PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT PADA MODEL INFEKSI HIV SEL πππ+ π
RIZKY HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Metode + Runge-Kutta Orde Empat pada Model Infeksi HIV Sel adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2015 Rizky Hermawan NIM G54110038
ABSTRAK RIZKY HERMAWAN. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat pada Model + Infeksi HIV Sel . Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan ELIS KHATIZAH. HIV (Human Immunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AIDS (Acquied Immune Deficiency Syndrome). HIV menyerang sel-sel tertentu dalam sistem kekebalan + + tubuh yang disebut sel T atau sel . Sel adalah sel yang memunyai peran sentral sebagai sistem kekebalan tubuh dan dijadikan sebagai indikator utama untuk mengukur penyebaran infeksi HIV. Dalam tulisan ini disajikan + model infeksi HIV pada sel untuk mengetahui tingkat penyebaran infeksi HIV. Setelah itu dilakukan analisis kestabilan dan penyelesaian numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Penyelesaian numerik ini + memperlihatkan penurunan jumlah sel terhadap waktu. Oleh karena itu dapat diketahui periode laju penurunan cepat dan laju penurunan lambat. Dengan melihat hal itu dapat diketahui langkah pengobatan yang paling tepat terhadap penderita HIV/AIDS. + Kata kunci: sel , model infeksi HIV pada sel Kutta orde empat.
+
,
metode Runge-
ABSTRACT RIZKY HERMAWAN. Implementation of the Fourth Order Runge-Kutta Method + on Cell HIV Infection model. Supervised by FAHREN BUKHARI and ELIS KHATIZAH. HIV (Human Immunodeficiency Virus) is a virus that attacks the human immune system and then causing AIDS (Acquied Immune Deficiency Syndrome). HIV + attacks some particular cells in the immune system, namely the T-cell or + cell. cell is the cell which has central role in immune system and becomes the main indicator to measure HIV infection spread. In this paper, a HIV infection + model against cell is presented to determine the level of HIV infection. After that, the stability analysis is performed and the numerical solution is obtained using the fourth order Runge-Kutta method. The solution shows a + decline of cell concentration with respect to time. Therefore, it identifies the period when the decline is either fast or slow. By considering this time range, it is feasible to determine the appropriate treatment step for HIV/AIDS patients. Keywords:
+
cell, Kutta method .
+
cell HIV Infection model, fourth order Runge-
PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT PADA MODEL INFEKSI HIV SEL πππ+ π
RIZKY HERMAWAN
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa taβala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2014 ini ialah + Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat pada Model Infeksi HIV Sel . Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain: 1 Suherman (Ayah) dan Adawiyah (Ibu) selaku orangtua, serta Ridwan selaku adik, atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan kasih sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2 Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen pembimbing pertama dan Elis Khatizah, MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, saran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. 3 Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk perbaikan karya ilmiah ini. 4 Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu yang telah diberikan kepada penulis. 5 Seluruh staf Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua bantuan selama perkuliahan dan proses menyelesaian karya ilmiah ini. 6 Teman-teman Matematika 48 atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian dan bantuannya. 7 Parara, Hasan, Resty, Ari, Mula, Dinar, dan Aul sebagai sahabat yang selalu memberikan saran, dukungan, perhatian dan kasih sayang. 8 Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2015 Rizky Hermawan
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Titik Tetap
2
Pelinearan
3
Nilai Eigen
3
Kestabilan Titik Tetap
4
Bilangan Reproduksi Dasar
5
Metode Runge-Kutta Orde Empat
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pemodelan
6
Penentuan Titik Tetap Model
7
Analisis Kestabilan Model
8
Metode Runge-Kutta Orde Empat SOLUSI NUMERIK
10 11
Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
12
Hasil numerik metode Runge-Kutta orde empat
13
SIMPULAN DAN SARAN
15
Simpulan
15
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL 1 2 3 4
+ Nilai parameter Model infeksi HIV pada sel Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat dan Titik tetap, kriteria Routh-Hurwitz, dan kestabilan Nilai Aproksimasi Runge-Kutta Orde Empat
