ANALISIS RANCANGAN EKONOMI PADA GRAFIK KENDALI EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE (EWMA) UNTUK MEAN DAN VARIANS Oleh: Dian Mareta Windayani 1206 100 055 Desen pembimbing: Dra. Laksmi Prita, M.Si Abstrak Grafik kendali sering digunakan untuk mengendalikan berbagai macam proses produksi. Grafik ini dapat mendeteksi adanya sinyal out of control ketika terjadi pergeseran dalam mean maupun varians. Grafik kendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) adalah grafik yang digunakan untuk memantau mean dan varians yang lebih efektif untuk mendeteksi adanya pergeseran kecil dalam proses dibandingkan grafik Shewhart. Untuk menggunakan grafik kendali dibutuhkan pemilihan tiga parameter, yaitu ukuran sampel (n), frekuensi pengambilan sampel atau interval sampel (h) dan batas kendali (K). Pada Tugas Akhir ini, digunakan kriteria statistik dan ekonomi untuk merancang grafik kendali EWMA untuk mean dan varians. Nilai parameter interval sampel h dan ukuran sampel n dihitung dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan Fibonacci Search. Tujuan dari penerapan kriteria ekonomi pada grafik kendali EWMA adalah memilih parameter grafik kendali untuk meminimumkan total biaya yang dibtuhkan pada grafik kendali. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa interval sampel dan ukuran sampel menurun saat pergeseran proses mean dan atau varians meningkat, dan peningkatan nilai koefisien quadratic loss mengakibatkan interval sampel menjadi lebih pendek. Kata kunci: grafik kendali EWMA, rancangan ekonomi, parameter grafik kendali parameter pada grafik kendali sehingga total biaya kualitas menjadi minimal dan bagaimana pengaruh perubahan pergeseran mean dan varians pada parameter interval sampel dan total biaya. Tugas akhir ini dibatasi pada waktu in control untuk proses produksi diasumsikan berdistribusi eksponensial dengan mean , hanya akan terjadi single assignable cause pada suatu proses yang diamati, parameter biaya akan dioptimasi dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan Fibonacci Search. Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah: a. Menentukan nilai parameter pada grafik kendali sehingga total biaya kualitas / total biaya yang diharapkan per jam menjadi minimal b. Mengetahui pengaruh perubahan pergeseran mean dan varians pada parameter interval sampel dan total biaya yang diharapkan per jam Manfaat dari penulisan Tugas Akhir ini adalah biaya yang dikeluarkan untuk pembuatan
1. PENDAHULUAN Grafik kendali sering digunakan untuk mengendalikan berbagai macam proses produksi. Grafik kendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) adalah grafik yang digunakan untuk memantau mean dan varians yang lebih efektif untuk mendeteksi adanya pergeseran kecil dalam proses dibandingkan grafik Shewhart. Untuk menggunakan grafik kendali dibutuhkan pemilihan tiga parameter, yaitu ukuran sampel (n), frekuensi pengambilan sampel atau interval sampel (h) dan batas kendali (K). Grafik kendali dirancang dengan menggunakan kriteria statistik dan ekonomi. Model ekonomi murni dikembangkan ke arah rancangan statistik-ekonomi dengan menambahkan kendala yang terkait dengan average run length in control dan out of control. Kriteria ekonomi digunakan untuk memeilih nilai parameter grafik kendali sehingga dapat meminimumkan total biaya yang dikluarkan. Permasalahan yang dibahas pada penelitian ini adalah bagaimana menentukan nilai 1
grafik kendali dapat diminimalisasi dengan penentuan parameter grafik kendalinya dan dengan melihat nilai pergeseran prosesnya, baik mean dan atau varians.
