PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD) DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Ariyanto Hermawan NIM G54110046
ABSTRAK ARIYANTO HERMAWAN. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO. Pendugaan parameter umumnya diterapkan terhadap model regresi. Namun, pendugaan terhadap model dinamik belum banyak dikembangkan. Metode Least Square adalah metode yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter. Akan tetapi, metode ini kurang baik saat digunakan terhadap data yang mengandung pencilan. Metode robust adalah metode yang dapat mengatasi kelemahan itu. Median Absolute Deviation dan M-Estimation merupakan beberapa metode yang cocok digunakan untuk data yang mengandung pencilan maupun ini pencilan jauh. Kedua metode robust cukup baik dalam melakukan pedugaan parameter untuk jenis data tanpa pencilan maupun dengan pencilan. Berdasarkan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dan boxplot, Metode M-Estimation memiliki keakuratan yang lebih baik dalam pendugaan parameter dibanding metode Median Absolute Deviation. Pada karya ilmiah ini, model Gompertz dan SZR (Susceptible, Zombie, Removed) adalah model yang diduga parameternya dengan menggunakan data hipotetik.
Kata kunci: Huber, Least Square, M-Estimation, Median Absolute Deviation, pencilan, pencilan jauh, robust
ABSTRACT ARIYANTO HERMAWAN. Parameter Estimation of Dynamical Model using Robust Median Absolute Deviation (MAD) and Huber M-Estimation Methods. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO. Parameter estimation is commonly applied to regression models. However, the estimation of the dynamic models have not been developed. Least Square Method is the most common method used in parameter estimation. However, this method is not appropriate to be used if data contains some outliers. Robust method is a method that can overcome the weakness of the Least Square method. Median Absolute Deviation and M-Estimation are some suitable methods used when the data contains outliers and far outliers. Both of these robust methods are quite good in parameter estimation for the data with or without outliers. Based on Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) and boxplot, MEstimation method has better accuracy in parameter estimation than the Median Absolute Deviation method. In this manuscript, parameter estimation is applied to Gompertz and SZR (Susceptible, Zombie, Removed) model using hypothetical data. Keywords: far outliers, Huber, Least Square, M-Estimation, Median Absolute Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD) DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation Nama : Ariyanto Hermawan NIM : G54110046
Disetujui oleh
PRAKATA Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation dapat diselesaikan dengan segala kendala dan keterbatasan yang dihadapi. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Orang tua dan adik-adik tercinta atas semua doa, semangat, perhatian, dan kasih sayang yang tak pernah lelah sampai saat ini. 2. Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing I dan pembimbing II, serta Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu, masukan, motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan. 3. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu dan pengalaman berharga yang telah diberikan. 4. Sahabat “Belakhar Baremg” yaitu: Arli, Dinita, Lily, Ayu, dan Widya atas semua keceriaan, canda, tawa, serta pengalaman yang berharga. 5. Teman-teman seperjuangan matematika 48 atas semua momen indah kebersamaan yang takkan pernah terlupakan. 6. Teman-teman matematika 47, 49, dan 50 atas cerita indah dan kebersamaan. 7. Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu-persatu yang telah membantu hingga akhirnya karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2015 Ariyanto Hermawan
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
METODE PENELITIAN
5
Model Analisis
5
Data Pengamatan
6
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN Model Gompertz Model Zombie Attack
6 6 10
SIMPULAN
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
49
DAFTAR TABEL 1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan metode LS, MAD, M-Estimation 2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz untuk setiap jenis data hipotetik 3 Nilai dugaan parameter model SZR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation 4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation untuk setiap jenis data hipotetik
8 9 11 13
DAFTAR GAMBAR 1 Bentuk umum boxplot 2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a), dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c) 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan MEstimation 5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR 8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation 13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
