BAB II TEORI PERMAINAN KOOPERATIF
2.1 Teori Permainan
Teori permainan merupakan suatu studi formal tentang konflik dan kerjasama. Konsep teori permainan ini berdasarkan pada aksi beberapa agen yang saling bergantung. Agen-egen ini mungkin berupa individu, kelompok, perusahaan, atau kombinasi dari mereka. Konsep teori permainan ini menyediakan bahasan untuk merumuskan dan menganalisis suatu startegi tertentu. Fondasi matematis dari teori permainan membuat teori permainan ini menjadi sebuah alat utama untuk memodelkan dan mendesain proses pembuatan keputusan dalam suatu lingkungan yang interaktif (saling mempengaruhi). Tujuan dari teori permainan adalah memodelkan suatu situasi interaksi sebagai suatu permainan dengan tujuan mendapatkan suatu solusi yang adil dimana pihak yang berkontribusi lebih besar akan mendapatkan keuntungan yang lebih besar pula. Hal ini mengarahkan kita kepada pelibatan beberapa aspek seperti pemain, pilihan, informasi, strategi yang dapat dilakukan, dan bagaimana hal ini mempegaruhi pendapatan yang akan diterima. Sebagai suatu alat matematis untuk membuat keputusan, kekuatan dari teori permainan ini adalah metodologi yang disediakannya untuk menganalisis masalah tentang pemilihan suatu startegi. Ada beberapa istilah yang berhubungan dengan teori permainan ini., diantaranya adalah [1] : •
Pengetahuan Bersama : Suatu fakta merupakan pengetahuan bersama jika seluruh pemain mengetahuinya dan mereka nmengetahui bahwa mereka semua mengetahuinya. Struktur dari permainan sering diasumsikan sebagai permainan dengan pengetahuan bersama diantara para pemain.
•
Pemain : Agen yang membuat keputusan dalam suatu permainan.
•
Payoff : Sejumlah keuntungan / hasil yang mengambarkan pendapatan pemain pada akhir permainan.
•
Rasionalitas : Seorang pemain dikatakan rasional jika dia melihat bahwa suatu permainan yang dia ikuti akan memaksimalkan payoff yang akan dia dapatkan.
•
Pilihan / keputusan : Tindakan yang mungkin diambil, terbagi atas : a. Keputusan non-strategis : Keputusan dengan himpunan pilihan seorang pemain didefinisikan tidak berkaitan dengan pilihan pemain lain. b. Keputusan startegis : Keputusan dengan himpunan pilihan yang dihadapi seorang pemain dan/atau hasil pilihan tersebut bergantung pada pilihan yang diambil pemain lain.
Suatu permainan terdiri dari himpunan n pemain, (1, 2,..., n) . Setiap pemain i memiliki himpunan strategi nya sendiri, yaitu Si . Untuk memainkan permainan ini, setiap pemain i memilih suatu strategi si ∈ Si . Kita akan menggunakan s = ( s1 ,..., sn ) untuk menggambarkan vektor startegi yang dipilih oleh pemain. Strategi yang dipilih oleh pemain akan menentukan pendapatan untuk masing-masing pemain. Secara umum, pendapatan ini akan berbeda untuk masing-masing pemain. Maka, untuk menentukan suatu permainan, kita perlu memberikan kepada masing-masing pemain informasi dan hubungan yang lengkap mengenai himpunan seluruh vektor strategi S [2]. Pendapatan dari seorang pemain mungkin tidak hanya bergantung pada startegi yang dipilihnya sendiri, namun bergantung pula pada startegi yang dipilih oleh pemain yang lain. Teori permainan ini telah banyak diterapkan pada berbagai hal seperti pada
pengambilan
keputusan
perusahaan,
kebijakan
publik,
jaringan
telekomunikasi, dan lain-lain. Hal ini dilakukan dengan tujuan untuk menyelesaikan berbagai konflik kepentingan yang muncul. Jenis teori permainan ini dapat dibagi menjadi permainan kooperatif dan permainan non-kooperatif. Teori permainan kooperatif meneliti penggabungan agen berdasarkan suatu
komitmen bersama dengan memperhatikan besar kekuatan relatif yang dimiliki oleh para pemain. Sedangkan teori permainan non-kooperatif memberi perhatian pada analisis pemilihan strategi untuk mendapatkan keuntungan yang sebanyakbanyaknya [1]. Landasan teori permainan non-koopertif adalah perincian dari pilihan para pemain yang penting sekali dalam penentuan pendapatan dari suatu permainan dan dicirikan dengan tidak adanya komitmen tertentu antar pemainnya.
2.2 Teori Permainan Kooperatif
Teori permainan kooperatif merupakan bagian dari teori permainan yang berfokus pada suatu keadaan dimana grup yang terdiri dari para pemain mengkoordinasikan aksi/tindakan yang akan mereka lakukan melalui suatu komitmen tertentu. Tujuan dari teori permainan kooperatif adalah untuk mempelajari cara menjalankan atau mendorong kerjasama diantara agen-agen yang berkeinginan untuk bekerjasama.
