PENGARUH PEMILIHAN DAN JUMLAH ELEMEN TERHADAP BESARNYA Pcr KOLOM PROFIL C DENGAN METODE ELEMEN HINGGA Agus Suprihanto 1 ), Dwi Basuki Wibowo 2 ) Abstract The accurate prediction of critical load (Pcr ) is important for column design to stand from buckling. Ones of the methods used to predict Pcr is finite element method (FEM). This research is designed to determine the effect of the kinds and the number of elements to predict of Pcr using FEM. Column that made from profile C380x74 which have 1m length. These column are constrained fixed at the end and the others are free. The kind element used is 1D elements (bar and beam), 2D elements (plate) and 3D element (solid). These elements are provided by commercial FEM software MSC/NASTRAN. The number of elements being used is 4, 8, 16, 32, 64 and 128 elements. The result of these research shown that predicted Pcr using 1D element (bar and beam) is not depend on the number of elements, but for 2D and 3D elements are depend of the number of elements. Compared with predicted from elastic ideal column, the predicted Pcr for element 1D and 3D are lower but for 2D element are higher. From the practical design view it is enough to use 1D elements (bar or beam) to predict Pcr using finite element method.
Keyword: buckling, critical load (Pcr), finite element method. PENDAHULUAN Metode elemen hingga (MEH) merupakan salah satu metode numerik yang sangat banyak digunakan pada bidang rekayasa. Pada awal perkembangannya MEH ini dikembangkan oleh para insinyur- insinyur teknik sipil. Seperti metode numerik lainnya, MEH mengalami perkembangan yang pesat sejalan dengan perkembangan teknologi komputer baik perangkat keras maupun perangkat lunaknya. Perkembangan selanjutnya, MEH tidak hanya digunakan untuk kepentingan analisis struk tur bangunan saja, bahkan sudah diterapkan pada bidang teknik mesin, elektromagnetik, aliran fluida dll. Dewasa ini telah banyak dibuat perangkat lunak berbasis MEH baik yang komersial yang harganya sangat mahal maupun shareware dan freeware yang biasanya dapat diperoleh secara gratis. Perangkat lunak berbasis MEH komersial yang saat ini beredar antara lain adalah SAP 2000, MSC/NASTRAN, ALGOR, CAEFEM, ABAQUS, PATRAN dll. Umumnya perangkat lunak tersebut telah dilengkapi dengan fasilitas- fasilitas tertentu yang memudahkan penggunanya. Fasilitas tersebut antara lain perangkat lunak untuk menggambar model (CAD), data base sifat material, jenis-jenis elemen hingga, animasi, post processing dll. Kemampuan lainnya adalah disediakannya beragam jenis analisis seperti analisis linier, non- linier, modus getar, perpindahan panas baik steadi maupun transien, bukling dll. Berbeda dengan perangkat lunak komersial, perangkat lunak shareware dan freeware tidak banyak menyediakan hal- hal tersebut. Meskipun demikian untuk hal-hal sederhana perangkat lunak tersebut masih mampu digunakan. Salah satu pertimbangan yang digunakan untuk mengetahui aman tidaknya suatu kolom adalah pertimbangan terhadap besarnya beban kritis yang menyebabkan bukling. Selain secara analitis, analisis bukling dapat dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak berbasis MEH. Faaktor yang perlu diperhatikan dalam penggunaannya adalah pemilihan jenis elemen dan jumlah elemen yang digunakan. Pemilihan jenis dan jumlah elemen yang tepat akan mampu mengurangi waktu yang diperlukan untuk komputasinya. 1 2
) Staf Pengajar Jurusan Mesin UNDIP ) Staf Pengajar Jurusan Mesin UNDIP 48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
Penelitian ini dimaksudkan untuk mengetahui pengaruh penggunaan jenis dan jumlah elemen untuk menghitung beban kritis Pcr yang menyebabkan suatu kolom mengalami bukling dengan menggunakan perangkat lunak berbasis MEH. Tujuannya adalah hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai pedoman bagi pengguna perangkat lunak berbasis MEH dalam memilih jenis dan jumlah elemen yang akan digunakan untuk analisis bukling sehingga dapat menghemat waktu komputasinya. TINJAUAN PUSTAKA Perancangan suatu elemen struktur didasarkan pada pertimbangan kekuatan, kekakuan dan kestabilan. Pertimbangan kestabilan ini diperlukan karena dalam kenyataan praktek, suatu elemen struktur yang menerima beban tekan