
A
Dε
η < R.
halmaz nyílt.
Ennek következtében, ha
x0 ∈ Dεc ,
akkor
τ ε = 0,
ha pedig
x0 ∈ Dε , akkor az X folytonossága miatt τ ε > 0. Ebb®l következ®en tehát, miként állítottuk tetsz®leges x-re g (x) ≤ geε (x) + ε geε + ε a g egy szuperközepes majoránsa. A τ ε de níciója alapján, felhasználva, hogy valamely kimenetelre τ ε < ∞, akkor
így a
mivel a
g
és az
X
folytonos, ezért ha
X (τ ε ) ∈ Dεc = {x | gb (x) − g (x) ≤ ε} , vagyis
g (X (τ ε )) + ε ≥ gb (X (τ ε )) . Mivel a
gb a
legkisebb szuperközepes majoránsa ezért
gb (x) ≤ geε (x) + ε $ E x (b g (X (τ ε )) χ (τ ε < t)) + ε ≤ x ≤ E ((g + ε) (X (τ ε )) χ (τ ε < t)) + ε ≤ ≤ E x (g (X (τ ε ) χ (τ ε < t))) + 2ε ≤ g ∗ (x) + 2ε. Mivel az
ε
tetsz®leges, ezért
séggel összevetve korlátos
g
gb ≤ g ∗ .
Ezt a korábban belátott (6.4)
esetén
gb = g ≥ g ∗
egyenl®tlen-
gb = g ∗ . g nem korlátos, akkor legyen gN $ N ∧g . Jelölje gbN a gN szuperharmonikus majoráng ∗ ≥ (gN )∗ = gbN % gb = g. Vagyis g ∗ ≥ gb. Mivel a fordított irány a már említett (6.4) ∗ miatt mindig teljesül a g = g b egyenl®ség tetsz®leges folytonos g ≥ 0 esetén teljesül. 2
Ha a sát. sor
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
345
6.45 Következmény. ε > 0 és legyen Dε $ {x | g (x) < gb (x) − ε}. Ha a g korlátos τ ε $ inf {t | X (t) ∈ / Dε } a Dε halmazból való els® kilépés id®pontja, akkor Legyen
és folytonos és tetsz®leges
|g ∗ (x) − Ex (g (X (τ ε )))| ≤ 2ε.
Bizonyítás:
x-re (6.5)
Emlékeztetünk, hogy valamely kimenetelre de níció szerint a megállított
változó értéke nulla, ha a megállási id® értéke végtelen. Ezt a konvenciót felhasználva a már belátott
gb (x) ≤ E x (g (X (τ ε ))) + 2ε egyenl®tlenség alapján
g ∗ (x) − 2ε = gb (x) − 2ε ≤ E x (g (X (τ ε ))) ≤ g ∗ (x) , amib®l az összefüggés nyilvánvaló.
2
6.2.4.
A kilépési id® mint legkisebb optimális megállítás
6.46 Tétel. Tegyük fel, hogy a
g
folytonos és tegyük fel, hogy létezik
τ∗ < ∞
optimális megállási id®.
Ha
C $ {x | g (x) < g ∗ (x)} , jelöli az úgynevezett folytatási tartományt, akkor a
τ C $ inf {t | X (t) ∈ / C} = inf {t | g (X (t)) = g ∗ (X (t))} megállási id® optimális, vagyis
g ∗ (x) = E x (X (τ C ))
valamint
pont esetén az els® optimális megállási id®, vagyis ha ∗ kimenetelre τ ≥ τ C .
Bizonyítás:
Legyen
x∈C
x ∈ C,
τC
(6.6)
minden x ∈ C kezd®P x majdnem minden
akkor
P x (τ < τ C ) > X (τ ) ∈ C, vagyis ilyenkor g (X (τ )) < megállási id®, ezért minden y-ra g (y) =
és tegyük fel, hogy valamely
τ
megállási id®re
0. Ha valamely kimenetelre τ < τ C , akkor az g ∗ (X (τ )). Mivel nyilván a τ = 0 egy lehetséges E y (g (X (0))) ≤ g ∗ (y) , következésképpen Z Z x x E (g (X (τ ))) = g (X (τ )) dP + g (X (τ )) dP x < {τ <τ C } {τ ≥τ } Z Z C < g ∗ (X (τ )) dP x + g ∗ (X (τ )) dP x = {τ <τ C } x ∗
{τ ≥τ C } ∗
= E (g (X (τ ))) ≤ g (x) , ugyanis a Így ha a
τ
g ∗ = gb
szuperközép tulajdonságú. Ebb®l következ®en a
optimális, akkor
τ ≥ τ C.
τ
nem lehet optimális.
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
346
∗ Tegyük fel, hogy létezik τ < ∞ optimális megoldás. Tegyük fel el®ször, hogy x ∈ C . ∗ Ilyenkor, ha τ a feltétel szerint létez® optimális megállási id®, akkor az imént belátott ∗ x egyenl®tlenség miatt τ ≥ τ C majdnem mindenhol a P szerint. Így mivel a g b szuperha-
monikus, ezért a megállási opciók miatt csökkenti a várható értéket. Kihasználva, hogy ∗ a g = g b alulról félig folytonosság miatt a Dc zárt, ezért g (X (τ C )) = g ∗ (X (τ C )) , ahol kihasználtuk, hogy
τ C < ∞.
g ∗ (x) = E x (g (X (τ ∗ ))) ≤ E x (b g (X (τ ∗ ))) ≤ E x (b g (X (τ C ))) = x ∗ = E (g (X (τ C ))) ≤ g (x) , így egyenl®ség van, tehát az
x∈ / C,
Tegyük fel, hogy
τC
is optimális. ∗ vagyis g (x) = g
(x) .
Ilyenkor triviálisan
τ C = 0,
így
g ∗ (x) = g (x) = E x (g (X (τ C ))) tehát a
τC
6.2.5.
optimális.
2
Az optimális megállítás létezése
6.47 De níció. Jelölje
C $ {x | g (x) < g ∗ (x)} az úgynevezett folytatási halmazt. Tetsz®leges
N
esetén legyen
gN $ g ∧ N, ∗ CN $ {x | gN (x) < gbN (x)} = {x | gN (x) < gN (x)} , valamint az egyszer¶bb jelölés céljából legyen
σ N $ τ CN
a
CN
halmazból való kilépés id®-
pontja.
6.48 Tétel. Tegyük fel, hogy a
g
célfüggvény folytonos.
1. Ekkor
CN ⊆ CN +1 , Ha
Px
majdnem mindenhol
CN ⊆ C ∩ {g < N } ,
σN < ∞
minden
N -re,
C = ∪N CN . akkor
g ∗ (x) = lim E x (g (X (σ N ))) . N →∞
2. Ha a
Px
szerint majdnem mindenhol
τ C $ inf {t | X (t) ∈ / C} < ∞
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
és a
(g (X (σ N )))
család egyenletesen integrálható a
Px
347
8 szerint , akkor
g ∗ (x) = E x (g (X (τ C ))) és így ilyenkor
Bizonyítás:
τC
a feladat egy optimális megoldása.
Az állítás igazolását több lépcs®ben végezhetjük el.
An % A∞ és jelölje τ n az An An halmazok nyíltak. Megmutatjuk, hogy τ n % τ ∞ . Mivel An ⊆ An+1 ⊆ A∞ , ezért τ n ≤ τ n+1 ≤ τ ∞ . Ha supn τ n < t0 < τ ∞ , akkor az X a t0 -ig már legalább egyszer kilépett mindegyik An -ból, de a [0, t0 ] szakaszon az X végig az A∞ $ ∪An halmazban van, vagyis X ([0, t0 ]) ∈ ∪n An . Az Ak halmazokból való kilépés miatt alkalmas (tk ) sorozatra X (tk ) ∈ / Ak , ahol tk % t∞ ≤ t0 . Mivel X (t∞ , ω) ∈ A∞ = ∪n An , ezért alkalmas n-re X (t∞ ) ∈ An . De akkor az An nyíltsága miatt X (tk ) ∈ An minden elég nagy k -ra, ami lehetetlen ugyanis ekkor X (tk ) ∈ An ⊆ Ak , minden elég nagy k -ra. Így valóban τ n % τ ∞ . 2. Tegyük fel el®ször, hogy a g korlátos. Ha ε & 0 és 1. Tekintsük a következ® általános megjegyzést: Legyen
halmazból való els® kilépés idejét. Tegyük fel, hogy az
Cε $ {x | g (x) < gb (x) − ε} , Cε % C, így az imént tett megjegyzés miatt τ ε $ τ Cε % τ C . Tegyük fel, hogy τ C < ∞. Mivel a g folytonos és korlátos a domináns konvergencia tétel miatt
akkor
lim E x (g (X (τ ε ))) = E x (g (X (τ C ))) .
ε&0 Így ha a
g
korlátos, akkor a már belátott (6.5) sor alapján.
|g ∗ (x) − E x ((g) (X (τ C )))| ≤ 3ε. Mivel ez tetsz®leges
ε
esetén teljesül, ezért
g ∗ (x) = E x (g (X (τ C ))) = E x (g (X (τ C ) χ (τ C < ∞))) . Vegyük észre, hogy egyúttal azt is igazoltuk, hogy ha a egy optimális megállási id®. Nyilvánvalóan ha a
g
g
korlátos és a
korlátos, akkor a
τ C véges, akkor a τ C (g (X (σ N ))) sorozat
egyenletesen korlátos, vagyis a belátott eredmény a második állítás speciális része. 3. Így a már a korlátosokra belátott rész szerint, felhasználva, hogy a feltétel szerint
σN < ∞
minden
N -re,
illetve a szuperharmonikus burkoló monotonitását
g ∗ (x) = gb (x) = lim gbN (x) = lim E x (gN (X (σ N ))) ≤ N →∞
≤
N →∞
8 Vegyük észre, hogy ez teljesül, ha a majoránsa.
N →∞
lim E x (g (X (σ N ))) ≤ g ∗ (x) , H (t) $ g (X (t))
folyamatnak létezik
t-t®l
független integrálható
6.2. HOMOGÉN ITÔ-DIFFÚZIÓK ÉS AZ ERS MARKOV-TULAJDONSÁG
348
vagyis az els® állítás második fele teljesül. 4. Vegyük észre, hogy mivel a konstansok szuperharmonikusok, ezért
gbN ≤ N,
így ha
x ∈ CN $ {x | gN (x) < gbN (x)} , akkor
gN (x) < N,
így ha
x ∈ CN ,
akkor
g (x) = gN (x) < gbN (x) ≤ gb (x) vagyis
x∈C
és
g (x) = gN (x) < gbN (x) ≤ N, következésképpen miként állítottuk
CN $ {x | gN (x) < gbN (x)} ⊆ C ∩ {g < N } . Ugyanakkor, ha
x ∈ CN
akkor
gN +1 (x) = gN (x) < gbN (x) ≤ gbN +1 (x) , CN ⊆ CN +1 . Ugyanakkor mivel a g véges, ezért nyilvánvaló olyan N, hogy g (x) = gN (x) , amib®l következ®en CN % C .
vagyis van
módon, ha
x ∈ C,
akkor
Így az els® állításban a
halmazokra vonatkozó összefüggéseket igazoltuk. 5. Az összes
(g (X (σ N )))
CN
halmaz nyílt, következésképpen
τ C = limN →∞ σ N .
Így ha
τC < ∞
és a
sorozat egyenletes integrálható, akkor a
0 ≤ gN (X (σ N )) ≤ g (X (σ N )) miatt a
(gN (X (σ N )))
is egyenletesen integrálható, így alább a határérték és az integrál
felcserélhet®.
g ∗ (x) = gb (x) = lim gbN (x) = lim E x (gN (X (σ N ))) = N →∞ N →∞ x = E lim gN (X (σ N )) = E x (g (X (τ C ))) . N →∞
2
6.49 Példa. Az amerikai put opció és a folytatási halmaz találati ideje. Ha az amerikai opciók árazásakor az Itô-diúziókra vonatkozó modellt akarjuk használni, akkor az alapul vett diúziónak az X (s) $ (s ∧ T, S g (s, x) = exp (−rs) (K − x)+ ki zet® függvényt kell választani.
∗
g (t, x) = sup E τ
(t,x)
(K − S (τ ))+ exp (τ )
.
(s ∧ T ))
folyamatot és a
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
ahol
E (t,x)
349
a
dS = (r − δ) Sds + σSdw, ds = 1, s (t) = t E (t,x)
egyenlet megoldásának eloszlása.
mérték alatt ha
nullmérték¶. Ebb®l következ®en minden nulla, vagyis egy valószín¶séggel
∗
g (t, x) = sup E
(t,x)
t≤τ
τ
S (t) = x
s < t, akkor az Fs minden halmaza {τ < t} halmaz mértéke
megállási id® esetén a
τ ≥ t.
(K − S (τ ))+ exp (τ )
= sup E
(t,x)
t≤τ ≤T
(K − S (τ ))+ exp (τ )
.
Az er®s Markov tulajdonság miatt ez utóbbi
sup E
(0,x)
τ ≤T −t
(K − S (τ ))+ exp (τ + t)
módon írható. Ez utóbbi kifejezés azonban éppen
τC
P (t, x) exp (−rt) .
Ebb®l
P (t, x) (K − S (t))+ $ inf {t | X (t) ∈ / C} = inf t | = = exp (rt) exp (t) = inf t | P (t, x) = (K − S (t))+
módon írható.
2
6.3.
Amerikai put opciók árazása és DoobMeyer dekompozíció
Folytonos id®horizonton az amerikai opciók árazása szinte szó szerint azonos módon történik mind a diszkrét esetben.
Szükségünk lesz a DoobMeyer dekompozíció folytonos
id®horizontra való általánosítására:
6.50 De níció. Valamely
X
folyamatot
D
osztályba es®nek mondunk, ha az
{X (τ ) | τ
véges megállási id®}
halmaz egyenletesen integrálható.
6.51 Tétel. (DoobMeyer) Ha az
X
egy
D
osztályba es® szubmartingál, akkor van olyan
zehet®, növeked® folyamat, hogy
X = M + A,
A0 = 0.
M
martingál és
A
el®rejele-
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
350
A DoobMeyer felbontás létezése a sztochasztikus analízis egyik legnehezebb tétele, így az általános esetben az igazolását elhagyjuk. Tekintsünk egy teljes és arbitrázsmentes piacot. Jelölje
Q a kockázatsemleges mértéket.
Tekintsünk egy amerikai put opciót. Tekintsük a
H$ diszkontált ki zetési folyamatot. növeked®, így a
A számláló korlátos.
[0, T ] szakaszon a H
H$ H
A nevez® folytonos, pozitív és
korlátos. Érdemes megjegyezni, hogy ha a call opciókat
tekintjük, akkor a
ki zetés nem lesz korlátos, de a
(K − S)+ R
(S − K)+ R
azért rendelkezik integrálható majoránssal. Az egysze-
r¶ség kedvéért a két feladarott egyidejüleg tárgyalva
H$
ψ (S) . R
Mivel az id®horizont is korlátos, ezért az optimális megállítás problémájának van véges ∗ optimális megállási ideje, amit jelöljön τ . A de níció alapján
ψ (S (τ ∗ )) = sup EQ R (τ ∗ ) τ ≤T Jelölje és
X
X a H Snell-burkolóját.
.
X
olyan szupermartingál, amelynek van
osztályba es® szupermartingál, így rendelkezik DoobMeyer
A ≥ 0, A (0) = 0 és az A növeked®. Tekintsük azt az európai követelést, amely diszkontált ki zetésére H T $ M (T ). (A H T nek nincsen köze a H -hoz.) A H ≥ 0 miatt X ≥ 0, így az A ≥ 0 miatt M = X + A ≥ 0. Így az európai opció ki zetése alulról korlátos. Az optimális megállítás problémáját a Q alatt de niáltuk, így az M a Q alatt lesz martingál, következésképpen a H T $ M (T ) integrálható a Q szerint. Emlékeztetünk, hogy ilyen feltételek mellett az európai opciónak ∗ ∗ van ára. Jelölje ezt x . Emlékeztetünk, hogy létezik az x árból kiinduló ön nanszírozó, ∗ korlátos portfolió, amely diszkontált értékfolyamatára egyrészt V T (x ) = H T $ M (T ), ∗ másrészt a replikáló V mindig martingál. Megmutatjuk, hogy az x éppen az amerikai felbontással:
X = M − A,
D
Mivel az id® szerint konstans folyamatok szupermartingálok
a legkisebb majoráló szupermartingál, így az
integrálható majoránsa, így
ψ (S (τ )) R (τ )
ahol az
M
martingál és
opció ára és ha
∗
p $ sup E τ ≤T
akkor
x∗ = p ∗ .
Q
ψ (S (τ )) R (τ )
= sup EQ (H (τ )) , τ ≤T
A diszkrét esetben már bemutatott módon számolva, a
tulajdonsága miatt
V t (x∗ ) = E V T (x∗ ) | Ft = E (M (T ) | Ft ) = M (t) .
V
martingál
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
A (0) = 0,
Mivel
351
ezért
x∗ = V0 (x∗ ) = V 0 (x∗ ) = M (0) = M (0) − A (0) = X (0) = p∗ . Továbbá, mivel
A≥0
Vt (x∗ ) = R (t) M (t) = R (t) (X (t) + A (t)) ≥ R (t) X (t) ≥ ψ (S (t)) ≥ R (t) H (t) $ R (t) = ψ (S (t)) . R (t) vagyis a
V (x∗ )
egy szuperreplikáló, ön nanszírozó portfolió. τ ∗ ≤ T optimális megállítás, amelyre
Ugyanakkor létezik
∗
∗
x =p =E
Q
ψ (S (τ ∗ )) R (τ ∗ )
.
Mivel a szuperreplikálás miatt
Vτ ∗ (x∗ ) ψ (S (τ ∗ )) ≥ R (τ ∗ ) R (τ ∗ ) ezért
Q
vagyis
majdnem mindenhol
Q
Vτ ∗ (x∗ ) ψ (S (τ ∗ )) = , R (τ ∗ ) R (τ ∗ )
majdnem mindenhol
Vτ ∗ (x∗ ) = ψ (S (τ ∗ )) . ekvivalens, ezért az egyenl®ség P majdnem mindenhol is teljesül. Ebb®l x∗ -ból kiindulva építhet® egy olyan ön nanszírozó, szuperreplikáló portfolió, ∗ ∗ amely egy alkalmas τ esetén egyenlegezhet®. Következésképpen az x éppen az amerikai
A
P
és a
Q
következ®en az opció ára.
X
Érdemes hangsúlyozni, hogy az
korlátossága nem implikálja az
M
M ≥ 0,
de az
X = M −A
felbontásból az
felülr®l való korlátosságát, így a replikáló portfolió
felülr®l való korlátosságát nem tudjuk garantálni.
6.3.1.
Amerikai call opciók árazása
Egy rövid megjegyzés erejéig térjünk rá az amerikai call opciókra. Tegyük fel, hogy nincs osztalék zetés.
