ANALISIS RANCANGAN EKONOMI PADA GRAFIK KENDALI EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE (EWMA)
Oleh: Dian Mareta Windayani 1206 100 055 Dosen pembimbing: Dra. Laksmi Prita, M.Si
Latar belakang
PENDAHULUA N
Grafik kendali sering digunakan untuk mengendalikan berbagai macam proses produksi. Grafik kendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) adalah grafik yang digunakan untuk memantau mean dan varians yang lebih efektif untuk mendeteksi adanya pergeseran kecil dalam proses dibandingkan grafik Shewhart. Untuk menggunakan grafik kendali dibutuhkan pemilihan tiga parameter, yaitu ukuran sampel (n), frekuensi pengambilan sampel atau interval sampel (h) dan batas kendali (K). Grafik kendali dirancang dengan menggunakan kriteria statistik dan ekonomi. Model ekonomi murni dikembangkan ke arah rancangan statistik-ekonomi dengan menambahkan kendala yang terkait dengan average run length in control dan out of control. Kriteria ekonomi digunakan untuk memilih nilai parameter grafik kendali sehingga dapat meminimumkan total biaya yang dikeluarkan.
PENDAHULUA N
Latar belakang n Paramete r grafik
h K
Grafik Kendali
Biaya terkait produksi item yang nonconform / rusak
Kriteria Ekonomi
Biaya karena false alarm, mencari dan memperbaiki assignable cause Biaya untuk sampling dan inspeksi
Minimum total biaya
Rumusan Masalah
PENDAHULUA N
a. Bagaimana menentukan nilai parameter pada grafik kendali sehingga total biaya kualitas / total biaya yang diharapkan per jam menjadi minimal? b. Bagaimana pengaruh perubahan pergeseran mean dan varians pada parameter interval sampel dan total biaya yang diharapkan per jam?
Batasan Masalah
a. Waktu in control untuk proses produksi diasumsikan berdistribusi eksponensial dengan mean b. Hanya akan terjadi single assignable cause pada suatu proses yang diamati c. Parameter biaya akan dioptimasi dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan Fibonacci Search
Tujuan
PENDAHULUA N
a. Menentukan nilai parameter pada grafik kendali sehingga total biaya kualitas / total biaya yang diharapkan per jam menjadi minimal b. Mengetahui pengaruh perubahan pergeseran mean dan varians pada parameter interval sampel dan total biaya yang diharapkan per jam
Manfaat Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah biaya yang dikeluarkan untuk pembuatan grafik kendali dapat diminimalisasi dengan penentuan parameter grafik kendalinya dan dengan melihat nilai pergeseran prosesnya, baik mean dan atau varians.
GRAFIK KENDALI
TINJAUAN PUSTAKA
Grafik kendali dapat membedakan antara variasi normal (Chance causes ) yang tidak memerlukan perbaikan dan variasi yang menyebabkan proses menjadi tak terkendali (out of control) sehingga perlu dilakukan perbaikan. Penyebab variasi dalam proses antara lain: a. Common causes/ Chance causes b. Special causes/ Assignable causes
Didefinisikan sebagai mean atau expected value dan adalah standar deviasi dari . Garis tengah dan batas kendali dinyatakan oleh: Garis tengah (1) (2) Dengan k adalah parameter batas kendali. Umumnya nilai k ditetapkan
TINJAUAN PUSTAKA
Average Run Length Average Run Length (ARL) adalah rata-rata banyaknya sampel (subgrup) yang harus diamati sampai ditemukan out of conrol yang pertama. Semakin kecil ARL, maka semakin kecil pula ekspektasi jumlah sampel yang diperlukan sampai terjadinya sinyal out of control. Uji Normalitas dengan Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov Metode Kolmogorov-Smirnov merupakan uji kenormalan didasarkan pada nilai D yang didefinisikan sebagai berikut: (2.6) Dengan: : fungsi distribusi kumulatif normal : proporsi amatan (sampel) yang kurang dari atau sama dengan x
TINJAUAN PUSTAKA
Grafik EWMA Grafik EWMA mean
Perhitungan statistik dari grafik EWMA mean adalah: (3) Batas kendali atas dan bawah serta garis tengah dari EWMA-m adalah: (6)
Grafik EWMA varians
(7)
Batas kendali atas dan bawah serta garis tengah dari EWMA-v adalah: (8) Garis tengah (CL) = c
adalah konstanta smoothing yang bernilai . merupakan faktor pengali yang untuk grafik kendali EWMA mean dan varians yang nilainya tergantung dari ARL yang diinginkan.