dapat mengalami penekukan meskipun beban yang bekerja masih dibawah beban maksimum yang diijinkan pada pertimbangan kekuatan dan kekakuan. Fenomena fisis tersebut dikenal dengan buckling yang merupakan suatu masalah pertimbangan kestabilan. Perhatian utama pada penelitian masalah buckling adalah menghitung seberapa besar beban tekan yang mampu menyebabkannya. Beban tersebut dinamakan dengan beban kritis yang lazim dinotasikan dengan Pcr. Prediksi yang tepat mengenai besarnya Pcr tersebut sangat diperlukan untuk mengetahui kestabilan suatu kolom. Informasi tersebut dapat digunakan untuk menilai apakah suatu disain elemen struktur atau sistem struktur aman untuk digunakan. Modus kegagalan suatu elemen struktur/mesin menjadi 3 golongan utama 7 : 1. Deformasi elastis yang berlebihan Macam kegagalan ini adalah terjadinya defleksi yang berlebihan pada kondisi setimbang-statis dan defleksi yang terjadi mendadak (misalnya buckling) yaitu pada kondisi setimbang-tak stabil. Modus pertama lazimnya disebabkan oleh kekakuan struktur kurang mencukupi dan modus kedua lazimnya disebabkan oleh gaya tekan yang bekerja melebihi suatu harga kritis. 2. Deformasi plastis yang berlebihan Lazimnya suatu elemen mesin/struktur didesain tidak mengakomodasi terjadinya deformasi plastis, meskipun demikian untuk elemen-elemen tertentu hal tersebut masih dapat diterima. Deformasi plastis yang berlebihan akan menyebabkan perubahan bentuk/dimensi yang tetap, hal ini dapat menyebabkan terganggunya fungsional elemen tersebut yang dapat menyebabkan terganggunya kinerja sistem secara keseluruhan. 3. Patah (fracture) Macam kegagalan ini adalah patah getas tiba-tiba (sudden brittle fracture), lelah (fatigue atau progressive fracture) dan delayed fracture. Patah getas tiba-tiba disebabkan adanya transisi sifat ulet ke getas (ductile to brittle transition) yang disebabkan oleh turunnya temperatur, naiknya kecepatan pembebanan dan adanya cacat pada material. Fatigue lazimnya terjadi pada elemen-elemen yang mengalami beban berfluktuasi. Modus kegagalan delayed fracture umunya terjadi pada logam yang terekspose pada temperatur tinggi. Fenomenanya baru dapat diamati setelah melewati jangka waktu yang lama. Modus kegagalan pertama dan kedua dapat diprediksikan pada saat proses disain. Modus kegagalan yang terakhir sangat sulit untuk diprediksikan terjadinya dengan tepat. Hal ini disebabkan oleh banyaknya faktor yang tidak dapat diakomodasikan dalam proses perhitungan. Faktor- faktor tersebut seperti perubahan kondisi lingkungan, perubahan sifat material, cacat material dan pengerjaan dll. Pencegahan terhadap terjadinya kegagalan pada modus pertama dan kedua dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan
48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
analisis kekuatan, kekakuan dan kestabilan. Khusus untuk masalah kestabilan ini, informasi yang diperlukan adalah besarnya Pcr yang dapat menyebabkan struktur menjadi tidak stabil. Perhitungan Pcr secara teoritis dapat dilakukan dengan menganggap terdapat suatu penyimpangan letak titik pusat beban terhadap sumbu konsentrisnya. Penyimpangan ini akan menyebabkan terdapatnya vektor gaya yang cenderung menyebabkan struktur menjadi kehilangan kesetimbangannya. Gambar 1 menunjukkan secara skematis pemodelan untuk bukling13 . Untuk membahas mengenai kesetimbangannya, diasumsikan terdapat suatu pegas linier yang bekerja pada ujung kolom yang memiliki kekakuan β = k/L2 . Selanjutnya akan dihitung besarnya Pcr dengan menggangap bahwa terdapat putaran batang bagian atas (θ) yang sangat kecil. Penyusunan persamaan kesetimbangan momen pada tumpuan akan diperoleh hubungan PcrθL + FL = Fs L. Selanjutnya ditinjau kesetimbangan gaya pada pegas liniernya, diperoleh bahwa Fs = βθL. Substitusi harga Fs tersebut maka akan diperoleh Pcr = (βθL – F)/θ. Dengan melihat bahwa harga F = 0, maka diperoleh Pcr = k/L. Uraian penentuan Pcr tersebut mengantarkan kepada prediksi besarnya beban tekan yang menyebabkan suatu kolom mengalami buckling. Pendekatan yang diuraikan tersebut mendekati perilaku kolom elastis ideal. Pada penelitian ini, pendekatan tersebut akan digunakan sebagai pembanding dari hasil prediksi dengan menggunakan metode elemen hingga.