Dari permainan kooperatif ini akan
tergambar payoff yang didapatkan oleh masing-masing grup atau koalisi dari hasil kerjasama anggota-anggotanya. Hal yang menjadi perhatian dalam hal ini adalah bagaimana keuntungan yang didapat ataupun biaya yang ditanggung dari usaha bersama ini dapat dibagi diantara para peserta kerjasama sehingga didapatkan suatu solusi yang adil. Suatu permainan kerjasama terdiri dari 2 elemen, yaitu : (1) himpunan pemain, dan (2) fungsi karakteristik yang menentukan nilai yang dihasilkan oleh subhimpunan yang berbeda dari para pemain dalam suatu permainan. Misalkan N = {1, 2,..., n} adalah himpunan pemain yang terbatas, dan i (dimana i dari 1
sampai dengan n ) mengindikasikan anggota yang berbeda dari N . Fungsi karakteristik adalah suatu fungsi, yang didenotasikan oleh v . Fungsi karakteristik yang berhubungan dengan setiap subhimpunan S dari N didenotasikan dengan v( S ) . Nilai v( S ) menggambarkan nilai yang dihasilkan ketika anggota dari S
bersama-sama berinteraksi. Dalam teori permainan kooperatif ini, fokus kita adalah pada agen/pemain yang berupa grup, bukan agen/pemain sabagai individu. Jadi
permainan kooperatif ini mendefinisikan sebaik apa setiap grup/koalisi (yang terdiri dari agen-agen) dapat berbuat untuk dirinya (koalisinya) sendiri. Kita tidak memperhatikan tentang begaimana agen-agen individu membuat pilihan individualnya di dalam suatu koalisi, bagaimana mereka berkoordinasi, dan hal lain yang mendetail. Kita menyederhanakan dengan memfokuskan pada payoff yang akan diterima oleh koalisi tersebut. Payoff sendiri mengambarkan kuantitas hasil yang diperoleh pemain pada akhir permainan. Kumpulan payoff untuk semua pemain dinyatakan sebagai suatu vektor baris x = ( x1 , x2 ,..., xn ) dimana vektor ini diistilahkan sebagai vektor payoff.
2.3 Koalisi
Meskipun para pemain dalam suatu permainan adalah pembuat keputusan otonom, namum mereka mungkin memiliki kepentingan dalam membuat suatu perjanjian yang mengikat dengan pihak lain dalam rangka mendapatkan payoff yang lebih besar di akhir permainan [3]. Perjanjian atau kemitraan ini adalah landasan model matematis dari suatu permainan kooperatif dan kemitraan ini disebut dengan koalisi. Secara matematis, koalisi adalah suatu sub himpunan dari himpunan para pemain N dan kita dapat mendenotasikan koalisi ini dengan lambang S . Untuk membentuk suatu koalisi S diperlukan suatu perjanjian yang melibatkan semua pemain dan perjanjian ini akan mengikat agen-agen di dalam koalisi sebagai suatu entiti baru yang terkoordinasi. Kita mendenotasikan suatu koalisi tertentu dengan suatu susunan tertentu dari anggota-anggotanya. Sebagai contoh, koalisi AB merujuk pada pemain A dan pemain B yang bertindak sebagai satu kesatuan pembuat keputusan. Koalisi AB ini nantinya akan dapat membuat suatu persetujuan / kerjasama dengan agen atau koalisi lain. Koalisi yang besar (Grand Coalition) terdiri dari semua pemain dan tidak ada satupun koalisi yang kosong. Untuk suatu permainan yang terdiri dari n buah pemain, maka akan memungkinkan terbentuknya 2n kemungkinan koalisi.
Struktur koalisi adalah suatu cara yang menggambarkan bagaimana para pemain membagi diri mereka sendiri ke dalam koalisi mandiri masing-masing. Setiap pembagian para pemain dapat digambarkan oleh suatu himpunan S = ( s1 , s2 ,..., sm ) dari m koalisi yang terbentuk. Himpunan koalisi S merupakan
suatu pembagian dari N yang memenuhi 3 kondisi, yaitu :
Sj ≠ ∅,
j = 1,..., m
∀i ≠ j
Si ∩ S j ≠ ∅
∪S
S j ∈S
j
=N
Kondisi pertama menyatakan bahwa setiap pemain hanya ternasuk ke dalam satu dan hanya satu dari m koalisi yang tidak kosong dalam struktur koalisi. Kondisi kedua menyatakan bahwa tidak ada satupun pemain dalam koalisi m yang terhubung ke pemain lain yang tidak ada di dalam koalisi. Kondisi yang ketiga menyatakan bahwa kesatuan mandiri masing-masing dari semua koalisi m membentuk koalisi besar (Grand Coalition).
