PEMILIHAN PORTOFOLIO DENGAN MENGGUNAKAN EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE (EWMA) DAN GENERALISED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY (GARCH) Nama Mahasiswa NRP Jurusan Dosen Pembimbing
: Putu Ayu Gatrani S. : 1206 100 005 : Matematika FMIPA-ITS : Drs. Sulistiyo, MT.
Abstrak Setelah terjadinya krisis global, hampir setiap investasi yang dilakukan selalu mempertimbangkan adanya risiko. Investasi dalam bentuk portofolio merupakan strategi untuk melimitasi risiko yang ada dengan cara melakukan diversifikasi dalam pembentukan portofolio tersebut. Teori mean-variance portfolio Markowitz adalah pendekatan yang paling luas digunakan dalam pemilihan portofolio. Namun, teori ini memberikan bobot yang sama pada setiap data sehingga dianggap kurang mampu mencerminkan kedinamisan pasar. Untuk itu digunakan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) yang memberikan bobot yang lebih besar pada data terbaru, dan Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) yang mengasumsikan bahwa volatilitas tidak hanya dipengaruhi oleh data masa lalu, tetapi juga volatilitas masa lalu. Sehingga kedua metode ini dipercaya lebih effektif dalam pembentukan portofolio. Selain itu, penggunaan simulasi Monte Carlo dalam membentuk suatu portofolio, juga sangat relevan mengingat fungsinya yang mampu mengilustrasikan naik-turunnya harga saham berdasarkan data historis saham dengan membangkitkan bilangan random yang berdistribusi normal standar. Penggunaan simulasi ini bertujuan untuk mempertahankan tingkat kepercayaan investor terhadap keuntungan jangka panjang dan mengurangi pembatalan suatu portofolio ketika salah satu sahamnya mengalami penurunan jangka pendek. Uji terhadap efek GARCH dilakukan terlebih dahulu pada beberapa saham, sebelum menentukan data historis saham yang digunakan dalam penelitian ini. Setelah menentukan variansi masing-masing saham dengan metode GARCH, EWMA dan data hasil Simulasi Monte Carlo, dibentuk persamaan portofolio dari matrik varians-kovarians yang dihasilkan. Penyelesaian persamaan portofolio tersebut akan menghasilkan serangkaian solusi yang dapat dibentuk menjadi kurva efficient frontier. Tugas Akhir ini memberikan hasil akhir berupa langkah-langkah yang harus ditempuh untuk mendapatkan portofolio masing-masing saham menggunakan metode GARCH, EWMA dan Simulasi Monte Carlo dan bagaimana mengambil keputusan dari kurva efficient frontier yang dihasilkan dari rangkaian portofolio tersebut. Tugas akhir ini juga menunjukkan bahwa metode GARCH adalah metode yang memberikan risiko yang paling kecil untuk return yang sama dan juga memberikan return yang lebih besar untuk risiko yang sama. Kata kunci : Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH), Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), Simulasi Monte Carlo, Portofolio, Teori Mean-Variance Portofolio Markowitz, efficient frontier. menentukan saham mana yang akan dipilihnya untuk berinvestasi. Sebelum memutuskan untuk berinvestasi, hendaknya seorang investor melakukan analisis terhadap semua saham-saham yang ada dan kemudian memilih yang dianggap aman serta mampu menghasilkan keuntungan yang diharapkan. Salah satu cara untuk meminimumkan risiko adalah dengan melakukan diversifikasi atau menyebar investasinya dengan membentuk portofolio yang terdiri dari beberapa saham.
1. PENDAHULUAN Dewasa ini dengan adanya prinsip pasar bebas, investasi dalam bentuk kepemilikan aset finansial mulai diminati oleh masyarakat di Indonesia. Investasi pada saham menawarkan tingkat pertumbuhan keuntungan yang cepat dengan risiko yang juga sebanding. Untuk memperoleh tingkat return yang tinggi, maka investor harus berani menanggung risiko yang tinggi juga. Oleh karena itu, pemodal harus berhati-hati dalam
1
Teori Mean-variance Markowitz yang optimal adalah pendekatan yang paling banyak digunakan dalam pembentukan portofolio. Ide terpenting dari teori yang dikembangkan oleh Harry Markowitz pada tahun 1952 ini adalah penggunaan deviasi standar dari keuntungan untuk mengukur risiko. Teori ini memberikan bobot yang sama pada setiap data dan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal dalam mengestimasi parameter seperti expected returns, variances dan covariances (Horasanh & Fidan, 2006). Mandelbrot (1963) menyatakan bahwa variabel dari pasar keuangan memiliki 3 karakteristik yaitu : 1. Distribusi tidak bersyarat dari data keuangan seperti return harga saham memiliki ekor yang lebih besar dibandingkan dengan distribusi normal. 2. Nilai dari keuntungan tidak memiliki korelasi, tetapi nilai dari kuadrat residual keuntungannya memiliki korelasi yang sangat tinggi. 3. Perubahan dalam keuntungannya cenderung bersifat cluster artinya perubahan besar (kecil) yang terjadi sekarang cenderung akan diikuti oleh perubahan yang besar (kecil) pada periode berikutnya. Berdasarkan fenomena ini, pemakaian metode Markowitz tidak merefleksikan keadaan riil pasar. Sehingga, jika diterapkan dalam bentuk portofolio, kecenderungan penyimpangan terhadap ekspektasi keuntungan dan risiko portofolio semakin besar. Horasanh & Fidan (2006) dalam jurnalnya mengusulkan penggunaan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) untuk mengekspresikan dinamika harga saham. Sedangkan penggunaan metode Generelised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) telah banyak digunakan dalam memodelkan asset finansial terutama dalam bentuk saham seperti yang telah dilakukan oleh Zahrimi et al (2009) yang menggunakan GARCH untuk meramalkan volatilitas Kuala Lumpur Composite Index (KLCI). Penggunaan EWMA lebih merefleksikan kondisi pasar karena memberikan bobot yang lebih besar pada data terbaru sedangkan GARCH dapat mengatasi kedinamisan volatilitas di pasar dalam mengestimasi matrix kovarians. Kedua metode ini sama-sama menggunakan data historis saham dalam meramalkan volatilitas. Selain itu, penggunaan simulasi Monte Carlo dalam membentuk suatu portofolio, juga sangat relevan. Hal ini
dikarenakan oleh fungsinya yang mampu mengilustrasikan naik-turunnya harga saham berdasarkan data historis saham. Penggunaan simulasi ini bertujuan untuk mempertahankan tingkat kepercayaan investor terhadap keuntungan jangka panjang dan mengurangi pembatalan suatu portofolio ketika salah satu sahamnya mengalami penurunan jangka pendek. Dalam Tugas Akhir ini, dibahas mengenai bagaimana memodelkan data finansial dengan menggunakan metode Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) dan Simulasi Monte Carlo, bagaimana mengambil kebijakan dari serangkaian portofolio pada kurva efficient frontier yang dibentuk menggunakan metode GARCH, EWMA dan simulasi Monte Carlo, serta dari ketiga metode tersebut, metode mana yang memberikan risk yang lebih kecil untuk return yang sama atau metode mana yang memberikan return yang lebih besar untuk risk yang sama. 2. TINJAUAN PUSTAKA Untuk memperoleh tingkat keuntungan tertentu, secara umum digunakan rumus ∑
1
Dan untuk risiko yang dapat diartikan sebagai kemungkinan menyimpangannya keuntungan atau kerugian dari keuntungan atau kerugian yang diharapkan. Rumus yang digunakan adalah ∑
2
Sedangkan untuk keuntungan dari suatu deret waktu data historis saham dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut .
