Penerapan Multi-Agent Model Predictive Control (MPC) untuk Optimasi Waktu Hijau pada Jaringan Lalu Lintas Perkotaan

1

Penerapan Multi-Agent Model Predictive Control (MPC) untuk Optimasi Waktu Hijau pada Jaringan Lalu Lintas Perkotaan Zendhiastara Arthananda1, Subchan2, dan Kamiran3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail: [email protected] [email protected] , [email protected]

Abstrak— Kemacetan adalah salah satu permasalahan yang sering dihadapi di sejumlah perkotaan. Hal ini disebabkan oleh banyaknya kendaraan tanpa ada pengaturan yang baik. Pada paper ini dibahas kontrol waktu hijau pada pengaturan lampu lalu lintas agar panjang antrian di jalanan minimal dan tidak terjadi kemacetan. Model jalan yang digunakan pada paper adalah model jalan 1 arah dengan 6 persimpangan dan 13 jalan yang disebut links. Metode Multi-Agent Model Predictive Control (Multi-Agent MPC), yang disebut juga MPC tersebar, digunakan untuk mengatur waktu lampu hijau pada lampu lalu lintas. Dari hasil simulasi diperoleh distribusi waktu hijau pada subsistem 3 anatara 0 samapai 81.9 detik. Kata Kunci— Multi-Agent Model Predictive Control (MultiAgent MPC), Optimasi Waktu Hijau, Quadratic Programming.

K

I. PENDAHULUAN

EMACETAN[1] adalah masalah utama yang sering dihadapi di sejumlah perkotaan. Kemacetan disebabkan oleh adanya jumlah kendaraan yang berlebih atau terlalu banyak yang beroperasi di suatu tempat. Jumlah kendaraan yang terlalu banyak tanpa adanya pengaturan yang baik dapat menyebabkan terjadinya kemacetan yang parah. Sehingga ini diperlukan adanya pengaturan lalu lintas. Berdasarkan permasalah diatas, dibutuhkan suatu teknologi pengaturan atau kontrol terutama untuk mengendalikan sebuah lampu lalu lintas pada persimpangan jalan. Lampu lalu lintas pada persimpangan jalan harus dapat dikendalikan atau dikontrol dengan semudah mungkin untuk mengurangi kepadatan kendaraan dan memperlancar arus lalu lintas di persimpangan jalan. Lampu lalu lintas adalah lampu yang digunakan untuk mengatur kelancaran lalu lintas di persimpangan jalan dengan cara mengatur arus lalu lintas dari masing-masing arah untuk berjalan secara bergantian. Metode[4] analisis model untuk mengatur jaringan lalu lintas perkotaan antara lain menggunakan Multi-Agent Model Predictive Control (MPC). Multi-Agent MPC yang disebut juga MPC tersebar, menyelesaikan masalah jaringan lalu lintas dilakukan oleh agent secara desentralisasi, dimana jaringan akan terbagi menjadi beberapa sub-sistem dan terjadi komunikasi antar agent dalam sistem sehingga diperoleh solusi opimal secara lokal dan global. Pada paper ini akan dibahasa mengenai pengoptimalkan waktu hijau untuk meminimasi panjang antrian serta mendapatkan sebaran lama waktu hijau yang terjadi pada