11 12 13 13
DAFTAR GAMBAR 1 Grafik solusi model dengan nilai π=0,π=20, dan π=100 2 Grafik solusi model dengan nilai π=0,π=150, dan π=750
14 14
DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan titik tetap model infeksi HIV pada sel CD + T 2 Penentuan nilai eigen model infeksi HIV pada sel CD + T 3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen model infeksi HIV pada sel CD + T 4 Solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat 5 Plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
17 21 25 26 27
PENDAHULUAN Latar Belakang HIV (Human Immunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AIDS (Acquied Immune Deficiency Syndrome). HIV menyerang sel-sel tertentu dalam sistem kekebalan + + tubuh yang disebut sel T atau sel . Sel adalah antibodi yang dihasilkan oleh limposit T Helper dan mempunyai peran sentral mengatur sistem + kekebalan tubuh. Pada manusia normal, tingkatan sel di dalam darah nilainya antara 800 sampai 1200 . Jika tubuh telah terinfeksi HIV, secara otomatis kekebalan tubuh akan menurun sampai pada suatu saat tubuh tidak lagi mempunyai daya tahan terhadap serangan penyakit. Apabila hal ini terjadi, penyakit yang biasanya tidak berbahayapun akan dapat membuat orang tersebut menderita atau bahkan meninggal (Perelson et al. 1993). + Infeksi HIV terhadap sel timbul secara kronologis dan dapat + + diramalkan berdasarkan nilai hitung sel . Informasi nilai hitung sel sangat penting untuk membuat keputusan klinis seperti pemberian terapi antiretrovirus, profilaksis infeksi opportunistik dan penilaian progresivitas penyakit. Infeksi oportunistik tertentu timbul sesuai dengan derajat defisiensi + imun yang direflikasikan oleh jumlah sel yang menurun secara bertahap. + Berdasarkan nilai hitung sel derajat defisiensi imun pasien HIV + diklasifikasikan menjadi ringan (dini) jika jumlah sel lebih dari 500 + , defisiensi imun sedang jika jumlah sel 200-500 + dan defisiensi berat jika jumlah sel kurang dari 200 (Lidya 1996). Sampai saat ini belum ditemukan obat untuk menyembuhkan penderita HIV/AIDS sehingga banyak peneliti melakukan penelitian untuk mengetahui tingkat penyebaran infeksi HIV. Salah satunya yaitu Atangana dan Goufu (2014) + . yang menyajikan model dinamika infeksi HIV pada sel + Model dasar infeksi HIV pada sel telah dikembangkan oleh Perelson, Kirscner, dan Boer (1993) untuk menjelaskan jumlah kuantitatif dari infeksi HIV. Model ini juga menjelaskan periode waktu antara infeksi yang tersembunyi dan serangan penyakit AIDS oleh virus di dalam darah. Selain itu, + model tersebut digunakan untuk menguji derajat penurunan sel yang disebabkan oleh virus dan tidak berhubungan dengan respon kekebalan tubuh terhadap HIV. Pada model tersebut, jika laju infeksi lambat digantikan dengan + laju infeksi cepat maka akan terjadi penurunan jumlah sel secara signifikan pada pasien (Perelson et al. 1993). + Model infeksi HIV pada sel diformulasikan dalam sistem persamaan diferensial biasa. Oleh karena itu, digunakan analisis kestabilan untuk melihat perilaku dari setiap titik tetap dan digunakan metode Runge-Kutta orde empat + untuk memeroleh penyelesaian numerik. Tahap awal dicari titik tetap sel + sehat dan titik sel terinfeksi virus. Selanjutnya, dilakukan analisis kestabilan pada setiap titik tetap yang diperoleh dengan tujuan mengetahui perilaku dari setiap titik tetap. Selain itu, diimplementasikan metode Runge-Kutta orde empat untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai + + awal sehingga diperoleh penyelesaian numerik untuk sel sehat, sel
2 terinfeksi, dan infeksi HIV di dalam darah. Dihasilkan pula grafik solusi untuk + + menampilkan perilaku sel sehat, sel terinfeksi, dan infeksi HIV di dalam darah. Penyelesaian numerik dan grafik solusi memperlihatkan penurunan + jumlah sel terhadap waktu sehingga dalam bidang kesehatan dapat dilihat + + saat laju penurunan sel berlangsung cepat dan laju penurunan sel berlangsung lambat. Dengan melihat hal itu dapat diketahui langkah pengobatan seperti apa yang harus dilakukan terhadap pasien penderita HIV/AIDS. + Karya ilmiah ini membahas perilaku model infeksi HIV pada sel menggunakan analisis kestabilan dan penyelesaian metode Runge-Kutta orde empat. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang di tulis oleh Atangana dan Goufu (2014). Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: + 1 Meninjau perilaku penyebaran infeksi HIV pada sel di setiap titik tetap dengan analisis kestabilan, 2 mengimplementasikan algoritme metode Runge-Kutta orde empat pada model sehingga ditampilkan grafik solusi numerik untuk melihat tingkat + penyebaran infeksi HIV pada sel terhadap waktu.
LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan untuk menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi titik tetap, pelinearan, nilai eigen, kestabilan titik tetap, bilangan reproduksi dasar, dan metode Runge-Kutta orde empat. Titik Tetap Titik tetap adalah titik kritis atau titik kesetimbangan. Misalkan suatu sistem persamaan umum diferensial taklinear dinyatakan sebagai berikut : (1) ( ) Μ Suatu titik yang memenuhi ( ) titik tetap dari sistem Persamaan (1).
disebut titik keseimbangan atau (Tu 1994)
Misalkan titik adalah titik tetap sistem Persamaan (1) dan ( ) adalah solusi sistem persamaan diferensial (SPD) dengan nilai awal ( ) dengan . Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk sembarang terdapat | sedemikian sehingga jika posisi awal memenuhi | , maka | solusi ( ) memenuhi | ( ) , untuk setiap . Sebaliknya jika titik dikatakan titik tetap tak stabil, jika untuk sembarang dan , terdapat | posisi awal memenuhi | , sehingga berakibat solusi ( ) | memenuhi | ( ) , untuk sedikitnya . (Verhulst 1990)
3 Pelinearan Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear yang tidak bergantung terhadap waktu biasa dituliskan dalam bentuk: ( ) Μ
(2)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh: Μ
( ).
(3)
Karena Persamaan (3) merupakan Sistem Persamaan Diferensial taklinear, ( ) ( ) suku berorde tinggi dengan dan A matriks jacobi sebagai berikut: ( )
( Μ) [
]
Selanjutnya pada Persamaan (3) disebut pelinearan dari sistem taklinear Persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan berikut: Μ
.
(4) (Tu 1994)
Nilai Eigen Misalkan A adalah matriks π π maka suatu vektor tak nol x di dalam disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A, berlaku (5) Berdasarkan Persamaan (5) vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks yang berukuran π π maka Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai berikut: (
)
(6)
dengan pada Persamaan (6) merupakan matriks identitas. Selanjutnya diperoleh Persamaan (6) yang mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika (
)
sehingga Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik dari A.
(7) (Anton 2004)
4 Kestabilan Titik Tetap Analisis kestabilan titik tetap dilakukan dengan menggunakan matriks Jacobi yaitu matriks . Titik tetap disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi , selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (7) diperoleh nilai eigennya, yaitu dengan π. Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh, secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut: 1 Stabil, jika: a setiap nilai eigen real adalah negatif ( <0 untuk setiap i), b setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol (Re( ) β€ 0 untuk setiap i ). 2 Tidak stabil, jika: a beberapa nilai eigen real adalah positif ( >0), b beberapa komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau sama dengan nol (Re( ) > 0 untuk setiap i ). 3 Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen real adalah negatif ( untuk setiap i dan j sembarang) (Tu 1994) Selain itu kestabilan dapat diperoleh menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan persamaan karakteristik pada Persamaan (7), kriteria Routh-Hurwitz dapat digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik tetap. Secara umum menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika j > k dengan persamaan polinomial karakteristik: ( )
π
π
π
π
π
Nilai eigen dari Persamaan (7) akan memunyai bagian real negatif jika dan hanya jika determinan matriks M n x n untuk n = 1,2,3,...,k dengan: π
π π π
[
π π π π
π π π π
(8)
π
]
adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu nilai n (untuk n = 2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika: n = 2; a1 > 0, a2 > 0, n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3, n = 4; a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a32 + a12a4.
