PENERAPAN ALGORITMA FUZZY C-MEANS DAN REGRESI PROBIT BINER (Studi Kasus: Data Lulusan Mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo) Skripsi

PENERAPAN ALGORITMA FUZZY C-MEANS DAN REGRESI PROBIT BINER (Studi Kasus: Data Lulusan Mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo)

Skripsi

Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1

Oleh: MUH. GALIH BAHTIAR F1A112080

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2016

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufik, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Penerapan Algoritma Fuzzy C-Means dan Regresi Probit Biner” serta salawat dan salam penulis haturkan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluarga, sahabat dan para pengikutnya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak dapat terselesaikan tanpa bimbingan dan arahan dari Bapak Dr. Ruslan, S.Si., M.Si selaku pembimbing I dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan penulis sejak dari perencanaan hingga terselesaikannya skripsi ini serta memberikan dorongan dan motivasi kepada penulis. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada yang tersayang ayahanda Ansari Togala dan ibunda Siti Ramlah yang telah mendukung dan memberikan doa yang tulus ikhlas serta kasih sayangnya kepada penulis hingga skripsi ini selesai, saudara-saudaraku Muh. Naufal Hisyam, Muh. Maulana Malik Ibrahim, Muh. Dimas Rizky Alfaraz, Siti Zahra Meisya Putri dan Kayla Nurul Syahrin yang selalu memberikan doa dan semangat, semua itu penulis mendoakan menjadi pahala serta catatan amal kebaikan disisi Allah Subhanahu Wa Ta’ala.

iii

Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya: 1.

Rektor Universitas Halu Oleo, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.

2.

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si., M.Sc.

3.

Kepala Laboratorium Komputasi Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.Si., M.Si.

4.

Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si.

5.

Segenap Staf Administrasi dan Tata Usaha di Lingkungan F-MIPA Universitas Halu Oleo atas segala bentuk bantuan yang diberikan kepada penulis selama studi.

6.

Ketua Jurusan Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si. dan sekretaris jurusan Matematika, Bapak Rasas Raya, S.Si,. M.Si.

7.

Norma Muhtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah serta seluruh staf pengajar di lingkungan F-MIPA Universitas Halu Oleo.

8.

La Gubu, S.Si., M.Si., Dr.rer.nat Wayan Somayasa, S.Si., M.Si dan Agusrawati, S.Si., M.Si selaku dewan penguji.

iv

9.

Sahabat Pelmaha Kendariyang memberikan Dorongan Ukhuwa Islamiyah dalam suka dan duka: Ustad Nur Soim, Ustad Umar, Ustad Mustakim, Ustad Tahzin, Ustad Ridwan, Mujib, Heri, Jifar, Ustra, Alan, Armin, Ahmad, Rizal, Akbar, Asdan, Hari, Iman, Ainul, Tazran, Fahmi dll yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

10. Teman-teman MatematikaAngkatan 2012: Nurdahlia DS, Rianto, S.Mat, Rosni, S.Mat, Akwal, S.Mat, Egi, S.Mat, Dani, S.Mat, Pantry, S.Mat, Novita, S.Mat, Treni, S.Mat, Diana, S.Mat, Desi, S.Mat, Ila, Eka, Ekawati, Obil, Bertin, Astrid, Suri, Yuliana, Mergar, Rina, Nella dan lain-lain yang telah memberikan dorongan moral dan spiritual serta kebersamaan yang tidak terlupakan selama mengikuti perkuliahan. 11. Senior-senior Matematika: Ully Hidayati, Citrawan Fitri, Eka Rahmi, Rina, Mayan, Lia, Wahyu, Raful, Kalvin, Tono, Rajab, Idris, Ayu, Ati, Ismail,Naim dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu. 12. Junior Matematika Angkatan 2013, 2014 dan 2015 dan Kawan-kawan SMA. Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Kendari,

Agustus 2016

Penulis

v

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL .............................................................................

i

HALAMAN PENGESAHAN ...............................................................

ii

KATA PENGANTAR ...........................................................................

iii

DAFTAR ISI ..........................................................................................

vi

DAFTAR GAMBAR .............................................................................

vii

DAFTAR TABEL .................................................................................

viii

DAFTAR LAMPIRAN .........................................................................

ix

ABSTRAK ............................................................................................

x

ABSTRACT ..........................................................................................

xi

BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang.................................................................

1

1.2

Rumusan Masalah ...........................................................

3

1.3

Tujuan Penelitian .............................................................

4

1.4

Manfaat Penelitian ...........................................................

4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1

Clustering ........................................................................

5

2.2

Algoritma Fuzzy C-Means ...............................................

5

2.3

Statistik Deskriptif ...........................................................

9

2.4

Model RegresiLinear Umum ...........................................

10

2.5

Distribusi Normal ............................................................

12

2.6

Variabel Dummy .............................................................

14

2.7

Estimasi Parameter dengan Metode MLE .......................

15

2.8

Model Regresi Probability Unit (Probit)..........................

17

2.9

Uji Signifikansi Parameter ...............................................

23

2.10 Uji Kecocokan Model Regresi Probit .............................

26

2.12 Kerangka Pemikiran........................................................

27

vi

BAB III METODE PENELITIAN 3.1

Waktu dan Tempat Penelitian .........................................

29

3.2

Sumber Data ....................................................................

29

3.2

Variabel Penelitian ..........................................................

29

3.3

Prosedur Penelitian ..........................................................

30

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1

Statistik Deskriptif ...........................................................

31

4.2

Clustering dengan Algoritma Fuzzy C-Means ................

33

4.3

Pembentukan Model Regresi Probit Biner ......................

37

4.3.1 Pembentukan Variabel Dummy ..............................

37

4.3.2 Uji Signifikansi Parameter Serentak ......................

38

4.3.3 Uji Signifikansi Parameter Parsial..........................

40

4.3.4 Uji Signifikansi Parameter SerentakModel Terbaik ...................................................................

41

4.3.5 Uji Signifikansi Parameter ParsialModel Terbaik ...................................................................

42

4.3.6 Uji Kecocokan Model.............................................

43

4.3.7 Interpretasi Model ..................................................

45

BAB V PENUTUP 5.1

Kesimpulan ......................................................................

48

5.2

Saran ................................................................................

49

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................

50

LAMPIRAN ...........................................................................................

52

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Skema Perulangan Proses Iterasi..................................................

9

Gambar 2.2 Kurva Normal ...............................................................................

20

Gambar 2.3 Kurva Model Probit......................................................................

21

Gambar 4.1 Pie Chart Presentase lama studi dan IPK ....................................

32

Gambar 4.2 Pie Chart Kategori Hasil Clustering ............................................

37

Gambar 4.3 Hubungan Antara Probabilitas Status lulus dan jurusan ..............

45

Gambar 4.4 Hubungan Antara Probabilitas Status lulus dan IPS1 ..................

46

vii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Nilai Fungsi Obyektif Selama Iterasi ...............................................

33

Tabel 4.2 Derajat Keanggotaan untuk Setiap Cluster ......................................

35

Tabel 4.3 Anggota pada Kedua Cluster ...........................................................

36

Tabel 4.4 Variabel Respon dan Prediktor .......................................................

37

Tabel 4.5 Pembentukan Variabel Dummy ........................................................

38

Tabel 4.6 Uji Signifikansi Parameter Serentak ................................................

39

Tabel 4.7 Taksiran Parameter Parsial...............................................................

40

Tabel 4.8 Uji Signifikansi Parameter Model Terbaik ......................................

42

Tabel 4.9 Taksiran Parameter Model Terbaik..................................................

42

Tabel 4.10 Uji Hosmer dan Lemeshow............................................................

44

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Solusi untuk Center P dan Anggota Matriks U..................

52

Lampiran 2. Data untuk Algoritma Fuzzy C-Means ..............................

54

Lampiran 3. Data untuk Analisis Regresi Probit Biner ..........................

56

Lampiran 4. Sourcecode dan Output Algoritma Fuzzy C-Means ..........

57

Lampiran 5. Sourcecode dan Output Regresi Probit Biner ....................

66

Lampiran 6. Tabel Normal Standar ........................................................

72

Lampiran 7. Tabel Distribusi Chi-Square.. ............................................

73

ix

PENERAPAN ALGORITMA FUZZY C-MEANS DAN REGRESI PROBIT BINER (Studi Kasus: Data Lulusan Mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo )

OLEH: MUH. GALIH BAHTIAR F1A1 12 080 ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui karakteristik, clustering dan pemodelan faktor-faktor yang mempengaruhi lulusan mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo Kendari. Clustering lama studi (𝑋1 ) dan IPK (𝑋2 ) mahasiswa menggunakan algoritma fuzzy c-means menghasilkan 2 status lulus yaitu kategori memuaskan dan pujian. Status lulus digunakan sebagai variabel respon (𝑌) pada model probit. Model pada analisis regresi probit biner diduga menggunakan 4 variabel prediktor yaitu jurusan (𝑥1 ), jenis kelamin (𝑥2 ), asal daerah (𝑥3 )dan Indeks Prestasi Semester 1 (𝑥4 ). Berdasarkan hasil uji kecocokan model dan Kriteria model terbaik menunjukkan bahwa variabel prediktor yang berpengaruh terhadap variabel respon yaitu jurusan dan Indeks Prestasi Semester 1. Variabel-variabel prediktor terpilih tersebut merupakan faktor-faktor yang mempengaruhi status lulus mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo Kendari. Kata Kunci: Lulusan, Clustering, Algortima Fuzzy C-Means, Regresi Probit Biner.

x

APPLICATION OF FUZZY C - MEANS ALGORITHM AND BINARY PROBIT REGRESSION (Case Study: Students Graduated from Faculty of Science Halu Oleo University Data) BY: MUH. GALIH BAHTIAR F1A1 12 080 ABSTRACT

The aims of the research were to know characteristic, clustering and modeling the factors affecting graduate students of the Faculty of Science HaluOleo University Kendari. Clustering duration of the study (𝑋1 ) and GPA (𝑋2 ) of students using fuzzy c-means algorithm generates two graduate status is satisfactory category and praise. Status pass is used as the response variable (𝑌) in the probit model. Model on binary probit regression analysis allegedly used four predictor variables are majors (𝑥1 ), gender (𝑥2 ), national origin (𝑥3 ) and their GPA 1 (𝑥4 ). Based on the goodness of fit test results and the model fit criteria for best model showed that the predictor variables that influence the response variable is majors and their GPA 1. The variables are selected predictors are all factors that affect the status of graduate students of the Faculty of Science Halu Oleo University Kendari. Keywords: Graduates, Clustering, Fuzzy C -Means algorithms, Binary Probit Regression.

xi

xi

BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan dalam beberapa dekade terakhir,

memungkinkan semakin mudahnya memperoleh data dan informasi dalam jumlah yang besar. Pertumbuhan data yang tersimpan dalam suatu data base yang besar telah jauh melebihi kemampuan manusia untuk bisa memahami sehingga dibutuhkan suatu alat dan metode tepat yang mampu mentransformasikan sejumlah besar data kedalam informasi yang berguna untuk menunjang keakuratan informasi itu sendiri. Misalnya penyelesaian masalah analisis data multivariat dan metode statistika. Teknik analisis data multivariat dalam mencari pola sampel data berdasarkan proses pertumbuhan kelompok data homogen disebut clustering dan metode statistika yang dapat menjelaskan hubungan sebabakibat dari suatu data disebut analisis regresi. Salah satu permasalahan yang dapat dianalisis menggunakan Clustering dan regresi adalah permasalahan tentang kelulusan mahasiswa Perguruan Tinggi. Kelulusan mahasiswa merupakan hasil yang diperoleh mahasiswa dari proses belajarnya. Pada kenyataannya tidak semua mahasiswa lulus tepat waktu atau sesuai dengan waktu yang ditetapkan oleh tempat mahasiswa tersebut menempuh pendidikannya. Keberhasilan mahasiswa dalam menempuh studinya selain dapat dilihat dari waktu yang ditempuh, dapat juga diukur dari predikat kelulusan yang diperoleh. Predikat kelulusan ditetapkan berdasarkan pada lama studi yang ditempuh dan nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa. Oleh

1

karena itu, dalam menentukan kelulusan mahasiswa terdapat dua hal yang perlu diperhatikan yaitu berdasarkan lama studi yang ditempuh dan nilai IPK yang diperoleh. Pada Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo, tidak semua mahasiswa disetiap jurusannya memenuhi persyaratan yang telah ditetapkan yakni lulus tepat waktu dengan IPK memuaskan atau pujian. Untuk mengetahui faktor-faktor penyebab kelulusan mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo baik yang tepat waktu maupun yang tidak tepat waktu serta tetap memperhitungkan nilai IPK yang diperoleh mahasiswa diperlukan suatu analisis tepat yang dapat menyelesaikan permasalahan tersebut. Algoritma fuzzy c-means clustering mengusulkan model yang lebih mendekati pada permasalahan dunia nyata, yaitu bagaiman data dihasilkan dari pola yang teridentifikasi. Algoritma fuzzy c-means adalah pengenalan pola dengan pemodelan yang lebih fleksibel dan memudahkan pemecahan perhitungan dari masalah yang dirumuskan. Kelebihan fuzzy c-means bahwa penempatan posisi data pada cluster dilakukan dengan perbaikan penentuan pusat cluster awal dan nilai keanggotaan secara berulang (Asfi M, 2008). Salah satu model regresi yang dapat digunakan untuk menganalisis faktorfaktor yang mempengaruhi kelulusan mahasiswa adalah regresi probit. Pemodelan regresi probit biner berasal dari variabel respon kualitatif yang diawali dengan model regresi secara umum. Fungsi transformasi dalam model probit menggunakan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi normal standar. Kelebihan menggunakan regresi probit bahwa nilai-nilai yang diperoleh dari

2

pencocokan model (fitting) langsung dapat diubah menjadi probabilitas dengan menggunakan nilai dari tabel normal standar. Dalam hal ini kita hanya perlu mencari nilai probabilitas terkait dengan skor z yang diperoleh dari model (Hosmer & Lemeshow, 2000). Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk melakukan kajian mengenai “Penerapan Algoritma Fuzzy C-Means dan Regresi Probit Biner”. 1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang diatas, maka masalah yang muncul

dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Bagaimana karakteristik lulusan mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo ? 2. Bagaimana menerapkan metode clustering Algoritma fuzzy c-means untuk pengelompokkan data lulusan mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo ? 3. Bagaimana memodelkan faktor-faktor yang mempengaruhi lulusan mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo menurut status lulus hasil clustering fuzzy cmeans menggunakan regresi probit biner? 1.3

Tujuan Penelitian Tujuan yang akan dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengkaji karakteristik lulusan mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo berdasarkan data yang ada. 2. Mengetahui pengelompokkan lulusan mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo berdasarkan lama studi dan IPK menggunakan metode algoritma fuzzy cmeans. 3

3. Menerapkan/mengaplikasikan model regresi probit biner pada lulusan mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo menurut status lulus hasil clustering algoritma fuzzy c-means. 1.4

Manfaat Penelitian Adapun manfaat pada penelitian ini adalah:

1. Bagi penulis Untuk memperdalam dan memperluas pengetahuan penulis tentang

data

mining dan matematika statistika serta dapat mengaplikasikan teori-teorinya untuk menyelesaikan masalah-masalah yang terjadi di lapangan. Terutama dalam menerapkan algoritma fuzzy c-means dan model regresi probit biner. 2. Bagi Matematika dan lembaga pendidikan Sumbangan pemikiran dan sebagai sarana informasi bagi pembaca dan sebagai bahan pelengkap referensi bagi pihak-pihak yang membutuhkan. 3. Bagi instansi terkait Dapat memberikan informasi kepada instansi terkait terhadap permasalahan yang terjadi yang selanjutnya dapat menjadi bahan pertimbangan dalam mengambil kebijakan.