jaringan lalu lintas perkotaan. Sehingga tidak tejadi kemacetan pada lalu lintas. II. TINJAUAN PUSTAKA A. Model Jaringan Lalu Lintas Perkotaan Sebuah jaringan perkotaan[4] terdiri dari interseksi dan persimpangan yang bergabung dengan jalan yang mewakili jalan, jalan raya atau sebarang infrastruktur yang menggabungkannya. Sebuah persimpangan terdiri atas himpunan jalan yang berakhir pada suatu titik yang sama. Sebuah jalan adalah himpunan bagian dari jalanan kecil dari sebuah link dimana kendaraan dapat melintasi sebuah persimpangan secara stimultan. Sebuah stage adalah periode waktu selama dimana sinyal lampu lalu lintas terjadi. Aliran maksimum dimana sebuah kendaraan dapat melintasi jalan dari sebuah persimpangan ketika jalanan memiliki hak untuk melintas disebut derajat kejenuhan (saturation flow) dimana biasanya dinyatakan dalam kendaraan per jam. Lama lampu kuning diantara phase yang berurutan untuk menjamin keamaan disebut waktu hilang (lost time). Perulangan dari stage disebut waktu sikel (cycle time). Sebuah jaringan lalu lintas perkotaan dipandang sebagai graf berarah yang simpulnya dinyatakan sebagai persimpangan 𝑗 ∈ 𝐽 dan belokannya mewakili ke jalan 𝑧 ∈ 𝑍. Himpunan I𝑗 dan O𝑗 secara berurutan adalah jalan yang masuk dan yang keluar dari persimpangan j. Rute kendaraan yang masuk dimodelkan dengan laju perputaran (turning rates). Secara spesifik, laju perputaran 𝜏𝑧,𝑤 menambah laju kendaraan yang mencapai persimpangan j dari jalan z ∈ I𝑗 dan berbelok ke jalan w ∈ O𝑗 . Untuk memperoleh tujuan dari analisis kendali lalu lintas, laju perputaran (turning rates) 𝜏𝑧,𝑤 , waktu sikel C𝑗 , waktu hilang L𝑗 pada saat di persimpangan dan derajat kejenuhan S𝑧 dari jalanan dinyatakan konstan. Diberikan F𝑗 adalah himpunan phase di persimpangan j dimana u𝑗 ,𝑖 menotasikan waktu hijau dari phase i ∈ F𝑗 . Secara khusus setiap persimpangan menjalankan dengan waktu sikel yang sama C dimana dijalankan dengan constraint i∈F j uj,i + L𝑗 = 𝐶. Aliran dinamis lalu lintas dari jaringan berdasarkan gambar 1 diberikan [5]: ∆𝑥𝑧 𝑡 + 1 = ∆𝑇(𝑞𝑧 𝑡 + 𝑑𝑧 𝑡 − 𝑝𝑧 𝑡 − 𝑐𝑧 (𝑡) (1)

2 dimana ∆𝑇 = kontrol interval 𝑥𝑧 = jumlah kendaraan di link z 𝑞𝑧 = aliran masuk dari link z 𝑐𝑧 = aliran keluar 𝑝𝑧 = permintaan yang dinyatakan dengan kendaraan yang tidak berasal dari link yang berdekatan yang masuk ke dalam jaringan.

Model Predictive Contol atau MPC adalah suatu metode proses control lanjutan yang banyakditerapkanpada proses industri. Dari sekian banyak algoritma multivariable control, MPC adalah salah satunya[2] Lima konsep yang dikenal di dalam MPC yaitu[2]: a. Model proses dan disturbance b. Performance index c. Pengendalian/penanganan constraint d. Optimalisasi e. Receding horizon principle Metode MPC dijelaskan di bawah ini.

Gambar 1. Aliran Dinamis Lalu Lintas Permintaan 𝑝𝑧 dan aliran keluar 𝑐𝑧 disatukan bersama menjadi sebuah ganguang atau disturbance, sebut saja 𝑒𝑧 . Dengan mengasumsi bahwa aliran masuk dan aliran keluar dari link z dengan hak untuk berjalan sama dengan derajat kejenuhan atau saturation flow 𝑆𝑧 , maka (1) menjadi : 𝑥𝑧 𝑡 + 1 = 𝑥𝑧 𝑡 + ∆𝑇 𝑒𝑧 (2)