Emlékeztetünk, hogy ez egy viszonylagosan szigorú megkötés, ugyanis
a devizaárfolyamok egyenlete az osztalék zet® részvényárfolyamokkal analóg folyamatot követ. Ilyenkor a
Q
alatt az
S
martingál, a
S−
K/R
csökken®, így az
K S−K = R R
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
352
szubmartingál, következésképpen a
H$
(S − K)+ , R
egy szubmartingál konvex növekv® függvénye, így szintén szubmartingál. A szubmartingálok növelik a várható értéket, így az optimális megállítás feladatának optimális megoldása ∗ ∗ ∗ a τ = T . Jelölje x az optimális megállítás feladatának értékét. Triviálisan az x éppen az európai call opció ára. Ugyancsak triviálisan
S (S − K)+ ≤ $ S. R R Q alatt az S majoráló martingál, így majoráló szupermartingál, vagyis a Q alatt X ≤ S. Az S martingál a véges id®horizont miatt egyenletesen integrálható martingál, így eleme a D osztálynak. Ebb®l következ®en az X rendelkezik DoobMeyer felbontással. Ett®l A
a lépést®l kezdve a már belátott módon indokolható, hogy az amerikai call ára éppen az optimális megállítás értéke, vagyis az európai és az amerikai call opciók értéke véges id®horizonton azonos. Vegyük észre, hogy ha van osztalék zetés, akkor az a
Q
S
nem martingál
alatt, így a gondolatmenet érvényét veszti. Ugyanakkor ilyenkor is érvényben marad
a put opciók kapcsán elmondott gondolatmenet. BlackScholes modell esetén az amerikai call opció értéke mindig visszavezethet® egy alkalmas amerikai put opció árazási problémájára.
6.52 Állítás. (R, S) folyamatok a BlackScholes modell szerint alakulnak. Ha C (t, x, K, r, δ) S (t) = x és δ osztalék zetés esetén érvényes amerikai call opció árát és P (t, x, K, r, δ)
Tegyük fel, hogy a jelöli az
a megfelel® put opció árát, akkor
C (t, x, K, r, δ) = P (t, K, x, δ, r) .
Bizonyítás: δ
osztalék zetési ráta esetén a
S (t) = S (0) exp
Q
mérték alatt
σ2 r−δ− 2
t + σw (t) .
t ≤ T id®pontban (S (τ ) − K)+ Q = C (t, x, K, r, δ) = sup E R (τ ) t≤τ ≤T + ! 2 σ r−δ− = sup EQ exp (−rτ ) x exp τ + σw (τ ) − K = 2 τ ≤T −t 2 + ! σ σ2 Q = sup E exp (−δτ ) exp − τ + σw (τ ) x − K exp δ−r+ τ − σw (τ ) . 2 2 τ ≤T −t A
T
id®pontban lejáró amerikai call opció ára a
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
Ha
353
2 dR σ $ exp − T + σw (T ) , dQ 2
akkor a
w b (t) = w (t) − σt
Wiener-folyamat az
R
alatt. Ebb®l felhasználva, hogy a
Wiener-folyamat
−w b
is
C (t, x, K, r, δ) = + ! 2 dR σ = sup EQ exp (−δτ ) EQ | Fτ x − K exp δ−r+ τ − σw (τ ) = dQ 2 τ ≤T −t !! + 2 dR σ τ − σw b (τ ) | Fτ = = sup EQ EQ exp (−δτ ) x − K exp δ−r− 2 dQ τ ≤T −t + ! 2 σ = sup ER exp (−δτ ) x − K exp δ−r− τ − σw b (τ ) = 2 τ ≤T −t
= P (t, K, x, δ, r) . 2
6.3.2.
Az amerikai put opció árazó függvényének tulajdonságai
Az amerikai put opció ára nem adható meg zárt formulával, ezért csak az árazó függvény kvalitatív vizsgálatára szoritkozhatunk. Rögzítsük a az
x
r
kamatlábat és a
δ
osztalék zetési rátát.
értékhez tartozó amerikai put opció árát a
felhasználva, hogy a
t
id®pontban még
T −t
T
A továbbiakban jelölje
t
K kötési árat, P (t, x) az S (t) =
lejárati id®pontot, a
9
id®pontban .
Az árazó képlet alapján,
id® van hátra
+
(K − x exp ((r − δ − σ 2 /2) τ + σw (τ ))) P (t, x) = sup EQ R (τ ) τ ≤T −t (K − S x (τ ))+ Q $ sup E . R (τ ) τ ≤T −t
! $
Vegyük észre, hogy a de nícióban implicite kihasználtuk a Wiener-folyamatok azon tulajdonságát, hogy ha
w (s)
w egy Wiener-folyamat, akkor tetsz®leges t esetén az w e (s) $ w (t + s)−
újraindított Wiener-folyamat szintén Wiener-folyamat. Miel®tt tovább megyünk ér-
demes tisztázni a
P (t, x)-hez
9 Az irodalomban gyakran a
tartozó
P (t, x)
X
Snell-burkoló alakját. A er®s Markov-tulajdonság
függvény másképpen van értelmezve.
lehívásig hátralev® id®t jelöli. Vagyis a mi jelölésünkben a a hátránya is, hogy ilyenkor a
T
T
T −t
Gyakran a
t
paraméter a
id®tartamot. Ennek el®nye, és egyben
paraméter nem szerepel a modellben. A
P (t, x)
ezen értelmezésekor a
szerepét a nulla id®pont veszi át és a függvény fordítva változik. Például az alább bevezetett
lehívási határ ilyenkor csökken® és nem pedig növeked® lesz.
S ∗ (t)
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
354
alapján
E
Q
(K − θs S (τ ))+ | Fs R (τ + s)
(K − θs S (τ ))+ = E | S (s) = R (τ + s) (K − S (τ ))+ S(s) = E . R (τ + s) Q
Ez felhasználva
(K − S (τ ))+ (K − S (τ ))+ Q | Fs = sup E | S (s) = X (s) = sup E R (τ ) R (τ ) s≤τ ≤T −t s≤τ ≤T −t (K − S (τ ))+ (K − S (τ + s))+ Q S(s) | S (s) = sup E = = sup E R (τ + s) R (τ + s) 0≤τ ≤T −(t+s) 0≤τ ≤T −(t+s) 1 (K − S (τ ))+ P (t + s, S (s)) S(s) = sup E = . R (s) 0≤τ ≤T −(t+s) R (τ ) R (s) Q
Ennek megfel®en az optimalitási kritérium szerinti
(K − S (τ ∗ ))+ P (t + τ ∗ , S (τ ∗ )) ∗ ∗ = X (τ ) = H (τ ) = R (τ ∗ ) R (τ ∗ ) feltétel az
P (t + τ ∗ , S (τ ∗ )) = (K − S (τ ∗ ))+ illetve ez els® optimális megállítás feltétele
τ ∗ = inf s | P (s + t, S (s)) = (K − S (s))+ ∧ (T − t) módon egyszer¶södik. Ha csak azokat a trajektóriákat nézzük, amelyekre x a relációt a P mérték szerint tekintjük, akkor az egyenl®ség
S (0) = x, vagyis
τ ∗ = inf s | P (t + s, S x (s)) = (K − S x (s))+ ∧ (T − t) alakot ölti, ahol mint mindig a majdnem mindenhol való egyez®ség helyébe közönséges egyenl®séget írtunk. Ebben a megfogalmazásban kihasználtuk, hogy a elindított
T −t
P (t, x)
de níció szerint az
x
pontból
hosszú id®szakra vonatkozó amerikai opció ára. Ezt azért tehettük meg, t,x
mert a modell stacionér, vagyis id®ben eltolható. Nem stacionér modell esetén az a
P
mérték alatt az optimalitási kritérium a
n + o τ ∗t = inf s ≥ t | P t + s, S t,x (s + t) = K − S t,x (s) ∧T alakba írható. Stacionér modell esetén a két megállási id® közötti kapcsolatot a összefüggés adja.
τ ∗ = τ ∗t − t
A modell tárgyalását nagyban legyszer¶síthetjük, ha kiküszöböljük a
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
feltételes valószín¶ségek használatát. A továbbiakban rögzítjük a az
x
S (t) $ x exp
Q
355
mértéket és
Sx
alatt
σ2 r − δ − t τ + σw (t) = S x (0) S 1 (t) 2
folyamatot fogjuk érteni.
6.53 Lemma. A
P (t, x) 1. A
fügvényre teljesülnek a következ®ek:
P (t, x)
függvény folytonos a
2. Tetsz®leges
t ∈ [0, T ]
3. Tetsz®leges
x≥0
4. Tetsz®leges
x ≥ 0
esetén a
esetén a esetén
[0, T ] × R+
P (t, x)
P (t, x)
halmazon.
konvex és nem növeked® az
nem növeked® a
P (T, x) = (x − K)+ .
t
x
változóban.
változóban.
Ha
t ∈ [0, T )
és
x ≥ 0, .akkor
P (t, x) > 0. 5. A
[0, T ] × R+
Bizonyítás:
halmazon
P (t, x) ≥ (K − x)+ .
A harmadik állítás nyilvánvaló ugyanis a
id®k halmaza csökken.
t növelésével a szóbajöhet® megállási
x növelésével a célfüggvény nem n®. Ugyanakkor x-ben konvex, és konvex függvények szuprémuma is következ®: Tegyük fel, hogy t1 ≤ t2 .
Hasonlóan az
a szuprémum mögött álló kifejezés konvex. A folytonosság igazolása a
|P (t2 , x2 ) − P (t1 , x1 )| ≤ |P (t2 , x2 ) − P (t2 , x1 )| + |P (t2 , x1 ) − P (t1 , x1 )| , ahol természetesen
P (t2 , x1 ) = sup E τ ≤T −t2 Az els® a
sup (f + g) ≤ sup f + sup g
Q
(K − Sτx1 )+ R (τ )
felhasználásával, felhasználva, hogy a szuprémum egy
közös halmazon van véve
|P (t2 , x2 ) − P (t2 , x1 )| = x2 + x1 + (K − S (K − S ) ) τ τ Q Q ≤ = sup E − sup E R (τ ) R (τ ) τ ≤T −t2 τ ≤T −t2 Q (K − Sτx2 )+ − (K − Sτx1 )+ ≤ ≤ sup E R (τ ) τ ≤T −t2 (K − Ssx2 )+ − (K − Ssx1 )+ Q . ≤E sup R (s) s≤T −t2
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
A másik tagban, felhasználva, hogy
356
t1 ≤ t2
|P (t2 , x1 ) − P (t1 , x1 )| = (K − Sτx1 )+ (K − Sτx1 )+ Q Q = sup E − sup E ≤ R (τ ) R (τ ) τ ≤T −t2 τ ≤T −t1 ! K − S x1 + (K − S x1 )+ T −t2 s ≤ EQ sup − . R (T − t ) R (s) T −t2 ≤s≤T −t1 2 Az
S t,x
folytonosságából és a várható érték mögötti függvény korlátosságából a
P
folyto-
nossága már következik.
x < K, akkor (K − x)+ > 0 t ≤ T esetén. Ha x ≥ K, akkor K x τ $ inf s | S (s) ≤ . 2
Az utolsó állítás indoklása a következ®: Ha
P (t, x) > 0
t < T,
Ha
evidens minden
τ ≤ T − t. Az K Q χ (τ ≤ T − t) P (t, x) ≥ E > 0, 2 R (τ )
akkor egy pozitív valószín¶ség¶ halmazon
és ilyenkor a
árazási képletb®l
vagyis a negyedik összefüggés teljesül. Vegyük észre, hogy mivel a + megállítás, ezért mindig P (t, x) ≥ (K − x) .
τ =0
egy lehetséges
2
6.54 De níció. Vezessük be a következ® jelöléseket:
(x, t) ∈ R+ × [0, T ) | (K − x)+ < P (t, x) , S $ (x, t) ∈ R+ × [0, T ) | (K − x)+ = P (t, x) . C $
A
C
halmaz neve folytatási régió, az
Vegyük észre, hogy az
S
és
C
S
halmaz neve megállási vagy esetenként lehívási régió.
halmazok de níció szerint nem tartalmazzák a
R+ × {T }
félegyenest.
6.55 Lemma. Ct $ {x | (t, x) ∈ C} halmaz egy pozitív ∗ számokból álló, felülr®l nem korlátos nyílt félegyenes. Ha St jelöli a félegyenes bal végpont∗ ∗ ját, akkor az St nem csökken®, jobbról folytonos függvénye a t-nek, és St < K . A
C
folytatási régió
Bizonyítás: P (t, x)-hez
x
szerinti metszete, vagyis a
Meg kell mutatni, hogy ha
x < y
tartozó egyik optimális megállítást.
A
és
τ
x ∈ Ct ,
akkor
y ∈ Ct .
Jelölje
τ
a
nyilván egy lehetséges megállítás a
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
P (t, y)-hoz
357
tartozó optimalizációs feladatban.
(K − S x (τ ))+ P (t, y) − P (t, x) = P (t, y) − E ≥ R (τ ) (K − S y (τ ))+ (K − S x (τ ))+ Q ≥E − = R (τ ) R (τ ) (K − S y (τ ))− (K − S x (τ ))− K − S y (τ ) K − S x (τ ) Q Q − +E − . =E R (τ ) R (τ ) R (τ ) R (τ ) Q
Mivel
y > x,
ezért
S y (τ ) > S x (τ )
és ezért ugyanez az egyenl®tlenség igaz a fenti egyen-
l®tlenségben szerepl® negatív részekre is, így az utolsó összegben a második tag nem lehet negatív, következésképpen
K − S y (τ ) K − S x (τ ) − = P (t, y) − P (t, x) ≥ E R (τ ) R (τ ) x 1 S (τ ) − S y (τ ) S (τ ) Q Q =E = (x − y) E ≥ x − y, R (τ ) R (τ ) Q
ugyanis az
S 1 /R
egy szupermartingál és
felhasználva, hogy
S 1 (0) = 1
és
x − y < 0.
Ebb®l következ®en,
x ∈ Ct
P (t, y) ≥ x − y + P (t, x) > x − y + (K − x)+ ≥ K − y. P (t, y) > 0, ezért P (t, y) > (K − y)+ , így y ∈ Ct . + Ha x = K , akkor (K − x) = 0, de P (t, x) > 0 ugyanis de níció szerint t < T, így K ∈ Ct . De Ct egy félegyenes és a P folytonossága miatt egy nyílt félegyenes, ezért St∗ < K . Evidens módon 0 ∈ / Ct , ugyanis a K = (K − 0)+ < P (t, 0) = K lehetetlen. Tetsz®leges ε > 0 esetén a P (t, x) id® szerinti csökkenése miatt + ∗ ∗ ∗ K − St+s +ε < P t + s, St+s + ε ≤ P t, St+s +ε , Mivel
∗ ∗ ∗ ∗ vagyis St+s +ε ∈ Ct , vagyis St ≤ St+s +ε. Mivel ez minden ε > 0 esetén érvényes, ezért St ≤ ∗ ∗ St+s . Tekintsünk egy tn → t sorozatot. A (tn , S (tn )) sorozat a C komplementerében van. ∗ Mivel a C nyílt, ezért az (S (tn )) minden torlódási pontja szintén a C komplementerében ∗ ∗ ∗ van, ezért S (t) ≥ lim supn→∞ S (tn ) , vagyis az S felülr®l félig folytonos. De mivel az ∗ ∗ ∗ ∗ S nem csökken, ezért S (t) ≤ S (t+) ≤ S (t) , vagyis az S ∗ jobbról folytonos.
2 A következ® gondolatmenet célja, hogy belássuk, hogy alkalmas
∗
S > 0.
6.56 Lemma. x≥0
valójában
St∗ ≥
Ehhez szükségünk lesz az úgynevezett végtelen lejárati id®vel rendelkez® put
opciókra.
Az
S ∗ -gal
tartományon tekintsük a
P (x) $ sup E τ <∞
Q
(K − S x (τ ))+ R (τ )
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
358
végtelen lejárattal rendelkez® put opciót. Ha
r−δ σ − , σ 2 √ 1 γ $ ν + ν 2 + 2r , σ S ∗ $ Kγ/ (1 + γ) , ν $
akkor
P (x) =
K −x ∗ γ (K − S ∗ ) Sx
ha ha
x ≤ S∗ . x > S∗
Miel®tt a lemmát belátnánk mutassuk meg, hogy érvényes a következ®:
6.57 Következmény. A lemmában szerepl®
Bizonyítás:
S∗ > 0
értékkel minden
t-re
teljesül az
St∗ ≥ S ∗ > 0
egyenl®tlenség .
Valóban, evidens módon
(K − S ∗ )+ ≤ P (t, S ∗ ) ≤ P (S ∗ ) = K − S ∗ = (K − S ∗ )+ , így
S∗ ∈ / Ct ,
vagyis
S ∗ ≤ St∗ .
A lemma bizonyítása:
2
A közönséges put opciókhoz hasonlóan
P (x) ≥ P (t, x) > 0. x∗ $ sup x | P (x) = (K − x)+ .
konvex, nem növeked® és ezért folytonos és
P (x) ≥ (K − x)+ ,
Legyen
Ha
τ x $ inf t | P (S x (t)) = (K − S x (t))+ , akkor a
τx
optimális és így
P (x) = E A
P (x)
Q
(K − S x (τ x ))+ χ (τ x < ∞) . R (τ x )
folytonossága miatt világos, hogy
τ x = inf {t | S x (t) ≤ x∗ } = ∗ σ2 x = inf t | r − δ − t + σw (t) ≤ log . 2 x Vezessük be a
τ x,z $ inf {t | S x (t) ≤ z} megállási id®ket és legyen
u (z) $ E
Q
(K − S x (τ x,z ))+ χ (τ x,z < ∞) . R (τ x,z )
a
P
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
359
z = x∗ pontban az u (z) függvénynek maximuma van. A maximum értéke éppen a P (x). Világos, hogy ha z ≥ x, akkor τ x,z = 0 és + x ilyenkor u (z) = (K − x) . Ha pedig z < x, akkor az S folytonossága miatt a τ x,z + + x x de níciójában egyenl®ség van, vagyis S (τ x,z ) = z és ezért (K − S (τ x,z )) ≡ (K − z) , Mivel a
τx
egy optimális megállítás a
ami, determinisztikus és ezért kiemelhet® a várható értékb®l. A nevez®höz tartozó várható érték kiszámolásához
τ x,z = inf {t | S x (t) = z} = z σ2 = inf t | r − δ − t + σw (t) = log = 2 x z 1 r−δ σ − t + w (t) = log $ = inf t | σ 2 σ x z 1 $ inf t | νt + w (t) = log . σ x Vezessük be a
ρ (R) $ inf {t | νt + w (t) = R} megállási id®ket. Az elmondottakból következ®en
u (z) =
(K − z)+ EQ
ahol az utolsó egyenl®ség a
0 (K − x)+ exp −r · ρ
exp (−r∞) = 0
ha ha
1 σ
log
z x
ha
z≥K K≥z≥x . z<x
egyenl®ségb®l következik.
transzformáltja explicite kiszámolható és értéke
L (s) = exp νR − |R|
√
ν2
+ 2s ,
s>0
R = 1/σ log (z/x) < 0, ezért z z γ √ L (r) = exp νR + R ν 2 + 2r = exp γ · log = , x x
Mivel
ahol a
γ
a lemma kimondásakor bevezetett pozitív konstans. Legyen
g (z) = (K − z) Ez a függvény a
z=0
és a
z=K
g
z γ x
.
pontokban nulla, és
g 0 (z) = így a
z γ−1 (γK − (γ + 1) z) , xγ
stacionárius pontja
S∗ = K
γ , 1+γ
A
ρ
Laplace-
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
amely maximum pont. függ®en, hogy az maximum az
x
x
Mivel az
g
pont a
u
360
függvény folytonos, ezért két eset lehetséges, attól
emelked®, vagy csökken® szárára esik.
Az els® esetben a ∗ pontban vev®dik fel, a második esetben pedig a az S pontban. Ebb®l
következ®en
P (x) = max u (z) = z
u (x) = K − x u (S ∗ )
x ≤ S∗ . x > S∗
ha ha
Amib®l a lemma már evidens.
