PEMBAHASAN. Pada model indeks tunggal, imbal hasil dari sekuritasnya dapat juga dinyatakan dalam bentuk nilai harapan imbal hasil

anggapan bahwa harga sekuritas berubah searah dengan harga indeks pasar. Model indeks tunggal adalah model yang menyatakan bahwa imbal hasil setiap sekuritas mempunyai hubungan dengan imbal hasil portofolio pasar. Portofolio pasar adalah portofolio yang terdiri atas semua sekuritas yang ada di pasar dan portofolio pasar ini dapat diwakili oleh indeks pasar. Hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut Ri ci bi Rm ;i 1, 2,..., n dengan Ri : imbal hasil sekuritas i,

ci : suatu peubah acak yang menunjukkan komponen dari imbal hasil sekuritas i yang tidak bergantung pada pasar, bi : koefisien risiko yang mengukur perubahan Ri akibat dari perubahan Rm ,

Rm : Tingkat imbal hasil dari indeks pasar, juga merupakan peubah acak. Karena ci adalah komponen imbal hasil yang tidak bergantung pada imbal hasil pasar maka ci dapat dipecah menjadi nilai yang diharapkan ( ai ) dan kesalahan/residu (  ) i yang dituliskan sebagai berikut c i a i i ; i 1, 2,..., n . Sehingga hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut Ri ai bi Rm i ;i 1, 2,..., n dengan E ( ) 0 , karena persamaan tersebut i berfungsi menduga imbal hasil sekuritas i supaya nilai yang diduga mendekati nilai yang sebenarnya maka diharapkan tidak ada kesalahan atau kesalahannya mendekati nol.

Pada model indeks tunggal, imbal hasil dari sekuritasnya dapat juga dinyatakan dalam bentuk nilai harapan imbal hasil. [Bodie, et al, 2002] Capital Asset Pricing Model (CAPM) Kemampuan untuk mengestimasi imbal hasil dan risiko sebuah sekuritas individual merupakan hal yang sangat penting dan diperlukan oleh investor ketika hendak menanamkan modalnya pada sebuah pasar sekuritas. Capital Asset Pricing Model (CAPM) merupakan suatu model untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. Model ini memberikan prediksi tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Pendekatan ini berlandaskan pada asumsiasumsi berikut: 1. Terdapat banyak investor, mereka bertindak sebagai price takers yaitu setiap tindakan yang mereka lakukan secara perorangan tidak memengaruhi harga suatu sekuritas. 2. Seluruh investor merencanakan untuk satu periode investasi yang sama. 3. Investasi dibatasi hanya pada aset keuangan yang diperdagangkan secara umum seperti saham dan obligasi. 4. Investor tidak membayar pajak atas imbal hasil dan juga tidak terdapat biaya transaksi atas perdagangan sekuritas. 5. Seluruh investor berusaha mengoptimalkan imbal hasil risiko yang rasional. 6. Setiap investor mempunyai harapan yang sama untuk setiap modal yang diinvestasikannya. [Bodie, et al, 2002]

PEMBAHASAN Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) Model dari pembentukan harga aset modal yang biasa disebut Capital Assets Pricing Model (CAPM) memberikan prediksi tentang hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. CAPM memprediksi nilai harapan imbal hasil berdasarkan asumsi bahwa seluruh investor menggunakan daftar input yang sama, yaitu estimasi yang sama tentang imbal

hasil yang diharapkan, ragam dan koragam. Ketika seluruh investor dapat meminjam dan memberi pinjaman dana pada tingkat bebas risiko, maka seluruh investor akan mempunyai titik portofolio yang optimal. Ketika pinjaman dibatasi, maka suku bunga pinjaman lebih tinggi daripada suku bunga pemberian pinjaman sehingga portofolio pasar tidak lagi merupakan portofolio optimal

dan efisien bagi seluruh investor. Jika portofolio pasar tidak lagi efisien, maka hubungan antara imbal hasil dan beta dari CAPM tidak lagi membentuk keseimbangan pasar. Di dunia dengan semua asumsi, semua aset individual akan menahan portofolio pasar berdasarkan toleransi risiko. Seseorang dengan toleransi risiko rendah menyimpan sebagian besar dari uangnya dalam sekuritas bebas risiko, sedangkan seseorang dengan toleransi risiko tinggi menyimpan sebagian besar dari uangnya dalam portofolio pasar. Penurunan Capital Asset Pricing Model (CAPM) Diberikan suatu persamaan CAPM (Bodie, et al, 2002)