Gambar 3. Struktur dasar MPC 𝑆𝑤

𝑤 ∈𝐼𝑗 1 𝜏𝑤,𝑧 𝐶

𝑖∈𝑉𝑤

𝑢𝑗 1,𝑖 𝑡 −

𝑆𝑧 𝐶

𝑖∈𝑉𝑧

𝑢𝑗 2,𝑖 𝑡 +

Mengeneralisasikan (2) untuk semua jaringan link ke dalam matrik dengan persamaan: 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢(𝑡) + 𝑒(𝑡) (3) dimana 𝑥 𝑡 : vektor keadaan 𝑢(𝑡) : vektor kendali yang mengandung sinyal 𝑢𝑗 ,𝑖 𝑡 A : matriks keadaan B : matriks kendali B. Model Jalan Model yang digunakan pada penulisan paper ini adalah sebagai berikut[4]:

Prediction horizon dalam MPC mengacu pada langkah yang digunakan untuk memprediksi keluaran. Pada prediction horizon kendali masukan sebelumnya menjadi pedoman untuk menentukan prediksi kendali masukan yang akan digunakan untuk memprediksi keluaran selanjutnya. Dalam MPC sinyal kendali (kontrol) mengalami perubahan setiap waktu, sehingga respon mampu menghasilkan nilai yang semakin baik pada sistem. D. Multi-Agent Model Predictive Control Model pengendalian optimal [4] yang digunakan pada MPC linier ini adalah Quadratic Programming (QP). Pada kasus ini, MPC linier tanpa memperhitungkan ganguan (disturbance), maka bentuk (3) menjadi : 𝒙𝑚 (𝑡 + 1) = 𝐴𝑚 𝒙𝑚 𝑡 +

𝐵𝑚𝑖 𝒖𝑖 𝑡

4

𝑖∈𝐼 𝑚

dimana I(m) = {m} ∪ {𝑖 ∶ (𝑖, 𝑚) ∈ 𝐸 adalah himpunan input tetangga dari sub-sistem m, yang mana sub-sistem mempengaruhi keadaan dari m. MPC mendapatkan sinyal kontrol untuk waktu t dengan menyelesaikan masalah Quadratic Programming (QP) : Gambar 2. Model Jalan Pada gambar diatas dapat dilihat bahwasanya model jaringan lalu lintas yang digunakan pada usulan Tugas akhir ini terdapat 6 persimpangan atau intersection yang dinotasikan dengan angka dan 13 jalan satu arah atau links yang dinotasikan dengan xi | i =1, ... , 13. Dan daerah yang diamati yaitu disekitar persimpangan nomor 3. C. Model Predictive Control (MPC)

1

𝑇 = 𝑀 𝑚 =1 𝑘=1 2 𝑥𝑚 𝑡 + 𝑘𝑇𝑄𝑚𝑥𝑚𝑡+𝑘+𝑢𝑚𝑡+𝑘−1𝑇𝑅𝑚𝑢𝑚(𝑡+𝑘−1) (5)

𝑃 𝑡 ∶ min

𝑀 𝑚 =1 𝜙𝑚 (𝑡)

kendala : 𝐱 m (t) = 𝐱 m 𝐱 m t + k + 1 = Am 𝐱 m t + k + k , 𝑚∈ ℳ, 𝑘∈𝒯 𝐶𝑚 𝒖𝑚 𝑘 ≥ 𝑐𝑚 , 𝑚 ∈ ℳ, 𝑘 ∈ 𝒯

i∈I m

Bmi 𝐮i t + (6) (7)

3 (8)