2
6.58 De níció. Vezessük be az
(Af ) (t, x) $
1 ∂ 2f ∂f ∂f (t, x) + σ 2 x2 2 (t, x) + (r − δ) x (t, x) − rf (t, x) ∂t 2 ∂ x ∂x
BlackScholes dierenciáloperátort.
6.59 Állítás. A
C
nyílt halmazon a
P (t, x)
kielégíti az
AP = 0
egyenletet. Továbbá
P (T, x) = (K − x)+ ,
ha
x ≥ 0,
P (t, S (t)) = K − S (t) = (K − S (t))+ , lim max |P (t, x)| = 0. ∗
∗
∗
ha
0 ≤ t < T,
x→∞ 0≤t≤T
A
P
a megadott feltételek teljesülése esetén az egyetlen megoldása az Af
Speciálisan a
Bizonyítás:
C
halmazon a
P
egyenletnek.
megfelel® deriváltjai léteznek és folytonosak.
Az els® két feltétel teljesülése a
deriválhatóságának és az
=0
AP = 0
P
esetén nyilvánvaló. A
P C
halmazon való
egyenlet teljesülésének igazolásához fel kell használni
a klasszikus parabolikus egyenletek egzisztenciatételét.
A klasszikus elméletben keresett
t = 0 pontban szokás megadni és nem a t = T végpontban, ezért gyakran a p (t, x) $ P (T − t, x) függvényt szokás használni. A p az amerikai opció árát a még hátralev® id® függvényében adja meg. Ilyenkor az Af operátor de níciójában az id® szefüggvényeket a
rinti derivált el®jelét negatívra kell változtatni.
A parabolikus egyenletek legegyszer¶bb
interpretációja a h®vezetéssel kapcsolatos. H®vezetés legegyszer¶bb problémája esetén egy vékony fémszálat a két végén melegítünk. A h®mérséklet id®ben való alakulásának meghatározása során meg kell adni a h®mérséklet eloszlását a vizsgálat kezdetén, illetve meg kell adni, hogy milyen h®mérsékleten tartjuk a vékony szál két végpontját. Vagyis ha egy
R $ [t1 , t2 ] × [x1 , x2 ] téglalapon keressük az egyenlet megoldását, akkor a függvény értékét meg kell adni a {t1 } × [x1 , x2 ] és a [t1 , t2 ] × {x1 } és [t1 , t2 ] × {x2 } határpontokban. Vegyük észre, hogy ez a három részb®l álló úgynevezett parabolikus határnak éppen az állításban szerepl® három feltétel felel meg. Az els® feltétel a kezdeti eloszlást adja meg, a második feltétel a alsó határon, a harmadik pedig a függvény fels® határon való rögzítésének adja meg.
Mi azonban a
P (t, x)
függvényt vizsgáljuk, így parabolikus határon az egyszer¶ség
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
kedvéért a
t2
361
végid®pontban való rögzítést értjük. A két feladat egyértelm¶en egymásba
∂f /∂t el®jelének megváltoztatásával. Tekintsük tehát az Af = 0 egyenlet azon megoldását, amelyet egy R ⊆ C téglalapon tekintünk és amelyet a parabolikus határon a P -vel rögzítünk. Mivel a C halmazon az x koordináta alulról egy pozitív értékkel korlátos és mivel a P folytonos, ezért létezik a feladatnak megoldása. Rögzítsük az R egy (t, x) bels® pontját és jelölje R0 az R parabolikus transzformálható az
határát. Vezessük be a
τ $ inf {s ≥ 0 | (t + s, S x (s)) ∈ R0 } megállási id®t és az
f (s + t, S x (s)) R (s)
N (s) $ folyamatot. Az
Nτ
megállított folyamat korlátos és mivel az
f
Af = 0 egyenN Wienerτ következ®en az N egy
kielégíti az
letet az id® szerinti Itô-formula közvetlen alkalmazásából evidens, hogy az folyamat szerinti sztochasztikus integrálként írható fel.
Ebb®l
korlátos lokális martingál, vagyis egy martingál. A martingál tulajdonság miatt
Q
f (t, x) = N (0) = E (N (τ )) = E De mivel a
(τ + t, S x (τ )) ∈ R0 ⊆ C ,
Q
P (τ + t, S x (τ )) R (τ )
.
ezért
τ ≤ ρ $ inf {s ≥ 0 | (t + s, S x (s)) ∈ / C} ∧ (T − t) = t,x = inf s ≥ 0 | t + s, S (s + t) ∈ / C ∧ (T − t) = n + o t,x t,x = inf s | P s + t, S (s + t) = K − S (s + t) ∧ (T − t) . A
ρ
nyilvánvalóan a
P (t, x)-hez
tartozó optimális megállási id®.
A
P (t, x)-hez
tartozó
Snell-burkoló
(K − S (τ ))+ (K − S (τ ))+ Q | Fs = sup E | S (s) = X (s) = sup E R (τ ) R (τ ) s≤τ ≤T −t s≤τ ≤T −t (K − S (τ ))+ (K − S (τ ))+ 1 S(s) S(s) = sup E sup E = = R (τ + s) R (s) 0≤τ ≤T −(t+s) R (τ ) 0≤τ ≤T −(t+s) Q
=
P (t + s, S (s)) . R (s)
Az optimalitási kritérium szerint az
Xρ
megállított Snell-burkoló martingál. A megállási
opciókról szóló tétel miatt
f (t, x) = E
Q
P (τ + t, S x (τ )) R (τ )
Ebb®l következ®en a léteznek.
P
a
C
= EQ (X (τ )) = EQ (X (ρ)) = X (0) = P (t, x) .
halmazon kielégíti az egyenletet és a szükséges deriváltak
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
362
(t, x) ∈ [0, T ] × (0, ∞) esetén legyen most τ $ inf s | P (s, S x (s)) = (K − S x (s))+ ∧ (T − t) .
Térjünk rá a harmadik feltételre. Tetsz®leges
Természetesen
P (t, x) = E
Q
(K − S x (τ ))+ R (τ )
.
Legyen
ρx $ inf {s | S x (s) ≤ K} . A
ρx
és a
τ
de níciójából világos, hogy
τ = T −t a {ρx > T − t} halmazon.
A fenti várható
értéket felbontva
(K − S x (T − t))+ Kχ (ρx ≤ T − t) Q +E χ (ρx > T − t) = 0 < P (t, x) ≤ E R (τ ) R (T − t) Kχ (ρx ≤ T − t) 0 Q Q +E χ (ρx > T − t) ≤ K · Q (ρx ≤ T − t) . = E R (τ ) R (T − t) Q
Nyilvánvalóan
max P (t, x) ≤ lim Q (ρx ≤ T ) = 0.
0≤t≤T
x→∞
Térjünk rá az egyértelm¶ség igazolására. Az imént belátott határérték feltétel miatt ha az
f
megoldása az állításban szerepl® problémának, akkor az
M (t) $
f
korlátos. De niáljuk az
f (t, S x (t)) R (t)
folyamatot és legyen
τ x $ inf {s | S x (s) = S ∗ ( t)} ∧ T. S x folytonos az S ∗ jobbról folytonos, ezért ha τ x < T , akkor S x (τ x ) = S ∗ (τ x ) . Mivel az f kielégíti az egyenletet az Itô-formula miatt az M egy korlátos lokális martingál, vagyis az M egy martingál. A τ x éppen az optimális megállítás, ezért a megállási opciókról szóló Az
tétel és a két peremfeltétel miatt
f (t, x) = = = =
f (τ x , S x (τ x )) M (0) = E (M (τ x )) = E = R (τ x ) f (τ x , S ∗ (τ x )) f (τ x , S x (τ x )) Q Q E χ (τ x < T ) + E χ (τ x = T ) = R (τ x ) R (τ x ) (K − S x (τ x ))+ (K − S x (T ))+ Q Q E χ (τ x < T ) + E χ (τ x = T ) = R (τ x ) R (T ) (K − S x (τ x ))+ Q E = P (t, x) . R (τ x ) Q
Q
2
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
363
(t, x) ∈ S és x ≤ S ∗ (t) és t < T, akkor (K − x)+ = P (t, x) > 0, ami csak akkor lehetséges, ha P (t, x) = K − x. Ez a függvény az x ≤ S ∗ (t) 10 ∗ tartományon deriválható és a deriváltja −1. Mit lehet mondani az S (t) pontban? A ban a
P (t, x)
deriválható. Ha
6.60 Állítás. Tetsz®leges
t
esetén a
g (x) $ P (t, x)
függvény deriválható. Speciálisan
∂P (t, S ∗ (t)) = −1. ∂x
Bizonyítás:
Mivel
a P (t, x)
függvény az
x
pontban mind a két oldali deriváltja létezik az
koordináta szerint konvex, ezért minden
x
szerint. Mivel konvex függvény esetén a
deriváltszámok n®nek és mivel
d ∂P (t, S ∗ (t) −) = (K − x) = −1, ∂x dx ezért
∂P (t, S ∗ (t) +) ≥ −1, ∂x
és meg kell mutatni, hogy az ellenkez® irányú egyenl®tlenség is teljesül.
Legyen
x $ S ∗ (t)
és de niáljuk a
τ ε $ inf s ≥ t | S t,x+ε (s) ≤ S ∗ (s) ∧ T, megállási id®ket. Természetesen S ∗ (t) ≤ S ∗ (s), következésképpen
τ 0 ≡ t.
Az
S∗
nem csökken®, ezért ha
t ≤ s,
akkor
τ ε ≤ inf s ≥ t | S t,x+ε (s) ≤ S ∗ (t) ∧ T $ $ inf s ≥ t | S t,x+ε (s) ≤ x ∧ T = = inf s ≥ t | (x + ε) S t,1 (s) ≤ x ∧ T = x t,1 = inf s ≥ t | S (s) ≤ < 1 ∧ T. x+ε Vegyük észre, hogy
S
t,1
σ2 (s) = exp r−δ− (s − t) + σw (s − t) = 2 = exp (ν (s − t) + σw (s − t)) $ exp (νu + σw (u)) .
A trenddel rendelkez® Wiener-folyamatok minimumára vonatkozó (5.7) képlet szerint tetsz®leges
a>0
esetén
Q
min {νu + σw (u)} ≥ 0 = 0,
0≤u≤a
10 Zárt intervallum végpontjában a deriválhatóság értelemszer¶en csak az egyik oldalról való deriválhatóságot jelenti. Az
S
halmazon az
AP
értelmes és
AP = δx − rK.
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
vagyis tetsz®leges
a>t
364
esetén
Q
min S
t≤s≤a
t,1
(s) < 1 = 1.
ε & 0, akkor majdnem mindenhol τ ε & τ 0 . Azonnal látható, hogy a τ ε az els® olyan id®pont, ahol a t után elindított folyamat belép a megállítási tartományba,
Ebb®l következ®en ha vagyis
τ ε = inf s ≥ t | S t,x+ε (s) ≤ S ∗ (s) ∧ T = n + o = inf s ≥ t | p s, S t,x+ε (s) = K − S t,x+ε (s) ∧T = n + o = t + inf s | p s, S x+ε (s) = K − S x+ε (s) ∧ (T − t) . Vagyis
τε − t
éppen a
P (t, x + ε)-hoz
tartozó egyik optimális megállítás
+ (K − S x+ε (τ ε − t)) P (t, x + ε) = E = R (τ ε − t) (K − S x (τ ε − t))+ (K − S x (τ ε − t))+ Q Q =E −E + R (τ ε − t) R (τ ε − t) + (K − S x+ε (τ ε − t)) Q +E . R (τ ε − t) Q
Az els® kifejezés éppen a
P (t, x).
Ha
τ ε < T,
akkor, felhasználva, hogy az
S∗
jobbról
folytonos
S t,x+ε (τ ε ) ≤ S ∗ (τ ε +) = S ∗ (τ ε ) , vagyis az
S t,x+ε (τ ε )
a megállási tartományban van, tehát ilyenkor a ki zet® függvényben
a pozitív rész jel elhagyható. Ezt felhasználva a becslés folytatható
(K − S x (τ ε − t))+ K − S x (τ ε − t) Q χ (τ ε < T ) − E χ (τ ε = T ) + P (t, x) − E R (τ ε − t) R (τ ε − t) + K − S x+ε (τ ε − t) (K − S x+ε (τ ε − t)) Q Q +E χ (τ ε < T ) + E χ (τ ε = T ) = R (τ ε − t) R (τ ε − t) x+ε S (τ ε − t) − S x (τ ε − t) Q = P (t, x) − E χ (τ ε < T ) − R (τ ε − t) + (K − S x (T − t))+ − (K − S x+ε (T − t)) Q −E . R (T − t) Q
Az utolsó el®jeles kifejezés az
Sx x
szerinti növekedése miatt nem negatív, így elhagyva a
becslés
S x+ε (τ ε − t) − S x (τ ε − t) P (t, x + ε) ≤ P (t, x) − E χ (τ ε < T ) = R (τ ε − t) 1 S (τ ε − t) Q = P (t, x) − ε · E χ (τ ε < T ) . R (τ ε − t) Q
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
Átrendezve
Ha most
ε & 0,
P (t, x + ε) − P (t, x) ≤ −EQ ε
S 1 (τ ε − t) χ (τ ε < T ) . R (τ ε − t)
S 1 /R
a
[0, T ]
akkor
τε → t < T.
Az
365
szakaszon rendelkezik integrálható
majoránssal, így a határérték bevihet® az integrál mögé és
lim E
Q
ε&0
S 1 (τ ε − t) S 1 (τ ε − t) Q lim χ (τ ε < T ) = E χ (τ ε < T ) = ε&0 R (τ ε − t) R (τ ε − t) 1 S (0) Q = E = 1. R (0)
Következésképpen
∂P (t, S ∗ (t) +) ∂P (t, x+) = ≤ −1. ∂x ∂x
6.61 Példa. A
g (x) $ P (T, x) = (K − x)+
függvény nem deriválható. Ugyanakkor persze az
2 S ∗ (T )
sem értelmezett.
6.62 Állítás. (Explicit DoobMeyer felbontás) Tetsz®leges
0≤t≤T
esetén az amerikai opció
t=0
pontban vett árához tartozó optimális
megállítás Snell-burkolója felírható
Z t S (u) P (t, S (t)) X (t) = = P (0, S (0)) + σ Px (u, S (u)) dw (u) + R (t) 0 R (u) Z t δS (u) − rK χ (S (u) < S ∗ (u)) du + R (u) 0 alakban, ahol a sztochasztikus integrál egy valódi martingál, a trajektóriánként vett integrál pedig nem növeked®.
Bizonyítás:
Az állításban szerepl® felbontás lényegében az Itô-formula által adott fel-
P (t, x) nem dierenciálható, ezért kisimítjuk. Legyen deriválható, kompakt tartójú tesztfüggvény. Ha t < T és
bontás. A probléma csak az, hogy a
f (u, v) egy végtelen sokszor x ≥ 0 és ε elég kicsi, akkor legyen Z ∞Z Pε (t, x) = 0 Mivel a alatt
t
miatt a
Px0
∞
P (t + εu, x + εv) f (u, v) dudv.
0
létezik és folytonos, ezért az
∂Pε (t, x) = ∂x
Z 0
∞
Z 0
∞
x szerint deriválhatunk az integráljel
∂P (t + εu, x + εv) f (u, v) dudv. ∂x
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
Mivel a második derivált
∂ 2 P (t, x) /∂x2
az
S ∗ (t)
366
pontban esetleg nem létezik, illetve nem
folytonos, ezért az integrál alatti deriválás kiszámolásakor óvatosan kell eljárni.
Z ∞Z ∞ ∂ 2 Pε (t, x) ∂P (t + εu, x + εv) ∂ f (u, v) dudv = = 2 ∂x ∂x 0 ∂x 0 Z Z u−t v−x ∂ 1 ∞ ∞ ∂P (u, v) f , dudv = = ∂x ε2 0 ∂x ε ε 0 Z Z 1 ∞ ∞ ∂P (u, u) 0 u − t v − x = − 3 f2 , dudv, ε 0 ∂x ε ε 0 0 ahol értelemszer¶en f2 jelöli az f második változója szerinti deriváltat. A bels® integ∗ rált az S (v) pontban kétfelé választva, az egyes integrálokon parciálisan integrálva, és kihasználva, hogy a
P
els® deriváltja folytonos. így a kiintegrált rész kiesik
∂ 2 Pε (t, x) = ∂x2 ahol az
∂ 2 P/∂x2
Mivel a
Px0
∞
Z 0
Z 0
∞
∂ 2 P (t + εu, x + εv) f (u, v) dudv, ∂x2
(s, S ∗ (s)) halmazon nincsen értelmezve. Z ∞Z ∞ ∂P (t + εu, x + εv) ∂Pε (t, x) = f (u, v) dudv. ∂t ∂t 0 0
integrandus az
folytonos, ezért ha
ε & 0,
Hasonlóan
akkor
∂P (t, x) ∂Pε (t, x) → , ∂x ∂x illetve a
(t, S ∗ (t))
halmazon kívül a kompakt halmazon egyenletesen
APε (t, x) → AP (t, x) . Az Itô-formula szerint
Pε (t, S (t)) Pε (0, S (0)) − = R (t) R (0) Mivel az
Z 0
t
APε (u, S (u)) du + σ R (u)
Z 0
t
S (u) ∂Pε (u, S (u)) dw (u) . R (u) ∂x
x szerinti parciális derivált a 0 és −1 között van ezért a sztochasztikus integrálban ε & 0, akkor a szto-
alkalmazható a majorált konvergencia tétele. Következésképpen ha
chasztikus integrál határértéke éppen az állításben szerepl® sztochasztikus integrál.
AP
értéke a folytatási tartományon nulla, a megállási tartomány belsejében
két halmazt elválasztó pontok
{(u, ω) | S ∗ (u) = S (u, ω)} halmaza nullmérték¶, így
AP (u, S (u)) m.m. = (δS (u) − rK) χ (S (u) < S ∗ (u)) , R (u)
Az
δx − rK.
A
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
367
ami éppen a második integrál integrandusa. A sztochasztikus integrál egy valódi martingál, 2 ugyanis az integrál L -be esik. X (t) = P (t, S (t)) /R (t) felbontása egy folytonos martingálra és egy folytonos, korlátos változású függvényre egyértelm¶. A DoobMeyer dekompozíció miatt az
X (t) felbontható egy martingál és egy el®rejelezhet®, korlátos változású X folytonos, ezért el®rejelezhet®. Ebb®l következ®en a DoobMeyer
folyamatra. Mivel az
felbontásban szerepl® martingál el®rejelezhet®, tehát folytonos. Így az igazolt felbontásban szerepl® korlátos változású tag éppen a DoobMeyer felbontásban szerepl® tag, következésképpen nem növeked®. Az állítást a
t=T
esetre a
t%T
határértékkel kapjuk.
2
6.63 Következmény. (A korai lehívás prémiuma) Tetsz®leges
0≤t≤T
esetén az
X (t) =
P (t, S (t)) R (t)
Snell-burkoló felírható
X (t) = E
Q
Z T (K − S (T ))+ rK − δS (u) ∗ Q | Ft + E χ (S (u) < S (u)) du | Ft R (T ) R (u) t
alakban. Az els® tag éppen az európai put opció ára, a második monoton nem növeked® tag szokásos elnevezése korai lehívási prémium.
Bizonyítás:
Jelölje
M
V az állításban szerepl® martingált és korlátos (K − S (T ))+ Q | Ft = EQ (X (T ) | Ft ) = E R (T ) Q = E (M (T ) | Ft ) + EQ (V (T ) | Ft ) = és
változású tagot.