E (Ri ) r0 i  E (Rm ) r0 

E( R1) r0 0

(4.1)   n  L 1   2 p 2Var ( R2 ) 2p j Cov ( R2 , R j )   p 2 2p  j 1  j 2   

E( R2 ) r0 0

: :

portofolio E( Rp ) .

min p 

n

n

i 1

i 1 j i

pi2Var (Ri ) 2pi p j Cov(Ri , Rj ) (1)

terhadap n  n  E ( Rp ) pi E ( Ri )  1 pi r0 i 1  i 1 

(4.2)

E( Rn ) r0 0

: tingkat suku bunga bebas risiko

E ( Rm ) : harapan imbal hasil pada portofolio pasar i : risiko aset ke-i. Pada proporsi investasi optimal, masingmasing investor pada pasar memenuhi kemungkinan garis pasar tertinggi. Garis pasar bisa dicari dengan memperkecil standar deviasi p untuk semua harapan imbal hasil

pi

n  L 1   2 p1Var ( R1 ) 2 p j Cov ( R1 , R j )   p1 2p  j 2 

n 1   L 1   2 p nVar ( Rn ) 2 p j Cov ( Rn , R j )   p n 2p  j 1 

dengan E ( Ri ) : harapan imbal hasil aset ke-i

r0

dicari secara analisa dengan menurunkan persamaan (3) terhadap pi dan terhadap pengali lagrange, dan hasil turunan pertamanya sama dengan nol. Hal ini berlaku untuk n 1 persamaan.

(4.3) n L  n  E( Rp ) pi E( Ri )  1 pi r0 0  i 1  i1  (4.4)

Selanjutnya dengan mendapatkan himpunan dari persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4) dan perkalian antara p1, p 2 dan lain-lain, diperoleh n  1 2 p1 Var ( R1 ) p1 p jCov ( R1 , R j )   p  j 2  p1  E ( R1 ) r0 

(5.1) (2)

dengan pi adalah proporsi dari portofolio sekuritas ke-i. Didefinisikan suatu fungsi L yang didapat untuk meminimumkan standar deviasi sebagai berikut n   n  L p  E ( Rp ) pi E ( Ri )  1 pi r0  i 1   i 1  

(3) dengan  adalah pengali lagrange. Untuk selanjutnya akan dicoba mencari proporsi optimal dari setiap aset, dengan memperkecil risiko dari portofolio optimal. Garis pasar bisa

  n 1 2 p 2 Var ( R2 ) p 2 p j Cov ( R2 , R j )   p  j 1  j 2   

p2  E ( X 2 ) r0 

: :

(5.2)

n 1  1 2 pn Var ( Rn ) pn p j Cov( Rn , R j )   p  j 1  pn  E( Rn ) r0 

(5.3)

  E (Rp ) pi E (Ri )  1 pi r0 . i 1  i1  n

n

(5.4)

Jika dijumlahkan persamaan (5.1) sampai (5.3) maka akan diperoleh   n n 1 n 2 pi p j Cov ( Ri , R j )  pi Var ( Ri )   p i 1 i 1 j 1  j i    n

pi  E ( Ri ) r0  i 1

(6) tanda kurung di ruas kiri menunjukkan ragam 2 dari portofolio optimal p , maka diperoleh n 1 n  Var (R p )  p E ( R )  pi r0   i i  p i 1 i 1 

n   n  p  p E ( R )  1 pi r0 r0 .  i i  i 1  i 1   

m E ( Rm ) r0 .

p

i

(11) Penyelesaian dari persamaan tersebut untuk harapan imbal hasil dari aset ke-i E ( Ri ) diperoleh   n 1  E( Ri ) r0  piVar( Ri ) p j Cov( Ri , R j )   m  j 1  j i    (12)

  n E( R ) r0  E (Ri ) r0  m piVar (Ri ) p jCov (Ri , R j )   Var ( R m)  j 1   j i  

(13) (8)

n

E( Ri ) r0 0.