Gambar 1. Batang tekan Metode elemen hingga merupakan suatu metode pendekatan penyelesaian pemodelan matematik terhadap suatu fenomena fisis. Pendekatan ini mencoba membagi struktur yang “besar” ke dalam elemen-elemen yang berhingga (Klaus J Batha, 1982; Robert D Cook, 1981; OC Zienkiewicz, 1981). Hal ini dimaksudkan agar pengelolaannya lebih mudah dilakukan. Penyederhanaan tersebut tergantung pada idialisasi perilaku fisik struktur pada saat menanggung beban. Sebagai contoh suatu profil baja I, dapat diidialisasikan sebagai elemen 1, 2 dan 3 dimensi. Tujuan akhir dari metode ini adalah mengetahui perilaku struktur secara keseluruhan. Akibat adanya penyederhanaan tersebut, maka akan timbul penyimpanganpenyimpangan. Secara umum dengan semakin banyak elemen hingga yang digunakan, akan menghasilkan solusi yang lebih mendekati keadaan sebenarnya (Klaus J Batha, 1982; Robert D Cook, 1981). Alasan kedua ini mengantarkan pada hipotesa bahwa jumlah elemen mempengaruhi hasil prediksi Pcr. Prediksi Pcr dapat pula dilakukan dengan menggunakan metode elemen hingga. Pada metode ini, persoalan buckling merupakan suatu analisis nilai eigen dan bentuk deformasinya merupakan vector eigen (F Bleich, 1952; H et.al Kardestuncer, 1987; . Sp Timoshenko, JP Gere, 1961). Nilai eigen tersebut diperoleh dengan menyamakan matrik kekakuan keseluruhan elemen pada struktur (atau lazim disebut dengan matrik kekakuan 48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
global) dengan nol. Matrik kekakuan global ditentukan oleh jenis elemen hingga yang digunakan. Oleh karena itu dapatlah dihipotesiskan bahwa pemilihan jenis elemen mempengaruhi prediksi Pcr. Penyusunan matrik kekakuan elemen diawali dengan menentukan suatu fungsi bentuk (shape function) dalam koordinat natural yang lazim ditulis sebagai N = N(ξ). Selanjutnya disusun vektor perpindahan sebagai fungsi dari shape function dalam koordinat natural atau dapat ditulis sebagai u = u (ξ). Langkah berikutnya adalah menyusun hubungan regangan sebagai fungsi dari perpindahan atau dapat ditulis sebagai ε = [dN/dx] u. Matrik [dN/dx] dikenal sebagai matrik hubungan regangan dengan perpindahan elemen yang lazim dinotasikan dengan huruf B. Dengan telah diketahuinya regangan yang terjadi, maka dapat dihitung besarnya tegangannya yang dinyatakan sebagai σ = DBu dimana D adalah matrik properties material. Dengan menerapkan prinsip energi potensial minimum, atau menggunakan metode Galerkin, maka akan diperoleh ∫ B T DBdV u = f , dimana f V menyatakan gaya luar yang bekerja pada titik nodal. Persamaan tersebut identik dengan persamaan yang menghubungkan gaya dengan defleksi pada pegas yaitu k.u = f, dimana k menyatakan kekakuan pegas. Dengan demikian, matrik kekakuan elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan ∫ B T DBdV . V
Perangkat lunak yang digunakan dalam penelitian ini menyediakan jenis elemen yang dapat dipergunakan untuk analisis buckling yaitu elemen 1 dimensi yaitu bar dan beam, elemen 2 dimensi yaitu plate dan elemen 3 dimensi yaitu solid. Dalam MSC/NASTRAN elemen bar dan beam digunakan untuk menyebut elemen 1 D yang mampu menahan beban aksial, momen lentur dan torsi (CS Desai; 1996). Perbedaan yang menonjol pada elemen bar dan beam pada MSC/NASTRAN adalah pada elemen beam properties dari dimensi batang tidak harus seragam, misalnya dapat berupa kerucut, atau taper. Dengan memahami definisi elemen bar pada MSC/NASTRAN, maka dapatlah diketahui matrik kekakuan elemennya. Untuk element 2 dimensi yang digunakan adalah elemen plate segi empat quadrilateral dan elemen 3 dimensi yang digunakan adalah solid he xahedral. Kedua elemen tersebut termasuk dalam golongan elemen isoparametrik (T Chandrupatla, Belegundu AD, 1991; H et.al Kardestuncer, 1987; MSC, 1994). Gambar 2 berikut menunjukkan elemen yang digunakan dalam penelitian ini berikut dengan koordinat naturalnya.