𝐷𝑚 𝒖𝑚 𝑘 = 𝑑𝑚 , 𝑚 ∈ ℳ, 𝑘 ∈ 𝒯

State prediction [3] dari subsistem m pada saat t+k adalah fungsi keadaannya pada saat t dan sinyal kendali atas waktu t+k adalah 𝒙𝑚 𝑡 + 𝑘 = 𝐴𝑘𝑚 𝒙𝑚 (𝑡) + 𝑘𝑙=1 𝑖∈𝐼(𝑚 ) 𝐴𝑙−1 𝑚 𝐵𝑚𝑖 𝒖𝑖 (𝑡 + 𝑘 − 𝑙) (9) Misalkan 𝒖𝑚 𝑡 = (𝒖𝑚 (𝑡), … , 𝒖𝑚 (𝑡 + 𝐾 − 1)) adalah vector kendali dan 𝒙𝑚 (𝑡) = (𝒙𝑚 (𝑡 + 1), … . , 𝒙𝑚 (𝑡 + 𝐾)) adalah variabel kendali atas waktu horizon. Dengan mendefinisikan : 𝐴𝑚 𝐵𝑚𝑖 0 𝐴𝑚 𝐵𝑚𝑖 𝐵𝑚𝑖 𝐴2𝑚 𝐴𝑚 = dan 𝐵𝑚𝑖 = ⋮ ⋮ ⋮ 𝐾=1 𝐾 𝐵 𝐴𝐾−2 𝐴 𝐴𝑚 𝑚𝑖 𝑚 𝐵𝑚𝑖 𝑚 diperoleh state prediction yakni 𝒙𝑚 𝑡 = 𝐴𝑚 𝒙𝑚 + 𝑖∈𝐼(𝑚 ) 𝐵𝑚𝑖 𝒖𝑖 (𝑡)

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

0 0 0 𝐵𝑚𝑖

(10)

Dengan menggunakan (10), maka fungsi objektif menjadi : 𝝓𝑚 𝑡 = 1 𝑇 𝒙𝑚 𝑡 𝐴𝑇𝑚 𝑄𝑚 𝐴𝑚 𝐱 m + iϵI m 𝒙𝑇𝑚 𝑡 𝐴𝑇𝑚 𝑄𝑚 𝐵𝑚𝑖 𝒖𝑖 𝑡 +

2 1

1

𝑇 𝒙𝑇𝑚 𝐴𝑇𝑚 𝑄𝑚 𝐵𝑚𝑖 𝒖𝑖 (𝑡) + 𝑢𝑚 𝑅𝑚 𝒖𝑚 (𝑡) (11) 2 Lalu mendefinisikan : 𝑇 𝑔𝑚𝑖 = 𝐵𝑚𝑖 𝑄𝑚 𝐴𝑚 𝒙𝑚 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ∈ 𝐼 𝑚 𝑇 𝐻𝑚𝑖𝑗 = 𝐵𝑚𝑖 𝑄𝑚 𝐵𝑚𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 𝑚 , 𝑖 ≠ 𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑗 ≠ 𝑚 2

iϵI m

jϵI m

𝑇

𝐻𝑚𝑚𝑚 = 𝐵𝑚𝑚 𝑄𝑚 𝐵𝑚𝑚 + 𝑅𝑚 𝑇 1 𝑐 𝑡 = 𝑚 ∈ℳ 𝒙𝑚 𝑡 𝑇 𝐴𝑚 𝑄𝑚 𝐴𝑚 𝒙𝑚 𝑡 merupakan 2 konstanta dan diabaikan ke dalam tujuan optimasi. sehingga fungsi objektif pada (5) dapat ditulis dalam bentuk Quadratic Programming : 𝑃 𝑡 ∶ min 𝑓 𝑢 =

1 𝑢𝐻𝑢 + 𝑓 ′ 𝑢 2

Kendala : 𝐶𝑚 𝑢𝑚 𝑘 ≥ 𝑐𝑚 , 𝑚 ∈ ℳ 𝐷𝑚 𝑢𝑚 𝑘 = 𝑑𝑚 , 𝑚 ∈ ℳ

𝐶𝑚 0 𝐶𝑚 = 0 ⋮ 0 0 𝐷𝑚 0 𝐷𝑚 = 0 ⋮ 0 0

𝑐1 0 0 ⋯ 0 0 𝑐2 𝐶𝑚 0 ⋯ 0 0 0 𝐶𝑚 ⋯ 0 0 , 𝑐 = 𝑐3 𝑚 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑐5 0 0 ⋯ 𝐶𝑚 0 𝑐6 0 0 ⋯ 0 𝐶𝑚 𝑑1 0 0 ⋯ 0 0 𝑑 𝐷𝑚 0 ⋯ 0 0 2 0 𝐷𝑚 ⋯ 0 0 , 𝑑 = 𝑑3 𝑚 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 𝐷𝑚 0 𝑑5 0 0 ⋯ 0 𝐷𝑚 𝑑6 III PEMBAHASAN

