Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
d
Kode 521
eb. i
Oleh Tutur Widodo
1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : x2 − xy + 3y 2 + 2x − 5y − 4 = 0 x + 2y = 4 maka nilai x2 − y 2 = · · · d. 3
b. −3
e. 6
e.w
a. −6
c. 0
on
Jawaban : d Dari pers. kedua diperoleh x = 4−2y. Substitusikan nilai ini ke pers. pertama sehingga diperoleh, (4 − 2y)2 − (4 − 2y)y + 3y 2 + 2(4 − 2y) − 5y − 4 = 0 ⇔ 16 − 16y + 4y 2 − 4y + 2y 2 + 8 − 4y − 5y − 4 = 0
thz
⇔ 9y 2 − 29y + 20 = 0
⇔ (9y − 20)(y − 1) = 0
karena y bulat maka y = 1 sehingga x = 2. Oleh karena itu, x2 − y 2 = 4 − 1 = 3.
ma
2. Misalkan f (x) = (x − 3)3 + (x − 2)2 + (x − 1), maka sisa dari pembagian f (x + 2) oleh x2 − 1 adalah ... a. −2 + 5x
d. 14 − 9x
b. −9 + 14x
e. 11 + 19x
c. 5 − 2x
w.
Jawaban : a Perhatikan bahwa,
ww
f (x + 2) = (x − 1)3 + x2 + x + 1 = x3 − 3x2 + 3x − 1 + x2 + x + 1 = x3 − 2x2 + 4x = x2 (x − 2) − (x − 2) + 5x − 2 = (x − 2)(x2 − 1) + 5x − 2
mudah dilihat bahwa sisa dari f (x + 2) jika dibagi (x2 − 1) adalah 5x − 2.
3. Nilai - nilai x yang memenuhi x − 2 ≤ |1 − 2x| adalah ... a. semua bilangan riil
d. x ≤ −1 atau x ≥ 1 1
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 1 2
e. x ≤
1 atau x ≥ 1 2
d
b. x ≥ −1 atau x ≤ c. −1 ≤ x ≤ 1
eb. i
Jawaban : a Karena melibatkan nilai mutlak, maka akan lebih mudah jika kita bagi kasus :
1 , maka persamaan menjadi x − 2 ≤ 1 − 2x ⇔ x ≤ 1. Jadi, Hp = 2 1 {x ∈ R|x ≤ }. 2 1 b) Untuk x > , maka persamaan menjadi x − 2 ≤ 2x − 1 ⇔ x ≥ −1. Jadi, 2 1 Hp = {x ∈ R|x > }. 2
e.w
a) Untuk x ≤
Oleh karena itu, berdasarkan dua kasus di atas pertidaksamaan tersebut dipenuhi untuk semua bilangan riil x.
d. −(−1)n e.
1 1 (−1)n − 2 2
thz
1 1 a. − (−1)n + 2 2 1 1 b. − (−1)n − 2 2 1 1 c. (−1)n + 2 2
on
4. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 −(2k 2 −k−1)x+(3k+4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1 , k, x2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah ...
ma
Jawaban : a Dari rumus Vieta kita tahu bahwa x1 x2 = 3k + 4. Padahal, x1 , k, x2 membentuk barisan geometri sehingga berlaku pula x1 x2 = k 2 . Oleh karena itu, diperoleh k 2 = 3k + 4 ⇔ k 2 − 3k − 4 = 0 ⇔ (k − 4)(k + 1) = 0. • Jika k = 4 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 − 27x + 16 = 0 yang tidak punya akar bulat. • Jika k = −1 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 −2x+1 = 0 ⇔ (x−1)2 = 0 yang akar - akarnya x1 = x2 = 1
w.
Oleh karena itu, barisan geometri yang dimaksud adalah 1, −1, 1, −1, 1, · · · . Sehingga diperoleh, 1 1 1 − (−1)n = − (−1)n + Sn = 1 − (−1) 2 2
ww
→ − −→ −→ − 5. Dalam segitiga ABC, AB = → a , AC = b . Jika titik G adalah titik berat segitiga −→ ABC maka AG = · · · → − 1 → (− a + b) 6 − 1 − → b. (→ a + b) 4 − 1 − → c. (→ a + b) 3 a.
→ − 2 → (− a + b) 3 − 3 − → e. (→ a + b) 4
d.
2
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
d
Jawaban : c −−→ Misal AD adalah garis berat segitiga ABC yang ditarik dari A maka diperoleh AD = → − − −→ 2 −−→ 1 − → 1 → (− a + b ). Akan tetapi karena G titik berat maka AG = AD = (→ a + b) 2 3 3
sin 21 (β − γ) cos 12 α
d.
tan 21 (β − γ) tan 12 α
b.
cos 12 (β − γ) sin 12 α
e.
tan 12 (β − γ) cot 12 α
tan 21 (β − γ) c. sin 12 α Jawaban : e Pada 4ABC berlaku aturan sinus yaitu
e.w
a.