= M (t) + V (t) + EQ (V (T ) − V (t) | Ft ) = Z T δS (u) − rK Q ∗ = X (t) + E χ (S (u) < S (u)) du | Ft . R (u) t Átrendezve éppen az említett felbontást kapjuk.
2 A korai lehívás prémiumának integrandusának interpetációja a következ®: Az európai put és az amerikai put közötti értékbeli különbség a lehívási tartományban alatt keletkezett értéknövekedések összegéb®l ered. kell, ezért szerepel a képletben a
K
R (u)
du
id®szak
A nyereségeket egyrészt diszkontálni
a nevez®ben. A számlálóban a lehívásakor kapott
összeg értéknövekedése van. Ebb®l le kell vonni az ugyanazon id®szakban a részvény
árának az osztalék zetés miatti
δS (u)
csökkenését, amely összeggel az opció értéke, ha
nem hívtuk volna le, természetesen n®ne. hogy a két hatás ered®je nem lehet negatív.
A lehívási prémium növekedése azt mutatja,
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
6.64 Következmény. Minden
t
Bizonyítás:
esetén
δS ∗ (t) ≤ rK .
Következésképpen
368
δS ∗ (T −) ≤ rK .
0 ≤ t < T . Az S ∗ (t) > 0 miatt Q (S (t) < S ∗ (t)) > 0. Vagyis ∗ ∗ alkalmas ω kimenetelre S (t, ω) < S (t). Az S (t) jobbról folytonos, az S (t, ω) folytonos, ∗ így alkalmas ε > 0 és Q (R) > 0 esetén ha t ≤ u ≤ t + ε és ω ∈ R, akkor S (u, ω) < S (u). Ha az intervallum egy pozitív Lebesgue-mérték¶ N halmazán δ ·S (u, ω) > rK lenne, akkor Legyen
ezen az intervallumon pozitív valószín¶séggel a trajektória nem lenne nem csökken®. Vagyis
t ≤ u ≤ t + ε id®pontra δ · S (u, ω) ≤ rK . Az S ∗ Vagyis ha {S (t) < S (t)} , akkor δS (t, ω) ≤ rK .
majdnem minden
δS (t, ω) ≤ rK . hogy az S (t) eloszlása lognormális, így az eloszlás értékkészlete δ · S ∗ (t) ≤ rK , amib®l a δ · S ∗ (T −) ≤ rK már evidens.
az
folytonossága miatt Ebb®l, kihasználva,
R+ ,
határértékként
2
6.65 Állítás. A
0≤t
Bizonyítás: jesztett
S ∗ (t) függvény folytonos és K ha δ ≤ r ∗ S (T −) = . δK/r ha δ > r
szakaszon értelmezett
Terjesszük ki az
S∗
függvényt a
T
pontra a megadott de nícióval. A kiter-
∗
S (t) monoton n® és jobbról folytonos. Meg kell mutatni, hogy balról is folytonos. 0 < t0 ≤ T pontot, amelyre S (t0 −) < S ∗ (t0 ). Legyen
Tekintsünk egy tetsz®leges
S ∗ (t0 −) < c∗ $
S ∗ (t0 ) + S ∗ (t0 −) < S ∗ (t0 ) . 2
0 ≤ t < t0 , akkor S ∗ (t) ≤ S ∗ (t0 −) , így S ∗ (t) < c∗ . Legyen S ∗ (t) < x < c∗ . Nyilvánvalóan (t, x) ∈ C . Mivel a P (t, x) a t szerint csökken, ezért ∂P/∂t ≤ 0, így felhasználva, hogy a C tartományon AP = 0 Ha
∂P 1 2 2 ∂ 2P σ x (t, x) + (r − δ) x (t, x) − rP (t, x) ≥ 0, 2 ∂x2 ∂x vagyis
r ≥ δ, S (T ) Ha ∗
akkor
∂P 1 2 2 ∂ 2P σ x (t, x) ≥ (δ − r) x (t, x) + rP (t, x) . 2 2 ∂x ∂x ∗ felhasználva, hogy 0 ≥ ∂P (t, x) /∂x és ilyenkor a de nícióban c < K =
1 2 2 ∂ 2P σ x (t, x) ≥ rP (t, x) ≥ r (K − x)+ ≥ r (K − x) ≥ r (K − c∗ ) > 0. 2 ∂x2 Ha
δ > r ≥ 0,
akkor felhasználva, hogy
∂P (t, x) /∂x ≥ −1
1 2 2 ∂ 2P σ x (t, x) ≥ − (δ − r) x + r (K − x) = rK − δx > 2 ∂x2 > rK − δc∗ ≥ rK − δS ∗ (t0 ) ≥ rK − δS ∗ (T −) ≥ 0.
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
Ebb®l következ®en egy alkalmas
H>0
369
konstassal
∂ 2P 2H 2H $ D > 0. (t, x) ≥ 2 2 ≥ 2 ∂x σ x (σc∗ )2 Px0 folytonos minden S ∗ (t) < u < c∗ esetén y Z u Z y Z u ∂ 2P ∂P (t, s) (t, s) dsdy = dy = 2 S ∗ (t) S ∗ (t) ∂x S ∗ (t) ∂x S ∗ (t) Z u ∂P (t, y) − 1dy = [P (t, y) − y]uS ∗ (t) = = ∂x ∗ S (t)
Felhasználva, hogy a
= P (t, u) − P (t, S ∗ (t)) + S ∗ (t) − u = = P (t, u) − (K − S ∗ (t))+ + S ∗ (t) − u = = P (t, u) − (K − S ∗ (t)) + S ∗ (t) − u = = P (t, u) − K − u. Ugyanakkor mivel az integrandus egy pozitív
D
konstanssal alulról korlátos
1 P (t, u) − K − u ≥ D (u − S ∗ (t))2 . 2 Ha
t % t0 ,
Vagyis
akkor
1 P (t0 , u) − K − u ≥ D (u − S ∗ (t0 −))2 > 0. 2
S ∗ (t0 ) < u.
Ebb®l következ®en
c∗ > u >
S ∗ (t0 ) + S ∗ (t0 −) $ c∗ , 2
ami lehetelen.
2
6.66 De níció. (Szabad határ probléma) Keresend® egy a
[0, T ] × R+
halmazon de niált
jobbról folytons, nem csökken®
d
f (t, x)
D $ {(t, x) ∈ (0, T ) × (0, ∞) | x > d (t)} teznek és folytonosak, valamint Af = 0,
2.
f (t, x) = K − x,
3.
f (T, x) = (K − x)+ ,
4.
limx→∞ max0≤t≤T |f (t, x)| = 0,
5. a
[0, T ] × R+
0≤t
[0, T )
szakaszon de niált
függvény. A következ®ket követeljük meg:
1. A
ha
és egy a
és
halmazon az
0 ≤ x ≤ d (t) ,
x ≥ d (T ),
minden elemére
f (t, x) ≥ (K − x)+ ,
ft0 , fx0
és
00 fxx
deriváltak lé-
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
6.
fx0 (t, d (t) +) = −1
7.
δd (T ) $ δd (T −) ≤ rK .
A
d-re
ha
370
0 ≤ t < T,
D halmaz nyílt, így az els® pont értelmes. Az els® négy cl (D) halmaz parabolikus határán az f megoldása egy parabolikus egyenfeladat azért szabad határ probléma, mert a D halmaz alsó határának meg-
tett feltételek miatt a
feltétel szerint a letnek.
A
határozása része a problémának. Normál parabolikus feladat esetén minden határpontra egyetlen feltételt szabunk. A szabad határ probléma esetén a szabad határon két feltételnek kell teljesülni,
f (t, d (t)) = K − d (t) , t < T, ∂f (t, d (t) +) = −1, t < T, ∂x de cserébe a határ nincsen el®re rögzítve. De niáljuk az
E$
[0, T ) × [0, K) [0, T ) × [0, rK/δ)
ha ha
r≥δ r<δ
g (x) $ (K − x)+ függvény az E halmazon folytonosan deriválható és (Ag) (x) = δx − rK < 0. Ennek megfelel®en a d függvény a [0, T ) × R+ halmazt két részre vágja.
halmazt. A
Af = 0, Af < 0,
és és
f ≥g f =g
a az
D halmazon ([0, T ) × R+ ) \cl (D)
halmazon.
6.67 Állítás. A
(P (t, x) , S ∗ (t))
Bizonyítás:
pár az egyetlen megoldása a fenti szabad határ problémának.
Elegend® belátni, hogy a szabad határ probléma megoldása egyértelm¶.
Eh-
hez ismét az Itô-formulát fogjuk használni. Az imént belátott explicite DoobMeyer dekompozícióhoz hasonlóan írjuk fel a
Z T f (T, S t,x (T )) S (u) = f (t, x) + σ fx (u, S (u)) dw (u) + R (T ) R (u) t Z T δS (u) − rK + χ (S (u) < d (u)) du R (u) t felbontást. Az f (t, x) függvényr®l nem tettük fel, hogy az x szerint konvex, így nem tudjuk, 0 hogy az fx parciális derivált korlátos. Ebb®l következ®en a sztochasztikus integrálról csak azt tudjuk, hogy lokális martingál. Legyen (τ n ) egy lokalizációs sorozat. Tetsz®leges t ≤
τ ≤ T megállási id® esetén Z τ ∧τ n f (τ ∧ τ n , S t,x (τ ∧ τ n )) δS (u) − rK Q Q = f (t, x) + E χ (S (u) < d (u)) du . E R (τ ∧ τ n ) R (u) t
6.3. AMERIKAI PUT OPCIÓK ÁRAZÁSA ÉS DOOBMEYER DEKOMPOZÍCIÓ
Az
f
371
a negyedik feltétel miatt korlátos, így majorált konvergencia tétel az egyik oldalon a
másik oldalon pedig a monoton konvergencia tétele alkalmazható. Felhasználva, hogy az integrátor nem pozitív
+
E
Q
(K − S t,x (τ )) R (τ )
! ≤ E
Q
f (τ , S t,x (τ )) R (τ )
= f (t, x) + E
Q
Z
τ
t
δS (u) − rK χ (S (u) < d (u)) du R (u)
≤ f (t, x) , ahol kihasználtuk az ötödik megkötést. Ebb®l
P (t, x) ≤ f (t, x) .Legyen
τ $ inf {s ≥ t | S (s) ≤ d (s)} ∧ T. Ekkor a peremértékek miatt mány
t
+
f (τ , S t,x (τ )) = (K − S t,x (τ )) .
Mivel a
τ
a megállási tarto-
utáni els® találati pontja, ezért
Z
τ
t
δS (u) − rK χ (S (u) < d (u)) du = R (u)
Z
τ
0du = 0, t
vagyis
t,x
E vagyis
Q
+
(K − S (τ )) R (τ )
f (t, x) = P (t, x) .
! =E
Hátra van még a
Q
f (τ , S t,x (τ )) R (τ )
d = S∗
= f (t, x)
egyenl®ség igazolása.
Ehhez elegend®
belátni, hogy a
C = (t, x) | P (t, x) > (K − x)+ = = {(t, x) | x > S ∗ (t)} és a
D $ {(t, x) | x > d (t)} (t, x) ∈ C , akkor Af (t, x) = 0. Ebb®l következ®en C ⊆ cl (D). C ⊆ D. A szerepek megcserélésével kaphatjuk a fordított irányú
halmazok megegyeznek. Ha Mivel a
D
nyílt, ezért
tartalmazást.
2
7. fejezet Kamatláb modellek A BlackScholes világ általánosításai közül a legfontosabb a kötvényekre vonatkozó elmélet.
Az alábbiak célja, hogy alkalmas modellkeretet építsünk a
B (t, T )
elemi kötvények
Miként korábban megjegyeztük, a B (t, T ) épHT ≡ 1 összeg ára a t < T id®pontban. Az általános Q árazási formula miatt értéke éppen B (t, T ) = R (t) E (1/R (T ) | Ft ), ahol R a Q martingálmértékhez tartozó diszkont folyamat. Vagyis a Q ismeretében az R segítségével a B egyszer¶en meghatározható. A fordított irány azonban nem egyértelm¶: Ha ismerjük a B (t, T ) folyamatot, akkor számtalan különböz® (Q,R) pár létezik, amelyb®l a B (t, T ) elméleti, matematikai meghatározására.
pen a
T
id®pontban esedékes,
származtatható. Nyilvánvalóan érdemes olyan párt választani, amely a számolásokat egyszer¶vé teszi. a
0≤t≤T
Adott
S
részvény esetén a
QT
S (t) /B (t, T ) martingál. Miként beláttuk dQT dQT B (t, T ) Q | Ft = E | Ft = , dQ dQ B (0, T ) R (t)
szakaszon az
EQ
B (t, T ) megfelel® R,
amib®l rögzített
esetén tetsz®leges a
tározható a
vagy tetsz®leges
B (t, T )
forward mérték éppen az a mérték, amelyre
QT -re
R-hez
abszolút folytonos
meghatározható a
segítségével de niálni fogunk egy alkalmas
R-et,
Q.
Q
esetén megha-
A továbbiakban a
és a hozzá tartozó
Q
mértéket
fogjuk kockázatsemleges mértéknek nevezni. Vagyis a kamatlábmodellek alapfogalma nem az
(S, R) pár, hanem a B (t, T ) elemi kötvények folyamatai.
Tovább bonyolítja a helyzetet,
hogy az elemi kötvények által meghatározott piac nem teljes. A nincsen arbitrázs feltétel
T id®ponthoz való kötvények viszonyát határozza meg, de nem határozza Q értékét. Hangsúlyozni kell, hogy minden T -re adott egy-egy folyamat, így a modellben szerepl® folyamatok száma végtelen. A továbbiakban feltételezzük, hogy a B (t, T ) folyamatok mindegyike pozitív, a T szerint deriválható, illetve minden T esetén B (T, T ) = 1. Az elemi kötvények B (t, T ) családját a kötvények lejárati szerkezetének mondjuk. A B (t, T )
csak a különböz® meg az aktuális
elemi kötvények segítségével számos pénzügyi koncepciót fogalmazhatunk meg. Ezeket hozamgörbéknek mondjuk. A hozamgörbék információs tartalma azonos a lejárati szerkezet által hordozott információval, csak különböz®, esetlegesen praktikusabban megragadható formában, prezentálja azt.
372
7.1. FORWARD RÁTÁK ÉS HOZAMGÖRBÉK
7.1.
373
Forward ráták és hozamgörbék
t < S < T . Ha a t id®pontban eladunk egy az S id®pontban lejáró elemi kötvényt és az így kapott B (t, S) árból veszünk B (t, S) /B (t, T ) darab a T id®pontban lejáró elemi kötvényt, akkor a T id®pontban B (t, S) /B (t, T ) összeghez jutunk, miközben az S id®pontban ki zettünk 1 egységet. (Természetesen a t id®pontban a két üzlet ered®je nulla.) Ennek megfelel®en az [S, T ] id®szak elején befektetett egységnyi összeg az id®tartam végén B (t, S) /B (t, T ) összeget ér. Az így kapott úgynevezett forward üzlet eredményét
Legyen
alapvet®en két módon de niálhatjuk. Ha az
B (t, S) B (t, S) − B (t, T ) −1= = L · (T − S) B (t, T ) B (t, T ) képlettel meghatározott
L
értéket adjuk meg, akkor úgynevezett egyszer¶, vagy LIBOR
forward rátáról szokás beszélni. Ha a
B (t, S) = exp (F · (T − S)) B (t, T ) képlettel de niált
F
értéket adjuk meg, akkor folytonos forward rátáról beszélünk.
7.1 De níció. Vezessük be a következ® jelöléseket: 1. A
t
id®pontbam rögzített, az
[S, T ]
szakaszon érvényes LIBOR forward ráta
L (t, S, T ) = − 2. Az
[S, T ]
szakaszon érvényes LIBOR spot ráta
L (S, T ) $ L (S, S, T ) = − 3. A
t
id®pontbam rögzített, az
B (S, T ) − B (S, S) B (S, T ) − 1 =− . B (S, T ) · (T − S) B (S, T ) · (T − S)
[S, T ]
szakaszon érvényes folytonos forward ráta
F (t, S, T ) = − 4. Az
[S, T ]
log B (t, T ) − log B (t, S) . T −S
szakaszon érvényes folytonos spot ráta
F (S, T ) $ F (S, S, T ) = − 5. A
B (t, T ) − B (t, S) . B (t, T ) · (T − S)
t id®pontban számított t < T
log B (S, T ) − log B (S, S) log B (S, T ) =− . T −S T −S
id®ponthoz tartozó pillanatnyi, folytonos forward ráta
f (t, T ) $ lim F (t, S, T ) = − S%T
∂ log B (t, T ) . ∂T
(7.1)
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
374
6. Azonnali rövid kamat, vagy egyszer¶en rövid kamat
r (t) $ f (t, t) = − 7. Bankbetéten az
∂ log B (t, t) . ∂T t
Z R (t) $ exp
r (s) ds
0
folyamatot értjük.
R-hez tartozó Q mértéket kockázatsemleges mértéknek fogjuk Q de níciója szerint érvényes a π t (HT ) = R (t) EQ (HT /R (T ) | Ft ) árazási
Miként már jeleztük az mondani. Így a
formula. Ennek megfelel®en érvényes a
Z T Z t 1 Q r (s) ds | Ft = B (t, T ) = R (t) E exp − | Ft = exp r (s) ds E R (T ) 0 0 Z T Q r (s) ds | Ft = E exp − Q
t képlet is. Az
f (t, T )
(7.1) de níciójából evidens, hogy
Z B (t, T ) = exp −
T
f (t, s) ds .
t
7.2.
Azonnali rövid kamatláb modellek
A legegyszer¶bb modellezési környezetet akkor kapjuk, ha közvetlenül az egy az az
r-re
r-re
felírt sztochasztikus dierenciálegyenlettel modellezzük és a
felírt egyenlet paraméterei segítségével határozzuk meg.
r (t) folyamatot B (t, T ) értékeit
Mivel ez a megközelítés
számos helyen elérhet®, ezért csak röviden foglalkozom vele. Tegyük tehát fel, hogy a kockázatsemleges mérték alatt az
r
kielégíti a
dr = b (t, r) dt + σ (t, r) dw egyenletet. A
B (t, T ) alakulását a legegyszer¶bben a BlackScholes dierenciálegyenlettel
analóg, úgynevezett lejárati szerkezet egyenlettel alkalmas
f (t, r)
1
számolhatjuk ki. Tegyük fel, hogy egy
függvény kielégíti a
∂f ∂ 1 ∂2 (t, r) + b (t, r) f (t, r) + σ 2 (t, r) 2 f (t, r) = r · f (t, r) ∂t ∂r 2 ∂r f (T, r) = h (r) egyenletet. Formailag a BlackScholes egyenlethez képest összesen annyi változás történt, hogy az
x
helyébe
r
került.
