PENERAPAN DISTURBANCE COMPENSATING MODEL PREDICTIVE CONTROL (DC-MPC) PADA KENDALI GERAK KAPAL Nama : Sari Cahyaningtias NRP : 1211 201 208 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : Subchan, Ph.D
ABSTRAK Pada penelitian ini dibahas permasalahan pengendalian manuver kapal dengan mempertimbangkan empat derajat kebebasan, yaitu: yaw, roll, sway, dan surge dengan rudder sebagai kendali pada sistem. Model dinamik manuver kapal membentuk sistem persamaan diferensial tak linier. Pengendalian sistem gerak kapal dilakukan dengan metode Disturbance Compensating Model Predictive Control (DC-MPC). Metode DC-MPC diterapkan dengan membentuk kompensasi kendali dan dilakukan optimasi dengan mempertimbangan gangguan yang ada. Selanjutnya kompensasi kendali optimal digunakan sebagai faktor yang mempengaruhi batas atas pada kendala ke-k. Kompensasi kendali optimal digunakan juga sebagai faktor pengaruh hasil output dari kendali optimal pada proses optimasi dengan metode Model Predictive Control (MPC). Hasil analisis penerapan DC-MPC menunjukkan bahwa gangguan yang diberikan dapat diminimumkan pengaruhnya terhadap perilaku gerak kapal, sehingga pergerakan kapal relatif stabil dan mengikuti referensi lintasan. Kata Kunci:MPC, DC-MPC, kompensasi kendali, manuver kapal, gangguan laut
sumbu transversal adalah sway (translasi) dan pitch (rotasi). Dan heave dan pitch masing-masing sebagai translasi dan rotasi pada sumbu normal bumi. Umumnya, sistem gerak kapal yang digunakan adalah tiga derajat kebebasan yaitu surge, yaw, dan sway. Pada saat kecepatan surge, sway, dan yaw tak terkendali, dapat menghasilkan gerakan lain seperti pitch, heave, dan roll yang dapat menyebabkan guncangan keras dan kerusakan kargo pada kapal [6]. Selain pengendalian gerak kapal, dalam praktek lapangan masalah lain yang membawa dampak besar dalam sistem kendali kapal adalah gangguan lingkungan. Terdapat tiga macam gangguan lingkungan di lautan, antara lain: gelombang, angin, dan arus laut. Umumnya kendala ini diabaikan karena kompleksitas struktur interaksi gelombang laut itu sendiri. Dalam penelitian ini, faktor lingkungan yang diperhitungkan adalah gelombang laut yang dibangkitkan oleh angin. Faktor ini dipilih karena secara fisik berhubungan langsung dengan gerak kapal dan menjadi faktor dominan diantara kedua faktor yang lain. Metode pengendali yang banyak dikembangkan dibidang kendali sistem kapal adalah Model Predictive Control (MPC). Penerapan metode ini, dapat memenuhi permasalahan berdasarkan analisis hasil simulasi pada penelitian-penelitian terdahulu. DC-MPC merupakan pengembangan dari MPC Model Predictive Control, berbasis pada kontrol umpan balik (feedback control). Metode ini merupakan salah satu alternatif penyelesaian desain kendali lanjutan untuk mengatasi gangguan yang diberikan secara langsung. Pada metode ini, dilakukan pendefinisian gangguan yang diberikan pada sistem terlebih dahulu. Kemudian dilakukan optimasi pada sistem sehingga mendapatkan disturbance compensating, kompensasi gangguan. Proses inilah yang membedakan dari MPC pada umunya, kompensasi gangguan yang diperoleh selanjutnya dijadikan input pada algoritma MPC. Ide pengembangan metode DC-MPC diperkenalkan oleh Li dan Sun (2012) dalam penelitiannya mengenai ship heading control. Pada penelitian tersebut dilakukan perbandingan dengan metode-metode MPC yang telah ada sebelumnya. Hasilnya, DC-MPC dapat mengatasi masalah gangguan lingkungan sehingga gerakan kapal dapat dikendalikan sesuai kendala yang ditetapkan. Sedangkan Model yang digunakan dalam penelitian ini adalah model tak linier dengan mempertimbangkan
