Penulis : Rahmad AzHaris Copyright © 2013 pelatihan-osn.com
Cetakan I : Oktober 2012
Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511 Telp. 021-9321 1780 Email :
[email protected] ;
[email protected]
Dilarang Keras Mengutip, menjiplak, memfotokopi sebagaian atau seluruh isi buku ini serta memperjual belikannya tanpa izin tertulis dari pelatihan-osn.com
prakata Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT yang karena berkat rahmat dan hidayatnya penulis bias merampungkan penyusunan buku “Sukses Menuju Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA” tepat pada waktunya. Meskipun berbagai halangan yang kami alami dalam proses penyusunannya tetapi akhirnya buku ini dapat diselesaikan dengan baik. Dalam penyusunan buku ini, penulis sudah berusaha untuk melakukan yang terbaik. Namun tentu banyak kekurangan dan kesalahan yang terjadi, sehingga kritik dan masukanakan sangat berguna bagi penulis sehingga dapat memperbaiki dan menjadi lebih baik di masa mendatang. Tidak lupa pula penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah membantu sehingga buku ini dapat dirampungkan. Tanpa bantuan mustahil buku ini dapat diselesaikan dengan baik tepat pada waktunya. Akhir kata, semoga buku ini dapat berguna bagi pembaca untuk Sukses Menuju Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA.
Bandung, Februari 2013 Penulis
DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi
Bab 1 Pendahuluan 1.1. Himpunan 1.1.1. Definisi 1.1.2. Himpunan Bagian 1.1.3. Operasi Himpunan 1.1.4. Beberapa Identitas Himpunan 1.2. Sistem Bilangan 1.2.1. Bilangan Asli 1.2.2. Bilangan Cacah 1.2.3. Bilangan Bulat 1.2.4. Bilangan Rasional 1.2.5. Bilangan Irrasional 1.2.6. Bilangan Real 1.2.7. Bilangan Kompleks 1.3. Notasi Sigma dan Pi 1.3.1. Notasi Sigma 1.3.2. Notasi Pi
1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 6
Bab 2 Aljabar 2.1. Polinomal 2.2. Fungsi 2.2.1. Fungsi Chauchy 2.2.2. Fungsi Jensen 2.3. Barisan, Deret, dan Rekursif 2.3.1. Barisan dan Deret 2.3.2. Prinsip Teleskopik 2.3.3. Rekursif 2.4. Ketaksamaan 2.4.1. Konsep Dasar 2.4.2. Ketaksamaan QM, AM, GM, HM 2.4.3. Ketaksamaan Nesbitt 2.4.4. Ketaksamaan Chauchy-Schwarz 2.5. Sistem Persamaan
7 11 14 16 17 17 19 20 23 23 24 27 27 28
2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.4.
Dengan Eliminasi atau Subtitusi Dengan Menggunakan Ketaksamaan Dengan Menggunakan Karakteristik Fungsi Dengan Menggunakan Karakteristik Polinom
29 29 30 30
Soal-Soal Latihan
31
Bab 3 Teori Bilangan
36
