PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT OTOMATIS UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN METODE PARKER-SOCHACKI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT OTOMATIS UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN METODE PARKER-SOCHACKI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

oleh NIKEN SAWITRI NIM: 073214001

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2011


NUMERICAL APPROACH FOR AUTOMATIC CONTROL OF THE LONGITUDINAL MOTION OF FLIGHT SYSTEM USING PARKER-SOCHACKI METHODS

SCRIPTION Presented as Partial Fulfillment for the Requirement to Obtain the Sarjana Science in Physics Department

by NIKEN SAWITRI NIM : 073214001

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE DAN TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2011

ii




tiada burung yang terbang terlalu tinggi saat dia terbang dengan sayapnya sendiri

usaha yang tanpa menyerah jauh lebih berharga dibanding hasil yang gemilang

Saya persembahkan karya ini kepada Orang tua dan Kakak tercinta Universitas Sanata Dharma v




ABSTRAK PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT OTOMATIS UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN METODE PARKER-SOCHACKI Telah dilakukan pendekatan numerik menggunakan metode Parker-Sochacki untuk melakukan simulasi kontrol gerak longitudinal dan respon sistem pesawat Boeing 747 yang didesain dengan metode ruang keadaan. Sistem tersebut mendapatkan gangguan angin yang konstan sehingga keadaan sistem berubah-ubah. Hasil yang diperoleh dari pendekatan numerik ini lebih akurat dibandingkan terhadap pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta untuk interval waktu yang sama. Untuk tingkat akurasi yang sama, metode Parker-Sochacki membutuhkan waktu yang lebih singkat untuk menyelesaikan simulasi kontrol dan respon pesawat tersebut.

viii


ABSTRACT NUMERICAL APPROACH FOR AUTOMATIC CONTROL OF THE LONGITUDINAL MOTION OF FLIGHT SYSTEM USING PARKERSOCHACKI METHODS Numerical approach using Parker-Sochacki method was done for simulating control of longitudinal motion and respond of the Boeing 747 aircraft system that designed using the state space method. The system undergoes constantly gust disturbances such that the state of the system changes continuously. The result of Parker-Sochacki numerical approach is more accurate than the numerical approach using Runge-Kutta method for the same time interval. For the same level of accuracy, the Parker-Sochacki method need less time than the Runge-Kutta method for simulating the control and respond of the aircraft.

ix




DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ...................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................

iv

HALAMAN MOTTO ..................................................................................

v

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................

v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................

vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .......................................

vii

ABSTRAK ..................................................................................................

viii

ABSTRACT ................................................................................................

ix

KATA PENGANTAR .................................................................................

x

DAFTAR ISI ...............................................................................................

xii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................

xv

BAB I

PENDAHULUAN .................................................................

xii

1


BAB II

1.1.

Latar Belakang Masalah .............................................

1

1.2.

Rumusan Masalah ......................................................

3

1.3.

Batasan Masalah ........................................................

3

1.4.

Tujuan Penelitian .......................................................

4

1.5.

Manfaat Penelitian .....................................................

4

1.6.

Sistematika Penulisan ................................................

5

DASAR TEORI ....................................................................

6

2.1.

Sistem Kontrol ...........................................................

6

2.2.

Pendekatan Numerik dengan Metode ParkerSochacki ....................................................................

2.3.

Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat ................................................................

10

Persamaan Gerak Longitudinal Pesawat .....................

12

METODE PENELITIAN ......................................................

17

3.1.

Desain Sistem Kontrol Pilot Otomatis ........................

17

3.2.

Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis

2.4. BAB III

9

Sebagai Pembanding ..................................................

20

3.3.

Penerapan Metode Parker-Sochacki ...........................

21

3.4.

Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat Sebagai Pembanding .................................................. xiii

24


3.5. BAB IV

Algoritma ..................................................................

26

HASIL DAN PEMBAHASAN ..............................................

29

4.1.

Komputasi Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis untuk Penerbangan ......................................

4.2.

Pendekatan Numerik Sistem dengan Gangguan dan Tanpa Kontrol ............................................................

4.3.

34

Pendekatan Numerik Sistem Terkontrol dengan Gangguan Bervariasi dengan Metode Parker-Sochacki

4.4.

30

36

Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta Sebagai Pembanding ..................................................

44

KESIMPULAN .....................................................................

51

5.1.

Kesimpulan ................................................................

51

5.2.

Saran .........................................................................

52

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

53

Lampiran .....................................................................................................

54

BAB V

xiv


DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1

: Grafik pendekatan Runge-Kutta ........................................

12

Gambar 2.2

: Gambar arah gerak pesawat ...................................................

15

Gambar 3.1

: Algoritma penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan .............................................

Gambar 3.2

26

: Algoritma pendekatan numerik penyelesaian sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode Parker-Sochacki ................................................................

Gambar 3.3

27

: Algoritma pendekatan numerik penyelesaian sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode Runge-Kutta .....................................................................

Gambar 4.1

: Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dengan

penyelesaian analitik .........................................................

Gambar 4.2

31

: Perbandingan penyelesaian analitik, pendekatan numerik Parker-Sochacki, dan pendekatan numerik Runge-Kuta ....

Gambar 4.3

28

: Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) tanpa

kontrol berdasarkan persamaan 4.2 dan 4.3 ........................

xv

32

35


Gambar 4.4

Gambar 4.5

: Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator

(∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) tanpa gangguan angin, dengan kontrol .....................

37

: Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan R

Gambar 4.6

𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s ................................................................

38


Gambar 4.7

𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s ................................................................

39


Gambar 4.8

𝑞𝑞𝑔𝑔 =1 × 10−4 derajat/s ....................................................

41


Gambar 4.9

𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−3 derajat/s....................................................

42


𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−2 derajat/s ...................................................

43

Gambar 4.10 : Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) untuk ℎ = 0,1 s

45

ℎ = 0,01 s .........................................................................

46

Gambar 4.11 : Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) untuk

Gambar 4.12 : Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) untuk xvi


ℎ = 0,001 s .......................................................................

47

Gambar 4.13 : Perbandingan simulasi menggunakan pendekatan numerik Runge-Kutta untuk interval waktu 0,1 detik, 0,01 detik, dan 0,001 detik dengan pendekatan numerik

Parker-Sochacki untuk interval waktu 0,1 detik ................

xvii

49


BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada saat pesawat terbang dibuat dan diterbangkan pertama kali, pesawat tersebut hanya mampu bekerja dalam waktu yang relatif singkat. Seiring dengan perkembangan teknologi, kemampuan kerja pesawat terbang mulai ditingkatkan melalui

berbagai

penelitian.

Kemampuan

kerja

yang

meningkat

tersebut

memungkinkan pesawat untuk terbang lebih jauh dan lebih lama. Penerbangan yang lebih lama membutuhkan konsentrasi tinggi dan terus menerus dari pilot yang menerbangkannya. Hal tersebut dapat menimbulkan kelelahan yang mengakibatkan menurunnya konsentrasi pilot sehingga dapat terjadi kecelakaan pesawat terbang. Untuk mengatasi hal tersebut, mulai dikembangkan sistem untuk mengendalikan laju pesawat terbang tanpa pengawasan manusia. Sistem ini sering disebut sistem pilot otomatis. Sistem pilot otomatis berfungsi mengatur gerak kontrol pesawat untuk menggerakkan pesawat sesuai dengan yang diharapkan. Ada beberapa jenis gerak pesawat, salah satunya adalah gerak longitudinal, yaitu gerak pesawat naik dan turun yang disebabkan perubahan sudut antara pesawat dengan garis horisontal. Gerak pesawat ini diatur menggunakan bagian pesawat yang disebut elevator [Nelson, 1998]. Oleh karena itu, untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat, perlu didesain kontrol otomatis untuk mengatur gerak elevator.

1


2

Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk mendesain kontrol sistem pilot otomatis. Salah satunya adalah dengan metode state space (ruang keadaan). Metode ini pada dasarnya digunakan untuk mendeskripsikan karakteristik suatu sistem dalam bentuk persamaan diferensial [Groesen dan Molenaar, 2007]. Dengan mengetahui karakteristik suatu sistem, dapat dicari kontrol yang tepat untuk mengendalikan sistem agar stabil. Persamaan-persamaan diferensial yang merupakan karakter sistem yang telah dikontrol tersebut dapat disimulasikan menggunakan pendekatan numerik. Simulasi ini berguna untuk memprediksi respon sistem terhadap kontrol yang diberikan sebelum kontrol yang sebenarnya dibuat. Hal ini membantu menekan biaya eksperimen dengan mencegah kesalahan yang mungkin dibuat dalam mendesain kontrol sistem tersebut. Salah satu pendekatan numerik yang dapat dilakukan adalah dengan metode iterasi Picard. Kelebihan dari metode iterasi ini adalah akurasi nilai keluaran yang lebih tinggi untuk pendekatan dengan orde yang lebih tinggi. Namun, karena menggunakan integrasi untuk menyatakan pendekatan pada setiap orde, untuk orde yang semakin tinggi, iterasi Picard semakin sulit dilakukan [Steward dan Bair, 2009]. Untuk menanggulangi kelemahan dari metode iterasi Picard, G. Edgar Parker dan James S. Sochacki melakukan modifikasi untuk menyatakan iterasi Picard dalam bentuk yang lebih sederhana. Modifikasi ini kemudian disebut metode ParkerSochacki [Steward dan Bair, 2009]. Berkat metode Parker-Sochacki, pendekatan


3

numerik suatu persamaan diferensial lebih mudah dilakukan dengan hasil yang lebih akurat dibandingkan dengan solusi menggunakan metode numerik lainnya. Pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki ideal digunakan untuk melakukan simulasi kontrol dan respon sistem pilot otomatis untuk penerbangan yang dirumuskan dengan metode ruang keadaan. Selain itu, metode pendekatan numerik ini mampu memprediksi keadaan sistem dengan lebih akurat sehingga kontrol sistem dapat disesuaikan dengan keadaan sistem secara lebih cepat dan akurat. Dengan demikian, diharapkan dapat dirumuskan desain kontrol sistem pilot otomatis untuk penerbangan yang lebih baik dengan bantuan metode ini. 1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah disampaikan, yang menjadi permasalahan adalah perumusan desain kontrol sistem pilot otomatis gerak longitudinal pesawat menggunakan kombinasi antara metode ruang keadaan dan metode pendekatan numerik Parker-Sochacki. 1.3. Batasan Masalah Permasalahan yang diteliti pada penelitian ini dibatasi pada masalah yang menyangkut: 1.

Penggunaan metode ruang keadaan untuk merumuskan karakter sistem dan kontrol optimal pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat yang dilakukan terhadap pesawat Boeing 747.


2.

4

Penggunaan penyelesaian analitik untuk merumuskan respon pesawat yang tidak terkena gangguan terhadap kontrol dan dibandingkan dengan penyelesaian menggunakan pendekatan numerik dengan metode ParkerSochacki dan metode Runge-Kutta untuk kasus yang sama.

3.

Penggunaan kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki untuk merumuskan desain kontrol dan respon sistem pilot otomatis pesawat yang mendapatkan gangguan.

4.

Penggunaan kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta untuk merumuskan desain kontrol untuk pesawat yang dikenai gangguan dan dibandingkan dengan pendekatan numerik menggunakan metode Parker-Sochacki untuk kasus yang sama.

1.4. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk merumuskan desain kontrol sistem pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat menggunakan kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik dengan metode ParkerSochacki. 1.5. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: 1.

Mendapatkan desain optimal kontrol sistem pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat yang terkena gangguan angin.