5 7 8
9 10 10 11 12 12 13 14 15 15
DAFTAR LAMPIRAN 1 Pendugaan parameter model Gompertz 2 Pendugaan parameter model Zombie Attack 3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
18 28 48
PENDAHULUAN Latar Belakang Pendugaan parameter umumnya dilakukan terhadap model regresi. Akan tetapi, pembahasan mengenai pendugaan parameter yang diterapkan terhadap suatu model dinamik, baik model tunggal ataupun model sistem, masih sangat jarang. Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah diberikan atau dipilih sembarang. Pada penerapan terhadap model regresi, telah banyak ditemukan metode untuk menduga parameter, baik yang bersifat robust (tahan) terhadap pencilan ataupun tidak. Pada model dinamik, pendugaan dapat dilakukan secara tidak langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter secara tidak langsung menekankan pada pencarian solusi secara analitik dari suatu model. Kemudian, dilakukan pendugaan untuk mencari parameter-parameter pada model tersebut. Pendugaan parameter secara langsung digunakan ketika solusi analitik tidak dapat ditentukan. Pendugaan ini mencari solusi numerik dari suatu model dilanjutkan dengan menduga parameter menggunakan metode yang sesuai. Metode untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan cara meminimumkan kuadrat galat merupakan metode yang umum digunakan. Metode ini disebut metode Least Square (LS). Metode ini diterapkan dengan menggunakan segugus data pengamatan. Namun, metode ini tidak tahan terhadap pencilan (Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, perlu dilakukan pendugaan dengan metode yang robust terhadap pencilan data. Salah satu metode robust, Median Absolute Deviation (MAD) telah diterapkan pada pendugaan model dinamik (Widiasari 2014). Metode MAD meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat. Metode robust lainnya adalah MEstimation. Metode ini memiliki fungsi objektif yang memberikan bobot kecil terhadap data pencilan. Tiga bentuk fungsi objektif pada metode M-Estimation adalah Least Square, Huber dan Tukey Bisquare (Fox 2002). Pada karya ilmiah ini, metode robust yang digunakan akan dibandingkan dengan metode Least Square (LS). Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model Gompertz (Bodnar dan Foryś 2007) dan model infeksi zombi SZR (Susceptible, Zombie, Removed) (Munz et al. 2009). Model Gompertz dapat diterapkan untuk melihat perilaku mortalitas sederhana dalam bidang aktuaria, sedangkan model infeksi zombi merupakan model yang mencoba memodelkan perilaku perubahan manusia menjadi zombi pada film-film fiksi zombi. Pada karya ilmiah ini, model Gompertz dan model infeksi zombi SZR akan diduga parameternya berdasarkan data hipotetik (bangkitan) dan dicari galatnya.
2 Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu: 1. Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation. 2. Membandingkan pengaruh pencilan dan pencilan jauh terhadap metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber MEstimation.
LANDASAN TEORI Model Dinamik Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada waktu t dinyatakan sebagai berikut: 𝑥̇ 1 = 𝑓1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡) 𝑥̇ 2 = 𝑓2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡) ⋮ (𝑥 𝑥̇ 𝑛 = 𝑓𝑛 1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡) atau 𝑑𝐱(𝑡) = 𝑓(𝐱, 𝑡), 𝐱̇ = 𝑑𝑡 dengan 𝑥1 𝑥2 𝐱 = ( ⋮ ). 𝑥𝑛 Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑑𝐱(𝑡) 𝐱̇ = = 𝑓(𝐱, 𝑡, 𝐩), 𝑑𝑡 (Strogatz 2000) Metode Euler Salah satu metode numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode Euler. Metode ini memiliki tingkat kesalahan orde pertama (𝑂(ℎ)). Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial sebagai berikut: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦) dengan 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 pada [𝑎, 𝑏]. Formulasi metode Euler: 𝑡𝑘+1 = 𝑡𝑘 + ℎ dan 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + ℎ 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑦𝑘 ) untuk 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1,
3 dengan 𝑡0 = 𝑎 dan 𝑡𝑁 = 𝑏. 𝑁 menyatakan banyaknya partisi data pada interval 𝑏−𝑎 selang [𝑎, 𝑏] dan ℎ = 𝑁 merupakan ukuran langkah. Solusi pendekatan bagi penyelesaian persamaan diferensial menggunakan himpunan diskret dari titik-titik 𝑚 {(𝑡𝑘 , 𝑦𝑘 )}𝑘=0 . (Mathews dan Fink 2004) Metode Least Square (LS) Misalkan dari suatu persamaan diferensial diperoleh solusi 𝑥̂(𝑡, 𝐩) dan dari data pengamatan diperoleh suatu model 𝑦𝑖 = 𝑔(𝑥(𝑡, 𝐩)) + 𝑒𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, maka 𝐩 dapat diduga dengan cara berikut: 𝑛
min ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )2 , 𝑖=1
dengan 𝑦̂𝑖 = 𝑔(𝑥̂(𝑡, 𝐩)). (Draper dan Smith 1992) Metode Robust Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan yang dapat digunakan adalah: 1. 2. 3. 4.