1. PENDAHULUAN Indonesia merupakan negara kepulauan dengan dua pertiga wilayah berupa lautan. Sehingga diperlukan adanya pertahan dan keamanan yang kokoh terutama pada wilayah lautan yang membentang luas dari sabang sampai Merauke. Dalam hal ini, kapal merupakan salah satu pilihan tepat untuk transportasi industri (dalam bidang perdagangan) ataupun patroli rutin wilayah laut. Oleh karena itu diperlukan adanya tingkat keamanan serta akurasi yang tepat dalam pergerakannya. Mengingat wilayah laut rentan terhadap berbagai gangguan lingkungan untuk itu dibutuhkan pengendalian terhadap gerak kapal agar dapat menjaga kestabilan di lautan. Ketika melakukan manuver di lautan, sebuah kapal mempunyai enam derajat kebebasan [4]. Pergerakan ini berpusat pada tiga sumbu utama, antara lain: sumbu longitudinal (dari buritan ke depan), sumbu transversal (samping), dan sumbu normal bumi (atas ke bawah). Pada masing-masing sumbu ini terdapat gerakan rotasi serta translasi. Gerakan pada sumbu longitudinal adalah surge sebagai translasi dan roll sebagai rotasi. Sedangkan pada
Surabaya, 15 Januari 2014
1
sumbu/gerak longitudinal), dan pitch (rotasi pada sumbu transversal/ gerakan kesamping) [4]. Sebagaimana dapat terlihat pada 1 sebagai berikut:
empat derajat kebebasan, yaitu yaw, surge, sway, dan roll. Diasumsikan bahwa pitch dan heave tidak mempengaruhi manuver kapal.Model tak linier empat derajat kebebasan adalah model paling komprehensif yang dipaparkan dalam literatur-literatur terbuka, dan dapat mencakup fundamental karakteristik dari dinamik kapal dan menuju ketelitian yang lebih memuaskan [5]. Ruang lingkup penelitian ini, dikembangkan pada sistem kendali gerakan kapal dengan empat derajat kebebasan. Kapal yang bergerak dengan kecepatan tinggi di lautan maka, kecepatan Berdasarkan uraian diatas maka pada penelitian ini, akan dikaji mengenai pengendalian gerakan kapal di permukaan laut. Penelitian ini akan dikembangkan pada lintasan yang ditentukan dengan menerapkan metode DC-MPC. Selanjutnya dilakukan simulasi dan analisis untuk mendapatkan keakuratan metode yang diterapkan. Permasalahan yang akan diambil dalam tesis ini adalah Bagaimana penerapan Disturbance Compensating Model Predictive Control (DC-MPC) untuk kendali kapal.Bagaimana hasil simulasi serta analisis penerapan Disturbance Compensating Model Predictive Control (DC-MPC) untuk kendali kapal. Permasalahan pengendalian kapal telah banyak dikaji diberbagai penelitian. Pada tahun 2013 Syaifuddin melakukan penelitian pengendalian haluan kapal dengan menerapkan metode MPC. Pada penelitian tersebut model matematika yang dipilih adalah Model penurunan Nomoto orde satu dengan mempertimbangan satu derajat kebebasan yaitu yaw. Simulasi dilakukan pada kapal perang convert sigma. Selanjutnya, pengembangan penelitian tentang pengendalian haluan kapal dilakukan oleh Fauziyah (2013). Pengendalian dilakukan dengan menerapkan metode gabungan MPC-KF sebagai pembanding metode sebelumnya. Permasalahan yang dikaji pada penelitian tersebut dibatasi pada tiga derajat kebebasan dengan kontrol input berupa sudut kemudi. Manfaat dari Penelitian ini adalah Memberikan metode alternatif yang lebih baik dalam kendali kapal dengan memperhitungkan faktor gangguan dari lingkungan. Selain itu dapat digunakan sebagai dasar pada pengembangan penelitian terkait dibidang desain kendali kapal di lautan.
Gambar 1: Definisi Gerak Kapal Pada penelitian ini, model matematika untuk sistem gerak kapal dilautan adalah dengan mempertimbangkan empat derajat kebebasan. Model ini berbentuk sistem tak linier dan merupakan salah satu model kapal komprehensif yang di berikan pada literatur bebas. Model ini menggambarkan karakter dasar dari sistem dinamik kapal dan memiliki keakuratan yang lebih memuaskan. Pada penelitian ini, model matematika untuk sistem persamaan gerak kapal dibentuk dengan mempertimbangkan empat derajat kebebasan. Model matematika dalam penelitian ini didefinisikan sebagai berikut [4]: (m0 + m0x )u˙ 0 − (m0 + m0y )v 0 r0 = X 0 (m0 + m0y )v˙ 0 + (m0 + m0x )v 0 r0 + m0y a0y r˙ 0 − m0y ly0 p˙0 = Y 0 (Ix0 + Jx0 )p˙0 − m0x Ix0 u0 r0 − W 0 GM 0 φ = K 0 (Iz0 + Jz0 )r˙ 0 − m0y a0y v˙ 0 = N 0 − Y 0 x0G (1) ψ˙ 0 φ˙0
= r0 cos φ0 = p0
(2)
dengan X 0 , Y 0 , N 0 , K 0 merupakan gaya dan momen hidrodinamika kapal. Selanjutnya dari Persamaan (1) didapatkan laju untuk perubahan keadaan kecepatan surge (u˙ 0 ), kecepatan sway (v), ˙ kecepatan sudut yaw (r˙ 0 ), dan kecepat0 an sudut roll (p˙ ). Sehingga didapatkan sistem persamaan manuver kapal yang terdiri dari enam variabel keadaan dan satu kendali input.
2. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diberikan beberapa teori yang digunakan sebagai teori pendukung dalam tesis ini. 2.1. Model Matematika Manuver Kapal Secara umum model matematika untuk sistem gerak kapal memiliki enam derajat kebebasan, yaitu sway, pitch, yaw, heave, roll, serta surge. Gerakan translasi antara lain: sway (gerakan kesamping), surge (gerakan longitudinal),heave (gerakan vertikal). Sedangkan gerakan rotasi (putarannya) adalah yaw (rotasi pada sumbu vertikal), roll (rotasi pada
2.2. Gangguan Lingkungan pada Kapal Sekitar sistem merupakan faktor terkuat yang mempengaruhi kestabilan sistem tersebut [8]. Ketika bermanuver, sebuah kapal akan berinteraksi dengan lingkungan. Sehingga
2
Tesis Jurusan Matematika ITS Surabaya
adalah koefisien pembobot. Pelinieran dilakukan dengan ekspansi deret Taylor disekitar titik kesetimbangan. Didefinisikan suatu sistem persamaan diferensial tak linier sebagai berikut:
gangguan lingkungan merupakan faktor yang harus diperhitungkan khususnya pada kapal tanpa awak. Tipe dari gangguan lingkungan di laut antara lain: gelombang, angin, dan arus laut [4]. Pada penelitian ini, gangguan yang diberikan berasal dari gelombang laut. Gangguan ini, merupakan akibat dari pergerakkan angin sehingga menimbulkan gelombang pada permukaan laut. Dalam penelitian ini, gangguan pada kapal disebabkan oleh gelombang (ombak) dalam bentuk orde satu. Persamaan gelombang yang memenuhi gerakan surge, sway,yaw dan roll adalah [4] Xwave = ρgBLT cos (β)Ak sin (ωt) Ywave = −ρgBLT sin (β)Ak sin (ωt) 1 Nwave = ρgBL L2 − B 2 sin (2β)Ak sin (ωt) 24 0 Kwave =0
dx = f (x, y) (6) dt dy = g(x, y) (7) dt dengan f dan g adalah fungsi-fungsi tak linier. Jika (x0 , y0 ) adalah titik setimbang dari persamaan (6) dan (7), maka: f (x0 , y0 ) = 0 g(x0 , y0 ) = 0 Selanjutnya, akan dicari pendekatan sistem linier jika (x, y) di sekitar (x0 , y0 ). Dengan melakukan ekspansi deret Taylor di sekitar titik (x0 , y0 ) maka persamaan menjadi:
(3) (4)
dengan ω adalah frekuensi gelombang terhadap sistem dinamika kapal (ω = 0, 1), Ak nilai amplitudo gelombang setelah dikalikan faktor pengali RAO (Response Amplitude Operation (Ak = 0, 001), β merupakan sudut datang gelombang. Diasumsikan bahwa untuk gaya luar searah sumbu-x untuk gerak rotasi tidak dipengaruhi oleh gelombang laut, sehingga Kwave = 0. Dari Persamaan (3) didapatkan vektor gangguan untuk dinamika posisi kapal 0 −2.32 · 10−4 + uwave 0 vwave 1.70 · 10−4 sin(0.1t)+ 0 rwave −1.416 · 10−5 sin(0.1t)+ = p0 wave −1.002 · 10−4 sin(0.1t)+ 0+ φ0 wave 0 ψwave 0+ 0 −6 2 9.537 · 10 (sin(0.1t)) 1.6 · 10−6 (sin(0.1t))2 (5) −3 2 1.789 · 10 (sin(0.1t)) 0 0
dx ∂f ∂f = f (x0 , y0 ) + |(x ,y ) (x − x0 ) + |(x ,y ) (y − y0 ) + dt ∂x 0 0 ∂y 0 0 ∂2f 1 ∂2f ( 2 (x − x0 )2 + 2 (x − x0 )(y − y0 ) + 2! ∂x ∂x∂y ∂2f (y − y0 )2 ) + ... (8) ∂x2 dy ∂g ∂g = g(x0 , y0 ) + |(x0 ,y0 ) (x − x0 ) + |(x ,y ) (y − y0 ) + dt ∂x ∂y 0 0 1 ∂2f ∂2f ( 2 (x − x0 )2 + 2 (x − x0 )(y − y0 ) + 2! ∂x ∂x∂y ∂2f (y − y0 )2 ) + ... (9) ∂x2 misalkan: x − x0 = u dan y − y0 = v dengan u dan v adalah error yang cukup kecil, maka perkalian antara keduanya akan menghasil sesuatu yang sangat kecil (mendekati nol). Sehingga suku-suku dengan derajat lebih besar dari dua dapat diabaikan. dengan demikian persamaan diatas menjadi: ) ∂f ∂f du = | u + | v x ,y x ,y 0 0 0 0 dt ∂x ∂y (10) ∂g ∂g dv dt = ∂x |x0 ,y0 u + ∂y |x0 ,y0 v
2.3. Konsep Linierisasi Pelinieran adalah proses hampiran persamaan diferensial tak linier dengan bentuk linier. Keuntungan dari sistem persamaan linier adalah secara analitik menarik sehingga banyak sistem berbentuk linier atau didekati secara linier [8]. Pada penelitian ini, sistem dinamik kapal yang berbentuk taklinier sehingga perlu dilinierkan terlebih dahulu sebelum dianalisis lebih lanjut dengan melakukan proses pelinieran. Secara umum, bentuk persamaan linier dari suatu sistem adalah sebagai berikut:
Persamaan (10) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks sebagai berikut: du " ∂f ∂f # u ∂x ∂y dt (11) = dv ∂g ∂g v dt ∂x ∂y |(x0 ,y0 )
Persamaan (11) adalah bentuk umum persamaan liniear tanpa kontrol input.
x˙ = Ax + Bu y = Cx + Du
2.4. Model Predictive Control (MPC) Dalam formulasi MPC terdapat beberapa asumsi yang dibuat yaitu model bersifat linear, fungsi objektif merupakan fungsi kuadratik, dan constraint berbentuk pertidaksamaan linear.