(4)
Garis tengah (CL):
Perhitungan statistik dari grafik EWMA varians adalah:
(9) Dengan: (5)
Model biaya
TINJAUAN PUSTAKA
Satu putaran produksi dimulai dari proses yang terkendali sampai terjadinya assignable cause, adanya sinyal out of control, proses identifikasi dan perbaikan assignable cause sampai kembali ke state in control.
Didefinisikan E(T) sebagai waktu yang diharapkan per putaran produksi (expected length per cycle), dan E(C) sebagai biaya per putaran yang diharapkan (expected cost per cycle). Maka biaya yang diharapkan per jam (expected cost per hours) diperoleh dengan membagi E(C) dengan E(T) yaitu:
TINJAUAN PUSTAKA
Komponen Biaya
Waktu dari kejadian assignable cause sampai pengambilan sampel berikutnya periode in control Waktu sampai grafik memberikan sinyal out of control
Waktu yg diharapkan per putaran produksi periode out of control
Total biaya yg diharapkan per jam
biaya memproduksi produk cacat
Waktu untuk menganalisis sampel dan membuat grafik hasilnya Waktu untuk mencari dan memperbaiki proses
Biaya yg diharapkan per putaran produksi
biaya krn false alarm
biaya sampling dan inspeksi
TINJAUAN PUSTAKA
Waktu yg diharapkan per putaran produksi a. Periode in control dengan
d. Waktu untuk menganalisis sampel dan membuat grafik hasilnya
Jika , maka produksi tetap e. Waktu untuk mencari dan memperbaiki proses berlangsung selama proses pencarian, dan Maka, waktu yang diharapkan pada jika , maka produksi berhenti periode out of control adalah: selama pencarian assignable cause. b. Waktu dari kejadian assignable cause sampai pengambilan sampel berikutnya dengan adalah waktu yang dibutuhkan untuk c. Waktu sampai grafik memberikan menemukan assignable cause dan sinyal out of control waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki proses Jadi, waktu yang diharapkan per putaran produksi adalah:
TINJAUAN PUSTAKA
Biaya yg diharapkan per putaran produksi
Biaya terkait produksi item yang nonconform / rusak adalah:
Biaya karena false alarm, mencari dan memperbaiki assignable cause adalah:
Biaya untuk sampling dan inspeksi
Jadi, biaya per putaran yang diharapkan adalah:
Model biaya
TINJAUAN PUSTAKA
Total biaya yang diharapkan per jam (Expected cost per hours) berdasarkan biaya umum Lorenzen dan Vance :
(10)
Keterangan
TINJAUAN PUSTAKA
Dengan: n = ukuran sampel h = interval sampel (jam) = waktu yang diharapkan antara kejadian assignable cause dan pengambilan sampel yang dilakukan sebelum assignable cause terjadi s = jumlah sampel yang diharapkan selama periode terkendali (in control) = average run length ketika proses in control = average run length ketika proses out of control = mean proses pada waktu in control E = waktu untuk mengambil sampel dan membuat grafiknya = waktu pencarian false alarm yang diharapkan
TINJAUAN PUSTAKA
= waktu yang diharapkan untuk menemukan assignable cause = waktu yang diharapkan untuk memperbaiki proses = 1 jika produksi tetap berlangsung selama pencarian = 0 jika produksi berhenti selama pencarian = 1 jika produksi tetap berlangsung selama perbaikan = 0 jika produksi berhenti selama perbaikan = biaya kualitas per jam ketika prosesnya terkendali (in control) = biaya kualitas per jam ketika prosesnya di luar kendali (out of control) (> ) F = biaya per false alarm W = biaya untuk menemukan dan memperbaiki assignable cause a = biaya tetap per sampel b = biaya per unit sampel
Loss function
TINJAUAN PUSTAKA
Taguchi mendefinisikan fungsi kerugian (loss function) sebagai berikut:
