PEMODELAN DATA DERET WAKTU YANG MENGANDUNG EFEK VARIASI KALENDER PADA KASUS PENJUALAN PRODUK DI PERUSAHAAN RITEL

Seminar Nasional Statistika IX Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 7 November 2009

PEMODELAN DATA DERET WAKTU YANG MENGANDUNG EFEK VARIASI KALENDER PADA KASUS PENJUALAN PRODUK DI PERUSAHAAN RITEL Y.P.Y. Asmara1, Suhartono2 dan A.J. Endharta3 1

Mahasiswa S1 Jurusan Statistika, ITS, Surabaya 2 Dosen Jurusan Statistika, ITS, Surabaya 3 Mahasiswa S2 Jurusan Statistika, ITS, Surabaya [email protected]; [email protected]; [email protected]

ABSTRAK Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mengembangkan model variasi kalender berdasarkan pendekatan regresi deret waktu untuk peramalan data penjualan produk di suatu perusahaan ritel. Model regresi deret waktu yang dikembangkan adalah model regresi berganda yang berbasis pada penggunaan variabel dummy untuk pola tren, musiman, dan efek variasi kalender. Sebagai studi kasus, data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penjualan bulanan celana panjang wanita di suatu perusahaan ritel selama Januari 2002 sampai September 2009. Hasil pemodelan memberikan dua model regresi, yaitu model untuk rekonstruksi pola penjualan yang telah terjadi dan model untuk prediksi efek penjualan karena ada Lebaran pada bulan dimana Lebaran itu terjadi dan efek penjualan pada satu bulan sebelumnya. Hasil perbandingan ketepatan ramalan menunjukkan bahwa model regresi deret waktu yang dikembangkan memberikan hasil ramalan yang lebih baik dibanding model-model deret waktu klasik untuk data musiman, yaitu model dekomposisi dan ARIMA. Kata-kata kunci: regresi deret waktu, variabel dummy, tren, musiman, variasi kalender, Lebaran.

1. Pendahuluan Data penjualan produk di suatu perusahaan ritel seringkali dikumpulkan per bulan, sehingga termasuk data deret waktu bulanan. Secara umum, ada dua tipe efek kalender pada data deret waktu bulanan. Yang pertama, banyaknya kegiatan ekonomi dapat berubah tergantung pada hari dalam satu minggu. Karena banyaknya hari berbeda tiap bulan atau tahun, pengamatan ini dapat dipengaruhi variasi kalender. Efek variasi seperti ini, terutama yang disebabkan oleh banyaknya hari transaksi atau hari kerja tiap bulan, dinamakan efek hari kerja (Hillmer, Bell, dan Tiao, 1981; Hillmer, 1982; Bell dan Hillmer, 1983). Selain