2.

5

Menambah pustaka di bidang fisika komputasi mengenai pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki untuk melakukan desain kontrol sistem pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat.

1.6. Sistematika Penulisan BAB I

Pendahuluan Pada bab I akan diuraikan latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II

Dasar Teori Bab II berisi penguraian tentang sistem kontrol dengan metode ruang keadaan, pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki, pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta orde 4, dan persamaan gerak longitudinal pesawat terbang.

BAB III

Metode Penelitian Bab III menguraikan langkah-langkah yang dilakukan saat penelitian.

BAB IV

Hasil dan Pembahasan Pada bab IV akan diuraikan hasil penelitian dan pembahasan penelitian.

BAB V

Penutup Bab V berisi kesimpulan dari penelitian yang dilakukan dan saran.


BAB II DASAR TEORI 2.1. Sistem Kontrol Sistem merupakan kumpulan berbagai elemen yang saling berinteraksi sedemikian rupa sehingga perubahan keadaan sebuah elemen akan mempengaruhi keadaan elemen yang lain. Interaksi antar elemen tersebut dapat dikendalikan sedemikian rupa sehingga dihasilkan keadaan elemen yang sesuai dengan keluaran yang diharapkan. Sistem yang telah dikendalikan disebut sistem terkontrol [Meyers, 1992]. Perumusan proses kontrol sebuah sistem dimulai dengan menganalisis karakter sistem tersebut. Untuk mempermudah proses analisis, suatu sistem dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan-persamaan diferensial. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyatakan persamaan karakter sistem adalah metode ruang keadaan (state space). Metode ruang keadaan pada dasarnya merupakan perumusan persamaan-persamaan diferensial orde satu yang mendeskripsikan karakteristik sistem yang dianalisis [Nelson, 1998]. Metode ruang keadaan dinyatakan dalam bentuk persamaan [Ogata, 1985] 𝑥𝑥⃗̇ = 𝑨𝑨𝑥𝑥⃗ + 𝑩𝑩𝜇𝜇⃗

(2.1)

𝑦𝑦⃗ = 𝑪𝑪𝑥𝑥⃗

(2.2) 6


7

Dengan 𝑨𝑨 adalah matriks keadaan sistem, 𝑩𝑩 adalah matriks masukan, 𝑪𝑪 adalah matriks keluaran, 𝑥𝑥⃗ adalah variabel keadaan, 𝜇𝜇⃗ adalah masukan yang diberikan, dan 𝑦𝑦⃗ adalah keluaran yang dihasilkan.

Dengan memperhitungkan pengaruh gangguan pada sistem, persamaan ruang keadaan suatu sistem juga dapat dituliskan sebagai berikut [Nelson, 1998] 𝑥𝑥⃗̇ = 𝑨𝑨𝑥𝑥⃗ + 𝑩𝑩𝜇𝜇⃗ + 𝑫𝑫𝜀𝜀⃗

(2.3)

𝑦𝑦⃗ = 𝑪𝑪𝑥𝑥⃗

Dengan 𝑫𝑫 adalah matriks gangguan sistem dan 𝜀𝜀⃗ adalah variabel gangguan. Pengendalian

pada

sistem

dalam

bentuk

ruang

(2.4)

keadaan

dengan

menggunakan karakter sistem melalui hukum kontrol dinyatakan dalam persamaan [Nelson, 1998] 𝜇𝜇⃗ = −𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝑥𝑥⃗ + 𝜇𝜇′

(2.5)

dengan 𝑘𝑘 𝑇𝑇 adalah transpose feedback dan 𝜇𝜇′ adalah masukan yang diberikan tanpa adanya feedback (masukan awal).

Persamaan (2.1) yang dikombinasikan dengan persamaan (2.5) akan mengubah persamaan ruang keadaan sistem terkontrol menjadi [Nelson, 1998] 𝑥𝑥⃗̇ = (𝑨𝑨 − 𝑩𝑩𝑘𝑘 𝑇𝑇 )𝑥𝑥⃗ + 𝑩𝑩𝜇𝜇′

(2.6)

Desain kontrol suatu sistem dapat dilakukan dengan cara menyamakan persamaan karakteristik sistem tersebut dengan persamaan karakteristik yang


8

diharapkan. Persamaan karakteristik sistem diperoleh melalui persamaan [Nelson, 1998] |𝜆𝜆𝜆𝜆 − (𝑨𝑨 − 𝑩𝑩𝑘𝑘 𝑇𝑇 )| = 0

(2.7)

Sedangkan, karakteristik sistem yang diharapkan ditunjukkan melalui persamaan [Nelson, 1998] �𝜆𝜆2 + 2𝜉𝜉𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜆𝜆 + 𝜔𝜔𝑛𝑛2𝑠𝑠𝑠𝑠 � �𝜆𝜆2 + 2𝜉𝜉𝑝𝑝 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝜆𝜆 + 𝜔𝜔𝑛𝑛2𝑝𝑝 � = 0

(2.8)

Dengan 𝜉𝜉𝑠𝑠𝑠𝑠 adalah damping ratio untuk pergerakan dalam waktu singkat (short

phugoid motion), 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠 adalah frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam waktu singkat, 𝜉𝜉𝑝𝑝 adalah damping ratio untuk pergerakan dalam waktu yang lama

(long phugoid motion) 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑝𝑝 adalah frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam waktu yang lama. Kontrol optimal diperoleh dengan memasukkan persamaan karakteristik sistem yang diharapkan ke dalam persamaan karakteristik sistem yang dimiliki sehingga dapat diperoleh nilai k yang optimal untuk setiap keadaan. Persamaan (2.1) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik dengan persamaan sebagai berikut 𝚽𝚽(𝑡𝑡) = ℒ −1 [(𝑠𝑠𝐈𝐈 − 𝑨𝑨)−1 ] 𝑥𝑥⃗ (𝑡𝑡) = 𝚽𝚽(𝑡𝑡)𝑥𝑥⃗(0)

(2.9)

(2.10)


9

Dengan 𝚽𝚽(𝑡𝑡) adalah transisi matriks keadaan dan 𝑥𝑥⃗(0) adalah keadaan awal (pada saat t = 0). Persamaan (2.9) dan (2.10) adalah penyelesaian persamaan keadaan

dengan matriks transisi dengan metode transformasi Laplace [Nelson, 1998]. 2.2. Pendekatan Numerik dengan Metode Parker-Sochacki

Metode ruang keadaan digunakan untuk menyatakan kontrol sistem dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial ini dapat dijabarkan melalui pendekatan secara numerik menggunakan metode Picard. Metode ini pada dasarnya digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial sederhana berbentuk

�

𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)

(2.11)

𝑦𝑦(𝑡𝑡0 ) = 𝑦𝑦0

dari hubungan berulang yang memenuhi [Parker dan Sochacki, 1996] 𝑡𝑡

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦0 + ∫𝑡𝑡 𝑓𝑓�𝑠𝑠, 𝑦𝑦(𝑠𝑠)�𝑑𝑑𝑑𝑑 0

(2.12)

dengan asumsi 𝑓𝑓 dan 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⁄𝜕𝜕𝜕𝜕 kontinyu di daerah sekitar ( 𝑡𝑡0 , 𝑦𝑦0 ). Secara khusus,

hubungan berulang tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk [Parker dan Sochacki, 1996]

�

𝜙𝜙 (0) (𝑡𝑡) = 𝑦𝑦0

𝑡𝑡

𝜙𝜙 (𝑛𝑛 ) (𝑡𝑡) = 𝑦𝑦0 + ∫𝑡𝑡 𝑓𝑓 �𝑠𝑠, 𝜙𝜙 (𝑛𝑛−1) (𝑠𝑠)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 = 1,2, …. 0

(2.13)

Untuk orde n yang semakin tinggi, metode tersebut semakin sulit dilakukan. G. Gerard Parker dan James S. Sochacki melakukan modifikasi terhadap metode


10

Picard pada persamaan diferensial sederhana dengan 𝑡𝑡0 = 0. Persamaan diferensial

sederhana tersebut dikonversi menjadi persamaan polinomial menggunakan substitusi dan sistem penjumlahan [Parker dan Sochacki, 1996]. Pada metode ini, variabel sistem dengan orde yang lebih tinggi diselesaikan menggunakan kondisi awal yang adalah variabel sistem orde sebelumnya. Bentuk umum dari modifikasi iterasi Picard oleh Parker-Sochacki yaitu [Steward dan Bair, 2009]: 𝑦𝑦(𝑡𝑡 + 𝛥𝛥𝛥𝛥 ) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) + ∑𝑛𝑛𝑝𝑝=1 𝑦𝑦𝑝𝑝 (𝛥𝛥𝛥𝛥)𝑝𝑝

dengan 𝑦𝑦(𝑡𝑡) adalah nilai 𝑦𝑦 pada iterasi sampai ke 𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑝𝑝 adalah komponen y.

(2.14)

Metode Parker-Sochacki menawarkan penyelesaian yang lebih sederhana

dibandingkan dengan metode Picard, dengan tingkat ketelitian yang sama. Hanya diperlukan satu persamaan untuk mendapatkan pendekatan numerik untuk setiap nilai pada 𝑡𝑡.

2.3. Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat Selain menggunakan metode Parker-Sochacki, pendekatan numerik untuk menjabarkan persamaan diferensial suatu sistem dapat dilakukan dengan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta yang paling sering digunakan adalah metode Runge-Kutta orde empat. Pada metode ini, persamaan diferensial dengan ketentuan seperti pada persamaan (2.11), didekati dengan menggunakan persamaan [Chapra, 2008]


𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝜙𝜙ℎ

(2.15)

1

𝜙𝜙 = (𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4 )

(2.16)

6

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 )

1

1

1

1

(2.17)

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓 �𝑡𝑡𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + ℎ𝑘𝑘1 � 2

(2.18)

2

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓 �𝑡𝑡𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + ℎ𝑘𝑘2 � 2

11

(2.19)

2

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + ℎ𝑘𝑘3 )

(2.20)

Dengan 𝜙𝜙 adalah fungsi penambahan, ℎ adalah interval waktu yang dipilih, 𝑘𝑘1 adalah slope pertama, 𝑘𝑘2 adalah slope kedua, 𝑘𝑘3 adalah slope ketiga, 𝑘𝑘4 adalah slope keempat.

Grafik metode Runge-Kutta digambarkan pada grafik 2.1. 𝑘𝑘1 adalah

kemiringan grafik pada awal interval waktu (pada saat t = 𝑡𝑡𝑖𝑖 ). Kemiringan grafik 𝑘𝑘1

ini kemudian digunakan untuk menentukan pendekatan pertama titik y dengan kemiringan grafik 𝑘𝑘2 dan berada di t = 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 . Kemiringan grafik 𝑘𝑘2 kemudian 2

digunakan untuk menentukan pendekatan titik y dengan kemiringan grafik 𝑘𝑘3 yang

juga berada di titik t = 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 . Kemiringan grafik 𝑘𝑘3 digunakan untuk menentukan 2

pendekatan ketiga titik y dengan kemiringan grafik 𝑘𝑘4 yang berada di t = 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 .

Kemiringan grafik 𝑘𝑘1 , 𝑘𝑘2 , 𝑘𝑘3 , dan 𝑘𝑘4 kemudian dioperasikan sesuai dengan persamaan


12

(2.16) untuk menghasilkan kemiringan rata-rata 𝜙𝜙 dalam menentukan pendekatan terakhir titik y di t = 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 [Chapra, 2008].

