KONTROL OPTIMAL UNTUK DISTRIBUSI TEMPERATUR DENGAN PENDEKATAN BEDA HINGGA
ASRI BUDI HASTUTI 1205 100 006 Dosen Pembimbing: Drs. Drs. Kamiran, Kamiran, M.Si M.Si
Pendahuluan Kontrol optimal temperatur fluida suatu kontainer sangat diperlukan untuk menjaga kondisi benda yang tersimpan didalamnya. Permasalahan kontrol muncul untuk mengendalikan perubahan temperatur pada dinding‐dinding kontainer. Hal ini disebabkan pada bagian ini terjadi reaksi antara partikel yang bergerak pada bagian padat dinding tersebut akibat pengaruh dari luar dengan partikel yang bergerak pada bagian dalam kontainer (fluida). Ole karena itu, penelitian ini bertujuan untuk mengontrol temperatur pada dinding‐dinding kontainer sedemikian hingga temperatur pada bagian tersebut sesuai dengan kondisi temperatur yang diharapkan. Untuk menyelesaikan permasalahan kontrol diatas maka kontainer digambarkan dalam domain dimensi dua dan mempunyai model matematika berupa sistem persamaan differensial parsial. Analisis terhadap fungsional biaya dilakukan untuk memberikan spesifikasi dari sistem. Dari analisis fungsional ini muncul masalah kontrol optimal dengan konstrain berupa persamaan differensial parsial. Oleh karena itu bentuk konstrain ini akan diubah menjadi persamaan linier menggunakan pendekatan beda hingga. Melalui pendekatan beda hingga, masalah kontrol optimal menjadi masalah kontrol optimal diskrit dengan konstrain linier. Selanjutnya, masalah kontrol optimal ini diselesaikan menggunakan metode pengali Lagrange.
Perumusan Masalah Bagaimana mengontrol temperatur pada interface dari kontainer sedemikian hingga temperatur pada bagian tersebut sesuai dengan kondisi temperatur yang diharapkan.
Batasan Masalah Kontainer adalah tempat yang menyimpan benda-benda yang perlu dijaga temperaturnya. Bentuk fisik kontainer ditentukan dan direpresentasikan dalam domain dimensi dua. Pendiskritan domain menggunakan metode beda hingga. Model matematika yang dipakai untuk menggambarkan permasalahan adalah persamaan Navier-Stokes. Masalah kontrol optimal yang dibahas diasumsikan well posed.
Tujuan Mendapatkan kontrol optimal yang dapat meminimalkan kesalahan pada sistem.
Manfaat Terjaganya kualitas benda-benda yang tersimpan dalam kontainer.
METODE PENELITIAN
Desain Kontrol
Domain Permasalahan Γ2 Γ1
Bodi padat domain Ω1
Γ3
Γw Γc
Aliran fluida domain Ω2
Γ4
Γo
Asumsi Aliran Fluida • Aliran fluida stationer (tidak bergerak) • Incompressible (takmampumampat) • Aliran stedi • Aliran konveksi
Persamaan Navier‐Stokes
• Syarat incompressible
|
Syarat Batas pada pada pada
Governing Equation ,
• Subdomain Padat
|
Subdomain Fluida
Syarat Batas pada pada
VARIABEL Keterangan: Variabel keadaan, u : Kecepatan p : Tekanan T : Temperatur g : Fungsi kontrol Fungsi data f, h, Q1 dan Q2 diasumsikan diketahui. Konstanta v adalah koefisien viskositas kinematik dan konstanta k1, k2 bergantung pada koefisien konduktivitas termal.
Analisis Fungsional Biaya Indeks Performansi Kesalahan Sistem Batas Kontrol Parameter Regulasi Jadi, Indeks Performansi pada Penelitian ini adalah
: Temperatur yang diharapkan
Masalah Kontrol Optimal (P1)
Diskritisasi Domain
Diskritisasi Persamaan Panas • Subdomain Padat
Dengan metode beda hingga diperoleh
Sehingga persamaan Matrik Subdomain Padat
Diskritisasi Persamaan Energi
• Subdomain Fluida
Dengan metode beda hingga diperoleh
|
Persamaan Matrik Fluida
Persamaan Matrik Kekakuan dengan : Matrik Kekakuan Global : Vektor Beban Global
Diskritisasi Fungsional Biaya
dengan : Panjang elemen yang berada pada koordinat : Panjang elemen yang berada pada koordinat
Masalah Kontrol Optimal Diskrit (P1)
Penyelesaian DP1 Menggunakan Metode Pengali LAgrange .
Fungsi Lagrangian
Kondisi Ekstrim (1) (2) (3)
|
Temperatur Node
Hasil (1)
Letak Node Kontrol |
atau
|
Hasil (2)
dan
¾ Hasil (3)
|
Temperatur Optimal
Hasil (3) selanjutnya disubstitusikan ke Hasil (1) untuk mendapatkan dari persamaan dengan
dan
Simulasi ,
Matrik Kekakuan Global ini diperoleh dengan memberikan input sebagai berikut: k 1 : 1 k 2 : 2 Q 1 : 6 Q 2 : 0 Penyelesaian Navier‐Stokes
= 0.01 1. Diskritisasi 8x8
Gambar 3. Bentuk kontrol optimal
Gambar 4. Temperatur pada interface
= 0.01 2. Diskritisasi 13x13
Gambar 5. Temperatur pada interface
= 0.00001 1. Diskritisasi 8x8
Gambar 6. Bentuk kontrol
Gambar 7. Temperatur pada interface
= 0.00001 2. Diskritisasi 13x13
Gambar 8. Bentuk kontrol
Gambar 9. Temperatur pada interface
KESIMPULAN 1. Dengan metode beda hingga, kontrol optimal untuk masalah temperatur fluida didalam suatu kontainer diberikan oleh persamaan berikut dengan kontrol diletakkan sepanjang sumbu
dan
2. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa perubahan parameter regulasi δ sangat mempengaruhi besarnya kontrol sehingga mempengaruhi total dari fungsional biaya sedangkan banyaknya diskritisasi pada domain tidak banyak mempengaruhi total fungsional biaya.
DAFTAR PUSTAKA [
y Coddington, E.A dan Levinson, N., 1980, Theory of Ordinary Differential y y y y y y y
Equations. McGraw‐Hill Inc, New York. Desieni, S.N, 2002, Optimal Control Systems, CRC Presses LCC, USA Dorf, R.C, (1989,) Modern Control System, Addison Wesley Publishing Company, Inc,California Naidu,D.S, (2003),Optimal Control Systems,CRC Press, Florida Pinch, E. R. 1993. Optimal Control and The Calculus of Variations. Oxford University Press Inc., New York. Segerlind, L. J, (1984), Applied FiniteElement Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York Shenoy, A. R, Cliff, E.M, Heinkenschloss, M. 1996. Thermal Fluid‐Control via Finite‐ Dimensional Approximation. Journal of Thermophysics 96‐1910. Smith, G.D. 2005. Numerical Solution of Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon Press.
TERIMA KASIH
