Koncepce virtu´ aln´ı laboratoˇ re pˇ renosu tepla Volav´ y, Jaroslav1 & Knotek, Stanislav2 & J´ıcha, Miroslav3 1
Ing., VUT v Brnˇe, Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, Enegetick´ yu ´stav, Odbor termomechaniky a techniky prostˇred´ı, Technick´a 2, 616 09 Brno,
[email protected] 2 Ing.,
[email protected] 3 prof. Ing. CSc.,
[email protected]
Abstrakt At present the project of a Virtual Laboratory of Heat Transfer is being prepared at the workplace of the Department of Termomechanics and Environmental Engineering. The aim of this article is to introduce a reader into a conception of this project. The project will result in web pages containing The Virtual Laboratory of Heat Transfer. The laboratory will be at the disposal of the students of the Faculty of Mechanical Engineering. The article gives a short overview of the problems possible to solve. Next the schemes of solution ot the problems are briefly described. The conclusion is devoted to the discussion about the advantages of the virtual experiments and benefits of Virtual Laboratory for the students. Kl´ıˇ cov´ a slova: termomechanika, pˇrenos tepla, metoda koneˇcn´ ych objem˚ u
´ 1. Uvod V souˇcasn´e dobˇe Odbor termomechaniky a techniky prostˇred´ı zajiˇst’uje v´ yuku pˇredmˇet˚ u Termomechanika a Pˇrenos tepla a l´atky. V tˇechto pˇredmˇetech se prob´ıraj´ı z´akladn´ı fyzik´aln´ı dˇeje spojen´e s tepeln´ ymi dˇeji a pˇrenosem tepla. Na pˇredn´aˇsk´ach se studenti sezn´am´ı s teoretickou str´ankou t´eto problematiky, kterou si d´ale osvojuj´ı v n´asledn´ ych hodin´ach cviˇcen´ı formou ˇreˇsen´ı konkr´etn´ıch pˇr´ıklad˚ u. Bohuˇzel souˇc´ast´ı v´ yuky nejsou laboratorn´ı praktika, v nichˇz by si studenti vyzkouˇseli sv´e teoretick´e poznatky formou expe´ celem rimentu. Tento stav je d´an zejm´ena ˇcasovou a finanˇcn´ı n´aroˇcnost´ı tˇechto cviˇcen´ı. Uˇ virtu´aln´ı laboratoˇre bude ˇc´asteˇcn´a kompenzace tohoto nedostatku. Virtu´aln´ı laboratoˇr bude sest´avat z webov´ ych str´anek s interaktivn´ımi ˇreˇsiˇci probl´em˚ u, kter´e budou vˇenov´any problematice pˇrenosu tepla. Tyto aplikace budou volnˇe pˇr´ıstupn´e student˚ um fakulty strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı a budou v sobˇe zahrnovat ˇsirok´e spektrum n´astroj˚ u pro ˇreˇsen´ı probl´em˚ u spjat´ ych s problematikou pˇrenosu tepla. Virtu´aln´ı laboratoˇr bude slouˇzit student˚ um pˇredmˇet˚ u Termomechanika a Pˇrenos tepla a l´atky k lepˇs´ımu pochopen´ı prob´ıran´e l´atky a k z´ısk´an´ı pˇredstavy o kvalitativn´ım i kvantitativn´ım pr˚ ubˇehu jednotliv´ ych jev˚ u spojen´ ych s pˇrenosem tepla. 1