. .
3
Pada prinsipnya, portofolio mean variance yang efisien bisa dicapai dengan dua cara (Scherer & Martin, 2005) : 1. Meminimumkan risiko (variansi) untuk memperoleh rata-rata keuntungan (mean return) tertentu. 2. Memaksimalkan rata-rata keuntungan (mean return) dengan menanggung risiko (variansi) tertentu. Tingkat keuntungan yang diharapkan dari suatu portofolio didefinisikan sebagai :
2
1. Pra-estimasi 2. Estimasi 3. Pasca-estimasi Dalam menentukan variansi saham dengan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) untuk beberapa periode kedepan, digunakan rumus sebagai berikut :
4
Untuk variance atau risiko portofolio, rumus umumnya adalah ,
5
Model portofolio efisien akan dibentuk menjadi suatu formulasi dengan konsep optimasi, dengan mengubah komponen persamaan portofolio ke bentuk matriks dan vector seperti berikut
,
9
,
Dan nilai adalah faktor peluruhan yang dalam kasus ini diberi nilai 0.94. Simulasi Monte Carlo baik digunakan dalam kasus dimana distribusi probabilitas atau peluang suatu proses dapat diketahui namun nilai peluang yang sebenarnya sulit untuk ditentukan. Penggunaan simulasi Monte Carlo ini akan mensimulasikan keuntungan yang berkorelasi dari saham-saham yang ada dan selanjutnya ditampilkan dalam jumlah observasi yang diinginkan. mengikuti gerak Harga saham dari suatu asset geometrik Brownian dengan yang konstant dan volatilitas yang mengikuti persamaan differensial stokastik
6 7
Dua model portofolio efisien dapat diformulasikan sebagai berikut : 1. Meminimalkan risiko dengan keuntungan tertentu Minimalkan : Dengan batasan : ;
1
1
0 dan 2. Memaksimalkan keuntungan dengan risiko tertentu Maksimalkan :
Dimana adalah proses random Weiner : ~ 0, . Membagi ruas kanan dan kiri dengan kemudian mengintegralkan dari ke , maka didapat
Sehingga, Dengan batasan : ;
dan
1
Dengan menggunakan definisi proses Wiener, persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:
0
,
adalah model Generalized Proses Autoregressive Conditional Heteroscedastic ordo dan , GARCH ( , , (Bollerslev, 1986) jika : ~ 0, dengan
0,
0, 0, 1, … , .
0 untuk
0 untuk Langkah-langkah yang perlu diperhatikan dalam menyusun GARCH ( , ) (Surya & Hariadi, 2004) adalah : 1, … , ,
,
10
Jadi, dari persamaan di atas, disimpulkan bahwa harga saham dapat disimulasikan dengan membangkitkan bilangan random yang berdistribusi normal standar. Dengan menyelesaikan persamaan portofolio pada persamaan, akan dihasilkan serangkaian solusi yang akan diterjemahkan menjadi serangkaian titik yang akan membentuk garis yang merupakan garis efficient frontier. Portofolio yang terletak pada garis ini adalah portofolio yang efisien, yaitu portofolio yang memberikan harapan keuntungan tertinggi dengan risiko seminimal mungkin. Portofolio yang terletak di luar garis ini, dikatakan tidak efisien.
8
Dimana
√
3
10. Membentuk matriks varians-kovarians saham dari hasil simulasi Monte Carlo. 11. Pembentukan persamaan portofolio 12. Penyelesaian persamaan portofolio yang menghasilkan proporsi masing-masing saham untuk metode EWMA, GARCH dan Simulasi Monte Carlo. 13. Pembentukan efficient frontier. 14. Membandingkan hasilnya.