4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1

Clustering Perkembangan analisis cluster dimulai dari metode hierarchical yang secara

garis besar membentuk sebuah tree diagram yang biasa disebut dengan dendogram yang mendeskripsikan pengelompokan berdasarkan jarak, graphtheoritic melihat objek sebagai node pada network terboboti, mixture models mengasumsikan suatu objek dihasilkan dari skala data yang berbeda-beda, partitional lebih dikenal dengan metode non-hierarchy termasuk didalamnya adalah metode K-means cluster. Perkembangan terakhir dari analisis cluster mempertimbangkan tingkat keanggotaan yang mencakup himpunan fuzzy sebagai dasar pembobotan bagi pengelompokan yang disebut dengan fuzzy clustering (Bezdek, 1981). Clustering merupakan proses pengelompokkan data dalam kelas-kelas atau cluster-cluster sehingga data dalam suatu cluster memiliki tingkat kesamaan yang tinggi antara data satu dengan yang lainnya tetapi sangat berbeda dengan data pada cluster lain. Clustering juga dapat dianggap sebagai bentuk kompresi data dan aplikasi, berbagai jenis ukuran kesamaan dapat digunakan untuk mengidentifikasi kelas, di mana ukuran kesamaan mengontrol bagaimana cluster terbentuk. Beberapa contoh nilai-nilai yang dapat digunakan sebagai parameter kesamaan termasuk jarak, konektivitas dan intensitas. (Sowmya & Rani, 2004). 2.2

Algoritma Fuzzy C-Means Secara umum teknik dari fuzzy cluster adalah meminimumkan fungsi

obyektif dimana parameter utamanya adalah fungsi keanggotaan dalam fuzzy 5

(membership function) yang disebut juga dengan fuzzier (Klawonn & Höppner, 2001). Fuzzy c-means adalah suatu teknik clustering (pengelompokkan) data di mana keberadaan titik-titik data dalam suatu cluster ditentukan oleh derajat keanggotaan. Penentuan titik cluster dilakukan secara berulang-ulang hingga diperoleh data yang akurat berdasarkan derajat keanggotaannya. Perulangan ini didasarkan pada minimalisasi fungsi obyektif yang menggambarkan jarak dari titik data ke pusat cluster yang terbobot oleh derajat keanggotaan. Akibat adanya derajat keanggotaan tersebut, maka suatu titik data bisa dimiliki lebih dari suatu kelompok (Sowmya & Rani, 2004). Fuzzy C-Means (FCM) cluster pertama kali dikemukakan oleh Dunn (1973) dan kemudian dikembangkan oleh Bezdek (1981) yang banyak digunakan dalam pattern recognition. Metode ini merupakan pengembangan dari metode non hierarki K-means Cluster, karena pada awalnya ditentukan dulu jumlah kelompok atau cluster yang akan dibentuk. Kemudian dilakukan iterasi sampai mendapatkan keanggotaan kelompok tersebut. Metode ini adalah metode yang paling digemari karena merupakan metode yang paling robust (( Klawonn dan Höppner, 2001) dan (Klawonn, 2000)) dan memberikan hasil yang smooth (halus) dengan toleransi relatif (Shihab, 2000). Algoritma fuzzy c-means memiliki keuntungan yaitu dapat memahami karakteristik data yang kabur atau data yang tidak terdefinisikan, dapat mengelompokkan data yang besar, lebih kokoh terhadap data outlier dan penentuan titik cluster yang optimal(Simbolon et al., 2013). Prinsip utama pengelompokkan dengan fuzzy c-means cluster adalah meminimumkan fungsi obyektif.

6

Misalkan 𝑹 adalah himpunan bilangan real, 𝑹𝑘 himpunan dari 𝑝 tuples dari bilangan real, 𝑹+ himpunan real non negatif dan 𝑊𝑐𝑛 himpunan dari bilangan real matriks 𝑐 x 𝑛. 𝑹𝑘 disebut ruang utamadan elemen-elemen 𝑥 ∈ 𝑹+ vektor utama; vektor𝒙 = (𝑥1 , 𝑥𝟐 , … , 𝑥𝑘 ) adalah dibentuk dari bilangan real 𝑘. 𝑀𝑓𝑐 akan menunjukkan himpunan dari partisi fuzzy 𝑐 dari 𝑋. Defenisi 2.1.1 (Cannon et al,1986) Misalkan 𝑈𝜖𝑀𝑓𝑐 menyatakan sebuah partisi fuzzy 𝑐 dari 𝑋 dan misalkan 𝑢 menyatakan 𝑐 tuple (𝒑1 , 𝒑2 , … , 𝒑𝑐 ), 𝑢𝑖 ∈ 𝑹𝑝 fungsi fuzzy c-means 𝐽𝑚 : 𝑀𝑓𝑐 x 𝑹𝑐𝑘 → 𝑹+ didefenisikan sebagai 𝑐

𝑛 𝑚

𝐽𝑚 (𝑈, 𝒑) = ∑ ∑(𝒖𝑖𝑗 ) (𝑑𝑖𝑗 )

2

(2.1)

𝑖=1 𝑗=1

dimana 𝑈𝜖𝑀𝑓𝑐 , merupakan sebuah partisi fuzzy 𝑐 dari 𝑋; 𝒑 = (𝒑1 , 𝒑2 , … , 𝒑𝑐 ) ∈ 𝑹𝑐𝑘 , dengan 𝑢𝑖 ∈ 𝑹𝑘 pusat cluster atau bentuk dasar dari cluster 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑐, dan 2

𝑑𝑖𝑗 2 = ‖𝒙𝑗 − 𝒑𝒊 ‖ ,

(2.2)

untuk setiap produk inti matriks norm ‖. ‖ dan 𝑚 ∈ [1, ∞). Keterangan: U dan 𝒑 adalah variabel yang kondisi optimalnya diharapkan, untuk matriks U kondisi optimalnya berarti konvergensi keanggotaan kelompok dalam FCM. 𝑋, c, m adalah parameter input dari 𝐽𝑚 .Dimana: 

c adalah jumlah cluster yang memenuhi 𝑋 (jumlah cluster yang diinginkan,

2c N)

7



m  1 adalah tingkat ke-fuzzy-an dari hasil pengelompokkan artinya nilai m merepresentasikan eksponen pembobot untuk keanggotaan dan bernilai konstan yang mengontrol pembagian nilai fuzzy. Parameter ini disebut dengan fuzzier, nilai dari m yang sering dipakai dan dianggap yang paling halus adalah m=2 (Klawonn dan Höppner, 2001).



uik adalah tingkat keanggotaan yang merupakan elemen dari matriks U.



n jumlah observasi.



2 𝑑𝑖𝑗 adalah jarak observasi yang dapat dirumuskan kembali dari persamaan

(2.2) sebagai berikut: 2

𝑇

2 𝑑𝑖𝑗 (x𝑗 , pi ) = ‖𝐱𝑗 − 𝐩𝑖 ‖𝐴 = (𝐱𝑗 − 𝐩𝑖 ) 𝐴(𝐱𝑗 − 𝐩𝑖 ) 2 jika A adalah matriks identitas maka 𝑑𝑖𝑗 adalah jarak Euclid.

Dengan menggunakan fungsi obyektif fuzzy c-means mempartisi data masuk ke dalam cluster-cluster hingga optimasi dari fungsi obyektif tercapai. Untuk perubahan membership atau keanggotaan data digunakan persamaan (2.4) dan pembaharuan pusat cluster digunakan persamaan (2.3). Algoritma pengelompokan fuzzy c-means cluster diberikan sebagai berikut: 1. Menentukan c banyak cluster atau kelompok yang ingin dibuat. 2. Menentukan tingkat ke-fuzzy-an hasil pengelompokan (m). 3. Menghitung fuzzy cluster center (p) dengan

persamaan (2.3) (Persamaan

diperoleh dari fungsi obyektif, lihat lampiran 1). 𝑚 ∑𝑛𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝒑𝑖 = 𝑛 𝑚 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗

(2.3)

8

4. Update anggota matriks U dengan persamaan (2.4) (Persamaan diperoleh dari fungsi obyektif, lihat lampiran 1). 1

𝑢𝑖𝑗 =

(2.4)

1 2 (𝑚−1) 𝑑𝑖𝑗 2 𝑑𝑖𝑗

∑𝑐𝑗=1 ( )

5. Keanggotaan data terhadap cluster dan pusat cluster akan terus mengalami perubahan hingga mencapai konvergensi di mana perubahan batas minimum distance error yang telah ditentukan sebagai termination criterion yang ditunjukkan dengan persamaan: |𝐽𝑚 − 𝐽𝑚−1 | < 𝜀 atau bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks U, jika tidak banyak mengalami perubahan maka artinya sudah konvergen dan keanggotaannya sudah maksimal. Iterasi dihentikan dan didapatkan hasil pengelompokkan. Skema proses iterasi berlangsung :

Gambar 2.1 Skema perulangan proses iterasi 2.3

Statistik Deskriptif Analisis statistik deskriptif adalah statistik yang digunakan untuk

menganalisis data dengan cara mendeskripsikan atau menggambarkan data yang

9

telah terkumpul sebagaimana adanya tanpa bermaksud membuat kesimpulan yang berlaku untuk umum atau generalisasi. Analisis ini hanya berupa akumulasi data dasar dalam bentuk deskripsi semata dalam arti tidak mencari atau menerangkan saling hubungan, menguji hipotesis, membuat ramalan, atau melakukan penarikan kesimpulan. Teknik analisis ini biasa digunakan untuk penelitian-penilitian yang bersifat eksplorasi, misalnya ingin mengetahui persepsi masyarakat terhadap kenaikan harga BBM, ingin mengetahui sikap guru terhadap pemberlakuan UU Guru dan Dosen, ingin mengetahui minat siswa mahasiswa terhadap profesi guru, dan sebagainya. Adapun teknik analisis statistik deskriptif yang sering digunakan salah satunya yaitu penyajian data dalam bentuk visual seperti histogram, poligon, ogive, diagram batang, diagram lingkaran, diagram pastel (pie chart) dan diagram lambang serta dalam bentuk gambar. (Sudrajat, 1998). 2.4

Model Regresi Linear Umum Model regresi linear terbagi menjadi dua, yaitu model regresi linear

sederhana dan model regresi linear berganda. Model regresi linear sederhana adalah analisis regresi yang melibatkan hubungan fungsional antara satu variabel respon dengan satu variabel prediktor. Secara umum, persamaan regresi linear sederhana dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽𝑗 𝑋𝑖𝑗 + 𝜀𝑖 ;

𝑗 = 1,2, … , 𝑝; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

(2.5) (Neter dkk, 1997).

10

Sedangkan model regresi linear berganda merupakan analisis regresi yang melibatkan lebih dari satu variabel prediktor (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑝 ) dan mempunyai hubungan linear dengan variabel respon (𝑌). Apabila disajikan dalam bentuk matriks maka persamaan (2.5) akan berbentuk: 1 𝑦1 𝑦2 1 [⋮]=[ ⋮ 𝑦𝑛 1

𝑥11 𝑥21 ⋮ 𝑥𝑛1

𝑥12 𝑥22 ⋮ 𝑥𝑛2

… 𝑥1𝑝 𝛽0 𝜀1 𝜀2 … 𝑋2𝑝 𝛽1 ][ ] + [ ⋮ ] ⋮ ⋮ 𝜀𝑛 … 𝑋𝑛𝑝 𝛽𝑝

dengan bentuk sederhana, dapat dinotasikan sebagai berikut: 𝐘=𝐗𝛃+ 𝛆 1 𝑥11 𝑦1 𝑦2 1 𝑥21 dengan 𝐘 = [ ⋮ ] , 𝐗 = [ ⋮ ⋮ 𝑦𝑛 𝑥 1 𝑛1

(2.6) 𝑥12 … 𝑥1𝑝 𝑥22 … 𝑋2𝑝 ], ⋮ ⋮ 𝑥𝑛2 … 𝑋𝑛𝑝

𝛽0 𝜀1 𝜀 𝛽 2 𝛃 = [ 1 ], dan 𝛆 = [ ⋮ ] ⋮ 𝜀𝑛 𝛽𝑝 dimana: 𝐘

: vektor variabel respon berukuran 𝑛 × 1

𝐗

: matriks variabel prediktor berukuran 𝑛 × (𝑝 + 1)

𝛃

: matriks koefisien berukuran (𝑝 + 1) × 1 atau (𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑝 )

𝛆

: matriks error berukuran 𝑛 × 1

𝑇

dimana fungsi error diasumsikan memiliki sifat: 1. 𝐸(𝜀𝑖 ) = 0, 2. 𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑖 ) = 𝜎 2 (konstan), dan 3. 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 ) = 0, untuk 𝑖 ≠ 𝑗 (Johnson & Wichern, 2002).