1 Term Structure Equation.
Ez azonban lényeges változást jelent ugyanis az
r · f (t, r)
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
tagban immáron az
X (t) $ f (t, r (t))
375
r
szorzó is változó és nem konstans korábban. Tekintsük az R mint t folyamatot és legyen D (t) $ exp − r (s) ds . Világos, hogy 0
dD (s) = −r (s) D (s) ds, illetve az Itô-formula miatt
dX = df =
∂f ∂ 1 2 ∂2 ∂ (t, r) + b (t, r) f (t, r) + σ (t, r) 2 f (t, r) dt + σ (t, r) f (t, r) dw. ∂t ∂r 2 ∂r ∂r
A parciális integrálás formulája és a polaritási szabály alapján
Z
T
Z
T
X (s) dD (s) + D (s) dX (s) = D (T ) X (T ) − D (t) X (t) = t t Z T = −r (t) f (s, r (s)) D (s) ds+ t Z T ∂f ∂ 1 2 ∂2 D (s) (s, r) + b (s, r) f (s, r) + σ (s, r) 2 f (s, r) ds+ ∂t ∂r 2 ∂r t Z T ∂ + D (s) σ (s, r) f (s, r) dw, ∂r t ugyanis a
D
f Y (t) $
korlátos változású, így a kvadratikus keresztvariációs tag nulla. Mivel az
kielégíti a parciális dierenciálegyenletet, ezért a
ds
tagok összege nulla, így az
D (T ) X (T ) − D (t) X (t) el®áll egy Wiener-folyamat szerinti sztochasztikus integrálként, t = 0 id®pontban nulla értéket felvev® lokális martingál. Mivel 0 ≤ D (t) ≤ 1, ezért ha az f egyenletesen korlátos, akkor az Y egy valódi martingál, következésképpen Z T Q Q D (t) X (t) = E (D (T ) X (T ) | Ft ) = E exp − r (s) ds h (r (T )) | Ft ,
így a
0 amib®l
t
Z X (t) $ f (t, r (t)) = exp
Z r (s) ds E exp − Q
0 Ha
h = 1,
akkor
T
r (s) ds h (r (T )) | Ft .
0
f (t, r) = B (t, T ).
Ahhoz persze, hogy a parciális dierenciálegyenletet meg tudjuk oldani egyszer¶sítéseket kell bevezetni.
A legnépszer¶bb család az úgynevezett a n lejárati szerkezettel
rendelkez® modellek, amikor az
3
f (t, r)
függvényt
exp (A (t, T ) − C (t, T ) · r)
2
alakban ke-
ressük . A modellcsalád angol elnevezése alapján ilyenkor ATS modellekr®l beszélünk. Az
2 A ne Term Structure. 3 Parciális dierenciálegyenletek megoldásakor a leghatékonyabb módszer a szorzatra bontás módszere. Az alábbi eljárás éppen ennek a megközelítésnek egy verziója.
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
376
elnevezés nyilvánvaló indoka, hogy az exponenciális függvény kitev®jében lev® kifejezés az
r
a n függvénye.
A n lejárati szerkezet esetén a megoldandó lejárati szerkezet egyenlete
∂A ∂C 1 (t, T ) − (t, T ) r − b (t, r) C (t, T ) + σ 2 (t, r) C 2 (t, T ) = r ∂t ∂t 2 A (T, T ) = 0, C (T, T ) = 0 módon is írható. Természetesen semmi okunk sincs feltételezni, hogy adott függvények esetén a keresett
A (t, T ),
illetve
C (t, T )
b (t, r) és σ (t, r)
függvények meghatározhatóak.
Ha
továbbá feltesszük még, hogy
b (t, r) = α (t) r + β (t) σ (t, x) = γ (t) r + δ (t) , 2
akkor az egyenlet
r =
∂A 1 (t, T ) − β (t) C (t, T ) + δ (t) C 2 (t, T ) − ∂t 2 ∂C 1 2 − (t, T ) + α (t) C (t, T ) − γ (t) C (t, T ) r ∂t 2
módon egyszer¶södik. Mivel az egyenl®ségnek minden
r
esetén teljesülni kell, ezért
1 ∂A (t, T ) − β (t) C (t, T ) + δ (t) C 2 (t, T ) = 0 ∂t 2 ∂C 1 (t, T ) + α (t) C (t, T ) − γ (t) C 2 (t, T ) = −1 ∂t 2 Vegyük észre, hogy a második egyenlet csak a
C -t®l
függ és az els® egyenlet
∂A 1 (t, T ) = β (t) C (t, T ) − δ (t) C 2 (t, T ) ∂t 2 alakú, amely már a
C
ismeretében egyszer¶ integrálással megoldható. A
C -re
vonatkozó
egyenlet az
y 0 = c (x) + a (x) y + b (x) y 2 alakú úgynevezett Riccati-egyenletek közé tartozik, amelyeknek nem ismert a zárt alakban való általános megoldása.
Ugyanakkor a Riccati-egyenletek megoldása mégsem remény-
telen. Miként ismert, ha valamiképpen megsejthet® az egyenlet egy megoldása, akkor az egyenlet általános megoldásának megkeresése visszavezethet® egy alkalmas lineáris dierenciálegyenlet megoldására.
7.2 Példa. Vasicek-modell.
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
Q
A Vasicek modellben a
377
mérték alatt a
dr = (b − ar) dt + σdw,
r (0) = r0
egyenlettel írjuk le az azonnali rövid kamatláb alakulását, ahol
a, b
σ
és
a modell pozitív
paraméterei. Ilyenkor
σ 2 (t, x) = σ 2 .
b (t, r) = −αr + b, A
B
függvényekre vonatkozó egyenletek
∂C (t, T ) − aC (t, T ) = −1, ∂t Ez minden
T -re
egy közönséges konstans együtthatós lineáris egyenlet, így
C (t, T ) = A-ra
Az
C (T, T ) = 0.
1 (1 − exp (−a (T − t))) . a
vonatkozó egyenlet
1 ∂A (t, T ) = bC (t, T ) − σ 2 C 2 (t, T ) , ∂t 2 Ezt
t
szerint integrálva
σ2 A (t, T ) = − (A (T, T ) − A (t, T )) = 2 A
C
A (T, T ) = 0.
Z
T
Z
2
C (s, T ) ds − b t
T
C (s, T ) ds. t
már meghatározott képletét behelyettesítve
A (t, T ) = (C (t, T ) − T + t)
b σ2 − 2 a 2a
−
σ 2 C 2 (t, T ) 4a
és
B (t, T ) = exp (A (t, T ) − C (t, T ) r (t)) 2
7.3 Példa. HoLee modell. A HoLee modelben a
Q
mérték alatt a
dr = θ (t) dt + σdw,
r (0) = r0
egyenlettel írjuk le az azonnali rövid kamatláb alakulását, ahol métere,
σ
a modell pozitív para-
θ (t) egy függvény, amit a modellben az aktuális hozamgörbéhez való kalibráláshoz
lehet felhasználni. Ilyenkor
∂C (t, T ) = −1, C (T, T ) = 0 ∂t ∂A 1 (t, T ) = θ (t) C (t, T ) − σ 2 C 2 (t, T ) , ∂t 2
A (T, T ) = 0.
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
Ebb®l
C (t, T ) = T − t
378
és
Z
T
θ (s) (s − T ) ds +
A (t, T ) = t
σ 2 (T − t)3 . 2 3
θ függvényt úgy kell meghatározni, hogy teljesüljön a B (0, T ) = B ∗ (T ) egyenl®ség, ahol B (T ) a ténylegesen a t = 0 meg gyelt lejárati szerkezet. A B ∗ (T ) helyett az illesztéshez ∗ egyszer¶bb az f (0, T ) forward rátát használni. A forward ráta és az elemi kötvények ára a Z T f (t, s) ds B (t, T ) = exp −
A
∗
t képlet miatt kölcsönösen egyértelm¶ viszonyban van. Így
f ∗ (0, T ) = −
d ln B ∗ (T ) . dT
A forward ráta el®nye, hogy segítségével érvényes a
Z − 0
T
f ∗ (0, s) ds = A (0, T ) − C (0, T ) r (0) = Z T σ2 T 3 − T r (0) . θ (s) (s − T ) ds + = 2 3 0
egyenl®ség. A parametrikus integrálás deriválásával minden
−f ∗ (0, T ) = θ (s) (T − T ) −
Z
T
θ (s) ds + 0
Újra deriválva és átrendezve
θ (t) =
T >0
esetén
σ2 2 T − r (0) . 2
∂f ∗ (0, t) + σ 2 t. ∂T
Ezt visszaírva
Z t
T
T
∂f ∗ (0, s) 2 θ (s) (s − T ) ds = + σ s (s − T ) ds = ∂T t Z Z T σ 2 s2 σ2 T 2 ∗ T ∗ = [ f (0, s) + s ds = (s − T )]t − f (0, s) ds − 2 2 t t Z T σ2 3 σ 2 t2 ∗ f ∗ (0, s) ds − = −f (0, s) (T − t) − (t − T ) − T − t3 2 6 t Z
Ebb®l
B (t, T ) = exp (A (t, T ) − C (t, T ) · r) = T σ2 σ 2 t2 σ2 3 ∗ f (0, s) ds exp f ∗ (0, s) (T − t) − (t − T ) − T − t3 + (T − t)3 − (T − t) r 2 6 6 t B ∗ (T ) σ2 2 ∗ = ∗ exp f (0, s) (T − t) − t (t − T ) − (T − t) r (t) . B (t) 2 2
Z = exp −
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
379
7.4 Példa. HullWhite modell. A HullWhite modellben a
Q
alatt
dr = (θ (t) − ar) dt + σdw,
r (0) = r0 ,
ahol ismételten a θ (t) függvényt úgy kell meghatározni, hogy a t = 0 id®pontban a modell ∗ a meg gyelt B (T ) lejárati szerkezethez illeszkedjen. A dierenciálegyenletek
∂C (t, T ) + aC (t, T ) = −1, C (T, T ) = 0 ∂t ∂A 1 (t, T ) = θ (t) C (t, T ) − σ 2 C 2 (t, T ) , A (T, T ) = 0 ∂t 2 Az els® egyenlet a Vasicek-modellhez hasonlóan egy lineáris dierenciálegyenlet, így
1 (1 − exp (−a (T − t))) . a Z T 1 2 2 A (t, T ) = σ C (s, T ) − θ (t) C (t, T ) ds. 2 t
C (t, T ) =
θ meghatározásához ismerni ∗ ∗ az f (0, T ) = −d ln B (T ) /dT
A
B (0, T ) = B ∗ (T ) függvényt, vagy forward rátát. A f (t, T ) de níciójából
kell a
f ∗ (0, T ) = − A már kiszámolt
A
és
B
ami evvel azonos
∂C ∂A (0, T ) + (0, T ) r (0) . ∂T ∂T
függvényeket beírva, a parametrikus integrál deriválási szabálya
alapján
1 f ∗ (0, T ) = θ (T ) C (T, T ) − σ 2 C 2 (T, T ) + 2 Z T 2 2 ∂C (s, T ) σ ∂C (s, T ) + θ (s) − ds + exp (−aT ) r (0) = ∂T 2 ∂T 0 Z T σ2 = θ (s) exp (−a (T − s)) ds − C 2 (0, T ) + exp (−aT ) r (0) . 2 0 Ha bevezetjük a
g (t) $
σ2 2 C 2
(0, t)
függvényt és észrevesszük, hogy a
dx = −ax (t) + θ (t) , dt
x (0) = r (0)
egyenlet megoldása éppen
Z
T
θ (s) exp (−a (T − s)) ds + exp (−aT ) r (0) ,
x (t) = 0
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
akkor az egyenlet
f ∗ (0, T ) = x (T ) − g (T )
380
alakba írható.
Így
dx (T ) df ∗ (0, T ) dg (T ) + ax (T ) = + + ax (T ) = dT dT dT df ∗ (0, T ) dg (T ) = + + a (f ∗ (0, T ) + g (T )) = dT dT df ∗ (0, T ) σ2 = + af ∗ (0, T ) + (1 − exp (−2aT )) . dT 2a
θ (T ) =
Ebb®l következ®en ha a segítségével a
θ
B ∗ (T )
(7.2)
kétszer deriválható, akkor a most belátott (7.2) képlet
egyértelm¶en meghatározható.
Egyszer¶, de hosszadalmas számolással
B ∗ (T ) σ2 2 ∗ B (t, T ) = ∗ exp C (t, T ) f (0, T ) − C (t, T ) (1 − exp (−2at)) − C (t, T ) r (t) . B (t) 4a 2
7.5 Példa. A CoxIngersollRoss modell.
Q mérték √ dr = (b − a · r) dt + σ rdw,
A CoxIngersollRoss, röviden CIR-modellben a
ahol
a, b
és
σ
alatt
a modell pozitív paraméterei. A megfelel® egyenletek
1 ∂C (t, T ) − aC (t, T ) − σ 2 C 2 (t, T ) = −1, ∂t 2 ∂A (t, T ) − bC (t, T ) = 0. ∂t A problémát a
t 7→ C (t, T )-re
érvényes
1 y 0 = −1 + ay + σ 2 y 2 2 konstans együtthatós Riccati-egyenlet megoldása jelenti. Az egyenlet általános megoldásához szükségünk van egy lehetséges megoldásra. Mivel az egyenlet konstans együtthatós, ∗ érdemes egy y = y konstans megoldást keresni. A másodfokú egyenletet megoldva az
√
a2 + 2σ 2 −a − γ = 2 σ σ2 √ az egyenlet egy lehetséges megoldása, ahol γ $ a2 + 2σ 2 . A Riccati-egyenlet megoldásá∗ hoz javasolt közismert receptet követve vezessük be a z = 1/ (y − y ) változót. Átrendezve y∗ =
−a −
1 y = y∗ + , z
y0 = −
z0 . z2
7.2. AZONNALI RÖVID KAMATLÁB MODELLEK
381
Behelyettesítve
2 z0 σ2 1 1 ∗ ∗ − 2 = −1 + a y + + y + = z z 2 z 1 σ2 y∗ 1 ∗ ∗ 2 = −1 + ay + a + (y ) + 2 + 2 = z 2 z z 2 1 σ2 1 σ = −1 + ay ∗ + (y ∗ )2 + a + σ 2 y ∗ + = 2 z 2 z2 1 σ2 1 = 0−γ + . z 2 z2 A
−z 2
kifejezéssel átszorozva a
z 0 − γz = −σ 2 /2
lineáris dierenciálegyenlethez jutunk.
Ennek általános megoldása
z=
exp (−γt) σ 2 + c , 2γ exp (−γt)
amib®l
2γ exp (−γt) y ∗ (exp (−γt) σ 2 + c) + 2γ exp (−γt) = = exp (−γt) σ 2 + c exp (−γt) σ 2 + c exp (−γt) (y ∗ σ 2 + 2γ) + y ∗ c = . exp (−γt) σ 2 + c
y = y∗ +
Mivel
y (T ) = 0,
ezért
2γ c = − exp (−γT ) σ + ∗ y A
c
2
.
értékét behelyettesítve, elemi számolással
C (t, T ) = y (t) =
=
exp (−γt) (−a + γ) − exp (−γT ) (−a + γ) = exp (−γt) σ 2 − exp (−γT ) σ 2 + 2 yγ∗
exp (γ (T − t)) (−a + γ) − (−a + γ) y ∗ (−a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) = = σ 2 exp (γ (T − t)) − (σ 2 + 2γ/y ∗ ) σ 2 y ∗ exp (γ (T − t)) − (σ 2 y ∗ + 2γ) 2
2
a −γ (exp (γ (T − t)) − 1) y ∗ (γ − a) (exp (γ (T − t)) − 1) 2 = 2 ∗ = 2 σ∗ = σ y exp (γ (T − t)) − (γ − a) σ y exp (γ (T − t)) + (a − γ) −2 (exp (γ (T − t)) − 1) 2 (exp (γ (T − t)) − 1) = = = − (a + γ) exp (γ (T − t)) + (a − γ) (a + γ) exp (γ (T − t)) + (γ − a) 2 (exp (γ (T − t)) − 1) = . (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ Az
A-ra
vonatkozó egyenletb®l
∂A (t, T ) = bC (t, T ) , ∂t
A (T, T ) = 0.
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
382
Megmutatjuk, hogy
2b A (t, T ) = 2 ln σ
2γ exp ((a + γ) (T − t) /2) (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ
.
Egyszer¶ helyettesítéssel azonnal látható, hogy
A (T, T ) = Ha
U
2b ln 1 = 0. σ2
jelöli a logaritmus mögötti tört számlálóját és
V
a nevez®jét, akkor deriválva
2b V U 0 V − V 0 U d 2b U 2b = ln = 2 2 2 2 dt σ V σ U V σ
U0 V 0 − U V
.
A deriválásokat elvégezve
U
0
V0
a+γ = −γ (a + γ) exp (T − t) 2 = −γ (a + γ) exp (γ (T − t))
γ de nícióját felhasználva, ismételten elemi számolással 2b −γ (a + γ) exp (γ (T − t)) a+γ − = − σ2 2 (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ a+γ a+γ 2b γ − 2 (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) − 2γ 2 + γ (a + γ) = 2 = σ (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ b (γ − a) (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) = 2 = σ (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ 2 (exp (γ (T − t)) − 1) b (γ 2 − a2 ) (exp (γ (T − t)) − 1) =b = 2 σ (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ
Behelyettesítve és a
ami éppen a
C (t, T ) .
Az
A-ban
szerepl® logaritmus felhasználásával
B (t, T ) = A0 (t, T ) exp (−C (t, T ) r) , ahol
A0 (t, T ) $
2γ exp ((a + γ) (T − t) /2) (a + γ) (exp (γ (T − t)) − 1) + 2γ
2b/σ2 . 2
7.3.
A HJM nincsen arbitrázs feltétel
Az úgynevezett HeathJarrowMorton modellekben, röviden HJM modellekben, nem az
r (t)
rövid kamatlábakra, hanem az
f (t, T )
forward rátákra koncentrálunk. A modellezési
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
383
megközelítés legf®bb értéke éppen az a felismerés, hogy az
f (t, T )
szerinti modellezés egy-
szer¶bb, mint a rövid kamatlábak modellezése. Tegyük fel tehát, hogy az elemi kötvények mozgását valamilyen mérték alatt a
df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dw f (0, T ) = f ∗ (0, T ) típusú egyenletekkel írjuk le, ahol
f ∗ (0, T )
a
t=0
id®pontban meg gyelt forward görbe.
Ha ismert az egyenlet valamilyen megoldása, akkor az elemi kötvények áralakulását a
Z B (t, T ) = exp −
T
f (t, u) du
t egyenlettel határozhatjuk meg.
A kés®bbiek szempontjából érdemes hangsúlyozni, hogy
t
az exponenciális függvény kitev®jében szerepl® integrálban a
id®paraméter két helyen is
szerepel: Egyrészt az integrál határában, másrészt az integrandus képletében.
7.3.1.
A HJM feltétel levezetése
Ahhoz, hogy az
f (t, T )
a standard Itô-formulát alkalmazni a kitev®ben szerepl® lyamatra.
B (t, T ) kifejezést elegend® RT X (t, T ) $ − t f (t, u) du fo-
ismeretében vissza tudjuk számolni a
A nehézség az
X
folyamat de níciójában szerepl® integrál kezelésében van,
amely kiszámolására a standard Itô-kalkulus nem használható. tehát kiszámolni az
t
X
Els® lépésként érdemes
folyamat alakulását leíró egyenletet. A folyamat de níciójában a
id®változó két helyen szerepel.
A parametrikus integrálok deriválási szabálya alapján
azt vélemezhetjük, hogy a deriváláskor egyrészt az integrál határa szerint kell deriválni, másrészt az integrál alatt kell deriválni. Ennek megfelel®en azt sejtjük, hogy
T
Z dX (t, T ) = f (t, t) − Z = r (t) −
T
Z df (s, u) du = r (t) −
df (s, u) du = t
t T
α (t, u) dtdu + σ (t, u) dwdu =
t ∗
= r (t) + α (t, T ) dt + σ ∗ (t, T ) dw, ahol de níció szerint
∗
Z
T
α (t, T ) $ −
α (t, u) du, t
∗
Z
σ (t, T ) $ −
T
σ (t, u) du. t
A pontos igazolás a sztochasztikus integrálásra vonatkozó Fubini-tételre épül, amelyet a teljesség kedvéért most idézünk:
7.6 De níció. P az R+ × Ω téren az el®rejelezhet® folyamatok által generált σ -algabrát. Vagyis legyen P a legsz¶kebb σ -algebra az R+ ×Ω téren, amelyre nézve az összes folytonos adaptált Jelölje
folyamat mint kétváltozós függvény mérhet®.