E (rP ) Efficient frontier
Port 1 Port 2 Aset individual
Portofolio varians minimum global
Port 20
σp
Gambar 2.5 Efficient Frontier
3. METODE PENELITIAN Data yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah data sekunder yang diambil dari www.yahoo.com yang juga mengambil datanya di Bursa Efek Indonesia. Periode data yang digunakan adalah data dari bulan November 2008 hingga Oktober 2009. Perusahaan yang memenuhi kriteria untuk penelitian ini adalah : PT Bakrie Telecom Tbk. (BTEL), PT Perusahaan Gas Negara Tbk. (PGAS), PT Timah Tbk. (TINS) dan PT Truba Alam Manunggal Engineering Tbk. (TRUB). Pengolahan data menggunakan metode EWMA, GARCH dan Simulasi Monte Carlo dibantu dengan menggunakan software MATLAB7. Langkah-langkah dalam memperoleh efficient frontier adalah : 1. Memplot data dan return dalam bentuk grafik. 2. Menentukan harapan keuntungan 3. Membentuk plot Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial, melakukan Uji Ljung-Box dan Uji Engle’s ARCH. 4. Melakukan estimasi parameter GARCH, menguji model GARCH dengan uji BIC, menetapkan model GARCH, dan menguji residual model GARCH yang telah ditetapkan. 5. Menentukan variansi masing-masing saham dengan metode EWMA dan model GARCH yang telah ditetapkan sebelumnya. 6. Menentukan koefisien korelasi antar saham. 7. Menentukan matriks varians-kovarians antar saham menggunakan untuk metode EWMA dan GARCH. 8. Melakukan simulasi Monte Carlo yaitu membangkitkan bilangan random dengan harapan keuntungan dan kovarians data historis saham sebagai input. 9. Menentukan harapan keuntungan, koefisien korelasi, variansi dan standar deviasi data hasil simulasi Monte Carlo.
4. HASIL PENELITIAN adalah harga masing-masing saham Misal pada waktu untuk 0, … , . Dengan bantuan program MATLAB7, plot deret waktu keempat saham tersebut disajikan satu persatu seperti pada gambar berikut : Harga Saham Harian PT Bakrie Telecom Tbk. 180
160
Harga Saham
140
120
100
80
60
40 Nov 08
Jan 09
Mar 09
Mei 09 Bulan
Jul 09
Sep 09
Nov 09
Gambar 1 Plot deret waktu saham
Dari gambar diatas terlihat bahwa harga saham selama kurun waktu yang diamati, bergerak naik. Hal ini menandakan bahwa saham-saham perusahaan ini sedang mengalami pemulihan, setelah sebelumnya mengalami penurunan yang drastis, akibat dampak dari krisis ekonomi global yang melanda dunia diawal tahun 2008. adalah keuntungan dari masing-masing saham. Misal Gambar dibawah memperlihatkan grafik tingkat keuntungan saham.
4
hasil untuk salah satu saham saja. Untuk saham yang lain, prosesnya adalah sama.
Return Harian Saham PT Bakrie Telecom Tbk. 0.25 0.2 0.15
Plot ACF Saham PT Bakrie Telecom Tbk.
0.05
0.8
0 Sample Autocorrelation
Return
0.1
-0.05 -0.1 -0.15 -0.2
0
40
80
120 Periode
160
200
0.6
0.4
0.2
240 0
Gambar 2 Plot Return Saham
-0.2
Setelah itu, ditentukan harapan keuntungan keempat saham, yang hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut.
0
2
4
6
8
10 Lag
12
14
16
18
20
Gambar 3 Plot ACF Saham
Tabel 1 Harapan keuntungan saham Saham Bakrie Telecom 0.00188 Perusahaan Gas Negara 0.00323 Timah 0.00163 Truba Alam Manunggal Eng. 0.00264
Untuk semua saham yang dipilih, hampir semua lag berada dalam batas kepercayaan 95%. Ini mengindikasikan kecilnya korelasi yang terjadi antar . Oleh karena itu, selanjutnya akan dilihat plot ACF untuk dan PACF untuk . Hasilnya adalah sebagai return berikut :
Markowitz mengusulkan penggunaan persamaan (2) untuk mengukur variansi suatu data. Jika diterapkan pada data ini, akan memberikan hasil sebagai berikut :
ACF Kuadrat Saham PT Bakrie Telecom Tbk.
Tabel 2 Variansi & standar deviasi saham Deviasi Saham Variansi Standar Bakrie Telecom 0.00232 0.0482 Perusahaan Gas Negara 0.00123 0.0351 Timah 0.00167 0.0409 Truba Alam Manunggal 0.00245 0.0495 Eng.
Sample Autocorrelation
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Penentuan variansi saham untuk metode EWMA menggunakan persamaan (9) dan didapatkan hasil sebagai berikut :
-0.2
0
2
4
6
8
10 Lag
12
14
16
18
Gambar 4 Plot ACF Kuadrat Saham
Tabel 3 Variansi Saham Menggunakan Metode EWMA Saham Variansi Deviasi Standar Bakrie Telecom 0.00103 0.03215 Perusahaan Gas Negara 0.00023 0.01530 Timah 0.00060 0.02450 Truba Alam Manunggal 0.00169 0.04109 Eng.
Sedangkan untuk memperoleh variansi dengan metode GARCH, harus melalui proses yang panjang. Pertama-tama, akan dilihat plot ACF dan PACF keempat data. Dalam makalah ini, hanya akan memperlihatkan
5
20
Hasil di atas membenarkan kembali pernyataan Manderbrot (1963) yang mengatakan bahwa nilai dari tidak memiliki banyak korelasi, namun nilai dari memiliki korelasi yang tinggi. Selanjutnya, akan dilihat apakah saham-saham tersebut memiliki efek ARCH sehingga model GARCH dapat diterapkan dengan baik. Uji ini dilakukan untuk melihat apakah data memiliki sifat independent
PACF PT Bakrie Telecom Tbk.
Sample Partial Autocorrelations
0.8
0.6
0.4
0.2
identically distributed (i.i.d).