dengan x adalah variabel keadaan, x˙ menunjukkan perubahan keadaan dan u adalah kontrol input dari sistem. Sedangkan y adalah keluaran (output) sistem dan A, B, C, dan D
Surabaya, 15 Januari 2014
3
Sehingga dengan mensubstitusikan Persamaan (15) ke dalam Persamaan (14), didapatkan kembali persamaan baru fungsi objektif sebagai berikut:
2.4.1. Model Predictive Control linear Persamaan MPC untuk sistem linear diskrit memiliki bentuk umum sebagai berikut [10] x(k + 1|k) = Ax(k|k) + Bu(k|k)
(12)
J(k) = u ˆ(k + n − 1) ˆx(k + n) ˆ(k) u ˆx(k + 1) ˆ(k + 1) u ˆx(k + 2) .. . u ˆ(k + n − 1)
dengan x(k) : vektor state berdimensi-n pada saat ke-k u(k) : vektor kendali input berdimensi-r pada saat ke-k A : matriks ruang keadaan berdimensi n × n pada saat ke-k B : matriks input berdimensi n × r pada saat ke-k x(k + 1|k): vektor keadaan pada saat ke (k + 1) yang dipengaruhi oleh nilai state saat ke-k Dalam tesis ini vektor state mengandung empat variabel (u, v, r, p, φ, ψ) dan vektor kendali input berupa sudut kemudi (δ). Persamaan state space (12) merupakan kondisi yang ideal, karena sistem tersebut tidak terdapat gangguan (disturbance). Sebelum melangkah lebih jauh, hal pertama yang dilakukan adalah memprediksi nilai variabel keadaan dengan melakukan iterasi Persamaan (12). Perhitungan prediksi variabel state adalah sebagai berikut:
(13)
untuk selanjutnya, penulisan x ˆ(k|k) dapat ditulis x ˆ(k). 2.4.2. Pembentukkan Fungsi Tujuan dan Kendala Dalam MPC didefinisikan fungsi objektif sebagai berikut [6] n X ˆx(k + i)T Qˆ ˆ(k + i − 1)T J(k) = x(k + i) + u
(14)
Untuk membentuk fungsi objektif yang standar, didefinisikan vektor x ˆ(k + 1) dan u ˆ(k) ˆ x(k + 1) ˆx(k + 2) ˆx(k + 1) = dan .. . ˆx(k + n) (15)
ˆ= u
0 0
0 0 0 0 .. .
(17)
(18)
ˆ(k) ≤ f2 −f2 ≤ F2 u
(19)
(20)
dengan kendala (16)
Pz ≤ h Yz = b
ˆ(k + n − 1) u
4
0 0 0 0 .. .
R 0 0 Q
−f1 ≤ F1 ˆx(k) ≤ f1
J = zT Hz + gT z ˆ(k) u ˆ(k + 1) u .. .
··· ··· ··· ··· .. .
dengan F1 merupakan matriks pertidaksamaan kendala untuk state f1 merupakan RHS pertidaksamaan kendala untuk state F2 merupakan matriks pertidaksamaan kendala untuk kendali f2 RHS pertidaksamaan kendala untuk kendali Sehingga optimasi pada MPC adalah meminimumkan persamaan (14) dengan kendala Persamaan (18) dan (19). Selanjutnya penyelesaian optimasi ini dengan menggunakan quadratic programming [10]: meminimumkan fungsi objektif
i=1
R 0 0 0 0 Q 0 0 0 0 R 0 0 0 0 Q .. .. .. .. . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0
dengan Q berukuran nxn, n adalah jumlah variabel keadaan dalam sistem. Sedangkan R berukuran mx1, m adalah jumlah kendali input dalam sistem. Dalam penelitian ini, terdapat enam variabel keadaan yaitu kecepatan surge (u), kecepatan sway (v), kecepatan sudut yaw (r), kecepatan sudut roll (p), sudut roll (φ), dan sudut yaw (ψ). Keenam variabel keadaan ini dikendalikan oleh satu kendali yaitu sudut kemudi (δ). Pada dasarnya sinyal dengan range yang tidak terbatas sangat tidak realistis, karena dalam kondisi nyata semua proses memiliki batasan (constraints). Pada tesis ini, terdapat dua constraint yaitu constraint pada state dan constraint pada pengendali sistem yang didefinisikan [10]
= A2 ˆx(k|k) + ABˆ u(k|k) + Bˆ u(k|k) ˆx(k + N |k) = Aˆx(k + N − 1|k) + Bˆ u(k + N − 1|k)
Rˆ u(k + i − 1)]
T
ˆx(k + n)
ˆx(k + 1|k) = Aˆx(k|k) + Bˆ u(k|k) ˆx(k + 2|k) = Aˆx(k + 1|k) + Bˆ u(k + 1|k)
= AN ˆ x(k|k) + AN −1 Bˆ u(k|k) + ...+ Bˆ u(k + N − 1|k)
ˆ(k) u ˆx(k + 1) ˆ(k + 1) u ˆx(k + 2) .. .
(21) (22)
Tesis Jurusan Matematika ITS Surabaya
kendala pada Persamaan (19) dapat ditulis kembali seperti berikut:
dimana ˆ(k + 1), ..., u ˆ(k + n − 1), ˆx(k + n)] z = [ˆ u(k), ˆx(k + 1), u R 0 0 0 ··· 0 0 0 Q 0 0 ··· 0 0 0 0 R 0 ··· 0 0 H = .. .. .. .. . . . .. .. . . . . . . 0 0 0 0 0 R 0
P
=
Y =
0 0 0 .. .
g= 0 0
0
0
0
0
F2 0 0 .. .
0 F1 0 .. .
0 0 F2 .. .
0 0
0 0
0 0
0
0
0 ··· 0 ··· 0 ··· .. . . . . 0 0 0 0
Q 0 0 0 .. . F2 0
0 0 0 .. .
,
f2 f1 f2 .. .
h= f 2 f1
,
0 0 0 .. .