5 Khusus untuk kasus n = 3, misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian real nilai eigen dari persamaan polinomial karakteristik: (9) adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C. (Fisher 1990) Bilangan Reproduksi Dasar Selanjutnya akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar, . Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata jumlah infeksi sekunder yang disebabkan oleh datangnya individu terinfeksi tunggal ke dalam populasi yang rentan terserang penyakit, atau bisa juga dikatakan merupakan reproduksi dasar virus. Berikut adalah analisis untuk nilai : 1 < 1: virus tidak dapat bertahan hidup di dalam populasi, 2 > 1: virus dapat bertahan hidup didalam populasi. (Giesecke 1994) Metode Runge-Kutta Orde Empat Penyelesaian persamaan deferensial dengan metode deret Taylor tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan ( ) Selain itu, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor yang berorde tinggi pun tidak dapat diterima dalam masalah praktek. Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi ( ) pada titik terpilih dalam setiap langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode penentuan solusi persamaan deferensial paling populer karena banyak dipakai dalam praktek. Perhatikan masalah nilai awal berikut: ( ) ( ) , dengan y merupakan fungsi atau sistem yang belum diketahui dan bergantung pada variabel x. Untuk suatu h > 0 yang disebut riap (increment), untuk n = 0, 1, 2, . . ., didefinisikan ( +
(10)
+
dengan ( ( (
)
) ) )
6 (
)
Pada skema di atas, ( + )
+
merupakan aproksimasi Runge-Kutta orde empat bagi (Munir 2003)
HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Model yang akan disajikan berikut ini dideskripsikan oleh Atangana dan + Goufu (2014). Model HIV pada sel digunakan untuk mengetahui jumlah virus hidup yang bertambah setiap waktu. Model ini merupakan sistem persamaan diferensial biasa. Oleh karena itu, kebergantungan spasial diabaikan, dan berbagai macam interaksi diperkirakan terjadi dalam kompartemen yang tercampur di dalam aliran darah. + Berikut ini uraian model HIV pada sel yang diekspresikan secara matematika sebagai suatu sistem persamaan diferensial, (
) (11)
dengan , dengan: + T : banyaknya populasi sel sehat, + I : banyaknya populasi sel terinfeksi, V : banyaknya populasi virus HIV, + p : laju sel baru dihasilkan di dalam tubuh, + r : laju pertumbuhan populasi maksimum sel , + Ξ± : laju kematian sel sehat, + : populasi maksimum sel , k : laju infeksi virus, + Ξ² : laju kematian sel terinfeksi, Ξ³ : laju kematian virus, + N : total virus yang diproduksi oleh sel selama hidup. + Berdasarkan model di atas dapat ditunjukan bahwa sel yang sehat + dihasilkan dari dalam tubuh dengan laju kelahiran sebesar p. Sel juga + dihasilkan melalui perkembangbiakan sel yang ada. Pada karya ilmiah ini laju pertumbuhan maksimum populasi dinyatakan dengan fungsi logistik, dengan + r adalah laju pertumbuhan maksimum populasi. Sel mempunyai laju + kematian alami sebesar Ξ±. Pada saat tubuh terinfeksi HIV, sel menjadi
7 + terinfeksi. Virus ini yaitu V menginfeksi sel dengan laju k. Virus + mempunyai kematian alami sebesar Ξ³. Sel terinfeksi dinyatakan dalam + notasi I yang memproduksi jumlah total virus sebesar N. Sel terinfeksi + mempunyai kematian alami sebesar Ξ². Jumlah total sel dibatasi oleh +
yang dinyatakan dalam fungsi logistik (
) dengan (
) tidak lebih
+
besar dari . Tingkat kematian sel sehat pada waktu t dinyatakan + dengan . Pada saat virus HIV menginfeksi sel dengan laju k + menyebabkan sel yang sehat berkurang sebesar kVT. Jika tingkat infeksi + virus adalah kVT maka tingkat kematian sel terinfeksi pada waktu t adalah + diakibatkan oleh hasil produksi sel . Peningkatan jumlah virus di sel + yang terinfeksi yang dinyatakan dalam variabel I. Sehingga tingkat produksi virus baru adalah NΞ²I. Virus mempunyai laju kematian yang menyebabkan jumlah virus pada waktu t berkurang sebesar . Penentuan Titik Tetap Model Pada bagian ini akan dilakukan penentuan titik tetap untuk mencari titik + tetap sehat dan terinfeksi dari model infeksi HIV pada sel . Titik tetap sistem Persamaan (11) di dapat dari dan sehingga diperoleh: (12) ( ) (13) (14) Dengan menyelesaikan Persamaan (12), (13), dan (14) diperoleh tiga titik ) ( ), dengan: tetap yaitu ( ), ( [(
)
β(
)
]
(15)
[(
)
β(
)
]
(16)
(17) (18)
8 (
)
(19)
(
) (Lampiran 1)
Asumsikan bahwa tidak ada virus di dalam tubuh (V = 0), maka I = 0 dan diperoleh dua titik tetap yang sehat yaitu: (
(
) dan
)
Jika (
)
β(
)
, (Lampiran 1)
maka bernilai negatif sehingga kestabilan tidak dianalisis lebih lanjut karena + sehat tidak akan bernilai negatif. jumlah populasi sel Selanjutnya titik tetap terinfeksi diperoleh dengan menyelesaikan sistem ). ( Persamaan (11) yaitu Analisis Kestabilan Model + Model infeksi HIV pada sel merupakan sistem persamaan diferensial tak linear. Untuk mempermudah analisis kestabilan model, maka dilakukan analisis titik tetap pada sistem Persamaan (11), sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
(
+
)
(
).
Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai titik tetap Jacobi terkait sebagai berikut: (
(20) , di peroleh matriks
) (21)
( Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik nilai eigen untuk matriks yaitu:
) (
)
, diperoleh
9 [
β(
)
(
)]
[
β(
)
(
)]
Karena semua parameter bernilai positif, dan stabil jika dan hanya jika: ο·
yang berarti
ο·
yang berarti
(
< 0 sehingga nilai eigen
)
atau (Lampiran 2) yang merupakan
diperoleh besaran
Pada kondisi
+ bilangan reproduksi dasar virus dalam populasi sel . Ketika <1 yang merupakan kodisi stabil, maka virus tidak dapat bertahan hidup di dalam populasi. Sedangkan, ketika >1 maka populasi tidak stabil karena virus akan bertahan hidup dalam populasi. Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai titik tetap , maka di peroleh matriks Jacobi terkait sebagai berikut:
(
)
(
) (
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik suatu persamaan yang bergantung pada yaitu ( (
+
(
)( (
(
diperoleh dengan
) +
(22)
)
)
(23)
)
(24)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik tetap stabil diperoleh jika > 0, , dan β . Dari Persamaan (24) diperoleh nilai karena dan untuk selanjutnya nilai dan β jika ( + ) yang berarti
ο§ ο§
)
)
Bentuk A dan B dapat ditulis sehingga dapat ditunjukan bahwa (
)
(
(
dan
)
(
)
yang berarti
( β
)
) . (Lampiran 2)
10 Metode Runge-Kutta Orde Empat Setelah mencari kondisi kestabilan, dilakukan pendekatan penyelesaian dari sistem Persamaan (11) untuk memeroleh solusi numerik menggunakan algoritme metode Runge-Kutta orde empat. Berikut adalah algoritme penyelesaian model + infeksi HIV pada sel . Tuliskan kembali sistem Persamaan (11) dalam bentuk berikut: ( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
dengan (
)
Algoritme untuk menentukan solusi diberikan seperti berikut: a Menentukan persamaan fungsi dan nilai awal terhadap , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b menentukan nilai h dengan a sebagai nilai awal, b sebagai nilai akhir, dan n sebagai jumlah loop, π π π c menentukan solusi dari persamaan fungsi terhadap T, I, V selama n iterasi. for i = 1,.......,n, do: π ( ( ) ( ) ( )) π
(
()
π π
( ( π
() π () π (π π
π
(
() ()
π
(
()
π π
( (
π
()
π
()
π
)
() π () π ) () π () π ) π π )
( )) π
() π () π
()
π
() π () π
()
π
)
() π ) () π )
11 π
(π
π
π
(
() ()
π
(
()
π π
( ( π ( ( (
π )
π
( )) π
()
()
π
π
)
() π () π () π ) () π () π () π ) (π π π π ) ) () π ) () π ) () π
end.
SOLUSI NUMERIK Pada bagian ini akan ditampilkan hasil numerik yang diperoleh dari analisis titik tetap dan nilai eigen serta hasil numerik dan grafik solusi metode Runge+ Kutta orde empat untuk model infeksi HIV pada sel . Hasil numerik dilakukan dengan mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1. Tabel 1 Nilai Parameter Notasi
Nilai 10 0.0027 0.02 0.3 2.4 0.03 10 1500
Nilai
bersumber dari Perelson, Kirscner, dan Boer 1992. Nilai bersumber dari Atangana dan Goufu 2014. Selain itu digunakan bilangan reproduksi dasar ( ).