0
-0.2
0
2
4
6
8
10 Lag
12
14
16
18
Tabel 6 Hasil Uji Engle’s ARCH Saham Perusahaan Gas Negara H P QStat CV 1 0.0000 93.5686 18.3070 1 0.0000 102.3237 31.4104 1 0.0000 106.3434 43.7730 1 0.0000 108.1164 55.7585 1 0.0000 104.3256 67.5048
20
Gambar 5 Plot PACF Saham
Dari plot ACF kuadrat, terlihat bahwa semakin banyak lag yang menembus batas atas plot ACF dan untuk plot PACF, dapat dilihat bahwa terdapat beberapa lag yang melewati batas atas maupun bawah plot. Ini menandakan bahwa terdapat korelasi yang cukup antar return. Hal yang sama terjadi pada keempat saham lainnya. Untuk lebih memastikan adanya korelasi pada data, akan digunakan Uji Ljung Box Q-Statistik yang akan dilakukan terhadap residual data. Hasilnya adalah sebagai berikut :
Angka Boolean satu dibawah menunjukkan bahwa data berdistribusi seragam dan independent hingga lag ke -50 (karena setiap baris merepresentasikan lag kelipatan 10). Keempat saham tersebut memberikan hasil yang sama, yaitu adanya efek ARCH setidaknya hingga lag ke-50, sehingga dipastikan bahwa model GARCH dapat diterapkan pada keempat saham ini. Langkah selanjutnya adalah mengestimasi parameter untuk beberapa model yang mungkin. Dalam hal ini, model yang akan diestimasi parameternya adalah model GARCH(1,1), GARCH(1,2), dan GARCH(2,1). Pemilihan ketiga model ini adalah sesuai dengan penelitian-penelitian terdahulu yang mengatakan bahwa model GARCH yang paling tepat untuk data historis saham adalah model GARCH berordo rendah, karena dianggap telah mampu merepresentasikan data dengan baik. Hasil dari estimasi parameternya adalah :
Tabel 4 Hasil Uji Ljung Box Q-Statistic Saham Saham Perusahaan Gas Negara H P QStat CV 1 0.0216 20.9342 18.3070 0 0.0938 28.7022 31.4104 1 0.0168 48.7131 43.7730 1 0.0381 57.2066 55.7585 0 0.1200 61.9285 67.5048
Seperti yang terlihat pada tabel di atas, bahwa terdapat beberapa nilai Boolean nol di bawah yang sama artinya dengan menerima yaitu tidak adanya korelasi pada data. Setiap baris merepresentasikan setiap 10 lag, sehingga dari tabel dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat korelasi pada lag ke 20 dan ke 50. Namun, selanjutnya akan dilihat juga hasil dari uji Ljung Box QStatistic untuk residual kuadrat data.
Tabel 7 Hasil Estimasi Parameter PT Bakrie Telecom Tbk. Parameter Value Standard Error T Statistic GARCH (1,1) C 0.0019447 0.0015799 1.2309 K 0.00010359 0.000023045 4.4951 GARCH(1) 0.53604 0.061796 8.6744 ARCH(1) 0.46396 0.10516 4.4118 GARCH (1,2) C 0.0019445 0.0016358 1.1887 K 0.00010358 0.000030978 3.3437 GARCH(1) 0.53604 0.094378 5.6797 ARCH(1) 0.46396 0.11905 3.8972 ARCH(2) 0 0.13855 0.0000 GARCH (2,1) C 0.0015348 0.0016407 0.9354 K 0.00010157 0.000025708 3.9507 GARCH(1) 0.25646 0.12273 2.0897
Tabel 5 Hasil Uji Ljung Box Q-Statistic Kuadrat Saham Saham Perusahaan Gas Negara H P QStat CV 1 0.0000 54.3577 18.3070 1 0.0000 60.1383 31.4104 1 0.0000 126.1402 43.7730 1 0.0000 127.8327 55.7585 1 0.0000 131.4581 67.5048
6
0.20364 0.5399
0.095109 0.11399
2.1411 4.7364
Innovations 0.5 Innovation
GARCH(2) ARCH(1)
Nilai C adalah nilai rata-rata data, K adalah koefisien , yang pada penelitian ini disimbolkan dengan ARCH(p) adalah dan GARCH(q) adalah . Selanjutnya, tiap model tersebut akan diuji menggunakan Bayesian Information Criterion (BIC) yang akan memberikan model yang terbaik untuk data saham tersebut.
BIC
Tabel 8 Hasil Uji BIC GARCH (1,1) GARCH (1,2) -904.0902 -898.6096
-0.5
0.86413
Standard Deviation
0
0
50
100
200
250
150
200
250
150
200
250
Return
0.5 0 -0.5
GARCH (2,1) -902.2718
0
50
100
Gambar 6 Grafik residual dan standar deviasi saham
Terlihat bahwa residual dan return data tidak jauh berbeda. Ini diakibatkan oleh nilai rata-rata data yang sangat kecil dan mendekati nol, sehingga memiliki pengaruh yang kecil terhadap residual data. Selanjutnya, untuk dilihat apakah model bekerja dengan baik pada data, akan dilihat apakah residual data masih berkorelasi ataupun masih memiliki efek GARCH. Residual yang diuji sekarang adalah residual
/
yang telah distandarisasikan yaitu
. Plot ACF
kuadratnya adalah ACF Kuadrat Residual PT Bakrie Telecom Tbk.
0.8
0.1162
0.1162
0.6
0.4
0.2
0
0.86706
0.11479
-0.2
0
2
4
6
¾ Saham PT Truba Alam Manunggal Eng. Tbk. 0.0000121125
150
0.1
¾ Saham PT Timah Tbk 0.000031465
100
0.2
Dengan cara yang sama maka didapatkan model untuk ketiga saham lainnya yaitu : ¾ Saham PT Perusahaan Gas Negara Tbk 0.0000206004
50
Conditional Standard Deviations
Sample Autocorrelation
0.86413
0
Returns
Terlihat bahwa nilai minimum BIC adalah pada model GARCH (1,1), sehingga model inilah yang akan digunakan dalam peramalan volatilitas data untuk saham tersebut. Namun sebelumnya, harus dilihat dulu apakah tiap parameter dari GARCH(1,1) adalah signifikan. Dari Tabel 7 terlihat bahwa nilai statistik untuk parameter K, GARCH(1) dan ARCH(1) pada model GARCH(1,1) sama-sama lebih besar dari 1.980 yang merupakan nilai atau penolakan terhadap batas atas penerimaan signifikansi parameter. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa semua parameter sudah signifikan. Sehingga, model yang didapatkan untuk saham PT Bakrie Telecom Tbk adalah : 0.0000206004
0
0.36078
8
10 Lag
12
14
16
18
20
Gambar 7 Plot ACF Kuadrat Residual
0.63922
Ternyata, setelah model diterapkan pada data, residualnya memiliki korelasi yang sangat kecil dan hampir mendekati nol. Hasil uji Ljung Box QStatistiknya pun mengatakan hal yang sama dengan nilai Boolean nol di bawah hingga lag ke 60. Uji Engle’s ARCH juga memperlihatkan hilangnya efek ARCH pada residual setelah model diterapkan. Ini cukup membuktikan bahwa model relatif baik dalam merepresentasikan data.