adalah dan . Untuk setiap sampling instant t, perhitungan statistik dari grafik EWMA mean dan varians adalah:
2. TINJAUAN PUSTAKA Grafik kendali dapat membedakan antara variasi normal (Chance causes ) yang tidak memerlukan perbaikan dan variasi yang menyebabkan proses menjadi tak terkendali (out of control) sehingga perlu dilakukan perbaikan. Penyebab variasi dalam proses antara lain: 1. Common causes/ Chance causes 2. Special causes/ Assignable causes Didefinisikan sebagai mean atau expected
Dengan bernilai
(3) (4)
adalah konstanta smoothing yang , . (5)
Batas kendali atas dan bawah serta garis tengah dari EWMA-m adalah: (6) Garis tengah (CL):
value dan adalah standar deviasi dari . Garis tengah dan batas kendali dinyatakan oleh: Garis tengah
(7) merupakan faktor pengali yang diperoleh dari kombinasi untuk grafik kendali EWMA mean yang nilainya tergantung dari ARL yang diinginkan. Batas kendali atas dan bawah serta garis tengah dari EWMA-v adalah:
(1) (2)
Dengan k adalah parameter batas kendali. Umumnya nilai k ditetapkan .
(8)
Average Run Length (ARL) Average Run Length (ARL) adalah rata-rata banyaknya sampel (subgrup) yang harus diamati sampai ditemukan out of conrol yang pertama. Semakin kecil ARL, maka semakin kecil pula ekspektasi jumlah sampel yang diperlukan sampai terjadinya sinyal out of control.
Garis tengah (CL) = c Batas kendali bawah: (9) Dengan: merupakan faktor pengali yang diperoleh dari kombinasi untuk grafik kendali EWMA varians yang nilainya tergantung dari ARL yang diinginkan.
Uji Normalitas dengan Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov Metode Kolmogorov-Smirnov merupakan uji kenormalan didasarkan pada nilai D yang didefinisikan sebagai berikut: (2.6) Dengan: : fungsi distribusi kumulatif normal : proporsi amatan (sampel) yang kurang dari atau sama dengan x
Model biaya Total biaya yang diharapkan per jam (Expected cost per hours) berdasarkan biaya umum Lorenzen dan Vance :
Grafik kendali EWMA Diasumsikan variabel X independent dan berdistribusi Normal. Ketika suatu proses in control (terkontrol), mean dan varians dari X
(10) Dengan: 2
n = ukuran sampel h = interval sampel (jam) =waktu yang diharapkan antara kejadian assignable cause dan pengambilan sampel yang dilakukan sebelum assignable cause
(12) Dengan: = pdf dari karakteristik kualitas X T = nilai target dari karakteristik kualitas yang diamati. Sedangkan nilai yaitu biaya yang diharapkan per unit dari suatu produk ketika proses berlangsung out of control adalah:
terjadi= = jumlah sampel yang diharapkan selama periode terkendali (in control)
E
F W a b
= average run length ketika proses in control = average run length ketika proses out of control = mean proses pada waktu in control = waktu untuk mengambil sampel dan membuat grafiknya = waktu pencarian false alarm yang diharapkan = waktu yang diharapkan untuk menemukan assignable cause = waktu yang diharapkan untuk memperbaiki proses = 1 jika produksi tetap berlangsung selama pencarian = 0 jika produksi berhenti selama pencarian = 1 jika produksi tetap berlangsung selama perbaikan = 0 jika produksi berhenti selama perbaikan = biaya kualitas per jam ketika prosesnya terkendali (in control) = biaya kualitas per jam ketika prosesnya di luar kendali (out of control) (> ) = biaya per false alarm = biaya untuk menemukan dan memperbaiki assignable cause = biaya tetap per sampel = biaya per unit sampel
Taguchi’s loss function Taguchi membuat fungsi function) sebagai persamaan:
kerugian
(13) Dengan: = nilai pergeseran varians, = nilai pergeseran mean, Estimasi nilai , dengan A adalah biaya rework tiap unit produk saat nilai karakteristik kualitasnya x, dan deviasi dari target dapat diterima. Untuk mendapatkan total biaya E(A) berdasarkan quadratic loss, maka substitusi nilai dan ke persamaan (10). Metode Newton-Raphson Diketahui fungsi dan turunannya hampiran nilai akarnya adalah:
, (14)
Dengan adalah nilai awal x dari iterasi n yang nilainya ditentukan oleh user, sedangkan adalah nilai baru pada iterasi n+1. Syarat dari metode ini adalah . 3. METODE PENELITIAN Langkah-langkah analisis data adalah: a. Menghitung nilai parameter h b. Menghitung nilai parameter n c. Aplikasi pada studi kasus
(loss
(11) Untuk merancang grafik kendali berdasarkan fungsi quadratic loss, dilakukan perhitungan yaitu biaya kualitas yang diharapkan per unit produk ketika proses in control, adalah:
4. HASIL PENELITIAN Pada tahap menghitung nilai parameter h, didapatkan: 3
(15) Dengan:
Persamaan (17) dibentuk menjadi:
Dan turunan dari
adalah:
(18) Dengan: A=KG-JH B=2(KF-IH) C=JF-IG
(16)
Dengan:
Untuk menyelesaikan persamaan (16), digunakan pendekatan Montgomery untuk nilai yaitu
pendekatan ini disubstitusikan sehingga didapat:
.