Untuk merancang grafik kendali berdasarkan fungsi quadratic loss, dilakukan perhitungan yaitu biaya kualitas yang diharapkan per unit produk ketika proses in control, adalah:
Sedangkan nilai yaitu biaya yang diharapkan per unit dari suatu produk ketika proses berlangsung out of control adalah:
Newton-raphson
TINJAUAN PUSTAKA
Diketahui fungsi f(x) dan turunannya f’(x) , hampiran nilai akarnya adalah:
Dengan adalah nilai awal x dari iterasi n yang nilainya ditentukan oleh user, sedangkan adalah nilai baru pada iterasi n+1. Syarat dari metode ini adalah
METODE PENELITIAN
Langkah-langkah analisis data adalah: a. Memilih parameter K b. Menghitung nilai parameter h c. Menghitung nilai parameter n d. Aplikasi pada studi kasus
PEMBAHASAN
Menentukan nilai parameter h
Untuk menghitung nilai h, maka total biaya E(A) pada (10) diasumsikan sebagai fungsi h. Total biaya E(A) pada (10) diturunkan terhadap h dan disamadengankan nol. Perhitungannya adalah sebagai berikut:
Pembilang dan penyebut pada total biaya (10) dikalikan dengan sehingga:
Atau dapat ditulis: (11)
PEMBAHASAN
Turunan
adalah:
(12)
Dengan:
Untuk menyelesaikan persamaan (12), digunakan pendekatan Montgomery untuk nilai , yaitu
Nilai pendekatan ini disubstitusikan pada (11), sehingga didapat:
(13)
PEMBAHASAN
Persamaan (13) dibentuk menjadi:
(14)
Dengan:
A=KG-JH
B=2(KF-IH)
C=JF-IG
Dan turunan dari (14) adalah:
Dengan menggunakan metode Newton-Raphson, maka nilai h didapat:
PEMBAHASAN
Menentukan nilai parameter n
Nilai n dihitung dengan menggunakan metode Fibonacci Search. Persamaan yang digunakan pada metode ini adalah persamaan (11). Nilai h yang sudah didapatkan dengan menggunakan metode Newton-Raphson disubstitusikan pada persamaan (11). Selanjutnya, dengan metode Fibonacci Search akan didapat nilai n dan total biaya E(A). Interval nilai n yang digunakan pada metode Fibonacci Search tergantung pada nilai pergeseran mean dan atau varians, yaitu 20/nilai pergeseran.
Studi Kasus
Uji kenormalan data produksi karung Eastern Uji formal kenormalan data produksi karung Eastern dengan KolmogorovSmirnov Hipotesis: data karung Eastern berdistribusi normal data karung Eastern tidak berdistribusi normal Probability Plot of panjang karung Normal
99.9
Mean StDev N KS P-Value
99 95
Percent
90
78.81 0.8454 100 0.037 >0.150
PEMBAHASAN
Uji formal kenormalan data produksi karung Eastern dengan Kolmogorov-Smirnov Hipotesis: data karung Eastern berdistribusi normal data karung Eastern tidak berdistribusi normal Nilai Nilai = level toleransi= 5%=0.05 Statistik Uji
80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1
76
77
78
79 pjg karung
80
81
82
Gambar 1. Probability plot data produksi panjang karung Eastern
Dari Gambar 1 diketahui bahwa nilai pvalue>5%, yaitu 0.15. Karena nilai p-value melebihi , maka dapat disimpulkan bahwa data panjang karung Eastern berdistribusi normal.
Nilai tabel Nilai Tabel Kolmogorov-Smirnov untuk dan n=100 adalah 0.134. Kesimpulan Karena , maka diterima. Jadi, data produksi karung Eastern berdistribusi normal.
PEMBAHASAN Grafik EWMA produksi karung
Grafik EWMA mean
Grafik EWMA varians EWMA varians dari pjg karung
EWMA Chart of Panjang Karung 79.2
Variable yt UCL LCL
-0.50
UCL=79.197
-0.75 79.0
Data
EWMA
-1.00 _ _ X=78.806
78.8
-1.25 -1.50
78.6
-1.75 LCL=78.415
78.4
-2.00 -2.25
78.2 1
3
5
7
9
11 Sample
13
15
17
19
UCL= 79.076 CL = 78.806 LCL= 78.535
Terjadi pergeseran proses pada sampel ke 13-20 dan nilai pergeserannya:
2
4
6
8 10 12 14 panjang karung
16
18
20
UCL= -0.41 CL = -1.25 LCL= -2.09
Seluruh data terkontrol, sehingga tidak terjadi pergeseran varians.