Setelah model tersebut diterapkan pada data historis saham yang ada, grafik di bawah memperlihatkan bagaimana bentuk residual dan standar deviasi saham per periodenya.
Tabel 9 Hasil Uji Ljung Box dan Engle’s ARCH Residual Uji Ljung Box ARCH Test Saham Bakrie Telecom H
7
P
Q-Stat
CV
H
P
Q-Stat
CV
0 0 0 0 0 0
0.9982 1.0000 0.9995 1.0000 0.9996 0.9998
1.6842 3.4213 10.8477 13.0399 23.1733 28.5704
18.3070 31.4104 43.7730 55.7585 67.5048 79.0819
0 0 0 0 0 0
0.9988 1.0000 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000
1.5497 3.2441 10.4802 11.8337 17.4350 19.8068
18.3070 31.4104 43.7730 55.7585 67.5048 79.0819
Setelah mendapatkan variansi untuk masing-masing metode, maka langkah selanjutnya adalah menentukan koefisien korelasi antar saham dan hasil sebagai berikut : Saham BTEL PGAS TINS TRUB
Namun, jika residual ini di plot kedalam suatu plot distribusi normal, akan terlihat bagaimana residual ini tidak berdistribusi normal walau sebagian besar dari residual terletak sepanjang garis normal seperti pada gambar berikut : Normal Probability Plot Saham Perusahaan Gas Negara
Tabel 12 Koefisien korelasi antar saham BTEL PGAS TINS TRUB 1.00000 0.08932 0.28487 0.46842 0.08932 1.00000 0.59524 0.06107 0.28487 0.59524 1.00000 0.12224 0.46842 0.06107 0.12224 1.00000
Matriks varians-kovarians yang akan dibentuk secara umum memiliki bentuk seperti :
0.997 0.99 0.98
Probability
0.95 0.90 0.75 0.50 0.25
Sehingga dengan menggunakan hasil pada Tabel 4.3 dan 4.9 maka didapatkan matriks varians-kovarians masingmasing metode seperti berikut :
0.10 0.05 0.02 0.01 0.003 -0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Tabel 13 Matriks varians-kovarians untuk metode EWMA Saham BTEL PGAS TINS TRUB BTEL 0.00103 0.00004 0.00022 0.00062 PGAS 0.00004 0.00023 0.00022 0.00004 TINS 0.00022 0.00022 0.00060 0.00012 TRUB 0.00062 0.00004 0.00012 0.00169
0.15
Data
Gambar 8 Plot distribusi normal residual
Hal ini dipastikan lagi oleh hasil uji Jarque-berra yang dilakukan pada residual yang menolak bahwa data berdistribusi normal seperti pada tabel berikut :
Tabel 14 Matriks varians-kovarians untuk metode GARCH Saham BTEL PGAS TINS TRUB BTEL 0.00194 0.00007 0.00039 0.00076 PGAS 0.00007 0.00030 0.00032 0.00004 TINS 0.00039 0.00032 0.00097 0.00014 TRUB 0.00076 0.00004 0.00014 0.00136
Tabel 10 Hasil Uji Jarque-Berra pada residual Saham H P JB-Stat CV BTEL 1 0 274.3449 5.9915 PGAS 1 0 131.0469 5.9915 TINS 1 0 59.9147 5.9915 TRUB 1 0 2257.4 6.0000
Sedangkan matriks-varians kovarians untuk simulasi Monte Carlo adalah :
Walau terbukti bahwa residual data tidak berdistribusi normal, bukan berarti model tidak dapat dengan baik digunakan dalam meramalkan volatilitas. Ini dikarenakan tidak adanya asumsi dalam metode GARCH yang mengharuskan residual berdistribusi normal. Model dikatakan baik cukup dengan mengetahui bahwa model tersebut mampu menghilangkan korelasi dan efek ARCH pada residual yang distandarkan. Sehingga, hasil ramalan volatilitas untuk satu periode kedepan adalah :
Tabel 15 Matriks varians-kovarians untuk simulasi Monte Carlo Saham BTEL PGAS TINS TRUB BTEL 0.002659 0.000212 0.000669 0.001573 PGAS 0.000212 0.001318 0.001038 0.000163 TINS 0.000669 0.001038 0.001920 0.000253 TRUB 0.001573 0.000163 0.000253 0.002739
Matriks varians-kovarians untuk Simulasi Monte Carlo didapatkan dengan membangkitkan 240 bilangan random berdistribusi normal standar yang merepresentasikan return harian saham. Simulasi ini membangkitkan bilangan random sesuai dengan input awal yang diberikan yakni harapan keuntungan saham, koefisien korelasi antar saham serta, matriks varians-
Tabel 11 Hasil ramalan variansi dan strandar deviasi dengan metode GARCH Saham Variansi Deviasi Standart BTEL 0.00194 0.04403 PGAS 0.00030 0.01737 TINS 0.00097 0.03122 TRUB 0.00136 0.03687
8
2 0.00022
2 0.00007
kovarians saham. Return yang didapatkan juga dapat dirubah kedalam bentuk harga harian saham yang diplot seperti pada gambar berikut : Simulasi Harga PT Perusahaan Gas Negara Tbk.