11

2.5

Distribusi Normal Distribusi normal sering juga disebut Distribusi Gaussian. Model distribusi

ini pertama dipublikasikan oleh Abraham de moivre tahun 1733, sebagai suatu pendekatan untuk distribusi dari jumlahan variabel-variabel binomial. Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dalam statistik. Defenisi 2.1.2 Variabel acak kontinu Y dikatakan berdistribusi normal dengan mean 𝜇 dan variansi 𝜎 2 , jika mempunyai pdf :

f(y;μ,σ

2 )=

1

1 y-μ 2 ) 2 σ

- (

√2πσ2

e

(2.7)

, untuk -∞ < x < ∞

dimana −∞ < 𝜇 < ∞ dan 𝜎 2 > 0. Selanjutnya dinotasikan dengan : 𝑌~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) dengan permisalan 𝑧 = (𝑦 − 𝜇)/𝜎, maka; ∞

I= ∫ −∞

1

1 y-μ 2 ) 2 σ

- (

√2πσ2

e

∞

𝑑𝑦 = 2 ∫ 0

1 √2π

1 2

e−2z 𝑑𝑧

(2.8)

jadi dimisalkan 𝑤 = 𝑧 2 /2., maka 𝑧 = √2𝑤 dan 𝑑𝑧 = (𝑤 −1/2 /√2) 𝑑𝑤, maka; ∞

I=∫ 0

𝑤 −1/2 √π

1

e-w 𝑑𝑤 =

ᴦ(2) √π

=1

(2.9)

transformasi 𝑍 = (𝑌 − 𝜇)/𝜎 merupakan variabel normal standar dengan pdf; 𝜙(𝑧) =

1 √2𝜋

1 2

𝑒 −2𝑧 ; untuk -∞ < z < ∞

(2.10)

Persamaan (2.10) merupakan fungsi kepadatan probabilitas distribusi normal standar dengan CDF dari Z adalah:

12

𝑧

(2.11)

Φ(𝑧) = ∫ 𝜙(𝑡)𝑑𝑡 −∞

Jika 𝑍 mempunyai pdf 𝜙(𝑧) maka dinotasikan sebagai 𝑍~𝑁(0,1) dan disebut distribusi normal standar. Sifat-sifat distribusi normal standar: 1. 𝜙(𝑧)

merupakan

fungsi

genap,

yaitu

𝜙(𝑧) = 𝜙(−𝑧),

sehingga

distribusinya simetris terhadap garis tegak yang melalui 𝑧 = 0. 2. 𝜙(𝑧) = −𝑧𝜙(𝑧), karena 𝜙(𝑧) > 0 untuk setiap 𝑧, maka maksimum terjadi pada titik 𝑧 = 0. 3.

lim 𝜙(𝑧) = 0, ini berarti distribusinya asimtotis terhadap sumbu

𝑧→±∞

mendatar. ∞

∞

4. 𝐸(𝑍) = ∫−∞ 𝑧𝜙(𝑧)dz = ∫−∞ 𝑧 ∞

1 √2𝜋

∞

5. 𝐸(𝑍 2 ) = ∫−∞ 𝑧 2 𝜙(𝑧)dz = ∫−∞ 𝑧 2

1 2

𝑒 2𝑧 dz = 0, 1 √2𝜋

1 2

𝑒 2𝑧 dz = 1.

6. Dari sifat 4 dan 5, maka 𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 1. Jika 𝑌~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), maka dengan subtitusi 𝑧 = (𝑦 − 𝜇)/𝜎, diperoleh: ∞

𝑥

1 𝑦−𝜇 2 ) 𝜎

a. 𝐸(𝑌) = ∫−∞ √2𝜋𝜎2 𝑒 2( ∞

𝑥2

1 𝑦−𝜇 2 ( ) 𝜎

b. 𝐸(𝑌 2 ) = ∫−∞ √2𝜋𝜎2 𝑒 2

∞

dy = ∫−∞(𝜇 + 𝑧𝜎)𝜙(𝑧) dz = μ ∞

dy = ∫−∞(𝜇 + 𝑧𝜎)2 𝜙(𝑧) dz = μ2 + 𝜎 2

c. 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = (μ2 + 𝜎 2 ) − μ2 = 𝜎 2 Hubungan antara distribusi normal dan distribusi normal standar diberikan oleh teorema berikut ini: Teorema 2.1.1 Jika 𝑌~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), maka berlaku: a. 𝑍 =

𝑦−𝜇 𝜎

berdistribusi normal standar

13

b. 𝐹𝑦 (𝑦) = Φ(

𝑦−𝜇 𝜎

)

Bukti : 𝑌−𝜇

a. 𝐹𝑧 (𝑧) = 𝑃{𝑍 ≤ 𝑧} = 𝑃 {

𝜎

≤ 𝑧} = 𝑃{𝑌 ≤ 𝜇 + 𝜎𝑧} 𝜇+𝜎𝑧

1

= ∫

√2𝜋𝜎 2

−∞

1 y-μ 2 ) 2 σ

- (

e

𝑑𝑦

misalkan 𝑤 = (𝑧 − 𝜇)/𝜎, maka diperoleh : 𝑧

𝐹𝑧 (𝑧) = ∫ −∞

1

1 2

√2π

e−2w 𝑑𝑤 = Φ(𝑧)

(2.12)

Φ(𝑧) merupakan CDF dari distribusi normal standar. 𝑌−𝜇

b. 𝐹𝑦 (𝑦) = 𝑃{𝑌 ≤ 𝑥} = 𝑃 { = 𝑃 {𝑍 ≤

𝜎

≤

𝑦−𝜇 𝜎

}

𝑦−𝜇 𝑦−𝜇 𝑦−𝜇 } = 𝐹𝑍 ( ) = Φ( ) 𝜎 𝜎 𝜎

karena distribusi normal adalah simestris, maka untuk 𝑧 yang negatif berlaku Φ(−𝑧) = 1 − Φ(𝑧)

(2.13)

(Bain & Engelhardt, 1992:18-21). 2.6

Variabel dummy Variabel dummy disebut juga variabel boneka, variabel indikator, variabel

biner (2 angka), variabel bersifat kategori, dan variabel kualitatif. Pada umumnya variabel dummy untuk dua kategori diberi kode 0 dan 1. Ciri model regresi dengan variabel dummy adalah sebagai berikut : 1.

Jika suatu variabel kualitatif mempunyai 𝑘 kategori, maka ada 𝑘 − 1 variabel dummy. 14

2.

Penetapan nilai 0 dan 1 untuk dua kategori, seperti pria dan wanita adalah tanpa suatu dasar atau bukan merupakan hal yang mutlak dalam variabel dummy mengambil nilai 0 dan 1 sebagai kode dari kategori tersebut.

3.

Kelompok, kategori, atau klasifikasi yang diberi nol seringkali disebut sebagai kategori dasar, kategori kontrol, atau kategori perbandingan. Dengan kata lain marupakan perbandingan yang dibuat dalam kategori tersebut (Gujarati & Zain, 2006). Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) bahwa variabel rancang (atau

dummy) 𝑘 − 1 ditulis sebagai 𝐷𝑖𝑗 dan variabel rancang untuk koefisiennya ditulis sebagai 𝛽𝑖 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑘𝑖 − 1. Adapun variabel dummy untuk model probit dengan 𝑝 variabel adalah, 𝑘𝑖 −1

𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥1 + ⋯ + ∑ 𝛽𝑗 𝐷𝑖𝑗 + 𝛽𝑝 𝑥𝑝

(2.14)

𝑗=1

𝑌𝑖 merupakan variabel respon, 𝛼 adalah intercept (konstanta), 𝛽𝑗 adalah koefisien (parameter) regresi untuk 𝑥𝑖 dan 𝐷𝑖𝑗 , 𝑥𝑖 adalah variabel prediktor sedangkan 𝐷𝑖𝑗 merupakan variabel dummy dengan 𝑘 kategori. 2.7

Estimasi Parameter dengan metode Maximum Likelihood Estimation Pada regresi linear umumnya digunakan metode kuadrat terkecil untuk

menaksir parameter 𝛽𝑗 . Berdasarkan asumsi yang biasa digunakan untuk regresi linear (misalnya asumsi kenormalan ataupun kehomogenan varians), metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penaksiran parameter dengan sifat-sifat statistik yang diinginkan (tak bias dan memiliki varians minimum). Namun apabila metode kuadrat ini diterapkan untuk model dengan variabel respon biner, 15

maka penaksir parameter yang dihasilkan tidak lagi memiliki sifat-sifat statistik yang diinginkan tersebut, yaitu ada asumsi homoskedastisitas yang tidak mungkin dipenuhi oleh distribusi binomial. Hal ini disebabkan karena varians distribusi binomial berubah-ubah bergantung pada nilai peluang suksesnya. Oleh karena itu, pendekatan yang digunakan untuk mengatasi hal tersebut adalah dengan metode kemungkinan atau Maximum Likelihood Estimation (MLE). Berikut ini disajikan cara pendugaan parameter 𝜇 dan 𝜎 2 pada distribusi normal. Misalkan 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 adalah sampel acak dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 2 . Fungsi kepadatan peluang untuk distribusi normal tersebut adalah sebagai berikut. 1

𝑒

𝑓(𝑦𝑖 |𝜇, 𝜎 2 ) = {√2𝜋𝜎 2 0,

−

1 (𝑦 −𝜇)2 2𝜎2 𝑖

, 𝑦𝑖 > 0, 𝜎 2 > 0, 𝜇 > 0

(2.15)

𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Cara menentukan estimator parameter 𝜇 dan 𝜎 2 dengan metode maximum likelihood estimation (MLE) adalah sebagai berikut. 1. Membuat fungsi likelihood distribusi normal, yaitu sebagai berikut. 𝑛

𝐿(𝜇, 𝜎

2)

=∏ 𝑖=1

1 √2𝜋𝜎 2

𝑒

−

1 (𝑦 −𝜇)2 2𝜎2 𝑖

𝑛

1

= ∏(2𝜋𝜎 2 )−2 𝑒

−

1 ∑𝑛 (𝑦 −𝜇)2 2𝜎2 𝑖=1 𝑖

𝑖=𝑛

2. Membuat transformasi fungsi tersebut dalam bentuk ln. 𝑛

ln𝐿(𝜇, 𝜎

2)

1 1 1 = − ln(2𝜋) − ln(𝜎 2 ) − 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇)2 2 2 2𝜎

(2.16)

𝑖=1

3. Untuk mempermudah perhitungan, maka dilakukan penaksiran paramater 𝛽 dengan cara memaksimumkan fungsi logaritma kemungkinannya (log-

16

likelihood), yaitu membuat turunan secara parsial terhadap parameter 𝜇 dan 𝜎 2 dan menyamakan dengan nol. Turunan terhadap 𝜇: 𝜕 𝑛𝜇 − ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 2) ln𝐿(𝜇, 𝜎 = − =0 𝜕𝜇 𝜎2 Turunan terhadap 𝜎 2 : ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝜇)2 − 𝑛𝜎 2 𝜕 2) ln𝐿(𝜇, 𝜎 = =0 𝜕𝜎 2 2𝜎 4 4. Dari turunan parsial terhadap 𝜇 dan 𝜎 2 bisa diperoleh estimator parameter 𝜇 dan 𝜎 2 sebagai berikut. 𝑛

1 𝜇̂ = ∑ 𝑦𝑖 = 𝑦̅ 𝑛

(2.17)

𝑖=1 𝑛

1 𝜎̂ = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 𝑛 2

(2.18)

𝑖=1

(Agresti, 2007). 2.8

Model Regresi Probability Unit (Probit) Model regresi ini dikemukakan pertama kali oleh Chester Bliss pada tahun

1935. Model Probit merupakan model nonlinear yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara satu variabel respon dan beberapa variabel bebas, dengan variabel responnya berupa data kualitatif dikotomi yaitu bernilai 1 untuk menyatakan keberadaan sebuah karakteristik dan bernilai 0 untuk menyatakan ketidakberadaan sebuah karakteristik. Fungsi transformasi dalam model probit adalah fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi normal standar dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif normal link function pada generelized

17

linear model (GLM). Link function untuk model probit disebut probit link yang mentransformasi peluang ke z-score dari distribusi normal standar. Secara rinci penjelasan model dalam Generalized Linear Models (GLM) memiliki tiga komponen yaitu: a) Komponen Acak: Diidentifikasi oleh variabel respon (Y) dan diasumsikan memiliki distribusi. Dalam hal ini model probit mengikuti distribusi normal. b) Komponen sistematik: Meliputi variabel-variabel penjelas dari model. Penjelas yang dimaksud adalah menghubungkan vektor (𝜂1 , … , 𝜂𝑁 ) ke variabel prediktor melalui model linier. Misalkan 𝑥𝑖𝑗 menyatakan nilai variabel prediktor 𝑗 (𝑗 = 1, … , 𝑝) untul subyek 𝑖 maka 𝜂𝑖 = ∑ 𝛽𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝜷𝑇 𝒙𝒊 ,

(2.19)

𝑖 = 1, … , 𝑁.

𝑗

dimana: 𝜷 = (𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑝 )𝑇 dan𝒙𝒊 = (𝑥𝑖1 , … , 𝑥𝑖𝑝 )𝑇 c) Fungsi

penghubung

(link

function):

yaitu

suatu

fungsi

yang

menghubungkan ekspektasi respon (Y) dengan variabel-variabel penjelas melalui persamaan linier. 𝑔(𝜇𝑖 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + … + 𝛽𝑝 𝑋𝑖𝑝

(2.20)

Fungsi penghubung akan menentukan model yang akan digunakan dalam GLM. Fungsi penghubung paling sederhana adalah g(𝜇𝑖 ) = 𝜇𝑖 disebut sebagai penghubung identitas (identity link) merupakan model regresi linier dengan respon kontinu. Fungsi penghubung yang lain akan menghubungkan 𝜇𝑖 secara nonlinier terhadap prediktor. Untuk variabel respon kategori biner maka 𝜇𝑖 𝜖 [0,1].

18

Menurut

Agresti

(2007)

bahwa

𝜇𝑖 = 𝐸(𝑌𝑖 );

𝑖 = 1, … , 𝑁.

Model

menghubungkan 𝜇𝑖 ke 𝜂𝑖 dengan 𝜂𝑖 = 𝑔(𝜇𝑖 ). Jadi 𝑔(. ) menghubungkan (𝑌𝑖 ) ke variabel penjelas melalui formula, 𝑔(𝜇𝑖 ) = ∑ 𝛽𝑗 𝑥𝑖𝑗 ,

𝑖 = 1, … , 𝑁

(2.21)

𝑗

Sehingga dari penjelasan diatas model probit mempunyai ekspresi: (2.22)

𝑦𝑖 = 𝜇𝑖 + 𝜀𝑖 dengan 𝜇𝑖 = 𝜷𝑇 𝒙𝒊 ,

𝑖 = 1, … , 𝑁.

Sisi kiri dari model probit dapat dianggap sebagai z-score. 𝑦𝑖 merupakan peluang kategori “sukses”, yang dalam model regresi klasik disimbolkan dengan 𝑌𝑖 . Dalam model probit, sebuah perubahan linear 𝑥𝑖 menghasilkan probabilitas sukses dan parameter 𝛽𝑖 merepresentasekan perubahan probabilitas dalam perubahan unit pada 𝑥𝑖 . Dalam hal ini 𝜷𝑇 𝒙𝒊 dipandang sebagai skor standar z (Agresti,2007). Diketahui bahwa model probit menggunakan distribusi normal dengan rataan (𝜇) dan variansi 𝜎 2 dengan pendekatan 𝑁(0,1) dalam transformasinya. Distribusi normal 𝑁(0,1) ini memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut: 𝑓(𝑦) = 𝜙(𝑦) =

1 √2𝜋

1

𝑇 𝒙 )2 𝒊

𝑒 −(2)(𝑦−𝜷

(2.23)

Sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya yaitu : 𝑃(𝑌 = 1) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = Φ(𝑦 − 𝜷𝑇 𝒙𝒊 ) = Φ(𝑧1 )

(2.24)

Bentuk kurva Normal seperti yang digambarkan pada gambar 2.2 di bawah ini

19

Gambar 2.2 Kurva Normal Dari Gambar 2.2 di atas dapat dilihat bahwa kurva normal memiliki nilai maksimum pada saat 𝑥 = 𝜇. Kurva simetris kiri kanan terhadap sumbu tegak yang melalui rataan 𝜇 (Johnson & Wichern, 2002). Misalkan 𝑌𝑖 adalah variabel respon yang bernilai 1 yang menyatakan “sukses” dan 0 yang menyatakan “gagal”. Misalkan pula 𝑥𝑖 adalah variabel faktor-faktor yang mempengaruhi 𝑌𝑖 . Jika 𝑦𝑖 menyatakan besarnya peluang terjadinya “sukses”, maka bentuk model probit adalah sebagai berikut: 𝑌𝑖 = probit = Φ−1 (𝑦𝑖 ) = 𝜷𝑇 𝒙𝒊 + 𝜀𝑖

(2.25)

1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦𝑖 > 0 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦𝑖 ≤ 0

(2.26)

dan 𝑌𝑖 = {

dimana: 𝜷 = (𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑝 )𝑇 = Koefisien parameter. Φ−1 = Invers fungsi distribusi normal standar. 𝜀𝑖

= Error, 𝜀𝑖 berdistribusi normal standar.