3.1. Keterbagian 3.2. Uji Habis Dibagi 3.3. Bilangan Genap dan Ganjil 3.4. Algoritma Pembagian 3.5. GCD 3.6. LCM 3.7. Bilangan Prima 3.8. Algoritma Euclidian 3.9. Algoritma Stein 3.10. Identitas Bezout 3.11. Persamaan Diophantine Linear 3.11.1. Persamaan Diophantine Linear DuaVariabel 3.12. Induksi Matematika 3.12.1. Induksi Matematika Biasa 3.12.2. Induksi Matematika Kuat 3.13. Fungsi Tangga 3.13.1. Fungsi Floor 3.13.2. Fungsi Ceilling 3.13.3. Fungsi Bulat 3.13.4. Polignac Formula 3.14. Modular Aritmatik 3.15. Residu Lengkap 3.16. Jumlah dan Banyaknya Pembagi 3.16.1. Banyaknya Pembagi Positif Bilangan Asli 3.16.2. Jumlah Pembagi Positif 3.17. Fungsi Totient Euler 3.18. Teorema Kecil Fermat dan Teorema Euler 3.18.1. Himpunan Bilangan yang Relatif Prima 3.18.2. Teorema Euler 3.18.3. Fermat Little Theorem
36 37 38 40 41 43 44 47 47 48 49 49 51 52 54 55 55 57 58 58 59 62 67 67 69 70 72 72 73 74
Soal-Soal Latihan
77
Bab 4 Kombinatorik
80
4.1. Kombinatorik Dasar 4.1.1. Kaidah Penjumlahan
80 80
4.1.2. Kaidah Perkalian 4.1.3. Permutasi 4.1.3.1. Permutasi Boleh Berulang 4.1.3.2. Permutasi Tidak Berulang 4.1.4. Permutasi Siklik 4.1.5. Kombinasi 4.1.5.1. Kombinasi Tanpa Perulangan 4.1.5.2. Kombinasi dengan Perulangan 4.1.6. Binomial Newton 4.1.7. Peluang 4.1.8. Komplemen Suatu Kejadian 4.2. Prinsip Inklusi-Eksklusi 4.3. De Moivre Formula 4.3.1. Objek Bilangan Asli 4.3.2. Objek Bilangan Non negatif 4.4. Derangements 4.5. Paritas 4.6. Multinomial Ekspansion 4.7. Pigeon Hole Principle 4.7.1. Bentuk Sederhana 4.7.2. Bentuk Kuat 4.8. Teori Graf 4.9. Coloring Proofs
80 81 81 81 82 83 83 83 84 85 86 87 88 88 89 90 91 92 93 93 93 95 103
Soal-Soal Latihan
105
Bab 5 Geometri
110
5.1. Geometri Analitik 5.1.1. Titik dan Garis 5.1.1.1. Jarak Antara DuaTitik 5.1.1.2. Titik Tengah antara DuaTitik 5.1.1.3. Persamaan Garis 5.1.1.4. Jarak Titik ke Garis 5.1.2. Lingkaran 5.2. Geometri Vektor 5.2.1. Perkalian dengan Skalar 5.2.2. Penjumlahan Vektor 5.2.3. Perbandingan Vektor 5.2.4. Sifat-Sifat Dasar Vektor 5.2.5. Perkalian Skalar Dua Buah Vektor 5.3. Trigonometri 5.3.1. Perbandingan Geometri 5.3.2. Sifat-Sifat Perbandingan Trigonometri 5.3.3. Identitas Trigonometri Dasar
110 110 110 110 111 111 112 112 112 112 112 113 113 113 113 114 114
5.3.4. Rumus Trigonometri Dasar 5.4. Geometri Euclid 5.4.1. Segitiga 5.4.1.1. Luas Segitiga 5.4.1.2. Hukum Sinus dan Kosinus 5.4.1.3. Teorema Stewart 5.4.1.4. Teorema Ceva 5.4.1.5. Teorema Menelaos 5.4.1.6. Garis Tinggi 5.4.1.7. Garis Berat 5.4.1.8. Garis Bagi Dalam Segitiga 5.4.1.9. Garis Bagi Luar Segitiga 5.4.1.10. Garis Sumbu 5.4.2. Lingkaran 5.4.2.1. Sudut Pusat dan Sudut Keliling 5.4.2.2. Segiempat Tali busur 5.4.2.3. Titik Kuasa 5.4.2.4. Teorema Euler 5.4.2.5. Teorema Brahmagupta 5.4.3. Segiempat 5.4.3.1. JajarGenjang Varignon 5.4.3.2. Lingkaran Dalam Segiempat
114 116 116 116 117 119 119 119 120 121 121 122 123 123 124 124 126 127 127 127 127 127
Soal-Soal Latihan
130
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1. HIMPUNAN 1.1.1. Definisi Himpunan adalah kumpulan objek-objek dengan suatu sifat tertentu dan terdefinisi secara jelas. Contoh: Himpunan semua bilangan ganjil, yaitu ±1, ±3, ±5, ±7 … Himpunan secara umum disimbolkan dengan huruf kapital 𝐴, 𝐵, 𝐶, … Cara penyajian himpunan : Misal : 𝐴 =himpunan huruf vokal.