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
384
7.7 Állítás. (Paraméteres integrálok mérhet®sége) (Ω, A, P,F) sztochasztikus alaptéren értelmezett szemimartingál, (C, C) tetsz®leges mérhet® tér. Ha H (c, t, ω) olyan (C × P)-mérhet® függvény, amelyre a H (c) min4 den c-re az X szerint integrálható , akkor a H (c) • X paraméteres sztochasztikus integrál rendelkezik (C × B (R+ ) × A)-mérhet® verzióval, vagyis megadható olyan Z (c, t, ω) a C × B (R+ ) × A σ -algebra szerint mérhet® függvény, amely a c paraméter minden értéke 5 esetén a megkülönböztethetetlenség erejéig azonos a H (c) • X integrállal . X
Legyen
az
7.8 Tétel. (Fubinitétel nem korlátos integrandusokra) X
Legyen
(C, C, µ)
szemimartingál,
véges mértéktér,
H (c, t, ω)
olyan
C×P
σ-
szorzat
algebra szerint mérhet® függvény, amelyre a
sZ H 2 (c, t, ω) dµ (c) = kH (t, ω)k2 C
az
X
akkor
H (c) • X jelöli a paraméteres integrál H (c) • X integrál és Z Z H (c) dµ (c) • X, (H (c) • X) dµ (c) =
szerint integrálható. Ha
µ-majdnem
minden
c-re
mérhet® verzióját,
létezik a
C
C
vagyis a bal oldali kétszeres integrál a jobb oldalon szerepl® sztochasztikus integrál jobbról reguláris verziója.
7.9 Tétel. (Fubini-tétel Wiener-folyamatokra) (C, C, µ)
Legyen
egy véges mérték tér és legyen
w
egy Wiener-folyamat. Ha
H (c, t, ω)
egy
adaptált, szorzatmérhet® folyamat és
Z t Z
H (c, s) dµ (c) ds < ∞ = 1, 2
P 0
akkor
Z Z
C
t
Z tZ H (c, s) dw (s) dµ (c) =
C
0
H (c, s) dµ (c) dw (s) . 0
C
A sztochasztikus integrálokra vonatkozó Fubini-tétel szerint tehát ha a akkor a Az
dwdµ
X -re
dµdw
integrál létezik,
is létezik és a két integrál megegyezik.
vonatkozó egyenletre visszatérve
Z X (t) $ −
T
Z f (t, u) du = −
t
t
T
Z t Z t ∗ f (0, u) + α (s, u) ds + σ (s, u) dw (s) du. 0
0
4 Szándékosan nem tisztázzuk, hogy milyen értelemben vett integrálhatóságról beszélünk. Az integrálható folyamatok családja az
X
szemimartingálok különböz® családjai esetén más és más.
tulajdonság az adott osztályon belül a majorált konvergencia tétel teljesülése.
A kulcs
5 A Z (c) természetesen, mint minden sztochasztikus integrál, adaptált és a t id®paraméter szerint jobbról
reguláris.
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
a (t, T )
Ha feltesszük, hogy az
és a
rálra alkalmazható a Fubini-tétel.
385
σ (s, T )
folyamatok folytonosak, akkor mindkét integ-
Az integrálokat tehát megcserélve és kihasználva az
integrálok additivitását
Z
T
Z
Z tZ
T ∗
Z sZ
T
T
σ (s, u) dudw (s) = α (s, u) duds − f (0, u) du − f (t, u) du = − t 0 t 0 t t Z tZ T Z tZ T Z T ∗ σ (s, u) dudw (s) + α (s, u) duds − f (0, u) du − =− s 0 s 0 0 Z tZ t Z tZ t Z t ∗ σ (s, u) dudw (s) = α (s, u) duds + f (0, u) du + + s 0 0 s 0 Z t Z tZ T Z tZ T = X (0) + r (s) ds − α (s, u) duds − σ (s, u) dudw (s) $ 0 0 s 0 s Z t Z t Z t ∗ $ X (0) + r (s) ds + α (s, T ) ds + σ ∗ (s, T ) dw (s) ,
X (t) $ −
0
0
0
ahol kihasználtuk, hogy
Z
s
r (s) $ f (s, s) = f (0, s) +
Z
s
α (u, s) du + 0
σ (u, s) dw (u) , 0
illetve hogy az integrálokat visszacserélve
Z tZ
Z tZ
t
0
0
s
Z tZ
s
0
X -re
Z
s tZ s
σ (s, u) dw (s) du.
α (s, u) dsdu +
= Az
t
σ (s, u) dudw (s) =
α (s, u) duds +
0
0
0
már alkalmazhatjuk a standard Itô-formulát, amellyel a következ® egyenletet
kapjuk:
7.10 Állítás. Ha az
f
forward rátákra teljesül az
df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dw (t) f (0, T ) = f ∗ (0, T ) B (t, T ) elemi kötvényekre dB 1 ∗ 2 ∗ (t) = r (t) + α (t, T ) + σ (t, T ) dt + σ ∗ (t, T ) dw (t) B 2
egyenlet, akkor a
ahol ∗
Z
α (t, T ) = −
T
α (t, u) du, t
∗
Z
σ (t, T ) = −
T
σ (t, u) du. t
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
Ezidáig a modelleket a
P
386
mérték alatt írtuk fel. Most térjünk át a
w
Girszanov-tétel segítségével úgy végezhetjük el, hogy a
w (t) = 0
w b
Q
egy
mértékre. Ezt a
t
Z
folyamatot írunk, ahol a
Q
helyébe egy
λ (s) ds + w b (t)
Wiener-folyamat. Mivel a sztochasztikus integrálok a
mértékcsere során nem változnak az új egyenlet
dB 1 ∗ 2 ∗ ∗ (t, T ) = r (t) + α (t, T ) + σ (t, T ) + λ (t) σ (t, T ) dt + σ ∗ (t, T ) dw b (t) $ (7.3) B 2 $ γ (t) dt + σ ∗ (t, T ) dw b (t) . Vagy ami ugyanez
T
Z B (T, T ) − B (t, T ) $ Q
B (s, T ) σ ∗ (s, T ) dw b (s) .
B (s, T ) γ (s) ds + t
A
T
Z t
mérték alatt
Z
t
r (s) ds E
B (t, T ) = exp
Q
0 ahol az
Y (t)
1 | Ft R (T )
$ R (t) Y (t) ,
egy martingál. A parciális integrálás formulája alapján
Z
T
B (T, T ) − B (t, T ) =
Z
T
R (s) dY (s) +
Y (s) dR (s) =
t
Z
t T
=
Z
T
R (s) dY (s) +
r (s) R (s) Y (s) ds =
t
Z
t T
=
Z R (s) dY (s) +
T
r (s) B (s, T ) ds.
t
t
A modellkeretben az árazási formula levezetésekor kihasználtuk, hogy az
F
ltrációt egy
Wiener-folyamat generálja.
Ebb®l következ®en az, lényegében az integrálreprezentzációs
tétel következményeként, az
Y
martingál is folytonos. A folytonos szemimartingálok egy-
értelm¶ felbontása alapján, felhasználva, hogy
B (s, T ) 6= 0
1 r (t) + α∗ (t, T ) + σ ∗ (t, T )2 + λ (t) σ ∗ (t, T ) $ γ (t) = r (t) . 2 Az
r (t)
folyamatot mind a két oldalon elhagyva és a
T
paraméter szerint deriválva
α (t, T ) + σ ∗ (t, T ) σ (t, T ) + λ (t) σ (t, T ) = 0. A
σ∗
de nícióját beírva
Z
T
σ (t, u) du − λ (t) σ (t, T ) .
α (t, T ) = σ (t, T ) t Ha már eleve a
Q mértékb®l indultunk ki, akkor a következ® nevezetes eredményhez jutunk:
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
387
7.11 Állítás. (HJM drift feltétel) A
Q
mérték alatt felírt
df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dw (t) f (0, T ) = f ∗ (0, T ) egyenlet
α
és
σ
paramétereire teljesülni kell az
Z α (t, T ) = σ (t, T )
T
σ (t, u) du t
azonosságnak.
7.12 Példa. A HoLee modell és a HJM feltétel. Tegyük fel, hogy a
σ (t, T )
konstans. Ekkor
Z α (t, T ) = σ (t, T )
T
Z σ (t, u) du = σ
t
T
σdu = σ 2 (T − t) .
t
Ilyenkor
Z
t 2
Z
t
σdw (s) = σ (T − s) ds + 0 t = σ2t T − + σw (t) , 2
f (t, T ) − f (0, T ) =
0
amib®l
σ2 r (t) = f (t, t) = f (0, t) + t2 + σw (t) 2 ∂f (0, t) dr (t) = + σ 2 t dt + σdw (t) ∂T ami éppen a kezdeti forward rátához illesztett HoLee modell.
2
7.13 Példa. A n lejárati szerkezetek és a HJM feltétel. A n lejárati szerkezet esetén az elemi kötvényekre
B (t, T ) = exp (A (t, T ) − C (t, T ) · r (t)) . Ebb®l a forward rátákra
f (t, T ) = −
∂ log B (t, T ) ∂C (t, T ) ∂A (t, T ) = r (t) − ∂T ∂T ∂T
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
388
Ebb®l a parciális integrálás formulája alapján
∂C (t, T ) ∂C (t, T ) ∂A (t, T ) dr (t) + r (t) d −d = ∂T ∂T ∂T ∂C (t, T ) d ∂C (t, T ) d ∂A (t, T ) = dr (t) + r (t) dt − dt ∂T dt ∂T dt ∂T
df (t, T ) =
Ha az
r
kielégíti a
dr (t) = α (t, r (t)) dt + β (t, r (t)) dw (t) egyenletet, akkor
∂C (t, T ) d ∂C (t, T ) d ∂A (t, T ) df (t, T ) = α (t, r (t)) + r (t) − ∂T dt ∂T dt ∂T ∂C (t, T ) dw (t) , +β (t, r (t)) ∂T
dt +
ami egy HJM modell
σ (t, T ) = β (t, r (t)) diúziós együtthatóval. A C (t, t) ∗ szerepl® σσ kifejezést kiszámolva
= 0
∂C (t, T ) ∂T
összefüggést használva a HJM drift feltételbes
∗
Z
T
σ (t, T ) σ (t, T ) = σ (t, T ) σ (t, u) du = t Z ∂C (t, u) ∂C (t, T ) T β (t, r (t)) du = = β (t, r (t)) ∂T ∂T t ∂C (t, T ) ∂C (t, T ) = β (t, r (t))2 [C (t, u)]Tt = β (t, r (t))2 C (t, T ) . ∂T ∂T A HJM feltétel a n lejárati szerkezett esetén a
∂C (t, T ) C (t, T ) = ∂T ∂C (t, T ) d ∂C (t, T ) d ∂A (t, T ) = α (t, r (t)) + r (t) − . ∂T dt ∂T dt ∂T β (t, r (t))2
(7.4)
alakba írható.
2
7.14 Példa. A HJM feltétel és a Vasicek-modell. Például a Vasicek-modell esetén
1 (1 − exp (−a (T − t))) . a Z Z T σ2 T 2 A (t, T ) = C (s, T ) ds − b C (s, T ) ds 2 t t dr = (b − ar) dt + σdw.
C (t, T ) =
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
389
Amit behelyettesítve az el®z® példában szerepl® (7.4) egyenletbe
1 (1 − exp (−a (T − t))) = a = exp (−a (T − t)) (b − ar (t)) + ar (t) exp (−a (T − t)) + σ 2 ∂C 2 (t, T ) ∂C (t, T ) + −b = 2 ∂T ∂T σ 2 ∂C 2 (t, T ) ∂C (t, T ) = b exp (−a (T − t)) + −b . 2 ∂T ∂T σ 2 exp (−a (T − t))
(7.5)
Közvetlen számolással az utolsó két tag
σ 2 ∂C 2 (t, T ) ∂C (t, T ) ∂C (t, T ) ∂C (t, T ) −b = σ 2 C (t, T ) −b = 2 ∂T ∂T ∂T 2∂T σ ∂C (t, T ) 2 σ C (t, T ) − b = exp (−a (T − t)) (1 − exp (−a (T − t))) − b . = ∂T a Ezt visszaírva a megkezdett (7.5) számítás egyszer¶ kiemeléssel folytatható
σ2 exp (−a (T − t)) b + (1 − exp (−a (T − t))) − b = a 2 σ = exp (−a (T − t)) (1 − exp (−a (T − t))) , a
ami éppen a korábbi (7.5), vagyis a HJM feltétel teljesülését a Vasicek-modellre ellen®riztük.
2 (t, T ) parametrizálásban (t, x) parametrizálás mellett, ahol az x a T −t id®tartam. Ilyenkor Musiela
A forward rátára vonatkozó modellt id®nként célszer¶ nem a felírni, hanem a
parametrizációról beszélünk. A Musiela paramatrizációban a forward ráta szokásos jelölése
r (t, x). hogy a
Vagyis
Q
f (t, T ) $ r (t, T − t) ,
vagy megfordítva
r (t, x) $ f (t, t + x) .
mérték alatt a forward ráta kielégíti a
df (t, T ) = σ (t, T ) σ ∗ (t, T ) dt + σ (t, T ) dw egyenletet és vezessük be a
σ 0 (t, x) $ σ (t, t + x) , Z x ∗ σ 0 (t, x) $ σ 0 (t, x) σ 0 (t, s) ds 0 jelöléseket. Miként megmutatható
dr (t, x) =
∂ ∗ r (t, x) + σ 0 (t, x) dt + σ 0 dw (t) . ∂x
Tegyük fel,
7.3. A HJM NINCSEN ARBITRÁZS FELTÉTEL
390
Az Itô-formula hibás, de formális alkalmazása szerint
∂f dr (t, x) = df (t, t + x) + (t, t + x) dt = ∂T ∂ = α (t, t + x) + r (t, x) dt + σ (t, t + x) dw = ∂x ∂ = α (t, t + x) + r (t, x) dt + σ 0 (t, x) dw. ∂x A HJM feltételben
s=u+t
helyettesítést végezve
Z
t+x
Z
σ (t, s) ds = σ 0 (t, x) α (t, t + x) = σ (t, t + x) Z xt σ 0 (t, x) du $ σ ∗0 (t, x) . = σ 0 (t, x)
x
σ (t, u + x) du = 0
0 ami éppen a kívánt alak.
7.15 Állítás. A HJM-feltétel teljesülése esetén az elemi kötvények folyamatára teljesül a
dB (t, T ) = r (t) dt − B egyenlet. Az
r
Z
T
σ (t, s) dw (s) t
folyamatra
Z
t
Z
t
σ (s, t) dw (s) = α (s, t) ds + r (t) $ f (t, t) = f (0, t) + 0 0 Z t Z t Z t σ (s, t) dw (s) = f (0, t) + σ (s, t) σ (s, u) duds + s
0
7.3.2.
(7.6)
0
Markov-tulajdonság
A HJM modellezési kör segítségével egy tetsz®legesen speci kált
σ (t, T )
segítségével de -
niálhatunk egy modellt a rövid kamatlábakra. A legtöbb így kapott modell azonban nem lesz Markov-tulajdonságú, ugyanis az
r (t) értékét el®állító integrálokban a t id®paraméter
explicite szerepel az integrandusokban is.
A nem Markov-tulajdonság azért probléma,
mert így amikor a modellt diszkretizáljuk, akkor a lehetséges utak száma exponenciálisan n®. Bizonyos esetekben azonban biztosítható, hogy az felírható
h (t) g (T )
szorzat alakban, ahol
kus függvények, akkor az
r
h
és
g
r Markov-folyamat lesz.
Ha a
σ (t, T )
szigorúan pozitív, folytonos determiniszti-
rövid kamatlábat leíró folyamat Markov-folyamat lesz. Valóban
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
391
az el®z® alpont végén belátott (7.6) szerint
Z
t
Z
t
Z
t
h (s) g (t) dw (s) = h (s) g (u) duds + h (s) g (t) 0 s 0 Z t Z t Z t 2 h (s) dw (s) $ g (u) duds + g (t) h (s) = f (0, t) + g (t) 0 s 0 Z t = a (t) + g (t) h (s) dw (s) .
r (t) = f (0, t) +
0 Ebb®l a parciális integrálási formula szerint
Z t d 0 dr (t) = h (s) dw (s) = a (t) dt + g (t) h (t) dw (t) + g (t) dt dt 0 d r (t) − a (t) = a (t) dt + g (t) h (t) dw (t) + g 0 (t) dt dt g (t) vagyis az
r
valóban Markov-folyamat.
7.16 Példa. A HJM feltétel és a HullWhite modell. Legyen
σ (t, T ) = σ exp (−a (T − t)) . Ilyenkor
h (t) = σ exp (at) , g (T ) = exp (−aT ) , σ2 a (t) = f (0, t) + 2 (1 − exp (−at))2 . 2a Elemi számolással
dr (t) =
∂f (0, t) σ2 + af (0, t) + (1 − exp (−2at)) − ar (t) dt + σdw (t) ∂T 2a
ami a korábban belátott (7.2) sor miatt éppen az illesztett HullWhite modell.
2
7.4.
Sztochasztikus diszkontfaktor modellek
A HJM modellezési megközelítés alapvet® hibája, hogy nem biztosítja, hogy az kamatláb nem negatív legyen. Ebb®l következ®en autómatikusan teljesüljenek a
0 ≤ B (t, T ) ≤ 1,
illetve a
∂B (t, T ) /∂T < 0,
r
rövid
nem biztosítható, hogy
közgazdaságilag igencsek
kézenfekv® követelmények. A sztochasztikus diszkontfaktor megközelítés f® el®nye, hogy ebben a modellkörnyezetben az
r ≥0
tulajdonság mindig biztosítva van. A modellezési
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
392
Q mellett tekintsük egy P-vel jelölt másik mértéket. A P a valódi valószín¶ség. Vezessük be a Radon deriváltakb®l álló Λ (t) = dQt /dPt folyamatot, ahol Qt , illetve Pt a megfelel® lesz¶kítése az Ft σ -algebrákra. Legyen továbbá Z t r (s) ds Λ (t) . (7.7) Z (t) $ exp −
keret megértéséhez els® lépésként a
P
egy lehetséges interpretációja, hogy a
Nikodym mértékek
0 A továbbiakban a A
Z
Z
folyamatra mint sztochasztikus diszkontfaktorra fogunk hivatkozni.
bevezetését a következ® lemma indokolja.
7.17 Lemma. Tetsz®leges
t
esetén
B (t, T ) = Általánosabban, tetsz®leges
HT
(7.8)
olyan ki zetés esetén amelyre érvényes az árazási formula
π t (HT ) =
Bizonyítás:
EP (Z (T ) | Ft ) . Z (t)
EP (HT Z (T ) | Ft ) . Z (t)
A bizonyítás a Bayes-formula felhasználásával közvetlen számolással adódik
Z T EP exp − R T r (s) ds Λ (T ) | F t t = B (t, T ) = EQ exp − r (s) ds | Ft = EP (Λ (T ) | Ft ) t R T EP exp − 0 r (s) ds Λ (T ) | Ft EP (Z (T ) | Ft ) R . = = t Z (t) exp − 0 r (s) ds Λ (t) Az általános eset indoklása analóg.
