Updated : 12/11/2009
Sistem Bilangan dan Kode Dosen : Agung Prasetyo ST.
Sistem Bilangan • Sistem Bilangan (numberic system) adalah sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yang mempresentasikan sebuah angka. • Numerik berbeda dengan angka. Simbol “11” dan “XI” adalah numerik yang berbeda, tetapi mempresentasikan angka yang sama yaitu sebelas • Sistem bilangan yang banyak dipergunakan manusia adalah sistem bilangan desimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan 10 macam simbol untuk mewakili suatu besaran. • Sistem bilangan desimal banyak digunakan manusia karena manusia mempunyai 10 jari untuk dapat membantu perhitungan-perhitungan.
Sistem Bilangan pada Komputer • Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen 2 keadaan yaitu OFF dan ON (dalam konsep binari yaitu 0 dan 1). • Disamping sistem binari (binary system number), komputer juga menggunakan sistem bilangan yang lain, yaitu sistem bilangan oktal (octal number system) dan bilangan hexadecimal (hexadecimal number system)
Basis yang dipergunakan • Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 (deca berarti 10), menggunakan 10 macam simbol bilangan (0-9). • Sistem bilangan binari menggunakan basis 2 (binary berarti 2), menggunakan 2 macam simbol bilangan (0 dan 1). • Sistem bilangan oktal menggunakan basis 8 (octal berarti 8), menggunakan 8 macam simbol bilangan (0-7). • Sistem bilangan hexadesimal menggunakan basis 16 (hexa berarti 6 dan deca berarti 10), menggunakan 16 macam simbol bilangan (0-9 dan A-F).
Tabel Sistem Bilangan (antara Desimal, Binari, Oktal, Hexadesimal) Desimal (1)
Binari (2)
Oktal (3)
Hexadesimal (4)
0
0000
000
0
1
0001
001
1
2
0010
002
2
3
0011
003
3
4
0100
004
4
5
0101
005
5
6
0110
006
6
7
0111
007
7
8
1000
010
8
9
1001
011
9
10
1010
012
A
11
1011
013
B
12
1100
014
C
13
1101
015
D
14
1110
016
E
15
1111
017
F
Sistem Bilangan Desimal • Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 • Sistem bilangan desimal menggunakan 10 macam simbol bilangan berbentuk 10 digit angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • Masing-masing digit angka mempunyai position value yang merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing digit tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.
Sistem Bilangan Desimal
106
105
104
103
102
101
100
Power Base
7th
6th
5th
4th
3th
2th
1th
Position
1000000
100000
10000
1000
100
10
1
Value
Sistem Bilangan Desimal • Contoh: 8598 8598 = (8 x 103)+(5 x 102)+(9 x 101)+(8 x 100) = (8 x 1000)+(5 x 100)+(9 x 10)+(8 x 1)
8 5 9 8
X X X X
103 102 101 100
= = = =
8000 500 90 8 8598
Konversi : Desimal -> Binari • Contoh 25(10) = ?
(2)
(bagikan angkanya dengan 2)
2
25
Sisa
2
12
1
2
6
0
2
3
0
2
1
1
2
0
1
25(10) = 1
1
0 0 1 (2)
Konversi : Desimal -> Oktal • Contoh 8159(10) = ?
(8)
(bagikan angkanya dengan 8)
8
8159
Sisa
8
1019
7
8
117
3
8
14
5
8
1
6
8
0
1
25(10) = 1
6
5 3 7 (8)
Konversi : Desimal -> Hexadesimal • Contoh 745(10) = ?
(16)
(bagikan angkanya dengan 16)
16
745
Sisa
16
46
9
16
2
E
16
0
2
Pada bilangan Hexadesimal 14 = E
25(10) =
2 E 9 (16)
Sistem Bilangan Binari • Sistem bilangan binari adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1 • Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital
Konversi : Binari -> Desimal Contoh : 101101(2) = ? (10) 101101= (1 x 25)+(0 x 24)+(1 x 23)+(1 x 22)+(0 x 21)+(1 x 20) = (1 x 32)+(0 x 16)+(1 x 8)+(1 x 4)+(0 x 2)+(1 x 1) = 32+0+8+4+0+1 Jadi 101101(2) = 45 (10)
Konversi : Binari -> Oktal Contoh: 11010100(2) = ? (8) [011][010][100] 3 2 4 Jadi 11010100(2) = 324 (8)
Digroupkan menjadi 3 digit Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3
Konversi : Binari -> Hexadesimal Contoh : 11010100(2) = ?(16) [1101][0100] D 4
Digroupkan ke dalam 4 digit Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
Jadi 11010100(2) = D4(16)
Sistem Bilangan Oktal • Sistem bilangan oktal menggunakan basis 8 • Sistem bilangan oktal menggunakan 8 macam simbol bilangan yaitu 0,1,2,3,4,5,6, dan 7. • Position Value sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8.