2.4 Fungsi karakteristik
Untuk setiap sub himpunan S dari N , fungsi karakteristik v dari suatu permainan merupakan nilai terbesar v ( S ) yang akan didapat oleh anggota dari S jika mereka bertindak bersama-sama dan membentuk suatu koalisi, tanpa ada
pertolongan dari pemain yang lain yang tidak ada pada S . Batasan dari definisi ini, adalah bahwa nilai dari permainan untuk koalisi yang kosong adalah nol ( v(∅) = 0 ). Persyaratan lain yang secara umum ditentukan adalah apa yang disebut dengan superadditivity. Superadditivity ini dapat dinyatakan sebagai berikut : v( S ∪ T ) ≥ v( s ) + v(t )
dan
∀S , T ⊆ N
S ∩T = ∅
Hal ini berarti bahwa payoff total untuk suatu koalisi besar adalah rasional kolektif karena para pemain selalu mendapatkan minimal sebesar apa yang akan mereka dapatkan secara individual. Dengan mengasumsikan superadditivity dan rasionalitas kolektif, koalisi besar akan terbentuk di akhir permainan. Hal yang menjadi permasalahan adalah tentang bagaimana para pemain akan membagi payoff yang mereka dapatkan bersama itu. Pembagian dari payoff bersama v ( N ) direpresentasikan oleh vektor payoff x = ( x1 , x2 ,..., xn ) . Suatu vektor payoff tidak akan menjadi suatu kandidat yang layak untuk suatu solusi jika tidak memenuhi beberapa syarat berikut : n
v( N ) = ∑ xi
Rasionalitas Grup
i =1
xi ≥ v(i ) ∀i ∈ N Rasionalitas Individu
Rasionalitas grup menyatakan bahwa apapun vektor payoff yang dapat terbentuk haruslah memberikan payoff nya kepada semua pemain sebanyak jumlah yang sama dengan jumlah dimana koalisi besar (Grand Coalition) akan mencapainya. Sedangkan rasionalitas individu berarti bahwa para pemain i harus menerima suatu payoff paling tidak sebesar apa yang bisa dia dapatkan oleh dirinya sendiri. Jika x memenuhi persamaan Rasionalitas Grup dan Rasionalitas Individu, maka x disebut imputasi. Contoh perhitungan fungsi karakteristik adalah sebagai berikut :
Sebuah perusahaan yang akan bangkrut memiliki aset total sebesar $100. Tiga kreditor masing-masing memiliki klaim pinjaman sebesar $30, $40, dan $50 (total $120). Setiap kreditor dapat mengambil alih perusahaan tersebut tetapi harus mengembalikan pinjaman ke kreditor lain secara penuh. Jika kreditor 1 mengambil alih, maka harus mengembalikan pinjaman dari kreditor 2 dan 3 sebesar $40 + $50 = $90 dan
mendapatkan $10 dari sisa aset total. Maka v(1) = $10. Dengan cara yang sama didapatkan : •
Koalisi tanpa pemain : v[{}] = 0;
•
Koalisi satu pemain : v[{1}] = 10; v[{2}] = 20; v[{3}] = 30;
•
Koalisi dua pemain : v[{1, 2}] = 50; v[{2,3}] = 70; v[{3,1}] = 60;
•
Koalisi tiga pemain : v[{1, 2,3}] = v[{N }] = 100;
Ada beberapa kelas penting di dalam suatu permainan kooperatif yang berhubungan dengan nilai fungsi karakteristiknya. Di antara kelas-kelas tersebut antara lain [4] :
1. Permainan Superadditiviti Suatu permainan G ( N , v) adalah Superadditivity jika untuk seluruh S , T ⊂ N , jika S ∩ T = ∅ , maka v( S ∪ T ) ≥ v( s ) + v(t ) . Superadditivity dibenarkan ketika suatu koalisi dapat selalu bekerja tanpa adanya saling interfensi antara satu koalisi dengan koalisi yang lain. Oleh karena itu, nilai dari dua koalisi tidak akan kurang dari jumlah nilai mereka masing-masing. Catat bahwa superadditivity mengakibatkan nilai dari keseluruhan himpunan pemain (Grand Coalition) tidak lebih kecil daripada penjumlahan nilai dari himpunan koalisi yang tidak saling beririsan. Dengan kata lain, Grand Coalition memiliki payoff yang paling tinggi diantara seluruh struktur koalisi yang ada.
2. Permainan Additif / Essensial : Suatu permainan G ( N , v) adalah Additif / Esensial jika untuk seluruh S , T ⊂ N , jika S ∩ T = ∅ , maka v( S ∪ T ) = v( s ) + v(t ) . Anggap bahwa tidak ada saling interfensi diantara koalisi dan suatu koalisi tidak dapat mempengaruhi koalisi yang lain, baik secara positif ataupun negatif.