12 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen Pada bagian ini hasil numerik dilakukan dengan cara mensubtitusikan nilai parameter pada Tabel 1 ke dalam , ,dan serta nilai eigen setiap titik tetap. Hal ini dilakukan untuk menampilkan hasil numerik titik tetap dan nilai eigen + + sehat dan sel terinfeksi. serta melihat kestabilan dari sel + Sel sehat ditunjukan pada saat dan , model infeksi HIV + pada sel menghasilkan titik tetap kesetimbangan tanpa infeksi HIV. Dapat dilihat sebagai berikut: dan Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat Luaran
Jenis kestabilan
Sadel
-
Pada Tabel 2, dapat dilihat bahwa terdapat dua titik tetap yang diperoleh untuk + model infeksi HIV pada sel . Karena populasi tidak akan bernilai negatif, titik tetap tidak dilanjutkan untuk dianalisis. + Pada saat sel terinfeksi diperoleh titik tetap ke tiga. Dengan mensubtitusikan nilai parameter Tabel 1 ke dalam dan Persamaan (22), (23), (24) diperoleh Tabel 3 yaitu,
13 Tabel 3 Titik tetap, kriteria Routh-Hurwitz, dan kestabilan Luaran
Jenis kestabilan
Stabil
Berdasarkan Tabel 3 kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi sehingga diperoleh stabil. (Lampiran 3) Hasil numerik metode Runge-Kutta orde empat Pada bagian ini akan ditampikan solusi numerik dan grafik solusi model + infeksi HIV pada sel dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Hasil numerik dilakukan dengan mensubtitusikan nilai parameter pada Tabel 1 ke dalam algoritme metode Runge-Kutta orde empat. Dengan nilai awal ( ) ( ) dan ( ) diperoleh hasil numerik berikut Tabel 4 Nilai Aproksimasi Runge-Kutta Orde Empat
0
+
(Lampiran 4) + sehat menurun karena sel
Dari Tabel 4 diperoleh nilai sel terinfeksi meningkat dan virus HIV meningkat. Selanjutnya, untuk melihat kestabilan titik tetap dan tingkat penyebaran infeksi HIV, dibuat grafik solusi terhadap model sebagai berikut
14
Gambar 1 Grafik solusi Model dengan nilai π π π + Gambar 1 menjelaskan penurunan jumlah sel sehat yang + terinfeksi dan virus HIV. Pada disebabkan oleh peningkatan jumlah sel + Gambar 1 dapat dilihat bahwa sel sehat mulai mengalami penurunan secara signifikan dari tahun keempat sampai tahun ketujuh, hal ini disebabkan + terinfeksi dan virus HIV yang mulai meningkat di tahun yang oleh sel + sama. Setelah itu, ditahun kedelapan sel sehat mencapai titik terendah + + terinfeksi dan virus HIV mencapai titik tertinggi. Sel sehingga sel terinfeksi dan virus HIV mulai mengalami penurunan pada tahun kedelapan + sehingga membuat sel sehat sedikit meningkat tetapi tidak signifikan.
Gambar 2 Grafik solusi Model dengan nilai π π π + + Gambar 2 menjelaskan jumlah sel sehat, sel terinfeksi, dan virus HIV dalam keadaan stabil. Dapat dilihat pada Gambar 2 bahwa setelah
15 + + tahun ke delapan sel sehat, sel terinfeksi, dan virus HIV mengalami osilasi dan mulai stabil pada saat t=140. Nilai titik tetap stabil yang diperoleh dari metode Runge-Kutta orde empat pada saat t=140 yaitu , dan . Nilai titik tetap pada saat , t=140 akan terus mendekati nilai titik tetap stabil yang diperoleh pada Tabel 3 sehingga metode ini dapat menduga hasil numerik yang stabil untuk model infeksi + HIV pada sel .
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan + memiliki tiga titik tetap yaitu , Model infeksi HIV pada sel ,dan . Dengan memilih nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh bahwa kestabilan bersifat sadel dan bersifat stabil. Solusi numerik diselesaikan + menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk melihat perilaku sel + sehat, sel terinfeksi. Metode ini dapat menduga nilai titik tetap yang stabil + . untuk model infeksi HIV pada sel Saran + Karya ilmiah ini membahas model infeksi HIV pada sel dilakukan untuk melihat tingkat penyebaran infeksi HIV dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Hasil dari karya ilmiah ini dapat digunakan untuk mengetahui waktu yang tepat untuk melakukan pengobatan.
16
DAFTAR PUSTAKA Atangana A, Goufu EFD. 2014. Computational Analysis of the Model Describing + Cells, Applied Mathematical Modelling. Biomed. 7 HIV Infection of pages.doi:10.1155/2014/618404. Anton H. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga. Fisher SD. 1990. Complex Variables. California (US): Wadsworth & Brooks. Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. Oxford University Press, New York. Wang L and Li MY, βMathematical analysis of the global dynamics of a model for HIV infection of CD4+ T cells,β Mathematical Biosciences, vol. 200, no. 1, pp. 44β57, 2006. Lydia A. 1996. Gambaran klinis dan Laboratorium Acquired Immunodeficiency Syndrome di Jakarta dalam perkembangan mutakhir ilmu penyakit dalam. Balai penerbit FKUI. Jakarta. Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika. Perelson AS, Kirschner DE, Boer DR. 1993. Dynamic of HIV infection of + cells. Math. Biosci. 114(1):81-125. Tu PNV.1994.Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Germany: Springer-Verlag. Verhlust F.1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. Germany: Springer-Verlag.
