Penelitian Operasional II
Teori Permainan 17
2. TEORI PERMAINAN 2.1 Pengantar 2.1.1. Kriteria Teknik Permainan : (1) Terdapat persaingan kepentingan diantara pelaku (2) Setiap pemain memiliki stategi, baik terbatas maupun tak terbatas (3) Fair Game yaitu aturan permainan disebutkan dan diketahui oleh tiap pemain (4) Hasil permainan dipengaruhi oleh strategi yang dipilih, diketahui oleh pemain dan didefinisikan secara numerik 2.1.2. Klasifikasi Permainan : ! Berdasarkan jumlah langkah dan pilihan : (1) Permainan berhingga bila : - jumlah langkah yang dimiliki berhingga - tiap langkah dengan pilihan yang berhingga pula (2) Permainan tak berhingga ! Berdasarkan jumlah pemain - Permainan n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n ! Berdasarkan jumlah pembayaran (1) Permainan berjumlah nol (Zero Sum Game) " Jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol " Jumlah pembayaran yang diterima oleh pihak yang menang = jumlah pembayaran yang dikeluarkan oleh yang kalah " Jika pi adalah pembayaran bagi pemain pi , i = 1,2,.., n maka n
∑p i =1
i
=0
Permainan berjumlah tak nol (non zero sum game) n
∑p i =1
i
≠0
2.1.3. Matriks Pembayaran (Pay Off Matrix) (1) Permainan berjumlah nol untuk dua orang (two person zero sum game j i Pemain Pertama (P1)
1 2 . . . m
1 a11 a21 . . . am1
Pemain Kedua (P2) 2 3 … a12 a13 … a22 a23 … . . . . . . . . . am2 am3 …
Keterangan : - m adalah banyak strategi yang dipunyai pemain P1 - n adalah banyak startegi yang dipunyai pemian P2 Siana Halim – Tekik Industri – UK.Petra
n a1n a2n . . . amn
Teori Permainan 18
-
Penelitian Operasional II
aij , i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n adalah nilai pembayaran (aij > 0 , aij < 0 , aij=0) P1 adalah pemain baris yang berusaha untuk memaksimumkan perolehan / keuntungan P2 adalah pemain kolom yang berusaha untuk meminimumkan pembayaran / kerugian
Contoh 2.1 :
Pengusaha A
TV Radio Koran
Pengusaha B TV Radio 5 0 6 -2 -10 -3
(2) Permaian berjumlah nol untuk n orang (n person zero sum game) Untuk jumlah pemain n > 2 , maka permaianan harus dibentuk menjadi 2 kelompok yang saling bersaing. Pengelompokan ini dikenal dengan istilah koalisi Contoh 2.2 : Misalkan ada 3 pemain, yaitu A,B dan C Pemain A punya 2 strategi misalkan X1 dan X2 Pemain B punya 2 strategi misalkan Y1 dan Y2 Pemain C punya 3 strategi misalkan Z1, Z2 dan Z3 Dimiliki data nilai permainan sebagai berikut : Strategi Strategi A B C A B C X1 Y1 Z1 -3 2 1 X1 Y1 Z2 4 -5 1 X1 Y1 Z3 0 2 -2 X1 Y2 Z1 -6 4 2 X1 Y2 Z2 2 -4 2 X1 Y2 Z3 4 0 -4 X2 Y1 Z1 1 1 -2 X2 Y1 Z2 -1 -2 3 X2 Y1 Z3 2 1 -3 X2 Y2 Z1 -3 -2 5 X2 Y2 Z2 -1 1 0 X2 Y2 Z3 4 -1 3 Dengan jumlah pemain n=3 maka terdapat 3 koalisi yang mungkin yaitu : A Vs B-C A-B Vs C berarti terdapat 3 matriks pembayaran B Vs AC Siana Halim – Tekik Industri – UK.Petra
Penelitian Operasional II
-
Teori Permainan 19
Matriks pembayaran untuk A Vs B-C, pemain A adalah pemain baris BC A X1 X2
Y1Z1
Y1Z2
Y1Z3
Y2Z1
Y2Z2
Y2Z3
-3 1
4 -1
0 2
-6 -3
2 -1
4 4
Misalkan X adalah matriks pembayaran di atas, maka –XT adalah matriks pembayaran dengan memandang BC sebagai pemain baris, dengan cara yang sama dapat dicari matrik pembayaran yang lain. 2.1.4 Nilai Permainan • • •
Strategi optimum adalah : strategi yang menjadikan seorang pemain berada dalam posisi pilihan terbaik tanpa memperhatikan langkah-langkan pemain pesaingnya. Posisi pilihan terbaik berarti : setiap penyimpangan dari strategi ini akan mengakibatkan turunnya pembayaran Nilai permainan adalah rata-rata pembayaran / permainan(ekspektasi perolehan) jika kedua pihak pemain yang saling bersaing tersebut melakukan strategi optimum mereka.