0 0 0 .. .
b=
Aˆ x(k) 0 0 0 .. . 0 0
h=
−B I 0 −A
Persamaan (29) merupakan faktor yang dipengaruhi oleh kompensasi gangguan optimal sebelumnya. Sehingga matriks h pada persamaan sebelumnya menjadi:
0 F1
−B I 0 0 ··· 0 −A −B I ··· 0 0 0 −A · · · .. .. .. .. .. . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x (k | k) = x(k) (26) x (k + j + 1 | k) = Ax (k + j | k) + Bu (k + j | k)(27) F1 x (k + j + 1 | k) ≤ D, j = 0, 1, ..., Np − 1 (28) F2 u (k | k) ≤ f2 − F2 ∆u∗ (29) F2 u (k + j | k) ≤ f2 j = 1, ..., Np − 1 (30)
1. Studi Pendahuluan Pada tahap ini, dilakukan studi literatur mengenai sistem gerak kapal, dan gangguan lingkungan baik melalui buku-buku, jurnal, laporan tugas akhir/ thesis terdahulu ataupun artikel dari internet yang dapat menunjang penelitian. Model yang didapatkan adalah sistem gerak dengan empat derajat kebebasan, yakni surge, sway, yaw, dan roll. Didapatkan juga gangguan terbesar dalam gerak kapal di lautan yaitu gelombang laut, sehingga dipilih sebagai gangguan yang mempengaruhi sistem gerak kapal. Kajian tentang metode kendali optimal, khususnya MPC.
2. Membentuk Model Kendali pada DC-MPC Pada tahap ini, dilakukan pendefinisian model matematika untuk sistem gerak kapal tak linier dengan empat derajat kebebasan. Kemudian dilakukan pelinieran terhadap sistem dinamik dan pendiskritan untuk mendapatkan Model waktu diskrit. Terdapat sub tahapan dalam optimasi dengan metode DC-MPC, antara lain:
(23)
dengan kendala (24) (25)
a Optimasi kendali kompensasi pada gangguan. Pada proses ini, terlebih dahulu dilakukan tahapan estimasi gangguan waktu ke-k − 1. Selanjutnya diminimumkan fungsi tujuan yang dibentuk. Optimasi ini dilakukan untuk memperoleh kompensasi kendali yang nantinya mempengaruhi kendali ke-k pada proses MPC.
E = max(C) dengan merupakan selisih antara gelombang laut ke-k dengan gelombang laut estimasi ke-k − 1. Selanjutnya didapatkan keluaran berupa ∆u, kompensasi gangguan, nilai ini kemudian dijadikan faktor yang mempengaruhi batas atas dari kendala kontrol ke-k pada proses optimasi MPC. Sehingga, optimasi pada MPC dari Persamaan (14) dengan
Surabaya, 15 Januari 2014
3. METODE PENELITIAN
Perumusan kompensasi gangguan diadaptasi dari [6] sebagai berikut: Meminimumkan fungsi tujuan
F1 B∆u ≤ −F1 w(k ˆ − 1) − E F2 ∆u ≤ f2
f2 f1
Sehingga kendali optimal pada proses ini adalah u (k) = u∗ (k | k) + ∆u∗ .
2.4.3. Meminimumkan Fungsi Gangguan pada Kapal
k F1 B∆u + F1 w(k ˆ − 1) k
f2 − F2 ∆u∗ f1 f2 .. .
5
an X 0 , Y 0 , K 0 , N 0 adalah gaya dan momen hidrodinamika kapal, yang didefinisikan sebagai berikut:
b Optimasi yang kedua (MPC)dilakukan pada sistem persamaan gerak kapal. Pada tahapan ini, pertama kali yang perlu dilakukan adalah inisialisasi nilai awal dan membentuk batasanbatasan dari variabel keadaan dan kendali yang ada. Optimasi dilakukan dengan memasukkan kendali optimal untuk kompensasi gangguan dari tahapan sebelumnya. Optimassi pada dilakukan dengan meminimumkan kuadrat error untuk mendapatkan kendali optimal waktu kek. Selanjutnya kendali input digunakan untuk mendapatkan kondisi saat ke-k +1 dari sini akan didapatkan error dengan membandingkan hasil prediksi dengan nilai referensi. Sehingga kembali dilakukan optimasi untuk mendapatkan kendali optimal saat ke-k + 1.
0 0 0 X 0 = Xuu u02 + (1 − tt)0 T 0 (J 0 ) + Xvr v 0 r0 + Xvv v 02 + 0 02 0 0 Xrr r + Xφφ φ02 + CRX FN sinδ 0 0 0 v 03 + Yvvr v 02 r0 + Y 0 = Yv0 v + Yr0 r + Yp0 p + Yφ00 φ0 + Yvvv 0 0 Yvrr v 0 r02 + Yvvφ v 02 φ0 + Yvφφ v 0 φ02 + Yrrφ r02 φ0 +
Yrφφ r0 φ02 + (1 + a0H )FN cos δ 0 0 0 K 0 = Kv0 v 0 + Kr0 r0 + Kp0 p0 + Kφ0 φ0 + Kvvv v 03 + Kvvr v 02 r0 + 0 0 0 0 Kvrr v 0 r02 + Kvvφ v 02 φ0 + Kvφφ v 0 φ02 + Krrφ r02 φ0 + 0 0 Krφφ r0 φ02 − (1 + a0H )zR FN cos δ 0 0 0 N 0 = Nv0 v 0 + Nr0 r0 + Np0 p0 + Yφ0 φ0 + Nvvv v 03 + Nvvr v 02 r0 + 0 0 0 Nvrr v 0 r02 + Nvvφ v 02 φ0 + Nvφφ v 0 φ02 + Nrrφ r02 φ0 +
3. Simulasi numerik dan analsis penerapan metode DCMPC Pada tahap ini, setelah didapatkan model kendali sistem maka dilakukan simulasi akhir dengan menggunakan software Matlab 2012 untuk mendapatkan grafik pergerakkan kendali dan keluaran masingmasing variabel. Selanjutnya dilakukan analisis terhadap hasil simulasi yang diperoleh.