17
LAMPIRAN Lampiran 1 Penentuan titik tetap model Model Persamaan (11): (
)
Titik tetap model Persamaan (11) ditentukan dengan membuat persamaan menjadi
,
, dan
seperti pada Persamaan (12), (13), dan (14)
berikut: (
)
ο· Asumsikan V = 0 dan I = 0 sehingga diperoleh: ( (
) (25)
)
Dengan menggunakan rumus ABC pada Persamaan (23) diperoleh: (
(
)
)
)
β(
β(
)
(
)
18 [(
)
β(
)
]
[(
)
β(
)
]
[(
)
β(
)
]
(
Jadi, titik tetap Untuk titik tetap
) dan
(
)
bernilai negatif, akan dibuktikan
bernilai negatif
bukti, [(
)
β(
)
[β(
)
β(
]
)
]
karena β(
)
β(
)
Maka [β(
)
β(
)
]
ο· Dari Persamaan (11) diperoleh:
(26)
ο· Dari Persamaan (12) diperoleh:
19
(27)
ο· Dari Persamaan (23) dan (24) diperoleh:
(28)
ο· Substitusikan Persamaan (25) dan (26) ke Persamaan (10) (
)
(
( )
)(
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
) +
(
)
(
( (
)
( ) Dengan membuat s=Nk diperoleh: ( (
) )
)
)
20 Jadi, titik tetap
(
+( ( +
) )
)
Karena titik tetap bernilai negatif, titik ini tidak dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan. Jadi, titik tetap yang digunakan adalah dan .
21 Lampiran 2 Penentuan nilai eigen model Misalkan model Persamaan (9) dituliskan sebagai berikut: (
)
(
)
(
)
+
(
)
,
.
Dengan melakukan pelinearan didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:
, (
)
ο§
(
(
+
)
)
ο§
(
(
+
)
)
ο§
(
(
+
)
)
ο§
(
)
ο§
(
)
ο§
(
)
ο§
(
)
ο§
(
)
ο§
(
)
( (
+
) )
22 ο· Analisis titik tetap tak terinfeksi ( ) ke dalam matrik Jacobi model Persamaan Substitusikan titik tetap (11) dengan cara pendekatan limit ( (
)
)
( ( (
) )
)
(
)
Kemudian dicari nilai eigen dengan menggunakan persamaan karakteristik (( ) , sehingga diperoleh: ) |
|
( (
(
)
[(
)
|
)
)
|
β(
] [( ( β(
] [( (
)
)
(
( )))
))) ]
(
β(
)
(
))
(
β(
)
(
))
Sistem akan stabil jika ketiga nilai eigen bernilai negatif yaitu dan . Oleh karena itu syarat-syarat yang harus dipenuhi agar sistem di stabil. a. Karena semua parameter bernilai positif, maka (
b.
jika
c.
jika β(
)
atau ( )
(
) )
atau
23 Besaran
merupakan bilangan reproduksi dasar virus hidup
dalam populasi. Ketika <1 yang merupakan kodisi stabil, maka virus tidak dapat bertahan hidup di dalam populasi. Sedangkan, ketika >1 maka populasi tidak stabil karena virus akan bertahan hidup dalam populasi. ο·
(
Anaisis titik tetap terinfeksi
)
Diketahui matriks Jacobi adalah (
)
( ) dengan Pelinearan pada titik tetap ( (17), (18), dan (19) diperoleh matriks menggunakan persamaan karakteristik ((
|
(
)
+
οΌ [( (
(
|
)
)(
)(
)
)(
)
+
[( ( οΌ( (
) seperti pada Persamaan Kemudian dicarinilai eigen ) )
+
)
) [(
+
)
)(
) (
]
)
)(
]
)
]
)
οΌ( (
(
[
οΌ
+
( ( (
+
)( ( )(
Karena
(
)
)]
)
)]
[ +
[( (
)]
+
( ( +
)( ( )(
)
maka [
οΌ
)
)]
)
)
)] )]
[( (
[ +
)
)
24 [
οΌ
+
( ( +
)( (
)
)
)]
[
(
)]
Persamaan diatas merupakan persamaan karakteristik yang dapat ditulis sebagai berikut dengan: +
( ( ( (
)
) +
)( (
)
)
)
Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz dapat digunakan > 0, , dan β untuk menetapkan titik tetap stabil, jika terpenuhi maka, ο§ karena ( + ) ο§ yang berarti ο§
Bentuk A dan B dapat ditulis sehingga dapat ditunjukan bahwa (
)
(
(
dan
)
(
)
yang berarti
( β
) .