Metode Weighted Least Square (WLS). Metode Least Absolute Deviation ( LAD). Metode Least Trimmed Square (LTS). Metode Least Median of Square (LMS).
(Yafee 2002) Keempat metode tersebut telah banyak diaplikasikan dalam pendugaan parameter. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD) dan M-Estimation dibahas dalam karya ilmiah ini. Metode Median Absolute Deviation (MAD) Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut: min median |(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 ) − median(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )|. (Ripley 1992) Metode Huber M-Estimation M-Estimation dipandang baik untuk mengestimasi parameter yang disebabkan oleh pencilan vertikal dan memiliki breakdown point 1/𝑛 . MEstimation meminimumkan fungsi objektif: 𝑛 𝑛 𝑒𝑖 𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 min ∑ 𝜌 ( ) = min ∑ 𝜌 ( ), 𝜎̂ 𝜎̂ 𝑖=1
dengan 𝜎̂ adalah standar deviasi error.
𝑖=1
4 Estimasi 𝜎̂ yang sering digunakan adalah median|𝑒𝑖 − median(𝑒𝑖 )| . Φ−1 (0.75) Konstanta Φ−1 (0.75) = 0.6745 membuat 𝜎̂ mendekati estimator tak bias dari 𝜎, dan error berdistribusi normal. Salah satu cara lain yang umum digunakan untuk menentukan nilai standar deviasi, yaitu 𝜎̂ = 1. 𝜎̂ =
Fungsi objektif untuk metode Huber adalah sebagai berikut: 1 2 𝑒 , 2 𝜌𝐻 (𝑒) = { 1 𝑘|𝑒| − 𝑘 2 , 2
|𝑒| ≤ 𝑘 |𝑒| > 𝑘. (Fox 2002)
Pencilan (Outlier) dan Pencilan Jauh (Far Outlier) Pencilan merupakan nilai ekstrem dari suatu pengamatan. Pencilan juga dapat dikatakan sebagai suatu titik data yang jauh dari sebaran data utama. Suatu titik data dikatakan sebagai pencilan apabila nilai pengamatannya lebih besar dari 𝑄3 + 1.5(𝑄3 − 𝑄1 ) atau lebih kecil dari 𝑄1 − 1.5(𝑄3 − 𝑄1 ). Suatu titik data dikatakan sebagai pencilan jauh apabila nilai pengamatannya lebih besar dari 𝑄3 + 3(𝑄3 − 𝑄1 ) atau lebih kecil dari 𝑄1 − 3(𝑄3 − 𝑄1 ). (Hoaglin et al. 1983) Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan sebagai berikut: 𝑛
|𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 | 100 𝑆𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ , 𝑛 𝑦𝑖 + 𝑦̂𝑖 𝑖=1
dengan n : banyaknya pengamatan, 𝑦𝑖 : data aktual / yang sebenarnya ke-i, 𝑦̂𝑖 : penduga data ke-i, SMAPE memiliki batas bawah 0 % dan batas atas 100 %. Untuk melihat sebaran error dari data hasil dugaan, nilai-nilainya akan ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot), seperti pada Gambar 1.