Selanjutnya dengan memasukkan  dari persamaan (10) maka diperoleh

(7) dengan demikian maka standar deviasi terkecil dari portofolio optimal adalah

Pada titik spesifik dengan

  n 1  piVar ( Ri ) p j Cov( Ri , R j )   m  j 1  j i   

1 berlaku

Berdasarkan definisi, koragam dari aset ke-i dengan portofolio pasar dapat dituliskan kembali sebagai berikut

i 1

n

(9)

Cov( Ri , Rm ) piVar ( Ri ) p j Cov( Ri , R j ) j 1 j i

Oleh karena itu

1 E ( R m ) r0  , (10)  m dengan m adalah portofolio pasar yang optimal untuk semua investor dan m adalah standar deviasi dari portofolio pasar. E (Rm ) r0 didefinisikan sebagai slope dari m garis pasar. Sekarang dapat diturunkan hubungan keseimbangan antara harapan imbal hasil aset ke-i dan risikonya: Gambaran risiko adalah standar deviasi dari imbal hasil pada aset itu sendiri dan koragam dengan imbal hasil dari semua aset risiko lainnya dalam pasar, dengan cara menggunakan persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4) untuk menurunkan persamaaan umum antara harapan imbal hasil dari semua saham dan risikonya. Secara umum, dari persamaan (4.1) sampai n

persamaan (4.4) pada titik

p i 1

ditulis kembali sebagai:

i

1 dapat

(14) Kemudian harapan imbal hasil semua aset berisiko dapat dituliskan kembali sebagai berikut E ( Rm ) r0 E ( Ri ) r0  Cov ( Ri , Rm ) Var( Rm ) (15) atau

E (Ri ) r0 E (Rm ) r0  i ,

(16)

dengan

Cov ( R i , R m ) i  . Var (R m )

(17)

Capital Asset Pricing Model (CAPM) menyajikan nilai yang diharapkan dari imbal hasil sekuritas ke-i yang linear pada beta sekuritas tertentu. Best-Beta Capital Asset Model (BCAPM) adalah variasi sederhana dari CAPM. Persamaan antara CAPM dan BCAPM adalah keduanya dapat digunakan untuk memprediksikan suatu hubungan linear antara premi aset berisiko E( X ) dan , yang diberikan oleh

E ( X ) E ( X m ) , dengan

E (.)

adalah

operator

(18) harapan,

X R r0 dan X m R m r0 adalah imbal hasil berlebih (dari suku bunga bebas risiko, r0 ) berturut-turut pada sekuritas aset dan pasar. Perbedaan kedua model terletak pada asumsi tentang preferensi investor, yang mana pada kaitannya menyatakan spesifikasi yang berbeda dari . Menurut definisi beta dari CAPM menyatakan Cov( R, Rm )  MV Var( Rm ) dengan

Cov (.,.)

adalah

koragam

Didefinisikan beberapa variabel periode t, t 1, sebagai berikut : Ri ,t 1 : imbal hasil pada aset ke-i,