A. Model Jalan Lalu Lintas Perkotaan Dengan menggunakan (2) pada bab II, maka dapat diperoleh A=I dan B adalah matriks input control yang berukuran 13x13. Tabel 1. Nilai parameter 𝜏1,4 = 0.20 𝜏2,4 = 0.25 𝜏3,4 = 0.65 𝜏1,6 = 0.05

𝜏2,6 = 0.30

𝜏3,6 = 0.05

𝜏7,5 = 0.80

𝜏1,11 = 0.05

𝜏2,11 = 0.30

𝜏3,11 = 0.05

𝜏8,7 = 0.40

𝜏1,13 = 0.70

𝜏2,13 = 0.15

𝜏3,13 = 0.15

𝜏8,10 = 0.60

𝜏9,7 = 0.60

𝐶1 = 192.0

𝐶5 = 91.7

𝜏9,10 = 0.40

𝐶2 = 132.6

𝐶6 = 131.3

𝜏10,12 = 0.80

𝐶3 = 81.9

𝜏11,12 = 0.50

𝐶4 = 165.6

𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3 = 𝑆4 = 𝑆5 = 𝑆7 = 𝑆8 = 𝑆9 = 𝑆10 = 𝑆12 = 𝑆13 = 3600 𝑆6 = 𝑆11 = 1800

(12) (13) (14)

𝜏6,5 = 0.50

Dengan memasukkan nilai parameter pada Tabel 1, dapat diperoleh matriks B berukuran 13x13 sebagai berikut

Dimana 𝐻213 𝐴𝐻 𝐻615 0 0 0 0 0 0 𝐻233 0 0 0 dan 0 0 𝐴𝐽 0 0 0 0 0 𝐻655 0 0 0 0 0 0 𝑔11 𝑔21 𝑔31 0 𝑔51 𝑔61 0 𝑔22 0 0 0 0 𝑔33 0 0 0 𝑔23 0 𝑓= 0 0 𝑔34 𝑔44 𝑔54 0 0 0 0 0 𝑔55 𝑔65 0 0 0 0 0 𝑔66

𝐴𝐺 0 0 0 𝐻231 𝐻= 𝐴𝐼 𝐻651 0

4 Untuk subsistem 4 dengan m=4, diperoleh 𝒙4 (𝑡) = 𝐴4 𝒙4 𝑡 + 𝐵44 𝒖4 (18) Untuk subsistem 5 dengan m=5, diperoleh 𝒙5 (𝑡) = 𝐴5 𝒙5 𝑡 + 𝐵51 𝒖1 + 𝐵54 𝒖4 + 𝐵55 𝒖5 (19)

B

Untuk subsistem 6 dengan m=6, diperoleh 𝒙6 (𝑡) = 𝐴6 𝒙6 𝑡 + 𝐵61 𝒖1 + 𝐵65 𝒖5 + 𝐵66 𝒖6 (20)

=

Selanjutnya substitusi (15) – (20) ke dalam (5) maka akan diperoleh (12), dimana 𝐴𝐺 0 𝐻213 𝐴𝐻 𝐻615 0 0 0 0 0 0 0 𝐻231 0 𝐻233 0 0 0 𝐻= 𝐴𝐼 0 0 𝐴𝐽 0 0 𝐻651 0 0 0 𝐻655 0 0 0 0 0 0 0 Dengan 𝐴𝐺 = 𝐻211 + 𝐻311 + 𝐻511 + 𝐻611 𝐴𝐻 = 𝐻314 + 𝐻514 𝐴𝐼 = 𝐻341 + 𝐻541 𝐴𝐽 = 𝐻344 + 𝐻544 B. Formulasi Dekomposisi Untuk distribusi tersebar, [4] seorang agent m menentukan nilai dari variable kendali local dari subsistem m . Nilai dari 𝒖𝑚 didapatkan dengan