Gambar 2.1 Grafik Pendekatan Runge-Kutta 2.4. Persamaan Gerak Longitudinal Pesawat Pesawat di udara dan lingkungan di sekitarnya merupakan salah satu bentuk sistem. Gerak pesawat yang terbang di udara dipengaruhi gaya dan momentum aerodinamis yang bekerja pada pesawat tersebut. Selain itu, gangguan berupa angin juga mempengaruhi gerak pesawat. Sehingga, pada saat mendesain kontrol gerak pesawat otomatis, pengaruh-pengaruh tersebut perlu diperhatikan. Bentuk umum persamaan gaya dan momentum sudut aerodinamis yang bekerja pada pesawat adalah [Nelson, 1998]


𝐹𝐹𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 = 𝑚𝑚(𝑢𝑢̇ + 𝑞𝑞𝑞𝑞 − 𝑟𝑟𝑟𝑟)

(2.21)

𝐹𝐹𝑧𝑧 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝜃𝜃 cos 𝜙𝜙 = 𝑚𝑚(𝑤𝑤̇ + 𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑞𝑞𝑞𝑞)

(2.23)

𝐿𝐿𝑦𝑦 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑞𝑞̇ + 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐼𝐼𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑧𝑧 ) + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟 2 )

(2.25)

𝐹𝐹𝑦𝑦 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 = 𝑚𝑚(𝑣𝑣̇ + 𝑟𝑟𝑟𝑟 − 𝑝𝑝𝑝𝑝) 𝐿𝐿𝑥𝑥 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 𝑝𝑝̇ − 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑟𝑟̇ + 𝑞𝑞𝑞𝑞�𝐼𝐼𝑧𝑧 − 𝐼𝐼𝑦𝑦 � − 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑝𝑝

dengan

13

𝐿𝐿𝑧𝑧 = −𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑝𝑝̇ + 𝐼𝐼𝑧𝑧 𝑟𝑟̇ + 𝑝𝑝𝑝𝑝�𝐼𝐼𝑦𝑦 − 𝐼𝐼𝑥𝑥 � + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑞𝑞

(2.22)

(2.24)

(2.26)

𝐹𝐹𝑥𝑥 , 𝐿𝐿𝑥𝑥 , 𝑢𝑢 , 𝑝𝑝 , dan 𝐼𝐼𝑥𝑥 adalah komponen gaya aerodinamis, komponen

momentum sudut aerodinamis, komponen kecepatan linier pesawat, komponen kecepatan sudut pesawat, dan komponen momen inersia pesawat searah sumbu x, 𝐹𝐹𝑦𝑦 , 𝐿𝐿𝑦𝑦 , 𝑣𝑣, 𝑞𝑞, dan 𝐼𝐼𝑦𝑦 adalah komponen gaya aerodinamis, komponen momentum sudut

aerodinamis, komponen kecepatan linier pesawat, komponen kecepatan sudut pesawat, dan komponen momen inersia pesawat searah sumbu y, 𝐹𝐹𝑧𝑧 , 𝐿𝐿𝑧𝑧 , 𝑤𝑤, 𝑟𝑟, dan 𝐼𝐼𝑧𝑧

adalah komponen gaya aerodinamis, komponen momentum sudut aerodinamis, komponen kecepatan linier pesawat, komponen kecepatan sudut pesawat, dan komponen momen inersia pesawat searah sumbu z, 𝑚𝑚 adalah massa pesawat, 𝜃𝜃

adalah sudut kenaikan pesawat, dan 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 adalah produk komponen momen inersia searah sumbu x dan z.


14

Didefinisikan ∆𝐹𝐹𝑥𝑥 = ∆𝐹𝐹𝑦𝑦 = ∆𝐹𝐹𝑧𝑧 = Δ𝐿𝐿𝑥𝑥 = ∆𝐿𝐿𝑦𝑦 = ∆𝐿𝐿𝑧𝑧 =

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑥𝑥 ∆𝑢𝑢 + ∆𝑤𝑤 + ∆𝛿𝛿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑒𝑒 𝑒𝑒

(2.27)

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 ∆𝑢𝑢 + ∆𝑤𝑤 + ∆𝑤𝑤̇ + ∆𝑞𝑞 + ∆𝛿𝛿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑤𝑤̇ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑒𝑒 𝑒𝑒

(2.29)

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 ∆𝑢𝑢 + ∆𝑤𝑤 + ∆𝑤𝑤̇ + ∆𝑞𝑞 + ∆𝛿𝛿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑤𝑤̇ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑒𝑒 𝑒𝑒

(2.31)

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑦𝑦 ∆𝑣𝑣 + ∆𝑝𝑝 + ∆𝑟𝑟 + ∆𝛿𝛿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑟𝑟 𝑟𝑟

(2.28)

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑥𝑥 ∆𝑣𝑣 + ∆𝑝𝑝 + ∆𝑟𝑟 + ∆𝛿𝛿𝑟𝑟 + ∆𝛿𝛿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑟𝑟 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑎𝑎 𝑎𝑎

(2.30)

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐿𝐿𝑧𝑧 ∆𝑣𝑣 + ∆𝑝𝑝 + ∆𝑟𝑟 + ∆𝛿𝛿𝑟𝑟 + ∆𝛿𝛿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑟𝑟 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑎𝑎 𝑎𝑎

(2.32)

Dengan ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 adalah perubahan sudut elevator, ∆𝛿𝛿𝑟𝑟 adalah perubahan sudut rudder,

∆𝛿𝛿𝑎𝑎 adalah perubahan sudut aileron.

Pada pesawat yang bergerak dengan tenang (tidak melakukan gerakan yang

ekstrim), gerak pesawat tersebut dapat diasumsikan terbagi menjadi dua grup persamaan yaitu, persamaan gerak longitudinal (gerak yang disebabkan perubahan sudut 𝜃𝜃) dan persamaan gerak lateral (gerak yang disebabkan perubahan sudut 𝜙𝜙). Persamaan gerak longitudinal terdiri dari persamaan gaya terhadap sumbu x (𝐹𝐹𝑥𝑥 ),

persamaan komponen gaya searah sumbu z (𝐹𝐹𝑧𝑧 ) , dan persamaan komponen

momentum sudut searah sumbu y (𝐿𝐿𝑦𝑦 ). Sedangkan, persamaan gerak lateral terdiri dari persamaan komponen momentum sudut searah sumbu x (𝐿𝐿𝑥𝑥 ) , persamaan


15

komponen momentum sudut searah sumbu z (𝐿𝐿𝑧𝑧 ), dan persamaan komponen gaya searah sumbu y (𝐹𝐹𝑦𝑦 ) [Nelson, 1998].

Gambar 2.2 Gambar arah gerak pesawat Persamaan gerak longitudinal dan lateral pesawat yang bergerak tenang dapat dianalisis secara terpisah. Untuk persamaan gerak longitudinal, pada proses analisis variabel 𝑣𝑣, 𝑝𝑝, 𝑟𝑟, dan turunannya dianggap nol. Dengan adanya pengaruh angin pada atmosfer,

melalui proses linearisasi, persamaan gerak longitudinal

pesawat menjadi [Nelson, 1998] 𝑑𝑑

− 𝑋𝑋𝑢𝑢 � ∆𝑢𝑢 + 𝑋𝑋𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑔𝑔 + �𝑤𝑤𝑔𝑔 − ∆𝑤𝑤�𝑋𝑋𝑤𝑤 + 𝑔𝑔∆𝜃𝜃 = 𝑋𝑋𝛿𝛿 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒

(2.33)

𝑑𝑑𝑑𝑑

− 𝑍𝑍𝑤𝑤 � ∆𝑤𝑤 + 𝑍𝑍𝑤𝑤 𝑤𝑤𝑔𝑔 + �𝑢𝑢𝑔𝑔 − ∆𝑢𝑢�𝑍𝑍𝑢𝑢 − 𝑢𝑢0 ∆𝑞𝑞 = 𝑍𝑍𝛿𝛿 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒

(2.34)

𝑑𝑑𝑑𝑑

− 𝑀𝑀𝑞𝑞 � ∆𝑞𝑞 + 𝑀𝑀𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑔𝑔 + �𝑢𝑢𝑔𝑔 − ∆𝑢𝑢�𝑀𝑀𝑢𝑢 + �𝑤𝑤𝑔𝑔 − ∆𝑤𝑤�𝑀𝑀𝑤𝑤 = 𝑀𝑀𝛿𝛿 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (2.35)

�

𝑑𝑑𝑑𝑑

� �

𝑑𝑑 𝑑𝑑

∆𝜃𝜃̇ = ∆𝑞𝑞

(2.36)


16

Dengan 𝑢𝑢𝑔𝑔 adalah gangguan searah u, 𝑤𝑤𝑔𝑔 adalah gangguan searah w, 𝑞𝑞𝑔𝑔 adalah gangguan searah q, dan didefinisikan 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑋𝑋𝑢𝑢 ≡ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑚𝑚

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝑀𝑀𝑤𝑤 ≡ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑚𝑚

,

,

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑋𝑋𝑤𝑤 ≡ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑚𝑚

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑀𝑀𝑞𝑞 ≡ 𝑚𝑚

,

,

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝑍𝑍𝑢𝑢 ≡ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑚𝑚 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑥𝑥 𝜕𝜕𝛿𝛿 ≡ 𝑒𝑒 𝑚𝑚

,

,

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝑍𝑍𝑤𝑤 ≡ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑚𝑚 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐹𝐹𝑧𝑧 𝜕𝜕𝛿𝛿 ≡ 𝑒𝑒 𝑚𝑚

,

,

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝑀𝑀𝑢𝑢 ≡ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿𝑦𝑦 𝜕𝜕𝛿𝛿𝑒𝑒 ≡ 𝑚𝑚

,

.


BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Desain Sistem Kontrol Pilot Otomatis Analisis sistem yang terdiri atas pesawat dan lingkungan di sekitarnya yang mempengaruhi gerak pesawat tersebut dilakukan dengan menggunakan metode ruang keadaan. Berdasarkan persamaan umum dari metode ruang keadaan pada persamaan (2.3), persamaan gerak longitudinal pesawat (persamaan (2.33) sampai (2.36)) dituliskan sebagai berikut

𝑋𝑋𝑢𝑢 𝑍𝑍 � 𝑢𝑢 𝑀𝑀𝑢𝑢 0

∆𝑢𝑢̇ (𝑡𝑡) ⎡ ⎤ ∆𝑤𝑤̇ (𝑡𝑡) ⎢ ⎥= ⎢ ∆𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) ⎥ ⎣ ∆𝜃𝜃̇ (𝑡𝑡) ⎦

𝑋𝑋𝑤𝑤 𝑍𝑍𝑤𝑤 𝑀𝑀𝑤𝑤 0

𝑋𝑋𝛿𝛿 0 −𝑔𝑔 ∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) −𝑋𝑋𝑢𝑢 ⎡ 𝑒𝑒 ⎤ 𝑍𝑍 −𝑍𝑍 𝑢𝑢0 0 ∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) �� + ⎢ 𝛿𝛿 𝑒𝑒 ⎥ [∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)] + � 𝑢𝑢 𝑀𝑀𝑞𝑞 0 ∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) −𝑀𝑀𝑢𝑢 ⎢𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 ⎥ ∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) ⎣ ⎦ 0 1 0 0

−𝑋𝑋𝑤𝑤 −𝑍𝑍𝑤𝑤 −𝑀𝑀𝑤𝑤 0

0 𝑢𝑢𝑔𝑔 0 𝑤𝑤 � � 𝑔𝑔 � −𝑀𝑀𝑞𝑞 𝑞𝑞 𝑔𝑔 0

Persamaan (3.1) tersebut kemudian ditata ulang menjadi ∆𝑢𝑢̇ (𝑡𝑡) 𝑋𝑋𝑢𝑢 ⎡ ⎤ ∆𝑤𝑤̇ (𝑡𝑡) ⎢ ⎥ = � 𝑍𝑍𝑢𝑢 ∆𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) 𝑀𝑀𝑢𝑢 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ∆𝜃𝜃̇ (𝑡𝑡) ⎦ dengan

𝑞𝑞 ′ =

𝑋𝑋𝑤𝑤 0 𝑍𝑍𝑤𝑤 𝑢𝑢0 𝑞𝑞′ 𝑀𝑀𝑤𝑤 𝑀𝑀𝑞𝑞 0 𝑞𝑞′

∆𝑞𝑞 (𝑡𝑡)

−𝑔𝑔 ⎡ ∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 ⎤ ⎡ 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 ⎤ 0 ⎢∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 ⎥ ⎢ 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 ⎥ [ ] 0 � ⎢ ∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 ⎥ + ⎢𝑀𝑀𝛿𝛿 ⎥ ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) 𝑒𝑒 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) ⎦ ⎣ 0 ⎦

∆𝑞𝑞 (𝑡𝑡)−𝑞𝑞 𝑔𝑔

17

(3.1)

(3.2)


18

Secara umum, persamaan (3.2) dapat ditulis 𝑥𝑥̇ = 𝑨𝑨′ (𝑥𝑥 − 𝜀𝜀 ) + 𝑩𝑩𝜇𝜇

(3.3)

Dari persamaan ini diperoleh matriks keadaan sistem yang baru (𝑨𝑨′ ) yang berubahubah sesuai dengan nilai 𝑞𝑞 ′ .