3. Permainan Penjumlahan Konstan : Suatu permainan G ( N , v) adalah Penjumlahan
Konstan
jika
untuk
seluruh
S⊂N,
maka v( S ) + v( N s ) = v( N ) .
4. Permainan Sederhana : Suatu permainan G ( N , v) adalah Sederhana jika untuk seluruh
S⊂N,
v( S ) ∈ {0,1} . Dalam Permainan
Sederhana kita tambahkan syarat bahwa jika suatu koalisi menang, maka seluruh koalisi yang lebih besar darinya juga merupakan koalisi pemenang (contohnya, jika v( S ) = 1 , maka untuk seluruh T ⊃ S , v(T ) = 1 .
2.5 Core
Jika kita menambahkan Rasionalitas Koalisi ke dalam suatu imputasi, maka kita mendapatkan core sebagai solusi dari permainan. Lebih tepatnya core adalah himpunan dari imputasi-imputasi yang memenuhi Rasionalitas Grup, Rasionalitas Individu dan Rasionalitas Koalisi. Rasionalitas Koalisi sendiri adalah sebagai berikut :
∑x
i
≥ v( S )
∀i ∈ S ,
∀S ⊂ N
i
Dengan demikian core adalah suatu himpunan bagian dari himpunan imputasi dimana tidak ada alokasi pendapatan (bagian dari payoff total yang tersedia untuk semua pemain) yang lebih baik untuk semua pemain dari koalisi lain yang memungkinkan. Alokasi akan mengalami blokade jika terdapat koalisi (individu atau sub kelompok) yang lebih baik jika terpisah dan bekerja sendiri. Jadi alokasi berada pada core jika tidak dapat diblokade oleh koalisi apapun termasuk Grand Coalition. Core mungkin terdiri dari satu atau lebih solusi, tetapi
core juga mungkin saja tidak ada (kosong). Jadi di suatu permainan mungkin ada core dengan anggota yang banyak ataupun core tanpa anggota. Core yang terlalu banyak akan menimbulkan banyak solusi yang dapat memenuhi kondisi rasional yang ditentukan oleh semua pemain dalam semua koalisi yang memungkinkan. Terdapat kemungkinan bahwa core tidak eksis dalam sebuah permainan. Contoh permainan yang tidak memiliki core untuk 3 pemain :
Tiga kota A, B, dan C melakukan bargaining untuk membangun fasilitas persediaan air yang baru. Setiap kota harus membayar 30 juta jika membangun persediaan air sendiri. Jika dua kota membangun bersama total biaya yang harus dibayar oleh kedua kota tersebut hanya sebesar 40 juta. Jika ketiga kota membangun bersama-sama memerlukan biaya 66 juta. Maka di dalam core, alokasi tidak dapat melibatkan semua kota dengan masing-masing membayar lebih dari 30 juta, atau dua kota membayar lebih dati 40 juta, tetapi ketiga kota membayar total sebesar 66 juta. Secara matematis, misalkan masing-masing kota A, B, dan C membyar sebesar a, b, dan c, maka : •
a, b, dan c masing-masing tidak boleh lebih dari 30 juta
•
a + b, a + c, b + c tidak boleh lebih dari 40 juta
•
a + b + c = 66 juta
Ketiga persamaan di atas tidak dapat dipenuhi bersama-sama karena solusi dari ketiga persamaan tersebut adalah a + b + c < 60 juta. Maka core dalam permainan ini tidak eksis.
2.6 Nilai Shapley dan Nilai Shapley Bilateral
Dalam kasus core yang terlalu banyak atau tidak ada sama sekali, maka metode yang dapat kita gunakan untuk mendapatkan suatu solusi adalah Nilai Shapley. Misalkan, ada suatu permainan kooperatif ( N , v) dengan N adalah himpunan anggota yang bekerjasama dan ada pada suatu grup dan v adalah payoff yang didapatkan oleh grup tersebut. Lalu, bagaimana keseluruhan payoff
yang diperoleh dapat dibagikan kepada seluruh anggota dalam suatu grup ? Secara logika, pemain yang berkontribusi lebih banyak di dalam kelompoknya haruslah mendapatkan payoff yang lebih besar daripada pemain lain. Anggap ada suatu permainan pembagian biaya dalam rangka mendapatkan suatu fasilitas tertentu. Permainan ini didefinisikan oleh suatu himpunan A dari n agen dengan suatu fungsi biaya c. Cara yang sederhana untuk membagi biaya c( A) di antara seluruh agen adalah dengan menyusun agen dalam urutan tertentu, misalnya a1 , a2 ,..., an , dan bebankan kepada setiap agen biaya yang harus ditanggung akibat agen tersebut masuk ke dalam himpunan peminta fasilitas. Dengan kata lain, agen pertama a1 akan dibebani biaya nya sendiri sebesar c({a1}) , agen kedua a2 akan dibebani biaya c({a1 , a2 }) − c({a1}) ,dan seterusnya. Metode ini dinamakan pembagian biaya meningkat. Penyusunan agen-agen seperti di atas membuat suatu perbedaan besar biaya yang akan dibebankan kepada para agen. Nilai Shapley menetapkan masalah ini dengan mengambil suatu urutan acak dari agen-agen yang dipilih secara seragam dari himpunan seluruh
n ! yang mungkin tersusun.dan
membebankan kepada para agen biaya marginal yang diharapkan dari susunan ini. Untuk siapapun agen i ∈ A dan himpunan S ⊆ A {i} dengan s = s , kemungkinan himpunan agen-agen yang ada sebelum adalah
i
dalam suatu urutan acak
s !(n − s − 1)! . Hal ini mendasari apa yang kita sebut dengan Nilai Shapley n!