0 Nrφφ r0 φ02 + (x0R + a0H x0H )FN cos δ 0
(32)
dengan F N adalah gaya normal rudder yang dapat didefinisikan sebagai berikut: FN = −
4. Penarikan kesimpulan dan saran Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil penelitan yang telah dilakukan sebelumnya selanjutnya diberikan saran perbaikan yang dapat dilakukan pada penelitian yang dilakukan sehingga dapat diperbaiki pada penelitian selanjutnya.
6.13∆ AR ∆ + 2.25 L2
UR2 + VR2 sin (αR )
dengan AR adalah rudder area, ∆ adalah aspek rasio rudder, UR adalah perpindahan kecepatan rudder longitudinal, VR adalah perpindahan kecepatan rudder lateral. Persamaan (1) dan (31) merupakan model matematika sistem pergerakkan kapal yang selanjutnya akan dikendalikan dengan menerapkan metode DC-MPC. Metode DC-MPC yang diterapkan adalah metode untuk sistem yang linier sehingga, terlebih dahulu dilakukan pelinieran terhadap sistem tersebut.
4. HASIL PENELITIAN 4.1. Model Dinamika posisi Kapal Tanpa Gangguan Dalam Tesis ini, kapal yang digunakan sebagai model adalah Kapal Kontainer [4]. Model dinamika kapal merupakan model non-linear dengan mempertimbangkan empat derajat kebebasan yaitu surge, sway, yaw dan roll. Sistem persamaan tak linier ini akan dilinierkan untuk mendapatkan sistem baru yang lebih sederhana sehingga memudahkan dalam proses analisis serta simulasi. Sistem dinamika kapal didapatkan dengan melakukan pemisahan laju perubahan keadaan pada Persamaan (1), sehingga didapatkan laju kecepatan surge (u), ˙ laju kecepatan sway (v), ˙ laju kecepatan sudut yaw (r) ˙ dan laju kecepatan sudut roll (p), ˙ sebagai berikut: (X 0 +bv0 r0 ) u˙0 = a 1 0 0 0 v˙0 = b Y + dp˙0 − cr˙0 − au r (31) 0 0 0 0 0 0 ˙ p˙0 = K −W GM eφ+dv +f u r N 0 −x0G Y 0 −cv˙0 r˙0 =
4.2. Pelinieran Pelinieran dilakukan dengan matriks Jacobian terhadap titik-titik kesetimbangannya, (u0 , v0 , r0 , p0 , δ0 , ψ0 , φ0 ). Pada kondisi setimbang, resultan kecepatan kapal dipengaruhi oleh kecepatan awal surge tanpa adanya perubahan kecepatan baik untuk surge ataupun sway [4]. U=
p
u2 + v 2 =
q 2 (u0 + ∆u) + ∆v 2
(33)
Pada keadaan setimbang, kapal berjalan konstan sesuai dengan kecepatan referensi yang diberikan. Pada konsisi ini, tidak terjadi perubahan kecepatan baik untuk surging ataupun swaying. Sehingga titik setimbang untuk kecepatan surging = u0 = 15 knot dan untuk kecepatan swaying v = 0. Sedangkan untuk gerakan rotasi juga tidak mengalami perubahan (diabaikan) dengan mempertimbangkan kondisi tersebut, maka titik setimbang untuk variabel yang alain berturut-turut adalah r0 = 0, p0 = 0, φ0 = 0, ψ0 = 0 dan untuk kendali rudder adalah δ0 = 0.