Bentuk model seperti yang dinyatakan pada persamaan (2.25) di atas didapat dari transformasi distribusi normal. Jika error 𝜀𝑖 berdistribusi normal, maka berdasarkan persamaan (2.26) di atas didapat persamaan untuk peluang terjadinya 𝑦𝑖 = 1 sebagai berikut, 𝑦𝑖 = 𝑃(𝑦𝑖 > 0) = 𝑃(𝜷𝑇 𝒙𝒊 + 𝜀𝑖 > 0) = 𝑃(𝜀𝑖 > −(𝜷𝑇 𝒙𝒊 ))

20

= 𝑃(𝜀𝑖 < 𝜷𝑇 𝒙𝒊 ) 𝑦𝑖 = 𝐹(𝜷𝑇 𝒙𝒊 )

(2.27)

dari persamaan (2.27) di atas didapat, 𝑌𝑖 = probit = Φ−1 (𝑦𝑖 ) = Φ−1 (𝐹(𝜷𝑇 𝒙𝒊 )) 𝜷𝑇 𝒙

= Φ−1 (∫−∞ 𝒊 𝜙(𝑡) 𝑑𝑡) 𝑦𝑖 = 𝜷𝑇 𝒙𝒊 Terbukti hasilnya sama dengan persamaan (2.25) yang telah disebutkan di awal. Pada model persamaan (2.25) perubahan unit dalam 𝑥𝑖 menghasilkan perubahan dalam probabilitas normal kumulatif (z score) bahwa 𝑦𝑖 masuk dalam kategori tertentu. Kurva model probit membentuk huruf S yang mendekati nilai 0 dan 1, seperti yang digambarkan pada gambar 2.3 di bawah ini.

Gambar 2.3 Kurva Model Probit (Greene, 2008). Menurut Agresti (2007) model probit diduga menggunakan metode MLE (Maximum Likelihood Estimation) dengan asumsi antar observasi adalah saling bebas serta diketahui distribusinya. Untuk menduga parameter yang dibentuk dalam model terlebih dahulu ditinjau MLE Kasus 𝑝 parameter.

21

Defenisi 2.1.3 (Somayasa, 2009) Misalkan ruang parameter Θ merupakan himpunan terbuka pada ruang Euclid ℝ𝑘 dan 𝐿(. ) terdiferensialkan pada Θ. Titiktitik ekstrim adalah titik-titik yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 𝜕𝑙𝑛𝐿(𝜃1 , … , 𝜃𝑘 ) = 0, 𝜕𝜃𝑗

𝑗 = 1, … , 𝑘.

(2.28)

Selanjutnya apakah titik-titik ekstrim ini memberikan nilai maksimum, harus diverifikasi. Untuk kasus 𝑘 = 2, kita gunakan alat dari kalkulus sebagai berikut. Misalkan 𝐿(𝜃1 , 𝜃2 ) terdiferensialkan sampai order kedua, dan misalkan (𝜃̂1 , 𝜃̂2 ) merupakan penyelesaian tunggal dari persamaan (2.28). misalkan 𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜃1 , 𝜃2 ) 𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜃1 , 𝜃2 ) 𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜃1 , 𝜃2 ) 𝐷(𝜃1 , 𝜃2 ) ≔ ( )( )−( ). 𝜕𝜃1 𝜕𝜃2 𝜕𝜃1 𝜕𝜃2 Jika 𝐷(𝜃1 , 𝜃2 ) > 0 dan

𝜕2 𝑙𝑛𝐿(𝜃1 ,𝜃2 ) 𝜕𝜃1

(2.29)

(𝜃̂1 , 𝜃̂2 ) < 0, maka (𝜃̂1 , 𝜃̂2 ) merupakan

MLE. Dalam kasus penyelsaian dari (2.28) tidak tunggal, semua penyelesaian harus diverifikasi apakah dia merupakan titik maksimum atau bukan. Selanjutnya MLE adalah titik (𝜃̂1 , 𝜃̂2 ) dengan 𝐿(𝜃̂1 , 𝜃̂2 ) terbesar. Diketahui pada penelitian ini 𝑌1 , … , 𝑌𝑛 adalah sampel acak dengan 𝑌𝑖 ~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ). Kita mempunyai, 𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) = ∏

𝑛

1

𝑖=1 √2𝜋𝜎 2

𝑒𝑥𝑝 {

−1 (𝑦 − 𝜇)2 } , (𝜇, 𝜎 2 ) ∈ (−∞, ∞) × (0, ∞) 2𝜎 2 𝑖 𝑛

1 1 = 𝑒𝑥𝑝 {− ∑(𝑦𝑖 − 𝜇)2 } 2𝜎 2 (2𝜋)𝑛/2 𝜎 𝑛

(2.30)

𝑖=1

𝑛

𝑙𝑛𝐿(𝜇, 𝜎

2)

𝑛 𝑛 1 = − ln(2𝜋) − 𝑙𝑛𝜎 2 − 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇)2 . 2 2 2𝜎

(2.31)

𝑖=1

22

Dari dua persamaan 𝑛

𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) 1 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇) = 0 𝜕𝜇 𝜎 𝑖=1

𝑛

𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) 𝑛 1 = − 2 + 4 ∑(𝑦𝑖 − 𝜇)2 = 0, 2 𝜕𝜎 2𝜎 2𝜎 𝑖=1

Diperoleh 𝜇̂ = 𝑦̅ dan 𝜎̂ 2 =

∑𝑛 ̅)2 𝑖=1(𝑦𝑖 −𝑦 𝑛

≔ 𝑠𝑛2 . Selanjutnya masih harus diverifikasi,

apakah syarat untuk 𝐷(𝜎̂ 2 , 𝑠𝑛2 ) dipenuhi. Dari persamaan diatas, kita peroleh 𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) 2 2 𝑛 (𝜎 ) ̂ , 𝑠 = − 𝑛 𝜕𝜇 2 𝑠𝑛2 𝑛

𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) 2 2 𝑛 1 1 𝑛 (𝜎̂ , 𝑠𝑛 ) = − + 4 ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 = − 4 2 2 2 2 2 3 𝜕(𝜎 ) 2(𝜎̂ ) 2(𝜎̂ ) 2𝜎 2𝑠𝑛 𝑖=1

𝑛

𝜕 2 𝑙𝑛𝐿(𝜇, 𝜎 2 ) 2 2 1 (𝜎̂ , 𝑠𝑛 ) = 2 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅) = 0. 2 (𝑠𝑛 ) 𝜕𝜇𝜕𝜎 𝑖=1

𝑛 Jadi 𝐷(𝜎̂ 2 , 𝑠𝑛2 ) > 0, dan karena − 𝑠2 selalu negatif, maka dapat dipastikan 𝑌̅ dan 𝑛

𝑠𝑛2 ≔ ∑𝑛𝑖=1(𝑌𝑖 − 𝑌̅)/𝑛 = 0 merupakan MLE untuk 𝜇 dan 𝜎 2 . 2.9

Uji Signifikansi Parameter Uji signifikansi parameter dilakukan untuk mengetahui apakah variabel-

variabel prediktor terdapat dalam model memiliki hubungan yang nyata dengan variabel responnya, baik secara serentak maupun parsial. Uji signifikansi parameter model secara serentak dilakukan dengan uji rasio likelihood 𝐺. Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000), suatu statistik uji rasio likelihood 𝐺 adalah fungsi dari L(𝜔 ̂) dan L(𝛺̂) yang berdistribusi 𝜒 2 (Chi-square)

23

dengan derajat bebas 𝑝 (banyaknya variabel prediktor yang ada dalam model) yang didefenisikan sebagai, 𝐺 = −2 ln [

L(𝜔 ̂) ̂ )) − ln(L(𝜔 ] = 2 [ln (L(Ω ̂))] L(𝛺̂ )

(2.32)

dimana p adalah banyaknya parameter model dibawah populasi dikurangi dengan ̂ ) adalah nilai log likelihood untuk model banyaknya parameter dibawah H0, L(Ω yang mengandung seluruh variabel independent dan L(𝜔 ̂) adalah log likelihood untuk model yang tidak mengandung variabel independent. Nilai log-likelihood dihitung berdasarkan persamaan (2.23) dengan asumsi bahwa 𝑥𝑖 variabel yang diamati. Langkah-langkah pengujiannya sebagai berikut: 1) Rumusan hipotesis 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑝 = 0, yang berarti bahwa semua variable prediktor tidak signifikan terhadap model. 𝐻0 : paling sedikit ada satu 𝛽𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑝 yang signifikan terhadap model. 2) Besaran yang diperlukan: ̂ ), L(𝜔 Hitung L(Ω ̂). 3) Statistik Uji: ̂ )) − ln(L(𝜔 𝐺 = 2 [ln (L(Ω ̂))] 4) Kriteria pengujian 𝐻0 ditolak jika 𝐺 > 𝜒 2 (𝛼;𝑑𝑏) . 5) Kesimpulan 24

Penafsiran 𝐻0 diterima atau ditolak Selanjutnya dengan menggunakan uji Wald, akan dilakukan pengujian secara individu (Parsial) terhadap signifikansi parameter model. Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000: 16), statistik Uji Wald didefinisikan sebagai: 𝛽̂𝑖

2

𝑊𝑖 = ( ) ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑝 𝑆𝐸(𝛽̂𝑖 )

(2.33)

dengan: 𝛽̂𝑖

= penaksiran dari 𝛽𝑖 .

𝑆𝐸(𝛽̂𝑖 ) = penaksiran standar error𝛽𝑖 . Uji Wald ini akan menunjukkan apakah variabel prediktor signifikan atau layak untuk masuk dalam model atau tidak. Uji Wald ini diperoleh dengan membandingkan penaksiran kemungkinan maksimum dari parameter, yaitu 𝛽𝑖 dengan penaksiran galat bakunya. Adapun langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut: 1) Rumusan hipotesis 𝐻0 : 𝛽𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑝, yang berarti bahwa variabel prediktor tidak signifikan terhadap model. 𝐻0 : 𝛽𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑝, ada variabel prediktor yang signifikan terhadap model. 2) Besaran yang diperlukan: 𝛽̂𝑖 dan 𝑆𝐸(𝛽̂𝑖 ) = √(𝜎 2 (𝛽̂𝑖 )) 3) Statistik uji:

25

𝛽̂𝑖

2

𝑊𝑖 = ( ) 𝑆𝐸(𝛽̂𝑖 ) 4) Kriteria pengujian Tolak 𝐻0 jika 𝑊𝑖 > 𝜒 2 (𝛼:1) . 5) Kesimpulan Penafsiran 𝐻0 diterima atau ditolak. 2.10 Uji Kecocokan Model Regresi Probit Uji kecocokan model digunakan untuk mengevaluasi cocok tidaknya model dengan data, nilai observasi yang diperoleh sama atau mendekati dengan yang diharapkan dalam model. Cocok tidaknya model regresi probit pada skripsi ini dinilai dengan menggunakan uji Hosmer dan Lemeshow karena terdapat variabel prediktor yang bersifat kategori, yaitu jurusan dan IPS1. Variabel tersebut memungkinkan terjadinya pola kovariat yang beragam, sehingga uji Hosmer dan Lemeshow lebih tepat untuk diterapkan. Uji Hosmer dan Lemeshow dapat digunakan saat pola kovariat yang sama dari variabel prediktor muncul dalam observasi atau tidak. Pola kovariat merupakan kejadian dari nilai-nilai variabel prediktor. Jika semua pola kovariat dari variabel prediktor merupakan kejadian unik, maka jumlah pola kovariatnya sama dengan jumlah sampel (𝑛). Jika uji Hosmer dan Lemeshow dipenuhi maka model mampu memprediksi nilai observasinya atau dapat dikatakan model dapat diterima karena sesuai dengan data observasinya. Uji Hosmer dan Lemeshow yang ditulis dengan uji 𝐶̂ , dihitung berdasarkan taksiran probabilitas.

26

Statistik uji Hosmer dan Lemeshow 𝐶̂ yang dihitung berdasarkan nilai y = 1 dirumuskan: 1. Perumusan hipotesis 𝐻0 : model sesuai dengan data 𝐻1 : model tidak sesuai dengan data 2

(𝑜 −𝑛𝑟 𝑦̅1𝑟 ) 𝑔 2. Statistik Uji : 𝐶̂ = ∑𝑟=1 𝑛 𝑦𝑟̅ (1−𝑦 , ̅ ) 𝑟 1𝑟

(2.34)

1𝑟

dengan 𝑦̅1𝑟 menyatakan rata-rata taksiran probabilitas sukses kelompok ke-𝑟, 𝑜𝑟 adalah jumlah sampel kejadian sukses dalam kelompok ke-𝑟, 𝑛𝑟 adalah total 𝑔 sampel kelompok ke-𝑟, dan ∑𝑟=1 𝑛𝑟 = 𝑛, dengan 𝑟 = 1,2, … , 𝑔. Dimana

𝑔 adalah jumlah group. 3. Kriteria pengujian 2 Keputusan tolak 𝐻0 jika 𝐶̂ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝜒(𝛼:𝑔−2)

(Hosmer & Lemeshow, 2000). 2.11 Kerangka Pemikiran Kelulusan mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo merupakan tolak ukur keberhasilan dari setiap Perguruan Tinggi. Ukuran keberhasilan dapat dilihat dari lama studi dan Indeks Prestasi Kumulatif. Keberhasilan tersebut biasa dicantumkan pada Predikat kelulusan. Pada kenyataannya tidak semua lulusan mahasiswa FMIPA UHO dapat selesai dengan waktu dan IPK yang diharapkan. Adanya keragaman tersebut, maka perlu adanya proses clustering yaitu dengan mengelompokkan lulusan mahasiswa FMIPA UHO menggunakan algoritma fuzzy c-means. Hasil clustering tersebut selanjutnya disebut sebagai status lulus mahasiswa. Status lulus mahasiswa dipengaruhi oleh jurusan, jenis kelamin, asal 27

daerah dan Indeks prestasi sementara semester 1. Hubungan antar faktor-faktor tersebut dapat dijelaskan dari suatu model. Regresi probit adalah model yang sesuai untuk menjelaskan, dan menduga faktor-faktor tersebut, dengan status lulus mahasiswa sebagai variabel respon dan keempat faktor lainya sebagai variabel prediktor. Langkah-langkah dalam pembentukan model regresi probit dalam menduga faktor-faktor yang mempengaruhi status lulus mahasiswa FMIPA UHO adalah pembentukan variabel rancang (dummy variabel), penaksiran parameter model menggunakan metode maksimum likelihood, melakukan

uji signifikansi

parameter dengan uji wald chi-square dan uji rasio likelihood. Jika parameter telah signifikan, maka dilakukan uji kecocokan model menggunakan uji Hosmer dan Lemeshow. Semua langkah dilakukan untuk mendapatkan model yang sesuai dengan data yang dapat diinterpretasikan. Pengolahan data dilakukan dengan bantuan program Matlab R2008b dan SAS 9.1.