Et

: operator harapan pada waktu t,

r0, t 1

: tingkat bunga bebas risiko,

pada

Rm, t1 : imbal hasil dari portofolio pasar dengan Rm, t1 0 , Et ( Rm, t1 ) r0, t 1 dan 0 Var( Rm, t 1 ) . Diberikan X i, t 1 Ri, t 1 r0, t 1

menyatakan

selisih

imbal hasil dan Et ( X i, t1 ) nilai harapan premi dan

Var(.) adalah ragam. Pada model CAPM investor mempunyai persepsi yang sama tentang risiko yang diukur oleh ragam dari portofolio imbal hasil dan berbeda dalam tingkat aversi risikonya. Makalah ini juga membahas keunggulan CAPM dan asumsi bahwa investor mengambil momen kedua dari portofolio imbal hasil sebagai suatu ukuran risiko, karena momen kedua berhubungan dengan ragam dan ragam sendiri berbanding terbalik dengan beta. Oleh karena itu investor mungkin mempunyai persepsi yang berbeda tentang keduanya antara risiko dan tingkat aversi risiko. Meskipun berbeda dalam tingkat aversi risiko, tetapi semua investor memilih portofolio berisiko optimal yang sama. Kondisi keseimbangan untuk harapan imbal hasil dinyatakan dengan ukuran baru dari beta E(Xm X ) B  , E ( X m2 ) dengan ‘B’ berasal dari kata ‘best-beta’ dengan peranannya dalam meminimumkan potensi kesalahan penetapan harga hasil perkalian terkecil.  didefinisikan sebagai kesalahan penetapan harga yang berbeda antara harapan imbal hasil sebenarnya dan harapan imbal hasil yang diprediksikan. Akan ditunjukkan bahwa

iB (1 2 )iMV

Penurunan Best-Beta Capital Asset Pricing Model (BCAPM)

aset berisiko ke-i. Dengan menggunakan asumsi dari pasar persaingan sempurna, karena dalam pasar persaingan sempurna terdiri atas banyak pasar yang saling bersaing dan mempertimbangkan konsumsi yang optimal, maka keputusan investasi dari investor pada setiap periode bertujuan untuk memaksimumkan nilai kekayaan perusahaan (Rubinstein,1974). Diberikan suatu model, yaitu: max V (w, p ) U 0 (w w ) E [U (wrp )]

0 ww, pP

(19) dengan V : w : w w : w : U0 :

nilai kekayaan perusahaan kekayaan investor saat ini, konsumsi saat ini, modal investasi, fungsi kepuasan investor dari konsumsi saat ini, U : fungsi kepuasan investor dari kekayaan di masa depan (von Neumann-Morgenstern). Fungsi kepuasan tersebut monoton naik, konkaf, terdiferensialkan dua kali, dan P adalah himpunan dari semua portofolio investor yang meliputi long positions dan short positions pada aset ke-i. Long position adalah posisi ketika investor telah membeli sekuritas dan diasumsikan proporsi sekuritas tersebut bernilai positif satu. Sedangkan short position adalah posisi ketika investor telah menjual sekuritas dan diasumsikan proporsi sekuritas tersebut bernilai negatif satu. Mengasumsikan solusi dari persamaan (19), (Rubinstein, 1974) yaitu solusi optimal ( w* , p* ) yang dikarakteristikkan oleh

r0 E [U '(w * r p* )] U '0 (w w*)

(20)

dengan min(rp , ) k max(rp , ).

E [U '(w * rp * )ri ] U '0 (w w*)

(21)

Maka perkiraan dari sasaran investor pada persamaan (19) bisa dituliskan kembali menjadi

dan

untuk semua aset ke-i. Dengan mengurangkan persamaan (20) dan persamaan (21) diperoleh

E [U '(w *rp* )r0 ] E [U '(w * rp* )ri ] E [U '(w *rp* )X i ] 0

(22)

untuk semua i. Bukti: Untuk setiap sekuritas dalam pasar persaingan sempurna dialokasikan kekayaan seseorang antara konsumsi dan modal untuk sekuritas berisiko dan bebas risiko. s menyatakan proporsi dari modal w yang dialokasikan pada sekuritas bebas risiko. li menyatakan proporsi dari modal w(1 s) yang dialokasikan pada setiap sekuritas berisiko sedemikian sehingga i li 1 . Kekayaan di masa depan dapat dituliskan sebagai wrp w(1 sr0 (1 s )i li ri ) .