2. Pˇ rehled probl´ em˚ u Skladba ˇreˇsen´ ych probl´em˚ u bude z velk´e ˇc´asti vych´azet z osnov pˇredmˇet˚ u Termomechanika a Pˇrenos tepla a l´atky. Ve virtu´aln´ı laboratoˇri bude moˇzno ˇreˇsit u ´lohy:
2.1. Jednorozmˇ ern´ e veden´ı tepla Jednorozmˇern´e veden´ı tepla lze interpretovat jako probl´em veden´ı tepla tyˇc´ı d´elky L, s poˇc´ateˇcn´ı teplotou T0 a vnitˇrn´ım zdrojem tepla Qzdr . Pro pˇrehlednost rozdˇelme tento pˇr´ıpad na stacion´arn´ı a nestacion´arn´ı. 1. Stacion´ arn´ı (ust´ alen´ e) veden´ı: Fyzik´aln´ı proces je matematicky pops´an obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnic´ı : d dT λ(x, T ) + Q˙ zdr = 0, x ∈< 0; L >, (2.1) dx dx kde ρ je hustota media, c mˇern´a tepeln´a kapacita, λ koeficient tepeln´e vodivosti a Qzdr pˇredstavuje vnitˇrn´ı zdroj, pˇr´ıpadnˇe propad tepla. Rovnice je doplnˇena tˇremi typy okrajov´ych podm´ınek : (a) Dirichletova (pˇredepisuje teploty na obou konc´ıch tyˇce): T (0, t) = TA T (L, t) = TB (b) Neumanova (pˇredepisuje tepeln´ y tok na jednom konci): ∂T q˙x = −λ ∂x x=0 (c) Newtonova (pˇredepisuje konvektivn´ı pˇrenos tepla na konci tyˇce): ∂T α(T∞ − T (0, t)) = −λ ∂x x=0 2. Nestacion´ arn´ı (neust´ alen´ e) veden´ı: Fyzik´aln´ı proces je matematicky pops´an parabolickou parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnic´ı: ∂T ∂ ∂T λ(x, T ) + Q˙ zdr = ρc , x ∈< 0; L >, t ∈< 0; t¯ > . (2.2) ∂x ∂x ∂t Okrajov´e podm´ınky jsou stejn´e jako u rovnice (2.1), mus´ı se doplnit poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka : T (x, 0) = T0 .
2
2.2. Dvourozmˇ ern´ y pˇ renos tepla I tento probl´em rozdˇelme na stacion´arn´ı a nestacion´arn´ı pˇr´ıpad. 1. Stacion´ arn´ı (ust´ alen´ e) veden´ı: ∂ ∂x
∂T λ(x, y, T ) ∂x
∂ + ∂y
∂T λ(x, y, T ) ∂y
+ Q˙ zdr = 0
[x; y] ∈< 0; Lx > × < 0; Ly > Okrajov´e podm´ınky jsou kvalitativnˇe shodn´e s podm´ınkami pro jednorozmˇern´ y pˇr´ıpad viz prvn´ı u ´loha. 2. Nestacion´ arn´ı (neust´ alen´ e) veden´ı: ∂ ∂x
∂T λ(x, y, T ) ∂x
∂ + ∂y
∂T λ(x, y, T ) ∂y
[x; y] ∈< 0; Lx > × < 0; Ly >,
∂T + Q˙ zdr = ρc ∂t
t ∈< 0; t¯ > .
2.3. Pˇ renos tepla ˇ zebry Pˇrenos tepla ˇzebrem je dan´ y obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnic´ı druh´eho ˇr´adu: d dT λA − α(T − T∞ )P = 0 dx dx s okrajov´ymi podm´ınkami : 1. na patˇe ˇzebra T (x = 0) = T0 - pˇredepsan´a teplota 2. na konci ˇzebra (a) pˇredepsan´a teplota (b) pˇredepsan´ y tepeln´ y tok (c) pˇredepsan´ y konvektivn´ı pˇrenos tepla