1

variasi akibat perbedaan banyaknya hari kerja, beberapa festival atau hari libur, seperti Paskah dan Tahun Baru Imlek dibuat berdasarkan kalender bulan dan tanggal hari libur tersebut berubah sekitar 2 bulan dalam kalender masehi tiap tahunnya. Karena hari libur dapat sangat mempengaruhi aktivitas perdagangan dan pola konsumen, pengamatan deret waktunya dapat beragam tergantung di bulan apa terdapat hari libur yang mengikuti system kalender bulan. Efek kalender demikian disebut sebagai efek hari libur (Liu, 1986). Kalender Hijriyah, yang termasuk kalender bulan berdasarkan 12 bulan dalam 1 tahun dengan 354 atau 355 hari, digunakan di beberapa negara Islam dan digunakan untuk menentukan hari besar Islam. Indonesia sebagai negara yang mayoritas penduduknya beragama Islam, juga menggunakan kalender Hijriyah untuk menentukan hari besar Islam, misalnya hari Lebaran. Variasi kalen-der muncul dengan adanya hari besar Islam ini. Efek-efek variasi kalender dapat diketahui dari banyaknya perdagangan sekitar hari Lebaran, antara lain sebelum, selama, dan/atau sesudah Lebaran. Sebagai contoh, dalam makalah ini penjualan baju muslim pria di sebuah kota di Indonesia. Analisis deret waktu untuk data yang memiliki pola variasi kalender memerlukan penanganan khusus. Liu (1980) mempelajari efek variasi hari libur dengan identifikasi dan estimasi model ARIMA dan menyarankan suatu modifikasi model ARIMA dengan menyertakan informasi hari libur sebagai variabel input deterministik. Analisis deret waktu umum, seperti metode dekomposisi dan model ARIMA dapat memberikan hasil yang tidak benar, terutama mengenai pola musiman dan munculnya pencilan. Beberapa penelitian tentang analysis deret waktu untuk data yang mengandung pola variasi kalender telah dilakukan. Liu (1986) melakukan identifikasi model deret waktu untuk data yang memiliki pola variasi kalender. Dalam penelitiannya, Liu menggunakan model ARIMA dan tambahan variabel efek variasi kalender. Holden, Thompson, dan Ruangrit (2005) melakukan penelitian tentang variasi kalender pada harga saham harian di Thai Stock Market. Holden dkk. menggunakan beberapa model, antara lain regresi linier, General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH), dan Threshold Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (TARCH). Ketiga model ini dibandingkan dengan ketiga model yang sama, namun diberi tambahan variabel efek variasi kalender. Holden dkk. menunjukkan bahwa model-model dengan tambahan variabel efek variasi kalender memberikan hasil yang lebih baik daripada model-model tanpa tambahan variabel. Di Indonesia, sampai saat ini belum banyak penelitian tentang pengembangan model variasi kalender yang telah dilakukan. Suhartono (2006) telah mengembangkan model variasi kalender untuk peramalan penjualan bulanan produk sarden yang cenderung sangat tinggi pada bulan yang mengandung kejadian Idul Fitri. Dalam penelitian ini, akan dikembangkan suatu model regresi deret waktu untuk pemodelan data yang

2

mengandung pola variasi kalender, khususnya penjualan bulan suatu produk konveksi di perusahaan ritel. 2. Landasan Teori Pada bagian ini akan diterangkan beberapa teori dan metode yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu metode analisis deret waktu yang umum, antara lain metode dekomposisi dan model ARIMA musiman, dan yang berkaitan dengan pengembangan model variasi kalender berbasis regresi deret waktu, yaitu melalui penggunaan variabel dummy untuk menjelaskan pola tren, musiman, dan efek variasi kalender secara simultan. 2.1. Metode Dekomposisi Pada bagian ini dijelaskan metode dekomposisi aditif. Dasar metode dekomposisi adalah memisahkan komponen musiman dari komponen lainnya dari suatu deret data. Model dekomposisi aditif ditulis sebagai berikut (lihat Bowerman dan O’Connel, 1993).

yt Tt St Ct It

(1)

dengan

yt Tt St Ct It

= = = = =

pengamatan ke-t komponen trend ke-t komponen musiman ke-t komponen siklik ke-t komponen irregular ke-t .

2.2. Model ARIMA Musiman Model ARIMA musiman merupakan model deret waktu linier yang cukup fleksibel dan dapat digunakan dalam pemodelan beragam tipe musiman sebaik model deret waktu non-musiman. Model ARIMA musiman dapat ditulis secara matematis dengan (lihat Wei, 1990; Box, Jenkins, dan Reinsel, 1994; Cryer dan Chan, 2008): p (B)

S P (B )(1

B)d (1 BS )D yt

S q (B) Q (B ) t

,

(2)

dengan p (B) S P (B )

q (B)

S Q (B )

= = = =

1 1 1 1

 p Bp S 2S  P BPS 1B 2B 2  q Bq 1B 2B S 2S  QBQS , 1B 2B

1B

2 2B

dan S adalah periode musiman, B adalah operator backshift, dan t adalah deret noise dengan mean nol dan varians yang konstan. Box dan Jenkins (1976) menge-

3

nalkan suatu prosedur pembentukan model ARIMA musiman yang efektif berdasarkan struktur autokorelasi suatu deret waktu. 2.3. Regresi Deret Waktu untuk Tren, Musiman, dan Variasi Kalender Model regresi dalam analisis deret waktu memiliki bentuk yang sama dengan model regresi linier. Dengan mengasumsikan bahwa variabel respon, yt , untuk t 1,2,...,n dipengaruhi oleh variabel independen yang mungkin, dengan nilainya adalah pasti dan diketahui, hubungan ini dapat ditunjukkan sebagai model regresi linier (Shumway dan Stoffer, 2006). Bila data yt memiliki pola tren, dummy untuk tren (t) digunakan sebagai prediktor, dan dapat ditulis sebagai berikut:

yt

1t

0

wt

(3)

dengan wt adalah residual, yang harus berupa deret noise dan memenuhi asumsi IIDN(0, w2 ). Data dengan pola musiman S1,t , S2,t ,...,Ss,t , dapat ditulis secara matematis sebagai berikut:

yt

0

1S1,t

2 S2,t

...