[2]. Nilai Shapley memunculkan suatu solusi yang baik sekali, bukan hanya definisi yang menarik dan intuitif tetapi juga karakteristiknya yang unik dengan suatu aksioma yang masuk akal. Selain itu, Shapley juga menggambarkan nilai sebagai suatu indeks untuk mengukur kekuatan para pemain dalam suatu permainan [5]. Nilai Shapley menyediakan suatu solusi yang diberikan oleh persamaan berikut :
xi = Dimana : Pn ( S )
s
=
∑
∀S i∉S
Pn ( S )[v( S ∪ {i}) − v( S )]
s !(n − s − 1)! n!
= Jumlah pemain di S
v( S ∪ {i}) = Payoff yang bisa didapatkan oleh koalisi S dengan pemain i terlibat di dalam koalisi v( S )
= Payoff yang bisa didapatkan oleh koalisi S tanpa kehadiran pemain i
xi
= Payoff / ukuran kekuatan pemain ke-i dalam suatu permainan yang mengambarkan ukuran kekuatan pemain ke-i dalam permainan.
Nilai Shapley dapat dianggap sebagai rata-rata bobot dari kontribusi marginal dari seorang anggota terhadap semua koalisi yang memungkinkan dimana pemain tersebut mungkin berpartisipasi. Kontribusi pemain i sebagai anggota ini, dikalkulasikan dengan suatu koefisien numerik tertentu yang dikalikan dengan selisih antara nilai dari himpunan bagian S ∪ i dengan nilai dari koalisi tanpa pemain i. Nilai Shapley bersifat monotonic, additif dan konsisten. Sifat monotonik menjamin bahwa nilainya tidak akan negatif dan sistem tidak akan mengarahkan seorang pemain dapat menurunkan nilai pemain lain. Sifat additif berguna dalam penganalisisan sistem sehingga pembagian keseluruhan biaya / keuntungan tidak akan berbeda dengan alokasi biaya keseluruhannya. Sifat konsistensi menjamin perlakukan yang simetris terhadap para pemain [5]. Nilai Shapley dari suatu permainan u adalah vektor nilai yang unik yang memenuhi beberapa hal berikut [6] : •
Himpunan pemain menerima semua sumber daya yang tersedia:
∑ •
i∈P
xi [u ] = v( P )
Pemain i, j ∈ N dikatakan simetris jika memberikan kontribusi marginal yang
sama
ke
semua
koalisi.
Contohnya,
untuk
S ⊂ N , v( S ∪ i ) = v( S ∪ j ) .Aksioma simetris ini mengharuskan pemain simetrik mendapatkan bagian yang sama. •
Pemain yang tidak memiliki kontribusi marginal (dummy player) terhadap setiap
koalisi
akan
mendapatkan
payoff
nol.
Jika
v( S ∪ {i}) − v( S ) = 0 untuk setiap S ⊂ N , maka xi = 0 . •
Jika x adalah vektor Nilai Shapley untuk permainan v , dan y adalah vektor Nilai Shapley untuk permainan v ' , maka vektor Nilai Shapley untuk permainan ( v + v ' ) adalah x + y . Hal ini terkait dengan sifat additivitas. Contoh perhitungan Nilai Shapley [3]: Sebuah bangunan milik seorang pedagang bernilai Rp.100.000.000,00 jika bangunan tersebut difungsikan sebagai toko, jika bangunan tersebut digunakan oleh seorang pengusaha untuk dijadikan rumah makan maka bangunan tersebut bernilai Rp.200.000.000,00, sedangkan jika bangunan tersebut digunakan oleh suatu perusahaan untuk dijadikan kantor maka bangunan tersebut bernilai Rp.300.000.000,00. Fungsi karakteristik dari permainan ini adalah : Tabel 2.1 Fungsi Karakteristik Pemain S (Anggota Koalisi) P (Pedagang) R (Rumah Makan) K (Kantor Perusahaan) P&R P&K R&K P,R&K
Fungsi Karakteristik 100.000.000 0 0 200.000.000 300.000.000 0 300.000.000
v( S )
Pada tabel di atas, fungsi karakteristik R dan K adalah 0 karena pemilik dari bangunan tersebut adalah pedagang sehingga tanpa membeli bangunan atau berkoalisi dengan pedagang maka bangunan tersebut bernilai nol bagi pengusaha rumah makan dan perusahaan. Hal ini
berlaku pula untuk koalisi R&K. Sedangkan untuk koalisi P,R&K, akan dipilih nilai yang terbesar yaitu 300 juta.