g
dengan a = m0 + m0x , b = m0 + m0y , c = m0y αy0 , d = m0y ly0 , e = Ix0 + Jx0 , f = m0x Ix0 , g = Iz0 + Jz0 . Sedangk-
6
Tesis Jurusan Matematika ITS Surabaya
Sehingga, didapatkan sistem linier dari sistem dinamika kapal pada Persamaan (1) dan (31) sebagai berikut: 0 u˙ −0.3082 0 −0.0537 0 ... v˙ 0 0 −0.0060 −0.5437 −0.1316 ... 0 r˙ 0 0.0177 0.0060 −0.0012 ... 0 = p˙ 0 3.6011 1.5192 −0.3628 ... ˙0 φ 0 0 0 1 ... 0 0 1 0 ... ψ˙ 0 0 0 u 0 0 −2.3839 0 v 0 −0.4413 12.8332 0 r0 0.0183 −0.8191 0 p0 + 1.7615 δ 0 0 0 φ0 0 0 ψ 0 0 (34) Persamaan (34) adalah bentuk matriks ruang keadaan dari sistem dinamik kapal tak linier yang telah didefinisikan sebelumnya. Uji keterkontrolan dilakukan seblum melakukan pengendalian pada sistem. Diketahui bahwa rank dari matriks ruang keadaan adalah 6. sehingga sistem ini terkontrol.Sebelum menerapkan metode DC-MPC pada sistem ini, terlebih dahulu dilakukan diskritisasi pada Persamaan (34). 4.3. Diskritisasi Sebelum diskritisasi, terlebih dahulu dilakukan definisi ulang variabel keadaan: u = x1 , v = x2 , r = x3 , p = x4 , φ = x5 , ψ = x6 dan untuk kendali rudder δ = u. Sehingga didapatkan vektor variabel keadaan x = [x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ] dan untuk kendali u. Proses pendiskritan dilakukan dengan menerapkan metode beda maju, sebagai berikut:
0 −0.44197 −0.01829 1.76430 0 0
u
(38)
4.4. Simulasi dan Analisis Penerapan DC-MPC pada Kendali Gerak Kapal Setelah menganalisis beberapa tahapan dalam menyelesaikan masalah kendali haluan kapal dengan menggunakan MPC, kemudian dilakukan simulasi posisi kendali haluan kapal dengan menggunakan software MATLAB. Dalam simulasi ini diberikan ni¯x(0) lai awal = [u, v, r, p, φ, ψ] = [5, 15 m/s; 0; 0, 001 rad/s; 0, 0001 rad/s; 0; 0] dan ˆ(0) = 0. Simulasi dilakukan 25 kali dan nilai Np u dipilih secara random. Tujuan dari penerapan DC-MPC adalah mengendalikan kapal agar semakin stabil, membuat kecepatan yaw, kecepatan roll, sudut yaw dan sudut kemudi kapal berada dalam syarat batas serta mengendalikan sudut haluan kapal menuju 0o sekalipun dikenai gangguan berupa gelombang laut Kapal diasumsikan bergerak dengan kecepatan awal surge 10 knot. Dengan menggunakan acuan sudut haluan kapal (ψ) dihitung terhadap sumbu x bumi (Xe ), sehingga kapal dikendalikan untuk bergerak sejajar dengan sumbu x bumi, atau dengan kata lain sudut haluan mencapai 0o . Setelah sudut haluan mencapai 0o kemudian kapal hanya melakukan gerakan lurus kedepan dengan kecepatan surge sebesar 10 knot. Nilai prediction horizon (Np ) yang bervariasi dapat mempengaruhi posisi haluan kapal, sehingga untuk mengetahui seberapa besar pengaruh nilai Np terhadap haluan kapal akan dilakukan simulasi dengan beberapa variasi nilai Np sedangkan parameter yang lainnya dibuat tetap. Gambar (2) menunjukkan perbandingan sudut kemudi
x(k + 1) − x(k) (35) ∆t dengan ∆t adalah waktu sampling. Diskritisasi dengan menerapkan beda maju, ditujukan untuk mendapatkan data pada saat k + 1 dengan data pada waktu ke-k. Selanjutnya Perilaku Kestabilan Sudut Kemudi dengan Jumlah NP Bervariasi dengan menerapkan metode ini, maka persamaan (34) dida0.3 patkan bentuk diskritnya sebagai berikut: 0.2 x1 (k + 1) 0.8459 0 −0.02681 ... 0.1 x2 (k + 1) 0 0.99699 −0.2719 ... 0 0 0.0088 1.0030 ... x3 (k + 1) x (k + 1) = 0 1.8005 0.7596 ... 4 −0.1 x (k + 1) 0 0 0 ... 5 −0.2 Batasan x6 (k + 1) 0 0 0.5 ... NP=35 (36) −0.3 NP=40 NP=60 0 0 0 x1 (k) −0.4 0 5 10 15 20 25 30 −0.06578 −1.1919 0 x2 (k) Waktu −0.0006 6.4166 0 x3 (k) + 0.8186 −0.4095 0 x4 (k) Gambar 2: Perilaku Sudut Kemudi dengan Np bervariasi 0.5000 1 0 x5 (k) 0 0 1 x6 (k) terhadap waktu untuk jumlah Np yang bervariasi, yaitu: 35, 40 dan 60. Jumlah ini dipilih, karena menunjukkan (37) Sudut Kemudi
x˙ =
Surabaya, 15 Januari 2014
7
Perilaku Kestabilan Kecepatan Sudut Roll dengan Jumlah NP bervariasi
perbedaan yang cukup kontras. Keadaan sudut kemudi dengan Np = 35 memperlihatkan perilaku tidak stabil ketika diberikan gangguan dan sebelum detik ke-5 sudut kemudi bergerak diluar batas yang diberikan. Hal ini berbeda dengan kondisi Np = 40 dan 60 yang selalu bergerak dalam batasan yang ada. Sudut kemudi mendekati referensi sudut berbeda bergantung pada horison prediksi yang diberikan. Nilai Np mempengaruhi lama tidaknya berjalan mendekati titik referensi. Ketika jumlah Np = 40 sedikit lebih lama untuk mencapai kondisi stabil (mendekati referensi sudut yang diberikan) yaitu pada waktu ke 4.8. Sedangkan untuk pemberian Np = 60 pada detik ke-3.8. Gangguan yang diberikan, juga relatif tidak berpengaruh pada kestabilan sudut kemudi
0.15 Batasan NP=35 NP=40 NP=60
0.1
Kecepatan Roll
0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2
0
5
10
15 Waktu
20
25
30
Gambar 4: Perbandingan Perilaku Kecepatan Roll dengan Np Bervariasi
Perilaku Kestabilan Kecepatan Yaw dengan Jumlah NP Bervariasi 0.3 Batasan NP=35 NP=40
0.25
Kecepatan Yaw
0.2
mendekati referensi yang diberikan. Sedangkan pemberian Np 60, 65, 72 memberikan hasil yang sama baik untuk sudut kemudi, kecepatan yawing, dan kecepatan rolling hal ini menunjukkan bahwa dengan pemberian Np sebanyak 60 telah dapat membuat sistem stabil dan berjalan mendekati referensi yang diharapkan.