Nilai
pada
(16),
Dan turunan dari (18) adalah: (19) Dengan menggunakan metode Raphson, maka nilai h didapat:
Newton-
Menghitung nilai parameter n Nilai n dihitung dengan menggunakan metode Fibonacci Search. Persamaan yang digunakan pada metode ini adalah persamaan (15). Nilai h yang sudah didapatkan dengan menggunakan metode Newton-Raphson disubstitusikan pada persamaan (15). Selanjutnya, dengan metode Fibonacci Search
(17) Dengan:
4
akan didapat nilai n dan total biaya E(A). Interval nilai n yang digunakan pada metode Fibonacci Search tergantung pada nilai pergeseran mean dan atau varians, yaitu 20/nilai pergeseran.
Karena
, maka
diterima.
Jadi, data produksi karung Eastern berdistribusi normal. 2. Grafik kendali EWMA mean Dengan penetapan nilai bobot ( =0.2, maka didapat hasil perhitungan sebagai berikut: Garis tengah ( grafik kendali EWMA seperti pada gambar 4.2 adalah 78.806 dan nilai standar deviasi adalah 0.613. Batas atas:
Aplikasi pada studi kasus 1. Uji kenormalan dengan KolmogorovSmirnov a. Uji Informal data produksi karung Eastern Hipotesis: data karung Eastern berdistribusi normal data karung Eastern tidak berdistribusi normal Probability Plot of panjang karung Normal
99.9
Mean StDev N KS P-Value
99 95
Percent
90
78.81 0.8454 100 0.037 >0.150
Garis tengah=78.806
80 70 60 50 40 30 20
Batas bawah:
10 5 1 0.1
76
77
78
79 pjg karung
80
81
82
Gambar 1. Probability plot data produksi panjang karung Eastern EWMA Chart of Panjang Karung
Dari Gambar 1 diketahui bahwa nilai pvalue>5%, yaitu 0.15. Karena nilai p-value melebihi , maka dapat disimpulkan bahwa data panjang karung Eastern berdistribusi normal.
79.2
UCL=79.197
EWMA
79.0 _ _ X=78.806
78.8
78.6
b. Uji Formal data produksi karung Eastern Hipotesis: data karung Eastern berdistribusi normal
78.2 1
data karung Eastern tidak berdistribusi
5
7
9
11 Sample
13
15
17
19
Gambar 2 menunjukkan bahwa sampel ke13, 14 dan 15 jatuh di luar batas bawah, sehingga dinyatakan sebagai proses yang out of control. Untuk mendapatkan nilai pergeseran mean proses, maka perlu dihitung mean sampel ke-1 sampai 12 dari proses in control dan mean sampel ke-13 sampai 20 dari proses out of control ( .
Nilai = level toleransi= 5%=0.05 Statistik Uji
Kolmogorov-Smirnov adalah 0.134.