3. Zp˚ usob ˇ reˇ sen´ı Nyn´ı se zamˇeˇrme na konkr´etn´ı realizaci v´ ypoˇctu ˇreˇsen´ı dan´ ych probl´em˚ u. Samotn´ y v´ ypoˇcet ˇreˇsen´ı jednotliv´ ych probl´em˚ u bude zaloˇzen na b´azi numerick´ ych metod bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ ych v oblasti pˇrenosu tepla. Ve vetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u se bude jednat o metodu koneˇcn´ ych objem˚ u. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je zn´am analytick´ y tvar ˇreˇsen´ı, bude probl´em vyˇreˇsen i numericky a nab´ıdne se tak moˇznost srovn´an´ı analytick´eho a numerick´eho ˇreˇsen´ı. Existuje-li zjednoduˇsen´ y inˇzen´ yrsk´ y model v´ ypoˇctu (napˇr. kapacitn´ı metoda pro nestacion´arn´ı veden´ı 3
tepla), pak i tento model bude pouˇzit a umoˇzn´ı posouzen´ı pˇresnosti a adekv´atnosti tohoto modelu. Jelikoˇz deatiln´ı popis metody koneˇcn´ ych objem˚ u nen´ı c´ılem tohoto ˇcl´anku, bude zde tato metoda pouze naznaˇcena na probl´emu jednorozmˇern´eho nestacion´arn´ıho veden´ı tepla. Jednorozmˇern´e veden´ı tepla s pˇredepsan´ ymi teplotami na konc´ıch je pops´ano rovnicemi: ∂T ∂ ρc = ∂t ∂x
∂T λ ∂x
+ Q˙ zdr ,
x ∈< 0, L >,
t ∈< 0, t >,
(3.1)
T (x, 0) = T0 , T (0, t) = TA , T (L, t) = TB , Nejprve se provede diskretizace v prostoru a ˇcase. Pro jednoduchost a lepˇs´ı n´azornost zvolme rovnomˇern´e dˇelen´ı a λ = konst.. Interval < 0, L > se rozdˇel´ı na n stejn´ ych d´ılk˚ u (koneˇcn´ ych objem˚ u) o d´elce ∆x = L/n, pˇriˇcemˇz stˇred kaˇzd´eho d´ılku bude oznaˇcen jako ˇ xi , i = 1, . . . , n. Casov´ y interval < 0, t > se takt´eˇz rozdˇel´ı, a to sice na m d´ılk˚ u o velikosti ∆t = t/m. Nyn´ı se rovnice (3.1) zintegruje pˇres kontroln´ı objem a ˇcasov´ y krok: t+∆t Z Z
t
CV
∂T ρc dx dt = ∂t
t+∆t Z Z
t
∂ ∂x
∂T λ ∂x
t+∆t Z Z
dx dt +
t
CV
Q˙ zdr dx dt.
CV
Pot´e se provede aproximace takto vznikl´ ych integr´al˚ u. Pro aproximaci integr´al˚ u v ˇcase na prav´e stranˇe se pouˇzije implicitn´ı Eulerova metoda. To zp˚ usob´ı, ˇze v kaˇzd´em ˇcasov´em kroku mus´ıme ˇreˇsit soustavu line´arn´ıch rovnic, ale zato z´ısk´amˇe vˇetˇs´ı stabilitu metody. Vznikne n´asleduj´ıc´ı soustava diskretizaˇcn´ıch rovnic: Ti+1 − Ti Ti − Ti−1 0 ρc(Ti − Ti )∆x = λ −λ + Q˙ zdr ∆x∆t, i = 2, . . . , n − 1, (3.2) ∆x ∆x kde Ti0 je hodnota teploty z minul´eho ˇcasov´eho kroku v bodˇe xi . Rovnice (3.2) tvoˇr´ı soustavu line´arn´ıch rovnic pro teplotu v dan´em ˇcasov´em kroku. K tˇemto rovnic´ım se jeˇstˇe pˇridaj´ı rovnice vznikl´e po integraci pˇres hraniˇcn´ı koneˇcn´e objemy s uvaˇzov´an´ım okrajov´ ych podm´ınek. Po vyˇreˇsen´ı t´eto soustavy m˚ uˇzeme pˇrej´ıt do dalˇs´ıho ˇcasov´eho kroku a opakujeme tento postup tak dlouho, dokud nedos´ahneme ˇcasu t. Nyn´ı pojednejme o praktick´e realizaci virtu´aln´ı laboratoˇre. Laboratoˇr bude naprogramov´ana v jazyku PHP, kter´ y byl vybr´an z d˚ uvodu minimalizace hardwarov´eho zat´ıˇzen´ı na stranˇe klienta. Uˇzivatel laboratoˇre (klient) obdrˇz´ı od serveru samotn´ y k´od webov´e str´anky s v´ ysledkem v jazyku HTML, jenˇz bude n´aslednˇe zobrazen. Vˇsechny dnes bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´e internetov´e prohl´ıˇzeˇce toto ˇreˇsen´ı standardnˇe podporuj´ı. Jelikoˇz i vˇsechny v´ ypoˇcty zajiˇstuje server, budou poˇzadavky na hardwarov´e i softwarov´e vybaven´ı uˇzivatelsk´eho poˇc´ıtaˇce minim´aln´ı. Grafick´e rozhran´ı virtu´aln´ı laboratoˇre bude umoˇzn ˇovat intuitivn´ı nastaven´ı parametr˚ u a okrajov´ ych podm´ınek. Pˇrehledn´e a interaktivn´ı zad´av´an´ı hodnot parametr˚ u ovlivˇ nuj´ıc´ıch 4
Obr´azek 3.1: Virtu´aln´ı laboratoˇr ˇreˇsen´ı usnadn´ı zkoum´an´ı vlivu tˇechto parametr˚ u na ˇreˇsen´ı. D´ale bude u kaˇzd´eho probl´emu k dispozici n´apovˇeda obsahuj´ıc´ı struˇcn´ y teoretick´ y u ´vod do odpov´ıdaj´ıc´ı problematiky. Uk´azka vzhledu virtu´aln´ı laboratoˇre je na obr´azku (3.1).
4. Z´ avˇ er Studenti pˇredmˇet˚ u Termomechanika a Pˇrenos tepla a l´atky obvykle nemaj´ı v souˇcasn´e dobˇe moˇznost prov´adˇet re´aln´e experimenty a tak si ovˇeˇrovat poznatky nabyt´e na pˇredn´aˇsk´ach praktick´ ymi uk´azkami. Virtu´aln´ı laboratoˇr je koncipov´ana tak, aby alespoˇ n ˇc´asteˇcnˇe kompenzovala tento nedostatek. Studenti budou moci experimentovat s r˚ uzn´ ymi konfiguracemi ˇreˇsen´ ych u ´loh a sledovat, jak jednotliv´e parametry ovlivˇ nuj´ı v´ ysledn´e ˇreˇsen´ı dan´eho fyzik´aln´ıho probl´emu. Tohoto interaktivn´ıho pˇr´ıstupu lze s v´ yhodou vyuˇz´ıt k pˇribl´ıˇzen´ı v´ yˇse zm´ınˇen´ ych pˇredmˇet˚ u z´ajemc˚ um o snazˇs´ı osvojen´ı prob´ıran´e l´atky. Interaktivn´ı a pˇrehledn´e grafick´e rozhran´ı virtu´aln´ı laboratoˇre volnˇe pˇr´ıstupn´e z webov´ ych str´anek fakulty nav´ıc m˚ uˇze pˇrispˇet k propagaci Odboru termomechniky i cel´e fakulty mezi studenty i odbornou veˇrejnost´ı. ˇ Projekt virtu´aln´ı laboratoˇre je zaˇrazen do v´ ybˇerov´eho ˇr´ızen´ı FRVS.
5
Reference [1] J´ICHA, M.: Pˇrenos tepla a l´atky. Brno : Akademick´e nakladatelstv´ı CERM, 2001. ISBN 80-214-2029-4. [2] J´ICHA, M.: Poˇc´ıtaˇcov´e modelov´an´ı u ´loh veden´ı tepla a proudˇen´ı. Brno : Nakladatelstv´ı Vysok´eho uˇcen´ı technick´eho v Brnˇe, 1991. ISBN 80-214-0364-0. [3] PATANKAR, S.V.: Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. New York : Hemisphere Publishing Corporation, 1980. ISBN 0-89116-522-3. [4] VERSTEEG, H.K. - MALALASEKERA, W.: Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. Harlow : Addison-Wesley Longman Ltd., 1995. ISBN 0-582-21884-5.
6