eb. i
6. Dalam segitiga ABC diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c b−c maka = ··· b+c
on
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ sehingga
ma
thz
b−c 2R sin β − 2R sin γ = b+c 2R sin β + 2R sin γ 2 cos 12 (β + γ) · sin 21 (β − γ) = 2 sin 21 (β + γ) · cos 12 (β − γ) 1 1 = cot (β + γ) · tan (β − γ) 2 2 1 1 ◦ = cot(90 − α) · tan (β − γ) 2 2 1 1 = tan α · tan (β − γ) 2 2 tan 21 (β − γ) = cot 21 α
7. Jika sin2 t(csc2 t − 1)(1 − sin t + sin2 t − sin3 t + · · · ) = x dengan dari cos t adalah ... p 1 − (x − 1)2
w.
a.
p b. − 1 − (x − 1)2
< t ≤ π, maka nilai
1 d. − p 1 − (x − 1)2 1 e. p 1 + (x − 1)2
p 1 + (x − 1)2
ww
c. −
π 2
Jawaban : b Untuk t = π jelas bahwa sin t = 0 oleh karena itu x = 0 dan cos t = −1. Untuk kasus ini jelas tidak ada pilihan yang memenuhi. Oleh karena itu, haruslah batasan pada
3
Tutur Widodo π 2
< t < π. Untuk kondisi ini kita peroleh,
eb. i
x = sin2 t · cott (1 − sin t + sin2 t − sin3 t + · · · ) 1 = cos2 t 1 + sin t 1 − sin2 t = 1 + sin t = 1 − sin t
d
soal adalah
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
8. lim 2x − x→−∞
√
e.w
p p Oleh karena itu, sin t = 1 − x sehingga cos t = − 1 − sin2 t = − 1 − (1 − x)2 = p − 1 − (x − 1)2 . Catatan : Menurut saya batasan variable t pada soal seharusnya tidak menyertakan nilai t = π agar ada pilihan jawaban yang sesuai. 4x2 + 27 = · · ·
d. 4
b. −2
e. ∞
c. 0
on
a. −∞
Jawaban : c Misalkan t = −x maka pertanyaan pada soal equivalent dengan, √ √ 4x2 + 27 = lim −2t − 4t2 + 27 t→∞ √ √ = lim 4t2 − 4t2 + 27
thz
lim 2x −
x→−∞
t→∞
=
0−0 √ =0 2 4
h→∞
ma
2 0 9. Diberikan n f (x) = sin x.o Jika f (x) menyatakan turunan pertama dari f (x) maka lim h f 0 (x + h1 ) − f 0 (x) = · · ·
a. sin 2x
d. 2 sin x
b. − cos x
e. −2 cos x
w.
c. 2 cos 2x
ww
Jawaban : c Ingat kembali definisi dari turunan suatu fungsi yaitu f 0 (x) = lim t→0
f (x + t) − f (x) t
Berdasarkan definisi ini kita punya, n o 1 lim h f 0 (x + ) − f 0 (x) = 1lim h→∞ h →0 h
o n 1 0 0 f (x + h ) − f (x) 1 h
= f 00 (x) = 2 cos 2x
4
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
b.
d. 3
1 2
e. ∞
c. 1
eb. i
a. 0
d
10. Jika diketahui garis singgung parabola y = 3x2 + ax + 1, pada titik x = −2 membentuk sudut terhadap sumbu X sebesar arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = −9x − 59 dan parabola tersebut adalah ...
e.w
Jawaban : b Garis singgung parabola y = 3x2 + ax + 1 di x = −2 memiliki gradien m = 6x + a = a − 12. Karena garis singgung tersebut membentuk sudut sebesar arctan(6) terhadap sumbu X maka gradiennya, m = 6. Oleh karena itu, diperoleh a−12 = 6 ⇔ a = 18. Jadi, persamaan parabola yang dimaksud adalah y = 3x2 + 18x + 1. Misalkan F (x) = −9x − 59 − (3x2 + 18x + 1) = −3x2 − 27x − 60. Oleh karena itu, luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = −9x − 59 dan parabola y = 3x2 + 18x + 1 sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva F (x) dan sumbu X yaitu
on
√ 9 9 1 Luas = = 2 6 · (−3) 2
π 6
b.
π 4
c.
π 3
d.
3π 4
e.
π 2
ma
a.
thz
11. Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegaklurus BD dan AB tegaklurus bidang √ BCD. Jika BC = BD = a 2 cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan ...
Jawaban : b Perhatikan sketsa di bawah ini!
w.
A
ww
B
D
E
C
Perhatikan bahwa 4BCD adalah segitiga siku - siku sama kaki, sehingga BE = CE = ED = a. Oleh karena itu, BE = a = AB dan karena ∠ABE = 90◦ maka ∠AEB = 45◦ .
12. Persamaan kuadrat x2 − pqx + p2 + q 2 = 0 akar - akarnya x1 dan x2 dengan 2x1 x2 = 5(x1 + x2 ). Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah ...
5
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012
d
(1) p = q (2) p = 2q
eb. i
(3) p = q + 2 (4) 2p = q
Jawaban : c Berdasarkan rumus Vieta diperoleh, x1 + x2 = pq dan x1 x2 = p2 + q 2 sehinggga 2x1 x2 = 5(x1 + x2 ) ⇔ 2p2 + 2q 2 = 5pq
e.w
⇔ 2p2 − 5pq + 2q 2 = 0
⇔ (2p − q)(p − 2q) = 0
on
Jadi, diperoleh hubungan 2p = q atau p = 2q.
ww
w.
ma
thz
Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke
[email protected] Terima kasih. My blog : http://mathematic-room.blogspot.com
6