NP=60
0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15
5. PENUTUP 0
5
10
15 Waktu
20
25
30
Dari analisis dan pembahasan yang sudah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan serta saran untuk pengembangan dan perbaikan penelitian tentang sistem kendali gerak kapal.
Gambar 3: Perilaku Kecepatan Sudut Yaw dengan Np bervariasi
5.1. Kesimpulan
Gambar (3)menunjukkan perbandingan kecepatan sudut yawing terhadap waktu untuk jumlah Np bervariasi, yaitu Np = 35, 40, dan 60. Untuk kecepatan yawing dengan jumlah Np sebesar 60, pergerakkannya mendekati referensi yang diberikan pada waktu ke-4.9. Selanjutnya, tetap bergerak mendekati refensi sekalipun telah diberi gangguan. Demikian pula dengan Np 40, bergerak ke arah referensi meskipun sedikit lebih lama dari pada Np 50 dan 60.
1. Metode DC-MPC dapat diterapkan dengan baik pada kendali sistem gerak kapal dengan gangguan berupa gelombang laut. Hal ini terlihat dari sistem terkendali secara baik dan berada didalam batasan yang diberikan dengan memberikan Np yang sesuai. Dari hasil simulasi pada Kapal Kontainer [4] menunjukkan semakin banyak jumlah prediksi horizon yang diberikan dengan batas maksimal Np sebanyak 60 maka semakin baik perilaku kestabilan sistem. Hal ini menunjukkan bahwa kemampuan DC-MPC dalam meminimumkan error teraplikasi dengan baik. Sedangkan pengendalian gangguan yang diberikan dengan adanya kompensasi gangguan juga dapat mengendalikan gangguan pada sistem dan gangguan luar yang diberikan.
Gambar (4)menunjukkan tampilan fisik perbandingan kecepatan sudut rolling terhadap waktu untuk nilai Np 35, 40, dan 60. Dari hasil simulasi terlihat bahwa untuk Np 60 kecepatan rolling mencapai referensi sudut pada waktu ke1.6 dan kemudian berjalan stabil mendekati nol (referensi sudut). Sedangkan untuk Np 40, mendekati referensi pada waktu ke-2.8 dan pada rentang 1.6-2.8 memiliki error yang cukup tinggi dengan referensinya. Pada kedua perlakuan ini, perilaku kecepatan sudut rolling masih berjalan dalam rentang batas yang diberikan, yaitu |p| ≤ 0.0106 rad/dtk berbeda dengan pemberian Np sebanyak 35. Dari Tabel (4.1)-(4.3) terlihat bahwa nilai Np yang bervariasi berpengaruh pada pergerakkan kapal. Semakin tinggi nilai Np yang diberikan maka akan semakin cepat
2. Analisis hasil perbandingan pengendalian dengan pemberian gelombang antara DC-MPC dan MPC dengan gangguan (MPC-D) memperlihatkan bahwa metode DC-MPC lebih baik dalam mengendalikan gerak kapal, antara lain: 2 detik lebih cepat stabil jika dibandingkan dengan MPC-D sedangkan untuk pengendalian kecepatan rolling dari detik pertama sam-
8
Tesis Jurusan Matematika ITS Surabaya
DAFTAR PUSTAKA
pai detik ke 30 simpangan terhadap referensi ratarata 10−5 rad/dtk lebih baik (lebih kecil) dari MPCD.
[1] Bordons, C and Chamaco, E.F, 1999, Model Predictive Control, Sevilla:Springer-Verlag London Limited. [2] Fauziyah, 2013, Aplikasi MPC-KF pada Kendali Haluan Kapal, Tesis Jurusan Matematika ITS, Surabaya.
5.2. Saran Saran yang diberikan penulis untuk penelitian kedepannya adalah sebagai berikut:
[3] Fraga, R and Liu, S, An Adjective State-Space Feedback Autopilot for Ship Motion Control, JCET, Vol. 2, No.1 Hal 62-69. 2012
1. Pengembangkan bentuk model yang lebih mendekati perilaku real kapal serta mempertimbangkan gangguan lingkungan lain seperti arus air, angin.
[4] Fossen, T.I., 1994, Guidance and Control of Ocean Vehicles, Hoboken :Wiley.
2. Dalam penelitian ini, pengendalian dilakukan dengan memberikan kendali berupa sudut kemudi, sehingga pada penelitian selanjutnya dapat menambahkan jumlah kendali.
[5] Li, Z. e.a, 2010, Evaluation and Modification of a Robust Path Following Controller for Marine Surface Vessels in Wave Fields, Ship Research, 54(02), p: 141-147. [6] Li, Z and Sun, J, Disturbance Compensating Model Predictive Control With Application to Ship Heading Control. IEEE Transaction On Control System Technology, Vol. 20, No.1, Hal 257-267. 2012. [7] Naidu, D. S., 2003, Optimal Control System, Idaho: CRC Press [8] Subiono,2013,Sistem Linier dan Kontrol Optimal, Diktat Kuliah Jurusan Matematika ITS, Surabaya. [9] Syaifudin, W.H., 2013, Penerapan Metode MPC pada Kendali Haluan Kapal, Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS, Surabaya. [10] Wang, Y. dan Boyd, S., 2008, Fast Model Predictive Control Using Online Optimization, Proceeding of The 17th World Congress, International Federation of Automatic Control, p:6974-6979.
Surabaya, 15 Januari 2014
9