s Ss,t

wt

(4)

dengan S1,t , S2,t ,...,Ss,t adalah variabel dummy yang mewakili pola musiman. Sebagai contoh, bila data berbentuk data bulanan, ada 12 variabel dummy musiman, yaitu 1 dummy mewakili 1 bulan. Bila data berbentuk kuartalan, ada 3 variabel dummy, dengan 1 dummy mewakili 1 kuartal. Model regresi linier untuk data yang mengandung variasi kalender adalah

yt

0

1V1,t

2V2,t

...

pVp,t

wt

(5)

dengan Vp,t adalah variabel dummy untuk efek variasi kalender ke-p. Banyaknya efek variasi kalender dapat diidentifikasi berdasarkan plot deret waktu atau pemahaman fenomena dari variasi kalender tersebut pada data. 3. Metodologi Penelitian Pada penelitian ini data yang digunakan sebagai studi kasus adalah data bulanan penjualan celana panjang wanita dari suatu perusahaan ritel di Klaten, yaitu penjualan mulai Januari 2002 sampai dengan September 2009. Data tujuh tahun pertama digunakan sebagai data in-sample dan data sisanya sebagai data out-sample. Ada dua tahap pemodelan regresi deret waktu yang dilakukan untuk mendapatkan model yang akan digunakan untuk peramalan data studi kasus. Pertama, pemodelan diawali dengan mengaplikasikan model regresi deret waktu yang dapat menjelaskan pola tren, musiman, dan efek variasi kalender. Pada tahap ini, penentuan variabel dummy untuk efek variasi kalender merupakan tahap yang paling penting. Kedua, pemodelan efek variasi kalender dengan pendekatan

4

regresi tren linier berdasarkan koefisien-koefisien regresi deret waktu yang pertama. Model ini pada akhirnya akan digunakan untuk menduga besarnya efek variasi kalender yang terjadi pada sembarang waktu atau tanggal. Pada tahap akhir analisis dilakukan evaluasi perbandingan ketepatan ramalan antara model regresi deret waktu yang dikembangkan dengan model deret waktu yang klasik, yaitu metode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Evaluasi kebaikan model difokuskan pada perbandingan hasil ramalan berdasarkan RMSE data out-sample. 4. Hasil Analisis Data Data penjualan bulanan celana panjang wanita di salah satu toko ritel di Klaten ditunjukkan pada Gambar 1. Berdasarkan gambar tersebut, diketahui bahwa penjualan celana panjang wanita memiliki pola variasi kalender. Pola variasi kalender yang terjadi disebabkan oleh adanya pengaruh hari Lebaran yang ditunjukkan oleh garis hijau putus-putus. Time Series Plot of Y(t) Des/2002 Nop/2003

2000

Nop/2004

Nop/2005 Okt/2006

Okt/2007

Okt/2008 9

11 10

10

1500

10

11

Y(t)

11

1000

10

9

12 11

500

10

4 6 3 5 78 9

678 67 8 9 9 3 9 12 3 6 1 45 45 2 45 7 8 10 23 2 2 1 12 1 1

0 Month Jan Year 2002

Jan 2003

Jan 2004

Jan 2005

9 3 3 67 8 67 12 4 5 1 45 8 121 11 2 2

Jan 2006

Jan 2007

3 45 12 11 1 2

8 67 12 11 10

Jan 2008

Gambar 1. Plot Deret Waktu Penjualan Bulanan Celana Panjang Wanita

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa efek hari Lebaran pada suatu bulan mempunyai pengaruh yang berbeda selama 7 tahun pengamatan. Gambar di atas menunjukkan bahwa secara umum ada dua bulan yang mengalami efek kenaikan akibat adanya Lebaran, yaitu satu bulan sebelum Lebaran dan bulan dimana Lebaran terjadi. Waktu terjadinya Lebaran, yaitu tanggal terjadinya Lebaran, memberikan pengaruh yang berbeda terhadap kenaikan penjualan satu bulan sebelum dan pada saat bulan Lebaran. Penjualan satu bulan sebelum Lebaran mengalami kenaikan yang paling besar apabila Lebaran jatuh pada tanggal di minggu pertama suatu bulan, seperti pada tahun 2002, 2005, dan 2008. Sebalik-