5
Gambar 1 Bentuk umum boxplot (Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN Model Analisis Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model Gompertz dan Model Zombie Attack. 1
2
Model Gompertz Model Gompertz digunakan dalam bidang aktuaria untuk menjelaskan perilaku mortalitas yang lebih sederhana. Model ini menjelaskan bahwa laju yang lambat terjadi di awal dan akhir periode waktu. Model Gompertz juga dapat diterapkan dalam bidang kesehatan guna merepresentasikan laju atau perilaku pertumbuhan sel penyakit tumor. Model Gompertz dirumuskan sebagai berikut: 𝐺(𝑡) 𝑑𝐺(𝑡) = −𝑟𝐺(𝑡)ln ( ), 𝑑𝑡 𝐾 dengan 𝑟 menyatakan laju pertumbuhan sel tumor dan K menyatakan daya dukung lingkungan. (Bodnar dan Foryś 2007) Model Zombie Attack Model Zombie Attack atau model SZR merupakan suatu model implementasi dari perilaku zombi dalam film-film fiksi. Resident Evil, Night of the Living dead, dan Dead Rising merupakan film-film yang dijadikan referensi dalam pembuatan model SZR. Pada model ini, kelompok individu dibagi mejadi tiga, yaitu kelompok manusia yang rentan (Susceptible), kelompok zombi (Zombie), dan kelompok manusia atau zombi yang telah meninggal (Removed). Model SZR ini merupakan pengembangan dari model penyakit SIR dikombinasikan dengan faktor-faktor interaksi antarkelompok. Model SZR dirumuskan sebagai berikut: 𝑆 ′ = Π − 𝛽𝑆𝑍 − 𝛿𝑆 𝑍 ′ = 𝛽𝑆𝑍 + 𝜁𝑅 − 𝛼𝑆𝑍 𝑅 ′ = 𝛿𝑆 + 𝛼𝑆𝑍 − 𝜁𝑅, dengan 𝑆 ′ , 𝑍 ′ , dan 𝑅′ menyatakan proporsi individu di setiap kelompok. (Munz et al. 2009)
6 Data Pengamatan Data yang menjadi acuan pada penulisan karya ilmiah ini berlandaskan pada data hipotetik yang dibangkitkan menggunakan software Mathematica 10. Data hipotetik diperoleh dari solusi numerik pada model dinamik dengan memberikan nilai parameter sembarang. Data hipotetik tersebut diberi galat berupa bilangan acak dan beberapa data dibuat menjadi data pencilan. Metode Analisis Pada pendugaan parameter pada model dinamik, digunakan beberapa metode, yaitu: metode Least Square (LS), metode robust Median Absolut Deviation (MAD), dan metode robust M-Estimation. Ketiga model tersebut akan dilihat kesesuaian dan akurasinya menggunakan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) yang direpresentasikan melalui boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN Model Gompertz Penyelesaian Persamaan Diferensial 𝐺(𝑡) ) 𝐺 ′ (𝑡) = −𝑟 𝐺(𝑡) ln ( 𝐾 𝐺(𝑡) 𝑑𝐺(𝑡) ) = −𝑟 𝐺(𝑡) ln ( 𝐾 𝑑𝑡 𝑑𝐺(𝑡) ∫ = −𝑟 ∫ 𝑑𝑡 𝐺(𝑡) 𝐺(𝑡) ln ( 𝐾 ) 𝐺(𝑡)
misal: 𝑢 = ln (
𝐾
1
) , 𝑑𝑢 = 𝐺(𝑡) 𝑑𝐺(𝑡) 1 ∫ 𝑑𝑢 = −𝑟𝑡 + 𝑐 𝑢 ln(𝑢) = −𝑟𝑡 + 𝑐 𝐺(𝑡)
Substitusi 𝑢 = ln (
𝐾
) ke dalam persamaan,
𝐺(𝑡) ln (ln ( )) = −𝑟𝑡 + 𝑐 𝐾 𝐺(𝑡) −𝑟𝑡 = 𝑒 𝐶𝑒 𝐾 𝐺(𝑡) = 𝐾𝑒 𝐶𝑒
−𝑟𝑡
.
7 Substitusi nilai awal 𝐺(0) = 𝐺0 , 0
𝐺(0) = 𝐾𝑒 𝐶𝑒 𝐺0 = 𝐾𝑒 𝐶 𝐺0 𝑒𝐶 = 𝐾 𝐺 𝐶 = ln ( 0 ). 𝐾 Dengan demikian, solusi khusus model Gompertz menjadi: 𝐺0
𝐺(𝑡) = 𝐾𝑒 ln( 𝐾 )𝑒 𝐺(𝑡) = 𝐾 (𝑒
−𝑟𝑡
𝑒 −𝑟𝑡 𝐺 ln( 0 ) 𝐾
𝑒 −𝑟𝑡
𝐺(𝑡) = 𝐾 (𝐺0 ) 𝐾
) .