𝐴 = {𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜} 𝐴 = 𝑥 𝑥 adalah huruf vokal}
𝑥 ∈ 𝐴 : 𝑥 merupakan anggota himpunan 𝐴. 𝑥 ∉ 𝐴 : 𝑥 bukan merupakan anggota himpunan 𝐴. Banyaknya elemen di dalam himpunan𝐴 dinotasikan dengan 𝑛 𝐴 atau 𝐴 . Himpunan yang tidak punya elemen disebut himpunan kosong . Dinotasikan dengan ∅ atau { }.
1.1.2. Himpunan Bagian (𝑺𝒖𝒃𝒔𝒆𝒕) Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian dari himpunan 𝐵 jika dan hanya jika setiap elemen 𝐴 merupakan elemen dari himpunan 𝐵. Dinotasikan dengan 𝐴 ⊆ 𝐵. Beberapa sifat yaitu :
𝐴⊆𝐴 ∅⊆𝐴 Dengan kata lain himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Jika 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝐶 maka 𝐴 ⊆ 𝐶 Banyaknya himpunan bagian dari 𝐴 jika ada 𝑛 elemen adalah 2𝑛
Contoh : Himpunan bagian dari 𝐴 = {1,2,3,4} yaitu
1,2,3,4 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 , 1 , 2 , 3 , 4 , {} Ada 24 = 16 himpunan bagian.
BAB 2 ALJABAR
2.1. POLINOMIAL Definisi : Polinomial atau suku banyak memiliki bentuk umum yaitu 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Dengan 𝑥 merupakan variabel , 𝑛 merupakan bilangan bulat ≥ 0 dan 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 merupakan konstanta bilangan real. Contoh : Polinom derajat 5 : 1 5 𝑥 + 3𝑥 4 + 2𝑥 + 2 2
Lebih lanjut 𝑛 disebut dengan derajat dari polynomial 𝑃(𝑥), yaitu pangkat tertinggi dari 𝑥. Dan 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 disebut koefisien. Suatu bilangan misal 𝑥0 disebut akar dari polinom 𝑃 𝑥 adalah jika disubtitusikan 𝑥 = 𝑥0 maka nilai 𝑃 𝑥0 = 0. Contoh : (OSP 2008) Suatu polinom 𝑓(𝑥) memenuhi persamaan 𝑓 𝑥 2 − 𝑥 3 𝑓 𝑥 = 2(𝑥 3 − 1) untuk setiap bilangan real 𝑥. Derajat dari 𝑓(𝑥) adalah … Jawab : Misal 𝑓(𝑥) berderajat 𝑛 maka 𝑓(𝑥 2 ) berderajat 2𝑛. Derajat dari 𝑥 3 𝑓(𝑥) adalah 𝑛 + 3.
Jika 𝑛 > 3 Maka 2𝑛 > 𝑛 + 3 sehingga 𝑓 𝑥 2 − 𝑥 3 𝑓 𝑥 berderajat > 6 tidak mungkin kesamaan terjadi Jika 𝑛 = 3 Maka 𝑓(𝑥 2 ) dan 𝑥 3 𝑓(𝑥) sama-sama berderajat 6 jadi dimungkinkan akan saling menghilangkan dan menyisakan derajat 3. Contoh yang memenuhi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2 Jika 𝑛 < 3
Maka 2𝑛 < 𝑛 + 3, jadi ruas kiri berderajat 𝑛 + 3, karena ruas kanan berderajat 3 maka 𝑛=0 Maka 𝑓 𝑥 = 𝑐 untuk suatu 𝑐 bilangan real. 𝑓 𝑥 2 − 𝑥 3 𝑓 𝑥 = 𝑐 − 𝑥 3 𝑐 = 2𝑥 3 − 2 Dipenuhi 𝑐 = −2 Jadi derajat 𝑓 𝑥 = 3 atau derajat 𝑓 𝑥 = 0