5

nya, jika Lebaran jatuh pada tanggal di minggu terakhir suatu bulan maka penjualan di bulan sebelumnya cenderung kecil, seperti yang terjadi pada tahun 2003 dan 2006. Sedangkan penjualan pada bulan dimana Lebaran terjadi mengalami kenaikan yang paling besar pada saat Lebaran jatuh pada tanggal di minggu terakhir suatu bulan, seperti pada tahun 2003 dan 2006. Secara umum dapat dijelaskan bahwa semakin tua tanggal Lebaran yang terjadi pada suatu bulan maka efek penjualan di bulan tersebut semakin besar, sebaliknya efek penjualan di satu bulan sebelumnya semakin kecil. Berikut adalah deskripsi lengkap tentang tanggal terjadinya Lebaran selama periode 2002 sampai dengan 2009. Tabel 1. Tanggal terjadinya Lebaran selama periode 2002-2009 Lebaran

Tahun

Tanggal

Keterangan

2002

6-7 Desember

Ada 5 hari sebelum Lebaran pada bulan Desember

2003

25-26 Nopember

Ada 24 hari sebelum Lebaran pada bulan Nopember

2004

14-15 Nopember

Ada 13 hari sebelum Lebaran pada bulan Nopember

2005

3-4 Nopember

Ada 2 hari sebelum Lebaran pada bulan Nopember

2006

23-24 Oktober

Ada 22 hari sebelum Lebaran pada bulan Oktober

2007

12-13 Oktober

Ada 11 hari sebelum Lebaran pada bulan Oktober

2008

1-2 Oktober

Ada 0 hari sebelum Lebaran pada bulan Oktober

2009

21-22 September

Ada 20 hari sebelum Lebaran pada bulan September

Besarnya penjualan yang terjadi pada bulan terjadinya Lebaran dan sebelumnya dikaitkan dengan tanggal terjadinya Lebaran secara grafik dapat dilihat pada Gambar 2 berikut ini. Individual Value Plot of Sales.Efect 2000

1965 1758 1648

1583

Sales.Efect

1500

1599

1383 1178

1000

842

779

913

669 535

500

525

255

0 Date Event

1

3

6

12 14 23 25 Lebaran

1

3

6 12 14 23 25 Lebaran-1

Gambar 2. Diagram efek tanggal Lebaran terhadap penjualan di bulan Lebaran dan sebelumnya

6

4.1. Pengembangan Model Regresi Deret Waktu untuk Peramalan Data yang Mengandung Efek Variasi Kalender Sampai saat ini belum ada prosedur baku untuk pembentukan model deret waktu yang mengandung efek variasi kalender seperti metode Box-Jenkins pada pemodelan ARIMA. Pada bagian ini akan dikembangkan prosedur baru untuk pembentukan model regresi deret waktu yang dapat menjelaskan secara simultan pola tren, musiman, dan efek variasi kalender. Berikut ini adalah langkah-langkah yang telah dikembangkan pada prosedur baru tersebut. 1. Penentuan variabel dummy untuk periode variasi kalender Hasil deskripsi data pada bagian sebelumnya menunjukkan bahwa secara umum penjualan bulanan produk yang diamati mengandung variasi kalender karena adanya faktor Lebaran di suatu bulan. Efek faktor Lebaran terjadi pada dua waktu pengamatan, yaitu pada bulan dimana Lebaran terjadi dan satu bulan sebelumnya. Hasil identifikasi juga menunjukkan bahwa tanggal terjadinya Lebaran yang berimplikasi pada jumlah hari sebelum Lebaran pada suatu bulan mempunyai efek yang berbeda terhadap penjualan. Efek tersebut adalah semakin banyak jumlah hari sebelum Lebaran pada suatu bulan maka penjualan di bulan itu juga cenderung semakin besar. Sebaliknya, semakin banyak jumlah hari sebelum Lebaran pada suatu bulan maka penjualan di satu bulan sebelumnya cenderung semakin kecil. Berdasarkan identifikasi tersebut, dalam penelitian ini diusulkan untuk menggunakan Hj sebagai variabel dummy bulan yang terdapat Lebaran dan indeks j adalah jumlah hari sebelum Lebaran, SHj adalah variabel dummy bulan sebelum bulan Lebaran terjadi. Berikut adalah ringkasan dari variabel dummy yang digunakan. Tabel 2. Simbol variabel dummy yang digunakan dalam pemodelan Lebaran Tahun Tanggal