Pendugaan Parameter 𝐺(𝑡) Persamaan model Gompertz yaitu 𝐺 ′ (𝑡) = −𝑟𝐺(𝑡) ln ( 𝐾 ) , dengan parameter awal 𝑟0 = 0.0063, 𝐾0 = 1262.6, dan 𝐺(0) = 4.1407(Howard 2013). Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan tiga jenis data hipotetik, yaitu: data hipotetik tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan, dan data hipotetik dengan pencilan jauh. Grafik ketiga data hipotetik ditampilkan pada Gambar 2. (a)
(b)
(c)
Gambar 2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a), dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c) Pendugaan parameter dari model Gompertz dilakukan dengan menggunakan tiga metode, yaitu: metode Least Square (LS), Median Absolute
8 Deviation (MAD), dan M-Estimation. Nilai dugaan parameter yang didapat dari masing-masing metode ditampilkan pada Tabel 1. Tabel 1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan metode LS, MAD, M-Estimation Data Hipotetik Tanpa Pencilan Pencilan Pencilan Jauh
Parameter r K r K r K
Parameter Awal 0.0063 1262.6000 0.0063 1262.6000 0.0063 1262.6000
LS 0.0062 1380.0900 0.0092 357.2950 0.0110 263.3580
Metode MAD 0.0062 1260.0000 0.0061 1266.6900 0.0061 1266.6900
M-Estimation 0.0063 1260.0000 0.0062 1367.2000 0.0062 1367.1400
Setelah dilakukan pendugaan parameter, masing-masing nilai parameter diplot terhadap model Gompertz. Gambar 3 menjelaskan plot hasil pendugaan parameter untuk semua metode dengan data tanpa pencilan. Plot yang dihasilkan untuk masing-masing nilai parameter dugaan saling berimpit mengikuti pola tebaran data, dengan nilai parameter dugaan yang diberikan.
LS MAD M-Estimation
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation Untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh, plot model Gompertz dengan menggunakan metode Least Square cenderung bergeser menjauh dari pola tebaran data hipotetik mendekati pencilan. Plot pendugaan semakin menjauh saat menggunakan data dengan pencilan jauh seperti dijelaskan pada Gambar 4. Plot Metode MAD dan M-Estimation cenderung hanya mengalami sedikit pergeseran, baik untuk data dengan pencilan maupun pencilan jauh. Dalam hal ini, kedua metode robust tersebut menghasilkan plot pendugaan yang cukup baik untuk setiap jenis data.
9 (a)
(b)
LS MAD M-Estimation
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan MEstimation Nilai SMAPE digunakan untuk mengukur tingkat kesalahan pendugaan parameter pada model Gompertz. Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan MEstimation untuk data hipotetik tanpa pencilan, pencilan, dan pencilan jauh dijelaskan pada Tabel 2. Tabel 2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz untuk setiap jenis data hipotetik Data Hipotetik Tanpa Pencilan
Pencilan
Pencilan Jauh
Metode LS MAD M-Estimation LS MAD M-Estimation LS MAD M-Estimation
SMAPE 3.55240 3.56407 3.56397 7.57241 6.52996 6.15576 11.75760 7.32851 6.96820
Nilai SMAPE cenderung memberikan hasil yang seragam untuk data hipotetik tanpa pencilan. Namun, nilai SMAPE untuk metode LS lebih besar dibanding metode lainnya untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh. Metode M-Estimation memberikan hasil SMAPE yang paling kecil dibanding metode lainnya. Metode M-Estimation dinilai cukup baik dan akurat dalam menduga nilai parameter untuk setiap jenis data. Sebaran nilai-nilai SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error) ditampilkan dalam diagram boxplot. Pada diagram bloxpot, keragaman data SAPE dapat dilihat dari selisih antar kuartil (𝑄3 − 𝑄1). Pada Gambar 5, terlihat diagram boxplot yang seragam hampir sama untuk masing-masing metode untuk data tanpa pencilan. Gambar 6 menjelaskan diagram boxplot masing-masing metode untuk data dengan pencilan dan pencilan jauh. Boxplot pada metode LS cenderung memiliki keragaman lebih besar dibanding metode MAD dan M-Estimation, baik terhadap data pencilan maupun data pencilan jauh.
10
Gambar 5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation (a)
(b)
Gambar 6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation Model Zombie Attack Pendugaan Parameter Pendugaan parameter model dinamik juga dilakukan terhadap model sistem. Model yang digunakan adalah model SZR yang telah dijelaskan pada model analisis. Parameter awal yang diberikan untuk model SZR, yaitu: 𝛼 = 0.005, 𝛽 = 0.004, 𝛾 = 0.0001, dan 𝛿 = 0.0001. Jenis data yang digunakan adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan, data dengan pencilan, dan data dengan pencilan jauh. Plot tebaran data hipotetik model SZR ditampilkan pada Gambar 7.