Dipilih 𝜉𝜉𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0,6, 𝜉𝜉𝑝𝑝 = 0,05, 𝜔𝜔𝑠𝑠𝑠𝑠 = 3,0 derajat/s, dan 𝜔𝜔𝑝𝑝 = 0,1 derajat/s.

Nilai yang diberikan ini mempengaruhi kontrol dan gerak pesawat sebagai respon terhadap kontrol. Damping ratio dan frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam waktu singkat mempengaruhi pola gerak pesawat saat mulai mendapat gangguan (awal dilakukan simulasi). Sedangkan, damping ratio dan frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam waktu yang lama mempengaruhi pola gerak pesawat selama simulasi dilakukan. Diperoleh persamaan karakteristik yang dikehendaki, yaitu 𝜆𝜆4 + 3,61𝜆𝜆3 + 9,05𝜆𝜆2 + 0,126𝜆𝜆 + 0,09 = 0

(3.4)

Pada penelitian, diambil nilai 𝑋𝑋𝑢𝑢 , 𝑋𝑋𝑤𝑤 , 𝑍𝑍𝑢𝑢 , 𝑍𝑍𝑤𝑤 , 𝑀𝑀𝑢𝑢 , 𝑀𝑀𝑤𝑤 , 𝑀𝑀𝑞𝑞 , 𝑢𝑢0 ,

𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 , 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 , 𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 , dan 𝑔𝑔 dari data penanganan pesawat Boeing 747 [Heffley dan Jewell, 1972]. Matriks keadaan sistem dan matriks masukan menjadi

0 −0,0209 0,1220 −32,2 218,5725𝑞𝑞′ −0,2020 −0,5120 0 � 𝑨𝑨′ = � −0,3570 0 1,170 × 10−4 0,0018 0 𝑞𝑞′ 0 0


19

0,959 𝑩𝑩 = �−6,420� −0,378 0

Persamaan karakteristik sistem dicari menggunakan persamaan (2.7). Nilai 𝑨𝑨′ dan 𝑩𝑩 dimasukkan ke dalam persamaan tersebut sehingga diperoleh konstanta persamaan karakteristik sistem untuk setiap orde 𝜆𝜆 sebagai berikut

𝜆𝜆3 ∶ (0,959 𝑘𝑘1 − 6,42 𝑘𝑘2 − 3,78 × 10−1 𝑘𝑘3 + 8,899 × 10−1 )

𝜆𝜆2 ∶ �(5,0131 × 10−2 )𝑘𝑘1 − (2,6198 + 82,6204𝑞𝑞′)𝑘𝑘2 − (2,1269 ×

(3.5)

10−1 )𝑘𝑘3 − (3,78 × 10−1 )𝑘𝑘4 𝑞𝑞′ − (3,8687 × 10−1 )𝑞𝑞′ + 2,2559 × 10−1 �

(3.6)

𝜆𝜆1 ∶ �(1,7209𝑞𝑞′ − 1,0433 × 10−1 )𝑘𝑘1 − (1,1706 × 10−1 + 1,7022 𝑞𝑞′)𝑘𝑘2 − (1,3975 × 10−2 )𝑘𝑘3 − (2,1269 × 10−1 )𝑘𝑘4 𝑞𝑞′ − 7,4382 × 10−3 𝑞𝑞′ + 1,2618 × 10−2 �

(3.7)

10−3 𝑞𝑞′)

(3.8)

𝜆𝜆0 ∶ (6,5978 𝑘𝑘1 𝑞𝑞′ − 2,4828 𝑘𝑘2 𝑞𝑞′ − 1,3975 × 10−2 𝑘𝑘4 𝑞𝑞′ − 9,5839 ×

Dengan menyamakan konstanta persamaan (3.4) dengan persamaan (3.5) sampai (3.8), diperoleh nilai 𝑘𝑘1 , 𝑘𝑘2 , 𝑘𝑘3 , dan 𝑘𝑘4 sebagai kontrol yang sesuai untuk

sistem tersebut. Sehingga, sesuai dengan persamaan (2.5), tanpa adanya masukan awal,


20

∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) = − �𝑘𝑘1 �∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑘𝑘2 �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + 𝑘𝑘3 �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + 𝑘𝑘4 ∆𝜃𝜃(𝑡𝑡)�

(3.9)

3.2. Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis Sebagai Pembanding Berdasarkan persamaan (2.6), persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai berikut 𝑥𝑥̇ = 𝑨𝑨′′ (𝑥𝑥 − 𝜀𝜀 )

𝑨𝑨′′ = 𝑨𝑨′ − 𝑩𝑩𝑘𝑘 𝑇𝑇

Dengan menggunakan persamaan (2.9), diperoleh 𝚽𝚽(𝑡𝑡) = ℒ −1 [(𝑠𝑠𝐈𝐈 − 𝑨𝑨′′)−1 ]

(3.10) (3.11) (3.12)

Namun, nilai 𝑨𝑨′ yang terus berubah karena adanya varibel 𝑞𝑞 ′ yang terus berubah menyebabkan 𝚽𝚽(𝑡𝑡) juga terus berubah. Artinya, penyelesaian analitik untuk setiap

nilai 𝑡𝑡 berbeda. Hal ini sangat sulit dilakukan. Karena itu, sebagai pembanding, dilakukan penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis tanpa gangguan (𝜀𝜀 =

0).

Diberikan −0,0209 0 0,1220 −32,2 −0,2020 −0,5120 218,5725 0 � 𝑨𝑨 = � −4 0 0,0018 −0,3570 1,170 × 10 0 0 1 0


21

Jika matriks 𝑨𝑨 dan 𝑩𝑩 dimasukkan ke dalam persamaan (3.11) dan dengan nilai awal ∆𝑢𝑢(0) = 0, ∆𝑤𝑤(0) = 0, ∆𝑞𝑞 (0) = 0, ∆𝜃𝜃(0) = 5, berdasarkan persamaan (2.10) dan (3.12) diperoleh penyelesaian

∆𝜃𝜃 (𝑡𝑡) = 5 �(−0,00208712 − 0,0102818𝑖𝑖)𝑒𝑒 (−1,80014 −2,40155 𝑖𝑖)𝑡𝑡 −

(0,00208712 − 0,0102818𝑖𝑖)𝑒𝑒 (−1,80014 +2,40155 𝑖𝑖)𝑡𝑡 + (0,502087 + 0,234752𝑖𝑖)𝑒𝑒 (−0,00499923 −0,0998723 𝑖𝑖)𝑡𝑡 +

(0,502087 − 0,234752𝑖𝑖)𝑒𝑒 (−0,00499923 +0,0998723 𝑖𝑖)𝑡𝑡 �

3.3. Penerapan Metode Parker-Sochacki

(3.13)

Untuk mengawali metode Parker-Sochacki, diperlukan pendefinisian beberapa variabel, seperti ∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) = ∆𝑢𝑢1 + ∆𝑢𝑢2 𝑡𝑡 + ∆𝑢𝑢3 𝑡𝑡 2 + ∆𝑢𝑢4 𝑡𝑡 3 + ⋯ + ∆𝑢𝑢𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 𝑛𝑛

(3.14)

∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) = ∆𝑞𝑞1 + ∆𝑞𝑞2 𝑡𝑡 + ∆𝑞𝑞3 𝑡𝑡 2 + ∆𝑞𝑞4 𝑡𝑡 3 + ⋯ + ∆𝑞𝑞𝑛𝑛 +1 𝑡𝑡 𝑛𝑛

(3.16)

∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) = ∆𝑤𝑤1 + ∆𝑤𝑤2 𝑡𝑡 + ∆𝑤𝑤3 𝑡𝑡 2 + ∆𝑤𝑤4 𝑡𝑡 3 + ⋯ + ∆𝑤𝑤𝑛𝑛 +1 𝑡𝑡 𝑛𝑛 ∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) = ∆𝜃𝜃1 + ∆𝜃𝜃2 𝑡𝑡 + ∆𝜃𝜃3 𝑡𝑡 2 + ∆𝜃𝜃4 𝑡𝑡 3 + ⋯ + ∆𝜃𝜃𝑛𝑛 +1 𝑡𝑡 𝑛𝑛

sehingga

(3.15) (3.17)

∆𝑢𝑢̇ (𝑡𝑡) = ∆𝑢𝑢2 + 2 ∆𝑢𝑢3 𝑡𝑡 + 3 ∆𝑢𝑢4 𝑡𝑡 2 + 4 ∆𝑢𝑢5 𝑡𝑡 3 + ⋯ + (𝑛𝑛 + 1)∆𝑢𝑢𝑛𝑛+2 𝑡𝑡 𝑛𝑛

(3.18)

∆𝑤𝑤̇ (𝑡𝑡) = ∆𝑤𝑤2 + 2 ∆𝑤𝑤3 𝑡𝑡 + 3 ∆𝑤𝑤4 𝑡𝑡 2 + 4 ∆𝑤𝑤5 𝑡𝑡 3 + ⋯ + (𝑛𝑛 + 1)∆𝑤𝑤𝑛𝑛+2 𝑡𝑡 𝑛𝑛

(3.19)


22

∆𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) = ∆𝑞𝑞2 + 2 ∆𝑞𝑞3 𝑡𝑡 + 3 ∆𝑞𝑞4 𝑡𝑡 2 + 4 ∆𝑞𝑞5 𝑡𝑡 3 + ⋯ + (𝑛𝑛 + 1)∆𝑞𝑞𝑛𝑛+2 𝑡𝑡 𝑛𝑛

(3.20)

∆𝜃𝜃̇ (𝑡𝑡) = ∆𝜃𝜃2 + 2 ∆𝜃𝜃3 𝑡𝑡 + 3 ∆𝜃𝜃4 𝑡𝑡 2 + 4 ∆𝜃𝜃5 𝑡𝑡 3 + ⋯ + (𝑛𝑛 + 1)∆𝜃𝜃𝑛𝑛+2 𝑡𝑡 𝑛𝑛 Berdasarkan persamaan ruang keadaan sistem pilot otomatis,