2 r≥0
s < t, akkor Z t P P E (Z (t) | Fs ) $ E exp − r (s) ds Λ (t) | Fs = 0 Z s Z t P = exp − r (s) ds E exp − r (s) ds Λ (t) | Fs ≤ 0 s Z s Z s P ≤ exp − r (s) ds E (Λ (t) | Fs ) = exp − r (s) ds Λ (s) = Z (s) , A de nícióból evidens, hogy ha
0 vagyis ha
r ≥ 0,
akkor a
Z
és
0
sztochasztikus diszkontfaktor nem negatív szupermartingál. A
nem negatív szupermartingálok egy speciális alosztályát alkotják a sztochasztikus potenciálok. Emlékeztetünk a de nícióra:
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
393
7.18 De níció. A
Z≥0 1. a 2.
folyamatot sztochasztikus potenciálnak mondjuk, ha
Z
szpermartingál,
limt→∞ E (Z (t)) = 0.
7.19 De níció. Azt mondjuk, hogy a
B (t, T )
lejárati szerkezet pozitív, ha a
Z
sztochasztikus diszkontfaktor
potenciál.
r ≥ 0,
Ha
akkor az exponenciális függvény kitev®je nem pozitív, így használható a
majorált konvergencia tétele
Z T Z T Q exp − r (s) ds = r (s) ds Λ (T ) = lim E exp − lim E (Z (T )) = lim E T →∞ T →∞ T →∞ 0 0 Z ∞ Z T Q Q = E exp − lim =E r (s) ds exp − r (s) ds . P
P
T →∞
0
0
R∞
r (s) ds = ∞, akkor a Z nem csak szupermartingál, hanem potenciál is. A fordított 0 irány nem feltétlenül teljesül. Ha Z egy potenciál, akkor a
Ha
Z (t) = EP (Z (t)) felbontásban a
D
Z (t) $ D (t) · Λ (t) = exp (−R (t)) Λ (t) EP (Z (t))
monoton csökken és tekinthet® diszkontfaktornak, miközben a
Λ
mar-
tingál tekinthet® a mértékcserét megadó deriváltfolyamatnak. Ha azonban tekintünk egy olyan monoton csökken®, nullához tartó függvényt, amely szinguláris abban az értelemben, hogy a deriváltjának integrálja nem maga a függvény, akkor egy olyan potenciált kapunk, amely alkalmas
r≥0
folyamattal nem írható fel a korábban de niált (7.7) alakú
Z
szto-
chasztikus diszkontfaktorként. Ugyancsak problémát jelenthet az, hogy egy potenciálhoz konstruált martingál csak lokálisan ekvivalens mértékcserét generál. Ezekt®l a problémáktól azonban el szokás tekinteni és a potenciálokat nem negatív rövid kamatlábat de niáló sztochasztikus diszkontfaktorként szokás interpretálni.
7.4.1.
A feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tétel
Miel®tt tovább megyünk érdemes két technikai problémát megvizsgálni. 1. Milyen értelemben igaz az úgynevezett feltételes várható értékre vonatkozó Fubinitétel:
Z
b
Xdµ (s) | G
E a
Z
b
E (X (s) | G) dµ (s) ,
= a
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
394
vagyis mikor lehet az integrálást és a feltételes várható érték képzést felcserélni. lehetséges bizonyítási gondolat a következ®: Tetsz®leges
Z Z
A∈G
Z bZ
Z bZ
b
Egy
esetén
E (X (s) | G) dPdµ (s) = X (s) dPdµ (s) = a A Z b Z Z Z = X (s) dµ (s) dP = E X (s) dµ (s) | G dP,
E (X (s) | G) dµ (s) dP = A
a
a
A amib®l
Z
A b
a
A
b
Z
b
E (X (s) | G) dµ (s) = E
Xdµ (s) | G
a
a
juk mutani, hogy mérhet® a
s 7→ E (X (s) | G)
G σ -algebrára nézve.
Rb
E (X (s) | G) dµ (s). és meg tuda A probléma alapvet®en abból származik,
feltéve, hogy meg tudjuk mondani, hogy mit jelent az hogy az
a
hozzárendelés általában nem tekinthet® folyamatnak, amely-
nek vannak trajektóriái, amiket ki lehet integrálni. változók egy indexelt halmaza.
A hozzárendelés csak valószín¶ségi
Ez a nullmérték¶ halmazok szokásos bosszúja, ugyanis
nem megszámlálható nullmérték¶ halmazt kellene egyetlen nullmérték¶ halmazba összevonni. Ahhoz, hogy a felcserélési szabálynak értelmet tudjunk adni, fel kell tételezni, hogy a feltételes várható értékek egy reguláris feltételes várható értékb®l származnak. Ilyenkor R tetsz®leges ξ valószín¶ség változó esetén az ξ (ω 0 ) P (dω 0 , ω) parametrikus integrál épΩ pen az E (ξ | G) egy verziója. Ekkor a közönséges Fubini-tétel alapján, például ha az X folyamat nem negatív és szorzatmérhet® minden
Z
E
b
Z Z
ω
esetén
b
X (s) dµ (s) | G (ω) = X (s, ω ) dµ (s) P (dω 0 , ω) = a Ω a Z bZ Z b 0 0 = X (s, ω ) P (dω , ω) dµ (s) = E (X (s) | G) (ω) dµ (s) . a
Ω
0
a
2. A másik technikai probléma a következ®: A modellkör alapfeltétele, hogy a
Z B (t, T ) = exp
t
Z r (s) ds E exp − Q
0
T
r (u) du | Ft
0
T szerint. Ebb®l következ®en Z T Q X (T ) $ E exp − r (u) du | Ft
hozamgörbér®l feltesszük, hogy deriválható a
az
(7.9)
0 kifejezésnek is deriválhatónak kell lenni a várható érték alatt elvégezni.
T
szerint.
Szeretnénk a deriválást a feltételes
Erre több út is kínálkozik, attól függ®en, hogy milyen
további megkötésekkel élünk. Vegyük észre, hogy minden pontban
Z s Z s d exp − r (u, ω) du = r (s, ω) exp − r (u, ω) du . ds 0 0
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
ω
Ha err®l a kifejezésr®l feltesszük, hogy az
395
szerint van integrálható majoránsa, akkor a
deriválás és a feltételes várható érték képzése a szokásos módon felcserélhet®. Ha azonban ezzel a feltevéssel nem akarunk élni, akkor a következ®képpen járhatunk el: A Newton Leibnitz formula és a feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tétel szerint, kihasználva, hogy
r ≥ 0,
így a Fubini-tétel használható
Z s r (s) exp − r (u) du ds | Ft = X (T ) − X (0) = E 0 0 Z s Z T Q r (u) du | Ft ds. r (s) exp − E = Q
T
Z
0
0
ds szerint integrál alatti kifejezés majdnem minden kimenetelre integrálható kell legyen, így a két oldal deriváltja majdnem mindenhol egybeesik, vagyis majdnem minden T -re Z T d Q r (u) du | Ft , r (T ) exp − X (T ) = E dT 0 A
vagyis ha nem is minden
T -re, de majdnem minden ω -ra majdnem minden T -re a deriválás
elvégezhet® a feltételes várható érték alatt.
7.4.2.
A FlesakerHughston formula
7.20 Lemma.
B (t, T ) alakulását leíró (7.8) hányados számlálóját: X (t, T ) $ EP (Z (T ) | Ft ). Ha r ≥ 0, akkor az X (t, T ) folyamat a T paraméter szerint deriválható és majdnem minden T -re ∂X (t, T ) = −EP (r (T ) Z (T ) | Ft ) . (7.10) ∂T Bizonyítás: A Z de níciójából a parciális integrálás formulája miatt Z T Z T Z (T ) = Z (t) − rZds + R (s)−1 dΛ (s) . Tekintsük a
t
t A
Λ
martingál, és mivel
r ≥ 0,
ezért
R
−1
(s) $ exp −
Rs 0
r (u) du ≤ 1,
tehát a
Λ
szerinti
integrál martingál.
P
P
Z
T
P
Z
T
−1
X (t, T ) $ E (Z (T ) | Ft ) = Z (t) − E rZds | Ft + E R (s) dΛ (s) | Ft = t t Z T Z t Z T −1 P P = Z (t) − E rZds | Ft + R (s) dΛ (s) = Z (t) − E rZds | Ft . t amib®l, ismételten kihasználva, hogy
t
r ≥ 0,
t
a feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-
tétel miatt
Z T +h X (t, T + h) − X (t, T ) 1 P = −E r (s) Z (s) ds | Ft = h h T Z 1 T +h P = − E (r (s) Z (s) | Ft ) ds. h T
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
396
A korábbi de níciókat visszaírva
Z s −r (s) exp − r (u) du Λ (s) | Ft = E (−r (s) Z (s) | Ft ) = E 0 Z s Q r (u) du | Ft . = E −r (s) exp − P
P
0 De ez utóbbi kifejezés majdnem mindenhol a fenti (7.9) sorban de niált
X (t) $ EQ exp −
deriváltja, ezért
1 X (t, T + h) − X (t, T ) = h h Az
X (T )
Z
T +h
T
d X (T + h) − X (T ) X (s) ds = . ds h
feltételezett deriválhatóságából a lemma már következik.
2
7.21 Állítás. B (t, T )
Ha a
lejárati szerkezet pozitív, akkor
R∞ Φ (s) M (t, s) ds B (t, T ) = RT∞ , Φ (s) M (t, s) ds t ahol az
M (t, T )
pozitív martingálok
nisztikus függvény. Az
M (t, T )
T -vel
indexelt halmaza és
Φ
egy nem negatív determi-
választható
M (t, T ) = EP (r (T ) Z (T ) | Ft ) módon.
Bizonyítás:
Az el®z® lemma jelölésével
T
Z X (t, T ) $ E (Z (T ) | Ft ) = E exp − P
Q
r (s) ds
| Ft .
0
Z potenciál, vagyis egylimT →∞ Z (T ) határérték. A Fatou-lemma 0 = limT →∞ E (Z (T )) ≥ E (Z (∞)) , következésképpen Z (∞) = 0. A Newton
A lejárati szerkezet pozitivitása de níció szerint azt jelenti, hogy a úttal nem negatív szupermartingál, így létezik a miatt
Leibnitz szabály szerint
Z X (t, s) = X (t, s) − X (t, ∞) = s A
∞
∂X (t, u) du = ∂T
Z
∞
EP (r (u) Z (u) | Ft ) du.
s
Φ ≡ 1 és M (t, u) $ EP (r (u) Z (u) | Ft ) választás mellett R∞ Φ (s) M (t, s) ds X (t, T ) EP (Z (T ) | Ft ) EP (Z (T ) | Ft ) RT∞ = = P = = B (t, T ) . X (t, t) E (Z (t) | Ft ) Z (t) Φ (s) M (t, s) ds t 2
Rs 0
r (u) du |
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
397
7.22 Állítás. Φ (s) nem negatív,
Tegyük fel, hogy egy alkalmas negatív martingálok
T -vel
determinisztikus függvény és
M (t, T ) nem
indexelt családja esetén az
R∞ Φ (s) M (t, s) ds B (t, T ) = RT∞ Φ (s) M (t, s) ds t kifejezés értelmes.
Ilyenkor a
B (t, T )
egy olyan pozitív hozamgörbét de niál, amelyhez
tartozó sztochasztikus diszkontfaktor éppen a
Z
∞
Φ (s) M (t, s) ds.
Z (t) = t
Bizonyítás:
A feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tétel alapján
∞
Z
Z
∞
Φ (s) M (T, s) ds | Ft = EP (Φ (s) M (T, s) | Ft ) ds = E (Z (T ) | Ft ) $ E T Z ∞ T Z ∞ = Φ (s) M (t, s) ds ≥ Φ (s) M (t, s) ds, P
P
T amib®l a
Z (T )
t
trajektóriái abszolút folytonosak és a
Z
P
lim E (Z (T )) = lim
T →∞
T →∞
Z
szupermartingál.
∞
Z
P
Φ (s) E (M (T, s)) ds = lim
T →∞
T
∞
Φ (s) EP (M (0, s)) ds.
T
u szerint martingál az Ft ltráció szerint, amelyet egy Wiener-folyamat generál, így az M (0, s) determinisztikus. Mivel a feltételek szerint a B (t, T ) értékét megadó kifejezés mindig értelmes, ezért a t = 0 esetben az integrál konvergens, ezért Z ∞ P lim E (Z (T )) = lim Φ (s) M (0, s) ds = 0, Az
M (u, s)
az
T →∞
következésképpen a
Z
T →∞
potenciál, vagyis a
Z
T tekinthet® sztochasztikus diszkontfaktornak.
2
7.23 Példa. A racionális törtfüggvény modell.
α és β determinisztikus M (t, T ) $ α (T ) + β (T ) K (t) ,
Legyenek Ha
Ilyenkor
Gyakran a
nem negatív függvények és legyen
K
egy martingál.
akkor racionális törtfüggvény modellr®l beszélünk.
R∞ R∞ Φ (s) α (s) ds + T Φ (s) β (s) ds · K (t) T R∞ . B (t, T ) = R ∞ Φ (s) α (s) ds + Φ (s) β (s) ds · K (t) t t K (t)
γ függvényhez tartozó Z t Z 1 t 2 K (t) $ exp γ (s) ds − γ (s) dw (s) 2 0 0
éppen valamilyen
exponenciális martingál.
2
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
398
7.24 Példa. Feltételes variancia potenciál. Tekintsünk egy
EP (ξ | Ft )
ξ ∈ L2 (Ω) valószín¶ségi változót és tekintsük az általa generált X (t) =
martingált. Legyen
Z (t) $ EP (X (t) − ξ)2 | Ft = EP X (t)2 + ξ 2 − 2X (t) ξ | Ft = = EP ξ 2 | Ft + X 2 (t) − 2X (t) EP (ξ | Ft ) = EP ξ 2 | Ft − X 2 (t) . A
Z
nyilvánvalóan nem negatív és egy martingál és egy szubmartingál különbsége, így P szupermartingál. Mivel a ξ négyzetesen integrálható, ezért nyilvánvalóan E (Z (t)) → 0, így a kifejezés egy potenciál.
2
7.25 Példa. A Markov-potenciál modell.
Rt aR≥ 0 és tekintsük az A (t) $ 0 a (s) ds növeked® folyamatot. Tegyük fel, hogy ∞ A (∞) = 0 a (s) ds valószín¶ségi változó integrálható. Legyen Z ∞ Z t P P Z (t) $ E (A (∞) | Ft ) − a (s) ds = E a (s) ds | Ft = 0 t Z ∞ = EP (a (s) | Ft ) ds, Legyen
az
t ahol kihasználtuk a feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tételt. A egy potenciál, ugyanis, felhasználva, hogy az
A (∞)
Z
nyilvánvalóan
a feltétel szerint integrálható, így
alkalmazható a majorált konvergencia tétele
P
P
Z
∞
P
Z
∞
E (Z (t)) = E E (a (s) | Ft ) ds = EP EP (a (s) | Ft ) ds = Z ∞ t Z ∞ t P P = E (a (s)) ds = E a (s) ds → 0. t
t
A rövid kamatlábakra vonatkozó alábbi (7.11) formula szerint
r (t) = A korábban bevezetett
X
a (t) . Z (t)
folyamatra, ismételten a feltételes várható értékre vonatkozó
Fubini-tétel szerint
P
P
Z
∞
P
X (t, T ) $ E (Z (T ) | Ft ) $ E E (a (s) | FT ) ds | Ft = T Z ∞ Z ∞ P P = E E (a (s) | FT ) | Ft ds = EP (a (s) | Ft ) ds. T
T
7.4. SZTOCHASZTIKUS DISZKONTFAKTOR MODELLEK
399
M (t, T ) = EP (aT | Ft ). A modellt tovább speci kálva legyen Y egy stacionér Markov-folyamat és legyen a (t) $ exp (−αt) g (Y (t)) , ahol g ≥ 0 egy deteriminisztikus függvény. Ekkor, felhasználva, hogy Y egy Markov-folyamat Z ∞ exp (−αs) EP (g (Y (s)) | Y (t)) ds. Z (t) = Φ (s) ≡ 1
Következésképpen
és
t A
Z
Y
szoros kapcsolatban van az
resolvens operátorával. Miként ismert, az
Y
resolvens
operátorán az
g 7→ (Rα g) (x) $ E
P
∞
Z
exp (−αs) g (Y (s)) ds | Y (0) = x
0 leképezést értjük. A Markov-folyamat homogenitása alapján
Z (t) = E
P
∞
Z
exp (−α (t + s)) g (Y (t + s)) | Y (t)
= exp (−αt) (Rα g) (Y (t)) ,
0 amib®l
B (t, T ) = exp (−α (T − t)) Az
r
EP ((Rα g) (X (T )) | Ft ) . (Rα g) (X (t))
rövid kamatláb meghatározása céljából a korábban belátott (7.11) sor szerint
r (t) =
exp (−αt) g (Y (t)) g (Y (t)) a (t) = = . Z (t) exp (−αt) (Rα g) (Y (t)) (Rα g) (Y (t)) Rα = (αI − G)−1 alakban, ahol −1 Ha f = (αI − A) g, amib®l g =
A homogén Markov-folyamatok rezolvensei felírhatók
G általában egy A (αI − A) f , akkor
dierenciáloperátor kiterjesztése.
r (t) =
(α − A) f (Y (t)) . f (Y (t)) 2
7.26 Lemma. Ha egy
M
martingállal és
h≥0
folyamattal
dZ = −hdt + dM, akkor
r (s) =
Bizonyítás:
h (s) Z (s)
(7.11)
A parciális integrálás formulája szerint
Z t dZ = −r (t) Z (t) dt + exp − r (s) ds dΛ. 0 Mivel a ltrációt egy Wiener-folyamat generálja a
Λ martingál folytonos. A r (t) Z (t) = h (t), amib®l
szemimartingálok egyértelm¶ felbontási tétele miatt
folytonos a lemma
igazolása evidens.
2
7.5. KAMAT OPCIÓK ÁRAZÁSA
7.5.
400
Kamat opciók árazása
A hozamgörbe elméletek fontos alkalmazása a kamat opciók elmélete. Egy kamat opciós ügylet de niálásához legyenek adva a
Tk−1
T0 < T1 < . . . < Tn
id®pontok. Az egyes
id®szakaszok hosszát szokás tenornak mondani. Emlékeztetünk, hogy ha
akkor
L (t, S, T ) = −
B (t, T ) − B (t, S) B (t, T ) · (T − S)
hányadost LIBOR rátának neveztük. Evvel összhangban vezessük be a értelmezett
Lk (t) $ úgynevezett LIBOR rátákat. Az cap kamat opción a
Tk
R
αk $ Tk − t < S < T,
[0, Tk−1 ]
id®szakon
1 B (t, Tk−1 ) − B (t, Tk ) αk B (t, Tk ) rátához és
id®pontokban esedékes,
T0 < T1 < . . . < Tn id®pontokhoz tartozó de a Tk−1 id®pontban már kiszámolható
Hk $ αk (Lk (Tk−1 ) − R)+ pénzáramot értjük.
Az egyes
Hk
ki zetések szokásos elnevezése caplet.
Vagyis egy cap
capletek egy portfoliója. A cap opciók árazásához elegend® a capletek árazási formuláját megadni.
7.5.1.
A LIBOR-modell
Az úgynevezett LIBOR-modell célja, hogy beillessze a piaci gyakorlatban használt úgynevezett Black-formulát a matematikai pénzügyek hagyományos elméletébe. Az általános árazási formula alapján
Z π t (Hk ) = αk E exp − Q
Tk
+ r (s) ds (Lk (Tk−1 ) − R) | Ft .