11
Gambar 7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR Pendugaan nilai dugaan parameter model SZR dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Dari ketiga metode tersebut, diperoleh hasil nilai dugaan untuk masing-masing parameter model seperti pada Tabel 3. Tabel 3 Nilai dugaan parameter model MAD, dan M-Estimation Nilai Data Parameter Parameter Hipotetik Awal 0.00500 𝛼 0.00400 Tanpa 𝛽 Pencilan 0.00010 𝛾 0.00010 𝛿 0.00500 𝛼 0.00400 𝛽 Pencilan 0.00010 𝛾 0.00010 𝛿 0.00500 𝛼 0.00400 Pencilan 𝛽 Jauh 0.00010 𝛾 0.00010 𝛿
SZR dengan menggunakan metode LS, Metode LS 0.00499 0.00400 0.00006 0.00034 0.01035 0.00938 -0.00069 -0.04757 0.00489 0.00396 -0.00130 -0.00174
MAD M-Estimation 0.00501 0.00499 0.00400 0.00400 0.00010 0.00006 0.00012 0.00034 0.00499 0.00498 0.00400 0.00400 0.00010 0.00005 0.00010 0.00036 0.00492 0.00498 0.00395 0.00400 0.00010 0.00005 0.00015 0.00035
Pendugaan nilai parameter 𝛼, 𝛽, 𝛾, dan 𝛿 dilakukan untuk model SZR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Gambar 8 menjelaskan plot model SZR dengan data tanpa pencilan. Terlihat plot dengan ketiga metode menghasilkan garis yang saling berimpit. Pada Gambar 9, plot model SZR dengan data pencilan terlihat bergeser untuk metode LS. Metode
12 MAD dan M-Estimation menghasilkan plot berimpit yang mengikuti pola tebaran data. Untuk data hipotetik dengan pencilan jauh, metode LS mengalami pergeseran grafik yang semakin jauh. Plot dugaan yang dihasilkan oleh metode MAD dan M-Estimation cenderung berimpit dan mengikuti pola tebaran data, seperti dijelaskan pada Gambar 10. Kedua metode robust ini dinilai baik dalam melakukan pendugaan parameter karena mampu mengatasi pengaruh pencilan.
LS MAD M-Estimation
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
LS MAD M-Estimation
Gambar 9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
13
LS MAD M-Estimation
Gambar 10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation Setelah mendapat nilai dugaan parameter dengan masing-masing metode, perlu adanya ukuran kesalahan untuk melihat dugaan parameter yang paling mendekati nilai aktualnya. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE untuk model SZR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Tabel 4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation untuk setiap jenis data hipotetik Data Hipotetik Tanpa Pencilan
Pencilan
Pencilan Jauh
Metode LS MAD M-Estimation LS MAD M-Estimation LS MAD M-Estimation
SMAPE 2.17278 2.18458 2.17278 8.61278 4.69399 4.68015 9.33323 5.16449 5.10940
Pada model SZR, nilai SMAPE pada Tabel 4 dihasilkan dari rata-rata SMAPE untuk masing-masing variabel state S, Z, dan R. Nilai SMAPE pada metode LS cukup besar untuk jenis data hipotetik dengan pencilan, dan akan semakin membesar untuk data dengan pencilan jauh. Untuk metode robust, Metode M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang lebih kecil dibanding metode lainnya untuk setiap jenis data. Dengan demikian, metode M-Estimation lebih tahan terhadap pencilan dalam menduga parameter. Diagram boxplot pada Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13 menperlihatkan tingkat keragaman data SAPE yang dihasilkan masing-masing
14 metode. Pada Gambar 11, terlihat keragaman data SAPE untuk masing-masing metode memiliki pola yang seragam. Hal ini menandakan bahwa pendugaan parameter untuk data tanpa pencilan memberikan hasil yang relatif sama dan baik. Untuk data dengan pencilan, Gambar 12 memperlihatkan keragaman data SAPE yang lebih besar untuk metode LS. Sementara itu, metode MAD dan MEstimation menghasilkan keragaman data SAPE yang lebih kecil. Gambar 13 menjelaskan keragaman data SAPE untuk data dengan pencilan jauh. Metode LS memiliki keragaman data SAPE yang lebih besar dibanding kedua metode robust lainnya. (b)
(a)
(c)
Gambar 11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
15
(b)
(a)
(c)
Gambar 12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan MEstimation (b)
(a)
(c)
Gambar 13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
16
SIMPULAN Pendugaan parameter yang diterapkan pada model Gompertz dan model SZR dapat dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Data yang digunakan adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan, data dengan pencilan, dan data dengan pencilan jauh. Metode LS tidak tahan terhadap data dengan pencilan dan pencilan jauh. Pendugaan parameter menggunakan metode MAD dan M-Estimation menghasilkan hasil pendugaan dan tingkat kesalahan yang relatif baik. Berdasarkan ukuran kesalahan SMAPE, metode M-Estimation menghasilkan error yang lebih kecil daripada metode MAD. Pada kasus pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini, metode MEstimation merupakan metode yang paling baik dan robust terhadap pencilan.