28

BAB III METODE PENELITIAN 3.1

Waktu dan Tempat Penelitian ini berlangsung dari bulan Februari sampai Mei 2016. Penelitian

ini berlokasi di Laboratorium Komputasi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo. 3.2

Sumber Data Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder diperoleh dari

Badan Administrasi kemahasiswaan Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo. Data yang digunakan merupakan data lulusan mahasiswa FMIPA UHO selama periode Februari 2015 sampai Februari 2016 dengan jumlah sampel sebanyak 227. 3.3

Variabel Penelitian Variabel yang dilibatkan dalam penelitian ini terdiri dari dua model: 3.3.1 Variabel untuk Clustering Fuzzy C-Means 𝑋1 = Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) 𝑋2 = Lama Studi (dalam tahun) 3.3.2 Variabel untuk Regresi Probit Biner a. VariabelRespon 𝑌 = Status Lulus Mahasiswa hasil Clustering Fuzzy C-Means. b. VariabelPrediktor (𝑋) 𝑥1 = Jurusan 𝑥2 = Jenis Kelamin 𝑥3 = Asal Daerah

29

𝑥4 = Indeks Prestasi Sementara semester 1 (IPS) 3.4

Prosedur Penelitian Tahapan prosedur penelitian dilakukan dengan urutan sebagai berikut:

1. Melakukan analisis deskriptif untuk mengetahui karakteristik lulusan mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo. 2. Melakukan clustering (Pengelompokkan) lulusan mahasiswa FMIPA UHO menggunakan algoritma fuzzy c-means. 3. Melakukan analisis regresi probit dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Melakukan uji signifikansi regresi probit serentak model lengkap, untuk mengetahui

apakah

terdapat

variabel

prediktor

yang

signifikan

berpengaruh terhadap variabel respon. b. Melakukan uji signifikansi

parameter

parsial model lengkap untuk

mengetahui variabel-variabel prediktor yang

berpengaruh secara

signifikan terhadap variabel respon. c. Menentukan model terbaik antara variabel respon dengan variabel variabel prediktor yang signifikan dari langkah b. d. Melakukan pengujian secara serentak dan parsial terhadap model terbaik yang diperoleh. e. Melakukan uji kecocokan model. f.

Menginterpretasikan model regresi probit yang diperoleh.

4. Menarik kesimpulan berdasarkan analisis.

30

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1

Statistik Deskriptif Dalam penelitian ini statistik deskriptif mencakup informasi tentang

variabel-variabel yang digunakan. Pada penelitian ini dianalisis faktor-faktor yang mempengaruhi kelulusan mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo dengan menggunakan metode regresi probit biner. Kelulusan mahasiswa mempunyai dua hal utama yaitu masa studi dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa. Dua variabel tersebut merupakan tolak ukur menjadi variabel respon. Pemilihan variabel respon dilakukan dengan cara clustering. Proses clustering menggunakan algoritma fuzzy c-means. Hasil clustering akan menghasilkan variabel respon biner yaitu status lulus kategori memuaskan dan status lulus kategori pujian. Persentase mahasiswa yang lulus selama periode Februari 2015 sampai Februari 2016 dengan masa studi tidak tepat waktu sebesar 89,87 persen dan masa studi tepat waktu sebesar 10,13 persen. Hal ini berarti kelulusan dengan masa studi tidak tepat waktu di Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo tinggi sehingga perlu diperbaiki faktor-faktor yang mempengaruhi masa studi. Persentase mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo yang lulus dan memiliki IPK < 3,00

sebesar 29,96 persen dan IPK ≥ 3,00 sebesar 70,04 persen. Ini

menunjukkan bahwa mahasiswa yang memiliki IPK ≥ 3,00 lebih banyak daripada mahasiswa yang memiliki IPK < 3,00.

31

Gambar 4.1 Pie Chart Persentase lama Studi dan IPK Lulusan Mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo Pada proses regresi probit biner akan diduga faktor-faktor yang mempengaruhi status lulus mahasiswa berdasarkan dua kategori hasil clustering fuzzy c-means. Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi status lulus mahasiswa berdasarkan data yang ada antara lain Jurusan mahasiswa, jenis kelamin, asal daerah dan Indeks Prestasi Sementara (IPS) semester 1 yang selajutnya disebut sebagai variabel prediktor. Dari total 227 sampel terdapat 29,08 persen mahasiswa jurusan matematika, 14,10 persen mahasiswa jurusan fisika, 24,23 persen mahasiswa jurusan kimia dan 32,59 persen mahasiswa jurusan biologi. Sedangkan 70,93 persen lulusan FMIPA UHO berjenis kelamin perempuan, sisanya 29,07 persen adalah laki-laki. Untuk asal daerah 74,93 persen merupakan lulusan berasal dari luar kota kendari, sisanya 29,07 persen berasal dari kendari. Sementara untuk IPS semester 1 39,20 persen mahasiswa lulusan FMIPA UHO memiliki IPS < 2,50. 35,24 persen berada pada rentang IPS 2,5 – 2,99. Sebesar 20,71 persen mahasiswa lulusan FMIPA memiliki IPS semester 1 diatas 3,00 sampai 3,49. Sedangkan, sisanya sebesar 4,85 persen memiliki IPS semester 1 3,5-4,00.

32

4.2

Clustering dengan Algoritma Fuzzy C-Means Pengolahan data pada penelitian ini menggunakan bantuan program yaitu

Matlab R2008b. Dari clustering yang dilakukan diperoleh hasil yaitu nilai fungsi obyektif selama iterasi, pusat cluster atau center serta derajat keanggotaan lulusan untuk setiap cluster pada iterasi terakhir. Jumlah cluster yang dikehendaki dalam penelitian ini adalah 𝑐 = 2. Sehingga bentuk fungsi objektifnya adalah: 2

𝐽𝑚 =

𝑁

𝑚 ∑ ∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑖=1 𝐽=1

𝑁 2 𝑑𝑖𝑗

=

𝑚 ∑ 𝑢1𝑗 𝐽=1

𝑁 2 𝑑𝑖𝑗

𝑚 2 + ∑ 𝑢2𝑗 𝑑𝑖𝑗 𝐽=1

Dalam penelitian ini, proses iterasinya berhenti pada iterasi ke-20 karena nilai |𝐽𝑚 − 𝐽𝑚−1 | < 𝜀. Termination error (𝜀) yang digunakan dalam program adalah 0,001 dengan 𝑚 = 2 serta iterasi awal sama dengan 1. Hal ini dapat dilihat pada nilai fungsi obyektif yang relatif tidak mengalami perubahan pada iterasiiterasi terakhir. Nilai fungsi obyektif pada iterasi terakhir yang diperoleh adalah 55,50173. Hasil lengkap dari clustering lihat Lampiran 4. 1.

Nilai fungsi obyektif selama 20 iterasi dapat dilihat pada tabel 4.1 Tabel 4.1 Nilai Fungsi Obyektif Selama Iterasi Iterasi ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⋮ 20

Fungsi Obyektif 109,63081 84,30962 84,30787 84,30629 84,29984 84,24320 83,72385 79,89698 67,15851 57,64587 ⋮ 55,50173 33

2.

Nilai pusat cluster atau center Dalam penelitian ini eksponen pembobot atau fuzzier yang digunakan yaitu 𝑚 = 2. Sehingga persamaan fungsi pusat cluster 𝑃𝑖 menjadi, 𝑝𝑖 =

2 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗 2 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗

karena jumlah observasi 𝑁 = 227, maka: 𝑝𝑖 =

2 ∑227 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗 2 ∑227 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗

2, 2 𝑢1,1 𝑢1,2 = 𝑥 + 𝑥 +⋯ 𝑢1,1 + 𝑢1,2 + ⋯ + 𝑢1,227 1 𝑢1,1 + 𝑢1,2 + ⋯ + 𝑢1,227 2 2 𝑢1,227 + 𝑥 𝑢1,1 + 𝑢1,2 + ⋯ + 𝑢1,227 227

Pada iterasi terakhir (iterasi ke-20), pusat cluster 𝑃𝑖𝑗 yang dihasilkan dengan 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1,2 adalah: 𝑃𝑖𝑗 = (

2,98 3.20

5,5 ) 4,2

Nilai ini merupakan nilai dari koordinat keempat titik pusat cluster dan memberikan garis besar tiap cluster yaitu: a. Untuk pusat cluster 1terdiri dari lulusan dengan kisaran lama studi 5,5 tahun dan IPK 2,98. b. Untuk pusat cluster 2 terdiri dari lulusan dengan kisaran lama studi 4,2 tahun dan IPK 3.20. 3.

Perubahan pada matriks 𝑈, merupakan proses update derajat keanggotaan. Untuk 𝑚 = 2 maka fungsi 𝑢𝑖𝑗 menjadi: 𝑢𝑖𝑗 =

1 𝑑2

2

∑2𝑖 ( 𝑖𝑗2 ) 𝑑 𝑖𝑗

34

Derajat keanggotaan lulusan untuk setiap cluster pada iterasi terakhir (iterasi ke-20) dapat dilihat pada tabel 4.2 di bawah ini (selengkapnya lihat lampiran 4): Tabel 4.2 Derajat Keanggotaanuntuk Setiap Cluster pada Iterasi Terakhir

Lulusan ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⋮ 227

Derajat keanggotaan (𝒖) lulusan untuk setiap cluster pada iterasi terakhir 𝑢𝑖1 𝑢𝑖2 0,9881 0,0118 0,9888 0,0111 0,0397 0,9602 0,0330 0,9669 0,0397 0,9602 0,0309 0,9690 0,0374 0,9625 0,0171 0,9829 0,1694 0,8305 0,0087 0,9912 ⋮ ⋮ 0,1073 0,8926

Dari derajat keanggotaan lulusan pada iterasi terakhir dapat diperoleh informasi mengenai kecendrungan lulusan untuk masuk ke cluster mana. Derajat keanggotaan terbesar menunjukkan bahwa kecendrungan tertinggi lulusan untuk masuk menjadi anggota cluster tersebut. Misalnya untuk lulusan ke-3, dapat menjadi: a. Anggota cluster pertama dengan derajat keanggotaan 0,0397. b. Anggota cluster kedua dengan derajat keanggotaan 0,9602.

35

Derajat keanggotaan terbesar terletak di cluster kedua, maka lulusan ke-3 akan dimasukkan kedalam cluster kedua. Hasil selengkapnya pengelompokkan ke-227 lulusan ke dalam 2 cluster dapat dilihat pada tabel 3 di bawah ini: Tabel 4.3 Anggota pada Kedua Cluster Cluster Beranggotakan lulusan nomor 1 1,2,20,21,22,23,24,25,26,38,39,41,42,43,44,45,46,47,48,50,51,62,69, 70,71,85,86,89,90,91,100,104,106,107,108,109,112,113,114,115,119, 123,124,126,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140, 144,148,151,152,153,162,166,170,172,177,179,180,188,189,190,191, 194,196,198,201,209,222,223,225,226 2 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,27,28,29,30,31,32,33,34, 35,36,37,40,49,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,63,64,65,66,67,68,72, 73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,87,88,92,93,94,95,96,97,98,99, 101,102,103,105,110,111,116,117,118,120,121,122,125,127,141,142, 143,145,146,147,149,150,154,155,156,157,158,159,160,161,163,164, 165,167,168,169,171,173,174,175,176,178,181,182,183,184,185,186, 187,192,193,195,197,199,200,202,203,204,205,206,207,208,210,211, 212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,224,227

Dari table 3 di atas dapat diperoleh: a.

Cluster 1 beranggotakan lulusan dengan IPK 2,63 sampai 3,58 dan lama studi 4,2 sampai 7,10 tahun sebanyak 82 lulusan.

b.

Cluster 2 beranggotakan lulusan dengan IPK 2,82 sampai 3,98 dan lama studi 3,5 sampai 4,9 tahun sebanyak 145 lulusan.

Selanjutnya dengan menggunakan hasil dari clustering diperoleh dua status lulus yang akan digunakan sebagai variabel respon pada proses regresi probit biner. Cluster 1 berstatus lulus kategori Memuaskan dan cluster 2 berstatus lulus kategori pujian.