2 0.00062
2 0.00022
2 0.00004
2 0.00012
3900
Dengan menggunakan metode GARCH 3850
0.00194
Return
3800
0.00030
2 0.00007
3750
0.00097
0.00136
2 0.00039
3700
2 0.00062
2 0.00032
3650
2 0.00004
2 0.00014
3600 3550
Dengan menggunakan simulasi Monte Carlo 0
40
80
120
160
200
240
0.002659
Periode
Gambar 9 Plot harga saham hasil Simulasi Monte Carlo
Selanjutnya, untuk mendapatkan matriks varianskovarians hasil simulasi tersebut, ditentukan terlebih dahulu harapan keuntungan, variansi dan koefisien korelasi antar saham hasil simulasi ini. Sehingga didapatkan hasil sebagai berikut :
Sehingga permasalahan diselesaikan adalah : Minimumkan :
Tabel 16 koefisien korelasi return saham hasil simulasi Monte Carlo Saham BTEL PGAS TINS TRUB BTEL 1 0.113099 0.295887 0.582947 PGAS 0.113099 1 0.652747 0.085595 TINS 0.295887 0.652747 1 0.110179 TRUB 0.582947 0.085595 0.110179 1
0.00103 0.00004 0.00022 0.00062
0.00004 0.00023 0.00022 0.00004
0.00022 0.00022 0.00060 0.00012
0.00062 0.00004 0.00012 0.00169
0.00039 0.00032 0.00097 0.00014
0.00076 0.00004 0.00014 0.00136
0.00067 0.00104 0.00192 0.00025
0.00157 0.00016 0.00025 0.00274
Untuk metode GARCH : 0.00194 0.00007 0.00039 0.00076
0.00007 0.00030 0.00032 0.00004
Untuk Simulasi Monte Carlo : 0.00266 0.00212 0.00067 0.00157
0.00212 0.00132 0.00104 0.00016
Dengan bantuan MATLAB, didapatkan serangkaian solusi untuk permasalahan optimasi tersebut Tabel 19 Port Return, Port Risk dan Proporsi Dana masingmasing saham menggunakan metode EWMA
0.00163
0.00097
harus
0
No. Port 1 2 3
Dengan menggunakan metode EWMA 0.00023
yang
Dimana adalah matriks yang dihasilkan dari persamaan portofolio untuk variansi. Sehingga Untuk metode EWMA :
Langkah selanjutnya adalah membentuk persamaan return portofolio sebagai berikut :
0.00194
optimasi
1
Tabel 18 Harapan keuntungan saham hasil simulasi Monte Carlo Saham Bakrie Telecom -0.00188 Perusahaan Gas Negara 0.004793 Timah 0.007848 Truba Alam Manunggal Eng. -0.00022
0.00323 0.00264
0.001920 2 0.000212 2 0.001573 2 0.000163
Dengan batasan :
Tabel 17 Variansi dan standar deviasi return saham hasil simulasi Monte Carlo Saham Variansi Deviasi Standar BTEL 0.002659 0.051566 PGAS 0.001318 0.036308 TINS 0.00192 0.043817 TRUB 0.002739 0.052339
0.00188
0.001318 0.002739 2 0.000669 2 0.001038 2 0.000253
0.00076
9
Port Risk 0.014128 0.01413 0.014137
Port Returns 0.003032 0.0030423 0.0030527
0.12635 0.118 0.10965
0.8204 0.82696 0.83352
0 0 0
0.053252 0.05504 0.056827
0.014149 0.014165 0.014185 0.014211 0.01424 0.014275 0.014313 0.014357 0.014404 0.014456 0.014512 0.014573 0.014637 0.014725 0.014865 0.015057 0.015298
0.0030631 0.0030735 0.0030839 0.0030943 0.0031047 0.003115 0.0031254 0.0031358 0.0031462 0.0031566 0.003167 0.0031774 0.0031877 0.0031981 0.0032085 0.0032189 0.0032293
0.10131 0.092958 0.084611 0.076264 0.067917 0.059569 0.051222 0.042875 0.034528 0.026181 0.017834 0.0094864 0.0011392 0 0 0 0
0.84008 0.84664 0.8532 0.85976 0.86632 0.87288 0.87944 0.88599 0.89255 0.89911 0.90567 0.91223 0.91879 0.93764 0.95842 0.97921 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.058615 0.060403 0.062191 0.063979 0.065767 0.067555 0.069343 0.07113 0.072918 0.074706 0.076494 0.078282 0.08007 0.062363 0.041575 0.020788 0
Sehingga, efficient frontier yang dihasilkan adalah sebagai berikut : -3
3.3
3.1
Port Risk 0.015837 0.015839 0.015844 0.015853 0.015866 0.015883 0.015903 0.015927 0.015954 0.015995 0.016054 0.016131 0.016226 0.016339 0.016469 0.016617 0.016781 0.016961 0.017156 0.017366
Port Returns 0.0030935 0.0031006 0.0031078 0.0031149 0.0031221 0.0031292 0.0031364 0.0031435 0.0031507 0.0031578 0.003165 0.0031721 0.0031793 0.0031864 0.0031936 0.0032007 0.0032078 0.003215 0.0032221 0.0032293
0.043748 0.038197 0.032646 0.027095 0.021544 0.015993 0.010441 0.0048904 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.80273 0.80758 0.81242 0.81727 0.82211 0.82696 0.8318 0.83665 0.84262 0.85693 0.87123 0.88554 0.89985 0.91416 0.92846 0.94277 0.95708 0.97139 0.98569 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Port Returns 0.003013 0.003267 0.003522 0.003776 0.004031 0.004285 0.00454 0.004794 0.005049 0.005303 0.005558 0.005812 0.006067 0.006321 0.006576 0.00683 0.007085 0.007339 0.007594 0.007848
0.155329 0.132086 0.108842 0.085599 0.062355 0.039111 0.015868 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.568011 0.554606 0.541201 0.527796 0.514391 0.500986 0.487581 0.471678 0.450403 0.429127 0.407851 0.386575 0.3653 0.344024 0.322748 0.301473 0.24991 0.166607 0.083303 0
0.079697 0.1148 0.149904 0.185007 0.220111 0.255214 0.290318 0.328484 0.373237 0.417991 0.462745 0.507499 0.552252 0.597006 0.64176 0.686513 0.75009 0.833393 0.916697 1
Simulasi Monte Carlo EWMA GARCH Markowitz
2.8
2.7 0.0158
0.016
0.0162
0.0164
0.0166 0.0168 Risk
0.017
0.0172
0.0174
0.0176
Gambar 10 efficient frontier