0 A
Q
mérték helyett célszer¶ bevezetni a
QTk
forward mértékeket. Emlékeztetünk, hogy a R t r (s) ds forward mértékre való áttéréskor új ármércét vezetünk be, és az R (t) = exp 0 helyett a
B (t, T )
elemi kötvények szerinti ármércével dolgozunk.
Ennek el®nye, hogy
ilyenkor
π t (Hk ) = αk B (t, Tk ) EQTk (Lk (Tk−1 ) − R)+ | Ft , vagyis a diszkontálás kivihet® a várható érték elé annak ellenére, hogy a diszkontfaktor nem detereminisztikus. Az egyszer¶bb jelölés céljából érdemes a többszörös indexeket elhagyni Q és az E Tk helyett csak az egyszer¶bb Ek jelöléssel élni. Az új jelöléssel a k -adik caplet ára
π t (Hk ) = αk B (t, Tk ) Ek (Lk (Tk−1 ) − R)+ | Ft . Az új ármérce bevezetésnek további el®nye a következ®:
7.5. KAMAT OPCIÓK ÁRAZÁSA
401
7.27 Lemma. Az
Ek -hogy
tartozó
Bizonyítás:
Qk $ QTk
mérték alatt az
Lk
id®szakaszon.
A de níciók felhasználásával
1 B (t, Tk−1 ) − B (t, Tk ) 1 Lk (t) $ = αk B (t, Tk ) αk A kifejezésben szerepl® hányados éppen a
Qk -hoz
[0, Tk−1 ]
martingál a
Tk−1
B (t, Tk−1 ) −1 . B (t, Tk )
id®pontban lejáró elemi kötvény ára a
tartozó ármércében kifejezve, így martingál az adott ármércéhez tartozó kockázat-
semleges mérték mellett.
2
7.28 De níció. LIBOR-modellen a különböz® lejárati id®pontokhoz tartozó
k = 1, 2, . . . , n
indexekkel jelölt
dLk (t) = σ k (t) Lk (t) dwk (t) σ k (t) volatilitásokról feltesszük, m-dimenziós Wiener-folyamatból a Qk
alakú egyenletekb®l álló egyenletrendszert értjük, ahol a hogy determinisztikusak és mindegyik
wk
egy közös
mértékre való áttéréskor kapott többdimenziós Wiener-folyamatot jelöl. A LIBOR modellben a
Qk
alatt az
Z
T
Lk (T ) = Lk (t) exp t ahol értelemszer¶en szerint a
σk
σ ku
a
σk
vektor
Lk
exponenciális martingál, így
m
1X σ k (s) dwk (s) − 2 u=1
Z
!
T
σ 2ku (s) ds ,
t
u-adik koordinátája. Mivel a LIBOR modell feltétele Lk (T ) lognormális eloszlású. A lognormális eloszlás-
determinisztikus, ezért az
hoz tartozó normális eloszlás várható értéke éppen az exponenciális függvényben szerepl® determinisztikus integrál értéke
m
1X mk (t, T ) = − 2 u=1 a varianciája pedig
Sk2
(t, T ) =
m Z X u=1
T
Z
σ 2ku (s) ds,
t
T
σ 2ku (s) ds.
t
6
Ebb®l a BlackScholes formula, pontosabban annak módosítása a Black-formula tésének elemi módosításával azonnal látható, hogy a
k -adik
caplet ára a
t
leveze-
id®ponban
αk B (t, Tk ) (Lk (t) · Φ (d1 ) − R · Φ (d2 )) , 6 V.ö.: 5.7. példa, 257. oldal. Black-formulán a határid®s árakra vonatkozó call opciók árazási formuláját szokás érteni.
Mivel a határid®s árak lényegében a kamatláb függvényei, ezért a határid®s árakra
vonatkozó Black-formula azonnal átvihet® a kamatlábakra vonatkozó opciókra. hogy most a diszkontálásra használt elemi kötvények árai sztochasztikusak.
Az egyetlen eltérés az,
7.5. KAMAT OPCIÓK ÁRAZÁSA
402
ahol
d1 d2
1 Lk (t) 1 2 $ ln + S (t, Tk−1 ) Sk (t, Tk−1 ) R 2 $ d1 − Sk (t, Tk−1 ) .
Ezt a formulát szokás Black-formulának mondani.
7.5.2.
A LIBOR-modell konzisztenciája
A Black-formula levezetése nyilvánvalóan de níció szerint történt, pontosan úgy de niáltuk a LIBOR modellt, hogy minden rendben legyen.
Például a dinamikát a forward
mértékek alatt adtuk meg és evvel minden egyes caplet esetén kivihettük a diszkontfaktort a feltételes várható érték elé, a dinamikát ugyanakkor minden capletre lognormálisnak de niáltuk. Ha azonban mélyebb matematikai elemzést akarunk, akkor célszer¶ legalábbis a modell konzisztenciáját megvizsgálni. A
Qk
mértékek a
de niálható mérték a LIBOR rátát a
Qn
[0, Tk ] id®szakaszokon értelmesek, így a legb®vebben id®szakaszra Qn , ugyanis a legutolsó id®pont a Tn . De niáljuk tehát az összes
mérték alatt a
dLk = Lk (t) (µ (t, L (t)) dt + σ k (t) dwn (t)) ,
k = 1, 2, . . . , n
µk (t, l) függvényekkel elérdLk = σ k Lk dwk egyenletet. végrehajtásához ki kell számolni az Ft
egyenletekkel. Meg kell mutatni, hogy alkalmasan választott het®, hogy minden
k
esetén a
Qk
Ezt indukcióval fogjuk elvégezni.
σ -algebrákon
de niált
alatt az
Lk
Az indukció
Λij (t) = dQj /dQi
kielégítse a
deriváltfolyamatokat.
A mértékcserékre és az
ármércékre vonatkozó (4.3) képlet alapján
Λij (t) =
B (t, Tj ) B (0, Ti ) , B (t, Ti ) B (0, Tj )
speciálisan a visszafelé való indukcióhoz
Λi,i−1 (t) = ahol
B (t, Ti−1 ) B (0, Ti ) $ bi (1 + αi Li (t)) , B (t, Ti ) B (0, Ti−1 )
bi $ B (0, Ti ) /B (0, Ti−1 ).
Ebb®l
dΛi,i−1 (t) = bi αi dLi (t).
A
dLi -re
beírva
dΛi,i−1 (t) = bi αi dLi (t) . = bi αi σ i (t) Li (t) dwi = Λi,i−1 (t) = bi αi σ i (t) Li (t) dwi = Λi,i−1 (t) Λi,i−1 (t) = bi αi σ i (t) Li (t) dwi = bi (1 + αi Li (t)) αi Li (t) = σ i (t) Λi,i−1 (t) dwi . 1 + αi Li (t)
a kívánt formát
7.5. KAMAT OPCIÓK ÁRAZÁSA
403
A mértékcserét megvalósító Girszanov-transzformáció egy exponenciális martingál, ahhoz tehát, hogy a kívánt alakot el® tudjuk állítani a Girszanov-formulában a magfüggvényt a
γ i (t) $ σ i (t)
αi Li (t) 1 + αi Li (t)
képlettel kell megadni. A Girszanov-formula szerint
dwi = σ i (t) vagyis, indukcióval
dwk = −
n X i=k+1
αi Li (t) dt + dwi−1 , 1 + αi Li (t)
σ i (t)
αi Li (t) + dwn . 1 + αi Li (t)
Világos, hogy a gondolatmenet megfordítható. Tegyük fel, hogy adottak a
σk
determinisz-
m-dimenziós volatilitás vektorok, k = 1, 2, . . . , n. Tekintsük egy Qn mértéket és egy m-dimenziós wn Wiener-folyamatot és legyen dLn = Ln σ n dwn . Ezt követ®en de niáljuk a Qn−1 új mértéket a γ n által megadott Girszanov-transzformációval. Majd de niáljuk az Ln−1 folyamatot, és folytassuk az eljárást egészen a k = 1 indexig. tikus,
Tárgymutató Ármérce, 227, 232
Diszkontált részvényárfolyam, 225
Ármérce, 225
Diszkontált várható érték szabály, 4
Ázsiai opciók, 292
DoobMeyer felbontás, 53, 349 Doob-egyenl®tlenség, 57, 95
Adaptált folyamat, 58
els®, 66
módosítás erejéig való egyenl®ség, 59
második, 67
A n lejárati szerkezet, 387
sztochasztikus integrálás, 74
Amerikai opció, 37
Duplázási stratégia, 100
ára, 54
Dupla barrier opció, 279
Amerikai put és call opciók kapcsolata, 352
Egyértelm¶ségi tétel, 145
Amerikai put opció, 353
Egyenletes integrálhatóság, 57, 67
folytatási halmaz találati ideje, 348 Arbitrázsnyereség, 224
korlátos halmazok, 67
Árfolyamspekuláció, 225
martingálok kiterjeszthet®sége, 67 Ekvivalens lokális martingálmérték, 229
Asszociativitási szabály, 90, 197, 227
Ekvivalens mértékcsere, 114 Barrier-opciók, 276
Ekvivalens martingálmérték, 14
Bayes-formula, 8, 233, 234, 254, 392
El®rejelezhet® folyamatok, 190
Bessel-folyamat, 133, 173, 174, 293, 294
Elemi kötvény, 372
dimenzió, 174
El®rejelezhet® folyamatok, 191
index, 174
Értékfolyamat
BlackScholes dierenciálegyenlet, 249
alulról korlátos, 225
BlackScholes dierenciáloperátor, 360
Eszközárazás diúziós modellje, 240
BlackScholes modell, 251
Eszközárazás els® alaptétele, 15
Black-formula, a Black-76 modell, 257
Eszközárazás második alaptétele, 26
BurkholderDavisGundy egyenl®tlenség, 96
Európai call opciók ára, 253 Excesszív függvények, 337
Call opció, 41 CIR-modell, 380
Független növekmény¶ folyamat, 60, 61
CoxIngersollRoss modell, 380
Fair ár, 247
Csere opciók, 262
Felrobbanó gyenge megoldás létezése, 167
D osztály, D-osztály,
Felrobbanó megoldás, 165, 166
349
Filtráció, 14, 58
75
generált, 61, 225
Dinkin-formula, 111
jobbról folytonos, 59
Diszkontálás, 30, 32
kib®vített, 61
1
TÁRGYMUTATÓ
2
Fisk-tétel, 80
Kib®vített ltráció, 61, 206
FlesakerHughston formula, 396
Kockázat piaci ára, 241
Folyamat
Kockázatsemleges mérték, 230
el®rejelezhet®, 190 Wiener, 60
Kompakt halmazokon való sztochasztikusan egyenletes konvergencia, 70
Folytatási halmaz, 346
Korai lehívás prémiuma, 367
Folytatási régió, 356, 363
Korlátos változású függvény, 67
Folytonos forward ráta, 373
Korlátos változású folyamat, 77
Forward mérték, 234
Korlátozott határid®s opció, 256
Forward ráta, 373
KunitaWatanabe egyenl®tlenség, 194
Gallér opciók ára, 255 Girszanov ellenpéldája, 174 Girszanov-tétel, 123 Wiener-folyamat, 125 Girszanov-transzformáció, 122 Wiener-folyamat, 125 Gronwall-egyenl®tlenség, 135 Háló, 317 Harmonikus függvény, 335 Wiener-folyamat, 335 Határérték és az integrál felcserélhet®sége, 82 Határid®s quato ügylet, 266 Határid®s ügyletek árazása, 252 Határid®s kötési árfolyamos opció, 256 HeathJarrowMorton modell, 382 Helyettesítéses integrálás, 94, 175 HJM drift feltétel, 387 HJM modell, 382 HoLee modell, 377 HullWhite modell, 379, 391 In nitezimális generátor, 185, 188 Integrálfolyamat ugrásai, 228 ItôStieltjes integrál, 67 Itô-diúzió, 236, 334 Itô-folyamat, 236 Itô-formula, 102 Itô-izometria, 190 Kötvény, 226, 251, 372 Keresztvariáció, 83
Kvadratikus keresztvariáció megállítása, 86 Kvadratikus variáció, 189, 237
L0 -tér, 14 L2 , 192 Lényeges szuprémum, 317 Lévy-féle karakterizációs tétel, 106 Lamperti-azonosság, 296 Laplace-transzformáció, 309 LebesgueStieltjes integrál, 70, 78 Lehívási régió, 356 Lejárati szerkezet egyenlet, 374 LIBOR, 373, 400 Lokális martingál, 75 folytonossága, 222 szerinti integrál, 198 Lokálisan ekvivalens mértékcsere, 116 Wiener-folyamat, 128 Lokálisan korlátos folyamat, 202 Lokálisan négyzetesen integrálható függvények, 198 Lokálisan négyzetesen integrálható martingál, 75 Lokalizációs sorozat, 75 Mérhet® funkcionálok, 179 Módosított Bessel-függvény, 295 Magrabe-formula, 262 Markov-folyamat Bessel-folyamat, 294 er®s Markov-folyamatok, 176, 178, 179 homogén, 183 Markov-potenciál modell, 398
TÁRGYMUTATÓ
3
Martingál, 65 H2 , 73
Optimális megállási id®, 44 legkisebb, 46
négyzetesen integrálható, 71, 73 Martingálkritérium, 96
Optimális megállítás, 40 optimalitási kritérium, 333
Martingálmérték, 6, 230
Optimális megállítás problémája, 314
Martingálprobléma, 151, 156, 180
Optimalitási kritérium, 325
Maximum folyamat eloszlása, 269
Összetett opciók árazása, 259
Maximumfolyamat, 267 Megállási id®, 38, 62 tartózkodási id®, 64 Megállási opciókról szóló tétel, 65 Megállási régió, 356 Megállítási szabály, 196 Megállított folyamat, 65 Megállított
σ -algebra,
65
Megengedett portfólió, 229 Megengedett stratégia, 100 Megoldások összehasonlítása, 141 Minimumfolyamat, 267 Nem létezik optimális megállítás, 327 NewtonLeibniz formula, 69 Nincsen arbitrázs, 14, 15, 18, 34, 100, 238 Nyereményfolyamat, 34 Ön nanszírozás, 226 Opció összetett, 259 ázsiai, 292 amerikai, 351, 352 végtelen lejárat, 357 barrier, 276 csere, 262 európai call, 253 európai put, 257 gallér opció, 255 határid®s kötési árfolyam opció, 256 határid®s kvantó, 266 korlátos határid®s opció, 256 kvantó, 264 szabad végpontú call, 289 választható, 258 visszatekint®, 285
Parabolikus egyenlet, 370 Parabolikus határ, 370 Parciális integrálás formulája, 83, 227 Polaritási formula, 87, 193 Polaritási szabály, 228 Portfólió, 14 ön nanszírozó diszkrét id®horizont, 33 folytonos id®horizont, 226 replikáló, 101 Put opció, 41 Put opció ára, 257 Quanto opciók, 264 Részvény, 226, 251 Racionális törtfüggvény modell, 397 RadonNikodym-folyamat, 116 Reguláris trajektória, 60 balról, 59 jobbról, 59 Reguláris mérték kompakt reguláris, 129 Rezolvens operátor, 184 Wiener-folyamat, 184 Riccati-egyenlet, 376 RiemannStieltjes integrál, 67, 69 Snell-burkoló, 42, 316, 325 call opció, 317 létezése, 325 Stacionárius növekmény¶ folyamat, 61 Származtatott termék, 30 Szabad határ probléma, 369 Szabad végpontú call opció, 289 Szemimartingál, 78, 200, 226
TÁRGYMUTATÓ
4
ekvivalens mértékcsere, 122
Szuperközepes függvények, 337
folytonos, 78
Szupermartingál, 65, 231, 252
Folytonos szemimartingál egyértelm¶ felbontása, 81
σ
megállási opciók tétele, 316
kompakt halmaz család, 128
Szintátlépési id®, 64 Szkorohod egzisztencia tétele, 158, 172 korlátos együtthatók, 163 Szokásos feltételek, 59, 180 Sztochasztikus dierenciál, 236 Sztochasztikus dierenciálegyenlet, 132 egyértelm¶ség
Szuperreplikálás, 37, 247, 312 Tükrözött Wiener-folyamat, 268 Tükrözési elv, 109 Tétel összehasonlitás, 174 ármérce változás, 227 ArzelaAscolli, 159 asszociativitási szabály, 90
Itô, 135 YamadaWatanabe, 138 eloszlásban való egyértelm¶ség, 143 er®s Markov-tulajdonság, 179 er®s megoldás, 133 gyenge megoldás, 133, 151 homogén, 179 megoldás létezése, 146 megoldások összehasonlítása, 141 Sztochasztikus folyamat Sztochasztikus integrál, 69, 224 integrálfolyamat létezése, 77 létezése, 73 létezése folytonos lokális martingál integrátorokra, 76 2 létezése Hloc integrátorokra, 76 linearitás, 78 parciális integrálás, 83 szemimartingál, 78
L
BolzanoWeierstrass, 16 BurkholderDavisGundy egyenl®tlenség, 95, 96 Dalang-Morton-Willinger, 14, 15 DoobMeyer, 349 Dudley, 206, 229 elveszett illúziók, 35 eszközárazás els® alaptétele, 15 eszközárazás második alaptétele, 26 Fisk, 80
folytonos, 59
Sztochasztikus integrál
alulról korlátos lokális martingál, 100
2
-becslése, 72
Sztochasztikus integrál megállítása, 78 Sztochasztikus integrál folytonos lokális martingál szerint, 198 Fubini-tétel korlátlan integrandus, 384 Sztochasztikus logaritmus, 122 Sztochasztikus potenciál, 393 Szubmartingál, 38, 65 Szuperharmonikus burkoló, 340 Szuperharmonikus függvények, 337
GemanYor, 293 Girszanov, 123, 125, 242, 245 HarrisonPliska, 14 határérték és integrálás, 82 integrálreprezentáció, 211, 217, 220 nem teljesül, 222 Itô-formula, 102 Kereskedett termékek martingál mértéke, 6 keresztvariáció karakterizálása, 86 KrepsYan, 20 KunitaWatanabe egyenl®tlenség, 194 Lévy-féle karakterizációs, 99, 106, 266 majorált konvergencia, 201 martingálkritérium, 96 megállási opció, 38, 65 megállítási szabály, 78, 86 megoldások összehasonlítása, 141 monoton osztály, 214 polaritási fornula, 87
TÁRGYMUTATÓ
Prohorov, 159 Szkorohod, 158, 174 Szkorohod egzisztencia, 158, 172 korlátos együtthatók, 163 sztochasztikus integrálok invarianciája, 204 tükrözési elve, 109 Tyihonov-féle egyértelm¶ségi, 111 YamadaWatanabe, 138, 174 Túlzó függvények, 337 Találati id®, 62 nem megállási id®, 63 nyílt halmaz, 62 zárt halmaz, 62 Teljesség, 6, 25, 246 Ugrás, 60 Választható opció, 258 Várható jelenérték szabály, 4 Véges kúp, 17 Véges változású folyamat, 77 Végtelen lejárattal rendelkez® put opció, 358 Vasicek-modell, 376, 388 Visszatekint® opció, 285 Wiener-folyamat, 60, 75 összenyomott, 98, 100 drifttel rendelkez®, 125 Fubini-tétele, 384 generált ltráció, 220 keresztvariáció, 84 korrelált, 84 rezolvens operátor, 184 tükrözött, 156 trenddel rendelkez®, 270, 363 YamadaWatanabe, 138 ellenpélda, 174
5