36

Gambar 4.2 Pie Chart Dua Kategori Hasil Clustering Fuzzy C-Means 4.3

Pembentukan Model Regresi Probit Biner

4.3.1 Pembentukan Variabel Dummy Berikut ini deskripsi variabel respon dan variabel prediktor yang digunakan pada proses regresi probit biner. Tabel 4.4 Menunjukkan Variabel Respon dan Prediktor Beserta Frekuensi Variabel Respon

Label Variabel Hasil Clustering algoritma Fuzzy C-Means

Par 𝑌

Jurusan (Bidang Studi)

𝑋1

Jenis kelamin

𝑋2

Asal Daerah

𝑋3

Indeks Prestasi Semester 1

𝑋4

Prediktor

Kategori

Frekuensi

0 = Lulus memuaskan 1 = Lulus pujian

82 145

0 = Matematika 1 = Fisika 2 = Kimia 3 = Biologi 0 = Perempuan 1 = Laki-laki 0 = Kendari 1 = Luar Kendari 0 = IPS1 < 2.50 1 = 2.50 ≤ IPS1< 3.00 2 = 3.00 ≤ IPS1< 3.50 3 = 3.5 ≤ IPS1 ≤ 4.00

66 32 55 74 161 66 58 169 89 80 47 11

Langkah pertama adalah pembentukan variabel dummy. Pembentukan variabel dummy dilakukan karena variabel prediktor yang digunakan ada yang bersifat kategorik. Pembentukan variabel dummy dilakukan pada variabel 𝑋1 dan

37

𝑋4. Variabel yang memilliki kategori sejumlah 𝑘, membutuhkan variabel dummy sebanyank 𝑘 − 1. Pada variabel 𝑋1 karena terdiri dari 4 kategori maka dibutuhkan tiga variabel dummy yaitu 𝐷11 , 𝐷12 dan 𝐷13 dengan 𝑋1 kategori 0 sebagai acuan. Sedangkan pada variabel 𝑋4 juga dibutuhkan tiga variabel dummy, yaitu 𝐷41 , 𝐷42 dan 𝐷43 dengan 𝑋4 kategori 0 sebagai acuan. Tabel 4.5 menunjukkan pembentukan variabel dummy secara lebih jelas. Tabel 4.5 Pembentukan Variabel Dummy Model Regresi Probit Variabel 𝑋1

𝑋4

Nilai 0 1 2 3 0 1 2 3

Variabel Prediktor (𝐷𝑖𝑗 ) 0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

4.3.2 Uji Signifikansi Parameter Serentak Model Lengkap Langkah kedua adalah mencari taksiran parameter dari model. Parameter yang ditaksir adalah parameter pada y1 karena nilai respon kategori 0 digunakan sebagaia acuan. Metode maksimum likelihood diterapkan untuk manaksir parameter regresi probit. Diperlukan metode komputasi khusus yaitu metode iterasi untuk mendapatkan taksiran pada metode maksimum likelihood. Metode ini dikembangkan pada sejumlah program statistik yaitu SAS 9.1. Model regresi probit biner dari semua variabel prediktor dengan variabel respon status lulus mahasiswa adalah 𝑃(𝑌 = 1) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦1 ) =

1 √2𝜋

1

𝑇 𝒙 )2 𝒊

𝑒 −(2)(𝑦1 −𝜷

= Φ(𝑧1 )

38

𝑦1 = 𝛽0 + 𝛽1 𝐷11 + 𝛽2 𝐷12 + 𝛽3 𝐷13 + 𝛽4 𝑋2 + 𝛽5 𝑋3 + 𝛽6 𝐷41 + 𝛽7 𝐷42 + 𝛽8 𝐷43 . dan 𝑦0 = 0 Variabel respon status lulus mahasiswa dengan kategori 0 digunakan sebagai acuan pada model regresi probit biner tersebut. Uji signifikansi parameter serentak model lengkap dilakukan dengan uji rasio likelihood. Uji rasio likelihood digunakan untuk mengetahui apakah ada variabel prediktor yang berpengaruh pada model. Uji rasio likelihood G didefenisikan sebagai: ̂ )) − ln(L(𝜔 𝐺 = 2 [ln (L(Ω ̂))] ̂ ) adalah nilai log likelihood untuk model yang mengandung seluruh dengan L(Ω variabel independent dan L(𝜔 ̂) adalah log likelihood untuk model yang tidak mengandung variabel independent. Statistik uji rasio likelihood G berdistribusi 𝜒 2 dengan derajat bebas 8. Nilai G diperoleh dengan bantuan program SAS 9.1 dan ditunjukkan Tabel 4.6. Tabel 4.6 Uji Signifikansi Parameter Serentak Model Regresi Probit Biner Uji Rasio Likelihood

Chi-Square 51,2477

db 8

Uji hipotesisnya adalah sebagai berikut. 1.

𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽8.Tidak ada variabel prediktor yang berpengaruh pada status lulus mahasiswa FMIPA. 𝐻1 : 𝛽𝑖 ≠ 0; 𝑖 = 1,2, … ,8. Terdapat paling tidak satu variabel prediktor yang berpengaruh pada status lulus Mahasiswa FMIPA

2.

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 𝛼 = 5 %

39

3.

𝐻0 ditolak jika G>𝜒 2 (0,05;8) = 15,5073.

4.

Statistik Uji G = 51,2477.

5.

Diperoleh G = 51,2477>𝜒 2 (0,05;8)= 15,5073, sehingga 𝐻0 ditolak. Terdapat paling tidak ada satu varibel prediktor yang berpengaruh pada status lulus mahasiswa.

4.3.3 Uji Signifikansi Parameter Parsial Model Lengkap Selanjutnya dilakukan uji signifikansi parameter parsial karena terdapat variabel prediktor yang berpengaruh pada model. Digunakan uji wald chi-square untuk menguji signifikansi parameter model secara terpisah. Uji wald chi-square digunakan untuk mengetahui varibel prediktor yang berpengaruh pada model. Taksiran parameter dari status lulus mahasiswa Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo diperlihatkan oleh Tabel 4.7. Tabel 4.7 Taksiran Parameter Parsial Model Regresi Probit Biner Parameter

Db

Taksiran

Konstanta 𝑫𝟏𝟏 𝑫𝟏𝟐 𝑫𝟏𝟑 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑫𝟒𝟏 𝑫𝟒𝟏 𝑫𝟒𝟏

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,7247 -1,5498 -1,1311 -1,0931 -0,1703 -0,0601 0,8392 1,4580 1,3879

Standar Error 0,2949 0,3333 0,2884 0,2676 0,2161 0,2213 0,2306 0,2919 0,5068

Wald ChiSquare 6,0395 21,6241 15,3807 16,6821 0,6212 0,0737 13,2473 24,9430 7,5001

Sig. 0,0140 0,0000 0,0000 0,0000 0,4306 0,7860 0,0003 0,0000 0,0062

Statistik uji wald dirumuskan dengan (Hosmer dan Lemeshow, 2000), 2

̂ 𝛽

𝑊𝑖 = (𝑆𝐸(𝛽𝑖̂ )) , dengan 𝑖 = 1,2, … ,8 𝑖

statistik uji 𝑊 mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1.

40

Uji hipotesisnya adalah sebagai berikut. 1.

𝐻0 : 𝛽𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2, … ,8. Varibel prediktor ke-𝑖 tidak signifikan terhadap model. 𝐻1 : 𝛽𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … 8. Varibel prediktor ke-𝑖 signifikan terhadap model.

2.

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 𝛼 = 5 %.

3.

𝐻0 ditolak jika 𝑊𝑖 >𝜒 2 (0,05;1) = 3,841.

4.

Statistik Uji Wald Chi-Square dapat dilihat di Tabel 4.7.

5.

Menurut Tabel 4.7, variabel yang signifikan adalah 𝐷12 , 𝐷12 , 𝐷13 , 𝐷41 , 𝐷42 , 𝐷43 pada y1 . Keenam variabel tersebut memiliki statistik uji 𝑊𝑖 > 3,841. Berikut adalah estimasi parameter yang dihasilkan oleh model:

𝑦1 = 0,7247 − 1,5498𝐷11 − 1,1311𝐷12 − 1,0931𝐷13 − 0,1703𝑋2 − 0,0601𝑋3 + 0,8392𝐷41 + 1,4580𝐷42 + 1,3879𝐷43 . 4.3.4 Uji Signifikansi Parameter Serentak Model Terbaik Selanjutnya dibentuk model regresi probit biner baru berdasarkan variabelvariabel yang signifikan. Variabel 𝑋2 dan 𝑋3 dikeluarkan dari model karena tidak signifikan. Pembentukan model mulai dari langkah kedua. Model regresi probit binernya adalah 𝑦1 = 𝛽0 + 𝛽1 𝐷11 + 𝛽2 𝐷12 + 𝛽3 𝐷13 + 𝛽4 𝐷41 + 𝛽5 𝐷42 + 𝛽6 𝐷43 Langkah berikutnya adalah melakukan uji signifikansi pada model terbaik regresi probit biner. Statistik uji rasio likelihood yang diperoleh dari model regresi probit biner adalah G = 50,5145, seperti yang tercantum pada Tabel 4.8. Jika G

41

dibandingkan dengan 𝜒 2 (0,05;6) = 12,592, maka 𝐻0 ditolak. Ada variabel prediktor yang berpengaruh pada status lulusan mahasiswa. Tabel 4.8 Uji Signifikansi Parameter Serentak Model Terbaik Uji Rasio Likelihood

Chi-Square 50,5145

db 6

4.3.5 Uji Signifikansi Parameter Parsial Model Terbaik Tabel 4.9 Taksiran Parameter Model Terbaik Regresi Probit Biner Parameter

db

Taksiran

Konstanta 𝑫𝟏𝟏 𝑫𝟏𝟐 𝑫𝟏𝟑 𝑫𝟒𝟏 𝑫𝟒𝟐 𝑫𝟒𝟑

1 1 1 1 1 1 1

0,5861 -1,5089 -1,1143 -1,0319 0,8585 1,4852 1,3415

Standar Error 0,1992 0,3278 0,2867 0,2544 0,2275 0,2880 0,4921

Wald ChiSquare 8,6564 21,1909 15,1083 16,4548 14,2420 26,5878 7,4321

P-value 0,0033 0,0000 0,0001 0,0000 0,0002 0,0000 0,0064

Setelah diketahui ada variabel prediktor yang berpengaruh pada model regresi probit biner, dilakukan uji signifikansi parameter model secara terpisah. Nilai statistik uji wald dapat dilihat pada Tabel 4.9. Statistik uji wald dibandingkan dengan 𝜒 2 (0,05;1) = 3,841. Semua variabel prediktor signifikan terhadap model karena 𝐷11 ,𝐷12 , 𝐷13 , 𝐷41 , 𝐷42 , 𝐷43 memiliki nilai statistik uji wald yang lebih besar dari 3,84. Kedua uji signifikansi parameter dipenuhi pada model regresi probit biner : 𝑦1 = 0,5861 − 1,5089𝐷11 − 1,1143𝐷12 − 1,0319𝐷13 + 0,8585𝐷41 + 1,4852𝐷42 + 1,3415𝐷43 dan 𝑦0 = 0.

42

4.3.6 Uji Kecocokan Model Setelah diperoleh model dengan parameter yang signifikan, uji kecocokan model dilakukan untuk mengevaluasi kecocokan model dengan data. Uji kecocokan model regresi probit pada penelitian ini dimulai dengan menggunakan uji Hosmer dan Lemeshow yang dirumuskan dengan: 𝑔

𝐶̂ = ∑ 𝑟=1

(𝑜𝑟 − 𝑛𝑟 𝑦̅1𝑟 )2 , 𝑛𝑟 𝑦̅1𝑟 (1 − 𝑦̅1𝑟 )

Kategori yang digunakan untuk menghitung 𝐶̂ adalah mahasiswa dengan status lulus kategori pujian. Observasi dipisah kira-kira menjadi sepuluh kelompok berdasarkan aturan berikut. 1. Total observasi adalah 𝑛 = 227. 2. Target sampel setiap kelompok adalah 𝑚 = (0,1 x 𝑛 + 0,5) = 23,2. 3. Jika terjadi blok, pada satu atau lebih pola kovariat dari variabel prediktor terjadi sejumlah observasi, maka blok tersebut dimasukkan dalam kelompok yang sama. 4. Misalkan terdapat dua pola kovariat yang membentuk blok dan memiliki taksiran probabilitas berurutan, masing-masing memiliki sejumlah 𝑛1 dan 𝑛2 sampel. Blok pertama masuk pada kelompok ke-𝑟. Blok kedua masuk kelompok ke-𝑟 jika 𝑛1 < 𝑚dan (𝑛1 + (0,5𝑥𝑛2 )) ≤ 𝑚. Jika tidak, maka blok kedua masuk kelompok ke-(𝑟 + 1). Pola kovariat yang terjadi dari semua observasi yang ada sebanyak empat macam. Pengelompokkan yang dapat dibuat pada uji Hosmer dan Lemeshow

43

sebanyak sepuluh kelompok. Hasil perhitungan statistik uji Hosmer dan Lemeshow diperlihatkan pada Tabel 4.10. Tabel 4.10 Uji Hosmer dan Lemeshow Group

Jumlah Sampel

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18 35 13 28 19 11 36 21 16 30

Y=1 Observasi 5 12 8 16 11 7 25 18 14 29

𝐶̂ 3,1405

Harapan 4,53 11,48 6,17 17,62 12,54 7,84 25,96 17,25 13,61 28,25 db 8

Uji hipotesinya adalah sebagai berikut. 1. 𝐻0 : Model cocok dengan data. 𝐻1 : Model tidak cocok dengan data. 2. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 𝛼 = 5 %. 3. 𝐻0 ditolak jika 𝐶̂ >𝜒 2 (0,05;8) = 15,5073. 4. Statistik Uji 𝐶̂ = 3,1405. 5. Nilai 𝐶̂ = 3,1405 < 15,5073, sehingga 𝐻0 tidak ditolak yang berarti bahwa model cocok dengan data. Model yang diperoleh layak untuk diterima dan dapat diinterpretasikan.

44

4.3.7 Interpretasi Model Koefisien probit 𝛽𝑖 merupakan pengaruh perubahan satu unit peubah prediktor 𝛽𝑖 pada peluang normal kumulatif (𝑧) dari peubah respon (𝑦𝑖 ). Pengaruh dari perubahan satu unit 𝑥𝑖 pada peluang 𝑦𝑖 tergantung pada kategori peubah prediktor. Sehingga perlu dipilih salah satu kategori peubah prediktor untuk dijadikan titik acuan atau pembanding. Interpretasi koefisien model probit dilakukan dengan melihat tanda dari koefisien probit 𝛽𝑖 . Model terbaik yang terbentuk, 𝑦1 = 0,5861 − 1,5089𝐷11 − 1,1143𝐷12 − 1,0319𝐷13 + 0,8585𝐷41 + 1,4852𝐷42 + 1,3415𝐷43 dan 𝑦0 = 0. Berdasarkan model terbaik maka diperoleh faktor-faktor yang berpengaruh terhadap status kelulusan mahasiswa yaitu Jurusan dan Indeks Prestasi Sementara Semester satu. Variabel respon 𝑦𝑖 adalah nilai 𝑧 dari fungsi kumulatif distribusi normal atau Cumulatif Distribution Function (CDF). Sebagai contoh hubungan jurusan mahasiswa terhadap status lulus kategori pujian yaitu lama studi 3,5 tahun sampai 4,9 tahun dengan IPK 2,82 sampai 3,98 adalah sebagai berikut.

Gambar 4.3 Hubungan antara Probabilitas Status Lulus Kategori Pujian dan Jurusan Mahasiswa 45

Hasil yang didapat pada Gambar 4.4 menunjukkan bahwa setiap jurusan di FMIPA UHO memiliki probabilitas yang berbeda-beda terhadap status lulus kategori pujian. Jurusan Matematika mempunyai nilai probit sebesar 0,5861, dengan nilai CDF sebesar 0,72, yang diartikan bahwa kemungkinan jurusan matematika memiliki tingkat probabilitas yang relatif tinggi dalam menghasilkan lulusan kategori pujian yaitu sebesar 72 persen. Dengan cara yang sama diperoleh untuk jurusan lain. Jurusan fisika memiliki tingkat probabilitas lulusan sebesar 18 persen dengan nilai probit sebesar -0,9228. Jurusan Kimia memiliki tingkat probabilitas lulusan sebesar 30 persen dengan nilai probit sebesar -0,5282. Jurusan Biologi memiliki tingkat probabilitas lulusan sebesar 33 persen. Dari pernyataan tersebut diketahui bahwa jurusan Matematika memiliki tingkat probabilitasyang lebih di banding jurusan lainnya dalam menghasilkan lulusan. Pengaruh Indeks prestasi sementara semester 1 terhadap probabilitas status lulus mahasiwa FMIPA UHO kategori pujian disajikan pada gambar 4.5 berikut.