Variabel Dummy

2002

6-7 Desember

H5 =Desember, dan SH5 = Nopember

2003

25-26 Nopember

H24 =Nopember, dan SH24 = Oktober

2004

14-15 Nopember

H13 =Nopember, dan SH13 = Oktober

2005

3-4 Nopember

H2 =Nopember, dan SH2 = Oktober

2006

23-24 Oktober

H22 =Oktober, dan SH22 = September

2007

12-13 Oktober

H11 =Oktober, dan SH11 = September

2008

1-2 Oktober

H0 =Oktober, dan SH0 = September

2009

21-22 September

H20 =September, dan SH20 = Agustus

7

2. Penentuan tren deterministik dan musiman Model untuk tren dan musiman yang digunakan adalah model untuk tren linear dan model regresi dummy untuk pola musiman dengan panjang periode musiman p, yaitu : Tren

:

Musiman :

1t

0 1S1

2 S2

...

pSp .

3. Estimasi model variasi kalender berbasis regresi deret waktu untuk pola tren, musiman, dan efek variasi kalender secara simultan Tahap ini merupakan tahap pertama pemodelan regresi deret waktu untuk data yang mengandung variasi kalender, sekaligus tren linear dan musiman secara simultan. Secara matematis, model yang akan diestimasi adalah

yt

0

1t

0SH0

1S1

2SH2



2 S2



pSp

24SH24

Nt .

0 H0

2 H2



24H24

(6)

4. Uji apakah Nt sudah white noise atau belum. Jika belum, tambahkan lag data respon yang signifikan (orde autoregresif) berdasarkan plot ACF dan PACF dari Nt . 5. Estimasi model efek variasi kalender untuk berbagai kemungkinan jumlah hari sebelum Lebaran Tahap ini merupakan tahap kedua pemodelan regresi deret waktu untuk data yang mengandung variasi kalender, dalam kasus ini adalah pemodelan efek jumlah hari sebelum Lebaran pada penjualan di bulan tersebut dan bulan sebelumnya. Ada dua model tren penjualan yang diestimasi, yaitu : a. Model untuk efek jumlah hari sebelum Lebaran terhadap penjualan di bulan tersebut, ˆj 0 1j (7a) dengan j adalah jumlah hari sebelum terjadi Lebaran pada suatu bulan. Pada model ini, variabel respon yang digunakan adalah koefisien-koefisien regresi dari Persamaan (6), yaitu ˆ0 , ˆ2 ,, ˆ24. b. Model untuk efek jumlah hari sebelum Lebaran terhadap penjualan di satu bulan sebelum Lebaran terjadi,

ˆj

0

1j

(7b)

dengan j adalah jumlah hari sebelum terjadi Lebaran pada suatu bulan. Pada model ini, variabel respon yang digunakan adalah koefisien-koefisien regresi dari Persamaan (6), yaitu ˆ0 , ˆ2 ,, ˆ24. Model pada Persamaan (7a) dan (7b) merupakan model yang akan digunakan untuk memprediksi efek Lebaran pada penjualan di bulan itu dan sebelumnya.

8

4.2. Hasil Pemodelan Regresi Deret Waktu untuk Data Variasi Kalender Pada bagian ini akan dijelaskan hasil-hasil pemodelan regresi deret waktu pada data penjualan bulanan produk celana panjang wanita di atas. Tahap awal adalah estimasi parameter model pada Persamaan (6) dan dengan menggunakan MINITAB diperoleh hasil sebagai berikut

yˆt 1,64t 211S1 205S2 344S3 270S4 272S5 348S6 330S7 346S8 335S9 277S10 163S11 236S12 156H0 429H2 523H5 1192H11 1163H13 1276H22 1557H24 1498SH0 1247SH2 997SH5 395SH11 (8) 581SH13 107SH22 212SH24 . Hasil identifikasi signifikansi parameter dan kesesuaian dengan fenomena efek Lebaran terhadap penjualan, maka dilakukan eliminasi terhadap variabel H0 , dan diperoleh estimasi model baru yaitu