)
25 Lampiran 3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen dengan software Mathematica 10.1
26
Lampiran 4 Program solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat (Tabel 4) dengan software scilab 5.4.1 function [T, I, V]=hiv(p, a, b, c, k, tmax, r, n, T0, I0, V0, tf, t0, f) h= (tf-t0)/n; T= zeros(1,n+1); I= zeros(1,n+1); V= zeros(1,n+1); T(1) = T0; I(1) = I0; V(1) = V0; for i=1:n s11 = p - a*T(i) + r*T(i)*(1 - (T(i)+I(i))/tmax ) k*V(i)*T(i); s12 = p - a*(T(i)+s11*h/2) + r*(T(i)+s11*h/2)*(1((T(i)+s11*h/2)+(I(i)+s11*h/2))/tmax) k*(V(i)+s11*h/2)*(T(i)+s11*h/2); s13 = p - a*(T(i)+s12*h/2) + r*(T(i)+s12*h/2)*(1((T(i)+s12*h/2)+(I(i)+s12*h/2))/tmax) k*(V(i)+s12*h/2)*(T(i)+s12*h/2); s14 = p - a*(T(i)+s13*h) + r*(T(i)+s11*h)*(1((T(i)+s13*h)+(I(i)+s13*h))/tmax) - k*(V(i)+s13*h)*(T(i)+s13*h); s1 = (s11+2*s12+2*s13+s14)/6; s21 = k*V(i)*T(i)-b*I(i); s22 = k*(V(i)+s21*h/2)*(T(i)+s21*h/2) - b*(I(i)+s21*h/2); s23 = k*(V(i)+s22*h/2)*(T(i)+s22*h/2) - b*(I(i)+s22*h/2); s24 = k*(V(i)+s23*h)*(T(i)+s23*h) - b*(I(i)+s23*h); s2 = (s21+2*s22+2*s23+s24)/6; s31 = f*b*I(i) - c*V(i); s32 = f*b*(I(i)+s31*h/2) - c*(V(i)+s31*h/2); s33 = f*b*(I(i)+s32*h/2) - c*(V(i)+s32*h/2); s34 = f*b*(I(i)+s33*h) - c*(V(i)+s33*h); s3 = (s31+2*s32+2*s33+s34)/6; T(i+1) = T(i) + h*s1; I(i+1) = I(i) + h*s2; V(i+1) = V(i) + h*s3; end endfunction
27 Lampiran 5 Program plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde empat (Gambar 4) dengan software scilab 5.4.1 clear all p = 10; a = 0.02; b = 0.3; c = 2.4; r = 0.5; k = 0.0027; tmax = 1500; f = 10; T0 = 1000; I0 = 0; V0 = 0.1; tf = 20; t0 = 0; n = 100; [ T, I, V ] = hiv(p,a,b,c,k,tmax,r,n,T0,I0,V0,tf,t0,f); t = linspace(0,tf,n+1); plot(t,T,'g','LineWidth',2); plot(t,I,'r','LineWidth',2); plot(t,V,'b','LineWidth',2);title('Model infeksi HIV pada sel CD4+T'); legend('Sel CD4+T sehat','Sel CD4+T terinfeksi','virus HIV');xlabel('hari');ylabel('Jumlah populasi'); figure;
clear all p = 10; a = 0.02; b = 0.3; c = 2.4; r = 0.5; k = 0.0027; tmax = 1500; f = 10; T0 = 1000; I0 = 0; V0 = 0.1; tf = 150; t0 = 0; n = 750; [ T, I, V ] = hiv(p,a,b,c,k,tmax,r,n,T0,I0,V0,tf,t0,f); t = linspace(0,tf,n+1); plot(t,T,'g','LineWidth',2); plot(t,I,'r','LineWidth',2);
28 plot(t,V,'b','LineWidth',2);title('Model infeksi HIV pada sel CD4+T'); legend('Sel CD4+T sehat','Sel CD4+T terinfeksi','virus HIV');xlabel('hari');ylabel('Jumlah populasi'); figure;
29
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada 22 April 1993 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Suherman dan Adawiyah. Tahun 2011 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri 1 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Selama masa perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa dari PT Aneka Tambang tahun 2012. Penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Departemen Math Event GUMATIKA tahun 2013 dan kepala Departemen Math Event GUMATIKA tahun 2014. Selain itu, penulis mengikuti berbagai kepanitian, antara lain staf divisi logistik dan transfortasi Jurnalistik Fair ke-5 (2012), ketua pelaksana Ramah Tamah Civitas Matematika (2013), dan ketua pelaksana Welcome Ceremony Mathematics (2014). Penulis juga aktif sebagai pengajar pada bimbingan belajar Kumon.