Gambar 4.4 Hubungan antara Probabilitas Status Lulus Kategori Pujian dan Indeks Prestasi Sementara Semester 1

46

Grafik di atas mengalami kenaikan yang menunjukkan tingkat probabilitas yang tinggi masing-masing kategori Indeks Prestasi Sementara semester 1 (IPS1) terhadap status lulus kategori pujian. Sebagai contoh pengaruh 3,50 ≤ IPS1 < 4,00 terhadap status lulus kategori pujian mempunyai nilai probit sebesar1,9276 dengan nilai CDF sebesar 97,5 persen. Hal ini dapat diartikan bahwa kemungkinan lulusan dengan IPS1 antara 3,50 sampai 4,00 memiliki kecenderungan yang tinggi terhadap status lulus kategori pujian. Dengan cara yang sama diperoleh probabilitas untuk masing-masing tingkat IPS1 terhadap status kategori pujian. Untuk IPS1 antara 3,00 sampai 3,50 memiliki tingkat probabilitas sebesar 98 persen. Sementara untuk IPS1 antara 2,50 sampai 3,00 memiliki tingkat probabilitas sebesar 92,5 persen. Sedangkan untuk IPS1 dibawah 2,50 hanya memiliki tingkat probabilitas sebesar 72 persen. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin baik nilai yang diperoleh mahasiswa pada semester 1 maka akan berpengaruh positif terhadap lama studi yang tempuh dan IPK yang diperoleh.

47

BAB V PENUTUP 5.1

Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan sebelumnya maka

dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : 1. Clustering lama studi dan IPK menggunakan algoritma fuzzy c-means menghasilkan 2 status lulus yaitu kategori memuaskan dan pujian. Sebanyak 82 lulusan masuk kategori memuaskan dan 145 lulusan masuk kategori pujian. 2. Variabel yang berpengaruh terhadap status lulus (𝑌) mahasiswa FMIPA Universitas Halu Oleo adalah Jurusan (𝑥1 ) dan Indeks Prestasi Sementara (IPS) semester 1 (𝑥4 ). Jenis kelamin (𝑥2 ) dan asal daerah (𝑥3 ) tidak berpengaruh secara langsung terhadap status lulus jika dimodelkan menggunakan regresi probit. Adapun model yang terbentuk sebagai berikut: (1)

(2)

(3)

𝑦1 = 0,5861 − 1,5089𝑋1 − 1,1143𝑋1 − 1,0319𝑋1 + (1)

(2)

(3)

0,8585𝑋4 + 1,4852𝑋4 + 1,3415𝑋4 dan 𝑦0 = 0. 3. Hubungan status lulus kategori pujian dengan masing-masing jurusan adalah Matematika mempunyai probabilitas sebesar 72 persen, Fisika sebesar 18 persen, Kimia sebesar 30 persen dan Biologi sebesar 33 persen. Hubungan status lulus dengan IPS semester 1 bahwa semakin baik nilai yang diperoleh mahasiswa pada semester 1 maka akan berpengaruh positif terhadap lama studi dan IPK.

48

5.2

Saran Berdasarkan analisis yang telah dilakukan terdapat beberapa masalah yang

dapat menjadi saran untuk penelitian selanjutnya yaitu perlu dilakukan penambahan variabel yang diduga mempengaruhi lulusan FMIPA Universitas Halu Oleo. Selain itu, bagi para pembaca bisa membandingkan model regresi lain dengan probit pada penggunaan data yang sama. Selanjutnya jika ditemukan masalah maka perlu dilakukan peningkatan kualitas dan kuantitas lulusan dengan menigkatkan kinerja dan fasilitas di Fakultas MIPA UHO.

49

DAFTAR PUSTAKA Agresti, A. 2007.An Introduction to Categorical Data Analysis (second ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Asfi M.2008. Pelabelan Otomatis Citra Menggunakan Fuzzy C-Means Untuk Sistem Temu Kembali Citra [M.Sc thesis]. Institut Pertanian Bogor: Bogor. Bain, L.J., & Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematicals Statistics 2nd edition. United State: Duxbury. Bezdek, James. 1981. Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorith, Plenum Press, New York.

B. Sowmya, B. Sheela Rani. “Colour image segmentation using fuzzy clustering techniques and competitive neural network”, Elsevier Applied Soft Computing ScienceDirect. Sathyabama University, Old Mamallapuram Road, Chennai 600119, India, 2010.a Cannon L. Robert, Dave V. Jitendra, & Bezdek C. James. 1986. “Effecient Implementation of the Fuzzy c-Means Clustering Algoritma”. Vol. PAMI, No. 2. Hal 248-255. Damodar Gujarati dan Sumarno Zain. 2006. Ekonometrika Dasar. Erlangga: Jakarta. Greene, W.H. 2008. Econometric Analysis (sixth ed.). New Jersey, USA: Pearson Prentice Hall. Hosmer, D.W. & Lemeshow, S. 2000. Applied Logistic Regression, A WileyInterscience Publication, John Wiley & Sons, New York - Singapore. Johnson. Wichern. (2002). Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall: New Jersey. Klawonn, Frank. (2000). “Fuzzy Clustering: Insight and a New Approach”. Science Journal, http://public.rz.fh-wolfenbuettel.de/klawonn. Klawonn and Höppner. (2001). “What is Fuzzy about Fuzzy Clustering? Understanding and Improving the Concept of the Fuzzier”. Science Journal, http://public.rz.fh-wolfenbuettel.de/klawonn.

Kusumadewi, Sri dan Purnomo Hari. 2010. “Aplikasi Logika Fuzzy”. Cetakan Pertama, Graha Ilmu:Yogyakarta.

50

Neter, J., Wasserman, W., & Kutner, M. H. 1997. Model Linear Terapan. Buku I. Bambang Sumantri, penerjemah. Bogor: FMIPA IPB. Shihab, A.I. (2000). “Fuzzy Clustering Algorithm and Their Application to Medical Image Analysis”. Dissertation, University of London, London.

Simbolon.Cary Lineker, Kusumastuti Nilamsari, Irawan Beni. 2013.”Clustering Lulusan Mahasiswa Matematika FMIPA Untan Pontianak Menggunakan Algoritma Fuzzy C-Means”, Vol.02, No.1, hal.21-26. Somayasa, W. 2009. Diktat Statistika Matematika I. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo: Kendari. Sudrajat, M.S.W. 1998. Mengenal Ekonometrika Pemula. ARMIDO: Bandung.

51

LAMPIRAN 1. Solusi untuk center (p𝒊 ) dan Perubahan anggota Matriks (𝒖𝒊𝒋 ) Diketahui Fungsi Objektif: 𝑐

𝑛

𝑚 min 𝐽(𝑢𝑖𝑗 , 𝑝𝑖 ) = ∑ ∑ 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖

𝑢𝑖𝑗 ,𝑝𝑖

2

𝑖=1 𝑗=1

Dengan: ∑𝑐𝑖=1 𝑢𝑖𝑗 = 1 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 #1. Solusi untuk 𝑢𝑖𝑗 dengan menggunakan fungsi lagrange 𝑐

𝑛

𝑚 𝐿(𝑢𝑖𝑗 , 𝑝𝑖 ) = ∑ ∑ 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖

2

𝑖=1 𝑗=1

Untuk memudahkan transformasi persamaan di atas perhatikan uraian berikut: 𝑥1 → 𝑢11 + 𝑢21 = 1 → 𝜆1 𝑥2 → 𝑢12 + 𝑢22 = 1 → 𝜆2 ⋮ 𝑥𝑁 → 𝑢1𝑁 + 𝑢2𝑁 = 1 → 𝜆𝑁 dengan mengambil asumsi bahwa : ∑𝑐𝑖=1 𝑢𝑖𝑗 − 1 = 0, maka: 2

𝑚 𝑐 𝑐 𝐿(𝑢𝑖𝑗 , 𝑝𝑖 ) = ∑𝑐𝑖=1 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ − 𝜆1 (∑𝑖=1 𝑢𝑖1 − 1) − 𝜆2 (∑𝑖=1 𝑢𝑖2 − 1) − ⋯ − 𝜆𝑁 (∑𝑐𝑖=1 𝑢𝑖𝑁 − 1) 2

𝑚 𝑁 𝐾 ⇒ 𝐿(𝑢𝑖𝑗 , 𝑝𝑖 , 𝜆𝑗 ) = ∑𝑐𝑖=1 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ − ∑𝑗=1 𝜆𝑗 (∑𝑖=1 𝑢𝑖𝑗 − 1) 2

𝑚 Tinjau persamaan: ∑𝑐𝑖=1 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ , sebagai langkah awal untuk mencari solusi 𝑢𝑖𝑗 .

Selanjutnya uraikan persaman tersebut untuk menemukan bentuk fungsi turunannya, 𝑚 ‖𝑥 𝑚 𝑚 2 2 2 𝑢11 1 − 𝑝1 ‖ + 𝑢21 ‖𝑥1 − 𝑝2 ‖ + ⋯ + 𝑢𝑐1 ‖𝑥1 − 𝑝𝑐 ‖ 𝑚 ‖𝑥 𝑚 𝑚 2 2 2 +𝑢12 2 − 𝑝1 ‖ + 𝑢22 ‖𝑥2 − 𝑝2 ‖ + ⋯ + 𝑢𝑐2 ‖𝑥2 − 𝑝𝑐 ‖ + ⋯ 2 2 2 𝑚 𝑚 𝑚 +𝑢1𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝1 ‖ + 𝑢2𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝2 ‖ + ⋯ + 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ 2

𝑚 + ⋯ + 𝑢𝑐𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑐 ‖ + ⋯ 𝑚 ‖𝑥 𝑚 𝑚 ‖𝑥 2 2 +𝑢1𝑁 𝑁 − 𝑝1 ‖ + 𝑢2𝑁 ‖𝑥𝑁 − 𝑝2 ‖2 + ⋯ + 𝑢𝑐𝑁 𝑁 − 𝑝𝑐 ‖

diperoleh turunan fungsi Lagrangenya yaitu: 𝜕𝐿 2 𝑚−1 = 𝑚𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ 𝜕𝑢𝑖𝑗 𝑐 Selanjutnya tinjau untuk persamaaan ∑𝑁 𝑗=1(∑𝑖=1 𝑢𝑖𝑗 − 1)

dengan memperhatikan uraian di bawah ini diperoleh turunan persamaan kedua,

52

𝜆1 (𝑢11 + 𝑢21 + ⋯ + 𝑢𝑐1 − 1) + 𝜆2 (𝑢12 + 𝑢22 + ⋯ + 𝑢𝑐2 − 1) + ⋯ +𝜆𝑗 (𝑢1𝑗 + 𝑢2𝑗 + ⋯ + 𝑢𝑖𝑗 + ⋯ + 𝑢𝑐𝑗 − 1) + ⋯ +𝜆𝑁 (𝑢1𝑁 + 𝑢2𝑁 + ⋯ + 𝑢𝑐𝑁 − 1) 2

𝜕𝐿 𝜕𝑢𝑖𝑗

𝑚−1 = 𝑚𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ − 𝜆𝑗 = 0

𝑚−1 ⇒ 𝑢𝑖𝑗 = 𝑚−1 ⇒ 𝑢𝑖𝑗 =

𝜆𝑗 2

𝑚‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖ 𝜆𝑗 1

𝑚 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖2 1

𝜆𝑗 𝑚−1

⇒ 𝑢𝑖𝑗 = ( 𝑚 )

(2)

1 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖

2 ‖𝑚−1

Telah diketahui bahwa: ∑𝑐𝑖=1 𝑢𝑖𝑗 = 1, maka; 1

1=

∑𝑐𝑖=1 𝑢𝑖𝑗

=

𝜆 𝑚−1 ∑𝑐𝑖=1 ( 𝑗 ) 𝑚

1 2

‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖𝑚−1

1

𝜆𝑗 𝑚−1

1 = (𝑚)

∑𝑐𝑖=1

1 2

‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖𝑚−1

1

𝜆𝑗 𝑚−1

⇒ (𝑚)

=

1 ∑𝑐𝑖=1

(3)

1 2 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖𝑚−1

Sehingga untuk memperoleh solusi 𝑢𝑖𝑗 hubungan antara persamaan (2) dan (3). Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (3). 𝑢𝑖𝑗 =

1 ∑𝑐𝑙=1

1 2

1 2 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑙 ‖𝑚−1

‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖𝑚−1

1

𝑢𝑖𝑗 =

2 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖𝑚−1 1 ∑𝑐𝑙=1 2 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑙 ‖𝑚−1

=

1 2 ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑖 ‖ 𝑚−1 𝑘 ∑ℓ ( ) ‖𝑥𝑗 −𝑝𝑙 ‖

=

1 2 𝑚−1 𝑑2 𝑖𝑗 𝑘 ∑ℓ ( 2 ) 𝑑𝑙𝑗

#2 Solusi untuk 𝑝𝑖 2

𝑚 Tinjau persamaan ∑𝑐𝑖=1 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ‖ untuk memperolehfungsi minimasi untuk 𝑝𝑖 , 𝜕𝐿 𝜕𝑐𝑖

1

1

𝑚 𝑚 𝑁 = ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 2 (𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ) (0 − 1) = ∑𝑗=1(−2)𝑢𝑖𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑝𝑖 ) = 0

𝑚 𝑚 𝑁 ⇒ ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗 − (∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 ) 𝑝𝑖 = 0 𝑚 𝑚 𝑁 ⇒ ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗 = (∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 ) 𝑝𝑖

⇒ 𝑝𝑖 =

𝑚 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑚 ∑𝑁 𝑗=1 𝑢𝑖𝑗

53

Lampiran 2. Data untuk Algoritma Fuzzy C-Means No. Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

IPK 2,90 2,91 2,92 2,95 2,92 2,96 2,93 3,04 3,26 3,12 2,89 3,46 2,93 2,90 3,16 3,09 3,01 2,93 3,05 2,63 2,93 3,12 3,11 3,04 3,02 2,98 2,92 2,92 3,28 3,12 2,88 3,18 2,86 2,93 3,29 3,20 3,10 3,14 2,74 3,69 3,06 2,79 3,16

Lama Studi 5,7 5,7 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 3,10 4,10 4,10 3,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 6,6 6,7 5,8 6,9 5,9 5,9 6,9 4,6 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 5,7 6,8 4,9 4,9 4,9 4,9

No. Obs. 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

54

IPK 3,00 3,46 3,74 3,12 2,81 3,49 3,25 3,14 2,88 2,84 3,35 3,05 3,58 2,89 2,99 3,03 3,24 2,90 3,04 2,99 2,97 2,85 2,97 2,70 3,12 2,81 2,88 3,32 3,20 3,21 3,38 3,43 3,68 3,01 3,09 3,4 3,00 2,92 2,88 3,06 3,11 3,37 3,03

Lama Studi 5,2 4,2 4,2 4,2 5,2 4,2 4,2 4,2 6,2 6,2 4,2 5,2 4,2 6,1 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,2 6,2 6,2 4,2 5,2 5,2 4,2 4,2 4,2 5,2 4,2 4,2 4,2 6,2 4,2 4,2 5,2 5,2 5,2 4,5 4,5 4,5 4,5

