FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Penyajian: 1. Diagram panah 2. Diagram cartesius 3. Himpunan pasangan berurutan 4. Menggunakan rumus Notasi Fungsi Himpunan A disebut domain/daerah asal (Df). Himpunan B disebut kodomain/daerah kawan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range/daerah hasil (Rf). Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap x A ke f(x) B dapat dinotasikan sebagai berikut: f(x) : A B catatan: x A disebut prapeta, f(x) B yang memiliki hubungan dengan x A disebut peta/bayangan dari A, ditulis y = f(x). Perbedaan relasi dan fungsi: Relasi Anggota A tidak harus memiliki pasangan di B. Anggota A boleh dipasangkan lebih dari satu kali.
Fungsi Setiap anggota A harus memiliki pasangan di B. Anggota A hanya dapat dipasangkan tepat satu kali.
Latihan Fungsi: 1. Manakah dari himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan pemetaan atau fungsi dari E = {a, b, c} ke F = {1, 2, 3, 4}? a. { (a,1), (a,2), (b,3), (c, 4)} b. { (a,1), (b,2), (c,2)} c. { (a,1), (b,2), (b,3)} d. { (a,2), (c,2), (c,4)} e. { (a, 4), (b,1), (c,3) f. { (a,3), (b,2), (c,1)}
1
2. Di antara relasi yang disajikan ini manakah yang merupakan fungsi? a. b. c.
d.
e.
3. Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x y? a. b. c.
d.
e.
f.
B. Fungsi Linear Bentuk umum fungsi linear adalah f(x) = ax + b, bila fungsi linear dinyatakan dalam persamaan garis lurus menjadi y = ax + b. Jadi, y = f(x) = ax + b. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi linear y = f (x) = ax + b 1. Buat daftar nilai f dalam tabel. x y
Ingat: Syarat menggambar sebuah garis lurus, minimal dibutuhkan dua titik (untuk dihubungkan menjadi sebuah garis lurus).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. 3. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. 4. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f (jika diperlukan). 5. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 6. Hubungkan titik-titik ini dengan garis. 2
Latihan 2: 1. Gambarlah grafik fungsi ini pada bidang cartesius dalam daerah asal Df = { x x R}: a. f(x) = 2 b. f(x) = 4x c. f(x) = 3 - 2x d. f(x) =3x + 1 e. y = 3x + 5 f. y = - 2x + 6 2. Diketahui f(x) = 3x -10. Tentukan nilai a jika f(a) = 14! 3. Diketahui f(x) = 12 – 5x, tentukan nilai f(3)! 4. Diketahui fungsi f (x) = 3x + 4. Tentukan nilai f(a - 3)! 5. Diketahui fungsi f (x) = - 2x + 10. Tentukan nilai f(x +4)! 1. Gradien Garis Lurus Fungsi Linear f(x) = mx + b, koefisien x, yaitu m menunjukkan gradien atau kemiringan garis. Jika sebuah garis melalui dua titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) maka nilai gradiennya, yaitu m adalah sebagai berikut:
=
Pada titik (x, y), x adalah absis dan y adalah ordinat. 2. Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1, y1) adalah: y – y1 = m (x – x1) Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah:
=
Khusus untuk persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (b,0) dan sumbu Y di titik (0,a) dapat juga menggunakan rumus: ax + by = ab.
Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1, y1) adalah: y – y1 = m (x – x1) 3. Kedudukan Garis dalam Satu Bidang Diketahui persamaan garis k: y = m1x + p dan persamaan garis : y = m2x + p a. Jika garis k
(saling sejajar) maka m1 = m2
b. Jika garis k (saling tegak lurus) maka m1 . m2 = -1
3
c. Jika garis k dan saling berpotongan maka m1 ≠ m2 Koordinat titik potong kedua garis dapat ditentukan dengan caea eliminasi, substitusi, atau dilihat dari grafiknya. Gambar 1: Gambar 2:
Contoh: 1. Tentukan persamaan garis lurus jika melalui titik (2, 1) dan (4, 2) 2. Tentukan persamaan garis lurus pada grafik berikut ini:
3. Tentukan titik potong dari dua garis berikut:
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (5, 2) dan gradiennya 5! 5. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1, 2) dan tegak lurus dengan garis 2x –y = 4! 6. Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y – 4x = 12 dan melalui titik ( -2, 0)! Latihan hal 48- 49 no. 1, 4, 5, 6. a, c, 7.c, 8 -10. C. Fungsi Kuadrat Bentuk umum: f(x) = ax2+bx+c, dengan a,b, dan c bilangan real dan a≠0, dinamakan fungsi kuadrat dalam x. Contoh: f(x)= x2-1 f(x)= 2x2-3x f(p)= p2-4p +4 f(m)= m2+5m +6m Grafik fungsi kuadrat dapat dituliskan f(x)= y=ax2+bx+c dan grafik fungsi kuadrat disebut sebagai parabola.
4
Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x dan y (jika ada) Titik potong dengan sumbu x (syarat y = 0). Titik potong dengan sumbu y (syarat x = 0) 2. Tentukan titik puncak atau titik baliknya : ( , ) = −
,
(
D adalah nilai diskriminan,
)
=
atau ( , ) = −
,
− 4
3. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 4. Buat daftar nilai f dalam tabel. x y (x, y) 5. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 6. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus. 7. Tentukan persamaan sumbu simetrinya : x = − 8. Tentukan nilai maksimum/ minimum (dapat dicari dari
=
=
(
)
)
Contoh: Gambarlah grafik fungsi berikut: a. y = x2 b. f(x) = x2 – 4 c. y = 2x2 - 4x + 5 d. f(x) = x2 + x -2 Hubungan nilai diskriminan dengan Fungsi Kuadrat • Jika D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berlainan. • Jika D=0 maka parabola memotong sumbu x di satu titik. • Jika D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x. Hubungan nilai a pada fungsi kuadrat y=f(x)= ax2+bx+c dengan sketsa grafiknya: Jika nilai a> 0 maka grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas.
Karena grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas maka grafik fungsi kuadrat ini memiliki titik balik minimum. Jika nilai a< 0 maka grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah. Karena grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas maka grafik fungsi kuadrat ini memiliki titik balik maksimum.
5
Dengan memperhatikan nilai a dan D dari suatu fungsi kuadrat y=f(x)= ax2+bx+c, ada 6 kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X.
Keterangan: 1. Pada (a) dan (e) untuk D > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik, jika a > 0 grafik membuka ke atas, sebaliknya untuk a < 0 grafik membuka ke bawah. 2. Pada (b) dan (f) untuk D = 0 grafik memotong di satu titik atau menyinggung sumbu x. 3. Pada (c) dan (g) grafik tidak memotong sumbu x. Untuk a > 0 dan D < 0 seluruh grafik berada di atas sumbu x artinya seluruh nilai fungsi bernilai positif untuk setiap nilai x yang diberikan, keadaan ini disebut definit negatif. Untuk a < 0 dan D < 0 seluruh grafik berada di bawah sumbu x artinya seluruh nilai fungsi bernilai negatif untuk setiap nilai x, keadaan ini disebut definit positif.
6