3
Gambar 2. Grafik kendali EWMA mean data produksi karung Eastern
normal Nilai
Nilai tabel Nilai Tabel dan
LCL=78.415
78.4
untuk
Kesimpulan 5
EWMA varians dari pjg karung Variable yt UCL LCL
-0.50 -0.75
Data
-1.00 -1.25 -1.50
Diketahui standart deviasi =0.613. Maka pergeseran proses yang terjadi adalah:
-1.75 -2.00 -2.25 2
4
6
8 10 12 14 panjang karung
16
18
20
Gambar 3 Grafik kendali EWMA varians data produksi karung Eastern 3. Grafik kendali EWMA varians Dengan penetapan nilai bobot ( =0.2, maka didapat hasil perhitungan sebagai berikut: Nilai varians ( dari data produksi karung Eastern adalah 0.375484.
Dari Gambar 3 dapat disimpulkan bahwa seluruh sampel berada dalam batas kendali. Artinya, tidak terjadi pergeseran varians sehingga , dimana:
Perhitungan Numerik Diasumsikan proses produksi karung tetap berjalan selama pencarian assignable cause, tetapi proses berhenti selama perbaikan sehingga nilai . Untuk menghitung total biaya minimum, digunakan nilai parameter seperti yang digunakan pada European journal of Operation Research yaitu sebagai berikut: , F=500, W=250, a=5, b=1, E=0.5, . Sedangkan parameter berikut didapat dari hasil perhitungan sampel produksi panjang karung Eastern :
Setelah diperoleh plot data pada grafik EWMA varians, maka untuk mengetahu bahwa data tersebut terkendali atau tidak perlu dibuat batas kendali, dan perhitungannya sebagai berikut:
Batas kendali atas:
Perhitungan nilai parameter n dan h adalah sebagai berikut: a. Parameter K Karena parameter K terkait dengan nilai konstanta smoothing grafik kendali EWMA ( ,
Garis tengah = c = -1.25
maka akan ditunjukkan pengaruh pemulusan Batas kendali bawah:
pada kemampuan grafik kendali dalam mendeteksi adanya sinyal out of control.
6
dan . Nilai awal dari h adalah 10, maka nilai h diperoleh dari iterasi sebagai berikut:
pengaruh pemulusan lambdha 80.5
Variable 0.2 0.5 0.8 1
panjang karung Eastern
80.0
79.5
79.0
78.5
78.0 2
k
4
ak
6
8
10 12 sampel
14
ck
16
18
dk
20
Tabel 1 Iterasi nilai h i hi 0 10 1 6.69 2 5.88
bk
1 20 39.17 27.32 31.85 2 20 31.85 24.53 27.32 3 20 27.32 22.8 24.53 4 20 24.53 21.73 22.8 5 20 22.8 21.1 21.73 6 20 21.73 20.66 21.1 7 20 21.1 20.41 20.66 8 20 20.66 20.25 20.41 9 20 20.41 20.17 20.25 10 20 20.25 20.08 20.17 11 20 20.17 20.08 20.08 12 20 20.08 20.04 20.08 Gambar 4.4 Pengaruh konstanta smoothing lambda pada grafik kendali
Iterasi berhenti karena nilai Jadi didapat nilai h=5.82 jam
.
c. Parameter n Nilai h disubstitusikan ke persamaan 15, kemudian untuk mendapatkan nilai n dan total biaya E(A) digunakan metode Fibonacci Search, sehingga didapat nilai n sebagai berikut: Tabel 2 Iterasi nilai n Jadi, nilai parameter untuk sampel produksi panjang karung Eastern pada grafik kendali EWMA dengan dan adalah:
Dari Gambar 4.4 dapat dilihat bahwa nilai memberikan pemulusan yang kecil,
Tabel 3: Nilai parameter optimal dengan k=0.1 n h E(A) 0.05 0.392 1 20 5.82 15.93
sehingga dapat mendeteksi adanya pergeseran yang kecil. Sedangkan nilai memberikan pemulusan yang besar, sehingga dapat mendeteksi adanya pergeseran yang besar. Oleh karena itu, pada data produksi karung Eastern ini digunakan nilai karena pergeseran mean proses pada produksi karung Eastern kecil yaitu . Pada Lampiran 2, jika
hi1 6.69 5.87 5.82
Untuk melihat pengaruh pergeseran mean dan atau varians pada biaya total, maka dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 5 menyajikan pengaruh perubahan koefisien Taguchi terhadap biaya total.
dipilih 0.2, maka
nilai K untuk grafik EWMA mean adalah K=2.96 dan K untuk grafik EWMA varians adalah K=3.14.