. dimana A = -1.875

Q = -2.1739

Y = -1.9629

B1 = -1.875

I = 3.5165 II = 1.0989 J = 0.0938

R = -2.1739

Z = 3.1407

C = -1.875

K = 0.5625

S = 1.3043

AA = 0.9815

D = 0.375

L = 0.0938

T = 0.8696

AB= -2.7418

E = 0.4688

M = -2.1978

U = -3.9258

AC= 0

F = 1.2188

N = -4.3956

V=0

AD= 0.2813

G = -2.7149

O = 0.8696

W = 0.5625

AE= 0.2813

H = -2.7149

P = 1.3043

X = 0.0938

AF= 2.7418

Selanjutnya, menggunakan (10), maka akan diperoleh state prediction di setiap subsistem m dimana I(m) = {m} ∪ {𝑖 ∶ (𝑖, 𝑚) ∈ 𝐸} adalah himpunan input tetangga dari subsistem m, yang mana sub-sistem mempengaruhi keadaan dari m. Untuk subsistem 1 dengan m=1, diperoleh 𝒙1 (𝑡) = 𝐴1 𝒙1 𝑡 + 𝐵11 𝒖1 (15) Untuk subsistem 2 dengan m=2, diperoleh 𝒙2 (𝑡) = 𝐴2 𝒙2 𝑡 + 𝐵21 𝒖1 + 𝐵22 𝒖2 + 𝐵23 𝒖3 Untuk subsistem 3 dengan m=3, diperoleh 𝒙3 = 𝐴3 𝒙3 𝑡 + 𝐵31 𝒖1 + 𝐵33 𝒖3 + 𝐵34 𝒖4 (17)

(16)

menyelesaikan sebuah masalah optimasi lokal 𝑃𝑚 (𝑡) di setiap waktu. Desain dari himpunan {𝑃𝑚 (𝑡)} dan pasangan antar agent disebut formulasi dekomposisi. Formulasi dikatakan perfect jika setiap subsistem 𝑃𝑚 (𝑡) menjamin semua kendala pada fungsi objektif P(t) yang bergantung pada 𝒖𝑚 . Untuk perfect dekomposisi, diberikan: 𝐼(𝑚) = {𝑖: 𝑚 ∈ 𝐼 𝑖 , 𝑖 ≠ 𝑚} adalah himpunan output tetangga dari subsistem m yang mana sebarang subsistem i dengan keadaan 𝒙𝑖 dipengaruhi oleh 𝒖𝑚 . 𝐶 𝑚 = { 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 𝑚 𝑥𝐼 𝑚 : 𝑖 = 𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑗 = 𝑚} adalah subsitem berpasangan dari quadratic yang bergantung pada 𝒖𝑚 . 𝐶 𝑚, 𝑘 = { 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 𝑘 𝑥𝐼 𝑘 : 𝑖 = 𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑗 = 𝑚} adalah pasangan dari quadratic dengan 𝑘 ∈ 𝐼 𝑚 yang bergantung pada 𝒖𝑚 . Sehingga masalah local dari agent m adalah : 1 𝑃𝑚 𝑡 : min 𝑓𝑚 = 𝒖𝑚 ′𝐻𝑚 𝒖𝑚 + 𝑔𝑚 ′𝒖𝑚 (21) 2 Dengan kendala: 𝐶𝑚 𝑢𝑚 𝑘 ≥ 𝑐𝑚 , 𝐷𝑚 𝑢𝑚 𝑘 = 𝑑𝑚 , dimana 𝐻𝑚 = 𝐻𝑚𝑚𝑚 + 𝑘∈𝐼 𝑚 𝐻𝑘𝑚𝑚 1 𝑔𝑚 = 𝑔𝑚𝑚 + 𝑔𝑖𝑚 2 𝑖∈𝐼 (𝑚 )