(3.21)

∆𝑢𝑢̇ (𝑡𝑡) = 𝑋𝑋𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑋𝑋𝑤𝑤 �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � − 𝑔𝑔∆𝜃𝜃 (𝑡𝑡) + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

(3.22)

∆𝑤𝑤̇ (𝑡𝑡) = 𝑍𝑍𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍𝑤𝑤 �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + 𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

(3.23)

𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

(3.24)

∆𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) = 𝑀𝑀𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑀𝑀𝑤𝑤 �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + 𝑀𝑀𝑞𝑞 �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ∆𝜃𝜃̇ (𝑡𝑡) = 𝑞𝑞 ′ �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 �

(3.25)

Melalui proses substitusi persamaan (3.14) sampai (3.21) ke dalam

persamaan (3.22) sampai (3.25), diperoleh ∆𝑢𝑢2 = 𝑋𝑋𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢1 − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑋𝑋𝑤𝑤 (∆𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤𝑔𝑔 ) − 𝑔𝑔∆𝜃𝜃1 + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

(3.26)

∆𝑤𝑤2 = 𝑍𝑍𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢1 − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍𝑤𝑤 (∆𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤𝑔𝑔 ) + 𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ (∆𝑞𝑞1 − 𝑞𝑞𝑔𝑔 ) + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

(3.27)


23

∆𝑞𝑞2 = 𝑀𝑀𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢1 − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑀𝑀𝑤𝑤 (∆𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤𝑔𝑔 ) + 𝑀𝑀𝑞𝑞 (∆𝑞𝑞1 − 𝑞𝑞𝑔𝑔 ) + 𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

dan

∆𝜃𝜃2 = 𝑞𝑞′(∆𝑞𝑞1 − 𝑞𝑞𝑔𝑔 )

∆𝑢𝑢𝑛𝑛+1 = ∆𝑤𝑤𝑛𝑛 +1

∆𝜃𝜃𝑛𝑛 +1 =

(3.29)

𝑋𝑋𝑢𝑢 ∆𝑢𝑢𝑛𝑛 + 𝑋𝑋𝑤𝑤 ∆𝑤𝑤𝑛𝑛 − 𝑔𝑔∆𝜃𝜃𝑛𝑛 + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛

(3.30)

𝑀𝑀𝑢𝑢 ∆𝑢𝑢𝑛𝑛 + 𝑀𝑀𝑤𝑤 ∆𝑤𝑤𝑛𝑛 + 𝑀𝑀𝑞𝑞 ∆𝑞𝑞𝑛𝑛 + 𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛

(3.32)

𝑍𝑍𝑢𝑢 ∆𝑢𝑢𝑛𝑛 + 𝑍𝑍𝑤𝑤 ∆𝑤𝑤𝑛𝑛 + 𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ ∆𝑞𝑞𝑛𝑛 + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) = 𝑛𝑛

∆𝑞𝑞𝑛𝑛 +1 =

(3.28)

𝑞𝑞′∆𝑞𝑞𝑛𝑛 𝑛𝑛

(3.31)

(3.33)

dengan n = 2, 3, 4, ... adalah orde persamaan (3.14) sampai (3.17). Melalui persamaan (3.26) sampai (3.33), didapatkan nilai setiap variabel pada persamaan (3.14) sampai (3.17). Dari persamaan-persamaan tersebut diperoleh nilai ∆𝑢𝑢, ∆𝑤𝑤, ∆𝑞𝑞, dan ∆𝜃𝜃 pada saat 𝑡𝑡. Dengan demikian, komputasi dari pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki sistem pilot otomatis untuk penerbangan dapat dilakukan.


24

3.4. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat sebagai Pembanding Persamaan ruang keadaan sistem pilot otomatis pesawat seperti pada persamaan (3.22) sampai (3.25) dijabarkan dengan pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta orde empat. Sesuai dengan persamaan (2.15) sampai (2.20), persamaan ruang keadaan sistem pilot otomatis pesawat dijabarkan sebagai berikut 𝑘𝑘𝑢𝑢 1 = 𝑋𝑋𝑢𝑢 (∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 ) + 𝑋𝑋𝑤𝑤 (∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 ) − 𝑔𝑔∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) (3.34) 1

1

𝑘𝑘𝑢𝑢 2 = 𝑋𝑋𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 1 � + 𝑋𝑋𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 1 � − 1

2

2

1

𝑔𝑔 �∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 1 � + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 1 � 2

2

1

1

(3.35)

𝑘𝑘𝑢𝑢 3 = 𝑋𝑋𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 2 � + 𝑋𝑋𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 2 � − 1

2

2

1

𝑔𝑔 �∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 2 � + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 2 � 2

2

𝑘𝑘𝑢𝑢 4 = 𝑋𝑋𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 3 � + 𝑋𝑋𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 3 � − 𝑔𝑔�∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 3 � + 𝑋𝑋𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑢𝑢 3 � 1

𝑢𝑢(𝑡𝑡 + ℎ) = 𝑢𝑢(𝑡𝑡) + ℎ�𝑘𝑘𝑢𝑢 1 + 2𝑘𝑘𝑢𝑢 2 + 2𝑘𝑘𝑢𝑢 3 + 𝑘𝑘𝑢𝑢 4 � 6

𝑘𝑘𝑤𝑤 1 = 𝑍𝑍𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍𝑤𝑤 �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + 𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

1

1

(3.36)

(3.37) (3.38) (3.39)

𝑘𝑘𝑤𝑤 2 = 𝑍𝑍𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 1 � + 𝑍𝑍𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 1 � + 2

1

1

2

𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ ��∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 1 � + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 1 � 2

2

(3.40)


1

25

1

𝑘𝑘𝑤𝑤 3 = 𝑍𝑍𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 2 � + 𝑍𝑍𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 2 � + 2

1

1

2

𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ ��∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 2 � + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 2 � 2

2

𝑘𝑘𝑤𝑤 4 = 𝑍𝑍𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 3 � + 𝑍𝑍𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 3 � + 𝑢𝑢0 𝑞𝑞 ′ ��∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 3 � + 𝑍𝑍𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑤𝑤 3 � 1

𝑤𝑤 (𝑡𝑡 + ℎ) = 𝑤𝑤 (𝑡𝑡) + ℎ�𝑘𝑘𝑤𝑤 1 + 2𝑘𝑘𝑤𝑤 2 + 2𝑘𝑘𝑤𝑤 3 + 𝑘𝑘𝑤𝑤 4 � 6

𝑘𝑘𝑞𝑞1 = 𝑀𝑀𝑢𝑢 �∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + 𝑀𝑀𝑤𝑤 �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + 𝑀𝑀𝑞𝑞 �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + 𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡)

1

1

(3.41)

(3.42) (3.43) (3.44)

𝑘𝑘𝑞𝑞2 = 𝑀𝑀𝑢𝑢 ��∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑞𝑞1 � + 𝑀𝑀𝑤𝑤 ��∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑞𝑞1 � + 2

1

1

2

𝑀𝑀𝑞𝑞 ��∆𝑞𝑞 (𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝑞𝑞1 � + 𝑀𝑀𝛿𝛿 𝑒𝑒 �∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (𝑡𝑡) + ℎ𝑘𝑘𝑞𝑞1 � 2

2

1

(3.45)

1


1

1

2


2

1

(3.46)

1


1

1

2


1

𝑞𝑞 (𝑡𝑡 + ℎ) = 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) + ℎ�𝑘𝑘𝑞𝑞1 + 2𝑘𝑘𝑞𝑞2 + 2𝑘𝑘𝑞𝑞3 + 𝑘𝑘𝑞𝑞4 � 6

𝑘𝑘𝜃𝜃1 = 𝑞𝑞 ′ �∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 �

2

(3.47) (3.48) (3.49)


26

1

(3.50)

𝑘𝑘𝜃𝜃3 = 𝑞𝑞 ′ ��∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝜃𝜃2 �

1

(3.51)

𝑘𝑘𝜃𝜃4 = 𝑞𝑞 ′ ��∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝜃𝜃3 �

(3.52)

𝑘𝑘𝜃𝜃2 = 𝑞𝑞 ′ ��∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑔𝑔 � + ℎ𝑘𝑘𝜃𝜃1 � 2 2

1

𝜃𝜃 (𝑡𝑡 + ℎ) = 𝜃𝜃(𝑡𝑡) + ℎ�𝑘𝑘𝜃𝜃1 + 2𝑘𝑘𝜃𝜃2 + 2𝑘𝑘𝜃𝜃3 + 𝑘𝑘𝜃𝜃4 � 6

(3.53)

Dengan persamaan-persamaan yang diperoleh (persamaan (3.34) sampai (3.53)), komputasi dari pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta sistem pilot otomatis untuk penerbangan dapat dilakukan. 3.5. Algoritma Flowchart untuk penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis digambarkan pada gambar 3.1

Gambar 3.1 Algoritma penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan


Flowchart untuk metode Parker-Sochacki digambarkan pada gambar 3.2

Gambar 3.2 Algoritma pendekatan numerik penyelesaian sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode Parker-Sochacki

27


28

Flowchart untuk metode Runge-Kutta digambarkan pada gambar 3.3

Gambar 3.3 Algoritma pendekatan numerik penyelesaian sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode Runge-Kutta

Listing program untuk penyelesaian analitik, pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki, dan pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta terdapat pada Lampiran I.


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan numerik sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dilakukan dengan menggunakan metode Parker-Sochacki,

dengan masukan awal

∆𝑢𝑢1 = ∆𝑤𝑤1 = 0 ft/s, ∆𝑞𝑞1 = �𝑞𝑞𝑔𝑔 + 0,1� derajat/s, dan ∆𝜃𝜃1 = 5𝑜𝑜 . Nilai ∆𝑢𝑢1 , ∆𝑤𝑤1 , ∆𝑞𝑞1 , dan ∆𝜃𝜃1 menunjukkan nilai ∆𝑢𝑢(0), ∆𝑤𝑤(0), ∆𝑞𝑞 (0) dan ∆𝜃𝜃(0). Nilai 0 pada ∆𝑢𝑢1

dan ∆𝑤𝑤1 menandakan tidak terjadi perubahan nilai 𝑢𝑢 dan 𝑤𝑤 pada awal simulasi yang

dilakukan. Sedangkan, nilai 5o pada ∆𝜃𝜃1 menunjukkan nilai simpangan sudut awal

pesawat (𝜃𝜃).

Dipilih nilai ∆𝑞𝑞1 = �𝑞𝑞𝑔𝑔 + 0,1� karena pada saat mendesain kontrol sistem

pesawat, 𝑞𝑞𝑔𝑔 tidak boleh sama dengan 𝑞𝑞1 . Jika hal ini terjadi, maka nilai 𝑞𝑞′ akan

menjadi tidak terdefenisi sehingga desain tidak dapat dilakukan. Penambahan nilai 0,1 pada 𝑞𝑞1 tidak terlalu berpengaruh pada perhitungan nilai ∆𝑞𝑞 selanjutnya. Selain

itu, jika 𝑞𝑞1 diberi nilai 0, maka berapa pun nilai 𝑞𝑞𝑔𝑔 yang diberikan, nilai 𝑞𝑞′ pertama

akan sama dengan 0. Hal ini akan mengakibatkan matriks keadaan sistem menjadi singular dan desain kontrol sistem tidak dapat dilakukan. Komputasi dilakukan dengan ketentuan 1.