Perhitungan Nilai Shapley untuk pemain P (Pedagang) adalah sebagai berikut :
xi =
∑
∀S i∉S
Pn ( S )
Pn ( S )[v( S ∪ {i}) − v( S )] =
s !(n − s − 1)! n!
maka : •
Untuk pemain : Pedagang
x p1 PEMAIN = •
Untuk pemain : Pedagang & Rumah Makan
x p2 PEMAIN = •
1!(3 − 1 − 1)! 1 (200.000.000 − 0) = (200.000.000) 3! 6
Untuk pemain : Pedagang & Kantor
x p2 PEMAIN = •
0!(3 − 0 − 1)! 2 1 (100.000.000 − 0) = (100.000.000) = (100.000.000) 3! 6 3
1!(3 − 1 − 1)! 1 (300.000.000 − 0) = (300.000.000) 3! 6
Untuk pemain : Pedagang, Rumah Makan & Kantor
x p3 PEMAIN =
2!(3 − 2 − 1)! 2 1 (300.000.000 − 0) = (300.000.000) = (300.000.000) 3! 6 3
Didapat Nilai Shapley keseluruhan bagi Pedagang adalah sebagai berikut: 1 1 1 1 x pTOTAL = (100.000.000) + (200.000.000) + (300.000.000) + (300.000.000) 3 6 6 3 = 216.666.666, 67 Dengan cara yang sama didapatkan Nilai Shapley untuk setiap pemain sebagai berikut : xRTOTAL = 16.666.666, 67
xKTOTAL = 66.666.666.67
Pedagang memiliki Nilai Shapley yang paling besar dengan kata lain memiliki kekuatan terbesar dalam permainan ini karena pedagang merupakan pemilik bangunan tersebut. Pengusaha Rumah Makan dan perusahaan yang memerlukan kantor tidak akan memiliki apa-apa jika tidak memiliki atau membeli bangunan tersebut. Nilai Shapley pengusaha Rumah Makan lebih kecil dibandingkan perusahaan karena perusahaan memberikan harga atau nilai yang lebih tinggi terhadap bangunan tersebut.
Untuk menghindari kompleksitas kombinasi dalam perhitungan Nilai Shapley, Ketchpel memperkenalkan Nilai Shapley Bilateral. Misalkan S ⊆ P ( A) adalah struktur koalisi dalam suatu himpunan para pemain A = {a1 , a2 ,..., am } , dimana C = Ci ∪ C j ⊆ A , dan Ci ∩ C j = ∅ dan P ( A) adalah koalisi dari seluruh pemain atau koalisi besar (Grand Coalition). Oleh karena itu, C adalah koalisi (bilateral) dari penguraian (n pemain) koalisi dari Ci dan C j (n ≥ 0) . Nilai Shapley Bilateral untuk koalisi Ci pada koalisi bilateral C didefinisikan oleh :
1 1 xc (Ci ) = v(Ci ) + (v(C ) − v(C j )) 2 2 Kedua koalisi Ci dan C j bersedia untuk membentuk koalisi C , jika v(Ci ) ≤ xc (Ci )
dan
v(C j ) ≤ xc (C j ) . Faktanya, suatu permainan kerjasama
superadditif dimainkan di antara Ci dan C j . Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa pendiri akan mendapatkan setengah dari kontribusi lokal mereka dan setengah yang lain didapatkan dari kerja sama dengan lembaga lainnya. Bagian 1 (v(C ) − v(C j )) dari Nilai Shapley Bilateral menggambarkan cerminan kekuatan 2
dari setiap pemain berdasarkan kontribusinya. Jadi dua pemain akan membentuk suatu koalisi jika keduannya mendapatkan nilai lebih daripada beraksi sendiri. Proses formasi koalisi berlanjut jika pemain yang baru terbentuk yang diharapkan segera bergabung ke grup dengan pemain yang lain untuk meningkatkan nilai mereka. Jika nilai berlanjut sampai akhir, koalisi besar yang terdiri dari seluruh pemain akan membentuk suatu grup tunggal dengan
alasan
hal ini