max U0 (w w) EU  w(1 sr0 (1 s)i liri )    w, s,{ li }

 i li 1  ,

lebih kecil daripada a( w, ) . Dengan mengasumsikan ( w, p) adalah solusi pada persamaan (23), k emudian dengan memasukan keterangan tersebut ke dalam persamaan (22), diperoleh

 E[(a ( w,) b( w,) w(rpt )) X i ] 0  E[a ( w,) b( w, ) w(rpt )]E ( Xi ) 0  a (w,)E (X i ) b (w,)wE [(rp t )X i ] 0

Sehingga didapatkan a(w, )E( X i ) b(w,)wE[(rp ) X i ] 0

untuk semua i.

dengan  adalah pengali lagrange. Dengan menurunkan persamaan di atas terhadap masing-masing variabel, didapatkan kondisi optimum sebagai berikut

E[U '( w * rp )( ri r0 )] 0

b( w,  ) 2 a(w,  )E(wrp w)  E(wrp w) 2 (23) dengan 0, a ( w, ) 0, b ( w, ) 0 . Nilai relatif dari fungsi tersebut diasumsikan bisa memenuhi kondisi kemonotonan dari tujuan investor pada persamaan (23) yang meningkat dalam harapan kekayaan, misalnya cukup dengan mengasumsikan bahwa imbal hasil memiliki sebaran seragam dan b (w ,)

E[U '(wrp ) X i ] 0

Dengan memasukkan hasil dari turunan pertama fungsi kepuasan, didapatkan pengaruh pada grafik akan naik, oleh karena itu diasumsikan U '0 0,U ' 0 maka permasalahan di atas dapat dituliskan menjadi

U '0 ( w w*) r0 E[U '( w* rp* )]



max V (w, p) U 0 (w w) EU (w) 

0 ww, pP

(i) (ii)

(24)

Hasil yang pertama didapat adalah suatu versi baru dari teorema Two-fund separation, dengan ‘eta-ratio’ didefinisikan oleh:

( X ) 

E(X ) E(X 2 )

(25)

2

dengan E ( X ) adalah momen kedua dari imbal hasil X.

Terbukti Menurut ekspansi Deret Taylor dari U (wrp ) dengan w0 , parameter  merupakan target imbal hasil investor. Maka ditulis U ( wrp ) U ( w) U '( w)( wrp w)

U ''( kw) 2  (wr p w) , 2

Teorema 1 (separation) Di bawah asumsi CAPM (Sharpe, 1964), kalau tidak semua investor mempunyai tujuan memaksimumkan kekayaannya pada bentuk persamaan (23), two-fund separation tertahan. Portofolio optimal semua investor bisa dipisahkan menjadi kombinasi aset bebas risiko dan portofolio berisiko, yang mana portofolio pasar m pada ekuilibrium

mempunyai eta-ratio paling tinggi. Untuk semua aset berisiko i

Dengan menggantikan pilihan yang baru pada persamaan (23) untuk pilihan rataanragam (U ( w) aw b( w E ( w)) ) di dalam Modern Portofolio Theory (MPT), sebagian besar dari hasil dalam MPT sebenarnya dapat ditulis ulang tanpa banyak hal lain yang tidak perlu, meskipun kedua jenis pilihan sangat berbeda. Hal penting lainnya, perbedaan tafsiran ekonomi antara ragam dan momen kedua, atau secara umum antara koragam 2

( X m ) 

E ( Xm ) 2

E(X m )

( X i ) 

E ( Xi ) 2

E(X i )

Bukti: Lihat Lampiran 1 Definisi 19 (Sharpe-ratio) Sharpe ratio digunakan untuk membantu mencari kemungkinan proporsi terbaik dari semua sekuritas yang digunakan, definisi dari sharpe ratio adalah

S(X ) 

Cov ( X , X m ) dan komomen E ( XX m ) , adalah tanda permulaan yang signifikan BCAPM dari CAPM. Karena