Gangguan angin (𝑢𝑢𝑔𝑔 , 𝑤𝑤𝑔𝑔 , dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 ) konstan sepanjang waktu komputasi.

29


2.

30

Gangguan angin diberi nilai yang bervariasi (0 sampai dengan 500 ft/s untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔

dan 𝑤𝑤𝑔𝑔 , serta 0 sampai dengan 1 × 10−2 derajat/s untuk 𝑞𝑞𝑔𝑔 ) pada komputasi yang dilakukan.

3.

Komputasi dilakukan sampai detik ke 1000 dengan interval waktu 0,1 detik dan orde persamaan 4 untuk setiap nilai yang ditampilkan. Sebagai pembanding, dilakukan juga pendekatan numerik menggunakan

metode Runge-Kutta dengan masukan awal yang sama. Pada bagian ini dilakukan komputasi dengan ketentuan 1.

Gangguan angin (𝑢𝑢𝑔𝑔 , 𝑤𝑤𝑔𝑔 , dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 ) konstan sepanjang waktu dengan nilai untuk

𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−3 derajat/s. R

2.

Komputasi dilakukan sampai detik ke 1000 untuk interval waktu 0,1 detik dan sampai detik ke 100 untuk interval waktu 0,01 detik dan 0,001 detik.

4.1. Komputasi Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis untuk Penerbangan Dilakukan komputasi penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan tanpa gangguan angin seperti yang dijabarkan pada subbab 3.2. Diperoleh hasil seperti yang ditampilkan pada gambar 4.1 sebagai berikut


31

Gambar 4.1 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dengan penyelesaian analitik Perubahan sudut kemiringan pesawat terhadap bidang horisontal dinyatakan dengan ∆𝜃𝜃. Dari data yang diperoleh, nilai lonjakan maksimum pada awal ∆𝜃𝜃 menurut penyelesaian analitik adalah 5,4293o. Nilai di mana ∆𝜃𝜃 dianggap cukup

stabil (2% dari nilai maksimum ∆𝜃𝜃) adalah 0,108587o. ∆𝜃𝜃 mencapai nilai stabil tersebut pada detik ke 821,7.

Dilakukan juga perbandingan antara simulasi perubahan sudut pesawat menggunakan penyelesaian analitik, pendekatan numerik Parker-Sochacki, dan


32

pendekatan numerik Runge-Kutta. Diperoleh hasil seperti ditampilkan seperti pada gambar 4.2.

Gambar 4.2 Perbandingan penyelesaian analitik, pendekatan numerik ParkerSochacki, dan pendekatan numerik Runge-Kuta

Simulasi dilakukan dengan interval waktu 0,1 detik untuk penyelesaian analitik, 0,1 detik dan orde persamaan 4 untuk pendekatan numerik Parker-Sochacki, dan 0,0001 detik untuk pendekatan numerik Runge-Kutta. Simulasi hanya dilakukan sampai detik ke 100 karena diperlukan waktu yang lama untuk melakukan simulasi menggunakan pendekatan numerik Runge-Kutta (19396,58 detik).


33

Persentase kesalahan pada pendekatan numerik dengan metode ParkerSochacki dan Runge-Kutta terhadap penyelesaian analitik simulasi desain kontrol sistem pilot otomatis diperoleh melalui persamaan 𝑒𝑒 =

|𝑝𝑝 𝑛𝑛 −𝑝𝑝 𝑎𝑎 | 𝑝𝑝 𝑎𝑎

× 100%

(4.1)

Dengan 𝑒𝑒 adalah persentase kesalahan dari pendekatan numerik yang dilakukan terhadap penyelesaian analitiknya, 𝑝𝑝𝑛𝑛 adalah besarnya hasil yang diperoleh melalui

pendekatan numerik, dan 𝑝𝑝𝑎𝑎 adalah besarnya hasil yang diperoleh melalui penyelesaian analitik.

Berdasarkan data yang diperoleh, nilai lonjakan maksimal simulasi desain kontrol sistem pilot otomatis yang dilakukan menggunakan penyelesaian analitik adalah 5,4293o. Sedangkan, nilai lonjakan maksimal simulasi desain kontrol sistem pilot otomatis yang dilakukan menggunakan pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki dan Runge-Kutta adalah 5,4432o dan 5,4370o. Sehingga, persentase kesalahan pendekatan numerik yang dilakukan adalah 0,256% untuk pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki dengan interval waktu 0,1 detik dan 0,14% untuk pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta dengan interval waktu 0,0001 detik. Pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki dan Runge-Kutta mampu melakukan simulasi kontrol dan respon pesawat terhadap kontrol dengan cukup akurat. Dengan demikian, pendekatan numerik tersebut sesuai digunakan untuk


34

melakukan simulasi kontrol sistem pilot otomatis untuk penerbangan yang didesain menggunakan persamaan ruang keadaan. 4.2. Pendekatan Numerik Sistem Dengan Gangguan Angin dan Tanpa Kontrol Untuk mendesain kontrol sistem pesawat dengan gangguan angin, perlu dilakukan penataan ulang matriks keadaan sistem pesawat dengan memasukkan elemen gangguan angin ke dalam sistem tersebut. Gangguan angin pada pesawat ini menyebabkan matriks keadaan sistem pesawat berubah-ubah sehingga penyelesaian analitik untuk melakukan simulasi kontrol yang didesain menjadi sulit dilaksanakan. Karena itu, pendekatan numerik dengan komputasi diperlukan untuk melakukan simulasi tersebut. Dilakukan penataan ulang matriks keadaan sistem dengan persamaan ∆𝑢𝑢̇(𝑡𝑡) −0,0209 0 0,1220 −32,2 ∆𝑢𝑢(𝑡𝑡) ⎡ ⎤ ̇ −0,2020 ⎢∆𝑤𝑤(𝑡𝑡)⎥ −0,5120 218,5725 0 � �∆𝑤𝑤(𝑡𝑡)� + ⎢ ∆𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) ⎥ = �1,170 × 10−4 0,0018 −0,3570 0 ∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) ⎢ ⎥ 0 0 1 ∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) 0 ⎣ ∆𝜃𝜃̇ (𝑡𝑡) ⎦ 0,0209 0,2020 � −1,170 × 10−4 0

−0,1220 0 𝑢𝑢𝑔𝑔 0,5120 0 � �𝑤𝑤𝑔𝑔 � −0,0018 0,3570 𝑞𝑞 𝑔𝑔 0 0

(4.2)

( ) ∆𝑢𝑢̇(𝑡𝑡) 0 −0,0209 0,1220 −32,2 ⎡ ∆𝑢𝑢 𝑡𝑡 − 𝑢𝑢𝑔𝑔 ⎤ ⎡ ⎤ ̇ (𝑡𝑡)⎥ −0,2020 ⎢∆𝑤𝑤 −0,5120 218,5725𝑞𝑞′ 0 � ⎢∆𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑤𝑤𝑔𝑔 ⎥ ⎢ ∆𝑞𝑞(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞 ⎥ ⎢ ∆𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) ⎥ = �1,170 × 10−4 0,0018 −0,3570 0 𝑔𝑔 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 0 𝑞𝑞′ 0 0 ̇ ⎣ ∆𝜃𝜃(𝑡𝑡) ⎦ ⎣ ∆𝜃𝜃 (𝑡𝑡) ⎦ (4.3)


35

dengan 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−3 derajat/s.

Untuk mengecek kebenaran penataan ulang matriks keadaan sistem seperti

pada persamaan (4.3), dilakukan perbandingan hasil simulasi perubahan sudut pesawat sesuai dengan persamaan (4.2) dan (4.3). Diperoleh hasil seperti terlihat pada gambar 4.3.

Gambar 4.3 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) tanpa kontrol berdasarkan persamaan (4.2) dan (4.3)

Pada gambar 4.3,

ditunjukkan kemiripan hasil yang diperoleh dari

persamaan (4.2) dan persamaan (4.3). Hal ini menunjukkan bahwa penataan ulang


36

matriks keadaan sistem dengan adanya nilai 𝑞𝑞′ seperti pada persamaan (4.3) dapat dilakukan.

Grafik perubahan sudut kemiringan pesawat tanpa kontrol menunjukkan bahwa tanpa adanya kontrol pada pesawat tersebut, sudut kemiringan pesawat menjadi semakin tidak terkendali selama komputasi dilakukan. Hal ini ditunjukkan dengan nilai ∆𝜃𝜃 yang semakin tinggi selama komputasi dilakukan. Sistem yang telah ditata ulang tersebut kemudian dikontrol sedemikian rupa sehingga kestabilannya terjaga. 4.3. Pendekatan Numerik Sistem Terkontrol dengan Gangguan Angin Bervariasi dengan Metode Parker-Sochacki Dilakukan komputasi pendekatan numerik menggunakan metode ParkerSochacki untuk melakukan simulasi respon sistem terhadap kontrol dengan gangguan angin yang bervariasi. 1.

Untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 0 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 0 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s (tanpa gangguan angin) R


37

Gambar 4.4 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) tanpa gangguan angin, dengan kontrol

Nilai ∆𝜃𝜃 maksimum dari data yang diperoleh yaitu 5,4432o. ∆𝜃𝜃 mencapai

nilai yang dianggap stabil pada detik ke 821,9. Nilai maksimum ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 dari data yang

diperoleh yaitu 1,7757o. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi yaitu 1878,41 detik. Garis biru dan merah pada grafik ∆𝜃𝜃 menunjukkan nilai stabil yang diharapkan.


2.

38

Untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s R

Gambar 4.5 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s

R


nilai yang dianggap stabil pada detik ke 821,3. Nilai maksimum ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 dari data yang diperoleh yaitu 2,8936o. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi yaitu 1905,78 detik.


3.

39

Untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 500 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 500 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s R

Gambar 4.6 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 500 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 500 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 0 derajat/s

R


nilai yang dianggap stabil pada detik ke 882,4. Nilai maksimum ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 dari data yang diperoleh yaitu 13,1532o. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi yaitu

1907,08 detik.


40

Pada gambar 4.4 sampai 4.6 ditunjukkan bahwa perubahan nilai 𝑢𝑢𝑔𝑔 dan 𝑤𝑤𝑔𝑔

berpengaruh pada bagian awal perubahan sudut pesawat (∆𝜃𝜃). Untuk nilai 𝑢𝑢𝑔𝑔 dan 𝑤𝑤𝑔𝑔

yang semakin tinggi, lonjakan pada awal perubahan juga semakin tinggi. Lonjakan ini berpengaruh pada kontrol yang segera bekerja mengendalikan pesawat tersebut. Terlihat nilai maksimal ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 pada masing-masing grafik semakin tinggi pada

gangguan yang semakin besar. Karena lonjakan perubahan sudut pesawat ini hanya terjadi pada saat pesawat mulai mendapat gangguan angin (awal dilakukan simulasi), lonjakan ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 yang tinggi juga hanya terjadi itu. Setelah pesawat mulai terkendali, nilai ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 kembali menurun.

Nilai gangguan ini juga berpengaruh pada kerja kontrol untuk membuat ∆𝜃𝜃

mencapai nilai yang dianggap stabil. Hal ini terlihat pada waktu yang diperlukan kontrol pada masing-masing grafik untuk membuat ∆𝜃𝜃 mencapai nilai stabil. Pada

gangguan yang semakin besar, waktu yang diperlukan untuk membuat ∆𝜃𝜃 mencapai nilai stabil semakin lama.


4.

41

Untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−4 derajat/s R

Gambar 4.7 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 =1 × 10−4 derajat/s

R


nilai yang dianggap stabil pada detik ke 821,6. Nilai maksimum ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 dari data yang

diperoleh yaitu 2,8931o. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi yaitu 1906,92 detik.