a. kuadrilateral element (plate)
b. hexahedron element (solid)
Gambar 2. Gambar skematis element yang digunakan.
48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
Fungsi bentuk untuk elemen segi empat diatas dapat dituliskan sebagai Ni =
1 (1 + ξξ i )(1 + ηη i ) untuk i = 1, 2, 3, 45, 4
10
. Dengan fungsi bentuk tersebut, maka 1 1
matrik kekakuan elemennya dapat dihitung dengan persamaan k e = t e ∫ ∫ B T DB det Jdξdη . −1 −1
Dimana t e adalah ketebalan elemen dan J adalah matrik Jacobian. Fungsi bentuk untuk elemen solid diatas dapat dituliskan sebagai 1 N i = (1 + ξξ i )(1 + ηη i )(1 + ζζ i ) untuk i = 1, 2, 3 …85, 10 . Dengan fungsi bentuk tersebut, 4 maka matrik kekakuan elemennya dapat dihitung dengan persamaan ke =
1 1 1
∫∫∫B
T
DB det J dξ dη dζ .
−1 −1 −1
Pada penggunaan software MSC/NASTRAN, pengguna dapat memulai dengan menggambar model dengan fasilitas CAD yang telah disediakan. Langkah selanjutnya adalah menentukan properti dari elemen yang akan digunakan. Selanjutnya model CAD tersebut diubah menjadi model MEH yaitu dengan menggunakan meshing. Pada tahapan ini software membangun matrik kekakuan elemen secara otomatis (MSC, 1998). Langkah berikutnya adalah menentukan kondisi batas dan pembebanan pada model. METODE PENELITIAN Tujuan utama penelitian ini adalah untuk mengetahui pengaruh pemilihan jenis dan jumlah elemen yang digunakan terhadap prediksi Pcr dengan menggunakan metode elemen hingga. Untuk keperluan ini, peneliti menggunakan perangkat lunak berbasis metode elemen hingga MSC/NASTRAN. Perangkat lunak ini menyediakan beberapa jenis elemen yang dapat digunakan untuk keperluan ini. Elemen-elemen tersebut adalah elemen 1 dimensi yaitu bar dan beam, elemen 2 dimensi yaitu plate dan elemen 3 dimensi yaitu solid.