E (X ) . Var ( X )

E ( X 2 ) Var ( X ) [E ( X )]2 ,

Hubungan antara eta-ratio dan sharpe-ratio adalah sebagai berikut [ S ( X )]2 [( X )]2  . (26) [ S ( X )]2 1 Dengan didapatkannya kuadrat dari dua rasio tersebut memberikan tingkatan yang sama dari semua aset untuk dua variabel acak X1 dan

besarnya momen kedua bisa dipengaruhi oleh keduanya, ragam dan harapan imbal hasil. Oleh karena itu ketaksamaan ragam tidak selamanya menginterpretasikan E(X 2 ) sebagai ukuran suatu risiko. Dengan cara yang sama,

E ( XX m ) Cov ( X , X m ) E ( X ) E ( X m )

X 2 , yaitu menyatakan [( X 1 )] [( X 2 )]  [ S ( X 1 )] [ S ( X 2 )] . 2

2

2

2

Dengan kata lain tujuan investasi yang baru pada persamaan (23) tidak mengubah kriteria efisiensi rataan-ragam dari teori portofolio modern atau MPT (Markowitz, 1952). Jika portofolio p adalah portofolio dengan ragam terkecil Var ( X p ) , juga mempunyai momen kedua terkecil

E( X 2p ) antara semua aset

dengan rataan

E( X p )

yang sama. Oleh

karena itu prosedur Markowitz untuk mendapatkan portofolio optimal pada sisa model rataan-ragam sebagian besar dilengkapi pada model yang baru. Teorema 2 (BCAPM) Di bawah asumsi dari Teorema 1 , BCAPM bertahan pada keseimbangan. Untuk semua aset ke-i E( X i ) iB E( X m ) (27) dengan E(X mX i ) iB  . (28) 2 E( X m ) Bukti: Lihat Lampiran 2

bahwa

komomen

E ( XX m )

bergantung pada keduanya, koragam dan harapan imbal hasil. Tanpa teori penetapan harga aset, E ( XX m ) bisa berbeda karena imbal hasil acak X tidak mempunyai korelasi dengan pasar. E ( XX m ) dinyatakan sebagai ukuran komomen. Berdasarkan ketentuan kita bisa menyatakan i sebagai ukuran yang B

dimodifikasi dari aset berisiko sistematis. Perbedaan satu-satunya adalah bahwa

iB mengukur bagaimana imbal hasil dari aset ke-i dan koragam pasar sedangkan MV

i mengukur bagaimana surprises tentang imbal hasil aset ke-i dan koragam pasar. Kedua beta tersebut sama-sama menyarankan tentang intuitif gagasan yang sama bahwa jika suatu imbal hasil aset ke-i cenderung bergerak bersama-sama dengan pasar, maka cenderung untuk mempunyai suatu risiko sistematis yang lebih tinggi. BCAPM versus CAPM Untuk memberikan analisis komparatif, bahasan ini lebih berisikan analisis berdasarkan data empiris. Dinotasikan:

Xm

: imbal hasil berlebih yang diberikan

oleh portofolio pasar, E( X i ) : harapan imbal hasil yang sebenarnya dari aset ke-i, i : beta sebenarnya dari aset ke-i yang memenuhi hubungan pada persamaan (18) dengan pasar. Mengenai kenyataan bahwa keduanya, CAPM dan BCAPM, adalah pendekatan model penetapan harga yang mungkin terdapat adanya kesalahan, prediksi model harapan imbal hasil dari CAPM dan BCAPM didefinisikan berturut-turut,

E MV ( X ) MV E( X m ) ,

(29)

E B ( X ) B E ( X m ) .