5.

42


Gambar 4.8 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−3 derajat/s

R


nilai yang dianggap stabil pada detik ke 740,6. Nilai maksimum ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 dari data yang diperoleh yaitu 32,0741o. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi yaitu 1905,78 detik.


43

Adanya nilai 𝑞𝑞𝑔𝑔 menyebabkan proses penstabilan nilai ∆𝜃𝜃 menjadi

terganggu. Pada grafik 4.8 ditunjukkan adanya lonjakan kecil pada grafik ∆𝜃𝜃. Hal ini

menyebabkan adanya lonjakan nilai ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (kontrol) yang berfungsi mempertahankan kestabilan nilai ∆𝜃𝜃. Pada nilai 𝑞𝑞𝑔𝑔 yang kecil, kontrol masih mampu mempertahankan kestabilan nilai ∆𝜃𝜃 seperti ditunjukkan pada gambar 4.8. 6.


Gambar 4.9 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) dan elevator (∆𝛿𝛿𝑒𝑒 ) untuk 𝑢𝑢𝑔𝑔 = 100 ft/s, 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 100 ft/s, dan 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−2 derajat/s

R


44

Nilai ∆𝜃𝜃 maksimum dari data yang diperoleh yaitu 5,4470o. Nilai maksimum

∆𝛿𝛿𝑒𝑒 dari data yang diperoleh yaitu 436,9073o. Karena dilakukan sampai detik ke 4000, waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi menjadi lebih lama, yaitu

7705,22 detik. Gambar 4.9 menunjukkan proses penstabilan ∆𝜃𝜃 (perubahan sudut

kemiringan pesawat) yang kurang sempurna. Hal ini disebabkan karena nilai gangguan 𝑞𝑞𝑔𝑔 yang konstan (1 × 10−2 derajat/s) sementara nilai ∆𝑞𝑞1 berubah-ubah

sesuai dengan persamaan yang diberikan. Pada saat tertentu, terjadi lonjakan nilai 𝑞𝑞′ yang menyebabkan ikut melonjaknya nilai ∆𝜃𝜃. Hal ini berpengaruh pada kontrol yang

diberikan untuk menjaga kestabilan nilai ∆𝜃𝜃. Terlihat pada gambar 4.9, pada saat ∆𝜃𝜃

melonjak, kontrol ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 (sudut kemiringan elevator) ikut melonjak secara ekstrim.

Lonjakan ini menandakan kontrol bekerja mengembalikan kestabilan ∆𝜃𝜃 setelah terjadi lonjakan seperti terlihat pada gambar 4.9. Setelah terjadi lonjakan, nilai ∆𝜃𝜃

kembali bergerak menuju 0 (stabil). Namun, hal ini sulit dilakukan pada alat yang

sebenarnya karena lonjakan ∆𝛿𝛿𝑒𝑒 yang terlalu ekstrim. Hal ini menunjukkan bahwa

kontrol yang didesain mampu mengendalikan gerak longitudinal pesawat untuk gangguan 𝑞𝑞𝑔𝑔 yang kecil.

4.4. Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta sebagai Pembanding Dilakukan komputasi pendekatan numerik menggunakan metode RungeKutta untuk melakukan simulasi respon sistem terhadap kontrol dengan interval waktu komputasi yang bervariasi.


1.

45

Untuk ℎ (interval waktu) = 0,1 detik

Gambar 4.10 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) untuk ℎ = 0,1 s Untuk ℎ (interval waktu) 0,1 detik, komputasi tidak memberikan hasil yang

akurat. Hal ini ditunjukkan dengan nilai ∆𝜃𝜃 yang menuju tak berhingga seperti terlihat pada gambar 4.10. Padahal, pada pendekatan numerik dengan metode ParkerSochacki untuk kasus yang sama (gambar 4.8), kontrol masih mampu mengendalikan ∆𝜃𝜃 untuk nilai 𝑞𝑞𝑔𝑔 = 1 × 10−3 derajat/s. Waktu yang diperlukan untuk melakukan

komputasi metode Runge-Kutta ini adalah 1907,95 detik.


2.

46

Untuk ℎ = 0,01 detik

Gambar 4.11 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) untuk ℎ = 0,01 s Untuk interval waktu 0,01 detik, komputasi tidak dapat memberikan hasil yang cukup akurat. Hal ini ditunjukkan pada nilai ∆𝜃𝜃 yang melonjak sangat rendah seperti pada gambar 4.11. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi ini

yaitu 1909,73 detik. Komputasi yang menghasilkan gambar 4.11 ini hanya dilakukan untuk simulasi selama 100 detik. Dibutuhkan waktu yang jauh lebih lama untuk simulasi kontrol selama 1000 detik.


3.

47

Untuk ℎ = 0,001 detik

Gambar 4.12 Perubahan sudut kemiringan pesawat (∆𝜃𝜃) untuk h = 0,001 s Untuk interval waktu 0,001 detik, komputasi juga belum dapat memberikan hasil yang cukup akurat. Hal ini ditunjukkan pada nilai ∆𝜃𝜃 yang melonjak sangat

tinggi seperti pada gambar 4.12, walaupun lonjakan sudat tidak setinggi lonjakan ∆𝜃𝜃

pada saat dilakukan simulasi untuk interval waktu 0,01 detik (gambar 4.11). Seperti pada komputasi untuk interval waktu 0,01 detik, simulasi hanya dilakukan selama 100 detik karena dibutuhkan waktu komputasi yang sangat lama untuk memperoleh data simulasi selama 1000 detik. Waktu yang diperlukan untuk melakukan komputasi ini yaitu 18716,51 detik.


48

Dilakukan simulasi menggunakan pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta selama 3,5 detik pertama dan dibandingkan dengan pendekatan numerik Parker-Sochacki dalam waktu yang sama. Hasil simulasi dijabarkan pada tabel 4.1. Tabel 4.1 Perbandingan tingkat keberhasilan pendekatan numerik untuk interval waktu 0,1 detik, 0,01 detik, dan 0,001 detik antara metode Runge-Kutta dan ParkerSochacki No.

Interval waktu (detik)

1

0,1

Metode Runge-Kutta Mulai melonjak di detik

Metode ParkerSochacki Berhasil dilakukan

ke 0,4. 2

0,01

Mulai melonjak di detik

-

ke 1,08. 3

0,001

Mulai melonjak di detik

-

ke 3,232.

Pada data tabel ditunjukkan bahwa pada interval waktu 0,1 detik pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta hanya mampu melakukan simulasi sampai detik ke 0,3. Pada detik ke 0,4 nilai ∆𝜃𝜃 mulai melonjak sehingga menghasilkan simulasi seperti terlihat pada gambar 4.10. Pada interval waktu 0,01 detik, pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta mampu melakukan simulasi sampai detik ke 1,07. Pada detik ke 1,08 nilai ∆𝜃𝜃 mulai melonjak dan menghasilkan simulasi seperti

terlihat pada gambar 4.11. Pada interval waktu 0,001 detik, pendekatan numerik

dengan metode Runge-Kutta mampu melakukan simulasi sampai detik ke 3,232. Pada detik ke 2,233 nilai ∆𝜃𝜃 mulai melonjak dan menghasilkan simulasi seperti terlihat


49

pada gambar 4.12. Grafik hasil simulasi pendekatan numerik Runge-Kutta ditunjukkan pada gambar 4.13.

Gambar 4.13 Perbandingan simulasi menggunakan pendekatan numerik Runge-Kutta untuk interval waktu 0,1 detik, 0,01 detik, dan 0,001 detik dengan pendekatan numerik Parker-Sochacki untuk interval waktu 0,1 detik

Berdasarkan grafik di atas, dapat dilihat bahwa dengan metode Runge-Kutta, pada interval waktu 0,001 detik hasil yang diperoleh lebih akurat dibandingkan hasil yang diperoleh pada interval waktu yang lebih besar (0,01 detik dan 0,1 detik). Namun, diperlukan waktu jauh lebih lama untuk memperoleh hasil yang lebih akurat. Hal ini disebabkan banyaknya iterasi yang harus dilakukan untuk mendapatkan hasil yang sama. Untuk interval waktu 0,001 detik (gambar 4.12), diperlukan 100000 kali


50

iterasi untuk mensimulasikan gerak pesawat selama 100 detik. Untuk interval waktu yang lebih besar, jumlah iterasi yang diperlukan menjadi lebih sedikit sehingga diperlukan waktu komputasi yang lebih singkat. Namun, hasil yang diperoleh menjadi semakin tidak akurat. Pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki yang dilakukan pada penelitian ini menggunakan interval waktu 0,1 detik untuk setiap pelaksanaan komputasi. Hasil yang diperoleh jauh lebih akurat dibandingkan dengan metode Runge-Kutta untuk interval waktu yang sama (0,1 detik). Karena itu, untuk mendapatkan hasil yang cukup akurat bagi metode ini, iterasi yang diperlukan jauh lebih sedikit. Akibatnya, waktu komputasi yang diperlukan juga lebih sedikit. Maka, metode Parker-Sochacki lebih baik dibandingkan metode Runge-Kutta untuk melakukan pendekatan numerik sistem pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode ruang keadaan.


BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan Telah dilakukan komputasi pendekatan numerik sistem pilot otomatis untuk penerbangan menggunakan metode Parker-Sochacki. Dari penelitian ini dapat disimpulkan bahwa 1.

Metode ruang keadaan dapat digunakan untuk mendesain kontrol optimal gerak longitudinal pesawat.

2.

Gangguan angin searah elemen kecepatan sudut pesawat searah sumbu 𝑦𝑦 yang

terus menerus mengakibatkan penyelesaian analitik untuk simulasi kontrol dan respon pesawat sulit dilakukan. Kombinasi metode Parker-Sochacki dan metode ruang keadaan dapat digunakan untuk mendesain kontrol dan melakukan simulasi respon pesawat dengan adanya gangguan tersebut.

3.

Desain kontrol yang dihasilkan dari kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik Parker-Sochacki pada kasus pesawat yang terkena gangguan angin mampu menanggulangi gangguan yang searah kecepatan sudut pesawat dengan nilai kecil.

4.

Metode Parker-Sochacki menghasilkan pendekatan yang

lebih akurat

dibandingkan dengan metode Runge-Kutta pada interval waktu yang sama (0,1 detik).

51


5.

52

Metode Runge-Kutta dengan interval waktu 0,001 detik mampu menghasilkan pendekatan yang hampir sama akurat dengan metode Parker-Sochacki untuk 3,5 detik pertama. Namun, setelah 3,5 detik, kesalahan pendekatan dengan metode Runge-Kutta semakin besar sehingga hasil yang diperoleh tidak lagi akurat.

5.2. Saran Pada penelitian ini, matriks keadaan sistem pesawat dianggap hanya berubah pada elemen kecepatan pesawat. Pada sistem yang sebenarnya, saat terkena gangguan, matriks keadaan sistem berubah secara keseluruhan. Untuk penelitian yang selanjutnya, sebaiknya perubahan matriks keadaan sistem lebih diperhatikan agar hasil yang diperoleh lebih baik. Pada penelitian ini, nilai gangguan searah elemen kecepatan sudut pesawat searah sumbu 𝑦𝑦 dibatasi pada nilai yang kecil. Diharapkan pada penelitian

selanjutnya dapat dimodifikasi kontrol pesawat yang dapat menanggulangi nilai gangguan yang lebih besar.