Konversi : Oktal -> Desimal Contoh 324(8) = ? (10)
324(8) = (3 x 82)+(2 x 81)+(4 x 80) = (3 x 64)+(2 x 8)+(4 x 1) = (192)+(16)+(4) = 212(10) Jadi 324(8) = 212 (10)
Konversi : Oktal -> Binari Contoh 6502(8) = ? (2) 6 5 0 2 [110][101][000][010]
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3
Jadi 6502(8) = 110101000010 (2)
Konversi : Oktal -> Hexadesimal Contoh 2537(8) = ? (16) Pertama konversikan dulu ke bilangan binari 2 5 3 7 Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3 [010][101][011][111] Dari binari kemudian dikonversikan ke hexadesimal [0101][0101][1111] Digroupkan menjadi 4 digit 5 5 F Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
Jadi 2537(8) = 55F (16)
Sistem Bilangan Hexadesimal • Sistem bilangan hexadesimal menggunakan basis 16. • Sistem bilangan hexadesimal menggunakan 16 macam simbol bilangan yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
F
15
Konversi : Hexadesimal -> Desimal Contoh B6A(16) = ? (10) B6A(16) = (11 x 162)+(6x161)+(10x160) = (11 x 256)+(6x16)+(10x1) = 2816+96+10 = 2922(10) Pada Hexadesimal (lihat tabel sistem bilangan kolom 1 dan 4): B = 11 A =10
Konversi : Hexadesimal -> Binari Contoh: D4(16) = ? (2) D 4 [1101][0100]
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
Jadi D4(16) = 11010100 (2)
Konversi : Hexadesimal -> Oktal Contoh 55F(16) = ? (8)
Pertama konversikan dulu ke Binari 5 5 F Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4 [0101] [0101] [1111] Dari Binari kemudian dikonversikan ke Oktal [010][101][011][111] Digroupkan ke dalam 3 digit 2 5 3 7 Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3 Maka 55F(16) = 2537 (8)
Penjumlahan Biner Penjumlahan bilangan biner dilakukan sama seperti penjumlahan bilangan-bilangan desimal. Contoh penjumlahan desimal: 3 7 6 4 6 1 _________ + 8 3 7
Langkah-langkah yang sama berlaku pula pada penjumlahan biner, tetapi bagaimanapun juga hanya ada empat kasus yang terjadi pada penjumlahan biner pada setiap posisi yaitu : 0+0=0 1 +0=1 1 + 1 = 0 + carry 1 ke dalam posisi berikutnya 1 + 1 + 1 = 1 + carry 1 ke dalam posisi berikutnya Kasus terakhir terjadi apabila pada suatu posisi tertentu ada 2 bit yang dua-duanya 1 dan ada carry dari posisi sebelumnya.
Berikut adalah contoh penjumlahan biner : 011 (3) 110(6) ______+ 1001(9)
1001(9) 1111(15) ______ + 11000(24)
11011(27) 10111(23) ______ + 110010 (50)
Penjumlahan adalah operasi aritmetik yang paling penting dalam sistem digital. Operasi pengurangan, perkalian dan pembagian seperti yang dilakukan pada komputer dan kalkulator digital sesungguhnya hanya menggunakan penjumlahan sebagai operasi dasarnya.
Bit Bertanda Bit 0 menyatakan bilangan positif Bit 1 menyatakan bilangan negatif
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
0
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
Magnitude
B6
B5
B4
B3
B2
B1
B0
1
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
= + 52
Magnitude
= - 52
Bentuk Komplemen ke 1 Bentuk komplemen ke 1 dari setiap bilangan biner diperoleh dengan mengubah setiap 0 di dalam bilangan tersebut menjadi 1, dan setiap 1 di dalam bilangan menjadi 0. Dengan kata lain mengubah setiap bit menjadi komplemennya. Misalnya komplemen ke 1 dari 101101 adalah 010010, dan komplemen ke 1 dari 011010 adalah 100101.
Komplemen 2 bilangan biner Komplemen 2 bilangan biner diperoleh dari komplemen 1 ditambah dengan 1.
Komplemen ke 2 Contoh :
Hitung komplemen 2 dari (10101)2 ! Pertama, hitung komplemen 1 dari (10101)2 Hasil komplemen 1 : (01010)2
Kedua, hasil komplemen 1 ditambah dengan 1 Hasil komplemen 2 : (01010)2 + (1)2 : (1011)2 Hitung komplemen 2 dari : a. (11001)2 (111)2 b. (1000110)2 (111010)2 c. (11101100)2 (10100)2
Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2 Dua bilangan positif Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4 +9
0
1
0
0
1
+4
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih kecil Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari komplemen ke dua dari +4 +9
0
1
0
0
1
-4
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih Besar Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 -9
1
0
1
1
1
+4
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Dua Bilangan Negatif Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing – masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4 -9
1
0
1
1
1
-4
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan Carry diabaikan
SISTEM SANDI (KODE) Apabila bilangan-bilangan, huruf-huruf, kata-kata dinyatakan dalam suatu grup simbol-simbol tertentu, ini disebut pengkodean, dan grup simbol-simbol tersebut dinamakan kode. Barangkali salah satu kode yang paling dikenal adalah kode Morse, dimana serangkaian titik dan garis menyatakan huruf-huruf alphabet.
Semua sistem digital menggunakan beberapa bentuk bilangan biner untuk operasi internalnya, tetapi untuk menyajikan hasilnya ke luar digunakan bilangan desimal. Ini berarti bahwa konversi-konversi antara sistem biner dan desimal sering dilakukan. Contoh: Binary-Coded-Decimal Code Kode Excess-3 Kode Gray Kode ASCII
