PENENTUAN HARGA LOOKBACK OPTIONS SECARA ANALITIK DAN NUMERIK TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Yohanna 10103030
Pembimbing: Dr. Kuntjoro Adji Sidarto
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007
LEMBAR PENGESAHAN
PENENTUAN HARGA LOOKBACK OPTIONS SECARA ANALITIK DAN NUMERIK
Disusun oleh: Yohanna 10103030
Telah diterima dan disetujui sebagai: Tugas Akhir Sarjana Strata Satu
Bandung, September 2007 Telah diperiksa, disetujui, dan disahkan oleh: Pembimbing
Dr. Kuntjoro Adji Sidarto NIP. 130672114
Bandung, 26 September 2007 Buku ini didedikasikan untuk Papi, Mami, Anti, dan Anto
…Memiliki sedikit pengetahuan namun dipergunakan untuk berkarya jauh lebih berarti daripada memiliki pengetahuan luas namun mati tak berfungsi…
ABSTRACT Lookback options are path-dependent options that depend on the maximum or minimum of the underlying asset prices attained over a certain period of time (called lookback period). It can be classified into types: floating strike and fixed strike which each of it has its own characteristics. As usual, each type has two kinds of exercise time which are the European and American kinds. This work discusses the analytical and numerical approaches for the European lookback options pricing. For the American lookback options, the options pricing is only done numerically due to the lack of analytical formulas. Furthermore, the numerical approach that is used in this work is the binomial method.
ii
ABSTRAK Lookback options adalah salah satu opsi yang bergantung terhadap perjalanan harga saham, khususnya nilai maksimum atau minimum harga saham pada suatu periode waktu tertentu (disebut lookback period). Opsi ini terbagi atas dua tipe, yakni floating strike dan fixed strike yang masing-masing memiliki karakteristik tersendiri. Kedua tipe ini memiliki dua jenis exercise time, yakni jenis European dan American. Tugas akhir ini membahas penetapan harga untuk tipe European lookback options secara analitik dan numerik. Pada tipe American lookback options, penetapan harga opsi hanya dilakukan secara numerik karena tidak ada formula analitisnya. Lebih khusus, pendekatan numerik yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode binomial.
iii
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya.
Tugas akhir yang berjudul “Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik” ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan S1 Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Selain itu, pemilihan topik ini sebagai tugas akhir penulis bertujuan untuk mempelajari lebih lanjut mengenai exotic options, khususnya lookback options yang masih jarang terdengar di Indonesia namun diperkirakan akan marak untuk masa ke depannya.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis memperoleh banyak bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Orangtua penulis yang telah memberikan dukungan dan motivasi, baik berupa material maupun spiritual untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini, 2. Dr. Rieske Hadianti selaku dosen wali selama masa perkuliahan di Program Studi Matematika ITB, 3. Dr. Kuntjoro Adji Sidarto selaku dosen pembimbing yang telah bersedia memberikan arahan dan bimbingan selama satu tahun terakhir dalam penyusunan tugas akhir ini, 4. Dr. Jalina Widjaja selaku dosen penguji seminar 1 dan 2 yang telah banyak memberikan masukan berupa kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini, 5. Dr. Novriana Sumarti selaku dosen penguji seminar 2 yang telah banyak memberikan masukan berupa kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini,
iv
6. Segenap karyawan Program Studi Matematika ITB yang selalu siap membantu, khususnya Ibu Diah dan Pak Yana, 7. Riswan, Kunarto, Adit, dan Uma yang telah menjadi teman bimbingan seperjuangan, 8. Dona dan Amru yang telah membantu penulis dalam pemahaman beberapa teori pada tugas akhir ini, 9. Teman-teman Kriskat, Willy, Eben, Pangi, Samuel, Freddy, Patrick, Andrew, Stefanus, Hendrik, Lido, Lona, Vania, Manes, dan Uthe yang telah memberikan kehangatan sebagai suatu keluarga besar, 10. Teman-teman 2003, Agus, Onta, Opik, Iqs, Novi, Anggun, Mega, Erma, Rahma, Witha, Viska, Tamie, Imel, Inon, dan yang namanya tak dapat disebutkan satu per satu, atas empat tahun yang berharga bersama kalian, dan 11. Semua pihak lain yang namanya tidak dapat disebutkan satu persatu, atas bantuan serta dorongannya kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tulisan dalam tugas akhir ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran dalam penyempurnaan tulisan ini di masa yang akan datang. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi teman sejawat maupun para pembaca.