Dengan mensubstitusikan pada masing-masing subsistem, maka akan diperoleh: 𝐻1 = 𝐻111 + 𝐻211 + 𝐻311 + 𝐻511 + 𝐻611 𝐻2 = 𝐻222

5 𝐻3 = 𝐻333 + 𝐻233 𝐻4 = 𝐻444 + 𝐻344 + 𝐻544 𝐻5 = 𝐻555 + 𝐻655 𝐻6 = 𝐻666 Hasil dari optimasi diatas menghasilkan : 𝑥𝑚 𝑡 + 1 𝑡 , 𝑥𝑚 𝑡 + 2 𝑡 , . . , 𝑥𝑚 (𝑡 + 𝑁|𝑡) dan 𝑢𝑚 𝑡 𝑡 , 𝑢𝑚 𝑡 + 1 𝑡 , . . , 𝑢𝑚 (𝑡 + 𝑁 − 1|𝑡) Apabila optimasi 𝑃𝑚 𝑡 diatas feasible, maka didapatkan penyelesaian optimalnya adalah : 𝑢𝑚 ∗ 𝑡 𝑡 , 𝑢𝑚 ∗ 𝑡 + 1 𝑡 , . . , 𝑢𝑚 ∗ 𝑡 + 𝑁 − 1 𝑡 , 𝑥𝑚 ∗ 𝑡 + 1 𝑡 , 𝑥𝑚 ∗ 𝑡 + 2 𝑡 , . . , 𝑥𝑚 ∗ (𝑡 + 𝑁|𝑡) Sesuai dengan prinsip receding horizon pada MPC maka nilai kontrol yang didapatkan dari hasil optimisasi di atas adalah : 𝑢𝑚 𝑡 𝑡 = 𝑢𝑚 ∗ (𝑡|𝑡) Dalam paper ini digunakan subroutine qoadprog yang ada pada MATLAB untuk menyelesaikan masalah optimisasi tersebut. C. Simulasi Model

Gambar 5. Hasil Simulasi Hasil simulasi yang terlihat pada Gambar 5. Menunjukkan bahwa distribusi waktu hijau pada subsistem berada pada 0 sampai dengan 81.9 detik. Dalam hal ini, kendali (waktu hijau) pada subsistem ini dipengaruhi oleh kendali pada subsistem yang lain yakni 1,2,3 dan 4. Sehingga pada distribusi waktu hijau ini diperoleh waktu hijau optimal. IV KESIMPULAN Daerah yang diamati pada paper ini adalah daerah pada subsistem 3 dimana dipengaruhi oleh subsistem 1,2,3 dan 4. Terlihat bahwasanya diperoleh distribusi waktu hijau pada subsistem ini adalah 0 sampai dengan 81,9 detik.

DAFTAR PUSTAKA [1] Aboudolas, K., Papageorgiou, M., Kosmatopoulos, E., 2007. “Control and optimization methods for traffic signal control in large-scale congested urban road networks,” in Proceeding of American Control Conference, New York, USA, July, pp.3132-3138. [2] Camacho, E.F., Bordons, C., 2004. Model Predictive Control. Springer-Verlag. [3] Camponogara E., de Oliveira, L.B., 2009. Distributed optimization for model predictive control of linear dynamic networks, Accepted by IEEE Transaction on System,Man, and Cybernetics – Part A. . [4] Oliviera, L.B., Camponogara, E., 2010. Multi-agent model predictive control of signaling split in urban traffic networks. Transportation Research. Part C, Emerging Technologies, v.18, p. 120-139 [5] R. R. Negenborn, B.D. Schutter, and J. Hellendoorn, 2007. “Multi-agent model predictive control for transportation networks: serial versus parallel schemes,” to appear in Engineering Application of Artificial Intelligence.