yˆt 1,49t 216S1 211S2 350S3 276S4 278S5 354S6 336S7 352S8 339S9 205S10 174S11 244S12 425H2 517H5 1173H11 1157H13 1356H22 1550H24 1506SH0 1325SH2 988SH5 401SH11 657SH13 (9) 122SH22 287SH24 . Setelah mendapatkan model yang sesuai dan memenuhi residual yang white noise, maka selanjutnya membuat regresi antara nilai koefisien variabel H dan SH terhadap nilai j seperti pada Persamaan (7a) dan (7b). Hasil estimasi parameter pada kedua model tersebut adalah sebagai berikut :

ˆ j 267,4 57,24j ,

(10a)

ˆ j 1336 52,91j .

(10b)

Model regresi pada Persamaan (10a) menjelaskan bahwa rata-rata kenaikan penjualan per hari sebelum Lebaran pada bulan tersebut adalah 57 unit produk. Sedangkan Persamaan (10b) menunjukkan rata-rata penurunan penjualan per hari pada satu bulan sebelum bulan Lebaran akibat berkurangnya hari sebelum Lebaran adalah 53 unit produk. Model regresi pada Persamaan (10a) dan (10b) secara visual dapat dilihat pada Gambar 3. Dengan demikian, model persamaan regresi deret waktu yang digunakan untuk meramalkan jumlah volume penjualan produk suatu bulan di waktu yang akan datang adalah

yˆt 1,49t 216S1 211S2 350S3 276S4 278S5 354S6 336S7 352S8 339S9 205S10 174S11 244S12 ˆ j H j ˆ j SHj , (11) dengan ˆ j dan ˆ j diperoleh berdasarkan persamaan regresi pada (10a) dan (10b), dan H dan SH sesuai dengan jumlah hari sebelum Lebaran pada suatu bulan.

9

1800

1600

1600

1400

1400

1200 gamma(j)

alpha(j)

1200 1000 800

alpha(j) = 267,4 +57,24 j

600

1000

600

400

400

200

200

0 0

5

10

j

15

20

0

25

gamma(j) = 1336 - 52,91 j

800

0

5

10

j

15

20

25

Gambar 3. Plot regresi alpha (Persamaan (10a)) dan gamma (Persamaan (10b))

4.3. Perbandingan Akurasi Ramalan antara Metode Dekomposisi, Model ARIMA Musiman, dan Model Regresi Deret Waktu Metode deret waktu umum, antara lain metode dekomposisi dan ARIMA musiman juga diaplikasikan pada data penjualan celana panjang wanita. Modelmodel ini dibandingkan dengan model regresi dummy. Berikut adalah tabel tentang ringkasan hasil perbandingan yang telah dilakukan. Tabel 1. Perbandingan RMSE in-sample dan out-sample RMSE

Model

in-sample

Dekomposisi aditif ARIMA(0,0,1)(0,1,0)

12

Regresi deret waktu

out-sample

311.4478

203.1433

254.0279

87.4730

94.0404

136.0546

Berdasarkan nilai RMSE in-sample pada Tabel 1 di atas, model regresi deret waktu menghasilkan ramalan yang lebih akurat dibandingkan metode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Namun, berdasarkan nilai RMSE out-sample model ARIMA musiman memberikan hasil ramalan yang lebih baik daripada model yang lain. Nilai RMSE out-sample ini hanya untuk ramalan sembilan bulan ke depan atau sampai bulan September 2009. Secara visual, penilaian kebaikan model dapat dilihat dari kedekatan nilai ramalan dan nilai aktualnya. Plot deret waktu pada Gambar 3 menunjukkan akurasi ramalan masing-masing model. Gambar 3(a) menunjukkan perbandingan data in-sample dengan hasil prediksinya, sedangkan Gambar 3(b) menunjukkan perbandingan data out-sample dengan hasil ramalannya selama empat tahun ke depan atau sampai dengan bulan Desember 2012. Terlihat pada Gambar 3(a) bahwa model dekomposisi dan ARIMA menghasilkan nilai ramalan yang lebih jauh dari nilai aktualnya daripada nilai ramalan yang dihasilkan model regresi deret waktu.