menguntungkan untuk semuanya. Contoh perhitungan Nilai Shapley Bilateral : Sebuah bangunan milik seorang pedagang bernilai Rp.100.000.000,00 jika bangunan tersebut difungsikan sebagai toko, jika bangunan tersebut digunakan oleh seorang pengusaha untuk dijadikan rumah makan maka bangunan tersebut bernilai Rp.200.000.000,00, sedangkan jika bangunan tersebut digunakan oleh suatu perusahaan untuk dijadikan kantor maka bangunan tersebut bernilai Rp.300.000.000,00. Sedangkan jika bangunan tersebut digunakan oleh pengusaha untuk dijadikan rumah makan seklaligus digunakan oleh perusahaan untuk dijadikan kantor maka bangunan tersebut bernilai Rp.500.000.000,00 Fungsi karakteristik dari permainan ini adalah : Tabel 2.2 Fungsi Karakteristik Pemain S (Anggota Koalisi) P (Pedagang) R (Rumah Makan) K (Kantor Perusahaan) P&R P&K R&K P,R&K
Fungsi Karakteristik 100.000.000 0 0 200.000.000 300.000.000 0 500.000.000,00
v( S )
Pada tabel di atas, fungsi karakteristik R dan K adalah 0 karena pemilik dari bangunan tersebut adalah pedagang sehingga tanpa membeli bangunan atau berkoalisi dengan pedagang maka bangunan tersebut bernilai nol bagi pengusaha rumah makan dan perusahaan. Hal ini
berlaku pula untuk koalisi R&K. Perhitungan Nilai Shapley Bilateral untuk setiap pemain adalah sebagai berikut :
Tabel 2.3 Pembentukan Koalisi Tahap Pertama
Tahap pertama (koalisi 2 pemain) : Koalisi P&R KOALISI NILAI BANGUNAN PEMAIN (FUNGSI KARAKTERISTIK KOALISI P&R)
P&R
200000000 P R
PERHITUNGAN PAYOFF PEMAIN BERDASARKAN NILAI SHAPLEY BILATERAL 1 1 xc (C P ) = v (C P ) + (v (C ) − v (C R )) 2 2 1 1 xc (CR ) = v(CR ) + (v(C ) − v(CP )) 2 2
BESAR PAYOFF PEMAIN
KEUNTUNGAN PEMAIN JIKA BERKOALISI DARIPADA BEKERJA SENDIRI
150000000
50000000
50000000 TOTAL 200000000
50000000
Koalisi P&K KOALISI NILAI BANGUNAN PEMAIN (FUNGSI KARAKTERISTIK KOALISI P&R)
P&K
PERHITUNGAN PAYOFF PEMAIN BERDASARKAN NILAI SHAPLEY BILATERAL
300000000 P
1 1 xc (CP ) = v(CP ) + (v(C ) − v(CK )) 2 2
K
1 1 xc (CK ) = v(C K ) + (v(C ) − v(C P )) 2 2
BESAR PAYOFF PEMAIN
KEUNTUNGAN PEMAIN JIKA BERKOALISI DARIPADA BEKERJA SENDIRI
200000000
100000000
100000000 TOTAL 300000000
100000000
Dari kedua tabel di ats dapat dilihat bahwa padsa koalisi kedua, P (Pedagang) mendapatkan keuntungan yang lebih besar daripada pada koalisi Pertama.P memiliki kewenangan lebih dalam memutuskan berkoalisi dengan pemain lain, menginGat P adalah pihak yang memiliki bangunan, maka pada tahap pertama ini P tentu saja akan berkoalisi dengan K (Kantor Perusahaan). Pada tahap kedua, akan dievaluasi nilai payoff pemain jika koalisi P&K berkoalisi dengan pemain R (Rumah Makan).
Tabel 2.4 Pembentukan Koalisi Tahap Kedua
Tahap kedua (koalisi 3 pemain) : Koalisi P,K&R KOALISI NILAI BANGUNAN PEMAIN (FUNGSI KARAKTERISTIK KOALISI P&R)
P,K&R
PERHITUNGAN PAYOFF PEMAIN BERDASARKAN NILAI SHAPLEY BILATERAL
R
KEUNTUNGAN PEMAIN JIKA BERKOALISI DARIPADA BEKERJA SENDIRI
1 1 v(CP & K ) + (v(C ) − v(CR )) 2 2
400000000
100000000
1 1 xc (C R ) = v (C R ) + (v (C ) − v(C P & K )) 2 2
100000000
100000000
xc (C P & K ) =
500000000 P&K
BESAR PAYOFF PEMAIN
TOTAL 500000000
PEMAIN
PERHITUNGAN PAYOFF PEMAIN BERDASARKAN NILAI SHAPLEY BILATERAL
BESAR PAYOFF PEMAIN
KEUNTUNGAN PEMAIN JIKA BERKOALISI DARIPADA BEKERJA SENDIRI
P
1 1 xc (CP ) = v(CP ) + (v(C ) − v(CK )) 2 2
250000000
150000000
K
1 1 xc (CK ) = v(C K ) + (v(C ) − v(C P )) 2 2
150000000
150000000
TOTAL
400000000
Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa ketika pemain R masuk ke dalam koalisi, maka nilai payoff yang didapatkan oleh seluruh pemain lebih besar daripada nilai payoff sebelum mereka berkoalisi. Hal ini menjadi dasar yang kuat bagi mereka untuk bersama-sama bergabung dalam satu koalisi.