Diasumsikan proses produksi karung tetap berjalan selama pencarian assignable cause, tetapi proses berhenti selama perbaikan sehingga nilai Untuk menghitung total biaya minimum, digunakan nilai parameter seperti yang digunakan pada European journal of Operation Research yaitu sebagai berikut: ,F=500, W=250, a=5, b=1, E=0.5, Sedangkan parameter berikut didapat dari hasil perhitungan sampel produksi panjang karung Eastern : h Iterasi nilai i hi hi1 0 1 2
10 6.69 5.88
6.69 5.87 5.82
Nilai parameter produksi karung dengan k=0.1 teta 0.05
delta 0.392
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ak 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
ck 39.17 31.85 27.32 24.53 22.8 21.73 21.1 20.66 20.41 20.25 20.17 20.08
dk 27.32 24.53 22.8 21.73 21.1 20.66 20.41 20.25 20.17 20.08 20.08 20.04
bk 31.85 27.32 24.53 22.8 21.73 21.1 20.66 20.41 20.25 20.17 20.08 20.08
n 20
h 5.82
E(A) 15.93
Pengaruh pergeseran mean dan atau varians dengan k=0.1 delta 0.5
ro
n
1 1.5 2 1 1.5 2 1 1.5 2
1
2
Iterasi nilai n k
ro 1
20 13 10 19 13 10 10 10 9
h 4.56 2.19 1.95 3.9 2.6 2.1 2.99 2.61 2.26
E(A) 18.23 31.59 43.22 25.82 35.74 47.6 45.57 54.33 65.94
Pengaruh pergeseran mean dan atau varians dengan k=0.4 delta 0.5
1
2
ro 1 1.5 2 1 1.5 2 1 1.5 2
n 20 13 10 19 13 10 10 10 9
h 2.26 1.07 0.95 1.94 1.28 1.03 1.48 1.29 1.1
E(A) 52.67 93.17 136.65 74.99 109.59 154.21 149.48 182.53 227.19
KESIMPULAN
a. Nilai parameter h yang dihitung dengan menggunakan metode Newton-Raphson menurun ketika terjadi peningkatan pada pergeseran mean dan atau varians. Hal ini disebabkan karena ketika suatu proses mulai jauh bergeser dari nilai target, maka pengambilan sampel harus lebih sering dilakukan. Sehingga produk yang dihasilkan tidak menyimpang dari target yang telah ditentukan. b. Peningkatan nilai parameter h akan meningkatkan total biaya yang harus dikeluarkan oleh perusahaan. Semakin sering pengambilan sampel dilakukan, maka biaya yang dikeluarkan juga akan semakin besar. c. Nilai parameter pada studi kasus produksi karung Eastern karakteristik kualitas panjang adalah n=20, h=5.82, L=2.96 dan biaya yang harus dikeluarkan adalah 15.93.
DAFTAR PUSTAKA
Alexander, S.M., Dillman, M.A., Usher, John S., Damodaran, Biju. 1995. Economic design of control chart using the Taguchi loss function. Computers ind. Engng Vol. 28, No. 3, pp. 671-679 Dewi, N.P. 2007. Pendeteksian Pereseran Proses Mean dan Variability dengan Menggunakan Peta Kendali MaxEWMA. Tugas Akhir Jurusan Statistika, ITS Surabaya. Lorenzen, T.J., Vance, L.C., 1986. The economic design of control charts: a unified approach. Technometrics 28, 3–10. Mitra, Amitava. 1998. Fundamental of quality control and improvement, second edition. Upper sadle river, N.J: Prentice hall. Patil, S.H., Rattihalli, R.N. 2009. Economic Design of Moving Average Control Chart for Continued and Ceased Production Process. Economic Quality Control 24, 129-142. Serel, D.A., Moskowitz, H. 2008. Joint economic design of EWMA control chart for mean and variance. European Journal of Operational Research 184, 157-168. Triyanto, Dendy. 2007. Pengendalian Kualitas Statistik pada Departemen Finishing di PT. Yanaprima Hastapersada Sidoarjo. Tugas Akhir Jurusan Statistika, ITS Surabaya..