Sebagai perbandingan, dibentuk juga efficient frontier yang dibentuk melalui metode Markowitz. Terlihat bahwa semakin tinggi tingkat keuntungan yang diharapkan, maka semakin tinggi pula risiko yang harus diterima. Namun, pada umumnya, untuk tingkat keuntungan tertentu, metode GARCH selalu memberikan risiko yang paling kecil, disusul oleh metode EWMA dan Simulasi Monte Carlo terbukti memberikan risiko yang paling besar. Tetapi, jika efficient frontier ketiga metode tersebut dibandingkan dengan efficient frontier dari metode Markowitz (garis merah muda), maka terlihat bahwa metode ini memberikan risiko yang paling besar untuk tingkat keuntungan tertentu. Hasil yang sama didapatkan oleh Badrayasa (2009) yang menyimpulkan bahwa metode EWMA dan GARCH lebih sensitif terhadap perubahan volatilitas dibanding metode Markowitz. Sedangkan, dalam Horasanh & Fidan (2008) dalam jurnalnya menyimpulkan bahwa seorang investor selalu dapat memilih risiko terkecil untuk harapan keuntungan portofolio tertentu dengan metode EWMA kemudian Markowitz, dan terakhir metode GARCH. Sedangkan dalam penelitian ini, didapatkan bahwa metode GARCH memberikan risiko terkecil dengan harapan keuntungan tertentu. Perbedaan ini mungkin diakibatkan oleh penggunaan data pada masing-masing penelitian. Horasanh & Fidan menggunakan lima belas saham dari Istanbul Stock Exchange, namun dalam memilih kelimabelas saham tersebut, kriteria yang diterapkan hanyalah berdasarkan asumsi kenormalan, karena ide utama dalam penelitian itu hanya membandingkan metode EWMA & GARCH pada saham yang sama. Sedangkan penelitian ini memilih saham yang digunakan sesuai dengan kriteria GARCH itu sendiri yaitu selain
0.15352 0.15423 0.15493 0.15564 0.15635 0.15705 0.15776 0.15846 0.15738 0.14307 0.12877 0.11446 0.10015 0.085845 0.071537 0.05723 0.042922 0.041575 0.020788 0
Tabel 21 Port Return, Port Risk dan Proporsi Dana masingmasing saham menggunakan Simulasi Monte Carlo Port Risk 0.029941 0.029975 0.030076 0.030243 0.030475 0.030772 0.03113 0.031551 0.032067 0.032686 0.033402 0.034208 0.035098 0.036066 0.037107 0.038213 0.039394 0.040724 0.042203 0.043817
3
2.9
Tabel 20 Port Return, Port Risk dan Proporsi Dana masingmasing saham menggunakan metode GARCH No. Port 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Efficient Frontier
x 10
3.2
Return
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.196963 0.198508 0.200053 0.201598 0.203143 0.204688 0.206233 0.199838 0.17636 0.152882 0.129404 0.105926 0.082448 0.05897 0.035492 0.012014 0 0 0 0
10
0.0000206004
berdistribusi normal, juga harus berkorelasi dan memiliki efek ARCH. Oleh karena itu, hasil yang didapatkan juga lebih memihak pada metode GARCH. Walau demikian, grafik-grafik keempat metode tersebut sama-sama berpotongan pada tingkat keuntungan yang tertinggi. Hal ini menegaskan kembali untuk mendapatkan harapan tingakat keuntungan yang tertinggi, risiko yang harus diderita tertinggi juga. 5. Kesimpulan Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1. Dalam pembentukan model data finansial dengan metode Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) saham yang digunakan tidak harus memiliki kriteria tertentu, sehingga hampir semua saham dapat dengan baik dimodelkan oleh metode ini. Selanjutnya, variansi saham dapat dihitung menggunakan persamaan ,
1
0.000031465
Deviasi Standar
0.00103 0.00023 0.00060 0.00169
0.03215 0.01530 0.02450 0.04109
0.0000121125
0.36078
0.63922
Saham
Variansi
BTEL PGAS TINS TRUB
0.00194 0.00030 0.00097 0.00136
Deviasi Standart 0.04403 0.01737 0.03122 0.03687
Saham
Variansi
Deviasi Standar
BTEL PGAS TINS TRUB
0.002659 0.001318 0.00192 0.002739
0.051566 0.036308 0.043817 0.052339
4. Dalam mengambil kebijakan dari serangkaian portofolio pada kurva efficient frontier yang dibentuk menggunakan metode GARCH, EWMA dan simulasi Monte Carlo seorang investor harus menentukan preferensi risikonya dan metode mana yang lebih dipercaya. Serangkaian portofolio yang dibentuk menjadi suatu kurva efficient frontier merupakan portofolio yang effisien. Investor tinggal memilih portofolio yang diinginkan dari kurva tersebut dengan mempertimbangkan preferensi risiko dan kepercayaannya terhadap metode-metode tersebut. Investor dapat memilih portofolio yang berada di luar kurva tersebut dengan mengetahui bahwa portofolio tersebut tidaklah efisien. Investor juga dapat memilih portofolio yang optimal yaitu
Model yang digunakan untuk masing-masing saham secara umum adalah model GARCH(1,1) seperti : Saham PT Bakrie Telecom Tbk. 0.53604
0.11479
3. Dalam pembentukan model data finansial dengan Simulasi Monte Carlo, data saham yang digunakan adalah bebas. Pembangkitan bilangan random dilakukan dengan memasukkan harapan keuntungan dan kovarians data historis saham. Setelah bilangan random dibangkitkan, maka akan didapatkan harapan keuntungan dan kovarians baru yang akan digunakan dalam membentuk portofolio. Variansi yang dihasilkan dari hasil simulasi tersebut adalah :
2. Dalam pembentukan model data finansial dengan metode Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) data yang digunakan harus berkorelasi dan memiliki efek ARCH. Setelah memastikan hal itu, maka dilakukan estimasi parameter, dilakukan pengujian terhadap beberapa model GARCH yang dihasilkan, dan menentukan salah satu model yang memiliki persamaan umum sebagai berikut :
0.00010359
0.86706
Kemudian, model masing-masing saham tersebut juga akan menghasilkan nilai variansi dan standar deviasi seperti pada tabel di bawah ini :
,
Variansi
0.1162
Saham PT Truba Alam Manunggal Engineering Tbk.