Berdasarkan nilai permaianan ini, permainan dapat dibedakan menjadi 2, yaitu : (1) Permainan adil (fair) yaitu jika nilai permainan = nol (2) Permainan tak adil (unfair) jika nilai permainan ≠ nol 2.2 Permainan Berjumlah Nol dari dua orang Ada 2 macam strategi optimum, yaitu : (1) Strategi murni (2) Strategi campuran 2.2.1 Permainan dengan Strategi Murni Strategi murni adalah strategi dimana setiap pemainnya hanya mempunyai tepat satu langkah terbaik. Dalam permainan ini : Pemain pertama adalah pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangan yang minimum. Kriteria yang digunakan : maximin Pemain kedua adalah pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahan yang maksimum. Kriteria yang digunakan : minimax Apabila nilai maximin = minimax , maka permainan dapat diselesaikan dengan strategi murni dimana titik keseimbangan telah tercapai, dan titik ini disebut sebagai titik pelana. Siana Halim – Tekik Industri – UK.Petra
Teori Permainan 20
Penelitian Operasional II
Contoh 2.3 : Diketahui matriks pembayaran sebagai berikut : i Pemain P2 j 1 2 3 Pemain P1
1 2 3 Max tiap kolom
5 3 2 5
-4 1 3 3
-2 -1 -3 -1
4 -1 2 -2 2
Min tiap baris -4 -1 -3
Max Min (aij) = Min Max (aij) i
j
j
i
= -1 permainan ini adalah permainan dengan strategi murni dengan : • Strategi optimum bagi P1 : i = 2 • Strategi optimum bagi P2 : j = 3 • Nilai permainan = -1 Contoh 2.4 : i j 1 2 3 4 Max tiap kolom
Pemain P1
1 4 3 1 -2 4
2 -2 1 -3 4 4
Pemain P2 3 4 -3 -1 2 1 -1 4 3 5 3 5
5 0 -4 6 -1 6
Min tiap baris -3 -4 -3 -2
Max Min (aij) ≠ Min Max (aij) i
j
j
i
maka harus digunakan strategi campuran 2.2.2 Permainan Dengan Strategi Campuran Jika permaianan tidak memiliki titik pelana maka harus digunakan strategi campuran. Berarti : • Pemaian pertama akan memainkan setiap strategi baris dengan probabilitasprobabilitas tertentu • Pemain kedua akan memainkan setiap strategi kolom dengan probabilitas tertentu.
Siana Halim – Tekik Industri – UK.Petra
Penelitian Operasional II
Teori Permainan 21
Strategi dari setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang menunjukkan proporsi waktu atau banyaknya bagian yang dipergunakan untuk melakukan strategi tersebut.
Diberikan suatu matriks pembayaran yang berukuran mxn dimana pemain P1 punya m strategi i, i = 1,2,…,m dan pemain P2 mempunyai n strategi j, j = 1,2,..,n Misalkan : xi = probabilitas pemain P1 memilih strategi ke-i yj = probabilitas pemain P2 memilih strategi ke-j aij = elemen dari matriks pembayaran. j
y1 1 a11 a21 . . . am1
I X1 X2 . . . Xm
Pemain Pertama (P1)
1 2 . . . m
Pemain Kedua (P2) y2 y3 … 2 3 … a12 a13 … a22 a23 … . . . . . . . . . am2 am3 …
y4 n a1n a2n . . . amn
Definisi 2.1 : • Vektor x = [xi]; i = 1,2,3,…,m dari bilangan tak negatif xi sedemikian hingga m
∑x i =1
i
=1
didefinisikan sebagai strategi campuran bagi pemain P1 • Vektor y = [yj]; j = 1,2,3,…,n dari bilangan tak negatif yj sedemikian hingga n
∑y
j
=1
j =1
didefinisikan sebagai strategi campuran bagi pemain P2 Kejadian Khusus Bila (m-1) komponen dari X = [x1, x2, …, xm] berharga nol, misalnya x[0,0,0,…,1,0] maka ini adalah strategi murni P1. Demikian pula untuk P2 bila (n-1) komponen dari Y=[y1,y2,..,yn] berharga nol. Definisi 2.2 m
E (x,y ) =
n
∑∑ x a i =1 j =1
i
ij
yj
=XAY Nilai permainan untuk P1 adalah
max min E(X,Y) z
Nilai permainan untuk P2 adalah
y
min max E(X,Y) y
z
Siana Halim – Tekik Industri – UK.Petra