Tabel 4: Pengaruh pergeseran mean dan atau varians dengan k=0.1 delta ro n h E(A) 0.5 1 20 4.56 18.23 1.5 13 2.19 31.59 2 10 1.95 43.22
b. Parameter h Diketahui sebagai turunan pertama dan kedua total biaya , dengan 7
1
2
1 1.5 2 1 1.5 2
19 13 10 10 10 9
3.9 2.6 2.1 2.99 2.61 2.26
sering pengambilan sampel dilakukan, maka biaya yang dikeluarkan juga akan semakin besar. c. Nilai parameter pada studi kasus produksi karung Eastern karakteristik kualitas panjang adalah n=2, h=5.82, L=2.96 dan biaya yang harus dikeluarkan adalah 14.76. 5.2 SARAN Saran yang dapat diberikan pada penelitian
25.82 35.74 47.6 45.57 54.33 65.94
Tabel 5: Pengaruh pergeseran mean dan atau varians dengan k=0.4 delta ro n h E(A) 0.5 1 20 2.26 52.67 1.5 13 1.07 93.17 2 10 0.95 136.65 1 1 19 1.94 74.99 1.5 13 1.28 109.59 2 10 1.03 154.21 2 1 10 1.48 149.48 1.5 10 1.29 182.53 2 9 1.1 227.19
berikutnya adalah perhitungan nilai parameter ukuran sampel n juga mempertimbangkan pengaruh perubahan nilai batas kendali dan ARL. DAFTAR PUSTAKA [1]. Alexander, S.M., Dillman, M.A., Usher, John S., Damodaran, Biju. 1995. Economic design of control chart using the Taguchi loss function. Computers ind. Engng Vol. 28, No. 3, pp. 671-679 [2]. Dewi, N.P. 2007. Pendeteksian Pereseran Proses Mean dan Variability dengan Menggunakan Peta Kendali MaxEWMA. Tugas Akhir Jurusan Statistika, ITS Surabaya. [3]. Lorenzen, T.J., Vance, L.C., 1986. The economic design of control charts: a unified approach. Technometrics 28, 3– 10. [4]. Mitra, Amitava. 1998. Fundamental of quality control and improvement, second edition. Upper sadle river, N.J: Prentice hall. [5]. Patil, S.H., Rattihalli, R.N. 2009. Economic Design of Moving Average Control Chart for Continued and Ceased Production Process. Economic Quality Control 24, 129-142. [6]. Serel, D.A., Moskowitz, H. 2008. Joint economic design of EWMA control chart for mean and variance. European Journal of Operational Research 184, 157-168. [7]. Triyanto, Dendy. 2007. Pengendalian Kualitas Statistik pada Departemen Finishing di PT. Yanaprima
Dari Tabel 4 dan 5 dapat dilihat bahwa nilai parameter h menurun ketika terjadi peningkatan pada pergeseran mean dan atau varians. Penurunan nilai parameter h berpengaruh pada peningkatan total biaya. 4. KESIMPULAN Setelah dilakukan analisis dan perhitungan parameter optimal untuk meminimalkan total biaya, maka dapat disimpulkan bahwa: a. Nilai parameter h yang dihitung dengan menggunakan metode Newton-Raphson yaitu
menurun
ketika terjadi peningkatan pada pergeseran mean dan atau varians. Hal ini disebabkan karena ketika suatu proses mulai jauh bergeser dari nilai target, maka pengambilan sampel harus lebih sering dilakukan. Sehingga produk yang dihasilkan tidak menyimpang dari target yang telah ditentukan. b. Peningkatan nilai parameter h akan meningkatkan total biaya yang harus dikeluarkan oleh perusahaan. Semakin 8
Hastapersada Sidoarjo. Tugas Akhir Jurusan Statistika, ITS Surabaya..
9