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

3,21 2,97 2,81 2,85 2,99 3,50 2,82 2,98 3,26 3,25 3,14 3,17 3,32 3,68 3,21 3,61 2,94 3,27 2,72 3,06 3,58 3,05 3,13 3,12 2,86 2,97 2,63 2,71 3,14 3,52 3,09 3,76 3,38 3,57 3,07 2,97 2,99 2,91 3,06 3,80 3,14 3,04 3,00 3,16 3,12 2,94

5,9 4,9 5,9 4,9 4,9 4,9 5,9 5,9 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 4,10 3,10 5,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 4,10 5,10 7,10 7,10 4,10 3,10 4,10 3,10 3,10 3,10 3,10 4,10 4,10 4,10 4,10 3,11 4,10 5,2 5,2 4,2 4,2 6,2

158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203

55

2,97 3,01 2,85 3,07 2,93 2,98 3,61 3,51 3,07 2,82 3,15 2,92 2,95 3,56 3,01 3,58 3,25 3,27 3,07 3,01 3,28 3,13 3,03 3,26 3,18 3,27 3,39 3,16 2,86 3,24 2,75 3,34 3,01 3,03 3,37 3,45 3,05 3,26 3,28 3,44 3,16 3,42 3,00 3,01 3,09 3,08

4,5 4,6 4,6 4,6 5,6 4,6 3,6 3,6 5,6 4,6 4,6 4,6 5,6 4,3 5,5 4,5 4,6 4,6 4,6 5,6 4,6 5,6 5,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 6,6 5,4 5,4 5,4 4,4 4,5 5,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,5 4,5 4,5

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114

3,22 3,04 3,10 3,03 3,04 3,04 3,59 3,30 3,07 3,23 2,90 3,27 3,14 3,15 2,72 3,06 3,58 3,58 3,01 3,03 3,68 3,83 3,21 3,00 3,09

5,2 5,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 5,2 4,2 4,2 4,2 5,11 4,11 5,2 5,2 5 6 4,1 4,1 5,1 5,2 5,2

204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

3,11 3,01 3,26 3,25 3,16 3,02 3,56 3,31 2,97 3,10 3,86 3,11 3,98 3,15 3,01 3,06 3,25 3,12 2,81 2,81 3,36 2,79 2,85 2,96

4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,5 4,5 4,5 4,5 4,5 3,5 4,5 3,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,5 5,5 4,5 5,5 5,5 4,5

Lampiran 3. Data untuk Regresi Probit PROC PRINT DATA=dataprob; title'DATA PROBIT'; RUN; DATA PROBIT

07:52 Friday, May 10, 2016

Obs

Y

X1

X2

X3

X4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 3 0 0

56

1

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

57

0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 1 0 2 1 0 1 3 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 3 2 1 2 0 0 3 1 2 2 1 1 1 2 1 0

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

58

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 2 0 3 1 2 2 0 1 0 0 3 1 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 2 3 1 1 1 0 3 3 2 0 2 1 1 0 0 2 0 2 0

129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

59

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0

0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 2 2 1 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1

186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Lampiran 4. Sourcecode dan Output Algoritma Fuzzy C-Means clear clc load ('data_file.txt'); data = rand(100, 2); n_cluster = 2; [center,U,obj_fcn]= fcm(data_file,n_cluster); maxU = max(U); index1 = find(U(1,:) == maxU); index2 = find(U(2,:) == maxU);

60

0 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 2 0 2 1 0 1 3 0 3 1 0 2 2 1 0 0 1 0 0 0

Hasil run Nilai Fungsi Obyektif selama Iterasi:

Nilai Pusat Cluster:

Derajat Keanggotaan: No. Observasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

𝑢𝑖1 0,988132 0,98882 0,039749 0,033048 0,039749 0,03096 0,037445 0,017096 0,169478 0,008725 0,047065 0,173437

61

𝑢𝑖2 0,011868 0,01118 0,960251 0,966952 0,960251 0,96904 0,962555 0,982904 0,830522 0,991275 0,952935 0,826563

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

0,037445 0,044561 0,006715 0,011191 0,021681 0,037445 0,015739 0,832168 0,82725 0,971117 0,799333 0,960306 0,960923 0,801481 0,193587 0,293459 0,226667 0,240498 0,306852 0,231946 0,313676 0,290189 0,226731 0,229998 0,244228 0,981119 0,811435 0,435036 0,524284 0,570371 0,502143 0,945181 0,542922 0,952863 0,56296 0,538988 0,446219 0,953811 0,961411 0,169478 0,169462 0,170482 0,169987 0,169944 0,184979 0,16958

62

0,962555 0,955439 0,993285 0,988809 0,978319 0,962555 0,984261 0,167832 0,17275 0,028883 0,200667 0,039694 0,039077 0,198519 0,806413 0,706541 0,773333 0,759502 0,693148 0,768054 0,686324 0,709811 0,773269 0,770002 0,755772 0,018881 0,188565 0,564964 0,475716 0,429629 0,497857 0,054819 0,457078 0,047137 0,43704 0,461012 0,553781 0,046189 0,038589 0,830522 0,830538 0,829518 0,830013 0,830056 0,815021 0,83042

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

0,180589 0,03521 0,169511 0,779874 0,014469 0,061507 0,015739 0,008085 0,008725 0,054942 0,796841 0,775465 0,777351 0,007537 0,175902 0,011191 0,190699 0,171039 0,178366 0,17227 0,028947 0,025154 0,042122 0,014469 0,193809 0,007537 0,882355 0,885732 0,000745 0,003047 0,906641 0,841088 0,882355 0,004841 0,014421 0,012746 0,012746 0,066388 0,005891 0,008326 0,000821 0,884632 0,003134 0,001681 0,001159 0,788354

63

0,819411 0,96479 0,830489 0,220126 0,985531 0,938493 0,984261 0,991915 0,991275 0,945058 0,203159 0,224535 0,222649 0,992463 0,824098 0,988809 0,809301 0,828961 0,821634 0,82773 0,971053 0,974846 0,957878 0,985531 0,806191 0,992463 0,117645 0,114268 0,999255 0,996953 0,093359 0,158912 0,117645 0,995159 0,985579 0,987254 0,987254 0,933612 0,994109 0,991674 0,999179 0,115368 0,996866 0,998319 0,998841 0,211646

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

0,013642 0,6999 0,6999 0,673663 0,942647 0,087383 0,128386 0,750008 0,885732 0,874996 0,885732 0,033188 0,110077 0,003047 0,873451 0,040198 0,001777 0,001681 0,905429 0,903913 0,012297 0,881161 0,063615 0,923576 0,795435 0,791173 0,740408 0,884632 0,882355 0,886226 0,8868 0,904344 0,906755 0,112116 0,868959 0,873451 0,050367 0,008191 0,000156 0,844346 0,01714 0,026683 0,092293 0,906389 0,005897 0,020748

64

0,986358 0,3001 0,3001 0,326337 0,057353 0,912617 0,871614 0,249992 0,114268 0,125004 0,114268 0,966812 0,889923 0,996953 0,126549 0,959802 0,998223 0,998319 0,094571 0,096087 0,987703 0,118839 0,936385 0,076424 0,204565 0,208827 0,259592 0,115368 0,117645 0,113774 0,1132 0,095656 0,093245 0,887884 0,131041 0,126549 0,949633 0,991809 0,999844 0,155654 0,98286 0,973317 0,907707 0,093611 0,994103 0,979252

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196

0,885732 0,885889 0,882897 0,080288 0,071496 0,080887 0,087168 0,104181 0,164238 0,220149 0,149175 0,997457 0,173235 0,115626 0,1044 0,99578 0,232075 0,136139 0,193587 0,998429 0,068683 0,997598 0,134932 0,132036 0,132787 0,149175 0,998952 0,133345 0,988913 0,998309 0,13235 0,133488 0,132787 0,146562 0,135118 0,216227 0,131849 0,837781 0,905274 0,982172 0,981246 0,041703 0,098655 0,99562 0,066302 0,067921

65

0,114268 0,114111 0,117103 0,919712 0,928504 0,919113 0,912832 0,895819 0,835762 0,779851 0,850825 0,002543 0,826765 0,884374 0,8956 0,00422 0,767925 0,863861 0,806413 0,001571 0,931317 0,002402 0,865068 0,867964 0,867213 0,850825 0,001048 0,866655 0,011087 0,001691 0,86765 0,866512 0,867213 0,853438 0,864882 0,783773 0,868151 0,162219 0,094726 0,017828 0,018754 0,958297 0,901345 0,00438 0,933698 0,932079

197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

0,096184 0,066228 0,091438 0,095164 0,997598 0,074599 0,076359 0,071496 0,09238 0,066302 0,065683 0,066228 0,997283 0,128996 0,071261 0,104181 0,072977 0,160514 0,071496 0,177888 0,066995 0,09238 0,080288 0,065683 0,070156 0,980565 0,980565 0,079034 0,976737 0,987212 0,107395

0,903816 0,933772 0,908562 0,904836 0,002402 0,925401 0,923641 0,928504 0,90762 0,933698 0,934317 0,933772 0,002717 0,871004 0,928739 0,895819 0,927023 0,839486 0,928504 0,822112 0,933005 0,90762 0,919712 0,934317 0,929844 0,019435 0,019435 0,920966 0,023263 0,012788 0,892605

Lampiran 5. Sourcecode dan Output Regresi Probit Biner *model serentak; proc logistic data = dataprob descending; class X1(ref="0") X4(ref="0")/coding=reference; model Y =X1 X2 X3 X4 /link = probit technique = newton lackfit; run;

Hasil Run The SAS System

08:25 Friday, April 20, 2016

1

The LOGISTIC Procedure Model Information Data Set Response Variable Number of Response Levels

66

WORK.DATAPROB Y 2

Y

Model Optimization Technique

binary probit Newton-Raphson

Number of Observations Read Number of Observations Used

227 227

Response Profile Ordered Value

Y

Total Frequency

1 2

1 0

145 82

Probability modeled is Y=1. Class Level Information Class

Value

Design Variables

X1

0 1 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

X4

0 1 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Model Convergence Status Convergence criterion (GCONV=1E-8) satisfied. The LOGISTIC Procedure Model Fit Statistics

Intercept Only

Criterion

Intercept and Covariates

AIC 298.973 SC 302.398 -2 Log L 296.973 Testing Global Null Hypothesis: Test

263.725 294.549 245.725 BETA=0

Chi-Square

DF

Pr > ChiSq

51.2477 45.4831 42.1705

8 8 8

<.0001 <.0001 <.0001

Likelihood Ratio Score Wald

Type 3 Analysis of Effects

67

Effect X1 X2 X3 X4

DF

Wald Chi-Square

Pr > ChiSq

3 1 1 3

26.1745 0.6212 0.0737 29.7874

<.0001 0.4306 0.7860 <.0001

Analysis of Maximum Likelihood Estimates

Parameter Intercept X1 X1 X1 X2 X3 X4 X4 X4

1 2 3

1 2 3

DF

Estimate

Standard Error

Wald Chi-Square

Pr > ChiSq

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0.7247 -1.5498 -1.1311 -1.0931 -0.1703 -0.0601 0.8392 1.4580 1.3879

0.2949 0.3333 0.2884 0.2676 0.2161 0.2213 0.2306 0.2919 0.5068

6.0395 21.6241 15.3807 16.6821 0.6212 0.0737 13.2473 24.9430 7.5001

0.0140 <.0001 <.0001 <.0001 0.4306 0.7860 0.0003 <.0001 0.0062

The LOGISTIC Procedure Association of Predicted Probabilities and Observed Responses Percent Concordant Percent Discordant Percent Tied Pairs

75.4 21.3 3.3 11890

Somers' D Gamma Tau-a c

0.541 0.560 0.251 0.771

Partition for the Hosmer and Lemeshow Test

Group

Total

Observed

Y = 1 Expected

Observed

1 2 3 4 5 6 7 8 9

21 27 26 20 23 23 23 24 40

7 8 17 8 13 17 17 20 38

5.26 9.02 12.71 12.68 15.32 16.06 17.31 20.15 36.86

14 19 9 12 10 6 6 4 2

Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi-Square

DF

Pr > ChiSq

10.2037

7

0.1773

68

Y = 0 Expected 15.74 17.98 13.29 7.32 7.68 6.94 5.69 3.85 3.14

*model terbaik; proc logistic data = dataprob descending; class X1(ref="0") X4(ref="0")/coding=reference; model Y = X1 X4 /link = probit technique = newton lackfit; run;

Hasil Run The SAS System

00:25 Friday, April 22, 2016

7

The LOGISTIC Procedure Model Information Data Set Response Variable Number of Response Levels Model Optimization Technique

WORK.DATAPROB Y 2 binary probit Newton-Raphson

Number of Observations Read Number of Observations Used

227 227

Response Profile Ordered Value

Y

Total Frequency

1 2

1 0

145 82

Probability modeled is Y=1.

Class Level Information Class

Value

Design Variables

X1

0 1 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

X4

0 1 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Model Convergence Status Convergence criterion (GCONV=1E-8) satisfied.

69

Y

The LOGISTIC Procedure Model Fit Statistics

Criterion AIC SC -2 Log L

Intercept Only

Intercept and Covariates

298.973 302.398 296.973

260.458 284.433 246.458

Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test

Chi-Square

DF

Pr > ChiSq

50.5145 44.9274 41.7898

6 6 6

<.0001 <.0001 <.0001

Likelihood Ratio Score Wald

Type 3 Analysis of Effects

Effect X1 X4

DF

Wald Chi-Square

Pr > ChiSq

3 3

25.7492 31.5666

<.0001 <.0001

Analysis of Maximum Likelihood Estimates

Parameter Intercept X1 X1 X1 X4 X4 X4

1 2 3 1 2 3

DF

Estimate

Standard Error

Wald Chi-Square

Pr > ChiSq

1 1 1 1 1 1 1

0.5861 -1.5089 -1.1143 -1.0319 0.8585 1.4852 1.3415

0.1992 0.3278 0.2867 0.2544 0.2275 0.2880 0.4921

8.6564 21.1909 15.1083 16.4548 14.2420 26.5878 7.4321

0.0033 <.0001 0.0001 <.0001 0.0002 <.0001 0.0064

Association of Predicted Probabilities and Observed Responses Percent Concordant Percent Discordant Percent Tied Pairs

72.3 19.3 8.4 11890

Somers' D Gamma Tau-a c

0.531 0.579 0.246 0.765

The LOGISTIC Procedure Partition for the Hosmer and Lemeshow Test

70

Group

Total

Observed

Y = 1 Expected

Observed

Y = 0 Expected

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18 35 13 28 19 11 36 21 16 30

5 12 8 16 11 7 25 18 14 29

4.53 11.48 6.17 17.62 12.54 7.84 25.96 17.25 13.61 28.25

13 23 5 12 8 4 11 3 2 1

13.47 23.52 6.83 10.38 6.46 3.16 10.04 3.75 2.39 1.75

Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi-Square

DF 3.1405

71

Pr > ChiSq 8

0.9252

Lampiran 6. Tabel Normal Standar

72

Lampiran 7. Tabel Distribusi Chi-Square

73