Penulis : Tyas Rangga Kristianto, M.Si. Copyright © 2013 pelatihan-osn.com
Cetakan I : Oktober 2012
Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511 Telp. 021-9321 1780 Email :
[email protected] ;
[email protected]
Dilarang Keras Mengutip, menjiplak, memfotokopi sebagaian atau seluruh isi buku ini serta memperjual belikannya tanpa izin tertulis dari pelatihan-osn.com
Prakata
Olimpiade Sains merupakan suatu kompetisi tahunan yang diadakan oleh Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Kompetisi ini diikuti oleh siswa-siswi dari seluruh pelosok negeri. Melalui kompetisi ini tentunya diharapkan muncul bibit-bibit unggul yang nantinya dapat meningkatkan kualitas pendidikan di Indonesia, baik langsung maupun tak langsung. Secara umum karakterisitik soal yang diberikan dalam Olimpiade Sains berbeda dengan karakteristik soal yang diberikan guru saat kegiatan belajar mengajar di kelas. Tingkat kesulitan soal dalam Olimpiade Sains sangat tinggi. Dibutuhkan pemahaman konsep dan kemampuan analisis yang sangat baik untuk dapat menyelesaikan soal yang diberikan. Tidak heran bahwa pemenang-pemenang Olimpiade Sains adalah orang-orang yang mempunyai pengetahuan dan kemampuan yang luar biasa dalam bidangnya. Buku ini berisi tentang garis besar materi-materi yang terkait dengan soal-soal yang biasanya keluar dalam Olimpiade Sains bidang matematika. Selain itu, buku ini dilengkapi dengan contoh soal-soal olimpiade baik tingkat kabupaten/kota, propinsi, maupun nasional beserta dengan pembahasannya. Dengan demikian buku ini diharapkan dapat memberikan gambaran tentang ide bagaimana menyelesaikan soal-soal olimpiade. Sebagai latihan, pada bab akhir buku ini terdapat kumpulan soal-soal untuk dikerjakan. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan kesempatan kepada penulis dan membantu dalam penyusunan buku ini. Penulis sadar bahwa buku ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari pengguna buku untuk meningkatkan kualitas buku maupun penulis sendiri.
Bandung, Januari 2013
Penulis
Daftar Isi Prakata Daftar Isi 1. Aljabar 1.1 Sistem Bilangan Real 1.2 Penguraian dan Pemfaktoran 1.3 Himpunan 1.4 Fungsi 1.5 Perbandingan 1.6 Persamaan Garis Lurus 1.7 Persamaan Kuadrat 1.8 Pola, Barisan, dan Deret Bilangan
1 2 4 6 8 10 11 13
2. Teori Bilangan 2.1 Sifat Operasi pada Biangan Bulat 2.2 Keterbagian 2.3 FPB dan KPK 2.4 Persamaan Bilangan Bulat 2.5 Bilangan Prima 2.6 Faktorisasi Prima 2.7 Bilangan Kuadrat 2.8 Kongruensi
18 20 22 24 26 28 30 30
3. Geometri 3.1 Bidang Datar 3.1.1 Lingkaran 3.1.2 Segitiga 3.1.3 Ringkasan Sifat Beberapa Bidang Datar 3.1.4 Poligon 3.2 Bangun Ruang 3.2.1 Balok 3.2.2 Tabung 3.2.3 Kerucut 3.2.4 Bola 3.3 Trigonometri
32 32 33 37 38 40 40 41 41 41 42
4. Kombinatorika 4.1 Prinsip – Prinsip Dasar Counting 4.2 Inklusi – Eksklusi 4.3 Permutasi 4.4 Kombinasi
45 47 48 49
5. Statistika dan Peluang 5.1 Statistika 5.2 Peluang 6. Contoh Soal dan Solusi 7. Kumpulan Soal Daftar Pustaka
53 54 58 102
BAB 1 Aljabar 1.1 Sistem Bilangan Real Saat mendengar istilah sistem bilangan real, yang dimaksud adalah bilangan real dilengkapi dengan operasi tambah dan perkalian. Biasanya dinotasikan dengan (R,+,x) atau cukup R. Berikut beberapa sifat dalam bilangan real yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x). Misalkan a,b,c adalah bilangan real maka berlaku: a.
b.
c.
d.
e.
Sifat Asosiatif, yaitu: (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) Sifat Komutatif, yaitu: a+b=b+a ab = ba Adanya unsur identitas, yaitu: terdapat 0, anggota bilangan real, yang memenuhi a + 0 = a, untuk setiap bilangan real a terdapat 1, anggota bilangan real yang tidak sama dengan 0, yang memenuhi 1a = a, untuk setiap a bilangan real Adanya unsur balikan, yaitu: untuk setiap a anggota R terdapat –a anggota R sehingga berlaku a + (-a) = 0 Untuk setiap a anggota R yang tidak nol terdapat a-1 anggota R sehingga aa-1 = 1 Sifat Distributif, yaitu: a(b + c) = ab + ac
Contoh 1.1.1 (OSN 2007) Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c). a. Cari contoh yang menunjukkan bahwa: a + (b x c) ≠(a + b) x (a + c). b. Kapan berlaku: a + (b x c) = (a + b) x (a + c)? Jawab: a. Ambil a = 2, b = -2, dan c = -2, maka diperoleh bahwa 2 + (-2 x -2) ≠(2 + (-2)) x (2 + (-2)). b. Jika a = b = c = 0 maka jelas berlaku a + (b x c) = (a + b) x (a + c). Selain itu perhatikan pula bahwa jika a = 0 dan b,c bebas (salah satu boleh nol) maka a + (b x c) = (a + b) x (a + c). Hal ini karena 0 merupakan unsur identitas pada operasi penjumlahan sehingga 0 + (b x c) = b x c. Selain itu diperoleh pula bahwa (0 + b) x (0 + c) = b x c, karena b dan c tidak nol.
1.2 Penguraian dan Pemfaktoran Modal dasar dan penting yang diperlukan dalam menyelesaikan soal-soal tentang penguraian dan pemfaktoran adalah pemahaman yang baik tentang sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Beberapa bentuk penguraian atau pemfaktoran yang sebaiknya sudah dikuasai dengan baik antara lain adalah: a. 𝑥 ± 𝑦 𝑛 , terutama untuk n ≤ 4 b. 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑥 + 𝑦 (𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛−2 𝑦 + 𝑥 𝑛−3 𝑦 2 − … − 𝑥𝑦 𝑛−2 + 𝑦 𝑛−1 ), dengan n bil ganjil c. 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = 𝑥 − 𝑦 (𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑦 + 𝑥 𝑛−3 𝑦 2 + … + 𝑥𝑦 𝑛−2 + 𝑦 𝑛−1 ), dengan n bil asli
Berikut ini merupakan beberapa contoh soal yang terkait dengan pemafaktoran maupun penguraian. Contoh 1.2.1 (OSK 2004) Tentukan nilai dari 50502 − 49502 . Jawab: Perhatikan bahwa 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 (𝑥 − 𝑦). Dengan demikian mudah dilihat bahwa nilai 50502 – 49502 = (10000)(100). Jadi mudah disimpulkan bahwa 50502 − 49502 = 1000. Contoh 1.2.2. Tentukan salah satu faktor dari 183 - 113 selain 1 dan bilangan itu sendiri. Jawab: Perhatikan bahwa a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2). Dengan demikian 183 - 113 = (19 – 11)(324 + 198 +121). Jadi 7 adalah salah satu factor dari 183 - 113.