8 6
7
7
8
5 6 5 4 2 1
3
3
4
2 1
3a. Model 2 : bar & beam n = 8 elemen
3b. Model 2 : plate n = 4 elemen
3c. Model 2 :solid n = 4 elemen
Gambar 3. Model elemen hingga kolom profil C380x74 48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
Model yang dianalisis adalah profil C380x74 yang masing- masing panjangnya 1 m. Profil C380x74 ini merupakan profil baja menurut standar American Institute of Steel Construction. Model tersebut ditumpu dengan tumpuan jepit disalah satu ujungnya dan di ujung yang menerima beban tekan dibiarkan bebas. Kolom tersebut terbuat dari baja dengan E = 200GPa dan µ = 0,3. Pendekatan analisisnya menggunakan analisa buckling dengan mengasumsikan dalam keadaan elastis. Pengaruh berat kolom pada penelitian ini diabaikan. Gambar 3 menunjukkan model elemen hingga yang diteliti. Untuk tiap-tiap jenis elemen yang digunakan, analisis Pcr dilakukan dengan memvariasikan jumlah elemennya. Jumlah elemen yang digunakan pada model kolom yang diteliti adalah 4, 8, 16, 32, 64 dan 128 buah. Hasil prediksi Pcr ini kemudian diplot pada suatu grafik Pcr versus jumlah elemen. Hasil prediksi tersebut kemudian dibandingkan dengan hasil prediksi Pcr dengan menggunakan pendekatan kolom elastis ideal yang diuraikan pada referensi 13. HASIL DAN PEMBAHASAN
Grafik 2. Pcr vs Jumlah Elemen Model Profil C380x74 6
Pcr (MN)
5 4 Bar/Beam 3
Plate
2
Solid
1 0 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Jumlah Elemen
Gambar 4. Grafik Pcr vs jumlah elemen model 1 Hasil prediksi Pcr dengan menggunakan metode elemen hingga untuk model kolom C380x74 yang panjangnya 1 m ditunjukkan pada gambar 4. Dari grafik tersebut terlihat bahwa penggunaan elemen bar dan beam menunjukkan hasil prediksi Pcr yang sama dan tidak terpengaruh oleh jumlah elemen. Hasil prediksi menggunakan elemen solid, untuk jumlah elemen kurang dari 16 buah menghasilkan Pcr yang lebih tinggi dan untuk jumlah elemen diatas 16 buah prediksi Pcr sama dengan ele men bar dan beam. Sementara itu untuk konfigurasi elemen plate, untuk jumlah elemen kurang dari 16 buah, hasil prediksi Pcr menurun dengan bertambahnya jumlah elemen dan mencapai konstan pada jumlah elemen lebih dari 16 buah. Untuk penggunaan elemen bar, beam dan solid menghasilkan prediksi Pcr = 2,6 x 106 N, sedang untuk elemen plate prediksi Pcr = 3,5 x 106 N. Sementara itu pendekatan kolom elastis ideal diperoleh harga Pcr = 2,7 x 106 N.
48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
KESIMPULAN Hasil penelitian diatas menunjukkan bahwa penggunaan elemen 1 dimensi hasil prediksi Pcr tidak dipengaruhi oleh jumlah elemen dan hasilnya berada dibawah prediksi Pcr yang diperoleh dari pendekatan kolom elastis ideal. Prediksi Pcr dengan menggunakan elemen plate dan solid dipengaruhi oleh jumlah elemen yang digunakan. Dengan demikian untuk memprediksikan Pcr suatu kolom dengan menggunakan metode elemen hingga lebih efektif apabila menggunakan elemen 1 dimensi dengan jumlah elemen 1 buah. DAFTAR PUSTAKA 1. Batha, Klaus J, 1982, Finite Element Procedures In Engine ering Analysis, Prentice Hall, New Jersey 2. Bleich, F, 1952, Buckling Strength of Metal Structures, McGraw-Hill, New York 3. Callister, 1994, An Introduction Material Sciences and Engineering, John Willy & Sons 4. Chajes, A, 1974, Principles of Structural Stability, Prentice-Hall 5. Chandrupatla, T; Belegundu AD, 1991, Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall International Inc. New Jersey 6. Cook, Robert D, 1981, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons 7. Dieter, GE, 1998, Physical Metallurgi, Mc Graw-Hill, New York 8. De Garmo EP, Black JT, Kohser A, 1997, Material and Proceses in Manufacturing, Prentice Hall 9. Desai, CS; 1996, “Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga” Penerbit Erlangga, Jakarta diterjemahkan oleh Wirjosoedirdjo, Sri Jatna 10. Kardestuncer, H et.al, 1987, Finite Element Handbook, Mc Graw-Hill, inc 11. MSC, 1994, MSC/NASTRAN for Reference Manual, The Mac Neal-Schwendler Corporation 12. MSC, 1998, MSC/NASTRAN for windows : Analysis Example Manual. 13. Popov, Egor P; 1968, Introduction to Mechanics of Solid, Prentice Hall, 14. Timoshenko, Sp; Gere, JP, 1961, Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York 15. Weaver Jr, W; Johston, Paul R, Finite Element for Structural Analysis, PrenticeHall Inc, New Jersey 16. Zienkiewicz, OC, 1981, The Finite Element Method, Tata Mc Graw-Hill, New Delhi
48
Traksi. Vol. 3. No. 2, Desember 2005