DAFTAR PUSTAKA Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth. J. Biol. Syst. 15, 453 (2007).doi: 10.1142/S0218339007002313 Draper NR, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis. 2nd ed. Fox J. 2002. Bootstrapping robust regression models: Appendix to an R and SPLUS. Companion to applied regression. [internet]. [diunduh 2014 Sept 19]. Sage (US). Tersedia pada: http:// cran.r-project.org/doc/contrib/FoxCompanion/appendix-robust-regression.pdf. Hoaglin DC, Mosteller F, Tukey JW. 1983. Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. New York (US): John Wiley & Sons. Howard P. 2013. Mathematical modeling: M442 assignment 3. [internet]. [diunduh 2015 Jan 30]. Texas (US). Tersedia pada: http://www.math.tamu.edu/ ~phoward/m442/ia3sol.pdf. Mathews JH, Fink KD. 2004. Numerical Methods Using MATLAB. 4th ed. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall, Pearson Education Inc. Munz P, Hudea I, Imad J, Smith RJ. 2009. When zombie attack!: mathematical modelling of an outbreak of zombie infection. CiteSeerx [internet]. [diunduh 2014 Sept 29]; pp. 133-150: Canada (US). Tersedia pada: http://www.math. tamu.edu/~jmlinhart/zombies2012.pdf. Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied Statistics MT2004 [internet]. [diunduh 2014 Sept 9]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/ StatMeth/Robust.pdf. Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus Books Publishing, LLC. Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [internet]. [diunduh 2014 Feb 10]. Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-andWhiskerPlot.html.
17 Widiasari LY. 2014. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [internet]. [diunduh 2014 Sept 20]. Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/ Robust%20reg2.pdf.
18 Lampiran 1 Pendugaan parameter model Gompertz
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28 Lampiran 2 Pendugaan parameter model Zombie Attack
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48 Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation Data Hipotetik
Metode LS
Tanpa Pencilan
MAD
M-Estimation
LS
Dengan Pencilan
MAD
M-Estimation
LS Dengan Pencilan Jauh
MAD
M-Estimation
State Variabel 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅 𝑆 𝑍 𝑅
SMAPE 5.30490 0.65083 0.56261 5.32441 0.66184 0.56750 5.30490 0.65083 0.56261 18.64550 4.83879 2.35406 10.07040 1.78777 2.22381 10.03890 1.78265 2.21891 15.10110 8.68508 4.21351 9.60403 2.73253 3.15690 9.50786 2.70044 3.11990
49
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Banyumas pada tanggal 29 Januari 1994 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Rahmat Hermanto dan Kasiyem. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 6 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Selama masa perkuliahan, penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) dalam divisi Keilmuan selama dua tahun berturut – turut, yaitu tahun 2012 dan 2013. Penulis tergabung dalam komunitas seni perkusi matematika (Gumakusi) serta meraih juara pertama pada ajang SPIRIT (Sport Competition and Art Festifal on Mipa Faculty) pada tahun 2013 dan 2014. Selain itu, penulis mengikuti berbagai kepanitiaan, antara lain staf divisi tim khusus (2013) dan divisi acara (2014) pada acara IPB Mathematic Challenge (IMC), staf divisi DDD (2013) dan ketua divisi tim khusus (2014) pada acara Matematika Ria 2014 dalam rangkaian acara Pesta Sains Nasional (PSN) IPB. Penulis juga aktif sebagai asisten praktikum mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (2013), Pengantar Metode Komputasi (2013), Pengantar Teori Peluang (2014), dan Kalkulus II (2014). Penulis pernah menjadi pengajar pada bimbingan belajar Katalis.