(30)

Suatu ukuran kesalahan penetapan harga dari CAPM dan BCAPM yang didefinisikan berturut-turut (Pastor dan Stambaugh, 1999)

i E ( Xi ) E MV

MV

model tersebut tidak sempurna, mengenai apakah BCAPM bisa diujikan sebagai model yang tepat adalah bukan masalah. Ada juga yang tidak memerlukan untuk uji empiris dari hasil komparatif dari Teorema 3 karena hubungan persamaan (31) dan persamaan (32) secara umum di bawah sebaran peluang bersama. Untuk memperoleh pengetahuan yang lebih lanjut dapat digunakan model indeks tunggal untuk menyederhanakan penghitungan model tersebut, diketahui suatu hubungan antara X i dan X m :

X i ai bi X m i ;i=1,2,..,n

untuk ai dan bi adalah konstanta riil tetap, dan variabel acak  i dengan

E( i ) 0 .

Tanpa batasan lebih lanjut, hubungan pada persamaan umum (33) dapat ditulis menjadi

i X i ai bi X m

;i=1,2,..,n

dan

( Xi ) ,

ai E( X i ) bi ( X m )

 E ( X i ) E ( X i ) . B i

B

Teorema ini menunjukkan dua model akurasi penetapan harga relatif. Teorema 3 Untuk semua aset i,

;i=1,2,..,n

untuk sebarang bi . Mengingat dua permasalahan dan solusinya dari persamaan tersebut. Masalah yang p ertama adalah meminimumkan nilai harapan kuadrat dari  i.

min E( X i ai bi X m ) , 2

 (1  ) B i

2

MV i

i B 2 i (1 2 ) iMV

(33)

(31) (32)

dengan

ai , bi

menghasilkan MV bi i

ai E ( X i ) iMV E ( X m ) iMV . 2 [ E ( X m )] 2  [0,1] . E ( X m2 )

Bukti: Lihat Lampiran 3 Berdasarkan pembahasan tersebut, BCAPM bisa menunjukkan prediksi penetapan kesalahan yang lebih tepat daripada CAPM. Teorema tersebut menunjukkan bahwa hubungan antara imbal hasil yang diharapkan dengan beta yang diprediksikan dalam CAPM dapat ditingkatkan. Teorema tersebut juga menunjukkan pentingnya pemilihan beta sebenarnya untuk mengukur risiko sistematik suatu aset ketika model menunjukkan kesalahan. Karena tujuan dari topik ini adalah untuk membandingkan model penetapan harga aset, sementara secara eksplisit berlaku bahwa

(34)

(35)

Bukti: E( Xi ai bi Xm )2

E ( X i2 2ai X i ai2 2bi X i X m 2ai bi X m bi2 X m2 ) E( Xi2) 2ai E( Xi ) ai2 2bE ( Xi Xm) i 2ai bi E ( X m ) bi2 E ( X m2 ) , Dapat dicari dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-turut terhadap ai dan bi ,

E ( X i ai bi X m ) 2 0  ai  2 E( X i ) 2 ai 2 bi E( X m ) 0  ai bi E( X m ) E( Xi ) dan

(i)

E ( X i ai bi X m ) 2 0 bi

ketidakpastiannya meminimumkan

 2 E( X i X m ) 2 ai E( X m ) 2 bi E( X ) 0  ai E( X m ) bi E( X m2 ) E( X i X m ) (ii) 2 m

dengan mengalikan E ( X m ) pada persamaan (i) dan mengurangkannya dengan persamaan (ii) maka

ai E( X m ) bi [ E( X m )] E( X i ) E( X m ) 2

ai E( X m ) bi E( X m2 ) E( X i X m ) E ( X i X m ) E ( X i )E ( X m ) bi  E ( X m2 ) [ E ( X m )]2 Cov ( X i X m ) MV  i Var( X m ) ai E( X i ) bi E( X m ) E ( X i ) iMV E ( X m ) Terbukti Masalah yang kedua adalah meminimumkan nilai harapan kuadrat dari ai i .

min E ( X i bi X m )2 , bi

menghasilkan B bi i

ai E( X i ) i E( X m ) i B

B

(36)

(37) .