Dengan menggunakan persamaan diatas, didapatkan variansi dan standar deviasi saham sebagai berikut : Saham BTEL PGAS TINS TRUB
0.86413
Saham PT Timah Tbk.
0.46396
Saham PT Perusahaan Gas Negara Tbk.
11
portofolio yang berada pada batas lengkung kurva efficient frontier karena merupakan portofolio varians minimum global yaitu portofolio yang memberikan risiko yang paling minimum dengan return yang sepadan.
Harris, R. D. F., & Yilmaz, F. 2009. “Estimation of the conditional variance–covariance matrix of returns using the intraday range”. International Journal of Forecasting, doi:10.1016. Husnan, S. 2003. Dasar-dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas. Edisi Ketiga. Yogyakarta : UPP AMP YKPN. Horasanh, M. & Fidan, N. 2006. “Portfolio Selection by Using Time Varying Covariance Matrices”. Journal of Economic and Social Research, 9:1-22. Keeling, K. B., Kvanli, A. H. & Pavur, R. J. 2003. Introduction to Business Statistics. USA : South Western, Thomson Learning. Laws, J. & Thompson, J. 2005. “Hedging effectiveness of stock index futures”. European Journal of Operational Research, 163:177–191. Lo, M. S., 2003. “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic Time Series Models”. Partial Requirements For The Degree of Master Of Science, 1-51. Makridakis, S., Wheelwright, S. C., & McGee, V. E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jilid Satu. Edisi Kedua. Diterjemahkan oleh Untung Sus Andriyanto & Abdul Basith. Jakarta : Penerbit Erlangga. Moskowitz, H & Serel, D. A. 2008. “Joint Economic Design of EWMA Control Charts for Mean and Variance”. European Journal of Operatinal Research, 184:157-168. Podlozhnyuk, V. & Harris, M. 2008. Monte Carlo Option Pricing. NVIDIA Corporation. Santa Clara, California. Surya, Y. 2004. Aplikasi Fisika Dalam Analisis Keuangan Mekanika Statistika Interaksi Agen. Jakarta : PT Bina Sumber Daya MIPA. Surya, Y. & Hariadi, Y. 2004. “GARCH (2,1) Pada LQ45”. Working Papers. Bandung Fe Institute. Wahyuni, S. T. 2005. Peramalan Volatilitas Indeks Harga Saham menggunakan model Asimetrik GARCH dengan distribusi Skewed Student-t. Tesis Jurusan Statistika ITS. Walpole, R. E. & Myers, R. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Diterjemahkan oleh RK Sembiring. Bandung : Penerbit ITB. Wirastuti, A. P. 2006. Analisis statistic pada indeks berjangka Nikkei & Dow Jones di pasar modal
5. Dari ketiga metode tersebut, metode yang memberikan risk yang lebih kecil untuk return yang sama ataupun yang memberikan return yang lebih besar untuk risk yang sama adalah metode GARCH.
DAFTAR PUSTAKA Ang, R. 1997. Pasar Modal Indonesia. First Edition. Indonesia : Mediasoft Indonesia. Arisona, R. 2007. Pemodelan volatilitas indeks harga saham LQ45 dengan Metode ARCH-GARCH. Tugas Akhir Jurusan Statistika ITS. Badrayasa, I M. 2009. Perbandingan Sensitivitas Metode Markowitz, EWMA, dan GARCH Terhadap Perubahan Volatilitas Dalam Pembentukan Portofolio. Tugas Akhir Jurusan Matematika Universitas Udayana. Bollerslev, T. 1986. “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,” Journal of Econometrics, 31:307–327 Box, G. E. P. , Jenkins, G. M., & Reinsel, G. C. 1994. Time Series Analysis : Forecasting and Control. Third Edition. United State of America : Prentice Hall, Inc. Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A. J. 2005. Investments. Sixth Edition. Singapore : The McGraw-Hill Companies. Chen, N & Hong, L. J. 2007. “Monte Carlo Simulation in Financial Engineering”. Proceeding of the 2007 Winter Simulation Conference. Endhartia, S. 2009. Analisis Portofolio Optimal pada No Short Selling dengan Menggunakan Algoritma Markowitz. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Fryzlewicz, P. 2007. Lecture Notes : Financial Time Series, ARCH & GARCH Models. Department of Mathematics, University of Bristol. Guarmat, C., & Harris, R. D. F., 2002. “Forecasting value at risk allowing for time variation in the variance and kurtosis of portfolio returns”. International Journal of Forecasting, 18: 409-419.
12
dengan menggunakan ARIMA & ARCHGARCH. Tugas Akhir Jurusan Statistika ITS. Winston, W. L., 1994. Operations Research Applications and Algorithms. California : Wadsworth Publishing Company Yusi, N. E. 2003. Studi pengaruh kenaikan harga konsumen kelompok transport & komunikasi terhadap kenaikan harga konsumen umum dan tingkat inflasi melalui penerapan analisis Fungsi Transfer dan ARCH-GARCH. Tugas Akhir Jurusan Statistika ITS. Zahrimi et al. 2009. “Modeling the Kuala Lumpur Composite Index”. European Journal of Scientific Research 25:499-512.
13