DAFTAR PUSTAKA Chapra, S. C. 2008. Applied Numerical Methods with MATLAB, for Engineers and Scientists. New York: McGraw-Hill. van Groesen, E. dan Molenaar, J. 2007. Continuum Modelling in the Physical Sciences. Philadelphia: Siam. Heffley,

R.

K.

dan

Jewell,

W.

F.

1972.

Aircraft

Handling

Qualities

Data. http://jsbsim.sourceforge.net/NASA_CR-2144.pdf. Diakses: 24 Maret 2011. Meyers, R. A. 1992. Encyclopedia of Physical Science and Technology Second Edition. San Diego: Academic Press, Inc. Nelson, R. C. 1998. Flight Stability and Automatic Control Second Edition. Singapore: McGraw-Hill. Ogata, K. 1985. Teknik Kontrol Automatik.Jakarta: Erlangga. Parker,

G.

E.

dan

Sochacki,

J.

S.

1996.

Implementing

the

Picard

Iteration. http://www.math.jmu.edu/~jim/full.pdf. Diakses 17 Agustus 2010. Steward, R. D. dan Bair, W. 2009. Spiking Neural Network Simulation: Numerical Integration Method.

With

the

Parker-Sochacki

http://springerlink.com/content/8q431074727r41h2/fulltext.html.

Diakses: 22 Oktober 2010.

53


Lampiran 1 Listing Program untuk Penyelesaian Analitik tic h=0.1; b=10000; for time=1:b t=time*h; th(time)=5*((-0.0020872-0.0102818*i)*exp((-1.800142.40155*i)*t)-(0.0020872-0.0102818*i)*exp((1.80014+2.40155*i)*t)+(0.502087+0.234752*i)*exp((-0.004999230.0998723*i)*t)+(0.502087-0.234752*i)*exp((0.00499923+0.0998723*i)*t)); end plot(h:h:(h*b),th) toc

Listing Program untuk Pendekatan Numerik dengan Metode Parker-Sochacki tic ug=1; wg=1; qg=0.05; u(1)=0; w(1)=0; q(1)=qg+0.1; th(1)=5; h=0.1; b=10000; B=[0.959;-6.42;-0.378;0]; syms k1 k2 k3 k4

54


for time=1:b s=q(1)/(q(1)-qg); A=[-0.0209 0.122 0 -32.2;-0.202 -0.512 218.5725*s 0;0.000117 0.00177 -0.357 0;0 0 s 0]; D=solve('(9.59e-1)*k1-6.42*k2-(3.78e1)*k3+0.8899=3.61','(5.0131e-2)*k1-2.6198*k2-(2.1269e-1)*k3(3.8687e-1)*s-82.6204*k2*s-(3.78e-1)*k4*s+(2.2559e1)=9.05','1.7209*k1*s-(1.1706e-1)*k2-(1.3975e-2)*k3-(7.4382e3)*s-(1.0433e-1)*k1-1.7022*k2*s-(2.1269e-1)*k4*s+(1.2618e2)=0.126','6.5978*k1*s-(9.5839e-3)*s-2.4828*k2*s-(1.3975e2)*k4*s=0.09',k1,k2,k3,k4); k(1)=subs(D.k1); k(2)=subs(D.k2); k(3)=subs(D.k3); k(4)=subs(D.k4); de(1)=-(k(1)*(u(1)-ug)+k(2)*(w(1)-wg)+k(3)*(q(1)qg)+k(4)*th(1)); for n=2:4 if n==2 u(n)=A(1,1)*(u(n-1)-ug)+A(1,2)*(w(n-1)wg)+A(1,3)*(q(n-1)-qg)+A(1,4)*th(n-1)+B(1)*de(n-1); w(n)=A(2,1)*(u(n-1)-ug)+A(2,2)*(w(n-1)wg)+A(2,3)*(q(n-1)-qg)+A(2,4)*th(n-1)+B(2)*de(n-1); q(n)=A(3,1)*(u(n-1)-ug)+A(3,2)*(w(n-1)wg)+A(3,3)*(q(n-1)-qg)+A(3,4)*th(n-1)+B(3)*de(n-1); th(n)=A(4,1)*(u(n-1)-ug)+A(4,2)*(w(n-1)wg)+A(4,3)*(q(n-1)-qg)+A(4,4)*th(n-1)+B(4)*de(n-1); de(n)=-(u(n)*k(1)+w(n)*k(2)+q(n)*k(3)+th(n)*k(4)); else

55


u(n)=(A(1,1)*u(n-1)+A(1,2)*w(n-1)+A(1,3)*q(n1)+A(1,4)*th(n-1)+B(1)*de(n-1))/(n-1); w(n)=(A(2,1)*u(n-1)+A(2,2)*w(n-1)+A(2,3)*q(n1)+A(2,4)*th(n-1)+B(2)*de(n-1))/(n-1); q(n)=(A(3,1)*u(n-1)+A(3,2)*w(n-1)+A(3,3)*q(n1)+A(3,4)*th(n-1)+B(3)*de(n-1))/(n-1); th(n)=(A(4,1)*u(n-1)+A(4,2)*w(n-1)+A(4,3)*q(n1)+A(4,4)*th(n-1)+B(4)*de(n-1))/(n-1); de(n)=-(u(n)*k(1)+w(n)*k(2)+q(n)*k(3)+th(n)*k(4)); end end

m=length(u); for iter=1:m U2(iter)=u(iter)*h^(iter-1); W2(iter)=w(iter)*h^(iter-1); Q2(iter)=q(iter)*h^(iter-1); TH2(iter)=th(iter)*h^(iter-1); DE2(iter)=de(iter)*h^(iter-1); end U(time)=sum(U2); W(time)=sum(W2); Q(time)=sum(Q2); TH(time)=sum(TH2); DE(time)=sum(DE2); u(1)=U(time); w(1)=W(time); q(1)=Q(time); th(1)=TH(time); end

56


subplot(2,1,1) plot(h:h:(h*(b)),TH,'k') ylabel('\fontsize{16}\it{\theta}^o') xlabel('\fontsize{14}waktu (detik)') subplot(2,1,2) plot(h:h:(h*(b)),DE) ylabel('\fontsize{16}\it{\delta_e}') xlabel('\fontsize{14}waktu (detik)') toc

Listing Program untuk Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta tic ug=1; wg=1; qg=0.01; u(1)=0; w(1)=0; q(1)=qg+0.1; th(1)=5; h=0.001; b=100000; B=[0.959;-6.42;-0.378;0]; syms k1 k2 k3 k4 for time=2:b s=q(time-1)/(q(time-1)-qg); A=[-0.0209 0.122 0 -32.2;-0.202 -0.512 218.5725*s 0;0.000117 0.00177 -0.357 0;0 0 s 0]; D=solve('(9.59e-1)*k1-6.42*k2-(3.78e1)*k3+0.8899=3.61','(5.0131e-2)*k1-2.6198*k2-(2.1269e-1)*k3-

57


58

(3.8687e-1)*s-82.6204*k2*s-(3.78e-1)*k4*s+(2.2559e1)=9.05','1.7209*k1*s-(1.1706e-1)*k2-(1.3975e-2)*k3-(7.4382e3)*s-(1.0433e-1)*k1-1.7022*k2*s-(2.1269e-1)*k4*s+(1.2618e2)=0.126','6.5978*k1*s-(9.5839e-3)*s-2.4828*k2*s-(1.3975e2)*k4*s=0.09',k1,k2,k3,k4); k(1)=subs(D.k1); k(2)=subs(D.k2); k(3)=subs(D.k3); k(4)=subs(D.k4); u2=u(time-1)-ug; w2=w(time-1)-wg; q2=q(time-1)-qg; A1=A-B*k; ku1=A1(1,1)*u2+A1(1,2)*w2+A1(1,3)*q2+A1(1,4)*th(time-1); ku2=A1(1,1)*(u2+0.5*h*ku1)+A1(1,2)*(w2+0.5*h*ku1)+A1(1,3)*(q2+0. 5*h*ku1)+A1(1,4)*(th(time-1)+0.5*h*ku1); ku3=A1(1,1)*(u2+0.5*h*ku2)+A1(1,2)*(w2+0.5*h*ku2)+A1(1,3)*(q2+0. 5*h*ku2)+A1(1,4)*(th(time-1)+0.5*h*ku2); ku4=A1(1,1)*(u2+h*ku3)+A1(1,2)*(w2+h*ku3)+A1(1,3)*(q2+h*ku3)+A1( 1,4)*(th(time-1)+h*ku3); u(time)=u(time-1)+1/6*h*(ku1+2*ku2+2*ku3+ku4); kw1=A1(2,1)*u2+A1(2,2)*w2+A1(2,3)*q2+A1(2,4)*th(time-1); kw2=A1(2,1)*(u2+0.5*h*kw1)+A1(2,2)*(w2+0.5*h*kw1)+A1(2,3)*(q2+0. 5*h*kw1)+A1(2,4)*(th(time-1)+0.5*h*kw1); kw3=A1(2,1)*(u2+0.5*h*kw2)+A1(2,2)*(w2+0.5*h*kw2)+A1(2,3)*(q2+0. 5*h*kw2)+A1(2,4)*(th(time-1)+0.5*h*kw2); kw4=A1(2,1)*(u2+h*kw3)+A1(2,2)*(w2+h*kw3)+A1(2,3)*(q2+h*kw3)+A1( 2,4)*(th(time-1)+h*kw3); w(time)=w(time-1)+1/6*h*(kw1+2*kw2+2*kw3+kw4);


59

kq1=A1(3,1)*u2+A1(3,2)*w2+A1(3,3)*q2+A1(3,4)*th(time-1); kq2=A1(3,1)*(u2+0.5*h*kq1)+A1(3,2)*(w2+0.5*h*kq1)+A1(3,3)*(q2+0. 5*h*kq1)+A1(3,4)*(th(time-1)+0.5*h*kq1); kq3=A1(3,1)*(u2+0.5*h*kq2)+A1(3,2)*(w2+0.5*h*kq2)+A1(3,3)*(q2+0. 5*h*kq2)+A1(3,4)*(th(time-1)+0.5*h*kq2); kq4=A1(3,1)*(u2+h*kq3)+A1(3,2)*(w2+h*kq3)+A1(3,3)*(q2+h*kq3)+A1( 3,4)*(th(time-1)+h*kq3); q(time)=q(time-1)+1/6*h*(kq1+2*kq2+2*kq3+kq4); kth1=A1(4,1)*u2+A1(4,2)*w2+A1(4,3)*q2+A1(4,4)*th(time-1); kth2=A1(4,1)*(u2+0.5*h*kth1)+A1(4,2)*(w2+0.5*h*kth1)+A1(4,3)*(q2 +0.5*h*kth1)+A1(4,4)*(th(time-1)+0.5*h*kth1); kth3=A1(4,1)*(u2+0.5*h*kth2)+A1(4,2)*(w2+0.5*h*kth2)+A1(4,3)*(q2 +0.5*h*kth2)+A1(4,4)*(th(time-1)+0.5*h*kth2); kth4=A1(4,1)*(u2+h*kth3)+A1(4,2)*(w2+h*kth3)+A1(4,3)*(q2+h*kth3) +A1(4,4)*(th(time-1)+h*kth3); th(time)=th(time-1)+1/6*h*(kth1+2*kth2+2*kth3+kth4); end plot(h:h:(h*(b)),th) ylabel('\fontsize{16}\it{\theta}^o') xlabel('\fontsize{14}waktu (detik)') toc

PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT OTOMATIS UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN METODE PARKER-SOCHACKI

Recommend Documents