Bukti: E ( X i bi X m )2

E ( X i2 2bi X i X m bi2 X m2 ) E( X i2 ) 2bi E( X i X m ) bi2 E( X m2 ) Dapat dicari dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-turut terhadap bi ,

E ( X i bi X m )2 0 bi  2 E( X i X m ) 2 bi E( X m2 ) 0  bi E( X m2 ) E( X i X m ) E( X i X m )  bi  iB E( X m2 ) Terbukti Suatu hubungan pada persamaan umum (33), terlihat dari persamaan (35) dan (37) bahwa konstanta ai adalah sumber potensi kesalahan penetapan harga untuk keduanya, CAPM dan BCAPM. BCAPM mengakui

dan

berusaha

E (a i i ) , 2

daripada

E (i ) . 2

Eta-ratio (dikarenakan Sharpe-ratio) mengambil pengertian baru untuk memecahkan Teorema 3: kuadrat dari etaratio sekarang mengukur seberapa banyak BCAPM meningkatkan akurasi penetapan harga dari CAPM. Oleh karena itu Teorema 3 menetapkan ketelitian hubungan antara dua bukti permasalahan pemisahan: salah satunya memaksimumkan rataan momen kedua pada persamaan (33) dan yang lainnya meminimumkan kesalahan penetapan harga pada persamaan (33). Dengan kata lain, jika terjadi kesalahan penetapan harga maka kesalahan penetapan harga dari BCAPM ternyata lebih kecil daripada CAPM untuk semua aset ke-i, dengan rasio peningkatan penetapan harga dinotasikan dengan 2 . Pemilihan Portofolio Dalam melakukan investasi, tersedia banyak pilihan jenis sekuritas bagi investor. Semua jenis sekuritas menjanjikan imbal hasil bagi pemiliknya, terutama sekuritas berisiko. Semakin tinggi risiko suatu sekuritas, biasanya semakin tinggi imbal hasil yang dijanjikan perusahaan sekuritas. Bagi investor hal ini cukup membingungkan, karena investor harus memilih sekuritas yang menguntungkan dari sekuritas yang tersedia. Hal yang penting dalam mengambil keputusan adalah imbal hasil dan risiko. Masalah yang dihadapi investor ini dipecahkan oleh Markowitz dalam Journal of Finance pada tahun 1952 dengan judul Portfolio Selection. Markowitz memperkenalkan suatu pendekatan modern untuk menyeleksi portofolio dengan melihat tingkat imbal hasil dan risiko suatu sekuritas berdasarkan pada analisis fundamental. Jadi dengan adanya pemilihan portofolio Markowitz, investor dapat mengabaikan informasi tentang perusahaan sekuritas, kebijakannya, dan pangsa pasar portofolio, dan hanya melihat pada beberapa penghitungan statistik. Investor akan memilih portofolio yang mempunyai tingkat imbal hasil yang tinggi dan tingkat risiko yang serendah mungkin untuk memaksimumkan keuntungannya.

(1952-1999) : Contoh empiris Berdasarkan Campbell dan Viceira (2002, Tabel 3.2), kekayaan pertahun AS atas NYSE, AMEX, dan NASDAQ mempunyai imbal hasil rata-rata 7.67% (dengan simpangan baku 16.03%) untuk periode 1952 sampai 1999 dan 10.61% (dengan simpangan baku 15.15%) untuk periode 1983 sampai 1999. Catatan bahwa [E ( X m )]2 [E (X m )]2 . 2   2 E( X m) Var ( X m ) [ E ( X m )]2

Rasio peningkatan penetapan harga untuk dua periode di atas adalah

2

7.67 2   0.18629 2 2 (16.03 7.67 )

(1983-1999) : 2

10.61 2 .   2 2 0.32907 (15.15 10.61 )

Dalam persentase hasil yang didapat, nilai tersebut cukup menarik perhatian. Untuk para praktisi yang harus membuat keputusan investasi berkali-kali dan taruhannya tinggi, mereka akan mendapatkan BCAPM lebih baik daripada CAPM untuk prediksi imbal hasil saham dan mengevaluasi modal biaya perusahaan.