10

Meskipun nilai RMSE out-sample model ARIMA musiman jauh lebih kecil tetapi model ARIMA musiman ini tidak dapat memberikan ramalan yang baik jika lebih dari dua tahun. Model ARIMA musiman dan dekomposisi memberikan ramalan kejadian musiman yang selalu sama jaraknya sedangkan hari Lebaran akan selalu maju 10 sampai 11 hari setiap tahunnya. Efek variasi kalender yang seperti ini yang masih belum ditangkap oleh model dekomposisi dan ARIMA musiman. a

2500

6/7 Dec 02 Variable Y(t) Fits Decomp Fits ARIMA Fits RegresTS

25/26 Nov 03

14/15 Nov 04

3/4 Nov 05

23/24 Oct 06

12/13 Oct 07

1/2 Oct 08

2000

Data

1500 1000 500 0 Month Jan Year 2002 b

2500

Variable Data 2009 Decomp ARIMA RegresTS

Jan 2003

Jan 2004

21/22 Sep 09

Jan 2005

Jan 2006

10/11 Sep 10

Jan 2007

30/31 Aug 11

Jan 2008 19/20 Aug 12

Data

2000 1500 1000 500 0 Month Jan Year 2009

Jul

Jan 2010

Jul

Jan 2011

Jul

Jan 2012

Gambar 3. Plot deret waktu model dan ramalan

11

Jul

5. Kesimpulan Secara umum, data deret waktu yang dipengaruhi oleh variasi kalender bulan memerlukan perlakuan khusus dalam pemodelannya. Penggunaan metode dekomposisi dan model ARIMA musiman akan menghasilkan hasil yang kurang tepat dalam meramalkan data jenis ini. Model regresi deret waktu berbasis variabel dummy menghasilkan ramalan yang lebih akurat daripada hasil metode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Pada kasus data bulanan penjualan celana panjang wanita ini model terbaik adalah model regresi deret waktu dengan variabel dummy yang dikembangkan dengan pemahaman khusus tentang efek variasi kalender pada data. Model regresi deret waktu ini menghasilkan nilai RMSE in-sample sebesar 94.0404 dan RMSE out-sample sebesar 136.0546. DAFTAR PUSTAKA Bell, W.R., and Hillmer, S.C. 1983. Modeling Time Series with Calendar Variation. Journal of the American Statistical Association, 78, 526-534. Bowerman, B.L., and O’Connel, D. 1993. Forecasting and Time Series: An Applied Approach, 3rd Edition. California: Duxbury Press. Box, G.E.P., and Jenkins, G.M. 1976. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Fransisco: Holden-Day, Revised edn. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reinsel, G.C. 1994. Time Series Analysis, Forecasting and Control, 3rd Edition. Prentice Hall, Englewood Cliffs. Cryer, J.D., and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis. With Application in R, 2nd Edition. Springer. Hanke, J.E., and Wichern, D.W. 2005. Business Forecasting. NJ: Prentice Hall, Englewood Cliffs. Hillmer, S.C., Bell, W.R., and Tiao, G.C. 1981. Modeling Considerations in the Adjustment of Economic Time Series. Proceedings of the Conference of Applied Time Series Analysis of Economic Data. Ed. Arnold Zelner. U.S. Department of Commerce, Bureau of the Census, 74-100. Hillmer, S.C. 1982. Forecasting Time Series with Trading Day Variation. Journal of Forecasting, 1, 385-395. Holden, K., Thompson, J., and Ruangrit, Y. 2005. The Asian crisis and calendar effects on stock returns in Thailand. European Journal of Operational Research, 163, 242–252. Liu, L.M. 1980. Analysis of Time Series with Calendar Effects. Management Science, 2, 106-112. Liu, L.M. 1986. Identification of Time Series Models in the Presence of Calendar Variation. International Journal of Forecasting, 2, 357-372.

12

Shumway, R.H., and Stoffer, D.S. 2006. Time Series Analysis and Its Applications with R Examples, 2nd Edition. Springer Suhartono. 2006. Calendar Variation Model for Forecasting Time Series Data with Islamic Calendar Effect. Jurnal Matematika, Sains, & Teknologi, Vol. 7, No. 2, pp. 85-94. Wei, W.W.S. 1990. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Publishing Co., USA.

13