Bandung, 26 September 2007
Penulis
v
DAFTAR ISI Lembar Pengesahan ................................................................................................. i Abstract ................................................................................................................... ii Abstrak ................................................................................................................... iii Prakata.................................................................................................................... iv Daftar Isi ................................................................................................................ vi Daftar Gambar...................................................................................................... viii Daftar Tabel ........................................................................................................... ix Daftar Algoritma ..................................................................................................... x
BAB I : PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang ............................................................................................... 1
1.2
Rumusan Masalah .......................................................................................... 3
1.3
Tujuan ............................................................................................................ 3
1.4
Manfaat .......................................................................................................... 3
1.5
Sumber Data dan Teknik Penelitian............................................................... 4
1.6
Sistematika Penulisan .................................................................................... 4
BAB II : LANDASAN TEORI 2.1
Asset............................................................................................................... 5
2.2
Dinamika Harga Saham ................................................................................. 6
2.3
Distribusi Normal dan Lognormal ................................................................. 6
2.4
Teorema Limit Pusat ...................................................................................... 7
2.5
Random Walk dan Gerak Brown.................................................................... 8
2.6
Gerak Brown Geometrik .............................................................................. 10
2.7
Model Harga Asset....................................................................................... 10
2.8
Derivatives ................................................................................................... 12
2.9
Opsi .............................................................................................................. 12
vi
2.10 Lemma Itô .................................................................................................... 13 2.11 Formula Black-Scholes ................................................................................ 14 2.12 Lookback Options ........................................................................................ 14 2.13 Metode Binomial.......................................................................................... 15
BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS 3.1
European Floating Strike Lookback Options............................................... 24
3.2
European Fixed Strike Lookback Options ................................................... 31
3.3
Persamaan Differensial untuk Lookback Options ........................................ 35
BAB IV : PENDEKATAN NUMERIK UNTUK LOOKBACK OPTIONS 4.1
Program Floating Lookback......................................................................... 38
4.2
Program Fixed Lookback ............................................................................. 48
4.3
Aplikasi Program pada Data Riil ................................................................. 61
BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ..................................................................................................... 65 5.2 Saran................................................................................................................ 66
Daftar Pustaka ....................................................................................................... 67 Lampiran A ........................................................................................................... 68 Lampiran B ........................................................................................................... 70
vii
DAFTAR GAMBAR Gambar 1
Skema pergerakan harga saham pada metode binomial.................... 15
Gambar 2
Skema perjalanan harga saham untuk setiap titik bagi t = i .............18
Gambar 3
Pohon binomial untuk floating call...................................................40
Gambar 4
Pohon binomial untuk floating put....................................................44
Gambar 5
Pohon binomial harga saham disertai dengan informasi nilai
maksimum harga saham di tiap titik (i, j ) ..............................................................49 Gambar 6
Pohon binomial harga saham disertai dengan informasi nilai
minimum harga saham di tiap titik (i, j ) ................................................................55
viii
DAFTAR TABEL Tabel 1 Harga taksiran floating lookback call untuk beberapa nilai N yang berbeda .................................................................................................................................41 Tabel 2 Harga taksiran floating lookback put untuk beberapa nilai N yang berbeda .................................................................................................................................46 Tabel 3 Catatan jumlah nilai maksimum di tiap titik (i,j) ...................................... 50 Tabel 4 Koordinat pergerakan nilai maksimum [ ku , kd ] untuk tiap titik pada i = 5 dan i = 6 ..................................................................................................................51 Tabel 5 Skema pergerakan nilai maksimum akibat kenaikan harga saham ( ku ) yang dicocokkan dengan Tabel 3............................................................................51 Tabel 6 Harga taksiran fixed lookback call ( S0 > X ) untuk beberapa nilai N yang berbeda ....................................................................................................................53 Tabel 7 Harga taksiran fixed lookback call ( S0 ≤ X ) untuk beberapa nilai N yang berbeda ....................................................................................................................53 Tabel 8 Koordinat pergerakan nilai minimum [ ku , kd ] untuk tiap titik pada i = 5 dan i = 6 ..................................................................................................................56 Tabel 9 Skema pergerakan nilai minimum akibat penurunan harga saham ( kd ) yang dicocokkan dengan Tabel 3............................................................................56 Tabel 10 Harga taksiran fixed lookback put ( X ≥ S0 ) untuk beberapa nilai N yang berbeda ....................................................................................................................58 Tabel 11 Harga taksiran fixed lookback put ( S0 < X ) untuk beberapa nilai N yang berbeda ....................................................................................................................58 Tabel 12 Harga taksiran floating lookback options saham Telkom dengan nilai S0 dan T yang berbeda................................................................................................63
ix
Tabel 13 Harga taksiran fixed lookback options saham Telkom dengan S0 = 10700 untuk nilai X dan T yang berbeda .......................................................................64
x
DAFTAR ALGORITMA Algoritma 1 Floating call ....................................................................................43 Algoritma 2 Floating put .....................................................................................47 Algoritma 3 Fixed call.........................................................................................54 Algoritma 4 Fixed put..........................................................................................60
x