2.7 Algoritma Induksi Terbalik
Algoritma Induksi terbalik merupakan salah satu konsep yang digunakan untuk mendapatkan suatu solusi yang sering diaplikasikan untuk program permainan dan kecerdasan buatan. Algoritma Induksi terbalik ini sebenarnya cukup efisien untuk mencari solusi di antara semua kemungkinan solusi yang ada untuk ukuran persoalan yang kecil. Akan tetapi, waktu penghitungan yang
dibutuhkan biasanya akan meningkat dengan drastis seiring dengan pertambahan ukuran persoalan. Pada Algoritma ini hanya pencarian yang mengarah ke solusi saja yang selalu dipertimbangkan [7]. Karakteristik dari Algoritma Induksi Terbalik ini adalah menentukan terlebih dahulu solusi (payoff) koalisi pada akhir permainan. Setelah itu, solusi yang didapat didistribusikan kembali ke komponen-komponen pendukung koalisi secara mundur hingga pendistribusian solusi sampai pada komponen-komponen penyusun koalisi pada awal permainan. Langkah-langkah pencarian solusi yang dilakukan pada Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :
1.
Solusi
dicari
dengan
membentuk
lintasan
kemungkinan-kemungkinan koalisi bilateral
awal
berupa
yang terbentuk.
Pemilihan koalisi didasarkan pada payoff biaya investasi yang akan didapatkan oleh simpul / komponen / pemain dimana payoff yang mereka dapatkan ketika berkoalisi haruslah lebih baik daripada payoff yang mereka dapatkan jika tidak berkoalisi. Pemilihan koalisi ini tergantung pula pada kondisi / syarat-syarat permainan yang dilakukan. 2.
Salah satu syarat pembentukan koalisi dalam tugas akhir ini adalah bahwa koalisi yang dipilih haruslah koalisi yang melibatkan jaringan eksisting dan koalisi yang memberikan payoff paling positif
bagi
jaringan
eksisting.
Hal
ini
dilakukan
untuk
menggambarkan bahwa jaringan eksisting memiliki keistimewaan dalam suatu sistem tenaga listrik. Hal ini dikarenakan jaringan eksisting dapat menolak pemain lain (GENCO / TRANSCO / beban) jika penggabungan pemain-pemain tersebut ke jaringan eksisting dapat menurunkan payoff yang didapatkan oleh jaringan eksisting sedangkan pemain lain (GENCO/ TRANSCO / beban) tidak bisa menolak kehadiran pemain lain dalam koalisi walaupun hal itu akan menurunkan nilai payoffnya. Penentuan besarnya payoff yang didapatkan oleh jaringan eksisting dapat dilihat
dengan cara menerapkan Nilai Shapley Bilateral dengan Algoritma Induksi Terbalik. 3.
Lintasan koalisi pertama akan bertambah panjang ketika ujung koalisi pertama yang terpilih tergabung ke simpul / komponen / pemain lain yang berada di luar koalisi pertama tersebut. Penggabungan ini akan membentuk suatu entitas koalisi baru, misalnya koalisi kedua.
4.
Penggabungan simpul / komponen / pemain ini terus berlangsung hingga didapatkan suatu koalisi besar yang dinamakan Grand Coalition. Grand Coalition ini merupakan koalisi yang terbentuk terakhir.
5.
Fungsi karakteristik yang didapatkan oleh Grand Coalition kemudian akan dibagikan kepada para pemain yang menyusunnya berdasarkan tingginya kontribusi setiap pemain terhadap payoff Grand Coalition. Hal ini dilakukan dengan menerapkan Nilai Shapley Bilateral secara Induksi terbalik dari Grand Coalition menuju ke koalisi pertama dan akhirnya sampai ke pemain yang menyusun koalisi pertama [11].
6.
Besarnya payoff yang diterima oleh masing-masing pemain sampai dengan tahap kelima merupakan payoff dari hasil penggabungan pemain dalam hal biaya investasi. Untuk melengkapi payoff yang didapatkan oleh para pemain, maka ditambahkan analisis keuangan operasional para pemain setelah terbentuk Grand Coalition.
Data Pemain dan Fungsi Karakteristik biaya investasi
Start
Daftar koalisi (n pemain) yang mungkin terbentuk
Daftar koalisi (2 pemain) yang mungkin terbentuk
TIDAK Ada pemain Jaringan Eksisting ?
Ada pemain Jaringan Eksisting ? TIDAK
YA
YA
TIDAK
Payoff jaringan eksisting paling positif ?
Payoff jaringan eksisting paling positif ?
YA
TIDAK YA
Koalisi 2 pemain terbentuk
Koalisi n pemain terbentuk (Grand Coalition)
Penerapan Nilai Shapley Bilateral dengan Algoritma Induksi Terbalik
Analisis Keuangan Operasional
End Gambar 2.1 Diagran Blok Pembentukan Koalisi Pemain
